автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические модели, методы и алгоритмы многокритериального выбора решений в условиях неопределенности и их приложения

На правах рукописи

МИХНО Владимир Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Тверь -1998

Работа выполнена в Тверском государственном университете

Научный консультант

доктор технических наук, профессор

А.Н. КАТУЛЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. В. ФЁДОРОВ

доктор физико-математических наук, профессор Н.В. ХОВАНОВ

доктор технических наук, профессор Ю.П. ЛЕЩЕНКО

Ведущая организация:

Институт электронных управляющих машин - ИНЭУМ (Мин. Экономики РФ)

Защита состоится " $п1998г. в 'т4_ часов на заседании диссертационного совета Д.063.97.01 при Тверском государственном университете по адресу: 170013, Тверь, ул. Желябова, 33

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета

Автореферат разослан 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.063.97.01

кандидат физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для широкого класса задач выработки и принятия решений на определенных этапах их анализа наиболее адекватной (исходным данным и мотивам постановки и решения) является их формулировка в виде задач многокритериального выбора единственной альтернативы (решения) при неопределенности относительно условий, в которых будет осуществляться реализация выбираемого решения. Такая формулировка характерна (в целом или на определенных этапах) для задач планирования, проектирования, управления, контроля и т.п. в экономике, технике, военном деле и др. областях. Специфика задач многокритериального выбора решений в условиях неопределенности состоит в тгом, что в них понятие "лучшей альтернативы" (принципа оптимальности) конкретизируется в процессе решения задачи на основе выявления и анализа представлений субъекта (лица, принимающего решения - ЛПР) о желаемом качестве альтернатив. При этом, за исключением редких для практики случаев, в которых ЛПР способно указать решение задачи непосредственно (без использования методов формального анализа), решение таких задач требует использования специальных математических моделей, методов и алгоритмов, составляющих основу человеко-машинных процедур выбора предпочтительной альтернативы.

Теоретическую основу указанных моделей, методов и алгоритмов составляют положения теории выбора и принятия решений, базирующиеся на аксиоматике относительно предпочтений субъекта (ЛПР), в интересах которого ставится н решается задача и который, как правило, выступает источником необходимой дополнительной информации о принципе оптимальности. В настоящее время в рамках данной теории предложено большое число моделей, методов и алгоритмов, составляющих основу математического и программного инструментария поддержки процессов решения рассматриваемых задач. Однако вызванное практическими потребностями постоянное расширение класса задач, формулируемых в указанном виде, теоретический и экспериментальный анализ соответствия предложенного к настоящему времени инструментария для их решения различным подклассам таких задач показывает, что состояние развития математических моделей, методов и алгоритмов многокритериального выбора решений в условиях неопределенности не отвечает запросам практики. Данное обстоятельство и определяет актуальность темы диссертационной работы.

Сформулированный тезис актуальности темы обусловлен двумя основными факторами:

(а) - структура предложенных к настоящему времени математических моделей, методов и алгоритмов в общем случае не соответствует в смысле

требуемой ими информации о принципе оптимальности возможностям ЛПР по предоставлению информации о своих предпочтениях;

(б) - предложенные к настоящему времени методы формализации предпочтений ЛПР оказываются не адекватными исходным данным и свойствам предпочтений ЛПР для широкого класса многокритериальных задач.

Положение (а) существенно ограничивает возможности практического использования методов теории принятия решений, снижает доверие к результатам формального анализа задач и, в конечном итоге, обоснованность выбираемого решения. Положение (б) отражает факт отсутствия должного математического, алгоритмического и программного обеспечения для поддержки процессов решения широкого класса практически важных задач. Последнее также ограничивает возможности практического использования методов теории принятия решений, приводит к большим временным затратам на принятие решений и к низкой обоснованности выбираемых альтернатив.

Цель и задачи. Цель работы состоит в повышении эффективности (в смысле обоснованности и оперативности) процессов многокритериального выбора решений в условиях неопределенности на основе обобщения и развития математических моделей, методов и алгоритмов поддержки данных процессов для класса задач, удовлетворяющих условиям представимости принципа оптимальности в виде требования максимизации ожидаемой полезности альтернатив, и их применения к анализу практических задач принятия решений.

В качестве средства достижения сформулированной цели в работе рассматривается концепция, заключающаяся в построении достаточных классов (в смысле наличия в них приемлемого описания любой СП ЛПР в априори формулируемом классе многокритериальных задач) многомерных и одномерных функций полезности и разработки моделей, методов и алгоритмов формального поиска в данных классах функции полезности для СП ЛПР, отвечающей конкретной решаемой многокритериальной задаче.

В соответствии с данной концепцией сформулированная цель декомпозируется на частные цели-средства и конкретизируется _ решением следующих основных задач:

1. Обоснования, разработки и реализации в исследовательских (ИДС) и специализированных (СДС) диалоговых системах интерактивных процедур (методов и алгоритмов) выявления необходимой для восстановления функций полезности информации, настраиваемых на возможности ЛПР как источника такой информации.

2. Обоснования класса представлений функций полезности, обобщающего известные представления, существенно расширяющего их в смысле охвата различных структур предпочтений ЛПР и базирующегося на

не ограничительных для практики свойствах компонент исходной модели задачи принятия решений и системы предпочтений (СП) ЛПР.

3. Обоснования, разработки методов и алгоритмов применения и реализации в ИДС и СДС формальных правил структурной и параметрической идентификации функций полезности, унифицированных (правил) для различных структур предпочтений ЛПР и согласующихся с точностными характеристиками получаемой от ЛПР информации.

4 . Практической проверки разработанных моделей, методов и алгоритмов и их применения к решению актуальных практических задач.

Заметим здесь, что перечисленные задачи являются узловыми в смысле достижения сформулированной цели. При проведении исследований ставится и решается также ряд вспомогательных и дополнительных задач.

Методы исследований. Формулировка задач, разработка и обоснование алгоритмов выявления необходимой дополнительной информации о принципе оптимальности с учетом возможностей ЛПР проводится с использованием аппарата теории множеств, теории полезности, экспертного оценивания, оптимального поиска элементов в упорядоченных информационных массивах. Обоснование классов представлений многомерных и одномерных функций полезности проводится с использованием методов функционального анализа, теории полезности, исследования дифференциальных уравнений, исследования систем линейных алгебраических уравнений. Формулировка и разработка методов решения задач совместной структурной и параметрической идентификации многомерной и одномерных функций полезности базируется на использовании методов функционального анализа, теории приближения функций, исследования и приближенного решения экстремальных задач (в том числе некорректно поставленных задач). При практической проверке теоретических положений и в исследованиях по применению разработанных моделей, методов и алгоритмов к решению практических задач использованы методы статистического имитационного и полунатурного моделирования на ЭВМ, статистической обработки экспериментальных данных, автоматизации проектирования, телеметрии, оценки параметров и классификации статистических гипотез, анализа изображений, представления и использования знаний в экспертных системах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Формулировка и алгоритмы решения задач выявления необходимой дополнительной информации о принципе оптимальности с учетом возможностей ЛПР, основанные на идее аппроксимации отношений равноценности пар (гипотетических) последствий областями их неразличимости по предпочтению ЛПР и оценке погрешностей аппроксимации. Свойства алгоритмов.

2. Классы представлений многомерных и одномерных функций полезности для предпочтений ЛПР, основанные на идее (для многомерных

функции) представления функции многих (действительных) переменных, обладающей свойствами функции полезности, с использованием суперпозиции функций одного переменного и операции сложения и (для одномерных функций) представления функции полезности взвешенными суммами функций в базисе функций полезности, отражающих элементарные типы отношения ЛПР к риску. Принципы построения классов представлений и их свойства. Интерпретация представлений и их структурных компонентов на языке предпочтений ЛПР.

3. Формулировка и алгоритмы решения задачи совместной структурной и параметрической идентификации многомерной и одномерных функций полезности, основанные на идее восстановления функции, обладающей минимальной сложностью и согласующейся с предпочтениями ЛПР, в классе предложенных представлений многомерных и одномерных функций полезности. Свойства задачи и алгоритмов. Обобщение задачи и алгоритмов на функции полезности для иерархических предпочтений.

4. Модификация метода идеальной (или целевой) точки решения многокритериальных задач, основанная на идее интерпретации метрики метода как многомерной функции полезности для предпочтений ЛПР и ее восстановлении в классе взвешенных моделей метрик Минковского.

5. Формулировки и решения прикладных многокритериальных задач, основанные на применении разработанных моделей, методов и алгоритмов:

задачи многокритериального оценивания и выбора предпочтительных вариантов синтеза сложных военно-технических систем;

задачи синтеза автоматического измерителя качества передачи телевизионных (ТВ) изображений;

задачи использования функций полезности в методах совокупного учета свидетельств в схемах представления знаний и алгоритмах управления выводом заключений в экспертных системах. Свойства полученных решений.

Научная новизна и значимость . Все положения, выносимые на защиту, являются новыми. К наиболее существенным научным результатам относятся следующие:

1. Разработанная модель задачи выявления дополнительной информации о принципе оптимальности.

2. Обоснованные классы представлений многомерных и одномерных функций полезности и принципы их построения.'

3. Разработанные модель задачи совместной структурной и параметрической идентификации многомерной и одномерных функций полезности и алгоритмы её решения.

4. Разработанная модификация метода идеальной (или целевой) точки решения многокритериальных задач.

5. Предложенные принципы и результат решения задачи синтеза автоматического измерителя качества передачи телевизионных изображений.

Разработанные модели, методы и алгоритмы многокритериального выбора в условиях неопределенности обеспечивают существенное расширение класса многокритериальных задач, в которых они применимы, по сравнению с известными моделями. Последние (в части представления функций полезности) содержатся в предложенных моделях как частные случаи. В целом совокупность разработанных моделей, методов и алгоритмов можно рассматривать как новое крупное достижение в развитии теории выбора и принятия решений в части конструктивных методов теории полезности.

Совокупность результатов в виде моделей, методов и алгоритмов, полученных при применении разработанных моделей многокритериального выбора к исследованию и решению прикладных задач, можно рассматривать как вклад в развитие теории соответствующих областей, а также как совокупность теоретических, технических и технологических положений, обеспечивающих решение актуальных народно-хозяйственных задач.

Практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы могут использоваться в качестве основы при создании алгоритмического и программного обеспечения соответствующих подсистем специализированных САПР и автоматизированных систем поддержки процессов выработки и принятия решений. Отработка таких подсистем может проводиться также с использованием разработанной при проведении диссертационных исследований исследовательской диалоговой системы многокритериального выбора решений в условиях неопределенности (ДИСМВ). Конкретные модели, методы и алгоритмы многокритериального выбора решений реализованы в программных системах САПР ТВ оборудования и компьютерных измерительных средств для ТВ и РВ, комплекта анализаторов параметров вещательных каналов, автоматизированной системы многокритериального оценивания и анализа проектов сложных военно-технических систем и могут быть использованы при решении соответствующих практических задач.

Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы при проведении ряда НИР и ОКР, в частности в

НИР "Поисковые исследования и разработка математических методов многокритериального оценивания вариантов управленческих и организационных решений по проектированию и созданию сложных военно-технических систем с целью повышения их эффективности и качества в условиях неполной информации" (шифр "Экзамен - РВО");

НИР "Исследование и разработка принципов построения комплексов регистрации, передачи и отображения информации информационно-вычислительной системы для управления инженерно-авиационным

обеспечением корабельной авиации АНК ВМФ" на этапах разработки технического задания и выбора технических решений;

НИР "Разработка фундаментальных проблем математики и механики" (тема "Университеты России"-УР-6, направление "Научные основы и новые информационные технологии поддержки процессов принятия решений по многим критериям на базе искусственного интеллекта, математического моделирования, оптимизации при нечеткой информации");

Задании 1.3.5 комплексной программы "Информатизация РСФСР" (тема "Разработка интеллектуальных систем в интересах обучения, науки и производства");

НИР "Разработка алгоритмов контроля параметров телевизионных каналов" (шифр "Контроль");

ОКР "Разработка систем контроля качества телевидения и радиовещания Гостелерадио России" (шифр "Контроль-Россия").

