автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка методов асимптотического анализа случайных полей и их применения в методах Монте-Карло и задачах надежности

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОБНИНСКИЙ ИНСТИТУТ АТОМНОЙ "ЭНЕРГЕТИКИ

На прамх рукописи УДК 519.24:621.039.58

егишянц Сергей альбертович с

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В МЕТОДАХ МОНТЕ - КАРЛО И ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

автореферат

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико - математических иаук

ООниигь IУ!)7

Работа выполнена на кафедре Прикладной Математики Обнинского Института Атомной Энергетики

Научный руководитель: кандидат физико - математических наук, доцент Е. И. Островский

Официальные оппоненты: доктор физико - математических иаук П. А. Ацдросенко кандидат физико - математических наук В. П. Носко

Защита состоится 6 ^^ 1997 г. в 14.00 часов

на заседании диссертационного Совета К 064.27.01 в Обнинском Институте Атомной Эпергетнки по адресу: 249020, Калужская область, г.Обницск, Студгородок 1, Зал Ученого Совета ИАТЭ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИАТЭ.

Ведущая организация: Киевский Политехнический Институт

Автореферат разослал

1997 г.

!еный секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

А. И. Перегуда

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В прикладных задачах часто возникает необходимость оценить распределение максимума случайного процесса или поля, семейства случайных процессов или полей и их модулей непрерывности, а также максимума нормированной суммы случайных полей с экспоненциальными или степенными "хвостами" распределений.

В качестве примера можно указать вычисление таких основных показателей надёжности, как средняя наработка на отказ, параметр потока отказов, а ташке коэффициенты готовности и технического использования. Все эти показатели представляют собой математические ожидания пекоторых случайных величин, параметры распределения которых, вообще говоря, зависят от времени и, кроме того, измеряются статистическими методами. Поэтому для расчёта вышеуказанных показателей надёжности необходимо вычислить интеграл, зависящий от многомерного параметра. Кап правило, в таких случаях интегрирование проводится с помощью параметрического метода зависимых испытаний. При этом интеграл вычисляется в конечной сетке значений параметра, а в остальных точках его значение аппроксимируется тем или иным способом. Погрешность такой аппроксимации представляет собой случайное поле, вычисление распределения которого сводится к выводу распределения глобального ( пля локального ) модуля непрерывности.

Аналогичные проблемы возникают в пекоторых задачах диагностики ЯЭУ, теории шероховатости поверхностей и других задачах, в процессе решения которых

возникает необходимость оцепить распределения сумм сильно зависимых случай/

них полей, для чего нужно исследовать кратные стохастические интегралы Ито -Випера. Вычисление асимптотик указанных интегралов сводится к задаче нахождения спектра некоторого интегрального оператора, решаемой с помощью методов Монте - Карло.

Далее, при обработке статистики отказов оборудования требуется оцепить функцию распределения случайной величины. При построении доверительного интервала для такой оценки необходимо знать распределение максимума модуля нормированной разности эмпирической и истинной функций распределения. Кроме того, знание этого распределения нужно во многих задачах проверки статистических гипотез ( к примеру, в критериях согласия ). Между тем, указанная разность представляет собой семейство случайных процессов ( или полей, если оцеппвается функция распределения случайного вектора ), зависящих от большого параметра - числа испытаний п, и, следовательно, даппая задача свелась к одной из упомянутых в начале этого раздела.

Можно также упомянуть часто встречающийся в теории падёжпости показатель, обратный времени наработки па отказ, то есть случайной величине, имеющей Гамма - распределение или распределение Вейбулла, поэтому "хвост" её распределения имеет степенной порядок, а для оценки распределения нормированной суммы числа отказов, а также времени выхода какого-либо параметра работоспособности за пределы допустимой области, следует попользовать центральную или даже устойчивую предельную теорему в функциональном пространстве, либо выводить неасимптотические оценки распределепия равномерной пормы уклонения нормированной суммы. Подобные задачи нередко возникают в моделях процесса накопления повреждений и "параметр - поле допуска".

