автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и применение методов теоретико-группового подхода для математического моделирования качества воды пресноводных экосистем

УДК 51-76+512.54/.912/.925.54/.677

На правах рукописи

и04б19499

Агейков Владислав Юрьевич

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОГО ПОДХОДА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КАЧЕСТВА ВОДЫ ПРЕСНОВОДНЫХ ЭКОСИСТЕМ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Барнаул • 2010

004619499

Работа выполнена на кафедре прикладной математики в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова".

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Цхай Александр Андреевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических

наук, профессор

Родионов Евгений Дмитриевич;

доктор технических наук, профессор

Зеркаль Сергей Михайлович.

Ведущая организация: Институт водных и экологических

проблем СО РАН, г. Барнаул.

Защита диссертации состоится «22» октября 2010 г. в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 в ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу: 656049, г. Барнаул, пр-т Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного университета по адресу: 656049, г. Барнаул, пр-т Ленина, 61.

Автореферат разослан «21» сентября 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

д. ф.-м. н., профессор С. А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Токсическое и биогенное загрязнение рек, озёр и водохранилищ приводит к их евтрофированию, что заставляет оптимизировать водохозяйственную деятельность предприятий для рационального использования природных ресурсов водных бассейнов. В этой связи становятся актуальными задачи оценки, прогнозирования и управления последствиями антропогенных воздействий на водные объекты, среди которых и вопросы формирования качества воды в реках и озёрах, существующих или будущих водохранилищах. Для лимнологии, гидрологии, гидробиологии и гидрохимии, в условиях отсутствия возможности проведения натурных экспериментов, используется системный подход с применением математических методов и исследованием математических моделей.

Несмотря на доступность современной вычислительной техники, очевидный прогресс в сфере программного обеспечения и производительности расчётов, по-прежнему актуальна проблема эффективных математических методов моделирования. Одним из них является теоретико-групповой подход, изучающий симметрии — фундаментальные свойства любого явления или процесса.

Цель работы

Обоснование и развитие аналитических методов исследования математических моделей качества воды на основе использования теоретико-группового подхода.

Объект исследований

Процесс формирования качества воды в природных системах и водохранилищах.

Предмет исследований

Применение теоретико-группового подхода для создания эффективных средств моделирования качества воды пресноводных экосистем.

Решаемые задачи

1 Переформулирование балансовых моделей качества воды для их исследования средствами теоретико-группового подхода.

2 Поиск и обоснование способов решения дифференциальных уравнений моделей, описывающих процесс формирования качества воды, методами теоретико-группового анализа.

3 Построение групповых операторов на примере модели качества воды пресноводной экосистемы замкнутого водоёма (озера).

4 Разработка способа идентификации моделей качества воды на основе использования теоретико-группового подхода.

Научная новизна работы

1 На основе групповых свойств решений дифференциальных уравнений разработан теоретико-групповой метод идентификации моделей качества воды.

2 Обоснованы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений моделей качества воды путём проверки существования фундаментальной системы решений, а не только через допускаемые и локальные группы.

3 На этапе формулирования моделей качества воды установлена связь с теоремами о редукции задач снижения порядка и выведения из системы части дифференциальных уравнений.

4 Построены групповые операторы для модели типа Лотки-Воль-терры-Гаузе.

Теоретическая и практическая значимость работы

Применение теоретико-группового подхода позволяет с чётко обозначенными целями, строго обосновано и эффективно (в смысле затрат и производительности) вести математическое моделирование качества воды, пользуясь обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Результаты моделирования можно применять для решения задач прогнозирования трофического статуса существующих и проектируемых водных объектов при воздействиях антропогенного или природного характера, а также для уточнения их конкретных параметров, режимов эксплуатации и выбора вариантов развития рассматриваемых регионов.

Аналогичным путём можно использовать теоретико-групповой подход для решения любых других подобных задач естествознания, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

На защиту выносятся

1 Применимость теорем о редукции системы дифференциальных уравнений к некоторым задачам на этапе формулирования математических моделей качества воды.

2 Способ обоснования решений систем дифференциальных уравнений математических моделей качества воды путём проверки существования фундаментальной системы решений в дополнение к методу через допускаемые и локальные группы.

3 Метод идентификации моделей качества воды с помощью представления решений в виде параметрических преобразований и выделения на этой основе наиболее значимых коэффициентов, влияющих определённым образом на поведение решения.

Достоверность результатов

Обеспечивается корректным использованием обоснованных и апробированных теоретико-групповых методов, определений и теорем для простейшего случая — систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Достигается использованием современных средств обработки информации на основе всестороннего анализа литературных источников с примерами, схожими с моделями, представленными в данном исследовании. Подтверждается статистическими критериями Тейла при сравнении натурных данных с результатами расчётов.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на конференциях: "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" (Ростов-на-Дону, 1990), "Математические проблемы экологии" (Новосибирск, 1994), "Региональные проблемы информатизации" (Барнаул, 1995), "Региональное природопользование и экологический мониторинг" (Барнаул, 1996), "Первая краевая конференция по математике, посвященная 25-летию Алтайского госуниверситета" (Барнаул, 1998), "Достижения высшей школы" (София, 2008), "Образование и наука без границ" (Перемышль, 2008), "Актуальные научные достижения" (Прага, 2010); а также на семинарах в АлтГТУ и ИВЭП СО РАН.

Личный вклад автора

Описанное в диссертации исследование было проведено автором самостоятельно: формулирование аналитической модели озера; программирование сформулированных моделей (реки, озера, водохранилища); статистическая обработка натурных данных; численные и символьные (аналитические) расчёты; проверка чувствительности, идентификация и верификация моделей; применение теоретико-группового подхода к этапам математического моделирования и выводы о результатах.

Внедрение результатов работы

Подтверждается справкой об использовании результатов диссертанта в исследованиях Института водных и экологических проблем СО РАН.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, выводов, списка публикаций по теме диссертации, списка литературы, содержащего 86 наименований публикаций и 2 приложений. Работа изложена на 104 страницах машинописного текста, из них текст работы — 91 страница, содержит 23 рисунка и 3 таблицы.

Публикации

По материалам выполненных в диссертации исследований опубликовано 17 печатных работ, перечень которых приведен в конце автореферата, из них 9 статей, в том числе в двух изданиях, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных работ. Основные результаты работы полностью опубликованы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, определяются цель, задачи, предмет и объект исследования, его теоретическая, информационная и методологическая базы, формулируются элементы научной новизны, указывается практическая значимость работы. Приведены основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1 диссертации посвящена обзору и отнесению к типам и классам рассматриваемых далее математических моделей для реки, замкнутого водоёма (озера) и водохранилища. В конце главы производится постановка задачи.

Математическая модель реки — полуэмпирическая, водохранилища — имитационная, озера — аналитическая. Аналитическое, эмпирическое и имитационное направления тесно взаимосвязаны и элементы каждого из направлений есть во всех моделях данной работы.

Используемые далее модели ранее сформулированы в работах О. Ф. Васильева, А. А. Воинова, Ю. А. Домбровского, Е. В. Ерёменко, С. Э. Йоргенсена (S. Е. J0rgensen), А. В. Леонова, В. В. Меншуткина, Б. Хендерсон-Селлерса (В. Henderson-Sellers), А. А. Цхая и др.

