автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и обоснование алгоритмов статистического моделирования для вычисления собственных значений

Г6 од

, н№ министерство высшего и среднего

' '' Специального образования республики

узбекистан

ташкентский государственный университет

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

РАСУЛОВ Сайдахмат Ирисматович

удк 519.21

РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

05.13.18 — Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ташкент — 1994

Работа выполнена в Ташкентском Государственном университете.

Научный руководитель —

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Расулов А. С.

доктор физико-математических наук, профессор Исраилов М. И. кандидат физико-математических наук, доцент Хаитов О.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный университет, математико-механический факультет.

Защита диссертации состоится «___1994 г

е_часов на заседании специализированного совета

К..067.02.26 в Ташкентском Государственном университете по адресу: 700095, Ташкент, ВУЗгородок, ТашГУ, механико-математический факультет, ауд. А-205.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТашГУ (ВУЗгородок).

Автореферат разослан <-<___»__________199 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кан. физ.-мат. наук, доцент

ПУЛАТОВ А. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

. К Т 7 АЛЬНОСТЬ.Т£МЫ. Задача вычисления сссстзен-ых значения и собственных функция двяязтся одним нз слпакея-ейаюс и трудоемких разделов математического иодедирпвания.иг-ает исяжсчитально загну а роль в науке и технике и имеет йолъ-. ое теоретическое -и прикладное зкачзнке. К задача начисления" ¡ункшкзналов от. собственной функции интегрального оператора бодктсгт нахождение некоторых параметров ' ядерных реаиторсз, азсях ках-коэффициент эффективного размненекия неятроксз,' : аслредеяенне нейгрсноа з реакторе.

Б случае дифференциальных операторов з частных произзод-ых решение задачи на собственные значения определяет такие арактерястикя как ссйсгезнннз частоты и ' амплитуды колебания, ровни энергии частиц.скорссть остывания и т.д..Для вычисления аааиалъаых собственных значений и соотретстзугашх ссбстзен-ых функций разработаны различные методы,сводящие ( о нининаль-оа йсгрелшссгъп )упонлнутуп задачу к задача вычисления функ-жжадсз о? стационарных распределения. некоторых марковских роцэсссз. Ввиду того, что число состояния процесса валяяо, а ереходы из одного состояния в другое списывается, как дра-адо, алгоритмически, практически ■ единственным способом аычис-Бния функционала от стационарного ' распределения процесса вдяется метод статасгаческого моделирования. 3 связи с этих ктуаяьнын является вопрос разработка. различных эффективных дгсритаоз вычисления собственного- значения (на только ¡¿аксиального) интегрального оператора, с,- покопав- этатлстаческого одедирозания. .

Цельв данноа диссертационной работы является .псстрзенне. бсснование и реализация на 23М различных зыянезпсгзяь'иых аз-оритнов. для вычисления дарственных значения ряда дифферен-яалъяых и интаградьных операторов.

Основные задачи исследований: ■ . а) построение различных неснеаешшх и аскзаггстччзски кесме'ч-иных, сценок для вычисления. изолированного собственного энача-ия некоторых ¡атагралъннх и диффйраяш5эдьяых операторов;,.

- а -

- б) построение различных несмещенных и'&г.нмптстячес.<я несмед-' енных оценок с конвой .дисперсией ;для.: определения ' /резня энергии основного состояния. гамильтониана; •

в) реализация пред деленных алгоритмов ка ■'■ЭЗМ, разработка комплекса программ-и проверка ..их'при решении ряда конкретных задач:. • ',-.''.-. л

О 5 Щ А Я М Е Т О Д И ¡С А И С С Л Е Д О В А Я И Я. 3 .работе используются теории дифференциальных операторов з частных производных, интегральных уравнения и седая теория случыкыхпро- • цессоЕ.' При .построения и -исследовании вычислительных • алго- ■ ритмов используются фундаментальные результата, из квантовой механики и статистической' фйзшеи,- а .также теории методов Монте-Карло.

К А У Ч Н А Я' -Н О В И З Н А/ результатов подученных."в диссертационной работа. заключается а следующем:. ,

— предложен алгоритм построения опенки для-вычисления -изолированного ■ собственного' з'нгчйяя. интегрального' оператора ' с поможь» кокферннего отображения.. Приведены ■ схемы построения кошереткых отсбраженул; '

— разработан вычислительный алгоритм . расчета . вычисления, собственных значения интегрального оператора при сочетании метода Монте-Карло с:гОВ'- алгоритмом;. выражение дисперсии полу—; чено в-удобной для вычисления фэрке; •

— . построена эффективная оценка • для 'определителей Фред-.-гсльма,'которые, в. частности, дахт возможность изеенать их драимо вы-числеюся^казаккся сцещсой -определены .несколько первых''. 'собственных значений.ггрмч'ническиго.;осдалДятора;,'' - *•>/•-'-

— ..предложены и сеоаксаакн алгоритмы различных рцгкех ..для., вычисления' тшименьш-о .уровня, энергии .многочастичлнх. систем;..

