автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Разработка геометрических моделей формирования поверхностей по результатам анализа и обработки измерения деталей сложной формы

На правах рукописи

ГВИРЦ Михаил Анатольевич

РАЗРАБОТКА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ФОРМИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ АНАЛИЗА И ОБРАБОТКИ ИЗМЕРЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Специальность: 05.01.01 — инженерная геометрия

и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

9 0 б 0 Е оЦ Москва _ 2005

Работа выполнена на кафедре прикладной геометрии и дизайна Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.

Научный руководитель: заслуженный деятель науки и техники РФ,

заслуженный работник высшей школы РФ, доктор технических наук, профессор ЯКУНИН В.И.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

АБАШЕВ В.М.

кандидат технических наук, профессор ЗУБКОВ В .А.

Ведущее предприятие: ОАО НПО «Сатурн», г. Рыбинск

Защита диссертации состоится «_»_ _2005 г.

в «_» часов на заседании Диссертационного совета Д 212.125.13

при Московском авиационном институте (Государственном техническом университете) Главный административный корпус, Зал ученого совета по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (Государственного технического университета) по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4.

Автореферат разослан «_»__

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Маркин JI.B

^glf^Q ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования

Одним из перспективных путей развития современною машиностроения является реализация сквозного проектирования, изготовления и контроля изделий с помощью автоматизированных систем класса CAD/CAM/CAE. Такие системы обеспечивают значительное сокращение сроков выполнения работ, повышение их качества и конкурентоспособности. Возможность интеграции применяемых программных продуктов в одну информационную среду позволяет быстро вносить изменения при проектировании, конструировании, изготовлении, контроле и испытаниях продукции. Результаты обмера являются также основой для изготовления деталей такими методами быстрого прототипирования, как стереолитография, объемная печать и др.

Для измерения деталей сложной формы применяются координатно-измерительные машины. Контроль таких деталей, как лопатки компрессоров и турбин, целесообразно проводить на лазерных измерительных машинах. По принципу действия они представляют собой трехмерные сканеры, а результатом измерения является набор отсканированных фрагментов, например, сечений профиля пера лопаток.

Возможности современной координатно-измерительной техники в совокупности с вычислительной техникой позволяют получить при обмере деталей координаты тысяч точек. Однако анализ результатов измерений по этим точкам нередко выявляет как наличие избыточной информации, так и недостаток сведений о важных элементах геометрии изделия. Такое положение особенно характерно при проведении обмеров с помощью лазерных систем.

Существующие методы обработки результатов обмера поверхности имеют свои области применения, ограниченные действием различных факторов, связанных не только со свойствами измеряемых поверхностей и средств измерения, но и с уровнем привлечения современных достижений прикладной геометрии для комплексного решения задач сквозного проектирования и контроля деталей.

Своя специфика свойственна и обмеру в процессе контроля

Большинство исследований посвящено решеВИйЛ*01<й&осст»новления формы

СПетеоблвг пи\

2VJ

о» WQ

поверхностей, координаты точек которых неизвестны. При этом вне поля зрения исследователей зачастую остаются проблемы, возникающие при восстановлении поверхностей по результатам обмера вновь изготавливаемых деталей и их заготовок.

Значительная часть вопросов, возникающих при геометрическом моделировании задач восстановления обмеренных поверхностей, связана с повышением их точности с учетом экономии вычислительных ресурсов. В настоящее время повышаются требования к поверхностям сложных деталей, в том числе таких, как лопатки компрессоров и турбин авиадвигателей, а на промышленных предприятиях внедряются современные координатно-измеритсльные машины. Обмер деталей путем сканирования широко применяется на практике в современном производстве. Именно поэтому совершенствование методов решения задач восстановления поверхностей является актуальным.

Объектом исследования является процесс формирования поверхности по точечному базису, полученному при ее обмере, с обеспечением максимальной точности в условиях ограниченного количества исходных точек.

Предметом исследования является обоснование вида и формы оптимальной расстановки абсцисс и ординат ючек, используемых для формирования точечно! о базиса при восстановлении поверхностей.

Цель работы и задачи исследования

Цель диссертационных исследований состоит в разработке метода, методик и алгоритмов измерения, обработки резулыаюв сканирования и анализа геометрических параметров сложных технических поверхностей.

Поставленная цель достигается решением следующих теоретических и прикладных задач:

1 Провести геометрический анализ результатов измерения деталей сложной формы и их загоховок, имеющих малые припуски.

2. Провести анализ существующих методов обработки результатов измерений и выявить области их применения, а также связанные с ними ограничения.

3. Синтезировать метод обмера деталей на лазерных координатно-измерительных машинах с повышением точности последующего восстановления их поверхностей.

4. Разработать методику оценки точности восстановления поверхностей по результатам обмера деталей, содержащих эти поверхности.

5. Разработать рекомендации для промышленности по проведению обмера и обработке полученных результатов для деталей сложной формы.

Методы исследования

Для решения посгаилепиых задач в исследовании использовалась совокупность методов: теоретических, эмпирических и математических. Теоретико- методологической базой настоящего исследования являются труды исследователей по проблемам прикладной и аналитической геометрии, символьной алгебры, методам геометрического и имитационного моделирования, компьютерной графики, принципам и методам математической статистики и других смежных наук.

Базовыми в этих областях исследования явились основополагающие работы отечественных и зарубежных ученых: ИИ. Котова, A.M. Тевлина, В.А. Бусыгина, K.M. Наджарова, Г.С. Иванова, А.Д. Тузова, В.А. Зубкова, Ю.С. Завьялова, В.И. Якунина, Дж. Алберга, Э. Нильсона, Э. Уолша, А. Фокса, М. Прана, а также X. Фримена, ДА. Люстерника, В.М. Дегтярева и многих других.

Научная новизна

В процессе решения поставленных задач получены следующие новые научные результаты:

1. Разработана модель сотовой сетки и метод определения координат произвольной точки поверхности по координатам узловых точек сетки

2. Предложен способ описания границ поверхностей, заданных точечным базисом на сотовой сетке.

3. Выдвинута и подтверждена гипохеза о точности восстановления поверхностей, представленных дискретным каркасом и точечным базисом, на сотовой и прямоугольной сетках.

4. Разработана модель лазерной коордипатно-измерительной машины, имитирующая получение точечного базиса при обмере поверхностей, с целью проверки выдвинутой гипотезы.

5. Осуществлена постановка задачи численного эксперимента по проверке гипотезы: выбрана область задания сравниваемых поверхностей, определено расположение их узловых точек, назначен метод расчета, применяемый для восстановления поверхностей.

6. Предложен общий критерий оценки точности восстановления поверхносхей по различным видам сеток.

7. Дано обоснование выбора тестовой поверхности для проведения численного эксперимента.

8. Выявлено влияние на точность восстановления поверхности таких факторов, как:

• изменение параметров сетки;

• изменение параметров тестовой поверхности;

• погрешности изготовления, приводящие к отклонению тестовой поверхности от ее математической модели;

® погрешности измерения;

9. Определены направления дальнейших исследований по развитию резулыатов, полученных в данной работе.

Практическая шачимость. Среди прикладных проблем использования компьютерной техники большое значение отводится теоретическим и экспериментальным предпосылкам построения на их базе промышленных систем измерения. Целью создания таких систем является получение и обработка информации для контроля качества измеряемых деталей на предмет соответствия измеряемых поверхностей их теоретическим моделям. Особенно остро эта задача стоит применительно к изделиям, содержащим поверхности сложной формы. Такие поверхности обычно имеют место в изделиях базовых отраслей промышленности, а именно машино- и приборостроения, в особенности, их высокотехнологичных областей, одной из которых является авиадвигателестроение. Одной из задач, решаемых при этом, является построение методики измерения деталей сложной формы, обработки и анализа результатов измерения. Повышение точности восстановления поверхностей позволяет провести оптимизацию величины и распределения припуска по обрабатываемым поверхностям.

Практическая значимость результатов данной работы, базирующихся на использовании сотовой сетки, заключается в том, что разработанные метод, методики и алгоритмы могут быть использованы при проведении обмеров и восстановления поверхностей деталей сложной формы с повышенной точностью. Это позволит снизить припуски, а вместе с ними— массу и материалоемкость сложных деталей. Кроме того, открывается возможность принимать решения о годности заготовок в случаях, когда ранее это было невозможно ввиду влияния погрешности восстановления их поверхностей.