Результаты исследований в виде специализированной подсистемы ДИСМВ внедрены в САПР ТВ аппаратуры и измерительных средств для телевидения и радиовещания, используемой (САПР) в МКБ "Электрон". Программно реализованные алгоритмы управления контролем и автоматического измерения качества передачи ТВ изображений внедрены в выпускавшийся в 1993 году и поступивший на эксплуатацию в региональные государственные телерадиокомпании России аппаратно-программный комплекс измерения и контроля ТВ и РВ сигналов и выпускающийся с 1996 года МКБ "Электрон" комплект анализаторов параметров каналов вещания (АПКВ).

Апробация результатов работы. Основные научные и практические результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных, всесоюзных, республиканских, межведомственных и отраслевых конференциях, семинарах и совещаниях, таких, как : совещание специалистов стран-членов СЭВ "Персональные ЭВМ в задачах проектирования и поддержки решений" (Москва, 1989); 1-я и 2-я международные конференции "Информационные технологии в проектировании" (Москва, 1994, 1996); координационное совещание АН СССР по проблеме "Кибернетика" (Калинин, 1985); 48-я и 49-я научные сессии, посвященные Дню радио (Москва, 1993, 1994); межотраслевые научно-практические конференции "Развитие и совершенствование телевизионной техники" (Львов, 1991, 1993); межотраслевые семинары "Современные технические средства вещательного и прикладного телевидения" (Москва, 1993, 1994); 3-я, 4-я и 6-я научно-технические конференции "Современное телевидение" (Тверь, 1995; Москва, 1996, 1998); ведомственные всесоюзные научно-технические конференции МО СССР (Калинин, 1985, 1987, 1988; Днепропетровск, 1989; Минск, 1990), конференции и семинары в ТвГУ, Казанском ГУ, Киевском ГУ.

Публикации. По результатам диссертационных исследований опубликовано свыше 33 работ. Основные положения диссертации отражены в 27

работах, приведенных в конце автореферата. В работах, написанных в соавторстве, лично автору принадлежат все результаты, касающиеся математических формулировок, разработки и обоснования решений задач развития математических моделей, методов и алгоритмов многокритериального выбора в условиях неопределенности, формулировок, обоснования и разработки многокритериальных моделей выбора применительно к прикладным исследованиям и их реализации, принципов построения исследовательской и специализированных диалоговых систем выбора, методик аттестации общих и специализированных многокритериальных моделей, методов и алгоритмов, а также ряд результатов, касающихся синтеза моделей, методов и алгоритмов оценки векторных и частных критериев и методик их аттестации.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав основного содержания, заключения и списка литературы. Общий объём работы - 229 стр., объём основного содержания - 191 стр., библиография -108 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, дана общая характеристика основных сформулированных и решенных в работе задач и полученных при этом результатов. Приведена структура работы и краткое её содержание по главам.

В первой главе "ПРОБЛЕМА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ. КОНКРЕТИЗАЦИЯ РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ" даётся общая характеристика проблемы выбора в условиях неопределенности, формулируется исходная модель задачи многокритериального выбора решений в условиях неопределенности, которая (модель) берется в основу исследований, и описываются её свойства. Вводится понятие класса многокритериальных моделей выбора. На основе анализа данного класса как предмета исследований определяются цели и основные задачи . исследования, конкретизирующие рассматриваемую в работе проблему.

Общая модель задачи выбора в условиях неопределенности задается тройкой {Х,3,Р.}, где X - известное множество решений, мощность которого |Х|>1; 5- известное множество условий с заданным на нем вероятностным распределением одно 5,е5 из которых (априори неизвестно какое) будет сопутствовать реализации альтернатив; Я- неизвестный принцип оптимальности, который должен отражать СП ЛПР на X и согласно которому должен

быть осуществлен выбор предпочтительной альтернативы х е X. Случай |5| = 1 соответствует при этом задаче с определенностью. СП ЛПР (и, следовательно, принцип оптимальности) рассматриваются на множестве

многозначных оценок векторов свойств-критериев, учитываемых при выборе решений и задаваемых отображением / = (/|,...,/т): X хБ Рх я Ет, где Ет - критериальное пространство, т > 1 - количество учитываемых критериев.

В соответствии с направлением исследований для описания СП ЛПР используется модель бинарного отношения на Рх вида ЯЯ - ЯЕ и ЛЬ, которое по предположению определяет слабое упорядочение на ^ • Здесь ЕЕ - отношение «быть равноценным»; Ш - отношение «быть предпочтительнее». Условие слабого порядка обуславливает существование функции полезности д>: Рх -> Е\ для предпочтений ЛПР, реализующей гомоморфизм отношения Ш на Рх в отношение "больше-равно" на ожидаемых полезностях альтернатив - математических ожиданиях М{-} значений функции полезности для сравниваемых многозначных оценок альтернатив. При этом принцип оптимальности Л в задаче выбора выражается требованием максимизации ожидаемой полезности на множестве X, а задача выбора решения в условиях неопределенности представляется как задача 1? *

нахождения любого х е X при

Х* = ЛгЯтахМ{к/(*|5))} • (1)

В условиях определенности = =1) задача (1) сводится к задаче максимизации полезности

= Л/Ж шах ?>(/(*)) (2)

хеХ

. Соотношение (1) и определяет исходную модель задачи многокритериального выбора решений в условиях неопределенности.

Отличительная особенность задач (1),(2) (по сравнению с классическими постановками задач на экстремум) состоит в том, что в них функция <р неизвестна. Поэтому для решения данных задач необходимо провести их регуляризацию (доопределение) с использованием дополнительной информации (о принципе оптимальности), не содержащейся в исходной модели задачи.

Под многокритериальной моделью выбора решений в работе понимается система положений, которая включает:

(а) исходную модель задачи многокритериального выбора решений в условиях неопределенности;

(б) конкретизированный способ регуляризации задач (1),(2) и процедуры его реализации;

(в) конкретный метод и реализующий его алгоритм оптимизации ожидаемой полезности, базирующиеся на конкретизированном способе и результатах регуляризации задач (1),(2).

Класс различных многокритериальных моделей выбора решений в условиях неопределенности представляется восьмеркой

ММВ = {Х,8,Р8,к,Рх,Р\,Р2,РЗ}, (3)

где Р\ - множество процедур выявления дополнительной информации о принципе оптимальности, предназначенной для регуляризации задач (1),(2) и основанной на дополнительном анализе свойств СП ЛПР;

Р2 - множество методов и реализующих их алгоритмов структурной и параметрической идентификации функции полезности;

РЗ - множество методов и реализующих их алгоритмов оптимизации ожидаемой полезности, т.е. реализации принципа оптимальности на исходном множестве X альтернатив;

к - вектор наименований свойств-критериев, учитываемых при выборе.

При принятой в настоящее время классификации процедур принятия решений по типу требуемой ими дополнительной информации в ММВ выделяются следующие подклассы моделей: априорные, в которых Р\=0,Р2 = 0,РЗ*0\ апостериорные - Р\ф0,Р2 *0,РЗ*0; адаптивные - * 0,Р2 = 0,РЗ * 0; смешанные, в которых используются концепции из различных подклассов моделей.

В априорных моделях, согласно указанным признакам, регуляризация задач (1) и (2) достигается путем априорного задания (исследователем или ЛПР) функции полезности, которая выражает, как правило, один из известных "рациональных" принципов оптимальности. Здесь актуальным, нерешенным вопросом является теоретическое описание классов задач принятия решений, в которых правомочно применение того или иного априорного принципа оптимальности.

В апостериорных моделях этап регуляризации задач (1),(2) включает обоснование (по информации ЛПР) вида функции полезности для отношения ЯЯ и последующее восстановление ее компонент (параметрическая идентификация функции). Данная ситуация отражена в условиях на компоненты Р\,Р2,РЗ в апостериорных моделях. Здесь актуальными вопросами являются согласование структуры моделей с возможностями ЛПР по выдаче требуемой ими информации и разработка математических (исключающих эмпирические выводы) методов структурной и параметрической идентификации функций полезности, согласующихся с предпочтениями ЛПР.

В адаптивных моделях реализуется идея решения задач (1),(2) по выделению предпочтительных альтернатив без априорного задания и без

восстановления функции полезности. Процесс регуляризации проводится итерационно и неразрывно связан с анализом исходного множества X альтернатив. На каждом шаге осуществляется локальная регуляризация, базирующаяся на анализе свойств предпочтений ЛПР в конкретной точке множества последствий. У ЛПР выявляется лишь такая и в таком объеме информация о его предпочтениях, которая позволяет определить направление возрастания функции полезности (ожидаемой полезности) и переход к более предпочтительной альтернативе (предпочтительному последствию). Здесь актуальны вопросы - согласования структуры моделей с возможностями ЛПР по выдаче требуемой ими информации и ослабления условий применимости моделей.

В модели смешанного типа переносятся все вопросы актуальности, связанные с реализуемыми в них концепциями (априорной, апостериорной, адаптивной).

Анализ отмеченных актуальных задач развития ММВ показывает, что разрешение актуальных вопросов, связанных с апостериорными ММВ, определяет возможности разрешения актуальных вопросов для априорных и адаптивных ММВ. Поэтому в работе основное внимание уделяется развитию в соответствии с поставленными целями апостериорных ММВ : методов и алгоритмов регуляризации задач (1), (2); методов апостериорного (после восстановления функции полезности) решения экстремальных задач (1 ), (2);

методов апостериорного анализа исходной задачи выбора с использованием восстановленной функции полезности;

реализации разработанных моделей, методов и алгоритмов в системах, определяющих алгоритмический и программный инструментарий поддержки процессов принятия решений.

Во второй главе "ТЕОРИЯ И СИНТЕЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ" рассматриваются постановки задач развития апостериорных ММВ и проводится синтез методов и реализующих их алгоритмов решения формулируемых задач.

В п.2.1 ставятся и решаются задачи выявления дополнительной информации о принципе оптимальности с учетом возможностей ЛПР.

В общем случае ЛПР не способно выразить свои предпочтения на исходном множестве Fy векторных последствий и тем более на исходном множестве Fxs многозначных векторных последствий вида

/(^/5) = (/1)(х),...,/(М)(х);рь...,^|),где fi\x)eFx, Pj - вероятность реализации значения равная вероятности реализации условия

и

¿уеЯ , у = 1,|5|'. Поэтому для раскрытия СП ЛПР вынужденным, обычно,

является использование гипотетических последствий. Будем рассматривать предпочтения ЛПР на множествах, определяемых следующими условиями: для каждого / = 1 ,т возможные значения критериев определяются интервалами с// = [/, тт, /у тах ],

/гтт= т>п Л(х\5\Лтах. ~ тах //(%)» возможные значения

векторных (однозначных) последствий - областью О = с Ет; множество /Л многозначных последствий - последствиями вида гДе /^бй ; Р = (Р\, ~,Рг) - любое простое вероятностное распределение при любом г 515|.

Любая пара (/l,/2)eFl последствий, предлагаемая ЛПР вместе с вопросом по указанию предпочтения между последствиями /1 и /2, определяет задачу сравнения. Задачу сравнения, в которой ЛПР способно указать свое предпочтение, называют простой. Результат решения простой задачи сравнения определяет предпочтения ЛПР на соответствующей паре последствий. Априори неизвестно, будет ли конкретная задача сравнения простой в конкретной ситуации для конкретного ЛПР. Поэтому в работе выдвигается и реализуется идея априорного определения классов тестовых задач сравнения, гарантированно содержащих подмножества простых задач, и разработки интерактивных алгоритмов раскрытия СП ЛПР путем целенаправленного поиска в данных классах и использования решений простых задач.

