автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка математических методов и моделей обеспечения качества управления в многокритериальных системах

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Обзор теоретических разработок, посвященных исследованию многокритериальных систем и аппарату групп Ли.

1.1. Обзор методов решения многокритериальных задач оптимального управления.

1.2. Обзор основных положений теории групп и алгебр Ли.

1.2.1. Группы Ли. Определение и примеры.

1.2.2. Алгебры Ли.

1.2.4. Группы Ли малых размерностей.

1.2.5. Присоединенное представление и форма Киллинга.

1.2.6. Подалгебры и идеалы.

1.2.7. Полупростые группы Ли.

1.2.8. Однородные и симметрические пространства.

1.3. Обзор работ, посвященных исследованию дифференциальных уравнений с использованием аппарата групп и алгебр Ли.

1.3.1. Работы, посвященные группам симметрии Ли.

1.3.2. Обзор работ, посвященным вариационным симметриям.

ВЫВОДЫ.

Глава 2. Особенности применения инфинитезимальной техники к анализу динамических систем.

2.1. Построение математический моделей динамических систем на основе дифференциально-геометрического подхода.

2.1.1. Геометрическое представление динамических систем.

2.1.2. Динамические системы как подмногообразия расслоения струй.

2.1.3. Продолжение действия группы преобразований в многообразии, определяющем динамическую систему.

2.3. Инфинитезимальная инвариантность дифференциальных уравнений.

2.3.1. Продолжения инфинитезималъных образующих.

2.3.2. Инфинитезималъные критерии инвариантности.

2.3.3. Схема вычисление продолжения векторных полей.

2.4. Вычисление характеристик групп симметрий дифференциальных уравнений.

2.5. Определение групп симметрий Ли уравнения теплопроводности

ВЫВОДЫ.

Глава 3. Разработка математического метода обеспечения качества управления в многокритериальных системах на основе групп ли вариационных симметрий.

3.1. Разработка модели обеспечения качества в управляемых системах

3.1.1. Вычисление первой вариации функционала качества.

3.1.2. Построение лангранжианов в виде уравнений с полной дивергенцией.

3.1.3. Инвариантность оператора Эйлера.

3.2. Построение групп вариационных симметрий и критериев инваририантности.

3.2.1. Инфинитезималъный критерий инвариантности.

3.2.1. Симметрии уравнений Эйлера-Лагранжа.

3.2.2. Редукция управляемых динамических систем.

3.3.Построение законов сохранения уравнений Эйлера-Лагранжа функционалов качества динамических систем.

3.3.1. Тривиальные законы сохранения.

3.3.2. Применение теоремы Нётер к исследованию динамических систем.

3.3.3. Дивергентные симметрии.

3.4. Схема определения компромиссных зависимостей многокритериальных динамических систем.

ВЫВОДЫ.

- 4

Глава 4. Нахождение компромиссных областей для обеспечения качества управления в технических многокритериальных системах.

4.1. Определение компромиссной зависимости в динамических системах, описываемых системами дифференциальных уравнений не выше первого порядка.

4.2. Построение компромиссных зависимостей для распределенных систем с заданными квадратичными функционалами качества.

4.3. Построение компромиссных зависимостей для задачи управления промышленным манипулятором.

4.4. Стабилизации динамической системы, с учетом двух критериев качества.

ВЫВОДЫ.

Актуальность темы. В настоящее время в теории систем сложилось два подхода к решению многокритериальных задач оптимального управления. Первый основан на введении дополнительных гипотез приводящих к объединению нескольких критериев, что, в свою очередь, ухудшает значение качественных характеристик.

Другой подход основан на применении принципа Парето. Суть этого принципа заключается в нахождении области компромиссов, в которой улучшение качества решения по одним локальным критериям приводит к ухудшению качества решения по другим. Разработаны эвристические схемы получения области компромисса - принцип равномерности, принцип справедливой уступки, принцип выделения одного оптимизирующего критерия, и т.д. Вместе с тем алгебраические методы построения области компромиссов для функционалов достаточно общего вида практически отсутствует. Диссертационная работа посвящена развитию специального математического аппарата исследования нелинейных систем с учетом заданных критериев качества.

Прогресс в области компьютерной техники обусловил развитие теоретических методов, применение которых к реальным задачам ранее считалось очень трудоемким, а зачастую и невозможным из-за большого объема требований к вычислительным средствам. Одним из таких аппаратов, является дифференциальная геометрия и, в частности, теория групп и алгебр Ли, которая выбрана в качестве инструмента исследования. Ее неоспоримым достоинством является возможность строить математические модели исследуемых систем, получая при этом требуемое качество управления. Развитию и обобщению теории групп Ли посвящены научные труды многих ученых - A.M. Виноградова, М.И. Зелинкина, Л.В. Овсянникова, П. Олвера, Б. Шутца и многих других.

