автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка комплекса программ для компьютерного исследования динамических систем

003474416

На правах рукописи

КИЛИН АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ

РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ижевск 2009

2 5 да ¿003

003474416

Работа выполнена в лаборатории динамического хаоса и нелинейности Удмуртского государственного университета.

Научный консультант: д.ф.-м.н., проф. А.В.Борисов (УдГУ)

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., проф. А.П.Маркеев(ИПМ РАН)

д.ф.-м.н., проф. А.В.Цыганов (СПбГУ) д.ф.-м.н., проф. А.П.Иванов (МФТИ)

Ведущая организация: Институт математики и механики

Уральского отделения РАН

Защита диссертации состоится 1 июля 2009 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 212.130.09 при Московском инженерно-физическом институте по адресу 115409, Москва, Каширское шоссе, д. 31.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского инженерно-физического института.

Автореферат разослан "_"_2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

А.С.Леонов.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В связи с увеличением сложности современных задач из различных областей теории динамических систем их чисто аналитическое исследование становится невозможным, как по техническим (громоздкость выкладок), так и по принципиальным соображениям (например, невозможность проинтегрировать в классе известных функций). Если с трудностями первого типа могут помочь справится современные системы аналитических вычислений (Мар1е, .\latematica и др.), то вторая проблема разрешима только с помощью постановки численных экспериментов. Поэтому актуальным становится совмещение численного эксперимента с различными аналитическими методами исследования. Такой подход представляет возможность по новому взглянуть на уже известные результаты в теории динамических систем и получить более полное качественное представление о динамике систем. Отдельно подчеркнем, что применение компьютерных методов не должно ограничиваться простым моделированием, а должно базироваться на глубоком предварительном аналитическом изучении задачи с последующим применением новых компьютерных методов, связанных, в частности, с топологическим анализом, теорией бифуркаций и другими областями теории динамических систем. Таким образом, создание программного комплекса, реализующего современные методы исследования динамических систем, и тесно связанного с современными аналитическими методами, является одной из актуальных проблем в современной теории динамических систем.

Создание програмного комплекса как инструмента для исследования динамических систем неотделимо от самого процесса исследования во время которого проводится также тестирование и отладка входящих в комплекс методов исследования. В связи с этим в диссертацию вошел ряд результатов полученных с помощью активного совмещения аналитических и компьютерных методов реализованных в программном комплексе. Следует отметить, что все рассматриваемые в диссертации задачи входят в золотой фонд динамики. Всеми этими задачами занимались классики и они возникли из самых глубоких теоретических исследований достаточно очевидных практических задач механики и гидродинамики.

Вторая часть диссертации посвящена динамике твердого тела а также ряду задач о качении без проскальзывания твердых тел по различным поверхностям. Несмотря на непрекращающуюся полемику вокруг области применения данной модели качения, это направление ис-

следований остается актуальным как в теоретическом плане — изучение новых эффектов таких как реверс в динамике кельтского камня или бесконечный рост частоты колебаний диска Эйлера, так и в практическом плане — изучение конкретных периодических решений обладающих интересными динамическими свойствами и классификация возможных видов движения тел.

Третья часть диссертации посвящена классической небесной механике и небесной механике в пространствах постоянной кривизны. Данная область исследований традиционно является полигоном для апробации новых компьютерных методов. Ее актуальность как правило связывают со всевозможными задачами о движении спутников и их устойчивостью, проблемами глобальной навигации и пр. В данной диссертации применение современных методов редукции связанных с теорией групп и алгебр Ли позволило существенно продвинуться в понимании скрытых симметрий задачи N тел. Это, в частности, позволит получить ряд новых результатов для задачи N тел в искривленном пространстве применяя классическую теорию возмущения.

Последняя, четвертая часть диссертации посвящена задачам вихревой гидродинамики. Актуальность данного направления обусловлена в первую очередь решением задач связанных с проблемами прогноза погоды, исследования динамики крупных атмосферных образований, вопросами хаотической адвекции и турбулентности. Хорошо известно, что общие уравнения движения N точечных вихрей на плоскости могут быть записаны в гамильтоновой форме. Впервые на это указал Кирхгоф в своих лекциях по математической физике [7], там же он получил для них все возможные первые интегралы движения. Постановка задачи о движении аналогичных вихревых структур на искривленных поверхностях также восходит к девятнадцатому столетию.. Результаты, аналогичные результатам Кирхгофа для сферы, впервые были получены Э.Цермело [20] в начале двадцатого века. Несмотря на то, что уравнения и интегралы движения для данных задач хорошо известны, многие задачи в этой области так и остались не решенными. Применение современных компьютерных методов в данной области позволило получить ряд новых интересных результатов.

Цель работы.

Целью диссертационной работы является создание программного комплекса, который позволяет всесторонне исследовать широкий класс динамических систем описываемых конечномерными системами дифференциальных уравнений. Для достижения указанной цели автором была выполнена апробация созданного комплекса на ряде современных и классических задач теоретической .механики: 1. Качение шара и дру-

гих тел по плоскости и различным поверхностям второго порядка. 2. Задача N тел в классической небесной механике и небесной механике в пространствах постоянной кривизны. 3. Задача о движении точечных вихревых структур в тонком слое жидкости.

Методы исследования достоверность результатов. Для исследования рассматриваемых в диссертации задач используются следующие аналитические и компьютерные методы теории динамических систем.

1) Эффективная редукция по симметриям, приводящая к явному понижению порядка в случае, когда система допускает геометрические или скрытые симметрии. Используются как классические методы понижения порядка восходящие к классическим работам Лагранжа, Якоби, Пуанкаре, и др., так и новые методы редукции, использующие идеи пуассоновой геометрии и теории групп и алгебр Ли.

2) Численный анализ фазового потока системы с помощью глобального сечения Пуанкаре. Современные топологические методы анализа строения изоэнергетическнх многообразий позволяют решить проблему выбора сечения Пуанкаре, которое пресекают почти все (с точностью до меры нуль) траектории рассматриваемой системы. Выбор глобального сечения существенно увеличивает роль численных исследований и, в частности, позволяет дать компьютерное доказательство некоторых гипотез.

3) Исследование периодических решений и инвариантных многообразий, которые, как правило, определяют структуру фазового потока системы. В данном случае используются методы гамильтоновой редукции на инвариантные многообразия (в случае, когда решение может быть найдено аналитически), а также современные методы построения и продолжения (по параметру) периодических решений, инвариантных торов и сепаратрис.

4) Анализ перестроек сепаратрис, как с помощью метода малого параметра (анализ интеграла Пуанкаре-Мельникова), так и с помощью численных методов.

5) Топологический анализ инвариантных многообразий интегрируемых и неинтегрируемых систем. Используемые при этом аналитические методы основываются на анализе бифуркационных множеств и восходят к Смейлу и уже продемонстрировали свою эффективность в небесной механике и динамике твердого тела.

6) Кроме того, при решении поставленных в диссертации задач используются КАМ-теория, вариационные методы (применительно к поиску периодических решений), теория устойчивости, и другие методы качественного анализа.

Полученные в диссертации результаты основываются на строго доказанных теоремах и утверждениях, имеют ясную физическую трактовку и не противоречат известным результатам, обобщают результаты, полученные ранее другими авторами. Достоверность результатов полученных при работе с разработанным комплексом программ подтверждается согласованностью с аналитическими результатами в рассматриваемых задачах.

Основные результаты. Научная новизна. Основные результаты вошедшие в диссертацию являются новыми и получены автором самостоятельно

1) Разработан комплекс программ позволяющий исследовать широкий класс динамических систем, описываемых конечномерными системами дифференциальных уравнений. Данный комплекс реализует такие методы исследования динамических систем как

а) построение простых точечных отображений,

б) построение фазового потока системы с одной степенью свободы,

в) построение двумерного отображения Пуанкаре для систем с полутора и двумя степенями свободы,

г) построение трехмерного отображения Пуанкаре для динамических систем, сводимым к пяти дифференциальным уравнениям,

д) построения областей возможного движения для заданного отображения,

е) поиск периодического решения динамической системы,

ж) продолжение периодического решения по параметру и полный анализ его бифуркаций,

з) построение неустойчивых инвариантных многообразий (сепаратрисе) для отображения,

и) Фурье-аиализ произвольных функций при интегрировании вдоль заданной фазовой траектории,

к) вычисление максимального показателя Ляпунова фазовой траектории,

л) построение дерева бифуркаций удвоения периода,

м) отображение мультипликаторов периодического решения и других параметров при продолжении ее по параметру,

н) построение графика зависимости произвольной величины от времени при интегрировании вдоль фазовой траектории,

о) построение бифуркационных диаграмм,

п) визуализация движения исследуемых объектов.

2) В ходе разработки и апробации комплекса был получен ряд новых научных результатов.

а) Указан новый интеграл и случаи интегрируемости в задаче о качении шара без проскальзывания по поверхности второго порядка.

б) Решена задача Рауса об устойчивости вращающегося шара на вершине параболоида в полной нелинейной постановке.

в) Найдены новые эффекты в динамике кельтских камней, в частности, указаны движения являющиеся суперпозицией реверса (смена на противоположное направление вращения) и переворота (смена на противоположную оси вращения)

г) Полностью расклассифицированы траектории движения однородного круглого диска при его качении без проскальзывания по горизонтальной плоскости.

д) Найден ряд периодических в абсолютном пространстве решений в классической задаче о движении тяжелого твердого тела с неиодвиж-ной точкой. А также указана их связь с уже известными решениями.

е) Указаны новые эффекты связанные с хаотизации фазового портрета в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой.

ж) Указаны новые интегралы и соответствующие алгебры интегралов в ряде задач небесной механики.

з) Проведена редукция и доказана неинтегрируемость задачи двух тел на сфере.

и) Разработан новый метод конструктивного понижения порядка для систем точечных вихрей на плоскости и сфере.

к) Исследован процесс хаотизации фазового потока в задаче о движении четырех вихрей на плоскости.

л) Указаны новые периодические решения в задаче о движении трех и четырех точечных вихрей на плоскости.

м) Предложена новая модель точечного вихря на сфере — анти-нодального вихря, представляющего собой систему вихрь + антипод, имеющих равные по величине, но противоположные по знаку интен-сивности.

и) Проведен полный бифуркационный анализ задачи о движении трех антиподальных вихрей.

Теоретическая и практическая ценность.

Разработанный программный комплекс является универсальным исследовательским средством для изучения конечномерных динамических систем. Применение данного комплекса в научно-исследовательских коллективах позволяет существенно упростить и убыстрить анализ исследуемых динамических систем. Разработанный программный комплекс успешно внедрен в учебный процесс УдГУ. Он используется при написании курсовых и дипломных работ, а также при чтении курсов по теоретической механике на физико-энергетическом и математическом факультетах УдГУ. Также данный комплекс активно используется в научно-исследовательской работе сотрудников ИКИ УдГУ, Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Института Математики и Механики УрО РАН.

Спектр задач исследуемых с помощью комплекса варьируется от сугубо теоретических до прикладных. Он может быть использован в различных конструкторских бюро для проектирования и исследования различных систем динамики твердого тела, неголономных систем связанных с автомобильной и спортивной динамикой. Также комплекс полезен при исследовании задач небесной механики связанных с движением спутников земли и проблемами их устойчивости. Кроме того, он может оказать существенную помощь в прикладных исследованиях в области метеорологии и океанологии. И в частности, при исследовании задач вихревой динамики связанных с проблемами прогноза погоды, исследования крупных атмосферных образований циклонов, смерчей, ураганов.

Полученные в ходе апробации комплекса научные результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в дальнейших исследованиях. Результаты второй части диссертации могут быть использованы при изучении систем с неголономными связями, в частности, различных задач о качении тел без проскальзывания, связанных с автомобильной и спортивной динамикой. Результаты третьей части могут быть использованы как при исследовании задач небесной меха-

пики (в том числе в искривленном пространстве), так и в общей теории интегрируемых систем. Результаты четвертой части диссертации могут найти применение при исследовании различных задач вихревой гидродинамики, в частности, связанных с проблемами прогноза погоды. Апробация результатов.

Основные результаты работы неоднократно обсуждались на семинарах Института компьютерных исследований УдГУ, Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Института Математики и Механики УрО РАН, а также докладывались на российских и международных конференциях:

1) IX Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела", Донецк, Украина, 5-10 сентября 2005 г.

2) International workshop Dynamical System Methods in Fluid Mechanics. Oberwolfach, Germany, 31 июля - б августа 2005 г.

3) ГОТАМ 2006, ГОТАМ Simposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence, Moscow, Russia, August 25-30 2006 r.

4) Конференция "Классические задачи динамики твердого тела", посвященная 300-летию Эйлера (ИПММ НАНУ), Донецк, Украина, 9-13 июня 2007

5) VI международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, Россия, 1-6 августа 2007 года

6) "Научная сессия МИФИ -2008", Москва, МИФИ, 21-27 января 2008г.

7) Конференция "Геометрия, динамика, интегрируемые системы", Математический Институт науки и искусства, Белград, Сербия, 2-7 августа 2008 г.

8) Симпозиум Международного союза теоретической и прикладной механики (ГОТАМ), 150 лет вихревой динамике, Датский Технический Университет, Копенгаген, 12-16 октября 2008 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата. Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 24 работах, из них 20 статей в научных журналах списка ВАК. Все результаты совместных статей, включенные в диссертацию, получены лично автором.

Структура и объем работы.

Диссертация изложена на 294 страницах и состоит из введения, тринадцати глав разбитых на четыре части, заключения и списка цитируемой литературы (212 наименований).

Содержание работы.

Во введении описана постановка задачи, а также кратко изложено содержание диссертации по главам. Указаны цели диссертации, основные методы исследования, актуальность и научная новизна результатов.

Первая глава диссертации посвящена описанию созданного компьютерного комплекса «Компьютерная динамика». Здесь описываются основные инструменты предоставляемые пользователю и соответствующие алгоритмы. Используемые в пакете программ инструменты можно разделить на два типа: базовые и зависимые. Базовыми инструменты отвечают за создание точечного отображения той или иной природы. Это может быть простое точечное отображение, отображение Пуанкаре или фазовый ноток. Все другие (зависимые) инструменты как правило используются для изучения получившегося точечного отображения. В и.1.1. описаны базовые инструменты генерирующие точечное отображение. Сюда входят построение двумерного или трехмерного отображения Пуанкаре, построение фазового портрета систем с одной степенью свободы, построение двумерных и трехмерных дискретных отображений, заданных аналитически хп = f{xn-.{).