Классы тестовых задач сравнения строятся на интервалах условной неизменной ориентации критериев. Такие интервалы устанавливаются с помощью ЛПР, которое для каждого /-го критерия при фиксированных уровнях остальных критериев указывает на ^ точки /у смены ориентации

критерия и собственно ориентацию (положительную или отрицательную) критерия для каждого интервала =[Л>-ь//у] неизменной ориентации

критерия, / = 1 ,т ; } = 1,г/ ; к= 1,г/ + 1 ; г, >0 - количество смен ориентации

критерия; /¡о = .//щщ ; = Л тах - Вводятся два класса тестовых задач

сравнения: 1\ - для раскрытия СП ЛПР на многомерных однозначных последствиях и 22 - для раскрытия СП ЛПР на неопределенных (т.е. многозначных) последствиях. В 1\ включены задачи сравнения пар

' В диссертации рассматривается как случай дискретного 5 С Ру ~(р[ •так н сл>'ча" с

непрерывным 5, когда - плотность вероятности. Здесь сущность задачи излагается с использованием вероятностных распределений на конечном множестве последствий.

однозначных последствий, различающихся двумя координатами. В 22 включены задачи сравнения пар последствий, одно из которых является двухзначной лотереей (двухзначным последствием) с вероятностями р и {\- р) реализации возможных значений на уровнях ;'-го критерия, а второе - детерминированным уровнем того же критерия. В обоих сравниваемых последствиях все критерии, кроме / -го, зафиксированы на одном и том же уровне. В работе показано, что классы 2\ и 22 реализуют указанную выше идею построения классов тестовых задач. Решения задач из 2\ характеризуют условные предпочтения ЛПР на подпространстве

1-го и ]-го,1Ф} критериев при фиксированном уровне остальных критериев. Сравниваемые в задачах 2\ последствия обозначаются как

=(_//>//) ■ проекции векторного последствия на соответствующие

двумерные подпространства. Решения задач из Z2 характеризуют условные предпочтения ЛПР на неопределенных последствиях в подпространстве 1-го критерия. Здесь а идентифицирует фиксированный уровень критериев.

Справедливы следующие утверждения относительно распределения предпочтений ЛПР на подклассах задач из 21 и 22, которые мы сформулируем здесь лишь для случая положительно ориентированных критериев.

Утверждение 1. Пусть лотерея

А; = (Яр\лЯр^)>ЯР^ </1р\о</> < 1 удовлетворяет условиям принадлежности к паре из множества 22. Отношение Ш непрерывно. Тогда

яР-л?)

что

существуют такие числа 0 < е2[ <

либо [яР^яР +е1,]п[/1р) -*2(,/1р>] = 0,

. либо [/\?\/^К£и]п[/1(.2}-а2ь/1(12)] = /21 и задачи сравнения последствий

/г/бС/^.яРЧг^ЗЩ/^-й/.лР^ с лотереей Л, являются простыми.

Утверждение 2. Пусть пара последствий (/1,/2) е 2\ различается по

¡-у и ]-у критериям, для их проекций ,/2П выполнены соотношения /2/ > /1,- ,/1у > /2у. Отношение Ш (предпочтения ЛПР) непрерывно.

Тогда существуют такие числа £-1/, £-2/ , г1у-, s2j,

О < < /2^ - /1;-, 0 < < /2,- - /1,, ^ > £\{, 0 < е\] < Я; - Л у,

0<е2]</\]-/2],е2}>е\] ,

что либо .4(15=0, либо ЛП5 = /1я,где

А = |{[/1,,/2; ] \ (/1,- /I, + «2,- ]}Х /2 у },

5 = 1/2, х у,/1 у]\[/2у +г1у,/2у + г2у)|}, и задачи сравнения

последствия /1 ^ с последствиями из множества {е А и В} являются простыми.

Распределения предпочтений ЛПР в соответствии с Утв.1, Утв.2 иллюстрируются на рис.1 и рис.2 соответственно.

Л',"

/чг>

Рис. 1

(I с

1) =е2, =/2, -/1,; е21 > >0 л

Рис.2

Согласно утв.1 (рис.1) -

задачи сравнения лотереи А, с последствиями /2/ е А являются простыми и для них Л/ >~ /2,;

задачи сравнения лотереи Л, с последствиями /2/ 6 В являются простыми и для них /2,- >- Л,-;

задачи сравнения лотереи Л, с последствиями /2,- € С в общем случае не являются простыми и, очевидно, что /2; е С, /2/ ~ Л/.

Множество С - это множество значений детерминированного последствия /2,-, неразличимых для ЛПР по предпочтению с лотереей Л,.

Согласно угв.2 (рис.2)-

гП

задачи сравнения точки /1 с точками / € А являются простыми и

для них /\П </П \

задачи сравнения точки /\п с точками е В являются простыми и

для них /1П >- /п;

задачи сравнения точки /1 ^ с точками е С в общем случае не

являются простыми и, очевидно, /\П е С, /1 ~ /1П.

Под задачей синтеза алгоритма выявления предпочтений ЛПР на неопределенных последствиях будем понимать синтез интерактивного алгоритма

и м

нахождения с заданной точностью е верхней С/ и нижней С" границ множества С. В качестве информации о предпочтениях ЛПР на рассматриваемых парах последствий будем использовать приближенное отношение равноценности вида

(4)

а также погрешность данного отношения, характеризуемую соотношением

Л-1 = /2/ = (СР + с/^)/2,

С?-С?

/2.

(5)

Задача выявления предпочтений ЛПР на многомерных однозначных последствиях ставится как задача нахождения с заданными точностями

и О

щ ,r¡j нижней Су и верхней Су границ множества С последствий,

неразличимых для ЛПР с последствием . Выявляемую информацию будем представлять приближенным отношением равноценности вида

(6)

и погрешностью А у оценки предпочтений ЛПР на последствиях соотношением (6)

/\П -= (Су +Су)12

/1-Я

<4/у =

Си - С"

12.

(7)

'Ч -у

Операции в (6), (7) осуществляются покоординатно.

По сути соотношения (4), (5) и (6), (7) определяют аппроксимацию отношения равноценности между последствиями областями их неразличимости по предпочтению ЛПР. В работе приведены алгоритмы выявления информации вида (4), (5) и (б), (7) для любых заданных тестовых лотерей Л/

и тестовых последствий /\П, указанного выше вида. Отметим, что при анализе задач сравнения, формируемых алгоритмом при интерактивной работе с ЛПР, допускается ответ ЛПР вида "не знаю", который является

условием попадания одного из сравниваемых последствий в область С, и, следовательно, является информативным в смысле определения направления движения к искомой границе области неразличимости. Адаптация алгоритмов выявления предпочтений к возможностям ЛПР проявляется на величине диаметра области неразличимости последствий.

В п.2.2 формулируется и решается задача обоснования достаточного класса представлений многомерных функций полезности для предпочтений ЛПР в классе задач многокритериального выбора решений в условиях неопределенности, который описывается следующими характеристиками: непрерывность предпочтений ЛПР на всей области D ; непрерывная дифференцируемость функции полезности во внутренних точках области, определяемой интервалами неизменной ориентации критериев.

Исходным объектом анализа является действительная функция многих переменных (функция на D ), непрерывная на D, непрерывно дифференцируемая во внутренних точках интервалов неизменной ориентации критериев и обладающая свойствами, которые позволяют рассматривать ее как функцию полезности для некоторой СП ЛПР. К последним относятся следующие свойства:

монотонность на интервале неизменной ориентации (возрастание или убывание в зависимости от ориентации критерия) по каждому аргументу;

согласованность с условиями принадлежности к классу Qjjnp стратегически эквивалентных функций полезности для некоторой СП ЛПР.

Задача обоснования класса представлений формулируется как задача нахождения представления для функции многих переменных, удовлетворяющей указанным выше свойствам, компоненты которого допускают интерпретацию на языке предпочтений ЛПР. Решение данной задачи дается в работе теоремой.

Теорема 1. Пусть СП ЛПР в задаче многокритериального выбора решений в условиях неопределенности удовлетворяет условиям существования многомерной функции полезности, непрерывной на всей области D с Ет и непрерывно дифференцируемой на областях с. неизменной ориентацией критериев. Тогда существуют такое целое L, 1 < L < m и такой набор L

уровней faeD,fal*fa2 при al*a2 ,а = \,...,L вектора

/=(/ь/2.-»/т).что

L m

Ш) = ZZa(2>шШ) 6 Qjmp, (8)

а=1 /=1

где Pia(fj) - одномерная условная функция полезности для условного отношения предпочтения RRja в подпространстве / -го критерия при

значениях остальных критериев на уровне i = 1,2,...,m , а = \

%а(ш) - одномерная непрерывно дифференцируемая и монотонно

возрастающая функция переменного уа ?>;«(//)> а —

Согласно утверждению теоремы искомый класс ОР представлений многомерных функций полезности имеет вид

ОР = {<рр(Гл\/а } = >1 = I.-.»»; « = 1 (9)

При этом представление многомерной функции полезности для конкретной СП ЛПР определяется значением числа Ь необходимых фиксированных уровней векторного критерия, для которых должны быть определены

условные одномерные функции полезности, и значениями /а , а = \,Ь таких уровней.

Интерпретация структурных компонент-функций , а = 1,Ь в (8),

(9) обеспечивается на основе рассмотрения переменных уа в качестве

н —*

набора новых целевых функций для новых свойств-критериев ка , а = \,Ь. Новые целевые функции реализуют посредством соотношений для уа в (8) преобразования исходных целевых функций /} , ¡ = 1,т. По виду формул преобразований уа , а = 1,1 каждое из них естественно называть условной

суммарной полезностью. Тогда функции (•) , а = \,Ь в (8), (9) представляют собой одномерные функции полезности для предпочтений ЛПР на значениях условных суммарных полезностей, индуцированных (предпочтений) при каждом а совокупностью условных предпочтений 1Ща ,1 = 1,т. Указанная интерпретация переменных уа и функций

Ха(-) , а = 1,/ в (8), (9) позволяет дать новую формулировку утверждения теоремы 1, представляющую ее как обобщающий результат для конструктивной теории полезности и подчеркивающую общность класса ОР представлений многомерных функций полезности.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда существуют такие преобразования исходных т критериев к новым £ < т критериям, что последние будут взаимонезависимы по предпочтению (при определенности) и/или аддитивно независимы по полезности (при неопределенности), т.е. для новых критериев справедливо аддитивное представление многомерной функции полезности. Указанные преобразования определяются формулами для условных суммарных полезностей уа , а = \,Ь в (8).

Связь представлений (8), (9) с известными результатами по представлению функций многих переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных, в частности с представлением А.Н. Колмогорова, показана в

работе с использованием эквивалентной формулировки утверждения теорем 1, 2 в виде следующей теоремы - следствия.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда многомерная функция полезности для СП ЛПР представима с использованием суперпозиций одномерных функций полезности и операции сложения. Такое представление задается соотношением (8).

В п.2.3 формулируются и решаются задачи определения класса представлений составных структурных компонент многомерных функций полезности вида (8). К таким компонентам относятся одномерные условные функции полезности ща для предпочтений ЛПР на исходных критериях и одномерные функции полезности Ха ДО51 предпочтений ЛПР на преобразованных критериях, I - \,т , а = 1,Ь.

В основу решения данной задачи берется понятие отношения ЛПР к риску и известные возможности использования функций полезности, отражающих элементарные типы отношения ЛПР к риску (безразличие, постоянная несклонность, постоянная склонность к риску), в качестве базовых для построения функций полезности, характеризующих более сложное поведение ЛПР при неопределенности. В работе решение рассматриваемой задачи проводится для набора предпочтений ЛПР, наиболее типичного в практических задачах принятия решений, а именно учитываются случаи - безразличия, постоянной несклонности, постоянной склонности, убывающей несклонности и возрастающей склонности к риску. Рассмотренный в работе принцип формирования классов представлений одномерных функций полезности определяет методику решения данной задачи и для других типов предпочтений ЛПР. Результат решения задачи для условных одномерных функций полезности на интервалах неизменной ориентации критерия и для одномерной функции полезности Ха на всей области их определения формулируется в виде теоремы.

