автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Разработка геометрических методов исследования класса задач математической физики и техники

г г ™ Г< Г1 Г I и о л

2 ^ МАР №

На правах рукописи

Полежаева Людмила Николаевпа

РАЗРАБОТКА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

ИССЛЕДОВАНИЯ КЛАССА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ТЕХНИКИ

. Специальность 05.01.01 - "Прикладная геометрия и инженерная

графика"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1997

Рабата, ¡выполнена в Оисхои государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор технических и аул,

.профессор Волгой ВЛ.

Научный консультант: кандидат фцоико-м&теыатическнх

наук, доцент Горощеня А.Б.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Над жаров К.М. кандидат технических наук, доцент Николаевский В.Г.

Ведущаа органиоация: Институт информационных технологий ц прикладной математики СО РАН (г.Омск).

Защита состоится " ^^ " хдд7 г< в часов на

оаседании диссертационного совета Д.063.51.07 при Московском государственном университете пшцевых проаоводств.

Отоывы.на автореферат просим направлять по адресу: 125030, г.Москва, Волоколамское шоссе, 11, МГУПП, отдел ученого секретаря.

С диссертацией можно оонакомиться в библиотеке Московского государственного университета пищевых производств.

Аьтореферат раоослан " " СР^о1997 г,

Ученый секретарь диссертационного совета

д.п.н., профессор — И.Н.Ахимова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследованы;. В последнее время оаметло воорос интерес ученых и инженеров х теории и методам прикладной многомерной геометрии. Это объясняется тем обстоятельством, что подавляющее большинство процессов о различных областях окапай зависят от многих влияющих на них факторов. Возможность использования вычислительной техники для управления такими процессами определяется наличием пх математических моделей. Геометрическими моделями многопараметрических (зависимостей п общем случае являются фигуры многомерного пространства. Таким образом возникает проблема аналитического описания и графического представления многообразий, моделирующих исследуемые процессы.

Анализ опубликованных работ покалывает, что для исследования многомерных фигур как моделей (зависимостей многих переменных используются всевозможные подходы: комбинаторная геометрия, матричное исчисление, векторная алгебра, дифференциальные и интегральные уравнения, регрессионный аналго, планирование эксперимента, дифференциальная, алгебраическая п интегральная геометрии (включал преобраоования) и т. д.

Поскольку ыногообраоия рассматриваются как многомерные обобщения линии и поверхностен трехмерного пространства, то в работе применяются и последние достижения прикладной геометрии пространства трех намерений.

Поучая труды и опыт работы ведущих ученых-геометров, можно (заметить, что несмотря на многоплановость их деятельности и широкий круг решаемых оадач, особый интерес проявляется к конструированию технических и многомерных поверхностей по наперед оаданным условиям. Это обстоятельство можно объяснить как актуальностью самой задачи, тал п вооможностями непрерывно-каркасного и параметрического методов отдания и конструирования поверхностей.

Подавляющее большинство работ по моделированию многопараметрических процессов или явлений основывается на использовании алгебраических миогообраоий. Это в полной мере относится и к таким разделам математики,как регрессионный анализ, планирование оксперимента, восстановление зависимостей по эмпирическим

данным. Однако при талом подходе не всегда имеется вооыожность учесть априорную информацию о частных функциональных (зависимостях функции отклика от отдельных факторов.

Конструктивно-прикладные вопросы моделирования многообра-оии требуют дальнейшей раоработки и исследования применительно к решению инженерных оадич, поотому цель диссертационной работы оаключается в раоработке геометрических подходов к исследованию и решению определенного класса оадач математической фнопки п техники.

Дм достижения поставленной цели потребовалось:

1. Исследовать и испольоовать преобразования гомотетии для моделирования гомотетичных относительно поворота кривых и поверхностей, испольоуемых при проектировании антенн.

2. Применить формализованную методику конструирования гиперповерхностей с плоскими обраоующими, сечениями которых являются поверхности, гомотетичные относительно сдвига или поворота.

3. Решить граничные оадачн олектростатики для конической поверхности с произвольными линиями проводимости.

4. Решить уравнения в конечных раоностях.

5. Раоработать графоаналитический способ восстановления эмпирической оависимости, что поояолшю уточнить параметры системы обработки информации для получения курсового угла бугли-руемого подводного аппарата.

Методика выполнения работы. Решение оадач, поставленных в диссертационной работе,баоируется на методах аналитической, многомерной евклидовой, исчислительной, дифференциальной, интегральной, алгебраической геометрий, функционального аналиоа, вычислительной математики.

