автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Теория и методы моделирования вычислительных структур с параллелизмом машинных операций

Введение.

Глава 1. Модулярная арифметика квадратичного диапазона.

Модульные операции.

1.1 Модулярный способ представления числовых данных.

1.2 Вычислительная сложность алгоритмов и компьютерные арифметики.

1.3 Настройка модулярной арифметики на проблемную область.

1.4 Модель модулярной арифметики с квадратичным диапазоном.

1.5 Модулярные диапазоны и базисные операции.

1.6 Каноническое представление, сопряженные модулярные величины.

1.7 Модульные аддитивные операции.

1.8 Модульные мультипликативные операции.

1.9 Вычисление модулярной величины, обратной по модулям диапазона.

Выводы.

Глава 2. Модулярная арифметика квадратичного диапазона. Немодульные операции.

2.1 Характеристики отношения порядка для модулярных величин.

2.2 Методы вычисления характеристик отношения порядка.

2.3 Немодульные операции модулярной арифметики

2.4 Деление в модулярной арифметике.

2.5 Расширение модулярного диапазона.

2.6 Вычет модулярной величины по большому модулю. 111 Выводы.

Глава 3. Контроль модулярных вычислений.

3.1 Метрики и типы ошибок в модулярных кодах.

3.2 Помехозащитные модулярные коды.

3.3 Метод вложенных диапазонов.

3.4 Методы декодирования помехозащитных модулярных кодов.

3.5 Синдромные и совмещенные алгоритмы декодирования.

3.6 Методы контроля модулярного вычислительного процесса. 140 Выводы.

Глава 4. Вычисления в больших и сверхбольших компьютерных диапазонах

4.1 Вычислительные задачи большой сложности и модулярная арифметика

4.2 Компьютерная арифметика сверхбольших диапазонов.

4.3 Модулярная арифметика для вычислений в больших диапазонах.

4.4 Вычетный алгоритм тестирования на простоту чисел Ферма.

4.5 Системы линейных сравнений и разложение модулярной величины.

4.6 Математические конструкции в модулярных системах.

4.7 Вычислительные приложения модулярной арифметики.

Выводы.

Глава 5. Применение модулярной арифметики и особенности параллельных модулярных процессов.

5.1 Особенности аппаратурных и программных модулярных процессов.

5.2 Структура программного комплекса модулярных вычислений в 197 больших компьютерных диапазонах.

5.3 Тестирования на простоту чисел Ферма.

5.4 Тестирование на простоту чисел Мерсенна.

5.5 Вычислительные процессы в сверхбольших диапазонах

5.6 Программные модулярные процессы для тестирования чисел 218 специального вида.

5.7 Модулярный контроль технологической информации. 225 Выводы. 236 Заключение. 238 Библиография. 241 Приложения.

Алгоритмика как отрасль знаний включает разработку алгоритмов, доказательство их корректности и оценку сложности. Современное понимание предмета и задач алгоритмики сформулировано в работах Кнута Д., Ахо А., Ульмана Дж., Нодена П., Китте К. [2, 7, 8, 11].

Модулярность -математическое понятие, эквивалентное отечественному - система остаточных классов, включает способ представления данных, арифметику операций над этими данными, типы вычислительных алгоритмов (вычетных ), ориентированных на выполнение на модулярной вычислительной базе: аппаратной или программно эмулируемой.

В работе исследуется модулярная алгоритмика, учитывающая три аспекта: вычислительные алгоритмы содержат операции вычисления вычетов по модулю, выполняются в модулярной арифметике и в них учитывается модулярное представление исходных, промежуточных и выходных данных.

Требования к эффективности и экологической чистоте современных производств и "тонким" промышленным технологиям формируют необходимость в вычислительных процедурах повышенной точности. Это требует вычислений в больших и сверхбольших диапазонах изменения переменных и решения проблем точности на алгоритмическом уровне. В интенсивно развивающейся прикладной и вычислительной теории чисел имеется большой спектр вычислительных задач, при которых значения целочисленных

3 6 переменных значительно, в 10 -10 и более раз превышают максимум компьютерного диапазона серийной вычислительной техники, связанного с длиной аппаратно-поддерживаемого машинного слова. Наличие эффективных методов вычислений в целочисленных больших компьютерных диапазонах позволяет решать задачи, впервые поставленные И.Я Акушским [1,56], вычислений в сверхбольших диапазонах, максимум которых достигаз15 ет значения константы Виноградова - Гольбаха 3

Введем шкалу целочисленных диапазонов, привязанную к машинным:

1 лЮ 1 /л20 //л16 /-ч32 /л64\

-типовои машинным диапазон 10 -10 (2 -2 -2 );

1л20 1лЮ0

-многократный диапазон 10 -10 ; г 1лЮ0 1 лЮОО/1 Л100000(К.

-диапазон больших чисел 10 -10 (10 ); -диапазон сверхбольших чисел (>101000000).

Последние три диапазона назовем многоразрядными. Операции в многоразрядных диапазонах изменения переменных реализуются достаточно сложно алгоритмически и программно, а эффективные вычисления требуют специальной организации вычислительного процесса и специальной машинной арифметики, в частности полиномиальной, исследованной Кнутом Д., Ахо А., Ульманом Дж. [2,7,11].

