автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка метода криволинейных панелей для решения плоских краевых задач теории крыла



На правах рукописи

Редреев Денис Григорьевич

РАЗРАБОТКА МЕТОДА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПАНЕЛЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ КРЫЛА

05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск — 2007

Работа выполнена в Омском филиале Института математики имени С Л Соболева СО РАН

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Горелов Дмитрий Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Горлов Сергей Иванович

доктор технических наук, профессор Файзуллин Рашит Тагирович

; Ведущая организация:

Институт гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН

Защита состоится 25 октября в °°часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.179 03 при ГОУ ВПО «Омский государственный университет ' им Ф М Достоевского» по адресу 644077, г Омск, ул Нефтезаводская, 11

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им Ф М Достоевского

Автореферат разослан « И » сентября 2007 г

.Ученый секретарь 1 диссертационного совета, к.ф -м н , доцент

А.М Семенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В прикладных задачах требуется производить расчет характеристик обтекания крыловой поверхности (крыло самолета, лопасти вентилятора) потоком жидкости или газа Гипотеза плоских сечений значительно упрощает расчеты, позволяя перейти от исследования пространственного потока к задаче на плоскости Применение модели стационарного потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости приводит к краевой задаче для комплексной скорости, являющейся аналитической функцией вне крылового профиля Моделирование контура профиля вихревым слоем сводит соответствующую краевую задачу к сингулярным интегральным уравнениям (СИУ), что снижает размерность задачи на единицу, позволяя эффективнее использовать ресурсы ЭВМ

Решение СИУ производится обычно численными методами Основные из них — метод дискретных вихрей и метод панелей Метод дискретных вихрей целесообразно применять для расчета течения около разомкнутых контуров (дужек), а для телесных профилей, в особенности тонких, он оказывается малоэффективным Метод панелей (известные варианты) дает хорошие результаты для достаточно толстых профилей, однако с уменьшением толщины профиля точность решения падает Поэтому актуальна задача разработки таких методов решения СИУ, которые позволяли бы с высокой точностью решать задачи обтекания профилей широкого класса

Цель и задачи работы. Целью диссертации является разработка метода криволинейных панелей, позволяющего с высокой точностью решать задачи обтекания крыловых профилей произвольной толщины потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости

В рамках разработки этого метода решаются следующие задачи

1 Аналитическое представление замкнутого контура, заданного таблицей координат, с учетом заданной асимптотики вблизи кромок,

2 Замена исходного контура профиля системой криволинейных панелей, обеспечивающих высокую точность приближения к контуру и возможность точного вычисления соответствующих сингулярных интегралов,

3 Задание распределения искомой интенсивности вихревого слоя на криволинейных панелях с учетом асимптотики в предельном случае бесконечно тонкого профиля,

4 Построение квадратурной формулы для сингулярного интеграла с ядром Коши на основе выбранной системы криволинейных панелей и распределения интенсивности,

5. Разработка алгоритма решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши методом криволинейных панелей,

6 Создание соответствующего программного комплекса,

7 Решение тестовых задач стационарного обтекания профилей Жуковского

Научная новизна. Разработан модифицированный метод панелей, позволяющий эффективно решать сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши, к которым сводятся краевые задачи обтекания крылового профиля Метод позволяет с высокой точностью решать СИУ 2-го рода для телесных профилей произвольной толщины, включая сколь угодно малую

Основные результаты. В работе получены следующие результаты

1 Построено аналитическое представление контура, заданного таблицей координат, с учетом асимптотики в окрестности передней кромки профиля,

2 Предложены уравнения криволинейных панелей с учетом асимптотики контура,

3 Предложено представление искомого решения на панелях с учетом асимптотики интенсивности вихревого слоя в предельном случае дужки,

4 Построена квадратурная формула для сингулярного интеграла с ядром Коши по замкнутому контуру,

5 Разработан алгоритм решения сингулярных интегральных уравнений 1-го и 2-го родов с ядром Коши методом криволинейных панелей

Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью и строгостью применяемых математических методов, а также соответствием полученных численных результатов с известными точными решениями

Практическая ценность. Разработанный метод криволинейных панелей позволяет расширить класс эффективно решаемых задач в теории крыла

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях и семинарах: 10-я Межвузовская конференция по математике и механике (Алматы, 2004), XXX Региональная научная студенческая конференция «Молодежь III тысячелетия» (Омск, 2006), III Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития

фундаментальных наук», посвященная 110-летию Томского политехнического университета (Томск, 2006), XXI Всероссийская конференция «Аналитические методы в газовой динамике САМГАД-2006» (Санкт-Петербург, 2006), семинары в ОФ ИМ СО РАН и ИГ СО РАН

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (66 наименований) и приложения Общий объем работы составляет 116 страниц, включая 23 рисунка и 5 таблиц

Во введении раскрывается актуальность темы, формулируются цели работы, дается структура и краткое содержание диссертации

В первой главе ставится краевая задача обтекания контура профиля потоком жидкости для комплексной скорости Эта задача сводится к сингулярным интегральным уравнениям (СИУ) с ядром Коши Дается обзор методов приближенного решения СИУ Среди них выделяются основные — метод дискретных вихрей и метод панелей Отмечается, что известные алгоритмы этих методов не позволяют с достаточной точностью решать СИУ для тонких профилей Формулируются цели и задачи работы

