автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка математической модели и программного комплекса для исследования динамических систем механообработки по наблюдаемой реализации

ГЛАВА 1. СПОСОБЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ МЕХАНООБРАБОТКИ.

1 Л.Основные понятия и способы моделирования.

1.1Л. Абстрактная модель системы произвольной природы.

1Л .2. Фазовое пространство моделируемой системы.

1 Л.З. Общие свойства сложных систем.

1.2. Математическое моделирование.

1.2.1. Обобщенный алгоритм построения математической модели

1.2.2. Способы построения математической модели.

1.3. Построение математических моделей механообработки способом микроподхода.

1.3.1. Моделирование автоколебаний обрабатывающего инструмента.

1.3.2. Общая структура математической модели динамической системы механообработки.

1.3.3. Определение общего вида и параметров уравнений, входящих в модель.

1.3.4. Формирование системы ограничений.

1.3.5. Анализ результатов моделирования.

1.4. Выводы.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПРОЦЕССОВ МЕХАНООБРАБОТКИ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ.

2.1. Базовые понятия и определения нелинейной динамики.

2.1.1. Классификация динамических систем.

2.1.2. Аттракторы динамических систем.

2.1.3. Количественные характеристики динамических систем и их взаимосвязь.

2.2. Описание стенда для проведения экспериментальных исследований.

2.2.1. Экспериментальная установка по снятию и оцифровке сигналов.

2.2.2. Предварительная обработка сигналов.

2.3. Реконструкция аттрактора динамической системы методом задержек.

2.4. Моделирование динамической системы путем построения эволюционных уравнений движения.

2.5. Выводы.

ГЛАВА 3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННОЙ МЕТОДИКИ МОДЕЛИРОВАНИЯ И СОПУТСТВУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ.

3.1. Реализация разработанной методики в виде программного комплекса.

3.1.1. Поиск коэффициентов уравнений методом наименьших квадратов.

3.1.2. Особенности программной реализации.

3.1.3 Исследование устойчивости на базе полученной модели.

3.2. Алгоритмы расчета количественных характеристик динамических систем.

3.2.1. Расчет фрактальной размерности.

3.2.3. Расчет старшего показателя Ляпунова.

3.2.3. Расчет информационной энтропии.

3.3. Выводы.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ТОКАРНОГО СТАНКА В ПРОЦЕССЕ МЕХАНООБРАБОТКИ РЕЗАНИЕМ.

4.1. Исследование динамики станка в зависимости от износа инструмента.

4.2. Определение сценария развития хаотичности.

4.3. Исследование режимов работы станка на предмет устойчивости к изменению входных данных.

4.4. Выводы.

ГЛАВА 5. ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЛОКАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ХАОТИЧНОСТИ АТТРАКТОРА.

5.1. Фрактальное кодирование аттрактора.

5.2. Описание алгоритма фрактального кодирования.

5.3. Программная реализация алгоритма.

5.4. Исследование локальной хаотичности аттрактора.

5.4.1. Введение новой характеристики хаотичности.

5.4.2. Программная реализация алгоритма определения погрешности самоподобия.

5.5. Выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ.

Актуальность работы. В последнее время наблюдается значительный интерес к моделированию динамических процессов и систем в области машиностроения. Речь идет о моделировании динамических систем механообработки в процессе точения и фрезерования, трения и износа, деформации, разрушения и т.д. Как показывает практика, эволюцию таких динамических систем достаточно сложно описать. Это связано с тем, что перечисленные процессы характеризуются большим числом входных параметров влияния, которые, в большинстве своем, обладают большой степенью нелинейности взаимодействия друг с другом, и это взаимное влияние сложно определить, учесть и корректно описать математически.

Тем не менее, проблема моделирования таких процессов является актуальной, так как на передний план здесь выходят такие задачи, как -минимизация времени обработки, ее качество, повышение устойчивости и предсказуемости процессов механообработки, прогнозирование износа инструмента, прочности деталей, выявление оптимальных режимов работы и т.д. Особенно важными в данной области являются задачи исследования устойчивости различных процессов механообработки, анализ их поведения во времени.

