автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений для моделирования водооборотных систем

На правах рукописи

ЧЕРПАКОВ Игорь Владимирович

Разработка комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений для моделирования водооборотных систем

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2005

Работа выполнена в Липецком государственном педагогическом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Блюмин Семен Львович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Леденева Татьяна Михайловна

доктор физико-математических наук, профессор Семенов Михаил Евгеньевич

Ведущая организация: Воронежский государственный

архитектурно-строительный университет

Защита диссертации состоится 26 мая 2005 г. в 10 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 при Воронежском государственном техническом университете по адресу: 394026, г.Воронеж, Московский проспект, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета.

Автореферат разослан 22 апреля 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Питолин В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Аппарат нечетких реляционных уравнений (НРУ) в настоящее время используется для моделирования технических, социальных, экономических, экологических и других процессов. К уравнениям подобного типа сводятся многие прикладные задачи, например, управления и диагностики, распознавания образов, сжатия изображений. Возможность использования в качестве исходных данных информации, полученной от экспертов, позволила широко использовать нечеткие уравнения в задачах принятия решений и задачах диагностического характера.

Нечеткие соответствия позволяют в простой и понятной форме представить связь между элементами нечетких множеств, а возможность выбора типа композиции, наиболее точно описывающего систему, обеспечивает гибкость построенной модели. Наиболее часто в качестве композиции нечетких соответствий используются max-Т и min-/ композиции, где Г и I —расширения стандартных логических операций конъюнкции и импликации на единичном отрезке.

Каждое НРУ имеет множество решений, состоящее из одного основания (максимальное решение для max- Т композиции, минимальное для min- I), нескольких ответвлений (минимальные решения для max- T композиции и максимальные для min-I), а также всех решений, находящихся между ними. Основной задачей при решении НРУ является определение полного множества решений: основания и всех ответвлений.

Анализ публикаций, связанных с решением НРУ, свидетельствует о постоянно возрастающем интересе к этой проблеме. На сегодняшний день предложено множество методов и их модификаций для решения нечетких реляционных уравнений: численные, матричные, нейросетевые. Каждый из них имеет свою специфику, позволяет получить определенные элементы множества решений.

Наиболее универсальный метод определяет полное множество решений, но бессилен в большинстве задач с реальными данными: уравнение не удовлетворяет необходимым и достаточным условиям разрешимости. Менее универсальные позволяют обходить это ограничение, но привязаны к определенному типу композиции или позволяют вычислить только отдельные элементы множества решений.

Часть методов использует специальные приемы, позволяющие обходить тупиковые ветки алгоритмов решений. Это сокращает затраты машинного времени при решении, но так и не позволяет для уравнения любого типа получить полное множество решений.

Таким образом, задача определения метода, который позволяет получить наиболее полную информацию о множестве решений НРУ, в настоящее время актуальна и представляет как теоретический, так и практический интерес.

Диссертационная работа соответствует научному направлению Липецкого государственного педагогического университета «Модели и методы искусственного интеллекта».

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка и численное исследование модифицированных нейросетевых методов решения нечетких реляционных уравнений, создание на их основе комбиниро-

ванного метода решения и его использование для моделирования водооборотных систем.

В соответствии с данной целью были поставлены и решены следующие задачи:

— обзор существующих методов решения нечетких реляционных уравнений;

— сравнительное исследование методов решения нечетких реляционных уравнений;

— разработка и численное исследование модифицированных нейросете-

вых методов для определения основания и одного ответвления min- I уравнений на основе нечеткого нейросетевого метода вычисления основания max- T уравнений;

— разработка и программная реализация комбинированного метода ре-

шения нечетких реляционных уравнений, включающего в себя модифицированные методы решения;

— разработка математической модели водооборотной системы на основе комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, теории нечетких множеств и нечеткой логики, нечеткого реляционного исчисления, теории решеток, теории нейронных сетей, численных методов, математической статистики, структурного и модульного программирования; вычислительные эксперименты.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

— метод определения композиции, используемой в нечетком реляционном уравнении, основанный на анализе соответствия между реальными данными и рассчитанными значениями расширенных логических операций, позволяющий повысить уровень адекватности построенной модели;

— модифицированные алгоритмы решения нечетких реляционных уравнений, основанные на нейросетевом методе определения основания уравнения с max- T композицией, отличающиеся возможностью получения основания и ответвления min-/ уравнения и обеспечивающие, в случае неразрешимости исходного уравнения, определение некоторого элемента множества решений;

— комбинированный метод решения нечетких реляционных уравнений с произвольной max-T или min-I композицией, основанный на стандартном, исходном нейросетевом и модифицированных нейросе-тевых методах решения, обеспечивающий получение наиболее полной информации о множестве решений исходного уравнения;

— математическая модель водооборотной системы, использующая ком-

бинированный метод решения нечетких реляционных уравнений и применяемая для расчета параметров подпиточной и циркулирующей воды с целью стабилизации циркулирующей.

Практическая ценность работы. Произведенный анализ и сопоставление методов решения нечетких реляционных уравнений позволяет обоснованно выбрать и использовать в моделях, основанных на аппарате уравнений подобного типа, некоторые методы решения, наиболее адекватные цели моделирования.

2

Разработанная программная оболочка, реализующая комбинированный метод решения может использоваться для практического вычисления элементов решения нечетких реляционных уравнений.

Математическая модель водооборотной системы позволяет снизить затраты предприятия при реализации программ реагентной обработки систем водоснабжения и адаптации свойств реагентов для применения в конкретном технологическом цикле.

Реализация и внедрение результатов работы. Модель водооборотной системы на основе комбинированного метода решения НРУ использована в ЗАО «НИИЭПМ» (г. Липецк) при производстве реагентов для стабилизации водооборотной системы Волжской ТЭЦ-2 (ОАО «Волгоградэнерго»). Используемая наряду со стандартными эмпирическими способами расчета, она позволяет более комплексно исследовать изменение характеристик циркулирующей воды, прогнозировать отклонения значений параметров от допустимых. В конечном итоге, это приводит к увеличению срока эксплуатации теплообменного оборудования и снижению материальных затрат предприятия.

Результаты диссертации нашли отражение в программе спецкурса «Введение в математические методы принятия решений» для студентов специальности 010501 — «Прикладная математика и информатика». Курс читался в течение ряда лет на физико-математическом факультете Липецкого государственного педагогического университета.

Апробация работы. Теоретические и практические результаты, полученные в процессе исследования, докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики и информационных технологий Липецкого государственного педагогического университета (2001-2002); II научно-практической конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Наша общая окружающая среда» (Липецк, 2001); III Международной электронной научной конференции «Новые технологии в образовании» (Воронеж, 2001); межвузовской научно-технической конференции «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2001); X международной научно-методической конференции «Наукоёмкие технологии образования» (Таганрог, 2001); IX Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2002); на семинарах, проводимых Липецким региональным отделением Российской ассоциации искусственного интеллекта (Липецк, 2000-2004).

Публикации. Основные результаты исследования нашли свое отражение в 9 опубликованных в печати научных работах. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит изложение общей теории решений нечетких реляционных уравнений в монографии [1], обзор существующих методов решений и их краткая характеристика в [2], в [3] операции композиций в нечетких уравнениях рассмотрены как расширения булевых операций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 145 страницах, списка литературы из 111 наименований и приложений на 6 страницах, содержит 23 рисунка и 28 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, ее научная новизна, сформулированы цель и задачи диссертационного исследования.

3

В первой главе диссертации рассмотрены основные понятия, используемые в теории нечеткого реляционного исчисления, этапы моделирования проблемных ситуаций применительно к НРУ, дана краткая характеристика пяти основных методов их решения.

Пусть на конечных множествах X = {xl},i = l,n, Y={y^,j=\m И Z = {z,},/ = 11

определены нечеткие соответствия и

S: XxZ ->[0,1]. Обозначим Q, R и S их матричные представления.