СИУ для интенсивности вихревого слоя В плоскости комплексного переменного г: = х+гу рассматривается обтекание крылового профиля стационарным потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости, имеющим в бесконечно удалении скорость voc> Комплексная скорость у(г) является аналитической функцией вне крылового профиля и может быть представлена интегралом типа Коши

где контур профиля Ь обходится против часовой стрелки, 7 — интенсивность вихревого слоя, распределенного по Ь, в {С,) — угол наклона касательной к Ь в £ Краевая задача для Т>(г) сводится к СИУ 1-го рода (далее СИУ-1)

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

(1)

ь

ь

Со eL.fiо = 0(Со) или к СИУ 2-го рода (далее СИУ-2)

¿С

(3)

ь

Для единственности решения уравнений (2), (3) требуется выполнение постулата Жуковского о конечности скорости в задней кромке

Методы решения СИУ Основными методами решения СИУ (2), (3) являются метод дискретных вихрей (МДВ) и метод панелей (МП), которые позволяют свести СИУ к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) В методе дискретных вихрей непрерывно распределенный по контуру вихревой слой заменяется конечным числом вихрей, а граничные условия выполняются в контрольных точках МДВ показал свою эффективность для расчета разомкнутых контуров (дужек), но применение его для телесных контуров оказалось малоэффективным Этот вывод иллюстрируется на примерах расчета 10% симметричного профиля Жуковского с равномерным распределением вихрей по его контуру (рис 1а), 16)) Повысить точность возможно, сгущая расположение вихрей, но это требует в каждом конкретном случае дополнительного анализа, что является проблематичным

Для расчета телесных профилей существенно лучше метод панелей В методе панелей контур заменятся полигоном, составленным из конечного числа панелей, искомое решение на панелях представляется в виде полинома с неизвестными коэффициентами, а граничные условия выполняются в конечном числе контрольных точек Как правило, в стандартных вариантах МП (далее стандартный МП) панели выбираются как отрезки, а искомое решение на каждой панели — в виде линейной функции Стандартный МП эффективен для расчета достаточно толстых телесных профилей, но с уменьшением толщины он также становится малоэффективным Для иллюстрации на рис 1а), 16) даны примеры расчета 10% симметричного профиля Жуковского с равномерным разбиением контура на панели (рис 1а), 16)) Максимальная погрешность решения СИУ-1 достигается в окрестности задней кромки, а для решения СИУ-2 — в окрестности передней кромки Повышение точности метода возможно за счет увеличения числа и сгущения панелей вблизи кромок профиля Но это требует проведения дополнительных исследований в каждом конкретном случае, что является проблематичным

Приведенные данные показывают, что решение СИУ для телесных профилей целесообразно проводить методом панелей Однако известные варианты метода не позволяют с высокой точностью решать краевые задачи для тонких профилей

Цель диссертации Целью работы является разработка модифицированного метода панелей, позволяющего эффективно решать СИУ, соответствующие краевым задачам обтекания крыловых профилей произвольной толщины, включая сколь угодно малую При этом метод должен обеспечивать высокую точность решения СИУ для широкого класса профилей и точное вычисление интегралов по криволинейным панелям

Во второй главе рассматривается задача об аналитическом представлении контура, заданного таблицей координат или конформным отображением

Решение СИУ-1

Решение СИУ-2

Ы 2

1

ЙЙ2££22ОООООС>0ЯВС

05

а) МДВ

ж 1

ы 2

1 -

"^оеоооооо0

0,5

б) МДВ

X 1

з) МП

г) МП

Рис 1 Оценка точности решения задачи обтекания 10% симметричного профиля Жуковского при угле атаки а = 10° стандартным методом панелей и методом дискретных вихрей Сплошная линия — точное решение, кружки — расчет

Задание контура профиля Пусть в комплексной плоскости введена система координат оХУ (рис 2), связанная с контуром Ь таким образом, что го = 0 определяет переднюю кромку, а = 1 — заднюю (задняя кромка — угловая точка контура, передняя кромка — точка Ь наиболее удаленная от задней кромки) Кромки делят контур профиля на два разомкнутых контура Ьх, (верхняя и нижняя дужка), так что Ь = Ь\ и ¿2 Уравнения контуров

Lí'.y — Л (ж)

Рис. 2 Задание контура крылового профиля Lfc задаются в виде

У = /*(*), * € [0,1], Д € С{О,1], Д € С2[0,1], (4)

/г(0) = /2(0) = о, /х(1) = мi) = о,

fk{x) < оо, X € (0,1], lim/¿(aO = оо,

х—

4 е Lk Cfc = Ck(x) = Х + tfk(x), X е [0, i],

при этом z0 = Ci(0) = Сг(0) = 0, = 0(1) = Сз(1) = 1

Задание контура таблицей координат Пусть на сетке 0 = хо < < Хм — 1 даны координаты точек верхней и нижней дужек {у^, yf1 } Передней кромке соответствуют точки (0, у^) = (0, у^), задней кромке — (1, у^) = (1, yffi) Кроме того, полагается заданной асимптотика уравнений дужек у = к = 1,2 в окрестностях кромок

у = /*(х) = ха(1 - x)bF\x), а, Ъ е (0,mfty)

Аналитическое представление дужки с уравнением у = /(ж) (индекс к опущен), строится в соответствии с асимптотикой в виде

y = f(x)=xa(l-x)bF(x), j=N+1

F(x) = ]Г (5)