Создание адекватной модели динамического процесса и автоматизация поиска оптимальных, наиболее устойчивых режимов работы на полученной модели позволяет решить эти задачи.

Постоянно предпринимаются попытки создания универсального подхода к моделированию таких процессов и получения как результата математических моделей полно и достоверно описывающих эволюцию динамической системы в заданных условиях.

В данной работе предлагается моделирование таких динамических систем проводить на базе анализа какого-либо сигнала, сопровождающего исследуемый процесс. А именно - путем анализа множества временных рядов, генерируемых самой системой, которые, бесспорно, наиболее полно характеризуют поведение динамической системы на некотором подмножестве ее пространства состояний.

В связи с изложенным, актуальной задачей является разработка методики построения моделей динамических систем, позволяющей на основе временных рядов получать наиболее полную информацию об исследуемых динамических процессах, оценивать их устойчивость, выявлять закономерности поведения.

Цели работы. Разработка универсального подхода к моделированию динамических процессов механообработки методами нелинейной динамики.

Построение математической модели динамической системы по наблюдаемой реализации излучаемых ею сигналов, как системы эволюционных уравнений движения.

Программная реализация разработанной методики моделирования, алгоритмов расчета динамических характеристик, решение на базе этого задач исследования устойчивости, анализа поведения моделируемого процесса.

Методы исследования. Исследования, приведенные в диссертации, базируются на теории цифровой обработки сигналов, теории математического моделирования, методах и языках программирования, математическом анализе, технологии машиностроения, теории динамических систем и, в частности, ее разделов - нелинейной динамики и фрактального анализа.

Научная новизна состоит в:

1. Применении комплексного подхода к решению задач исследования устойчивости, анализа поведения, реконструкции динамических систем механообработки на базе предложенных методов и алгоритмов нелинейной динамики.

2. Разработанной методике построения математических моделей реальных динамических процессов, на основе их наблюдаемой реализации.

3. Введении новой характеристики динамических систем -погрешности самоподобия, применению этой характеристики к анализу локальной хаотичности моделируемого динамического процесса.

Практическая значимость работы заключается в разработке программного комплекса, позволяющего поэтапно производить моделирование динамических процессов, по временным рядам, автоматизировать процесс моделирования. Разработанные методы и алгоритмы, реализованные в программном комплексе, позволяют решать широкий спектр задач исследования динамических систем. Программный комплекс обладает широкими рамками и универсальностью применения, так как позволяет производить моделирование любых динамических процессов, представленных временными рядами. Применение комплекса способствует пониманию механизмов поведения, эволюции, устойчивости исследуемых динамических процессов.

На защиту выносятся:

1. Методика моделирования динамических систем механообработки путем реконструкции системы эволюционных уравнений.

2. Представление аттрактора динамической системы как мульти фрактала методом IFS-преобразований, алгоритм расчета распределения погрешности самоподобия, локальное исследование хаотичности динамического процесса.

3. Методика исследования свойств, оценки устойчивости, анализа поведения динамического процесса на основе разработанной модели.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Второй Международный междисциплинарный симпозиум "Фракталы и синергетика" (г. Москва, 2001г.); Международная научная конференция "Нелинейная динамика и прикладная синергетика" (г. Комсомольск-на-Амуре, 2002г.); Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Техника. Инновации" НТИ-2002 (г. Новосибирск, 2002г.); Пятый краевой конкурс-конференция молодых ученых и аспирантов при администрации Хабаровского края (г. Хабаровск, 2003г.); Международная научная конференция "Моделирование и исследование устойчивости динамических систем" DSMSI-2003 (г. Киев, 2003г.); На кафедре "Технология машиностроения" (КнАГТУ, 2001-2003г.)

