автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка математических моделей и исследование резонансоного метода неразрушабщего контроля качества стеклопластиковых труб

На правах рукописи

КУЗЬМИН Петр Иннокентьевич

РАЗРАБОТКА МПТЕМЛТПЧЕСШ! МОДЕЛЕЙ [] ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНОГО МЕТОДА ПЕРЛЗРУШЛШЩЕТО [ЮПТРОЛП КАЧЕСТВА СТЕИЛОПЛЛСТИШЫН ТРУБ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск 1996

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики и прикладной математики Алтайского государственного университета, г. Барнаул.

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Оскорбин Н. М.

Официальные оппоненты: - доктор технических наук,

профессор Изаксон В. Ю. кандидат физико-математических наук, доцент Глушкова Е. С.

Ведущая организация - Алтайский государственный технический

университет имени И. И. Ползунова, г. Барнаул

Защита диссертации состоится 1996 г.

в ^ ^ часов на заседании диссертационного совета К 06- 57. 02 в Якутском государственном университете имени М. К. Аммосова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЯГУ.

Автореферат разослан "__ ___ 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 064.57.02 д. ф.-м. н. В.И.Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С развитием технической базы производства повышаются требования к качеству производимых изделий. В большей мере это касается серийного производства, а также производства изделий ответственного назначения. Поэтому одной из острых научных проблем является проблема разработки и развития неразрушающих методов контроля качества изделий.

На современном этапе развития науки и компьютеризации производства возникает проблема разработки систем и методов контроля, использующих измерительную технику, входную информацию традиционных методов неразрушающего контроля и основанных на анализе математических моделей систем контроля. Разработка таких систем и методов неразрушающего контроля способствует решению основной задачи теории измерений - повышению информативности традиционных методов измерения величин и понижению неопределенности измеряемых сигналов. С точки зрения теории измерений таким моделируемым физическим явлением для выбранного метода контроля будет служить принятая в рамках метода схема воздействия на контролируемый объект или изделие. Использование методов теории измерения в сочетании с математическими моделями объекта измерений позволяет получать количественные связи параметров изделий от измеряемых переменных, оценивать погрешности измерений. В ряде случаев возможность построения новых систем контроля существенно связана с методом математического моделирования.

В настоящее время распространено производство труб малого диаметра и сложной формы из различных материалов и, в частности, из стеклопластиков. Одним из методов, используемых для решения проблемы неразрушающего контроля качества стеклопласти-ковых труб в массовом производстве, является резонансный метод, при котором в режиме свободных изгибных или продольных колебаний изделия, измеряются его первые собственные частоты. Качество изделий связано со значениями собственных частот. Опытным путем получены значения первых ш значений частот для изделий без брака. При этом выявлено, что установить границы интерва-

з

лов допуска, согласованные с оптимальными величинами ошибок первого и второго рода не представляется возможным. Проблема расчета оптимальных границ интервалов допуска может быть решена путем получения количественных зависимостей непосредственных параметров изделий от указанных факторов. Анализ литературы показывает, что оптимизация границ интервала допуска для резонансного метода контроля стеклопластиковых труб не проводилась.

В данной работе рассматривается математическая модель измерительной системы резонансного метода неразрушающего контроля качества труб и проводится ее исследование с целью разработки алгоритмов оптимизации границ допуска годности изделий, а также установления количественных связей между измеряемыми значениями собственных частот колебаний и параметрами упругости изделий. Решение этих задач позволяет повысить эффективность систем контроля.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование путей повышения точности и эффективности резонансного метода неразрушающего контроля качества стеклопластиковых труб в процессе их производства на основе математического моделирования измерительной системы.

В соответствии с изложенной целью в работе сформулированы и решены следующие задачи.

1. Разработка теоретической модели измерительной системы неразрушающего контроля качества труб и обоснование ее применимости.