В результате работы базовых инструментов мы получаем точечное отображение того или иного вида. Далее получившееся отображение может быть исследовано с помощью дополнительных инструментов, которые описаны в п.1.2

1) Поиск неподвижных точек отображения. Данный инструмент позволяет находить неподвижные точки (произвольного порядка) как для двух, так и для трехмерных отображений. Неподвижные точки отображения Пуанкаре являются периодическими решениями динамической системы и несут важную информацию как о локальном, так и о глобальном поведении системы.

2) Построение поверхности г = |/(г)—г|. Кроме поиска неподвижной точки, разработанный пакет программ предоставляет возможность построения поверхности

г = \Марп(х) - х

(1)

для двумерных отображений. Неподвижные точки отображения являются минимумами этой поверхности с нулевыми значениями z. Построение данной поверхности помогает разобраться в причинах проблем с нахождением неподвижной точки.

Построение сепаратрисе — неустойчивых инвариантных многообразий гиперболических неподвижных точек двумерных отображений. Анализ поведения сепаратрисе в динамической системе помогает сделать заключение о хаотичности (неинтегрируемости) системы.

Продолжение неподвижных точек по параметру. Инструмент позволяет построить семейство неподвижных точек отображения при изменении одного из параметров системы.

Построение дерева бифуркаций удвоения периода. Данный инструмент позволяет исследовать каскад бифуркаций удвоения периода неподвижных точек двумерного отображения. В качестве исходной неподвижной точки может служить эллиптическая неподвижная точка любого периода. В процессе работы инструмента в информационном окне выводится подробная информация о бифуркациях на основании которой можно вычислить универсальные константы соответствующие данному дереву бифуркаций.

Построение области возможных движений. Данный инструмент позволяет строить области возможного движения для отображений Пуанкаре динамических систем. При построении инструмент тестирует точки видимой части плоскости (пространства, в случае 3D отображения) сечения на возможность запуска траектории с текущими значениями параметров задачи и отображения Пуанкаре. В случае двумерных отображений данный инструмент позволяет также строить двумерную поверхность сечения уровня энергии, которая задается уравнением ,^(pi,p2,qi,<l2 = const) = = Е = const.

Фурье анализ траектории. Данный инструмент позволяет построить спектр Фурье ряда функций, зависящих от фазовых переменных, при движении системы вдоль некоторой фазовой траектории.

Вычисление максимального показателя Ляпунова. Данный инструмент позволяет вычислять максимальный показатель Ляпунова (МПЛ) для конкретной траектории фазового потока динамической системы. Напомним, что под МПЛ понимается мера експо-

ненциального расхождения близких траекторий. Для всех регулярных траекторий МПЛ ио определению равен нулю. Таким образом, вычисления МПЛ может быть некоторым тестом на хаотичность траектории.

9) Бифуркационный анализ. Данный инструмент позволяет строить бифуркационные диаграммы на плоскости первых интегралов системы и ставить соответствие тем или иным траекториям отображения точки этой диаграммы. Отметим, что построение бифуркационных диаграм связывано с полной классификацией типов движения динамических систем, а также с исследованием устойчивости семейств периодических решений.

Кроме уже описанных инструментов исследования динамических систем, разработанный пакет программ предоставляет возможность выводить дополнительную информацию в режиме реального времени при работе инструментов. При этом как правило создается дополнительное графическое окно в котором происходит фильтрация поступающей из инструмента информации и ее вывод. Работа пакета организована на многопоточной основе, что позволяет создать неограниченное число таких окон. Описанию таких фильтров (графических окон) посвящен п.1.3. диссертации.

1) Построение графиков функций в зависимости от времени. Фильтр предоставляет возможность построения двумерных и трехмерных графиков функций фазовых переменных при движении вдоль траектории отображения Пуанкаре. По каждой из координатных осей при этом может отображаться выбранная пользователем функция фазовых переменных и времени.

2) Окно продолжения по параметру. Данный фильтр позволяет строить графики изменения различных характеристик неподвижных точек (например, их координат) при продолжении по параметру, и построении дерева бифуркаций удвоения периода.

3) Построение мультипликаторов неподвижной точки. Данный фильтр реализует визуализацию движения мультипликаторов неподвижной точки на комплексной плоскости при продолжении ее по параметру. Это, в частности, помогает определить тип бифуркации при продолжении неподвижной точки по параметру.

4) Построение бифуркационных диаграмм. В окне данного фильтра с помощью инструмента Бифуркационный анализ произ-

водится построение бифуркационных диаграмм на плоскости первых интегралов задачи. Кроме этого, в окне данного фильтра каждой траектории отображения Пуанкаре ставится в соответствие точка на рассматриваемой плоскости первых интегралов.

5) Визуализация движения. Для визуализации движения конкретных механических систем используется три типа визуализа-торов: универсальный 3D визуализатор, визуализатор вращения твердого тела с закрепленной точкой и визуализатор для точечных систем.

Вторая глава диссертации посвящена методам применяемым для интегрирования систем дифференциальных уравнений. Модульная структура разработанного пакета позволяет достаточно просто расширять спектр применяемых методов интегрирования систем первого порядка

у'(х) = f(y,x), Уе Rn. xeK.

Нами используются только одношаговые методы интегрирования, поэтому включение нового метода в пакет сводится фактически к написанию одной стандартной функции, позволяющей вычислить следующее значение фазового вектора уп+\ := y(xn+i) по его предыдущему значению уп := у(хп). В ходе проведенных исследовательских работ применялись преимущественно три известных метода интегрирования.

1) Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Метод Рунге-Кутта именно четвертого порядка наиболее применим на практике, поскольку обеспечивает приемлемую точность со сравнительно неплохим быстродействием: на каждом шаге значение правой части f(x,y) вычисляется всего четыре раза, тогда как, в методах более высоких порядков (.s > 4) правая часть вычисляется, вообще говоря, более, чем s раз.

2) Метод Мерсона четвертого порядка. Метод Мерсона [17, 16), известный также как метод (Рунге)-Кутта-Мерсона, - первый из так называемых вложенных методов Рунге-Кутта. Он позволяет выполнять оценку погрешности на каждом шаге и, исходя из этой оценки, корректировать величину шага.

3) Метод Эверхарта. Метод был предложен Э. Эверхартом [15] для численного исследования орбит, и продемонстрировал высокую эффективность в задачах кометной динамики. Благодаря оригинальному представлению вычислительной схемы метод дает ряд

преимуществ с точки зрения численного интегрирования: 1) алгоритм интегрирования универсален для любого порядка; 2) метод имеет простой критерий для выбора шага интегрирования; а также 3) в нем реализован достаточно точный предиктор решения, что позволяет выполнять численное интегрирование всего с двумя итерациями на шаге. На сегодняшний день метод Эверхарта остается одним из самых популярных именно в решении задач как небесной механики, так и вихревой динамики.

В третьей главе рассмотрена задача о качении полностью динамически симметричного шара (центральный тензор инерции является шаровым I = /tE) по произвольной поверхности без проскальзывания. Как показал Э. Раус в своем знаменитом трактате [12], в случае поверхности вращения даже при наличии осесимметричных потенциальных полей задача является интегрируемой. Здесь мы приводим более полный анализ как решения Рауса для тела вращения, так и указываем новые интегралы для качения шара по несимметричным поверхностям второго порядка.

Уравнения движения рассматриваемой системы в неподвижной системе координат имеют вид

го» = N + F, (Iw)- = а х N + MF, (2)

а условие отсутствия проскальзывания (скорость точки контакта равна нулю) —

v + ш х а = 0. (3)

Здесь m — масса шара, v — скорость его центра масс, и> — угловая скорость, I = /îE (шаровой) центральный тензор инерции, а — вектор из центра масс в точку контакта, R — радиус шара, N — реакция в точке контакта (см. рис. 1), F, Мр — внешняя сила и момент сил относительно точки контакта соответственно.

Исключая из этих уравнений реакцию N, получаем систему шести уравнений, описывающую динамику вектора кинетического момента относительно точки контакта M и вектора нормали к поверхности 7 = -/?_1а:

M = D'y х (u> х 7) + M¡.-, r + Rj = и x Л7, (4)

Рис. 1. Качение шара по поверхности (С — центр масс, С? — точка контакта с поверхностью)

где D = mli2. Здесь векторы и и г (радиус-вектор точки контакта) необходимо выразить из соотношений

VF(r)

M = |iu + fl7x(ux7), l = ———r (5)

\VF(r)\

F(r) = 0 — уравнение, задающее неподвижную поверхность, по которой катится шар.

Уравнения (4) в случае потенциального поля с потенциалом (J(r + + Ii~i) обладают интегралами энергии и геометрическим интегралом

Н= i(M,w) + C/(r + fl7), Fi=72 = 1. (6)

Кроме этих двух интегралов в случае произвольной поверхности F(r) = 0 система (4) не обладает ни мерой, ни двумя дополнительными интегралами, необходимыми для интегрируемости по теории последнего множителя (теории Эйлера-Якоби). Ее поведение является хаотическим.

В п. 3.3. исследуется Движение шара по поверхности вращения. Уравнение поверхности вращения в абсолютной системе координат может быть задано в форме

П = (/ы - Я)71, - (Д7з) - Д)72, '■з = I(/(7з) - - Uli,

где /(73) — некоторая функция, задающая параметризацию поверхности. Выбор параметризации (7) связано с наиболее простым видом приведенной системы.

После редукции по полям симметрии уравнения движения сводятся к неавтономной системе двух линейных уравнений с независимой переменной 73

Система линейных уравнений (8) всегда обладает двумя линейными по Ki, К2 интегралами, коэффициенты которых функции от 73, в общем случае не могут быть получены в явном (алгебраическом) виде.

Дапее в этом пункте исследуются различные частные случаи качения шара по поверхностям вращения - качение по эллипсоид}' и параболоиду вращения, круговым конусу и цилиндру. В частности для

указанных поверхностей указаны инвариантная мера и интегралы движения в алгебраическом виде.

В п. 3.4. рассмотрено Качение шара по поверхностям второго порядка. При этом полагается, что его центр масс движется по поверхности второго порядка

(г + i?7, B_1(r + R-y)) = 1, В =diag(6i,f>2,fc3). (9)

Оказывается, что уравнения движения в этом случае при произвольной (невырожденной) матрице В обладают инвариантной мерой и квадратичным интегралом, которые представляются в форме

Р = (7,В7)"2,

(7хМ.В-'(7хМ)) (Ю)

F-> = --—.

(7,В7)

Отметим, что интеграл движения был первоначально найден численно при использовании трехмерного отображения Пуанкаре. На рис. 2 показан пример такого трехмерного сечения фазового потока на уровне энергии Е = const. Как видно, уровни интеграла F-2 — const «расслаивают» трехмерный хаос на двумерные хаотические поверхности. Последнее обстоятельство, т. е. наличие хаотических движений на двумерных поверхностях F-> = const показывает также, что еще одного дополнительного независимого интеграла, обеспечивающего уже полную интегрируемость в рассматриваемом случае заведомо не существует.

Рис. 2. Пример трехмерного отображения (слева) и соответствующая поверхность уровня интеграла F2 (справа).

Далее в этой же главе рассмотрено качение шара по произвольной цилиндрической поверхности. В этом случае уравнения движения сво-

дятся к неавтономной системе с 2--периодическими коэффициентами

(11)

:А2

скр + О

с интегралом энергии

На основе Фурье анализа данной системы было сформулировано следующее утверждение.

Дри качении шара по абсолютно шероховатой цилиндрической поверхности с произвольным поперечным сечением в поле тяжести не наблюдается вертикального векового ухода.

В четвертой главе диссертации подробно рассмотрена задача о движении шара по поверхности несимметричного параболоида в поле тяжести. При этом рассматривается неголономная модель движения шара (или качение без проскальзывания).

Уравнения движения качения шара в поле тяжести по параболоиду можно записать в виде

(// + т112)й = тЯ2(и>,7)7 + Мр, х = и х Д7. (13)

Здесь т — масса шара, V — х — скорость его центра масс, ш — угловая скорость, I = //.Е — (шаровой) центральный тензор инерции, а — вектор из центра масс в точку контакта, II — радиус шара, Р, Мр — внешняя сила и момент внешних сил относительно точки контакта соответственно. В случае потенциальных сил момент Мр выражается через потенциал и(х), зависящий от положения центра масс шара, по

формуле Мр = х а. Вектор 7 здесь определяет нормаль к поверхности в точке контакта и задается соотношением

7 = ^- (14)

где, уравнение

Ф(х) = (ж, Вж) - 2х3 = 0, В = с1кщ(1/р, 1Д/,0) (15)

задает поверхность, по которой движется центр масс шара.

Оказывается, что кроме очевидных интеграла энергии и геометрического интеграла

Ж = i(M,w) + f/(x) = h = const, Ф(ж)=0, (16)

существует еще один интеграл движения

F = (7 х ы, В(7 х w))|VÎ>(x)|2--(17)

fi + mR

Данный интеграл обобщает интеграл движения в задаче о качении шара по поверхности второго порядка без действия внешних полей.

Далее в этой главе исследуется вопрос об устойчивости стационарных вращений шара на (или в) вершине параболоида. С помощью метода нормализации динамической системы вблизи периодического решения и применения КАМ-теории получены следующие результаты.

1) р > 0 и q > 0 (вращение шара в наинизшей точке). В этом случае вращение шара в точке минимума параболоида является устойчивым как в линейном приближении, так и в полной нелинейной постановке при любых угловых скоростях.

2) pq < 0 (вращение шара в седловой точке гиперболического параболоида). Вращение шара в седловой точке гиперболического параболоида является неустойчивым как в линейном приближении, так и в полной нелинейной постановке.

3) р < 0 и q < 0 (вращение шара на вершине параболоида). В этом случае вращение шара устойчиво в линейном приближении при выполнении неравенства.

ju2fi2 > mg([i + D){y/\p\ + vW- (18)

В области линейной устойчивости вращения являются также устойчивыми по Ляпунову за исключением случаев, когда параметры задачи удовлетворяют одному из равенств D\ = 0, miu + + mot' = 0 при |mi| + Im-2| < 4, где

1 uvkikï 3u2i'2

-Jfc$ - kj + a(kf - k'i)2 + 2k?jk? (u2 + v2f - 1,V

а величины и, и, к\ и к-2 параметризуют исходные параметры системы следующим образом

Р = Я = ^ в = а,

■>^>2 I "> , I 2 (1-Л/

тд Пу 2 , 2 ,

— — и + V -)--;—:-ЧУ.

