автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель оптимального прямого двухимпульсного перелета в лунную точку либрации L1 при заданном времени попадания

На правах рукописи

Окишев Юрий Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПРЯМОГО ДВУХИМПУЛЬСНОГО ПЕРЕЛЕТА В ЛУННУЮ ТОЧКУ ЛИБРАЦИИ Ы ПРИ ЗАДАННОМ ВРЕМЕНИ ПОПАДАНИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2014

005551500

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Клинаев Юрий Васильевич

Официальные оппоненты: Ольшанский Владимир Юрьевич, доктор

физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт проблем точной механики и управления РАН» (ИПТМУ РАН), г. Саратов, главный научный сотрудник

Старинова Ольга Леонардовна, доктор технических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (Национальный Исследовательский Университет)», г. Самара, профессор кафедры космического

машиностроения

Ведущая организация: Открытое акционерное общество «Российская

корпорация ракетно-космического приборостроения и информационных систем» (ОАО «Российские космические системы»), г. Москва

Защита состоится « 23 » июня 2014 г. в 13-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, ауд. 319/1.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77 и на сайте www.sstu.ru

/ ь

Автореферат разослан «_» мая 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.242.08

д.т.н., профессор A.A. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одними из перспективных направлений космической деятельности являются исследования планет и малых небесных тел Солнечной системы. В системе Земля - Луна одна из пяти точек либрации Ы за счет своего уникального расположения между Землей и Луной в случае разворачивания лунной

программы может стать идеальным местом для строительства орбитальной базы обслуживания и заправки или ретрансляционного пункта и, как следствие, ключевым узлом грузового потока Земля - Луна.

Реализация этих проектов потребует практического решения транспортной задачи по доставке космического аппарата (КА) в точку либрации при обеспечении требований по энергозатратам и характеристикам и параметрам баллистики перелёта.

В некоторых космических проектах требуется достаточно быстро доставить КА в заданное пространство, для этого используют КА с химическим ракетным двигателем (ХРД).

Доставка космического аппарата с ХРД должна осуществляться, как правило, с минимизацией энергетических расходов, так как увеличение полезной массы - обычно главная задача проекта (стоимость доставки 1 кг полезного груза только на геостационарную орбиту ракетой-носителем «Союз» составляет около

На космический аппарат (КА) во время баллистического перелета с низкой околоземной орбиты в лунную точку либрации Ы действуют силы гравитационного воздействия Земли, Луны и Солнца, следовательно, построение математической модели движения должно проходить в рамках задачи трех тел. Масса КА пренебрежимо мала по отношению к небесным телам, поэтому математическое моделирование баллистического перелета сводится к решению так называемой ограниченной задачи трех тел.

Фундаментальной работой, посвященной задаче трех тел, является труд В. Себехея «Теория орбит. Ограниченная задача трех тел» (1964 г.). Вопросам оптимизации баллистических перелетов в рамках задачи трех тел посвящены работы Ильина В.А., Малышева В.В., Петухова В.Г., Понтрягина Л.С., Энеева Т.М. и других авторов.

Для задачи реализации баллистического перелета в лунную точку либрации 1Л В.И. Левантовский определил значение потребного суммарного импульса скорости, при этом второй импульс скорости равняется 650 м/с. Однако задача с использованием актуальной базы данных о движении небесных тел по григорианскому календарю и реализация высокой точности решения с учетом возмущающих факторов - второй зональной гармоники Земли и влияния Солнца, а также анализ вкладов этих факторов, решена не была.

Цель диссертационной работы: разработка численной математической модели, алгоритма и программного комплекса, который учитывает данные о положении и движении небесных тел в реальном времени, для определения оптимального прямого баллистического перелета КА с минимальными энергетическими затратами с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы

$ 25 ООО).

системы Земля - Луна в заданную дату попадания с учетом возмущающих ускорений - Земли как сжатого сфероида, Луны, Солнца, а также прецессии лунной орбиты.

Достижение цели работы требует решения следующих задач:

1. Разработка численных алгоритмов для проведения баллистического анализа и создание на этой основе программного комплекса для расчёта и исследования баллистических траекторий с учётом различных факторов физической природы и обусловленных технологическими требованиями к реализации операций доставки КА.

2. Численный анализ ограниченной задачи трех тел методами прогноза и коррекции различных порядков; реализация сходимости решения системы уравнений движения и заданных координат точки либрации путем решения линеаризованной краевой задачи, определение начальных параметров, обеспечивающих минимальные энергетические расходы для произвольно выбранного времени попадания в точку либрации.

3. Исследование и сравнительный анализ относительных вкладов в обеспечение оптимального решения транспортной задачи на периоде обращения Луны следующих факторов: времени перелета, второй зональной гармоники, прецессии орбиты Луны, возмущающего ускорения Солнца.

Для математического моделирования баллистического перелета были использованы следующие подходы и методы исследования: законы движения КА в рамках задач двух и трех тел, численные и аналитические методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы решения краевых задач, методы объектно- и проблемно-ориентированного программирования и системы компьютерной алгебры.

Объект исследования - траектория перелета КА, оснащенного ХРД, с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы системы Земля - Луна. Предмет исследования - математические модели для расчета и оптимизации траектории космического аппарата.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов и выводов диссертационной {заботы подтверждается использованием адекватных математических моделей движения, учитывающих основные возмущающие факторы (гравитационный потенциал Земли, Луны и Солнца, а также второй зональной гармоники Земли) на всех участках движения КА, использованием апробированных численных методов решения систем дифференциальных уравнений, решения краевой и оптимизационной задачи, а также экспертными оценками специалистов в области математического моделирования, численных методов, динамики и баллистики летательных аппаратов при обсуждении промежуточных и основных результатов на научных конференциях и семинарах.

Научная новизна работы.

1. Предложена численная математическая модель и усовершенствован метод поиска оптимального баллистического перелета КА в лунную точку либрации Ы в заданное время попадания, отличающиеся в использовании реальных данных о положении и скорости небесных тел в зависимости от времени, учете второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца.

2. В рамках предложенной модели сформирован эффективный алгоритм упрощенного определения краевых условий, основанный на комбинации нулевого

приближения, полученного из решения задачи двух тел, и линеаризованного способа нахождения корректирующих аргументов начапьных параметров.

3. Впервые разработан эффективный программно-алгоритмический комплекс моделирования оптимального прямого двухимпульсного перелета КА с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы системы Земля - Луна, отличающийся возможностью учета большего числа возмущающих факторов физической природы и произвольности момента времени реализации транспортной задачи, адаптируемый для проведения баллистических расчетов траекторий доставки КА в точки либрации других планетных систем.