Личный вклад автора

Основные научные положения, теоретические выводы и прикладные разработки, а также результаты компьютерных экспериментов, представленные в диссертационной работе, получены автором самостоятельно.

Апробация и публикации

Основные положения диссертации заслушаны, обсуждены и одобрены:

• на заседании секции «Начертательная геометрия графика и САПР» при Доме ученых им. М. Горького РАН (Санкт-Петербург, 20 апреля 2004 г.) — доклад «Применение метода сеток для восстановления дискретно заданных поверхностей по результатам их измерения».

• на первой научно-технической конференции «Климовские чтения-2004» (Санкт-Петербург, Федеральное государственное унитарное предприятие «Завод имени В.Я.Климова» дочернее предприятие ФГУП «РСК «МиГ» 20-21 сентября 2004 г.).

• на аспирантском семинаре кафедры прикладной геометрии Московского авиационного института (Государственного технического университета) 7 апреля 2005 г.

По теме диссертации опубликовано 8 научных работ, в которых отражены основные теоретические и прикладные результаты исследований, еще 2 научные работы приняты к публикации.

Результаты, выносимые на защиту:

• принцип аппроксимации поверхности, точечный базис которой представлен в виде сетки, имеющей ячейки шестиугольной формы (сотовой);

• представление исходного точечно: о базиса поверхности в виде сотовой сетки;

• метод описания границ поверхностей, восс ганавливаемых с помощью сетки такого типа;

• методика проведения численного эксперимента и критерий оценки точности аппроксимации поверхности с помощью сеток различных типов;

• исследование влияния изменения количества узлов сетки и параметров измеряемой поверхности на точность ее восстановления.

Реализация результатов работы

Результаты работы использованы при проведении обмера поверхностей деталей сложной формы и их оптимальной аппроксимации на Федеральном государственном унитарном предприятии «Завод имени Б.Я.Климова» -дочернем предприятии ФГУП «РСК «МиГ». Внедрен принцип обмера на координатно-из мерительных машинах (КИМ) с ишерением координат в узловых точках сотовой сетки и восстановлением по ним координат измеряемых поверхности.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Диссертация шложена на 124 стр машинописного текста и состоит из введения, 3 глав, выводов, списка литературы Работа иллюстрирована 11 таблицами и 42 рисунками. Указатель литературы содержит 91 отечественных и 30 иностранных источников Приложение к диссертации изложено на 24 стр машинописного текста, иллюстрировано 2 таблицами и 3 рисунками.

Во введении к диссертации показана актуальность проблемы и решаемых задач, формулируются цели и задачи исследования, приводятся основные положения и результаты, выносимые на защиту, отмечается их новизна и практическая значимость. Приводятся сведения о конкретном внедрении теоретических и прикладных результатов исследования на предприятиях.

В главе 1 «Методы моделирования и восстановления поверхностей» производится анализ методов, используемых при обработке результатов измерений сложных деталей на координатно-измерительных машинах. Излагаются особенности решения задачи восстановления поверхности но сравнению с задачей ее построения. Обосновывается необходимость предварительной обработки массива точек, полученного при обмере детали, в процессе восстановления поверхности.

В диссертации рассмотрены переходы от дискретного характера информации в виде множества точек, к конструируемой или восстанавливаемой гладкой поверхности, а именно:

1. Аппроксимация поверхности с помощью двух семейств гладких линий, проходящих через имеющиеся точки (на практике эти семейства линий обычно ортогональны).

2. Аппроксимация поверхности с помощью сетки, узлами которой являются характерные точки.

В рамках исследования выбран метод сеток, состоящий в аппроксимации описывающей поверхность искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных путем интерполяции в некоторых точках области — узлах. Приведены требования, предъявляемые к построению узлов сеток. Проведен обзор видов сеток.

Самой распространенной и одной из самых простых является сетка с ячейками прямоугольной формы.

Как известно, на прямоугольной равномерной сетке возможно проводить последовательную интерполяцию, выбрав прямоугольник из кт узлов, в который попадает искомая точка, и провести лагранжеву интерполяцию сначала по строкам, а затем по столбцам. Однако последовательная интерполяция приводит к необходимости использования интерполирующих многочленов высокой степени. Поэтому, хотя теоретически по каждой переменной можно брать свое минимальное число узлов, в машиностроительных САПР обычно применяют схему, в которой каждая ячейка образована всею лишь четырьмя узловыми точками. Первоначальное восстановление поверхности по этим точкам производят, считая их соединенными отрежами прямых. В этом случае билинейная поверхность, соответствующая каждой ячейке, представляет собой косую плоскость (гиперболический параболоид) и описывается квадратичным многочленом вида:

Гг2(х,у)=а+$х+у у+Ъху, (1).

Представлены также виды гранично-линейных поверхностей: линейчатая поверхность Кунса; поверхности, полученные кусочной интерполяцией, в частности, сплайн-интерполяцией.

Рассматриваются и другие виды сеток: триангуляционные; сетки, основанные на построении диаграммы Вороного и др.

Показана целесообразность применения редуцированных сеток и приведены примеры: квазиравномерные сетки; сетки, полученные путем различных видов сжатия, в частности, фрактальным сжатием. Заметим, что фракталы предназначены для математического описания бесконечно дробимых объектов линиями или поверхностями.

Формирование объектов фрактального ландшафта начинается с фрактальной ломаной линии Например, фрактальные обьекгы, показанные на рис. 1, начинают создавать с линии Коха, строящейся на отрезке прямой путем разбиения его на три равные части, построения на средней части равностороннего треугольника и удаления его основания. Эта процедура повторяется мноюкратно для каждого отрезка полученной линии до тех пор, пока длины разбиваемых отрезков не станут меньше наперед заданного значения Способ построения фрактала Коха на отрезке может быть обобщен на лома1гую линию, в том числе и замкнутую. В частном случае исходной линии — правильного треугольника получим так называемую «снежинку Коха».

Логическим продолжением темы фрактального рельефа является построение фрактальной кусочной поверхности, гладкий аналог которой — кусочная поверхность Кунса, а ее завершением является построение фраюальной полигональной сети как объединения фрактальных кусочных поверхностей в единое целое.

Рис. 1. «Снежинки Коха» с различным количеством разбиений

Для построения математических моделей технических поверхностей часто используются многочлены степени выше третьей. Такое описание поверхности позволяет использовать с целью вычисления объемов элементов так называемые «кубатурные» формулы. Элементы ограничены плоскостью ХОУ, плоскостями, перпендикулярными плоскости ХОУ, и проходящими через границы ячейки сетки, а сверху— поверхностью, заданной полиномом. Эти формулы предназначены для приближенного вычисления многократных интегралов и справедливы для всех многочленов достаточно высокой степени при минимальном количестве точек. Вычисление значений функции в характерных узловых точках позволяет построить равномерную сетку на плоскости, перпендикулярной площади источника направленного излучения и затем спроецировать ее на контролируемую поверхность. Точки, в которых в дальнейшем следует производить замеры, будут соответствовать узловым точкам теперь уже неравномерной (в общем случае) сетки на поверхности.

Кубатурные формулы существуют для различных областей: круга, квадрата и т.д. Если область б имеет форму правильного шестиугольника, вписанного в единичный круг, то можно воспользоваться кубатурной формулой Л.А. Люстерника [Люстерник Л.А. Некоторые кубатурные формулы для двукратных интегралов // ДАН СССР 62, вып. 6 (1948), с. 449-459]:

Обозначим через рА„(г=0,1,...5) точки, полярные координаты которых

. ........... . 7з[

р- -------

о

Таким образом, для приближенного вычисления двойного интеграла по правильному шестиугольнику достаточно вычислить значения функции всего лишь в семи точках. Одна из этих точек лежит в центре круга, остальные - в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса,

равного . Каждой точке приписан весовой коэффициент значения

функции в этой точке, как показано на рис 2.

Данные кубатурные формулы не позволяют аппроксимировать заданную функцию, а чтобы воспользоваться формулами, которые позволяют это сделать, необходимо знать значения функции в узловых точках шестиугольника.

