автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка математических методов планирования эксперимента в задачах непрерывного статистического контроля и процедурах групповых проверок

С ^Н ^ ^

ь V' ^ ~ "

МИНИСТЕРСТВО БШПЕГО И СРВДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РС5СР

ТОШКИЙ ГОЗУДАГСТЕЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Андрей ЛеонадоЕдч Гусев

УДК 519.2

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА В ЗАДАЧАХ НЕПРЕРЫВНОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ И ПРОЦЕДУРАХ ГРУППОВЫХ ПРОВЕРОК

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техника, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 1990

Работа выпсишеаа на кафедре высшей математики Пергского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Я.П.Л уральский.

Официальные оппоненты: доктор физдко-матеыатических наук, профессор В.Б.Конев, кандидат физико-математических наук Ю.К.Уотинов.

Ведущая организация: Московский государственны!

университет им.М.В.Ломоносова .

Защита состоится " 6 " декабря 195 0 г. в_час. на

заседании специализированного Совета Д 063.53.03 в Томском государственном университете по адресу: 634010 г. Тонга к, пр.Ленина, 36. Ауд._.

С диссертацией мошо ознакомиться в библиотеке НУ.

Автореферат разослан " " 199_г.

Ученый секретарь специализированного Совета Д 065.53.03

А.П.Рыжаков

: ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

—!

Актуальность темы. Планы непрерывного статистического контроля впервые била рассмотрены Х.Ф.Додаем и Х.Г.Рокигом. В дальнейшем задачам непрерывного контроля бют посвящены работы Я. Б. Шора и А.А.Набокова, Ю.К.Бедяева, В.С.Ымтаряна и многие другие. .

Исследования по этой теме отраяены в ГОСТ 18242-72 "Статистический приеиочшй контроль по альтернативному признаку. Планы контроля", СТ 03В 293-76 "Непрерывный статистический контроль качества продукции по альтернативному признаку". ГОСТ 24660-81 "Статистический приемочный контроль по альтернативному признаку на основе экономических показателей".

Задачи, связанные с применением и построением процедур групповых проверок, рассматривались в работах Р.Дорфмана, Ф.К.Хзанга, С.Кумара, М.Собеля, Л.Граффа, В.Д.Ыятлева и многих других.

В диссертации рассмотрен ряд математических задач, сказанных с планированием непрерывного статистического контроля и построением процедур групповых проверок. В случае, когда решения этих задач не могут быть получены аналитически, применяется метод статистического моделирования на ЗЗМ.

Репейные в диссертации задачи расширяэт математическую теорию и методы планирования эксперимента в случае непрерывного статистического контроля и в случае процедур групповых проверок. Они ориентированы на практические применения.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод сб актуальности теш диссертационной работы.

Цель работы. Цель» настоя^й диссертационной работы является разработка математической теории и методов планирования эксперимента при непрерывном статистическом контроле и групповых проверках для повышения эффективности и сокращения сроков проведения работ, снижения материальных и трудовых затрат.

Эта цель достигается решением следующих задач:

1). Разработка математической модели исследования сложных рекуррентных событий;

2). Находценне ранее неизвестных характеристик юрского класса правил остановки контроля;

3). Получение сводных характеристик и несмещенных оценок параметров планов непрерывного контроля;

4). Нахождение оптимальных параметров при планировании проце-

дур групповых проверок и получения несмещенных оценок взроятнос-тей при проведении процедуры групповых проверок;

5). Моделирование правил остановки контроля и процедур групповых проверок на ЭВМ для нахождения характеристик и оценок неизвестных параметров.

Методы исследования. Используются классические метода теории вероятности и математической статистики, математическая теория и методы планирования эксперимента, методы статистического моделирования Монте-Карло, теория однородных цепей Маркова.

Научная новизна. Рассмотрен класс моделей непрерывного контроля, доя которых находятся вероятностные характеристики неизвестные ранее. В тех случаях, когда нет точных характеристик правил остановки контроля, получены шшкяя и верхняя граница этих характеристик и приведена их статистическая оценка с помощью ЭВМ.

Указаны необходимые условия для построения рекуррентного уравнения сложного события. Предложен метод построения рекуррентного соотношения для сложного события.

Предлокен альтернативный план известному плану Додаа. Получены сводные характеристики вышеупомянутых планов, позволящие сравнивать эти планы.

