автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка метода синтеза оптимального управления переходными режимами авиационных ГТД

ВВЕДЕНИЕ.:.

ГЛАВА 1 ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫМИ РЕЖИМАМИ РАБОТЫ ГТД И АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ.

1.1 Формулировка и особенности задачи синтеза ОУ переходными режимами работы ГТД.

1.2 Анализ работ по синтезу оптимальных программ управления переходными режимами ГТД.

1.3 Анализ приближенных методов решения задач оптимального управления.

1.4 Основные результаты.

ГЛАВА 2 МЕТОД СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ПЕРЕХОДНЫМИ РЕЖИМАМИ РАБОТЫ ГТД.

2.1 Проекционно - сеточный метод решения краевой задачи.

2.2 Учет ограничений на фазовые и выходные координаты модели ГТД и управление.

2.3 Выбор базисных управлений и алгоритма оптимизации . Некоторые особенности общей схемы метода.

2.4 Метод синтеза оптимального управления на установившихся режимах.

2.5 Основные результаты.

ГЛАВА 3. СПОСОБ ПОВЫШЕНИЯ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

ПОЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ ГТД.

3.1 Исследование системы уравнений газовых объемов.

3.2 Метод интегрирования уравнений газовых объемов.

3.2.1 Основной метод.

3.2.2 Приближенные формулы.

3.3 Оценка эффективности применения предлагаемого метода для повышения быстродействия поэлементной модели ТРДДФ.

3.4 Основные результаты.Щ.

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАЗРАБОТАННОГО

МЕТОДА СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ТРДДФ.

4.1 Оптимизация управления процессом приемистости.

4.1.1 Синтез оптимального управления процессом приемистости.

4.1.2 Выбор программ управления площадью критического сечения сопла.

4.1.3 Выбор программ управления углами установки направляющих аппаратов вентилятора.

4.1.4 Выбор программ управления углами установки направляющих аппаратов компрессора.

4.1.5 Оценка оптимальных свойств выбранных программм управления.

4.2 Оптимизация управления процессом форсажной приемистости.

4.2.1 Синтез оптимального управления процессом форсажной приемистости.

Выбор программы управления площадью критического сечения сопла.

4.2.3 Выбор программы управления расходом топлива в форсажную камеру.

4.2.4 Оценка оптимальных свойств выбранных программ.

4 .3 Оптимизация управления ТРДДФ с регулируемыми сопловыми аппаратами турбин.

4.3.1 Особенности математической модели двигателя.

4.3.2 Синтез управления из условия получения наилучшей маневренности летательного аппарата.

4.3.3 Синтез управления из условия минимального расходования запасов ГДУ компрессора.ig.

4.3.4 Синтез управления из условия минимальной термоциклической повреждаемости лопаток турбины высокого давления.

4.4 Основные результаты.

Современная концепция построения прикладного программного обеспечения цифровой системы автоматического управления (САУ) газотурбинным двигателем (ГТД) [23,60,65] предполагает адаптивную оптимизацию законов управления двигателем ддя£ наиболее полного использования его возможностей (получение максимальной эффективности) во всех условиях применения, включая и переходные режимы работы. Например, для двигателя многорежимного самолета на режиме маневрирования, в зависимости от задачи полета, может оказаться наиболее важным получение максимального импульса тяги за время приемистости, либо максимального запаса газодинамической устойчивости (ГДУ), либо минимальное расходование ресурса горячей части двигателя. На режиме крейсерского полета необходимо обеспечить минимальный удельный расход топлива. При подходе к зоне боевых действий и выходе из нее необходимо обеспечить минимальную заметность (минимизировать тепловое и звуковое излучения).

В работах [23,61,65] показано, что наиболее просто реализовать адаптациию характеристик двигателя к задачам полета средствами управления можно путем построения САУ как двухуровневой адаптивной системы. На верхнем уровне, в зависимости от цели управления и критерия оптимальности (они являются внешними по отношению к САУ ГТД, то есть задаются летчиком либо автоматически формируются системой управления самолета, для которой САУ ГТД является подсистемой) происходит выбор оптимальной программы управления, ее настройка по информации о текущем состоянии ГТД и действующих возмущениях (параметрическая адаптация) и формирование заданных значений управления для нижнего уровня иерархии. На нижнем уровне иерархии с помощью алгоритмов оптимального управления и по критериям, связанным с качеством переходных процессов, формируются сигналы для исполнительных механизмов. Таким образом, необходимой составной частью описанной выше САУ ГТД является набор заранее рассчитанных программ управления.