где F — кубический сплайн класса С2, аппроксимирующий F, В3 = ~ нормализованный кубический В-сплайн, заданный на интервале [2^-2,2^+2] Коэффициенты Ь3, j — 1, , N — 1 в (5) определяются по формулам локальной аппроксимации сплайном, a b3, j = —1,0,N,N + 1 из условий интерполяции F(xj) ~ F(x3)} j — 0,1, N — 1, N Вычисление Ь3 производится по значениям F%

Ft = F(xi) = 1 - О6), » = 1, ,N,

Fo, Fn доопределяется кубической интерполяцией функции F(x) соответственно по точкам Xi,X2,Xz,Xi И Ждг_4, X'jV-З) Ждг_2, Для погрешности построенного сплайна F верна Теорема 2.1. Пусть F(x) € С4[0,1], тогда выполняются оценки

|F(ar) - F(x)I = 0(h4), jF'{x) ~ F'{x)| = 0(fi3), h = шахЛ,

3

Третья глава посвящена выбору криволинейных панелей и представлению искомого решения на них

_ Выбор криволинейных панелей Контуры L\, Lq заменяются полигонами ¿1, ¿2, составленными криволинейных панелей Lk — U Lk% Уравнение Lk задается как у = х € [0,1], а точки € Lk имеют представление

Cfc(s) = ® + */fc(sc), [0,1]

Выбор панелей L^, в виде отрезков в стандартном методе панелей приводит к большой погрешности аппроксимации контура и углов наклона касательных к нему в окрестности передней кромки Поэтому целесообразно выбирать криволинейные панели с учетом асимптотики контура

С учетом результатов главы 2, уравнения дужек Lk, к — 1,2 (4) представляются как

У = fk(x) = V®Fk{x),Fk е С2[0,1},к = 1,2 (6)

Такое представление имеет широкий класс профилей, включая профили Жуковского Пусть уравнения Lk, к = 1,2 задаются с учетом асимптотики (6) в виде _

У = А(х) = VZFk(x), (7)

где Fk(x) линейный интерполяционный сплайн

Fk(xt) = = Fk{хг), j=0, ,N Здесь используется сетка

Д = {0 = х0 < xi < < xjy — 1}, h3 = xj+i—xj, j = 0, ,N—1, /г- = maxh7

Криволинейные панели Ьь, к — 1,2, г = О, , ./V — 1, составляющие ¿^ задаются уравнением

У = = М*)\[х,1Х]+1]

Точность приближения контура Ь и углов наклона касательных к нему аппроксимацией (7) оценивается теоремой

Теорема 3.1. Пусть ¿Ъ е С 2[0,1], к = 1,2 аппроксимируется функцией задаваемой формулой (7) тогда верны следующие оценки погрешности

Iек(х) - вь(х)\ = у^О(Л), X € [0,1],

где вк(х), вк(х) — углы наклона касательной соответственно к Ьь в Ск(х) и Ьк в Ск(х)

Представление искомого решения Для интенсивности вихревого слоя вводятся обозначения 7* (С) — 'у(С)и Ук(х) — Ук(Ск(х)), к — 1,2. При этом выполняется 71(0) = 72(0)

Обозначим искомую функцию 7(С), С € Ь Для нее вводятся аналогичные обозначения

Ш) = 7(С)Ь,, Ъ{Х) = %№)), аг е [0,1], к - 1,2

При построении решения требуется Ук(х) € С[0,1], 71(0) = 72(0)

Представление у линейным сплайном в стандартном методе панелей является малоэффективным в окрестности передней кромки, поскольку точное решение может иметь большие градиенты в этой окрестности В предельном случае дужки решение имеет асимптотику х~г¡2 в окрестности х = 0 Поэтому искомое решение целесообразно строить с учетом этой асимптотики Интенсивность вихревого слоя уи представляется в виде

7к(х) = Щ' Ых) = + 9к(х) € С2[0,1] (8)

Соответствие такого представления указанной асимптотике в предельном случае дужки устанавливается следующей леммой

Лемма 3.1. Представление ук (8) в предельном случае дужки имеет в окрестности х — 0 асимптотику ж-1/2

Искомое решение у выбирается по аналогии с (8)

Щх) = где 1к{х) = ^1+ (/1(х)У> (9)

где <7fc определяется формулой

= Зкг-2-^-+ дк ,+i h \ х е [хг, х!+1], г = 0, , N - 1 (10)

Для" этого представления имеет место __

Лемма 3.2. Пусть 7* задается формулами (9), (10), Fk определяется формулой (7) Тогда в предельном случае дужки 7fc имеет в окрестности х = 0 асимптотику х-1/2

Связь между представлениями jk (9), (10) и (8) устанавливается в теоремой

Теорема 3.2. Пусть gk,Fk € С2[0,1], k ~ 1,2 в представлении ~/к (9), (10), а коэффициенты дь выбраны в виде

дь = 9к(х,), к = 1,2, г = 0, ,N (11)

Тогда имеют место следующие оценки

\9к(х) -дк(х)\ = 0(h2), \1к{х) -7fc(®)| = 0(h), х € [0,1]

В четвертой главе дается обзор квадратурных формул для сингулярного интеграла с ядром Коши Строится квадратура для сингулярного интеграла с ядром Коши Дается равномерная оценка ее точности на дискретном множестве точек панелей

Построение квадратурной формулы Пусть S(z) — сингулярный интеграл с ядром Коши в уравнениях (2), (3)

S(z) = J ^ da, с = C(s), г е L (12)