Указанные задачи решались в самых разных постановках многими авторами, одпако чаще всего ими рассматривались лишь некоторые частные случаи ( прежде всего, гауссовский и марковский процессы ). В тех же немпогих работах, где задачи ставились в общем виде, полученные результаты были относительно грубыми, то есть можно привести примеры конкретных процессов, для которых выведенные общие оценки не совпадали с известными для этих частных случаев точными оценками даже по порядку. Кроме того, не были доказаны устойчивые предельные

теоремы в пространстве непрерывных фупкций и в пространстве функций без разрывов второго рода, Наконец, отсутствовали неаспмнтотические оценка распределения равномерной нормы уклонепия нормированных сумм случайных процессов со степенными "хвостами" распределения.

Цель работы.

Целью диссертации является решение задач оценивапия распределения максимума случайного процесса или поля, семейства случайных процессов или полей и их модулей непрерывности в достаточно общей постановке, причём выводимые оценки в известных частных случаях должны совпадать с точпымп. Полученные результаты используются при выводе некоторых предельпых теорем для случайных процессов и полей в функциональных пространствах, а также в моделях процесса накопления повреждений и "параметр - поле допуска", при оцепиванип погрешности сплайн-аппроксимации интегралов, зависящих от параметра, и при вычислении доверительных грапиц в методе зависимых испытаний для кратных параметрических интегралов в случае бесконечной дисперсии.

Научная новизна работы:

• выведены асимптотики и оценки распределения локальных и глобальных изотропных и анизотропных модулей непрерывности произвольных (пегауссо-вскпх) случайных полей и максимумов параметрических семейств случайных полей с копечпыми экспоненциальными моментами;

• доказана центральная предельная теорема в пространствах Гёльдера С0, устойчивая предельная теорема в пространстве непрерывных функций С и устойчивый принцип инвариантности в пространстве функций без разрывов второго рода В;

• получены оценки погрешности аппроксимации широких классов случайных

полей и интегралов, зависящих от параметра, случайными обобщёнными линейными сплайнами;

• предложен конструктивный алгоритм оценивания погрешности метода зависимых испытаний для кратных параметрических интегралов с бесконечной дисперсией.

Практическая значимость работы:

• обобщены методы построения доверительных интервалов в задачах статистики и методов Мойте-Карло для случаев многомерного параметра, а также для произвольных (негауссовских) случайных полей;

• описано использование выводимых оценок распределения функционалов от случайных полей в различных моделях теории надёжности;

• получены оценки погрешности аппроксимации широких классов параметрических интегралов случайными обобщёнными линейными сплайнами;

• предложен конструктивный алгоритм оценивания погрешности метода зависимых испытаний для кратных параметрических иптегралов с бесконечной дисперсией.

На защиту выносятся:

• асимптотики и оценки распределения модулей непрерывности случайных полей, максимумов семейств случайных полей, зависящих от параметра, и их применение в методе Монте-Карло и статистике;

• центральная предельная теорема в пространствах Гёльдера С0, устойчивая предельная теорема в пространстве непрерывных функций С и устойчивый

принцип инвариантности в пространстве функций без разрывов второго рода Ю и их применение в моделях процесса накопления повреждений и "параметр - поле допуска" и других задачах теории надёжности;

• сплайн-аппрокспмацня интегралов, зависящих от параметра;

• оценка погрешности метода зависимых испытаний для кратных параметрических интегралов с бесконечной дисперсией и её применение в задачах диагностики ЯЭУ и теории шероховатости.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались:

• на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарёва, Казань, 1994;

• на международной конференции, носвящёнпой 175-летию со дня рождения П.Л.Чебишева, Москва, 1996;

• па международной конференции "Теория и приложения методов малого параметра", посвяшёнпой 90-летию со для рождения академика А.Н.Тихонова, Обнинск, 1996.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 5 статей.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа изложена па 121 странице, в том числе основного текста 95 страниц, 2 рисунка, библиографический список из 61 наименования па 8 страницах.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, определяется цель и описывается состояние вопроса.