4. Программный комплекс предусматривает использование находящихся в открытом доступе математических моделей расчёта эфемерид небесных тел, которые позволяют в процессе движения КА получать достоверную информацию о положении и скорости Луны и Солнца в геоцентрической экваториальной системе координат в реальном времени.

5. Использование предложенных алгоритмов и разработанного программного комплекса позволило:

> обеспечить точность попадания КА в точку либрации с величиной ошибки порядка 10"6м;

> выявить две возможные схемы перелета для одного времени попадания в точку либрации Ы, которые принципиально отличаются друг от друга, с точки зрения энергетики перелета, когда Луна находится в окрестности своих узловых точек;

> установить зависимость значения суммарного импульса скорости от даты попадания в точку либрации для двух выявленных способов перелета, которые обладают двумя экстремумами, расположенными друг от друга на расстоянии, равном половине периода обращения Луны вокруг Земли; временная зависимость каждого из двух типов решения асимметрична, положения экстремумов суммарного импульса примерно совпадают, но сами экстремумы для двух способов перелёта противоположны по смыслу;

> впервые определить оптимальную дату попадания в точку либрации на ближайшем периоде прецессии орбиты Луны, которая составляет 18,6 лет (2011 -2030 гг.) и этой датой является 24 декабря 2024 г., что стало возможным за счет учета возмущающих факторов и использовании реатьных данных о положении небесных тел.

> предоставить окна запуска для осуществления оптимального баллистического перелета в точку либрации Ы, длительностью от двух до трех суток для каждого из способов перелета, на каждом периоде обращения Луны вокруг Земли.

Теоретическая значимость, практическая ценность реализации результатов

Разработанный математический метод формирования оптимальной баллистической траектории в заданный момент времени попадания в точку либрации может служить теоретической основой построения численных моделей баллистических перелетов КА в точки либрации других систем трех тел Солнечной системы. В случае использования в сложных орбитальных системах (например, в окрестности крупных планет, таких как Юпитер или Сатурн) необходимо учитывать гравитационные возмущения всех небесных тел, входящих

в эту систему. Практическая и техническая ценность работы заключается в разработке программного комплекса, который позволяет в любую заданную дату попадания в лунную точку либрации Ы рассчитать оптимальную траекторию перелета КА в точку либрации, определить минимальный потребный суммарный импульс скорости, оптимальное время перелета и координаты точки старта. Найдены: оптимальная дата попадания в точку либрации Ы системы Земля -Луна, координаты точки старта в геоцентрической экваториальной системе координат и минимальный суммарный импульс скорости.

Соответствие паспорту специальности

Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ, а именно пунктам: 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, перечисленных в формуле специальности; 3. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном этапе математического моделирования; 4. Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ; 5. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Метод расчета и поиска оптимального решения двухимпульсного баллистического перелета КА в точку либрации Ы системы Земля - Луна с низкой околоземной орбиты.

2. Положение Луны на периоде ее обращения вокруг Земли оказывает существенное влияние на выбор схемы построения базовой орбиты КА, а именно: в некоторых случаях различие в суммарном импульсе скорости при разных схемах построения базовой орбиты составляет около 200 м/с.

3. Выбор даты попадания на периоде обращения Луны вокруг Земли в точку либрации является ключевым фактором, который определяет энергетические затраты перелета, при этом время перелета является критерием поиска оптимального решения транспортной задачи для каждой даты попадания.

4. Программный комплекс «ЫМооп2025» моделирования оптимального двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы системы Земля - Луна как решение частной задачи трех тел с учетом второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца. Для обеспечения практического применения полученных результатов в обязательном порядке необходимо использовать базу данных с информацией о скорости и положении небесных тел по григорианскому календарю. Программный комплекс позволяет определить необходимые импульсы скорости для перелета в лунную точку либрации Ы в любую заданную дату попадания, при старте с любого космодрома и с любой высоты базовой орбиты.

5. На ближайшем периоде лунной прецессии (18,6 лет) оптимальной датой попадания в точку либрации Ы системы Земля - Луна является 24 декабря 2024 года, что доказывает решение уравнения движения КА с учетом возмущающих ускорений Земли, Луны и Солнца с использованием данных о реальных положениях небесных тел.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации были представлены на следующих конференциях: XXV, XXVI, XXVII Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-25, Волгоград, ММТТ-26, Н.Новгород, ММТТ-27, Саратов, 2012, 2013, 2014), XI конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования» (Москва, Институт космических исследований РАН, 9-11 апреля 2014).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 10 работах, в том числе в 4 статьях в рецензируемых журналах из Перечня ВАК Мипобриауки РФ.

На Программный комплекс моделирования и оптимизации «Ы Мооп2025» получено свидетельство о государственной регистрации электронного ресурса ИНИМ РАО РФ (Объединённый фонд электронных ресурсов «Наука и образование» РФ).

Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.

Результаты, представленные в работе, получены лично автором на основе обсуждения ключевых пунктов исследования с научным руководителем -

д.ф.-м.н., профессором Ю.В. Клинаевым (СГТУ) и

д.т.н., профессором М.С. Константиновым (НИУ МАИ).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Работа ихтожена на 154 страницах, содержит 23 рисунка, 11 таблиц, 39 рисунков Приложения. Список использованной литературы включает 132 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы: обоснована актуальность, отмечены научная новизна и практическая значимость работы. Формулируются цели и задачи исследования. Проанализированы и обоснованы применяемые в работе методы исследования.

В первой главе дано определение критерия оптимальности баллистического перелета, описывается схема двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата (КА) с химическим ракетным двигателем (ХРД). Сформулирована система уравнения движения КА в геоцентрической экваториальной системе координат. Описывается алгоритм математического моделирования оптимального перелета.

Точки либрации - особые точки в ограниченной задаче трех тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой может оставаться неподвижным относительно этих тел. Таких точек в окрестности двух массивных тел пять. Точки Лагранжа обозначают заглавной латинской буквой Ь с числовым индексом от 1 до 5. Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел. Точка Ы находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу.

Очевидно, что точка Ы принадлежит радиус-вектору и плоскости орбиты Луны.

Рассматривается схема прямого двухимпульсного баллистического перелета (рис. 1) между базовой круговой низкой околоземной орбитой (базовой), на которую аппарат вместе с химическим разгонным блоком выводится ракетоносителем и орбитой коллинеарной точки либрации Ы. Баллистический перелет реализуется двумя включениями химического ракетного двигателя. Первый импульс скорости ДУ, реализует переход КА на перелетную орбиту, лежащую в плоскости базовой орбиты, и определяется как разность вектора скорости КА на базовой орбите, необходимый для перехода на перелетную орбиту и вектора круговой скорости КА на базовой орбите. При этом точка старта является перицентром перелетной орбиты. Второй импульс скорости АУ2 происходит в апоцентре перелетной орбиты, обеспечивает поворот плоскости перелетной орбиты и переход КА на орбиту точки либрации Ы. Определяется как разность векторов скорости точки либрации Ы V,, (который можно определить, зная скорость Луны) и скорости КА в конце перелетной орбиты Ук<п . Описанная схема перелета реализуется при условии, что радиус-вектор точки либрации принадлежит плоскости базовой орбиты в момент попадания КА в точку Ы.