Под программой управления в дальнейшем будем понимать зависимость либо регулирующих факторов двигателя (GTO ,/'kp ХшШм др., являющихся компонентами вектора управления), либо регулируемых параметров (Пк , Пв , \ ^ 7ТТ ит. д.) от компонент вектора измерении и параметров, характеризующих внешние условия.

Существует и другая возможная структура двухуровневой САУ ГТД [45,55]. Она предполагает на верхнем уровне ( в отличие от описанной выше структуры) не выбор и параметрическую адаптацию, а непосредственно синтез оптимальных программ. Такая структура применительно к САУ самолета подробно исследована в работе [8], а теоретические основы используемого метода синтеза оптимального управления - в работах [9,27].

Не сравнивая возможности этих двух структур отметим, что объем вычислений, выполняемых в САУ второй структуры во много раз больше, чем для первой (что является основным препятствием для реализации второй структуры на современных БЦВМ ). Одним из путей для уменьшения этого объема является использование "оптимизируемой в дальнейшем программы управления" [8].То есть вычисленная заранее программа является нулевым приближением для алгоритма синтеза оптимального управления на верхнем уровне иерархии. Например в работе [26], где рассмотрена задача управления разгоном и набором высоты самолета, в алгоритме синтеза используется подобная программа, которая названа "опорной". Чем более близка к оптимальной опорная программа, тем меньше времени требуется алгоритму синтеза для её уточнения.

Таким образом, любая современная структура САУ ГТД предполагает так или иначе использование рассчитанных вне ее оптимальных программ управления. Именно этот факт и определяет актуальность создания метода синтеза подобных программ.

Очевидно, что программы управления должны оптимизировать как установившиеся (и близкие к ним) так и переходные режимы работы двигателя. Для ГТД многорежимного самолета значительную долю режимов работы составляют именно переходные режимы " в большом " , при которых диапазон изменения параметров рабочего процесса близок к максимальному. В работе [23] указано, что " в течение ресурса двигателя число циклов изменения режима работы двигателя в интервале "малый газ"(МГ) - " максимальный"(М) - МГ достигает 11000, число переходных режимов с включением форсажа - 8000, а число "холодных выходов" на этапе взлета ( с режима запуска до режима полного форсирования (ПФ) - 1200. 1800 . За один час полета самолета F - 15 с двигателем F100 среднее число перемещений РУД в диапазоне МГ.М.МГ превышает 10. Примерно такое же число быстрых перемещений РУД в диапазоне режимов работы двигателя, близком к максимальному, возможно в процессе ведения маневренного воздушного боя длительностью около I минуты."

Существуют участки полета, где именно переходные режимы являются наиболее важными, непосредственно влияющими, в частности, на безопасность полета. В случае возникновения опасной ситуации, например при посадке или взлете с укороченной полосы, необходима возможность очень быстрого изменения тяги двигателя, что позволяет пилоту во-первых увеличить время на анализ обстановки и принятие решения, и во-вторых, сократить габариты маневра за счет увеличения импульса тяги.

Кроме того, в переходных режимах расходуется до 70% запасов газодинамической устойчивости (ГДУ) от их располагаемой величины.

Скоростью изменения параметров рабочего процесса в этих режимах в основном определяется и ресурс двигателя.

Таким образом, наличие комплекса оптимальных по различным критериям программ управления именно для переходных режимов повысит как характеристики двигателя, так и эффективнрсть решения задач полета. Это определяет актуальность разработки метода создания такого комплекса программ именно для переходных режимов работы двигателя.

Многолетний опыт разработки ГТД и САУ показывает, что получить результаты, которые будут иметь практическое применение, можно только если метод синтеза оптимальных программ управления будет непосредственно использовать подробную математическую модель ГТД ( общепринятое название - динамическая поэлементная модель ) , которая дает наиболее полное описание динамических свойств двигателя во всех условиях эксплуатации, в диапазоне режимов от запуска до максимального и во всем диапазоне изменения положения органов управления. Принципы построения таких моделей рассматривались в работах В. Г. Августиновича, Ф.Д. Гольберга, О.С. Гуревича, Г.В. Добрянского, Г.Г. Куликова, Т.С. Мартьяновой, А. А. Шевякова.

Настоящая диссертация посвящена разработке метода синтеза оптимального управления ГТД и соответствующих программ, допускающего применение модели произвольного вида, и, в частности, поэлементной динамической модели.

