автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и исследование алгоритмов преобразования координат объектов на лунной поверхности

На правах рукописи

005020723

Шарафутдинов Ильгизар Мансурович

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ОБЪЕКТОВ НА ЛУННОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 9 мдр 2012

Ульяновск -

2012

005020723

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» Ульяновского государственного технического университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор_

Валеев Султан Галимзяпович

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

кафедры «Вычислительная техника» Ульяновского государственного технического университета Негода Виктор Николаевич

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры «Астрономия и космическая геодезия» Казанского

(Приволжского) федерального университета Кащеев Рафаэль Александрович

Ведущая организация - Ульяновский государственный университет

Защита диссертации состоится 25 апреля 2012 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32 (ауд. 211, Главный корпус).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета.

(УлГУ)

Автореферат разослан «_.> марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

В.Р. Крашенинников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время и в ближайшей перспективе исследования Луны космическими аппаратами (КА) имеют все усиливающую практическую направленность. При этом эффективность управления КА при лунной навигации с минимизацией расхода энергетических ресурсов напрямую зависит от точности задания селеноцентрической системы координат (ССК) и лунного гравитационного поля.

Главной проблемой с начала селенодезических исследований и по настоящее время является проблема точности определения координат, формируемой ошибками идентификации в каталогах координат лунных объектов (KKJIO) и ошибками трансформации отдельной ККЛО в сводную систему по общим объектам.

Вопросами разработки моделей преобразования лунных координат из одной системы в другую по общим объектам и методами оценивания их параметров занимались многие исследователи (Алексашин Е.П., Валеев С.Г., Гаврилов И.В., Кислюк B.C., Липский Ю.Н., Никонов В.А. и др.).

В настоящее время практически приемлемым путем распространения известного каталога селеноцентрических координат 1162 (КСК-1162), созданного в Казани в системе с центром масс и осями, совпадающими с осями инерции Луны, на большую часть поверхности Луны или при определенных условиях на всю ее сферу является применение детерминированного метода трансформации координат (ТК). Однако отмеченная выше детерминированная модель ТК не в состоянии описать разнообразные ошибки, которыми обременены прямоугольные координаты объектов в сравниваемых системах. Кроме того, при использовании для оценивания коэффициентов модели ТК метода наименьших квадратов (МНК) не учитываются условия его применения и, соответственно, не применяются адаптивные вычислительные схемы обработки данных, что ведет к снижению точности преобразования координат. Повышение точности ТК, на наш взгляд, можно получить путем применения адаптивных вычислительных схем, что требует своей реализации и проверки.

С учетом сказанного решаемая в данной работе задача разработки прецизионных математических моделей ТК является актуальной.

Цель и задачи исследования. Цель исследований - повышение точности трансформации координат лунных объектов при сгущении и расширении опорной селеноцентрической сета на основе моделей координатных преобразований с наилучшими линейными оценками параметров.

Для достижения указанной цели в работе решались следующие задачи:

1. Анализ подходов к разработке моделей пространственных координатных преобразований.

2. Разработка методики и алгоритмов координатных преобразований при нарушении условий получения наилучших линейных оценок параметров моделей.

3. Разработка комплекса программ для сгущения и расширения опорной селеноцентрической системы координат.

4. Моделирование координатных преобразований для трансформации координат объектов ряда систем в селеноцентрическую систему координат и исследование их эффективности.

5. Сгущение и расширение опорной селеноцентрической системы координат КСК-1162.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с г/б направлением НИР УлГТУ «Оптимизация математических моделей обработки данных и информационные технологии»; поддержана грантами РФФИ № 08-02-01214 (Построение глобальной селеноцентрической опорной сети на основе данных наблюдений миссий «Зондов» и «Аполлон»), № 11-02-91160 -ГФЕН_а (Спин-орбитальная эволюция, динамика лунного ядра, селенодезия и селенографическая система координат на базе данных китайского спутника Чанг'Е и других международных лунных программ), № 11-02-92113 - ЯФ_а (Космическая геодезия и геофизика Луны, Марса, Юпитера и их спутников с применением новых радио-интерферометрических и астрометрических технологий).

Методы исследования. В диссертационной работе применены методы математического моделирования, численные методы решения систем линейных уравнений, численные методы оптимизации, математической статистики, объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна результатов, выносимых на защиту

В диссертационной работе впервые разработаны:

1. Модели трансформации координат с наилучшими линейными оценками параметров для координатных систем, преобразуемых в селеноцентрическую систему координат.

2. Гибридный метод моделирования координатных преобразований по критерию минимума ошибки прогноза по общим объектам координатных систем, реализованный в виде методики и алгоритмов и основанный при расширении сети на детерминированных моделях с учетом условий ортогональности преобразований и при ее сгущении на аппроксимирующих моделях в виде адаптивных регрессий, а также при сгущении сети в виде двухкомпонентной модели, состоящей из детерминированной и аппроксимирующих частей и позволяющий уменьшить систематические и случайные ошибки трансформации координат.

3. Алгоритм получения оптимальных по критерию минимума ошибки прогноза адаптивных регрессий (аппроксимирующих моделей трансформации координат) для решения задачи сгущения селеноцентрической сети на видимой стороне Луны.

4. Программный комплекс для решения задач координатного обеспечения на поверхности Луны, позволяющий получать наилучшие линейные оценки параметров с последующим их использованием для расширения и сгущения базовой селеноцентрической сети и обеспечивающий повышение точности при трансформации координат по сравнению с используемыми ранее методами.

5. Сводная селеноцентрическая система координат, закрепляемая координатами объектов на всей поверхности Луны, представляющая собой

первый опыт расширения и сгущения опорной системы КСК-1162 на основе сети объектов системы ULCN2005.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов математического моделирования и информационных технологий и подтверждена итогами численных экспериментов, а также результатами использования алгоритмов, программного и координатного обеспечения при внедрении.

Практическая значимость работы заключается в том, что в перспективе селеноцентрическая сеть объектов, задающая координатную систему на Луне с центром, совпадающим с центром масс и осями, направленными вдоль осей инерции, может стать одним из базовых элементов координатно-временного обеспечения для лунной навигации с использованием картографических материалов и опорных объектов.

Внедрение результатов. Программное обеспечение, алгоритмы и практические результаты внедрены в рамках грантов РФФИ № 08-02-01214, Х° 11-02-91160 - ГФЕН_а, № 11-02-92113 -ЯФ_а в Казанском (Приволжском) федеральном университете (Астрономическая обсерватория им. В.П. Энгельгардта при К(П)ФУ), а также в учебном процессе УлГТУ при курсовом и дипломном проектировании по специальности «Прикладная математика», что подтверждается соответствующими актами о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и симпозиумах:

- Международная научная конференция «100-летие: прошлое, настоящее и будущее Крымской астрофизической обсерватории» (Украина, 2008);

- European Geosciences Union, EGU General Assembly 2009, Geophysical Research Abstracts (Vienna, Austria, 2009);

-Конференция ИВТ-2010 «Информатика и вычислительная техника» (Ульяновск, 2010);

- International Astronomical Congress «Astrokazan-2011» (Kazan, 2011);

- European Planetary Science Congress 2011 (Nantes, France, 2011);

- Конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (Ульяновск, 2008, 2009, 2010, 2011 годы).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 11 печатных работ, в том числе, 7 статей, из них 2 - в изданиях, входящих в перечень ВАК; получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка условных сокращений, списка литературы и трех приложений. Общий объем составляет 183 страницы, основной текст изложен на 134 страницах, включая 17 рисунков и 13 таблиц. Список литературы содержит 118 наименований использованных литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы актуальность темы, цель и задачи диссертации, научная новизна и практическая значимость исследований,

приведена информация об использовании, реализации, апробации результатов работы и содержание диссертации.

В первой главе приведена информация об основных понятиях и определениях лунной астрометрии; описываются существующие каталоги координат лунных объектов на видимой стороне Луны (Schrutka-1, Baldwin, AMS, ACIC, Schrutka-2, Голосеево-2, Mills и др.), на всей поверхности Луны (ULCN, CLCN, ULCN2005); анализируются проблемы, возникающие при формировании селеноцентрической системы координат.

Можно констатировать, что благодаря селенодезическим исследованиям, выполненным к настоящему времени в различных странах, получен обширный материал в виде каталогов координат нескольких тысяч деталей на видимом полушарии Луны.