В развитие теоретико-группового подхода внесли вклад С. Ли (S. Lie), Н. X. Ибрагимов, А. К. Лопатин, Ю. А. Митропольский, Л. В. Овсянников, П. Олвер (P. J. Olver), Г. Н. Яковенко и др.

В. Б. Георгиевский, Л. М. Недоступ и др. изучали поведение решений уравнений моделей качества воды путём построения функций чувствительности.

Для работы с дифференциальными уравнениями, которыми описываются математические модели, использован алгоритмический язык Pascal и символьная (аналитическая) программа Mathematica.

Работа выполнена на стыке наук: прикладных (изучающих гидробиохимические процессы трансформации веществ в пресноводных экосистемах) и нескольких разделов математики — анализа, алгебры, геометрии и общей теории дифференциальных уравнений.

Данное исследование одновременно сочетает в себе применение уже известных теоретико-групповых методов и разработку на той же основе нового метода идентификации, который может использоваться самостоятельно и в качестве дополнения к методу идентификации через построение функций чувствительности для изучения поведения решения.

Исследования показали, что для отдельных переменных существуют коэффициенты, способные подвинуть кривые (сделать сдвиг) или повлиять на рисунок хода кривой в виде более или менее резкого выделения пиков и спадов (сделать растяжение-сжатие) решения.

Разница этих двух типов изменений объективно отслеживалась по статистическому критерию Тейла. Анализ формул дифференциальных уравнений показал, что сдвигающие коэффициенты связаны аддитивно, а растягивающие-сжимающие связаны мультипликативно с начальным значением расчётной переменной.

Выяснилось, что следует стремиться к трансформации решений дифференциальных уравнений в параметрические преобразования, пусть даже приближённые, через ряды Ли, с ошибками известных порядков.

Эти параметрические преобразования представимы в виде аффинных преобразований, где обобщённые коэффициенты и члены есть функции от модельных коэффициентов, начального и фиксированного значений независимой переменной.

При этом достаточно рассмотреть решение, состоящее из нулевого и первого членов рядов Ли, чтобы выделить минимальный набор наиболее значимых, в смысле влияния на поведение решения, модельных коэффициентов.

Всё это помогло выявить теоретико-групповые закономерности в поведении решения систем дифференциальных уравнений, обосновать прежде сделанную на эмпирическом опыте относительно простую и быструю идентификацию моделей.

Представленный в данном исследовании теоретико-групповой метод идентификации пока не обобщён на случай существенного влияния нелинейной части на поведение решения (и таких моделей не было), но он может быть полезен для нахождения предварительного набора коэффициентов.

Классическое определение математического моделирования в виде этапов было взято за основу структуры изложения данной работы, поскольку оно затрагивает все важные моменты приложения теоретико-группового подхода к решаемым задачам.

С помощью этого подхода помимо идентификации можно (при современном уровне программного обеспечения) исследовать вопрос о решении систем дифференциальных уравнений моделей. Далее выяснилось, что и на этапе формулирования моделей используются теоремы о редукции из классического теоретико-группового анализа конечномерными группами Ли.

В итоге можно утверждать, что теоретико-групповой подход применим практически ко всем этапам математического моделирования. На этой основе сформирована последовательность задач для рассмотренных далее математических моделей:

- формулирование;

- выбор способа и получение решения систем дифференциальных уравнений;

- идентификация.

Из перечисленного, первая задача относится к первому, вторая — ко второму, и третья — к третьему этапу математического моделирования.

Эти этапы ориентированы соответственно, по определению академика А. Н, Тихонова, на: формулирование законов, связывающих основные объекты модели; исследование математических задач, к которым приводит математическое моделирование; согласование результатов наблюдений с теоретическими следствиями моделей в пределах точности наблюдений.

Существует ещё четвёртый этап математического моделирования. Его суть в накоплении натурных данных и модернизации модели. Четвёртый этап переходит в первый и самостоятельно не рассматривается в данном исследовании.

Глава 2 диссертации посвящена задаче формулирования математических моделей качества воды пресноводных экосистем с использованием теоретико-группового подхода.

Пусть X — множество, состоящее из системы обыкновенных дифференциальных уравнений количеством п и порядка р вида:

X =

\йрС,

■У,

<1Р~ХС1 ¿С,.

, С},..., Сп

;г = 1,п ;р > 11.

V. ч / )

где С, — концентрации г-веществ, Т7,- — функции из класса элементарных, 5 — независимая переменная.

Пусть У — множество, состоящее из уравнений вида: ЫС:

= С„..., Ст);

У =

«I.$

/ = 1,т; к = т + \,п\ 0<т<п

где с* — константа интегрирования.

Требуется найти неизвестное отображение <р:Х-> У в рамках этапа формулирования математических моделей. Ставится задача упрощения, а не решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений моделей.

Предполагается, что искомое отображение Ф состоит из двух разных по своему происхождению: Н — математического преобразования (с линейными неоднородными операторами), имеющему предметное обоснование; и — ¿-параметрической группы Ли (с собственными операторами), допускаемой системой дифференциальных уравнений, где 0<г<п-т-

Для математических моделей конкретизируются эти преобразование и группа, и выясняется, как они связаны между собой в итоговом отображении Ф. При этом по теореме Коши в теоретико-групповой интерпретации для этого вида уравнений локальные группы , предполагающие численный расчёт, существуют всегда.

Для первоначальных уравнений моделей были допускаемые группы: существующая (специально проверено)

С(40)

для системы из «=20

дифференциальных уравнений реки (только здесь р=2, откуда п-р=40); существующая (известно по виду уравнений из других исследований)

для системы из и=2 дифференциальных уравнений озера; предпо-

лагаемая (далее известно, что вероятно не существующая) для

системы из п=21 дифференциального уравнения водохранилища.

С помощью преобразования Н новые уравнения приобрели такие свойства, что появились новые группы: существующая (подтверждено далее) (?(20) для реки (т=20); существующая (такова цель изменения коэффициентов — в итоге добавляется ещё один оператор к остающемуся прежнему) для озера (/и=1 или т=2); существующая (из-за введения стехиометрического коэффициента — известно по теоремам редукции) (?(7) для водохранилища (т=14).

Но для рамок этапа формулирования моделей можно воспользоваться группами: (п-т-0) для реки; или (п-т=0 или п-т-1 — требуется проверка первоочерёдности применения операторов) для озера; (и-/я=7) для водохранилища. Оставшиеся группы применяются для получения решения на следующем этапе моделирования.

После этого для модели водохранилища совершён переход к упрощённой версии (с одним гидробионтом вместо четырёх) из системы с т=11 дифференциальных уравнений, что, кроме прикладных целей, облегчает дальнейшее их исследование.

Содержание множеств X и У и задача поиска Ф в совокупности соответствуют теоремам о редукции дифференциальных уравнений, нет лишь вводного предложения о том, что существует замена переменных, приводящая к редукции как порядка р, так и самих уравнений.

Реально теоремы о редукции применяются только в контексте использования групп. Тогда неизвестное отображение Ф для математических моделей можно представить так: ф = Н л — для модели реки снижение порядка только за счёт отбрасывания члена с малым коэффициентом; ф = Н — для модели озера в качестве эксперимента заменены прежние настраиваемые коэффициенты и периоды времени на функции от новых их аналогов для получения полной редукции системы дифференциальных уравнений модели на этапе решения.

Ф^Нлв^ (в упрощённой версии ф = Нлб^) — для модели водохранилища введён стехиометрический коэффициент, через который одни переменные связаны с другими.