Реализация работы. Результаты работы внедрены в учебный процесс на кафедре "Технология машиностроения" Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета, программный комплекс используется при выполнении научно-исследовательских работ в Центре вычислительного моделирования и информатики КнАГТУ.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, основных выводов, списка литературы. Работа изложена на 140 страницах машинописного текста, включая 40 рисунков

6. Результаты работы внедрены в учебный процесс на кафедре "Технология машиностроения", программный комплекс "Attractor Reconstruction" используется при выполнении научно-исследовательских работ в Центре вычислительного моделирования и информатики КнАГТУ, программный комплекс зарегистрирован в российском агентстве по патентам и товарным знакам (Роспатент, № 2003611263, заявл. 03.04.03, зарегист. 28.07.03 ).

1. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

2. Анищенко В. С. Аттракторы динамических систем /'Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5, № 1. С. 109-127.

3. Арнольд В. И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. Т. 1,2 М.: Наука, 1982.

4. Базров Б. М. Технологические основы проектирования самонастраивающихся станков. -М.: Машиностроение, 1978. 216 с.

5. Балакшин Б. С. Теория и практика технологии машиностроения. -М.: Машиностроение. Кн. 1, 1982. 288 е., Кн. 2, 1982. - 268 с.

6. Бидерман В. JI. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.

7. Бобров В. Ф. Основы теории резания металлов. М., 1975. - 344 с.

8. Бондаренко В. А., Дольников В. JI. Фрактальное сжатие изображений по Барнсли-Слоану // Автоматика и телемеханика.-1994.-N5.-с.12-20.

9. Вибрации в технике. Справочник: В 6 т., Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов. / Э. JI. Айрапетов, И. А. Биргер, В. JI. Вейц и др.: Под ред. Ф. М. Диментберга, К. С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1980. - 544 с.

10. Божокин С.В. Фракталы и мультифракталы / С. В. Божокин, Д. А. Паршин.- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 128с.

11. Бржозовский Б. М. Динамический мониторинг и оптимизация процессов механической обработки / Б. М. Бржозовский, В. В. Мартынов // СТИН.- 2002.- № 1С. 3 8.

12. Вульф А. М. Резание металлов- Л.: Машиностроение, 1973.-483 с.

13. Грановский Г. И., Грановский В. Г. Резание металлов. М.: Высшая школа, 1985.-304 с.

14. Жарков И. Г. Вибрации при обработке лезвийным инструментом. -Л.: Машиностроение, 1986. 184 с.

15. Жигарев Г, А. Управление шероховатостью обрабатываемой поверхности с помощью анализа сигналов акустической эмиссии.

16. Заславский Г. М. Стохастическая необратимость в нелинейных системах. -М.: Наука, 1970.

17. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.-271с.

18. Иванова В. С. Синергетика, прочность и разрушение металлических материалов.- М.: Наука, 1992. 159с.

19. Иванова В. С. От дислокаций до фракталов. / Сб. ФИПС. М.: Сборник тезисов докладов. 1999. С. 15 - 17.

20. Иванова В. С. Синергетика и фракталы в материаловедении / В. С. Иванова, А. С. Баланкин, И.Ж. Бунин, А. А. Оксогоев.- М.: Наука, 1994.-383с.: ил.

21. Кабалдин Ю. Г. Механизмы деформации срезаемого слоя и стружкообразования при резании // Вестник машиностроения. 1993. № 7. -с. 25-30.

22. Кабалдин Ю. Г. Структурно-энергетический подход к процессу изнашивания режущего инструмента. // Вестник машиностроения. 1990. - № 12.-с. 62-68.

23. Кабалдин Ю.Г. Повышение устойчивости процесса резания // Вестник машиностроения.- 1991.- № 6.- с.37-40.

24. Кабалдин Ю. Г. Управление стружкообразованием при резании углеродистых сталей // Вестник машиностроения. 1992. - № 2 - с. 44-48.