Построены две новые процедуры групповых проверок. Впервые получены статистические характеристики одной из процедур групповых проверок.

На основе статистического моделирования на ЭВМ получены параметры и характеристики двух процедур групповых проверок.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретические результаты, полученные в настоящей работе, явились частью разработки по координационному плану АН СССР "Математические науки" по теме на 1986-1990 годы (номер государственной регистрации 018600В8598) и по программе Минвуза РСйСР "Надежность конструкций" по теме на 1986-1990 годы (номер государственной регистрации 01860088596).

Полученные'теоретические данные могут быть использованы при разработке новых ГОСТ, методик планирования непрерывного статистического контроля.

Процедуры групповых проверок, исследуемые в диссертации, могут найти применение в технике, биологии, медицине и так далее. Например, при выявлении вируса СПИДа, что существенно позволит сократить сроки, материальные и трудовые затраты при массовом обсле-

дованш населения на обнаружение аяфекцированных лвдей.

Программа для ЭВМ нахождения характеристик правил остановки составила предает внедрения.

Апробапдя шботн. Результаты, приведенные в диссертации, неоднократно докладывалась, получили одобрение на следущих. конференциях: на научно-технической конференции "Применение случайного поиска", г.Кемерово, 1982 г., на Всесоюзной научно-технической конференции "Признание статистических методов в производстве и управлении", г.Пермь, 1984 г., на Всесоюзной совещании "Применение математических методов в физике", г.Алма-Ата, 1988 г., на яа-учно-техяической конференции "Стандартизация контроля и надежности промышленной продукции", г.Лэрышй, 1989 г., а также на научных семинарах и конференциях в Периском государственном университете, на семинаре в Томском государственном университете.

Публикацаи. Основное содержание диссертации опубликовано в 8 печатных работах.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов по работе, списка литературы из 94 наименований, трех приложений и имеет общий объем 156 страниц.

ссдешние работы

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируется основная цель исследования, приводятся положения и результаты, выдвигаемые на защиту. Введение отражает научную новизну, практическую и теоретическую ценность представленных материалов.

Первая глава разбита на сесть параграфов. В ней рассмотрены вероятностные и статистические задачи, связанные с планированием эксперимента при непрерывном статистическом контроле объектов.

В § I приводятся основные положения непрерывного статистиче-.. ского контроля, определения, обзор литературы по непрерывному контроля.

В § 2 первой главы рассматриваются сложные рекуррентные со-бытня.-

Пустьна контроль поступает непрерывный шток объектов Ог ,Рг , кавдый из которых независимо от других с вероятностью р(- принадлежит к ¿-ему классу. Результат контроля объекта (шаг контроля).,- вывод о принадлежности объекта к определенному классу (исход испытания Х)^ • ). Состоянием

- й -

назовем фиксированный набор С-А',,... , в. п - его дай-

ной.

Определение 1.2.1. Событие Е назовем простым, если ему соответствует одно состояние, а данной события назовем длину этого состояния. Если Е соответствуй состояния (£>1,,..., (£>¿1,..., £>/'пг) . то событие Е назовем

сложным о длиной равной тоэс

/<ГЛ7*Н

Л е и ы а 1.2.1. Всякое событие Е , определенное на последовательности исходов испытаний Т>^П)...) как конечная совокупность состояний или объединение конечного числа простых событий, при использовании процедуры отображения порождает на последовательности успехов и неудач рекуррентное событие Е° .

Доказаны утверждения 1.2.3 и 1.2.4, из которых следует,что для рекуррентного события Е° рекуррентное соотношение имеет вид

Р(Е) = и* е< ипч ог_г ¿/„-сг^,

а математическое ожидание момента наступления события

где Р(Е) - вероятность наступления события Е на гг -оы шаге контроля; ¿/£- - вероятность наступления Е на с -ом шаге контроля; С'1 - вероятность перехода за ¿' шагов из состояний, соот-ветотвуе-да Е , в эти же состояния о перекрытием состояний (окончание одного состояния является началом другого); £ -длина события Е .

В случае, когда рекуррентное соотношение не может быть выписано в явном виде, указан алгоритм нахождения нижней и верхней границы для .

В последующих параграфах, как правило, рассматривается альтернативный случай, когда кавдый объект О; с вероятностью е^. является дефектным и с вероятностью р = 4 годным.

