автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка методов частотно-временного анализа поляризационных и дисперсионных свойств волновых процессов

ъ

Па правах рукописи

Кулеш Михаил Александрович

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ И ДИСПЕРСИОННЫХ СВОЙСТВ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученон степени доктора фнзпко-математических наук

003449136

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук

Научный консультант

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Шардаков И II

доктор физико-математических наук, профессор Ерофеев В. И.

доктор физико-математических наук, профессор Вахрушев А. В.

член-корреспондент РАН, доктор технических наук, Маловнчко А А.

Ведущая организация

Институт Физики Земли РАН

Защита состоится 14 ноября 2008 г в 14 ч 00 мин на заседании диссертационного совета Д 212 065 07 Ижевского Государственного Технического Университета по адресу г Ижевск, ул Студенческая, 7

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ижевского Государственного Технического Университета

Автореферат разослан "¿У' ¿ага*^? 2008

Ученый секретарь диссертационного совета к ф-м и , доцент

Кетова К. В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Очень многие области науки и техники связаны с волновыми процессами Понятие волнового процесса является слишком общим, охватить все его аспекты в рамках одном работы достаточно сложно, да и в этом нет необходимости, так как существует большое количество монографий и обзоров по этоп теме Поэтому в рамках данной диссертации за основу берется только один класс таких процессов, а именно волновая динамика упругих сред Одним из важных направлении теории волн в упругих средах является теория сейсмических процессов, которые можно рассматривать как волновые процессы планетарного масштаба, имеющие тектоническую природу Практическими приложениями теории сейсмических процессов являются геофизические методы изучения и разведки земной коры, проблемы анализа п предсказания землетрясении, сейсмические и вибрационные методы контроля техногенных процессов

В СССР исследования по сспсмическоп разведке были начаты еще в Институте теоретической геофизики АН СССР в 1938 году В связи с необходимостью развития минерально-сырьевой базы страны, проблемы создания новых эффективных методов сспсмическоп разведки рассматривались в 40-х - 60-х годах в числе важнейших проблем АН СССР Задачи повышения точности существующих методов, а также развитие новых методов, позволяющих учитывать большее количество эффектов, не утратили своей актуальности и сегодня По своей сути все сейсмические методы изучения свойств и состава глубоких слоев Земли базируются на интерпретации характера преломлений, отражений и изменений скорости прохождения сейсмических волн, возникающих при землетрясениях или при искусственных взрывах

Одной из ключевых проблем является то, что наблюдать волны в твердых телах п геологических средах можно лишь опосредованно, интерпретируя данные виброизмерений, представленных в виде сейсмограмм Для физической интерпретации информацию, содержащуюся в сейсмограмме, необходимо перевести па язык понятии и величин, составляющих некоторую теоретическую модель, что и является главной задачей процесса обработки сейсмических данных

Легко видеть, что данная задача имеет несколько аспектов Во-первых, понятие модели является весьма широким, поэтому первым шагом физической интерпретации сейсмограмм является выбор подходящей модели До начала 60-х годов в сейсморазведке широко использовались модели горизонтально-слоистого строения осадочных толщ земной коры В начале 70-х годов была доказана возможность и целесообразность применения

моделей случайно-неоднородных сред Развитие методов акустического каротажа скважин способствовало построению тонкослоистых моделей геологических сред Среди последних достижений в области развития физических основ сейсмических методов необходимо отметить исследования по нелинейной сейсмике, в ходе которых были получены принципиально новые свидетельства о проявлении нелинейных сейсмических свойств реальных сред

Вторым аспектом является анализ выбранной модели на предмет выявления, сбора и классификации данных по амплитудным характеристикам различных волн, их спектральным и поляризационным характеристикам, по параметрам затухания и дисперсии всех типов волн, а также по фильтрующим свойствам задействованной в модели среды или сред

И, наконец, третьим немаловажным аспектом являются вычисления в рамках выбранной модели При обработке сейсмограммы отдельной "волне" соответствует "сигнал" Будем подразумевать под сигналом ту часть записи, которая несет информацию об интересующей пас волне, все остальное на записи является помехой по отношению к данному сигналу При обработке мы сначала идентифицируем сигнал, выделяем его из помех и, наконец, отождествляем его характеристики с соответствующими характеристиками волны Таким образом, конечной целью обработки является измерение характеристик полезного сигнала в ситуации, когда на сейсмограмме представлена достаточно сложная суперпозиция самых различных типов волновых движений

Обьект исследования. В более общем виде задачу обработки сейсмограммы можно ставить как задачу математического моделирования, где па входе имеется достаточно сложный математический объект - в общем случае это цифровая многоканальная пространственно-временная сейсмограмма, а па выходе - дисперсионные, диссипативные и поляризационные параметры всех представленных на сейсмограмме сигналов Эти параметры имеют достаточно четкий физический смысл и далее могут сопоставляться с теоретическими параметрами соответствующих волн в рамках выбранной модели, однако сам процесс получения этих параметров вполне можно рассматривать как обособленную математическую проблему В ее основе лежит поиск математических закономерностей, связывающих исходный сигнал и перечисленные выше физические параметры, а также оформление этих закономерностей в виде эффективных вычислительных методов Данные математические методы и являются основным объектом исследования диссертационной работы

Ai4iy.uii.noci ь проблемы Несмофя 11(1 большое количество как оригинальных исследований, так и работ обзорного характера, обсуждаемую проблему

нельзя считать окончательно решенной Реальные экспериментальные сейсмограммы содержат, как правило, суперпозицию различных типов волн, которые накладываются друг на друга как по времени, так и по частоте Более того, некоторые из них могут состоять из нескольких волновых мод с различными дисперсионными характеристиками Существующие сегодня методы не позволяют эффективно выделять и анализировать отдельные типы н моды боли в этой суперпозиции Поэтому дальнейшее развитие методов поляризационного и дисперсионного анализа с точки зрения повышения их точности и надежности является сегодня актуальной задачей

Цель работы состоит в разработке новых математических методов, которые бы позволяли определять поляризационные, дисперсионные и днссииатив-ные параметры сигналов, представленных па многоканальной пространст-всппо-врсмсшюи сейсмограмме

Задачи исследования состоят в разрабоп<е следующих методов

а) поляризационного анализа и фильтрации двух- и трехкомпонентных сигналов,

б) моделирования распространения волны в среде с дисперсией и диссипацией,

в) определения дисперсионных параметров волн (функция волнового числа, фазовой и групповой скоростей, а также функция злухания)

Данные методы должны быть реализованы на базе эффективных вычислительных алгоритмов в рамках единого программного комплекса поляризационного и дисперсионного анализа Как сами методы, так и реализующие их алгоритмы должны "уметь" устойчиво различать отдельные типы и моды волн в экспериментальных сейсмограммах

Методы исследовании. Большинство работ, посвященных поляризационному и дисперсионному анализу волн, базируется сегодня па преобразовании Фурье Очевидно, что при таком подходе невозможно различать волны, имеющие одинаковые частоты, но пришедшие в разное время Аналогично, если рассматривать исходный волновой процесс только как функцию времени, то в нем не получится разделить волны с разными частотами, но пришедшие в одно и то же время Поэтому основным математическим методом в диссертации является спектрально-временной анализ сигналов Технически все предложенные в работе методы базируются на непрерывном прямом и обратном веивлст-преобразованип, хотя некоторые из них допускают обобщения на случаи использования других типов спектрально-временных преобразований

Результаты работы На защиту выносятся следующие наиболее существенные научные результаты, полученные лично автором и полностью покрывающие цели и задачи исследования, сформулированные выше

а) метод определения спектрально-временных поляризационных параметров двухкомпонентных сигналов,

б) два метода расчета спектрально-временных поляризационных параметров трехкомпонентиых сигналов для случаев плоско-эллиптической и объемно-эллиптической поляризации,

в) дисперсионный оператор, описывающим изменение непрерывного веЛ-вле1-спектрл волны при ее распространении в среде с дисперсией и диссипацией Параметрами данного оператора являются частотные функции скоростей и диссипации волны, при этом рассмотрены случаи линейной и нелинейной диссипации,

г) корреляционный метод "частотно-скоростного" анализа для определения фазовой скорости воли с несколькими волновыми модами,

д) оптимизационный метод, позволяющий определять функции скоростей и затухания для единичной волны

Научная новизна Все предложенные в диссертации методы являются новыми Кроме этого, данные методы обладают значительными преимуществами по сравнению с традиционными методами поляризационного и дисперсионного анализа

а) в отличие от метода комплексного следа, предложенный метод двух-компонептного поляризационного анализа более полно характеризует поляризационные свойства и является полностью обратимым, что позволяет строить на его основе эффективные алгоритмы фильтрации,

б) в отличие 01 стаидаршого ковариационного метода, в предложенном адлгпнвном ковариационном методе анализа трехкомпонентиых сигналов 01су1ствус1 проблема выбора временного окна,

в) предложенный дисперсионный оператор позволил установить новую интерпретацию функций фазовой и групповой скоростей волны при ее распространении в среде с дисперсией,

г) в отличие от традиционных методов } — к анализа, предложенный в работе новый корреляционный метод может использоваться не для всего сигнала, а только для определенных частотно-временных областей, соответствующих той или иной волне,

д) в отличие от традиционных методов инверсии, предложенный оптимизационный метод работает в частотно-временном пространстве, что позволяет определить с высокой точностью функции фазовой и групповой скоростей, а также функцию затухания единичной волны по имеющейся прострапствсппо-врсмсппои сейсмограмме

Обоснованной!, и досювсрность полученных в работе результатов обеспечена строгой млсмличсскоп постановкой задачи, применением математически обоснованных методов решения, предельными переходами к известным частным случаям, детальным анализом [естовых спите 1пчеекпх сейсмограмм, а также сопоставлением результатов анализа с результатами, полученными другими методами

Теоретическая ценность Все предложенные методы являются фрагментами единого меюдологпчсского подхода частотно-временного поляризационного и дпспсрсиоиною анализа волновых процессов Эти методы в целом составляют вклад как в математическую теорию венвлет-аналпза, так и в математическое моделирование и методы количественного анализа физических параметров волнового процесса

Практическая значимость В рамках диссертационной работы разработан свободно распространяемый программный комплекс с открытым кодом, в котором собраны воедино все предложенные методы поляризационного и дисперсионного анализа Данный комплекс может быть использован в экспериментальных исследованиях волновых процессов (например, при подготовке и проведении ультразвуковых и внбродпагпостичсских экспериментов), при разработке новых методов волнового неразрушающего контроля, а так же как составная часть систем обработки геофизических и сейсмических данных Эффективность предложенных методов и программного обеспечения продемонстрирована на примере анализа экспериментальных вибродиагностических, сейсмических и геомагнитных данных

Апробация работы Методы, алгоритмы и программное обеспечение, предложенное в диссертационной работе, используются

а) в Центре анализа данных геомагнетизма и космического магнетизма университета г Киото (Япония) для поляризационного анализа геомагнитных пульсаций,

б) в ИМСС УрО РАН как составная часть вибрационного мониторинга ответственных инженерных сооружении,

в) в Геофизическом исследовательском центре г Потсдам (Германия) для определения поляризационных характеристик волн, представленных на сейсмограммах землетрясении,

г) в Геофизическом институте университета г Потсдам при разработке методов автомашческой классификации воли, представленных па сейсмограммах землетрясений,

д) в учебном процессе в рамках спецкурсов "Дополнительные главы теории упругости" и "Современные проблемы механики", проводимых на базе Научно-образовательного центра "Неравновесные переходы в сплошных средах" (г Пермь) для студентов 5 курса и магистров 1 курса механико-математического факультета Пермского Государственного Ун и вере и гет а

Результат диссертационной работы дигсладывались и обсуждались на российских и мелсдународных конференциях "AGU Fall Meeting" (San-Francisco, California, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007), "EGU Joint Assembly" (Nice, France, 2003, 2004), "Advanced Problems in Mechanics" (г Санкт-Петербург, 2004, 2005, 2006), "CGU Joint Assembly" (Montieal, Canada, 2004), "SEG Annual Meeting" (Houston, Texas, 2005), "Зимняя школа по механике сплошных сред" (г Пермь, 1999, 2005, 2007), "EAGE International Conference & Exhibition" (г Санкт-Петербург, 2006), "International Conference on Scientific Computing" (Las-Vegas, Nevada, 2007)

Публикации- По теме диссертации опубликовано 27 печатных работ, в том числе 17 статей в изданиях, рекомендованных ВАК для представления результатов докторских диссертаций, 5 - в трудах международных и российских научных конференций, 3 - депонировано и ВИНИТИ, а также 2 патента РФ Основные результат дпе^срiлции изложены в paGoiax [1-27], список которых прпведеп в конце авюреферлта

Личный вклад au юра Результаты, выносимые на защиту, получены автором лично, либо при его непосредственном участии В совместных публикациях по теме диссертации [1-7, 14-24] автору принадлежит постановка задачи, концепция решения, разработка соответствующего алгоритмического и программного пнетрумешарпя и проведение вычислительных экспериментов В работах [9-13] автором выполнялись исследования моделей, конструирование численных алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов Во всех случаях использования результатов других исследований в работе приведены ссылки на источники информации

Снял, исследований с научными программами Работы по тематике диссертации проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-96029-р-Урал-а, 03-01-00561), Немецкого фонда академических обменов DAAD (грант А-02-14086), Американского фонда гражданских исследований и развития CRDF (грант мо-

лодым ученым №Y2-P-09-04), а также Немецкого исследовательского общества DFG (проект DFG-] 114 "Mathematical methods in time series analysis and image processing")

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения В начале работы приведен список обозначении Список использованных источников содержит 207 наименовании Общий объем диссертации составляет 213 страниц, включая 9 таблиц и 65 рисунков, которые размещены по месту ссылок внутри основного текста

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность работы, излагаются цели и методы исследования, указывается научная новизна, а также структура диссертации

Первая ныв.! дисссрышш пост обюрпыи характер, в ней рассматрпваю!-ся некоторые хорошо изученные модели волновой динамики упругих сред с целыо формулировки задач, решению которых посвящена данная работа Наиболее распространенной и изучеппои, по-видимому, является модель плоской волны в упругой изотропно» среде, которая нашла широкое применение как в научных исследованиях, так и в промышленных приложениях Основные закономерности поведения таких волн изложены, например, в работах И А Викторова, В Т Гринчснко, С В Бирюкова, 10 В Гуляева, П Бхатнагара, Дж Д Ахенбаха и др

Следуя этим работам, для описания поведения упругой изотропной среды будем использовать следующие уравнения движения

(2/7 + A)graddiv"u — \i rot rot ti + X = pu, (1)

где и = {vT(t, т, ij, z),av(t, x, y, z), vz(t, x, у, z)}T - вектор перемещения, X