+ Б к\к.2' (¿¿ + £)2 кхк2

Далее в этой же главе приведены результаты численного моделирования задачи при помощи построения отображения Пуанкаре. На рис. 3 показано трехмерное отображение Пуанкаре при значениях интеграла энергии Е = 50, дополнительного интеграла F = 20 и при параметрах задачи р = 1, ц = 10, гп = 1, д = 1, И = 1, й = 0.1. Результаты моделирования показывают, что еще одного дополнительного интеграла не существует и задача является неинтегрируемой.

Рис. 3. Сечение Пуанкаре невозму- Рис. 4. Сечение Пуанкаре возмущенной задачи. щенной задачи.

Также исследуется влияние возмущения поверхности на существование инвариантов системы В частности показано, что при возмущении поверхности в вида хз = |(х, Вх) + ^(ЛщХ! + Л] 12x7x2 + Л122Х1Х2 +

+ Л222Х2), где ¡\ijk-, .7, к = 1,2, — коэффициенты, задающие отклонение поверхности от параболоидальной, интеграл (17) не сохраняется, а при больших возмущениях поверхности Динамика системы принимает ярко выраженный диссипативный характер (рис. 4).

Пятая глава диссертации посвящена динамике кельтского камня,

моделируемого тяжелым уравновешенным эллипсоидом вращения, катящимся без проскальзывания по горизонтальной плоскости. При этом центральный эллипсоид инерции тоже представляет собой эллипсоид вращения. Соответствующие уравнения движения имеют вид [5]

Г М — М х ш + тг х (w х г) + тдг, , .

| 7 = 7xw. ^

В системе (20) введены следующие обозначения: М — вектор кинетического момента относительно точки контакта, ш — вектор угловой скорости, 7 — единичный орт вертикали, г — радиус-вектор, соединяющий центр эллипсоида с точкой контакта, д — ускорение свободного падения, т — масса тела. Все указанные векторы рассматриваются в системе координат жестко связанной с телом, оси которой совпадают с главными осями инерции тела. Известно, что М = 1и> + + тг х (ш х г), где I = diag(/j, lo, h) — центральный тензор инерции. Уравнение поверхности эллипсоида в главных центральных осях имеет вид (r,B~lr) = 1, где В = Ql BqQ. При этом матрица Во = = diag^,б,, Ijj) образована из квадратов величин полуосей эллипсои-

cos a sin с» 0

да bi, а матрицаQ = 6 -sino cosa о А задает поворот геометрических

о о i

осей относительно осей инерции на угол а. Легко показать, что г = Ву

= Р~

(Г £7)

Уравнения (20) обладают интегралом энергии и геометрическим интегралом

Н = \{М,ш)-тд(г, 7),

* (21)

(7,7) = 1.

Уравнения (20) допускают частные решения типа вертикальных перманентных вращений, удовлетворяющих уравнениям

{7 х ш = 0,

(22)

М х ш + тдг х 7 = 0.

Различным решениям системы (22) соответствуют пять различных семейств перманентных вращений. Наиболее интересными с точки зрения динамики являются вращения, когда ось вращения лежит вдоль одной из главных осей инерции 7 = (1, 0, 0), 7 = (0, 1, 0), 7 = (0, 0, 1). При этом угловая скорость П вращения произвольна и является параметром семейства. С помощью критерия Рауса-Гурвица несложно по-

лучить следующие условия линейной устойчивости рассматриваемых перманентных вращений

Первые два условия накладывают ограничения на геометрию и распределение масс тела. Третье условие приводит к выводу, что вращение в одну сторону устойчиво, а в противоположную — нет. В зависимости от устойчивости и неустойчивости вращений при малых энергиях можно наблюдать следующие типы движений кельтского камня:

а) закрученное тело испытывает сначала реверс (то есть меняется направление вращения), затем переворот и эта последовательность повторяется неоднократно.

б) тело испытывает однократный реверс и стремится к устойчивому перманентному вращению как в обычной модели параболоида [2].

в) тело испытывает многократный переворот.

Ситуации а) и в) реализуются в случае, когда все рассматриваемые вращения неустойчивы, то есть когда нарушены первые два неравенства системы (23). Ситуация б) реализуется в случае, когда два из четырех рассматриваемых вращений являются устойчивыми.

Ь2> Ьи /2 < Л Пет2« < 0.

(23)

/1

/

Рис. 5. Сечение Пуанкаре при следующих параметрах системы I = = (йая(2.5, 0.5, 2.5), В0 = <Иа€(1, 25. 1), т = 1, д = 980, л = 0.08 рад., Е = 3000.

Далее в этой главе приводится трехмерное отображение Пуанкаре рассматриваемой системы (рис. 5). Наличие хаотических областей на отображении свидетельствует о неинтегрируемости уравнений (20).

В шестой главе рассматривается задача о качении тяжелого динамически симметричного круглого диска по горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости. Интегрируемость данной задачи впервые была установлена С. А. Чаплыгиным (1897), который свел ее к анализу гипергеометрических квадратур [13]. Однако, несмотря на явные гипергеометрические квадратуры, вопрос о различных свойствах движения диска долгое время практически не рассматривался — изучались в основном стационарные движения и их устойчивость. Общие результаты качественного анализа о качении тяжелого тела вращения получены в работе Н.К.Мощука [11]. В ней выполнен частотный анализ, обсуждается применение КАМ-теории, а также получены основные качественные свойства для движения точки контакта. В этой работе мы развиваем эти качественные соображения и дополняем их компьютерным анализом.

В рассматриваемой задаче уравнения движения удобно записывать в системе координат, жестко связанной с телом, оси которой направлены вдоль главных осей инерции тела, а начало находится в центре масс

М = М х ш + тг х {из х г) + тдг х 7, 7 = 7 х и).

Здесь и> — угловая скорость тела, т — масса диска г — вектор направленный из центра масс в точку контакта, 7 — неподвижный орт вертикали в проекции на подвижные оси, а М — вектор кинетического момента относительно точки контакта можно выразить через угловую скорость следующим образом

М — 1ш + тг х (ш х г), (25)

где I = 1, ¡2, /3) — тензор инерции тела. В свою очередь г для

диска радиуса Л может быть однозначно выражен через нормаль к плоскости 7 следующим образом

П =--,-7, Г2 =--- , Г3 = 0. 26

Система (24) допускает два независимых интеграла движения — тривиальный геометрические интеграл 72 = 1 и интеграл энергии

Я = |(М, ш) + £/(7), и - —ту(г, 7) = туИу/1 - 7|. (27)

Кроме этого уравнения (24) допускают стандартную (с постоянной плотностью) инвариантную меру. Для интегрируемости этих уравнений (по Эйлеру-Якоби [8]) недостает еще двух интегралов С\ и С"г.

Далее в главе приводится редукция уравнений движения использующая симметрии рассматриваемой системы. После редукции мы получаем систему с одной степенью свободы

<92 = 2 sin 2e{h+rnR2)P{9),

= h ~ А -Ьт-- m9R*™e, (28)

2Ix sm в 2 h

где переменные Кi, К2 линейно зависят от значений первых интегралов движения С\ и Со, а коэффициенты при интегралах выражаются через угол 9 с помощью гипергеометрических функций. Функция Р(6) в (28) (зависящая от констант интегралов) задает аналог гироскопической функции для волчка Лагранжа [10, 4]. На ее основе далее в статье выполняется бифуркационный анализ и классификация возможных типов движения диска. Ввиду того что система (24) обладает тремя первыми интегралами (Я, С\ и Со) поверхность регулярных прецессий, задаваемая уравнениями

Р(в)= 0, ^=0, (29)

является трехмерной (рис. 6). Сложность анализа данной системы также связана с тем, что интегралы движения не выражаются в элементарных функциях (а лишь в специальных), и система не имеет естественного гамильтонова описания.

Далее в главе приводится полный атлас сечений поверхности регулярных прецессий (бифуркационных диаграмм) плоскостями С\ + + С-2 = const и Ci — Со — const. А также исследуется вопрос об ограниченности траектории точки контакта при различных типах движения диска. В частности показано, что для почти всех начальных условий (за исключением некоторого двумерного многообразия в пространстве первых интегралов) траектории диска являются ограниченными.

Седьмая глава диссертации посвящена поиску и исследованию периодических решений в задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Здесь и далее под периодическими решениями мы подразумеваем периодические решения приведенной системы, описывающей динамику в связанной с телом системе координат. Как известно из классической динамики твердого тела, такой приведенной

Рис. б. Поверхность регулярных прецессий.

системой являются уравнения Эйлера-Пуассона. Движения твердого тела периодические не только в системе координат связанной с телом, но и в неподвижной системе координат, мы будем называть периодическими в абсолютном пространстве.

Несмотря на большое многообразие методов поиска и исследования периодических решений, большинство из них применимы либо в интегрируемых системах, либо в системах близких к интегрируемым. Таким образом, практически полностью остается не исследованным вопрос о периодических решениях вдали от интегрируемых случаев. Достаточно полный ответ на данный вопрос может дать анализ, основанный на теории бифуркаций периодических решений и компьютерных методах исследования динамических систем. Наиболее важными из них, с точки зрения рассматриваемого вопроса, являются метод построения отображения Пуанкаре и метод продолжения периодического решения по параметру.

Уравнения Эйлера-Пуассона, описывающие движение твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести, можно представить в гамильтоновой гамильтоновой форме

Mi = {MuH}, ъ ={7i,ff}, i = 1,2,3, (30)

со скобкой Пуассона, соответствующей алгебре е(3)

{Мг,М3} = -eijkMk, {Mi, 7j} = -ецк-ук, {n,lj} = 0, (31)

и гамильтонианом —полной энергией тела

/=|(АМ,М)-/|(г,7), (32)

где А = I"1 = с!Ь^(аь а2, аз) — обратный тензор инерции.

Скобка Ли-Пуассона (31) является вырожденной, она обладает двумя функциями Казимира, коммутирующими в структуре (31) с любой функцией от М, 7,

&1 = {М, 7), ^2 =72- (33)

Уравнения (30) описывают динамику приведеинной системы, в которой игнорируется прецессия твердого тела вокруг вертикали. Для определения абсолютного движения необходимо выполнить дополнительную квадратуру

; ^171 + и>272

V =-, , • (34)

7Г + "12

Исследование периодических решений в данной главе начинается с интегрируемой задачи Эйлера-Пуансо (г = 0). С помощью исследования числа вращения находятся резонансные торы заполненные периодическими решениями первого порядка. Движение тела в абсолютном пространстве соответствующее этим периодическим решениям описывает следующее

Предложение 1. Бее периодические решения приведенной системы в задаче Эйлера-Пуансо являются периодическими в абсолютном пространстве.

На рис. 7 приведены несколько следов единичного вектора (апекса) жестко связанного с осью тела Ох для периодических решений лежащих на рассматриваемом торе. Все эти следы имеют вид восьмерок, причем точки их самопересечения лежат в некоторой вертикальной плоскости.

Далее в главе исследуется возмущение задачи Эйлера-Пуансо связанное со смещением центра масс тела относительно точки закрепления. Для данной задачи получены следующие результаты

Предложение 2. При смещении центра масс в плоскости перпендикулярной минимальной оси инерции тела (п ф 0, г2 ф 0, гз = 0) из резонансного тора с числом вращения п = 1 задачи Эйлера-Пуансо на нулевой константе интеграла площадей рождается пара периодических в абсолютном пространстве решений (устойчивое и неустойчивое).

Рис. 7. Периодические решения, лежащие на резонансном торе п = 1. а) Движение на сфере Пуассона, б) След апекса е\ в абсолютном пространстве.

Интересно, что апексы главных осей инерции е\, е-2 при движении вдоль этих периодических решений описывают на сфере восьмерки, а ез — выпуклую замкнутую кривую без самопересечений.

Далее в главе исследуется эволюция абсолютных хореографий задачи Эйлера-Пуассона при уменьшении энергии из бесконечности до ее минимального значения. Исследование проводится с помощью метода продолжения периодического решения по параметру. При этом подробно изучены бифуркации через которые проходят данные решения. А также указана связь данного семейства периодических решений с известными интегрируемыми случаями и частными решениями задачи твердого тела. Оказывается что указанное семейство абсолютных хореографий включает в себя известные решения Делоне (для случая Ковалевской), частные решения для случая Горячева-Чаплыгина, а также решения Стеклова. Кроме того через различные бифуркации они связаны с вращениями Штауде.

Также в этой главе указаны более сложные периодические в абсолютном пространстве решения. При этом, с точностью до проведенных компьютерных исследований на нулевой константе интеграла площадей справедливо следующее.

Предложение 3. 1. При смещении центра масс в плоскости перпендикулярной минимальной оси инерции (гз ~ 0) из резонансных торов задачи Эйлера-Пуансо, лежащих вне сепаратрисы (г 6 («2, а^)) рождаются периодические в абсолютном пространстве решения.

2. При смещении центра масс в плоскости перпендикулярной мак-

сималъпой оси инерции (г\ = 0,) из резонансных торов задачи Эйлера-Пуансо, лежащих внутри сепаратрисы (е € (аь 0.2)) также рождаются периодические в абсолютном пространстве решения.

Кроме того, полученные результаты обобщены на случай ненулевой константы площадей, и доказано следующее

Предложение 4. Всегда существует равномерно вращающаяся вокруг вертикальной оси система координат, в которой абсолютное движение соответствующее периодическому решению приведенной системы также является периодическим с тем же периодом (т.е. все апексы твердого тела описывают в этой системе замкнутые кривые).

Таким образом, абсолютное движение тела, соответствующее периодическим решениям, родившимся из резонансных торов, в случае ненулевой константы интеграла площадей можно интерпретировать как относительную хореографию (термин также заимствован из [14, 19]) — то есть, как периодическое движение в системе координат, равномерно вращающейся вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью

В восьмой главе исследуется процесс хаотизации фазового портрета в ограниченной задачи о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой.