Однако следует подчеркнуть, что центром координатных систем, закрепляемыми этими каталогами, являлся центр видимой части фигуры Луны, а оси не совпадали с ее осями инерции. Попытки решить проблему совмещения центра с центром массы решались рядом исследователей как в России (Гаврилов, Кислток, Липский, Никонов, Шакиров, Ризванов, Валеев и др.), так и за рубежом (Archinal, Rosiek и др.). Для решения этой задачи привлекались фотоснимки Луны со звездами, а также результаты космических траекторных измерений. На сегодняшний день наиболее удачным решением является Казанский селеноцентрический каталог 1162 объектов (КСК-1162), полученный с использованием крупномасштабных снимков Луны со звездами (Ризванов, Нефедьев и др.). Первый эксперимент по применению крупномасштабных снимков Луны со звездами, выполненный в условиях АОЭ КГУ для построения каталога координат 30 лунных объектов, был предпринят в работе (Валеев, 1969).

В связи с созданием КСК-1162 появляется возможность распространить эту систему как путем «сгущения» по общим объектам, применяя для этой цели каталоги на видимую сторону, так и путем «расширения» на обратную сторону Луны, используя, в частном случае, глобальный американский каталог ULCN2005. Решение этой задачи требует прецизионного перевода координат из одной системы в другую, что может быть осуществлено математической моделью, описывающей это преобразование в виде матрицы ориентации и вектора смещения центров. Отмеченная детерминированная модель ТК традиционно используется в зарубежных и отечественных селенодезических работах по созданию сводных квазидинамических каталогов на видимую сторону Луны, однако следует признать, что разнообразные случайные ошибки координат общих объектов «искажают» геометрию преобразования, тем более, в условиях взаимозависимости параметров модели. Предлагаемые вместо простой модели ее модификации (семипараметрическая модель (Гаврилов, Кислюк); модель, включающая учет деформаций по осям (Хабибуллин, Чиканов) и др.), не решают основной проблемы точности ТК из-за указанных ограничений. Что же касается оригинального метода последовательной редукции, примененного в ГАИШ МГУ (Липский, Никонов) для оценивания

параметров ТК, то его применение не основано на общих объектах сравниваемых систем.

Попытка учесть условия ортогональности в задаче селенодезической ТК была предпринята С.Г. Ванеевым (1978) при обработке снимков с КА «Зонд-8»; без использования этих условий высоты объектов на обратной стороне Луны оказывались завышенными на несколько километров по сравнению с американскими альтиметрическими измерениями. С применением модели ТК с нелинейными ограничениями в виде равенств, обеспечивающих ортогональность преобразований, была построена селенодезическая сеть на западное полушарие Луны по измерениям снимков с КА «Зонд-8» (А/а1ееу, 1986). В отличие от этого метода, в котором элементы вектора смещения определялись по остаточным рассогласованиям, в 8-параметрическом методе (Алексашин и др., 1989) с учетом условий ортогональности перехода определялись элементы вектора смещения, параметры Родрига-Гамильтона и масштабный множитель. Этот подход был применен при построении каталога координат объектов на обратную сторону Луны в зоне отечественных и американских фотосъемок с КА.

Таким образом, можно констатировать, что на сегодняшний день неизвестно, какая из моделей ТК (геометрическая без учета или с учетом условий ортогональности; а если с учетом, то какая из них) гарантирует наиболее высокую точность трансформации (прогнозирования) координат при создании глобальной селеноцентрической сети. Решение этого вопроса наиболее востребовано при расширении (экстраполяции) КСК-1162 на обратную сторону Луны. Не менее важным является вопрос о разработке новой модели ТК, пригодной уже при сгущении сети КСК с учетом других ошибок, помимо ошибок из-за несоблюдения условий ортогональности.

Указанные обстоятельства обуславливают актуальность прецизионного решения задачи ТК для распространения сети КСК на основе гибридного метода, предусматривающего адаптацию к нарушению условий применения МНК как при расширении, так и сгущении сети.

Во второй главе рассматриваются методика и алгоритмы реализации гибридного метода трансформации селеноцентрических координат.

Все разнообразие подходов к решению задачи ТК по общим объектам можно свести к математическим моделям двух типов: детерминированным и аппроксимирующим преобразованиям. От детерминированных моделей следует ожидать высокую точность ТК при решении задачи экстраполяции, тогда как задача интерполяции при применении аппроксимирующих выражений и АРМ-подхода (Валеев, 1991) может быть решена более точно, чем при детерминированном описании.

Из набора условий (требований) корректного применения МНК первоочередными являются требования независимости оцениваемых параметров модели и их статистической значимости. К сожалению, эти и другие условия нарушаются. Для решения этих проблем в работе предлагается, исследуется и применяется гибридный метод трансформации селеноцентрических координат построения сводной ССК, основанный на

соединении двух подходов (детерминированного и аппроксимирующего) к решению задачи ТК:

— на детерминированных (геометрических) моделях ТК с ограничениями в виде равенств, обеспечивающими ортогональность координатных осей при преобразовании в задаче расширения опорной ССК на обратную сторону Луны;

- и на аппроксимирующих алгебраических полиномах при решении задачи сгущения опорной ССК с привлечением каталогов координат лунных объектов на видимой стороне.

С помощью геометрических моделей с ограничениями решается проблема независимости оценок; для аппроксимирующих моделей (адаптивных регрессий) - проблемы статистической значимости и независимости оцениваемых параметров.

В качестве опорной ССК применяется Казанский каталог селеноцентрических координат на видимую сторону Луны КСК-1162.

Детерминированные модели и алгоритмы оценивания их параметров.

При расширении КСК-1162 (системы Y) основной является проблема прецизионного определения элементов матрицы ориентации и вектора смещения начал при переходе из системы координат X в другую по общим точкам:

Y=AX+Xo, (1)

где А - матрица ориентации, Хо - вектор смещения начала координат системы X по отношению к нуль-пункту системы координат Y.

Актуальность точного решения задачи особенно возрастает при экстраполяции координат. В нашем случае это особенно важно, так как объекты обратной стороны Луны находятся вне множества опорных точек.

Детерминированные модели основаны на классической модели аффинного преобразования (1). Геометрическое преобразование (1) не всегда обеспечивает удовлетворительную точность. Из-за ошибок в определении координат в обеих системах и возможной мультиколлинеарности (взаимозависимости) оценок матрица А часто не удовлетворяет условиям ортогональности перехода из X в Y, записываемым в виде:

ATA=E,detA=l. (2)

В связи с этим основным детерминированным преобразованием следует считать выражение (1), рассматриваемое совместно с условиями (2). Эта задача с точностью до расхождения центров систем X и Y и масштабного множителя решается в данной работе численным методом оптимизации. В теории оптимизации она рассматривается как задача поиска относительного минимума квадратичной формы S=eTe с нелинейными ограничениями (2):

min sT8,

А, Хо е G, (3)

АТА= Е, detA= 1,

где е - вектор ошибок матричного уравнения регрессии, G - допустимая область.

Задачу (3) можно решить (с точностью до расстояния между центрами систем X и Y) чисто аналитическим путем. В этом случае вектор смещения Хо

определяется по остаточным рассогласованиям или по начальному приближению решением системы (1) по достаточно корректной вычислительной схеме МНК. Что же касается масштабного множителя, то при учете различий в средних радиусах Луны по каждому каталогу нет необходимости в его оценивании. Из недостатков метода можно упомянуть то, что в явном виде не определяются элементы вектора смещения.

Рассматривается аналитический алгоритм оценивания (Валеев, 1986) для решения типичной селенодезической задачи. Преимущества данного алгоритма в том, что он учитывает условие ортогональности перехода. Метод основан на алгоритме получения матрицы А, предложенном Элбакян К.И. (1973).

Для численного решения задачи ортогонального перехода был выбран метод множителей Лагранжа. Преимущество этого алгоритма в том, что вычислительный процесс завершается по достижению заданной точности.

Задача нахождения экстремума функции Г(х) рассматривается при условии, что аргумент удовлетворяет системе уравнений

Ф^х) = 0, ¡ = 1,2,...,ш, (4)

где - дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции

векторного аргумента х = (х1х1 ...хп)т.

Из перспективных способов детерминированного описания ТК следует отметить восьмипараметрический алгоритм (Алексашин Е.П. и др., 1989). В нем осуществлена попытка определить матрицу перехода (с учетом условия ортогональности) и вектор смещения.

Вместо прямого оценивания элементов матрицы А вначале определялись элементы вектора 0:

в=(Хо, Хо, Хз, к) ,

где Хо — вектор смещения в (1); )-а, Хи Х2, - параметры Родрига-Гамильтона; к - масштабный множитель. Для решения была сформирована целевая функция с помощью множителей Лагранжа, учитывающих ряд ограничений и связывающих как оцениваемые и измеряемые параметры, так и параметры Хо, Х2, Х3. В конечном итоге задача решалась итерационным методом Ньютона-Рафсона. Элементы матрицы А затем определялись по параметрам Родрига-Гамильтона.