Модулярная алгоритмика ориентирована на область многоразрядных, многократных целочисленных вычислений, в которой по оценкам Кнута Д., Акушского И.Я., Ахо А., Ульмана Дж., Нодена П., Китте К. модулярная арифметика имеет преимущества перед полиномиальной арифметикой . Для этой области компьютерных вычислений актуальны проблемы: - исследований, в каких диапазонах возможны вычисления при соответствующей вычислительной архитектуре, алгоритмической и программной базе при приемлемых на практике затратах машинного времени;

-разработки оптимальной аппаратной, алгоритмической, программной организации вычислительных структур для вычислений при многократном превышении типового машинного диапазона;

-преобразования вычислительных алгоритмов с учётом специфики вычислительных структур, для вычислений в больших диапазонах;

-оптимальной организации с минимальной временной и алгоритмической сложностью вычислительного процесса по преобразованным вычислительным алгоритмам на таких структурах.

Для таких вычислительных средств критическим параметром является производительность [7,11] . Это обуславливает использование распараллеливания на уровнях: архитектуры вычислительных средств, задач, алгоритмов решения задач, машинных операций, используемых при выполнении алгоритмов. Последний уровень дает достаточно универсальный метод увеличения быстродействия ЭВМ. Для описания параллельной арифметики и представления данных при этом используются модулярные системы счисления, исследование которых и создание ЭВМ на их базе впервые в стране начали Акушский И.Я., Юдицкий Д.И. [1,3,4,5]. В этих системах при ограничениях на значения диапазонов изменения операндов для мультипликативных операций достигается линейная временная сложность. Это не достижимо для позиционных, полиадических и полулогарифмических систем представления данных. Выигрыш в быстродействии операций становится заметным при величинах операндов из многоразрядных диапазонов. Это обуславливает исследования компьютерных модулярных арифметик. Параллельная компьютерная модулярная арифметика (алгебра) с квадратичным диапазоном изменения переменных не исследовалась ранее. Она дает эффективный способ реализации мультипликативных операций.

Массовые вычислительные алгоритмы разрабатываются кодонезависимыми, не зависящими от арифметики, в которой они реализуются, и от способа представления переменных величин, участвующих в алгоритме. Для нетривиальных вычислительных процессов на пределе возможностей вычислительной техники, оперирующих с целочисленными величинами, принимающими значения из больших и сверхбольших диапазонов, из-за технико-экономических ограничений критическими становятся проблемы архитектуры аппаратно-программных средств, на которых алгоритмы реализуются. Теоретическая база этих средств -компьютерные арифметики. Традиционные арифметики дают недостаточно эффективные архитектурные решения для вычислительных средств, ориентированных на классы распараллеливаемых вычислительных задач. Для оптимального применения же модулярных систем в качестве арифметико-логической базы вычислительных устройств, проблемные алгоритмы должны быть преобразованы в "вычетную форму" - с максимальным количеством операций вычисления по модулю. После преобразования проблемные алгоритмы оптимально, с минимальным количеством немодульных операций, отображаются на модулярную базу вычислительных средств: устройств или программного обеспечения, ориентированного на сетевое многомашинное применение.

Кодонезависимые алгоритмы предназначены для решения массовых задач, не каждый их них может быть преобразован в эффективный вычет-ный вычислительный алгоритм. Последние ориентированы на более узкий класс специальных задач, характерным представителем которых являются задачи типа свёртки и им подобные.

Вычислительные задачи с большой алгоритмической сложностью вы-четного типа имеются в прикладной и вычислительной теории чисел, для них требуются вычисления в сверхбольших диапазонах.

Для эффективных вычислений в больших и сверхбольших диапазонах на базе модулярной арифметики необходимо решение актуальных проблем: -разработка новых теоретических основ вычислительных комплексов и средств, включающих собственно машинную арифметику, оптимальную для решения вычислительной проблемы; при этом возникает нетривиальная задача - настройка машинной арифметики на вычислительную проблему;

-выделение классов проблемных алгоритмов, оптимально отображаемых на выбранную аппаратно-программную базу; разработка способов преобразования кодонезависимых алгоритмов в алгоритмы, ориентированные на проблемно-настроенную машинную арифметику;

-разработка вычислительных структур, алгоритмических, программных средств, эффективно реализующих саму арифметику и проблемные алгоритмы, модифицированные под нее.

Взаимная настройка арифметики и вычислительных алгоритмов необходима для эффективности вычислительных средств, функционирующих в режимах реального времени. Решение этих вопросов расширяет верхнюю границу числовых значений результатов вычислений, которые можно получить на существующей аппаратно-программной базе.

Для вычислительных сред с сотнями тысяч и миллионами взаимосвязанных процессорных элементов эффективными являются параллельные алгоритмы. Другой подход к реализации параллельных вычислительных процессов - отображение их на топологию вычислительных сетей. Параллельные арифметика и алгоритмы оказываются эффективными не только на параллельных структурах и вычислительных сетях, но и при эмуляции на серийных однопроцессорных ЭВМ.

Параллельная компьютерная алгебра с квадратичным диапазоном изменения переменных выбрана автором по причине более естественного способа реализации мультипликативных операций в модулярных системах счисления, по аналогии с позиционными системами. В модулярных системах квадратичный диапазон впервые предложен Амербаевым В.М. [3], и не применялся ранее, в отличие от исследованного в достаточной степени одинарного [1,3,4,5,14].