Теорелш 4. Пусть для некоторого /е{1 на интервале [//,//]

значений соответствующего исходного критерия (для некоторого ос е {1,2,...,ь} на интервале \у'а ,у"а\ значений соответствующего преобразованного критерия) последний имеет неизменную положительную ориентацию, одномерная условная функция полезности ща непрерывно дифференцируема, отношение ЛПР к риску остается неизменным и соответствует одному из следующих типов : безразличие, постоянная несклонность, убывающая несклонность, постоянная склонность, возрастающая склонность к риску. Тогда на данном интервале

~ { ~{a-¥b-fi,b>Q };i/?2 = { a-b-e~c'^' ,b>0,c>0 };

UP3 = { a + b-e~c'f' ,b>0,c<0 }; 2

UP4 = { <aj -bye~Cj'fl ),bj> 0,Cj > 0,Äj > 0,c^c2 }; (10) 7=1 2

up5={ Z ■ («j + bj ■ 'fl ),bj> 0fj < 0, Äj > 0, q * c2 } } J=1

Для одномерных функций - -полезности преобразованных критериев утверждение (10) имеет вид

Ха(Уа)*УР = { UPl={a + b-ya,b> 0 }-иР2 = {а-Ь-е-сУ" ,b>0,c>0 };

UP3 ={ a+b-e~cy<* ,b>0,c<0 }; 2

VPa={ Z^j ■ (aj ~ bj ■ e~Cfya ),bj> 0, Cj > 0, Äj > 0, q * c2 }; (11)

M 2

№5 = { f,Äj-{aj + bre~CS'y<*),bj>Ofij<0,Äj>0,cl*cz } } j=l .

В (10), (11) параметрическое семейство функций UP\ определяет подкласс функций полезности, отражающих безразличие ЛПР к риску, UP2 -постоянную несклонность ЛПР к риску, №3 - постоянную склонность ЛПР к риску, UP4 - убывающую несклонность ЛПР к риску, UP$ - возрастающую склонность ЛПР к риску. Результат, аналогичный теореме 4, справедлив и

для класса UP~ представлений одномерных функций полезности на отрицательно ориентированных критериях.

Для условных функций полезности, определяемых на критериях с изменяющейся ориентацией, возникает задача согласования шкал измерения полезности на различных интервалах ориентации критерия. Подходы к решению данной задачи известны и соответствующий алгоритм ее решения описан в работе. Решение задачи построения класса представлений одномерных условных функций полезности при изменяющейся ориентации критерия основано на утверждении теоремы 4 и формулируется в работе в виде следующей теоремы.

Теорема 5. Пусть одномерная условная функция полезности (р1а (и, следовательно, предпочтения ЛПР) непрерывна на dj, а на интервалах

О У с с1[ , у = 1, т/ +1 неизменной ориентации критерия удовлетворяет условиям теоремы 4. Тогда для любого а = \,Ь

<Р1аШ ¿Л. Т1^Р}-<р!о(11) , (12)

где <р/а{Д). - функция полезности для предпочтений ЛПР на } - м интервале неизменной ориентащга критерия, е {иР,иР~}',

[1 при У/ е О у , " [О-при /гйО,у ;

с.э. - отношение стратегической эквивалентности функций.

В п.2.4 формулируются и решаются задачи структурной и параметрической идентификации функций полезности.

Математическая постановка задачи восстановления функции полезности основана на введении следующих понятий:

А - формальных критериев согласованности функций из ОР,11Р с информацией о предпочтениях ЛПР;

Б - функционалов близости предпочтений ЛПР и предпочтений, порождаемых функциями из классов ОР,иР;

В - сложности и упорядочения по сложности подклассов функций из

ор,ир.

А. Произвольную выборку данных вида (4), (5), (6), (7) о предпочтениях ЛПР в конкретной задаче многокритериального выбора решений обозначим через Идпр- Понятие согласованности функций из ()Р,иР с информацией И ЛПР вводится с учетом их монотонности и непрерывности на интервалах неизменной ориентащга критериев.

Определение 3. Будем говорить, что функция <р е ОР и ее составные компоненты Ха^1а,(Р]ае^Р согласованны с данными Идир о предпочтениях ЛПР, если выполнены следующие соотношения:

<р{Г\П)е[<р{С?ШС?])\ , 03)

\ЫЫ<р1а{С?),ща{сВ)] , (14)

|Ау)}е[ср^С1*),<р]аС?] , (15)

м{Ха(УаК)Ы%а(уЗ)>Ха(У%)] , О*)

где Аа - лотерея на условной суммарной полезности уа, порождаемая

лотереями Л/, Л у и фиксированным уровнем дополняющего

множества критериев;

Уа = Z <Pla <//*) + <Pia (Cf) + <Pja (Cf) , j

M{\ - ожидаемая полезность лотереи Л/ из (4), определяемая как математическое ожидание функции ща (функции Ха Для условной

суммарной полезности) на значениях , / е \i,j} (на соответст-

вующих значениях , 1 = а условных суммарных полезностей) по

распределению р значений лотереи.

В соотношениях. (13)-( 16) понятие согласованности функции и ее компонент с информацией Идцр о предпочтениях ЛПР основано на учете погрешностей выявления данных вида (4), (6). Сокращенно требования (13)-(16) будем записывать в виде RRMjjjjpR^ , RRiaHflnpR<Pia > RRalIЛПР^Ха' где RR,RRia,RRa - предпочтения ЛПР, a R,p , R<pia , - обозначают

предпочтения, порождаемые функциями <p,<Pia,Xa соответственно.

В диссертации обосновываются требования к информации Идцр, на которой целесообразна реализация условий (13)-(16). Данные требования сводятся к рекомендациям относительно выбора уровней fa векторного критерия и (тестовых) последствий, используемых при выявлении условных предпочтений ЛПР, а также необходимого объема информации. В соответствии с устанавливаемыми требованиями к Иддр используемая

информация разбивается на обучающую-MjjjjpQ,а), И°]Пр(а), ИдПр-для оценки параметров функций ща,Ха>9 соответственно и проверочную-

ИлпрО,а) , Hjjpjp(a) , Mjinp- ДОЯ проверки условий согласованности (13)-(16) соответствующих функций с информацией о предпочтениях ЛПР.

Б. Функционал Ф^ (на функциях из UP) близости условных предпочтений ЛПР RPja, представленных выборкой Идцр^,а), и предпочтений Rfpja, также определяемых на PIjjjjp(i,a), задается соотношением

Ъ0>а)

I

1=1

= '^(^а 0Р)-М {ршв!1))\2 , (17)

где г0(1,а) - объем обучающей выборки ИЛцр(1',а)',

/ - номер элемента выборки ИЛцр (/', а). Функционал Ф2 (на функциях из ЦР) близости предпочтений ЛПР на суммарных условных полезностях, представленных выборкой №дцр(а)> н предпочтений Я^а , порождаемых функцией задается соотношением

ф2(Ха>И°ШР(сх)) = Ф2(Ма,ЯХа\и°ЛПР(а)) =

= ХГ-^Й^СЫЙ0)-^^^))2 > (18)

где у^р = \>а\у"а^ ] " неопределенное последствие лотереи

Функционал Ф3 (на функциях из ОР) близости предпочтений ЛПР,

представленных выборкой И°ЛЛР на многомерных детерминированных последствиях (условных предпочтений на подпространствах критериев , , I,} = \,т), и предпочтений, порождаемых функцией

<р е <2Р, задается соотношением

®3(<Р>И°ШР) = Ф3 (як,я9и°лпр)=Г±ЫЬт)-<р(Пт))2 , (19)

1=1

где г0 - объем обучающей выборки И°Лпр; I - номер элемента выборки. При этом показаны правомочность и целесообразность использования в (19) представления (8) функции ср в виде Ь т

ЯК/)= Ъ^а-Ха^аИ,)) . а=1 ;=1,

где taa - шкалирующие коэффициенты, обеспечивающие согласованность шкал измерения условных суммарных полезностей для различных уровней fa,ma>Q , a = lL. _

В. Обозначим через QP¿ , L = \,m подклассы представлений многомерных функций полезности, определяемые значениями параметра L. Тогда ОР = {JZ=lOPL и UP-lj^^UPy. Анализ сложности функций из

различных подклассов и упорядочение подклассов по сложности проводится с использованием известного критерия сложности задачи табулирования функций. Данный критерий упорядочивает подклассы QP¿ и UPV в порядке возрастания структурных параметров L и v соответственно: при одинаковых структурных компонентах семейство функций QP^ сложнее

семейства QPпри L\ > ¿2 и семейство функций UPy сложнее семейства UPy2 при v\ > v2 .

С использованием понятий А, Б, В задачу структурной и параметрической идентификации многомерной и одномерных функций полезности сформулируем как задачу нахождения функции <р е ОР наименьшей сложности с составными компонентами <pla eUP и %aeUP наименьшей сложности, которые в совокупности удовлетворяют условиям (13)-(16), а также условиям непрерывности функций <p¡a на интервале d¡ для критериев с изменяющейся ориентацией и условиям согласованности шкал измерения

полезности. Таким образом задача состоит в построении таких функций * * *

9 McoZa*™

<P?a(fJViafi) = arg min Фiiu(JueViail\H0mp{itá)) , (20) ueUPv<aM

tfaVin-b^)^"1 , <pfa(fiMßV'^) = rV , (21)

= > , (22)

Уши = min j v = И%прЯ и 1 , (23)

1 ™'а J

М=1

Ха(Уа) = яёт[пФ2(и(уа,е1,<*),И0Шр(а)) , (24)

i«dJPVa

и{уа,вУ«) = \ , u(yl,ev") = 0 , (25)

va = min jv = \jn\RRaMjlnpR^ J , (26)

»0 -где Уа , ya ~ значения суммарной условной полезности соответственно для

наиболее желательного и наименее желательного уровней критериев, вычисляемые с использованием функций <р*а , i = \,т ;

viafJ,va - номера параметрических семейств функций в классе UP, /л-номер интервала неизменной ориентации критерия;

Qv'ap ßVa ßvia/i ßVa _ вект0рЫ параметров функций и их оценки в соответствующих параметрических семействах;

<P*(f) = <FP(f,ä) = arg min Ф3 (<pp(f ,а>),И°тр) , (27)

(fP&QPl

/(/max) = l > /(/min) = 0 , (28)

L = min|l = l,OT

Постановка (20)-(29) определяет задачу восстановления одномерных и многомерной функций полезности как задачу их совместной структурной и параметрической идентификации. Соотношения (20)-(22) и (24), (25) определяют задачи параметрической идентификации одномерных функций полезности как задачи на условный минимум функционалов Ф1 и Ф2

соответственно по параметрам 9У'а/л функции и е ЦРц в (20) и по

параметрам 0У<Х функции ие1/Руа в (24). Условия (21), (22) определяются

требованиями согласования шкал измерения полезности на различных интервалах для критериев с изменяющейся ориентацией и непрерывности функции полезности. Условия (25) задают шкалу измерения полезности на значениях суммарной условной полезности. Условия (23) и (26) определяют критерии поиска функций минимальной сложности для представления одномерной условной функции полезности <р\а и одномерной функции полезности %а соответственно. Соотношения (27), (28) определяют задачу параметрической идентификации многомерной функции полезности как задачу на условный минимум функционала Ф3 по вектору ш параметров. Условия (28) задают нормализацию шкалы измерения полезности. Условия

(29) определяют критерий поиска функции минимальной сложности для представления многомерной функции полезности.

Заметим, что в смысле задачи структурной идентификации функций полезности условия (23), (26), (29) по существу являются регуляризирующи-ми. Данные условия обеспечивают единственность решения задачи структурной идентификации одномерных и многомерной функций полезности. Регуляризация состоит в уточнении понятия решения задачи : из всех функций, которые с учётом погрешности информации Идцр удовлетворяют условиям согласованности (13)-(16), в качестве решения выбираются функции минимальной сложности.

В диссертации проведено обоснование и разработка комплексного алгоритма решения рассмотренной задачи, представляющего собой итерационную (по номерам подклассов функций в порядке возрастания их сложности) реализацию критериев (20)-(23), (24)-(26) и (27)-(29). Проведен анализ задач минимизации функционалов Ф^Фз.Фз, выработаны рекомендации и предложены конкретные устойчивые алгоритмы минимизации, основанные на построении регуляризованных минимизирующих последовательностей с использованием данных о погрешностях выявления информации о предпочтениях ЛПР.