— рагработаны комплексные программные средства. дхя; рассмот— ■ рекных классов задач/ ','.•'•.;••. •'.';.'". , • г •

Достоверность ¡клоченных результатов подтверждается'-, численными экспериментами - по .оценке сходимости глгорихмо'з, сравнением подучзнных-в' работе рсзулыатов :с 'известными решениями. П ?: А К' Т И Ч Е С К .А. Я II; Е ЙН ОСТ Ь. ЯреДлйженные 'алгоритмы дают возможность гостроекия' эффективных опенок для дальнейшей ргзрабс~<и численных-методов -равэния 'многих прикладных задач, .а также для чйслайного реаггшя- на ЗБМ задач , Вычисления

собственных значения интегральных и дифференциальных операторов. . . .'■'.':"•.■•• А П Р, О Б А Ц И Я РАБОТЫ.- Результаты работы докладывались на Всесоюзной школе семинаре' "Актуальные проблемы ■ статистического моделирования к ее прклокения" (Ташкент, 15Ш), на семинарах кафедр статистического моделирования С.Петербургского государственного университета и вычислителъноя математики-Таи-кентского государственного университета.нау чнбм семинаре отдела вычислительных методов ИМ А1" .Р7э 'их. В.И.Романсвского, в лаборатории "Моделирования сложных систем" ИК НПО ' "Кибернетика" АН РУа, на "городском семинаре по прикладной математике и механики ТОТ им. Беруник.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опублико-. ваны в работах [1-5].

СТРУКТУРАМ О 5ЬЕ Ы Р А Б О Т.Н. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения,списка используемой литературы' из 57 наименований и прилонения. Основной ' текст занимает 1 Сб назшнапксйкх страниц. В .тексте имеется -. Б . таблиц и. 15 рисунков. •

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

. Зо взедеяим дается' обзор существующих, подходов ■ по исследуемой. теме • методом статистического моделирования и . ■ кратко излагаются результаты - диссертаций по главам. '

Пусть имеется объект,, который состоит из огромного числа частиц ( атомов,молекул,электрокоЕЛРОтснсз,нейтронов и ■ т.д.).

Состояние объекта, находящегося-в поле потенциальных сил описывается'• уравнениемШрейннгера •...-.;,.

где ; н называется-гамильтонианом объекта ; ' • •

. Состояния, в которых энергия имеет определенные значения, • .называются стационарными состояниями йбьекта. Они определяются как решение следующего уравкешм

■' '-, нф. — М' " .где х - собственное значение энергии; Нахождение зтих зна-

- в -

чеккй составляет одну из важнейших задач квантовой нехакккк. Эта задача эквивалентна задаче ка собственные значения. для интегрального уравнения

ф(г)= ^ |р(=:,у)ф(у)су щш Ф = (1)

где р{х,у) - функция Гркка этой задачи.

Следовательно, эти к иногке другие задачи сводятся к вычислению собственного значения некоторых интегральных операторов .

Первая глава посвящена разработке к обоснова кию алгоритмов статистического кэдекировакия для вычислен* изолированного сзсствзкксго значения интегрального оператора.

В первой параграфе приведен алгоритм для вычкслекш собственного значения уравнения (1) с гюнощыо аналитической продолжения ряда Неккака ко параметру »v с поиоеыо зеке А- = <р^Х1>.

Пусть (\> - полисы керокорфнок функции \ .являвшиеся собственники значениями уравнения Ш.Рассматрываетсн задачи определения поносов Р% ,заданной рядом-

% ^сС1с ^ ' г*е ск =

На плосткости перененноя т) выбираем односвязную облает Д (.как правило,.единичный круг ), содеркздкй точку т? = 0,. строям функцию

. <р(1}) сцт) + а^ф +„.

осуществляющую конформное отображение области л на облает Э, которая содеркит полюс я = ^ и не содержит других полюс ов функции кк. Тогда

.будет икеть в области л один простой полюс "п ~ тц= «Г1 и как в степеннок методе

Ч- <р~1<ч> - lin lia :tj. '

. .• . я ® n+1 п œ

При это* функция Л.-; <р(т}), которая отображает области А на область D имеет следующий вид -

где ] - т) - 1 —] .