- вектор массовых сил, //, Л — постоянные Ламе, р - плотность

Далее в первой главе рассматривается уравнение (1) при отсутствии массовых сил для различных типов граничных условии, что дает нам решения для волн Ролея, Стоуплп, Лява и Ломба Данные решения получены для случая плоской немонохроматпческои волны и описывают распространение волновых пакетов, задаваемых спектром Фурье произвольной формы

ос

I" U„(z)e,{kT+-'4оМ^ (2)

— оз

где ti = {x,y,z} - координатный индекс, г = х/—Т - мнимая единица, к

- волновое число, ш - круговая частота, t - время, Un(z) - амплитудные

функции, а йо(ш) комплексная спектральная функция, соответствующая Фурье-образу сигнала-источника и определяющая форму волнового пакета Будем считать, чю волпа распространяется в направлении оси х с фазовой скоростью Ср Немонохроматическое преде явление здесь выбрано потому, что оно является наиболее подходящим для сравнения с экспериментальными данными, полученными в результат сейсмических измерений

На примере рассмотренных волновых решений вводятся ключевые для данной диссертации понятия дисперсии и поляризации волн, а также приводится обзор дисперсионных и поляризационных свойств для основных типов волн

Волновые решения для классической упругой среды являются самыми простыми и, поэтому, самыми наглядными Однако поведение реальных сред является более сложным Например, вязкоэластические свойства материалов приводят к появлению диссипации волн Развитие методов акустического каротажа скважин привело к пониманию необходимости построения тонкослоистых моделей осадочных толщ земной коры Модель случайно-неоднородной среды была использована при развитии новой модификации меч ода сейсмического просвечивания, разработкой которого занимались А 13 Николаев, М В Невский, О Ю Ризннчепко и др Также геологические гетерогенные среды могут рассматриваться как среды с микроструктурой, например, как упругая момептная среда Коссера В работах В Новацкого, А С Эрингена, А Е Лялина еще в 50-х - 60-х годах прошлого века были вскрыты основные закономерности распространения упругих линейных волн в средах с микроструктурой Было показано, микросгруктурные модели приводят не только к усложнению дисперсионных и поляризационных характеристик, но и к появлению новых типов волн [3-7] Поэтому в первой главе также приводится обзор подобных усложненных моделей

Как уже отмечалось, выбор подходящей модели среды является необходимым, но не достаточным условием успешного анализа данных некоторого сейсмического эксперимента Главной задачей процесса обработки сейсмических данных является задача перевода информации, содержащейся в сейсмограмме, на язык понятий и величин, составляющих теоретическую модель волнового процесса Однако в реальном эксперименте на сейсмограмме присутствует, как правило, достаточно сложная комбинация различных типов волновых движений, что объясняет потребность в качественных процедурах фильтрации В работах АЛ Левшпна, ЕИ Гальперина, СИ Александрова, Е А Флннна, РМ Репе, ЕР Капасевича и др было показано, что поляризационные свойыва как раз и являю!ся удобным критерием, позвочяющим распознавав различные шпы волн Позднее в Институте Физики Земли РАН были развиты эффективные численные методы поляри-

зациопиого анализа сейсмических воли

Для импульсных обт.емпых воли тавиыми параметрами являются времена пробега, очень слабо зависящие от частоты, и амплитуды Дисперсия для таких волн не является определяющим попяшем Поверхностные же волны, распространяющиеся в вертикально-неоднородной среде, являются диспергирующими За счет дисперсии они нссут ценную информацию о материальных параметрах среды Однако для интерпретации материальных параметров нужно уметь определять по исходным сепсмограммам дисперсионные и диссипатпвпые кривые, которые в данном случае являются функциями частоты Некоторые методы такого анализа предложены в работах Дж Капона, Р Шмидта, В И Кейлиса-Борока н др

Дисперсия поверхностных волн описывается не одной переменной, а функцией частоты Поляризационные же свойства могут зависеть как от частоты, так п от времени В связи с этим для анализа таких волн интересным является спскгралыю-времсннос представление, замечательное, в частности, тем, что оно позволяет пптерпретнровать п изучать частотно-временные образы сигналов Спсктрально-врсмспнон подход получил мощное развитие в работах А Л Левшпна и А В Лаидера и по праву стал одним из важиенших методов численного анализа сигналов

Сегодня разработано и применяется большое количество различных методов спектрально-временного анализа В данной же работе используется непрерывное всивлет-прсобразованис в силу его унпвсрсолыюсти и хороших возможностей регулировки частотно-временного разрешения Данное преобразование подробно описано, например, в работах И Добсшп и М Хольшнайдера и определяется следующим образом

+ СО +00

Wgs(t,a)= j V = ^ / е^ГМ^М^.

— oo —00

+00 +00

s(t) = MhyVqs{t,a) = ^ J j -^h Wgs{T,a)dTda, (3)

—00 —00

+00

C,hh — ! — (g*(uj)h(uj) + g*(-u!)h(-Luj^J duj, 0

где g{ ),/i( ) £ L2(R) - вещественные или комплексные базисные функции специального вида, называемые вейвлетами, Cqj, - нормирующий коэффициент, звездочка сверху обозначает комплексное сопряжение, a Wqs(t,a) -комплекспып всивлет-образ, зависящий от двух параметров безразмерного масштабного a £ Е и размерного временного t £ М

В нашем случае в качестве второго аргумента вейвлет-спектра, или масштабной осп преобразования, удобно выбрать физическую частоту, измеряемую в Гц, которая обратно пропорциональна параметру а а = /о//, где /о ~ характерная (средняя) частота вейвлета В отличие ог преобразования Фурье, вейвлет-преобразование обеспечивает двухмерную развертку исследуемого сигнала, при этом частота и время рассматриваются как независимые переменные В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно в физическом (время) и масштабном (частота) пространсшах

Вейвлет, применяемый для прямого преобразования, называют материнским, или анализирующим Выбор анализирующего вейвлета определяется тем, какие характерные колебательные формы содержатся в сигнале Например, для анализа прямоугольных колебаний больше подходит вещественный НААЯ-вейвлет или похожий на него, но симметричный РНАТ-вейвлет Для анализа сейсмических сигналов удобными являются вещественные вейвле-ты, построенные на основе производных функции Гаусса различных порядков или комплексные вейвлеты, например, прогрессивный вейвлет Морле

д(и) = сту/гИе-^-2*)1**'2, ^

где а - параметр вейвлета

Основной задачей, которая решена в дпссератцпи и будет описана в следующих главах, является поиск математических закономерностей, связывающих вейвлет-спектр (3) с поляризационными и дисперсионными свойствами волн, зарегистрированных в сигнале и соответствующих волновому решению (2)

Во вюроп главе рассматриваются основные положения поляризационного анализа волновых процессов и предложены три новых метода вычисления поляризационных свойств двух- и трехкомпонептных сигналов

Рассматривая сигнал и(Ь) — ",,(£), и-г{к)}2, соответствующий трех-

компонешнон записи, где и ,.(<), иу(1), и являются радиальной, транс-иерсалыной и вершкальнои компонешами, как все три, так и любые комбинации двух ортогональных компонент могу! быть выбраны для поляризационного анализа В каждый момент времени такой сигнал аппроксимируется некоторой эллиптической кривой (рис 1)

В самом общем случае, для описания объемно-поляризованного сигнала могут использоваться следующие параметры

а) большой поляризационный вектор Я £ К3 и полуось Е = ||-К||,

б) средний поляризационный вектор £ К3 и полуось гв — ||г8|| £ [0,Д],

в) малый поляризационный вектор г 6 К3 и полуось г = ||г|| 6 [0, г5], а также ряд специализированных параметров

а) эксцентриситет эллипса р = г%/Я, р £ [0, 1],

б) эксцентриситет эллипсоида р\ = г /гь, р^ £ [0, 1],

в) угол падения /3 £ (—т/2, тг/2] между большой полуосью и вертикальной осью г,

г) угол наклона в £ (-тг/2, тг/2] между большом полуосью и горизонтальной плоскостью х — у,

д) азимут 7 6 (—7г,7г], который является углом между горизонтальной осью I и проекцией большон полуоси на горизонтальную плоскость,

с) сдвиг фаз Аф £ (— тг, тг] между двумя компонентами сигнала, который удобно использовать в двухкомпонеш ном случае

Большинство "традиционных" методов поляризационного анализа и поляризационной фильтрации работают только во временном пространстве, или только в частотном пространстве Например, ковариационный метод, описанный Флином (Е A Flinn, 1965) и, позднее, А В Ландером (1986), метод комплексного следа, предложенный Рэне (R М Rene, 1986), и метод Морозова и Смптсона (I В Moiozov & S В Smithson, 1996) предназначены для вычисления поляризационных параметров только как функции времени, в то время как Я/V метод работает только в Фурье-пространстве К сожалению, эти подходы имеют значительные ограничения, так как первая группа методов не различает волны, пришедшие в один и тот же момент, но имеющие разные частоты, в то время как H/V метод дает некорректный результат для волн с одинаковой частотой, по пришедших в разное время

7

- U,M

_ II in

Рисунок 1 Схематическое представление поляризационных параметров для двухкомпоиептпого сигнала

Поэтому в рамках второй главы диссертации предложены и протестированы три новых метода, в которых поляризационные свойства вычисляются на основе вейвлет-спектра сигнала, или, другими словами, являются функциями как времени, так и частоты

а) Первый метод позволяет определить поляризационные свойства двух-компонентного сигнала, который представляется в комплексном виде Для введения такого комплексного сигнала выберем декартовую систему координат, ось х которой направлена вдоль вектора Ср фазовой скорости распространения волны, а ось 2 - нормаль к поверхности Тогда комплексный сигнал будет иметь вид

Математической основой предлагаемого метода является разложение вейвлет-спектра данного комплексного сигнала в ряд Тейлора в предположении, что модуль |Wgz(t, /) | изменяется во времени значительно медленнее, чем фаза arg Wgz(t, /)

где УУ+2(г,/) обозначает прогрессивный веивлет-спектр (/ > 0, материнский вейвлет прогрессивный), - регрессивный (/ < 0), - мгновенная частота, а сама эта аппроксимация для каждой фиксированной частоты соответствует некоторой эллиптической траектории на комплексной плоскости Отсюда, исходя только из геометрических соображений, можно получить следующие соотношения [2,12]

б) Второй предложенный метод базируется на аппроксимации трехкомпо-нентного сигнала в виде плоского эллипса в трехмерном пространстве Для полного описания поляризации сигнала в этом случае достаточно использовать только два поляризационных вектора й е М3 и г £ К3 В случае трехкомпонептной записи будем считать, что У^^и^Ь, /) - это комплексный прогрессивный вейвлег-спектр, вычисленный для трех-компонентпого сигнала — "г(£)}Т покомпонентно

z(t) = ux(t) +iuz(t)

(5)

W4z(t + т, /) ~ W+z{t, /)е'"+(^т + W~z{t, /)e~lir

Д ф(1,

(6)

Тогда векторы поляризации вычисляются следующим образом [11]

где е << 1 - регулярпзационпый параметр, предназначенный для стабилизации вычисления фазы в случае, когда значение А(£, /) близко к нулю Необходимо отмстить, что в такой формулировке метод может использоваться не только для трехкомпонентного сигнала, но и для сигналов с большим числом компонент, однако физическая интерпретация как самого сигнала, так и его поляризационных свонств представляется в этом случае не всегда однозначной

в) К сожалению, математически точного априорного определения мгновенных поляризационных параметров трехкомпонентного сигнала не существует, поэтому любая попытка так или иначе определить поляризационные свойства всегда будет базироваться иатех или иных допущениях Вышеописанный метод (7) ограничен тем, что трехмерные движения частиц среды моделируются в нем как плоские эллиптические движения Однако в более общем случае, подобные движения можно также моделировать трехмерной кривой, опоясывающей трехмерный эллипсоид с тремя поляризационными векторами Я £ К-5, г е К3 и г5 £ К3 Ковариационный метод, описанный Флипом (1965) и, позднее, А В Ландером (1986), базируется именно на такой модели сигнала В диссертации предложено и протестировано обобщение этого метода на случай вычисления поляризационных характеристик в вейвлет-пространстве, для чего потребовалось разработать специальный адаптивный метод определения интервала интегрирования элементов ковариационной матрицы в зависимости от частоты [13] Было предложено определять данный интервал Д^т(£, /) независимо для каждого элемента ковариациопноп матрицы с использованием мгновенной частоты, вычисленной по коэффициентам прогрессивного веивлет-спектра

Для вычисления самой ковариационной матрицы используются только вещественные части вейвлет-коэффициентов, при этом, как и ранее, используется разложение вейвлет-коэффициентов в ряд Тейлора по вре-

Атту

п е N.

мени в окрестности точки (t,j)

m(W+Uj(t + Tj)) ~ \WgUj(t, /)| cos (il,(i, /)т + argWj~iij(t, /))

Используя данные соотношения, элементы ковариационной матрицы могут быть найдены аналитически, что положительно сказывается на производительности предлагаемого метода [8,14,19,20]

Mjm(tj) = iw;Uj(t,f)uyv;Um(i,f)ix

x|smc (MdHbMAtjm(t,f)) cos (A;m(tJ))+

+sinc (!!ÄMAtjra(ii /)) cos (A+Jti /))} _ /Wmjj (8)

/l±n(i, /) = arg w+u,(t, f) ± arg /),

= SR{W+Uj(t, ] ))smc(AiJ?„ (i, (i, /)/2), j,m = яг, у, z,

где ыпс(а) = sm(a)/x Три собственных значения Лi(t,f) > А2(i,/) > ковариационной матрицы [M(i,_/)], а таюке три собственных вектора (t, /) полностью характеризуют величину и направления осей мгновенного эллипсоида, который аппроксимирует движения частиц в интервале Atjm(t,f) Это позволяет вычислить три вектора поляризации

. большой полуоси R(t,f) = л/М^/К^'ЛЛМ^ЯН. . средней полуоси n(t,j) = y/X2{t, f)v2{t, j)/\\v2{t, f)\\, . малой полуоси r{t,f) = ^h{t,J)v3{t,j)/\\v3(t,f)\\

Особо необходимо отметить, что, в силу свойств вейвлет-преобразования, все предложенные методы являются инвертируемыми, то есть могут использоваться для фильтрации сигналов Как уже отмечалось, практическим результатом такой фильтрации может быть выделение из исходной сейсмограммы сигналов, соответствующих тем или иным типам волн Описание фильтрационного алгоритма, а также примеры фильтрации синтетических сигналов приведены в конце второй главы

Tpeii.ii глава посвящена вопросам дисперсионного анализа сигналов с использованием вейвлеьпреобразовапия В ней рассматривается новый оператор специальною вида, определенный в вейвлет-пространстве и связывающей вейилет-образы сигналов, записанных па некотором удалении друг от друга при распространении волны в среде с дисперсией и диссипацией Также на основе этого оператора формулируются два новых метода определения дисперсионных кривых с использованием многоканальной пространственно-временной сейсмограммы