Поскольку формула (2), а также кубатурные формулы для круга и квадрата в качестве узловых точек используют центр некоторого шсстиуюльника (для кру!а — правильного, для квадрата — неправильного), и точки, располагающиеся в его вершинах, то для восстановления поверхности предлагается строить сетку, узловые точки ко юрой совпадаю! с центром и

Тогда =

К

15

(2).

вершинами шестиугольников, приведенную на рис. 3. Такая сетка названа сотовой. На рис. 3 узловые точки показаны только для двух элементов сетки; для всех остальных элементов сетки положение узлов аналогично.

Рис. 2. Расположение точек для вычисления двойного интеграла по правильному шестиугольнику с центром в начале координат

Поскольку в каждой ячейке сетки известны значения функции в семи узловых точках, то для аппроксимации по методу Лагранжа использован полином вида (3), для которого могут быть определены 7 коэффициентов Он применим для предложенной кубатурной формулы (2), которая точна для полиномов первых пяти степеней.

Ргг{х,у)=а+$хлчу+Ьх2у+гху2+С?;2+гху2, (3).

При использовании сотовой сетки для получения ¡раниц области определения можно применить упрощенное цепное кодирование Фримена, которое задается последовательностью чисел от 0 до 5 (рис. 4). Таким образом, каждой стороне шестиугольника, являющейся границей ячейки сетки, будет соответствовать свой код

Рис. 4. Упрощенное кодирование Рис. 3. Узловые точки сотовой сетки Фримена для сотовой сетки.

В работе рассмотрены методы моделирования поверхностей. Особое внимание уделено вариационным методам, позволяющим представить достаточно большую часть поверхности одним уравнением в виде полинома высокой степени. Приведена современная классификация поверхностей, задаваемых полиномами 3-й и 4-й степени, и указана область их применения.

На основании изложенных теоретических положений обоснована целесообразность проведения исследования применимости сотовой сетки для задания координат точек, измеренных для восстановления по ним сложных поверхностей.

В основу исследования положена гипотеза: восстановление поверхности но узловым точкам сотовой сетки обеспечивает для полиномов точность вычислений не ниже, чем при восстановлении по вершинам прнмоу1 ольной сетки.

Материал главы 1 служит обоснованием для выбора способа обработки резулыаюв измерений па основе построения сотовой сетки по координатам точек ее узлов.

Чтобы создать модель измерения поверхностей сложной формы, применяемых в современных изделиях высокотехнологичных отраслей машиностроения, необходимо знать научные основы и конструкторско-технологическую реализацию измерения деталей на координатно-измерительной технике. Этим вопросам посвящена глава 2

В главе 2 «Анализ геометрической модели измерения поверхностей сложной формы» производится сравнительное описание применяемых в машиностроении координатно-измерительных машин (КИМ). Приводится их классификация, и указываются их возможности и ограничения, связанные с принципом действия. Проведен сравнительный анализ достоинств и недостатков контактных и бесконтактных КИМ и показана целесообразное гь применения последних для обмера деталей авиадвигателей.

Показано, что вне зависимости от их конструктивного исполнения, в КИМ обоих гипов, а также в станках, оснащенных измерительными системами, заложен один и тот же принцип. Информация о координатах изделия получается в них на основе результатов измерения в виде набора точек, снятых при обмере детали и преобразованных для проведения сравнения их координат с расчетными точками математической модели изделия. Исходя из этого принципа, выдвинуты требования, предъявляемые к программному обеспечению КИМ.

В частности, при проведении сканирования только с одного ракурса, в создаваемую модель будут включаться только видимые с данного ракурса точки, позволяющие создать 2,5-координатные модели поверхности, которые можно представить в виде однозначной функции двух координат. Для совмещения массивов точек, полученных в результате нескольких замеров поверхности в различных положениях, осуществляется преобразование всех данных к единой системе координат. Проведен анализ аппаратных и программных средств, позволяющих объединять набор фрагментов модели объекта в единую трехмерную модель.

Особое внимание уделено лазерным КИМ, поскольку особенности принципа действия и конструктивных решений именно таких машин служат основой для формирования модели процесса измерения При проведении численного эксперимента по проверке гипотезы постановка задачи должна соответствовать модели имен/то такой КИМ. В качестве примера приводится лазерная оптоэлектронная компьютеризованная координатно-измерительная система «ОПТЭЛ-ЛПШ», разработанная специалистами НВП «ОПТЭЛ» при Уфимском государственном авиационном техническом универешете (УГАТУ) и внедренная на ФГУП «Завод им. В.Я.Климова» в Санкт-Петербурге.

Исследованы конструктивно-технологические аспекты измерения на КИМ. Рассмотрен случай обмера заготовки, отличающейся от детали наличием припуска, и проанализировано взаимное положение систем координат заготовки, детали и измерительного устройства КИМ. В работе показано, что

при механической обработке заготовок проблемы базирования, распределения припуска и предварительного контроля их формы для определения годности необходимо рассматривать в комплексе как единую технологическую проблему, главной составляющей которой является распределение припуска по обрабатываемым поверхностям для каждой конкретной заготовки. Приведен обзор способов оптимизации припуска.

Показана необходимость совмещения систем координат обмеряемой детали и КИМ, осуществляемого при базировании. При этом используются алгоритмы, в основе которых лежит метод итерационного приближения к искомому базису изделия, при осуществлении которого па каждой итерации производится сканирование всех баз, расчет параметров баз по полученным данным и построение базиса, более близкого к искомому, чем на предыдущей итерации Проанализированы современные алгоритмы базирования, где осуществляется только однократное, на первой итерации, сканирование прямоугольных областей, включающих в себя базы При их осуществлении производится сканирование нескольких сечений внутри области. На последующих итерациях, при нахождении базиса изделия, для получения требуемого сечения производят его интерполяцию по сканированным данным области.

Рассмотрены также особенности измерения заготовок и деталей, имеющих поверхности вращения. Проведен анализ количества точек, достаточных для контроля. Если принять допущение о том, что шлрентности формы существенно меньше поля допуска, то при контроле можно ограничиться минимальным количеством точек Так, для прямой достаточно проконтролировать две точки, для окружности и плоскости — три, для сферы и эллипса — четыре, для цилиндра и конуса — шесть (по три точки в каждом из двух сечений) В случаях, когда погрешности формы сравнимы с величиной поля допуска, при контроле следует увеличить количество точек. Рассмотрен случай цилиндрической поверхности (ЦП) Указано, что задача состоит в определении параметров прилегающего цилиндра, причем для вала его радиус Я есть минимаксная величина типа

#=пип тах г (<р, г), (4)

где г ((р, г) — функция расстояний (текущих радиусов) до ючек ЦП относительно оси цилиндрической системы координат; <ре[0; 2 л] и ге[0; /] — полярный угол и аппликата системы координат; I — длина ЦП.

Использование этого подхода позволяет сделать вывод, что в общем случае для определения прилегающего цилиндра к ЦП произвольной формы на ней достаточно найти пять равно- и максимально удаленных точек.

Материал, изложенный в I лаве 2, позволяет сделать выводы, что лазерные КИМ обеспечивают базирование и обмер деталей сложной формы, в частности, компрессорных и турбинных лопаток, других деталей проточной части авиадвигателей, а также деталей, имеющих поверхности вращения. При этом возможно снятие координат узловых точек, как на прямоугольной, так и на сотовой сетке с произвольно заданным шагом. Но вместе с тем существуют ограничения, связанные с конструкцией таких КИМ и технологией работы на них.

Исходя из изложенного, в работе поставлена и решается задача по проведению численного эксперимента, направленного на подтверждение выдвинутой гипотезы о более высокой точности восстановления поверхности по узловым точкам сотовой сетки, чем сетки прямоугольной.