При решении прикладных оадач выявляется их геометрическая сущность и устанавливается свяоь с проводимыми теоретическими исследованиями.

Информационной и теоретической баоой для выполнения исследований явились работы ведущих ученых:

- по вопросам параметриоации и моделирования многомерных объектов: К.И.Валькова, В Л.Волкова, Н.С.Гумена, Б.А.Рооенфелъда, Н.Н.Рыжова, П.В.Филшшова, Н.Ф.Четверухина и др.;

- в области прикладной геометрии кривых и поверхностей:

А.В.Бубеннпкова, Г.С.Иванова, И.И.Котова, В.Е.Михапленко,

A.В.Павлова, А.М.Тевлшса, С.А.Фролова, В.И.Якунина и др.;

- в области алгебраической п интегральной геометрий, дифференциальных уравнений и уравнений математической фтязпки:

B.И.Арнольда, Б.А.Дубровпна, И.М.Гельфанда, Ф.Грпффптса, П.К.Рашевского, И.Р.Шафаревича, Б.Шутца и др.;

- по вопросам радиотехники и конструирования антенн: Л.С.Бененсона, А.Б.Горощени, В.Рамоея, Д.М.Сазонова л др.

Обоснованность и достоверность полученных реоультатов подтверждается докаоателъствамя и сравнением с известными теоретическими и практическими результатами и натурными испытаниями. Раоработанные алгоритмы использования аналитических и графических Ьюделей реалпоованы программно на персональном компьютере.

Научная новиона проведенных исследований определяется следующими результатами:

1) получены поверхности, гомотетичные относительно поворота или относительно сдвига вдоль заданной прямой;

2) решены граничные задачи электростатики для конических спиральных антенн с любыми линиями проводимости;

3) предложен метод решения уравнений в конечных раоностях с использованием дифференциального оператора группы сдвигов на пряной;

4) рапработаи критерий выбора видаомпиричесхой формулы парной оависпмости по определенного набора функций, наиболее употребляемых в практике обработки реоультатов наблюдений;

5) раоработана методзха восстановления эмпирической оависи-мости, которую можно представить в виде суперпозиции двух фун-гций, одна ко которых является гармоникой; "

6) сформулирована и докапана теорема о раомерности образующих и направляющих, необходимых для однооначного оаданид многомерной цилиндрической гиперповерхности. '

Практическая ценность выполненной работы заключается в разработке методик, математических моделей, алгоритмов и программ моделирования многопараметрических оависимостей, а также способов конструирования гомотетичных относительно сдвига, и поворота кривых и поверхностей, которые могут быть пепольоованы при проектировании антенн. Кроме того,получена математическая

модель, описывающая динамику дналимах оуеснруемого подводного аппарата, которая позволяет существенно упростить систему управления движением отого аппарата.

На оащиту выносятся методика моделирования кривых и гиперповерхностей, применяемая при исследовании н решении определенного класса задач м&тсматьчкской фиоики и техники, и раоработан-ные на основе методов интегральной геометрии способы решения оадач электростатики,которые включают в себя:

- способы конструирования кривых и поверхностей, гомотетичных относительно сдвига или поворота';

- способы решения граничных оадач илектростатики дм конических спиральных антенн с любыми линиями проводимости;

- методику конструирования гиперповерхностей с плоскими об-раоующиыи, сечениями которых являются поверхности, гомотетичные относительно сдвига или поворота;

- теорему о раох.ерности обраоующих и направляющих, необходимых для однооначного оаданнд многомерной цилиндрической гиперповерхности;

- критерий выбора вида омпирической формулы парной оависи-мости ио определенного набора функций, наиболее употребляемых в практике обработки реоультатов наблюдений;

- способ восстановления омпирической оависимости, которую можно представить в виде суперноаищш двух функций, одна ио которых является гармоникой.

Реалиоация реоультатои проведенных исследований. Предложенная методика моделирования многопараметрических оависимостей была использовала при выполнении научно-исследовательской работы "Исследование и разработка систем курсовой и гориоонталь-ной ориентации буксируемых подводных аппаратов" для восстановления функциональной оависимости, моделирующей частные решения дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения буксируемого подводного аппарата. Результаты решения граничных оадач олектростатикн для конических спиральных антенн с любыми линиями проводимости и способы конструирования кривых е поверхностей, гомотетичных относительно поворота, были использованы при выполнении НИР ОмГТУ.