Будем считать, что среда стационарна и рассмотрим два сигнала s3(t) и бт(£), полученных с разных измерительных приборов с удалением Dm] =

Д„ — В} Такая среда воздействует на сигнал как линейный фильтр с передаточной функцией Т>у, которая получается из решении соответствующих уравнений движения Если дисперсионные и диссипашвиые характеристик среды представлены частотными функциями волнового числа /:(/) и затухания а(/), то связь между Фурье-образами двух сигналов имеет вид

Т„М) = = М

где £ N - любое целое, а 1К(/) = 2пк(1) — га(/) - комплексное волновое число Величина Т,Г(/) = |бг(/)|2 описывает автокорреляцию сигнала-источника в Фурье-пространстве, а величина Т„и(/) = 1т(/)б*(/) определяет кросс-корреляционную функцию для сигналов на удале-

нии Д„ и на удалении Д, относительно сигнала-источника Величина Ст] В1п + Д

Одним из базовых результатов диссертации является получение оператора, аналогичного (9), но действующего в вейвлег-пространстве Предположим, что функции &(/) и а(/) линейны на интервале, соответствующем частотной ширине материнского вейвлета, что на практике соответствует пнтервалыю-монотонной дисперсии, как, например, для поверхностных волн в неоднородной среде В этом случае комплексное волновое число можно аппроксимировать двумя первыми членами ряда Тейлора в окрестности частоты ] Вторым предположением является гипотеза "сопз1ап1-(3", что соответствует случаю интервально-постоянной диссипации, или а'(]) ~ О Тогда новый дисперсионный оператор может быть представлен в виде [2,9]

/) = /) = е-^^е-'МЩз, {I - к'Ц) Дп„ /),

= 2тг(А;(/) - /Г(/))Д„, + 2тгп, (10)

ЩТт]{1, /) = Т>с\чУ^цТгг{1, /) = е-М^е-'МПщЪг (* - *'(/) Ату, /)

Интересным является случай, когда материнский вейвлет обладает линейной фазой с производной по времени, равной 2п, как в случае вейвлета Морле (4) Тогда оператор (10) может быть записан с использованием фазовой, Ср(/), и групповой, С9(/), скоростей

Я = е_а(/)А'4

/ 1 ср(Я ии

где Ср(/)-щ-у С9(Л = Щй=Ср(})-}Сри)

Кроме этого, в третьей главе рассмотрены еще два подобных оператора, один из которых получен в предположении нелинейной функции затухания с использованием вейвлета Коши, а второй связывает частотно-временные образы поляризационных свойств двух сигналов

ся(П

¡агеУУ9бЛ(-

С„(/)

-ы)

Соотношение (11) имеет очевидную интерпретацию Групповая скорость - это частотная функция, которая "деформирует" образ модулей веивлет-коэффициентов исходного сигнала, в то время как фазовая скорость "деформирует" образ фазы комплексных вейвлет-коэффициентов [6] Это продемонстрировано на рис 2, где показано распространение некоторой волны Для генерации сигналов были использованы фазовая и групповая скорости, которые показаны на рис 2,c,d сплошными линиями, а сигнал S2(t) был получен из сигнала si(t), используя первое из соотношений (9) Отчетливо видно, что "деформация" образов модуля \Wgsi{t, f)\ и фазы arg WsS2(i, /) веивлет-коэффицнеитов второго сигнала соответствует кривым скоростей Cq(f) и Cp(f), однако с некоторой погрешностью, что демонстрирует асимптотические свойства оператора (11)

-4

О 05 1 1 5 2 0 05 1 1 5 2

t.M Ms)

Рисунок 2 Иллюстрация действия дисперсионного оператора в веГшлет-пространстве

Если для среды известна фазовая скорость, то из нее определяется волновое число и на его основе групповая скорость Обратный переход от групповой скорости к фазовой невозможен без привлечения дополнительных соображений Формально кривая групповой скорости не песет дополнительной информации о среде по сравнению с кривой фазовой скорости, тем не менее, обе они активно используются Таким образом, задача определения именно фазовой скорости на основе пространственно-временной сейсмограммы является актуальной и далее предложены два новых метода для ее решения

Первый метод базируется на соотношении (11) Из этого соотношения видно, что, введя функцию корреляции между вейвлет-спектрами двух сигналов, можно сформулировать метод частотпо-скоросгного анализа по аналогии с широко известным f — k методом, предложенным Капоном (J Capon,

1969). Пусть имеется пространственно-временная сейсмограмма ь^ъ),'] — В этом случае можно определить частотно-скоростной корреляционный спектр следующим образом [16,17]:

М(/,с)

= I

1-min tmai

= I

tmm

¡та

= I

j,rn

П bJt-QJ

3=1 \

J

dr =

(].Т =

(12)

dr,

ГДе [tmini ^rnax\

интервал времени, для которого вычислен веивлет-спектр,

с £ [C™m, Cpiax] - свободная переменная, соответствующая фазовой скорости, Aj - WgSj(r, f)/\]/VgSj{r, f)\ - комплексная фаза вейвлет-спектра, а B.j = arg WgSj(r, f) - вещественная фаза вейвлет-спектра. Скелетоны корреляционного спектра, или линии локальных максимумов функции М(/, с) как раз и дают нам частотные зависимости фазовых скоростей, "зашифрованных" в сейсмограмме Sj(t).

Г, (Иг) Г, №.)

Рисунок 3: Частотно-скоростной анализ зашумленной сейсмограммы с двумя интерферирующими волновыми модами. Уровень шума составляет 5% от размаха амплитуды сигнала

-ллА*-

Достоинством предложенного метода частотно-скоростного анализа является то, что он может быть использован для сейсмограммы, на которой представлены волны с несколькими волновыми модами (например, несколько мод волны Лэмба). Для демонстрации этой возможности рассмотрим сип-

тетическую сейсмограмму, где две волновые моды имеют разные скорости в одном п том же частотном интервале (рис 3,а)

Sm{f) = e-2mD^fc^s}{f) + e-2nD-'I/CM)s3(f)

Фазовые скорости Ci(/) и Сг(/), использованные для генерации сейсмограммы, приведены на рис 3,Ь,с сплошными линиями Фоновые изображения па рис 3,Ь,с соответствуют нормированному корреляционному спектру, рассчитанному при помощи последнего и первого соотношении из группы (12) Оба метода дают хорошее соответствие между скелетонами корреляционного спектра и исходными фазовыми скоростями

Три лишних "исевдо-моды", имеющихся на рис 3,Ь,с, обусловлены фазовым 27г циклом, входящим в соотношение (9) и оставшимся в дисперсионном операторе (11) в виде г?// слагаемого Данные "псевдо-моды" могут быть отфильтрованы при анализе групповых скоростей Кроме этого, наличие шума на сейсмограмме искажает картину корреляционного спектра, так что данный метод можно считать приближенным Несмотря на это, кривые фазовой скорости, полученные с его помощью, можно использовать как начальные условия для нового высокоточного оптимизационного метода, рассмотренного далее

Для заданной параметризации к функции волнового числа k(f) и параметризации а функции затухания a(f), мы можем сформулировать следующую задачу нелинейной минимизации

Х2(а(/,а)Д(/,к)) ->• min, а G К*", к Е RN*, (13)

где Na - количество параметров, использованных для параметризации функции затухания, а Л^ - для параметризации волнового числа При этом невязка х2 зависит от дисперсионного оператора, например, от оператора (10) Использование кросскорреляционнои версии дисперсионного оператора (10) представляется более предпочтительным, так как в этом случае некоррелированные шумы будут автоматически отфильтрованы

Для пространственно-временной сейсмограммы, на которой представлены несколько волн, необходимо выполнять каскадную минимизацию для каждой частотно-времеппой области каждой волны с использованием двух различных невязок [2,10,18]

• Во-первых, необходимо минимизировать невязку, содержащую модули веивлет-коэффициентов всех сигналов из рассматриваемой сейсмограммы с целью определения функции a(f)

X2(a,k) = Е//||>%Г"у(*>Я1 - |^cw(a,k)W,Trr(i, П\\" dtdf (14)

771,7

После эюго шага можно считать, чю функция затухания найдена, поэтому и последующем шаге оиа будет зафиксирована

• Во-вторых, минимизация невязки, содержащей фазу венвлет-коэффициентов, позволяет с высокой точностью определить фазовую скорость

Необходимо отметить, что данная оптимизация может быть выполнена только для изолированных в частотно-временном просфаистве области, каждая из которых соответствуегтолько одной волне Вовлечение в мнпимизацпон-ный процесс нескольких областей с волнами различной природы может привести к некорректным резулыакш Поэтому перед использованием данного алгоритма необходимо провести фильтрацию сейсмограммы с использованием одного из поляризационных фильтров, основанных па методах (6)-(8) Кроме эюго, даже после фильтрации на сейсмограмме могут остаться области, содержащие образы волн с несколькими волновыми модами Данная ситуация должна быть предварительно выявлена при помощи часютпо-скоростного анализа (12), и в этом случае как параметризация функций волнового числа и затухания, так и дисперсионный оператор (10) должны учитывать наличие нескольких мод

В четвертой главе представлен интегрированный программный комплекс, в котором собраны воедино все рассмотренные ранее методы поляризационного и дисперсионного анализа Разработанный лично автором программный комплекс GWL - Geophysical Wavelel Library - является свободно распространяемым npoqiaMMiibiM обеспечением с открытым кодом [21]

Сегодня можно найти в Интернете большое количество свободного и коммерческого ПО, где был бы в том или ином виде реализован частотно-временной анализ (например, ImageLib, LIFTPACK, MR/1, Wavelet Explorer, The Rice Wavelet Toolbox, Math Works' Wavelet Toolbox) К сожалению, найти программный комплекс, который сочетал бы в себе частотно-временной анализ в приложении к задачам поляризационного и дисперсионного анализа, не удалось Исключение составляют, пожалуй, специализированные отраслевые комплексы сейсморазведки, однако они, как правило, являются ноу-хау неф1яных компаний и доступ к ним затруднен

Поэтому целыо данной диссертации и явилась не только разработка группы методов частотно-временного поляризационного и дисперсионного анализа, по и их реализация в рамках исследовательского программного комплекса, ядром которого является непрерывное вейвлет-преобразовапие

о

arg Vcw(^k)WgTrr(tJ) " dt dj

ОХ-УЬ включает в себя три логических уровня: библиотечный уровень, уровень модулей и интерфейсный уровень (рис. 4). Целью такого разделения на уровни является структурирование математических алгоритмов, вычислительных модулей и функций графического интерфейса.

Интерфейсный уровень

( графических j—ч f Бибпиотека n.

^s. примеров у

Уровень модулей

Базовые модули GWL

— /msheil /solutions

/source — /commshell

— /argtable2

— /fftw3

— /qwt /РРР

Рисунок 4: Структура программного комплекса GWL

Библиотечный уровень GWL - это иерархическая объектная библиотека, написанная на языке С++ и получившая обозначение РРР (Parametric Processing of Pulsations). Данная библиотека содержит объектно-ориентированную реализацию основных типов данных (вектор, ось, матрица, мультиканальный сигнал, мультиканальный вейвлет-спектр), математических объектов (материнский вейвлет, 2-х и 3-х компонентные поляризационные свойства и дисперсионные параметры), а также реализацию всех алгоритмов. Библиотека спроектирована и разработана в предположении, что она может также использоваться для решения других задач частотно-временного анализа, не связанных с GWL. РРР использует ряд внешних библиотек, таких как: стандартная библиотека шаблонов С++ (STL), интерпретатор командной строки argtab!c2, библиотека быстрого Фурье-преобразования FFTW, библиотека визуальных компонент Linux Qwt.

Уровень модулей GWL - это набор независимых выполняемых модулей, также разработанных на языке С++. Все модули базируются на библиотеке РРР и обеспечивают консольный интерфейс для всех методов, реализованных на библиотечном уровне. В инсталляции GWL данные модули представлены в исходном коде, после их компиляции мы получаем набор запускаемых файлов в директории GWL/bin. Для выполнения вычислений с использованием GWL, необходимые модули из этой директории запускаются в определенном порядке с определенными входными параметрами, передаваемыми из командной строки. Например, вычисление непрерывного

вспвле1-прео6разовання (3) реализовано в модуле gwlCwt, где есть возможность выбора как материнского вепвлета (Морле, Пауля, HAAR, Шанона), так и его парамефов, в то время как обратное веивлет-преобразованпе поддерживается модулем gullwt Двухкомпопептпый поляризационный анализ (б) н фильтрация реализованы в модулях gwlET2D и gulET2DFilter, в то время как трехкомионеншый (7)-(8) - в модулях gwlET3D н gwlET3DFilter coonieiciBcHiio Дисперсионные операторы (9)-(11) лежат в основе модуля gwlDif f eoDisp Инверсия дисперсионных кривых меюдом (12) реализован i в модуле gwlTransFK, а минимнзационные алгоритмы (13)-(15) с использованием градиентного метода Левепберга-Марквардга - в модуле gwlOptiSP Обмен данными между различными модулями в процессе вычислении осуществляется при помощи файлов, имеющих бинарный формат Результаты вычислений также сохраняются в виде файлов с бинарным или текстовым форматом В общем случае, результаты из текстовых файлов могут быть представлены графически, используя любое стандартное ПО (например, gnuPlot, Mathcad) Однако для расширения графических возможности в GWL включен интерфейсный уровень, представляющий собой небольшую библиотеку графических процедур для среды MATLAB Процедуры лоп библиотеки могут рабошть непосредственно с двоичным файловым формлом GWL, что значшельно ускоряет как сами расчеты, так и процесс построения графических иллюстраций резулыатов вычислений Данная библпо1ека находится в директории GWL/mshell, предсывляет собой набор М-файлов и не требует инсталляции перед использованием

Для демонстрации рабош программного комплекса GWL в инсталляцию включена серия примеров поляризационного п дисперсионного анализа синтетических и экспериментальных данных Все примеры реализованы в среде MATLAB и находятся в дирекшрип GWL/solutioiib, который ык-же относится к интерфейсному уровню GWL Все примеры, приведенные в диссертации, подготовлены с использованием GWL, большинство из них также включено в инсталляцию программного комплекса

В пятой главе приведены примеры использования программного комплекса GWL для обработки экспериментальных данных

а) На примере вейвлет-апалпза нескольких виброграмм, зафиксированных в ходе вибродпагпостическнх экспериментов [1,22], продемонстрированы возможности модуля непрерывного вейвлет-преобразоваппя gwlCwt

б) На примере двухкомпонентных магнитограмм, зарегистрированных на ряде наземных станций, проанализированы поляризационные свойства геомагнитной пульсации Pi2 с использованием меюда (6) п модуля

gwlET2D. Данный анализ выполнен автором в [15], где обнаружена новая особенность поведения геомагнитной пульсации Рй, а именно то, что фазовый сдвиг между сигналами, зафиксированными на различных станциях, изменятся по времени в интервале пульсации.