В главе 3 «Расчет точности восстановления поверхностей» проведена проверка выдвинутой гипотезы. С этой целью выбран фрагмент поверхности, на котором задается некоторое примерно равное количество точек с дальнейшим построением на них двух видов сегки: прямоугольной и сотовой. Сравнивались прямоугольная сетка 11x11 (121 точка) и сотовая сетка из 122 точек. В обоих видах разбиения для каждого элемента восстановлены участки (ячейки) поверхности, совокупность которых задает выбранный фрагмент восстановленной поверхности. На рис. 5 показано, как выглядят две поверхности в одной ячейке прямоугольной сетки— теоретическая и восстановленная по заданным координатам узлов; одна их лих поверхностей изображена более светлой, а другая — более темной. Сам же расчет произведен методом Лагранжа путем подбора для каждой ячейки своего аппроксимирующего полинома. Ею коэффициенты заданы:

• для прямоугольной сетки — формулой (1);

• для сотовой сетки — формулой (3);

В работе проанализированы критерии точности для оценки результатов численного эксперимента. Исходя из этого анализа, сделано следующее обоснование выбора применяемого критерия

Рис. 5. Восстановленная и теоретическая поверхности в одной ячейке сетки

Для каждой ячейки определены по две функции- функция, описывающая заданную поверхность и полином, аппроксимирующий эту поверхность в данной ячейке. Проинтегрировав или применив кубатурные формулы, можно рассчитать для /-той ячейки точный объем, ограниченный каждой из этих поверхностей На рис. 6 показаны точки, в которых вычисляются значения полиномов для сотовой сетки.

Относи шгьная погрешность аппроксимации будет равна

6 = —-—, (5)

Уи 0>

I де 8 — ошосительная погрешность аппроксимации,

Уь — объем, ограниченный поверхностью, описываемой исходным полиномом, У-, — обьем, ограниченный поверхностью, описываемой аппроксимирующим полиномом.

Рис. 6. Расчетные точки для сотовой сетки

В качестве критерия точности аппроксимации дтя всей поверхности

принят следующий функционал для всех участков области определения: , (6)

ш уу )

На основе аналитического выражения (5) или (6) можно произвести минимизацию функционала 5', выявить параметры, влияющие на его величину, судить об области применения вида сетки и, следовательно, управлять точностью обработки результатов измерений.

При выборе тестовой поверхности, в ходе выполнения работы, руководствовались следующими соображениями: 80% сложных поверхностей могут быть заданы аналитически. Для обработки на станках с ЧПУ технологичны винтовые поверхности постоянного шаха с недеформирующейся образующей, включая их частные случаи: поверхности вращения общего вида и цилиндрические поверхности Тороидальные поверхности показательны для тестирования и широко применяются в конструкции ГТД' внешние области тора - поверхности положительной гауссовой кривизны являются эллиптическими локальными участками, внутренние области - поверхности

отрицательной гауссовой кривизны, то есть гиперболическими, а окрестности окружностей, разделяющих эти участки — параболическими участками поверхности с нулевой гауссовой кривизной.

В диссертации в качестве тестовой поверхности выбран тор, образованный вращением эллипса вокруг оси как показано на рис. 7.

К' 3 _ Л!

^ | |

1 г р I 1

I а

Я

1 — Эллиптический участок ср>0

2 — Гиперболический участок <р<0

3 — Параболический участок ф=0

Рис. 7. Тор (эллиптический)

Для проверки гипотезы взята область определения в виде квадрата 0,2 х 0,2 (использована сис!ема СИ; 0,2 м соответствует 200 мм).

Для тестирования выбран участок эллиптическою тора с радиусом вращения цешра эллипса, Я-0,5 и полуосями эллипса я=0,4 и Ь-0,2 (рис. 8). Начало координат совмещено с точкой пересечения полуосей

Значения кршериев точное I и восстановления поверхностей для прямоугольной и сотовой сетки составили:

Прямоугольная сетка Сотовая сетка

й=3,91502-Ю"4'; 8=0,00197864; 6=3,43167-Ю-14; 8=1,85248-Ю"7;

Видно, что восстановление по узловым точкам сотовой сетки здесь обеспечивает значительно более высокую точность, чем по узловым 1 очкам прямоугольной сстки.

В работе выявлена зависимость точности восстановления от количества узлов сетки путем проведения эксперимента по восстановлению тестовой поверхности для различного их количества и выбора вида аппроксимирующей функции. Установлено, что закон изменения критерия точности Л"2 от количества узлов х для разных видов сетки аналогичен и имеет вид:

в

52 = А(1-е * ), (7)

где значения коэффициентов А и В изменяются в зависимости от вида сетки и моделируемой поверхности.

Графический вид зависимосхи для сотовой сетки приведен на рис. 9.

100 200 300 400 500 600

Рис. 9. Зависимость критерия точности 5'2 от количества точек сотовой сетки

В диссертации исследовано влияние изменения геометрических параметров тестовой поверхности (эллиптическою юра) на ючность восстановления поверхности путем варьирования размеров радиуса вращения центра эллипса й и его полуосей а, Ь. Установлено, что с уменьшением кривизны точность увеличивается, а с ее увеличением — точность уменьшается для обоих видов сетки. В то же время, соотношение между порядком погрешности для каждого вида сетки остается практически неизменным. Показано, чго ючность восстановления более чувствительна к изменениям размера а, чем Я. Следовательно, близость области определения к цешру эллипса оказывает меньшее влияние на точность, чем размер полуоси эллипса, лежащей в горизонтальной плоскости. Выявлено, что точность восстановления не зависит от размера второй полуоси эллипса А, что позволило провести исследование поверхностей, полученных модификацией «обычного» тора.

В рамках исследования также изучалось влияние отклонений тестовой поверхности от ее математической модели и погрешности измерения на точность восстановления поверхности. Для этого к значению функции, описывающей поверхность, добавлялась случайная составляющая, распределенная по нормальному закону, моделирующая указанные отклонения. В условиях эксперимента принята случайная функция с матемашческим ожиданием, равным нулю и дисперсией а~ 0,01. На рис. 10 условно показано изменение вида восстановленной поверхности в этом случае.

Рис. 10. Восстановление поверхности по значениям координат узловых точек, имеющим случайную составляющую

Характерно, что для той же области и того же тора (с радиусом вращения центра эллипса, равным 0,5 и полуосями эллипса 0,4 и 0,2) получены ре ¡ультаты, мало отличающиеся от восстановления поверхности без учета погрешности. Практически не изменился и характер отклонений. При изменении величины дисперсии (ег = 0,1) ни характер отклонений, ни порядок величин для обоих видов сетки также не изменились. Это объясняется тем, что случайные составляющие массивов точек взаимно нивелируются.

С целью изучения точности восстановления проведена трансформация тестовой поверхности методом модификации коэффициентов. Хотя свойства исследуемых поверхностей мало изучены, они не обладают свойством центральной симметрии, а в область определения попадают лишь их фрагменты, можно сделать вывод о подтверждении выдвинутой гипотезы и о повышении точности восстановления с уменьшением кривизны поверхности (по модулю).

Численный эксперимент и расчет точности восстановления проводились также для некоторых других поверхностей 4-го порядка. Выявилось, что точность восстановления разных участков поверхности может оказаться различной для разных видов сетки. Тем не менее, и во всех этих случаях сотовая сетка дает значительно более высокую точность восстановления, чем прямоугольная.

В Заключении диссертации подведены итоги проведенного исследования и сформулированы его основные результаты:

1. Восстановление поверхностей по соювой сетке обеспечивает точность на 2 и более порядков выше, чем по прямоугольной.

2. Результаты исследования показали, что как величина отклонения восстановленной по сотовой сетке поверхности от ее математической модели по сравнению с прямоугольной сеткой, так и восстановление координат любой точки, принадлежащей ячейке сотовой сетки, осуществляется на 2 и более порядков точнее, чем для координат той же точки, принадлежащей ячейке прямоу! ольной сетки.

3. Высокая точность восстановления поверхности по узлам сотовой сстки позволяет сократи 1ь количество измеряемых ячеек не менее, чем на порядок, что значительно снижает затраты времени на проведение измерений.

4. Реальное внедрение результатов исследования в промышленность позволяет снизить припуски на обработку на 15% и обеспечивает более высокую точность определения фактических координат поверхностей

изготавливаемых деталей и их заготовок. При этом уменьшается и материалоемкость продукции.

Дальнейшее развитие исследований рекомендуется проводить в следующих направлениях:

1. Постановка задачи восстановления больших участков поверхности по узловым точкам сотовой сетки. Это обеспечит расширение области применения сотовой сетки.

2. Аналитическое моделирование поверхностей высокого порядка, описания их свойств и классификация.