L

Для построения квадратурной формулы S(z) контур L в (12) заменяется аппроксимацией L по формуле (7), а интенсивность 7 заменяется 7 по формулами (9),(10),(11) Точка z & L переходит в z € L следующим образом Если z € Lrm (г = 1,2, т = 0, , N — 1) и имеет место представление

Z = Хот + lfr(xom)i ХОт

е(хт,хт+г), (13)

то z задается как __ _

Z= Хот + tfr(xOm), Z €

ГТП

В итоге квадратурная формула S(z) принимает вид

s(i) = f ds= (14)

i С z k=l, 2 г—О

L

где С = С(в) € 1, Пк1(г) = Ркг(Т) + С}к ^{Т),

А,(2) = / /Г

•/ ^ &,(*) - г

X,

х1+1

<&,(*)« [ ^ _13г о,

} Сь(®) - *

ж,

Аг= 1,2, г = 0, 1

Соответствующие интегралы могут быть вычислены точно

Оценка погрешности квадратурной формулы Погрешность квадратурной формулы обозначается Е(г) = Б (г) — 5(2) Вводится норма ||£?(.г)||п = шах|£(.г)|, где О — дискретное множество внутренних точек Ьк]

^ = {Оь-м Съ € Ьь]\{гк},гкз+1}, к = 1,2, з = О, ,N-1} Для оценки погрешности квадратуры имеет место

Теорема 4.1 Пусть сингулярный интеграл в (г) задан формулой (12), функции Ек,дк е С2[0,1], квадратура определена формулой (Ц), в которой Ь задан по формуле (7), функция 7 задана по формулам (9), (10) и коэффициенты дкг определяются в виде (11) Тогда если г задана формулой (13), то погрешность квадратуры имеет оценку

||23(г)||п < 0{Н 1/21п/г), Н = - хг)

В пятой главе строится алгоритм решения СИУ на основе представления решения и выбора панелей, приведенных в главе 3, и построенной в главе 4 квадратуры Проводятся тестовые расчеты для профилей Жуковского

Построение алгоритма решения СИУ Алгоритм решения СИУ (2), (3) методом криволинейных панелей строится следующим образом Уравнения (2), (3) записывается на контуре Ь, а интегралы в уравнениях заменяются квадратурной формулой (14)

у = (15)

1

~7(Ю + I<*«) - Ке(е^г><уо) (16)

Ъ

Требуя выполнения уравнений (15), (16) в контрольных точках е ¿т, г=1,2,т = 0, ,N-1

Сгт = х0т + г/г(х0т), %0т = + втИт, € (0, 1), (17)

приходим к следующим СЛАУ Для СИУ 1-го рода (2)

к=1,2 г=0

г = 1,2, т = О, ,N-1, (18)

и для СИУ 2~го рода (3)

1 * ~~0

А-гт 9гт + Агт+1 9гт+1 +

¿=1,2 г=0

г =1,2, т = 0, ,N-1 (19)

Коэффициенты Агт, Вкг, Скг в системах (18), (19) вычисляются по формулам

л _ _1 __д

— ~ 1 -/А г т+1

Вкг = -Р,е(е^Нкг(С?т)) Скг = 1т(е^)Дь(С°т))

В полученных системах уравнений (18), (19) искомыми являются 2И+2 коэффициентов дкг, которые определяют в соответствии с (9), (10) интенсивность вихревого слоя -у в концах криволинейных панелей Ькг Количество уравнений в каждой из систем равно 2Ы, для их замыкания к уравнениям (18), (19) добавляются условия непрерывности 7 в передней кромке и требование выполнения постулата Жуковского в задней кромке, которые записываются соответственно как

= 4^ + ^ = 0 (20)

Тестовые расчеты Разработанным методом криволинейных панелей (МКП) решались тестовые задачи обтекания профилей Жуковского различной толщины Профиль предварительно подвергался преобразованию (поворот и сжатие), которое переводило переднюю и заднюю кромку соответственно в точки 0 и 1 Параметры краевой задачи полагались |г>оо| = 1, а = 10° Положение контрольных точек (17) задавалось параметром вт = 1/4 для

СИУ-1 и sm = 3/4 для СИУ-2 (значения sm получены в результате предварительных расчетов для различных значений параметров, задающих профили Жуковского) Точное решение задачи обтекания v(z) получалось методом конформных отображений.

Для оценки приближенного решения вводится относительная погрешность

е(х) = max |7&(аг) — 7^(2;)|/max |7(С)|, х € [0,1] Расчеты показали, что наи-

к—1,2 CeL

большая погрешность решения достигается в окрестностях кромок профиля (ж = 0, х = 1) Точность решения для сильно-изогнутых профилей Жуковского оценивается и сравнивается с точностью решения стандартным методом панелей на рис 3 и в таблице 1

0,5 х 1

а) СИУ-1, МКП

з

м

1 -

05 X 1

б) СИУ-2, МКП

в) СИУ-1, МП

х 1

г) СИУ-2, МП

Рис 3 Сравнение решений СИУ-1 и СИУ-2 для тонкого 1% сильноизогнутого профиля Жуковского разработанным методом (МКП, рис а), б)) и стандартным методом панелей (МП, рис в), г)) Число панелей на каждой дужке N — 40

По результатам тестовых расчетов были сделаны следующие выводы Разработанный метод позволяет с высокой точностью решать СИУ 2-го рода для профилей различной толщины, в том числе и для тонких профилей, вплоть до близких к дужке Уменьшение толщины профиля не приводит к неограниченному возрастанию погрешности получаемого решения, как в стандартном методе панелей Применение данного метода к решению СИУ 1-го рода