Приведен способ построения отсбраяахима функции ф(т]). НаЯдеян рекуррентные фсрнулы для хоэффицкёнтов d£n>, кс-тсрке определяется кз'ссноез следук^его соотношения

d*1 '= а , din) Û,

Я - II п. Я-'. '

Gi T^J-I . rsi ---^W.

' g - УУ ' a '; Qt" ~ , V . . 1 - dj • '-T"" • - •

: й -A- * Ь - ■

■- Пусть "|n — несмещенная-оценка для Ьп и ® тогда 9 = .является агаяйа дг.я С",а именно икеет кесто

11 çn+i • . . ". - ' ■ ; ; '

.. F г в е р-з>£ д е н и è 1.- Пусть.-фундция Л^ инеег простоя полйс , t), .который опр&дедязтся с} помощью-оценки' , 9п, тогда .

1). вп имеет-при -больших .• N асимптотически"нормальное распределение со, средник . tj^ . '. '

2) Дисперсия выражается.'формулой;'.'

Во второй параграфе приводится алгоритм для вычисления первых я собственных значения уравнения (1),которые предполагаются простыми и расположенными в порядке возрастания по модулю. Используется 00 алгоритм при сочетании методом зависимых испытаний.

Собственные значения уравнения (1) определяю гея с помощью следующего рекуррентного соотношения

аСт)

\ = г1и ч[ш> " «я-±=1,г,...,п

где

, - «£») . .....£

Пусть 51я' - юяшцшшш сценка для о{ш) и щ[т)< ССозначкх -

,,С®>_ М__ .' _ е Свв> = сСт+1 )»_(т+1 )_{т)

' 51

>2,2,...,! '. тогд£' справедливо ежздувдеа- -утверждение

" т в б р к д в н к о 2. Пусть уравнение (1) имеет яростна собстззккыб значат которнз опрздкгягтея с помощью оценки. т}|ш>, тогда

1) т|<»> , яе.тлсгся есгкптсягссся: насигэднноя оценкой дяя <?

2) Дисперсия имеет следуодия вид

где

Сш)

п= Г —^__?С<П]П1т £Сдн-1) \ "Ч .

МЙЁ]®*77)^ 'Ч (Мб^1')3

+ (И£1Д)>а Л

= Ё й'®4®'б'"**'сои(®+в+к>^^("Ч>) 1 1 к,1=0* л ' 1-1 1-1

ь(ш)_Г Т2 Ь(ш>= _ ? Ь(»)= , ъ еГ0 1}

о "I ' °г т (ш+1) • °г - 1. »Л

Далее рассматривается задача уменьшения длины доверительного интервала для оценки и{ш) путем выбора начальных р(х) и переходных г(х^/) плотностей.

Утверждение 3. Пусть Мх), р'*.х,у),?1х) - неотрицательные и Л(аг)=<р*(г), где <р*(х) - первая собственная функция оператора я'.Если положить

/(х)(р*(х) ри.у)<р*(у)

р х)=--гг-» —г-г—--,д(х)=0

(/,<) ГК3ч>*](х)

то 5=0.

В третьей параграфе рассматриваются оценки для определителей Фредгольиа .Определители Фредгольха могут быть определены следующим образом :•

Ъ0(х.у№ , аа*1 , ап= - зрЬа Собственнные значения уравнения (1) являются корнями

Ой •

уравнения Е а \п = 0 .

Пусть рп(^п^о• »2п_1) - условная плотность распределения случайной величины ха , тогда

кЬап, где Лп~ - -4- зрВп '

1 = ( ' п= .....я

- э ~

' .:/Эта оценка ' верна ; лйпъ' . для. ограниченных■ ядер. Здесь показано, как уо:кнс кспо.тъэоееть эту оценку для неограниченных ядер на примере' гаркёиичесхсго .осциллятора. Определены уровни энергии гарксжического осциллятора.

.четверток' параграфе, приводятся, результата к. сргшелкя численных экспериментов для' модельной задачи и конкретного интегрального оператора. '

В т о .р "а "я "г п -г,'в е''Посвящена разработке к 'построению >гсдафй!1нр1зза!1зп»:,' азгорздарз ^яг.гкчксшжя" лязкя гторпж основного состояния многочастичньрс систем.'Обсуждается техника "внчисленкя энергии методом Канте-Карло .для.,фуккцкк ГрккаСНКФГ) Центральным моментом, этого" метода является, расчет функция Грина р\хд) без знания ее точкой формы. •• - "

В первом параграфе ' вводятся. основные 'идеи' - квантового метода МКФГ. .Рассмотрен; збпрос •• об.. уменьшении доверительного интервала при вычислении уровня энергии основного состояния. .