3. В случаях, когда область определения может быть ограничена фрактальной линией Коха, появляется возможность восстановления поверхности по сотовой сстке, построенной из перекрывающихся шестиугольников разного размера. Для решения этой задачи необходима отработка алгоритмов нахождения границ области определения, областей перекрытия, а также координат точек поверхности в этих областях.

В Приложении к диссертации выдвинутая гипотеза проверяется и подтверждается путем расчета точности восстановления поверхностей пера компрессорных лопаток (реальных деталей и их магматической модели). Восстановление производится по исходным данным, представленным в виде точечного базиса, по прямоугольной и сотовой сеткам. Указаны исходные данные, способ их получения путем обмера на координатно-измерительной машине, выполненного на ФГУП «Завод имени В.Я.Климова», построение сеток, способы восстановления поверхностей, выбор контрольных точек. Приведены критерий точности восстановления поверхностей для данной проверки и результаты обработки измерений.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1 Андрейченко Ю.Я., Гвирц М.А. Анализ и обработка результатов измерения деталей сложной формы. Технологическая системотехника. Сборник трудов первой международной электронной научно-технической конференции. Тула, 2002, с.237-239.

2. Гвирц М.А. Применение метода сеток для восстановления поверхностей деталей сложной формы по результатам их измерения. Известия Тульского государственною университета Серия Техноло1 ическая системотехника. Выпуск 1. Избранные труды участников Второй международной электронной научно-технической конференции. Тула, 2003, с.252-258.

3. Андрейченко Ю.Я., Гвнрд М.А. Применение метода сеток для восстановления дискретно заданных поверхностей деталей по результатам их измерения. Проблемы научно-методического и организационного обеспечения учебного процесса по начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графике. Сборник трудов Всероссийского семинара-совещания заведующих кафедрами графических дисциплин. Саратов, 2005, с. 182-185.

4. Гвирц М.А. Выбор вида сеток для восстановления дискретно заданных сложных поверхностей. Проблемы научно-методического и организационного обеспечения учебного процесса по начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графике. Сборник трудов Всероссийского семинара-совещания заведующих кафедрами графических дисциплин. Саратов, 2005, с. 209-212.

5. Гвирц М.А. Оценка точности восстановления поверхностей по прямоугольной и соювой сеткам. Актуальные проблемы графической подготовки в высшем профессиональном образовании. Тезисы докладов Всероссийского совещания заведующих кафедрами инженерно-графических дисциплин вузов РФ (7-9 июня 2005 г.). Пермь, 2005, с. 129-130.

6. Гвирц М.А. Моделирование восстановления поверхностей, заданных точечным базисом, по прямоугольной и сотовой сеткам. Электронный журнал «Прикладная геометрия». Вып. 7, № 17,2005. mai.ru/~apg

7. Гвирц М.А. Оценка точности восстановления поверхностей, заданных точечным базисом, по прямоугольной и сотовой сеткам. Электронный журнал «Прикладная геометрия». Вып. 7, № 17, 2005. http://www.mai.ru/~apg

8. Гвирц М.А. Повышение точности восстановления дискретно заданных поверхностей путем использования сотовой сетки. Электронный журнал «Прикладная геометрия». Вып. 7, № 17, 2005. http://www.mai.ru/~apg

9. Гвирц М.А. Сравнение точности восстановления поверхностей по прямоугольной и сотовой сеткам. Известия Тульского государственного университета. Серия Технологическая системотехника. Избранные труды участников Четвертой международной электронной научно-технической конференции. Тула, 2005 (в печати).

10. Гвирц М.А. Критерии точности восстановления поверхностей сложной формы по результатам их обмера на координатно-измерительных машинах. Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского I осударственного политехнического университета. №4, 2005 (в печати).

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 1f.Of <Ц00¥. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Уч. печ. л. . Тираж /60 . Заказ .

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29.

J 1

♦

!

M

I

i

i

i

i

#20 9 06

РНБ Русский фонд

2006-4 18490

введение.

глава 1 методы моделирования и восстановления поверхностей.

1.1 Анализ методов.

1.2 Разработка и анализ метода сеток для задания точечного базиса поверхности.

1.3 Анализ методов моделирования поверхностей с использованием полиномов.

1.4 Сотовая сетка и ее параметры.

1.5 Метод описания границ восстановления поверхностей.

1.6 Декомпозиционные и вариационные методы моделирования поверхностей.

1.7 Анализ точности восстановления поверхности.

глава 2 анализ геометрической модели измерения поверхностей сложной формы.

2.1 Виды координатно-измерительных машин, их возможности и ограничения, накладываемые принципом их действия.

2.2 Выбор системы координат заготовки и ее связь с системами координат детали и КИМ.

2.3 Особенности измерения заготовок и деталей, имеющих поверхности вращения.

глава 3 расчет точности восстановления поверхностей.

3.1 Постановка задачи численного эксперимента.

3.2 Критерий точности для оценки результатов численного эксперимента.

3.3 Обоснование выбора тестовой поверхности.

3.4 Выбор участка тестовой поверхности и ее параметров.

3.5 Зависимость точности восстановления поверхности от количества узлов сетки.

3.6 Изменение геометрических i iapametpob тестовой поверхности.

3.7 Учет отклонений тестовой поверхности от ее математической модели и учет погрешностей измерения.

3.8 Проверка гипотезы для модифицированной тестовой поверхности.

3.9 Проверка гипотезы для других поверхностей.

Актуальность темы

Одним из перспективных путей развития современного машиностроения является реализация сквозного проектирования, изготовления и контроля изделий с помощью автоматизированных систем класса САО/САМ/САЕ. Такие системы обеспечивают значительное сокращение сроков выполнения работ, повышение их качества и конкурентоспособности. Возможность интеграции применяемых программных продуктов в одну информационную среду позволяет быстро вносить изменения при проектировании, конструировании, изготовлении, контроле и испытаниях продукции. Результаты обмера являются также основой для изготовления деталей такими методами быстрого прототипирования, как стереолитография, объемная печать и др.

Для измерения деталей сложной формы применяются координатно-измерительные машины. Контроль таких деталей, как лопатки компрессоров и турбин, целесообразно проводить на лазерных измерительных машинах. По принципу действия они представляют собой трехмерные сканеры, а результатом измерения является набор отсканированных фрагментов, например, сечений профиля пера лопаток.

Возможности современной координатно-измерительной и вычислительной техники позволяют получить при обмере деталей координаты тысяч точек. Однако анализ результатов измерений по этим точкам нередко выявляет как наличие избыточной информации, так и недостаток сведений о важных элементах геометрии изделия. Такое положение особенно характерно при проведении обмеров с помощью лазерных систем, что вызвано ограничениями, связанными с применяемыми методами измерения и расчета.

Существующие методы обработки результатов обмера поверхности имеют свои области применения, ограниченные действием различных факторов, связанных не только со свойствами измеряемых поверхностей и средств измерения, но и с уровнем привлечения современных достижений прикладной геометрии для комплексного решения задач сквозного проектирования и контроля деталей.

Своя специфика свойственна и обмеру в процессе контроля изготавливаемых деталей, ограниченных поверхностями сложной формы. Большинство исследований посвящено решению задачи восстановления формы поверхностей, координаты точек которых неизвестны. При этом вне поля зрения исследователей зачастую остаются проблемы, возникающие при восстановлении поверхностей по результатам обмера вновь изготавливаемых деталей и их заготовок.

Так, в обзоре [120] приводится описание принципа действия лазерных систем, методов восстановления поверхностей по координатам измеренных точек и порядка их обработки, но отмечается малое количество теоретических работ в данной области.

Значительная часть вопросов, возникающих при геометрическом моделировании задач восстановления обмеренных поверхностей, связана с повышением их точности с учетом экономии вычислительных ресурсов. В настоящее время повышаются требования к поверхностям сложных деталей, в том числе таких, как лопатки компрессоров и турбин авиадвигателей, а на промышленных предприятиях внедряются современные координатно-измерительные машины. Обмер деталей путем сканирования широко применяется на практике в современном производстве. Именно поэтому совершенствование методов решения задач восстановления поверхностей является актуальным.

Объектом исследования является процесс формирования поверхности по точечному базису, полученному при ее обмере, с обеспечением максимальной точности в условиях ограниченного количества исходных точек.