СИУ-1 СИУ-2

1% профиль 20% профиль 1% профиль 20% профиль

N х=0 х=1 х=0 X—1 х=0 х=1 х=0 х=1

метод криволинейных панелей

20 3,9е-3 4,5е-2 1,2е-1 6,30е-1 3,2е-1 5,2е-4 8,0е-2 8,0е-2

40 2,7е-3 1,5е-1 1,7е-1 9,92е-1 2,2е-1 3,5е-4 6,6е-2 5,2е-2

80 1,9е-3 4,0е-1 4,6е-2 1,30 1,Зе-1 2,Зе-4 8,6е-2 3,6е-2

120 2,1е-3 6,7е-1 5,9е-2 1,41 9,4е-2 1,8е-4 9,4е-2 2,8е-2

160 2,3е-3 9,5е-1 5,9е-2 1,49 7,Зе-2 1,5е-4 8,6е-2 2,Зе-2

метод панелей

20 8,2е-1 8,5е-1 2,8е-1 3,2 1,1 5,9е-4 6,5е-1 4,Зе-2

40 7,5е-1 1,3 2,0е-1 3,3 1,2 4,2е-4 4,0е-1 2,9е-2

80 6,6е-1 2,0 1,5е-1 3,0 1,9 2,7е-4 2,7е-1 1,8е-2

120 6,0е-1 2,6 1,2е-1 3,1 36 1,8е-3 2,Зе-1 1,Зе-2

160 5,5е-1 3,0 1,1е-1 3,2 1,2 2,2е-4 2,0е-1 1,1е-2

Таблица 1 Зависимость от N максимальной погрешности е в окрестностях передней (х = 0) и задней (х = 1) кромок для решения СИУ-2 и СИУ-1 для несимметричных профилей Жуковского толщины 1% и 20% методом криволинейных панелей и стандартным методом панелей

нецелесообразно, однако для тонких профилей в передней кромке точность решения СИУ 1-го рода выше точности решения СИУ 2-го рода В заключении даются основные результаты диссертации В приложении приведены основные алгоритмы программы решения СИУ, формулы для точного вычисления интегралов по криволинейным панелям, а также формулы точного решения задачи обтекания профиля Жуковского методом конформных отображений

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Редреев, Д.Г Применение кубических сплайнов для аналитического представления замкнутого контура, заданного таблицей координат / Д Г Редреев // Тезисы докладов 10-ой Межвузовской конференции по математике и механике, Алматы. — 2004 - Т 29 — С 225.

2 Редреев, ДГ Применение кубических сплайнов для аналитического представления замкнутого контура, заданного таблицей координат / Д.Н Горелов, Д Г Редреев // Сибирский журнал индустриальной математики — 2005 - Том 8, № 2(22) - С 26-31.

3 Редреев, Д Г К моделированию контура криволинейными панелями / Д Г Редреев // Сборник трудов III Международной конференции студентов

и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», посвященной 110-летию Томского политехнического университета, Томск — 2006 -С 185-187

4 Редреев, Д Г Решение плоских краевых задач теории крыла методом криволинейных панелей / Д Н Горелов, Д Г Редреев // Тезисы докладов XXI Всероссийской конференции «Аналитические методы в газовой динамике САМГАД-2006», Санкт-Петербург - 2006 - С 32-33

5. Редреев, ДГ Построение квадратурной формулы для сингулярного интеграла с ядром Коши по контуру крылового профиля / ДН Горелов, Д Г. Редреев // Вычислительные технологии — 2006 — Том 11, № 4 — С 2936

6 Редреев, Д Г Решение сингулярных интегральных уравнений теории крыла модифицированным методом панелей / Д Г Редреев // Омский научный вестник — 2006 - № 6(41) — С 52-56

Подписано в печать 18 09.07 Формат 60x84/16. Бумага писчая. Оперативный способ печати Усл. печ л 1,0 Тираж 100 экз. Заказ № 181

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» тел (3812) 65-23-73. 644050, г Омск, пр. Мира, 11А Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04 97

Введение

1. Постановка задачи

1.1. Краевая задача обтекания контура профиля потоком жидкости для комплексной скорости.

1.2. Сведение краевой задачи к сингулярным интегральным уравнениям

1.3. Обзор методов решения СИУ с ядром Коши.

1.4. Решение СИУ методом дискретных вихрей.

1.5. Решение СИУ методом панелей.

1.6. Цели и задачи работы.

2. Аналитическое задание контура крылового профиля

2.1. Задание контура профиля уравнениями дужек.

2.2. Аналитическое представление контура крылового профиля, заданного таблицей координат.

2.3. Задание контура конформным отображением окружности

3. Выбор панелей и распределения интенсивности вихревого слоя

3.1. Выбор панелей.

3.1.1. Выбор криволинейных панелей.

3.1.2. Оценка точности аппроксимации контура.

3.2. Представление решения.

3.2.1. Представление искомой интенсивности вихревого слоя

3.2.2. Анализ представления решения.

4. Квадратурная формула для сингулярного интеграла с ядром Коши 54 4.1. Обзор квадратурных формул для сингулярного интеграла с ядром Коши.

4.2. Построение квадратурной формулы.

4.3. Оценка точности квадратурной формулы.

4.4. Доказательства вспомогательных утверждений.

5. Метод криволинейных панелей

5.1. Решение СИУ методом криволинейных панелей.

5.2. Тестовые расчеты

5.2.1. Выбор положения контрольных точек.

