автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка математических и программных средствавтоматического дифференцирования длякомпьютерного моделирования физико-механическихполей

^ Национальная академия наук Украины

^Институт проблем машиностроения им. А.Н.Подгорного

со

Г-ч!

На правах рукописи

Рокитянская Виктория Николаевна

Разработка математических и программных средств автоматического дифференцирования для компьютерного моделирования физико-механических

полей

-^кОЗЛй"- математическое моделирование и вычислительные методы в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Харьков 1996

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена в отделе прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения HAH Украины имени А.Н. Подгорного.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Шевченко Александр Николаевич

Официальные оппоненты-доктор физико-математических наук,

профессор. Яковлев Сергей Всеволодович

- кандидат технических наук, старший научный сотрудник Комяк Валентина Михайловна

Ведущая организация - Институт кибернетики им. В.М.Глушкова

HAH Украины (г. Киев)

Защита состоится "_" _ 199 г. в 14 часов в

аудитории №1112 на заседании специализированного ученого совета Д02.18.02 в Институте проблем машиностроения HAH Украины им. А.Н.Подгорного по адресу: 310046, г. Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем машиностроения HAH Украины им. А.Н.Подгорного по адресу: 310046, г. Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10.

Автореферат разослан "_"_ 1996 г.

Ученый секретарь

специализированного ученого совета, кандидат физико-математических наук

В.В.Веретельник

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Математическое моделирование является одним из наиболее мощных инструментов в научных исследованиях и служит концептуальной базой для решениия широкого круга задач прикладного характера. Эффективность результатов моделирования определяется, прежде всего, качеством вычислительных методов, алгоритмов и программного обеспечения. Этим можно объяснить то внимание, которое уделяется в настоящее время проведению теоретических исследований в данной области и их практической реализации.

Важность проблемы дифференцирования подсказана самой практической деятельностью человека. Общеизвестно, что редукция многих прикладных задач приводит к вычислению частных производных функций нескольких переменных. Не менее важен и тот факт, что знание производных необходимо при оценке погрешности округления в сложных математических расчетах. Остановимся кратко на основных методах дифференцирования и обозначим место предлагаемых исследований в кругу этих вопросов. На сегодняшний день существует три способа вычисления производных:

1. Разностное дифференцирование. Производная аппроксимируется разностным уравнением. Основополагающий вклад в становление и развитие данного направления внесли Г.И.Марчук, А.А.Самарский, В.П.Ильин и др. Однако подобная аппроксимация зачастую приводит к существенным ошибкам или требует много компьютерного времени для достижения желаемой

точности.

2. Символьное дифференцирование. Производная находится путем последовательного исключения независимых переменных. Проблематикой символьного дифференцирования занимались многие зарубежные ученые, среди которых, прежде всего, следует отметить работы A.Gullam, G.Kedem. К сожалению, метод может применяться лишь в том случае, если описание функции не представляет собой сложное выражение. Для функций, включающих разветвления или циклы, аппарат символьного дифференцирования неприменим.

3. Компьютерное дифференцирование. В его основу положена идея декомпозиции произвольной функции в последоваттельность элементарных операций, которые вычисляются на компьютере.

В последние годы отечественными и зарубежными учеными (Ю.Г.Евтушенко, Г.М.Островским, В.И.Мазуриком, G.Corliss, L.Rall, A.Griewank и др.) разработаны методы и программное обеспечение, позволяющие автоматизировать процесс вычисления производных. Тем не менее, вопросы организации и техники дифференцирования до сих пор остаются важной исследовательской задачей, что обусловлено, в первую очередь, отсутствием конструктивного математического аппарата и эффективных численных алгоритмов.

В данной работе рассматриваются концепции универсального метода вычисления производных функций нескольких переменных на основе понятия дифференциального кортежа.

Диссертационная работа продолжает исследования, которые проводятся по данной тематике в Институте проблем машиностроения HAH Украины под руководством академика HAH

Украины ВЛ.Рвачева. Работа выполнялась в период с 1992 по 1996 г. в отделе прикладной математики и вычислительных методов как часть

• государственной научно-технической программы ГКНТ "Интеллектуальный инструментарий компьютерной технологии в математической физике"

• бюджетной темы ГФФИ "Создание новых методов совместного сохранения и преобразования сложной аналитической и геометрической информации в математическом и компьютерном моделировании" (Д.Р. N0196U004543);

• бюджетной темы HAH Украины "Высокоинтеллектуальные системы программирования, ориентированные на использование алгебраизованных структурных формул решения краевых задач".