Глава X посвящена выводу оценок распределении и изучению асимптотического поведения локальных и глобальных модулей непрерывности, а также максимумов семейств случайных полей, зависящих от параметра. В первой части этой главы находятся локальные и глобальные верхние функции, то есть такие детерминированные функции f(6) и д(5), что

V-o Ш) ) V-» )

где u(tf) и Д(<5) - соответственно локальный и глобальный модуль непрерывности:

«(«)= sup

i06T\<i((,!<>)<«

д(б)= SUP |i(0-iWI-

t,»6T,J(t,.)<t

Для пронормированных с помощью этих .верхппх функций модулей непрерывности выводятся далее экспоненциальные оценки распределения (как сверху, так и снизу).

Большая часть работ по этому вопросу посвящена гауссовскому случаю, а оценки, полученные для более широких классов случайных полей, не являются • оптимальными при их применении к гауссовским процессам или полям. В даппой диссертации выведены локальные н глобальные верхпие функции для произвольных случайных полей (с.п.) £(<), t 6 Т с конечными экспоненциальными моментами, то есть удовлетворяющих условию Крамера равномерно по t е Т:

шах sup

< оо,

* i ег

Л € (-А0, АД Л0 > 0. Тогда на интервале А € (-Ао, А0) определена функция

(¿>(А) = шах supin Ее±Х&\ ± ,6г

Для решения поставленной задачи использована новая техника банаховых пространств случайных величин Б(у>), разработанная Е. И. Островским1.

Согласно этим работам, с помощью функции у>(А) вводится банахово пространство случайных величин £(í) в каждой точке t с нормой

Hi (1)|| = max вир-i—m--1-.

* А/О И|

Обозначии d(t,a) = ||£(í) - у>*(*) = sup (Ах - <?(А)), »(и) = 1/ (tty*'(u)).

Наименьшее число d - шаров радиуса с > 0, покрывающих некоторое подмножество S пространства T,S СТ, обозначается N(S, d, е). Энтропией множества S называется функция H{S, d, б) = 1 nN(S,d,e). Наконец, через M(S, d, е) обозначается ёмкость множества 5, то есть наибольшее число непересекающихся d - шаров радиуса е > 0, полностью лежащих в S. Пусть B(t0,d,S) = {í € T,d(t,to) < 6} -¿-шар радиуса 6 с центром в точке ¿о- С.п. ((t) называется локально однородным в фиксированной точке <0, если для любого с > 0

h(e) = sup H(B(t0, d, S), d, Se) < oo. «>o

Поле í(í) называется локально однородным на всём множестве Г, если для любого £ > 0 '

Н(е) = sup Л(е) = sup sup H(B(t0, d, ¿), d, Se) < oo. to€T toer s>о .

Если, к примеру, T - ограниченное выпуклое подмножество Rk и

d(t, s) ~ do\t - s j" при ( - a г» 0, о > 0, d¡» - константа,

1 Е. И. Островский. Обобщение нормы Булдыгина - Коэаченко и центральны предельна* теорема в банаховом пространстве // Теор. »ер. и её пркмен. - 1982. - т.27. - вып.З. - с. 618.

Ю. В. Козаченко, Е. И. Островский. Банаховы пространства случайных величин типа субгауссовских // Теор. вер. и мат. стат. - Киев, КГУ. - 1885. - в.32. - с. 42 - 53.

Но' + - 1п - < Л(с) < Ще) < Но* + - 1п - .

а £ ■ а е

Предполагается, что при ||£(/)|| = 1 существует неотрицательная непрерывная выпуклая функция такая, что ((0) = 0 и при этом

||£(0+«а)||<2(1-С(Ш*)-«»)И))-

Пусть Г п С - две сг-алгебры. Коэффициентом сильного перемешивания называется величина а{Р, О) = вир \Р(АВ) — Р(А)Р(В)\.

леквес

Пусть 6„ - неотрицательная монотоппо убывающая числовая последовательность, ¿„ —♦ 0 при п —» оо. Обозначим через ат наименьшую «т-алгебру, порождённую всеми значениями с.п. при I 6 Т и ¿{1,10) > 8т, где 10 - заданная точка, € Т, то есть

= <7{{(0, I € Г, ¿(Мо) >«*.}•

Аналогично определим

<7"=<7{£(0, ¿6 Т, ¿(Мо)<<У-

Здесь тп <п. Будем обозначать через а(ш,п) величину а(сгт,а"). Положим

Д6) = V"' (1п + д(6) = 46^'" (н (Т,с1,ё) + 1п (к 1 + е)) .