5.2.2. Сравнительная оценка разработанного метода и стандартного метода панелей

В прикладных задачах требуется производить расчет характеристик обтекания крыловой поверхности (крыло самолета, лопасти вентилятора) потоком жидкости или газа. Гипотеза плоских сечений значительно упрощает расчеты, позволяя перейти от исследования пространственного потока к задаче на плоскости. Применение модели стационарного потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости приводит к краевой задаче для комплексной скорости, являющейся аналитической функцией вне крылового профиля. Эта краевая задача может быть сведена к сингулярным интегральным уравнениям (СИУ) относительно интенсивности вихревого слоя, что снижает размерность задачи на единицу.

В некоторых случаях решение СИУ может быть получено в аналитическом виде, соответствующие формулы приводятся в книгах Ф.Д. Гахова [14], Н.И. Мусхслишивили [40]. На практике СИУ решается численными методами. Основные результаты по теории приближенных методов решения СИУ могут быть найдены в книгах В.В. Иванова [29], Б.Г. Габдулхаева [10, И, 12[, И.В. Бойкова [7]. Также следует упомянуть работы Д.Г. Саникидзе, Ш.С. Ху-бежты.

В теории крыла основными методами решения СИУ в настоящее время являются метод дискретных вихрен (МДВ) и метод панелей (МП). Они позволяют свести СИУ к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Основные результаты по разработке и применению метода дискретных вихрей можно найти в книгах С.М. Белоцерковского и И.К. Лифанова [4, 35]. Метод панелей был развит в работах Дж. Хесса (J.L. Hess) [G3]-[66[. Метод, как и метод дискретных вихрей, широко применяется в практических расчетах.

В методе дискретных вихрей непрерывно распределенный по контуру вихревой слой заменяется конечным числом вихрей, а граничные условия выполняются в контрольных точках. МДВ показал свою эффективность для расчета разомкнутых контуров (дужек). При этом применение равномерного распределения вихрей и контрольных точек по дужке приводит к неустранимой погрешности в окрестностях се концов [36, 56,19]. Сходимость на всей дужке может обеспечить метод локальной аппроксимации вихревого слоя [1С]. Метод дискретных вихрей также был рекомендован для расчета телесных профилей [2]. Детальный анализ, проведенный в [19], показывает, что применение равномерного распределения вихрей оказывается практически невозможным для расчета таких профилей. В качестве иллюстрации приведем на рис. 1, взятом из [19], расчеты 10% симметричного профиля Жуковского МДВ с равномерным распределением вихрей и контрольных точек по его контуру.

Решение СИУ-1 Решение СИУ-2

Рис. 1. Оценка точности решения задачи обтекания 10% симметричного профиля Жуковского при угле атаки а = 10° методом дискретных вихрей. Сплошная линия — точное решение, кружки — расчет.

Приведенные результаты расчета показывают, что метод дискретных вихрей целесообразно применять только для расчета СИУ 1-го рода (СИУ-1), для СИУ 2-го рода (СИУ-2) метод дает низкую точность на всем контуре [19]. При этом для СИУ-1 наибольшая погрешность достигается в окрестности передней кромки. Повысит!, точность решения возможно за счет неравномерного распределения вихрей в окрестностях кромок профиля. Например, в

3] для увеличения числа вихрей в окрестности задней кромки предлагается рассчитывать их координаты по закону здесь N — общей число вихрей на одной дужке. Другой способ заключается в выборе расположения вихрей, удовлетворяющим следующему свойству: расстояние между соседними вихрями должно быть меньше локальной толщины профиля в окрестности данных вихрей [3, 35]. Выбор закона неравномерного распределения вихрей является проблематичным, поскольку требует в каждом конкретном случае дополнительного анализа.

В методе панелей контур заменятся полигоном, составленным из конечного числа панелей, искомое решение на панелях представляется в виде полинома с неизвестными коэффициентами, а граничные условия выполняются в конечном числе контрольных точек. Как правило, в стандартных вариантах МП (далее стандартный МП) панели выбираются как отрезки, а искомое решение на каждой панели — в виде линейной функции. Согласно анализу проведенному в книге [19], стандартный МП дает хорошие результаты для расчета достаточно толстых телесных профилей, но с уменьшением толщины точность решения падает. При этом в отличие от МДВ максимальная погрешность решения СИУ-1 достигается в окрестности задней кромки, для решения СИУ-2 в окрестности передней кромки. Для иллюстрации приведем на рис. 2, взятом из [19], примеры расчета того же профиля Жуковского методом панелей с равномерным разбиением контура на панели.

Увеличить точность расчета в передней кромке возможно, следуя рекомендациям в работе [48], за счет неравномерного расположения панелей. Но это требует проведения дополнительных исследований в каждом отдельном случае, что является проблематичным.

Приведенный анализ показывает, что решение СИУ для телесных профилей целесообразно проводить методом панелей. В то же время известные варианты метода могут давать относительно большую погрешность в окрест

Решение СИУ-1

Решение СИУ-2

Рис. 2. Оценка точности решения задачи обтекания 10% симметричного профиля Жуковского при угле атаки о; = 10° стандартным методом панелей. Сплошная линия — точное решение, кружки — расчет. ности передней кромки, особенно для тонких профилей. Ввиду этого является актуальной цель работы: разработка модификации метода панелей — метода криволинейных панелей — которая позволила бы эффективно решать СИУ, соответствующие краевым задачам обтекания крыловых профилей произвольной толщины, включая сколь угодно малую. При этом метод должен обеспечивать высокую точность решения СИУ для широкого класса профилей и точное вычисление интегралов по криволинейным панелям.