Рис. 1. Схема баллистического перелета КА в точку либрации Ы системы Земля - Луна в геоцентрической экваториальной системе координат

На рис 1 £1„ - долгота восходящего узла орбиты точки Ы, - долгота восходящего узла базовой орбиты КА. «0 - аргумент широты точки схода базовой орбиты. - положение КА в произвольный момент времени относительно Земли; Я0 - положение КА на базовой орбите в момент схода с нее; -наклонение орбиты точки Ы, /0 - наклонение базовой орбиты КА, А/ - разность между наклонениями базовой и орбиты точки либрации. Пунктирной линией отображены элементы, которые находятся в южном полушарии, т.е. ниже экваториальной плоскости.

За критерий оптимальности реализации баллистического перелета примем: AVl -» min, где AVZ = AV, + ДК2.

Движение КА рассматривается под действием сил гравитационного воздействия со стороны Солнца, Луны и Земли, при этом Земля рассматривается как сжатый по полюсам сфероид (учитывается вторая зональная гармоника гравитационного потенциала Земли). Сформулируем систему уравнений движения КА (1), с учетом всех возмущающих факторов, которые рассматриваются в работе, на основе ограниченной задачи трех тел в геоцентрической экваториальной системе координат (ГЭСК).

dt ,1у „ dt Vx , W

■>'-у, -dt V;. ,

,1V.( Ц e л . , V ■ 7„. I*. О

,1t RL r.L о

■ 1 >K'f ■ .Г ! ,

2 ■ *L l *L .

dVy „ А t v k , Ц. .«,.„ V.„„ (»

dt RL

, 1-M, - J . Hj. ■ v f5'-'" 1

2 \ RL

,1Vt V r I ,-< i P. ,,.„ .'л™ (I)

dl RL <l)

< - Ч) >' ^С) («И -/>")>'

'д™ I - 'л™ О >' Г<ЛП l «u -/>(/) )'

(О

rt~ О < Ät, - г,,„ <() )' <7<'> |1„ -/>(/)>'

], к; ч, (s ■ zL , 1

2 I «¿,

где - вектор скорости КА, рг = 398600^- - фавитационный параметр Земли,

с

/?,. = 6378я-.ч - экваториальный радиус Земли, =0,0010826348 - коэффициент 2-й

/он'

зональной гармоники геопотенциала Земли, //7им =4902,72—— - фавитационный

с"

параметр Луны, г11пи(Х:1ть,,у%„млъ,,„) - радиус-вектор Луны, цс =1,3271244-10"—---

' " ■ с

фавитационный параметр Солнца, гг(хг,ус,гг) - радиус-вектор Солнца.

В системе (1) в уравнениях с 4 по 6: первое слагаемое - ускорение КА в задаче двух тел (Земля - КА); второе слагаемое - ускорение, которое имеет Земля в ограниченной задаче двух тел (Луна - Земля), если массу Земли считать нефавитирующей; третье слагаемое - ускорение КА в задаче двух тел (Луна -КА); четвертое слагаемое характеризует ускорение Земли относительно Солнца в рамках задачи двух тел Солнце - Земля, если массу Земли считать негравитирующей; пятое слагаемое - ускорение КА в рамках задачи двух тел Солнце - КА; шестое слагаемое учитывает сжатие Земли по полюсам, которое зависит от положения КА на базовой орбите.

Численные значения координат Луны и Солнца, входящие в возмущающие факторы, вызванные действием гравитационных сил Солнца и Луны, системы (1) зависят от времени и в процессе баллистического перелета меняются. Достоверная

информация о положении небесных тел в произвольный момент времени содержится в базе данных - планетарии DE-403 производства JPL (Jet Propulsion Laboratory), (http://ssd.jpl.nasa.gov/7planet_eph_export)

Анализ проводится для заданного времени попадания Тк КА в лунную точку либрации L1. Тк определяется в сутках с начала рассматриваемой эпохи.

Для численного интегрирования применяется метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

Алгоритм поиска оптимального баллистического перелета для каждой заданного времени попадания КА в точку либрации фактически состоит из 3 этапов:

1. Нулевое приближение: определение вектора начальных значений (радиус-вектор точки старта R0(xaKI,yalr,,z„la) и вектора скорости, после первого импульса скорости VKI1 (VxKII,VyKn,VzK„)) и численное интегрирование системы уравнений движения КА (1). Вектор начальных значений находится из условий перехода Цандера-Гомана в рамках задачи двух тел.

2. Краевая задача: устранение невязки решения первого этапа путем корректировки начальных значений.

3. Оптимизационная задача: определение времени перелета, при котором реализуется критерий оптимальности —> min. При этом для каждого нового значения времени перелета применяется решение краевой задачи.

Первый этап - этап нахождения вектора начальных значений движения КА (положение и скорость) в момент схода КА с базовой орбиты в ГЭСК. Для этого представим зависимость начш1ьных значений как функцию углов П,/,и.

Из условий антиколлинеарности радиус-векторов точки старта и точки либрации, принадлежности радиус-вектора точки либрации базовой орбите, а также зная положение точки либрации в ГЭСК, определяются утлы il„,u0 для точки старта. При этом стоит учитывать, что существует возможность использовать два способа построения базовой орбиты для баллистического перелета в точку L1 при заданном времени попадания. В дальнейшем первое решение (П.,и,) будем называть траекторией перелета из нисходящего узла орбиты, а решение (П2,и2) - траекторией перелета из восходящего узла орбиты. Для простоты и компактности записи дальнейших выражений долготу восходящего узла и аргумент широты будем записывать как Аил соответственно, принимая во внимание, что существуют два решения.

Для выражения радиус-вектор точки старта и скорость КА в точке старта в ГЭСК, зная значения углов О,/,«, используется матрица перехода от перицентральной к экваториальной системе координат:

'cos/y-cosi2-sinft>-cosi-sini2 - sin • cos П-cos ¿a-cos г-sin £2 sin i • sin fl

B-

(2)

cosiosinfl + sin ю-cosí cosí2 - sin ü>-sin Í2 +cos «cosí cosí! -sini cosíi sinfij-sini COSO-sin/ cos I

где cú - аргумент перицентра орбиты. Положение КА в точке старта является перицентром перелетной орбиты, следовательно, в матрице (2) а = и. Первый столбец матрицы определяет радиальную, второй - трансверсапьную и третий -нормальную составляющую вектора.