В связи с тем, что использование дифференциально-геометрического подхода к нелинейными многокритериальным системам позволяет улучшить качество управления, тема диссертационной работы является актуальной и имеет широкое прикладное значение.

Целью диссертационной работы является разработка математического аппарата для выявления компромиссной области неулучшаемых по совокупности критериев качества решений, основанного на инвариантности уравнений Эйлера-Лагранжа относительно групп вариационных симметрий Ли.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решены следующие задачи:

1. Произведен обзор методов решения задач с несколькими критериями качества.

2. Построены математические модели динамических систем как подмногообразие полного пространства струй.

3. Выявлены особенности применения инфинитезимальной техники к системам, описываемыми дифференциальными уравнениями.

4. Разработаны методы обеспечения качества управления на основе групп Ли и теорем Нётер о законах сохранения.

5. Найдены компромиссные области неулучшаемых решений для некоторых технических задач.

6. Произведен сравнительный анализ полученных результатов с известными исследованиями.

Методы исследования. В работе используются методы теории систем, математической физики, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и информатики. Научная новизна состоит в следующем:

- построены математические модели многокритериальных систем на основе использования инфинитезимальных критериев инвариантности уравнений Эйлера-Лагранжа относительно групп симметрий Ли вариационных функционалов,

- получена возможность улучшения качества управления для определенного класса технических систем, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений с несколькими заданными критериями качества,

- получены области компромисса для некоторых многокритериальных технических систем при наличии ограничений.

Практическая ценность. Разработана методология построения компромиссной области в задачах с несколькими критериями качества, которая может быть применена к некоторым классам управляемых технических систем.

Реализация результатов работы. На основе разработанных методов получен алгоритм расчета параметров системы генератора холода, внедренный в системе ВГХ-12/6 на ОАО «Ступинский завод стеклопластиков» (акт о внедрении приложен к диссертации).

Программное обеспечение, реализующее модели управления динамической системой с двумя критериями качества используется в учебном процессе кафедры «Управления и моделирования систем» МГАПИ а рамках дисциплины «Теория принятия решений».

Апробация работы. Апробация работы. Частично результаты диссертации докладывались и обсуждались на 5 конференциях:

- Научно - технической конференции «Моделирование и исследование сложных систем» (г. Кашира, 1996);

- Научно - технической конференции «Новые информационные технологии» (г. Москва, 1998);

- Второй международной научно - технической конференции «Моделирование и исследование сложных систем» (г. Озера, 1998);

- Четвертой международной научно - технической конференции «Моделирование и надежность» (г. Севастополь, 1998);

- Третьей научно - технической конференции «Новые информационные технологии» (г. Москва, 2000);

Работа выставлена для обсуждения в международной сети Internet наличном сайте автора (http:Wwww.mnlticrit.newmail.ru).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Структурно диссертационная работа разбита на четыре главы.

В первой главе проведен анализ и классификация методов решения многокритериальных задач оптимального управления. Приводится обзор основных положений аппарата групп Ли, а также обосновывается выбор его в качестве основного инструмента исследования. На основе проведенного обзора уточнены цель и поставленные задачи диссертационной работы.

Вторая глава посвящена рассмотрению особенностей применения инфинитезимальной техники к исследованию динамических систем. Строятся математические модели, рассматриваются ограничения применимости методов.

В качестве объекта исследования выступают динамические системы, описываемые системой дифференциальных уравнений общего вида. На основе теоретических методик рассмотрен ряд примеров систем, в частности, построены группы симметрий для уравнений теплопроводности, описывающих функционирование генератора холода системы ВГХ - 12/6. Выявлены особенности применение инфинитезимальной техники к динамическим управляемым системам.

В третьей главе излагается метод построения компромиссной области в качестве законов сохранения, строящихся на основе инвариантности уравнений Эйлера-Лагранжа. Строится предположение, о возможности построения законов сохранения, отражающих компромиссную зависимость критериев качества. Показывается, что уравнения Эйлера-Лагранжа каждого функционала качества определяют общий комплекс уравнений некоторой вариационной задачи. Этот вывод строится на сновании теоремы Нётер и того факта, что переменные в функционалах связаны одной системой дифференциальных уравнений. Инвариантность этого комплекса относительно групп симметрий представляет собой искомую компромиссную зависимость. Приводится общая структура разработанного метода. Делается ввод о том, что знание аналитических выражений для определения компромиссной зависимости критериев позволит улучшать качество управлений.

В четвертой главе на основании теоретических методов, изложенных в главе 2 и главе 3, и особенностью многокритериальных моделей технических систем строятся компромиссные области.