2. Разработка алгоритмического и программного обеспечения измерительной системы на основе анализа математической модели схемы контроля резонансного метода.

3. Проведение расчетов и имитационное моделирование измерительной системы неразрушающего контроля качества труб с целью оценки устойчивости алгоритмов, оценки погрешности применяемых методов контроля, оптимизации границ допуска.

4. Аппробация результатов диссертации в производственных условиях.

Методы исследований. Для решения указанных задач исполь-

зуются методы математического моделирования и теории измерений, элементы теории методов неразрушающего контроля, теории упругости, методов оптимизации и вариационного исчисления, численные методы линейной алгебры и вычислительной математики.

Научная новизна проведенных в работе исследований состоит в следующем.

1. Разработаны и проверены алгоритмы вычисления значений собственных частот изгибных колебаний стеклопластиковых труб с кольцевыми дефектами.

2. Сформулирована обратная задача расчета параметров дефекта труб с кольцевыми дефектами по измеренным значениям собственных частот изгибных колебаний. Предложены и аппробированы алгоритмы численного решения обратной задачи. Разработана соответствующая схема неразрушающего контроля изделий.

3. Предложены алгоритмы обработки данных для измерительной системы неразрушающего контроля стеклопластиковых труб и решена задача оптимизации границ допуска по стоимостному критерию.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, потверждается во-первых, использованием математических моделей измерительной системы резонансного метода, во-вторых, проверкой математических моделей на изделиях без брака, в-третьнх, проверкой на производстве по фактическим данным при испытаниях и внедрении.

Практическая ценность результатов диссертационной работы состоит в следующем.

1. Разработана методика выбора оптимальных значений границы допуска для резонансного метода контроля, исходя из стоимостного критерия.

2. Разработано математическое и программное обеспечение для измерительной системы неразрушающего контроля труб. Разработаны и проверены алгоритмы численных процедур для решения прямой и обратной задачи расчета колебаний составного стержня (многостержневой системы), аппроксимирующего стержни с неоднородными характеристиками и трубы с кольцевыми дефектами.

Реализация результатов работы. Результаты внедрены на

опытном производстве стеклопластиков предприятия НПО "Алтай" и использованы при проектировании промышленного оборудования производства стеклопластиковых труб. Условный экономический эффект от использования результатов диссертационной работы при объеме производства 1000 изделий в год достигает 2 миллионов рублей в ценах 1992 года. Результаты диссертационной работы использованы при разработке программного обеспечения учебного цикла "Диалоговые процедуры минимизации", переданного в ОФАП Росминвуза в 1991 г. и внедренного в учебный процесс АГУ.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

- Всесоюзном научно-техническом семинаре "Моделирование и автоматизация технологических процессов в приборостроении" (Барнаул, 1991);

- Второй Всесоюзной конференции "Измерения и контроль при автоматизации производственных процессов" (Барнаул, 1991)

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 4 работы [1-4]. Работы [2]-[4] содержат формулировки основных результатов диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 90 наименований. Объем диссертации составляет 95 страниц машинописного текста. В приложении представлены документы, подтверждающие внедрение результатов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена актуальность работы, определены цель, задачи и методы исследования.

В первой главе обсуждаются проблемы неразрушающего контроля качества стеклопластиковых труб на основе резонансного метода. Приведено описание измерительной системы данного метода контроля качества труб, процедуры контроля, а также физические основы изгибных колебаний контролируемых изделий.

Изделия имеют форму цилиндрических труб длины ь с известными характеристиками - внешним диаметром Б, внутренним диа-

метром <1 и плотностью д, армированных пучком нитей из стекловолокна. Для таких изделий характерен дефект в виде симметрично расположенной по кольцу неоднородности, возникающей либо из-за неравномерного натяжения пучка нитей в какой-то промежуток времени, либо из-за изменения упругих характеристик нитей на некотором участке. Возможны обрывы нитей продольного и осевого направления, замена или остановка вертлюга.