Зависимость радиус-вектора начальных значений от углов £!,<',н имеет вид

70 = (Я! + Н0)В(ПМ<У, (3)

где =637 !кл/ - средний радиус Земли, Я0 - высота базовой орбиты, В(П,/,ц)' -первый столбец матрицы (2).

Зависимость вектора скорости КА на базовой орбите в точке схода с нее от углов /,й,н имеет вид

УЙ>В(О,м«)ЧУ0+ ЛУ,). (4)

где В(П,/',/()2 - второй столбец матрицы (2), У0 - круговая скорость КА на базовой орбите, ДУ, - трансверсальный импульс скорости и определяется из условия двухимпульсного перехода Цандера-Гомана.

Интервал интегрирования системы (1) ге [Тк -га;Тк], где г„ - время перелета, в нулевом приближении определяется из 3-го закона Кеплера.

Графический результат численного интегрирования системы (1) с начальным условиями (3) и (4) представлен на рис. 2.

X X

Рис 2. Проекции траектории КА и точки либрации Ы на оси Х-У и Х-7.

Квадратом отображено положение точки либрации

Невязка конечного значения радиус-вектора КА и точки либрации обусловлена использованием начальных значений из задачи двух тел для решения ограниченной задачи трех тел. Величина «промаха» составляет порядка 10 км.

Второй этап - этап устранения выявленной невязки решения и определения суммарного импульса скорости. Результат численного решения системы уравнений движения КА (конечный радиус-вектор и вектор скорости КА в точке либрации) в неявной форме зависит от значений наклонения базовой орбиты, долготы восходящего узла, аргумента широты, времени перелета и первого импульса скорости: /?,=/,(/, й, и, г„,ДУ,), V,- = /зО'.й.н.^.ДУ,). Требуется определить такую комбинацию ¡,П,и,гп,ДУ,, которая обеспечит выполнение условия транспортной задачи: ^,у,,г,) з Я,.,(*,.,, у,.,, г,.,).

На этапе решения краевой задачи время перелета /„ считаем заданным из нулевого приближения. Наклонение базовой орбиты / постоянно и задается выбором космодрома запуска ракетоносителя. Вектор начальных значений можно также выразить следующей зависимостью:

= (Л,; +Н0)-В(П + дС1,1,и + ди)' ^ = в(п+за,/,и+Эи)2 -(Уо+ДУ, +ЭУ„)

при условии, что Эй = 0,Эи=0 и ЗУ„ =0.

Определяем значения приращения дП,ди,дУй для вектора начатьных значений, которые обеспечивают совпадение радиус-вектора КА с радиус-вектором точки либрации.

Траектория КА после решения краевой задачи представлена на рис. 3.

Рис. 3. Проекции траектории КА и точки либрации Ь1 на оси Х-У и Х-Х после решения краевой задачи. Квадратом отображено положение точки

х * либрации

Радиус-вектор КА асимптотически стремится к радиус-вектору точки либрации во время движения КА.

9?аш врат, «уя»

Рис. 4. Изменение проекций радиус-векторов КА и точки либрации на оси х, у и ъ во время движения КА По итогам решения краевой задачи определяется значение суммарного

импульса скорости: АУТ = ДУ, +ЭУп +|у(| где - скорость КА в конце

перелетной орбиты - точке либрации, который определен численным решением системы (1) с начальными значениями, которые скорректированы краевой задачей. Величина «промаха» по итогам решения краевой задачи составляет 10'чкм.

На третьем этапе решается оптимизационная задача. Поиск оптимального решения баллистического перелета достигается варьированием времени перелета г„„(„ е [г„-0,5суток;/„ +0,5сут<ж], что позволяет определить суммарный импульс скорости, который удовлетворяет критерию оптимальности Д^-ятип. Для каждого времени перелета решается краевая задача и находится по вышеописанному алгоритму значение суммарного импульса скорости. Локальный экстремум полученной зависимости является оптимальным решением поставленной задачи. 12

Результаты решения оптимизационной задачи отображены на рис. 5.

е

I- ныв1

ПЫО1^-

Рис. 5. Зависимость суммарного импульса скорости от времени перелета КА в лунную точку либрации Ы в заданное время попадания

Решение оптимизационной задачи позволяет при практической реализации перелета осуществить альтернативный выбор: перелет с минимальными энергетическими затратами или выбранным временем перелета.

Последовательное применение описанного алгоритма дает возможность определить: а) необходимый оптимальный суммарный импульс скорости для реализации прямого двухимпульсного перелета; б) оптимальное время перелета; в) координаты точки старта в ГЭСК для попадания КА в точку либрации в заданное время попадания.

Во второй главе приведено численное решение системы уравнений движения КА для выбранного периода обращения Луны вокруг Земли на основе сформированного алгоритма, рассматривается зависимость суммарного импульса скорости от даты попадания КА в точку либрации для двух способов построения базовой орбиты. Обосновывается выбор рассматриваемой эпохи. Проводится анализ влияния положения Луны на энергетику перелета.

Для дальнейшего анализа, рассматриваемой эпохой был выбран 2025 год, когда наклонение орбиты Луны максимально. Предполагается, что старт ракетоносителя с КА производится с космодрома «Байконур» и наклонение базовой орбиты /„=51,6°. Для сокращения машинного времени и получения ключевых зависимостей первичный анализ на периоде обращения Луны вокруг Земли проводится только с учетом гравитационного влияния Земли и Луны. Зависимость значения суммарного импульса скорости от даты попадания в лунную точку либрации Ы для двух способов построения базовой орбиты приведена на рис.6. В качестве рассматриваемого периода был произвольно выбран апрель 2025 года. Разработанный алгоритм не накладывает особых условий на выбор месяца в рассматриваемой эпохе. Величина шага итерации была выбрана 2 суток, и она может варьироваться.

Рис. 6. Зависимость значений суммарного импульса скорости от даты попадания в точку либрации Ы. Сплошной линией показаны значения для решения (П 2, и2), пунктирной линией - доя решения (О,, и,)

Анализ зависимости рис. 6 показывает, что с точки зрения энергетических затрат решение (02,н2) является оптимальным. Зависимость суммарного импульса скорости каждого из двух способов построения базовой орбиты асимметрична, положения экстремумов суммарного импульса примерно совпадают по дате попадания в точку либрации, но сами экстремумы для двух способов перелёта противоположны по смыслу. При изменении рассматриваемого периода меняются значения, но сохраняется зависимость.