Пусть Т(х,у) И 1(х,у) — / -норма и импликатор: расширения стандартных логических операций конъюнкции и импликации на [0,1].

Композицией нечетких соответствий Q®R типа max- T называется нечеткое соответствие S, элементы которого определяются как

Композицией нечетких соответствий Q&R типа min- I называется нечеткое соответствие S, элементы которого определяются как

Нечеткоереляционное уравнение (НРУ) — математическая запись обратной задачи для нечетких соответствий: в композиции определить Q при

известных R, S и ® (правое уравнение) или определить R при известных Q, S и ® (левое уравнение).

В зависимости от вида матриц Q, R и S выделяют следующие типы НРУ:

1. Простейшие — вида 0(x,r) = s ИЛИ 0(q,x) = s, где О — t -норма или импликатор.

2. «Линейные» — композиция двух векторов вида

3. Системы «линейных» уравнений — композиция вектора и матрицы вида

4. Уравнения общего вида — композиция матриц вида X®R = S или

Понятие «линейное уравнение» обычно вводится для стандартных операций сложения и умножения. В данной работе используются нестандартные операции, поэтому слово «линейные» взято в кавычки.

Уравнение X®R = St назовем подчиненным уравнению X®R = S,eСЛИ S^S.

В большинстве случаев НРУ имеет не единственное решение. Пусть X — множество решений нечеткого реляционного уравнения, на котором определено отношение частичного порядка и

— две матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов.

Рис. 1. Структура множества решений нечеткого реляционного уравнения

Наибольшим (наименьшим) элементом X называется такой элемент хтеХ (соответственно, хтт е X), что VxeX имеет место (соответст-

венно

Максимальным (минимальным) элементом X называется такой элемент Хтех £ X (соответственно, JCmin G X ), ЧТО Хшах X (соответственно, не-

возможно ни для какого хеХ.

Основанием НРУ называется наибольшее решение max- Т и левых min-/ уравнений и наименьшее решение правых min- I уравнений.

Множеством ответвлений НРУ называется множество минимальных элементов X для max- T и левых min- I уравнений и множество максимальных элементов X правых min- / уравнений.

Если {X®,Xj,...,X®} — множество ответвлений, то средним решением X

НРУ называется U"^,0 для max-Т и левых min-I уравнений или f"]"^,0 для

правых min- I уравнений.

Все решения располагаются между основанием и ответвлениями, поэтому их определение является основной задачей при решении уравнений.

В общем случае структура множества решений НРУ, если оно существует, имеет вид, изображенный на рис. 1. Условия существования решения определяются известными необходимыми и достаточными условиями разрешимости

На основе анализа публикаций, посвященных НРУ, можно выделить несколько принципиально отличающихся друг от друга методов их решения: основной («классический») метод, метод Г -матриц, «матричного шаблона», метод нечеткого S -правила, метод нечетких нейроопераций.

В табл. 1 приведено соответствие методов решения различным композициям, в табл. 2 указаны возможности всех рассмотренных методов для определения различных элементов множества решений.

Во второй главе производится сравнительный анализ указанных в первой главе методов решения НРУ. Приводятся алгоритмы вычисления основания, ответвлений, среднего решения в зависимости от возможностей конкретного метода

Сравнение производилось по следующим показателям: применимость к различным типам НРУ, возможность определения различных элементов решения, набору рекомендаций, получаемых при анализе решения, по алгоритмической сложности. В дополнение к последнему пункту был проведен численный экспе-

Композиция Метод max-min max- Т, Т = ху max- Т, Т - архимедова max-Т (общий случай) шт-/

Основной метод + + + + +

Метод Г -матриц - + + - -

Метод «матричного шаблона» + + - -

Метод нечеткого ¿-правила + + + + -

Метод нечетких нейроопераций + + + + -

Таблица 1. Решение нечетких реляционных уравнений различными методами

Мепд Решение Основание Ответвления Среднее решение Решение уравнения, подчиненного данному Полное множество решений

Основной метод + + + - +

Мод Г-матриц + + + - +

Метод «мат-

ричного шаб- + + + - +

лона»

Метод, нечет-

кого д- + - - + -

правила

Метод

нечетких + - - + -

нейроопераций

Таблица 2. Элементы множества решений, определяемые различными методами

римент по оценке машинного времени, затрачиваемого на решение НРУ с различным количеством строк и столбцов.

Основные положительные и отрицательные характеристики каждого метода приведены в табл. 3.

Оценка алгоритмической сложности методов определялась по порядку количества вычислений значений расширенных логических операций. Сформулированы и доказаны следующие утверждения для «наихудшего случая», когда каждое составляющее уравнение имеет максимально возможное число ответвлений.

Утверждение 1. Алгоритмическая сложность основного метода определяется алгоритмом формирования ответвлений и имеет порядок

Утверждение 2. Алгоритмическая сложность метода Г -матриц определяется алгоритмом формирования ответвлений и имеет порядок

Утверждение 3. Алгоритмическая сложность метода «матричного шаблона» определяется алгоритмом формирования ответвлений и имеет порядок

Методы решения можно расположить по уменьшению эффективности при вычислении полного множества решений в следующем порядке (см. табл.4): 1) метод Г-матриц; 2) метод «матричного шаблона»; 3) основной метод.

Таблица 3. Характеристика методов решения нечетких реляционных уравнений

Размер искомой матрицы Метод 2x2-4x4 4x5-6x7 7x7-9x10 10x10-13x13

Основной метод 6,2 154,8 759 6330,4

Метод Г-матриц 1 2,2 4,4 13,4

Метод "матричного шаблона" 12 2,6 6,2 16,8

Метод нечеткого 5-правила 1,6 6 24,4 92,4

Метод нечетких нейроопераций 2,2 8 37,2 127

Определяемые элементы решений

Основание, все ответвления, среднее решение

Основание

Таблица 4. Среднее время решения уравнений с различными искомыми матрицами, с

По уменьшению эффективности при вычислении основания методы можно расположить в следующем порядке: 1) метод нечеткого 8 -правила; 2) метод нечетких нейроопераций.

По результатам анализа методов решения сделаны следующие выводы:

— наиболее эффективным, то есть позволяющим получить полное множество решений, но наименее быстрым методом является основной;

—для max-Г уравнений наиболее эффективными являются методы Г-матриц и «матричного шаблона»;

— только для неразрешимых max- T уравнений возможно получить основание подчиненного уравнения;

— для min- I уравнений единственным методом решения является основной;

— нейросетевые методы позволяют получить единственное (граничное) решение, с помощью которых возможно оценить наибольшие (или наименьшие, в зависимости от типа композиции) значения параметров, при которых система остается в определенном состоянии.

В третьей главе приводятся результаты разработки и численного исследования комбинированного метода решения НРУ. Изложен метод выбора композиции, используемой в нечетком реляционном уравнении и адекватной исходным данным, приведены разработанные модифицированные методы определения основания и одного ответвления min- I уравнений, основанные на методе нечеткого 8 -правила, а также основанный на них комбинированный метод решения НРУ. Описан разработанный программный комплекс «Fuzzy Relational Equations» для решения нечетких реляционных уравнений, в состав которого вошла реализация комбинированного метода.

Пусть после предварительной обработки данных (восстановления пробелов, удаления неестественных и ошибочных данных, нормализации) имеются наборы значений параметров полученные от экспертов

или в результате измерений.

Требуется: определить тип композиции ®(max-T или min-I) и конкретную операцию (i-норму или импликатор), адекватные к о м п о з g® feiS^ д е Q, R И S — нечеткие соответствия, составленные из множеств Q, R и S.

Пусть 0(х,у) — /-норма или импликатор. Методика выбора композиции основана на предположении, что значения должны быть близки зна-

чениям t-нормы или импликатора при фиксированном значении с одного из аргументов то есть выполняется неравенство \0{ql,r)-0(q„c)\<y„ для некоторого количества точек из п имеющихся. Были сформулированы и доказаны следующие утверждения.