Целью исследования является разработка на основе модулярной алго-ритмики теоретических основ и методов моделирования вычислительного процесса с распараллеливанием на уровне машинных операций, ориентированного на вычисления в больших и сверхбольших компьютерных диапазонах на основе модулярной арифметики квадратичного диапазона, а также разработка на этой основе программно-алгоритмического обеспечения для вычислений на серийной вычислительной базе.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: - исследование и разработка математической модели модулярной компьютерной арифметики со следующими особенностями: квадратичным диапазоном изменения переменных; с использованием более эффективных, по сравнению с ранее известными, методов вычисления характеристик отношения порядка над множеством модулярных представлений числовых величин, алгоритмов выполнения модульных и немодульных операций; с настройкой компьютерной модулярной арифметики на вычислительную проблему по параметрам компьютерного диапазона и базовой операции с помехозащитным контролем вычислительного модулярного процесса;

- разработка методов обнаружения и коррекции ошибок вычислительного процесса модулярным помехозащитным кодом;

- определение и формализация понятий большого и сверхбольшого компьютерного диапазонов и соответствующих арифметик;

- введение понятия "вычетный вычислительный алгоритм", выделение классов прямых и итерационных алгоритмов, методов вычислений за пределами машинного диапазона в большом и в сверхбольшом компьютерных диапазонах;

- разработка вычетных алгоритмов, ориентированных на выполнение на модулярной базе, для решения отдельных вычислительных проблем теории чисел, разработка программно-алгоритмического обеспечения модулярной модели на серийных персональных компьютерах;

- разработка конструктивной системы количественных оценок алгоритмической и временной сложности модельных машинных операций и проблемных вычислительных алгоритмов на модулярной базе, позволяющей сравнивать модулярный, позиционный и полиадический подходы к решению вычислительной проблемы и выявлять классы эффективных модулярных вычислений.

Публикации автора по теме диссертации составляют 49 научных работ, из них 1 монография, 13 изобретений, 4 отчета по НИР, ОКР. Результаты докладывались на 7 международных, всероссийских конференциях.

При решении поставленных задач использовались методы системного анализа, современной абстрактной алгебры, теории чисел и алгоритмов, теории проектирования вычислительных средств обработки информации, методы математического и компьютерного моделирования.

Достоверность результатов диссертации обусловлена корректным использованием современного математического аппарата системного анализа, абстрактной алгебры, теории чисел, теории проектирования вычислительных средств, методов математического и компьютерного моделирования, совпадением с экспертными оценками результатов численных машинных экспериментов.

В работе разработана универсальная, конструктивная система оценки затрат вычислительных ресурсов. Они оцениваются упорядоченной тройкой параметров: временная сложность, количество и разрядность процессоров, затраты памяти на хранение констант для модулярной арифметики.

На защиту вынесены следующие результаты исследований.

1. Теоретическое обоснование новой модели целочисленной параллельной модулярной машинной арифметики с квадратичным диапазоном и системой оснований, являющихся квадратами простых (взаимно- простых) чисел. Универсальная модель данной машинной арифметики имеет средства самокоррекции и настройки на вычислительную проблему.

2. Методы и алгоритмы генерации констант универсальной модулярной арифметики и способы преобразования ее в проблемно- ориентированную арифметику на решение вычислительной проблемы. Новые методы и алгоритмы выполнения модульных операций в модулярной арифметике

3. Новые соотношения между новой и известными позиционными характеристиками отношения порядка на множестве модулярных представлений, новый метод вычисления этих характеристик, имеющий линейную алгоритмическую сложность, а также новые алгоритмы выполнения немодульных операций на этой основе. Оценки сложности не улучшаемые. Методы защищены авторскими свидетельствами на изобретения.

4. Соотношения между метриками в модулярных кодах, новые методы и алгоритмы обнаружения и коррекции ошибок, в том числе использующие динамику вычислительного процесса и синдромные, что позволяет использовать меньшую информационную избыточность помехозащитного кода, чем требуют комбинаторные методы.

5. Новый класс алгоритмов вычисления по модулю - большому числу, каноническое разложение которого неизвестно; вычисления обратных величин по модулю. Эти операции являются базовыми для вычислений в сверхбольших компьютерных диапазонах.

6. Формализация алгебры сверхбольших компьютерных диапазонов как области приложения модулярной арифметики; задачи и классификация методов вычислений в больших, сверхбольших компьютерных диапазонах.

7. Математические конструкции в модулярных системах. Постановка задачи, методы взаимной подстройки проблемных алгоритмов и модулярной компьютерной программно- алгоритмической базы. Разработанные принципы и частные методы преобразования кодонезависимых алгоритмов в вы-четные вычислительные алгоритмы.

8. Новые классы параллельных вычетных вычислительных методов и алгоритмов, использующих сверхбольшие компьютерные диапазоны для вычислительной и прикладной теории чисел, тестирования на простоту чисел специального вида; способы отображения их на модулярные вычислительные структуры.

9. Конструктивная система оценок для сравнительного анализа модулярного и позиционного (однопроцессорного) вариантов, позволяющая выявить области эффективности модулярного варианта, а также сравнивать вычетные с кодонезависимыми вычислительными алгоритмами.

10. Структуры параллельных электронных и оптоэлектронных вычислительных устройств для выполнения аддитивных, мультипликативных операций, немодульных процедур модулярной арифметики, процедур обнаружения и коррекции ошибок, сжатия цифровой информации.

11. Архитектура программного обеспечения для эмуляции предложенных методов, алгоритмов на серийной однопроцессорной и многопроцессорной вычислительной базах.

В работе формулировки известных теорем даются без доказательства, их неочевидные модификации, введенные для целей работы, доказываются. Оригинальные теоремы, леммы, следствия доказываются, под замечаниями и утверждениями понимаются математические формулировки, как правило, не требующие доказательств или используемые в качестве постулатов. Теоремы, леммы, алгоритмы, таблицы и фигуры (рисунки, схемы) имеют автономную нумерацию (X - г, у, 1), состоящую из г -номера главы,у -параграфа, I -порядкового номера. Нумерация используется для ссылок на них из других разделов работы. Ссылки на формулы в пределах параграфа даются по их порядковым номерам, а из других параграфов и глав - с добавлением номера параграфа и главы соответственно.