При втором способе построения плоскости базовой орбиты можно определить достаточно длительное окно старта. Для данного рассматриваемого месяца 2025 года оптимальными датами попадания являются 102-103,5 день с начала рассматриваемой эпохи.

Анализ положения Луны на рассматриваемом периоде дает возможность утверждать:

1. Если перелет осуществляется, когда Луна находится в окрестности полярных точек орбиты, то оба решения ((£},,«,) и (П2,и2)) дают примерно одинаковые требуемые суммарные импульсы скорости и выбор схемы построения базовой орбиты не принципиален.

2. Если решение соответствует случаю, когда Луна находится в окрестности своих узловых точек, то выбор схемы построения базовой орбиты становится принципиальным и определяющим энергетику перелета.

3. Минимальный импульс скорости достигается в момент, когда Луна находится в своем апоцентре, что подтверждает теорию межорбитальных перелетов.

Результаты анализа позволяют в дальнейшем достаточно быстро выбрать период для дальнейшего поиска оптимального баллистического перелета.

В третьей главе проанализирован вклад возмущающих факторов второй зональной гармоники и Солнца на энергетику перелета. Определена оптимальная дата попадания на ближайшем периоде прецессии Луны.

Выбор дат поиска оптимального решения зависит от положения Солнца (рис. 7).

Рис. 7. Расстояние до Солнца и Луны в зависимости от даты с начала рассматриваемой эпохи в окрестности минимального расстояния до Солнца

Проведен поиск значений оптимального суммарного импульса скорости в окрестности минимального расстояния до Солнца на интервале дат [-8;2] с начала рассматриваемой эпохи. Для решений ограниченной задачи трех тел с учетом только Земли и Луны, с учетом второй зональной гармоники и с учетом возмущающего ускорения Солнца найдены потребные массы топлива (таблица 1) при использовании РН «Протон-М», в качестве ракеты-носителя и РД-254 -маршевого двигателя КА.

Таблица 1

Оптимальные значения баллистического перелета с поочередным учетом возмущающих факторов

Дата попадания с начала эпохи, сутки Оптимальные значения при ВЛИЯНИИ ТОЛЬКО Земли и Луны Оптимальные значения с учетом второй зональной гармоники Оптимальные значения с учетом второй зональной гармоники и влияния Солнца

Суммарный импульс скорости, м/с Масса топлива, кг Суммарный импульс скорости, м/с Масса топлива, кг Суммарный импульс скорости, м/с Масса топлива, кг

-8 3729 15098 3732 15104 3729 15099

.'«sBSL . ' ;5097 . л - гШ^Щ щз 302.; ■3727 : ; ишш

-6 3731 15104 3731 15102 3729 15099

л 3752 15148 3754 15151 3749 15141

-2 3795 15239 3796 15241 3793 15234

0 3860 15375 3862 15378 3863 15380

2 3938 15533 3939 15535 3943 15542

Оптимальной датой попадания в точку либрации Ы, с точки зрения энергетики перелета является -7 день с начала рассматриваемой эпохи - 24 декабря 2024 года.

Также можем определить оптимальное окно запуска, которое соответствует попаданию КА в точку либрации на интервале 23 декабря-25 декабря 2025 года.

Относительные вклады возмущающих факторов второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца на энергетику перелета в зависимости от даты попадания в точку либрации Ы представлены на рис. 8.

я

1

2 I

О

Рис. 8. Относительный вклад возмущающих ускорений второй зональной гармоники Земли и Солнца в зависимости от даты попадания в точку либрации.

В качестве оси абсцисс - оптимальные решения для перелета с учетом только влияния Земли и Луны

При реализации космического проекта по доставке КА в точку либрации Ы системы Земля - Луна сформированный алгоритм, максимально приближенный к реальным условиям, позволяет учесть вклад возмущающих факторов второй зональной гармоники и Солнца. При перелете в определенные даты КА может доставить на несколько килограмм полезной нагрузки больше.

В четвертой главе приведен поэтапный пример решения в программном комплексе «ЫМооп2025» для произвольно заданной даты попадания в точку либрации Ы системы Земля - Луна согласно разработанному алгоритму (рис. 10).

Учитывая практическую невозможность реализации комплекса входных параметров, соответствующих оптимизированному решению, проведено исследование влияния погрешностей задания начальных параметров (наклонение орбиты, долгота восходящего узла, аргумент широты и первый импульс скорости) на величину невязки значения конечного радиус-вектора КА и радиус-вектора точки 1_1. Установлена линейная зависимость величин невязки при равномерном увеличении допуска, который устанавливается используемыми ракетоносителями и разгонными блоками на значение оптимального параметра, интерпретируемое как среднее значение (рис. 9).

..........V /

\ N / /

\

у

-0 04 - 0 02 0 0 02

Звпове вогревшосп ыклоааш орАгты, грм

-02 -0.1 0 0.1 02 ЗначеЕхя оогрешвоств долготы воснишпего уз/а, гр«в

Рис. 9. Влияние погрешности наклонения и долготы восходящего узла базовой орбиты на величину невязки конечного решения

Поиск г €[гч - 0.5а7?:о*:;гЛ + 0.5п.7ж>ч'], г?» котором д;; —»ггип. Пожксоетемсгаукиоа знме»*в1сО *,(?!/■» .¿V-

у/= П, + сР., = щ + сиг, , А1 ^, Д , М

Рис. 10. Блок-схема программного комплекса «Ы Мооп2025» и атгоритма поиска оптимального двухимпульсного баллистического перелета в точку либрации Ы системы Земля - Луна

Результатами решения будем считать оптимальные значения суммарного импульса скорости, координаты точки старта на базовой орбите, оптимальное время перелета для заданного времени перелета. Оптимальной датой попадания КА в точку либрации Ы систем Земля - Луна при старте с низкой околоземной орбиты высотой 300 км является 24 декабря 2024 года в 12:00. Наклонение и долгота восходящего узла базовой орбиты равны ¡'=51,6° и £2 = 10,267°. Суммарный импульс скорости равен ДУ£ =3727л//с, первый и второй импульс скорости равны ДУ,=3099м/с и ДУ,= 627,78\м!с, соответственно. Координаты точки старта на базовой орбите в экваториальной геоцентрической системе координат: ХКАП=6286154,3 м, УКА„= 1976130,821 м, ^„=1039795,634 м. Время перелета составляет 4,25 суток. Дата старта КА с базовой орбиты, при которой реализуется оптимальный перелет в точку либрации, - 06:00, 20 декабря 2024 г.

Приложение 1 содержит техническое описание, описание интерфейса, программный код комплекса моделирования «ШМооп2025» в системе компьютерной алгебры Ма1НСЛО и руководство пользователя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана новая методика численного моделирования баллистического перелёта с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы системы Земля - Луна в заданное время попадания в точку либрации, позволяющая производить расчет и оптимизацию двухимпульсного перелета космических аппаратов, оснащенных химическим ракетным двигателем.