В п.2.5 рассматриваются особенности синтеза апостериорных ММВ в многокритериальных задачах с иерархической структурой векторного критерия, которая обуславливает также и иерархическую структуру предпочтений, подлежащих формализации путем восстановления функции полезности. Формально иерархическая структура векторного критерия может быть описана семейством вложенных декомпозиций множества учитываемых критериев. При этом каждое подмножество критериев вышестоящего уровня представляется объединением некоторой совокупности непересекающихся подмножеств нижестоящего уровня. Особенность анализа предпочтений состоит здесь в том, что для получения информации о принципе оптимальности на каждом подмножестве критериев из семейства вложенных декомпозиций, вообще говоря, могут привлекаться различные ЛПР. Все ЛПР, привлекаемые для получения информации о принципе оптимальности в задачах с иерархической структурой векторного критерия, интерпретируются как вышестоящие и нижестоящие ЛПР в зависимости от того, к анализу какого многокритериального аспекта задачи они причастны.

В работе показано, что при справедливости для предпочтений каждого из привлекаемых ЛПР предположений теорем 1, 4, 5 формулировка и алгоритмы решения задачи (20)-(29) совместной структурной и параметрической идентификации многомерной и одномерных функций полезности легко обобщаются на задачи с иерархическими предпочтениями. Описывается схема реализации предложенных в п.2.1 алгоритмов выявления информации о принципе оптимальности, а также схема модификации постановки задачи

восстановления функции полезности и алгоритмов ее решения применительно к случаю иерархических предпочтений.

В п.2.6 исследуется задача модификации метода идеальной (или целевой) точки выбора решений в многокритериальных задачах. Целью модификации является устранение одного из основных недостатков данного метода, связанного с вопросом определения в нем метрики, которая бы адекватно отражала целевые установки решаемой задачи. В работе предлагается апостериорный вариант модели идеальной (или целевой) точки, базирующийся на интерпретации метрики метода как многомерной функции полезности для предпочтений ЛПР и ее восстановлении в классе взвешенных моделей метрик Минковского с использованием разработанных в п.2.1 - 2.4 алгоритмов.

Класс взвешенных моделей метрик Минковского задается в виде

1И

/=1

)L) , (30)

где ¿ = 1,2,... cùj - весовые коэффициенты, <у, >0, / = \,т .

С использованием критерия сложности, рассмотренного в п.2.4, функ-шш PL(-,-) имеют (так же как и подклассы OPi eQP представлений

многомерных функций полезности) естественную упорядоченность: р сложнее /?//, если L'>L". Тогда задача определения приемлемой метрики для модели идеальной точки может формулироваться как задача структурной и параметрической идентификации многомерной функции полезности в классе функций M. Здесь структурная идентификация сводится к оценке параметра L, а параметрическая идентификация состоит в оценке вектора параметров а> для установленного значения L. В рассмотренной формулировке задача восстановления приемлемой метрики соответствует постановке (27)-(29) задачи восстановления многомерной функции полезности и может решаться соответствующими алгоритмами. Особенностью задачи восстановления многомерной функции полезности в классе функций M по сравнению с задачей восстановления в классе QP является то, что класс M бесконечен по параметру L. В связи с этим возникает необходимость определения правила остановки алгоритма восстановления функции для случая, когда предпочтениям ЛПР соответствует метрика piiw) с очень большим значением L (возможно с L = <я). Предлагается такое правило строить путем определения порогового значения (в каждой практической задаче своего) Ln0p < -ко для параметра L. При этом, если условия (29) при

реализации алгоритма не выполняются ни для одного L < Ln0p, то в качестве

восстанавливаемой метрики выбирается самая сложная функция из М, т.е. метрика с Ь = оо, имеющая вид

Рсс(/(х)у/ц)= птах. <5/ • /,(х)-/!'

/=1 ,т

где оценки параметров <а, определены как решения задачи (27),(28)

Второй предлагаемый нами подход для рассматриваемого случая состоит в построении правила остановки на основе включения в алгоритм этапа выбора согласно модели идеальной (или целевой) точки последовательности

. "оптимальных" альтернатив х^ с использованием восстанавливаемой на каждой итерации своей функции <р^(/,со) = />/,(•,•)• Правило остановки строится на основе анализа поведения последовательности

= 1,2,...,¿1 < Ьп0р выбираемых альтернатив и задается критерием

Рь(/(х^)>/(х^У)-£> гДе £>0, задаваемая величина.

В п.2.7 с использованием общих свойств восстанавливаемых (согласно положениям п.п.2.1-2.6) одномерных и многомерных функций полезности проводится анализ задач (I), (2) как задач математического программирования, решение которых обеспечивает выбор предпочтительной альтернативы. Результатом анализа является выработка рекомендаций по выбору методов апостериорной (после восстановления функций полезности) оптимизации ожидаемой полезности и/или полезности альтернатив и формулировка

свойств выбираемых решений х^ еХ.

Одной из основных рекомендаций является указание на необходимость включения в алгоритмическое (и программное) обеспечение систем, использующих предлагаемые апостериорные ММВ, алгоритмов решения как гладких, так и негладких экстремальных задач. При этом наличие информации о структуре возможных разрывов производных (в точках смены ориентации критериев при наличии таковых) оптимизируемых функций позволяет использовать эффективные методы решения негладких задач, основанные на их сведении к гладким задачам с учетом указанной информации.

К наиболее существенным свойствам выбираемых альтернатив, обуславливаемым (свойствам) принципами построения апостериорных многокритериальных моделей выбора на основе рассмотренных в п.п. 2.1 -2.6 положений, относятся:

п

1. Выбираемая альтернатива х е X соответствует предпочтениям ЛПР с точностью, определяемой погрешностями представления СП ЛПР обучающими и проверочными выборками приближенных отношений равноценности.

2. Процесс выбора альтернативы хК еХ устойчив к малым изменениям исходных данных - к малым вариациям СП ЛПР, малым погрешностям оценок /(.ф") альтернатив хеХ.

п

3. Выбираемая альтернатива .г е X является Парето-оптимальной. При этом выбор Парето-оптимальной ачьтернативы обеспечивается без предварительного нахождения множества Парето.

В последнем разделе второй главы (п.2.8) проводится краткий анализ возможностей апостериорного (дополнительного к выбору предпочтительной альтернативы) исследования исходной задачи многокритериального выбора решения при неопределенности, обеспечивающего выявление дополнительной информации о задаче Л} на основе использования, анализа и содержательной интерпретации свойств восстановленных функций полезности.

Рассмотрены сущность, значимость для обоснованности выбираемого решения и методы проведения апостериорного анализа следующих характеристик задачи:

1. Чувствительность результатов- выбора к входным вероятностным распределениям на множестве 5 возможных условий реализации альтернатив и к погрешностям оценки критериев.

2. Чувствительность результатов выбора к изменениям предпочтений ЛПР.

3. Структура вкладов отдельных и совокупностей свойств (например, объединенных в аспекты, оцениваемые значениями подвекторов вектора

/) альтернативы хК е X в вывод о ее предпочтительности перед другими альтернативными решениями.

В третьей главе "ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ДИАЛОГОВАЯ СИСТЕМА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ" излагаются принципы построения, описывается структура, принципы работы пользователя и возможности разработанной в процессе диссертационных исследований диалоговой системы ДИСМВ.

Прикладной (в смысле класса решаемых задач) функциональный модуль ДИСМВ представляет собой программную реализацию математических моделей, методов и алгоритмов, рассмотренных в гл.2, и обеспечивает решение полного перечня задач, соответствующих этапам восстановления функций полезности, их оптимизации на множестве конкурирующих альтернатив, апостериорного анализа альтернатив. Данный модуль реализуется следующими программами:

получения данных по исходной модели задачи принятия решений;

восстановления в интерактивном режиме одномерных и многомерных функций полезности;

расчета значений одномерных и многомерных функций полезности и их математических ожиданий (ожидаемой полезности альтернатив);

вычисления значений детерминированных эквивалентов многомерных последствий (с использованием восстановленных функций);

выбора предпочтительных альтернатив на основе оптимизации ожидаемой полезности;

апостериорного анализа задачи.

Показано, что разработанные в диссертации модели, методы и алгоритмы обеспечивают реализацию в ДИСМВ следующих существенных для рассматриваемых задач основных требований к диалоговым системам поддержки процессов принятия решений:

1) ориентация на пользователя, не являющегося специалистом в области программирования и математических методов решения многокритериальных задач;

2) соответствие языка диалога языку предметной области решаемой задачи;

3) согласованность сценария диалога со структурой конкретной задачи;

4) наличие разнообразной и быстрой обратной связи ЭВМ-» ЛПР;

5) возможность быстрого освоения системы новыми пользователями.

Приводятся описания базы данных ДИСМВ и иллюстративные примеры интерактивной работы пользователя с прикладными функциональными модулями.

В четвертой главе " ИМИТАЦИОННЫЕ И ДИАЛОГОВЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО АТТЕСТАЦИИ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ " кратко излагается методика и приводятся результаты аттестации разработанных в диссертации моделей, методов, алгоритмов и ДИСМВ в смысле их работоспособности, точностных характеристик, достоверности результатов анализа и выбора решений в многокритериальных задачах. Методика и результаты аттестации иллюстрируются тремя численными (имитационными и диалоговыми) экспериментами.

Сущность первого из приводимых экспериментов состоит в имитации (подыгрыше) предпочтений ЛПР в тестовой задаче многокритериального выбора с использованием конкретной функции из класса ()Р. При этом эксперимент включает вариацию погрешностей имитируемых предпочтений ЛПР. На основе такой информации проводится анализ процессов решения задачи совместной структурной и параметрической идентификации одномерных и многомерной функций полезности. Иллюстрируются "работа" регуляризирующих критериев идентификации вида (структуры) функций полезности и зависимость результатов решения задач от погрешности "выявляемой" дополнительной информации о принципе оптимальности (от возможностей "ЛПР"). Показано, что результаты эксперимента полностью согласуются с теоретическими положениями и выводами.

Второй (имитационный) эксперимент относится к аттестации алгоритма восстановления многомерной функции полезности для иерархических предпочтений. Сущность эксперимента состоит в использовании для имитации предпочтений ЛПР (с различными возможностями) на различных уровнях иерархии функций, не принадлежащих классам ОР и 1/Р, но свойства которых отвечают предположениям работы о свойствах СП ЛПР и, следовательно, для которых (как функций полезности из класса стратегически эквивалентных функций) должно существовать представление, предложенное в п.п.2.2., 2.3. На основе указанного подыгрыша предпочтений ЛПР проводится анализ процесса восстановления одномерных (условных и безусловных для суммарной условной полезности) и многомерных функций полезности для тестового иерархического предпочтения, описываемого согласно положениям п.2.5. Достоверность результатов восстановления функций полезности в рассматриваемом эксперименте иллюстрируется сравнением выбираемых решений (из тестового множества альтернатив) с использованием тестовой (имитирующей предпочтения ЛПР) и восстанавливаемой функции полезности.

В третьем реальном диалоговом эксперименте, проводившемся с привлечением в качестве ЛПР специалиста соответствующей предметной области, рассматривалась задача выбора радиолокатора измерения параметров (РИП) орбит искусственных спутников Земли (ИСЗ) с учетом двух критериев. Одной из целей эксперимента являлось сравнение результатов решения данной задачи при конкретном заданном наборе РИП с использованием предложенной в литературе для ее решения априорной ММВ (мультипликативная свертка критериев) и с использованием рассмотренной в гл.З ДИСМВ. В работе дан анализ ситуаций, в которых для рассматриваемой задачи применение предложенной априорной модели может оказаться неправомочным, и показано, что в таких ситуациях предложенные в диссертации апостериорные ММВ обеспечивают выбор варианта РИП, согласующегося с представлениями ЛПР о его желаемых свойствах. Диалоговый эксперимент иллюстрируется конкретными результатами восстановления функций полезности и выбора предпочтительных вариантов РИП. -

В пятой главе "ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ В ПРАКТИЧЕСКИХ . ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА" излагаются результаты, полученные при применении разработанных в диссертации моделей, методов и алгоритмов к исследованию актуальных прикладных задач.