Основная идея, применяемая при модификации метода, это учет асимптотики уравнения контура для выбора панелей и асимптотики интенсивности вихревого слоя в случае предельно тонкого профиля (дужки) для выбора распределения искомого решения на панелях.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Структура работы обусловлена алгоритмом метода панелей. Так, последовательно рассматриваются выбор уравнения панелей, выбор вида искомого решения на них, замена в уравнении сингулярного интеграла квадратурой и, наконец, алгоритм модифицированного метода.

Заключение

В работе получены следующие результаты:

1. Построено аналитическое представление контура, заданного таблицей координат, с учетом асимптотики в окрестности передней кромки профиля;

2. Предложены уравнения криволинейных панелей с учетом асимптотики контура;

3. Предложено представление искомого решения на панелях с учетом асимптотики интенсивности вихревого слоя в предельном случае дужки;

4. Построена квадратурная формула для сингулярного интеграла с ядром Коши но замкнутому контуру;

5. Разработан алгоритм решения сингулярных интегральных уравнений 1-го и 2-го родов с ядром Коши методом криволинейных панелей.

Разработанная модификация метода панелей, метод криволинейных панелей, позволяет решать краевые задачи обтекания крылового профиля стационарным потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости с высокой точностью для широкого класса крыловых профилей, включая профили сколь угодно малой толщины.

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Наука, 1987. - 600 с.

2. Метод дискретных вихрей в заадчах гидродинамики с жидкими границами / В.В. Бабкин, С.М. Белоцерковский, В.В. Гуляев, Н.М. Моляков // ДАН СССР. 1980. - Т. 254, № 5.

3. Математическое моделирование шюскопараллельного отрывного обтекания / С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров.- М.: Наука, 1988. 232 с.

4. Белоцерковский, С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике / С.М. Белоцерковский, И.К. Лифанов. — М.: Наука, 1985.- 253 с.

5. Бенерджи, П. Метод граничных элементов в прикладных науках / П. Бе-нерджи, Р. Баттерфилд. — М.: Мир, 1984. — 494 с.

6. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики: Учебник. — М.: Наука, 1982. 336 с.7j Бойков, И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И.В. Бойков. — Пенза: Изд-во ПГУ, 2005. — 316 с.

7. Бреббия, К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубсл. М.: Мир, 1987. - 524 с.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976.- 528 с.

9. Габдулхаев, Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. — 232 с.

10. И. Габдулхаев, Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Численный анализ / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1994. — 288 с.

11. Габдулхаев, Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1995. 230 с.

12. Габдулхаев, Б.Г. Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений 1-го рода. Учебное пособие / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина, 2006. — 137 с.

13. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. — М.: Физматгиз, 1963. — 640 с.

14. Горелов, Д.Н. О сходимости метода дискретных вихрей, основанного на локальной аппроксимации вихревого слоя / Д.Н. Горелов // Динамика сплошной среды: Сб.науч. тр. / Ин^г гидродинамики СО АН СССР. — Новосибирск, 1984. № 68. - С. 82-91.

15. Горелов, Д.Н. Об интегральных уравнениях задачи обтекания профиля / Д.Н. Горелов // Изв. РАН, МЖГ. 1992. - № 2. - С. 173-177.

16. Горелов, Д.Н. Расчет распределения давления вблизи передней кромки профиля в методе дискретных вихрей / Д.Н. Горелов // ПМТФ. — 1996. Т. 37, X« 1. - С. 114-122.

17. Горелов, Д.Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла / Д.Н. Горелов. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 215 с.

18. Горелов, Д.Н. Применение кубических сплайнов для аналитического представления замкнутого контура, заданного таблицей координат / Д.Н. Горелов, Д.Г. Редреев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. - Т. 8, № 2(22). - С. 26-31.

19. Горелов, Д.Н. Построение квадратурной формулы для сингулярного интеграла с ядром Коши но контуру крылового профиля / Д.Н. Горелов, Д.Г. Редреев // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11, № 4. — С. 29-36.

20. Горелов, Д.Н. Применение системы интегральных уравнений к решению плоских краевых задач теории крыла / Д.Н. Горелов, Ю.С. Смолин // Вычислительные технологии. — 1999. — Т. 4. — С. 24-29.

21. Гребенников, А.И. Методы сплайнов и решение некорректных задач теории приближений / А.И. Гребенников. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 208 с.

22. Громадка II, Т. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: Пер. с англ / Т. Громадка И, Ч. Лей. — М.: Мир, 1990. — 303 с.

23. Де Бор, К. Практическое руководство по сплайнам / К. Де Бор. — М.: Радио и связь, 1985. — 304 с.

24. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. — М.: Наука, 1980. 352 с.

25. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Аки-лов. М.: Наука, 1984. - 752 с.

26. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. M-Л.: ГИТТЛ, 1952. - G9G с.

27. Карафоли, Е. Аэродинамика крыла самолета / Е. Карафоли. — М.: АН СССР, 1956. 480 с.

28. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

29. Корнейчук, A.A. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов / A.A. Корнейчук // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М., 1964. — С. 64-74.

30. Лифапов, И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И.К. Лифапов. — М.: Янус, 1995. — 520 с.