2. Разработаны алгоритмы и программный комплекс, реализующие полученные методики для попадания в лунную точку либрации Ы в любую заданную дату.

3. Проведен анализ влияния даты попадания на потребный суммарный импульс скорости, необходимый для перелета в точку либрации.

4. Положение Луны в окрестности своих узловых точек оказывает существенное влияние на выбор схемы построения базовой орбиты КА.

5. Оптимальной датой попадания в лунную точку либрации Ы на ближайшем периоде прецессии Луны является 24 декабря 2024 года.

6. Проведен анализ вкладов возмущающих факторов на значение суммарного импульса скорости и массы топлива.

7. Выявлено и определено линейное влияние погрешности задания вектора начальных значений на рост величины невязки конечного решения, при этом «промах», обусловленный погрешностью задания долготы восходящего узла, на три порядка больше невязки за счёт ошибки наклонения базовой орбиты.

8. К числу перспективных направлений будущих исследований относятся анализ времени пребывания в окрестности точки либрации, а также разработка математической модели перелета КА на электроракетной двигательной установке.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ

Публикации в изданиях, рекомендованных Перечнем ВАКМинобрнауки РФ

1. Окишев Ю.А. Разработка математической модели баллистического анализа перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации LI системы «Земля-Луна» как решение частной ограниченной задачи трех тел с учетом прецессии орбиты Лупы / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. № 4 (68). С. 61-68.

2. Окишев Ю.А. Основные подходы к численному моделированию частной задачи трех тел для баллистического анализа перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку LI системы «Земля-Луна» / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. № 1 (69). С. 44-49.

3. Окишев Ю.А. Математическое моделирование частной ограниченной задачи трех тел с учётом второй зональной гармоники в геоцентрической экваториальной системе координат / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. № 4 (73). С. 44-51.

4. Окишев Ю.А. Численный метод поиска оптимальных дат попадания в лунную точку либрации LI, с учетом влияния нецентральности гравитационного поля Земли и возмущающего ускорения Солнца / Ю.А. Окишев // Электронный журнал «Труды МАИ», №73, 2014.-25 е. - http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=48482

Другие публикации

5. Окишев Ю.А. Математическая модель баллистического анализа перелета космического аппарата в точку либрации системы «Земля-Луна»/ Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25: сб. тр. XXV Междунар. науч. конф.: в Ют. Т. 6. Саратов: СГТУ, 2012. С. 71-74. ISBN 978-5-7433-2386-9

6. Окишев Ю.А. Алгоритм поиска оптимальной траектории батлистического перелета с низкой околоземной орбиты в точку либрации LI системы «Земля-Луна»/ Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Прикладные аспекты исследований в радиофизике, электронике и спектроскопии: сб. науч. ст. Саратов: ООО Изд. Центр «Рата», 2013. С. 5061. ISBN 978-5-91659-114-9

7. Окишев Ю.А. Анализ влияния положения луны на выбор схемы космического перелета в зависимости от даты попадания космического аппарата в точку LI системы «Земля-Луна» / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Информационные технологии, системы автоматизированного проектирования и автоматизация: сб. науч. тр. IV Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием. Саратов: СГТУ, 2012. С. 114-118. ISBN 978-5-7433-2323-4

8. Окишев Ю.А. Математическое моделирование баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты п точку либрации LI системы «Земля-Луна» с учетом нецентральности гравитационного поля Земли / Ю.А. Окишев, Ю.В. Клинаев // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26: сб. тр. XXVI Междунар. науч. конф.: в 10 т. Т. 10. Н.Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т, 2013. С. 62-66. ISBN 978-5-7433-2386-9

9. Окишев Ю.А. Программный комплекс «LlMoon2025» моделирования оптимального двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации LI системы «Земля - Луна» с учетом

втором зональной гармоники и влияния Солнца / Ю.А. Окишев, 10.В. Клинаев // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов. Наука и образование. № 02 (57). Февраль 2014. С. 6.

Патентный документ

10. Свидетельство о регистрации электронного ресурса № 19916 ИНИМ РАО РФ. Объединённый фонд электронных ресурсов «Наука и образование»: Программный комплекс «ЫМооп2025» моделирования оптимального двухимпульсного баллистического перелета космического аппарата с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы системы «Земля - Луна» с учетом второй '«шальной гармоники и влияния Солнца / Ю.А. Окишеи, Ю.В. Клинаев. РТО. 05286136.00047. 12 е., дата регистрации 06.02.2014

Подписано в печать 02.04.14

Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 48

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru

Формат 60x84 1/16 Уч.-изд. л. 1,0 Бесплатно

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ГАГАРИНА Ю.А.

На правах рукописи

04201459989

Окишев Юрий Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПРЯМОГО ДВУХИМПУЛЬСНОГО ПЕРЕЛЕТА В ЛУННУЮ ТОЧКУ ЛИБРАЦИИ Ы ПРИ ЗАДАННОМ ВРЕМЕНИ ПОПАДАНИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Клинаев Юрий Васильевич

САРАТОВ 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Обозначения и сокращения............................................................................................4

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................6

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПЕРЕЛЕТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА..................17

1.1. Цели и задачи проектно-баллистического анализа траектории КА..............17

1.2 Схема прямого двухимпульсного баллистического перелета........................18

1.3 Система уравнений движения КА.....................................................................20

1.3.1 Задача п тел..................................................................................................21

1.3.2 Ограниченная задача трех тел...................................................................23

1.3.3 Особенности гравитационного поля Земли..............................................25

1.3.4. Возмущающее ускорение Солнца...............................................................27

1.3.5 Другие возмущения движения КА...............................................................27

1.3.6 Результирующая система уравнений движения......................................28

1.3.7 Коллинеарные точки либрации как частный случай решения ограниченной круговой задачи трех тел.....................................................................29

1.4 Методы численного интегрирования для задач небесной механики...............31

1.5 Алгоритм определения оптимального баллистического перелета..................33

1.5.1 Нулевое приближение..................................................................................33

1.5.2 Краевая задача..............................................................................................43

1.5.3 Оптимизационная задача............................................................................47

1.6 Выводы по первой главе.......................................................................................51

ГЛАВА 2. ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ДАТЫ ПОПАДАНИЯ КА В ЛУННУЮ ТОЧКУ ЛИБРАЦИИ Ь1 ЗНАЧЕНИЯ СУММАРНОГО ИМПУЛЬСА СКОРОСТИ..........52

2.1 Влияние прецессии орбиты Луны на выбор эпохи реализации баллистического перелета.......................................................................................52