В итоге на этом этапе выполняются последовательно два отображения: ф =

В процессе формулирования модели первоначально подвергаются изменениям не из-за каких-то уже существующих особенностей их сис-

тем обыкновенных дифференциальных уравнений, а из-за предметно обоснованных действий, которые выражаются математическими линейными неоднородными операторами.

В результате возникают новые групповые свойства на изменённых дифференциальных уравнениях моделей, которые тоже используются в большей или меньшей мере для продолжения формулирования моделей. Здесь применены теоремы о редукции или произведены изменения с целью их использования на следующем этапе моделирования.

Таким образом, на конечной стадии формулирования, минимально, но результативно использованы теоретико-групповые свойства систем дифференциальных уравнений моделей.

Глава 3 диссертации посвящена использованию методов теоретико-группового подхода для обоснования и получения решений систем дифференциальных уравнений математических моделей качества воды пресноводных экосистем. Для получения решения системы дифференциальных уравнений модели озера построены операторы группы Ли.

Пусть у* с У — множество, состоящее из системы обыкновенных дифференциальных уравнений количеством т вида:

Пусть Ъ — множество, равное одному из трёх подмножеств:

Ъ, = {с, = У —1;

Ъ =

где Ъъ с Ъх; у = 1, т. д т 8

Здесь V =--н V ---ассоциированный с уравнениями из

& у=1 8Cj

множества У* оператор: с° = С). К0'С) = У0 (к0°С °) = У0С} = .

оу дCj

Если Ъ=Ъ\ — это аналитическое решение в виде рядов (здесь — рядов Ли), известное из теоремы Коши о существовании и единственности решения, при определённых условиях малости расчётного шага на

отрезке Лу; если Ъ=Та — это аналитическое решение с не выражающимися в конечном виде интегралами; если — это конечное аналитическое решение.

Требуется найти неизвестное отображение ¥\Ч* -^Ъ в рамках этапа исследования математических задач, к которым приводит математическое моделирование, то есть найти решения и все их виды для систем обыкновенных дифференциальных уравнений моделей.

Из теоремы Коши в теоретико-групповой интерпретации известно, что для системы обыкновенных дифференциальных уравнений из множества У* существует локальная т-параметрическая группа <уМ, представленная операторами V' в подмножестве Ъ\, тогда считается, что

решение из этого подмножества.

Далее следует прояснить вопрос о существовании аналитического решения, что равносильно вопросу о существовании допускаемой т-па-раметрической группы С^, что является сложной задачей.

Такое решение может быть в виде формулы с интегралами, тогда оно будет из подмножества В случае же конечного вида формулы решения — оно будет из подмножества Ъ^.

Выдвигается гипотеза, что большую определённость в вопросе о принадлежности решений к подмножествам из Z даёт проверка на существование фундаментальной системы решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с условием их первого порядка. Для этого производится проверка наличия такого аналитического решения, что задача построения общего решения сводится к нахождению конечного числа частных решений.

Этот вопрос не имеет отношения к допускаемой группе но решается также при помощи теории групп. Известные случаи наличия фундаментальной системы решений приводят к решениям из подмножества но нельзя исключать вариант решения из подмножества — это зависит от функций в правой части уравнений.

Предполагается, что искомое отображение можно представить как «р = (;М V потому что (;(т) существует всегда, и допускается г=0.

Используя теоремы о редукции дифференциальных уравнений следует найти допускаемую группу для г=т, при этом варианты 0<г<т не нужны из-за остающейся тогда необходимости вести численный расчёт, так как иные случаи связи переменных, например через коэффициент, используются на этапе формулирования.

Далее установлено, что для систем уравнений моделей можно использовать существующие локальные и допускаемые группы: и

с(20) для реки, (у(2) и в® для озера и только локальную группу (;00

для упрощённой версии модели водохранилища. При этом для модели озера, путём решения уравнений определяющих группу Ли, построены операторы, необходимые для получения решения системы дифференциальных уравнений.

Для уравнений модели реки получено аналитическое конечное решение — только здесь положительный результат на наличие фундаментальной системы решений; для уравнений модели озера получено аналитическое решение с не выражающимся в конечном виде интегралом (М2), требующим численного расчёта; для уравнений модели водохранилища получено аналитическое решение в виде рядов (здесь — рядов Ли) (Ъ=ЪХ).

Тогда неизвестное отображение соответственно для математических моделей реки, озера и водохранилища выглядит так: у = С^0) V= и = 4X0 вполне соот-

ветствует общему виду у - <уМ V С^-

В итоге, лишь для одной модели выявлен случай отсутствия полного набора условий для существования фундаментальной системы решений при наличии допускаемых групп. Тогда как в случае других моделей только существуют или только отсутствуют фундаментальная система решений и допускаемые группы с условием полного редуцирования системы дифференциальных уравнений.

На этом этапе моделирования использован только теоретико-групповой подход и получены нужные результаты в виде обоснованных решений.

Глава 4 диссертации посвящена разработке и применению способа идентификации моделей качества воды пресноводных экосистем на основе использования теоретико-группового подхода. Пусть Т — множество вида:

т

С1=2>,уСу°+ Р[;

т =

7=1

ст = £аи,.-С,°+р,

У=1

где а,у — коэффициенты, независимые от Су, Р, — аддитивные

члены, того же типа, что и коэффициенты. Множество Т имеет вид формулы аффинного преобразования для гиперплоскости, то же при Р,~0 — имеет вид формулы линейного преобразования.

Утверждается, что множество Z представимо в виде Т, если в решениях С, существует линейная связь с начальными значениями с? и

нелинейные члены могут быть отброшены по результатам заданного критерия.

Для доказательства сформулированного утверждения требуется найти неизвестное отображение 0; Ъ -> Т в рамках этапа согласования результатов наблюдений с теоретическими следствиями моделей в пределах точности наблюдений — применяя символьные (аналитические) вычисления нужно преобразовать все решения из вида Ъ в вид Т.

Решения Ъ, полученные из допускаемых групп или рядов Ли, уже являются многопараметрическими преобразованиями, переводящими исходные решения в другие. Любое отдельное уравнение в Т позволяет осуществить для решений С, растяжение-сжатие с помощью коэффициентов а„ вместе со сдвигом за счёт остальных коэффициентов а,у и членов р,-.

Так можно повлиять на поведение решения с целью идентификации моделей.

Далее выяснилось, что для уравнений моделей реки и озера искомое отображение 0 есть тождественное преобразование, потому что ничего не меняет между множествами Ъ и Т, происходит лишь перезапись из вида Ъ в вид Т, поэтому 0 = . При этом для модели озера использованы особенности роста-убывания обобщённых коэффициентов-функций.

В случае уравнений модели водохранилища необходимо использовать отображение типа Н, с целью отбрасывания нелинейных членов, поэтому 0 = Н, возможность чего подтверждается применяемым в экологическом моделировании статистическим критерием Тейла.

Суть последнего в том, что если считать наблюденные и моделируемые величины координатами, задающими соответственно два вектора, то критерий Тейла есть соотношение длины вектора разности (числитель) к сумме длин векторов (знаменатель).

В итоге неизвестное отображение 0 для математических моделей реки, озера и водохранилища в общем виде можно представить как 0=С(о)уЯ.

Представление решений в виде параметрических преобразований позволило понять, как влияют на них модельные коэффициенты, что явилось основой для простой и быстрой идентификации моделей.