§ 3 посвящен правилам остановки непрерывного контроля ^ , % и $1 .

Правилом остановки У'1 назовем остановку контроля,когда из последних £ объектов $ объектов являются дефектными (.

Правилом остановки контроля Зг назовем такое правило,когда остановка контроля наступает, если из последних ^ объектов объектов дефектные,или если из последних 2"г объектов 4а объектов дефектные £ , <г , < $2, < .

Если происходит остановка по правилу St , то будем говорить, что произошло событие t и если происходит остановка по пра-

вилу , то будем говорить, что произошло событие Е

Справедливы следупцие теоремы, если - вероятность дефектности любого объекта.

Теорема 1.3.2. Нижняя и верхняя граница математического ожидания числа проконтролированных объектов до наступления события соответственно равны

™эс а],

J w Q,o=fr)

где

я тазе Со;а-ч)-(г-&Х].^г= mtnfi-i; g-зЦ.

Т'е о р е м a 1.3.4. Нижняя и верхняя граница математического ожидания числа проконтролированных объектов до наступления со-Зытия соответственно рав!ш

л, fr , +

М (Р. > л+^Н^ + ^иМ+НъЪ) ,

да

В этом параграфе рассмотрены также правила • Такие правила применяются, когда каядый объект может быть классифицирован как годный, дефектный и полудефектный, или как объект первого, второго и третьего сорта.

Правилом остановки назовем остановку контроля типа "из последних п, объектов два дефектных иди из последних пг объектов два дефектных и и3 полудефектных объектов".

В теореме 1.3.7 для правил остановки ^ найдены математическое ожидание и дисперсия числа^проконтролированных объектов до остановки контроля.

В § 4 рассмотрен контроль по альтернативному признаку, когда процесс поступления объектов на контроль образует цепь Маркова с матрицей переходных вероятностей

р. ( г \-i-p« р..)

где 0 ^ . В случае, когда 2, для правил оста-

новки найдено математическое ожидание и дисперсия числа проконтролированных объектов до остановки контроля.

В § 5 исследованы план Доджа и альтернативный к нему.

Непрерывным планом контроля Доджа П(£» > назовем контроль, кмда сплошной контроль продолжается до тех пор,пока не будут выявлены ¿в подряд годных объектов, после чего переходят к выборочному контролю. При выборочном контроле кавдый объект подвергается контролю с вероятностью С0 ^ < 'О Е Щ?11 наружениц дефектного объекта переходят к сплоимому контролю и так далее.

Альтернативным планом непрерывного контроля Г\ С £ а » назовем такой план контроля, когда сплошной контроль объектов продолжается до тех пор,пока не будет обнаружен дефектный объект, после чего переходят к выборочному контролю. Выборочный контроль осуществляется с вероятностью до тех дар,пока не будет обнаружено подряд Еа годных объектов. После чего вновь переходят к сплошному контролю и так далее.

Доказана теорема 1.5.1, которая утверждает, что при фиксированном ^о £ СО,1) -уровне входного качеотва обгектов для любого плана Доджа П (Сьэ^к) найдется альтернативный план П 0 равным математическим ожиданием доли проверенных

объектов и равным средним уровнем выходного качества обметов.

Для = Анайдены сводные характеристики о

где "¡}1 С^г) - математическое ожидание доли проверенных объектов при плане П (£¿,¿^1) > - среднее выходное качество

объектов при плане П 11 0

В § 6 для трех схем непрерывного статистического контроля строятся несмещенные оценки для вероятностей дефектности и годности объекта, если известно, что процесс поступления объектов на контроль образует цепь Маркова.

Вторая глава содержит пять параграфов. В ней рассматриваются задачи планирования эксперимента в случае групповых процедур проверок.

В § I содержится определение процедуры групповых проверок для В -модели (проверка устанавливает есть или нет дефектные объекты в группе) и М -модели (проверка устанавливает точное количество дефектных объектов в группе), приведен.обзор литературы, сформулированы задачи, решаемые во второй главе диссертации.

В § 2 рассмотрены две задачи выбора оптимального объема группы для процедуры.

Первая задача состоит в том, чтобы определить оптимальный объем группы для выбора конечного числа годных объектов из бесконечной биномиальной совокупности, если известна вероятность дефектности каждого объекта, которая является постоянной для всех объектов и не зависит от других объектов.