Выводы главы 5

На основании изложенного в главе 5 работы сформулируем выводы.

1. Новые архитектуры параллельных электронных и оптоэлектронных вычислительных устройств, основанные на модулярном представлении дискретной информации, являются изобретениями, защищенными авторскими свидетельствами. Они предназначены для выполнения аддитивных, мультипликативных модулярных операций, вычисления позиционных характеристик, выполнения других немодульных процедур модулярной арифметики, обнаружения и коррекции ошибок.

2. Программное обеспечение для эмуляции предложенных методов и алгоритмов на серийной вычислительной базе содержит модули поддержки модулярного типа данных, алгоритмы выполнения модульных и немодульных операций модулярной арифметики квадратичного диапазона, процедуры контроля: вычисления синдрома, обнаружения и коррекции модульных ошибок, процедуры кванти-фикации модулярного вычислительного процесса для сверхбольших диапазонов и интерпретации результатов численных экспериментов.

3. Конструкции модулярных диапазонов в программной модели модулярной машинной арифметики квадратичного диапазона допускают самокоррекцию. Алгоритмы нового метода вычисления позиционных характеристик и вычисления синдрома совмещены, имеет линейную сложность, на его основе разработаны новые методы выполнения модульных и немодульных операций.

4. Разработаны новые методы и алгоритмы генерации констант универсальной модулярной системы квадратичного диапазона и способы преобразования ее в проблемно - ориентированную. Программная модель модулярной машинной арифметики квадратичного диапазона содержит средства настройки на вычислительную проблему.

5. Выбрана область вычислений в сверхбольших диапазонах, в которой вычетные вычислительные алгоритмы оптимально отображаются на модулярную вычислительную базу, это тестирование на простоту чисел специального вида: чисел Ферма и Мерсенна. Для них разработаны эффективные методы настройки диапазона модулярной арифметики на вычислительные задачи тестирования на простоту.

6. Разработаны и исследованы новые модулярные методы, вычетные алгоритмы и программное обеспечение, предназначенное для тестирования на простоту чисел Ферма.

7. Разработаны и исследованы новые модулярные методы, вычетные алгоритмы и программное обеспечение, предназначенное для тестирования на простоту чисел Мерсенна.

8. Исследованы связи модулярных методов и вычетных алгоритмов тестирования на простоту чисел Ферма и Мерсенна. Показана эффективность модулярных процессов на многопроцессорных вычислительных комплексах, коэффициенты повышения быстродействия достигает значений 28-30 для задач тестирования чисел Ферма и 2022 для задач тестирования чисел Мерсенна.

9. На основе модулярного помехозащитного кодирования разработаны методы контроля передачи и обработки учетной и технологической информации в АСОИУ технологическими процессами, повышающие на несколько порядков их надежность.

Заключение

На основании вышеизложенного сформулируем заключение.

1. Сферой приложения модулярной компьютерной арифметики, в которой она имеет преимущества перед традиционными, являются вычисления с многоразрядными числами, числовыми величинами из многократных, больших и сверхбольших диапазонов. Прикладная и вычислительная теория чисел является областью, где необходимы целочисленные вычисления на модулярной вычислительной базе.

2. Разработанная и исследованная новая универсальная модель целочисленной параллельной модулярной машинной арифметики с квадратичным диапазоном и системой оснований, являющихся квадратами простых (взаимно-простых) чисел, имеет эффективные методы и алгоритмы выполнения модульных операций, содержит средства самокоррекции и настройки на вычислительную проблему.

3. Разработанные новые методы и алгоритмы генерации констант универсальной модулярной арифметики позволяют преобразовать ее в ориентированную на решение вычислительной проблемы.

4. Исследование связей между известными и новой позиционной характеристиками отношения порядка -квазиследом на множестве модулярных представлений - дают эффективный метод вычисления позиционных характеристик, имеющий линейную алгоритмическую сложность, а также новые алгоритмы выполнения немодульных операций на этой основе. Оценки сложности не улучшаемы. Методы защищены авторскими свидетельствами.

5. Исследование соотношений между метриками дает алгебраические конструкции помехозащитных арифметических модулярных кодов с квадратичным диапазоном, разработка методов обнаружения и коррекции ошибок для них дает новые алгоритмы, в том числе использующие динамику вычислительного процесса, и синдромные, требующие для обнаружения и коррекции модульных ошибок меньшую информационную избыточность помехозащитного кода, чем комбинаторные методы.

6. Введение и исследование новых математических конструкций в модулярных системах дает эффективные алгоритмы вычисления по модулю большого числа, каноническое разложение которого неизвестно, вычисления обратных величин по модулю, являющиеся базовыми для вычислений в сверхбольших компьютерных диапазонах, а также новые алгоритмы выполнения других операций модулярной арифметики.

7. Исследование области приложения модулярной арифметики, формализация алгебр величин из больших и сверхбольших компьютерных диапазонов дает корректные постановки задач и классификацию методов вычислений в больших и сверхбольших компьютерных диапазонах. Постановка задачи взаимной подстройки проблемных алгоритмов и модулярной компьютерной программно- алгоритмической базы позволяет разработать принципы и частные методы преобразования кодонезависимых алгоритмов в вычетные вычислительные алгоритмы.

8. Исследование классов вычетных вычислительных методов и алгоритмов, использующих сверхбольшие компьютерные диапазоны, дает для вычислительной и прикладной теории чисел новые параллельные алгоритмы тестирования на простоту чисел специального вида и способы отображения их на модулярные вычислительные средства и структуры.