Рассмотрим задачу о движении динамически симметричного тела при следующих предположениях: /1 = ¡2 = 1, /з = г = (0, <5, 0). При достаточно малых (5 < 2 для моментов инерции выполнены неравенства треугольников, следовательно, выбранной конфигурации соответствует некоторое реальное распределение масс. Сделаем теперь предельный переход 5 —> 0, при котором тело вырождается в отрезок прямой. После этого уравнения движения примут следующий вид

и>1 = Ыо^з, ¿2 = = 71- (35)

Интегралы для системы, получающиеся из интегралов исходной задачи предельным переходом, имеют вид

+ — /г, шх71 + и>2у2 = с, 71 + 7'1 + 7з = 1- (зб)

После редукции уравнений (35) на совместный уровень интегра-

лов (ЗС) получим гамильтопову систему с полутора степенями свободы

Далее в работе подробно исследуется сценарий перехода к хаосу в полученной системе. В частности подробно описано взаимодействие двух дополняющих друг друга механизмов хаотизации фазового портрета:

- трансверсального пересечения неустойчивых инвариантных многообразий — сепаратрис. Данный механизм отвечает за образование хаотического слоя вблизи неустойчивых периодических решений.

- каскада бифуркаций удвоения периода. После прохождения которого фазовый портрет характеризуется наличием траекторий со сколь угодно большим периодом.

Кроме того исследованы сами каскады бифуркаций удвоения периода и показано, что соответствующие значения коэффициентов масштабного преобразования достаточно быстро сходятся к постоянной Фейгенбау-ма <5 = 8.721....

Далее в главе исследуется интересное поведение рассматриваемой системы при стремлении энергии /г к нулю. В частности показано, что при устремлении энергии /г к нулю в системе наблюдается бесконечное число каскадов удвоений периода неподвижных точек первого порядка, спускающихся из бесконечности по г] в хаотический слой. Кроме того, исследуемая система при этом демонстрирует некоторые адиабатические эффекты. При любом, сколь угодно малом с ф 0 и минимальном значении /г = /гтгп = с2/2, система (37) сводится к уравнению математического маятника и является интегрируемой. При с = 0 и 1г = О также получается интегрируемая система, однако, при сколь угодно малых И > 0 на фазовом портрете наблюдается хаотический слой конечной ширины (не стремящейся к нулю). Такое поведение в чем-то аналогично поведению систем с адиабатическим хаосом.

В девятой главе диссертации рассматриваются системы материальных точек в евклидовом пространстве, взаимодействующих, как друг с другом, так и с внешним полем. В частности, к этим задачам сводятся многие задачи небесной механики. Рассмотрим классическую

г=дЖ ■ дЖ

дт] ' 11 ОС

(37)

задачу N тел произвольных масс т*, г = 1..Л: движущихся в пространстве К" под действием потенциальных сил, зависящих от взаимных расстояний между телами. Стандартным образом обозначим положение и импульс г-того тела п-мерными векторами г, и рг. Тогда уравнения движения в гамильтоновой форме имеют вид

р. = .Ж ¿ = 1 N

'г — : Иг — о 1 ' 1 ■ ■ ■1 * >

Ор, ОТг

(38)

где гамильтониан Н задает полную энергию системы тел.

Хорошо известно, что уравнения (38) инвариантны относительно группы Е(п) движений пространства Кп. Вследствие этого, по теореме тт- п(п — 1)

Нетер [1], они допускают п Н---—- первых интегралов движения

выражающих законы сохранения полного импульса и момента импульса системы тел. Здесь и далее латинские индексы нумеруют тела, а греческие — компоненты векторов и тензоров.

Кроме того, уравнения (38) инвариантны относительно преобразований к равномерно движущейся (относительно исходной) системе координат. Совместно с движениями пространства эти преобразования образуют группу преобразований Галилея. Соответствующие (по теореме Нётер) интегралы движения

ту \ ул ■ у*-

с = Ягде п= %г 1 (40)

Е т> 1, тг

являются неавтономным (явно зависящим от времени) и связаны с равномерным и прямолинейным движением центра масс Я.

Оказывается существует еще один набор автономных первых интегралов движения и справедлива следующая

Теорема 1. Уравнения (38) движения N тел в Кп помимо (39) 'екают еще —— автономных интегралов движения

= Д„Р„ - Л„Р„, //, и=1... п. (41)

Причем указанные интегралы связаны друг с другом и интегралами Р соотношениями

J2 = °> (42)

<(¿,1лр>

где \i ф v ф р ф \i, а суммирование ведется по циклическим перестановкам индексов.

Существование тензорного интеграла (41) (так же как и (40)) связано с инвариантностью уравнений движения относительно группы Галилея, поэтому в дальнейшем мы будем называть его Галилеев момент.

Рассмотрим теперь вопрос о понижении порядка системы (38) с помощью интегралов М.Р, Q. В случае М3 справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Интегралы (39) и (41) позволяют провести редукцию задачи о движении N тел в К3 на пять степеней свободы.

Далее в п. 9.3. исследуются натуральные системы с однородным потенциалом степени о = —2. Гамильтониан таких систем можно записать в виде

n 9 1=1

где для потенциала Ua(r) выполняется тождество Эйлера

(r,^)=aUa. (44)

Оказывается, для таких (даже более общих) систем справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Натуральная система (43) с потенциалом

U (г) = t/_2(r) + V(I) (45)

допускает первый интеграл движения

J = 21{Н - V) - (г, р)2. (46)

Интеграл (46) позволяет выполнить редукцию уравнений движения на одну степень свободы. Приведем здесь наиболее симметричный вид данной редукции, обобщенный нами на случай произвольной системы с потенциалом вида (45).

Теорема 4. Натуральная система вида (43) с потенциалом (45) допускает редукцию на одну степень свободы с помощью замены времени и координат

<И = Ыт, = д,г£Шм. (47)

Уравнения движения в новых переменных описывают движении материальной точки по (И — \)-мерной сфере (д, <7) = 1

= + (48)

где А = (</, ~ я'2 ~ неопределенный множитель Лагранжа,

и.2(я) = Я/_2(г) = и. 2(-р=), (49)

л/ГЙ~

а штрих обозначает дифференцирование по новому времени. При этом интеграл (46) принимает вид

3 = <?'2 + 2[/_2(<7), (50)

и с точностью до константы совпадает с полной энергией приведенной системы.

Отметим, что приведенная процедура редукции отличается от классического понижения порядка по Раусу и связана со скрытой симметрией системы в расширенном (включающем время) фазовом пространстве. Действительно, после замены (47) интеграл ] становится гамильтонианом приведенной системы. Тогда как при стандартной редукции Рауса гамильтониан системы не меняется, а лишь параметрически зависит от значения первого интеграла.

В качестве примеров использования редукции в работе приведено несколько конкретных задач, попадающих в класс рассматриваемых систем. В частности, рассмотрена система Росохатиуса [18] описывающая движение материальной точки по двумерной сфере §2 с гамильтонианом

Я = I (Л/,2 + М22 + Мз2) + + + (51)

1 71 72" 7з"

И система Гаффе гамильтониан которой имеет вид

Н = кр1 + Р1+ Р1) + --■ (52)

2 (хцгхз) /3

Далее в работе рассмотрена задача Лг тел с однородным потенциалом степени а = -2, зависящим от взаимных расстояний, то есть

2

Н = + 1п-г,|). (53)

В этом случае справедливы следующие две теоремы.

Теорема 5. Система (53), описывающая движение N тел в К'5 с однородным потенциалом взаимодействия степени однородности а = = —2, допускает десять функционально независимых автономных интегралов движения.

n

¿=1 1=1 n

м = ]Г п х ри .] = 21Н - (]Г(г4, Р,))2.

(54)

¿=1

Теорема 6. Уравнения движения (38), описывающие движение N тел в М3 с потенциалом парного взаимодействия являющимся однородной функцией степени однородности а = —2, допускают редукцию на шесть степеней свободы с помощью интегралов (54).

В качестве примера задачи с гамильтонианом вида (53) рассмотрена задача Якоби о движении трех тел на прямой с потенциалом вида

" - Ё т^Ь- и

¿<7 = 1 Х3>

После проведения процедуры редукции изложенной выше мы получаем систему на сфере обладающую дополнительным первым интегралом движения

С = +(№) . (56)

Более того, можно сформулировать следующее утверждение.

Предложение 5. Любая система па сфере с потенциалом являющимся однородной функцией степени однородности -2 зависящим от разностей (7г — 7j), i,j = 1.. .3, является интегрируемой и обладает дополнительным интегралом (56).

Рассмотрим теперь задачу трех тел на плоскости с гамильтонианом

n'Pi€R2- (57)

,= 1 i>j УГг гз>

После проведения последовательных редукций по интегралам системы (сюда входит и описанная нами выше процедура редукции) получим систему с двумя степенями свободы, гамильтониан которой имеет вид

1 2 1(РФ + М)2 1 {РФ~Щ2 /X1Q13

2 2 sin20 2 cos20 cos-в

__/¿2»tja13__^

m¡ sin2 0 + fiifi2 cos2 0 + miy/nip.2 sin 20 cos ф ^°^

//•2'П»2а23

171-2 S'U 0 + COS" 0 — m2y/ll\P2 sill 2/?cos lí>

„ r m I, • ^ rn \ mim2 (mi+ro2)m3

где 9 e (0, U> g о, 7г), /Í1 = -—=—, f-t-2 = -:-;-. с IIOMO-

' V 2'' 7711+1X12 rni+7712 + тз

щью построения отображения Пункаре полученной системы нетрудно сделать заключение о неинтегрируемости задачи Якоби на плоскости.

В конце девятой главы приведен ряд обобщений тождества Лагран-жа и соответствующие дополнительные первые интегралы движения.

В десятой главе диссертации исследуется задача о движении двух тел на сфере S2. Аналогом ньютоновского потенциала на S2 (L2) является функция

U = —7 ctg в (U = -7cth в), (59)

где в — долгота, отсчитываемая от полюса, в котором находится гра-витирующий центр, 7 — гравитационная постоянная. Потенциал (59) может быть получен как центрально-симметричное решение уравнений Лапласа-Бельтрами для S3 (L3) или выведен из аналога теоремы Бертрана для S2 (L2).

В данной работе для редукции неограниченной задачи двух тел на сфере мы используем редукцию Бура [6] пространственной задачи трех тел. В некотором смысле даже можно сказать, что необходимая нам

редукция является ее частным случаем. Выполнив данную редукцию мы получаем гамильтонову систему с гамильтонианом

„2 „2

* =■ ^(£ + & +<с2 -+ + "

(60)

Для исследования данной системы построим отображение Пуанкаре. В качестве плоскости сечения Пуанкаре выберем р2 = 0. Данная плоскость пересекает уровень энергии = Е по некоторой двумерной поверхности в пространстве {в\, рх, в2)- На заданной таким образом поверхности (сечении уровня энергии) фазовый поток системы (60) задает отображение Пуанкаре. Пример такого отображения приведен на рис. 8 На отображении хорошо видны хаотические движения, препятствующие существованию дополнительного аналитического интеграла системы (60).

Рис. 8. Пример сечения уровня энергии (справа) и соответствующие отображения Пуанкаре (слева).

Одиннадцатая глава диссертации посвящена редукции и исследованию хаотического поведения точечных вихрей на плоскости и сфере.

Уравнения движения п точечных вихрей с декартовыми координаты (хг,?л) и интенсивностями Г, могут быть записаны в гамильтоновой форме

Ггхг = ^, 1<»<п, (61)

с гамильтонианом

71

п = -¿Х!Г<Г>МУ' Mij = \ri-Tj I2, П = (х{,Уг). (62) i<i

Здесь скобка Пуассона имеет вид

г с 1 1 / дд df 8д \

1=i

Уравнения (61) инвариантны относительно группы движений плоскости £7(2), поэтому кроме гамильтониана они обладают еще тремя интегралами

71 П П

<2 = ]Гг,,гг, Р = £ Гт, / = ]Ггг(х?+у2), (64) ¿=1 ¿=1 t=i

которые, однако, не являются инволютивными

n

{Q,P} = ^1\, {JV} = -2Q, {QJ} = 2P. (65)

1=1

В дальнейшем вместо интеграла / удобнее использовать интеграл вида

п п

D = - г/ = (Х>К - Р2 - Q2- (66)

i<j 1=1

Из этих трех интегралов можно образовать два инволютивных Q2+P2,1 и, следовательно, согласно общей теории [9], можно понизить порядок на две степени свободы.

Для конструктивного понижения порядка для задачи N вихрей произвольной интенсивности на две степени свободы приведем следующие предложения.

Предложение 6. Систелш N произвольных вихрей па плоско-

n

ети с ненулевой суммарной интенсивностью (Y^ Гг ф 0) допускает

1=1

редукцию на две степени свободы, при которой капоническилш переменными приведенной системы являются

Г ■+■> Г*;

<li = Pi+2 -7 'фг = Рг + 2 ~Ч> 2, i = l,...,N - 2, (67)

36 где

Pi = \\ri~R^\\ ipi — arctg I —-^yl, г = 2... N, (68)

\Xi — Rx /

r¡(o = ¿y

=i i ^] определяет центр завихренности i вихрей,

a r¿ — радиус-вектор i-го вихря.

Предложение 7. В случае Ylf=i ^ — 0 канонические переменные приведенной системы (соответствующие редукции на две степени свободы) pi, ¡¿>i, i = 1, ..., N — 2 задаются соотношениями

Pi = TlJ^k=lTkPi+ и Vi=<Pi+u г = 1, ..., N-2, (69)

где pi и <pi заданы соотношениями (68).

Предложение 8. В случае Ylj=i I= О и D = 0 система допускает редукцию на три степени свободы. Канонические переменные приведенной системы определяются соотношениями (67) при i = = 1...JV-3.