Таким образом, из описанных моделей ТК наиболее предпочтительной для расширения сети (экстраполяции) следует считать модель (1), рассматриваемую совместно с условиями (2). Однако для подтверждения этого вывода необходимы вычислительные эксперименты, с помощью которых дополнительно можно выявить наиболее эффективную по точности модель ТК с учетом условий ортогональности из трех конкурирующих.

Адаптивные регрессии и алгоритм их синтеза. Достижение максимально высокой точности ТК при сгущении сети (интерполяции) обеспечивается решением следующих задач:

- Обоснование применимости адаптивного регрессионного моделирования (АРМ-подхода (Валеев, 1991)), предусматривающее при формировании полиномиальной модели по каждой координате: 1) оценку

качества модели ТК, 2) диагностику соблюдения условий применения вычислительной схемы МНК (в частном случае, условий Гаусса-Маркова), 3) численную адаптацию к существенному нарушению того или иного условия;

- Разработка алгоритма применения АРМ-подхода, включающего:

1) критерии точности перехода, 2) набор конкурирующих математических моделей ТК, 3) соответствующее множество методов структурно-параметрической идентификации, 4) сценарий обработки данных с оценкой прогностических свойств модели, диагностикой нарушения условий и адаптацией при нарушениях для обеспечения требуемых оптимальных свойств оценок (состоятельности, несмещенности и эффективности).

В АРМ-подходе постулируется, что структура модели ТК (1) неизвестна для каждой пары каталогов и ее необходимо найти из множества конкурирующих. На основе уравнения (1) для каждой из трех пространственных координат (например, первой) можно записать матричное уравнение регрессии:

У=Х(3+е, (5)

добавляя вектор ошибок е и считая первую строку матрицы Л вектором р. Очевидно, при структурной идентификации одновременно оцениваются и параметры уравнения, а именно, элементы вектора (3 для простого случая (5). В этом случае возникает проблема соблюдения условий применения известной теоремы Гаусса-Маркова (ТГМ).

Оценки параметров для каждого из трех уравнений ТК, например, вида (1) оптимальны при соблюдении приведенных ниже условий, накладываемых на выборку данных для решения (5), вектор р, матрицу X, векторы ошибок е и наблюдений У. Кроме того, при совместном решении всех трех уравнений предполагается, что они независимы друг от друга.

При нарушении условий (порознь, в комбинациях друг с другом, все вместе) оценки компонент вектора р для каждого из уравнений будут несостоятельными, смещенными и неэффективными, то есть неоптимальными.

Достаточно кратко условия, накладываемые на каждый элемент структуры (5), можно записать в виде: 1) для выборки данных достаточность и однородность наблюдений, репрезентативность, отсутствие грубых промахов,

2) для вектора р линейность по вектору, отсутствие для него ограничений, наличие аддитивной постоянной р0, 3) для матрицы X линейная независимость столбцов, неслучайность элементов, 4) для вектора ошибок е их аддитивность, нормальность распределения, отсутствие систематического смещения, постоянство дисперсии, некоррелированность, статистическая независимость при нормальности распределения. Поскольку при ТК используются три уравнения вида (5), объединенные в (1), дополнительно предполагается, что МНК правомерно применять к каждому из них в отдельности.

Предлагаемый алгоритм ТК должен обеспечить получение адекватных по выбранным критериям точности моделей ТК для разных каталогов, сводимых в принятую опорную систему.

Для прецизионного решения необходимо:

- применять «внешние» меры качества модели, формируемые по

контрольным выборкам из множества общих объектов;

- диагностировать остатки для исходной и оптимальной модели;

- выполнять адаптацию в случае существенного нарушения условий МНК.

Из мер качества статистических моделей (регрессий), какой являются как матричная модель (1), так и алгебраические полиномы порядка выше первого по трем переменным, в алгоритме используются «внутренние» и «внешние» меры. К «внутренним» мерам (критериям) можно отнести: Б - стандартную ошибку аппроксимации, И2 - коэффициент детерминации, Р - наблюдаемое значение Р-статистики, которые получаются при дисперсионном анализе данных в вычислительной схеме МНК. Из этих параметров наиболее предпочтительным является Р-критерий. Численные эксперименты показали, что из «внутренних» мер качества именно этот критерий в большинстве случаев приводит к результатам, получаемым при использовании внешних критериев, в частности, среднеквадратической ошибки (СКО) Яд. Последние формируются на контрольных точках, не используемых при моделировании, и могут считаться единственно надежными при определенных условиях.

Для аппроксимирующих моделей ТК разработан обобщенный алгоритм синтеза адаптивных регрессий, включающий этапы (рис. 1):

- оцениваются параметры, статистики и критерии качества для модели-«гипотезы» и выполняется диагностика остатков;

- при малой размерности модели (до 20 слагаемых) методом полного перебора идентифицируется модель ТК, оптимальная по выбранному критерию качества (желательно, по вд); тем самым устраняются в основном статистически незначимые слагаемые модели;

- параметры оптимальной по Эд модели заново переопределяются методом гребневого оценивания; если при этом снижается, то за окончательный вариант принимается модель с соответствующими параметрами. Для контроля на последнем шаге остатки для принятой модели заново подвергаются диагностике.

Проверка качества модели Диагностика модели

Проверка качества модели

Диагностика модели Проверка качества модели

Диагностика моде.1 и Рис. 1. Структурная схема алгоритма 11

Здесь МР - метод множественной регрессии; ПР - метод пошаговой регрессии; ПП - метод полного перебора; ГР - гребневая регрессия.

Пунктирными линиями выделены те фрагменты алгоритма, которые являются добавочными и при необходимости могут быть отключены с помощью соответствующих настроек.

Алгоритм реализуется набором следующих вычислительных процедур.

Процедура формирования исходной модели на основе полинома. Рассматриваемая процедура строит полином произвольной (второй или третьей) степени по заданным переменным.

Множественная регрессия. Множественная регрессия определяется для некоторого множества независимых переменных и каждой из трех зависимых переменных.

Пошаговая регрессия. Пошаговая регрессия является статистическим методом анализа связи мевду зависимой переменной (у) и множеством независимых переменных (Х|,*2,-"»*1я)> и осуществляет выбор независимых переменных в порядке их значимости.

Процедура используется в том случае, когда размерность модели превышает возможности полного перебора конкурирующих структур.

Полный перебор. Задача поиска оптимального подмножества регрессоров ставится следующим образом. Рассматривается модель- «гипотеза» в виде:

у, = А>+р-1+£'- (6)

На основании (6) формируется множество 2Р~] моделей, содержащих

*0 (хо = 1) и некоторое количество регрессоров из множества .

Из этого множества выбирается модель, оптимальная по заданному критерию. В качестве критерия могут использоваться внутренние меры, внешние меры.

Гребневая регрессия. Распространенным нарушением, особенно при построении полиномиальных моделей, является мультиколлинеарность регрессоров - наличие между ними связи, близкой к линейной. В этом случае, как альтернативе введению ограничений для детерминированной модели с целью соблюдения условия ортогональности, мы предлагаем использовать гребневое оценивание параметров регрессионной модели. При заданной структуре модели основная проблема получения гребневых оценок - выбор параметра, вызывающего малое смещение диагональных элементов матрицы нормальной системы и обеспечивающего при этом эффективность оценивания. В отличие от стандартного подхода, при котором параметр выбирался пользователем или задавался в виде константы, в новой модификации его значение определялось численным методом одномерного поиска, где целевой функцией являлась среднеквадратическая ошибка прогноза (внешняя мера).

Для анализа качества модели и диагностики нарушения условий РА-МНК применяются процедуры в виде библиотек.

Библиотека «Критерии качества» предназначена для выявления степени адекватности модели наблюдениям и выявления степени пригодности модели для аппроксимации в данном выборочном пространстве. В программе реализованы три вида статистических мер соответствия: внешние - для модели,

претендующей на детерминированность, внутренние - для аппроксимации модели, смешанные - для оценки адекватности модели наблюдениям вне выборочного пространства, а также для сравнения моделей друг с другом.

Библиотека «Диагностика соблюдения предположений» представляет собой набор процедур проверки соблюдения основных предположений МНК: избыточность и недоопределенность модели, мультиколлинеарность регрессоров, нормальность распределения остатков, математическое ожидание остатков, гетероскедастичность, независимость остатков.