Диссертация состоит из введения и четырехглав. В первой главе изложена последовательность построения оптимальных программ управления, основным этапом которой является задача нахождения оптимального управления как функции времени для выбранного переходного режима " в большом ". Главной особенностью задачи является применение для описания ГТД поэлементной динамической модели. В главе

4.4 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Получено оптимальное управление расходом топлива в основной камере сгорания, площадью критического сечения сопла, а также направляющими аппаратами компрессора и вентилятора для процессов основной приёмистости ТРДДФ в типовой области полета маневренного самолета. 2 Для всей типовой области полета получены реализуемые в электронных САУ программы управления в виде соотношений между измеряемыми и регулируемыми параметрами двигателя, путем преобразования найденного оптимального управления 3. Показано, что оптимальное управление обеспечивает увеличение импульса тяги за время приемистости в зависимости от условий полета на 14 - 28% по сравнению со штатными программами управления. Построенные на основе оптимального управления программы управления обеспечивают увеличение импульса тяги на 12-25%, то есть сохраняют в основном оптимальность управления во всей типовой области полета.

4.Получено оптимальное управление и на его основе реализуемые в электронных САУ программы управления расходом топлива в форсажную камеру сгорания и площадью критического сечения сопла-для процесса форсажной приемистости ТРДДФ в стендовых условиях.

5. Полученные для процесса форсажной приемистости программы управления позволяют существенно уменьшить снижение запаса ГДУ вентилятора в переходном процессе и таким образом исключить необходимость применения дублирующей программы регулирования Fkp, которая использует механическую обратную связь, и существенно повысить надежность двигателя.

6. При исключении дублирующей программы регулирования F%p минимальная величина запаса ГДУ в переходном процессе составляет:

-12% при применении штатных программ управлениия;

-26% при приименениии оптимальных программ Время приемистости (и величина импульса тяги за время приемистости) при применении штатных и оптимальных программ оказываются одинаковыми.

7. Показана возможность выборочного (в зависимости от выполняемой ЛА задачи и условий полета) повышения характеристик ТРДДФ на переходных режимах его работы путем применения регулируемых сопловых аппаратов турбин.

8. Получено оптимальное по различным критериям управление двигателем с регулируемыми СА турбин, которое позволяет, выполнив заданные ограничения на предельные параметры рабочего процесса, обеспечить выборочное изменение следующих характеристик двигателя:

-увеличение импульса тяги более чем в 2 раза;

-уменьшение расходуемых в переходном процессе запасов ГДУ практически до нуля; -снижение максимальной скорости нарастания температуры рабочих лопаток ТВД на 60%, что способствует существенному повышению ресурса двигателя за счет сниженшьего термоциклической повреждаемости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен метод синтеза оптимального управления ГТД на установившихся и переходных режимах, позволяющий использовать для описания объекта управления математическую модель-произвольного вида и, в частности, наиболее подробную поэлементную динамическую модель двигателя. Метод основан на сведении задачи оптимального управления к задаче условной оптимизации.

2. Для решения задачи условной оптимизации разработана методика обеспечения выполнения ограничений на фазовые и выходные координаты модели ГТД путем применения моделей реальных и условных регуляторов, которая позволяет свести к минимуму число расчетов переходных процессов по модели ГТД.

3. Предложен численный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы в газовых объемах двигателя и входящих в его поэлементную модель, не связанный с разностными схемами, а использующий аналитические решения линеаризованных уравнений, что обеспечивает высокую численную устойчивость.

4. Разработана компьютерная программа расчета поэлементной модели ТРДДФ с использованием предложенного метода интегрирования и позволяющая сократить время расчетов в 5-10 раз по сравнению с программой, в которой для интегрирования уравнений газовых объемов используются разностные методы, и в частности метод Эйлера, при сохранении требуемой точности моделирования основных параметров.

5. С помощью разработанного метода синтеза оптимального управления переходными режимами ГТД построены :

1) программы управления расходом топлива в основной камере сгорания, площадью критического сечения сопла, а также направляющими аппаратами компрессора и вентилятора для процессов приёмистости ТРДДФ в типовой области полета маневренного самолета, обеспечивающие увеличение импульса тяги на 12-25% по сравнению со штатными программами управления;

2)программы управления расходом топлива в форсажной камере сгорания и площадью критического сечения сопла для процесса форсажной приемистости ТРДДФ, позволяющие существенно уменьшить снижение запасов ГДУ вентилятора в переходном процессе, исключить необходимость применения дублирующей программы регулирования площади критического сечения сопла, которая использует механическую обратную связь, и таким образом существенно повысить надежность двигателя.