Рассмотрим теперь задачу о движении вихрей на сфере S2. Для п точечных вихрей на сфере §2 гамильтоновы уравнения движения в сферических координатах (0i,'-fi) могут быть записаны в виде [3]

éi = {ei,n}, 4>Í = {4>Í,H), г = 1,..., n, (70)

со скобкой Пуассона

{^cosek} = ^, (71)

где Гг — интенсивности вихрей и гамильтониан

Н = £Г'Г*1п (М*) = -¿ Е ГЛ I" (4fí2sin2 -f\ . (72)

Kk i <k ^ '

Здесь R — радиус сферы, Mi¡ — квадрат расстояния между г-ым и j-ым вихрями измеряемого по хорде, у,к — угол между векторами, соединяющими центры сферы с точечными вихрями i и к,

COS 7 — COS в i COS Ok + sin 0г sin в к COs(^-,; - ipk)-

Помимо гамильтониана уравнения (70) допускают еще три независимых неинволютивных интеграла

п п п

Fi = R Г, sin di cos y?t, F2—R ^ sin вг sin ¡рг, F¿ = R F¿ cos вг. i=1 j=l ¿=1

(73)

Вектор F с компонентами (Fi, F2, F3) = F — (r¿ — радиус-

вектор вихрей) называется моментом завихренности, его компоненты коммутируют следующим образом:

{FuFJ} = ±eljkFl¿. (74)

Как и в плоском случае, можно редуциоровать систему на две степени свободы, используя инволютивные интегралы, например F3 и F~. При этом справедливы следующие утверждения

Предложение 9. Система N вихрей на сфере в случае F,v = = ]l¡=i l"ir> г 0 допускает редукцию на две степени свободы с помощью канонических переменных pi, i/>¡, задающихся соотношениями

, , , Pi(Fi+i,ri+i х ri+2)

Pi = , tgVt = 7-p-ñ-г, i = 1, ..., iV — 2,

(75)

где Fi = ^j rja представляет собой угол между плоскостями (Fi+urt+2) и (Fi+i,ri+i).

Предложение 10. В случае F^ = Г,гг = 0 система (70) допускает редукцию па три степени свободы. Канонические переменные приведенной системы определяются соотношением (75) при г — = 1, ..., АГ-3.

В качестве примеров далее в главе приводится явный вид редуцированных систем четырех вихрей на плоскости и сфере и строятся соответствующие отображения Пуанкаре см. рис. 9 и 10.

Далее в работе проводится исследование перехода к хаосу в задаче о движении четырех одинаковых вихрей на плоскости. В частности показано, что при увеличении энергии параллельно происходят два процесса:

1. эволюция и различные бифуркации уровня энергии, а следовательно и поверхности на которой строится сечение Пуанкаре;

2. постепенная хаотизация фазового портрета (сечения Пуанкаре) на этой поверхности.

Рис. 9. Отображения Пуанкаре для задачи четырех вихрей на плоскости при Г\ = Г 2 = Гз =

= -1, Г4 =4.

Рис. 10. Отображения Пуанкаре для задачи четырех вихрей равной интенсивности на сфере при И = 3.55.

При этом показано, что хаотизация фазового портрета связана с наличием каскада бифуркаций удвоения периода. Для этого построена соответствующая проекция дерева бифуркаций удвоения на плоскость (Е, q^2). И показано, что при прохождении каскада значения коэффициентов масштабного преобразования сходятся к постоянной Фейген-баума 5 = 8.721 ....

В двенадцатой главе диссертации исследуются периодические решения в задаче о движении трех и четырех вихрей на плоскости. При этом наиболее подробно исследуется вопрос о движении вихрей в неподвижной системе координат. Для этого используется следующее

Предложение 11. Пусть ^(Ь) — периодическое решение (периода Т) приведенной систеиы, тогда

1° существует система координат, вращающаяся равномерно с некоторой угловой скоростью Пп вокруг центра завихренности, в которой каждый вихрь движется по некоторой замкнутой кривой

2° частота вращения Па задается соотношением (с точностью

т

= 1 У в12{1)(И. (76)

О

3° Если частоты И„ и Г20 = Щ- соизмеримы (т. е. — = р, <у €

Ъ), то вихри в неподвижной системе координат также описывают замкнутые кривые;

4° если какие-либо из кривых переводятся друг в друга поворотом вокруг центра завихренности на угол, соизмеримый с 2тг, то ил1сется (вращающаяся) система координат, в которой соответствующие вихри движутся по одной и той оке кривой.

В работе приводится ряд относительных хореографий для систем трех и четырех вихрей.

Очевидно,что для каждого периодического решения существует счетное число относительных хореографий. Действительно, добавив к скорости вращения системы координат величину соизмеримую с частотой приведенной системы, вновь получим относительную хореографию. Так, для системы трех вихрей весь набор угловых скоростей задается соотношением

П£>(Е) = а(,0)(Е) + ЩЩЕ), где т € N. к е Ж, (77)

причем 3к и т взаимно простые числа и Г2о(Е) = При этом

I (Е)

частоте отвечает хореография, замыкающаяся за время тТ. Для решения Горячева системы четырех вихрей аналогичное соотношение имеет вид

П2т(Я) = ^20)(£) + гЛе ш - нечетное, к е Ъ, (78)

причем к и ш взаимно просты, и По (Е) = ^ , где Т — период реше-

Т{Ь)

ния Горячева для приведенной системы. Эта хореография замыкается через время 2пгТ.

Далее в работе ставится вопрос о существовании абсолютных хореографий в динамике вихрей на плоскости. Очевидно, что абсолютные хореографии определяются решениями уравнения

9^(Е) = 0, (79)

где к, т — фиксированы, а Е неизвестная. Таким образом, для нахождения абсолютных хореографий достаточно построить зависимости частоты приведенной системы и угловой скорости вращения системы координат в зависимости от энергии системы вихрей. Данные зависимости были построены для задачи трех вихрей и центрально-симметричных решений задачи четырех вихрей. В обоих случаях на

основании анализа полученных зависимостей сделано заключение о существовании счетного количества абсолютных хореографий в данных задачах.

Тринадцатая глава диссертации посвящена новой модели о движении точечных вихрей на сфере. Традиционно рассматривается модель вихря на сфере, состоящая из собственно самого точечного вихря и общей равномерной завихренности сферы. Такая модель считается более «физичной», так как не приводит к появлению особенностей в точках противоположных положениям вихрей. Однако такой подход правомерен лишь в случае, когда на больших расстояниях (порядка радиуса сферы) происходит постепенное затухание вращения жидкости по мере удаления от вихря. В случае когда на больших расстояниях вязкостью жидкости можно пренебречь, более верной становится модель вихря, в которой не вводится равномерная завихренность сферы. При этом функция тока обладает двумя особенностями в диаметрально противоположных точках сферы, и к каждому вихрю добавляется антиподальный вихрь с равной по величине и противоположной по знаку завихренностью. Такую систему вихрь+антипод в дальнейшем мы будем называть антиподальным вихрем.

Уравнения движения антиподальных вихрей являются гамильто-новыми с гамильтонианом

i<k ^ '

Так же как в случае классических точечных вихрей на сфере, помимо гамильтониана, система (80) допускает интегралы движения

n

Fy = R F¿ sin di eos tpi = ci, i=l n

F) = R Г) sin вг sin ífi = C2, (81)

¿=1

n

F3 = R ^ Г i eos Qi = c:¡, i=l

Скобка Пуассона рассматриваемой задачи полностью совпадает со скобкой задачи о движении N классических точечных вихрей на сфере (71). И для нее справедливы следующие предложения.

Предложение 12. Система N антиподальных вихрей па сфере n

в случае = X] Г ¡г, -/- О допускает редукцию па две степени свобо-¿=1

ды с помощью введения канонических переменных р(, задаваемых соотношениями

, . , х п+2)

= ------х = 1.....Лг - 2,

(Гг+1 X Fг+l,rг+2 X

(82)

где Р1 — моменты завихрепностей подсистем г вихрей.

n

Предложение 13. В случае ^ = ^ Г,г, = 0 система (80)

¿=1

допускает редукцию па три степени свободы. Канонические переменные приведенной системы определяются соотношением (82) при г = = 1, ..., Л'-З.

Далее в статье рассматривается задачи двух и трех антиподальных вихрей. Для задачи трех антиподальных вихрей указаны периодические решения соответствующие стационарным конфигурациям вихрей. И построены соответствующие им ветки бифуркационной дианграммы.

1) Томсоновские конфигурации вихрей на сфере определяются равенством Л/1 = М2 = А/з = А/. На этой плоскости (£). /г) томсонов-ским решениям соответствует бифуркационная кривая вида

(ч «И+аз+аз

^-] . (83)

2) Равнобедренные конфигурации. В рассматриваемом случае антиподальных вихрей существует еще три семейства неподвижных точек, не имеющие аналогов в случае классических вихрей. Данные семейства определяются соотношениями

М] = А/*, Мк = 4П?-Ми (84)

Выражение для соответствующих бифуркационных кривых имеет вид

\ГА(4/?2(Гг + Г,)-ГгГ^)У >

3) Коллинеарные конфигурации Коллинеарной конфигурацией на сфере называется конфигурация вихрей на большом круге сферы, вращающаяся с постоянной угловой скоростью вокруг оси, расположенной в плоскости этого круга, так что расстояния между вихрями постоянны. Условия для коллннеарных конфигураций на сфере имеют вид

2(М,А/2 + МхА/з + М2М3) - (М? + А/| + М32) - = 0,

(86)

где суммирование ведется по циклическим перестановкам индексов.

Кривые, определяющие зависимость /¡(Г>) для коллннеарных конфигураций, могут быть построены лишь численно. Они имеют достаточно сложную форму.

В конце главы подробно рассматривается полная бифуркационная диаграмма системы трех антиподальных вихрей.

Литература

Арнольд В. И, Козлов В. В, Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Т. 3. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985.

Астапов И. С. Об устойчивости вращения кельтского камня, Вестн. МГУ мат.мех., 1980, .Y®2, с.97-100.

Богомолов В. А. Динамика завихренности на сфере // Изв. АН. СССР. Мех. жид. и газа, 1977, .X® б, с. 57-65.

Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Гамилыпоновы методы, интегрируемость, хаос. Москва - Ижевск, ИКИ, 2005, 576 с.

Борисов A.B., Мамаев И.С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней, УФН., т.173, ЛМ, с.407-418

Воронец П. В. Преобразования уравнений динамики с помощью линейных интегралов (с приложениел1 к задаче о трех телах), Киев, Университет Св. Владимира, 1906, 180 с.

Кирхгоф, Г., Механика. Лекции по математической физике, М.: АН СССР, 1962. Пер. с нем. Kirchhoff, G., Vorlesungen über mathematische Physik, Leipzig: Mechanik, 1874.

Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, 256 с.

Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамилътоновой динамике // Ижевск: Изд-во УдГУ, 1995, 432 с.

Магнус К. Гироскоп: теория и применение. М.: Мир, 1974, 526 с.

Мощук Н. К. Качественный анализ движения тяжелого тела вращения па абсолютно шероховатой плоскости. ПММ, 1988, т. 52, вып. 2, с. 203-210.

Раус Э. Динамика системы твердых тел. т. II, М., 1983. Перевод с англ. Routh Е. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Dover Publications, New York.

Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости. Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии, 1897, т. 9, вып. 1, с. 10-16.

[14] Clieiiciner A., Montgomery R. A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses // Annals of Mathematics, 2000, V. 152, p. 881-901.

[15] Everhart E. Implicit Single Sequence Methods for Integrating Orbits, Cel. Mech. 1974. Vol. 10. P. 35-55

[16] E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, "Solving ordinary differential equations", I. Nonstiff problems , Springer (1987)

[17] Merson R. H., An operational method for the study of integration processes, Proc. Symp. Data Processing , Weapons Res. Establ. Salisbury , Salisbury (1957) pp. 110-125

[18] E. Rosochatius, Uber die Bewegung eines Punktes (Inaugural Dissertation, Univ. Göttingen), Gebr. Unger, Berlin, 1877.

[19] Simó С. Dynamical properties of the figure eight solution of the three-body problem // Celestial Mechanics, dedicated to Donald Saari for his 60th Birthday. Proceedings of an International Conference on Celestial Mechanics, 15-19 December, 1999 at Northwestern University, Evanston, Illinois. Providence, RI: American Mathematical Society, Contemporary Mathematics, 2002, Vol. 292, p.209

[20] Zermelo, E., Hydrodynamische Untersuchungen über die Wirbelbewegung in einer Kiigelfläche, Zeitschr. für Math, und Phys., 1902, Bd. 47.

Основные публикации по теме диссертации.

1) A.B. Борисов, A.A. Килин, И.С. Мамаев Multiparticle Systems. The Algebra of Integrals and Integrable Cases. Regular and Chaotic Dynamics, 2009, 14 (1), c. 18 - 41

2) Килин A.A. Задача Якоби на плоскости. Нелинейная динамика, 2009, т. 5, № 1, с. 51 - 80

3) Килин A.A. Обобщение тождества Лагранжа и новые интегралы движения. Вестник удмуртского университета. Математика механика компьютерные науки, 2008, Л"3 3, с. 69 - 74

4) A.B. Борисов, A.A. Килин, И.С. Мамаев A New Integrable Problem of Motion of Point Vortices on the Sphere. A.V. Borisov et al. (eds.), IUTAM Symposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence, Springer, 2008, pp. 39-53

5) A.B. Борисов, A.A. Килин, И.С. Мамаев Absolute and Relative Choreographies in Rigid Body Dynamics. Regular and Chaotic Dynamics, 2008, 13 (3), c. 204- 220

Литература

45

G) A.B. Борисов, A.A. Килин, И.С. Мамаев Chaos in a Restricted Problem of Rotation of a Rigid Body with a Fixed Point. Regular and Chaotic Dynamics, 2008, 13 (3), pp. 221 - 233

7) A.B. Борисов, A.A. Килин, II.C. Мамаев Stability of Steady Rotations in the Nonholonomic Routh Problem. Regular and Chaotic Dynamics, 2008, 13 (4), c. 239 - 249

8) A.B. Борисов, A.A. Килин, И.С. Мамаев Новая интегрируемая задача о движении точечных вихрей на сфере. Нелинейная динамика, 2007, 3 (2), с. 211 - 223

9) A.B. Борисов, A.A. Килин, И.С. Мамаев Переход к хаосу в динамике четырех точечных вихрей на плоскости. Доклады РАН, 2006, Том 408, Л"« 1, с. 49-54.

10) A.B. Борисов. A.A. Килин, И.С. Мамаев К одной неголономной динамической проблеме. Математические заметки, 2006, Том 79, .V 5, с. 790-796.

11) A.B. Борисов, A.A. Килин, И.С. Мамаев Новые эффекты в динамике кельтских камней. Доклады РАН, 2006, Том 408, .Vs 2, с. 192-195.