Степень исследования материала. Исследуемое направление начало формироваться в 60-х годах нашего века. Краеугольным камнем в становлении проблемы можно считать работы академика В.Л.Рвачева, который одним из первых в нашей стране разработал метод автоматизации процесса вычисления производных при решении задач математической физики.

В работах его учеников и сподвижников В.И.Калиниченко, Г.П.Манько, А.Н.Шевченко эта проблема получила дальнейшее развитие. В частности, была сформулирована и предложена общая методика дифференцирования, введено понятие

дифференциального кортежа, разработаны формулы операций над дифференциальными кортежами, доказаны вопросы полноты кортежной алгебры функции двух переменных.

Автором продолжены исследования в этом направлении.

Цель работы. Цель настоящей работы заключается в разработке эффективного математического аппарата и комплекса программ для автоматизации процесса дифференцирования функций многих переменных.

Основные задачи научного исследования. Достижение поставленной цели предполагает решение комплекса следующих взаимосвязанных задач:

• развитие универсальной кортежной алгебры - теоретической базы для вычисления частных производных функций;

• проектирование и разработку объектно-ориентированного комплекса программ автоматического дифференцирования;

• решение модельных задач математической физики с использованием класса дифференциальных кортежей, реализованного на языке С++.

Научная новизна. Итогом диссертационной работы стали следующие новые научные результаты:

1. Проведен обзор, анализ и классификация методов компьютерного вычисления производных.

2. Конструктивно определены кортежные операции и формулы дифференциальных кортежей основных математических функций многих переменных.

3. На основе объектно-ориентированного подхода создан класс дифференциальных кортежей на языке С++.

4. Реализован ряд вспомогательных классов, предназначенных для аналитического описания геометрических объектов и сложных структур.

5. Исследована возможность применения кортежной алгебры к моделированию физико-механических полей и решению прикладных задач.

Методы исследования базируются на фундаментальных концепциях и прикладных разработках отечественных и зарубежных ученых в области вычислительной математики, математической физики, теории алгоритмов, системного проектирования и автоматизации программирования.

При выполнении теоретических исследований использовались методы кортежной алгебры и теория 11-функций. В основу численной реализации положены принципы автоматического дифференцирования, парадигма объектно-ориентированного программирования. Избранные методы отвечают современным тенденциям и подходам к математическому моделированию.

Достоверность. Непротиворечивость и обоснованность теоретических положений обеспечивается:

• фундаментальными законами общей алгебры, теории 11-функций и математической физики;

» обоснованием методов и алгоритмов решения исследуемых задач;

• строгостью математических выкладок и корректностью доказательств.

Адекватность численных результатов подтверждается:

• сравнением с точным аналитическим решением (там, где такое сравнение возможно);

• согласованием полученных результатов с имеющимися в научных публикациях данными;

• решением одних и тех же задач разными численными методами;

• устойчивостью результатов к изменению числа узлов интегрирования, степени аппроксимирующего полинома и других параметров.

Теоретическая и практическая ценность исследований.

Теоретическая ценность исследований, приведенных в диссертации, состоит в развитии дифференциальных кортежей, которая обуславливает новые подходы к вычислению производных функций многих переменных произвольного порядка и является теоретической основой для построения эффективных алгоритмов и программ автоматизации данного процесса

Практическое значение работы заключается в том, что созданные классы могут использоваться для решения широкого спектра исследовательских задач, которые возникают при моделировании физических явлений и полей, в программном обеспечении вычислительных систем и в системах компьютерной алгебры. Разработанные комплексы программ могут быть также внедрены в учебные спецкурсы университетов, высших и средних технических заведений.

Положения, которые выносятся на защиту:

1. Алгебра дифференциальных кортежей в пространстве К71.

2. Библиотека классов и программное обеспечение.

3. Результаты экспериментальных исследований.

Апробация работы. Основные положения разработанной

методики и полученные в диссертационной работе результаты были представлены на следующих научных семинарах и

конференциях:

• международной конференции Computers in Education (Крым, 1994 г.);

• республиканском семинаре по проблеме "Кибернетика" (г. Харьков, 1995 г.);

• международной конференции EUKOSUM'95 (г. Вена, 1995 г.).