Осповные результаты даппого раздела сформулированы в ряде теорем.

Теорема 1.1 Пусть с.п. £(<) локально однородно в точке <0 6 Т и

1

/Ых )с1х

.. < оо.

«

у-ЧЧ*))

о

Тогда

в-о /(<5)

При этом Vu > г/о > О

Pjß{u) = Р { sup ^ > и) < Xl(u)C-V*(^«), \se(o,i) Пд> J

где С\ - постоянная, не зависящая от и, Vi(u) = °(<Р'(и)) пРи и—*оо.

Теорема 1.2 Пусть с.п. локально однородно в точке to £ Т и выполнены

условия

' h(e)~H{e), £->0, <(х) = С2х\ 7>1,

ф(и) = inf P(((t) > u)exp(ip-(u)) > 0, |lni/'(w)l = o(ip"(u)) при и —> 00. Пусть далее 3ß < 1 и С'з такие, что а(т,п) < Сз0п~ т. Тогда с вероятностью 1

тг-Цг) lim ~ > 1. i-o f(S)

Теорема 1.3 Пусть с.п. £(t) локально однородно на множестве Т и сходится

интеграл

H(x)dx

Тогда

При этом

6-0 д{&)

^«€(0,1) у

где С4 - постоянная, не зависящая от и, хЛи) ~ °{'р"(и)) пРи и оо.

Рассмотрим важгшй частный случай так называемых пространств когда ^( ■г) = у, р > 1. Обозначим <7 = рЦр - 1).

Следствие 1.1 Пусть ((t) € Bf u h{e) <ha + к\п(1/е). Тогда

Рс(«)<С&ик«е-и\

Следствие 1.2 Пусть ((t) 6 В„ и Н{е) < Я0 +«ln(l/f). Тогда

■ Pç(u) < С6икЧе~и\

Полученные при этом результаты для гауссовсквх полей, когда <р(х) = <р'(х) = совпадают с известными1, к примеру, f(6) = S^ïbïnj, а для пегауссовских

- уточняют ранее выведенные оценки3.

Далее в Главе 1 рассматривается случай так называемых анизотропных модулей непрерывности, то есть такой случай, при котором модуль непрерывности является функцией к переменных, причём по разным переменным он стремится к нулю с различной скоростью. Анизотропные модули непрерывности применяются, например, в теории аппроксимации функций нескольких переменных тригонометрическими или алгебраическими многочленами 4. Полученные в этом разделе соотношения и оценки уточняют и обобщают известные результаты5. В частности, справедливо следующее утверждение:

Теорема 1.4 Пусть с. п. ¿(¿) локально однородно на множестве Т в метрике d, (2"п) <оо « Н(ж(х)) = о(у>"(х)) при ï-+oo. Тогда для функции

п

*(*) = g(i 1, • • • А) = £ + 1п1п(1/«0)

¿=i

'X. Fernique. Régularité des trajectories des fonctions aléatoires gaussiennes // Lect. Notes

Math. - 1975. - v.480. - p. 1 - 245.

3 В. A. Дмитровский. О распределении максимума и локальных свойствах реализаций предгауссовских полей // Теор, вер. и мат. стат. - Киев. - 1981. - в.25. - с. 154 - 164.

X. Fernique. Sur la régularité de certaines classes de fonctions aléatoires // C. IL Acaâ. Sci..

- Paris. - 1988. - 307. - Ser.l. - p. 493 - 496.

4C. M. Никольский. Приближение многочленами функций действительных переменных Ц Сб. "Математика в СССР за 30 лет 1917 - 1947". - Москва - Ленинград. - 1948. - с. 288 - 318.

!М. И. Ядренко. Локальш властивосн вибфкових функшй випадкових полю // BicH. Кшвського университету, сер. мат. та мех. - 1967. -9.-е. 103- 112.