12) A.A. Килин Новый интеграл в неголономной задаче Пенлеве-Чаплыгина. Нелинейная динамика, 2006, 2 (2), с. 193 - 198

13) A.B. Борисов, A.A. Килин, И.С. Мамаев Устойчивость стационарных вращений в неголономной задаче Рауса. Rus. J. Nonlin. Dyn. , 2006, 2 (3), pp. 333 - 345

14) A.B. Борисов, A.A. Килин, И.С. Мамаев Редукция и хаотическое поведение точечных вихрей на плоскости и сфере. Supplement Volume 2005 of DCDS-B devoted to the 5th AIMS International Conference on Dynamical Systems and Differential Equations (Pomona, California, USA," June 2004), pp. 100-109

15) A.B. Борисов, И.С. Мамаев, A.A. Килин Новые периодические решения для трех и четырех идентичных вихрей на плоскости и сфере. Supplement Volume 2005 of DCDS devoted to the 5th AIMS International Conference on Dynamical Systems and Differential Equations (Pomona, California, USA, June 2004), p. 110-120

16) A.B. Борисов, A.A. Килин, U.C. Мамаев Абсолютные и относительные хореографии в задаче о движении точечных вихрей на плоскости. Доклады РАН, 2005, Том, 400, 4, с. 457-462.

17) A.B. Борисов, A.A. Килин, U.C. Мамаев Абсолютные и относительные хореографии в динамике твердого тела. Нелинейная динамика, 2005, 1 (1), с. 123 - 141

18) A.B. Борисов, A.A. Килин, И.С. Мамаев Хаос в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Нелинейная динамика, 2005, 1 (2), с. 191 - 207

19) A.B. Борисов, A.A. Килин, U.C. Мамаев Редукция и хаотическое поведение точечных вихрей на плоскости и сфере. Нелинейная динамика, 2005, 1 (2), с. 233 - 246

20) A.B. Борисов, U.C. Мамаев, A.A. Килин Абсолютные и относительные хореографии в задаче о движении точечных вихрей на плоскости. Regular and Chaotic Dynamics, 2004, 9 (2), pp. 101 - 112

21) A.B. Борисов, И.С. Мамаев, A.A. Килин Задача двух тел на сфере. Приведение, стохастичность, периодические орбиты. Regular and Chaotic Dynamics, 2004, 9 (3), pp. 265 - 280

22) A.B. Борисов, U.C. Мамаев, A.A. Килин Динамика, катящегося диска. Regular and Chaotic Dynamics, 2003, 8 (2), pp. 201 - 212

23) A.B. Борисов, И.С. Мамаев, A.A. Килин Качение шара по поверхности. Новые интегралы и иерархия динамики. Regular and Chaotic Dynamics, 2002, 7 (2), pp. 201 - 219

21) A.B. Борисов, U.C. Мамаев, A.A. Килин Новый интеграл в задаче о качении шара по произвольному эллипсоиду. Доклады РАН, 2002, Том 385, № 3, с. 338-341.

Введение.

ЧАСТЬ I. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ «КОМПЬЮТЕРНАЯ ДИНАМИКА»

Глава 1. Общее описание комплекса.

1.1. Базовые инструменты.

1.2. Зависимые инструменты.

1.3. Фильтры и дополнительные окна.

Глава 2. Методы интегрирования.

2.4. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

2.5. Метод Мерсона четвертого порядка.

2.6. Метод Эверхарта.

ЧАСТЬ II. НЕГОЛОНОМНАЯ МЕХАНИКА И ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Глава 3. Качение шара по поверхности. Новые интегралы и иерархия динамики.

3.1. Введение.

3.2. Уравнения движения шара по поверхности.

3.3. Движение шара по поверхности вращения.

3.4. Качение шара по поверхностям второго порядка.

3.5. Движение шара по цилиндрической поверхности.

Глава 4. Устойчивость стационарных вращений в неголономной задаче Рауса.

4.6. Уравнения движения шара по поверхности.

4.7. Интегралы движения и мера.

4.8. Вертикальные вращения и их линейная устойчивость.

4.9. Устойчивость по Ляпунову вращений в наинизшей точке

4.10. Устойчивость по Ляпунову вращений на вершине.

4.11. Численные результаты

6.20. Качение твердого тела по плоскости. 108

6.21. Качественный анализ и результаты. 116

Глава 7. Абсолютные и относительные хореографии в динамике твердого тела.124

7.22. Введение. 124

7.23. Рождение абсолютных хореографий. 130

7.24. Генеалогия хореографий . 138

7.25. Более сложные хореографии. 142

7.26. Относительные хореографии. 144

7.27. Открытые проблемы. 146

Глава 8. Хаос в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой.148

8.28. Введение. 148

8.29. Переход к хаосу при с = 0. 152

8.30. Случай с ф 0. 160

8.31. Меандровые торы.

8.32. Приложение. Методы исследования отображений

162 165

ЧАСТЬ III. МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ И НЕБЕСНАЯ МЕ

ХАНИКА 169

Глава 9. Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи.170

9.1. Введение. 170

9.2. Задача N тел. 171

9.3. Натуральная система с однородным потенциалом степени а = —2.182

9.4. Задача N тел с однородным потенциалом степени -2, зависящим от взаимных расстояний .194

9.5. Задача Якоби на прямой .196

9.6. Задача Якоби на плоскости.202

9.7. Обобщение тождества Лагранжа и интеграла Якоби.205

Заключение

Опишем кратко результаты полученные в диссертации.

1) Создан программный комплекс для исследования конечномерных динамических систем. Данный комплекс предоставляет следующие возможности для исследования:

• построение простых точечных отображений,

• построение фазового потока системы с одной степенью свободы,

• построение двумерного отображения Пуанкаре для систем с полутора и двумя степенями свободы,

• построение трехмерного отображения Пуанкаре для динамических систем, сводимым к пяти дифференциальным уравнениям,

• построения областей возможного движения для заданного отображения,

• поиск периодического решения динамической системы,

• продолжение периодического решения по параметру и полный анализ его бифуркаций,

• построение неустойчивых инвариантных многообразий (сепаратрисе) для отображения,

• Фурье-анализ произвольных 'функций при интегрировании вдоль заданной фазовой траектории,

• вычисление максимального показателя Ляпунова фазовой траектории,

• построение дерева бифуркаций удвоения периода,

• отображение мультипликаторов периодического решения и других параметров при продолжении ее по параметру,

• построение графика зависимости произвольной величины от времени при интегрировании вдоль фазовой траектории,

• построение бифуркационных диаграмм,

• визуализация движения исследуемых объектов.

2) Исследована задача о качении шара без проскальзывания по произвольной поверхности. Указаны новые случаи разрешения задачи в квадратурах, а также особый случай существования одного дополнительного интеграла и инвариантной меры. Последний случай приводит к неголономному обобщению задачи Якоби о движении по инерции точки по эллипсоиду. Показано также, что при качении шара по произвольному цилиндру в поле тяжести его движение является ограниченным, и он в среднем не смещается вниз.

3) Найден новый интеграл в задаче о движении динамически симметричного шара по поверхности параболоида в поле тяжести. С помощью этого интеграла получены условия устойчивости по Ляпунову стационарных вращений шара вокруг вертикали при условии, что точка контакта расположена в наивысшей, наинизшей или седловой точке параболоида

4) Исследована динамика кельтского камня, моделируемая тяжелым уравновешенным эллипсоидом вращения, катящимся без проскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости. При этом центральный эллипсоид инерции тоже представляет собой эллипсоид вращения. Показано, что в отличии от традиционной модели кельтского камня, представляющего собой усеченный двухосный параболоид, в рассматриваемой постановке возможны движения, являющиеся суперпозицией реверса (смена на противоположное направление вращения) и переворота (смена на противоположную оси вращения). При этом указанные реверс и переворот, при надлежащих энергиях и распределениях масс, могут повторяться неоднократно. Возможны также движения, представляющие собой только многократный переворот или реверс.

Произведен качественный анализ задачи о качении без проскальзывания однородного круглого диска на горизонтальной плоскости. Исследования данной задачи восходят к С.А. Чаплагину, П. Аппелю, Д. Кортевегу, показавшим ее интегрируемость. Исследуется поведение точки контакта и получены условия финитности ее траектории. Построена наиболее общая трехмерная бифуркационная диаграмма в пространстве первых интегралов и полный атлас ее сечений различными плоскостями.

Найдено семейство периодических в абсолютном пространстве решений (хореографий) в классической задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой на нулевой константе площадей. Данное семейство включает в себя известные решения Делоне (для случая Ковалевской), частные решения для случая Горячева-Чаплыгина, а также решения Стеклова. Приведена генеалогия найденных решений при продолжении по энергии и их связь с вращениями Штауде. Показано, что при ненулевом значении интеграла площадей соответствующие решения являются периодическими в равномерно вращающейся вокруг вертикали системе координат (относительными хореографиями).

Исследован процесс хаотизации фазового портрета в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Указаны два дополняющих друг друга механизма хаотизации — рост гомоклинической структуры и развитие каскадов бифуркаций удвоения периода. Отмечено адиабатическое поведение системы на нулевом уровне интеграла площадей при стремлении энергии к нулю. Найдены меандровые торы, связанные с нарушением свойства закручивания рассматриваемого отображения.

Рассмотрены системы материальных точек в евклидовом пространстве, взаимодействующих, как друг с другом, так и с внешним полем. Для случая произвольного парного взаимодействия между телами, зависящего только от их взаимного расстояния, указаны новые интегралы, образующие вектор галилеева момента. Приведена соответствующая алгебра интегралов которую образуют интегралы импульса, момента импульса и галилеева момента.

9) Рассмотрены системы частиц взаимодействие между которыми описывается однородным потенциалом степени однородности а = — 2. Для этих систем приведена наиболее общая форма дополнительного первого интеграла движения, называемого нами интегралом Якоби. Указана новая нелинейная алгебра интегралов включающая интеграл Якоби. Предложена новая процедура редукции и возможность ее применения в динамике для понижения порядка гамильтоновых систем.

10) Найден ряд новых интегрируемых и суперинтегрируемых систем, являющихся обобщением классических. Приведен ряд обобщений тождества Лагранжа для систем с однородным потенциалом степени однородности а = —2. А также с помощью компьютерных экспериментов доказана неинтегрируемость задачи Якоби на плоскости.

11) Рассмотрена задача о движении двух материальных точек, движущихся по сфере и взаимодействующих друг с другом с потенциалом, зависящем от расстояния между ними. Особо подробно рассмотрен случай, когда потенциал является аналогом ньютоновского. Выполнено понижение порядка этой системы к двум степеням свободы и указан ряд замечательных периодических орбит.

12) Рассмотрен новый метод конструктивного понижения порядка для систем точечных вихрей на плоскости и сфере. Этот метод близок к классической процедуре исключения узла по Якоби в небесной механике. Однако, в случае динамики вихрей возникают некоторые особые ситуации, требующие отдельного рассмотрения. Более подробно рассмотрена задача приведения четырех точечных вихрей на плоскости и сфере. С помощью сечения Пуанкаре проведен анализ регулярного и хаотического поведения системы четырех вихрей на плоскости и сфере. Указано существование каскада бифуркаций удвоения периода в данной задаче.

13) Получены новые периодические решения в задаче о движении трех и четырех точечных вихрей на плоскости. Для случая трех вихрей система сводится к гамильтоновой системе с одной степенью свободы и является интегрируемой. Для случая четырех вихрей возможно понижение порядка до двух степеней свободы, и система уже не является интегрируемой. Для обеих задач указаны относительные и абсолютные хореографии, соответствующие периодическим движениям вихрей в некоторой вращающейся или неподвижной системе координат. При этом вихри движутся по одной и той же замкнутой кривой.

14) Предложена новая модель точечного вихря на сфере — антиподального вихря, представляющего собой систему вихрь+антипод, имеющих равные по величине, но противоположные по знаку интенсивности. Показано, что система п антиподальных вихрей допускает редукцию на две степени свободы. Рассмотрены случаи двух и трех антиподальных вихрей, проведен их численный анализ. Обсуждаются томсоновские, коллинеарные и равнобедренные конфигурации антиподальных вихрей, построены бифуркационные диаграммы для этих случаев.

1. Анисимов С.И., Лысиков Ю.И., О расширении газового облака в вакуум, Прикл. мат. мех., т. 34, 1970, с. 926-929.

2. АппельП. Теоретическая механика. В 2-х т., М. Физматгиз, 1960. Пер. с англ. Appell P. Traité de mécanique rationnelle. Paris, Gauthier-Villars.

3. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: РХД, 2002.

4. Арнольд В. И, Козлов В. В, НейштадтА. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Т. 3. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985.

5. Архангельский Ю. А. Динамика быстровращающегося твердого тела II М.: Наука, 1985.

6. Астапов И. С. Об устойчивости вращения кельтского камня, Вестн. МГУ мат.мех., 1980, №2, с.97-100.

7. АфонинА. А., Козлов В. В. Задача о падении диска, движущегося по горизонтальной плоскости. Изв. РАН, Мех. тв. тела, 1997, № 1, с. 7-13.

8. Баркин Ю. В. Периодические и условно-периодические решения в задаче о двилсении тяэ/селого твердого тела вокруг неподвижной точки II Прикл. Мат. Мех., 1981, т. 45, №3, с. 535-544.

9. Богомолов, В. А., О двумерной гидродинамике на сфере, Физика атмосферы и океана, 1979, т. 15, № 1, сс. 29-35.

10. Богомолов В. А. Динамика завихренности на сфере II Изв. АН. СССР. Мех. жид. и газа, 1977, №6, с. 57-65.

11. БорисовА. В., Емельянов К. В. Неинтегрируемость и стохас¡личность в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во Удм. ун-та, 1995.

12. Современные проблемы хаоса и нелинейности (сб. статей под ред. А. В. Борисова, А. А. Килина), ИКИ, 2002.

13. Борисов А. В., Килин A.A., Мамаев И. С. Абсолютные и относительные хореографии в динамике твердого тела II Нелинейная Динамика, 2005, т. 1,№1,с. 123-141.

14. Борисов, A.B., Килин, A.A., Мамаев, И. С., Редукция и хаотическое поведение точечных вихрей на плоскости и сфере, Нелинейная динамика, 2005, т. 1, № 2, сс. 233-246.

15. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. Москва Ижевск, ИКИ, 2005, 576 с.

16. Борисов А. В., Мамаев И. С. Качение твердого тела по плоскости и сфере. Иерархия динамики. Per. & хаот. динамика, в печати.

17. Борисов, A.B., Мамаев, И. С., Математические методы динамики вихревых структур, Москва-Ижевск: ИКИ, 2005, 368 с.