9. Разработанная конструктивная система оценок для сравнительного анализа модулярного и позиционного (однопроцессорного) вариантов позволяет выявить области эффективности модулярного, а также сравнивать вычетные вычислительные алгоритмы с кодонезависимыми.

10. Разработанные структуры параллельных электронных и оптоэлек-тронных вычислительных устройств для выполнения аддитивных, мультипликативных операций, немодульных процедур модулярной арифметики, процедур обнаружения и коррекции ошибок, сжатия цифровой информации являются изобретениями, дают новые схемотехнические и архитектурные решения модулярных вычислительных систем.

11. Разработка и исследование модулярной компьютерной арифметики квадратичного диапазона с модулярными типами данных и соответствующими операциями являются основой программно-алгоритмических модулярных вычислительных средств (модулярной базой) для серийных однопроцессорных и многопроцессорных вычислительных машинах.

12. Разработан проект решения фундаментальной задачи алгебраической и компьютерной алгоритмики -тестирования на простоту чисел специального вида Ферма и Мерсенна, который позволяет методами модулярной компьютерной арифметики квадратичного диапазона при наличии вычислительных ресурсов (МВС -1000М) тестировать на простоту числа Ферма до 25 порядка и числа Мерсенна с соответствующими порядками. Используется внутренний параллелизм многоразрядных вычислений в модулярной арифметике.

13. Разработанная архитектура и программное обеспечение модулярных вычислительных средств позволяет эмулировать вычислительные вы-четные и модулярные методы, алгоритмы на серийной однопроцессорной или многопроцессорной вычислительной базе. Исследование вычетных вычислительных алгоритмов для модулярной базы, показало эффективность модулярных процессов на многопроцессорных вычислительных комплексах, коэффициенты повышения быстродействия по сравнению с лучшими позиционными методами в зависимости от количества доступных процессоров вычислительной системы равны 3-30 для задач тестирования чисел Ферма и 3-22 для чисел Мерсенна. Временные оценки сложности вычислительных о проблем тестирования для равны 2,3*24 часа (1 проц.*10 оп/сек), 8 чаО Я сов (1 проц.*10 оп/сек), Р2з - 1 ,В часа и Р25 - 1,2*24 часа (768 проц.*10 оп/сек -МВС- 1000М).

14. На основе модулярного помехозащитного кодирования разработаны методы контроля передачи и обработки учетной и технологической информации в АСОИУ технологическими процессами, повышающие на несколько порядков их надежность.

1. Акушский И.Я., ЮдицкийД.И. Машинная арифметика в остаточных классах. - М.: Советское радио, 1968, - 440 с.

2. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Том. 2. -М.: Мир, 1977. -724с.

3. Амербаев В.М. Теоретические основы машинной арифметики. Алма-Ата: Наука, 1976. -320 с.

4. Евстигнеев В.Г. Недвоичная машинная арифметика и специализированные процессоры. -М.: МИФИ, 1992. -266с.

5. Коляда A.A., ПакИ.Т. Модулярные структуры конвейерной обработки цифровой информации. Минск: Университетское, 1992. - 256 с.

6. Hans Riesel Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. -Stuttgart-Boston.: Birhhauser, 1985. -452p.

7. Lenstra H. W. , Tijdeman R.J. Computational Methods in Number Theory.-Amsterdam: Math. Cent., 1982.-198p.

8. Ноден П. u др. Алгебраическая алгоритмика. -М.: Мир, 1999. -720с.

9. Munro I. The Computational Complexity of Algebraic and Numeric Problems. // American Elsevier. -New-York, 1986, N 7. -P.28-40.

10. КукД. u dp. Компьютерная математика. -M.: Наука, 1990. -384с.

11. Aho A. The Design and Analysis of Computer Algoritms. -Massachusetts: Adisson-Wesley Publ. Сотр., 1986. -335p.

12. Вычислительные машины, системы и сети. / Под ред. А.П. Пяти-братова. -М.: Финансы и статистика, 1991. -397с.

13. Виноград С. и др. Надежные вычисления при наличии шумов. М.: Наука, 1978.-112с.

14. Инютин С.А. Арифметико-логические основы вычислительных систем. -Сургут: из-во РИЦ, 2001 .-126с.

15. Алдашев С.А.,Инютин С.А. Основы математического моделирования: учебное пособие. -Алма-Ата: АЛИИТ, 1993. -118с.

16. Инютин С.А. Исследование методов кодирования, декодирования помехозащитных кодов системы остаточных классов. // Автореферат диссертации . канд. технических наук. Киев, 1982. -18с .

17. Математический энциклопедический словарь. / Под. ред. Ю.В. Прохорова. -М.: Сов. Энциклопедия, 1988. -847с.

18. Торгашев В.А. Система остаточных классов и надежность ЦВМ. -М.: Советское радио, 1973. 120с.

19. Бияшев Р.Г. Обнаружение и коррекция ошибок в СОК на ЭВМ. // Известия АНКазССР, серия физико-математическая, 1971, №1. -с. 17-23.

20. Дадаев Ю.Г. Теория арифметических кодов. -М.: Радио и связь, 1981.-272с.

21. Виноградов ИМ. Основы теории чисел. -М.: Наука, 1972. -167с.

22. Бухштаб A.A. Теория чисел. -М.: Просвещение, 1970. -375с.

23. Пухов Г.Е. и др. Разрядно аналоговые вычислительные системы. -М.: Советское радио, 1978. -256с.

24. Архитектура многопроцессорных вычислительных систем. / Под ред. В.И. Тимохина. Л.: ЛГУ, 1981. -104с.