Резонансный метод измерения величин основывается на том, что всякое изделие имеет свой, присущий только ему, спектр значений собственных частот, и поэтому схема контроля изделий выглядит следующим образом - на специальной установке возбуждаются собственные частоты изделия. Типовая измерительная система метода содержит возбудитель механических колебаний, блок усиления колебаний, фильтр и частотомер. Контроль заключается в том, что за основу берется конечный спектр значений частот заведомо бездефектной трубы - эталонной трубы - и определяются границы изменения частот. Если у испытуемого изделия значения частот не выходят за границы, то оно признается годным. В противном случае считается бракованным.

Достоинством резонансного метода является простота реализации. Однако, этот метод имеет следующие недостатки. Во-первых, он выявляет только подозрительные на дефект трубы. Во-вторых, нельзя определить локальное значение модуля упругости Е для неоднородных участков трубы, т. е. участков дефекта. Значение постоянного модуля упругости е (и только для изделий простой формы) может быть найдено из следующего соотношения

г

/--/ ш*5

Л = ■/2*Л*f «У - , к= 1 , 2 , . . .

к к У

,1*Е

где а - момент инерции [м4]; ш - масса единицы объема [кг]; Б -

площадь поперечного сечения [м2]; Е - модуль упругости [кг/м2].

На практике значения границ интервала допуска [£~, £+]

к к

для к-ой частоты £ , удовлетворяющей неравенствам £ < £ < £ + _ к к к к

(к=1,т) определяется опытным путем. При этом возможны следующие случаи:

- среди изделий, признанных разбраковочным автоматом бра-

кованными, могут встретиться годные по своим параметрам изделия (ошибка 1-го рода);

- среди изделий, признанных автоматом годными, могут встретиться бракованные изделия (ошибка 2-го рода).

Сформулирована задача минимизации суммы потерь от ошибок 1-го и 2-го рода по стоимостному критерию. В главе 3 эта задача поставлена в терминах задач оптимизации и предложен алгоритм ее решения.

В работе проведена формализация понятия дефектной трубы,

под которой понимается труба, имеющая на определенном участке

(ь.ь+дъ) значение модуля упругости е , которое лежит вне ин-

<1

тервала [е_,е+], т.е. Е<а е [е_, е+], где ь - длина трубы.

В разделе 1.2. приведен обзор методов моделирования для задачи оценки характеристик упругости на основе информации о значениях собственных частот. В качестве исходной принята модель изгибных (поперечных) колебаний составного стержня с условиями закрепления концов стержня. В основе модели лежит уравнение в частных производных 4-го порядка изгибных колебаний стержня и условия согласования на границах зон.

Обозначим через ив - число блоков (участков или зон) составного стержня, через 1 - номер блока. Уравнение изгибных колебаний составного стержня (трубы) имеет вид

а2 v е »и _

-'(х.о + —!—-'(х.о = а , 1=1, ив (1)

д\} ш *Б (Эх4

1 1

Здесь V сх,1) - отклонение стержня от положения равновесия в момент времени на расстоянии х ( о < х < ь ) от левого конца стержня на 1-ом участке [ м ]; в , .1 , т , б - соответствующие параметры 1-ого участка стержня.

Определены граничные и начальные условия. Граничные условия выбираются -в соответствии со способом испытаний труб, принятым в конкретной измерительной установке. Например, в случае свободно колеблющихся концов, следует приравнять к нулю изгибающий момент на левом конце стержня (первом участке):

дгм

е --1 (0, и = о , (2)

11,2 4 ' ох

а также приравнять к нулю поперечную силу

е j - (0,1) = о (3)

Аналогичные условия будут иметь место на правом конце (ыв-ом участке):

д'ч

е л --в (ь, и = о , (4)

и о и о о ' 1

е j -- (ь, 1) = о (5)

N в N в , з Ох

Кроме того, имеют место уравнения, выполняющиеся на границах х=Ь1 участков (зон, блоков).