Предметом исследования является обоснование вида и формы оптимальной расстановки абсцисс и ординат точек, используемых для формирования точечного базиса при восстановлении поверхностей.

Цель работы и задачи исследования

Цель диссертационных исследований состоит в разработке метода, методик и алгоритмов измерения, обработки результатов сканирования и анализа геометрических параметров сложных технических поверхностей.

Поставленная цель достигается решением следующих теоретических и прикладных задач:

1. Провести геометрический анализ результатов измерения деталей сложной формы и их заготовок, имеющих малые припуски.

2. Провести анализ существующих методов обработки результатов измерений и выявить области их применения, а также связанные с ними ограничения.

3. Синтезировать метод обмера деталей на лазерных координатно-измерительных машинах с повышением точности последующего восстановления их поверхностей.

4. Разработать методику оценки точности восстановления поверхностей по результатам обмера деталей, содержащих эти поверхности.

5. Разработать рекомендации для промышленности по проведению обмера и обработке полученных результатов для деталей сложной формы.

Методы исследования

Для решения поставленных задач в исследовании использовалась совокупность методов: теоретических, эмпирических и математических. Теоретико- методологической базой настоящего исследования являются труды исследователей по проблемам прикладной и аналитической геометрии, символьной алгебры, методам геометрического и имитационного моделирования, компьютерной графики, принципам и методам математической статистики и других смежных наук.

Научная новизна

В процессе решения поставленных задач получены следующие новые научные результаты:

1. Разработана модель сотовой сетки и метод определения координат произвольной точки поверхности по координатам узловых точек сетки.

2. Предложен способ описания границ поверхностей, заданных точечным базисом на сотовой сетке.

3. Выдвинута и подтверждена гипотеза о точности восстановления поверхностей, представленных дискретным каркасом и точечным базисом, на сотовой и прямоугольной сетках.

4. Разработана модель лазерной координатно-измерительной машины, имитирующая получение точечного базиса при обмере поверхностей, с целью проверки выдвинутой гипотезы.

5. Осуществлена постановка задачи численного эксперимента по проверке гипотезы: выбрана область задания сравниваемых поверхностей, определено расположение их узловых точек, назначен метод расчета, применяемый для восстановления поверхностей.

6. Предложен общий критерий оценки точности восстановления поверхностей по различным видам сеток.

7. Дано обоснование выбора тестовой поверхности для проведения численного эксперимента.

8. Выявлено влияние на точность восстановления поверхности таких факторов, как:

• изменение параметров сетки;

• изменение параметров тестовой поверхности;

• погрешности изготовления, приводящие к отклонению тестовой о О поверхности от ее математической модели;

• погрешности измерения;

9. Определены направления дальнейших исследований по развитию результатов, полученных в данной работе.

Практическая значимость

Среди прикладных проблем использования компьютерной техники большое значение отводится теоретическим и экспериментальным предпосылкам построения на их базе промышленных систем измерения. Целью создания таких систем является получение и обработка информации для контроля качества измеряемых деталей на предмет соответствия измеряемых поверхностей их теоретическим моделям. Особенно остро эта задача стоит применительно к изделиям, содержащим поверхности сложной формы. Такие поверхности обычно имеют место в изделиях базовых отраслей промышленности, а именно машино- и приборостроения, в особенности, их высокотехнологичных областей, одной из которых является авиадвигателестроение. Одной из задач, решаемых при этом, является построение методики измерения деталей сложной формы, обработки и анализа ^ результатов измерения. Повышение точности восстановления поверхностей позволяет провести оптимизацию величины и распределения припуска по обрабатываемым поверхностям.

Практическая значимость результатов данной работы, базирующихся на использовании сотовой сетки, заключается в том, что разработанные метод, методики и алгоритмы могут быть использованы при проведении обмеров и восстановления поверхностей деталей сложной формы с повышенной точностью. Это позволит снизить припуски, а вместе с ними — массу и материалоемкость сложных деталей. Кроме того, открывается возможность принимать решения о годности заготовок в случаях, когда ранее это было невозможно ввиду влияния погрешности восстановления их поверхностей.

Апробация и публикации

Основные положения диссертации заслушаны, обсуждены и одобрены:

• на заседании секции «Начертательная геометрия графика и САПР» при Доме ученых им. М. Горького РАН (Санкт-Петербург, 20 апреля 2004 г.) — доклад «Применение метода сеток для восстановления дискретно заданных поверхностей по результатам их измерения».

• на первой научно-технической конференции «Климовские чтения -2004» (Санкт-Петербург, ФГУП «Завод имени В.Я.Климова» -дочернее предприятие ФГУП «РСК «МиГ» 20-21 сентября 2004 г.).

• на аспирантском семинаре кафедры прикладной геометрии Московского авиационного института (Государственного технического университета) 7 апреля 2005 г.

По теме диссертации опубликовано 8 научных работ, в которых отражены основные теоретические и прикладные результаты исследований, еще 2 научные работы приняты к публикации.

Результаты, выносимые на защиту:

• принцип аппроксимации поверхности, точечный базис которой представлен в виде сетки, имеющей ячейки шестиугольной формы (сотовой);

• представление исходного точечного базиса поверхности в виде сотовой сетки;

• метод описания границ поверхностей, восстанавливаемых с помощью сетки такого типа;

• методика проведения численного эксперимента и критерий оценки точности аппроксимации поверхности с помощью сеток различных типов;

• исследование влияния изменения количества узлов сетки и параметров измеряемой поверхности на точность ее восстановления.

Реализация результатов работы Результаты работы использованы при проведении обмера поверхностей деталей сложной формы и их оптимальной аппроксимации на Федеральном государственном унитарном предприятии «Завод имени В.Я.Климова» -дочернем предприятии ФГУП «РСК «МиГ». Внедрен принцип обмера на координатно-измерительных машинах (КИМ) с измерением координат в узловых точках сотовой сетки и восстановлением по ним координат измеряемых поверхностей.

Объем и структура диссертации.

Диссертация изложена на 124 стр. машинописного текста и состоит из введения, 3 глав, выводов, списка литературы. Работа иллюстрирована 11 таблицами и 42 рисунками. Указатель литературы содержит 91 отечественный и 30 иностранных источников. Приложение к диссертации изложено на 24 стр. машинописного текста, иллюстрировано 2 таблицами и 3 рисунками.

2. Результаты исследования показали, что как величина отклонения восстановленной по сотовой сетке поверхности от ее математической модели по сравнению с прямоугольной сеткой, так и восстановление координат любой точки, принадлежащей ячейке сотовой сетки, осуществляется на 2 и более порядков точнее, чем для координат той же точки, принадлежащей ячейке прямоугольной сетки.

3. Высокая точность восстановления поверхности по узлам сотовой сетки позволяет сократить количество измеряемых ячеек не менее, чем на порядок, что значительно снижает затраты времени на проведение измерений.

4. Реальное внедрение результатов исследования в промышленность позволяет снизить припуски на обработку на 15% и обеспечивает более высокую точность определения фактических координат поверхностей изготавливаемых деталей и их заготовок. При этом уменьшается и материалоемкость продукции.

Дальнейшее развитие исследований рекомендуется проводить в следующих направлениях:

1. Постановка задачи восстановления больших участков поверхности по узловым точкам сотовой сетки. Это обеспечит расширение области применения сотовой сетки.

2. Аналитическое моделирование поверхностей высокого порядка, описания их свойств и классификация.

3. В случаях, когда область определения может быть ограничена фрактальной линией Коха, появляется возможность восстановления поверхности по сотовой сетке, построенной из перекрывающихся шестиугольников разного размера. Для решения этой задачи необходима отработка алгоритмов нахождения границ области определения, областей перекрытия, а также координат точек поверхности в этих областях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Восстановление поверхностей по сотовой сетке обеспечивает точность на 2 и более порядков выше, чем по прямоугольной.

1. Авдулов А. Н., Гутер Р. С., Полунов Ю. JI. и др. Методика построениябазовых окружностей при машинном анализе некруглости // Измерительная техника. 1969. № 8. с. 21-23.

2. Авдулов А. Н. Контроль и оценка круглости деталей машин. — М.:

3. Издательство стандартов, 1974.