Методика ТК при распространении селеноцентрической сети. На основе рассмотренных геометрических моделей и алгоритмов синтеза адаптивных регрессий разработана методика реализации гибридного метода трансформации координат лунных объектов, включающая этапы расширения и сгущения опорной селеноцентрической сети (см. также рис. 2).

Этап расширения сети:

- Загружаются каталоги X и У.

- Осуществляется поиск общих точек в сравниваемых системах по заданному критерию.

- Для оценивания параметров детерминированных моделей в исследовательском режиме применяются следующие численные методы:

1. Геометрическая модель (1); МНК (численная схема Гаусса-Жордана).

2. Модель (1) с учетом условий (2); решение задачи оптимизации (3), аналитическое решение на основе метода множителей Лагранжа.

3. Модель (1) с учетом условий (2); численное решение методом Ньютона задачи поиска относительного минимума квадратичной формы ете с нелинейными ограничениями (2) на основе метода множителей Лагранжа.

4. Восьмипараметрическая модель, учитывающая условия (2). Для решения формируется целевая функция с помощью множителей Лагранжа. В конечном итоге задача решается итерационным методом Ньютона-Рафсона. Элементы матрицы А затем определяются по параметрам Родрига-Гамильтона.

- Далее оценивается эффективность методов ТК по внешней точности.

- Проверяется соблюдение условия ортогональности для 1-4.

- Осуществляется перевод координат объектов обратной стороны Луны т), X., р, р) из системы X в У.

- В рабочем режиме вместо перебора моделей 1-4 используется модель 4.

Этап сгущения сети:

- Загружаются каталоги X и У.

- Осуществляются поиск общих точек в сравниваемых системах по заданному критерию и подготовка исходных данных.

- Строится алгебраический полином второй или третьей степени по трем переменным по каждой координате.

- Алгоритм структурно-параметрической идентификации адаптивных регрессий автоматически реализуется последовательно выполняемыми вычислительными процедурами:

1. Множественная регрессия (МНК, вычислительная схема Гаусса-Жордана);

2. Пошаговая регрессия (МНК, численная схема Хаусхолдера);

3. Полный перебор (МНК для каждой структуры, численная схема Хаусхолдера);

4. Выбирается оптимальная по Sa модель; в ней устранены в основном статистически незначимые слагаемые модели.

5. Гребневая регрессия. Параметр регуляризации находится методом одномерного поиска. Устраняется мультиколлинеарность.

- На основе оптимальных моделей по каждой координате осуществляется перевод из системы X в Y.

В третьей главе описывается программное обеспечение «Автоматизированная система трансформации селеноцентрических координат» (АС ТСК).

Автоматизированная система трансформации селеноцентрических координат (АС ТСК) предназначена для получения моделей трансформации координат с наилучшими линейными оценками параметров для координатных систем, преобразуемых в селеноцентрическую систему координат. Программа может быть широко использована в планетодезии и небесной механике. Пакет разработан на кафедре «Прикладная математика и информатика» Ульяновского государственного технического университета. Программный комплекс АС ТСК состоит из интерфейсной, управляющей частей и модулей, реализующих заданные алгоритмы. Пакет АС ТСК имеет простой и удобный интерфейс; разработан в свободной среде SharpDevelop 3.2 на языке С# с применением современных технологий программирования под OS Windows (ООП, .NET и Windows Forms).

Архитектуру программного продукта можно разделить на 2 независимые части: ядро и графическую оболочку. В ядре содержатся классы, реализующие основной функционал; взаимодействие с пользователем обеспечивает графическая оболочка. Такая архитектура упрощает взаимодействие с другими программными комплексами; например, части ядра можно перемещать в другие проекты. Структура АС ТСК позволяет добавлять новые алгоритмы расчетов (модули), что обеспечивает расширяемость программного комплекса.

Графическая оболочка написана с применением API Windows Forms. Оболочка осуществляет взаимодействие с пользователем и устраняет множество ошибок, связанных с некорректными действиями.

АС ТСК позволяет в автоматизированном режиме отождествления общих объектов сравниваемых координатных сетей (каталогов) получать положения объектов одного из каталогов в системе другого как для детерминированных моделей при ортогональной матрице ориентации, так и для аппроксимирующих преобразований при применении модифицированного пакета СПОР. Ниже представлено краткое описание модулей, составляющих ядро, и представлена схема работы пакета.

Рис. 2. Структурная схема АС ТСК

Модули первичной обработки данных. Подготовка данных для решения основной задачи обеспечивается тремя модулями с назначениями: перевод сферических координат объектов в прямоугольные, перевод прямоугольных координат объектов в сферические, поиск общих объектов в прямоугольной системе координат.

Модули формирования детерминированных моделей. С их помощью определяются элементы матрицы ориентации и векторы смещения центров координатных систем для модели (1) геометрическим методом и для модели (1) с учетом условий ортогональности (2) аналитическим, численным и 8-параметрическим методами.

Возможны три режима работы при детерминированном описании -с автоматическим случайным формированием контрольной выборки, с использованием текущей контрольной выборки и с выборкой, взятой из файла. Размер контрольной выборки можно задать на усмотрение пользователя. По умолчанию она составляет 10 % от общего количества наблюдений.

Модуль ТК. Предназначен для трансформации прямоугольных координат из системы У в систему X по матрице ориентации А и вектору смещения Хо.

Процедура автоматического синтеза адаптивной регрессии в среде «Система поиска оптимальньрс регрессий» (СПОР-20П). Процедура автоматического синтеза адаптивной регрессии реализована в среде последней версии пакета СПОР (Валеев и др., 2011). Предварительно эта версия была

15

модифицирована: интегрированы библиотеки анализа качества модели и соблюдения предположений РА-МНК, модифицирована процедура «Гребневая регрессия» путем введения алгоритма поиска оптимального значения параметра регуляризации.

В четвертой главе анализируются результаты применения пакета АС ТСК для решения задачи сгущения на видимой стороне и расширения на обратную сторону Луны сети базисных точек КСК-1162, фиксирующей систему селеноцентрических координат с центром, совпадающим с центром массы Луны и осями, направленными вдоль ее осей инерции.

Анализ эффективности методов ТК при решении задачи сгущения сети. Детерминированные модели. Для сгущения системы КСК-1162 использовались элементы перехода А и Хо уравнения (1), полученные по геометрической модели без учета условий (2) (ГМ), аналитическим (ГМО-1), численным (ГМО-2) и 8-параметрическим (ГМО-3) методами с учетом (2). Общие точки для каждой пары каталогов (X, У) отождествлялись программно в прямоугольной системе координат г|, С) по расхождениям, не превышающим по модулю соответственно значения 0,001; 0,001; 0,002 среднего лунного радиуса (11=1738 км).

Сравнение по точности. Эффективность по точности детерминированных моделей ТК с ограничениями оценивалась сравнением с результатами, полученными по модели (1) без учета условий ортогональности. В результате решена задача выбора детерминированного метода, оптимального по критерию Эд (ошибке прогнозирования) по каждой координате, для сгущения базисной сети в зоне общих точек.

Численные эксперименты на малых выборках общих объектов показали, что из трех детерминированных моделей с ограничениями и простой геометрической модели (1) предпочтение следует отдать 8-параметрической модели с ограничениями. При ее использовании получены следующие результаты по точности для каждой из пар каталогов по сравнению с моделью (1) по координате ¡¡, определяющей основное значение высот (по координатам £ и г| расхождения статистически незначимы при а=0,05).

Таблица 1. Оценка точности по двум детерминированным методам ТК •_на малых выборках для ряда пар по координате С,_

№ Пара каталогов КСК-1162 и... Количество общих точек Ошибка S& в долях R по С, Повышение точности в % при ГМО-3

ГМО-3 ГМ

1 SCHRUTKA-1 33 0,000876 0,000979 11,7

2 Goloseevo-2 44 0,001136 0,001438 26,6

3 AMS 52 0,000688 0,000858 24,7

4 ACIC 64 0,000629 0,000708 12,6

5 MILLS-2 93 0,000750 0,000987 31,5

Численные эксперименты на больших выборках, содержащих от 450 до 659 объектов, (КСК-1162, ULCN2005; КСК-1162, Kiev при решении задачи сгущения) показали, что при использовании детерминированных моделей с ограничениями и простой геометрической модели затруднительно отдать предпочтение одной из них. По результатам усредненных значений «внешних» СКО SA по 10 случайным выборкам можно отметить, что все четыре метода, три из которых с ограничениями, имеют примерно одинаковую точность при

трансформации селеноцентрических координат (различия статистически незначимы при а=0,05) по всем трем координатам.