Во-первых, на границе должны быть равны между собой отклонения от положения равновесия соседних блоков:

V ( I. , Ъ ) = V (Ь.О , 1=1,ыв. (6)

11 1+11

Во-вторых, на границах х^ должны быть равны друг другу

углы наклона касательных отклонений соседних блоков:

дм дм _

--([...ы = ——<1.. ,1) , 1 = 1,ыв. (7)

дх 1 дх 1

Далее, на границах участков х^ должны быть равны между собой изгибающие моменты соседних участков стержня:

д2м

(ь = е j -!—— (i. ,1). 1 = 1,ив. (8)

1+1 1+1 =2 I

Ох

И наконец, на границах х=ц( участков должны совпадать поперечные силы :

д3 V а3 V _

е J -? с 1_ , 1) = е ; -сь ,1), 1 = 1,ыв. (9)

11,3 1 1*1 1*1 =3 1

Ох их

Кроме того, задаются начальные условия :

дм _

V (х,0) = Г Сх) , -1 С х,0) = Г (х) , где 1 = 1,ив. (10)

1 1 1

Соотношения (1)-(10) представляют в совокупности математическую модель изгибных (поперечных) колебаний составного стержня (многостержневой системы) со свободными концами. Эта модель изгибных колебаний составного стержня используется в работе как модель колебаний контролируемого изделия в прямой и обратной задачах.

Прямая задача расчета изгибных колебаний составного стержня состоит в следующем.

Пусть известны все геометрические характеристики с^ . . ь^ , А[, ; , а также массы изделия на единицу объема и модули упругости для всех участков (блоков) 1=1,ыв. Требуется определить значения первых м собственных частот , ..... г .

Обратная задача характеризуется тем , что по некоторой известной информации о решении прямой задачи (в данном случае известен конечный спектр значений собственных частот изгибных колебаний стержня, его геометрические размеры и масса единицы объема), требуется определить значения функции ( модуля упругости Е(х)), являющейся коэффициентом уравнения (1), входящего в состав математической модели явления, используемого в измерительной системе неразрушающего контроля изделий.

Сформулированы задачи исследований резонансного метода и показаны возможности их решения на основе сформулированных прямой и обратной задач расчета характеристик составного стержня.

Во второй главе рассматривается решение прямой задачи. Показаны поэтапные шаги и возникающие при ее решении трудности, а именно, плохая обусловленность матрицы системы линейных алгебраических уравнений, определитель которой должен обращаться в нуль. В начале рассматривается простейший случай, когда стержень имеет однородные характеристики. При этом анализируется общая схема решения рассматриваемого класса задач. В разделе 2.2. приведен вывод основного нелинейного частотного уравнения для составного стержня применением к уравнению (1) метода разделения переменных. При этом условия (2)-(9) преобразуются в систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных коэффициентов

( 1 ) ( 2 )

с , с 1 , к 1 , к

(1) (2) (3) ( 4 )

с ,с ,с ,с

I , к I , к 1 , к 1 , к

где 1=2, ыв

при фундаментальных решениях. Матрицу полученной системы уравнений обозначим через а, а определитель этой системы обозначим через Д, т. е.Д=|а|. Матрица а имеет блочную структуру.