6. Показана возможность повышения эффективности ТРДДФ на переходных режимах за счет применения регулирования площади горла сопловых аппаратов турбин высокого и низкого давлений. С помощью разработанного метода синтеза оптимального управления переходными режимами ГТД для процесса приёмистости ТРДДФ построены программы управления площадью критического сечения сопла, направляющими аппаратами компрессора, а таюке сопловыми аппаратами турбин, которые позволяют, выполнив заданные ограничения на предельные параметры рабочего процесса, обеспечить в зависимости от выбранного критерия качества, либо увеличение импульса тяги более чем в 2 раза, либо уменьшение расходуемых запасов ГДУ практически до нуля, либо снижение максимальной скорости нарастания температуры рабочих лопаток ТВД на 60% (что способствует существенному повышению ресурса двигателя за счет снижения его термоциклической повреждаемости).

1. Абруков В.П. О динамической модели камеры сгорания//Автоматическое регулирование двигателей летательных аппаратов: Сб. ст. 1976. С. 121-125 (Тр. / ЦИАМ; №716).

2. Августинович В. Г. Оптимизация управления процессом запуска

3. ГТД с учетом критерия минимума повреждаемости лопаток турбины // Автоматическое регулирование двигателей летательных аппаратов Сб. ст. 1986. С.78-84 (Тр. / ЦИАМ; № 1136).

4. Алексеев В.А., Добрянский Г.В.,Мартынов В.Н., Пономарева В.В. Аналитическое представление целевой функции оптимизации параметров САР ГТД методом группового учета аргументов //Автоматическое регулирование двигателей летательных аппаратов: Сб. ст. 1984.

5. С.218-226. (Тр. / ЦИАМ; №1071).

6. Антоник В.Г., Срочко В.А. К решению задач оптимального управления на основе методов линеаризации // Журн. вьгчисл. математики и мат. физики. 1987. Т.27, № 5.С.688-699.

7. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968. 183с.

8. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1963. 400с.

9. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ . Алгоритмы и программы. М.: Радио и связь, 1986. 248с.

10. Буков В. Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М. : Наука., 1987. 232с.

11. Буков В. Н. Синтез управляющих сигналов с помощью прогнозирующей модели в адаптивной системе управления. // Проблемы управления и теории информации. 1980. Т.9,№5. С.14-20

12. Ю.Васильев О. В., Тятюшкии А. И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1981. 21, № 6. С. 1376 -1384

13. Ватель И.А., Кононенко А. Ф. Об одной численной схеме решения задачи оптимального управления.// Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1970. 10, №1.С. 67-73

14. Гилл Ф., Мюррей У.,Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 509с.

15. Гольберг Ф. Д., Гуревич О.С. Увеличение ресурса высокотемпературных двигателей путем оптимизации управления переходными режимами. // Авиац. техника и технология. 1996. №2.С.34-38

16. Гольберг Ф. Д., Гуревич О.С., Нэй А. В., и др. Методика 29-83. Математическое моделирование агрегатов гидромеханических систем регулирования авиационных ГТД на ЭВМ. / МАП, 1983.182с.

17. Гольберг Ф. Д., Гуревич О.С., Нэй А. В., и др. Математическая модель и описание фортран-программы расчета на ЕС ЭВМ ГТД с системой управления.: Техн. отчет/ЦИАМ. Инв. №305-500-2. 1989. 41с.

18. Гольберг Ф. Д., Литинский М.А Оптимизация процесса форсажной приемистости ТРДДФ методами управления.// Авиакосм, техника и технология. 1998. №2.С. 30-33

19. Дружинин JI. Н., Швец Л.И., Ланшин А.И. Математическое моделирование ГТД на современных ЭВМ при исследовании параметров и характеристик авиационных ГТД. 1979. 32 с. ( Тр. / ЦИАМ; №832).

20. Добрянский Г.В., Мартьянова Т.С. Динамика авиационных ГТД. М.: Машиностроение, 1989. 240с.

21. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М: Наука, 1982. 432с.

22. Ивахненко А. Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем. Киев: Наукова думка, 1982. 350с.

23. Интегрированное управление силовой установкой многорежимного самолета/О.С. Гуревич, Ф. Д. Гольберг, О. Д. Селиванов; Под общ. ред. О.С.Гуревича. М.: Машиностроение, 1993. 304с.

24. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.400с.

25. Калнин В. М. Частотные методы в теории численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. 1975. 82с. (Тр. / ЦИАМ; №630).

26. Красовский А. А., Буков В. Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977.

27. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение задачи оптимального управления методом локальных вариаций// Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1970. 10, №2.С. 203-217

28. Литинский М. А. Метод синтеза оптимального управления газотурбинным двигателем, допускающий использование модели объекта произвольного вида // Транспорт. ВИНИТИ. 1992. №9 С. 2-5

29. Литинский М. А. Об одном методе повышения быстродействия поузловых динамических моделей ГТД. // Сб. реф. деп. рукописей. ВИМИ. 1995. Вып. №2.