В диссертационной экспериментально установлено, что методы построения компромиссов в многокритериальных системах как законов сохранения успешно работают и для синтеза управления в системах с обратной связью. В качестве иллюстрации реализована система стабилизации с двумя функционалами качества. Рассматриваемый объект описывается системой из двух дифференциальных уравнений. Результаты получаемых решений (рис. 3.) согласуются с решениями, получаемые при помощи известных методов, в частности с работами А.Б. Пиуновского, И.М. Соболя, Р.Б. Статникова.

Подробно рассмотрены динамические нелинейные модели управляемых систем с тремя критериями качества при наличии функциональных ограничений. В частности, управляемый промышленный манипулятор, движение которого описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. Полученные результаты (рис. 4) свидетельствуют о более точных, по сравнению с численными методами, решениях. Это дает возможность улучшать качество управления в подобных системах.

В заключении приводится основные результаты и общие выводы диссертационной работы.

Автор выражает благодарность к.т.н., доценту Моисееву A.A. и Воловичу М.Е., без чьей помощи и ценных рекомендаций диссертация не имела бы многих положительных моментов. Вместе с тем все неточности и недочеты относятся только к автору.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

В результате исследований, проведенных в рамках диссертационной работы были получены следующие общие научные и практические результаты:

1. Проведен анализ и классификация современных методов исследования многокритериальных систем; обоснована необходимость получения аналитических методов.

2. Построены математические модели и разработаны методы обеспечения качества управления в системах с несколькими критериями качества на основе теории групп Ли. При этом:

- получено описание динамических систем в понятиях дифференциальной геометрии;

- исследованы свойства и особенности применения инфинитезимальной техники и групп симметрий Ли к рассматриваемым задачам;

- установлена возможность получения множества неулучшаемых решений на основе теорем Нётер;

- предложен формальный аппарат построения области компромиссов для моделей технических систем с несколькими целевыми функционалами.

3. Получены методики, позволяющие находить компромиссные области неулучшаемых решений для технических задач при наличии ограничений.

4. Экспериментально установлено, что методы построения компромиссов в многокритериальных системах как законов сохранения успешно работают и для синтеза управления в системах с обратной связью. Результаты исследований согласуются с решениями, получаемые при помощи известных методов.

5. Рассмотрены динамические нелинейные модели управляемых систем с тремя критериями качества при наличии функциональных ограничений. В частности, управляемый промышленный манипулятор, движение которого описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. Полученные результаты свидетельствуют о более точных, по сравнению с численными методами, решениях. Что дает возможность улучшать качество управления в подобных системах.

6. Реализовано и используется в учебном процессе программное обеспечение вычисления программной траектории динамической системы с двумя критериями качества на кафедре «Управления и моделирования систем» МГАПИ.

7. Разработана и внедрена рабочая методика расчета параметров генератора холода в рамках системы ВГХ-12/6 на ОАО «Ступинский Завод Стеклопластиков».

8. По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, направленных на обеспечение качества управления в многокритериальных системах сделан вывод о состоятельности и эффективности разработанных методов.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Никульчев Е.В. Синтез оптимального по времени управления сложных стохастических системам по заданным критериям качества. //Тезисы докладов научно-технический конференции «Моделирование и исследование сложных систем». - Кашира, 1996, с. 66-68

2. Хныкин А.П., Никульчев Е.В. Исследование и синтез оптимального управления сложными динамическими системами в условиях неопределенности целей. //Сборник научных трудов «Математическое моделирование и управление в сложных системах». Под общ. ред. Музыкина С.Н. - М.:МГАПИ, 1997, с. 61-65

3. Никульчев Е.В., Никульчев В.Н., Хныкин А.П. Создание автоматизированной системы учета и распределения электроэнергии. //Материалы научно-технической конференции «Новые информационные технологии». - М.: МГАПИ, 1998, с. 39-41

4. Хныкин А.П., Никульчев Е.В., Налитова Л.В. Моделирование программных движений сложных систем с учетом нечетких множеств заданных критериев качества. //Доклады II международной научно

-124технической конференции «Моделирование и исследование сложных систем» (г. Озеры). - М., 1998, 4.1, с. 122-134

5. Хныкин А.П., Никульчев Е.В. О проблемах моделирования техпроцессов по заданным критериям качества. //Доклады IV международной научно-технической конференции «Моделирование и надежность», (г. Севастополь) -М.: МГАПИ, 1999, с. 74-78

6. Никульчев Е.В., Хныкин А.П. Моделирование и выбор оптимальных стратегий в условиях многокритериальности. (Пособие по курсовому проекту по дисциплине «Теория принятия решений»), - М.: МГАПИ, 1999, 40 с.