В случае использования однозначно невыделенных модельных коэффициентов суть та же, потому что обобщённые коэффициенты или члены есть функции от них, которые растут или убывают по-разному в конкретный момент времени, а это означает, что производится больше сдвиг или больше растяжение-сжатие решения, или то и другое вместе.

Применение теоретико-группового подхода позволило определить специальный алгоритм калибровки моделей качества воды путём комплексной настройки параметров на основе стандартных групповых преобразований: растяжения-сжатия и сдвига. Использование предложенной в работе процедуры позволяет за несколько итераций достичь приемлемого значения статистического критерия Тейла.

В диссертации рассмотрен пример применения теоретико-группового подхода к исследованию наиболее сложной из рассматриваемых моделей — математической модели водохранилища. С целью её идентификации из общего количества 62 с помощью теоретико-группового подхода выделено 38 модельных коэффициентов — стало меньше на 24, но по ряду причин (из условий эксплуатации, из природных условий, из других исследований, приравнены нулю в результате численных экспериментов) использовано 17. Используя метод перебора значений и ориентируясь на выделенные теоретико-групповым подходом свойства модельных коэффициентов, когда известно, какие из них растягивают-сжимают или сдвигают решения, получены приемлемые для практики оценки величины статистического критерия Тейла. Результаты расчётов для основных переменных водной среды представлены на рисунке 1.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы:

1 Модели качества воды переформулированы с позиций применимости теорем о редукции системы дифференциальных уравнений.

2 Решения дифференциальных уравнений моделей качества воды обоснованы путём проверки существования фундаментальной системы решений, а не только через допускаемые и локальные группы.

3 Групповые операторы для модели типа Лотки-Вольтерры-Гаузе построены путём решения уравнений, определяющих группу Ли.

4 Модели качества воды идентифицированы с помощью представления решений в виде параметрических преобразований. На этой основе выделены наиболее значимые коэффициенты, влияющие на поведение решения определённым образом.

j g Фитопланктон, мг/л g g Бихроматная окисляемость, мг/л

0,8

0,0

1,0

0,5

4,8

0,0 0,04

0,098

' ' ......I.I.Iii.....

ivvvivnvinixxxrxni пш ivvvivnvniixxxixni а

Месяцы Аммоний, MrN/л

0,288

0,02

0 д ....................-.-....... .

г/ V VI та уш и х я хп I п ш

Месяцы Нитраты, мгИ/л

0,287

Месяцы Нитриты, мгЖл

0,286

0,6 г

0,3

Q . I . ......1.1.1.........

ГУУ У1УБУШГХХХ1ХП1 пш Месяцы

154 ^Взвешенные вещества, мг/л

77

0 0 ................. 1 ...... О 1111

.i.I.I.

1УУ У1УПУШ1ХХХ1ХПГ пш Месяцы

Р Минеральный фосфор, мгР/л ' Г 0,190

0,04

ivv vivnvraixx xixni пш

Месяцы

j ^ Растворённый кислород, мг02/л Г ../■• 0,128

0 оо I ' I IIIII I I I I I I I I I IIII1 I I о 1 ' ' ''' ' ' 1 1 111 1 1 ' 1 '11 1 ' 1

ш " ~ » v ™ ivv vrvnvinixxxixni п ш

Месяцы

ivv vivnvraixxxixni пш

Месяцы

Рисунок 1 — Пример расчёта концентраций веществ для модели водохранилища в сравнении с натурными данными (пунктир) для условий 1981-82 гг. на Новосибирском водохранилище со статистическими критериями Тейла

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации:

1 Цхай, А. А. Математическое моделирование процессов трансформации соединений азота и фосфора и изменчивости кислородного режима в водохранилище / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Водные ресурсы. - 1997. - Т. 24, № 6. - С. 718-728.

2 Агейков, В. Ю. Групповой анализ в этапах математического моделирования гидробиохимической трансформации веществ пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков // Ползуновский вестник. - 2008. - № 3. -С. 314-321.

Другие публикации:

3 Цхай, А. А. Имитационная модель планктонной экосистемы Новосибирского водохранилища / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков И Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования : тез. шк.-сем. - Ростов-н/Д : Изд-во РостГУ, 1990. - С. 99-100.

4 Цхай, А. А. Математическое моделирование экосистемы проектируемого водохранилища / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Приложение компьютера в гидротехнике и охрана водных ресурсов (Варна, 11-16.09.90): тр. межд. шк. - София : БАН, 1990. - С. 428-439.

5 Tskhai, A. A. Simulation of nutrient transformation in a reservoir ecosystem / A. A. Tskhai, V. Yu. Ageilcov I I Hydrological, Chemical and Biological Processes of Transformation and Transport of Contaminants in Aquatic Environments. - IAHS Publ., 1994. - № 219. - P. 303-308.

6 Цхай, А. А. Оценка и прогноз качества воды в речных системах на основе ГИС "Гидромониторинг" / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков, М. И. Евстратов, К. Б. Кошелев, и др. // Математические проблемы экологии : тез. второй Всеросс. конф. по пробл. экологии. - Новосибирск : ИМ СО РАН, 1994. - С. 90-91.

7 Tskhai, A. A. Models for water monitoring and optimization of enterprise water protective activity in present-day conditions / A. A. Tskhai, V. Yu. Aseikov, К. B. Koshelev, M. A. Leites, et ets. // International Congress "Water : Ecology and Technology" (Moscow, Sept. 6-9, 1994). - Moscow, 1994.-Vol. 4.-P. 1090-1115.

8 Цхай, А. А. Оценка и прогноз качества воды в речных системах на основе ГИС "Гидромониторинг" / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков. М. И. Евстратов, К. Б. Кошелев, и др. II Математические проблемы экологии. - Новосибирск : ИМ СО РАН, 1994. - С. 57-64.

9 Цхай, А. А. Математическая модель экосистемы водохранилища: горизонтальное приближение / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Региональные проблемы информатизации : тр. научн.-техн. конф. 20-21 апр. 1995.

- Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1995. - С. 44-45.

10 Цхай, А. А. Модель для мониторинга водных экосистем / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков И Региональное природопользование и экологический мониторинг (Барнаул, 27-29.09.96) : тез. докл. к республ. конф. - Барнаул : Изд-во АлтГУ, 1996. - С. 206-208.

11 Агейков, В. Ю. Математическая модель для мониторинга водных экосистем / В. Ю. Агейков, Е. А. Вишнякова II Информационные системы в экономике, экологии и образовании : сб. научн. тр. - Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1997. - С. 10-17.

12 Цхай, А. А. Оценка чувствительности и идентификация модели водной экосистемы / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Информационные системы в экономике, экологии и образовании : сб. научн. тр. - Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1997.-С. 139-147.

13 Цхай, А. А. Математическое моделирование экологического состояния водных объектов Сибири и Дальнего Востока / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков II Материалы первой краевой конференции по математике : тез. докл. к краев, конф. - Барнаул : Изд-во АлтГУ, 1998. - С. 66.

14 Агейков, В. Ю. Методы группового анализа в применении к аналитическим моделям пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков II Ползуновский вестник. - 2002. - № 1. - С. 95-97.

15 Агейков, В. Ю. Теоретико-групповой подход к этапам математического моделирования пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков II Материалы четвёртой межд. научно-практической конф. "Достижения высшей школы - 2008" (17.11 - 25.11.2008). Математика. Современные информационные технологии. Физика. Здание и архитектура : тез. докл.