25. СяоД. и др. Защита ЭВМ. -М.: Мир, 1982. -263с.

26. Журавлев Ю.П. и др. Надежность и контроль ЭВМ. -М.: Советское радио, 1980.-416с.

27. Акушский И.Я., Бурцев В.М., Пак И. Т. О новой позиционной характеристике непозиционного кода и ее применении. // Теория кодирования. -Алма-Ата: Наука, 1977. -с. 8-17.

28. Инютин С.А., Макеев Ю.А. Минимальная избыточность кода, обнаруживающего асимметричные ошибки // Известия АН КазССР. Серия физико-математическая. -1982. -№1. -С.24-27.

29. Инютин С.А. Декодирование слабо-арифметических кодов СОК на многозначных структурах. //Многозначные элементы, системы структуры: Сб. ст./ ИПМЭ. -Киев: Наукова-Думка,1983. -С.28-34.

30. И.Я.Акушский, Инютин СЛ., Пак ИТ. К вопросу о создании вычислительных систем на многозначной элементной базе. //Многозначные элементы, системы структуры: Сб. ст./ ИПМЭ. -Киев: Наукова-Думка,1983. -С.-57-64.

31. Инютин С.А., Пак ИТ. Контроль вычислительного процесса с использованием непозиционного кода. // Всесоюзная школа-семинар по вычислительным сетям/ ИППИ АН СССР. -М.: Наука, 1984. -С. 182-186.

32. Жаутыков А.О., Инютин С.А. Особенности технико-экономической оценки непозиционных устройств в заявках на изобретения // Доклады семинара патентоведов институтов кибернетики / ИК АН УССР. -Киев: Наукова-Думка, 1984.-С.87-92.

33. Инютин С.А. Метод организации высокоразрядного вычислительного процесса для решения задач линейной алгебры // Известия АН КазССР. Серия физико-математическая. -1985. -N5. -С.37-39.

34. Инютин С.А. Оценки распараллеливаемости некоторых оптимизационных алгоритмов // Технические и программные средства автоматизации научных исследований: Сб. научных работ / ИПММ. -Алма-Ата: Наука. -1987. -С47-54.

35. Инютин С.А. Метод построения кольцевого непозиционного кода // Технические и программные средства автоматизации научных исследований: Сб. научных работ/ ИПММ. -Алма-Ата: Наука. -1987.-С.39-47.

36. Инютин С.А. Вычетные вычислительные алгоритмы решета// Проблемы вычислительной математики и автоматизации научных исследований, том 1: Сб. научных работ/ИММ. -Алма-Ата:Наука.-1988. -С.55-57.

37. Башин Ю.А., Инютин С.А. Вопросы моделирования оптимальной структуры процессов обмена в SIMD-вычислительной системе //Проблемно ориентированные комплексы программ/ Институт проблем управления. -М, 1988.-С.124-131.

38. Жаутыков А.О., Инютин CA. Об автоматизированном анализе архитектур непозиционных вычислительных устройств в патентных исследованиях // Информатика и право. -Ленинград:Наука,1988.-С. 140-146.

39. Инютин CA. Проблемы автоматизированного анализа архитектур вычислительных устройств // Труды IX Республиканской конференции по математике.-Алма-Ата:Наука, 1989.

40. Абенова Л.Д., Инютин С.А. Контроль базы данных непозиционным кодированием // Проблемы автоматизации информационного обеспечения: Сб. ст./ БЭН АН СССР.-М.: Наука, 1990.-С.47-56.

41. Инютин CA., Казангапов А.Н. Вычислительные вычетные алгоритмы сверхбольших диапазонов // Высокопроизводительные вычислительные системы: Труды международной конференции. -М: ИПУ, 1991. -С.81-83.

42. Инютин С.А. Модельные алгоритмы тестирования на простоту чисел в супербольших диапазонах // Математическое и машинное моделирование: доклады всесоюзной научной конференции/ Воронеж, политехи, институт. -Воронеж, 1991.-С. 123-126.

43. Инютин С.А. Помехозащитные вычислительные средства в кодах Рида-Соломона //Труды XYII международная школа-семинар по вычислительным сетям/НСКП "Кибернетика". -М.: Наука, 1992.-С.78-83.

44. Инютин С.А. Высшая математика. Математический анализ: учебно-методическое пособие./ Сургутский госуниверситет. Сургут: НИЦ Сур ГУ, 1996. - 50 с.

45. Инютин С.А. Метод вычисления обратного элемента в конечном поле. // Сборник научных трудов СГУ. Выпуск 1. Сургут: Сев.-сиб. per. кн. из-во, 1995.-С. 17-24.

46. Инютин С.А. Компьютерная модулярная алгебра. // Сборник научных трудов СГУ. Выпуск 2 . Сургут: Сев.-сиб. per. кн. из-во, 1996. -С.41-46.

47. Инютин С.А. Компьютерная алгебра для вычислений в сверхбольших диапазонах. // Сб. научных трудов СГУ. Выпуск 2. Сургут: Сев.-сиб. per. кн. из-во, 1996. -С.47-56.

48. Inutin S.A. A Computer Parallel Modular Algebra.// Transaction of PARA 96. - Denmark: Springer, 1996. - P. 176-180.

49. Инютин С.А. Организация вычислений в сверхбольших компьютерных диапазонах. // Математика. Компьютер, Образование: Сб. научных работ. М.: МГУ, 1997. - С.81 - 85.

50. Inutin S. A. The Method of Computation an Inverse Element in Parraller Computer Arithmetics. // Transaction IMA.- Minnesota, 1997. -P.68-71.