18. Борисов A.B., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в га-милътоиовой механике. Ижевск: Изд.-во РХД, 1999, 464 с.

19. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 296 стр.

20. Борисов A.B., Мамаев И. С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней, УФН., т. 173, №4, с.407-418

21. Классическая динамика в неевклидовых пространствах. Сборник статей под ред. А. В. Борисова, И. С. Мамаева. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 348 стр.

22. Борисов A.B., Мамаев И.С., Килин A.A. Новый интеграл в задаче о качении шара по произвольному эллипсоиду II Доклады РАН, 2002, т. 385, №3, с. 338-341.

23. Борисов A.B., Мамаев И. С., Килин A.A. Абсолютные и относительные хореографии в задаче о двилсении точечных вихрей на плоскости. ДАН, в печати.

24. Борисов А. В., Симаков Н. Н. Бифуркации удвоения периода в динамике твердого тела // Per. и хаот. динам., 1997, т. 2, №1, с. 64-75.

25. Буров А. А. Об ограниченной постановке задачи о двиэюении тяжелого твердого тела II ПММ, 2004, т. 68, вып. 6, с. 958-963.

26. Бычков Ю. П. О катании твердого тела по неподвижной поверхности. ПММ, 1965, т. 29, вып. 3, с. 573-583.

27. Воронец П. В. Преобразования уравнений динамики с помощью линейных интегралов (с приложением к задаче о трех телах), Киев, Университет Св. Владимира, 1906, 180 с.

28. Гальперин Г.А., О понятии центра масс системы материальных точек в простанствах постоянной кривизны, ДАН, 1987, с. 1039-1044

29. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР, 1959, 386 стр. Пер. с нем.: Hertz Н. Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. Ges. Werke, Bd. 3, Leipzig, Barth., 1910, 3129.

30. Глухих Ю. Д., Тхай В. Н., Шеваллье Д. П. Об устойчивости перманентных вращений тяжелого однородного эллипсоида на абсолютно шероховатой плоскости. Задачи устойчивости и стабилизации движения. Ч. 1. М.: ВЦ РАН, 2000, с. 87-104.

31. Горр Г. В. Об одном движении тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина // Прикл. мат. мех., 1970, т. 34, вып. 6, с. 1139-1143.

32. Горр Г. В., Кудряшова JI. В., Степанова JI. А. Классические задачи динамики твердого тела // Киев: Наукова думка, 1978, 296 с.

33. Горр Г. В., Левицкая Г. Д. Об одном периодическом двиэ/сении гироскопа Горячева-Чаплыгина II Мех. тв. тела, 1971, №3, с. 101-106.

34. Горр Г. В., Савченко А. Я. Об одном периодическом движении в решении С. В. Ковалевской II Мех. тв. тела, 1971, №3, с. 64-69.

35. Горячев Д. Н. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей. Москва, Унив. тип. 1898.

36. Грановский Я. И., Жеданов A.C., Луценко И. М. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. I. Осциллятор. II. Проблема Кеплера. Тсор. и мат. физ., 1992, т. 91, №2; 3, с. 207-216; 396-410.

37. Громека, И. С., О вихревых движениях жидкости на сфере, Собрание протоколов заседания секции физ.-мат. общества естествоиспытателей при Казанском университете, в кн. Громека, И. С., Собр. соч., М.: АН СССР, 1952.

38. Довбыш С. А. Численное исследование двух задач механики: трансвер-салъное пересечение сепаратрис колмогоровская устойчивость. В кн. Численный анализ, математическое моделирование и их применение в механике // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

39. Делоне Н. Б. К вопросу о геометрическом истолковании интегралов двиэ/сения твердого тела около неподвиэ/сной точки, данных С. В. Ковалевской II Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1892, т. 16, вып. 2, с. 346-351.

40. Жуковский Н.Е., О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы. Полн.собр.соч., т.1, ГТТИ, 1937, с. 490-535

41. Зигель К., Мозер Ю. Лекции о гамилыпоновых системах. В кн. Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. Ижевск: НИЦ РХД, 2001, с. 141-198. Пер. с англ. J. К. Moser Lectures on Hamiltonian Systems. Mem. Amer. Math. Soc., 1968, v. 81, pp. 1-60.

42. Зиглин С. Jl. О неишпегрируемости ограниченной задачи двух тел на сфере. Доклады РАН, 2001, т. 379, №4, с. 477-478.

43. Зиглин С. Л. Неинтегрируемость задачи о двиэюение четырех точечных вихрей II ДАН СССР, 1979, т. 250, №6, с. 1296-1300.

44. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М., «Эдиториал УРРС», 1998, 168 с.

45. Кирхгоф, Г., Механика. Лекции по математической физике, М.: АН СССР, 1962. Пер. с нем. Kirchhoff, G., Vorlesungen über mathematische Physik, Leipzig: Mechanik, 1874.

46. Козлов B.B. Интегрируемость и иеиитегрируемость в гамилътоновой механике // Успехи мат. наук, 1983, т. 38, № 1, с. 3-67.

47. Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики, Успехи механики, 1985, т.8, №5, с.85-107

48. Козлов В. В. Лиувилевость инвариантных мер вполне интегрируемых систем и уравнение Монжа—Ампера. Мат. заметки, 1993, т. 53, № 4, с. 4552.

49. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, 256 с.

50. Козлов В. В. О движении диска по наклонной плоскости. ПММ, 1996,5. Г

51. Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1994, №2, с. 28-35.

52. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамилътоновой динамике // Ижевск: Изд-во УдГУ, 1995, 432 с.

53. В.В. Козлов, H.H. Колесников, Об интегрируемости гамильтоновых систем, Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика, 1979, вып. 6. с. 88-91.

54. Козлов В.В., Колесников H.H. О теоремах динамики. ПММ, 1978, т. 42, вып. 1, с. 28-33.

55. Козлов В. В., Трещев Д. В. Неинтегрируемостъ общей задачи о вращении динамически симметричного тяэ/селого твердого тела с неподвиэ/сной точкой IIП Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех., 1986, № 1, с. 39-44.

56. Козлов В.В., Федоров Ю.Н., Интегрируемые системы на сфере с потенциалами упругого взаимодействия, Матем. заметки. Т. 56, вып. 3, 1994. с. 74-79

57. Колесникове.Н. Некоторые задачи механики о качении твердых тел. Дисс. на соискание уч. ст. к. ф.-м.н. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 1988. 88 с.

58. Колесников С. Н. О качении диска по горизонтальной плоскости. Вестник МГУ. Мат. мех., 1985, №2, с. 55-60.

59. Кузьмин П. А. Дополнение к случаю В. А. Стеклова движения тя.желого твердого тела вокруг неподвижной точки // Прикл. мат. мех., 1952, т. 16, №3, с. 243-245.

60. Кулешов А. С. О стационарных качениях диска по шероховатой плоскости. ПММ, 2001, т. 65, вып. 1, с. 173-175.

61. Магнус К. Гироскоп: теория и применение. М.: Мир, 1974, 526 с.

62. Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела // M.-JL: Изд-во ин. литер., 1951, 468 с. Пер. с англ.: Macmillan W. D. Dynamics of rigid bodies 11 N. Y. London, 1936.

63. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966, 532 стр.

64. Маринбах М. А. О ляпуновских периодических движениях тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой // Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1979, №5, с. 75-79.

65. Маринбах М. А. О ляпуновских периодических движениях тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в общем случае II Прикл. мат. мех., 1981, вып. 5, с. 800-807.

66. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992, 336 с.

67. Матвеев М. В. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия обратимых систем II Мат. заметки, 1995, т. 57, вып. 1, с. 90-104.

68. Мелешко В. В., Константинов М. Ю. Динамика вихревых структур. Киев, Наукова думка. 1993.

69. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.

70. Мощук Н. К. Качественный анализ движения тяэюелого тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости. ПММ, 1988, т. 52, вып. 2, с. 203210.

71. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967, 519 с.

72. Нейштадт А. И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису // Физика плазмы, 1986, т. 12, вып. 8., с. 992.

73. Новиков С. П. Гамилътонов формализм и многозначный аналог теории Морса II Усп. мат. наук, 1982, т. 37, №5 (227), с. 3-49.

74. A.M. Переломов, Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли, М.: Наука, 1990. Engl. transí: A. Perelomov, Integrable Systems of Classical Mechanics and Lie Algebras, Basel: Birkháser Verlag, 1990.

75. Е.М.Полищук. Софус Ли. Л.: Наука, 1983. - 214 с.

76. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн. Избранные труды, т. 1, М.: Наука, 1971. Пер. с франц.: Poincaré Н. Le méthodes nouvelles de la mécanique celesta. Paris, Gauthier-Villars, 1892.

77. Раус Э. Динамика системы твердых тел. т. II, М., 1983. Перевод с англ. RouthE. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Dover Publications, New York.

78. С. Т. Садэтов, О регулярной редукции n-мерной задачи N + 1 тел к уравнениям Эйлера Пуанкаре на алгебре Ли sp(2N),

79. Сергеев B.C. О периодических решениях уравнений двиэ/сения тяжелого твердого тела вокруг неподвиэ/сной точки // Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1969, №1, с. 40-51.

80. Ю.Д.Соколов, Особые траектории системы свободных материальных точек, Киев, Изд-во АН УССР, 1951

81. Стеклов В. А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тяэ/селого твердого тела, имеющего неподвиэ/сную точку // Труды отд. физ. наук Общ-ва любителей естествознания, 1899, т. 10, № 1, с. 1-3.

82. Трещев Д. В. Введение в теорию возмущений гамилътоновых систем II М.: ФАЗИС, 1998, 184 с.

83. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики II М.: Наука, 1967.

84. Федоров Ю. Н. О качении диска по абсолютно шероховатой плоскости. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1987, №4, с. 67-75.

85. Харламов М. П., Сергеев Е. К. Построение полного решения одной задачи динамики твердого тела II Мех. тв. тела, Киев, 1982, вып. 14, с. 33-38.

86. Цыганов A.B., Об одной интегрируемой системе, связанной с шаровым волчком и цепочкой Тоды. ТМФ, 2000, т. 124, с. 310-322.

87. Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о вращении тяэюелого твердого тела вокруг неподвижной точки, в Собр. соч., т. 1 // M.-JL: ГИТТЛ, 1948, с. 125-132. (Изд. 1-е: Труды отд. физ. наук Общ-ва любителей естествознания, 1904, т. 12, № 1, с. 1-4.)

88. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости. Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии, 1897, т. 9, вып. 1, с. 10-16.

89. Чаплыгин С. А. О параболоидном маятнике. Собр. соч., т. 1, 1948, с. 102— 109.

90. Шарлье К. Л. Небесная механика И М.: Наука, 1966, 627 с.

91. Ярощук В. А. Новые случаи существования интегрального инварианта в задаче о качении твердого тела без проскальзывания по неподвижной поверхности II Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1992, Н. 6, с. 26-30.

92. M.Agrotis, P.A.Damianou, C.Sophocleous, The Toda lattices is super-integrable, arXiv:math-ph/0507051vl 20 Jul 2005. 8 p.

93. A. Albouy, A. Chenciner, Le probPeme des n corps et les distances mutuelles, Invent. Math. 1998, v. 131, p. 151-184.

94. Appel P. Sur l'intégration des équations du mouvement d'un corps pesant de rédolution roulant par une arête circulaire sur up plan horizontal; cas parficulier du cerceau. Rendiconti del circolo matemático di Palermo, 1900, v. 14, p. 1-6.

95. Aref H., Pomphrey N. Integrable and chaotic motions of four vortices. I. The case of identical vortices // Proc. R. Soc. London, 1982, V. 380 A, p. 359-387.

96. Avan J. Billey E., Observable Algebras for the Rational and Trigonometric Euler-Calogero-Moser Models, arXiv:hep-th/9404040v2 26 Apr 1994

97. Bagrets A. A., Bagrets D.A. Nonintegrability of two problems in vortex dynamics II Chaos, 1997, V. 7, №3, p. 368-375.

98. T. Banachiewitz, Sur un cas particulier du problème des n corps, C.r. Acad. Sci. Paris, 1906, t. 142, p. 510-512

99. S.Benenti, C.Chanu, G.Rastelli, The super-separability of the three-body inverse-square Calogero system, J. Math. Phys., vol. 41, 2000 , pp. 46544678.

100. A. Bilimowitch, Einige particulâre Lôsungendes Problems der n Kôrper, Astr. Nach., Bd. 189, 1911, pp. 181-186.

101. Billey E., Avan J., Babelon O., The r-matrix structure of the Euler-Calogero-Moser model, arXiv:hep-th/9312042vl 6 Dec 1993

102. Billey E., Avan J., Babelon O., Exact Yangian Symmetry in the classical Euler-Calogero-Moser Model, arXiv:hep-th/9401117vl 24 Jan 1994

103. Boatto S., Laskar J. Point vortex cluster formation in the plane and on the plane and on the sphere. An energy bifurcation condition II Chaos, 2003, V. 13, №3, p. 824-835.

104. A.V. Bolsinov, A.V. Borisov, I.S. Mamaev, Lie algebras in vortex dynamics and celestial mechanics IV, Regul. Chaotic Dyn., 1999, vol. 4, no. 1, pp. 2350.

105. Bolsinov, A. V., Borisov, A. V., Mamaev, I. S., Lie algebras in vortex dynamics and celestial mechanics —IV, Reg. & Chaot. Dyn., 1999, vol. 4, no. 1, pp. 23-50.

106. Borisov A. V., Dudoladov S. L. Kovalevskaya Exponents and Poisson Structures II Reg. & Chaot. Dyn., 1999, V.4, №3, p. 13-20.

107. Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Absolute and relative choreographies in the problem of point vortices moving on a plane. Reg. and Chaot. Dyn., 2004, v. 9, N. 2, pp. 101-111.

108. Borisov A. V., Mamaev I. S. Euler-Poisson equations and integrable cases II Reg. & Chaot. Dyn., 2001, V. 6, №3, p. 253-274.

109. A.V. Borisov, l.S. Mamaev Generalized problem of two and four Newtonian centers Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2005, Vol. 92, No 4, p. 371-380

110. A.V Borisov, l.S. Mamaev The restricted two-body problem in constant curvature spaces Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2006, Vol. 96, No. l,pp. 1-17

111. Borisov A. V., Mamaev I. S. The rolling of rigid body on a plane and sphere. Hierarchy of dynamic. Regular and Chaotic Dynamics, 2002, v. 7, № 1, p. 177— 200.