Утверждение 4. Если для некоторого количества точек п0 < п при заданном выполняются неравенства

имеют место неравенства соответственно для точек, где

Утверждение 5. Если для некоторого количества точек п0<п при заданном ссб[0,1] ВЫПОЛНЯЮТСЯ неравенства T(ql,ri)>T(ql,ctl), I{q„r)>I(qi,c(l), l(ql, rt ) < I(qt, c0 ), то при с, > c0, с, 6 [0,1], имеют место неравенства

\l(q,.r,)-/(<?,, с, )| <\l{q,,rt)~¡(q,,с,)| соответственно для я, из и точек, где и0 <и, <п.

Используя эти утверждения для последовательного изменения значения с. можно выбрать его таким образом, что разность рассчитанных и исходных данных для некоторого количества точек nt не будет превышать некоторого у — допустимой разницы значений.

Если значение с для заданного подобрать не удалось, то выбирается новая или импликатор и процесс повторяется.

Если О и с определены, то из Q, R, S составляются нечеткие соответствия Q, R И S и проверяется работоспособности max- T или min-I композиции Q<8>R = S. Проверка осуществляется аналогично проверке близости значений 0(qt,rt) И 0(9,, с,): если -Qa ® ff^ji у для значительно количества элементов

соответственно, то композиция адекватна исходным данным и может быть использована как композиция нечетких соответствий в нечетком уравнении.

Необходимые и достаточные условия разрешимости НРУ с min-I композицией, аналогичные известным для max-Г уравнений, формулируются в виде следующей теоремы (приводится для левых уравнений).

Теорема 1. Пусть дано уравнение левое НРУ с композицией ® = min-1, тогда

1. Уравнение I(x,r) = s имеет непустое множество решений тогда и только тогда, когда

2. Уравнение (je, х2 ■■■ *„,)®(г1 г2 ■■■ rmf =s имеет непустое множество решений тогда и только тогда, когда

3. Уравнение (х, х2 ■•■ xm)<8R = (sl s2 ■■■ sk) имеет непустое множество решений тогда и только тогда, когда — решение данного уравнения, где — основание уравнения (xi х2 ' ' *я)®(1/ ru r*i)-si- Кроме того, в этом случае G будет основанием.

4. Уравнение X0R = S имеет непустое множество решений тогда и только тогда, когда разрешимы все уравнения

— строки соответствующих матриц.

Приведем доказательство, например, второго пункта теоремы. Пусть (xi° х\ ■■■ — какое-либо решение «линейного» уравнения. Для множества индексов для которых выполняется а значит и

Для остальных индексов таких, что исходя из свойств

импликатора, выполняется

Докажем обратное. Пусть min{r() < s, следовательно, хотя бы одно из уравнений I(x],rj) = s имеет непустое множество решений. Если

то есть

множество решений уравнения непусто.

Модифицированные алгоритмы определения основания и ответвления min- I уравнений основаны на исходном методе нечеткого 5 -правила для вычисления оснований max- T уравнений, как наиболее эффективного с точки зрения обязательного определения основания исходного уравнения (или подчиненного, в случае неразрешимости исходного). Пусть имеется нечеткое min- I уравнение

W®R = S,W = Wmm,R = Rmk (3)

или

Q®W = S,Q=QKm,W = Wmxk. (4)

Утверждение 6. Если в методе нечеткого 8 -правила заменить вычисление

на вычисление импликаторов от тех же аргументов, то его применение к уравнению (3) позволит определить основание (3).

Утверждение 7. Если в алгоритме определения основания для (3) заменить понятие «максимальное решение» на «минимальное», изменить знаки «<» на «>», «П» на «U», то полученный алгоритм позволит определить основание (4).

Утверждение 8. Если в алгоритме определения основания для (4) заменить понятие «минимальное решение» на «максимальное», изменить знаки «>» на то полученный алгоритм позволит определить основание (3).

Приведенные утверждения составляют «принцип двойственности» для НРУ. Они обосновывают применение для левых min- I уравнений алгоритмов, аналогичных используемым для max- Т, а для правых — двойственные им.

Левое min- I уравнение (3) представимо в виде системы W®R° =S'. Используемая для каждого такого уравнения двухслойная нейронная сеть имеет R' в качестве входного слоя и S' в качестве выходного, W =[wi] — матрица весовых коэффициентов.

Используя принцип двойственности, сформулированы и доказаны следующие теоремы и следствия к ним (приведены теоремы для левых min- / НРУ).

Теорема 2. Если уравнение (3) разрешимо, то приведенный ниже алгоритм сводит инициализационную матрицу W к основанию (3).

Модифицированный алгоритм определения основания

1. Инициализация: I = 1 (номер уравнения), t = 0 (номер итерации) и

2. Выбрать ('u'rii>—>rmi)T в качестве входного слоя, в качестве выходного.

3. Вычисление фактических выходов:

Здесь (s,,)' — фактические выходы, вычисляемые для R1 И S', м^ весовые коэффициенты, им соответствующие для уравнения.

4. Настройка весов: пусть тогда % (' + !) = % С) - r)Sv, Ш I(wy ((), ry) > S,,; %(' + !) = ■%(/), eiä-rä,

не будет выполняться

где 71 — шаговый коэффициент, 0 < т/ < 1.

5. Возвращаться к шагу 3, пока

(У«,У)К(' + 1) = %(0)-

6. /:=/+!. Возвращаться к шагу 2, пока / < к, где к — количество уравнений И'® К1 =5'

7. Я'= [>;,] — основание(3).

Следствие. Если уравнение (3) неразрешимо, то приведенный алгоритм сводит W к основанию разрешимого подчиненного уравнения =

Теорема 3. Если уравнение (3) разрешимо, то указанный алгоритм сводит инициализационную матрицу W к ответвлению (3).

Модифицированный алгоритм определения ответвления

1. Инициализация: I = 1 (номер уравнения), ? = 0 (номер итерации) и

2. Выбрать (ГцуГ-и,...,^)7 в качестве входного слоя, -^„¡У в качестве выходного.

3. Вычисление фактических выходов: ('Л')^,)' = тт^Ди^г,,)^.

Здесь — фактические выходы, вычисляемые для Я' И 51', м'^ — весовые коэффициенты, им соответствующие для 1-ГО уравнения.

4. Настройка весов: пусть 8Л = (.5,, )'-,$,,, тогда

П С +:1) = Ч С)'+•'С )> ■гл) < ;

где — шаговый коэффициент,

5. Возвращаться к шагу 3, пока не будет выполняться

6. / :=/ +1. Возвращаться к шагу 2, пока ! < к, где к — количество уравнений

7. ^ = — ответвление (3).

Следствие. Если уравнение (3) неразрешимо, то приведенный алгоритм сводит W к ответвлению разрешимого подчиненного уравнения

Алгоритмы решения правых уравнений двойственны приведенным: начальной матрицей будет W с элементами у/ = 0 при вычислении основания и = 1 для ответвлений. Изменения wy в первом случае будет происходить в сторону увеличения на во втором — в сторону уменьшения на В зависимости от точность результата и затрачиваемое на решение время могут быть различны: чем меньше тем выше точность и тем больше машинного времени потребуется.

Было проведено численное исследование модифицированных алгоритмов — решены тестовые задачи, взятые из источников, посвященных решению НРУ. При достаточно малом шаговом коэффициенте основание полностью совпа-

дало с рассчитанным другими методами. При наблюдалось отклоне-

ние 1 -7% по абсолютному значению. При дальнейшем увеличении г/ несоответствие резко возрастало.