51. Инютин С.А. Особенности операции расширения диапазонов в модулярных кодах. //Сборник научных трудов СГУ. Выпуск 4. Сургут: из-во НИЦ , 1998.-С.9-14.

52. Инютин С.А. Статистическое моделирование эффективности алгоритмов модулярной компьютерной арифметики.// Математическое моделирование и компьютерные технологии: сб. научных работ, Кисловодский институт экономики. Кисловодск, 1999.-С.60-65.

53. Инютин С.А. Метод вычисления позиционного признака числа в модулярном коде. // Математика и ее приложения: сб. ст./ ИГПИ. Ишим, 1999.-С.28-34.

54. Инютин С.А. Характеристики отношения порядка в модулярных кодах. // Математика и ее применение в учебном процессе, технике, экономике: сб. научных работ/ СГПИ. Сургут, из-во РИЦ, 1999. -С.40-46.

55. Инютин С.А. Алгебра и теория чисел. Учебная программа и методические указания./ СурГПИ. -Сургут: РИЦ Сур ГПИ, 1999. 23 с.

56. Инютин С.А. Модулярные модификации вычислительных алгоритмов. // Математика и ее применение в учебном процессе, технике, экономике: сб. научных работ/ СГПИ. Сургут, из-во РИЦ, 1999. -С.46-50.

57. Инютин С.А. Теория вычетов и геометрические образы.//Сб. научных трудов, посвященный 100-летию Знаменского.- Сургут: Сев.- сиб. per. кн. из-во, 1999. -С.41-43.

58. Инютин С.А. Метод решения квадратичного сравнения.//Сборник научных трудов СГУ. Выпуск 6. Сургут: из-во НИЦ, 2000. -С. 17-23.

59. Инютин С.А. Компьютерная модулярная алгебра квадратичного диапазона и область ее приложения. // Вестник Тюменского госуниверситета. -Тюмень. -2001 ,- № 1, -С. 12-16.

60. Инютин С.А. Корректирующие свойства слабо-арифметических кодов ИСОК. // Теория кодирования и сложность вычислений/ ИММ АН КазССР. Алма-Ата: Наука, 1980. - с. 134-139.

61. Инютин С.А. Моделирование сходимости альтернативных совокупностей в кодах ИСОК.// Автоматизация научных исследований/ ИММ АН КазССР. Алма-Ата: Наука, 1982. - с. 157-164.

62. Инютин С.А. О достоверном декодировании в кодах ИСОК. // Теория кодирования и сложность вычислений/ ИММ АН КазССР. -Алма-Ата: Наука, 1980. -с. 128-133.

63. Инютин С.А. О некоторых вопросах защиты данных в автоматизированном банке данных. // Вопросы совершенствования проблем управления/ИЭММП. -Душанбе: Ирфон, 1976. -с. 53-60.

64. Инютин С.А. Помехозащитное кодирование в автоматизированном банке данных на основе кодов СОК. // Вопросы совершенствования проблем управления/ ИЭММП. Душанбе: Ирфон, 1977. -с. 160-166.

65. Акушский И.Я., ПакИ.Т. Вопросы помехоустойчивого кодирования в непозиционном коде. // Вопросы кибернетики, 1976, вып. 28. -с. 36-56.

66. Акушский И.Я., Бурцев В.М., Пак И. Т. О новой позиционной характеристике непозиционного кода и ее применении. // Теория кодирования и оптимизация сложных систем. Алма-Ата: Наука, 1977. -с. 8-17.

67. Свобода А. Развитие вычислительной техники. Системы счисления в остаточных классах. // Кибернетический сборник, 1964, №8. -с. 115-149.

68. Питерсон У, Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.-596с.

69. Касами Т. и др. Теория кодирования. М.: Мир, 1978. - 576 с.71 .ЛенстраХ. Тесты простоты и суммы Якоби./ Кибернетическмий сборник. Новая серия. Вып.24. -М.: Мир, 1987. -с. 101-146.

70. Welsh J. A new Mer senne prime. //Math. Сотр., vol.56, N. 194, 1991.-p. 867-870.

71. Акушский И.Я., Глухман В.Л. Применение кода СОК в системе передачи данных без обратной связи. // Управляющие системы и машины, 1973, №6. -с. 96-101.

72. Gregory R. Error-Free Computation. -Sydney: Kriener publ. Company, 1986.-307p.

73. Советов Б.Я. и др. Системы передачи данных от терминалов в ЦВМ. -Л.: Из-во ЛГУ, 1978. -240с.

74. Дэвенпорт Д. Компьютерная алгебра. —М.: Мир,1991. -245с.

75. Акушский И.Я., Eypijee В.M., Каплан Л.В., Пак И. Т. Об одной реализации контроля вычислительного устройства с использованием корректирующего кода. // Вестник АН КазССР, 1979, № 11. -с. 18-26.

76. Надежность автоматизированных систем управления. / Под ред. Я.А. Хетагурова. М.: Высшая школа, 1979. - 287с.

77. АкушскийИ.Я., Инютин С.А., ПакИ.Т. и др. Устройство для обнаружения ошибок в системе остаточных классов. Авторское свид. СССР № 878061, per. 1 июля 1981.

78. АкушскийИ.Я., Инютин С.А., ПакИ.Т. и др. Устройство для исправления ошибок в системе остаточных классов. Авторское свид. СССР № 932499, per. 2 февр. 1982.

79. Акушский И.Я., Инютин С.А., Пак И. Т. и др. Устройство для умножения по модулю. Авторское свидетельство СССР № 1947860, per. lanp. 1982.