выполнено соотношение

H^

V~*° 9(6)

и при этом

р( sup ^g>u>|<C7e-£7»« \«(0.io) S(°) J

где и > u0 > 0, Sa > 0, Cj и Cg не зависят от и.

В заключительной части Главы 1 изучается асимптотическое поведение максимума семейства случайных полей, зависящего от некоторого числового параметра, а также выводятся соответствующие оценки распределения. Подобная задача возникает, к примеру, в теории дифференциальных уравнений с малыми случайными возмущениями (случай малого параметра), а также при изучении асимптотцче-ского поведения случайного процесса или поля на последовательности расширяющихся множеств (случай большого параметра). Последняя задача хорошо изучена лишь для гауссовских процессов и полей®. В настоящей диссертации обобщаются известные результаты.

Пусть Тг - замкнутые множества, Тг î Т С Rk, г -* оо, d(t, л) ~ C»|t — i|7, 7 > 0 прй г - л —» 0. Объём Tt в Rk обозначим V{Tt). Будем предполагать, что V (Тг) -♦ ОО при 2 —» ОО.

Теорема 1.5 Пусть ((t) G Вр, ||Ç(i)|| < 1. Тогда если ЭС,0 « 0 < 1 такие, что а(т, п) < Сю0п~т, то

( supf(t) \

Р [Тип —Ю--г^?'/' =1.

I (In V(T,)) 1ч /

6 П. И. Юдицкая. Асимптотическое поседение максимума гауссовского поля // Теор. пер.

и мат. стат. - Киев, КГУ. - 1970. - в.З. - с. 121 - 130.

В. И. Питербарг. Кандидатская диссертация; — М: МГУ, 1971. - с. 88 - 91.

Т. Л. Малевич, Н. Тошов. О границах максимума однородного гауссовского поля //Теор.

вер. и мат. стат. - Киев, КГУ. - 1979. - в.20. - с. 76 89.

Глава 2 целиком посвящена предельным теоремам в банаховых пространствах, которые занимают одно ¡а центральных мест в теории случайных процессов и её приложениях.

Сначала доказывается центральная предельная теорема (ЦПТ) в пространствах Гёльдера G°(w). Эта теорема может быть применена в непараметрической статистике, а также для оценки погрешности МЗИ в пространствах Гёльдера.

Пусть Т - произвольное множество, - независимые одинаково распределённые с.п., i = 1 ,...,n, D£,(i) < оо. Обозначим

s„(t)=4=Ê&(o.

Определим теперь для сумм S„(t) функции

/ ±-7=f.(0 ' 9(A) = max sup sup Ira In £е v" ± n=U„. ter I

VÏ'(i), пространство B{<p) с нормой ||.||в((?), метрику d(t,s) - ||5n(i) - S„(s)||fi(l?), энтропию H(T,d,e) и локальную энтропию

Н(е) = sup sup H (B(t,d,6),d,6e). Ier s>o

Пусть и>(£) - непрерывная неотрицательная числовая функция, равная нулю только при 6 — 0. Говорят, что некоторая функция y(i) принадлежит пространству Гёльдера G°(u>), если

i-o w(5)

где Д„(5) - глобальный модуль непрерывности функции y(t). Норма в G°(tj) вводится формулой

llfOllGO(w) = suPly(OI + sup «€Г Î6(0,&)

Теорема 2.6 Пусть случайные поля £(<)> i = 1,...,п локадъно однородны на множестве Т в метрике d и J^2~mJ/(2~m) < оо. Тогда для любой функции

m

ui(¿) такой, что

б?'1 (я(г) + 1пьД) Km--SJ- = o,

¡—о и>(6)

£¡(t) удовлетворяют ЦПТ о пространстве G°(u>).