В п.5.1. рассмотрена задача многокритериального выбора вариантов синтеза сложных военно-технических систем (СВТС), к которым относятся группировки специального назначения. Данная задача характеризуется рядом особенностей, обуславливаемых спецификой объекта проектирования:

- многоуровневая иерархическая структура, обычно с четким различием функций подсистем на каждом уровне и по иерархическим уровням, и с реализацией этих функций в интересах всей СВТС;

- наличие взаимосвязи подсистем на каждом уровне (по горизонтали) и между уровнями иерархии (по вертикали), которая осуществляется, как правило, на основе управленческого воздействия подсистем вышестоящего уровня над нижестоящими, т.е. управления также имеют иерархическую структуру;

- большое число критериев, учитываемых при оценке качества выполнения своих функций каждой подсистемой, иерархическим уровнем СВТС и в целом СВТС. При этом критерии, определяющие свойства СВТС и ее подсистем, противоречивы и отражают цели, которые имеют различную физическую природу. Это стоимостно-эффективностные показатели, эргономические, экономические, политические и т.п.

Одной из основных задач поддержки процессов анализа и выбора предпочтительных вариантов СВТС является задача разработки методов, алгоритмов и программного инструментария агрегирования векторного критерия (для каждой подсистемы, уровня иерархии, СВТС в целом) в скалярный показатель и выбора на его основе предпочтительных вариантов.

В диссертации рассмотрены исследования указанной задачи в части:

(а) обоснования условий, при которых исходная модель (1), (2) задачи многокритериального выбора соответствует специфике исследуемой прикладной задачи и, следовательно, при которых положения гл. 1,2,3 диссертации непосредственно обеспечивают решение прикладной задачи;

(б) разработки апостериорно-априорной модели агрегированного критерия (АК) оценки и выбора вариантов СВТС для ситуаций, в которых модель (1), (2) не соответствует прикладной задаче;

(в) практическая проверка теоретических положений гл.2 и возможностей разрабатываемых на их основе специализированных диалоговых систем на тестовых задачах проектирования СВТС с участием специалистов соответствующего профиля.

В целом (относительно пунктов (а)-(в)) полученные результаты отражаются следующими положениями:

заложенные в исследовательской ДИСМВ возможности обеспечивают настройку ее модулей ведения диалога на специфику рассматриваемой задачи;

при использовании специализированной ДИСМВ в отдельных подсистемах и на уровнях иерархии, представляемых функционально взаимосвязанными подсистемами, получение информации, требуемой предложенными в п.2.1 алгоритмами от ЛПР, не вызывает больших затруднений после этапа освоения принципов интерактивной работы с ДИСМВ;

алгоритмы восстановления многомерных функций полезности (в том числе для иерархических предпочтений) по информации о предпочтениях ЛПР обеспечивают построение АК для оценки любой подсистемы, уровня иерархии, всей СВТС.

Задача (б) возникает на верхних уровнях иерархии, которые включают в себя подмножества критериев, отражающих различные (обычно функционально не связанные) аспекты, когда не удается получить от ЛПР информации, необходимой для восстановления многомерной функции полезности. Причем указанная ситуация возникает не из-за сложности требуемой информации, а из-за того, что критерии из различных аспектов для конкретного ЛПР оказываются не сравнимыми. Формально здесь можно говорить о нарушении аксирмы связности предпочтений ЛПР, что приводит к нарушению предположения модели (1), (2) о предпочтениях ЛПР как о слабом порядке. Для. таких ситуаций в диссертации обосновывается и реализуется возможность описания задачи выбора предпочтительного варианта СВТС моделью бескоалиционной игры. При этом "участниками" игры являются подмножества критериев, отражающих аспекты, включаемые в множество критериев вышестоящего (для которого строится АК) уровня согласно положениям п.2.5, а функции выигрыша "игроков" задаются многомерными функциями полезности (или ожидаемыми полезностями при неопределенности) на соответствующих подмножествах критериев. С учетом принятого в бескоалиционных играх, принципа выбора игроками своих стратегий - стратегий, определяющих ситуацию равновесия - в качестве АК берется критерий вида

т^пш^Дх)),...,?*(/*(*))} , (31)

хеХ

где р-',/-' - многомерная функция полезности и векторный критерий соответственно, относящиеся к }—у "игроку".

АК вида (31) рекомендует в качестве предпочтительной полуэффективную равновесную альтернативу. Подробно обоснование и иллюстрация указанных положений проводится в работе для случая синтеза АК, учитывающего структурный аспект, который характеризуется эффективно-стно-стоимостными критериями, и специфически структурный аспект, который характеризуется требованиями, связанными с экологическими и экономическими факторами района развертывания СВТС и т.п.

Схема рассмотренного метода синтеза АК может быть названа апосте-риорно-априорной и определяется следующей последовательностью действий:

восстанавливаются независимо друг от друга многомерные функции

полезности {х)),] = \,Ы, для этого используются методы, разработан-

ные в гл.2, которые отражают апостериорную сущность модели АК;

исходная задача выбора предпочтительного варианта СВТС сводится к задаче выбора полуэффективной ситуации равновесия, критерий выбора которой отражает априорную сущность модели АК.

В п.5.2 излагаются результаты применения методов и алгоритмов гл.2 к решению задачи синтеза автоматического измерителя качества передачи телевизионных (ТВ) изображений (ИКПИ).

Сущность рассматриваемой задачи состоит в построении и компьютерной реализации алгоритма прогноза субъективного восприятия (оценки) телезрителем искажений передаваемого изображения, обуславливаемых техническим состоянием ТВ канала. Последнее характеризуется совокупностью (вектором) / нормируемых параметров канала, которые интерпретируются в работе как критерии, / = (/ь/2>->/т)6^с^И' // ег?/ = [//штатах> ' = Пусть = {1,2,3,4,5}с Е\ - шкала качества изображений, соответствующая принятой в телеметрии экспертизе по субъективной оценке качества изображения. Тогда рассматриваемая задача состоит в синтезе отображения

и представляет собой задачу многокритериальной классификации изображений.

Предложенные к настоящему времени подходы к построению ИКПИ в соответствии с классификацией ММВ относятся к классу априорных многокритериальных моделей классификации изображений и не обеспечивают требуемой достоверности прогноза. Проведенный в работе анализ рассматриваемой задачи показывает, что ее специфика, связанная с необходимостью отражать с помощью ИКПИ представления экспертов (субъектов) о качестве изображения, приводит к очевидному выводу: синтез ИКПИ должен основываться на апостериорных многокритериальных моделях классификации изображений.

Для построения автоматического ИКПИ на основе апостериорного подхода требуется решение следующих задач:

(а) обеспечить в процессе передачи изображений автоматическое измерение нормируемых параметров ТВ канала;

(б) формализовать предпочтения экспертов на множестве изображений 2, порождаемых искажениями истинного изображения при его передаче по ТВ каналу, которые (искажения) обусловлены различными значениями вектора / нормируемых параметров ТВ канала;

(в) синтезировать формальные правила сопоставления переданному изображению оценки его качества в шкале хк, согласованной (оценки) с представлениями экспертов о качестве изображения.

Задача (а) решается аппаратно-программным комплексом (АПК) измерения и контроля параметров ТВ и РВ (радиовещательных) сигналов и программно реализованными в нём оптимальными алгоритмами оценки нормируемых параметров ТВ канала.

Решение задачи (б) обеспечивается восстановлением многомерной функции полезности <р для предпочтений на множестве О, индуцируемых предпочтениями экспертов на множестве изображений 2. Правило индуцирования здесь очевидно: предпочтения между парами изображений переносятся на предпочтения между соответствующими значениями вектора /. При этом используется предложенная в работе модификация метода

целевой, точки (п.2.6). В качестве целевой используется точка /" е О, соответствующая номинальным значениям параметров ТВ канала, которые обеспечивают передачу изображения без искажений. В работе приводится модификация алгоритма выявления предпочтений ЛПР применительно к рассматриваемой задаче, отражающая специфику использования в данном процессе методики экспертного (субъективного) сравнения пар изображений из 2 и аппаратных средств вариации параметров ТВ канала.

*

Решение задачи (в) при восстановленной функции полезности ср основано на разбиении множества О на подмножества £>у , у = 1,5, где Оу-множество значений вектора / параметров ТВ канала, при которых субъективная оценка качества переданного изображения в шкале равна V. Оу описывает в О образ ТВ изображений, соответствующих субъективной оценке к их качества. Для построения указанного разбиения требуется найти

уравнения разделяющих поверхностей в И, которые определяют образы Оу.

*

Задание разделяющих поверхностей при восстановленной функции <р обеспечивается нахождением для каждого V = 1,4 по одной точке

г V У+1 г, ^ „

/ ' е и, лежащей на поверхности, разделяющей подмножества Ву и По определению функции полезности при известных точках

у^ у _ 14 разделяющие поверхности могут быть заданы уравнениями

а подмножества-образы Д, - соотношениями

Ву = \гео\р*(Г-{'у)«р\/)<ср*(Г'у+1)\ при Vе{2,3,4} и - соотношениями

А = {/'еф*(/)</С/1'2)), = ¡Ге^*(/)>/(/4-5)}

В работе описан алгоритм приближенного выявления точек , к = 1,4

и алгоритм работы синтезированного ИКПИ.

Приведены также результаты синтеза ИКПИ (в системе СЕКАМ) на множестве восьми параметров ТВ канала, рекомендуемых международным консультативным комитетом по ТВ как наиболее представительные, и результаты экспериментальной оценки характеристик разработанного ИКПИ.

В п.5.3 исследуется задача применения многомерных функций полезности при представлении знаний и управлении выводом в экспертных системах (ЭС). Конкретно рассматриваются возможности использования положений гл.2 диссертации в задачах совместного учета совокупности свидетельств, определения параметров (порогов принятия решений) нечетких правил продукционного типа, построения схем представления знаний и алгоритмов вывода заключений.

Изложение иллюстрируется задачей медицинской диагностики. Данная

задача может быть представлена парой (зГ,/* где X - множество альтернатив (конкретных заболеваний, по которым система проводит

экспертизу), содержащихся в базе знаний, а /х = (/.*,...,/* ) - вектор

I тх

свидетельств (симптомов), характеризующих конкретную альтернативу

хеХ (например, - температура, - головная боль и т.п.). Нечёткие

правила продукционного типа могут быть записаны в форме: "если

I1 {¡Х] )>СХ, то или в виде более сложной цепочки

("посылка"->"заключение") вывода (например: "если ->то->иначе ...").

Здесь /Х]=(/Х] ,...,/х]) - подвектор вектора /х , <тх ; 2->{/Х]) -1 Ч)

функция принадлежности, характеризующая степень истинности альтернативы х е X при реализующихся симптомах, Сх - порог истинности альтернативы хеХ.

Задаче [у,/* | может быть сопоставлена ассоциированная ею совокупность задач принятия решений где |£| = 1 ; - некоторое

(любое) подмножество возможных реализаций подвектора свидетельств fx^, относящихся к альтернативе хеХ; В. - принцип оптимальности, отвечающий целевой установке выбора такой реализации / е F'r■' подвектора fx^ свидетельств, которая наилучшим образом выражает заболевание х. Такое сопоставление позволяет дать полезностную интерпретацию функциям

принадлежности и приводит к справедливости следующего

утверждения.

Утверждение 3. Адекватный знаниям эксперта совокупный учёт

реализаций подвекгоров /У = (/У ) <тх свидетельств (возможно

'1 Ч] ■'

противоречивых) в нечетких правилах продукционного типа для задач {у,/* } обеспечивается функциями полезности для предпочтений эксперта в задаче

Утв.З позволяет использовать предложенные в гл.2 диссертации методы и алгоритмы для построения правил совместного учета множества свидетельств, характеризующих альтернативы, по которым проводится экспертиза в ЭС. В диссертации с использованием полезностной интерпретации функций принадлежности и утв.З обосновываются и синтезируются алгоритм приближенной оценки порогов Сх для нечетких правил продукционного типа и алгоритм вывода заключений, основанный на смешанной цепочке рассуждений и на определении текущей цены свидетельств с использованием критерия чувствительности к их вариации соответствующей многомерной функции полезности.