Апробация работы. Основные реоультаты исследования были довожены и обсуждены:

на научных конференциях Омского политехнического института, г. Омск, 1985 - 1989 г.;

на Пятой школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока, г. Новосибирск, 1990 г.;

на между народной научно-технической конференции "Проблемы графической технологии", г. Севастополь, 1991 г.;

на Всеукралнской научно-методической конференции "Перспективы развития машинной графики в преподавания графических дисциплин", г. Одесса, 1992 г.

Публикации. Помимо отражения материалов исследования в отчетах о НИР Омского государственного технического университета, по теме диссертации опубликовано 8 научных работ, в которых достаточно полъо представлены полученные теоретические и прикладные результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии, включающей 103 наименования, п содержит 120 страниц машинописного текста, 28 рисунков а б таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, изложена методика выполнения работы, сформулирована цель п основные задача настоящей работы, се научная новизна, практическая ценность, а также приведены данные о структуре и объеме работы.

В первой главе, посвященной геометрическим методам исследования и конструирования спиральных конических антенн на основе аффинных преобразований многомерных пространств, интегральной геометрии, групп и преобразований Ли, изучается класс кривых и поверхностей, гомотетичных относительно сдвига иди поворота, решается задача электростатики для конических спиральных антенн с любыми линиями проводимости, рассматривается преобразование гомотетии, эквивалентное преобразованию сдвига, описывается метод решения уравнений в конечных разностях с помощью дифференциального оператора группы сдвигов на прямой.

Совершенствование радиоэлектронной аппаратуры п потребности космической связи способствовали ускоренному развитию антенн, среди которых важное место оанимают спиральные антенны.

Их преимуществами являются малые габариты и вес, простота конструкции и технологичность изготовления. В силу отого спиральные антенны широко используются в пеленгационных и телеметрических установках, в наземных и бортовых системах управления летательных аппаратов и так далее.

Известны несколько равных подходов к построению сверхшпроко-полосных антенн. Однако наиболее универсальным но них является подход, использующий метод электродинамического моделирования, предложенный В.Рамоеем: для геометрически подобных антенн, ии-готовленных ко идеального проводника, характеристика одинаковы на частотах, отношение которых равно кооффициенту подобия. Каждая ио таких антенн имеет центр гомотетии и фактически представляет собой последовательное соединение подобных элементов, полученных друг на друга преобразованием гомотетии с фиксированным центром.

Основная садача оахлючается в нахождении класса всех поверхностей, для которых изменение линейного масштаба оквивалентно повороту на некоторый угол.

В первой главе доказывается, что методу электродинамического моделирования удовлетворяют только поверхности, гомотьгичные относительно поворота.

Поверхности известных ппоских и конических лого спиральных антенн являются частными случаями таких поверхностей.

Если в пространстве оадать сферическую систему координат и в качестве оса вращения искомой поверхности выбрать ось 0 — 0, совпадающую с осью Ог декартовой системы координат, то уравнения всех поверхностей, гомотетичных относительно поворота, то есть удовлетворяющих условию

могут быть оаписаны в виде

т{<Р,6) =

Связь между декартовыми и сферическими координатами таких поверхностей определяется соотношениями

' х - га{9)са^со'и?а\п9, • У = г^е^&пкрвтв, (1)

г = го(0)е"(^соз0.

г

На рис. 1,2, приведены конкретные примеры моделируемых поверхностей. ■

К сверхпшрокопслосным относят и те антенны, которые могут быть построены на спиралях с любым оаЕоном намотки. Примерами хв ал ишир о ко по но слых антенн являются плоские п конические спирали Архимеда (арифметические спирали), гиперболические спирали, а также произвольные спиральные антенны на сфере, параболоиде, еллипсоиде.

Для решения граничных оадач электродинамики и электростатики, которые вооникают при исследовании получения таких антенн, кспольоузотся расяичные математические модели.

Спирально проводящая тоническая поверхность (рис. 3) является геометрической моделью реальных проволочных иле выполненных печатным способом спиральных структур, расположенных па поверхности конуса.

Испольоуя методы интегральной геометрии и функционального анализа, автору удалось решить оадачу электростатики для спирально проводящего конуса с любыми линиями проводимости.

В сферической системе юординат (г,0,у>) была рассмотрена

коническая поверхность, обрадованная бесконечной системой идеально проводящих, изолированных между собой спиральных линия

г - ф((р) — const.