Публикации. По результатам проведенных исследований

опубликовано 5 научных работ, в которых отображены основные аспекты диссертации; в том числе 3 статьи, доклад и тезисы доклада научно-технической конференции и конгресса.

Личный вклад автора диссертации в работы, опубликованные в соавторстве. Во всех работах автор принимала участие в разработке теоретических положений и их практической реализации на компьютере. В публикациях [1], [5] вклад автора состоит в создании алгоритмов, программного обеспечения, проведении численных экспериментов и участии в анализе результатов. В работе [2] диссертантом разработаны методологические аспекты внедрения курса математического моделирования в учебный процесс. В публикации [3] автору принадлежит создание конструктивных средств алгебры дифференциальных кортежей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключительной части, списка использованных источников и трех приложений. Общий объем работы - 190 страниц. Изложение комментируется 28 рисунками и 10 таблицами. Библиография насчитывает 177 названий работ отечественных и зарубежных авторов.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранного направления исследований, проведен реферативный обзор литературы по рассматриваемой проблеме. Формулируются цель и задачи диссертационной работы, отмечена научная новизна, теоретическая и практическая ценность, представлены основные результаты, выносимые на защиту, дан краткий обзор содержания по главам.

Первая глава посвящена общим вопросам проблематики компьютерного дифференцирования.

В разделе 1.1 внимание акцентируется на специфических концепциях и основных подходах к вычислению производных. Рассматривается современное состояние вопроса и постановка задачи.

Предметом изучения в разделе 1.2 являются алгоритмы прямого и обратного способов вычисления производных. Особое внимание уделено сравнительному анализу их достоинств и недостатков.

Обзору и состоянию дел в программной реализации представленных алгоритмов посвящен раздел 1.3. В рамках таксономии предпринята попытка проследить эволюцию и классифицировать наиболее известные программные продукты (около 30 пакетов) с точки зрения способа организации процесса дифференцирования и уровня интеграции входного языка.

Детальный анализ материала, проведенный в данной главе, позволяет сделать следующие выводы:

1. Исследования, посвященные проблеме автоматизации дифференцирования функций, начали развиваться в 60-х годах.

2. Из известных на сегодняшний день подходов не существует ни одного метода, который можно было бы назвать универсальным и использовать для вычисления производных исключительно всех классов функций без ограничения на порядок и количество независимых переменных.

3. Предлагаемое программное обеспечение предназначено для решения специфического круга задач и не является многофункциональным и мобильным.

4. За основу исследования, целью которого является создание конструктивных средств автоматизации процесса дифференцирования, следует принять метод, базирующийся на понятии дифференциального кортежа.

Таким образом, постановка проблемы сводится к следующему: создать математический аппарат и комплекс программ, лишенные указанных недостатков.

Во второй главе речь идет о создании универсального математического аппарата, необходимого для формализации и автоматизации вычисления производных функций

В разделе 2.1 расширяются и уточняются, ставшие уже классическими, понятия теории дифференциальных кортежей. Так, например, определение дифференциального кортежа формулируется следующим образом.

Определение. Пусть задано множество к раз непрерывно дифференцируемых функций У = {у=$(х)е Ск: х =Сх2, х2, ..., хп)Т, х е К"}, определенных везде в пространстве аргументов.

Дифференциальным кортежом функции /(х) в точке а порядка т и размерности п называется множество

Дп

<(/) = и^

,/и~1\а) е!м(а), / =1,2,..,и,У = 1,2,.

.т

х = а

Ь(а) = /0{а)=/(а).

В разделе также вводятся основные операции над дифференциальными кортежами и показывается полнота системы кортежных операций.

Отдельный раздел 2.2 посвящен общим положениям теории II-функций. Необходимо отметить, что теория К.-функций является математическим аппаратом для описания геометрических областей сложной формы, в частности, в задачах математической физики. В разделе рассматриваются понятия нормализованного уравнения геометрических объектов, операторов продолжения краевых условий внутрь области. Например, для вычисления производных используется формула оператора дифференцирования по нормали D(f) на границе 8С1 для области О

11-1 т;1 . ?

а1 = 0а2=0 а„=01 = 1 ' ¡ = \ дх^ Зх22 ...