в) Возможности модуля двухкомпонеитной поляризационной фильтрации gwlET2DFilter показаны па примере разделения волн с линейной и эллиптической поляризацией. Данное разделение выполнено для двухкомпонеитной пространственно-временной сейсмограммы, зарегистрированной в ходе ударного сейсмического эксперимента [12] и приведенной на рис. 5,а,Ь.

Л,!);

ШШ'" ЙЙа'ШШЙ

^ШММВММРЧга! тгШадЮ»

й-,:;

не mm«. И® ШШ и г.

IS

II

1 1

О 50 100 0 50 100

ux(t) u7(t)

Рисунок 5: Двухкомпопентная сейсмограмма. Forth Worth Basin. США: (a) - вертикальная компонента, (b) - горизонтальная компонента. (c),(d) - линейно-поляризованный сигнал, (e).(f) -эллиптически-поляризованпый сигнал

Сейсмограмма обрабатывалась с целыо показать принципиальную возможность отделения эллиптических рэлеевских волн от липейпо-поля-

ризованной составляющей. Результат фильтрации показан на рис. 5,с,с1, где волновые пакеты, соответствующие эллплтически-полярпзоваппым волнам (в том числе и волнам Рэлея) полностью подавлены, в то время как на рис. 5,е,1'они, наоборот, выделены.

г) Особенности трехкомпонентного поляризационного анализа и фильтрации с использованием метода (7) и модулей gwlETЗD и gulETЗDFilter также продемонстрированы на примере обработки результатов ударного сейсмического эксперимента [11].

д) С помощью адаптивного ковариационного метода (8) выполнена фильтрация трехкомпонелтной сейсмограммы (рис. 6,а), записанной во время регионального землетрясения в Тюрингене, Германия (1989) на станции в северной Баварии, Германия [14].

иди

Ф) р <цг><о ^ >

' * Г.->С »ч

' / -V

Г(с) р (1,Г)<-().15

и.(1)

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 1, (8)

Рисунок 6: Трехкомпонентная сейсмограмма, записанная но время регионального землетрясения

Как результат применения адаптивного ковариационного метода, на рис. 6,Ь показан частотно-временной спектр коэффициента эллиптичности ра(Ь, /) с учетом знака. Волновые пакеты в данных частотно-временных областях имеют регрессивный характер колебаний и поэтому могут быть однозначно идентифицированы как фундаментальная мода рэлеевской волны. Применяя обратное вейвлет-преобразование к спектру, отфильтрованному предварительно при помощи данного коэффициента эллиптичности при условии Рг,^,/) < —0.15, можно получить сейсмограмму, где остаются только волны Рэлея. Такая сейсмограмма показана на рис. б,с, где низкочастотная компонента рэлеевской

фундаментальной моды с компонентами Z — N четко различима и интервале 190-210 сек

е) Следующий пример, приведенный в пятой главе, проанализирован ранее в [17] и связан с дисперсионным анализом однокомпонентпои пространственно-временной сейсмограммы, зафиксированной в ходе ударного эксперимента Экспериментальные данные, показанные на рис 7, представляют собой 48-ми канальную поверхностную сейсмограмму (сеисмодатчики расположены вдоль прямой на удалении 2 м друг от друга), полученную вблизи г Керпеп (Германия), где наблюдаются подвижки неглубокого геологического разлома Источником волн в данном эксперименте являлся удар тяжелого молота

Рисунок 7 Одиокомпонентная сейсмограмма, записанная в ходе ударного эксперимента

Используя модуль gwlTransFK, секция "А" сейсмограммы (рис 8,а) была инвертирована на основе частотно-скоростного анализа В данной секции представлены низкочастотные сигналы с высокой амплитудой, соответствующие поверхностным волнам Фоновое изображение па рис 8,Ь показывает результат, полученный с использованием метода (12), а па рис 8,с - с использованием алгоритма MUSIC (Schmidt, 1986) Контурные линии на обеих панелях соответствуют результату, полученному с использованием метода Капопа (Capon, 1969) В интервале частот, где амплитуда сигнала достаточно высока, все три метода дают близкие результаты, однако предложенный в диссертации метод обладает более высокой контрастностью и гладкостью

ж) Одиокомпонснтиая сейсмограмма, приведенная на рис. 7, также были инвертирована при помощи оптимизационного метода (13)-(15) в модуле gwlDptiSP. Результат оптимизации приведен на рис. 9 в сравнении с результатами, полученными при помощи методов высокого разрешения Капона и MUSIC [10].

Г, (Hz) Г, (Uz)

Рисунок 8: Частотно-скоростной анализ секции "А" однокомао-нентной сейсмограммы

(¡0

х 10

(W

Г, (Hz)

I Sufaafec. В I

Г, (Hz)

Рисунок 9: Инверсия секций "А" и "В" однокомпонентной сейсмограммы

Для секции "А" все три метода дают близкие результаты, дисперсионная кривая, изображенная сплошной линией и полученная предложенным в диссертации методом, практически совпадает как с фоновым спектром, полученным при помощи метода MUSIC, так и с контурными линиями метода Капона Для секции "В" заметны значительные отличия результатов в высокочастотной области, где амплитуды сигналов малы по причине значительной диссипации Однако в частотном интервале 25-35 Гц, наиболее значимом для интерпретации в силу большой амплитуды сигналов, все три метода показывают одинаковые результаты При этом необходимо отметить, что новый предложенный метод дает окончательный результат в силу того, что в нем задана параметризация функции волнового числа и уже определены коэффициенты этой параметризации, в то время как для других двух методов требуется еще один шаг для вычисления самой диспсрснопноп кривой по представленному тоновому изображению или контурным линиям

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Все предложенные в диссертации методы являются фрагментами единого методологического подхода частотно-временного поляризационного и дисперсионного анализа волновых процессов и обладают рядом преимуществ по сравнению с традиционными алгоритмами

а) Использование в предложенных методах вейвлет-преобразования как одного из возможных подходов к спектрально-временному анализу позволяет обрабатывать и интерпретировать сейсмические волновые поля, для которых характерно большое количество волн различного типа с различным частотным составом, параметрами поляризации и протяженными зонами их интерференции

б) Поляризационные методы (6) и (7) являются полностью обратимым, так как исследуемый сигнал связан со своими поляризационными параметрами аналитически На основе этого можно вычислять сигнал после манипуляции с его поляризационными параметрами, что позволяет строить эффективные алгоритмы фильтрации Фильтрация с применением адаптивного ковариационного метода (8) осуществляется при помощи манипулирования вейвлст-коэффицпситами сигнала

в) Предложенные поляризационные методы обладают большим потенциалом по фильтрации сигналов с использованием тех или иных поля-

ризацнонных параметров Различные вариашы филырацнонных алгоритмов были подробно протестированы автором ранее в [11,12,14]

г) Предложенные дисперсионные операторы (10)-(11), а тлсже базирующиеся па их основе методы частотно-скоростного анализа (12) и оптимизационный мегод (13)-(15) могут использоваться не для всего вепвлет-спектра, а только для определенных частотно-временных области, соответствующих топ или иной волне Эгпм свойством не обладает традиционный подход (9), в котором волны с одинаковой частотой неразличимы

д) Дисперсионный оператор (11) записан в терминах фазовой и групповой скорости Несмотря на то, что эти параметры однозначно определяются из функции волнового числа, переход к ним позволил получить новую математическую интерпретацию фазовой и групповон скоростей

е) С помощью предложенного метода частотно-скоростного анализа можно определять частотно-зависимые скорости волн, имеющих нескольких волновых мод В отличие от традиционных методов / — к анализа, которые требуют большого количества исходных сигналов для стабильного определения фазовой скорости, предложенный метод стабильно работает и в случае небольшого числа исходных сигналов

ж) Оптимизационный метод может применяться как для вещественных сигналов, что соответствует случаю однокомпонентной записи, так и в общем случае для комплексных, соответствующих записи двух ортогональных компонент

з) Показана связь дисперсионного оператора с параметрами поляризации, что позволяет говорить о едином методе поляризацпонно-дисперсион-пого анализа в вейвлет-пространстве

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК для преды пиления ре-зулыатов докторских диссертации

1 Кулеш МА , Матвееико В П, Шардаков И Н Использование вейвлет-аналнза для обработки экспериментальных данных вибродиагностшш инженерных сооружений // Проблемы машиностроения и надежности машпп 2003, №6 С 100-106

2 Кулеш MA , Диалло М С, Холыинайдер М Вейвлет-анализ эллиптических, дисперсионных и днссипативных свойств поверхностных волн Рэлея//Акустический журнал 2005 Т 51, № 4 С 500-510

3 Кулеш М А , Матвеепко В П, Шардаков ИН Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлся в рамках континуума Коссера // Прикладная механика и техническая физика 2005 Т 46, № 4 С 116-124

4 Кулеш М А , Матвеепко В П, Шардаков ИН О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Акустический журнал 2006 Т 52, № 2 С 227-235

5 Кулеш МА, Матвеепко ВП, Шардаков ИН Построение аналитического решения волны Лэмба в рамках континуума Коссера // Прикладная механика и техническая физика 2007 Т 48,№ 1 С 143-150

6 Кулеш МА, Матвеепко ВП, Шардаков ИН Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлся для среды Коссера // Известия РАН, Механика твердого тела 2007, № 4 С 100-113

7 Кулеш МА, Матвеепко ВП, Улитин М В, Шардаков ИН Анализ волнового решения уравнении эластокинетики среды Коссера в случае плоских объемных волн // Прикладная механика и техническая физика 2008, Т 49, № 2 С 196-203

8 Кулеш М А Мгновенные поляризационные свойства трехкомпонент-ных сигналов в базисе вейвлетов // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия 2008 Т 61, №2 С 115-129

9 Kulesh М, Holschneider М, Diallo MS, Xie Q, Scherbaum F Modeling of wave dispersion using continuous wavelet transforms // Pure and Applied Geophysics 2005 Vol 162, № 5 P 843-855

10 Holschneider M, Diallo MS, Kulesh M, Ohmberger M, Luck E, Scherbaum F Characterization of dispersive surface waves using continuous wavelet transforms // Geophysical Journal International 2005 Vol 163, № 2 P 463-478

11 Diallo MS, Kulesh M, Holschneider M, Scherbaum F Instantaneous polarization attributes in the time-frequency domain and wavefield sepaiation //Geophysical Prospecting 2005 Vol 53, № 5 P 723-731

12 Diallo MS, Kulesh M, Holschneider M, Scherbaum F, Adler F Characterization of polarization attributes of seismic waves using continuous wavelet transforms // Geophysics 2006 Vol 71, № 3 P V67-V77

13 Diallo MS, Kulesh M, Holschneider M, Kurennaya K, Scheibaum F Instantaneous polarization attributes based on an adaptive approximate co-variance method//Geophysics 2006 Vol 71, №5 P V99-V104

14 Kulesh M, Diallo MS, Holschneider M, Kwennaya К, Kruger F, Ohm-berger M, Scherbaum F Polarization analysis m the wavelet domain based on the adaptive covanance method // Geophysical Journal International 2007 Vol 170, № 2 P 667-678

15 Kulesh M, Nose M, Holschneider M, Yiunoto К Polarization analysis of a Pi2 pulsation using continuous wavelet transform // Earth Planets Space

2007 Vol 59, № 8 P 961-970

16 Kulesh M, Holschneider M, Diallo M S, Scherbaum F, et al Inverse problems and parameter identification m image processing // in R Dahlhaus, J Kurths, P Maass, J Timmer (Eds) Mathematical Methods in Signal Processing and Digital Image Analysis Springer-Verlag Berlin Heidelberg

2008 P 111-152

17 Kulesh M, Holschneider M, Ohrnberger M, Luck E Modeling of wave dispersion using continuous wavelet transforms II wavelet based frequency-velocity analysis // Pure and Applied Geophysics 2008 Vol 165 № 2 P 255-270

Статьи а материалах научных конференций

18 Kulesh M, Holschneider M, Diallo MS, Scherbaum F, Ohrnberger M, Luck E Estimating attenuation, phase and group velocity of surface waves observed on 2D shallow seismic line using continuous wavelet transform // Proceedings of XXXII International Summer School "Advanced Problems in Mechanics" 2004 P 257-262

19 Kulesh M, Holschneider M, Diallo MS, Kurennaya К Elliptic properties of elastic surface waves in wavelet domain // Proceedings of XXXIII International Summer School "Advanced Problems m Mechanics" 2005 P 361-366

20 Diallo MS, Kulesh M, Holschneider M, Kwennaya K, Scherbaum F Estimating polarization attributes with an adaptive covariance method m the wavelet domain // SEG Technical Program Expanded Abstracts 2005 P 1014-1017

21 Kulesh M, Holschneider M Geophysical Wavelet Library applications of the continuous wavelet transform to the polarization and dispersion analysis

<vv

of signals // Proceedings of the 2007 International Conference on Scientific Computing, June 25-28, Las Vegas, Nevada, USA 2007 P 133-139

22 Корепанов В В, Кулеш М А , Цветков Р В, Шардаков И Я, Юрлов М А Исследование влияния укрепления фундамента здания на его вибрационное поведение // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая) Сборник статей В 3-х частях Часть 2 Екатеринбург УрО РАН 2007 С 237-240

Прочие публикации

23 Матвеенко В П, Шардаков И Н, Судаков А И, Кулеш М А , Цветков Р В Способ оценки остаточного ресурса автомобильного моста // Патент РФ №2299410 2007

24 Матвеенко В П, Шардаков И Н, Судаков А И, Кулеш М А , Цветков Р В Способ мониторинга автомобильного моста // Патент РФ №2317534 2008

25 Кулеш М А Использование всйвлет-аиализа для определения поляризационных свойств и фильтрации двухкомпопентных сигналов Пермь ИМСС УрО РАН - Деп в ВИНИТИ 14 03 08 №223-В2008, 2008 29 с

26 Кулеш М А Моделирование распространения волн в среде с диспер-сиеи и диссипацией с использованием всивлет-преобразоваппя Пермь ИМСС УрО РАН - Деп в ВИНИТИ 14 03 08 №225-В2008, 2008 29 с

27 Кулеш М А Определение дисперсионных параметров волн с применением непрерывного вейвлет-прсобразования Пермь ИМСС УрО РАН - Деп в ВИНИТИ 14 03 08 №226-В2008, 2008 39 с

Подписано в печать 20 08 08 Формат 60x90 1/16 Бумага ВХИ Набор компьютерный Уел печ л 1,9 Уч -изд л 3,3 Тираж 100 экз Заказ 329

Типография Пермского университета 614990, Пермь, ул Букирева, 15

Обозначения и сокращения

Введение

1 Волновая динамика упругих сред

1.1 Краткая характеристика акустических волн в твердых телах

1.1.1 Объемные волны.