Пусть хокус вообуждается произвольным олектростатическиы полем. Определение этого поля проиивольион системы нстотшхов, расположенной на конической поверхности, сводится к решению следующей граничной оадачя:

+ = -^smJ50 + ($(r))'a(r-r0), {в=ео), ¿(W^) = 0.

Ее решение найдено с помощью интегрального преобразовании Меллина, то есть выражение для функции Gi,jn(r,0) (решение уравнения Лапласа, с онущенным множителем e'nv>) было получено в виде

-|00+Г| -100-fJ J Р-1V1 "

где

ГО

«1Д > 0, = л/r>-le-in«'Ur,

• о

= A J г""1 е-и*гЧг - J г"'1 e~in^T>dr-т„ г0

^rgsm^o + i^iroW^ro)^),

а - присоединенные функции Лежандра (сферические фун-

кции) первого рода.

Далее в работе приводятся решения граничной оадачи для конкретных видов спиралей: логарифмических, гиперболических, арифметических.

При исследовании граничных оадач электродинамики н электростатики для спирально проводящей конической поверхности в общем случае получаются функциональные уравнения в конечных разностях с переменными коэффициентами, решения которых для общего

случая пока не найдены. В работе предлагается формальный, геометрический по своей сути метод решения некоторых уравнений в конечных разностях, основанный на понятиях и методах теория групп преобраоований и алгебр Лн.

Если вернуться к поучению вопроса о группе преобраоованин сдвига, эквивалентных преобразованиям гомотетии в декартовой системе координат, то можно увидеть, что преобразование гомотетии, «эквивалентное преобраоованию сдвига по оси абсцисс, есть не что иное как конечно-рааностное уравнение.

Л/(х) = Дх + а) + 6.

Исследование решения последнего уравнения пооволпло. сделать вывод о том, что преобраоованию гомотетия

Дх +0 = &/(*),

эквивалентному преобраоованию сдвига вдоль оси абсцисс, удовлетворяют только два вида линий на плоскости - прямые и экспоненты }(х) = с"1 с коэффициентом к —е"К

Обобщая это рассуждение и» пространственный случай, делаем вывод о том, что поверхности, гомотетичные относительно сдвига вдоль прямой у ~ (С2/С1)2, при I: £ 1 имеют уравнение

г = ечССи+с^/^+с^ (2)

Вторая глава посвящена исследованию гиперповерхностей, соответствующие сечения которых есть поверхности пространства В?, гомотетичные относительно поворота. Здесь рассматриваются вопросы формализованного ецнтеоа условий, накладываемых на плоские образующие гиперповерхностей, пх алгебраические характеристики и геометрическое строение в (зависимости от размерности образующих п специализации оадашшх условий. Для этого иаюльоуется формализованный аппарат исчислительной геометрии, методы аналитической и алгебраической геометрии.

Понятие гомотетичных относительно поворота поверхностей можно обобщить на многомерный случаи. Как п в пространстве Л3, простейшими примерами таких поверхностей являются линейчатые поверхности (плоскости, конусы, цилиндры). Кроме того,поверхности трехмерного пространства можно рассматривать как сечения гиперповерхностей пространства Л* гиперплоскостями. Традиционные методы аналитической или начертательной геометрии

не позволяют провести систематическое исследование и форыалн-оовать процесс синтеза условия, поэтому в качестве основного в работе пспольоуется аппарат ясчкслительиой геометрии.

Пусть оадан ряд плоскостей ао, аь а2) ... , сц, удовлотворя-ющих условию во с Si с й] С ... С йк ц с заданной плоскостью a¡ пересекающихся по i - плоскости (0 < » < к).

Рассмотрим т - плоскость как ряд вложенных плоскостей или полный т - флаг:

е° с е1 с е3 с ... С ет~1 с ет.

Примем, что плоскость размерности i гп - флага инцидентна каждой плоскости размерности a¡ неполного ат - флага:

е° С »о, е1саи е2 с а2, ... , emcaw.

Данное условие, которому удовлетворяет многообразие т - плоскостей или т - флагов, называется обобщенным условием инцидентности геометрических объектов и обозначается

ет, та-1, ... , 1, 0

а„_1, ... , Si, а0' Vo/

Нахождение размерности и проведение основных алгебраических операций для таких условий осуществляется по формулам, приведенным в докторской диссертации ВЛ.Волкова.

В пространстве Я" совокупность всех m - плоскостей является Г^ассмановым многообразием, размерность которого определяется по формуле

D™ = (т + 1)(п - т).