- София : ООД "Бял ГРАД-БГ", 2008. - Т. 12. - С. 18-22.

16 Агейков, В. Ю. Теоретико-групповой подход в применении к идентификации аналитической модели озера / В. Ю. Агейков II Материалы четвёртой межд. научно-практической конф. "Образование и наука без границ - 2008" (07.12 - 15.12.2008). Математика. Физика. Современные информационные технологии : тез. докл. - Перемышль : Sp. z о.о. "Nauka i studia", 2008. - Т. 17. - С. 22-25.

17 Агейков, В. Ю. Разработка и применение методов теоретико-группового подхода для математического моделирования качества воды пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков II Материалы шестой межд. научно-практической конф. "Актуальные научные достижения - 2010" (28.06 - 5.07.2010). Современные информационные технологии. Математика. : тез. докл. - Прага : Publishing House "Education and Science" s.r.o., 2010. - T. 14.-C. 87-93.

Подписано в печать 23.08.2010. Формат 60x84 1/16. Печать - цифровая.

Усл. п. л. 1,045. Тираж 100 экз. Заказ 2010 - 435.

Отпечатано в типографии АлтГТУ

Введение.

1 Модели и метод: постановка задачи.

1.1 Виды используемых математических моделей.

1.2 Теоретико-групповой подход: постановка задачи.

2 Формулирование математических моделей.

2.1 Обобщённая постановка задачи.

2.2 Полуэмпирическая модель реки.

2.3 Аналитическая модель озера.

2.4 Имитационная модель водохранилища.

2.5 Обобщённый результат.

3 Решение и его виды.

3.1 Обобщённая постановка задачи.

3.2 Полуэмпирическая модель реки.

3.3 Аналитическая модель озера.

3.4 Имитационная модель водохранилища.

3.5 Обобщённый результат.

4 Настройка коэффициентов.

4.1 Обобщённая постановка задачи.

4.2 Полуэмпирическая модель реки.

4.3 Аналитическая модель озера.

4.4 Имитационная модель водохранилища.

4.5 Обобщённый результат.

Выводы.

Актуальность темы

Токсическое и биогенное загрязнение рек, озёр и водохранилищ приводит к их евтрофированию, что заставляет оптимизировать водохозяйственную деятельность предприятий для рационального использования природных ресурсов водных бассейнов. В этой связи становятся актуальными задачи оценки, прогнозирования и управления последствиями антропогенных воздействий на водные объекты, среди которых и вопросы формирования качества воды в реках и озёрах, существующих или будущих водохранилищах. Для лимнологии, гидрологии, гидробиологии и гидрохимии, в условиях отсутствия возможности проведения натурных экспериментов, используется системный подход с применением математических методов и исследованием математических моделей.

Несмотря на доступность современной вычислительной техники, очевидный прогресс в сфере программного обеспечения и производительности расчётов, по-прежнему актуальна проблема эффективных математических методов моделирования. Одним из них является теоретико-групповой подход, изучающий симметрии — фундаментальные свойства любого явления или процесса.

Цель работы

Обоснование и развитие аналитических методов исследования математических моделей качества воды на основе использования теоретико-группового подхода.

Объект исследований

Процесс формирования качества воды в природных системах и водохранилищах.

Предмет исследований

Применение теоретико-группового подхода для создания эффективных средств моделирования качества воды пресноводных экосистем.

Решаемые задачи

1 Переформулирование балансовых моделей качества воды для их исследования средствами теоретико-группового подхода.

2 Поиск и обоснование способов решения дифференциальных уравнений моделей, описывающих процесс формирования качества воды, методами теоретико-группового анализа.

3 Построение групповых операторов на примере модели качества воды пресноводной экосистемы замкнутого водоёма (озера).

4 Разработка способа идентификации моделей качества воды- на основе использования теоретико-группового подхода.

Научная новизна работы

1 На основе групповых свойств решений дифференциальных уравнений разработан теоретико-групповой метод идентификации моделей качества воды.

2 Обоснованы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений моделей качества воды путём проверки существования фундаментальной системы решений, а не только через допускаемые и локальные группы.

3 На этапе формулирования моделей качества воды установлена связь с теоремами о редукции задач снижения порядка и выведения из системы части дифференциальных уравнений.

4 Построены групповые операторы для модели типа Лотки-Вольтер-ры-Гаузе.

Теоретическая и практическая значимость работы

Применение теоретико-группового подхода позволяет с чётко обозначенными целями, строго обосновано и эффективно (в смысле затрат и производительности) вести математическое моделирование качества воды, пользуясь обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Результаты моделирования можно применять для решения задач прогнозирования трофического статуса существующих и проектируемых водных объектов при воздействиях антропогенного или природного характера, а также для уточнения их конкретных параметров, режимов эксплуатации и выбора вариантов развития рассматриваемых регионов.

Аналогичным путём можно использовать теоретико-групповой подход для решения любых других подобных задач естествознания, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

На защиту выносятся

1 Применимость теорем о редукции системы дифференциальных уравнений к некоторым задачам на этапе формулирования математических моделей качества воды.

2 Способ обоснования решений систем дифференциальных уравнений математических моделей качества воды путём проверки существования фундаментальной системы решений в дополнение к методу через допускаемые и локальные группы.

3 Метод идентификации моделей качества воды с помощью представления решений в виде параметрических преобразований и выделения на этой основе наиболее значимых коэффициентов, влияющих определённым образом на поведение решения.

Достоверность результатов

Обеспечивается корректным использованием обоснованных и апробированных теоретико-групповых методов, определений и теорем для простейшего случая — систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Достигается использованием современных средств обработки информации на основе всестороннего анализа литературных источников с примерами, схожими с моделями, представленными в данном исследовании. Подтверждается статистическими критериями Тейла при сравнении натурных данных с результатами расчётов.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на конференциях: "Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования" (Ростов-на-Дону, 1990), "Математические проблемы экологии" (Новосибирск, 1994), "Региональные проблемы информатизации" (Барнаул, 1995), "Региональное природопользование и экологический мониторинг" (Барнаул, 1996), "Первая краевая конференция по математике, посвященная 25-летию Алтайского госуниверситета" (Барнаул, 1998), "Достижения высшей школы" (София, 2008), "Образование и наука без границ" (Перемышль, 2008), "Актуальные научные достижения" (Прага, 2010); а также на семинарах в АлтГТУ и ИВЭП СО РАН.

Личный вклад автора

Описанное в диссертации исследование было проведено автором самостоятельно: формулирование аналитической модели озера; программирование сформулированных моделей (реки, озера, водохранилища); статистическая обработка натурных данных; численные и символьные (аналитические) расчёты; проверка чувствительности, идентификация и верификация моделей; применение теоретико-группового подхода к этапам математического моделирования и выводы о результатах.

Внедрение результатов работы

Подтверждается справкой об использовании результатов диссертанта в исследованиях Института водных и экологических проблем СО РАН.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, выводов, списка публикаций по теме диссертации, списка литературы, содержащего 86 наименований публикаций и 2 приложений. Работа изложена на 104 страницах машинописного текста, из них текст работы — 91 страница, содержит 23 рисунка и 3 таблицы.

выводы

1 Модели качества воды переформулированы с позиций применимости теорем о редукции системы дифференциальных уравнений.

2 Решения дифференциальных уравнений моделей качества воды обоснованы путём проверки существования фундаментальной системы решений, а не только через допускаемые и локальные группы.