Вторая задача - это задача нахождения оптимального объема группы для классификации объектов на классов >2) . Предполагается, что с вероятностью р^ каждый объект совокупности принадлежит ^ -ому классу. В этом параграфе рассмотрены два случая. Первый, когда рц = 1:~1 для любого^' = ) , и второй, коцда р^ различны.

Теорема 2.2.4. Математическое ожидание общего числа проверок, необходимых для классификации на классов /г объектов, объединенных в одну группу, с помощью модифицированной процедуры Дорфкана

р*-р1 при п>-2-если р, и р^. - вероятности принадлежности объекта к крайним классам (классам с наибольшим и наименьшим весами).

В § 3 исследуется модифицированная процедура групповых проверок, когда каждая проверка множества объектов устанавливает точное количество дефектных объектов в группе.

Зцесь рассмотрен случай, когда в каздой из т груш (т >1) объема п С^Ятп) содержится ровно по одному дефектному объекту. Приводится конструкция процедуры групповых проверок, отличная от традиционной, которая сокращает общее количество проверок для обнаружения всех дефектных объектов в гл группах, каадая из которых содержит по II объектов.

Количество проверок, приходящихся на один объект совокупности, при такой процедуре не превосходит величины

4та+4 >ти-8 а--<5 8 пт

§ 4 посвящен задачам выбора- процедуры групповых проверок с целью минимизации стоимостных затрат на проведение процедуры.

В первой части параграфа рассматривается задача минимизации стоимостных затрат при испытании блока однородных объектов на надежность, если известны цены за испытания одного объекта и блока объектов. Показана зависимость стоимости испытаний от -вероятности дефектности кавдого объекта блока.

Вторая часть § 4 посвящена задаче отбора конечного множества годных объектов из бесконечной биномиальной совокупности объектов, если заданр цены за одну проверку и за использование объекта в проверке.

В § 5 для процедуры групповых проверок Дорфмана решаются статистические задачи. А именно, строится несмещенная оценка для вероятности дефектности объекта по результатам проведения процедуры Дорфмана. Когда невозможно несмещенно оценить этот параметр, построены оценки максимального правдоподобия.

Третья глава разбита на три параграфа. В ней решался задача статистического моделирования на ЭВМ при планировании эксперимента в задачах непрерывного статистического контроля и процедурах групповых проверок.

В § I приводятся принципы статистического моделирования на ЭВМ в вышеупомянутых задачах, краткое описание приложении.

В § 2 приводится алгоритм нахождения среднего числа проконтролированных объектов до наступления остановки контроля по правилам и S/z . выборочной дисперсии и выборочных квантилей. Об-сувдаются полученные на ЭВМ результаты.

В § 3 продолжены исследования с помощью статистического моделирования на ЭВМ, начатые во второй главе. Для процедур групповых проверок получены число групп, объединяемых в матрицы

[OijJ(i=f,M+tj.' где fz - объем одной группы. Показано,что объединение групп в матрицы существенно снижает общее количество проверок для обнаружения всех дефектных объектов.

Оптимальное количество групп получено для групп, когда известно, что в каждой группе хотя бы один дефектный объект, и для групп, содержащих ровно один дефектный объект. Кроме тщ для вышеуказанных случаев приведено, полученные с помощью ЭВМ, среднее количество проверок, приходящихся на один объект матрицы [Oij J (¿я , J- 1j п) , а также выборочная дисперсия.

Полученные результаты сведены в таблицы 3.3.1 и 3.3.2.

Таблица 3.3.1

чг 0.5 0.3 0.2 0.1 0.06 0.05 0. Л

YI 2 3 4 5 6 7 8

тч 2 2 2 3 4 5 5

ß 0.38 0.44 0.42 0.39 0.34 и. 31 0.28

s* 0.16 0.21 0.19 0.16 0.13 0.10 0.08

v 0.03 0.025 0.02 0.015 Ü.ÜI3 Ü.ÜI2 и. 001

п. 9 10 ii 12 13 14 15

го* 6 7 8 8 8 9 10

F 0,26 0.23 0.21 J.20 0.19 0.18 0.16

sa 0.07 0.06 0.05 0.05 0.04 0.G3 0.03

Таблица 3.3.2.