Однако следует заметить, что нередко встречаются случаи, когда ЦПТ неприменима (случай бесконечной дисперсии). Тогда используется.так называемая устойчивая предельпая теорема (УПТ) в банаховом пространстве, для которой уже был известен вид характеристического функциопала предельного распределения7 и момептныс неравенства8, позволяющие вывести достаточные условия в пространствах с интегральной нормой. D настоящей диссертации выводятся достаточные условия для выполнения УПТ в пространстве непрерывных функций С (Г). Пусть (¡(t), t 6 Т = [0,1] - независимые одинаково распределёппые случайные процессы, принадлежащие области притяжения устойчивого закона порядка а, а 6 (0,2), то есть для любого лнпейного фупкцнопала ф € С'(Т)

Р((ф,т)>и)~0>(ф)и-», «->оо, где G¡{ф) - неотрицательный однородный степени а функционал. Обозначим

a(s) « G,№ - 5)), b(s) = G,(-Í(t - *)). Предположим, что на отрезке [0,1] существует константы к > 0, о+ > 0, 6+ > О

7Д. X. Муштарн. Вероятности и топологии в банахових пространствах. — Казапь, КГУ. — 1989. - с. 215.

8А. N. Chuprunov. Limit theorems for stable laws in Baiiach spaces // New trends in prob. and stat. - VSP, Utrecht - Tokio. - 1991. - p. 100 - 110.

такие, что 0 < а+ + < оо в при и -» оо и

мет \\t-s\l'K J и

supPfMibiàM<_u\<%

мег \ \l - s)1/« / « Обозначим Sn(t) = n-1/Q Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7 Пусть к < о. Тогда последовательность Sn(t) слабо сходится к

процессу 5оо(0» имеющему устойчивое распределение в С(Т).

£ш при этом supe(t) < оо, supè(i) < оо, inf />(16(01 < «) > 0(иа), и О, ter i€T ««

га о

sup Р (sup |<?„(<)| > t. ) < Спи~а In и. " Ver )

Кроме того, в заключительной части Главы 2 предлагается формулировка УПТ в более слабых предположениях, а имешго, для процессов без разрывов второго рода, то есть УПТ в пространствах Скорохода D[o,i](R1)9. Предельные теоремы в таких пространствах называются по традиции принципами инвариантности.

Теорема 2.Е Если к < 2а, то последовательность Sn(f) слабо сходится в Djo.iitR1) к процессу SmO), имеющему устойчивое распределение в Djo.i^R.1).

Глава 8 представляемой диссертации целиком посвящена приложениям полученных в предыдущих главах результатов. В первой её части' рассматривается иэвествая и часто встречающаяся на практике задача о. восстановлении случайного процесса или поля по известным его значениям в некоторой конечной сетке. Эта задача в данной работе постаалепа и решена в достаточно общей

®И. И. Гихиан, А. В. Скороход. Теория случайных процессов. — М: Наука, 1971. - т.1. -с. 496.

форме, причём показано, что даже в простейшем случае аппроксимации случайного поля обобщёппыми линейными сплайнами нормироваппая должным образом погрешность приближения имеет экспонепцпально убывающий "хвост" распределения.

Пусть £(t) - пецентрироваппое с.п. с математическим ожиданием E((t) = a(t), t 6 Т С Rk. Обозначим £o(i) = £{t) — a(t) и предположим, как и ранее, что для &(<). а значит, и для равпомерпо по t выполняется условие Крамера и что

Пусть S(S) - некоторая коцечпал сетка точек ¡, множества Т, где

6 = sup min d(t,t:). <.es(ä)

В 5(5) выделим подмножества

S,{S) = {ti € S{8): d(t,ti)<8}.

Обозначим число элемептов n St(S) через m(t,5).

Обобщённым линейным сплайном для с.п. £(t) назовём функцию

m(l,f)

i(t) = £ а£(и), и е 5,(6), а,- > О, Y, а< = h i=i i

Обозначим ещё (6) = sup \£(t) - i(i)l> 4 ¡er

Теорема 3.9 Пусть с.п. £0(t) локально однородно на множестве Т и, кроме того, для любых t,s € Г выполнено соотношение;

" Ht)-^s)\<Cl3\t-s\1. Тогда с вероятностью 1

г-

lim -4— < 1

б-о g{6) ~

и при этом

Рт(ь) = Р ( sup ^ > и) < Сие~С"и. \íe(o,í0) д{°) J

В качестве возможного приложения полученных здесь результатов мояшо упомянуть задачи статистического анализа случайного поля по значениям его реализаций в конечной сетке10, а ташке метод Мопге - Карло11.