Рис. 2. Общая схема комбинированного метода

При использовании моделей, разработанных с применением нечетких реляционных уравнений, во многих случаях достаточно знать основание и хотя бы одно ответвление. Основной метод, исходный и модифицированные методы нечеткого 3 -Правила позволяют в любом случае определить основание и одно ответвление уравнения (или ему подчиненного, в случае неразрешимости). Поэтому применение указанных методов составляет комбинированный метод решения. Его использование состоит в исследовании НРУ и применении того или иного метода решения (рис.2).

Для реализации комбинированного метода в качестве надстройки системы компьютерной математики МаНаЪ был разработан программный комплекс «РИЕ», включающий программную реализацию основного метода решения, исходного и модифицированных методов нечеткого ¿-правила, а также всех остальных рассмотренных методов. Структура части программного комплекса, реализующей комбинированный метод, представлена на рис.3.

Четвертая глава посвящена применению аппарата НРУ в задачах стабилизации воды (приведение в состояние отсутствия коррозии и солеотложений) в водооборотных системах. Приведена разработанная совместно со специалистами ЗАО «Научно-исследовательский институт экологических проблем в металлургии» (ЗАО НИИЭПМ, г. Липецк) математическая модель водооборотной системы на основе аппарата НРУ, использующая комбинированный метод решения.

На основе построенной модели предложена методика определения значений параметров подпиточной воды, при которых циркулирующая вода остается стабильной, и методика определения значений параметров водооборотной системы. Разработанные методики использовались при подготовке ЗАО НИИЭПМ реагентов для Волжской ТЭЦ-2 (ОАО «Волгоградэнерго»).

Основным показателем качества воды, используемой в производственных процессах, является ее стабильность. Стабильной называется вода, которая не выделяет и не растворяет осадок карбоната кальция. Коррозия и минеральные отложения в водооборотных системах являются главными проблемами, связанными с физико-химическими свойствами воды.

Рис. 3. Структура части программного комплекса «ЕКБ>

Различают стабильность воды по отношению к бетону и металлам. Показатель стабильности J (теоретический индекс Ланжелье) по отношению к бетону рассчитывается как ,/ = рНш - рН;, где — рН исходной воды, рН3 соответствует рН воды, насыщенной карбонатом кальция. Показатель стабильности R (индекс Райзнера) по отношению к металлам вычисляется по эмпирической формуле

воды, насыщенной ионами металлов.

Если R < 6, то вода имеет склонность к образованию минеральных отложений. Если R > 6.5, вода коррозийна. Если 6 < R < 6.5, вода находится в равновесии по отношению к обеим тенденциям. Основные действия по стабилизации водной системы на предприятиях приведены на рис. 4. Количество добавляемых веществ определяется по эмпирическим формулам в соответствии со СНиП.

На параметры воды влияет множество физико-химических факторов, специфические для каждого предприятия особенности местных вод. Воздействие каждого фактора записать в аналитическом виде и учесть не представляется возможным, поэтому для расчета параметров подпиточной и циркулирующей воды был выбран аппарат НРУ, позволяющий выполнять расчеты в условиях неопределенности.

Методика определения параметров подпиточной воды при которых циркулирующая вода остается стабильной приведена ниже. 1. Первичная обработка данных

1.1. Анализ количественных изменений, параметров оборотной воды рН, щелочности, концентрации

12. Расчет статистических характеристик генеральной совокупности значений каждого параметра, исключение нехарактерных точек, восстановление пробелов. 1.3. Нормализация данных.

Рис. 4. Стабилизационная обработка воды

2. Определение типа композиции нечеткого реляционного уравнения

2.1. Составление таблиц значений 1-норм и импликаторов по нормализованным значениям выборки:

2.1.1. Составление таблиц значений каждого параметра для циркулирующей и подпиточной воды.

2.1.2. Сортировка таблиц значений по возрастанию соответствующего параметра подпиточной воды.

2.1.3. Расчет значений /-норм и импликаторов для пары значений (айл>аби) соответствующего параметра; а, а —значение параметра подпиточной воды, адй — значение параметра циркулирующей.

2.2. Построение графиков значений из 2.1.3 и их анализ.

2.3.Выбор наилучшего типа композиции на основе анализа значений п. 2.3.1 или графиков.

2.4. Проверка работоспособности композиции на данных, отличных от выборки.

3. Определение количественных характеристик подпиточной воды

3.1. Составление нечеткого реляционного уравнения вида

х„)®Л = (6, Ь2

Ьт),

где —параметры требуемой компоненты подпиточной воды, А = (а^) — параметры циркулирующей воды (¡-я компонента в г-й день),

— необходимые параметры циркулирующей воды.

3.2.Решение уравнения комбинированным методом.

3.3. Обратное пропорционирование данных.

3.4. Составление рекомендаций на основании полученного множества решений (определяются диапазоны значений параметров подпиточной воды).

Стабильность циркулирующей воды при расчетах определяется значениями которые определяются на основе предыдущих стабильных состояний или рассчитываются с использованием СНиП.

Приведенная методика использовалась для определения параметров разрабатываемых ЗАО НИИЭПМ реагентов, добавляемых в подпиточную воду замкнутой рециркуляционной системы Волжской ТЭЦ-2 (АО «Волгоградэнерго»). ТЭЦ-2 были предоставлены данные о состоянии водооборотной системы за период с 15.12.2002 по 06.08.2003. Показания содержали основные характеристики

Рис. 5. Сравнение различных способов расчета рН воды

циркулирующей воды: мутность, цветность, температуру, рН, щелочность, со-лесодержание, жесткость, концентрацию растворенных веществ (кальция, магния, ионов хлора и др). Также были предоставлены данные о непрерывно добавляемых в оборотную воду реагентах.

Результаты отличались от рассчитанных специалистами ЗАО НИИЭПМ на 3-15%, равновесие в водооборотной системе не смещалось ни в сторону образованию коррозии, ни в сторону образования минеральных отложений. На рис. 5 приведено соответствие между рассчитанными с помощью комбинированного метода решений НРУ, специалистами ЗАО НИИЭПМ на основе СНиП и реальными показателями рН за три дня.

Таким образом, приведенная выше методика позволяет рассчитать параметры подпиточной воды, при которых оборотная вода остается стабильной.

Определяемая в п.2 методики композиция нечетких соответствий использовалась для прогнозирования значений параметров циркулирующей воды на несколько водооборотных циклов вперед. Если (х^х^, — значения некоторого параметра за несколько предыдущих водооборотных циклов, то результат композиции определяет параметры для сле-

дующих водооборотных циклов.

Погрешность в рассчитанных значениях относительно реаль-

ных составила 1 -4%, что показывает адекватность расчетов реальным процессам.

В заключении подведены итоги проделанной работы. Предложены направления дальнейших исследований в области повышения эффективности использования аппарата нечетких реляционных уравнений при моделировании проблемных ситуаций.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Произведен сравнительный анализ существующих методов решения нечетких реляционных уравнений, что обосновало выбор некоторых из них в качестве составляющих комбинированного метода решения.

2. Разработана методика выбора композиции, используемой в НРУ, основанная на анализе соответствия между реальными данными и рассчитанными значениями расширенных логических операций, позволяющая повысить уровень адекватности математических моделей, использующих нечеткие реляционные уравнения.

3. Разработаны алгоритмы решения min-/ уравнений на основе модификации нейросетевого метода определения основания max- T уравнений, позволяющие вычислить основание и одно ответвление min-/ уравнения,

15

доказаны утверждения и теоремы, обосновывающие использование модифицированных методов.

4. Разработан комбинированный метод решения нечетких реляционных уравнений, позволяющий получить наиболее полную информацию о множестве решений уравнения общего вида и осуществлена его программная реализация.

5. Разработана методика определения значений параметров подпиточной воды на основе комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений, обеспечивающая стабилизацию водооборотной системы.