1.1.2 Поверхностные волны.

1.1.3 Волноводные и канализированные волны.

1.2 Плоские волны в упругой классической среде.

1.2.1 Общее решение уравнений движения для полупространства

1.2.2 Дисперсионные уравнения волн Рэлея, Стоунли, Лява и Лэмба.

1.2.3 Дисперсионные и поляризационные параметры волн

1.3 Волновые процессы в реальных средах.

1.3.1 Связь дисперсии и диссипации.

1.3.2 Геометрическая дисперсия и нелинейность

1.3.3 Анизотропия.

1.3.4 Модели микрополярного континуума.

1.4 Основные соотношения вейвлет-анализа сигналов.

1.4.1 Вейвлеты.

1.4.2 Представление вейвлет-спектра.

2 Поляризационный анализ волновых процессов

2.1 Определение поляризационных параметров во временном пространстве.

2.1.1 Метод комплексного следа.

2.1.2 Модификация метода комплексного следа.

2.1.3 Эллиптическая аппроксимация трехкомпонентного сигнала.

2.1.4 Адаптивный ковариационный анализ трехкомпонентного сигнала.

2.2 Определение поляризационных параметров в частотном пространстве

2.3 Частотно-временной поляризационный анализ.

2.3.1 Метод комплексного следа в вейвлет-пространстве

2.3.2 Эллиптическая аппроксимация трехкомпонентного сигнала в вейвлет-пространстве.

2.3.3 Частотно-временной адаптивный ковариационный метод.

2.4 Идентификация и фильтрация сигналов на основе поляризационного спектра.

3 Дисперсионный анализ волновых процессов

3.1 Моделирование распространения волн на основе преобразования Фурье.

3.2 Моделирование распространения волн с использованием асимптотического вейвлет-оператора.

3.2.1 Случай независимой дисперсии и диссипации

3.2.2 Случай связанной дисперсии и диссипации.

3.2.3 Дисперсионный оператор для поляризационных параметров

3.3 Корреляционный частотно-скоростной анализ пространственно-временной сейсмограммы.

3.4 Задача нелинейной оптимизации параметров дисперсионного оператора.

4 Программный комплекс поляризационного h дисперсионного анализа

4.1 Структура и технология реализации программного комплекса

4.1.1 Библиотечный уровень.

4.1.2 Уровень модулей.

4.1.3 Интерфейсный уровень.

4.2 Базовые модули.

5 Использование программного комплекса для обработки экспериментальных данных

5.1 Вейвлет-анализ вибродиагностических данных.

5.1.1 Вибродиагностический эксперимент на автомобильном мосту.

5.1.2 Вибродиагностический эксперимент в жилом доме

5.2 Поляризационный анализ геомагнитных данных.

5.3 Фильтрация двухкомпонентной сейсмограммы с использованием поляризационного фильтра.

5.4 Поляризационный анализ и фильтрация трехкомпонентных сейсмограмм.

5.4.1 Фильтрация сейсмограммы ударного эксперимента

5.4.2 Фильтрация сейсмограммы регионального землетрясения

5.5 Корреляционный анализ экспериментальной сейсмограммы

5.6 Определение дисперсионных кривых по экспериментальной сейсмограмме.

Очень многие области науки и техники связаны с волновыми процессами. Понятие волнового процесса является слишком общим, охватить все его аспекты в рамках одной работы достаточно сложно, да и в этом нет необходимости, так как существует большое количество монографий и обзоров по этой теме. Поэтому в рамках данной работы за основу берется только один класс таких процессов, а именно волновая динамика упругих сред. Одним из важных направлений теории волн в упругих средах является теория сейсмических процессов [1], которые можно рассматривать как волновые процессы планетарного или регионального масштабов. Практическими приложениями теории сейсмических процессов являются геофизические методы изучения и разведки земной коры [2], проблемы анализа и предсказания землетрясений [3], сейсмические методы контроля техногенных процессов [4,5].

В СССР исследования по сейсмической разведке были начаты еще в Институте теоретической геофизики АН СССР в 1938 году. В связи с необходимостью развития минерально-сырьевой базы страны, проблемы создания новых эффективных методов сейсмической разведки рассматривались в 40-х - 60-х годах в числе важнейших проблем АН СССР. Задачи повышения точности существующих методов, а также развитие новых методов, позволяющих учитывать большее количество эффектов, не утратили своей актуальности и сегодня. По своей сути все сейсмические методы изучения свойств и состава глубоких слоев Земли базируются на интерпретации характера преломлений, отражений и изменений скорости прохождения сейсмических волн, возникающих при землетрясениях или при искусственных взрывах.

Другими интересными в инженерном плане приложениями волновой динамики упругих сред являются вибродиагностические исследования. По сравнению с анализом сейсмических волновых процессов, в основе изучения вибродиагностических данных лежит определение не свойств распространяющихся волн, а их воздействия на изучаемый объект [6,7]. Длительные вибрационные воздействия в значительной степени определяют надежность и долговечность сооружений и конструкций. В связи с этим развитие методов вибродиагностики является чрезвычайно важной и актуальной задачей для теоретического и практического изучения и прогнозирования надежности и долговечности.

Одной из ключевых проблем является то, что наблюдать волны в твердых телах и геологических средах можно лишь опосредованно, интерпретируя данные вибрационных измерений, представленных в виде сейсмограмм. Для физической интерпретации информацию, содержащуюся в сейсмограмме, необходимо перевести на язык понятий и величин, составляющих некоторую теоретическую модель, что и является главной задачей процесса обработки данных. Легко видеть, что данная задача имеет несколько аспектов: а) Во-первых, понятие модели является весьма широким, поэтому первым шагом физической интерпретации сейсмограмм является выбор подходящей модели. б) Вторым аспектом является анализ выбранной модели на предмет выявления, сбора и классификации данных по амплитудным характеристикам различных волн, их спектральным и поляризационным характеристикам, по параметрам затухания и дисперсии всех типов волн, а также по фильтрующим свойствам задействованной в модели среды или сред. в) И, наконец, третьим немаловажным аспектом являются вычисления в рамках выбранной модели. При обработке сейсмограммы отдельной "волне" соответствует "сигнал". Будем подразумевать под сигналом ту часть записи, которая несет информацию об интересующей нас волне, все остальное на записи является помехой по отношению к данному сигналу. При обработке мы сначала идентифицируем сигнал, выделяем его из помех и, наконец, отождествляем его характеристики с соответствующими характеристиками волны.

Краткий обзор используемых сегодня моделей волновой динамики упругих сред приведен в первой главе диссертационной работы. Наиболее распространенной и изученной, по-видимому, является модель плоской волны в упругой изотропной среде, которая нашла широкое применение, как в научных исследованиях, так и в промышленных приложениях. Основные закономерности поведения таких волн изложены, например, в работах [8-10]. При распространении упругих волн в приповерхностных геологических слоях наблюдается связь диссипации энергии и дисперсии плоских волн, что учитывается в т.н. (^-моделях [1,11]. Глубоко проработана и широко применяется концепция горизонтально-слоистых (или вертикально-неоднородных) моделей строения осадочных толщ земной коры [12]. В начале 70-х годов была доказана возможность и целесообразность применения в сейсмологии и сейсморазведке моделей случайно-неоднородных сред. Развитие методов акустического каротажа скважин привело к пониманию необходимости построения тонкослоистых моделей осадочных толщ земной коры [13,14]. Развивая представления микрополярного континуума, учитывающие одновременно и трансляционные смещения, и кинематически независимые микроповороты, оказалось возможным в рамках одной модели описать процессы распространения тектонических уединенных волн, излучающих упругие сейсмические предвестники [15]. Среди последних достижений в области развития физических основ сейсмических методов необходимо отметить исследования по нелинейной сейсмике [16], в ходе которых были получены принципиально новые свидетельства о проявлении нелинейных сейсмических свойств реальных сред.

Конечной целью обработки сейсмограмм и виброграмм является измерение характеристик полезного сигнала в ситуации, когда там представлена достаточно сложная суперпозиция самых различных типов волновых движений. В дополнение к широко распространенным в волновой динамике методам идентификации волн по их частотному составу, скоростям или направлениям подхода волновых фронтов, также получили развитие методы селекции волн по характеристикам их поляризации, т.е. по чисто геометрическим характеристикам колебаний [13,17-20]. Например, отличительные особенности поляризационных свойств сейсмических волн различной природы детально рассматривались в фундаментальной монографии [21].

В задачах пассивного сейсмического мониторинга имеется потребность обнаружения вступлений Р- и 8-волн [22,23]. В связи с тем, что волны Рэлея являются диспергирующими в гетерогенной среде, их поляризационные свойства являются частотно-зависимыми [17], что может быть использовано для дисперсионного анализа. В активных сейсмических экспериментах, напротив, волны Рэлея рассматриваются в качестве шума и должны быть подавлены с целю выделения именно объемных волн [24-26]. Другим приложением поляризационного анализа является идентификация эффекта расщепления 8-волн, которое несет в себе информацию об анизотропных свойствах среды [27,28]. Применение поляризационных методов анализа позволило значительно повысить разрешающую способность методов скважинной и наземной сейсмики в сложно-построенных средах [29-32]. Во второй главе диссертации приведен обзор некоторых получивших распространение поляризационных методов [33-38].

Уже несколько десятилетий большое внимание уделяется вопросам обнаружения слабых сейсмических событий в связи с необходимостью контроля за соблюдением Договора о всеобъемлющем запрещении ядерных испытаний (ДВЗЯИ). Отработанные для этого методы с использованием частотной фильтрации, поляризационного анализа, поляризационной фильтрации, детального исследования спектрограмм, БК-анализа записей микрогрупп и пр. применяются и для обнаружения записей слабых землетрясений. Все эти процедуры направлены на увеличение отношения сигнал/шум [4,39].

К сожалению, эти методы имеют значительные ограничения, так как они не различает волны, пришедшие в один и тот же момент, но имеющие разные частоты. В связи с этим хорошие результаты дает использование спектрально-временного представления, замечательного, в частности, тем, что оно позволяет интерпретировать и изучать частотно-временные образы сигналов. Спектрально-временной подход получил мощное развитие в работах A.JI. Левшина и А.В. Ландера [13] и по праву стал одним из важнейших методов численного анализа сигналов. Сегодня разработано и активно используется большое количество различных методов спектрально-временного анализа. Среди них можно выделить оконное Фурье-преобразование, преобразование Габора, распределение Вагнера-Вилла (Wigner-Ville transform) [40], S-преобразование [41], дискретное вейвлет-преобразование [42-44], а также непрерывное вейвлет-преобра-зование [45]. Последним двум методам посвящено также большое количество обзоров, например, [46-49]. Во всех этих методах общим является то, что результат анализа некоего сигнала должен содержать в себе не только перечисление его характерных частот, но и сведения об определенных временных координатах, в которых эти частоты проявляют себя.

Вейвлет-преобразование, S-преобразование и преобразование Габора являются результатом свертки исследуемого сигнала с семейством хорошо локализованных как во времени, так и по частоте базисных функций. Поэтому частотно-временное разрешение данных методов напрямую связано с частотно-временной формой используемых функций. Распределение Вагнера-Вилла [40] базируется на вычислении корреляции сигнала с самим собой, но сдвинутым как во времени, так и по частоте, поэтому в нем нет ограничений на частотно-временное разрешение. Однако подобное распределение может содержать области интерференции, не имеющие физического смысла. Для минимизации эффекта подобной интерференции можно использовать сглаженное псевдораспределение Вагнера-Вилла [50]. К сожалению, использование операции сглаживания в данном случае приводит к частотно-временному размыванию спектра и, тем самым, снижает достоинства метода по сравнению с вейвлет-преобразованием. В общем случае, можно улучшить частотно-временное разрешение спектрально-временных методов с использованием подхода, предложенного в [51,52].

В [13] можно найти, пожалуй, первую попытку объединить поляризационный и спектрально-временной анализ. С тех пор было опубликовано большое количество работ, посвященных подобной интеграции. В [53,54] используется метод сингулярного разложения матрицы (SVD) совместно с мульти-вейвлетным анализом на базе дискретных ортогональных вейвлетов, а в [55,56] - на базе непрерывного вейвлет-преобразования. В [57,58] развивается метод, аналогичный методу Морозова [36], но с использованием S-преобразования. Комбинация комплексного ковариационного метода и непрерывного вейвлет-преобразования с использованием комплексных ортогональных вейвлетов Майера (Mayer wavelet) приведена в [59]. И, наконец, оценки некоторых поляризационных параметров с использованием дискретного вейвлет-пакетного разложения предложены в работе [22].

В качестве первого важного результата диссертационной работы, во второй главе предложены три новых метода определения спектрально-временных поляризационных параметров двухкомпонентных [60, 61] и трехкомпонентных [62-65] сигналов, а также алгоритм фильтрации сейсмограмм с применением этих методов. Данные методы разработаны на базе непрерывного вейвлет-преобразования.

Для объемных импульсных волн главными параметрами являются времена пробега, очень слабо зависящие от частоты, и амплитуды. Дисперсия для таких волн не является определяющим понятием. Поверхностные же волны, распространяющиеся в вертикально-неоднородной среде, обладают дисперсией. За счет дисперсии они несут ценную информацию о структуре и материальных параметрах среды. Например, нахождение фазовой и групповой скоростей этих волн позволяет строить скоростные [66] и структурные [67-70] модели поверхностных слоистых сред. В [71,72] развиваются методы анализа глубинной геологической структуры Земли на основе длиннопериодических волн, генерируемых при землетрясениях. Однако для интерпретации структуры и материальных параметров нужно уметь определять по исходным сейсмограммам дисперсионные и диссипативные кривые, которые в данном случае являются функциями частоты.

В литературе можно найти несколько методов определения дисперсионных кривых. В общем случае, определение фазовой скорости волны возможно уже при анализе записи с одного сейсмоприемника, но при этом нужно знать фазовый профиль волны в источнике [73]. Групповая же скорость может быть определена с использованием только одного сейсмоприемника без априорной информации об источнике [74,75]. Как фазовая, так и групповая скорости могут быть получены на основании инверсии записей с двух и более сейсмоприемников, то есть при анализе пространственно-временных сейсмограмм [1,76].

Так как дисперсия описывается не одной переменной, а функцией частоты, то также и для дисперсионного анализа интересным является спектрально-временное представление. Различные методы спектрально-временного анализа сегодня широко используются для определения дисперсионных характеристик волн [40,77-80]. В большинстве этих методов делается попытка определения дисперсионных характеристик только с использованием модулей частотно-временного спектра, который описывает частотно-временное распределение энергии, но не содержит фазовой информации о колебаниях. Это сильно ограничивает возможности анализа. Во-первых, в этом случае может быть получена только групповая скорость и, во вторых, в рамках такого анализа различные частотные моды одной волны не различимы. Однако для описания, например, волны Рэлея, возможность различать и описывать ее отдельные моды является важной.