а =

а 11 а 1 2 а 1 3 а 1 4 а 1 5 а 16 0 0 0 0

а 2 1 а 2 2 а 2 3 а 2 4 а 2 5 а 2 6 0 0 0 0

а 3 1 а 3 2 а 3 3 а 3 4 а 3 5 а 3 6 0 0 0 0

а 4 1 а 4 2 а 4 3 а 4 4 а 4 5 а 4 6 0 0 0 0

0 0 а 5 3 а 5 4 а 5 5 а 5 6 а 5 7 а 5 8 а 5 9 аг 1 0

0 0 а 6 3 а 6 4 а 6 5 а 6 в а 6 7 а 6 8 а 6 9 а 6 1 0

0 0 а 7 3 а 7 4 а 7 5 а 7 6 а 7 7 а 7 8 а 7 9 а 7 1 0

0 0 а 8 3 а 8 4 а 8 5 а 3 6 а 8 7 а 8 8 а 8 9 а 8 1 0

0 0 0 0 0 0 а 9 7 а 9 8 а 9 9 а 9 1 0

0 0 0 0 0 0 а а а а

(11)

где а = ехр(А

10,7 10,8 10,9 10,10

х) +э1п (А х)+СОЗ (А х) ,

1 , к 1 , к 1 , к а = ехр(-Л х)-з1п(А х)+соб(А х), а =-ехр(А х)

12 ^ 1 , к 1 , к 1 , к 13 2 , к

а =-ехр(-А х) , а =-б1п(Л х) , а =-соз(А х) ,. .

14 г 2, к 15 2, к 16 2, к

и т.д. При этом все ее элементы зависят от величины Г

А

= о( 1 к I , к

/ т. г-

* 4 / -1--1 = V 2*7!* f * 4 /

/ а *Е к /

/ т. »Э.

12)

а *е

1 1

которая, в свою очередь, зависит от к-ой частоты изгибных колебаний составного стержня. Таким образом, матрица а, а значит, н определитель зависят от частоты £ .

к

Поскольку нетривиальное решение, состоящее из коэффициентов

(1) (2) (3) (4) --(1) (2)

с , с , с , с , где 1= 2,ив и с , с

1 , к 1 ,к I ,к 1,к 1 ,к 1 , «

при фиксированном номере частоты к, будет существовать тогда,

и только тогда, когда определитель обращается в нуль, то частотное уравнение примет вид:

Д(Аи )) = 0 , где к=1,2, . . . (13)

к

Это уравнение является трансцендентным, и имеет не более чем счетное число корней ^ ,£ , .... Оно является основным нелинейным уравнением, численное решение которого позволит оценить значения основных частот для изгибных колебаний составного стержня, т.е. позволит решить прямую задачу расчета частот. В разделе 2.3. приведена укрупненная блок-схема использования численных процедур для решения прямой задачи. В уравнении (13) слева стоит определитель матрицы А, вид которой приведен в выражении (11). Сначала данная задача сводится к экстремальной задаче. Потом вычисляется корень уравнения (13) с помощью численных процедур одномерной минимизации: метода золотого сечения, метода, основанного на числах Фибоначчи и др. Значит, необходимо вычислить для значения частоты Г значение определителя Д(А(г)) .

Для того, чтобы выявить возникающие здесь трудности, приведем характерные выражения для некоторых элементов матрицы А, например,

а -А3 ехр(А х) , а =-бл.п(л х).

4 3 1 + 1, к I ,к 15 2,к

Отсюда видно, что наряду с быстро растущими при изменении частоты £ элементами (например, а = -Л3 ехр(\ х)), матри-

43 1+1,к 1,к

ца А содержит элементы, значения которых по модулю не превос-единицу, такие, как а =-бд.п(;\ х). С вычислительной точки зрения это означает, что рассматриваемая задача вычисления корней уравнения (13) плохо обусловлена.

Поэтому в качестве метода вычисления определителя был использован метод вращения, который всегда устойчив. В разделе 2.4 приведены результаты расчетов решения прямой задачи. По результатам расчетов можно сказать, что с ростом номера частоты собственных колебаний функция й{£). т.е. зависимость определителя от частоты, ведет себя более круче. Поэтому методами численного анализа легче найти корень соответствующего уравнения для первых частот. Это означает большую информативность

первых частот. Вычисленные значения частот для однородного стержня с высокой точностью воспроизводят значения частот, полученных на измерительном стенде. Достоверность модели двух-стержневой системы проверялась в асимптотике значений величины ь - расстояния до границы раздела зон. При значениях Ь1 близких к нулю параметры колебаний системы приближались к параметрам однородного стержня с меньшим диаметром. При значениях ь , приближающихся к длине стержня ь система колеблется, соответственно, как однородный стержень с большим диаметром. Аналогичная проверка проведена для трехстержневой системы.