В следующей части Главы 3 с помощью оценок погрешности сплайн-аппроксима! с.п. строится алгоритм оценивания погрешности метода Монте-Карло в случае конечной дисперсии. Пусть па некотором пространстве {X,F) определён интеграл

I(t) = j...jf(x,t)dx, J...Jdx = l, Т С [0,l]fc. х х

В методе Монте-Карло МЗИ-приближепием называется с.п.

i=i

где 7 независимые случайные величины, равномерно распределённые на множестве X. На практике значения Jn{t) вычисляются в некоторой конечной сетке S{6) значений t. Будем аппроксимировать значения /„(f) во всех остальных точках множества Т с помощью сплайнов

m(í,í)

/„(<) = £ «,(<)/.(<,), U € St(S), t=i

Е

ít\ - 1 t,es,(¿).tjtu ai(t)-m(t,S)-1 £ d(M.) '

t,£S,(S)

10Ю. К. Беляев, А. X. Сиыошш, В. А. Красавкина. Квантование по времени реализаций недифференцируеыых гауссовских процессов // Известия АН СССР (тех. кибернетика). -1976. - 4.

11 А. С. Фрол0в, Н. Н. Ченцов. О вычислении методом Мойте - Карло определённых интегралов, зависящих ох параметра // Жур. выч. иатеы. и мат. физ. - 1962. - т.2. - № 4. -с. 714 - 717.

В. А. Дмитровский, Е. И. Островский. Оценка погрешности метода зависимых испытаний // Жур. выч. матем. и мат. .физ. - 1976. - т.18. - 5. - с. 1312 - 1316.

Предположим, что £/(&,*) < оо, а фупкцил f(x,t) удовлетворяет условию Гёльдера ■ с показателем 7 по переменной Î, то есть

Bup|/(a,t)-/(®.a)l<Cie|i-a|7-

хех

При этом деатрчровапиое с.п. /0(f) = y/n(In(t) — /(!)) имеет при больших п примерно гауссовсное распределение с метрикой

d(t,s) < Ci6}t - s\~l.

В таком случае выполнены все условия теоремы 3.9 а

{ sup (în(t) - щ) ^ 16 т 4

sup £€(0А)

V

> и

6 Ai

7 о

< Сие

—Cjsu

/

Вторая половина Главы 3 посвящена применениям УПТ, в том числе для оценки погрешности МЗИ для кратных параметрических интегралов с бесконечной дисперсией. Задача построения доверительных пптервалов рассматривается в равпомерной по параметру норме для вычисляемых с помощью МЗИ кратных интегралов, зависящих от параметра.

Пусть ](1) = /.../д(х^)с1х, причём /... / с!х = 1, - независимые слу-

к V

чайные величины, распределённые равномерно па ограниченном подмножестве V пространства 11"',

< оо, по = оо,

* € Т = [0,1] С 11* и для любого ф е С'(Т)

Р((Ф,9(^)) > «) ~ С(ф)/иа,и оо,а € (1,2),

где 0{ф) - неотрицательный однородный степени а функционал. Обозначим д{х,1) - д{х,1) - 1(1),

п

5П(<) = п-1/" £ 0 = - /(0)-

1=1

Предположим, что фупкцил I) принадлежит пространству Гёльдера Н(7) по переменной t, то есть что существует конечная константа Си такая, что

sup|ff(*,t)-*(*,*)!< Cir|t-ар.

i6V

В этом случае размерность к пространства Т в порождаемой с.п. метрике

равняется 1/7, поэтому если выполнены условия теоремы 2.7, то справедлива следующая теорема.

Теорема 3.10 Если 7 > 1/а, то последовательность случайных полей 5"п(<) слабо сходится в С(Т) к случайному полю 5оо(0> имеющему устойчивое распределение с параметром а. Кроме того, при всех и >2

сока, чем если бы вместо результатов Главы 2 применялось неравенство Бара -Эссеена13.