С другой стороны, сегодня развиты методы анализа, которые используют фазовую информацию колебаний и позволяют определять волновое число как функцию частоты для всех волновых мод. Данная группа методов получила название / — к анализа и широко используется сегодня для определения фазовых скоростей распространяющихся волн [81]. Можно выделить несколько методов этой группы: / — к метод, предложенный Дж. Бургом (J. P. Burg) [82], / — к метод высокого разрешения, предложенный Дж. Капоном (J. Capon) [83] и так называемый A/I/ltiple SYgnal Classification (MUSIC) метод [84]. Все эти методы требуют большого количества исходных сигналов для стабильного определения фазовой скорости в определенном частотном интервале.

В третьей главе предложен новый дисперсионный оператор, описывающий изменения непрерывного вейвлет-спектра волны при ее распространении в среде с дисперсией и диссипацией [60,85]. Параметрами данного оператора являются частотные функции скоростей и диссипации волны, при этом рассмотрены случаи линейной и нелинейной диссипации. На основе дисперсионного оператора предложен новый корреляционный метод определения фазовой скорости волн с несколькими волновыми модами [86,87], а также новый оптимизационный метод, позволяющий определить функции скоростей и затухания для единичной волны [88]. Данные методы дисперсионного анализа сочетают в себе сильные стороны как спектрально-временного подхода, так и f — к методов. Все они базируются на анализе фазовых различий непрерывных вейвлет-спектров сигналов. Поэтому они позволяют определять с высокой точностью фазовые скорости волн (в том числе и с несколькими волновыми модами), обладая при этом хорошим частотно-временным разрешением.

В более общем виде задачу обработки сейсмограммы можно ставить как задачу математического моделирования, где на входе имеется достаточно сложный математический объект - в общем случае это цифровая многоканальная пространственно-временная сейсмограмма, а на выходе - амплитудные, спектральные, дисперсионные, диссипативные и поляризационные параметры всех представленных на сейсмограмме волн. Эти параметры имеют достаточно четкий физический смысл и далее должны сопоставляться с теоретическими параметрами соответствующих волн в рамках выбранной модели, однако сам процесс получения этих параметров вполне можно рассматривать как обособленную математическую проблему. В основе данной проблемы лежит поиск математических закономерностей, связывающих исходный сигнал и перечисленные выше физические параметры, а также оформление этих закономерностей в виде эффективных вычислительных методов. Данные математические методы и являются основным объектом исследования диссертационной работы.

В этом контексте можно считать, что некоторые из таких закономерностей сформулированы во второй и третьей главах. Четвертая же глава диссертации посвящена именно практическим аспектам реализации предложенных методов. К сожалению, найти программный комплекс, который сочетал бы в себе частотно-временной анализ в приложении к задачам поляризационного и дисперсионного анализа, не удалось. Исключение составляют, пожалуй, специализированные отраслевые комплексы сейсморазведки, но они, как правило, являются ноу-хау нефтяных компаний и доступ к ним затруднен. Поэтому в четвертой главе рассматривается разработанный лично автором программный комплекс GWL - Geophysical Wavelet Library. Он является свободно распространяемым программным обеспечением с открытым кодом [89], где собраны воедино все рассмотренные в предыдущих главах методы поляризационного и дисперсионного анализа.

В пятой главе рассматриваются примеры применения предложенного программного комплекса для обработки экспериментальных сейсмограмм, относящихся как к ударным сейсмическим экспериментам, так и к записям землетрясений. Также на примере анализа записей колебаний электромагнитного поля Земли с нескольких наземных геомагнитных станций [90] показано, что предложенные методы поляризационного анализа имеют хороший потенциал в исследовании волн самой различной природы.

Результаты работы. Таким образом, на защиту выносятся следующие наиболее существенные научные результаты, полученные лично автором: а) метод определения спектрально-временных поляризационных параметров двухкомпонентных сигналов; б) два метода расчета спектрально-временных поляризационных параметров трехкомпонентных сигналов для случаев плоско-эллиптической и объемно-эллиптической поляризации; в) дисперсионный оператор, описывающий изменение непрерывного вейвлет-спектра волны при ее распространении в среде с дисперсией и диссипацией. Параметрами данного оператора являются частотные функции скоростей и диссипации волны, при этом рассмотрены случаи линейной и нелинейной диссипации; г) корреляционный метод "частотно-скоростного" анализа для определения фазовой скорости волн с несколькими волновыми модами; д) оптимизационный метод, позволяющий определять функции скоростей и затухания для единичной волны.

Научная новизна. Все предложенные в диссертации методы являются новыми. Кроме этого, данные методы обладают значительными преимуществами по сравнению с традиционными методами поляризационного и дисперсионного анализа: а) в отличие от метода комплексного следа, предложенный метод двух-компонентного поляризационного анализа более полно характеризует поляризационные свойства и является полностью обратимым, что позволяет строить на его основе эффективные алгоритмы фильтрации; б) в отличие от стандартного ковариационного метода, в предложенном адаптивном ковариационном методе анализа трехкомпонентных сигналов отсутствует проблема выбора временного окна; в) предложенный дисперсионный оператор позволил установить новую интерпретацию функций фазовой и групповой скоростей волны при ее распространении в среде с дисперсией; г) в отличие от традиционных методов / — к анализа, предложенный в работе новый корреляционный метод может использоваться не для всего сигнала, а только для определенных частотно-временных областей, соответствующих той или иной волне; д) в отличие от традиционных методов инверсии, предложенный оптимизационный метод работает в частотно-временном пространстве, что позволяет определить с высокой точностью функции фазовой и групповой скоростей, а также функцию затухания единичной волны по имеющейся пространственно-временной сейсмограмме.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечена строгой математической постановкой задачи, применением математически обоснованных методов решения, предельными переходами к известным частным случаям, детальным анализом тестовых синтетических сейсмограмм, а также сопоставлением результатов анализа с результатами, полученными другими методами.

Теоретическая ценность. Все предложенные методы являются фрагментами единого методологического подхода частотно-временного поляризационного и дисперсионного анализа волновых процессов. Эти методы в целом составляют вклад как в математическую теорию вейвлет-анализа, так и в математическое моделирование и методы количественного анализа физических параметров волнового процесса.

Практическая значимость. В рамках диссертационной работы разработан свободно распространяемый программный комплекс с открытым кодом, в котором собраны воедино все предложенные методы поляризационного и дисперсионного анализа. Данный комплекс может быть использован в экспериментальных исследованиях волновых процессов (например, при подготовке и проведении ультразвуковых и вибродиагностических экспериментов), при разработке новых методов волнового неразрушаю-щего контроля, а так же как составная часть систем обработки геофизических и сейсмических данных. Эффективность предложенных методов и программного обеспечения продемонстрирована на примере анализа экспериментальных вибродиагностических, сейсмических и геомагнитных данных.

Апробация работы. Методы, алгоритмы и программное обеспечение, предложенное в диссертационной работе, используется: а) в Центре анализа данных геомагнетизма и космического магнетизма университета г. Киото (Япония) для поляризационного анализа геомагнитных пульсаций [90]; б) в ИМСС УрО РАН как составная часть вибрационного мониторинга ответственных инженерных сооружений [91-93]; в) в Геофизическом исследовательском центре г. Потсдам (Германия) для определения поляризационных характеристик волн, представленных на сейсмограммах землетрясений [94]; г) в Геофизическом институте университета г. Потсдам при разработке методов автоматической классификации волн, представленных на сейсмограммах землетрясений [95]; д) в учебном процессе в рамках спецкурсов "Дополнительные главы теории упругости" [96] и "Современные проблемы механики" [97], проводимых на базе Научно-образовательного центра "Неравновесные переходы в сплошных средах" (г. Пермь) для студентов 5 курса и магистров 1 курса механико-математического факультета Пермского Государственного Университета.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях "AGU Fall Meeting" (San-Francisco, California, 2003 [98], 2004 [99], 2005 [100], 2006 [101], 2007 [102]); "EGU Joint Assembly" (Nice, France, 2003 [103], 2004 [104]); "Advanced Problems in Mechanics" (г. Санкт-Петербург, 2004 [105], 2005 [106], 2006 [107,108]); "CGU Joint Assembly" (Montreal, Canada, 2004 [109]); "SEG Annual Meeting" (Houston, Texas, 2005 [110]); "Зимняя школа по механике сплошных сред" (г. Пермь, 1999 [111], 2005 [112], 2007 [113]); "EAGE International Conference & Exhibition" (г. Санкт-Петербург, 2006 [114]); "International Conference on Scientific Computing" WORLDCOMP'07 (Las-Vegas, Nevada, 2007 [89]).

Связь исследований с научными программами. Исследования по тематике диссертации проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-96029-р-Урал-а, 03-01-00561), Немецкого фонда академических обменов DAAD (грант А-02-14086), Американского фонда гражданских исследований и развития CRDF (грант молодым ученым №Y2-P-09-04), а также Немецкого исследовательского общества DFG (проект DFG-1114 "Mathematical methods in time series analysis and image processing").

Заключение

В диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты: а) метод определения спектрально-временных поляризационных параметров двухкомпонентных сигналов; б) два метода расчета спектрально-временных поляризационных параметров трехкомпонентных сигналов для случаев плоско-эллиптической и объемно-эллиптической поляризации; в) дисперсионный оператор, описывающий изменение непрерывного вейвлет-спектра волны при ее распространении в среде с дисперсией и диссипацией. Параметрами данного оператора являются частотные функции скоростей и диссипации волны, при этом рассмотрены случаи линейной и нелинейной диссипации; г) корреляционный метод "частотно-скоростного" анализа для определения фазовой скорости волн с несколькими волновыми модами; д) оптимизационный метод, позволяющий определять функции скоростей и затухания для единичной волны.

Все предложенные методы являются фрагментами единого методологического подхода частотно-временного поляризационного и дисперсионного анализа волновых процессов и обладают рядом преимуществ по сравнению с традиционными алгоритмами анализа поляризационных и дисперсионных свойств волн: а) Использование в предложенных методах вейвлет-преобразования как одного из возможных подходов к спектрально-временному анализу позволяет обрабатывать и интерпретировать сейсмические волновые поля, для которых характерно большое количество волн различного типа с различным частотным составом, параметрами поляризации и протяженными зонами их интерференции. б) Поляризационные методы (2.15) и (2.17) являются полностью обратимым, так как исследуемый сигнал связан со своими поляризационными параметрами аналитически. На основе этого можно вычислять сигнал после манипуляции с его поляризационными параметрами, что позволяет строить эффективные алгоритмы фильтрации. Фильтрация с применением адаптивного ковариационного метода (2.21) осуществляется при помощи манипулирования вейвлет-коэффициентами сигнала. в) Предложенные поляризационные методы обладают большим потенциалом по фильтрации сигналов с использованием тех или иных поляризационных параметров. Различные варианты фильтрационных алгоритмов были подробно протестированы автором ранее в работах [61,62,64]. г) Все предложенные дисперсионные операторы (3.6)-(3.13), а также базирующиеся на их основе методы частотно-скоростного анализа (3.14)-(3.18) и оптимизационный метод (3.20)-(3.24) могут использоваться не для всего вейвлет-спектра, а только для определенных частотно-временных областей, соответствующих той или иной волне. Этим свойством не обладает традиционный подход (3.2), в котором волны с одинаковой частотой неразличимы. д) Дисперсионный оператор (3.9) записан в терминах фазовой и групповой скорости. Несмотря на то, что эти параметры однозначно определяются из функции волнового числа, переход к ним позволил получить новую математическую интерпретацию фазовой и групповой скорости (рис. 3.2). е) С помощью предложенного метода частотно-скоростного анализа (3.14)-(3.18) можно определять частотно-зависимые скорости волн, состоящих из нескольких волновых мод. В отличие от традиционных методов / — к анализа, которые требуют большого количества исходных сигналов для стабильного определения фазовой скорости, новый предложенный метод стабильно работает и в случае небольшого числа исходных сигналов. ж) Оптимизационный метод (3.20)-(3.24) может применяться как для вещественных сигналов, что соответствует случаю однокомпонентной записи, так и в общем случае для комплексных, соответствующих записи двух ортогональных компонент. з) Показана связь дисперсионного оператора с параметрами поляризации (3.13), что позволяет говорить о едином методе поляризационно-дисперсионного анализа в вейвлет-пространстве.

1. Aki К., Richards P. G. Quantitative seismology: 2nd Ed. Sausalito, CA: University Science Books, 2002.

2. Соколов К. 77. Геофизические методы разведки. Д.: Недра, 1966. 464 с.

3. Моги К. Предсказание землетрясений: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 382 с.

4. Кедров О. К. Сейсмические методы контроля ядерных испытаний. Институт физики Земли РАН, Институт стратегической стабильности Министерства РФ по атомной энергии М.; Саранск: Тип. "Красный Октябрь", 2005. 430 с.

5. Маловичко А. А., Маловичко Д. А., Голубева И. В., Иванова Ю. В. Природная и техногенная сейсмичность Урала // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2005, № 1. С. 9-18.

6. Явленский К. И., Явленский А. К. Вибродиагностика и прогнозирование качества механических систем. Д.: Машиностроение, 1983. 239 с.

7. Генкин М. Д., Соколова А. Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение, 1987. 288 с.

8. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981. 287 с.

9. Гринченко В. Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах. М.: Наука, 1981. 284 с.

10. Бирюков С. В., Гуляев Ю. В., Крылов В. В., Плесский В. П. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. М.: Наука, 1991.416 с.

11. Kolsky Н. Stress Waves in Solids. Oxford: Clarendon, 1953.

12. Маловичко А. А. Кинематическая интерпретация данных цифровой сейсморазведки в условиях вертикально-неоднородных сред. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. 270 с.

13. Левшин А. Л., Яновская Т. Б., Ландер А. В. Поверхностные сейсмические волны в горизонтально-неоднородной земле. М.: Наука, 1986. 278 с.

14. Берзон И. С. Сейсморазведка тонкослоистых сред. М.: Наука, 1976. 224 с.

15. Михайлов Д. Н., Николаевский В. Н. Тектонические волны ротационного типа с излучением сейсмических сигналов // Физика Земли. 2000, № 10. С. 3-10.

16. Проблемы нелинейной сейсмики. Отв. ред. А. В. Николаев, И. Н. -Галкин. М.: НаукаГГ987Г288 с.

17. Shieh C.-F., Herrmann R. В. Ground roll: Rejection using polarization filters // Geophysics. 1990. Vol. 55, №9. P. 1216-1222.

18. Алказ В. Г., Онофраш Н. И., Перелъберг А. И. Поляризационный анализ сейсмических колебаний. Кишинев: Штиинца, 1977. 110 с.

19. Reading А. М., Мао W., Gubbins D. Polarization filtering for automatic picking of seismic data and improved converted phase detection // Geophysical Journal International. 2001. Vol. 147, № 1. P. 227-234.