Таблица 2. Оценка точности по четырем методам ТК на большой выборке (КСК-1162, Ш.СТ2005)

Модель Усредненные значения в единицах Я по координатам

? Ч С

Геометрическая (ГМ) 0,000508 0,000443 0,000858

Геометрическая с ограничением. Аналитический (ГМО-1) 0,000506 0,000465 0,000872

Геометрическая с ограничением. Численный (ГМО-2) 0,000506 0,000466 0,000872

Геометрическая с ограничением. 8-параметрический (ГМО-3) 0,000507 0,000456 0,000860

Сравнение по соблюдению условия ортогональности. Анализируя результаты проверки степени соблюдения условий ортогональности осей координат (2), представленные частично в таблице (3) и (4) для одной из пар с малым объемом выборки и пар с большим объемом, можно придти к заключению, что для малых выборок заметное снижение степени соблюдения условий (2) ведет к понижению точности прогнозирования, тогда как для больших выборок при заметном повышении по свойству (2) для ГМ отличия по точности оказываются статистически незначимы. Таким образом, экспериментально доказано, что несоблюдение условий (2) понижает точность ТК при малом объеме общих точек пар каталогов.

Таблица 3. Оценка степени соблюдения условий ортогональности _для пары (КСК-1162, Сю'.05ееУ0-2) при малой выборке_

Геометрическая модель (ГМ)

АТА 1,000774 -0,000119 0,000785

-0,000119 0,999915 -0,000159

0,000785 -0,000159 0,996474

сЗе! А 0,998579

Геометрическая модель с ограничением (ГМО-3)

АТА 1,000093 0,000000 0,000000

0,000000 1,000092 0,000000

0,000000 0,000000 1,000093

<Ы А 1,000139

Таблица 4. Оценка степени соблюдения условий ортогональности для пары (КСК-1162, ЦЬСЫ2005) при большой выборке

Геометрическая модель (ГМ)

АТА 0,999906 0,000074 -0,000031

0,000074 0,999603 0,000559

-0,000031 0,000559 0,999413

¿с! А 0,999461

Геометрическая модель с ограничением (ГМО-3)

АТА 0,999671 0,000000 0,000000

0,000000 0,999671 0,000000

0,000000 0,000000 0,999671

йее А 0,999506

Сравнение по расхождениям высот для одноименных объектов. Представляет интерес уточнить как влияют различные детерминированные модели ТК на значения высот объектов на видимой стороне Луны. Результаты по трем объектам представлены в таблицах 5 и 6.

Таблица 5. Координаты трех объектов на видимой стороне Луны (КСК-1162, Оо1о5ееУо-2)

№ точки £;, в долях Я Т1, в долях Я С, в долях Я Р, км Модель ТК

0,22751 -0,81179 0,53345 1734,0 ГМ

311 0,22734 -0,81182 0,53243 1733,1 ГМО-1

0,22720 -0,81177 0,53219 1732,7 ГМО-2

0,22713 -0,81178 0,53213 1732,7 ГМО-3

0,39531 -0,83991 0,36873 1736,1 ГМ

321 0,39516 -0,83989 0,36735 1735,1 ГМО-1

0,39494 -0,83982 0,36704 1734,6 ГМО-2

0,39488 -0,83983 0,36699 1734,6 гмо-з

0,64462 -0,52515 0,55655 1739,0 ГМ

340 0,64434 -0,52517 0,55558 1737,8 ГМО-1

0,64419 -0,52515 0,55519 1737,2 ГМО-2

0,64415 -0,52519 0,55518 1737,2 гмо-з

Таблица 6. Координаты трех объектов на видимой стороне Луны (КСК-1162, иЬСК2005)

№ точки £, в долях Я Я, в долях Я С, в долях Я р, км Модель ТК

0,00693 -0,99960 0,00224 1737,5 ГМ

3527 0,00689 -0,99954 0,00223 1737,4 ГМО-1

0,00689 -0,99954 0,00223 1737,4 ГМО-2

0,00695 -0,99927 0,00221 1736,9 ГМО-3

0,00894 -0,99956 0,00308 1737,4 ГМ

106537 0,00890 -0,99950 0,00307 1737,3 ГМО-1

0,00890 -0,99950 0,00307 1737,3 ГМО-2

0,00896 -0,99923 0,00305 1736,8 ГМО-3

-0,00095 -0,99958 0,00010 1737,4 ГМ

129860 -0,00099 -0,99953 0,00009 1737,3 ГМО-1

-0,00099 -0,99953 0,00009 1737,3 ГМО-2

-0,00093 -0,99925 0,00007 1736,8 ГМО-3

Данные таблиц иллюстрируют следующее: 1) что расхождения высот (радиус-векторов р) при использовании ГМ и ГМО-3 для малых выборок общих точек гораздо значительней (таблица 5; от 1 до 2 км), чем для больших выборок (таблица 6; около 0,6 км); 2) при использовании малых выборок общих точек для построения моделей ТК неучет условия ортогональности в ГМ приводит при преобразованиях в базисную систему к завышению высот объектов до 1-2 км.

Анализ эффективности методов ТК при решении задачи сгущения сети. Аппроксимирующие модели. В качестве альтернативы детерминированным методам с ограничениями, в частности ГМО-3, нами предлагаются аппроксимирующие модели в виде адаптивных регрессий. Их эффективность анализируется ниже.

Сравнение по точности. В таблице 7 приведены результаты оценки точности прогнозирования для аппроксимирующих моделей, получаемых поэтапно при реализации нового алгоритма обработки данных (полином третьей степени; усеченный полином после полного перебора структур из 219 конкурирующих; этот же полином, но с параметрами, полученными методом гребневой регрессии).

Таблица 7. Оценка точности по трем этапам синтеза адаптивной регрессии для пары (КСК-1162, Ц1ХК2005)

Модель N * в единицах Я

Ч С

Множ. регрессия в виде полинома ПЗ 0,000502 0,000551 0,000973

Полный перебор (ПП) 0,000398 0,000394 0,000755

Гребневая регрессия (ГР) 0,000391 0,000390 0,000749

Сравнивая по последней строке с результатами таблицы 2, приходим к выводу о заметном снижении погрешности прогнозирования по всем трем координатам при использовании аппроксимирующих моделей в виде адаптивных регрессий.

Сравнение по расхождениям высот для одноименных объектов.

Таблица 8. Координаты трех объектов на видимой стороне Луны (КСК-1162, Ц[.СЫ2005)

№ точки в долях Я Л, в долях Я С в долях Я р, км Модель ТК на основе ПЗ

3527 0,00732 -0,99914 0,00361 1736,7 ПП

0,00736 -0,99913 0,00359 1736,6 ГР

106537 0,00933 -0,99910 0,00446 1736,6 ПП

0,0093 7 -0,99909 0,00444 1736,6 ГР

129860 -0,00056 -0,99912 0,00150 1736,6 ПП

-0,00052 -0,99911 0,00148 1736,6 ГР

Высоты объектов, представленные в таблице 8, близки по значениям к высотам одноименных объектов, приведенным в таблице 6 для ГМО-3.

Представляет интерес сравнить результаты значений остатков, характеризующих степень соблюдения свойств НЛО, для геометрической модели без ограничений (ГМ) и адаптивной регрессии (АР).

Таблица 9. Результаты диагностики остатков при применении ГМ и АР

Модель Координата Соблюдение свойств НЛО

Все регрессоры статистически значимы Параметры модели независимы Распределение остатков нормальное Математическое ожвдание остатков равно нулю Гомоскедас-тичность Автокорреляция отсутствует

ГМ нет нет нет да нет нет

П нет нет нет да нет нет

С нет нет нет нет нет нет

АР $ да да да да нет да

1 Да да да да да Да

С, да да да да да Да

Анализ эффективности методов ТК при решении задачи сгущения сети. Гибридные модели. Учитывая положительные качества детерминированных моделей с ограничениями, в частности ГМО-3, и аппроксимирующих моделей в виде адаптивных регрессий, нами предлагается описать преобразование из одной системы координат в другую, используя гибридную модель, содержащую достоинства и преимущества вышеуказанных методов. Их эффективность анализируется ниже.

Сравнение по точности.

В таблице 10 представлены оценки точности прогнозирования на паре КСК-1162, иЬСШ005. В первой строке приведены усредненные значения 8д в единицах К (11=1738 км) по 10 случайным контрольным выборкам при использовании ГМО-3 (восьмипараметрический метод); во второй - при применении АР-моделей в виде аппроксимирующих алгебраических полиномов третьей степени; в третьей - при использовании гибридной модели, описанной выше. Проанализировав полученные результаты можно сделать

следующий вывод: 1) эффективной по точности моделью преобразования при решении задачи сгущения сети является двухкомпонентная гибридная модель

преобразования.