В п.5.4 приводится краткая сводка, сущность и характеристика дополнительных к рассмотренным в п.п.5.1-5.3 приложений к практическим задачам моделей, методов и алгоритмов, разработанных в гл.2 и программных средств ДИСМВ (гл.З). Перечень таких задач вюпочает:

проектирование компьютерных анализаторов параметров каналов вещания (телевидения и радио);

адаптивный выбор в процессе вещания представительного (в смысле достоверности контроля состояния) набора параметров качества ТВ каналов;

автоматическое управление контролем ТВ и РВ каналов, замкнутых на один компьютерный измерительный канал;

анализ изображений при мониторинге земной поверхности и океана, представляемых радиолокационными (амплитудными) портретами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация содержит совокупность моделей, методов и алгоритмов многокритериального выбора решений в условиях неопределенности, представляющих собой теоретическое обобщение и развитие методов "полезностного" направления теории выбора и принятия решений и их приложений и имеющих важное значение для автоматизации процессов выработки и принятия решений, повышения их оперативности и обоснованности. Сформулируем основные положения "диссертационной работы и результаты исследований:

1. В качестве исходной модели задачи многокритериального выбора решений в условиях неопределенности принята модель, основанная на условиях существования функции полезности для предпочтений ЛПР. Данная модель определяет адекватное представление широкого класса практических задач принятия решений. Введено понятие класса многокритериальных моделей выбора - ММВ. На основе анализа данного класса как предмета исследований выделены проблемные вопросы его развития, сформулирована цель и основные задачи развития многокритериальных моделей выбора.

2. Теоретически обоснованы и разработаны модели, методы и алгоритмы многокритериального выбора решений в условиях неопределенности, обеспечивающие решение сформулированных задач развития ММВ.

2.1. Сформулирована и решена задача синтеза алгоритмов выявления необходимой дополнительной информации о принципе оптимальности с учетом возможностей ЛПР.

2.2. Обоснован класс представлений многомерных функций полезности для предпочтений ЛПР. Дана интерпретация структурных компонент предложенных представлений на языке предпочтений ЛПР.

2.3. Определены принципы построения и обоснован класс представлений структурных компонент многомерных функций полезности -одномерных условных и безусловных функций полезности.

2.4. Обоснована математическая постановка и разработаны методы и алгоритмы решения задачи совместной структурной и параметрической идентификации многомерной и одномерных функций полезности в классе предложенных представлений функций. Описаны свойства задачи, методов и алгоритмов.

2.5. Проведено обобщение представлений многомерных функций полезности, задачи восстановления функции полезности, методов и алгоритмов ее решения на многомерные функции полезности для иерархических предпочтений.

2.6. Разработана модификация метода идеальной (или целевой) точки решения многокритериальных задач, использующая предложенную идею совместной структурной и параметрической идентификации функций полезности.

2.7. Выработаны рекомендации по выбору методов решения экстремальных задач для апостериорного (после восстановления функции полезности) выбора предпочтительного решения.

2.8. Рассмотрены основные возможности апостериорного анализа исходной многокритериальной задачи с использованием восстановленных одномерных и многомерной функций полезности.

3. Разработана исследовательская диалоговая система многокритериального выбора решений в условиях неопределенности, в которой

реализованы развитые в работе теоретические положения, модели, методы и алгоритмы раскрытия предпочтений. ЛИР, восстановления функций полезности, апостериорного выбора предпочтительного решения и дополнительного апостериорного анализа исходной задачи принятия решения.

4. Проведена аттестация разработанных моделей, методов и алгоритмов с использованием статистического имитационного моделирования предпочтений ЛПР в тестовых задачах многокритериального выбора решений и реальных диалоговых экспериментов.

5. Разработаны методы, алгоритмы и реализующий их программный инструментарий решения актуальных практических задач, основанные на применение полученных в работе моделей, методов и алгоритмов многокритериального выбора решений к соответствующим прикладным исследованиям.

5.1. Предложены методы синтеза агрегированного критерия оценки вариантов построения сложных военно-технических систем и выбора на его основе предпочтительного варианта.

5.2. Разработан автоматический измеритель качества передачи телевизионных изображений.

5.3. Предложены методы совместного учета свидетельств, оценки параметров нечетких правил продукционного типа принятия решений и схема построения алгоритмов вывода заключений, основанных на смешанной цепочке рассуждений, в экспертных системах.

5.4. Разработаны и реализованы методы многокритериального анализа и принятия решений применительно к задачам проектирования компьютерных анализаторов параметров каналов вещания (телевидения и радио), адаптивного выбора в процессе вещания представительного (в смысле достоверности контроля состояния) набора параметров качества ТВ каналов, автоматического управления контролем ТВ и РВ каналов, замкнутых на один компьютерный измерительный канал, анализа изображений при мониторинге земной поверхности и океана, представляемых радиолокационными (амплитудными) портретами.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Михно В.Н., Богданчук В.З., Егоров Б.М., Катулев А.Н. Агрегирование

векторных критериев: интерактивное информирование и самоорганизация в задачах принятия решений. -Ленинград: ЛИИАН, 1990. -128 с.

2. Михно В.Н., Катулев А.Н., Виленчик Л.С., Богданчук В.З. Современный

синтез критериев в задачах принятия решений. -М.: Радио и связь, 1992.- 120 с.

3. Михно В.H., Виленчик Л.С., Катулев А.Н., Михно Г.А. Алгоритмиче-

ские измерения в телевидении и радиовещании. -М: Радио и связь, 1995.- 102 с.

4. Михно В.Н., Виленчик Л.С., Богданчук В.З., Катулев А.Н. Метод

построения агрегированного критерия при многоцелевом синтезе радиотехнических систем. -Радиотехника, 1988, №3. -с.59-60.

5. Михно В.Н., Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Классификация и оценка

параметров помех при контроле ТВ каналов. -Радиотехника, 1994, №11. -с.37-41.

6. Михно В.Н., Богданчук В.З., Катулев А.Н. Метод построения

агрегированного критерия. -В кн.: Прием и обработка информации в сложных информационных системах, вып. 17. -Казань: КГУ, 1988. -с.12-21.

7. Михно В.Н., Богданчук В.З., Катулев А.Н. Самоорганизация моделей

агрегирования критериев в задачах принятия решений. -В кн.: Математические методы в теории САПР, роботов и систем. -Калинин, КГУ, 1988. -с.31-36.

8. Михно В.Н., Катулев А.Н. Аппроксимация агрегированного критерия в

многокритериальных задачах принятия решений. -В кн.: Информационные системы и технологии. -Владимир, ВГУ, 1997. -с.19-27.

9. Михно В.Н. Полезностная интерпретация функций принадлежности

нечетких множеств. -Сб. научно-методических материалов, вып.23(324). -НИИ-2 МО, 1987. -с.31-43.

10. Михно В.Н. Интерактивный алгоритм многокритериального анализа

информационных ситуаций, порождаемых разнотипными источниками информации. -Сб. научно-методических материалов, вып.24(325). -НИИ-2 МО, 1988. -с.22-30.

11. Михно В.Н., Левковцев Г.М. Многокритериальный анализ направлений

развития В и ВТ. -Сб. научно-методических материалов НИИ-2 МО, вып. 19(217), 1985.-c.9-17.

12. Михно В.Н., Пузанкевич Л.Ф. Численные эксперименты по сравнитель-

ному анализу моделей многокритериального выбора решений. -Там же.-с.18-25.

13. Mikhno V.N., Vilenchik L.S., Katulev A.N. Dialogue System of Analysis and

Choice of Multiobjective Alternatives in the Projecting Problems. -Proc. Int. Conference "Information Technology in Design", PART 1, 1994. -p.166-168.

14. Mikhno V.N., Vilenchik L.S., Katulev A.N., Mikhno G.A. Program Complex

of TV and Broadcasting Channels Control. -Proc. Int. Conference "Information Technology in Design", PART 2,1994. -p.149-151.

15. Михно B.H., Виленчик Л.С., Катулев A.H. О восстановлении функций

полезности в многокритериальных задачах управления. -В кн.: Персональные ЭВМ в задачах проектирования и поддержки решений (тези-

сы докладов). Совещание специалистов стран-членов СЭВ. -М.: ГКВТИ СССР, 1989.

16. Михно В.Н., Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Метод контроля и прогнози-

рования состояния ТВ канала по агрегированному критерию. -Труды научно-технического семинара: Современные технические средства вещательного и прикладного телевидения (тезисы докладов). -М.: МНТОРЭС, 1993. -с.16-17.

17. Михно В.Н. Структура агрегированного критерия оценки качества

передачи ТВ изображения. -Международная научно-техническая конференция: Современное телевидение (тезисы докладов). -Тверь, 1995. -с.39.

18. Михно В.Н. Повышение достоверности допускового контроля состояния

ТВ канала с использованием функций полезности. -Там же. -с.40-41.

19. Михно В.Н., Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Адаптивный алгоритм

контроля ТВ канала по агрегированному критерию. -Там же. -с.35.

20. Михно В.Н., Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Синтез интегрального

критерия для автоматического контроля ТВ канала. Там же. -с.36.

21. Михно В.Н., Виленчик Л.С. Адаптивное управление контролем ТВ и РВ

трактов, замкнутых на один компьютерный измерительный канал. -4-я научно-техническая конференция: Современное телевидение (тезисы докладов). -М.: РНТОРЭС, 1996. -с.38-39.

22. Михно В.Н., Виленчик Л.С. Полезностный классификатор изображений

в задаче опознавания природных явлений. -6-я научно-техническая конференция: Современное телевидение (тезисы докладов). -Москва, март 1998г. -с.66.

23. Михно В.Н. Математические модели условий представимости

многомерных функций полезности суперпозициями колмогоровского типа одномерных функций полезности. -Учёные записки ТвГУ (материалы научной конференции). -Тверь, 1996. -с.68-69.

24. Михно В.Н., Виленчик Л.С. Математическая модель и метод построения

интегрального показателя качества передачи телевизионного изображения. -Там же.-с.75.

25. Михно ВН., Богданчук В.З., Кияшов А.Д., Мустафаев В.Б. Способ

построения радиолокационного портрета объекта по набору признаков. -A.C. №308150 (СССР), 1990.

26. Михно В.Н., Катулев А.Н., Шмитов В,М. Диалоговая система

многокритери&чьной оптимизации (ДИСМО). -РосФАП №947452, 1992.

27. Михно В.Н., Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Способ измерения параметров

сигналов телевизионного вешания. //"Бюллетень изобретений", 20.07.96 (заявка №94038972 от 30.9.1994). Патент №2.107.410. //"Бюллетень изобретений", №08 от 20.03.98. - ВНИИГПЭ.

МИНИСТЕРСВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УДК 007.519.81

Михно Владимир Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание учёной степени доктора

технических наук

ТВЕРЬ 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.......................................................................................................................................6

Глава 1. Проблема многокритериального выбора в условиях неопределенности. Конкретизация решаемых задач.........................................................................................20

1.1. Общие понятия и предположения......................................................20

1.1.1. Исходная модель и содержательная формулировка задачи принятия решений....................................................................20

1.1.2. Многокритериальная задача выбора в ; /СЛОВИЯX неопределенности....................................................................................,.,.2 2

1.1.3. Модель СП ЛПР ...............................................................................................23

1.1.4. Принцип выбора решений.....................................................................28

1.2. Многокритериальные модели выбора как предмет исследований.........................................................................................................30

1.1.5. Многокритериальные модели выбора........................................30

1.1.6. Априорные ММВ................................................................................................31

1.1.7. Апостериорные ММВ....................................................................................3 3

1.1.8. Адаптивные ММВ.......................................................................................,...37

1.1.9. ММВ, реализующие смешанные концепции........................4 0

1.3.Цели работы. Конкретизация решаемой проблемы .........41

Глава 2. Теория и синтез математических неделей, методов и алгоритмов многокритериального выбора решений в условиях неопределенности... 4 5

2.1 Интерактивные алгоритмы выявления дополнительной информации о СП ЛПР...............................................................................45

2.1.1. Допустимые области определения функций полезности и предпочтений ЛПР...................................................43

2.1.2. Класс тестовых задач для выявления предпочтений ЛПР......................................................................................................4 8

2.1.3. Формулировка и алгоритм решения задачи выявления предпочтений ЛПР на неопределенных последствиях....................................................................................................32

2.1.4. Формулировка и алгоритм решения- задачи выявления предпочтений ЛПР на многомерных однозначных последствиях................................................................57

2.2. Класс представлений многомерных: функций полезности...............................................................................................................64

2.2.1. Обоснование представлений многомерных функций полезности..................................................................................65

2.2.2. Интерпретация представлений многомерных функций полезности. Связь с частными представлениями и суперпозициями Колмогорова функций многих переменных............................................................71

2.3. Класс представлений одномерных функций полезности...............................................................................................................7 6

2.3.1. Структура одномерных функций полезности..................7 6

2.3.2. Согласование шкал измерений условной одномерной полезности.....................................................................................83

2.4. Структурная и параметрическая идентификация функций полезности.......................................................................................86

2.4.1. Постановка задачи......................................................................................8 6

2.4.2. Комплексный алгоритм восстановления одномерных и многомерной функции полезности...............103

2.4.3. Выбор методов минимизации функционалов близости предпочтений.....................................................................107

2.5. Многомерные функции полезности для иерархических предпочтений................................................................................116

2.6. Восстановление многомерной фзгнкции полезности в классе взвешенных моделей метрик Минковского.........................................................................................................122

2.7. Апостериорный многокритериальный выбор предпочтительных альтернатив......................................................126

2.8. Апостериорный анализ за.дачи многокритериального выбора........................................................................................................................129

Глава 3. Исследовательская диалоговая система

многокритериального выбора решений в условиях неопределенности...............................................................................134

3.1 Особенности реализации многокритериальных моделей выбора в системах автоматизации принятия решений........................................................................................................................134

з

3.2. Структурное и функциональное описание исследовательской диалоговой системы выбора решений......................................................................................................................139

3.3. База данных диалоговой системы................................................146

3.4. Диалоговое взаимодействие пользователя с прикладными функциональными модулями..............................147

Глава 4. Имитационные и диалоговые эксперименты по

аттестации моделей и алгоритмов.................................153

4.1. Тестовый имитационный эксперимент по восстановлению одномерных и многомерной функций полезности.............................................................................................................153

4.1.1. Исходные положения...............................................................................153

4.1.2. Анализ результатов..............................................................................155

4.2. Имитационный эксперимент по восстановлению многомерной функции полезности для иерархического предпочтения..............................................................................160

4.3. Диалоговый эксперимент по выбору радиолокатора измерения параметров (РИП) орбит искусственных спутников Земли (ИСЗ).................................163

Глава 5. Применение математических моделей, методов и алгоритмов в практических задачах многокритериального выбора................................................168

5.1. Многокритериальный анализ и выбор вариантов управленческих и организационных решений по проектированию сложных военно-технических систем........................................................................................................................168

5.1.1. Общая характеристика исследований.................................168

5.1.2. Апостериорно-априорная модель агрегированного критерия, обеспечивающая учет структурных требований......................................................................................................17 2

5.2. Задача синтеза автоматического измерителя качества передачи телевизионных: (ТВ) изображений........................................................................................................177

5.3. Использование многомерных функций полезности в задачах представления знаний и управления выводом в экспертных системах...................................................185

5.4. Другие приложения математических моделей, методов и алгоритмов многокритериального выбора решений................................................................................................205

Заключение...........................................................................................................................211

Литература...........................................................................................................................221

Введение.

Одним из основных компонентов математического обеспечения современных систем автоматизации процессов планирования, проектирования, управления, контроля в экономике, технике, военном деле и других областях является программная реализация моделей многокритериального выбора, обеспечивающих повышение обоснованности принятия соответствующих решений. Указанное положение обусловлено тем, что перечисленные процессы (в целом или на определенных этапах) формулируются в виде задач принятия решений. Практически же любая реальная задача принятия решений является многокритериальной. Причем большинство из них формулируются как задачи выявления одной наиболее предпочтительной альтернативы (плана, проекта, способа управления, состояния контролируемого объекта и т.п.) и решаются при неопределенности относительно условий, в которых будет осуществляться реализация выбираемой альтернативы.

Основным положением в рассматриваемых задачах, которое должно быть раскрыто в каждом конкретном случае и адекватно отражено в математической модели задачи, является определение принципа оптимальности.

Обоснованность выбора какой-либо альтернативы как наилучшей определяется тем, насколько точно используемая модель многокритериального выбора отвечает характеру решаемой задачи, т.е. насколько адекватно реальности отражены в модели целевые установки (мотивы) поиска альтернативы. Поэтому вопрос разработки таких адекват-

ных реальности многокритериальных моделей выбора в каждой конкретной задаче имеет, первостепенное значение,

К настоящему времени сформировалось два основных направления, определяющих развитие теории и практических приложений моделей многокритериального выбора. Первое направление [78,89,98] базируется на аксиоматике теории принятия решений относительно предпочтений субъекта (лица, принимающего решение - ЛПР), в интересах которого ставится и решается задача. Аксиомы формулируются для свойств бинарных отношений как моделей предпочтений субъекта на множестве конкурирующих альтернатив. Приемлемость аксиом принятия решений в конкретной задаче обуславливает существование скалярной функции полезности для предпочтений ЛПР, которая в общем случае реализует гомоморфизм предпочтений в отношения «больше-равно» на значениях функции при определенности или математических ожиданиях значений функции (ожидаемых полезностях) при неопределенности. Соответственно принцип оптимальности в первом направлении определяется максимизацией функции полезности или ожидаемой полезности на множестве конкурирующих альтернатив. При этом функция полезности априори неизвестна и математические модели, методы и алгоритмы реализации принципа оптимальности применительно к конкретным задачам являются предметом исследования в рассматриваемом направлении.

В основе второго направления лежит понятие функции выбора [1,39] как математической модели принципа оптимальности, соответствующего представлениям ЛПР.

Определение функции выбора здесь вводится не на основе раскрытия предпочтений субъекта как бинарных отношений, а на основе его выборов из произвольного подмножества конкурирующих альтернатив.

В настоящей работе математические модели, методы и алгоритмы многокритериального выбора решений в условиях неопределенности развиваются в рамках первого направления .

С использованием основополагающей идеи данного направления к настоящему времени предложено большое количество методов и алгоритмов синтеза и реализации моделей многокритериального выбора [15,30,90,98]. Однако в целом состояние разработок в данной области не отвечает запросам практики. Последнее положение раскроем с использованием принятой в настоящее время условной классификации известных моделей многокритериального выбора на классы априорных, апостериорных и адаптивных [32].

В априорных моделях не проводится анализ предпочтений ЛПР. Здесь функция полезности (и, следовательно, принцип оптимальности) задается ЛПР или исследователем (обычно из априорного набора функций). Недостаток этих моделей, существенно ограничивающих их практическое применение, состоит в том, что до настоящего времени нет теоретического описания классов многокритериальных задач, в которых правомочно использование того или иного априорного принципа оптимальности. Поэтому вопрос об адекватности конкретного априорного принципа оптимальности конкретной задаче всегда остается

открытым. Последнее обуславливает актуальность задачи определения формальных условий применимости априорных принципов оптимальности в конкретных ситуациях.

В апостериорных моделях на основе анализа справедливости аксиом (дополнительных к исходным аксиомам теории принятия решений) относительно предпочтений ЛПР обосновывается конкретный вид функции полезности, отражающей предпочтения ЛПР в конкретной задаче, и проводится ее восстановление. ЛПР в данных моделях выступает как датчик информации о принципе оптимальности (о своих предпочтениях). Ограниченное применение на практике предложенных к настоящему времени апостериорных моделей обусловлено следующими обстоятельствами:

требуемая данными моделями от ЛПР информация не согласуется (в общем случае) с возможностями ЛПР по выдаче такой информации;

известные наборы дополнительных аксиом, справедливость которых обуславливает вид функции полезности в конкретной задаче, не охватывают большинства практических ситуаций - чаще аксиомы оказываются несоответствующими практическим задачам, чем приемлемыми;

проверка справедливости аксиом о виде функции полезности носит эмпирический характер, что не согласуется с требованиями строгого обоснования вида функции полезности и придает аксиомам эмпирический статус. Задачи разрешения перечисленных обстоятельств актуальны для апостериорных моделей.

В адаптивных моделях анализ предпочтений ЛПР проводится совместно с анализом конкурирующих альтернатив.

Здесь ЛПР также выступает как источник информации о принципе оптимальности, но выявляется лишь информация, достаточная для определения направления возрастания функции полезности в окрестности анализируемой альтернативы (и, следовательно, направления перехода к более предпочтительной альтернативе). По окончании процесса выбора предпочтительной альтернативы функция полезности остается неизвестной как и в начале решения задачи. Ограниченные возможности практического использования адаптивных моделей обусловлены следующими обстоятельствами :

в общем случае требуемая адаптивными моделями информация о предпочтениях ЛПР не согласуется с возможностями последнего; .

известные эффективные адаптивные модели выдвигают очень жесткие требования к свойствам функции полезности;

практически отсутствуют модели адаптивного многокритериального выбора решений в условиях неопределенности, Следовательно, . для адаптивных моделей актуальными являются задачи разрешения перечисленных обстоятельств.

Рассмотренные положения обуславливают актуальность темы диссертационной работы. Обобщенно положение актуальности (для обоих указанных направлений) отражается двумя основными факторами:

(а) - структура математических моделей, методов и алгоритмов в общем случае не соответствует в смысле требуемой ими информации о принципе оптимальности

возможностям ЛПР по предоставлению информации о своих предпочтениях;

(б) - предложенные к настоящему времени методы формализации предпочтений ЛПР оказываются не адекватными исходным данным и свойствам предпочтений ЛПР для широкого класса многокритериальных задач.

Положение (а) существенно ограничивает возможности практического использования методов теории принятия решений, снижает доверие к результатам формального анализа задач и, в конечном итоге, обоснованность выбора решения. Положение (б) отражает факт отсутствия должного математического, алгоритмического и программного обеспечения для широкого класса практически важных задач. Последнее также ограничивает возможности практического использования методов теории принятия решений, приводит к большим временным затратам на принятие решений и к их низкой обоснованности.

Цель работы состоит в повышении эффективности (в смысле обоснованности и оперативности) процессов многокритериального выбора решений в условиях неопределенности на основе обобщения и развития математических моделей, методов и алгоритмов реализации данных процессов для класса задач, удовлетворяющих условиям представимости принципа оптимальности в виде требования максимизации ожидаемой полезности альтернатив, и их применения к анализу практических задач принятия решений.

В достижении сформулированной цели центральное место занимают задачи развития апостериорных моделей выбора.

Данное положение обусловлено тем, что решение указанной актуальной задачи для класса априорных моделей принципиально возможно лишь на основе анализа свойств предпочтений субъектов в конкретных классах многокритериальных задач. А такой анализ характерен для апостериорных моделей. Аналогично, синтез эффективных алгоритмов оптимизации в классе адаптивных моделей существенно зависит от имеющейся информации о структуре и свойствах оптимизируемой функции полезности. А такая информация также связана с задачами, решаемыми в классе апостериорных моделей.

В качестве средства достижения сформулированной выше цели в работе рассматривается концепция, заключающаяся в построении достаточных классов (в смысле наличия в них приемлемого описания любой СП ЛПР в априори формулируемом классе многокритериальных задач) многомерных и одномерных функций полезности и разработки моделей, методов и алгоритмов формального поиска в данных классах функции полезности для СП ЛПР, отвечающей конкретной решаемой многокритериальной задаче. В соот