¿Н-Н (¿ъ>

X - -

¿яг,-

\SXjJ е с ли > О,

где \ц\ - |а| = ^а,-, 0 < < т, п - размерность кортежа,

;=1 /=1

то - его порядок.

Глава заканчивается рассмотрением вопросов, связанных с формализацией математического аппарата компьютерного дифференцирования функций. В разделе 2.3 выводятся и доказываются аналитические соотношения для

дифференциальных кортежей математических операций, тригонометрических, гиперболических и некоторых функций специального вида. Отличительной особенностью данных формул является отсутствие ограничений на порядок производных и размерность пространства. Следует отметить, что кортежи, участвующие в бинарных операциях, могут быть неравномощными, т.е. иметь разные размерности и порядки.

Обобщением представленных соотношений является операция дифференцирования суперпозиции функций. Пусть f=f(u1,u2,...,u]<), щ=щ(х1, х2, ..., хп). Введем обозначения

рИЬ-е* _ ¿¿И _

Тогда можно записать рекуррентное выражение для дифференцирования суперпозиции функций

р4ь42-4к _,

РЬП-Рп

е с ли

И = 0,

М2 Рр-1 1 Рп

а1=0а2=() сср_х=0ар=ПарЛ=0 а„=0

к М-\<* | хУ -&-Щ- есл^| = О,

где И = р„ Н = = =

О < < т, т = гшп(иц - порядок результирующего кортежа, р -

один из подмножества индексов г, для которых цг> 0.

Предлагаемая формула дифференцирования суперпозиции позволяет находить производные от функций произвольного вида.

В третьей главе рассматриваются концептуальные основы объектно-ориентированного проектирования как методологии создания прикладного программного обеспечения. Показана целесообразность и преимущества данной методики. В рамках объектно-ориентированного подхода изложены вычислительные аспекты, связанные с реализацией теории дифференциальных кортежей.

В разделе 3.1 с общих позиций исследуется парадигма объектно-ориентированного программирования. На основании проведенного анализа можно сделать вывод, что программа будет объектно-ориентированной при соблюдении следующих требований: в качестве элементов конструкции следует брать объекты, а не алгоритмы; каждый объект должен быть составной частью какого-либо класса; классы следует организовывать иерархически.

Таким образом, процесс разработки программ заключается в выборе классов и объектов, необходимых для представления проблемы, определении механизма наследования и реализации классов на некотором языке программирования.

Проектируя класс, следует осуществлять активный поиск по двум направлениям:

• разрабатывать классы как строительные блоки для других типов данных;

• тщательно выделять в подклассах те свойства, которые могли бы быть переданы классу.

Практическому приложению разработанных методических аспектов посвящен раздел 3.2. В нем описан класс tuple, реализующий теорию дифференциальных кортежей, предложена методика его использования и некоторые рекомендации общего характера. Обобщим основные положения данного раздела.

Класс tuple предоставляет практически полный набор всех элементарных операций и большое количество математических функций, используемых для построения аналитических выражений с кортежами и вычисления их значений. Кортежные типы могут сочетаться со скалярными типами в выражениях произвольной сложности при помощи операций вызова функций, +, -■*, / и т. п.

По ряду теоретических и практических соображений часто применяемые операции перегружены. Для реализации коммутативности свойств посредством перегрузки, часть операций декларирована как friend- функции. Благодаря отмеченному обстоятельству, обеспечивается естественное понимание математической символики и ее общепринятое применение.

Алгоритмизация элементарных операций и функций проводилась с учетом следующих предположений и условий:

• более частым будет использование операций над кортежами разных порядков, чем над кортежами, принадлежащими к пространствам разной размерности;

• более частым станет применение кортежей, имеющих относительно невысокий порядок и принадлежащих к пространствам большой размерности, чем кортежей, имеющих высокий порядок и принадлежащих пространству сравнительно малой размерности;

• максимальный порядок кортежа, его максимальная размерность, максимальная размерность пространства не ограничены и зависят только от параметров вычислительной среды, в которой выполняется программа.

Класс tuple не накладывает никаких специальных ограничений на характеристики кортежей и поля данных, что позволит, с одной стороны, максимально использовать предоставляемые ресурсы, а с другой - построить наиболее эффективную в данной конкретной среде единую обработку исключительных ситуаций при выполнении задачи, например, отсутствие свободной оперативной памяти и т. п.