_Таблица 10. Оценка "точности прогнозирования AP-моделей на парс (КСК-1162, ULCN2Q05)

Модель Усредненные значения Sa в единицах R по координатам

Ч С

гмо-з 0,000507 0,000456 0,000860

АРПЗПП 0,000429 0,000416 0,000790

Остатки ГМО-3 АР П3 ПП 0,000429 0,000411 0,000781

Выводы по решению задачи сгущения сети:

1. Решена проблема выбора детерминированного метода, оптимального по критерию минимума ошибки прогноза по каждой координате на малых выборках (КСК-1162, ARTHUR; КСК-1162, Baldwin; КСК-1162, SCHRUTKA-1; КСК-1162, SCHRUTKA-2; КСК-1162, Goloseevo-1; КСК-1162, Goloseevo-2; КСК-1162, AMS; КСК-1162, ACIC; КСК-1162, MILLS-2) для решения задачи интерполяции в зоне общих точек. Наилучшим по точности прогнозирования является 8-параметрический метод ТК.

2. Точность ТК на малых выборках по координате С,, направленной к Земле, выше при применении детерминированных подходов (модель (1) (2)), чем при использовании классической модели (1) в среднем на 14,5%.

3. При применении детерминированных подходов на больших выборках (КСК-1162, ULCN2005; КСК-1162, Kiev) - все четыре метода имеют примерно одинаковую точность при трансформации селеноцентрических координат (различия статистически незначимы).

4. При решении задачи сгущения сети по большому массиву общих объектов наилучшими по точности прогнозирования (интерполяции) являются адаптивные регрессии, синтезируемые на основе алгебраических полиномов третьей степени по каждой координате и трехэтапного алгоритма структурно-параметрической идентификации, а также двухкомпонентная гибридная модель, содержащая одновременно и детерминированную, и аппроксимирующую части. Параметры адаптивных регрессий имеют свойства наилучших линейных оценок.

Эффективность методов ТК при решении задачи расширения (экстраполяции) сети. Практически важной задачей является задача экстраполяции селеноцентрической сети, имеющей большую выборку общих точек с переводимой в ее систему сетью, на обратную сторону Луны. Такая проблема решается для пары каталогов (КСК-1162, ULCN2005) при 450 общих объектах. С учетом ранее полученных экспериментальных результатов для решения этой задачи ТК можно рекомендовать ГМО-3. Аппроксимирующие модели в виде адаптивных регрессий, показавшие наивысшую точность при решении задачи интерполяции, по логике построения пока не могут быть рекомендованы для экстраполяции и требуют дальнейших исследований.

Определенный интерес для анализа могут представлять результаты перевода координат нескольких объектов обратной стороны (ОС) Луны из системы ULCN2005 в КСК-1162. В таблице 11 в первой строке для каждого из шести объектов ОС (два объекта - в полярной зоне, четыре - в центральной части ОС)

приведена информация из каталога иЬСЫ2005, в остальных строчках -соответственно результаты ТК при применении модели ГМО-3.

Таблица 11. Координаты объектов из каталога 1ЛХШ005, приведенные _к системе КСК-1162 с применением модели ГМО-3_

№ точки t, в долях R Л, & долях R С, в долях R р, км

1129 -0,01456 -0,99935 -0,00292 1737,2

-0,01430 -0,99863 -0,00283 1735,9

27301 -0,03542 -1,00059 -0,01759 1740,5

-0,03515 -0,99987 -0,01751 1739,2

1629 0,62355 0,69727 -0,35398 1738,4

0,62321 0.69714 -0,35352 1737,6

57725 -0,33907 -0,71182 -0,61145 1734,2

-0,33861 -0,71128 -0,61105 1732,8

62183 -0,23743 0,73083 -0,64014 1738,3

-0,23725 0,73058 -0,63961 1737,4

75422 0,22448 -0.72300 -0,64962 1733,9

0,22463 -0,72235 -0,64912 | 1732,5

Можно констатировать, что применение ГМО-3 ведет к понижению значений высот объектов исходного каталога от 0,8 до 1,4 км.

Модели ТК. Для пар каталогов (КСК-1162, ARTHUR; КСК-1162, Baldwin; КСК-1162, SCHRUTKA-1; КСК-1162, SCHRUTKA-2; КСК-1162, Goloseevo-1; КСК-1162, Goloseevo-2; КСК-1162, AMS; КСК-1162, ACIC; КСК-1162, MILLS-2) были получены детерминированные модели ТК, погрешности использования которых анализировались ранее. Для пар каталогов, имеющих большие выборки общих объектов, были получены модели в виде адаптивных регрессий (АР), представленные в таблице 12.

Таблица 12. Модели в виде АР для пар КСК-1162, ULCTOOOS; КСК-1162, Kiev.

Пара каталогов Модели в виде АР

КСК-1162, ULCN2005 5 -0,000086+1,000627Х1 +0,000426Х7 -0,000515XI4 -0.001495XI5-0,000309Xi6

П 0,000248 + 0.000198X] +0,999788Х2 - 0,000310Х4 - 0,000606Х17

С -0,001117 +1,000955Хз -0,000424X5 + 0,001385Х7 + 0,001178Х12

КСК-1162. Kiev \ 0,000227+1,000058Х[-0,000811Хз+0,002071Х5-0,000863Х1з-0,004080Х14

1 -0,000334+1,000183Х2 +0,000279Х3-0,000441Х16

С 0,000561+0,000220Х2+0,999228Хз+0,000928Х6+ 0,000924Хц-0,001250Х)3

где регрессоры XI, ..., Х)д являются соответствующими компонентами полинома третьей степени (ПЗ) по г), ¡¡.

Сводный селеноцентрический каталог (ССК). ССК, содержащий координаты 274093 объектов, был получен с применением модели ГМО-3 для обратной стороны Луны и АР-моделей, приведенных в таблице 12 для видимой стороны.

В заключительной части описаны основные результаты, приводятся выводы и отмечаются перспективы дальнейших исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основными результатами диссертации являются:

1. Гибридный метод моделирования координатных преобразований, оптимальный в условиях непостоянства свойств выборок данных для общих объектов координатных систем, основанный на детерминированных моделях с учетом условий ортогональности преобразований и аппроксимирующих моделях

в виде адаптивных регрессий соответственно при решении задач расширения и сгущения опорной селеноцентрической сети, а также при сгущении сети в виде двухкомпонентной модели, состоящей из детерминированной и аппроксимирующих частей.

2. Алгоритм формирования адаптивных регрессий, позволяющий учитывать систематические ошибки, включая и ошибки из-за взаимозависимости слагаемых модели трансформации координат, и тем самым при применении повышающий точность преобразований на 21 % по координате ¡;, на 13 % по координате т] и на 11 % по координате £ по сравнению с детерминированными моделями.

3. Решение проблемы выбора детерминированного метода оптимального по критерию минимума ошибки прогноза по каждой координате для решения задачи интерполяции в зоне общих точек, где наилучшим по точности прогнозирования на малых выборках является 8-параметрический метод трансформации координат; точность по координате С,, направленной к Земле, выше, чем при использовании геометрической модели (1) в среднем на 14,5 %; на больших выборках - все четыре метода имеют примерно одинаковую точность при трансформации селеноцентрических координат (различия статистически незначимы).

4. Модели трансформации координат с наилучшими линейными оценками параметров для 11-ти координатных систем, позволяющие осуществить сгущение и расширение опорной селеноцентрической сети на всю поверхность Луны.

5. Сводная селеноцентрическая система координат, закрепляемая координатами объектов на всей поверхности Луны, представляющая собой первый опыт расширения и сгущения опорной системы КСК-1162 на основе сети объектов системы ULCN2005.

6. Программный комплекс «Автоматизированная система трансформации селеноцентрических координат» для решения задачи координатного обеспечения на поверхности Луны, позволяющий получать наилучшие линейные оценки параметров с последующим их использованием для расширения и сгущения базовой селеноцентрической сети и обеспечивающий повышение точности при трансформации координат по сравнению с используемыми ранее методами.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Валеев, С. Г. Модели, методы и информационные технологии координатных преобразований / С. Г. Валеев, И. М. Шарафутдинов // Автоматизация процессов управления.-2011.-№ 2 (24).-С. 16-21.

2. Валеев, С. Г. Селеноцентрическая координатная сеть, построенная в системе каталога КСК-1162 / С. Г. Валеев, Ю. А. Нефедьев, И. М. Шарафутдинов, Н. Ю. Вараксина Н Ученые записки Казанского университета. Сер. физ.-матем. науки. -2011. - Том 153, Кн. 2,- С. 150-157.