20. Samson J. C., Olson J. V. Data-adaptive polarization filters for multichannel geophysical data // Geophysics. 1981. Vol. 46, №10. P. 1423-1431.

21. Пасечник И. П. Характеристики сейсмических волн при ядерных взрывах и землетрясениях. М.: Наука, 1970. 192 с.

22. Любушин А. А. Вейвлет-пакетный поляризационный метод для автоматического детектирования вступлений Р и S-волн // Физика земли. 2006, № 4. С. 30-39.

23. Pisarenko V. F., Kushnir A. F., Savin I. V. Statistical adaptive algorithms for estimation of onset moments of seismic phases // Phys. Earth Planet. Interiors. 1987. Vol. 47. P. 4-10.

24. Deighan A. J., Watts D. R. Ground-roll suppression using the wavelet transform // Geophysics. 1997. Vol. 62, №6. P. 1896-1903.

25. S. H. Abdul-Jauwad M. F. Khene Two-dimensional wavelet-based ground roll filtering // 70th Annual International Meeting, SEG, Expanded Abstracts. 2000.

26. Wang Y., Singh S. C. Separation of P- and S-wavefield from wide-angle multicomponent OB С data for a basalt model // Geophysical Prospecting. 2003. Vol. 51. P. 233-245.

27. Shieh C.-F. Estimation of shear-wave splitting time using orthogonal transformation // Geophysics. 1997. Vol. 62, №2. P. 657-661.

28. Li X. L., Crampin S. Complex component analysis of shear wave splitting: theory // Geophysical Journal International. 1991. Vol. 107. P. 597-604.

29. Александров С. И. Поляризационный анализ сейсмических волн. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 142 с.

30. Гальперин Е. И. Поляризационный метод сейсмических исследований. М.: Недра, 1977. 277 с.

31. Perelberg А. I., Hornbostel S. С. Applications of seismic polarization analysis // Geophysics. 1994. Vol. 59, № 1. P. 119-130.

32. Обрежа В. H. О поляризации сейсмических волн // Информационный бюллетень конференции "Гальперинские чтения 2001: состояние и перспективы развития метода ВСП"(29-31 октября 2001, г. Москва, ОИФЗ РАН).

33. Vidale J. Е. Complex polarization analysis of particle motion // Bulletin of the Seismological Society of America. 1986. Vol. 76, №5. P. 13931405.

34. Smith B. D., Ward S. H. On the computation of polarization ellipse parameters // Geophysics. 1974. Vol. 39, №6. P. 867-869.

35. Rene R. M., Fitter J. L., Forsyth P. M., Kim K. Y., Murray D. J., Walters J. K., Westerman J. D. Multicomponent seismic studies using complex trace analysis // Geophysics. 1986. Vol. 51, № 6. P. 1235-1251.

36. Morozov I. В., Smithson S. B. Instantaneous polarization attributes and directional filtering // Geophysics. 1996. Vol. 61, №3. P. 872-881.

37. Flinn E. A. Signal analysis using rectilinearity and direction of particle motion // Proceedings of the IEEE. 1965. Vol. 53, № 12. P. 1874-1876.

38. Kanasewich E. R. Time Sequence Analysis in Geophysics, 3rd edn. The University of Alberta Press, Edmonton, Alberta, Canada, 1981. 480 p.

39. Землетрясения и микросейсмичность в задачах современной геодинамики Восточно-Европейской платформы / Под ред. Н. В. Шарова, А. А. Маловичко, Ю. К. Щукина. Кн. 1: Землетрясения. 2007. С. 381.

40. Prosser W. Н., Seale М. D., Smith В. Т. Time-frequency analysis of the dispersion of Lamb modes // The Journal of the Acoustical Society of America. 1999. Vol. 105, №5. P. 2669-2676.

41. Stockwell R. G., Mansinha L., Lowe R. P. Localization of the complex spectrum: the S transform // IEEE Transactions on Signal Processing. 1996. Vol. 44, №4. P. 998-1001.

42. Mallat S. A wavelets tour of signal processing. Academic Press, 1999. 637 p.

43. Чуй К. Введение в вейвлеты / пер. с англ. М.: Мир, 2001. 412 с.

44. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 464 с.

45. Holschneider М. Wavelets: an Analysis Tool. Oxford University Press, USA, 1995. 448 p.

46. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физ. наук. 1996. Т. 166, № 11. С. 1145-1170.

47. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53, № 6. С. 53-128.

48. Тоггепсе С., Compo G.P. A practical guide to wavelet analysis // Bulletin of the American Meteorological Society. 1998. Vol. 79, № 1. P. 61-78.

49. Дремин И M., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использование // Успехи физ. наук. 2001. Т. 171, № 5. С. 465-561.

50. Andria G., Savino М. Interpolated smoothed pseudo Wigner-Ville distribution for accurate spectrum analysis // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. 1996. Vol. 45, №4. P. 818-823.

51. Kodera K., Gendrin R., de Villedary C. Analysis of time-varying signals with small ВТ values // Phys. Earth Planet. Interiors. 1976. Vol. 12. P. 142-150.

52. Auger F., Flandrin P. Improving the readability of time-frequency and time-scale representations by the reassignment method // IEEE Transaction on Signal Processing. 1995. Vol. 43, №5. P. 1068-1089.

53. Lilly J. M, Park J. Multiwavelet spectral and polarization analyses of seismic records // Geophysical Journal International. 1995. Vol. 122, №3. p. Ю01-1021.

54. Claassen J. P. Robust bearing estimation for three-component stations // Pure and Applied Geophysics. 2001. Vol. 158, № 1. P. 349-374.

55. Paulssen H., Levshin A. L., Lander A. V, Snieder R. Time- and frequency-dependent polarization analysis: anomalous surface waveobservations in Iberia // Geophysical Journal International. 1990. Vol. 103, №2. P. 483^96.

56. RoueffA., Chanussot J., Mars J. I. Estimation of polarization parameters using time-frequency representations and its application to waves separation // Signal Processing. 2006. Vol. 86, № 12. P. 3714-3731.

57. Pinnegar C. R. Polarization analysis and polarization filtering of three-component signals with the time-frequency S transform // Geophysical Journal International. 2006. Vol. 165, №2. P. 596-606.

58. Schimmel M., Gallart J. The inverse S-transform in filters with time-frequency localization // IEEE Transactions on Signal Processing. 2005. Vol. 53, № 11. P. 4417-4422.

59. Soma N., Niitsuma H., Baria R. Reflection technique in time-frequency domain using multicomponent acoustic emission signals and application to geothermal reservoirs 11 Geophysics. 2002. Vol. 67, №3. P. 928-938.

60. Кулеш M. А., Диалло M. С., Холыинайдер M. Вейвлет-анализ эллиптических, дисперсионных и диссипативных свойств поверхностных волн Рэлея // Акустический журнал. 2005. Т. 51, № 4. С. 500-510.

61. Diallo М. S., Kulesh М., Holschneider М., Scherbaum F., Adler F. Characterization of polarization attributes of seismic waves using continuous wavelet transforms // Geophysics. 2006. Vol. 71, №3. P. V67-V77.

62. Diallo M. S., Kulesh M., Holschneider M., Scherbaum F. Instantaneous polarization attributes in the time-frequency domain and wavefield separation // Geophysical Prospecting. 2005. Vol. 53, №5. P. 723-731.

63. Diallo M. S., Kulesh M., Holschneider M., Kurennaya K., Scherbaum F. Instantaneous polarization attributes based on an adaptive approximate covariance method // Geophysics. 2006. Vol. 71, №5. P. V99-V104.

64. Kulesh M., Diallo M. S., Holschneider M., Kurennaya K., Krüger F., Ohrnberger M, Scherbaum F. Polarization analysis in the wavelet domain based on the adaptive covariance method // Geophysical Journal International. 2007. Vol. 170, №2. P. 667-678.

65. Кулеш M. А. Мгновенные поляризационные свойства трехкомпо-нентных сигналов в базисе вейвлетов // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2008. Т. 61, № 2. С. 115-129.

66. Campillo M., Singh S. K, Shapiro N., Pacheco J., Herrman R. B. Crustal structure south of the Mexican Volcanic Belt, based on group velocity dispersion // Geofísica Internacional. 1996. Vol. 35, №4. P. 361-370.

67. Shapiro N. M., GordeevA. V., Domínguez J. Average shear-wave velocity structure of the Kamchatka Peninsula from the dispersion of surface waves // Earth Planets Space. 2000. Vol. 52, №9. P. 573-577.

68. Buttkus B. Spectral Analysis and Filter Theory in Applied Geophysics. Springer-Verlag, 2000.

69. Keilis-Borok V. I. Seismic Surface Waves in Laterally Inhomogeneous Earth. Kluwer Academic Publishers, 1989.

70. Lay T., Wallace T. C. Modern Global Seismology. Academic Press, 1995.

71. Udias A. Principles of Seismology. Cambridge University Press, 1999.

72. Dziewonski A., Block S., Landisman M. A technique for the analysis of transient seismic signals 11 Bulletin of the Seismological Society of America. 1969. Vol. 59, № 1. P. 427-^44.

73. Herrmann R. B. Some aspects of band-pass filtering of surface waves // Bulletin of the Seismological Society of America. 1973. Vol. 63, №2. P. 663-671.

74. Xia J., Miller R. D., Park C. B. Estimation of near-surface shear-wave velocity by inversion of Rayleigh waves // Geophysics. 1999. Vol. 64, №3. P. 691-700.

75. Levshin A. L., Pisarenko V. E, Pogrebinsky G. A. On a frequency-time analysis of oscillations I I Annales Geophysicae. 1972. Vol. 28. P. 211218.

76. Abbate A., Frankel J., Das P. Wavelet transform signal processing for dispersion analysis of ultrasonic signals // IEEE Ultrasonic Symposium. 1995. Vol. 1. P. 751-755.

77. Niethammer M., Jacobs L. J., Qu J., Jarzynski J. Time-frequency representations of Lamb waves // The Journal of the Acoustical Society of America. 2001. Vol. 109, №5. P. 1841-1847.

78. Pedersen H. A., Mars J. I., AmblardP.-O. Improving surface-wave group velocity measurements by energy reassignment // Geophysics. 2003. Vol. 68, №2. P. 677-684.

79. Rost S., Thomas Ch. Array seismology: methods and applications // Reviews of Geophysics. 2002. Vol. 40, №3. P. 2-1 2-27.

80. Burg J. P. Three-dimensional filtering with an array of seismometers // Geophysics. 1964. Vol. 29, №5. P. 693-713.

81. Capon J. High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis // Proceedings of the IEEE. 1969. Vol. 57, №8. P. 1408-1418.

82. Schmidt R., Franks R. Multiple source DF signal processing: An experimental system // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1986. Vol. 34, №3. P. 281-290.

83. Kulesh M., Holschneider M., Diallo M. S., Xie Q., Scherbaum F. Modeling of wave dispersion using continuous wavelet transforms // Pure and Applied Geophysics. 2005. Vol. 162, №5. P. 843-855.

84. Kulesh M., Holschneider M., Ohrnberger M., Luck E. Modeling of wave dispersion using continuous wavelet transforms II: wavelet based frequency-velocity analysis // Pure and Applied Geophysics. 2008. Vol. 165, №2. P. 255-270.

85. Holschneider M., Diallo M. S., Kulesh M., Ohrnberger M., Luck E., Scherbaum F. Characterization of dispersive surface waves using continuous wavelet transforms // Geophysical Journal International. 2005. Vol. 163, №2. P. 463-478.

86. Kulesh M., Nose M., Holschneider M., Yumoto К Polarization analysis of a Pi2 pulsation using continuous wavelet transform // Earth Planets Space. 2007. Vol. 59, №8. P. 961-970.

87. Кулеш M. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Использование вейвлет-анализа для обработки экспериментальных данных вибродиагностики инженерных сооружений // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003, № 6. С. 100-106.

88. Матвеенко В. П., Шардаков И. Н., Судаков А. И., Кулеш М. А., Цветков Р. В. Способ оценки остаточного ресурса автомобильного моста // Патент РФ №2299410. 2007.

89. Матвеенко В. П., Шардаков И. Н., Судаков А. И., Кулеш М. А., Цветков Р. В. Способ мониторинга автомобильного моста // Патент РФ №2317534. 2008.

90. Pacor F., Bindi D., Luzi L., Parolai S., Marzorati S., Monachesi G. Characteristics of strong ground motion data recorded in the Gubbiosedimentary basin (Central Italy) // Bulletin of Earthquake Engineering. 2007. Vol. 5, № 1. P. 27-43.

91. Riggelsen C., Ohrnberger M., Scherbaum F. Dynamic Bayesian networks for real-time classification of seismic signals // in: Knowledge Discovery in Databases (PKDD). 2007. P. 565-572.

92. Кулеш M. А., Шардаков И. H. Волновая динамика упругих сред: метод, материал к спецкурсу "Дополнительные главы теории упругости". Пермь: Перм. ун-т, 2007. 60 с.

93. Корепанов В. В., Кулеш М. А., Шардаков И. Н. Использование вейвлет-анализа для обработки экспериментальных вибродиагностических данных: метод, материал к спецкурсу "Современные проблемы механики". Пермь: Перм. ун-т, 2007. 64 с.

94. Diallo М. S., Holschneider М., Scherbaum F., Kulesh М. Characterization of dispersive Rayleigh waves using wavelet transform // Eos. Trans. AGU, 84(46), Fall Meet. Suppl., Abstract S22B-0442. 2003.

95. Diallo M. S., Kulesh M., Holschneider M., Scherbaum F. Instantaneous polarization attributes in the time-frequency domain: application to wave field separation // Eos Trans. AGU, 85(47), Fall Meet. Suppl., Abstract S31B-1063. 2004.

96. Kulesh M., Nose M., Holschneider M. Polarization analysis of Pi2 pulsations using continuous wavelet transform // Eos Trans. AGU, 87(52), Fall Meet. Suppl., Abstract SM43D-02. 2006.

97. Kulesh M., Holschneider M. Geophysical wavelet library: applications of the continuous wavelet transform to the polarization and dispersion analysis of signals // Eos Trans. AGU, 88(52), Fall Meet. Suppl., Abstract S43B-1300. 2007.

98. Diallo M. S., Holschneider M., Kulesh M., Scherbaum F., Adler F Characterization of the Rayleigh wave polarization attributes with continuous wavelet transform // Geophysical Research Abstracts. 2003. Vol. 5, №11237.

99. Kulesh M., Holschneider M., Diallo M. S., Kurennaya K. Elliptic properties of elastic surface waves in wavelet domain // Proceedings of the XXXIII International Summer School "Advanced Problems in Mechanics". 2005. P. 361-366.

100. Kulesh M. A., Grekova E. F., Shardakov I. N. Rayleigh waves in the isotropic and linear, reduced Cosserat continuum // Proceedings of the XXXIX International Summer School "Advanced Problems in Mechanics". 2006. P. 290-296.