2.2 Зависимость суммарного импульса скорости перелета от даты попадания в точку либрации на периоде обращения Луны вокруг Земли.............................54

2.3 Влияние положения Луны на энергетику баллистического перелета...........59

2.4 Выводы по второй главе.....................................................................................64

ГЛАВА 3. ВКЛАД ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ В ЭНЕРГЕТИКУ ПЕРЕЛЕТА КА В ТОЧКУ ЛИБРАЦИИ Ы СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ - ЛУНА.............65

3.1. Учет расстояния до Солнца для определения оптимальной даты попадания..........................................................................................................67

3.2. Относительный вклад возмущающих факторов.............................................72

3.3. Выводы по третьей главе...................................................................................76

ГЛАВА 4. ПОЭТАПНЫЙ ПРИМЕР РЕАЛИЗАЦИИ РАЗРАБОТАННОГО АЛГОРИТМА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПЕРЕЛЕТА............................................................................77

4.1. Начальные параметры реализации баллистического перелета...................78

4.2. Численные значения нулевого приближения..........................................79

4.3. Решение краевой задачи................................................................ 82

4.4. Решение оптимизационной задачи................................................... 85

4.5. Влияние погрешности задания параметров выведения КА на базовую орбиту ракетоносителем на величину невязки конечного решения.........................88

4.5.1. Влияние погрешности наклонения базовой орбиты на величину невязки конечного решения........................................................................ 88

4.5.2. Влияние погрешности долготы восходящего узла базовой орбиты на величину невязки конечного решения....................................................90

4.6. Выводы по четвертой главе.................................................................93

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................................................................................94

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.....................................................96

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ТЕХНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА "ЫМООШ025".................................................................................109

Обозначения и сокращения

КА космический аппарат

ХРД химический ракетный двигатель

ЭРД электроракетный двигатель

ОДУ обыкновенные дифференциальные уравнения

ГЭСК геоцентрическая экваториальная система координат

РН ракетоноситель

РБ разгонный блок

з

/ гравитационная постоянная ( 6.67428 • 10"11 —— )

с кг

¡иЕ гравитационный параметр Земли (398600-^-)

с

цс гравитационный параметр Солнца (1.32712517-10"

с

3

Млу„ы гравитационный параметр Луны (4902,72—— )

с

У0 скорость КА на базовой орбите

У^ скорость К А на базовой орбите, после первого импульса скорости

АУ] первый импульс скорости

Уи скорость точки либрации Ы

УКАп вектор скорости КА в точке либрации Ы

АУ2 второй импульс скорости АУТ суммарный импульс скорости

радиус-вектор КА в произвольный момент времени в ГЭСК

п

/-1 радиус-вектор точки либрации Ы в ГЭСК гму„ы радиус-вектор Луны в ГЭСК

о

0 радиус-вектор КА на базовой орбите гГ радиус-вектор Солнца в ГЭСК

Я3 средний радиус Земли (6371км) ЯЕ экваториальный радиус Земли (6378?ш) Н0 высота базовой орбиты ср геоцентрическая широта ^ долгота восходящего узла 1 наклонение орбиты и аргумент широты Г0 дата по юлианскому календарю

Тк дата попадания К А с начала эпохи в точку либрации Ы tn время перелета а вектор площадей орбиты о-0 орт внешней нормали

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследований. В настоящее время одними из самых перспективных направлений развития космической деятельности являются задачи исследования планет и малых небесных тел Солнечной системы. Вопрос исследования единственного спутника Земли - Луны - в этом ряду всегда стоял особняком, и эти исследования ведутся на протяжении практически всей истории развитии науки и техники. Так, еще во II в. до н. э. Гиппарх исследовал движение Луны, определив ее размеры и ряд характеристик орбиты [129]. Теорию Гиппарха в дальнейшем развил Птолемей, описав движение Луны в четвертой книге труда «Альмагест» [92]. С развитием науки и техники данные о движении Луны редактировались и изменялись [29, 9].

С началом космической эры в XX веке количество знаний о Луне существенно увеличилось, во многом благодаря космическим программам «Аполлон» и «Луна». Несмотря на то, что в XX веке вопрос исследования Луны был рассмотрен в достаточном объеме, вплоть до забора грунта, доставки его на Землю и высадки астронавтов, по-прежнему остаются актуальные задачи, связанные с изучением Луны. Забор и доставка на Землю вещества поверхности Луны из разных ее районов могут оказаться весьма полезными для геохимиков, изучающих строение верхней мантии Земли [116].

В начале XXI века КНР опубликовала свою программу освоения Луны, включающую отправку лунохода, забор и доставку на Землю лунного грунта, пилотируемые полеты на Луну и строительство обитаемых лунных баз. После этого ведущие мировые космические агентства, такие как HACA, Роскосмос, ЕКА, Индийское национальное космическое агентство и Японское агентство аэрокосмических исследований, заявили о планах будущих лунных экспедиций. 23 января 2014 года директор института космических исследований РАН, академик Лев Зеленый заявил, что в России возобновляют программу исследования Луны. Дальнейшее исследования Луны позволят изучить ее структуру, выявить наличие ресурсов, изучить вопросы теории образования

Солнечной системы и других звездных систем, а также ответить на многие другие вопросы.

В 1772 году Жозеф Луи Лагранж [126] обнаружил в пространстве между двумя гравитирующими телами точки, при попадании в которые тело с малой массой остается неподвижным относительно этих двух тел. Эти точки получили названия точки Лагранжа или точки либрации.

За счет своих уникальных физических свойств [70] точки либрации все чаще привлекают исследователей и разработчиков космических миссий. На данный момент существует более десятка реализованных проектов по использованию либрационных точек [120]. Среди реализованных проектов отечественные аппараты на данный момент не представлены, однако стоит отметить, что в Российской Федерации ведутся серьезные исследования и разработки по использованию точек либрации для будущих космических миссий [31-34, 44-49, 57-61].

Одним из возможных сценариев развития лунной программы может стать создание орбитальной базы обслуживания и заправки или ретрансляционного пункта для лунных объектов в точке либрации Ы системы «Земля - Луна» - в точке между двумя гравитирующими телами. Таким образом, точка Ы за счет своего уникального расположения может стать ключевым узлом грузового потока Земля - Луна.

Основной задачей небесной механики со времен Ньютона является осуществление возможности определять положение и скорость интересующего нас небесного тела для всякого момента времени. Для решения этой задачи Кеплер создал теорию невозмущенного (кеплерова) движения. Однако, в случае перемещения КА в поле притяжении двух и более небесных тел, математические методы описания движения, описанные Кеплером, не применимы.