80. Акушский И.Я., Инютин С.А., Пак ИТ. и др. Устройство для вычисления позиционного признака в системе остаточных классов. Авторское свидетельство СССР № 1730945, per. 10 янв. 1983.

81. АкушскийИ.Я., Инютин С.А., ПакИ.Т. и др. Устройство для обнаружения ошибок в слабо-арифметическом коде системы остаточных классов. Авторское свидетельство СССР № 1166116, per. 1 марта 1985.

82. АкушскийИ.Я., Инютин С.А., ПакИ.Т. и др. Устройство для коррекции ошибок в непозиционном аддитивном коде. Авторское свид. СССР № 1180897, per. 1окт. 1985.

83. Акушский И.Я., Инютин С.А., Пак ИТ. и др. Устройство для кодирования в системе остаточных классов. Авторское свид. СССР № 1316093, per. 8 февр. 1987.

84. Акушский И.Я., Инютин С.А., Пак И. Т. и др. Устройство для расширения диапазона в системе остаточных классов. Авторское свид. СССР № 1388861, per. 15 дек. 1987.

85. Акушский И.Я., Инютин С.А. Устройство для сжатия цифровой информации. Авторское свидетельство СССР № 1709881, per. 1окт. 1991 г.

86. Акушский И.Я., Инютин С.А. Устройство для восстановления цифровой информации. Авторское свидетельство СССР № 1709880, per. 1окт. 1991.

87. Акушский И.Я., Инютин С.А., Казангапов А.Н. Устройство для аддитивных операций в системе остаточных классов. Авт. свид.СССР № 1690485, per. 8 июля 1991.

88. Акушский И.Я., Инютин СЛ., Казангапов А.Н. Номографическое устройство сложения в системе остаточных классов. Авт. свид. СССР № 1690484, per. 8 июля 1991.

89. Акушский И.Я., Инютин С.А., Казангапов А.Н. Устройство для умножения в системе остаточных классов. Авторское свид. СССР № 1736273, per. 22 янв. 1992.

90. Отчет по НИР АН СССР тема Р-2: Разработка и моделирование информационных систем в АН КазССР. / Институт прикладной математики и механики АН КазССР. N гос. рег.833057096 Алма-Ата, 1990. -98 с. (рук.)

91. Bar si F.,Maestrini P. A class of multiple error correction arithmetic residue codes/- Information and Control, 1988, 36, N 1. -p. 28-41.

92. Mandelbaum D. On a class of non linear arithmetic codes that are easy to decode. - Information and Control, 1985, N.30. -p. 151-168.

93. Mandelbaum D. Further Resultasion Decoding Arithmetic Residue Codes.- Transaction on Information Theory, 1988, vol. IT 24, N 5. -p. 36-41.

94. Lenstra H. W. Divisors in Residue Classes. // Math.Comput.,1984. Vol. 42, N. 165.-p. 331-340.

95. Williams H.C. Fast Primality Test for Numbers Less Than 50-109. -Math.Comput., 1986. Vol.46, N. 174. -p. 691-701.

96. Pradhan D.K. Fault-Tolerant Computing. -Ney Jersey: Prentice-Hall, 1988. -367p.

97. Pabin M.O. Probalistic Algorithm for Testing Primality. // Jornal of Number Theory. Vol. 12,1985. -P.128-138.

98. Прахар К. Распределение простых чисел. -M.: Мир, 1977. -134с.

99. Василенко О.Н. Современные способы проверки простоты чисел. // Кибернетический сборник. Новая серия. Вып.25. -М.: Мир, 1988. -с. 163-188.

100. Клеллан Дж. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. -М.: Радио и связь, 1985. -234с.

101. Рибенбойм 77. Рекорды простых чисел. // Успехи математических наук. Т. 42, вып. 5, 1987. -С. 119-176.

102. Young J. The Twentieth Fermat Number is Composite. // Mathematics of Computation. Vol. 50,N.181, 1990. -P.261-263.

103. Гук M. Процессоры Intel. -С.-П.: Питер, 1997. -224c.

104. Tambour T. Algebra for Computer Science. Springer-Verlag. 1988.347p.

105. Инютин С. А. Параллельные вычисления в сверхбольших компьютерных диапазонах / Параллельные вычисления и задачи управления: труды международной конференции PACQ2001//PAH. -М.: ИПУ,2001. -с.76-87.

106. Система сокращений и обозначений

107. МС(Р) модулярная система одинарного диапазона, заданная множителем -произведением оснований Р .

108. МС(Е , n+k) модулярная система квадратичного диапазона, заданного множителем -произведением оснований Е2 , содержащая п - информационных оснований, к -избыточных оснований.

109. КП аббревиатуры модульной операции вычисление каноническогопредставления модулярной величиныmodP ).

110. СМ , ВМ аббревиатуры модульных операций сложения и вычитания.249

111. УМ , КМ аббревиатуры модульных операций умножения и возведе ния в квадрат.

112. ФД аббревиатура модульной операции формального деления. ДО - аббревиатура немодульной операции деления на основания модулярной системы.

113. ПХ -позиционная характеристика отношения порядка во множестве представлений модулярных величин.

114. СБД -сверхбольшой компьютерный диапазон.

115. Еук1 -алгоритм Евклида для вычисления обратного по модулючисла I р, Г1 , I X: Г1 .1. Р. Р]

116. Еук2 -алгоритм Евклида для вычисления обратного по модулю числа | р1 Г!> , I х , Гз .1 Ру . Р]

117. ЕукЗ -алгоритм Евклида для вычисления обратного по модулю числа | р2 |~2 , I + хр1 .