В разделе 2.5 приведена математическая постановка обратной задачи расчета характеристик упругости составных стержней (труб), которая состоит в следующем. Известны все геометрические характеристики стержня - с^ , 0) , Э , .1 , а также плотности ш для всех участков 1= Известен также изме-

ренный конечный спектр частот I , . . . , ^ поперечных колебаний составного стержня. Требуется определить искомые значения модулей упругости , 1=1,2,...,ив при заданном типе закрепления концов стержня. Для определенности будем считать, что концы стержня свободно колеблются и количество блоков ш=з. Приводится вывод системы нелинейных уравнений для решения обратной задачи. Решение полученной системы позволит оценить значения искомых модулей упругости Е1 для каждого блока (участка) однородности составного стержня.

Применим к уравнениям (1), являющимся моделью схемы воздействий на изделие в резонансном методе, метод разделения переменных. Соотношения (2)-(9) тоже преобразуются. В итоге мы получаем систему линейных однородных уравнений относительно этих неизвестных коэффициентов. Заметим, что эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы обращается в нуль. Матрицу полученной системы линейных однородных уравнений обозначим через в, а определитель этой системы обозначим через Д, т.е.Л=|в|. Матрица в имеет такое же блочное строение, как и матрица А в прямой задаче и имеет следующие элементы:

Ь = ехр(г х)+зл.п(Г х)+соз (Г х) , 11 1 , к 1 , к 1 , к

Ьг 3 =- ехР (г2 , кХ) ' Ь. 4 =" ехР("Г2 , хх) '

ь1 =- бл-п (г2 кх), ь16=-соб(г2>кх)...... и т. д.

Отсюда видно, что все элементы рассматриваемой матрицы зависят от величины

т /--/ т, »Б,

Г = л * 4 / —^-! = У 2*Я*£ * 4 / -!-1 , (14)

1 к 1 ,к / ,1*е У ,1 *Е

11 11

которая, в свою очередь, зависит при известной к-ой частоте изгибных колебаний составного стержня, от искомых величин модулей упругости Е(. Таким образом, можно сказать, что матрица в, а значит, и определитель Л(в) зависят от переменных е ;1=1,ыв. Поскольку нетривиальное решение, состоящее из коэффициентов

(1) (2) (1) (2) (3) (4) _

С ,с и с , с , с ,с , где 1=2,ыв 1 , к 1 ,к 1 , к' 1 ,к 1,к' 1 ,к

при фиксированном номере частоты к, будет существовать тогда и только тогда, когда определитель обращается в нуль, то основное нелинейное уравнение для обратной задачи при известной частоте ^ примет вид:

д(в(^,е1 ,ег,----еыв )) = о . (15)

При известной частоте f требуется найти такие значения модулей упругости Е1 , Ез,..., Емв , чтобы выполнялось уравнение (15). На практике известен набор значений первых м частот ^, I , ..., В этом случае задачу следует формулировать следующим образом - требуется при известных (измеренных) значениях собственных частот • найти такие значения модулей уп-

ругости е ,Е ,...,Е участков однородности составного стержня, чтобы они удовлетворяли следующей системе нелинейных уравнений:

А(В(£1.Е1,Е2.....Екв>>=0 ,

Д{В(£г,Е1 ,Е2.....Енв)) = 0 ,

Л(В(£ ,Е ,Е ,...,Е )) = 0 . N12 ЫВ

Решение данной системы позволяет оценить значения модулей упругости Е!<Ег>•••>Емв на основе информации об измеренных

значениях собственных частот £,£,...,£ изгибных колебаний составного стержня. При решении обратной задачи для дефектного стержня нам необходимо оценить значение только Е . Значения Е и Е - модули упругости до и после дефектного участка - полагаем известными.