3 Групповые операторы для модели типа Лотки-Вольтерры-Гаузе построены путём решения уравнений, определяющих группу Ли.

4 Модели качества воды идентифицированы с помощью представления решений в виде параметрических преобразований. На этой основе выделены наиболее значимые коэффициенты, влияющие на поведение решения определённым образом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Успешно решены актуальные задачи математического моделирования качества воды экосистем реки, озера, водохранилища с применением теоретико-группового подхода. На этапе формулирования моделей применены теоремы о редукции или произведены изменения с целью их использования на следующем этапе моделирования. На этапе исследования математических задач через проверку существования фундаментальной системы решений, при наличии всех условий для такой проверки, обоснованы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений моделей. На этапе, включающем в себя идентификацию, представление решений в виде параметрических преобразований позволило выделить наиболее значимые коэффициенты, влияющие на поведение решения определённым образом. То же верно для невыделенных модельных коэффициентов, влияющих на функции обобщённых коэффициентов и членов. Это дало возможность решить задачу идентификации моделей. В итоге рационально произведено математическое моделирование качества воды. Большая часть результатов моделирования использовалась практически для решения задач прогнозирования трофического статуса существующих и проектируемых водных объектов при воздействиях антропогенного или природного характера. Нет никаких ограничений по использованию теоретико-группового подхода для решения любых других подобных задач, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, где в решениях возможна линейная связь с начальными значениями, а вклад нелинейной части несущественен.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Цхай, А. А. Имитационная модель планктонной экосистемы Новосибирского водохранилища / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков II Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования : тез. шк.-семинара. - Ростов-н/Д : Изд-во РостГУ, 1990. - С. 99-100.

2 Цхай, А. А. Математическое моделирование экосистемы проектируемого водохранилища / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков // Приложение компьютера в гидротехнике и охрана водных ресурсов (Варна, 11-16.09.90) : тр. межд. шк. - София : БАН, 1990. - С. 428-439.

3 Tskhai, A. A. Simulation of nutrient transformation in a reservoir ecosystem / A. A. Tskhai, V. Yu. Ageikov II Hydrological, Chemical and Biological Processes of Transformation and Transport of Contaminants in Aquatic Environments. - IAHS Publ., 1994. - № 219. - P. 303-308.

4 Цхай, А. А. Оценка и прогноз качества воды в речных системах на основе ГИС "Гидромониторинг" / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков, М. И. Евстра-тов, К. Б. Кошелев, и др. II Математические проблемы экологии : тез. второй Всеросс. конф. по пробл. экологии. - Новосибирск : ИМ СО РАН, 1994.-С. 90-91.

5 Tskhai, A. A. Models for water monitoring and optimization of enterprise water protective activity in present-day conditions / A. A. Tskhai, V. Yu. Ageikov, К. B. Koshelev, M. A. Leites, et ets. II International Congress "Water : Ecology and Technology" (Moscow, Sept. 6-9, 1994). - Moscow, 1994.-Vol. 4.-P. 1090-1115.

6 Цхай, А. А. Оценка и прогноз качества воды в речных системах на основе ГИС "Гидромониторинг" / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков, М. И. Евстра-тов, К. Б. Кошелев, и др. II Математические проблемы экологии. — Новосибирск : ИМ СО РАН, 1994. - С. 57-64.

7 Цхай, А. А. Математическая модель экосистемы водохранилища: горизонтальное приближение / А. А. Цхай, В. Ю. Агейкое II Региональные проблемы информатизации : тр. научн.-техн. конф. 20-21 апр. 1995. - Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1995. - С. 44-45.

8 Цхай, А. А. Модель для мониторинга водных экосистем I А. А. Цхай, В. Ю. Агейкое II Региональное природопользование и экологический мониторинг (Барнаул, 27-29.09.96) : тез. докл. к республ. конф. -Барнаул : Изд-во АлтГУ, 1996. - С. 206-208.

9 Агейкое, В. Ю. Математическая модель для мониторинга водных экосистем / В. Ю. Агейкое, Е. А. Вишнякова И Информационные системы в экономике, экологии и образовании : сб. научн. тр. - Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1997.-С. 10-17.

10 Цхай, А. А. Оценка чувствительности и идентификация модели водной экосистемы / А. А. Цхай, В. Ю. Агейкое II Информационные системы в экономике, экологии и образовании : сб. научн. тр. - Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1997.-С. 139-147.

11 Цхай, А. А. Математическое моделирование процессов трансформации соединений азота и фосфора и изменчивости кислородного режима в водохранилище / А. А. Цхай, В. Ю. Агейкое II Водные ресурсы. - 1997. — Т. 24, №6.-С. 718-728.

12 Цхай, А. А. Математическое моделирование экологического состояния водных объектов Сибири и Дальнего Востока / А. А. Цхай, В. Ю. Агейкое II Материалы первой краевой конференции по математике : тез. докл. к краевой конф. — Барнаул : Изд-во АлтГУ, 1998. - С. 66.

13 Агейкое, В. Ю. Методы группового анализа в применении к аналитическим моделям пресноводных экосистем / В. Ю. Агейкое II Ползунов-ский вестник. - 2002. - № 1. - С. 95-97.

14 Агейкое, В. Ю. Групповой анализ в этапах математического моделирования гидробиохимической трансформации веществ пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков II Ползуновский вестник. - 2008. - № 3. -С. 314-321.

15 Агейков, В. Ю. Теоретико-групповой подход к этапам математического моделирования пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков II Материалы четвёртой международной научно-практической конференции "Достижения высшей школы - 2008" (17.11 - 25.11.2008). Математика. Современные информационные технологии. Физика. Здание и архитектура : тез. докл. - София : ООД "Бял ГРАД-БГ", 2008. - Т. 12. - С. 18-22.

16 Агейков, В. Ю. Теоретико-групповой подход в применении к идентификации аналитической модели озера / В. Ю. Агейков II Материалы четвёртой международной научно-практической конференции "Образование и наука без границ - 2008" (07.12 - 15.12.2008). Математика. Физика. Современные информационные технологии : тез. докл. - Перемышль : Sp. z о.о. "Nauka i studia", 2008. - Т. 17. - С. 22-25.

17 Агейков, В. Ю. Разработка и применение методов теоретико-группового подхода для математического моделирования качества воды пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков II Материалы шестой межд. научно-практической конф. "Актуальные научные достижения - 2010" (28.06 — 5.07.2010). Современные информационные технологии. Математика. : тез. докл. - Прага : Publishing House "Education and Science" s.r.o., 2010. -T. 14.-C. 87-93.

1. Агейков, В. Ю. Математическая модель для мониторинга водных экосистем / В. Ю. Агейков, Е. А. Вишнякова II Информационные системы в экономике, экологии и образовании : сб. научн. тр. Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1997.-С. 10-17.

2. Агейков, В. Ю. Методы группового анализа в применении к аналитическим моделям пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков II Ползунов-ский вестник. 2002. - № 1. - С. 95-97.

3. Агейков, В. Ю. Групповой анализ в этапах математического моделирования гидробиохимической трансформации веществ пресноводных экосистем / В. Ю. Агейков И Ползуновский вестник. 2008. - № 3. -С. 314-321.

4. Айзатуллин, Т. А. Кинетика и механизм трансформации соединений фосфора и потребления кислорода в водных экологических системах (математическое моделирование) / Т. А. Айзатуллин, А. В. Леонов II Водные ресурсы. 1977. - № 2. - С. 41-55.