Размерность Грассманова многообраоия гп - плоскостей пространства Я" на п-т — 1 больше суммарной размерности условий, налагаемых на т - плоскости, испольоуемые в качестве образующих гиперповерхностей. Следовательно, оту размерность можно определять по формуле

П" = J9¡?-(n-m-l) = mn-m3 + l .

я

В качестве требований, предъявляемых к образующим гиперповерхностей, могут испольооваться, в частности, обобщенные уело-' вия инцидентности. Для однооначного оадания гиперповерхности

необходимо падать столько условий, чтобы их суммарная раомер-ность была равна П™, при этом некоторые иа них могут и повторяться. Еси после разложения в сумму произведение подобранных таким обраоом условий не обратится в нуль, то отот набор требований для оадания гиперповерхности является и достаточным (оа исключением случаев, когда гиперповерхность вырождается в поверхность ниошей раомерности).

В пространстве Л1 существует 29 способов оадания гиперповерхностей с плоскими образующими, удовлетворяющих обобщенным условиям инцидентности. Если учесть'геометрический смысл условий, то можно сформулировать конкретные способы геометрического оадания и конструирования гиперповерхностей.

В практике конструирования многомерных поверхностей кроме условий пнциденций встречается множество различных геометрических условий аффинного и метрического характера. Почти все они могут быть представлены в символике обобщенных условий инцидентности. К тому же применяемая символика истпслительной геометрии не делает различия между действительными и несобственными элементами пространства.

Под конической гиперповерхностью пространства Я" в настоящей работе понимается линейчатая поверхность, плоские образующие которой инцидентны заданной точке. Чтобы установить способы оадания конической поверхности, образующими которой являются т - плоскости, инцидентные оаданной 0 - плоскости, к. условию

-т, т~\, , 1, О п, 1, ... , п—т+1, О

добавляются всевозможные условия пицпделцпй для т - плоскостей, суммарная размерность которых равняется П£* • В пространстве Я4 выявлены все такие наборы условий и установлен порядок отвечающих им поверхностей, что позволяет очень просто определять порядок конических гиперповерхностей, у которых на-правляющнми являются алгебраические поверхности. .

Далее в работе приводятся алгоритмы конструирования поверхностей вращения в пространстве й4. в частности конических гиперповерхностей, обраоующими которых являются 1 - плоскости н 2 - плоскости.

Завершается вторая глава иоучением конструктивно - прикладных вопросов построения цилиндрических поверхностей, под ко-

торыми понимаются линейчатые поверхности, плоские гп - мерные образующие которых параллельны одной н той же т - мерной плоскости пространства Я" (гп = 1,2, ...,п-1) и пересекают оаданную направляющую.

Покапано, что гиперповерхности, гомотетичные относительно сдвига вдоль оаданной прямой, являются цилиндрическими, а уравнения их сечений гиперплоскостями уровня удовлетворяют условию (2). Выведено уравнение такой гиперповерхности в пространстве Л*.

С помощью указанного выше формализованного аппарата исчи-слительной геометрии исследованы условия, определяющие способы оадания цилиндрических гиперповерхностей пространства выявлена общая «закономерность, которая сформулирована в виде теоремы.

Теорема. Цилиндрическая гиперповерхность с т - мерными об-раоующими пространства Л" определяется однооначно, если заданы т - плоскость, которой параллельны образующие и направляющая (п - гп -1) - поверхность. '

Теорема имеет следствие: порядок алгебраической цилиндрической гиперповерхности равен порядку направляющей отой поверхности.

В третьей главе теоретические представления, разработанные для восстановления функциональной (зависимости, исполызуются для аппроксимации частных решений дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения буксируемого подводного аппарата. Для отого вводится обоснованный набор функций, наиболее употребляемых в практике обработки реиультатов наблюдений, и разрабатывается методика восстановления омпирической зависимости, которую можно представить в виде суперпозиции двух функций, одна по которых является гармоникой. При помощи графоаналитических методов но найденным частным решениям дифференциальных уравнений с п ременными кооффициентамн строится математическая модель динамики движения буксируемого подводного аппарата.

Создание морских разведочных геофизических комплексов на борту буксируемых подводных аппаратов (в дальнейшем сокращенно - БПА) потребовало разработки малогабаритных и высокоточных систем ориентации корпуса БПА.