25. Кабалдин Ю. Г. Энергетические принципы управления процессами механообработки в автоматизированном производстве. // Вестник машиностроения. 1993. - № 1.-е. 37-42.

26. Кабалдин Ю. Г. Термодинамический подход к анализу причин возникновения вибраций при резании // Вестник машиностроения.- 1994.-№4.-С. 19-24.

27. Кабалдин Ю. Г., Медведева О. И. Повышение качества обработанной поверхности. // Вестник машиностроения. 1989. - № 5. - с. 42-46.

28. Кабалдин Ю. Г., Шпилев А. М. Повышение надежности процессов механообработки в автоматизированном производстве. Владивосток: Дальнаука, 1996. -264 с.

29. Кабалдин Ю. Г., Шпилев А. М. Самоорганизующиеся процессы в технологических системах обработки резанием. Диагностика, управление. Владивосток: Дальнаука, 1998. - 296 с.

30. Кабалдин Ю. Г., Шпилев А. М. Синергетический подход к процессам механообработки в автоматизированном производстве. // Вестник машиностроения. 1996. - № 8. - с. 13-19.

31. Кабалдин Ю. Г. Математическое моделирование самоорганизующихся процессов в технологических системах обработкирезанием / Ю. Г. Кабалдин, А. И. Олейников, А. М. Шпилев, А. А. Бурков. -Владивосток: Дальнаука, 2000. 195с.

32. Каданов JI. П. Пути к хаосу. В сб.: Физика за рубежом. Вып. 85. -М.:Мир, 1985. С. 9-32.

33. Клушин М. И. Резание металлов. 2-е изд., перераб. - М.: ГНТИ. Машлит, 1958. - 454 с.

34. Кратчфилд Д. Л., ФармерД. Д., Паккард Н. X., Шоу Р. С. Хаос. // В мире науки. 1987. С. 16-28.

35. Кретинин О. В. Исследование спектра ТЭДС и сил при резании: Науч. тр. / Горьковский политехи, ин-т. Горький, 1970 - т. 26, вып. 4. -с. 25-26.

36. Кретинин О. В., Елепини А. П., Кварталов А. Р., Выбор параметров для оценки износа инструмента в процессе обработки // Станки и инструмент. 1981-№2. - с. 25-26.

37. Кроль О. С., Зарубицкий Е. У., Киселев В. Н. Теория резания металлов в примерах и задачах: Учеб. пособие. Киев: УМК ВО, 1992. -124 с.

38. Кудинов В. А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967. -357с.

39. Кудинов В. А. Автоколебания на низких и высоких частотах (устойчивость движений) при резании. // Станки и инструмент. 1997. - № 10.-е. 16-22.

40. Кудинов А. В. Фрактальный подход к формированию поверхностей на металлорежущих станках // СТИН. -1996.- № 6.- С. 13 16.

41. Кузнецов С. П., Маленецкий Г. Г. Синергетика теория самоорганизации. Идеи, методы , перспективы. - М.: Знание, 1983. - 64 с.

42. Кузнецов А. Е., Кузнецов С. Д., Сатаев И. Р. Критическая динамика одномерных отображений. Ч. II. Двухпараметрический переход к хаосу // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, № 2. С. 17.

43. Лайгген X. О., Рихтер JI. X. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. -176 с.

44. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т VII. Теория упругости: Учеб. пособие. 4-е изд., испр. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 248 с.

45. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М: Наука, 1986. -272с.

46. Леви Б. Г. Новый глобальный фрактальный формализм описывает различные сценарии перехода к хаосу.- В. сб.: Физика за рубежом. Вып. 87.-М:

47. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и хаотическая динамиками Мир, 1984.

48. Ляпунов А. М. Собр. соч. Т.1,2.-М.:Изд-во АН СССР, 1954-1956.

49. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: ГИТТЛ, 1950.

50. Макаров А. Д. Оптимизация процессов резания. М.: Машиностроение. 1976. - 278 с.