. Если спектр - гамильтониана дискретен вблизи основного . состояний :'.Ф0.: тамишгониана: Н, то. наименьший уровень энергии шредедяетс^ «шду»]!^ образом ••У.>;/.•,•.'',;

■■ -Ж' '-'' .• .•,;";'.г. V -Т.'-у.•• \ ■•'.'

где рп-Хф^(1)аг.числоточек в . п -ом .поколении

.значение анергии. ■.'." Второй с пособ рсяаван аа следующую формулу

где <х±) - моделируется с плотностью <|^(х)ф0(2),.а фт(а) -некоторая пробная функция данности^ Показано, что при подход ящех выборе Я0 будет иметь меньщую Гошибку; чем . Л0. Здесь приводится алгоритм вычисления, фу ниши Грина. Во втором параграфе рассматривается уравнение Шредингера.'т.е.

-щ

=(н -К^ЩХ.Р) где X -и...р - и

Л, пробное значение энергии. --' Описывается эволюция распределения используя точную матрицу плотности. ) - еар(-нР) ,

Точная матрица плотности, р не известна , но ев ложно ХЕ'гвать' &псгр£яышз уравнением с некоторой пробной матрицей , тастнсстп ря к гатен сксдедируется' стахостичеооц ¿азшьауа .«год с^чган»: £зггд2йя£ фок -

. Р

о

'де ядре [н(х")+ -ф- М'.р').

Согда!. пробная матрица плотности ' рг является-точной, для »которого потенциала ядро ж имеет вид

■, • От этих уравнений с,помочью преобразования Лапласа, переден к независящим от времени уравнёюшм, т.е. ..'

■'.'.Выполйяятужеонера1ДО1Над* уравнение для

агркцы ллотносги '

Эволюция распределения лолучается применением оператора много раз к начальному распределению Д-^С*)!2 _

. Энергйя основного состояния в. ЖФГ определяется двумя, ¡особами: : •..

- и -

*о«V -И-

1 Г^П.

н

, рк1 (х}Нфи 1 рп

я0 - <Нф2> - -- ¿V

где р^ХГ^<г:)<2х - количество точек в п -ок поколении.

В третьей параграфе проводится новыя алгоритм решения уравнения Шредингера .Здесь получается новое уравнение для матрицы плотности р(зг,х',р) , а именно

Р ■

о

. где матрица плотности ри(г,х',Р) является точкой для некото-роя потенциальной ямы V, которая удовлетворяет условию

О 2 7(3)^

Здесь токе как и во втором параграфе получено интегральное уравнение

р [х.х' )+]Ж (х" ,х' )р (х,х " )дх"

СО

где I (х ■ м' ь/ш-у [х1" нк^ {х>• ,х», р щ &" ущх• >ар= 0

и'' )+Хт;л;}аезр(-иЭ)р2, (я' ',х', {Х-•' )/фт (г'

о

рт{.х,,,х\р) - представляет собой многомерное нормально распределение. Энергия основного состояния определяется двум способами :

- 18 Т

И V* ^

(Д)Н»Т(Х)/П(Д)

Г/пСг)сЗг

е фз {х^Щ^х^

В четвертой параграфе вычислены с покоцьи МКФГ энергия основного состояния двух сложных многочастичных систем. В первом случае в качества межчастичнрго взаимодействия использован Ксрнельския потенциал с равными массами. Во второй случае известный Кулонсвский потенциал с разными кассами.

С целью дальнейшего изучения свойств нногсчастичкнх систем нами был создан программы?, комплекс для левого числа частиц.

В третий главе для использования в практических расчетах разработанных статистических алгоритмов создан комплекс программ. Он определяет изолированное собственное значение интег- ■ .радьного оператора в зазксимсстк от управляемого параметра. Созданный комплекс программ имеет модульную структуру и допускает возможность расширения и стдсшах тадутей. Они позволяют решать практические задачи при задании/необходимых данных-Програмны написаны на языке ФОРТРАН . В этся главе приводятся описания каждого из модулей и формальных параметров.В описании указывается имя подпрограммы,ее наз-

;iД.!iЗ:íЛ2,E2íД СЗр2В2НЯЯ К Ней, П0ЯСНЛ2Т0.'! Cld-.CZ С-'Т3!В~"-?7."С

жщяз, щашдага; крагкез хзлонзнж яспбя-зуеяотс изтода.