6. Разработана методика определения параметров циркулирующей воды на несколько водооборотных циклов вперед, основанная на аппарате нечеткого реляционного исчисления и позволяющая учитывать влияние физико-химического состава воды на водооборотную систему.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПЕЧАТНЫХ РАБОТАХ

1. Блюмин С. Л., Шуйкова И. А., Сараев П. В., Черпаков И. В. Нечеткая логика: алгебраические основы и приложения: Монография. — Липецк: ЛЭГИ.— 2002. —111с.

2. Оводкова Е. П., Черпаков И. В. Решение полиномиальных уравнений над решёткой //Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве. Труды межвузовской научно-технической конференции. — Воронеж: ВПУ. — 2001. — С. 22-23.

3. Черпаков И. В., Шуйкова И. А. Логические операции нечёткое алгебры как расширение булевых операций // Новые технологии в образовании. Труды Ш международной электронной научной конференции «Новые технологии в образовании». —Воронеж: Воронежский государственный педагогический университет. —2000. — С. 63.

4. Черпаков И. В. Нечеткие реляционные уравнения как способ моделирования процессов окружающей среды //Наша общая окружающая среда. Сборник тезисов докладов П научно-практической конференции молодых учёных, аспирантов и студентов. - Липецк: ЛЭГИ. — 2001. — С. 45.

5. Черпаков И. В. Нечеткие реляционные уравнения и реализация их решений в среде Ма^Ъ //Наукоёмкие технологии образования. Тезисы десятой международной научно-методической конференции. — Таганрог: ТГРУ. — 2001.—

6. Черпаков И. В. Решение нечетких тН уравнений на единичном интервале //Сборник тезисов девятой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». — М.: Прогресс-Традиция. — 2002. — С. 111.

7. Черпаков И. В. Решение нечетких МШ-1 уравнений на единичном интервале //Сборник научных трудов IX международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Часть.2 / Под ред. Г. Ю. Ризниченко. — Москва-Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». — 2002. — С.553-561.

8. Черпаков И. В. Решение нечетких Ы-1 уравнений на единичном интервале //Сборник научных трудов семинара «Методы и модели искусственного интеллекта» — Липецк: ЛГТУ. — 2003. — С.115-130.

9. Черпаков И. В Методы решения нечетких реляционных уравнений //Системы управления и информационные технологии. — Москва-Воронеж: Научная книга.—2004. — №2. — С. 19-23.

С.40-42.

Подписано в печать 15. 04.2005. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 622. Липецкий государственный технический университет 398600 Липецк, ул. Московская, 30.

Of. tâ-05-/3

t* г

/ г -/ Ä ?

916

U ,4 , '„Sjj

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ.

1.1 Расширение стандартных логических операций на единичном отрезке.

1.2 Нечёткие соответствия и их композиции.

1.3 Классификация нечетких реляционных уравнений и их основные свойства.

1.4 Использования нечетких реляционных уравнений для моделирования проблемных ситуаций.

1.5 Основные методы решения нечетких реляционных уравнений .29 Постановка задач диссертационного исследования.

ГЛАВА 2 СРАВНИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1 Основной метод.

2.2 Метод Г-матриц.

2.3 Метод «матричного шаблона».

2.4 Метод нечеткого 5-правила.

2.5 Метод нечетких нейроопераций.

2.6 Результаты сравнительного анализа по количеству затрачиваемого машинного времени.

Выводы.

ГЛАВА 3 РАЗРАБОТКА И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ.

3.1 Метод выбора композиции нечетких соответствий, адекватной проблемной ситуации.

3.2 Комбинированный метод решения нечетких реляционных уравнений.

3.2.1 Модифицированный метод нечеткого ^-правила для определения основания min-/уравнений.

3.2.2 Модифицированный метод нечеткого 8-правила для определения ответвления min-I уравнений.

3.2.3 Примеры решения тестовых нечетких реляционных уравнений модифицированными методами.

3.3 Программная реализация комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений.

3.3.1 Алгоритмизация методов решения.

3.3.2 Структура программного комплекса «Fuzzy Relational Equation» 107 Выводы.

ГЛАВА 4 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВОДООБОРОТНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ АППАРАТА НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ.

4.1 Проблема стабилизации производственных водных систем.

4.1.1 Проблемы коррозии и солеотложения в водооборотных системах.

4.1.2 Методы определения показателя стабильности воды и стабилизационная обработка водных систем.

4.2 Методика расчета параметров подпиточной воды водооборотной системы с целью ее стабилизации.

4.3 Пример использования методики для расчета рН подпиточной воды Волжской ТЭЦ-2 (ОАО «Волгоградэнерго»).

4.4 Методика прогнозирования значений параметров водооборотной системы.

Выводы.

Актуальность темы. Аппарат нечетких реляционных уравнений (НРУ) в настоящее время используется для моделирования технических, социальных, экономических, экологических и других процессов. К уравнениям подобного типа сводятся многие прикладные задачи, например, управления и диагностики, распознавания образов, сжатия изображений. Возможность использования в качестве исходных данных информации, полученной от экспертов, позволила широко использовать нечеткие уравнения в задачах принятия решений и задачах диагностического характера.

Нечеткие соответствия позволяют в простой и понятной форме представить связь между элементами нечетких множеств, а возможность выбора типа композиции, наиболее точно описывающего систему, обеспечивает гибкость построенной модели. Наиболее часто в качестве композиции нечетких соответствий используются max - Т и min- / композиции, где Т и / — расширения стандартных логических операций конъюнкции и импликации на единичном отрезке.

Каждое НРУ имеет множество решений, состоящее из одного основания (максимальное решение для шах-Г композиции, минимальное для min-/), нескольких ответвлений (минимальные решения для max-Г композиции и максимальные для min-/), а также всех решений, находящихся между ними. Основной задачей при решении НРУ является определение полного множества решений: основания и всех ответвлений.

Анализ публикаций, связанных с решением НРУ, свидетельствует о постоянно возрастающем интересе к этой проблеме. На сегодняшний день предложено множество методов и их модификаций для решения нечетких реляционных уравнений: численные, матричные, нейросетевые. Каждый из них имеет свою специфику, позволяет получить определенные элементы множества решений.

Наиболее универсальный метод определяет полное множество решений, но бессилен в большинстве задач с реальными данными: уравнение не удовлетворяет необходимым и достаточным условиям разрешимости. Менее универсальные позволяют обходить это ограничение, но привязаны к определенному типу композиции или позволяют вычислить только отдельные элементы множества решений.

Часть методов использует специальные приемы, позволяющие обходить тупиковые ветки алгоритмов решений. Это сокращает затраты машинного времени при решении, но так и не позволяет для уравнения любого типа получить полное множество решений.

Таким образом, задача определения метода, который позволяет получить наиболее полную информацию о множестве решений НРУ, в настоящее время актуальна и представляет как теоретический, так и практический интерес.

Диссертационная работа соответствует научному направлению Липецкого государственного педагогического университета «Модели и методы искусственного интеллекта».

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка и численное исследование модифицированных нейросетевых методов решения нечетких реляционных уравнений, создание на их основе комбинированного метода решения и его использование для моделирования водообо-ротных систем.

В соответствии с данной целью были поставлены и решены следующие задачи: обзор существующих методов решения нечетких реляционных уравнений; сравнительное исследование методов решения нечетких реляционных уравнений; разработка и численное исследование модифицированных нейросетевых методов для определения основания и одного ответвления min- / уравнений на основе нечеткого нейросетевого метода вычисления основания max- Т уравнений; разработка и программная реализация комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений, включающего в себя модифицированные методы решения; разработка математической модели водооборотной системы на основе комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, теории нечетких множеств и нечеткой логики, нечеткого реляционного исчисления, теории решеток, теории нейронных сетей, численных методов, математической статистики, структурного и модульного программирования; вычислительные эксперименты.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: метод определения композиции, используемой в нечетком реляционном уравнении, основанный на анализе соответствия между реальными данными и рассчитанными значениями расширенных логических операций, позволяющий повысить уровень адекватности построенной модели; модифицированные алгоритмы решения нечетких реляционных уравнений, основанные на нейросетевом методе определения основания уравнения с max-Г композицией, отличающиеся возможностью получения основания и ответвления min-/ уравнения и обеспечивающие, в случае неразрешимости исходного уравнения, определение некоторого элемента множества решений; комбинированный метод решения нечетких реляционных уравнений с произвольной max-Г или min-/ композицией, основанный на стандартном, исходном нейросетевом и модифицированных нейросетевых методах решения, обеспечивающий получение наиболее полной информации о множестве решений исходного уравнения; — математическая модель водооборотной системы, использующая комбинированный метод решения нечетких реляционных уравнений и применяемая для расчета параметров подпиточной и циркулирующей воды с целью стабилизации циркулирующей.