31. Лифапов, И.К. Обоснование численного метода «дискретных вихрей» решения сингулярных интегральных уравнений / И.К. Лифанов, Я.Е. Полонский // ППМ. 1975. - Т. 39, № 4. - С. 742-746.

32. Михлин, С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г. Михлин , Х.Л. Смолицкпй. — М.: Наука, 1965. 384 с.

33. Мирошниченко, B.JI. Об интерполяции и аппроксимации сплайнами / В.Л. Мирошниченко // Вычислительные системы: Сб. Новосибирск. — 1983. Выи. 100. - С. 83-100.

34. Мусаев, Б.И. Приближенное решение полного сингулярного интегрального уравнения на отрезке/ Б.И. Мусаев ; Инст. кибернетики АН АзССР. Баку, 1985. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ, 23.10.85, № 7377-85.

35. Мусхелишивили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Му-схелишивили. — М.: Наука, 1968. — 512 с.

36. Никольский, С.М. Квадратурные формулы / С.М. Никольский. — М.: Наука, 1979. 255 с.

37. Партон, В.З. Интегральные уравнения теории упругости / Партоп, В.З., Перлин П.И. М.: Наука, 1977. - 312 с.

38. Поляхов, H.H. К вопросу о сходимости метода дискретных вихрей / H.H. Поляхов, З.Н. Шестернина // Вести. Ленингр. ун-та. — 1979. — Л* 7. С. 75-81.

39. Пыхтеев, Г.Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Ко-ши специального вида / Г.Н. Пыхтеев. — Новосибирск, 1982. — 128 с.

40. Редреев, Д.Г. Решение сингулярных интегральных уравнений теории крыла модифицированным методом панелей / Д.Г. Редреев // Омский научный вестник. 2006. - № 6(41) - С. 52-56.

41. Рябченко, В.П. К расчету аэродинамических характеристик решеток профилей произвольной формы / В.П. Рябченко, В.Э. Сарен // Изв. АН СССР, МЖГ. 1972. - № 2. - С. 105-112.

42. Роженко, А.И. Абстрактная теория сплайнов: Учеб. пособие / А.И. Ро-женко. — Новосибирск: Изд. центр НГУ, 1999. — 176 с.

43. Самарский, A.A. Численные методы: Учеб. пособие для вузов / A.A. Самарский, A.B. Гулин. — М.: Наука, 1989. — 432 с.

44. Саникидзе, Д.Г. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с суммируемой плотностью методом механических квадратур / Д.Г. Саникидзе // Укр. мат. жури. 1970. - Т. 22, № 1. - С. 106-114.

45. Саникидзе, Д.Г. О равномерной оценке приближения сингулярных интегралов с Чебышевской весовой функцией суммами интерполяционного типа / Д.Г. Саникидзе // Сообщения АН Груз.ССР. 1974. - Т. 75, № 1. — С. 53-55

46. Саникидзе, Д.Г. К численному решению граничных задач методом аппроксимации сингулярных интегралов / Д.Г. Саникидзе // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29, № 9. - С. 1632-1644.

47. Саникидзе, Д.Г. О методе дискретных вихрей повышенной точности для численного решения одного класса сингулярных интегральных уравнений / Д.Г. Саникидзе // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, № 9. С. 1269-1275.

48. Саникидзе, Д.Г. К вопросу применения внешних узлов в модифицированных схемах дискретных вихрей /.Д.Г. Саникидзе, Ш.С. Хубежты //

49. Владикавказский математический журнал. — 2000. — Т. 2, № 3. — С. 3741.

50. Сареи, В.Э. О сходимости метода дискретных вихрей / В.Э. Сарен // Сибирский математический журнал. — 1978. — Т. 19, № 2. С. 270-278.

51. Старк, И. Обобщенная квадратурная формула для интегралов Коши / И. Старк // Ракетная техника и космонавтика. — 1971. — № 9. — С. 244245.

52. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т. Т. 2.: Пер. с англ. / К. Флетчер. — М.: Мир, 1991. — 552 с.

53. Хубежты, Ш.С. О квадратурных формулах для сингулярных интегралов / Ш.С. Хубежты // Владикавказский математический журнал. — Т. 5, № 2. 2003. - С. 50-58.

54. Хубежты, Ш.С. К численному решению задачи Дирихле методом локально-канонического разбиения / Ш.С. Хубежты // Владикавказский математический журнал. — Т. 5, № 2. — 2003. — С. 52-59.

55. Шешко, М.А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла / М.А. Шешко // Изв. вузов, Математика. — 1976. — № 12, — С. 108-118.

56. Boikov, I.V. Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals / I.V. Boikov // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2001. - Vol. 28, No. 3. - pp. 127-179.

57. Hess, J.L. Calculation of potential flow about arbitrary bodies / J.L. Hess, A.M.O. Smith // Prog. Aero. Sci. 1966 - Vol. 8. - pp. 1-138.

58. Hess, J.L. Higher-order numerical solution of the integral equation for the two-dimensional Neumann problem / J.L. Hess // Comput. Methods Appl. Mecli. Engng. 1973. - Vol. 2, No. 1. - pp. 1-15.

59. G5j Hess, J.L. Review of integral-equation techniques for solving potential-flow problems with emphasis on the surface-source method / J.L. Hess // Cornput. Methods Appl. Mech. Engng. 1975. - Vol. 5. — pp. 145-19G.

60. G6. Hess J.L. Improved solution for potential flow about arbitrary axisymmetric bodies by the use of a higher-order surface source method / J.L. Hess // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1975. - Vol. 5. - pp. 297-308.