2 прядоажин приводятся тещеь: ггздщ^тргЬш» гяодпдк;: з комплекс программ. . .

Автор Здагсядат црсфисссрс Рисулсга А.С. " з:. псстснсзлу задачи к внимание к работе.

1.Расулов А.С.^асулов С.И. О методе функции Грина для решения, уравнения Иредингера.//Актуальные проблемы статистического моделирования и ее прилежзнхя//Тез. докл.-Новосибирск.1289

2.Ермаков С.М.^асулов С.И. О вычислении собственных значений

Список публикаций по тема диссертации. .

с.зг.

интегрального -оператора, лри сочетают .метода Монте-Карло с - С алгаритком.^Двп.в ВИНИТИ 15.01.1032, К Ш-ВЭ2..10С. З.Расулов А.С.,Расуяов С.Й. Об одной методе для ранения •' ураЕ . нения Ередингера' ^Управлдекыасистекы.Ташкент 1332,с.55-58. 4-Расу.чов С.Й. Об одной алгоритхе решения уравнения■ Шредингер методох' Монте-Карло^Лй.науч.труДоа ■ холедкх ученых-... Ташке! 1230 с. 33-85 . • '-

5.Расулов С.И. Применение аналитического продолжения ■ к вычис ленив собственных значения методой Монте-Карло ВИНИТ!

15.01.i9S2, Н 138- В92» Вс.

' Кос сонларни з^исоблашнккг статистик коделлаштириш •' алгоритмларини. ■ яратиш; ва асосдаш,

Кос ссн'ва кос функцияларни ккссбдаш хасаяаси куда каг казария ва ахалиЕ акаккят ica.cs отадк. Фон'ва техяаасадаги.&у; куп хасалалар баьзк 6;гр интеграл. одораторларгш1Г хсс сскларщ аниклатга келтирияади. йасалан реакторларкинг баьзи бир пар; иетрларини, акикроги нвятронларни купаяитини эффактиз , козе фяциептлж топки масаласи. Хусускя цаст&т дифференциал ого ратор булгая ^олда^ос сонларни здеоблав насаласи, йумлад; куяидагн паранетрларки акиклаади - тебранка амялитудгеи ва х частота, зарраларнкнг' энергетик сатдоарн, тсзус. гембрларк ^оказолар. - .■'.•'" \\ \ V'•••'..;••• -.•;'.•"'•

Дкссертацияда интеграл за дифференциал операторларни: кос сскжцйпщ ^¿сссЗаДйнккг хкл статистки .. алгорктнларя] яратиа ва уларга хос келган эффектна . ба^слар куриш;' асс-с хацеад фшб куйидган.

Диссертацияда ■ конформ акслантириа, ОБ алгоритм . Фредгольм детерхинанти. ёрдахида алоада олингак . хсс сок хисоблашнинг: статистик, алгорйтхлари асослакган ва келтирилп Жуда куп заррачаларда'н иборат систеханинг энг кичик' энергёт сат^ларини . толишнинг'.". цар хил 'статистик алгерктнлг келткрилган, )<исобяашда-келиб чикадиган хатоликни камаяткр . яуллари курсатилган. С^орида "яратилган алгоритмлар. уч програхмалар шциекси'яратилган.

Destn,? and substantiate of the Btochastic3 alrarittoes far calculating оI eigenvalues

Calculating of eigenvalue an3 elgentuctlans has a great

applied significance and exclusive importance ior science and eigeneerlng С technology). ?cr ezaiple- calculation some para-metrs of reactor, evaluate a coefficient or an efficient nsutrons Increasing lead to tte problem of calculating eigenvalues oi integral operator. In the сазе Oi partial differential operators previous ргоЪДеш oeferajiae such characteristics as a free-running-frequency, the oscillation amplitudes, energy level.

3Ms work 1b dedicate to the design and foundation of

the stocfcastlc-s algorithmes for calculating of eigenvalues for some differential and integral operators. Без» aigorltfcces for calculating eigenvalues were founded by using tbe confcraal napping, Ql> slgorltfcres End Predholm's determinant. Different estimations were constructed for finding the energy level the baalc state of.Schrddlngsr equation.Рог solving these problems ваше cos^ilex vrograszne were created to personal corputers ami computers type of ВС. Ehe progracsa language Is FORTRAN.

- 15 -