Раздел 2.6 посвящен разработке алгоритма использования численных процедур для решения обратной задачи. В разделе 2.7 приведены результаты расчетов решения обратной задачи.

Проверка алгоритмов решения обратной задачи проводилась в случае, когда кольцевой дефект моделировался трехстержневой системой, изображенной на рис.1. Задавались следующие значения модулей упругости :

- для первого блока Ет(1) = 2240 кГсила/см2;

- для второго блока Ет(2) = 2100 кГсила/см2;

- для третьего блока Е (1) = 2240 кГсила/см2;

В качестве метода недифференцируемой минимизации был использован метод Нелдера-Мида с переменными шагами по отражению, сжатию и растяжению заданного симплекса.

1 ь 1

'-с-!->-'

1 ь 11 |ч-1-1-^

///// ///// Рис.1. Трехстержневая система, моделирующая изгибные колебания трубы с кольцевым дефектом .

Результаты проведенных расчетов подтверждают, что конечные

значения ь , ь и Е сходятся к точному решению. 12 (1

В третьей главе рассматриваются вопросы использования на практике математических моделей изгибных колебаний стеклоплас-тиковых труб. Это использование возможно по двум направлениям. Во-первых, для исследования и оптимизации существующего резо-

нансного метода контроля, который может быть рекомендован для производства изделий с невысокими требованиями к уровням ошибок первого и второго рода. В этом случае при помощи математических моделей возможно провести оптимизацию границ допуска частот, т.е. рассчитать границы области годности изделий, при которых суммарные потери из-за несовершенства контроля будут минимальными. Это позволит не только количественно оценить возможные потери, но и решить в каждом конкретном случае вопрос о применимости простого резонансного метода контроля.

Предположим, что первая частота f образцовых (годных) труб имеет закон распределения с плотностью д(х), со средним и среднеквадратическим отклонением 6q. Будем искать множество годности D(a) в виде интервала, имеющего центр в точке с координатой at . Для удобства дальнейшего изложения перенесем центр координат в точку а^. Искомой величиной является длина g полуинтервала D(a), а концы интервала -g и g являются браковочными границами. Пусть Срб - цена в рублях ошибки первого рода, т. е. стоимость того, что годное изделие попало в число бракованных. Аналогично, Cßr - цена ошибки второго рода, т. е. стоимость того, что бракованное изделие попало в число годных. Заметим, что в зависимости от характера эксплуатации изделия, в состав которого входит контролируемая труба, соотношение между этими ценами будет различным. Каждое j-oe проверяемое изделие (j=i, 2, .., N) характеризуется своимзначением частот f . Эти значения образуют выборку со своим законом распределения с плотностью ф(у), среднее которых равно bj, сред-неквадратическое отклонение б. Вероятности появления ошибок первого и второго рода при заданном значении g в дискретном представлении плотностей равны

k cg l<-(g+k) J = (p +

р, (G) = 2 l Qr(k) [ l 9r(i) Ai^ + l <pr(j) Aj,p ] äkQ

к = 0 1 = (p J >g-k

P2(G) = 2 l Qr(k) [ [

l <g-k

к >G

(i) Ai,„ ] Ak г <P Q

i (G+k )

где М^ - длина i-ro интервала гистограммы <рр образцовых труб; Дкд - длина к-го интервала гистограммы дг контролируемых труб; <р_, д - левые границы соответствующих гистограмм; Ф+ , д+ - правые границы соответствующих гистограмм. Аналогичные формулы будут иметь место в многомерном случае.