7. Хныкин А.П., Никульчев Е.В., Волович М.Е. Синтез оптимального управления в задачах с несколькими критериями качества //Материалы III научно-технической конференции «Новые информационные технологии». - М.: МГАПИ, 2000

8. Никульчев Е.В. Дифференциально-геометрический подход к задачам оптимального управления с несколькими функционалами качества //Материалы III научно-технической конференции «Новые информационные технологии». - М.: МГАПИ, 2000

9. Никульчев Е.В. Об одном математическом методе обеспечения качества управления в многокритериальных системах. //Сборник научных трудов «Математическое моделирование и управление в сложных системах». Под общ. ред. Музыкина С.Н. - М.: МГАПИ, 2000

1. Абгарян К.А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем. -М.: Физматлит, 1994

2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976

3. Адо И.Д. Представление алгебр Ли матрицами. /УМН, 1947, т.2, №6, с. 159-173

4. Алгебры Ли, гомологическая алгебра, приложения. /АН ГрузССР, Тбил. матем. инст. им. A.M. Размадзе. -Тбилиси: Мецниереба,1985

5. Алгоритмические вопросы алгебраических систем и ЭВМ. //Сб. науч. тр. Иркут. гос. ун. Под ред. А.И. Кокорина Иркутск: ИГУ, 1979.-224с.

6. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.:Наука, 1979

7. Ананичев Д. С. Серии примеров почти дистрибутивных многообразий колец Ли. /ФПМ, т.5, вып.4, 1999, с.955-978

8. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998

9. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969

10. Беллман Р. Динамическое программирование. -М.:ИИЛ, 1960

11. Биркоф Г. Гидродинамика. Постановка задачи, результаты и подобие. -М.: ИИЛ, 1954

12. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. -Новокузнецк: НФМИ, 1998

13. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИИЛ,1950

14. Виноградов A.M. К алгебраическим основаниям лангранжевой теории поля. ДАН СССР, 1977, т.236, №2, с.284-287

15. Виноградов A.M. Гамильтоновы структуры в теории поля. ДАН СССР, 1978, т.241, №1, с. 18-21

16. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. -М.: Наука, 1968

17. Волобуев И.П., Кубышин Ю.А. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля. М.: Эдиториал УРСС, 1998

18. Воробьев Ю.М. Гамильтоновы структуры систем в вариациях и симплектические связности. //Матем. Сборник, 2000, т. 191, No.4

19. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: УРСС, 1995

20. Галиуллин A.C. Аналитическая динамика. М.:РУДН, 1998

21. Гараев К.Г. Группы Ли и теория Нетер в проблеме управления с приложениями к оптимальным задачам пограничного слоя.-Казан. гос. техн. ун. им. А.Н. Туполева:Казань,1994

22. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971

23. Грауэрт Г., Реммерт Р. Аналитические локальные алгебры. /При участии О.Рименшнейдера;Пер.с нем.-М.:Наука,1988

24. Гриффите П. А. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. М.: Мир, 1986

25. Грунина Г.С. Решение многокритериальных задач оптимизации в условиях неопределенности на основе метода анализа иерархий и теории нечетких множеств: Автореф. дис. . канд. техн. наук: 05.13.01 Моск. гос. технич. ун-т. - М., 1998

26. Группы Ли и алгебры Ли. 1-3 //Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. Фундаментальныенаправления. Консульт. ред.-сост. Э.Б. Винберг, А.Л.Онищик М.: ВИНИТИ, т.20,т.21, 1988, т.41,1990

27. Грумондз В.Т. Некоторые задачи анализа и выбора динамических характеристик нелинейных систем. М.: МАИ, 1992

28. Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. //Сб. работ под ред. Фадеева Л.Д.- СПб.:Наука, СПб изд. фирма, 1993

29. Дмитриева М.В., Тихоненко Н.Я. Теория Нётер и приближенное решение интегро-дифференциальных уравнений Винера Хопфа с разностными и суммарными ядрами. //Дифференциальные уравнения, изд. АН Беларуссии, т. 32, №. 9 (Сент.), 1996, с. 12271236

30. Дронов Р.И. Многокритериальный подход к оценке экономической эффективности объектов таможенной инфраструктуры: Автореферат дис. . канд. экон. наук: М., 1998

31. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы гомологий. М.: Наука, 1979

32. Дындыкин Е.Б. Классификация простых алгебр Ли. /Мат.сборник, т.18, с.347-352, 1946

33. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Дифференциально-геометрический подход. -М.: Наука, 1997

34. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970

35. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.:Наука, 1983

36. Журавлев В. М. Замечания о вербальных идеалах свободной конечнопорожденной алгебры Ли. //ФПМ, т.З, вып.2, 1997, с.453-451

37. Зейферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом. -М.: ИЛ, 194738