30. Литинский М. А. Разработка способа увеличения быстродействия поузловых динамических моделей ГТД. : Техн. отчет / ЦИAM. Инв. № 12081. 1993. 33с.

31. Любушкин А. А., Черноусько Ф. Л, Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления (обзор) // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. №2.С. 147-159

32. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно сеточные методы. М.: Наука, 1981.416с.

33. Михалевич В. С. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение//Кибернетика. 1965. №1.С. 45-56; №2.С. 85-88.

34. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.424с.

35. Нечаев Ю.Н., Федоров P.M. Теория авиационных газотурбинных двигателей. 41. М.: Машиностроение, 1977. 312с.

36. Новиков Е. А. Одношаговые безитерационные методы решения жестких систем: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Красноярск, 1991. 360с.

37. Оптимизация многомерных систем управления газотурбинных двигателей летательных аппаратов/ А.А. Шевяков, Т.С. Мартьянова, В. Ю. Рутковский и др.; Под общ. ред. А.А. Шевякова и Т.С. Мартьяновой. М.: Машиностроение, 1989. 256с.

38. Павлов Б.В., Родионов О.Е. Метод локальной линеаризации при численном решении жестких систем обыкновенных дифференциальныхуравнений//Жур. вычисл. математики, и мат. физики. 1987. Т.27, № 5.С.688-699.

39. Проектирование систем автоматического управления газотурбинных двигателей (нормальные и нештатные режимы) /Ю.М. Гусев, Н.К. Зайнашев, А.И. Иванов, и др.; Под ред. Б.Н. Петрова. М.Машиностроение, 1981. 400с.

40. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука,1979. 208с.

41. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616с.

42. Синтез программ управления ГТД с помощью метода полубесконечной оптимизации //Новости зарубеж. науки и техники/ Сер. авиац. двигателестроение. 1990. №4, С.25-32

43. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений/ Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта . М.: Мир, 1979.312с.

44. Солнцев В. Н., Лукъянчиков С.А. Иерархическая оптимизация управления силовой установкой в системе боевого маневренного самолета. // Материалы VI науч. -техн. конф. училища. 41. Иркутск: ИВВАИ, 1990. С. 183

45. Сосунов В.А., Литвинов Ю.А. Неустановившиеся режимы работы авиационных газотурбинных двигателей. М.: Машиностроение, 1975. 216с.

46. Справочник по теории автоматического управления /Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712с.

47. Срочко В. А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1989. 56с.

48. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975. 280с.

49. Тараненко В.Т., Момджи В. Г., Прямой вариационный метод в краевых задачах динамики полета. М.Машиностроение, 1986. 128с.

50. Теория автоматического управления ракетными двигателями/ Под ред. Шевякова А.А. М.: Машиностроение, 1978. 288с.

51. Теория и расчет воздушно реактивных двигателей/ Под ред. С.М.Шляхтенко. М.: Машиностроение, 1987. 565с.

52. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488с.

53. Черноусько Ф.Л., Баничук В. П. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. 245с.

54. Шевяков А.А., Гуревич О.С., Бек В.В., Махлин А.Р. Оптимальное интегрированное управление силовой установкой самолета.// X. Всесоюзное совещание по проблемам управления: Тезисы докл. М.:1989.

55. Шевяков А.А. Системы автоматического управления авиационным воздушно-реактивными силовыми установками. М.: Машиностроение, 1992. 432с.

56. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.:Мир, 1982. 235с.

57. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965. 425с.

58. Энеев Т. М. О применении градиентного метода в задачах оптимального управления // Косм, исследования. 1966. IV, № 5. С. 651

59. Common С., Raymond R., Arnett R. Propulsion control system designs for advanced Navy multimission aircraft. AIAA -90-2403.

60. Golberg F. D., Gurevich O. S. Two-level intelligent control system for aircraft engine. //IFAC International Simposium 1TAC 91 , 15-17 January 1991, Singapore.

61. David A. Pope. An exponential method of numerical integration of ordinary differential equations// Comm. ACM. 1963. Vol. 6. P. 91 93/

62. Fawke A.J., Saravanamuttoo H.I.H. Digital computer simulation of the dynamic response of a twin spool turbofan with mixed exhausts// Aeronaut. J. 1973. Vol IX, № 753. P. 471 - 478

63. Micle A. Recent advances in gradient algorithms for optimal control problems.// JOTA. 1975. 17, №615.

64. Scira C., Agnello M. Aircraft propulsion control systems for the next century.-AIAA 90 -2034.