В четвертой главе рассматриваются вопросы практического использования разработанных на базе кортежной алгебры алгоритмов и программ.

В разделе 4.1 описаны способы построения и инициализации кортежных объектов. Детально исследуется процесс генерации дифференциального кортежа по таблично заданной функции многих переменных. Компоненты дифференциального кортежа определяются из уравнения, в общем случае, переопределенного

А-Г—F,

где А - матрица степенных полиномов, Г - вектор частных производных, F - вектор значений функции. Из этого уравнения

Г = А+В,

где А+ - псевдообратная матрица к А.

Кроме того, в разделе на ряде конкретных примеров демонстрируется построение сложных геометрических объектов из более простых. Для каждого опорного объекта можно построить функцию со, равную нулю на ее границе, положительную внутри и отрицательную вне его границ. При этом функция внутри области может удовлетворять ряду дополнительных условий, например, нормированное™. Составленные таким образом формулы задают преобразование геометрической информации в аналитическую и обеспечивают автоматическое вычисление функции и всех необходимых частных производных. Проиллюстрируем на примере построение функции для фигуры, изображенной на рисунке 1.

Фигура представляет собой объединение сферы радиуса К=2 и куба со стороной а/2—0.9. Вдоль одной из осей имеется сквозное цилиндрическое отверстие радиуса г = 0.5, проходящее через центр фигуры. Геометрический центр всех трех опорных объектов

Рисунок 1

расположен в начале координат. Фрагмент программы, демонстрирующий построение функции ю, приведен на рисунке .2.

#include "tuple, h"

void main() {

tuple:: order = 2; tuple:: dimension = 3; argument:: dimension = 3;

// Порядок по умолчанию II Размерность по умолчанию II Размерность по умолчанию

double* center hypercube = new double [tuple:: dimension]; double* center_sphere_large = new double [tuple:: dimension]; double* center_sphere_small = new double [tuple:: dimension];

for (int i = 0; i < tuple:: dimension; i++) {

center_hypercube[i] = 0; center_sphere_large[i] = 0; center_sphere_small[i] = 0;

}

double ahalfjiypercube = 0.9; double radius__sphcre_large = 1; double radius_sphere_small = 0.5;

hypercube cube(a_half_hypercube, tuple:: dimension, center_hypercube); sphere Sl(radius_sphere_large, tuple:: dimension, center_sphere_large); sphere Ss(radius_sphere_small, tuple:: dimension - 1, center_sphere_small); tuple omega; argument X;

// Изменение аргумента X ... omega = (tuple(cube, X) | tuple(Sl, X» & !tuple(Ss, X);

X = 0;

for(... {

}

//Использование функции omega ...

delete [] center_sphere_small; delete [] cenfer_spherejarge; delete [] center_hypcrcube;

}

Рисунок 2

С помощью математических операций и суперпозиции функций можно не только строить любые, сколь угодно сложные выражения для исследования свойств функции и всех ее частных производных, но и переопределять, при необходимости, функции класса tuple для придания им тех или иных желаемых качеств. Например, R-коньюнкция и R-дизъюнкция не обладают свойствами непрерывности частных производных в отдельных точках. Можно определить их так, чтобы избежать этого недостатка

avb = (a+b+Ja2 +b2y(a2 +b2f.

Определенные таким образом операции обладают свойствами непрерывности частных производных до третьего порядка. Переопределение операции будет выглядеть так:

tuple tuple:: operator \ (const tuple & a)

{return(*this + a +sqrt(square(*this) + square(a)))* pow(square(*this)+square(a), 3/2));}

Второй раздел четвертой главы посвящен сравнительному анализу работы предлагаемого комплекса программ под управлением различных операционных систем и трансляторов. Рисунок 3 иллюстрирует зависимость времени выполнения кортежной операции умножения от порядка дифференциального кортежа в системе Поле, в операционных средах MS DOS - 6.0 (для модели памяти small) и OS/2 Warp. Результаты вычисления производных сравнивались с расчетами в системах Поле и Mathematica. С целью подтверждения верности построения выражений над кортежами и их программной реализации проводилась проверка правильности выполнения многочисленных математических тождеств и соотношений.