101. Diallo M. S., Kulesh M., Holschneider M., Kurennaya K, Scherbaum F. Estimating polarization attributes with an adaptive covariance method in the wavelet domain // SEG Technical Program Expanded Abstracts. 2005. P. 1014-1017.

102. КулешM. А., ШардаковИ. H. Применение вейвлет-анализак вибродиагностике ответственных инженерных сооружений // Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН. 1999. С. 205.

103. Кулеш М. А., Хольшнайдер М., Диалло М., Куренная К. Эллиптические свойства поверхностных упругих волн в пространстве вейвле-тов // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. С. 100.

104. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах. М.: Мир, 1983. 134 с.

105. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam; London: North-Holland publishing company, 1973. 443 p.

106. Лурье А. И. Теория упругости. M.: Наука, 1970. 939 с.

107. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

108. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

109. Дъелесан. Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов: пер. с франц. М.: Наука, 1982. 424 с.

110. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Вып. 1. М.: Мир, 1971.316 с.

111. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

112. Блейхуд Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1998. 448 с.

113. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). СПб.: Лань, 2003. 832 с.

114. Гоголадзе В. Г. Отражение и преломление упругих волн. Общая теория граничных волн Рэлея // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1947. Т. 125. С. 1-43.

115. Cheeke J., David N. Fundamentals and Applications of Ultrasonic Waves. CRC Press LLC, 2002.

116. Берзон И. С., Епинатъева А. М., Парийская Г. Н., Стародубровская С. П. Динамические характеристики сейсмических волн в реальных средах. М.: Изд. АН СССР, 1962. 511 с.

117. Wang Yanghua, Guo Лап. Modified Kolsky model for seismic attenuation and dispersion // Journal of Geophysics and Engineering. 2004, № 1. P. 187-196.

118. Jones T. D. Pore fluids and frequency-dependent wave propagation in rocks // Geophysics. 1986. Vol. 51, № 10. P. 1939-1953.

119. Lu Jian-Fei, Hanyga Andrzej. Numerical modelling method for wave propagation in a linear viscoelastic medium with singular memory // Geophysical Journal International. 2004. Vol. 159, №2. P. 688-702.

120. Винник Л. П. Сейсмические свойства мантийных плюмов // Проблемы глобальной геодинамики. Сб. статей под ред. акад. Д. В. Рундквиста. 2000, № 1. С. 104-110.

121. Nigbor R. L. Six-degree-of-freedom ground-motion measurement // Bulletin of the Seismological Society of America. 1994. Vol. 84, №5. P. 1665-1669.

122. Igel H., Schreiber U., Flaws A., Schuberth В., Velikoseltsev A., Cochard A. Rotational motions induced by the M8.1 Tokachi-oki earthquake, September 25, 2003 // Geophysical research letters. 2005. Vol. 32. P. L08309.

123. Савин Г. H., Лукашов А. А., Лыско E. M., Времеенко С. В., Ага-съев Г. Г. Распространение упругих волн в континууме Коссера со стесненным вращением // Прикладная механика. 1970. Т. 6, № 6. С. 37-41.

124. Cosserat Е., CosseratF. Theorie des corps deformables. Hermann, Paris, 1909.

125. Schwartz L. M., Johnson D. L., Feng S. Vibrational modes in granular materials // Physical Review Letters. 1984. Vol. 52, № 10. P. 831-834.

126. Eringen A. C. Microcontinuum Field Theories. I. Foundation and Solids. Springer-Verlag New York, 1998. 319 p.

127. Лялин А. Е., Пирожков В. А., Степанов Р. Д. О распространении поверхностных волн в среде Коссера // Акустический журнал. 1982. Т. 28, № 6. С. 838-840.

128. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера // Прикладная механика и техническая физика. 2005. Т. 46, № 4. С. 116-124.

129. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Дисперсия и поляризация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера // Известия РАН, Механика твердого тела. 2007, № 4. С. 100-113.

130. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Доклады академии наук. 2005. Т. 405, № 2. С. 196-198.

131. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Акустический журнал. 2006. Т. 52, № 2. С. 227-235.

132. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Улитин М. В., Шардаков И. Н. Анализ волнового решения уравнений эластокинетики среды Коссера в случае плоских объемных волн // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49, № 2. С. 196-203.

133. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И. Н. Построение аналитического решения волны Лэмба в рамках континуума Коссера // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48, № 1. С. 143-150.

134. Новиков Л. В. Основы вейвлет-анализа сигналов: учеб. пособие. СПб.: МОДУС+, 1999. 152 с.

135. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПб ГТУ, 1999. 132 с.

136. Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: ВУС, 1999. 208 с.

137. Захаров В. Г. Вейвлет-анализ: теория и приложения: учеб. пособие. Ч. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование. Пермь: Изд-во ПТУ, 2003. 100 с.

138. Taner M. Т., Koehler F., Sheriff R. E. Complex seismic trace analysis // Geophysics. 1979. Vol. 44, №6. P. 1041-1063.

139. Бендат Дж., ПирсолА. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. 540 с.

140. Schimmel М., GallartJ. The use of instantaneous polarization attributes for seismic signal detection and image enhancement // Geophysical Journal International. 2003. Vol. 155, №2. P. 653-668.

141. Montalbetti J. R., Kanasewich E. R. Enhancement of teleseismic body phases with a polarization filter // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. 1970. Vol. 21. P. 119-129.

142. Esmersoy C. Polarization analysis, rotation and velocity estimation in three-component VSP // in M. N. Toksoz, and R. R. Stewart, eds. Vertical seismic profiling, part B: Advanced concepts: Geophysical Press. 1984. P. 236-255.

143. Jurkevics A. Polarization analysis of three-component array data I I Bulletin of the Seismological Society of America. 1988. Vol. 78, №5. P. 1725-1743.

144. Jackson G. M, Mason I. M., Greenhalgh S. A. Principal component transforms of triaxial recordings by singular value decomposition // Geophysics. 1991. Vol. 56, №4. P. 528-533.

145. Bai C.-Y., Kennett B. L. N. Phase identification and attribute analysis of broadband seismograms at far-regional distances // Journal of Seismology. 2001. Vol. 5, №2. P. 217-231.

146. Nakamura Y. A method for dynamic characteristics estimation of subsurface using microtremor on the ground surface // Quarterly Report of Railway Technical Research Institute. 1989. Vol. 30, № 1. P. 25-33.

147. Fah D., Kind F, GiardiniD. A theoretical investigation of average H/V ratios // Geophysical Journal International. 2001. Vol. 145, №2. P. 535549.

148. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. Т., Flannery B. P. Numerical Recipe in С: The Art of Scientific Computing, 2nd edn. Cambridge University Press, 1992. 1020 p.

149. Lachet C., Bard P. Y. Numerical and theoretical investigations on the possibilities and limitations of Nakamura's technique // Journal of Physics of the Earth. 1994. Vol. 42. P. 377-397.

150. Scherbaum F., Hinzen K.-G., Ohrnberger M. Determination of shallow shear wave velocity profiles in the Cologne, Germany area using ambient vibrations // Geophysical Journal International. 2003. Vol. 152, №3. P. 597-612.

151. Park J., Vernon F. L., Lindberg С. R. Frequency dependent polarization analysis of high-frequency seismograms // Journal of Geophysical Research. 1987. Vol. 92, №B12. P. 12664-12674.

152. Кулеш M. А. Использование вейвлет-анализа для определения поляризационных свойств и фильтрации двухкомпонентных сигналов. Пермь: ИМСС УрО РАН Деп. в ВИНИТИ 14.03.08 №223-В2008, 2008. 29 с.

153. Herrmann R. В. Computer programs in seismology // Saint Louis University, Version 3.0. 1996.

154. Chassande-Mottin E. Méthode de réallocation dans le plan temps-fréquence pour l'analyse et le traitement des signaux non stationnaires // Ph.D. Thesis, University of Cergy-Pontoise France. 1998.

155. Borum S., Jensen K. Additive analysis/synthesis using analytically derived windows // Proc. DAFx-99, Trondheim, Norway, December 1999, Norwegian University of Science and Technology (NTNU) and COST. 1999. P. 125-128.

156. Кулеш M. А. Расчет мгновенных поляризационных свойств трех-компонентных сигналов на основе вейвлет-преобразования. Пермь: ИМСС УрО РАН Деп. в ВИНИТИ 14.03.08 №224-В2008, 2008. 25 с.

157. Cliet С., Dubesset M. Three-component recordings: Interest for land seismic source study // Geophysics. 1987. Vol. 52, №8. P. 1048-1059.

158. Benhama A., Cliet C., Dubesset M. Study and applications of spatial directional filtering in three-component recordings // Geophysical Prospecting. 1988. Vol. 36, №6. P. 591-613.

159. Gherasim M., Hoelting C., Marfurt K. Fort Worth Basin 2-D elastic synthetic depth model // SEG Technical Program Expanded Abstracts. 2004. Vol. 23, № 1. P. 1893-1896.

160. Kjartansson E. Constant Q-wave propagation and attenuation // Journal of Geophysical Research. 1979. Vol. 84, №B9. P. 4737-4748.

161. Turner G., Siggins A. F. Constant Q attenuation of subsurface radar pulses // Geophysics. 1994. Vol. 59, №8. P. 1192-1200.

162. Кулеш М. А. Моделирование распространения волн в среде с дисперсией и диссипацией с использованием вейвлет-преобразования. Пермь: ИМСС УрО РАН Деп. в ВИНИТИ 14.03.08 №225-В2008, 2008. 29 с.

163. Song S., Innanen К. Multiresolution modeling and seismic wavefield reconstruction in attenuating media // Geophysics. 2002. Vol. 67, №4. P. 1192-1201.

164. Кулеш M. А. Определение дисперсионных параметров волн с применением непрерывного вейвлет-преобразования. Пермь: ИМСС УрО РАН Деп. в ВИНИТИ 14.03.08 №226-В2008, 2008. 39 с.

165. Maraun D., Kurths J., Holschneider М. Nonstationary Gaussian processes in wavelet domain: Synthesis, estimation, and significance testing // Physical Review E (Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics). 2007. Vol. 75, № 1. P. 016707.

166. Gurley K, Kijewski Т., Kareem A. First- and higher-order correlation detection using wavelet transforms // Journal of Engineering Mechanics. 2003. Vol. 129, №2. P. 188-201.

167. Kirkpatrick S., Gelatt C. D., Vecchi M. P. Optimization by simulated annealing I I Science. 1983. Vol. 220, №4598. P. 671-680.

168. Lai C. G., Rix G. J. Simultaneous inversion of Rayleigh phase velocity and attenuation for near-surface site characterization // School of Civil and Environmental Engineering, Georgia Institute of Technology. 1998, № GIT-CEE/GEO-98-2.

169. Fernández G., Periaswamy S., Sweldens Wim LIFTPACK: A software package for wavelet transforms using lifting // Wavelet Applications in Signal and Image Processing IV, Proc. SPIE 2825. 1996. P. 396-^08.

170. MisitiM., Misiti Y, Oppenheim G., PoggiJ.M. Matlab Wavelet Toolbox (Version 4.0): Tutorial and Reference Guide. The Mathworks, Natick, USA, 2007.

171. MusserD. STL Tutorial & Reference Guide: С++ Programming with the Standard Template Library. Addison-Wesley Pub. Co., Reading, Mass., USA, 1996. 400 p.

172. Frigo M., Johnson S. G. FFTW: an adaptive software architecture for the FFT // Proceedings of the 1998 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. 1998. Vol. 3. P. 1381-1384.

173. Потемкин В. MATLAB 6: Среда проектирования инженерных приложений. М.: Диалог-МИФИ, 2003. 448 с.

174. Nosé М. Automated detection of Pi2 pulsations using wavelet analysis: 2. An application for dayside Pi2 pulsation study // Earth Planets Space. 1999. Vol. 51, №1. P. 23-32.

175. Lester M., Hughes W. J., Singer H. J. Polarization patterns of Pi2 magnetic pulsations and the substorm current wedgee // Journal of Geophysical Research. 1983. Vol. 88. P. 7958-7966.

176. Lester M., Hughes W. J., Singer H. J. Longitudinal structure in Pi2 pulsations and the substorm current wedge // Journal of Geophysical Research. 1984. Vol. 89. P. 5489-5494.

177. Троицкая В. А., Гулъелъми А. В. Геомагнитные пульсации и диагностика магнитосферы // Успехи физ. наук. 1969. Т. 97, № 3. С. 453494.

178. Kosaka К., Iyemori T., Nosé M., Bitterly M., Bitterly J. Local time dependence of the dominant frequency of Pi2 pulsations at mid- and low-latitudes // Earth Planets Space. 2002. Vol. 54, №7. P. 771-781.

179. Han D., Iyemori T., Gao Y., Sano Y., Yang F., Li W., Nosé M. Local time dependence of the frequency of Pi2 waves simultaneously observed at 5 low-latitude stations // Earth Planets Space. 2003. Vol. 55, № 10. P. 601612.

180. Nosé M., Liou К., Sutcliffe P. R. Longitudinal dependence of characteristics of low-latitude Pi2 pulsations observed at Kakioka and Hermanus // Earth Planets Space. 2006. Vol. 58, №6. P. 775-783.

181. Beaty K. S., Schmitt D. R. Repeatability of multimode Rayleigh-wave dispersion studies // Geophysics. 2003. Vol. 68, №3. P. 782-790.

182. DESERT-Group Multinational geoscientific research kicks off in the Middle East I I Eos, Transactions, American Geophysical Union. 2000. Vol. 81, №50. P. 609,616-617.

183. On-line Bulletin International Seismological Centre // http://www.isc.ac.uk, Internatl. Seis. Cent., Thatcham, United Kingdom. 2001.

184. Hadiouche O., Kriiger F., Kind R. Mapping the crust in southeastern Germany using Rayleigh waves in the period range 6-16 s // Geophysical Research Letters. 1991. Vol. 18, №6. P. 1087-1090.

185. Schmidt R. O. A signal subspace approach to multiple emitter location and spectral estimation. // PhD Thesis. Stanford University, CA. 1981.

186. Schmidt R. Multiple emitter location and signal parameter estimation // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1986. Vol. 34, №3. P. 276-280.

187. Wax M., Kailath T. Detection of signals by information theoretic criteria // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1985. Vol. 33, №2. P. 387-392.

188. Akaike H. Information theory and an extension of the maximum likelihood principle // 2nd. International Symposium on Information Theory. 1973. P. 267-281.

189. Forbriger T. Inversion of shallow-seismic wavefields: I. Wavefield transformation// Geophysical Journal International. 2003. Vol. 153, №3. P. 719-734.

190. Forbriger T. Inversion of shallow-seismic wavefields: II. Inferring subsurface properties from wavefield transforms // Geophysical Journal International. 2003. Vol. 153, №3. P. 735-752.