Практическая ценность работы. Произведенный анализ и сопоставление методов решения нечетких реляционных уравнений позволяет обоснованно выбрать и использовать в моделях, основанных на аппарате уравнений подобного типа, некоторые методы решения, наиболее адекватные цели моделирования.

Разработанная программная оболочка, реализующая комбинированный метод решения может использоваться для практического вычисления элементов решения нечетких реляционных уравнений.

Математическая модель водооборотной системы позволяет снизить затраты предприятия при реализации программ реагентной обработки систем водоснабжения и адаптации свойств реагентов для применения в конкретном технологическом цикле.

Реализация и внедрение результатов работы. Модель водооборотной системы на основе комбинированного метода решения НРУ использована в ЗАО «НИИЭПМ» (г. Липецк) при производстве реагентов для стабилизации водооборотной системы Волжской ТЭЦ-2 (ОАО «Волгоградэнерго»). Используемая наряду со стандартными эмпирическими способами расчета, она позволяет более комплексно исследовать изменение характеристик циркулирующей воды, прогнозировать отклонения значений параметров от допустимых. В конечном итоге, это приводит к увеличению срока эксплуатации теплообменного оборудования и снижению материальных затрат предприятия.

Результаты диссертации нашли отражение в программе спецкурса «Введение в математические методы принятия решений» для студентов специальности 010501 —«Прикладная математика и информатика». Курс читался в течение ряда лет на физико-математическом факультете Липецкого государственного педагогического университета.

Апробация работы. Теоретические и практические результаты, полученные в процессе исследования, докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики и информационных технологий Липецкого государственного педагогического университета (2001-2002); II научно-практической конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Наша общая окружающая среда» (Липецк, 2001); III Международной электронной научной конференции «Новые технологии в образовании» (Воронеж, 2001); межвузовской научно-технической конференции «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2001); X международной научно-методической конференции «Наукоёмкие технологии образования» (Таганрог, 2001); IX Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2002); на семинарах, проводимых Липецким региональным отделением Российской ассоциации искусственного интеллекта (Липецк, 2000-2004).

Публикации. Основные результаты исследования нашли свое отражение в 9 опубликованных в печати научных работах. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит изложение общей теории решений нечетких реляционных уравнений в монографии [9], обзор существующих методов решений и их краткая характеристика в [22], в [38] операции композиций в нечетких уравнениях рассмотрены как расширения булевых операций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 145 страницах, списка литературы из 111 наименований и приложений на 6 страницах, содержит 23 рисунка и 28 таблиц.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Произведен сравнительный анализ существующих методов решения нечетких реляционных уравнений, что обосновало выбор некоторых из них в качестве составляющих комбинированного метода решения.

2. Разработана методика выбора композиции, используемой в НРУ, основанная на анализе соответствия между реальными данными и рассчитанными значениями расширенных логических операций, позволяющая повысить уровень адекватности математических моделей, использующих нечеткие реляционные уравнения.

3. Разработаны алгоритмы решения min-/ уравнений на основе модификации нейросетевого метода определения основания max-Г уравнений, позволяющие вычислить основание и одно ответвление min- / уравнения; доказаны утверждения и теоремы, обосновывающие использование модифицированных методов.

4. Разработан комбинированный метод решения нечетких реляционных уравнений, позволяющий получить наиболее полную информацию о множестве решений уравнения общего вида и осуществлена его программная реализация.

5. Разработана методика определения значений параметров подпиточной воды на основе комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений, обеспечивающая стабилизацию водооборотной системы.

6. Разработана методика определения параметров циркулирующей воды на несколько водооборотных циклов вперед, основанная на аппарате нечеткого реляционного исчисления и позволяющая учитывать влияние физико-химического состава воды на водооборот-ную систему.

Возможности исследования методов решения нечетких реляционных уравнений не исчерпаны. Можно выделить следующие направления, по которым могут производиться дальнейшие исследования:

7. разработка итерационных методов для определения решений, находящихся между основанием и ответвлениями;

8. разработка новых методов для решения min-/, в том числе на основе модификации имеющихся методов для решения max-Г уравнений;

9. переход к рассмотрению уравнений с операциями, являющимися 9бобщением t -норм и импликаторов (унинорм и нульнорм).

Заключение

Нечеткие реляционные уравнения, с одной стороны, рассматриваются как специальный класс матричных уравнений, где вместо сложения и умножения используются расширения стандартных логических операций на единичном интервале. С другой стороны, с уравнениями подобного вида тесно связаны многие разделы искусственного интеллекта: нечеткие системы логического вывода, нейросетевые и генетические алгоритмы. Основой эффективного использования данного класса уравнений является возможность варьирования операций, в зависимости от исходных данных и требований, предъявляемых к конечному результату. Еще одна важнейшая черта — получение интервала результатов: максимальных и минимальных параметров, при которых система будет находиться в определенном состоянии.

При моделировании процессов с помощью аппарата нечетких реляционных уравнений наиболее важным моментом является определение типа композиции, то есть используемых операций. Это во многом определяет качество построенной модели.

Множество методов решений нечетких уравнений, каждый из которых имеет собственные достоинства и недостатки, позволяет сделать выбор в пользу того или иного метода с учетом специфики исходных данных.

1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. — М.: Финансы и статистика. — 1985. — 487с.

2. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. — М.: Юнити. — 1998. — 1022 с.

3. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. — Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета. — 2000. — 352 с.

4. Асаи К. и др. Прикладные нечеткие системы: пер. с японского /Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. — М.: Мир, 1993. — 386 с.

5. Берне Ф., Кордонье Ж. Водоочистка. — М: Химия. — 1997.

6. Биркгоф Г. Теория решёток: пер. с англ. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. — 1984. — 568 с.

7. Блюмин С. Л., Шуйкова И.А. Методы принятия решений: учебное пособие. — Липецк: Липецкий государственный педагогический институт. —1999.—104 с.

8. Блюмин С.Л., Шуйкова И.А., Сараев П.В., Черпаков И.В. Нечеткая логика: алгебраические основы и приложения: монография.—Липецк: ЛЭ-ГИ. — 2002. — 111с.

9. Водоснабжение промышленных предприятий: Методические указания к выполнению лабораторных работ /Часть 1. Стабилизация воды.— Вологда: ВоПИ. — 1998. — 28 с.

10. Глова В.И., Аникин И.В., Аджели М.А. Мягкие вычисления (soft computing) и их приложения: учебное пособие /Под ред. В.И. Глова. — Казань: Изд-во КГТУ. — 2000. — 98 с.

11. Дьяконов В. Matlab 6: учебный курс. — СПб.: Питер, 2001. — 592 с.

12. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний.— Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. — 1999. — 270 с.

13. Кофман А., Хил Алуха X. Введене теории нечетких множеств в управлении предприятиями: Пер. с исп. — Мн.: Выш. шк., 1992. — 224 с.

14. Круглов В.В., Дли М.И., Голу нов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. — М.: Физматлит. — 2001. — 224 с.

15. Лихачев Н.И., Ларин, С.А. Хаскин. Канализация населенных мест и промышленных предприятий. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Стройиз-дат. — 1981. — 639 с.