5. Айзатуллин, Т. А. Математическое моделирование экосистем континентальных водотоков и водоёмов / Т. А. Айзатуллин, И. П. Шамардина II Итоги науки и техники. Сер. : Общая экология. Биоценология. Гидробиология. М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 5. - С. 154-228.

6. Ащепкова, Л. Я. Математические модели водных экосистем (обзор) / Л. Я. Ащепкова II Математическое моделирование водных экологических систем. Иркутск : Изд-во ИрГУ, 1978. - С. 6-46.

7. Большее, Л. Н. Таблицы математической статистики / Л. Н. Большее, Н. В. Смирнов. — М. : Наука, 1965. 200 с.

8. Бульон, В. В. Первичная продукция планктона // Общие основы изучения водных экосистем / В. В. Бульон. JI. : Наука, 1979. - С. 187-199.

9. Васильев, О. Ф. Моделирование трансформации соединений азота для управления качеством воды в водотоках / О. Ф. Васильев, Е. В. Ерёменко II Водные ресурсы. 1980. - № 5. - С. 110-117.

10. Воинов, А. А. Математические модели экосистем мелководных водоёмов : дис. . канд. физ.-мат. наук : 03.00.02 / Воинов Алексей Аркадьевич. -М., 1981.- 159 с.-Библжнр. : с. 130-140.-04821004035.

11. Гаузе, Г. Ф. Исследование над борьбой за существование в смешанных популяциях / Г. Ф. Гаузе II Зоол. журн. 1935. - Т. 14, Вып. 2. -С. 243-270.

12. Георгиевский, В. Б. Идентификация и верификация моделей водных экосистем / В. Б. Георгиевский И Проблемы сохранения, защиты и улучшения качества природных вод. М. : Наука, 1982. - С. 156-163.

13. Горстко, А. Б. Некоторые принципы экологического моделирования водоёмов / А. Б. Горстко, Я. С. Суходолъский, А. А. Матвеев, А. М. Ни-каноров И Экологические модели малых рек и водоёмов: тр. сов.-дат. сим-поз. JI. : Гидрометеоиздат, 1985. - С. 32-37.

14. Домбровский, Ю. А. Теоретические и прикладные аспекты моделирования первичной продуктивности водоёмов / Ю. А. Домбровский, В. Г. Ильичев, В. В. Селютин, Ф. А. Сурков. — Ростов-н/Д : Изд-во РостГУ, 1990.- 176 с.

15. Дубровин, Б. А. Современная геометрия / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. -М. : Наука, 1979. 760 с.

16. Ибрагимов, Н. X. Азбука группового анализа / Н. X Ибрагимов. -М. -.Знание, 1989.-48 с.

17. Ибрагимов, Н. X Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений IН. X. Ибрагимов. — М. : Знание, 1991. 48 с.

18. Йоргенсен, С. Э. Управление озёрными системами / С. Э. Йорген-сен. — М. : Агропромиздат, 1985. 160 с.

19. Крышев, И И. Математическое моделирование миграции радионуклидов в водных экосистемах / И. И. Крышев, Т. Г. Сазыкина. — М. : Энергоатомиздат, 1986. 152 с.

20. Леонов, А. В. Математическое моделирование трансформации соединений фосфора в пресноводных экосистемах (на примере оз. Балатон) /А. В. Леонов. -М. : Наука, 1986. 152 с.

21. Леонов, А. В. Математическая модель совместной трансформации соединений азота, фосфора и кислорода в водной среде: её применение для анализа динамики компонентов в евтрофном озере / А. В. Леонов II Водные ресурсы. 1989. - № 2. - С. 105-123.

22. Ляпунов, А. А. О построении математической модели балансовых соотношений в экосистеме тропических вод океана / А. А. Ляпунов II Функционирование пелагических сообществ тропических районов океана. М.: Наука, 1971. - С. 13-24.

23. Мартынова, М. В. О роли донных отложений в евтрофировании водоёмов: обмен соединениями азота и фосфора между донными отложениями и водой I М. В. Мартынова II Водные ресурсы. 1988. - № 4. -С. 85-95.

24. Математическая энциклопедия / под ред. И. М. Виноградова. -М. : Сов. энциклопедия, 1977-1985. Т. 1-5.

25. Математический энциклопедический словарь / под ред. Ю. В. Прохорова. -М. : Сов. энциклопедия, 1988. 847 с.

26. Мизандронцев, И. Б. Химические процессы в донных отложениях водоёмов /И. Б. Мизандронцев. Новосибирск : Наука, 1990. - 176 с.

27. Митропольский, Ю. А. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики / Ю. А. Митропольский, А. К. Лопатин. Киев : Наукова думка, 1988. - 271 с.

28. Моделирование процессов переноса и трансформации вещества в море / под ред. Ю. Н. Сергеева. JL : Изд-во ЛГУ, 1979. - 296 с.

29. Недоступ, Л. М. Чувствительность моделей водных экосистем, находящихся под антропогенным воздействием I Л. М. Недоступ II Проблемы сохранения, защиты и улучшения качества природных вод. М. : Наука, 1982.-С. 139-155.

30. Никаноров, А. М. К методике моделирования гидрохимического режима рек / А. М. Никаноров, Н. Н. Никулъченко // Гидрохимические материалы. JI. : Гидрометеоиздат, 1990. - Т. 108. - С. 82-88.

31. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений/Л". В. Овсянников. -М. : Наука, 1978. 400 с.

32. Одум, Ю. Экология: в 2-х томах / Ю. Одум. М. : Мир, 1986. -Т.1.-328 с.: Т.2-376 с.

33. Олвер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. М. : Мир, 1989. - 639 с.

34. Рекомендации по прогнозированию качества поверхностных вод. М. : ЦНИИС, 1984. - 111 с.

35. Руководство гидрометеорологическим станциям по актинометри-ческим наблюдениям. Л. : Гидрометеоиздат, 1973. - 220 с.

36. Страшкраба, М. Пресноводные экосистемы. Математическое моделирование / М. Страшкраба, А. Гнаук. М. : Мир, 1989. - 376 с.

37. Тренкеншу, Р. П. Модель светозависимого роста морских микроводорослей (с учётом фотоингибирования). (Препринт. № 18 Б) / Р. П. Тренкеншу, В. Н. Белянин, Ф. Я. Сидъко. Красноярск : ИФ СО АН СССР, 1981.-63 с.

38. Умное, А. А. Математическое моделирование биотических потоков вещества и энергии в водных экосистемах / А. А. Умное. — СПб. : Наука, 1997.- 134 с.

39. Фёдоров, В. Д. Экология / В. Д. Фёдоров, Т. Г. Гильманов. М. : Изд-во МГУ, 1980. - 464 с.

40. Филатов, А. Н. Обобщённые ряды Ли и их приложения /А. Н. Филатов. Ташкент : АН Уз.ССР, 1963.- 106 с.

41. Цхай, А. А. Математическое моделирование экосистемы проектируемого водохранилища / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков II Приложение компьютера в гидротехнике и охрана водных ресурсов (Варна, 11-16.09.90) : тр. межд. шк. София : БАН, 1990. - С. 428-439.

42. Цхай, А. А. Оценка и прогноз качества воды в речных системах на основе ГИС "Гидромониторинг" / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков, М. И. Евстра-тов, К. Б. Кошелев, и др. II Математические проблемы экологии. Новосибирск : ИМ СО РАН, 1994. - С. 57-64.