а 2 3 4 5 6 7 8

т« 2 3 4 4 5 5 6

К 0.38 0.40 0.38 0.34 .0.30 0.27 0.25

Б2 0.15 0.17 0.15 0.12 0.10 0.08 0.0?

п 9 10 II 12 13 14 15

7 7 8 8 8 9 10

уй 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16

0.05 0.05 0.04 О.Ш 0.03 0.03 0.03

Здесь - вероятность дефектности объекта, VI - объем одной грушш,_УУ1„ - оптимальное число групп, объединяемых в матрицу, и З8 - среднее выборочное и выборочная дисперсия для количества проверок, приходящихся на один объект матрицы.

В приложении I для некоторого набора правил остановки и ^ приведены таблицы нижних и верхних границ для математического ожидания числа проконтролированных объектов до остановки контроля.

'Для этих же правил также приведены выборочные средние и дисперсии, выборочные квантили.

В приложении 2 приведены про грат,мы для получения таблиц приложения I. Программы составлены на языке ФОРТРАН-1У для ЭВМ ЕС 1035.

В приложении 3 содержится акт о внедрении программы нахождения характеристик правил остановки .

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

I. Получены общие методы нахоздения математического ожидания числа объектов непрерывно поступающих на контроль до наступления некоторого события (правила остановки), если каждый объект независимо от других принадлежит с вероятностью р; к I -ому классу (сорту) для ¿-1,4: , где "Ь - некоторое натуральное число.

2. Существенно расширены правила остановки контроля, для которых могут быть найдены вероятностные и статистические характеристики, что в свою очередь расширяет классы планов непрерывного контроля, которые могут быть применены на практике.

3. Для двух наиболее важных и распространенных правил остановки контроля получены нижняя и верхняя гранила для математического ожидания числа проконтролированных объектов до остановки,так как точное значение аналитически не выписывается.

4. Практическая эффективность полученных результатов для правил остановки контроля заключается в своевременном обнаружении разладки производства и защиты от ложной тревоги, что существенно позволяет снижать общие затраты на контроль объектов при планировании эксперимента.

5. Впервые получены несмещенные оцени', вероятности дефектности объекта, риска поставщика и потребителя при организации непрерывного контроля объектов, что позволит корректировать планы контроля, вносить своевременные поправки в планирование эксперимента и в конечном итоге снизит материальные и трудовые затраты.

6. В тех случаях, коцца неизвестно точное значение математического ожидания и дисперсии предложен способ получения средне."о и выборочной дисперсии с помощью метода статистического моделирования Монте-Карло. Этот алгоритм реализован на ЭВМ ЕС. Кроме '.ого на базе этого метода получены выборочные квантили.

7. Описаны алгоритмы двух новых процедур групповых проверок объектов, которые снижают объем затрат при планировании эксперимента. Такие процедуры могут с_ть использованы при массовых об_сле-дованиях в биологии, медицине, технике и так далее.

8. Для наиболее распространенной процедуры групповых проверок (процедуры Дорфмана) впервые.получены несмещенные оценки вероятности дефектности объекта, что позволит вносить корректировку в планировании дальнейшего эксперимента при использовании данной процедур».

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гусев А.Л. Оценка параметра биномиальной совокупности в случае групповых процедур//Статистические методы. Пермь: 1982. С. 13-18.

2. Гусев А.Л., Лумельский Я.П., Чичагов В.В. Марковские модели контроля вычислительных систем//Моделирование вычислительных

систем и процессов. Пермь: 1983. С. 29-35.

3. Гусев А.Л. Групповые процедуры проверки принадлежности к одному из многих классов//Вероятностные процессы и их приложения. М.: ШЭМ, 1984. С. 8-12.

4. Гусев А.Л. Процедуры групповых проверок с использованием априорной шформации//Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Перль: 1984. С. 20-23.

5. Гусев А.Л. О планах не первого 'вхождения//Примене!та статистических методов в производстве и управлении/Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции. Перль: 1984. С. 156. .

6. Гусев А.Л. О различных схемах непрерывного контроля// Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Перль: 1988. С. 123-128.

7. Гусев А.Л. Характеристики правил остановки контроля// Надежность и контроль качества. М.; 1989, J& 4. С. 57-63.

8. Гусев A.JI. Несмещенные оценки параметров непрерывного контроля/Дезисы докладов научно-технической конференции/Стандартизация контроля качества и надежности промышленной продукции. Горький: 1989. С. 97-98.'