16. Лурье Ю.Ю. Аналитическая химия промышленных сточных вод. — М.: Химия. — 1884. — 447 с.

17. Мелихов А.Н., Баронец В.Д. Проектирование микропроцессорных средств обработки нечёткой информации. — Ростов н /Д: Издательство Ростовского университета. — 1990. — 128 с.

18. Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С .Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. — М.: Наука, Гл.ред. физ.-мат. лит. — 1990. —272 с.

19. Мельников О. В. и др. Общая алгебра /Под общ. ред. Л. А. Скорняко-ва. — М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит. — 1990. — Т. 1,2.

20. Николадзе В.И., Минц Д.М., Кастальский А.А. Подготовка воды для питьевого и промышленного водоснабжения. — М.: Высшая школа.—1984. —560 с.

21. Оводкова Е.П., Черпаков И.В. Решение полиномиальных уравнений над решёткой // Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве. Труды межвузовской научно-технической конференции. — Воронеж: ВГТУ. — 2001. — С. 22-23.

22. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. — М.: Наука. — 1979. — 296 с.

23. Пааль Л.Л., Кару Я.Я., Мельдер Х.А. Справочник по очистке природных и сточных вод. — М.: Высшая школа. — 1994. — 336 с.

24. Пивкин В. Я., Бакулин Е. П., Кореньков Д. И. Нечеткие множества в системах управления / Под ред. Золотухина Ю. Н. http://www.idisys.iae.nsk.su/fuzzybook/content.htm.

25. Сагнаева С.К., Цаленко М.Ш. Системы линейных уравнений с коэффициентами в решётках Ч. 1,2 // НТИ. Сер. 2. — 1992. — № 1.

26. Строительные нормы и правила. СНиП 2.04.02-84. Водоснабжение. Наружные сети и сооружения. — М.: Стройиздат. — 1985. — 134 с.

27. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем. — Мн.: ДизайнПРО. — 1997. — 640 с.

28. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений: научно-практическое издание // Серия «Информатизация России на пороге XXI века». — М.: СИНТЕГ. — 1998. — 376 с.

29. Федоренко В.И. Основные критерии для технологического расчета и эксплуатации мембранных систем водоподготовки //Критические технологии. Мембраны. — 2003. — №17. — С.22-29.

30. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (1). — СПб.: Издательство «Лань», 2001. — 448 с.

31. Черпаков И.В Методы решения нечетких реляционных уравнений // Системы управления и информационные технологии. — Москва-Воронеж: Научная книга. — 2004. — №2. — С. 19-23.

32. Черпаков И.В. Нечеткие реляционные уравнения и реализация их решений в среде MatLab// Наукоёмкие технологии образования. Тезисы десятой международной научно-методической конференции. — Таганрог: ТГРУ. — 2001. — С.40-42.

33. Черпаков И.В. Решение нечетких inf-I уравнений на единичном интервале // Сборник тезисов девятой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». — М.: Прогресс-Традиция. — 2002. — С. 111.

34. Черпаков И.В. Решение нечетких inf-I уравнений на единичном интервале // Сборник научных трудов семинара «Методы и модели искусственного интеллекта». — Липецк: ЛГТУ. — 2003. — С. 115-130.

35. Яковлев С.В., Карелин Я.А., Ласков Ю.М. Водоотведение и очистка сточных вод: учебник для вузов. — М.: Стройиздат. — 1996. — 592 с.

36. Adamopoulos G.I., Pappis С.P. Some Results on the Resolution of Fuzzy Relation Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1993. — №60. — pp.83-88.

37. Agapie A., Giuclea M. Genetic Algorithms For Solving Systems of Fuzzy Relational Equations, in Proc. of 7th International Fuzzy Systems Association World Congress (IFSA'97), Prague, Czech Republic, vol. 2. — 1997. — pp.379-382.

38. Berrached A., Beheshti M., de Korvin A., Alo R. Applying Fuzzy Relation• • th

39. Equations to Threat Analysis. Proceeding of the 35 Hawaii Conference on1. System Sciences. — 2002.

40. Blanco A., Delgado M., Requena I. Solving Fuzzy Relational Equations by Max-min Neural Network, Proc. 3rd IEEE Internet Conf. On Fuzzy Systems, Orlando. — 1994. — pp. 1737-1742.

41. Cechlarova К. Unique Solvability of Max-Min Fuzzy Equations and Strong Regularity of Matrices over Fuzzy Algebra // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. —№75. —pp.165-177.

42. Cheng L., Peng B. The Fuzzy Relation Equation with Union or Intersection Preserving Operator // Fuzzy Sets and Systems. — 1988. — №25. — pp. 191-204.

43. Chung F., Lee T.A. New Look at Solving a System of Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1997. — №99. — pp.343-353.

44. De Baets B. Analitic Solution Methods for Fuzzy Relational Equations // Fundamentals of Fuzzy Sets: Handbooks of Fuzzy Sets Series. — Dordrecht: Kluwer, 2000. — Vol. 1. — Ch. 6. — 50 pp.

45. De Baets B. Idempotent Uninorms // European Journal of Operational Research. — 1999. — № 118. — P. 631-642.

46. Di Nola A., Sessa S. On the Set of Composite Fuzzy Relation Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1983. — №9. — P.275-285.

47. Di Nola A., Pediycz W., Sessa S. Some Theoretical Aspects of Fuzzy Relation Equations Describing Fuzzy System // Inform Sci. —1984. — №34. — P.261-264.

48. Di Nola A., Pedrycz W., Sessa S., Wang, P.Z. Fuzzy Relation Equation under a Class of Triangular Norms: A Survey and New Results // Stochastica. — 1984. —№8. —P. 99-145.

49. Di Nola A. Relational Equations in Totally Ordered Lattices and their Complete Resolution // J. Math. Appl. — 1985. — №107. — P. 148-155.

50. Di Nola A., Sessa S. Pedrycz W., Sanchez E. Fuzzy Relational Equations and their Application in Knowledge Engineering. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. — 1989. — 220 pp.

51. Di Nola A., Pedrycz W., Sessa S., Sanchez E. Fuzzy Relation Equations Theory as a Basis of Fuzzy Modeling: An Overview // Fuzzy Sets and Systems. — 1991. — №40. — P.415-429.

52. Di Nola A. On Solving Relational Equations in Brouwerian Lattices // Fuzzy Sets and Systems. — 1994. — №34. — P.365-376.

53. Gavalec M. Solvability and unique solvability of max-min fuzzy equations // Fuzzy Sets and Systems. —2001. —№124 (3). — 2001. — P. 385-393.

54. Giorgos B. Stamou, Spyros G. Tzafestas. Resolution of composite fuzzy relation equations based on Archimedean triangular norms // Fuzzy Sets and Systems. —2001. — №120 (3). — 3. 395-407.

55. Gottwald S. Approximately Solving Fuzzy Relation Equations: Some Mathematical Results and Some Heuristic Proposals // Fuzzy Sets and Systems. — 1994. —№66. —P. 175-193.

56. Gottwald S. Approximate Solutions of Fuzzy Relational Equations and a Characterization of t-norms that Define Matrices for Fuzzy Sets // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — №75. —P. 189-201.

57. Gottwald S., Perdycz W. On the Methodology of Soliving Fuzzy Relational Equations and its Impact on Fuzzy Modelling, In Fuzzy Logic in Knowledge-Based Systems /М.М. Gupta, T. Yamakawa Edts // Decision and Control. — 1988. —P. 197-210

58. Guo S.Z., Wang P.Z., Di Nola A., Sessa S. Further Contributions to the Study of Finite Fuzzy Relation Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1988. -r-№26. —P. 93-104.

59. Drewniak J. Fuzzy Relation Calculus. — Katowice: Univ. Slaski. — 1989. — 160 pp.

60. Drewniak J. Equations in Classes of Fuzzy Relations // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — №75. — P. 215-228.