В качестве примеров приложения описываемой техники можно указать исследование спектра одного интегрального оператора с особенностью, сведённое к вычислению кратного интеграла13, а также задачу, возникшую при анализе локальных времён случайных процессов".

1JB. von Bahr, C.-G. Easeen. Inequalities for the r-th absolute moment of a sum of random variables (1 < г < 2) // Ann. of the Math. Stat. - 1965. - 39. - p. 279 - 303.

|3П. Б. Бобров, E. И. Островский. Точная асимптотика распределения двукратного стохастического интеграла // Сб. трупов кафедры прикладной математики "Вероятностные метода в задачах надёжности ЯЭУ". - Обнинск, ИАТЭ. - 1991. - с. 63 - 70.

МС. А. Молчанов, Е. И. Островский. Симметрические устойчивые процессы как следы невырожденных диффузионных процессов // Теор. вер. и её прииен. - 1969. - т.14. - вип.1. -

и ггри этом

Следует отметить, что достигнутая здесь скорость сходимости п1'"-1 более вы-

с. 127 - 130.

Наконец, заключительная часть Главы 3 касается приложений устойчивых предельных теорем, оценок распределения нормированных сумм случайных процессов со степёшшмп "хвостами" распределения и оценок погрешности МЗИ для случая бесконечной дисперсии. Одной лз областей применения этих результатов является теория надёжности, так как важнейший в этой теории показатель -время паработки па отказ - имеет обычно Гамма - распределение или распределение Вейбулла, и при некоторых зпачепиях параметров таких распределений часто встречающаяся величина, обратпая времени наработки па отказ, имеет степенной "хвост" распределения. В данной Главе описаны применения основных теоретических результатов диссертации к расчётам модели "параметр - поле допуска", моделп процесса накопления повреждений, а также к задачам теории шероховатости и диагностики ЯЭУ.

В Заключении перечисляются все полученные в основной части диссертации результаты.

Основные результаты

» Выведены сильные ( с вероятностью 1 ) асимптотики в смысле верхнего предела и равпомерпые по параметру оценки распределения локальных п глобальных изотроппых и анизотропных модулей непрерывности случайных полей, максимумов семейств случайных полей, зависящих от параметра и описано их применение в методе Монте-Карло н статистике.

• Сформулированы и доказаны центральная предельная теорема в пространствах Гёльдера 6°, устойчивая предельная теорема в пространстве непрерывных функций С и устойчивый принцип ипвариаптностн в пространстве, функций без разрывов второго рода Ю и указаны их применения в моделях процесса накопления повреждений и "параметр - поле допуска" и других задачах теории надёжности.

• Предложен метод оценивания погрешности сплайн-аппроксимации случайных полей и интегралов, зависящих от параметра.

• Разработан конструктивный алгоритм оценки погрешности метода зависимых испытаний для кратных параметрических интегралов с бесконечной дисперсией п описапо его применение в задачах диагностики ЯЭУ и теории шероховатости.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. С. А. Егишянц, Е. И. Островский. Случайные элементы и ЦПТ в пространствах Гёльдера // Сборник трудов международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарёва. - Казань, КГУ. -1994. - с. 53.

2. С. А. Егишянц. Асимптотика случайного поля, зависящего от малого параметра // Тезисы докладов международной конференции "Теория и приложения методов малого параметра", посвященной 90-летию со для рождения академика А.Н.Тихонова. - Обнинск, ИАТЭ. - 1996. - с. 34.

3. С. А. Егишянц, Е. И. Островский. Локальные и глобальные верхние функции для случайных полей // Теор. вероят. и её примен. - 1996. - т.41.

- выи.4. - с. 755 - 764.

4. С. А. Егишянц. Достаточные условия для устойчивых предельных теорем в банаховом пространстве // Материалы международной конференции и Че-бышевских чтений, посвященных 175-летию со для рождения П.Л.Чебышева.

- Москва, МГУ. - 1996. - т.1. - с. 159 - 162.

5. С. А. Егишянц, О. М. Гулипа, Э. Н. Коновалов. Оценка распределения ресурса при суммировании повреждений // Известия вузов. Ядерная энергетика. - 1997. - № 1. - с. 18 - 21.