Публикации в других изданиях

3. Валеев, С. Г. Модель поверхности Луны / С. Г. Валеев, Ю. А. Нефедьев, К. М. Самохвалов, И. М. Шарафутдинов, М. В. Кутленков, Н. Ю. Вараксина // Известия КрАО. -2009. -Том 104, № 6. - С. 206-211.

4. Валеев, С. Г. Построение единой селеноцентрической системы координат в системе центра масс и главных осей инерции Луны / С. Г. Валеев, Ю. А. Нефедьев, И. М. Шарафутдинов, М. В. Кутленков // Известия КрАО. -2009.-Том 104,№6.-С. 212-216.

5. Валеев, С. Г. Прецизионная трансформация селенодезических коордииат / С. Г. Валеев, Е. В. Борисова, И. М. Шарафутдинов // Сборник научных трудов Российской конференции ИВТ-2010 «Информатика и вычислительная техника». - Ульяновск : УлГТУ, 2010. - С. 67-71.

6. Valeev, S. Extension and distribution of Kazan Selenocentric reference System. / S. Valeev, Yu. Nefedjev, I. Sharafutdinov, N. Varaksina // International Astronomical Congress «Astrokazan-2011», August 22-30. - Kazan: изд. Казанского федерального университета, 2011. -С.61-64.

7. Valeev, S. Models and software for transformation of coordinate systems. / S. Valeev, I. Sharafutdinov // Internationa] Astronomical Congress «Astrokazan-2011», August 22-30. - Kazan: изд. Казанского федерального университета, 2011.-С. 68-72.

Тезисы конференций

8. Valeev, S. The construction method of united celenocentric coordinates system for visible and reverse Lunar sides, brought to the Lunar center masses and main axis of its inertia / S. Valeev, Yu. Nefedjev, I. Sharafutdinov, M. Kuttenkov, N. Varaksina // European Geosciences Union, EGU General Assembly 2009, Geophysical Research Abstracts. - 2009. - Vol.11. - P. EGU2009-11491.

9. Шарафутдинов, И. M. К вопросу распараллеливания вычислений в пакете АСНИ / И. М. Шарафутдинов // Тезисы докладов 43-й научно-технической конференции. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. - С. 127.

10. Валеев, С. Г. Проект программного комплекса ТСК / С. Г. Валеев, И. М. Шарафутдинов // Тезисы докладов 44-й научно-технической конференции.-Ульяновск : УлГТУ, 2010.-С. 156.

11. Valeev, S. Making selenocentric reference coordinates net in the dynamic system / S. Valeev, I. Sharafutdinov, Yu. Nefedyev, N. Varaksina // European Planetary Science Congress 2011, EPSC-DPS Joint Meeting, La Cite Internationale des Congres Nantes Metropole, Nantes, France.-2011.Vol.6. -P. EPSC-DPS2011-43.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ

12. Валеев С. Г., Шарафутдинов И. М. Автоматизированная система трансформации селеноцентрических координат (АС ТСК). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012611055 от 25.01.2012.

Шарафутдинов Ильгизар Мансурович

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ОБЪЕКТОВ НА ЛУННОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Автореферат Подписано в печать 15.03.2012. Формат 60*84/16. Усл. печ. л. 1,40. Тираж 100 экз. Заказ 263. Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.

61 12-5/3341

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На

правах рукописи

Шарафутдинов Ильгизар Мансурович

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ОБЪЕКТОВ НА ЛУННОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор

Валеев С.Г.

Ульяновск - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................5

1. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ЛУННЫХ ОБЪЕКТОВ............................................................................................................12

1.1. Основные понятия и определения лунной астрометрии (селенодезии)......................................................................................................12

1.2. Каталоги пространственных координат объектов на видимой стороне Луны......................................................................................................15

1.3. Каталоги пространственных координат объектов на всей поверхности Луны.............................................................................................25

1.4. Методы трансформации координат и сводные КСК..............................26

1.5. Проблемы при формировании селеноцентрической системы координат............................................................................................................34

1.6. Постановка цели и задач............................................................................37

2. МЕТОДИКА И АЛГОРИТМЫ РЕАЛИЗАЦИИ ГИБРИДНОГО МЕТОДА ТРАНСФОРМАЦИИ СЕЛЕНОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.........................................................................................................39

Введение.............................................................................................................39

2.1. Алгоритмы оценивания параметров моделей при решении задачи расширения КСК................................................................................................42

2.1.1.А. Аналитический алгоритм................................................................43

2.1.1.Б. Численный алгоритм........................................................................48

2.1.2. Восъмипараметрический алгоритм...................................................49

2.2. Алгоритм синтеза адаптивных регрессий для преобразований при решении задачи сгущения КСК........................................................................57

2.2.1. Обоснование алгоритма......................................................................57

2.2.2. Обобщенный алгоритм синтеза адаптивных регрессий.................60

2.2.3 Процедура формирования и анализа регрессий.................................62

2.3. Методика обработки данных при распространении опорной селеноцентрической сети..................................................................................68

3. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ «АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА ТРАНСФОРМАЦИИ СЕЛЕНОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ» (АС ТСК)....................................................................................72

3.1. Базовая версия АС ТСК..............................................................................72

3.2. Обзор входных и выходных файлов АС ТСК..........................................79

3.3. Функциональное наполнение АС ТСК.....................................................82

3.3. ¡.Модули первичной обработки данных................................................84

3.3.2.Модули формирования детерминированных моделей.......................84

3.3.3. Модуль трансформации координат..................................................84

3.3.4. Процедура автоматического синтеза адаптивной регрессии

в среде «Система поиска оптимальных регрессий» (СПОР-2011)..........84

3.4. Архитектура АС ТСК.................................................................................86

4. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ МОДЕЛЕЙ ТРАНСФОРМАЦИИ КООРДИНАТ И ИХ ПРИМЕНЕНА.................................................................91

4.1. Статистический анализ эффективности методов оценивания и структурно-параметрической идентификации...............................................91

4.1.1. Анализ эффективности методов ТК при решении задачи сгущения (интерполяции) сети.....................................................................91

4.1.2. Анализ задачи расширения (экстраполяции) сети.........................102

4.2. Модели преобразования координат объектов каталогов в систему КСК-1162..........................................................................................................104

4.2.1. Решение задачи интерполяции.........................................................104

4.2.2. Опыт редукции глобальной сети ULCN 2005 в динамическую

систему КСК-1162.......................................................................................111

4.3. Опытная версия глобальной селеноцентрической сети в системе КСК-1162..........................................................................................................113

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................114

УСЛОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ...........................................................................119

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................................................121

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Фрагмент исходного кода АС ТСК..................................135

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Оценка точности по двум детерминированным методам ТК на малых выборках по координате £............................................170

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Фрагмент сводного селеноцентрического каталога в системе КСК-1162............................................................................................172

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время и в ближайшей перспективе исследования Луны космическими аппаратами (КА) имеют все усиливающую практическую направленность: поиск воды, площадок для установки лунных баз, различного рода ресурсов и др. При этом эффективность управления КА при лунной навигации с минимизацией расхода энергетических ресурсов напрямую зависит от точности реализации селеноцентрической системы координат (ССК) и лунного гравитационного поля.

Практически ССК может быть реализована так называемым каталогом селеноцентрических координат (КСК) объектов, приближенно равномерно распределенных по всей лунной поверхности и образующих в совокупности так называемую глобальную селеноцентрическую опорную сеть. Первым приближением к КСК можно считать систему UL.CN 2005 [58], полученную на основе ряда каталогов координат лунных объектов (ККЛО) видимой стороны Луны, результатов обработки лимбовых и детальных фотоснимков и лазерной локации поверхности обратной стороны с КА. Последующие варианты этой системы отличаются большей плотностью опорных объектов и некоторой корректировкой нуль-пункта системы.

Основой этой системы и ее версий является сводная ССК на видимую сторону Луны, закрепляемая путем преобразования (трансформации) пространственных координат отдельных ККЛО в систему принятого опорного (базисного) каталога. Последний корректируется для достижения свойств селеноцентричности с привлечением результатов, полученных с КА.

Главной проблемой с начала селенодезических исследований (определение координат кратера Местинг А) и по настоящее время является проблема точности определения координат, формируемой ошибками идентификации в ККЛО и ошибками трансформации отдельной ККЛО в сводную систему по общим объектам.

Предметом исследований в работе является сводная селеноцентрическая система координат, закрепляемая сводным каталогом селеноцентрических координат; объектом исследований - модели и методы трансформации координат.