4. Авдулов А.Н., Шустер В.Г. Построение системы прилегающих базовыхповерхностей для оценки точности формы деталей произвольного вида. Измерительная техника; 4, 1983, с. 46-48

5. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения:

6. Перевод с английского — М.: Мир, 1972. — 316 с.

7. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия: Учебное пособие. — М.:

8. Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990. — 672 е.: ил.

9. Амелин В.А., Князь В.А. Объединение фрагментов трехмерной моделиобъекта // GRAPHICON, 2002 http://www.graphicon.ru.

10. Андрейченко Ю.Я., Гвирц М.А. Анализ и обработка результатов измерениядеталей сложной формы // Технологическая системотехника. Сборник ' ■ трудов первой международной электронной научно-технической конференции. Тула, 2002, с.239.

11. Аронов Б.М., Жуковский М.И., Журавлев В.А. Профилирование лопатокавиационных газовых турбин. М.: «Машиностроение», 1975, 192 е.: ил.

12. Бурцев В. М., Васильев A.C., Дальский A.M. и др. Технология машиностроения. Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности "Технология машиностроения": в 2 т. / Т. 1.: Основы технологии машиностроения — М.: Издательство МГТУ им.

13. Н.Э. Баумана, 1998, 563 е.: ил.

14. Бутаков Е.А., Островский В.И., Фадеев И.Л. Обработка изображений на ЭВМ. — М.: Радио и связь, 1987. — 240 е.: ил.

15. Вайханский С. М., Сегалович JI. В., Шеметилло Г. Ф. Измерение в производственных условиях диаметров цилиндров с учетом отклонений от круглости // Измерительная техника, 1982, № 1, с. 23—24.

16. Васильев В. П. Методы автоматизации геометрического моделирования на основе параметрических сплайнов: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. — Минск, 1982. — 20 с.

17. Васильев В. П. Оценка формы кривой, моделируемой параметрическими сплайнами // Вычислительные системы. — 1987. Вып. 121. 75-85.

18. Васильев Д.Т. Технологические проблемы в производстве крупногабаритных деталей // Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции «Прогрессивные технологические процессы в атомном машиностроении», Волгодонск, январь 1981. М., 1981. с. 7.

19. Вентцель Е. С. Теория вероятности. — М.: Физматгиз, 1962. — 564 с.

20. Верещага В. М. Возможности алгоритма аппроксимации алгебраическими многочленами с регламентированным числом точек перегиба// Прикладная геометрия и инженерная графика— 1988. Вып. 46. с. 98-100.

21. Виленкин Н. Я. О приближенном вычислении кратных интегралов // Сборник «Вычислительная математика» (1959), с. 58-71.

22. Галиулин P.M., Галиулин Риш.М., Бакиров Ж.М., Богданов Д.Р., Воронцов A.B., Пономаренко И.В. Лазерные компьютерные системы «ОПТЭЛ» для контроля геометрии объектов сложной формы //15

23. Российская научно-техническая конференция «Неразрушающий контроль и диагностика» 28 июня — 2 июля 1999г. Москва: РОНКТД. — С. 62.

24. Галиулин Рав. М., Галиулин Риш. М., Бакиров Ж.М. и др. Компьютерные лазерные оптоэлектронные системы измерений геометрии изделий сложной формы «ОПТЭЛ» // «Известия ВУЗов. Авиационная техника», 1997, с. 100

25. ГОСТ 21495-76. Базирование и базы в машиностроении. Термины и определения. .

26. ГОСТ 24642-81. Основные нормы взаимозаменяемости. Допуски формы и расположение поверхностей. Основные термины и определения.

27. ГОСТ 25346-89 Основные нормы взаимозаменяемости. ЕСДП. Общие положения, ряды допусков и основных отклонений.

28. Гришин В.К. Статистические методы анализа и планирования экспериментов. М., Издательство Московского университета, 1975 г.128 с.

29. Гутер P.C., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М.: Физматгиз, 1962, 356 с. с илл.

30. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1985. — 304 с.

31. Дьяконов В.П. Mathematica 4: учебный курс — СПб: Питер, 2001. — 656 с.

32. Егоров Э. В., Тузов А. Д. Моделирование поверхностей агрегатов JIA: Учебное пособие / Под ред. Э. В. Егорова. — М.: Изд-во МАИ, 1988. — 54 с.

33. Елисеев Ю.С., Бойцов А.Г., Крымов В.В., Хворостухин JI.A. Технология производства авиационных газотурбинных двигателей. М.: Машиностроение, 2003. 512 е.: ил.

34. Елыков H.A., Белаго И.В., Кузиковский С.А., Некрасов Ю.Ю. Методы непрерывной детализации террэйна // GRAPHICON, 2002 http://www.graphicon.ru

35. Завьялов Ю. С., Вершинин В. В. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. — Новосибирск: Наука, 1988. — 101 с.

36. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980. — 352 с.

37. Завьялов Ю.С., Jleyc В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. —: М.: Машиностроение, 1985. — 223 с.

38. Закс JI. Статистическое оценивание. Пер. с нем. В.Н. Варыгина. Под ред. Ю.П. Адлера, В.Г.Горского. М., «Статистика», 1976. 598 с. с ил.

39. Зубков В. А. Об аппроксимации аэродинамических профилей полиномами // Прикл. геометрия и машинное проектирование. — М.: Издательство МАИ, 1977. Вып. 414, с. 25-26.

40. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). — М.: Машиностроение, 1987. — 188 с.

41. Калиткин H.H. Численные методы. — М.:, 1978. — 512 е.: ил.

42. Колесов И.М. Основы технологии машиностроения. — М.: Высшая школа, 1999, 590 е.: ил.

43. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968. — 496 с. с черт.

44. Котов И. И. Алгоритмы конструирования каркасных поверхностей. — М Издательство МАИ, 1975. — 96 с.

45. Котов И. И. Графические способы задания и построения технических поверхностей: Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. — М., 1961. — 32с.

46. Котов И. И. Прикладная геометрия и автоматическое воспроизведение поверхностей // Труды института / МАИ. 1971. Вып. 231., с. 3-5.

47. Котов И. И., Полозов В. С., Широкова Л. В. Алгоритмы машинной графики.- М.: Машиностроение, 1977, — 232 с.

48. Крылов И. П. Формирование и передача сложных алгебраических поверхностей по телекоммуникационным каналам. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. СПб.: 2004—16с.

49. Крылов И.П. Виды и типы геометрических поверхностей, описываемых алгебраическими уравнениями 4-го порядка // Материалы 55 НТК СПбГУТ 27-31 января 2003

50. Крылов И.П., Дегтярев В.М. Библиотека алгебраических поверхностей, используемая для передачи геометрических образов по каналам связи. //Труды учебных заведений связи / СПбГУТ. СПб, 2003. №169. С.70-81

51. Крылов В.И. Приближенные вычисления интегралов. М.: Наука, 1967, 500 е.: с черт.

52. Кузнецов А.Ю., Алгоритмы построения двумерной триангуляции Делоне. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1990. — 43 е.: ил.

53. Курносенко А.И. Об алгоритмах обработки координатных измерений круглых профилей и сферических поверхностей // Измерительная техника №1, 1992 с. 25—27

54. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. Л.: Физматгиз, 1962 г. — 352 стр. с илл.

55. Люстерник Л.А. Некоторые кубатурные формулы для двукратных интегралов // ДАН СССР 62, вып. 6 (1948), с. 449-459.

56. Мазурин А. Седьмое чудо света // САПР и графика №8, 2000

57. Марков H. Н. Перспективы использования ЭВМ при линейноугловых измерениях // Измерительная техника, 1975, № 6, с. 16—18.

58. Марков H. Н., Вайханский С. М. Определение диаметра прилегающего цилиндра // Вестник машиностроения, 1983, № 2 с.35-37

59. Марков H. Н., Кайнер Г. Б., Сацердотов П. А. Погрешности и выбор средств при линейных измерениях. М.: Машиностроение, 1967. 392 с.

60. Математика.и САПР: В 2-х кн.: Пер. с франц. / Жермен-Лакур П., Жорж П. Л., Пистр Ф., Безье П. — М.: Мир, 1989.— Кн. 2. — 264 с.

61. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. Для втузов. Изд. 4-е, стереотипное: М.: Наука, 1973 — 640 е.: с черт.