Впервые задача п тел в точной постановке была сформулирована Ньютоном. Под телами он подразумевал материальные точки, и задача ставилась следующим образом: в некоторый момент времени заданы положения и скорости трех или более материальных точек, движущихся под действием сил взаимного

притяжения, массы тел известны. Необходимо вычислить их положения и скорости в любой момент времени. Задача становится более сложной, если (как, например, при исследовании движения системы Земля - Луна - Солнце) надо учитывать форму и внутреннее строение тел. При рассмотрении задачи п тел можно сформулировать несколько полезных утверждений, имеющих общий характер и представляющих собой десять интегралов движения. Эти интегралы были известны уже Эйлеру, но с тех пор других подобных соотношений не обнаружено. Кроме того, Лагранжем были найдены некоторые частные решения задачи трех тел, представляющие интерес как для астрономии, так и для астродинамики. Эти решения реализуются, если начальные условия удовлетворяют определенным соотношениям. С тех пор исследователи смогли продвинуться только в изучении специальных задач, в которых можно было использовать те или иные приближения [98]. Общая задача трех тел описывается девятью дифференциальными уравнениями второго порядка, таким образом, система уравнений движения имеет 18 порядок. В общем виде задача трех тел аналитического решения не имеет. Если предположить, что третье тело бесконечно малой массы и не притягивает два других, а гравитирующие тела движутся по окружности вокруг общего центра масс, то система сводится к трем дифференциальным уравнениям второго порядка, т.е. порядок системы понижается от 18 до 6. Такая задача называется ограниченной задачей трех тел. Если задачу ограничить еще больше, потребовав, чтобы третье тело двигалось в плоскости орбит двух массивных тел, то останется только два уравнения второго порядка, так что система будет иметь четвертый порядок. Такой частный случай называется плоской ограниченной круговой задачей трех тел [102, 16].

В рамках плоской ограниченной круговой задачи определяются положение точек либрации относительно небесных тел, в систему которых входит рассматриваемая точка либрации. Задача трех тел привлекла к себе серьезное внимание в середине XX века, когда разрабатывались и реализовывались лунные миссии [18-21, 25-28, 37, 118-119, 121-122].

Стоит отметить, что коллинеарная точка либрации LI неустойчивая [94, 102, 70, 15, 113], а соответственно, требования к точности доставки КА в заданную точку должны быть достаточно высокими.

Сложность решения задачи трех тел связано с тем, что она не имеет аналитического решения. Применению численных методов (как единственному способу решения) посвящены работы [4-6, 83, 106, 108], в которых отмечены основные методы и способы численного интегрирования уравнений движения КА.

На сегодняшний момент известно несколько способов реализации баллистических перелетов [23, 51, 71, 100], с точки зрения движителя космического аппарата (КА). Самыми распространенными из них являются перелеты КА, оснащенные химическим ракетным двигателем (ХРД) и электроракетным двигателем (ЭРД) [13, 39, 43, 52, 114]. Стоит отметить, что встречаются и более экзотические способы перемещения КА в космическом пространстве - с использованием солнечного паруса [35, 42, 65, 67-68, 87-88]. Ключевым преимуществом ХРД назвать высокий удельный импульс тяги, который позволяет реализовывать дальние перелеты за относительно небольшое время. Стоит отметить, что при использовании ЭРД, которые отличаются высокой скоростью истечения частиц и малым массовым расходом топлива, существует возможность повысить массу полезной нагрузки при реализации баллистических перелетов. Но при этом главным минусом использования ЭРД является длительное время перелета. Иногда встает задача в достаточно короткие сроки доставить КА в заданное космическое пространство, и в таком случае использование ЭРД практически исключается.

Ключевым фактором, который определяет реализуемость космической миссии, является стоимость проекта и его финансовая эффективность. Увеличение массы полезной нагрузки, в которую входит целевая аппаратура или, в случае пилотируемых полетов, космонавты вместе с приборами жизнеобеспечения. Задача по увеличению массы полезной нагрузки ставит перед специалистами проектно-баллистического анализа обеспечить оптимальную траекторию КА, где критерием оптимальности является минимальное значение

суммарного импульса скорости [24, 36], необходимого для реализации поставленной цели.

Задачам оптимизации баллистических перелетов посвящены множество научных работ. Среди них хотелось бы отметить работы [14, 30, 50, 53, 54, 63, 66, 72, 85, 86-87, 89, 99, 104, 115], в которых отображены способы и подходы к оптимизации космических миссий.

Вопросу численного решения и оптимизации прямого двухимпульсного баллистического перелета в лунную точку либрации Ы уделено не так много внимания. Левантовский [55] определил, что для реализации баллистического в точку либрации второй импульс скорости должен составлять 650 м/с.

Однако ранее задачи математического моделирования прямого двухимпульсного баллистического перелета в лунную точку либрации Ы не рассматривались с учетом второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца. Не были рассмотрены вопросы по оптимизации баллистического перелета за счет изменения времени перелета и поиска оптимальной даты попадания КА в заданное пространство на основе данных об эфемеридах небесных тел.

Цель диссертационной работы: разработка численной математической модели, алгоритма и программного комплекса, который учитывает данные о положении и движении небесных тел в реальном времени, для определения оптимального прямого баллистического перелета КА с минимальными энергетическими затратами с низкой околоземной орбиты в точку либрации Ы системы Земля - Луна в заданную дату попадания с учетом возмущающих ускорений - Земли как сжатого сфероида, Луны, Солнца, а также прецессии лунной орбиты.

Достижение цели работы требует решения следующих задач:

1. Разработка численных алгоритмов для проведения баллистического анализа и создание на этой основе программного комплекса для расчёта и исследования баллистических траекторий с учётом различных факторов

и

физической природы и обусловленных технологическими требованиями к реализации операций доставки КА;

2. Численный анализ ограниченной задачи трех тел методами прогноза и коррекции различных порядков; реализация сходимости решения системы уравнений движения и заданных координат точки либрации путем решения линеаризованной краевой задачи, определение начальных параметров, обеспечивающих минимальные энергетические расходы для произвольно выбранного времени попадания в точку либрации;

3. Исследование и сравнительный анализ относительных вкладов в обеспечение оптимального решения транспортной задачи на периоде обращения Луны следующих факторов: времени перелета, второй зональной гармоники, прецессии орбиты Луны, возмущающего ускорения Солнца.

Научная новизна работы заключается в следующих положениях:

1. Предложена численная математическая модель и усовершенствован метод поиска оптимального баллистического перелета КА в лунную точку либрации Ы в заданное время попадания, отличающиеся в использовании реальных данных о положении и скорости небесных тел в зависимости от времени, учета второй зональной гармоники Земли и возмущающего ускорения Солнца;

2. В рамках предложенной модели сфор