43. Цхай, А. А. Математическая модель экосистемы водохранилища: горизонтальное приближение / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков II Региональные проблемы информатизации : тр. научн.-техн. конф. 20-21 апр. 1995. — Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1995. С. 44-45.

44. Цхай, А. А. Мониторинг и управление качеством вод речного бассейна. Модели и информационные системы / А. А. Цхай. Барнаул : Алт. кн. изд-во, 1995. - 208 с.

45. Цхай, А. А. Прогноз качества воды проектируемого водохранилища на основе модели трансформации соединений азота и фосфора I А. А. Цхай, А.В.Леонов II Водные ресурсы. 1995- Т. 22, № 3. -С. 261-272.

46. Цхай, А. А. Модель для мониторинга водных экосистем / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков II Региональное природопользование и экологический мониторинг (Барнаул, 27-29.09.96) : тез. докл. к республ. конф. -Барнаул : Изд-во АлтГУ, 1996. С. 206-208.

47. Цхай, А. А. Оценка чувствительности и идентификация модели водной экосистемы / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков II Информационные системы в экономике, экологии и образовании : сб. научн. тр. — Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 1997.-С. 139-147.

48. Цхай, А. А. Математическое моделирование процессов трансформации соединений азота и фосфора и изменчивости кислородного режима в водохранилище / А. А. Цхай, В. Ю. Агейков II Водные ресурсы. 1997. -Т. 24, №6.-С. 718-728.

49. Яковенко, Г. Н. Дифференциальные уравнения с фундаментальными решениями: Софус Ли и другие / Г. Н. Яковенко. М. : Физматкнига, 2006.-112 с.

50. Alter, R. С. Diagenetic processes near the sediment-water interface of Long Island Sound. 1. Decomposition and nutrient element geochemistry (S, N, P) / R. C. Aller II Adv. Geophys. 1980. - Vol. 22. - P. 237-350.

51. Banks, R. B. Effect of rain on surface reaeration / R. B. Banks, G. B. Wickramanayake, B. W. Lohani II Env. Eng. Div. 1984. - Vol. 110, № 1. -P. 1-14.

52. Beck, M. B. Sensitivity analysis, calibration and validation IM. B. Beck II Mathematical Modeling of Water Quality: Streams, Lakes and Reservoirs. -Chichester, England; NY : John Wiley & Sons, 1983. P. 425-467.

53. Chen, C. W. Ecological simulation for aquatic environments / C. W. Chen, G. T. Orlob II System Analysis and Simulation in Ecology. NY : Academic Press, 1975. - Vol. 3. - P. 476-587.

54. De Caprarus, P. P. The mathematical structure of an aquatic ecosystem model / P. P. De Caprarus II Simulation. 1981. - Vol. 37, № 4. -P. 133-137.

55. Di Toro, D. A dynamic model of the phytoplankton population in the Sacramento-San Joaquin delta / D. Di Toro, B. J. O'Connor, R. V. Thomann //Adv. Chem.-1971.-Vol. 10.-P. 131-180.

56. Dobbins, W. E. BOD and oxygen relationship in streams / W. E. Dobbins II Saint. Eng. Div. Proc. 1964. - Vol. 90, № 3. - P. 53-78.

57. Environmental effects of cooling systems : report of a co-ordinated research programme on physical and biological effects on the environment of cooling systems and thermal discharges from nuclear power stations. Vienna : IAEA, 1980.-№202.- 196 p.

58. Finenko, Z. Z. Production in plant population / Z. Z. Finenko II Marine ecology. Pt 4. Dynamics. Chichester, England; NY : John Wiley & Sons, 1978.-P. 13-87.

59. Gachter, R. Phosphorhaushalt und Planktische Primarproduktion im Vierwaldstattersee (Horwer Bucht) / R. Gachter II Schweiz. Z. Hydrol. 1968. -Bd. 30, H. l.-P. 1-66.

60. Golterman, H. L. Quantifying the eutrophication process : difficulties caused, for example, by sediments / H. L. Golterman II Prog. Wat. Tech. 1980. -Vol. 12, №2.-P. 63-80.

61. Ikeda, S. Dynamics of the nitrogen cycle in a lake and its stability / S. Ikeda, N. Adachi II Ecol. Model. 1976. - Vol. 2. - P. 213-234.

62. Leonov, A. V. The chemical-ecological modelling of aquatic nitrogen compound transformation processes / A. V. Leonov. Laxenburg : IIASA, 1980. - 121 p. - (IIASA - WP-80-86).

63. Lie S. Vorlesungen über continuierliche Gruppen / S. Lie. Leipzig : Teubner, 1893.-805 p.

64. Moore, S. F. Describing variance with a simple water quality model and hypothetical sampling programs / S. F. Moore, G. C. Dandy, R. J. De Lucia II Wat. Res. Research. 1976. - Vol. 12, № 4. - P. 795-804.

65. O 'Connor, D. J. Ecological models I D. J. O 'Connor, R. V. Thomann, D. M. Di Toro II Systems approach to water management. NY : McGraw Hill, 1976.-P. 299-333.

66. Oster, G. Predicting populations / G. Oster II Amer. Zool. 1981. -Vol. 21, №4.-P. 831-844.

67. Pilipchuk, V. N. Non-linear system identification based on Lie series solutions / V. N. Pilipchuk, C. A. Tan II Mechanical Systems and Signal Process> ing.-Jan. 2005.-Vol. 19,Iss. 1.-P. 71-86.

68. Riley, G. A. Factors controlling phytoplankton populations on Georges Bank / G. A. Riley II Mar. Res. 1946. - Vol. 6. - P. 54-73.

69. Rodriguez-Azara, J. L. A MAPLE program for the generation of the Lie-series solution of systems of non-linear ordinary differential equations I J. L. Rodriguez-Azara I I Computer Physics Communications. Jan. 1992. -Vol. 67, Iss. 3.-P. 537-542.

70. Rossi, G. Correlation of the lake eutrophication model to field experiments / G. Rossi, G. Premazzi, G. Merengo II Ecol. Model. 1986. - Vol. 34, №2.-P. 167-189.

71. Scavia, D. Documentation of selected constructs and parameter values in the aquatic model CLEANER / D. Scavia, R. A. Park II Ecol. Model. 1975. - Vol. 2, № 1.-P. 33-58.

72. Steel, J. A. Factors affecting algal bloom I J. A. Steel II Microbial aspects of pollution. London : Academic Press, 1971. - P. 201-213.

73. Steele, J. H. Stability of plankton ecosystems / J. H. Steele II Ecological stability. Chichester, England; NY : John Wiley & Sons, 1974. -P. 179-191.

74. Stumm, W. Man's acceleration hydrogeochemical cycling of phosphorus : eutrophication of inland and coastal waters / W. Stumm II Water Poll. Contr. 1975. - Vol. 74. - P. 124-133.

75. Theil, H. Applied economic forecasting / H. Theil. Amsterdam : North-Holland, 1971.-474 p.

76. Volterra, V. Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together / V. Volterra. II Rapp. P. V. Reun. Cons. Int. Explor. Mer. - 1928. - Vol. 3. - P. 3-51.

77. Wang, L. K. Mathematical models of dissolved oxygen concentration in fresh waters / L. K. Wang, D. Vielkind, M. H. Wang II Ecol. Model. 1979. -Vol. 5, №2.-P. 115-125.