62. Наджаров К. М. Матричный метод аппроксимации поверхностей и некоторые ее приложения: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. — М., 1968. — 18 с.

63. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — 560 е.: ил.

64. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2. — 12-е изд. — М.: Наука, 1978 — 575 с.

65. Пономаренко И.В. Автоматизация процесса базирования деталей в автоматизированных системах технологического контроля. Авторефератдиссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Уфа.: 2000— 18 с.

66. Пономаренко И.В. Программное обеспечение для коррекции баз турбинных и компрессорных лопаток. // Принятие решений в условиях неопределенности. Межвузовский научный сборник. Уфа: УГАТУ, 2000. с. 47-51.

67. Пономаренко И.В., Бакиров Ж.М., Галиулин Р.М. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ №970631. Аппроксимация поверхностей. РосАПО, 11.12.97

68. Присекин В. Л., Расторгуев Г. И., Белоусов А. И. Метод определения изменения формы изделия после технологической обработки по результатам измерения его геометрии // Сибирский журнал индустриальной математики Октябрь-декабрь, 2002. Том V, № 4(12)

69. Радзевич С.П. Формообразование сложных поверхностей на станках с ЧПУ. Киев.: Вища школа, 1991, 192 с.

70. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. —604 с.

71. РТМ 2Р-20-13-85. Методика измерения отклонений от круглости на координатно-измерительных машинах и приборах, оснащенных вычислительной техникой. — М.: ВНИИТЭМР, 1986

72. Скворцов А. В. Типовые алгоритмы контроля геометрических параметров деталей машин // Измерительная техника 1987 №4. с. 21-23

73. Стародетко Е. А. Элементы вычислительной геометрии. — Минск: Наука и техника, 1986. — 238 с.поверхностей. Минск: Наука и техника 1984. — 126 с.

74. Сыров В. Г. Способ выверки заготовки сложной формы // Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. «Прогрессивные технологические процессы в атомном машиностроении», Волгодонск, январь 1981. М.: 1981. с. 75.

75. Сысоев Ю. С. Базирование, припуски и контроль формы заготовок //т Измерительная техника. 2001 №9. с. 37

76. Сысоев Ю. С. Методика определения оси и диаметра прилегающего цилиндра крупногабаритного корпусного изделия // Вестник машиностроения. 1992. № 1. С. 37.

77. Сысоев Ю. С. Ориентация крупногабаритных цилиндрических изделий при их обработке. // Вестник машиностроения. 1996. № 3. С. 39.

78. Сысоев Ю. С., Маневич В. В. Установка крупногабаритных деталей при их механической обработке. // Вестник машиностроения. 1998. № 6. С. 14.

79. Тевлин .А.М. Конструирование каркасных поверхностей //Труды

80. МАИ. — 1975. — вып. 331 — С. 90-93.

81. Тевлин А. М. Нелинейные модели пространства и конструирование поверхностей: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. — М.:1971. — 39с.

82. Тузов А. Д. Аппроксимация, интерполяция и вычерчивание плоских кривых // Методы сплайн-функций, — 1976. Вып. 68. С. А5-<\9.

83. Тузов А. Д. Конструирование сложных поверхностей самолетов с использованием сплайн-функций: Автореферат диссертации на соисканиегученой степени кандидата технических наук. — М.: 1977. — 18 с.

84. Тузов А. Д. Сглаживание функций, заданных таблицами // Вычислительные системы. — Новосибирск. — 1976. — Вып. 68. с. 61-68.

85. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. М.: Триумф, 2003. — 320 е.: ил.

86. Фокс А., Пратт M. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. — М.: Мир, 1982. — 304 с.

87. Хвориков Н. А., Об одном обобщении алгоритма триангуляции Делоне. — М.: ВЦ РАН, 1998 — 12 е.: ил.

88. Чуй К. Введение в вэйвлеты. М.:, Мир, 2001 — 412 е.: ил.

89. Якунин В. И. Задание поверхности полиномиальными функциями // Труды института / МАИ. 1972. Вып. 243. С. 79-83.

90. Якунин В.И. Методологические вопросы геометрического конструирования технических объектов //Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. — Омск: изд. ОмЛИ, 1987. — с. 4-7.

91. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей //Учебное пособие. — М.: Издательство МАИ. — 1980. — 85 с.

92. Jim Y., Raja V., Park S. Geometric Feature Recognition for Reverse Engineering using Neural Networks // Int J Adv Manuf Technol (2001) 17: 462-470.

93. Amenta N., Bern M., Kamvysselis M. A New Voronoi-Based Surface Reconstruction Algorithm// In Proc. of SIGGRAPH'98, pp.415-421.

94. Attali D. r-regular shape reconstruction from unorganised points // In ACM Computational Geometry, 1997, pp.248-253.

95. Carbonel V., Carocci M., Savio E., Sansoni G., De Chiffre L. Combination of a Vision System and a Coordinate Measuring Machine for the Reverse

96. Engineering of Freeform Surfaces // Int J Adv Manuf Technol (2001) 17: 263-271).

97. Chang D.-Y., Chang Y.-M. A Freeform Surface Modelling System Based on Laser Scan Data for Reverse Engineering //Int J Adv Manuf Technol (2002) 20:9-19.

98. Dey T. K., Giesen J. Detecting undersampling in surface reconstruction // Proc. 17th Sympos. Comput. Geom., 2001, pp.257-263.

99. Duchaineau M., Wolinsky M., Sigeti D. E., Miller M. C., Aldrich C.,Mineev Veinstein M. B., ROAMing Terrain: Real time optimally adapting meshes // IIEE Visualisation'97, Nov 1998 pp.81-88.

100. Emelyanov A., Skala V. Surface Reconstruction From Problem Point Clouds // GRAPHICON, 2002 http://www.graphicon.ru.

101. Fischer A. Multi-Level of Detail Models for Reverse Engineering in Remote CAD Systems // Engineering with Computers (2002) 18: 50-58.

102. Freeman H. Computer Processing of Line-Drawing Images // Comput. Surv., 1974, v. 6, p. 57-97.

103. Freeman H. On the Encoding of Arbitrary Geometric Configurations // IRE Trans., 1961, v. EC-10(2), N6, p. 260-268.

104. Hur S.-M., Kim H.-C., Lee S.-H. STL File Generation with Data Reduction by the Delaunay Triangulation Method in Reverse Engineering // Int J Adv Manuf Technol (2002) 19:669-678.

105. Kulpa Z. On the Properties of Discrete Circles, Rings and Disks // Computer Graphics and Image Processing, 1979, N10, p.348-365

106. Lindstrom P., Roller D., Ribarsky W., Hodges L. F., Faust N., Turner G. A. , Real-time, continuous level of detail rendering of height fields // In Proc. SIGGRAPH '96, pages 109-118,Aug. 1996.

107. Lucier, B. Wavelets and image compression // In: Lyche T., Schumaker L., eds., Mathematical Methods in Computer Aided Geometric Design (1992) 11. Academic Press, 391^00

108. Otto K. N., Wood K. L. Product Evolution: A Reverse Engineering and Redesign Methodology. Research in Engineering Design (1998)10:226-243.

109. Samet, H. Applications of Spatial Data Structure. (1990) Addison-Wesley, Reading, MA

110. Seo J., Lee H.-C., Park S. Reconstruction of a Composite Surface by Reverse Engineering Techniques // Int J Adv Manuf Technol (2001) 17:639-643.

111. Stollnitz, E.J., DeRose, T.D., Salesin D.H. (1995) Wavelets for computer graphics // IEEE Computer Graphics and Applic., 76-84

112. Veron P., Léon J-C. Using Polyhedral Models to Automatically Sketch Idealized Geometry for Structural Analysis //Engineering with Computers (2001) 17: 373-385.t

113. Wang Gou-Jen, Wang Chung-Chang, Frank Chuang S. H. Reverse Engineering of Sculptured Surfaces by Four-Axis Non-Contacting Scanning // Int J Adv Manuf Technol (1999) 15:800-809.

114. Xiaodong T., Yuexian W., Xionghui Z., Xueyu R. Mesh Simplification Based on Super-Face and Genetic Algorithm in Reverse Engineering // Int J Adv Manuf Technol (2002) 20:303-312.