В разделе 4.3 рассматривается решение многомерных краевых задач математической физики со сложной геометрической формой области. На рисунке 4, в качестве тестого примера, показаны линии уровня функции и=и(х1гх2, ос3: х4) в плоскости координат Х]Х4 при х2 = 0, х3 = 0.

5 « 7 « * 10 11 12 11 14

Рисунок 3

□

•99?98Е+00: .8871ОЕ+00 Л7621Е+00 ■ 66532Е->0О .'55«ЗЕ+0в: ■44355Е*0в •33266Е+00 ,22177Е*£>®: -11089Е*00 -31307Е-07

Рисунок 4

Выводы

В диссертационной работе решена актуальная научная проблема автоматизации процесса компьютерного дифференцирования при моделировании реальных физических процессов и явлений. В соответствии с поставленной целью получены следующие теоретические итоги:

1. Проведена сравнительная характеристика и анализ математических методов, алгоритмов и программного обеспечения для компьютерного дифференцирования функций многих переменных.

2. Получил развитие и обобщен метод дифференцирования функций на основе кортежной алгебры без ограничений на количество переменных и порядок производных.

3. Разработаны новые конструктивные средства теории кортежной алгебры в пространстве К", а именно:

• выведены формулы кортежных операций;

• доказаны соотношения дифференцирования математических и специальных функций.

и практические результаты:

1. Используя методологию объектно-ориентированного проектирования создана мобильная библиотека классов на языке С++.

2. Решен ряд тестовых и модельных задач, которые подтверждают достоверность и эффективность разработанной методики.

3. Проведена сравнительная характеристика времени выполнения операций кортежной алгебры под управлением нескольких операционных систем.

4. Получены практические результаты по методике внедрения комплекса программ.

Опубликованные по теме диссертации работы

1. Шевченко А. Н., Рокитянская В. Н. Применение элементов кортежной алгебры в диалоговой системе ПОЛЕ для дифференцирования функций нескольких переменных //Управляющие системы и машины. - 1994. - N4-5. - С. 21-23.

2. Shevchenko A. N., Rokityanslca V. N. Computer Aided Modeling in Training Process on the Base of the POLYE System // Proceedings of the International Conference Computer Technologies in Education, 19-23 September 1994, Crimea, Ukraine. - Crimea, 1994. - P. 186.

3. Shevchenko A. N., Tsukanov I. G., Rokityanslca V. N. Simulation of Temperature Fields in Forming Products from Composite Materials // Proceedings of the EUROSIM Simulation Congress, 14-19 September 1995, Vienna. - Vienna, 1995. - P. 777-782.

4. Рокитянская В. H. Объектно-ориентированная библиотека для автоматического дифференцирования // Методы оптимизации технических и информационных систем. - Киев: Ин-т кибернетики НАН Украины, 1995. - С. 11-15.

5. Шевченко А. Я., Рокитянская В. Н. К вопросу об автоматическом дифференцировании функций многих

22

переменных // Кибернетика и системный анализ. - 1996. - N5. -С.1-20.

Summary

The thesis is presented for the candidate science degree in physics and mathematics. The speciality number is 01.05.02 -Mathematical modelling, numerical methods in research. Institute for problems in machinery of Ukrainian Academy of Sciences, Kharkiv, 1996.

Automatic differentiation problems of functions of many variables are considered. Construction tools of tuple algebra in Rn space are suggested. On the base of object-oriented approach a class of differential tuples and a number of additional classes are programmed on С++. Solutions of boundary value problems of mathematical physics by means of designing classes are demonstrated

Анотацт

Дисертащею e рукопис, поданий на здобуття наукового ступени кандидата физико-математичних наук за спещальтстю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальш методи у наукових дослвдженнях. 1нститут проблем машинобудування НАН Украши iMeHi А.М.Подгорного, Харюв, 1996.

У дисертацшнш робот1 розглядаегься питания комп'ютерного диференщювання функцш багатьох змшних. Пропонуеться

конструктивний апарат кортежно! алгебри у простор! К". На баз1 обектно-ор1ентованого пщходу на мов1 С++ реал13овано клас диференцшних кортеж1в та ряд допом1жних клас1в.. Показано розв'язання крайових задач математично! ф1зики з використанням розроблених клаав.

Ключевые слова: автоматическое дифференцирование, класс, кортеж, кортежная алгебра, краевая задача, объектно-ориентированный подход, объект.