112. E. Bour, Mémoire sur le problème des trois corps, J. Ecole. Imp. Polytechn., 1856, vol. 21, pp. 35-58.

113. Burdick J., Goodwine B., Ostrowski J. The Rattleback Revisited, preprint.

114. Butcher J.C. Implicit Runge-Kutta Processes, Math. Comput. 1964. Vol. 18. P. 50-64.

115. F. Calogero, Solution of the one-dimensional TV-body problems with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials, J. Mathematical Phys., vol. 12, 1971, pp. 419^436.

116. F. Calogero, C. Marchioro, Exact solution of a one-dimensional three-body scattering problem with two-body and/or three-body inverse-square potentials, J. Mathematical Phys., vol. 15, 1974, pp. 1425-1430.

117. F. Calogero, Exactly solvable one-dimensional many-body problems. Lett. Nuovo Cimento, 1975, vol. 13, pp. 411-416

118. F. Calogero, Lett. Nuovo Cimento, 1976, vol. 16, p. 77

119. E. Cartan, Leçons sur les invariants intégraux, Paris: Hermann, 1922, 210 p.

120. Celletti A., Falclini C. A remark on the KAM theorem applied to a four-vortex problem II J. Stat. Phys., 1988, V. 52, p. 471^477.

121. Chenciner A., Montgomery R. A remarkable periodic solution of the three body problem in the case of equal masses II Annals of Mathematics, 2000, V. 152, p. 881-901.

122. N. A. Chernikov, The relativistic Kepler problem in the Lobachevsky space, Acta Physica Polonica B, vol. 24 (1993) 927-950

123. Cushman R., Hermans J., ICemppainen D. The rolling disk. University of Calgary, Preprint, 1995, 51 p.

124. Diacu F., Santoprete M., Nonintegrability and chaos in the anisotropic Manev problem, Phisica D 156 (2001) 39-52

125. Dyson F.J., Dynamics of a Spinning Gas Cloud, J. Math. Mech. Vol. 18, No 1 (1968). pp. 91-101

126. Eckhardt B. integr able four vortex motion // Phys. Fluids, 1988, V. 31, № 10, p. 2796-2801.

127. Eckhardt B., Aref H. Integrable and chaotic motion of four vortices II. Collision dynamics of vortex pairs II Phil. Trans. R. Soc. Lond., 1988, A, V. 326, p. 655-696.

128. Everhart E. Implicit Single Sequence Methods for Integrating Orbits, Cel. Mech. 1974. Vol. 10. P. 35-55

129. Feigenbaum M. J., Greene J.M., MacKay R. S., Vivaldi V. Universal behaviour in families of area-preserving maps II Physica 3D, 1981, p. 468-486.

130. Ferrers N. M. Extension of Lagrange's equations. Quart. J. of pure and applied Mathematics, 1872, v. 12, № 45, p. 1-5.

131. B. Gaffet, Expanding gas clouds of ellipsoidal shape: new exact solutions, J. Fluid Mech., vol. 325, 1996, pp. 113-144.

132. Gaffet B., Spinning gas clouds without vorticity, J. Phys. A: Math. Gen. 33 (2000) 3929-3946

133. Gaffet B., Sprinning gas without vorticity: the two missing integrals J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 2087-2095

134. Gaffet B., Sprinning gas clouds: Liouville integrability J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 2097-2109

135. Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Chaotic motions and transition to stochasticily in the classical problem of the heavy rigid body with a fixed point 11 Nuovo Cimento, 1981, V. 6 IB, №1, p. 1-20.

136. Gellop E. G. On the rise of a Spinning Top. Proc. Cambr. Phylos. Soc., 1904, v. 19, pt. 3, p. 356-373.

137. Gibbons J., Hermsen Th., A generallisation of the Calogero-Moser system, Physica 1 ID, 1984, p.337-348

138. Gogilidze S.A., Khvedelidze A.M., Mladenov D.M., Pavel H.-P., Hamiltonian reduction of SU(2) Dirac-Yang-Mills mechanics, arXiv.hep-th/9707136 vl 15 Jul 1997

139. Gonera C., On the superintegrability of Calogero-Moser-Sutherland model, J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1998) 4465-4472

140. E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, "Solving ordinary differential equations", I. Nonstiff problems , Springer (1987)

141. Hermans J. A symmetric sphere rolling on a surface. Nonlinearity, 1995, v. 8(4), p. 493-515.

142. Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometiy. I. J. Phys. A., 1979, Vol. 12, №3, p. 309-323.

143. Jacobi C. G. J., Sur L'élimination des Noeuds dans le Probleme des Trois Corps, J. Reine Angew. Math., 1843, bd. 26, pp. 115-131.

144. C.G.J. Jacobi, Problema trium corporum mutuis attractionibus cubis distantiarum inverse proportionalibus recta linea se moventium, Gesammelte Werke, Vol. 4, Berlin: Reimer, 1886. S. 531-539.

145. C.G.J. Jacobi, Theoria novi multiplicatoris systemati aequationum differentialium vulgarium applicandi, Gesammelte Werke, Vol. 4, Berlin: Reimer, 1886, S. 319-509.

146. Julliard-Tosel E., Meromorphic Parametric Non-Integrability; the Inverse Square Potential, Arch. Rational Mech. Anal. vol. 152, 2000, pp. 187-205.

147. E.R. van Kampen, A. Wintner, On a Symmetrical Canonical Reduction of the Problem of Three Bodies, Amer. J. Math., vol. 59, no. 1, 1937, pp. 153-166.

148. E.R. van Kampen, A. Wintner, On the Reduction of Dynamical Systems by Means of Parametrized Invariant Relations, Trans. Amer. Math. Soc., 1938, vol. 44, no. 2, pp. 168-195.

149. Khanin K.M. Quasi-periodic motions of vortex systems // Physica D., 1982, V. 4, p. 261-269.

150. Khvedelidze A., Mladenov D., Euler-Calogero-Moser system from SU(2) Yang-Mills theory, arXiv:hep-th/9906033v3 20 Mar 2000

151. Kidambi, R., Newton, P. K., Collision of three vortices on a sphere, II Nuovo Cimento, 1999, vol. 22, no. C(6), pp. 779-791.

152. Kidambi R., Newton P. K. Motion of three point vortices on a sphere 11 Physica D, 1998, V. 116, p. 143-175.

153. A.A. Kilin Libration points in spaces S2 and L2 Regular and Chaotic Dynamics, 1999, 4 (1), pp. 91 103

154. H.W.Killing , Die Mechanik in den Nicht-Euklidischen Raumformen, J. Reine Angew. Math. 1885. Bd. XCVIII, H. 1. S. 1-48

155. Korteweg D. Extrait d'une lettre ä M.Appel. Rendiconti del circolo matematico di Palermo, 1900, v. 14, p. 7-8.

156. V.V. Kozlov, Lagrange's Identity and Its Generalizations, Regul. Chaotic Dyn., 2008, vol. 13, no. 2, pp. 71-80.

157. Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler's problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393-399.

158. Krichever I., Babelon O., Billey E., Talon M., Spin generalization of the Calogero-Moser system and the Matrix KP equation, arXiv:hep-th/9411160vl 22 Nov 1994

159. Leimanis E. The general problem of the motion of coupled rigid bodies about a fixed point H Springer-Verlag, Berlin, 1965.

160. Levi D., Wojciechowski S., On the Olshanetsky-Perelomov many-body system in an external field Phys. Lett., vol. ЮЗА, no. 1-2, 1984, pp. 11-14.

161. S. Lie, Begründung einer Invarianten Theorie der BerührungsTransformationen, Math. Ann., 1874, vol. 8, no. 2, pp. 215-303.

162. Liebmann H. Uber die Zantalbewegung in der nichteuklidiche Geometrie. Leipzig Ber, 1903, Vol. 55, p. 146-153.

163. Lim С. C. A combinatorial perturbation method and Arnold's wiskered tori in vortex dynamics II Physica D, 1993, V. 64, p. 163-184.

164. Lim С. С. Graph theory and special class of symplectic transformations: the generalized Jacobi variables 11 J. Math. Phys., 1991, V. 32, № 1, p. 1-7.

165. W. R. Longley, Some particular solutions in the problem of n bodies, Bull. American Mathem. Society, s. 2, v. 13, 1906, pp. 324-335.

166. Luen-Chau Li, Ping Xu, Spin Calogero-Moser systems associated with simple Lie algebras, arXiv:math/0009180vl math.SG] 19 Sep 2000

167. MacKay R. S. Renormalisation in area-preserving maps II World Scientific, 1993, 324 p.

168. Mamaev I. S. New cases when the invariant measure and first integrals exist in the problem of a body rolling on a surface // Reg. & Chaot. Dyn., 2003, Vol.8, №3, p. 331-335.

169. Mamaev I. S., Chernoivan V. A. The restricted two-body problem and the Kepler problem in the constant curvature spaces. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, V. 4, №2, P. 112-124.

170. Marsden J.E., Ratiu T.S., Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems, Springer-Verlag, 1994

171. Matveyev M. V. Reversible systems with first integrals II Physica D, 1998, V. 112, p. 148-157.

172. Merson R. H., An operational method for the study of integration processes, Proc. Symp. Data Processing , Weapons Res. Establ. Salisbury , Salisbury (1957) pp. 110-125

173. Mettler E. Periodische und asymptotische Bewegungen des unsymmetrischen schweren Kreisels II Math. Z, 1937, Bd. 43, H. 1, S. 59-100.

174. J. Moser, Geometry of quadrics and spectral theory, The Chern Symposium 1979 (Proc. Internal Sympos., Berkeley, Calif, 1979), Springer, New York-Berlin, 1980, pp. 147-188.

175. Newton, P. K., The N-Vortex problem. Analytical Techniques, Springer, 2001.

176. Noeter F. Über rollende Bewegung einer Kugel auf Rotationsfläche. Leipzig, Teubner, 1909, 56 S.

177. Olshanetsky, M. A., Perelomov, A. M., Explicit solution of the Calogero model in the classical case and geodesic flows on symmetric spaces of zero curvature. Lett. Nuovo Cimento (2) 16 (1976), no. 11, 333-339.

178. Olshanetsky, M. A., Perelomov, A. M., Completely integrable hamiltonian systems connected with semisimple Lie algebras. Invent.Math., 1976, 37, p. 93-109

179. O'Reilly O. M. The Dynamics of rolling disks and sliding disks. Nonlinear Dynamics, 1996, v. 10, p. 287-305.

180. Parker T. S., Chua L. O. Practical numerical algorithms for chaotic systems // New York: Springer-Verlag, 1989.

181. A.M.Perelomov, The simple relation between certai dynamical systems, Comm.Math.Phys., 1978, 63, p.9-11

182. Radau R., Sur une Transformation des équations différentielles de la dynamique, Ann. Sei. E.N.S., 1868, ser. 1, t. 5, pp. 311-375.

183. M. F. Ranada, Superintegrability of the Calogero-Moser system: Constants of motion, master symmetries and time-dependent symmetries, J. Math. Phys. 40, 236-247 (1999).

184. Rimmer R. Generic bifurcations from fixed points of involutoiy area preserving maps // Diff. Equations, 1978, V. 29, p. 329, n P. Math. Res. Paper, La Trobe U., Melbourne, 1979, V. 79, №. 7.

185. E. Rosochatius, Über die Bewegung eines Punktes (Inaugural Dissertation, Univ. Göttingen), Gebr. Unger, Berlin, 1877.

186. D. G. Saari, Collisions, Rings, and other Newtonian N-body Problems, AMS, 2005

187. Serret P. Théorie nouvelle géométrique et mécanique des lignes a double courbure. Paris, Librave de Mallet-Bachelier, 1860, p. 204.

188. Shchepetilov A. V. Reduction of the two-body problern with central interaction on simply connected spaces of constant sectional curvature. J. Phys., A, 1998, p. 6279-6291.

189. G. H. Shortley, The inverse-cube central force field in quantum mechanics, Phys. Rev., vol. 38 (July 1931). pp. 120-127

190. Simo C. Invariant curves of perturbations of поп twist integrable area preserving maps II Reg. & Chaot. Dyn., 1998, V. 3, p. 180-195.

191. Slesser G. М. Notes on rigid dynamics. Quart. J. of mathematics, 1861, v. 4, p. 65-77.

192. R. Smirnov, P. Winternitz, A class of superintegrable systems of Calogero type, J. Math. Phys. vol. 47, 2006, 093505, 8 pp.

193. R. Smimov, P. Winternitz, Erratum: "A class of superintegrable systems of Calogero type"J. Math. Phys. 47, 093505 (2006)] >, Journal of Mathematical Physics, 48:7 (July 2007), 079902, 1 page

194. Staude О. Über permanente Rotationaxen bei der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt II J. Reine und Andew. Math, 1894, Bd. 113, H. 4, S. 318-334.

195. A. Stubhaug, The Mathematician Sophus Lie, Springer, 2002, 555 p.

196. Thomson J. J. The Corpuscular Theory of Metier. London and Tonbridge. 1907.

197. A. V. Tsiganov, On Maximally Superintegrable Systems, Regul. Chaotic Dyn., 2008, 13 (3), pp. 178-190.

198. Wiggins S. Chaotic transport in dynamical systems II NY, Springer, 1992.

199. A. Wintner, Galilei Group and Law of Gravitation, Amer. J. Math., 1938, vol. 60, no. 2, pp. 473^476.

200. Wojciechowski S., Involutive Set of Integrals for Completely Integrable Many-Body Problems with Pair Interaction Lett. Nuovo Cimento, vol. 18, 1977, no. 4, pp. 103-107

201. S. Wojciechowski, Superintegrability of the Calogero-Moser system, Phys. Lett. A, vol. 95, 1983, no. 6, pp. 279-281.

202. Wojciechowski S., An Integrable Marriage of the Euler Equations with the Calogero-Moser System, Phys. Lett. A, 1985, vol. Ill, no. 3, pp. 101-103

203. P. V. Woronetz, Alcuni casi particolaridel moto di un sistema di punti materiali sotto l'asione do forze reciproche, Univ. Izvestia, v. 45, n. lid, 1905, p. 19.

204. Zermelo, E., Hydrodynamische Untersuchungen über die Wirbelbewegung in einer Kügelfläche, Zeitschr. für Math, und Phys., 1902, Bd. 47.