61. Dubois D., Prade H. Fuzzy Relation Equations and Causal Reasoning // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — №75. — P. 119-134.

62. Fang S.C., Li G. Solving Fuzzy Relation Equations with a Linear Objective Function // Fuzzy Sets and Systems. — 1999. —№103. —P. 107-113.

63. Higashi M., Klir G.J. Resolution of Finite Fuzzy Relation Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1984. — №13. —P. 65-82.

64. Hirota K., Pedrics W. Data Compression With Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 2002. —№126. —P. 325-335.

65. Hirota К., Pedrics W. Specificity Shift in Solving Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1999. — №106. — P. 211 -220.

66. Imai H., Kikuchi K., Miyakoshi M. Unattainable solutions of a fuzzy relational equation // Fuzzy Sets and Systems. — 1998. — №99. —P. 193-196.

67. Imai H., Miyakoshi M., Da-te T. Some properties of minimal solutions for a fuzzy relation equation // Fuzzy Sets and Systems. — 1997. — №90 (3). — P. 335-340.

68. Janis Fan-Fang Yao, Jing-Shing Yao. Fuzzy Decision Making For Medical Diagnosis Based On Fuzzy Number And Compositional Rule of Inference // Fuzzy Sets And Systems. — 2001. — № 120. — P. 351-366.

69. Jianjun Lu, Shu-Cherng Fang. Solving nonlinear optimization problems with fuzzy relation equation constraints // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — №119(1). —P. 1-20.

70. Jiranut Loetamonphong, Shu-Cherng Fang. Optimization of fuzzy relation equations with max-product composition // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. №18(3).—P. 509-517.

71. Kagei S. Fuzzy Relational Equation with Defuzzification Algorithm for the Largest Solution // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — №123. —P. 119-127.

72. Kandasamy V., Praseetha R. New Fuzzy Relation Equations to Estimate the Peak Hours of the Day for Transport Systems // J. of Bihar Math. Soc. — 2000. —№20.—P. 1-14.

73. Kandasamy V., Smarandache F. Fuzzy Relational Maps And Neutrosophic Relational Maps. — Hexis: Church Rock. — 2004. — 301pp.

74. Kurano M., Yasuda M., Nakagami J., Yoshida Y. A fuzzy relational equation in dynamic fuzzy systems // Fuzzy Sets and Systems. — 1999. — №103. — P. 473-486.

75. Lettieri A., and Liguori F. Characterization of Some Fuzzy Relation Equations Provided with one Solution on a Finite Set // Fuzzy Sets and Systems. — 1984. —№13. —P. 83-94.

76. Li X., Ruan D. Novel Neural Algorithm Based on Fuzzy S-rules for Solving Fuzzy Relation Equations Part I // Fuzzy Sets and Systems. —1997. — №90. — P. 11-23.

77. Li X., Ruan D. Novel Neural Algorithms Based on Fuzzy S-rules for Solving Fuzzy Relation Equations Part II // Fuzzy Sets and Systems. — 1999. — №103. —P. 473-486.

78. Li X., Ruan D. Novel Neural Algorithm Based on Fuzzy S-rules for Solving Fuzzy Relation Equations Part III // Fuzzy Sets and Systems. — 2002. — №109. —P. 355-362.

79. Loetamonphong J., Shu-Cherng Fang. Optimization of Fuzzy Relation Equations With Max-Product Composition // Fuzzy Sets And Systems. — 2001. — № 118. —P. 509-517.

80. Loetamonphong J., Shu-Cherng Fang, Robert E. Young. Multi-objective optimization problems with fuzzy relation equation constraints // Fuzzy Sets and Systems. —2002. — №127 (2). — P. 141-164.

81. Lu J. An Expert System Based on Fuzzy Relation Equations for PCS-1900 Cellular System Models, Proc. South-eastern INFORMS Conference, Myrtle Beach SC. — 1998. /

82. Lu J., Fang S.C. Solving Nonlinear Optimization Problems with Fuzzy Relation Equation Constraints // Fuzzy Sets and Systems. —2001. — №119. — P. 1-20.

83. Luo C.Z. Reachable Solution Set of a Fuzzy Relation Equation // J. of Math. Anal. Appl. — 1984. — №103. — P. 524-532.

84. Luoh L., Wang W.J., Liaw Y.K. New Algorithms for Solving Fuzzy Relation Equations // Mathematics and Computers in Simulation. — 2002. — №59. — P. 329-333.

85. Mary M. Bourke, D. Grant Fisher. Solution Algorithms for Fuzzy Relation Equations With Max-Product Composition // Fuzzy Sets And Systems. —1998. —№94. —P. 61-69.

86. Miyakoshi M., Shimbo M. Solutions of Fuzzy Relational Equations with Triangular Norms // Fuzzy Sets and Systems. — 1985. — №16. — P. 53-63.

87. Miyakoshi M., Shimbo M. Sets of Solution Set Invariant Coefficient Matrices of Simple Fuzzy Relation Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — №21. —P. 59-83.

88. Miyakoshi M., Shimbo M. Sets of Solution Set Equivalent Coefficient Matrices of Fuzzy Relation Equation // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — №35. — P. 357-387.

89. Neundorf D., Bohm R. Solvability criteria for systems of fuzzy relation equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1996. —№80 (3). — P. 345-352.

90. Pedrycz W. Algorithms for solving fuzzy relational equations in a probabilistic setting // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — №38. — P. 313-327.

91. Pedrycz W. Numerical and applicational aspects of fuzzy relational equations //Fuzzy Sets and Systems. — 1983. —№11. —P. 1-18.

92. Pedrycz W. Fuzzy Relational Equations with Generalized Connectives and their Applications // Fuzzy Sets and Systems. — 1983. — №10. — P. 185-201.

93. Pedrycz W. Inverse Problem in Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — №36. — P. 277-291.

94. Pedrycz W. Processing in Relational Structures: Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1991. —№25. — P. 77-106.

95. Pedrycz W. s-t Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1993.—№59. —P. 189-195.

96. Pedrycz W. Genetic Algorithms for Learning in Fuzzy Relational Structures // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. —№69. — P. 37-52.

97. Plavica V., Petrovacki D. About simple fuzy control and fuzzy control based on fuzzy relational equations // Fuzzy Sets And Systems. — 1999. — №101. —P. 41-47.

98. Prevot M. Algorithm for the Solution of Fuzzy Relation // Fuzzy Sets and Systems. — 1976. — №5. — P. 38-48.

99. Sanchez E. Resolution of composite relation equations // Information and Control. — 1976. — №30. — P. 38-48.

100. Sanchez E. Truth-qualification and fuzzy relations in natural languages, application to medical diagnosis // Fuzzy Sets and Systems. — 1996. — №84 (2).1. P. 155-167.

101. Sessa S. Some Results in the Setting of Fuzzy Relation Equation Theory // Fuzzy Sets and Systems. — 1984. — № 14. — P, 217-248.

102. Stamou G.B., Tzafestas S.G. Neural Fuzzy Relational Systems with New Learning Algorithm // Mathematics and Computers in Simulation. — 2000.51.—P. 301-314.

103. Stamou G.B., Tzafestas, S.G. Resolution of Composite Fuzzy Relation Equations based on Archimedean Triangular Norms. // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — №120. — P. 395-407.

104. Wang H.F. An Algorithm for Solving Iterated Complete Relation Equations, Proc. NAFIPS. — 1988. — P. 242-249.

105. Wang X. Method of Solution to Fuzzy Relation Equations in a Complete Brou-werian Lattice // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — №120. — 409-414.

106. Wang X. Infinite Fuzzy Relational Equations on a Complete Brouwerian Lattice // Fuzzy Sets and Systems. — 2003. —№138. — P. 657-666.

107. Zhao C.-K. On Matrix Equations In A Class of Complete And Completely Distributive Lattices // Fuzzy Sets And Systems.— 1987. — № 22. — P. 303-320.