В диссертационной работе рассматривается решение задачи прецизионного перевода пространственных координат объектов из отдельного KKJIO (каталога координат лунных объектов) в базисный по общим точкам для создания сводного селеноцентрического каталога координат.

Вопросами разработки моделей преобразования лунных координат из одной системы в другую по общим объектам и методами оценивания их параметров занимались многие исследователи (Алексашин Е.П., Валеев С.Г., Гаврилов И.В., Кислюк B.C., Липский Ю.Н., Никонов В.А. и др.).

В настоящее время наиболее приемлемым путем распространения известного каталога селеноцентрических координат 1162 (КСК-1162), созданного в Казани в системе с центром масс и осями, совпадающими с осями инерции Луны, на большую часть поверхности Луны или при определенных условиях на всю ее сферу является применение детерминированного метода трансформации координат (ТК). Элементы матрицы перехода и вектора смещения начал можно получить по общим точкам для КСК-1162 и преобразуемого в его систему того или иного каталога, включая координатные системы, построенные по материалам орбитальных съемок с космических аппаратов (КА) серий «Зонд» и «Аполлон». Однако отмеченная выше детерминированная модель ТК (трансформации координат) не в состоянии описать разнообразные ошибки, которыми обременены прямоугольные координаты объектов в сравниваемых системах. Кроме того, при использовании для оценивания коэффициентов модели ТК метода наименьших квадратов (МНК) не учитываются условия его применения и, соответственно, не применяются адаптивные

вычислительные схемы обработки данных, что влечет к снижению точности преобразования координат. Возможность повышения точности координат объектов сводного КСК при сведении в селеноцентрическую систему отдельного или ряда ККЛО даже на относительно небольшой процент (с учетом потребностей окололунной навигации) требует своей реализации.

С учетом сказанного решаемая в данной работе задача разработки прецизионных математических моделей ТК является актуальной.

Целью диссертационной работы является повышение точности трансформации координат лунных объектов при сгущении и расширении опорной селеноцентрической сети на основе моделей координатных преобразований с наилучшими линейными оценками параметров.

Для достижения указанной цели в работе решались следующие задачи:

1. Анализ подходов к разработке моделей пространственных координатных преобразований.

2. Разработка методики и алгоритмов координатных преобразований при нарушении условий получения наилучших линейных оценок параметров моделей.

3. Разработка комплекса программ для сгущения и расширения опорной селеноцентрической системы координат.

4. Моделирование координатных преобразований для трансформации координат объектов ряда систем в селеноцентрическую систему координат и исследование их эффективности.

5. Сгущение и расширение опорной селеноцентрической системы координат КСК-1162.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с г/б направлением НИР УлГТУ «Оптимизация математических моделей обработки данных и информационные технологии»; поддержана грантами РФФИ № 08-02-01214 (Построение глобальной селеноцентрической опорной сети на основе данных наблюдений миссий «Зондов» и «Аполлон»),

№ 11-02-91160 - ГФЕН_а (Спин-орбитальная эволюция, динамика лунного ядра, селенодезия и селенографическая система координат на базе данных китайского спутника Чанг'Е и других международных лунных программ), № 11-02-92113 - ЯФ_а (Космическая геодезия и геофизика Луны, Марса, Юпитера и их спутников с применением новых радио-интерферометрических и астрометрических технологий).

Методы исследования. В диссертационной работе применены методы математического моделирования, численные методы решения систем линейных уравнений, численные методы оптимизации, математической статистики, объектно-ориентированного программирования. Научная новизна результатов, выносимых на защиту В диссертационной работе впервые разработаны:

1. Модели трансформации координат с наилучшими линейными оценками параметров для координатных систем, преобразуемых в селеноцентрическую систему координат.

2. Гибридный метод моделирования координатных преобразований по критерию минимума ошибки прогноза по общим объектам координатных систем, реализованный в виде методики и алгоритмов и основанный при расширении сети на детерминированных моделях с учетом условий ортогональности преобразований и при ее сгущении на аппроксимирующих моделях в виде адаптивных регрессий, а также при сгущении сети в виде двухкомпонентной модели, состоящей из детерминированной и аппроксимирующих частей и позволяющий уменьшить систематические и случайные ошибки трансформации координат.

3. Алгоритм получения оптимальных по критерию минимума ошибки прогноза адаптивных регрессий (аппроксимирующих моделей трансформации координат) для решения задачи сгущения селеноцентрической сети на видимой стороне Луны.

4. Программный комплекс для решения задач координатного обеспечения на поверхности Луны, позволяющий получать наилучшие линейные оценки параметров с последующим их использованием для расширения и сгущения базовой селеноцентрической сети и обеспечивающий повышение точности при трансформации координат по сравнению с используемыми ранее методами.

5. Сводная селеноцентрическая система координат, закрепляемая координатами объектов на всей поверхности Луны, представляющая собой первый опыт расширения и сгущения опорной системы КСК-1162 на основе сети объектов системы ЦЬСК 2005.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов математического моделирования и информационных технологий и подтверждена итогами численных экспериментов, а также результатами использования алгоритмов, программного и координатного обеспечения при внедрении.

Пакет прикладных программ для решения задач координатного обеспечения на поверхности Луны, созданный на основе алгоритмов трансформации селеноцентрических координат с учетом условия ортогональности перехода из одной системы координат в другую и аппроксимирующего подхода используется конечными пользователями, позволяя получать наилучшие линейные оценки параметров с последующим их использованием для расширения и сгущения базовой селеноцентрической сети и обеспечивая повышение точности при трансформации координат по сравнению с используемыми ранее методами. Первая версия глобальной селеноцентрической сети на основе базисной сети КСК-1162 и каталога иЬСМ 2005 используется для научных целей.

Практическая значимость работы. В практической перспективе селеноцентрическая сеть объектов, задающая координатную систему на Луне с центром, совпадающим с центром масс и осями, направленными вдоль осей

инерции, может стать одним из базовых элементов координатно-временного обеспечения для лунной навигации с использованием картографических материалов и опорных объектов.

Внедрение результатов. Программное обеспечение, алгоритмы и практические результаты внедрены в рамках грантов РФФИ № 08-02-01214, № 11 -02-91160 - ГФЕН а, № 11 -02-92113 - ЯФ_а, в Казанском (Приволжском) федеральном университете (Астрономическая обсерватория им. В.П. Энгельгардта при К(П)ФУ), а также в учебном процессе УлГТУ при курсовом и дипломном проектировании по специальности «Прикладная математика», что подтверждается соответствующими актами о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и симпозиумах:

- Международная научная конференция «100-летие: прошлое, настоящее и будущее Крымской астрофизической обсерватории» (Украина, 2008);

- European Geosciences Union, EGU General Assembly 2009, Geophysical Research Abstracts (Vienna, Austria, 2009);

- Конференция ИВТ-2010 «Информатика и вычислительная техника» (Ульяновск, 2010);

- International Astronomical Congress «Astrokazan-2011» (Kazan, 2011);

- European Planetary Science Congress 2011 (Nantes, France, 2011);

- Конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (Ульяновск, 2008, 2009, 2010, 2011 годы).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка условных сокращений, списка литературы и трех приложений. Общий объем составляет 183 страницы, основной текст изложен на 134 страницах, включая 17 рисунков и 13 таблиц. Список литературы содержит 118 наименований использованных литературных источников.

Во введении сформулированы актуальность темы, цель и задачи диссертации, научная новизна и практическая значимость исследований, приведена информация об использовании, реализации, апробации результатов работы и содержание диссертации.

В первой главе приведена информация об основных понятиях и определениях лунной астрометрии; описываются существующие каталоги координат лунных объектов (ККЛО); дается обзор методов трансформации координат; анализируются проблемы, возникающие при формировании селеноцентрической системы координат.

Во второй главе рассматриваются методика обработки данных, математические алгоритмы и модели трансформации координат с наилучшими линейными оценками параметров для координатных систем, преобразуемых в селеноцентрическую систему координат.

В третьей главе описывается программное обеспечение «Автоматизированная система трансформации селеноцентрических координат» (АС ТСК), позволяющая в автоматизированном режиме отождествления общих объектов сравниваемых координатных сетей (каталогов) получать положения объектов одного из каталогов в системе другого как для детерминированных моделей при ортогональной матрице ориентации, так и для аппроксимирующих преобразований при применении пакета программ адаптивного регрессионного моделирования.

В четвертой главе анализируются результаты применения пакета «Автоматизированная система трансформации селеноцентрических координат (АС ТСК) для сгущения �