Поскольку объем партии равен N, то минимизируемая функция имеет вид

R(G) = N [ С Р (G) + С„ Р, (G) ]. (16)

rol О Г 2

Тогда экстремальная задача запишется следующим образом:

R (G) -» min (17)

G

В работе разработан алгоритм вычисления оптимальных значений G в процессе производства по уточненной информации. Для решения задачи (17) разработано программное обеспечение, проверка которого проведена на статистических данных, полученных в производственных условиях.

В разделе 3.2. рассматривается схема контроля качества стеклопластиковых труб на основе решения обратной задачи. При этом рассчитываются значение модуля упругости дефектного участка е и размера дефекта L по измеренным значениям собствен-d d

ных частот. Необходимое в этих расчетах расстояние до дефекта измеряется дополнительно импульсным методом ультразвукового контроля. Результаты измерений обрабатываются на специализированной ЭВМ. Программное обеспечение для расчетов разработано на основе алгоитмов решения обратной задачи. Схема измерительной системы приведена на рис.2. Измеренные значения частот и значение одной из границ дефекта (если таковой имеется) по каналам связи поступают на ЭВМ. где вычисляются значения модуля

упругости Е и размера Дь дефектного участка трубы. Исследо-d d

вание предлагаемой измерительной системы проведено на реальных данных. Показано, что приведенная погрешность расчета модуля упругости Е может быть снижена до 2% При точном расчете значений прямых параметров дефекта методические ошибки контроля отсутствуют. При реализации метода возрастают затраты на контроль за счет использования специализированной ЭВМ.

Р ис.2. Схема измерительной системы для расчета места располо-желожения ь , модуля упругости Е и размера Дь дефектного

1 А <1

участка трубы: 1 - излучатель; 2 - приемник поперечных колебаний трубы и частотомер; 3 - излучатель; 4 - приемник продольных импульсных УЗК.

С учетом этого, метод рекомендуется для произвол гв с высокими требованиями к качеству изделий. Математическое и программное обеспечение решения прямой и обратной задач, а также результаты исследований резонансного метода контроля переданы для использования в производстве стеклопластиков НПО "Алтай".

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложены и аппробированы алгоритмы для расчета параметров упругости стеклопластиковых труб по измеренным значениям собственных частот изгибных колебаний.

2. Разработано математическое и программное обеспечение для измерительной системы неразрушающего контроля труб. Разработаны и проверены алгоритмы численных процедур для решения прямой и обратной задачи расчета колебаний составного стержня (многостержневой системы), аппроксимирующего изгибные колебания стеклопластиковых труб с кольцевыми дефектами.

3. Разработана математическая модель труб с кольцевым дефектом, предложены методы вычисления значений параметров дефекта на основе решения обратной задачи и разработана соответствующая схема неразрушающего контроля изделий. Предложены и проверены алгоритмы обработки данных для системы неразрушающего контроля труб с целью оптимизации границ интервала допуска по стоимостному критерию.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Разработка и внедрение математических моделей, алгоритмов

и программ автоматизированного управления производствами спецхимии. / Оскорбин Н. М. , Максимов А. В. .Кузьмин П. И. и др. Отчет по НИР N 1-86-2/Алтайский государственный университет. - Барнаул, 1987. - с. 60-86.

2. Кузьмин П. И. О методе неразрушающего контроля изделий, основанном на анализе модели изгибных колебаний составного стержня. // Тезисы докл. Второй Всесоюзной конференции "Измерения и контроль при автоматизации производственных процессов". - Барнаул, 1991. - с. 122.

3. Кузьмин П. И. Численный метод решения обратной задачи расчета многостержневых систем. - В сб. : Методы и модели синтеза иерархических систем. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 1989. -

с. 168-169.

4. Кузьмин П. И. О методе неразрушающего контроля изделий, основанном на решении обратной задачи для изгибных колебаний составного стержня. - В сб. : Управление, математическое моделирование и оптимизация на базе ПЭВМ. - Барнаул, 1993. -с. 79-84.