51. Маленецкий Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Маленецкий, А. Б. Потапов. М.: УРСС, 2000.- 336с.

52. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.- Нью-Йорк, 1982.-254с.

53. Мандельштам Л. И. Лекции по колебаниям. М.: Изд-во АН СССР, 1955.

54. Музыкин С. Н., Родионова Ю. М. Моделирование динамических систем. Ярославль: Верхне-Волжское кн. изд-во, 1984. - 304 с.

55. Мун Ф. Хаотические колебания. М. : Мир, 1990.

56. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 472 с.

57. Неймарк Ю. И., Ланда Л. С. Стохастические и хаотические колебания, 1987. 424 с.

58. Нелинейная динамика, фракталы и нейронные сети в управлении технологическими системами // Сб. статей под ред.докт. техн. наук, проф. Кабалдина Ю.Г. Владивосток : Дальнаука, 2001. - 205 с.

59. Орликов М. Л. Динамика станков. 2-е изд., перераб. и доп. - К.: Выщашк., 1989.-275 с.

60. Оселедец В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем. Тр. Моск. мат. об-ва, т. 19, с. 179-210, 1968.

61. Проектный анализ надежности: Справочник. Т. 5. Надежность и эффективность в технике / Б. И. Бельчич, В. Ф. Грибанов, Э. В. Дворецкий и др. / Под ред. В. И. Патрушева и А. И. Рембезы. М.: Машиностроение, 1988.-320 с.

62. Песин Я. Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория. УМН, т.32, с.55-112, 1977.

63. Пригожий И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М.: Мир, 1986. - 430 с.

64. Подураев В. Н., Барзов А. А., Горелов В. А. Технологическая диагностика резания методом акустической эмиссии. М.: Машиностроение, 1988. - 56 с.

65. Проников А. С. Надежность машин. М.Машиностроение, 1978. -592 с.

66. Проников А. С. Параметрическая надежность машин и технологического оборудования. Проблемы, перспективы, тенденции //Проблемы машиностроения и надежности машин. 1990. - № 2. - с. 5059.

67. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды. Т. 1,2-М.: Наука, 1971.

68. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984. 432с.

69. Раскин JI. Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления. М.: Сов. радио, 1976. - 344 с.

70. Ратмиров В. А. Управление станками гибких производственных систем. -М.: Машиностроение, 1987. 272 с.

71. Рыжков Д. И. Вибрации при резании металлов и методы их устранения. -М., 1961. 72 с.

72. САПР: Система автоматизир. проектирования: Учеб. пособие для втузов. В 9 кн. Кн.4. Математические модели технических объектов / В.А.Трудоношин, Н.В.Пивоварова. Минск.: Вышэйшая школа, 1988. -159 с.

73. Синай Я. Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР. 1959. Т. 124, С. 768-771.

74. Справочник технолога-машиностроителя. В 2-х томах. Т.2 /Под ред. А. Г. Косиловой, Р. М. Мещерякова. М.: Машиностроение, 1985. - 486 с.

75. Суслов А. Г. Технологическое обеспечение параметров состояния поверхностного слоя деталей,- М.: Машиностроение, 1987.- 208с.: ил.

76. Тверской М. М. Автоматическое управление режимами обработки деталей на станках. М.: Машиностроение. 1982. - 208 с.

77. Трент Е. М. Резание металлов. М.: Машиностроение, 1980. - 263 с.

78. Трефилов В. И. Связь фрактальной размерности поверхности разрушения с механическими свойствами / В. И. Трефилов, В. В. Картузов,Н. В. Минаков // Сб. ФИПС-99. Фракталы и прикладная синергетика.-Москва. : 1999.-С. 10-11.

79. Трубецков Д. И. Турбулентность и детерминированный хаос. Соросовский образовательный журнал. 1998. № 1. С. 77-83.

80. Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, функции, распределения, Киев Наука, думка, 1992 .

81. Федер Е. Фракталы. -М.: Мир, 1991. 260с.

82. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем. Ц УФН. 1983. Т. 141, № 2. С. 343-374.

83. Ферми Э., Ласта Дж., Улам С. Исследование нелинейных задач.— В кн.: Ферми Э. Научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 645-656.

84. Хакен Г. Синергетика. Пер. с англ.- М.: Мир, 1973.- 404с.

85. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая.- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001,528с.

86. Экман Ж. Переход к турбулентности в диссипативных динамическихсистемах. В кн.: Синергетика /Под ред. Б.Б.Кадомцева. -М.: Мир, 1984.С.190-219.

87. Ящирицын П. И. и др. Теория резания. Физические и тепловые процессы. Мн.: Выш. шк., 1990. - 512 с.

88. Baker G. L., Gollub J. P., Blackburn J. A. Inverting chaos: Extracting system parameters from experimental data. Chaos 6, 528-533 (1996).

89. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments. Phys. Rev. 14, 2338-2345 (1976).

90. Breeden J. L., Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables. Phys. Rev. A 42, 5817 (1992).

91. Devaney R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. -Addison-Wesley Publ. Co, Inc., 1989. 336p.

92. Eckmann J. P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors. Rev. Mod. Phys. 57, 617-656 (1985).

93. Farmer J. D. Information dimension and the probabilistic structure of chaos. Z. Naturforsch. 37, 1304-1325 (1982).

94. Fraser A. M., Swinney H. L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information. Phys. Rev. A 33, 1134-1140 (1986).

95. Gerald A. E. Measure, Topology and Fractal Geometry . N . Y . Springer-Verlag, 1990

96. Grassberger P. Generalized dimensions of strange attractors. Phys. Lett., 227-231 (1983).

97. Grassberger P., Procaccia I. Estimation of the Kolmogorov entropy from a chaotic signal. Phys. Rev. A 28, 2591-2593 (1983).

98. Hausdorff G. Dimension und auberes Mab. Math. Ann. 79, 157-179 (1919).

99. Henon M. Two dimensional mapping with a strange attractor. Comm. Math. Phys. 50, 69-77 (1976).

100. Hentschel G. E., Procaccia I. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors. Physica 8, 435-444 (1983).

101. Kaplan J. L., Yorke J. A. Chaotic behavior of multidimensional difference equations. Lect. Notes in Math. 730, 204-227 (1979).

102. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow. J.Atmos. Sci. 20, 130-141 (1963).

103. Mane R. On the dimension of the compact invariant sets of certain nonlinear maps.—In: Dynamical systems and turbulence. Lecture Notes in Mathematics /Eds D.A. Rand, L.-S. Young— Berlin: Springer-Verlag, 1981. V. 898.

104. Nerenberg M.A., Essex C. Correlation dimension and systematic geometric effects. Phys.Rev. A 42, 7605 (1986).

105. Renyi A. Probability Theory.-Amsterdam: North-Holland (1970).

106. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys. 20, 167(1971).

107. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. In: Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics, edited by D.A.Rand L.S.Young. Heidelberg: Springer-Verlag, 366-381 (1981).

108. Theiler J. Estimating the fractal dimension of chaotic time series. Lincoln Lab. J. 3, 63-86 (1990).

109. Van der Pol B. On relaxation oscillations. Phil. Mag. 2, 978-992 (1926).

110. Vastano J. A., Kostelich E. J. Comparison of algorithms for determining Lyapunov exponents from experimental data. In: Dimension and Entropies in Chaotic Systems, edited by G.Mayer-Kress. Berlin: Springer-Verlag, 100-107 (1986).

111. Wolf A., Swift J. В., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D 16, 285-317 (1985).

112. Rossler О. E. An equation for continuous chaos. Phys. Lett. A 57, 397398 (1976).

113. Rowlands G., Sprott J. C. Extraction of dynamical equations from chaotic data. Physica D 58, 251 (1992).Н