Па кафедре "Теоретическая механика* Омского государственного

технического университета была раарабо тана оригинальная система определения курсового угла БПА на баое использования гадроаон-мутов среднего класса точности и иомерптеля направления вектора скорости флюгерного типа.

В г.сдях совершенствования предложенной системы н уточнения коэффициентов передаточных функций системы обработки информации потребовалось составить математическую модель и провести анализ бокового движения буксируемого аппарата.

При составлении математической модели было получено дифференциальное уравнение:

ip"+b-(VCr+Д-sinwi^'+c-ÍVcr + Д • sin ut) <р = c-(Vfcr+A-sînwf)Vr.

(4)

Здесь - аяпмутальный угол, оависящии от времени 1 и

расстояния s БПА до судна - буксировщика, V¡-(t,s) - скорость произвольной точки трос-кабеля, Ь,с - коэффициенты, зависящие от гидродинамического сопротивления, плотности жпдкости, коэффициента трения и так далее. Гидродинамическая скорость судна Ver представлена в виде суммы двух составляющих:

Ver = Ver + AVbr,

где Ver - постоянная составляющая скорости; AVer = Д-sino^ -периодическая составляющая, обусловленная орбитальным движением судна на волнении, рысхаиьем, нестабильностью привода и так далее.

В настоящее время не существует методов, которые позволили бы найти точное аналитическое решение уравнения (4). Автором были исследованы частные решения этого дифференциального уравнения, найденные ■численными методами с помощью ЭВМ при конкретно еадалных параметрах. Для иллюстрации приведем только одну по полученных интегральных кривых, так как принципиально они ничем не отличаются друг от друга (рис. 4).

Исходя ио постановки задачи u положенной в [4] методики выбора эмпирической формулы для аппроксимации функции tp(t) была испольоована трехпараметрическая формула, с помощью которой была получена аналитическая модель искомой оависимости в виде

Рис. 4. Интегральная кривая дифференциального уравнения

Предложенная математическая модель пооволила уточнить параметры системы обработки информации для получения курсового угла БПА.

Проведенная далее сотрудниками ОмГТУ научно - техническая раоработка покаоала, что использование гидроаоимута среднего класса точности с дрейфом 0,1"/час и достаточно простого фильтра для обработки информация пооволяет получить суммарную погрешность ь определении курсового угла вектора скорости в пределах 3-5 угловых минут при постоянной времени фильтра 7-12 минут.

Проведенные автором исследования по раоработке математической модеУц. сыграли существенную роль при составлении методики проведения натурных испытаний с целью экспериментального определения углов несовпадения вектора мгновенной скорости БПА со скоростью судна-буксировщика.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В реферируемой работе, посшщешшй разработке и развитию геометрических подходов к исследованию ц решению класса оадач математической физики п техники, рассмотрены теоретические и прикладные вопросы применении геометрического моделирования для решения оадач функционального анализа. Для этого лснольоопались методы аналитической, многомерной аффинной, исчпсяитсль-ной, дифференциальной, интегральной, алгебраической геометрий, функционального анализа, вычислительной математика.

Все задачи, поставленные в диссертационной работе, были решены. При этом были получены следующие научные результаты.

1. Изучены кривые и поверхности, гомотетичные относительно сдвига или поворота. Показало, что липни проводимости и поверхности известных плоских и конических логоспиральных антенн являются частными случаями вышеназванных кривых и поверхностей.

2. Решена оадача электростатики дм конических спиральных антенн с любыми линиями проводимости. Рассмотрено преобразование гомотетии, оквивалеитное преобразованию сдвига, как конечно-разностное уравнение. Предложен метод решение уравнений в конечных разностях с помощью дифференциального оператора группы сдвигов на прямой.

3. Исследованы способы задания и найден порядок всех цилиндрических п конических гиперповерхностей пространства Л*, имеющих плоские направляющие, что позволяет довольно просто определять порядок отих поверхностей, у которых направляющими являются алгебраические кривые.

4. Рассмотрены конкретные способы конструирования конических и цилиндрических гиперповерхностей в пространстве Я4. Сформулирована и доказана теорема о размерности образующих и направляющих, необходимых для однозначного задания многомерной цилиндрической гиперповерхности.

5. Исследованы вопросы выбора в качестве эмпирических формул двух-и трехпараметрических функций одной переменной, которые соответствующими преобразованиями могут быть сведены к линейным. Разработана методика восстановления эмпирической зависимости, которую можно представить в виде суперпооицпи двух функций, одна ио которых является гармоникой.

6. Исследовано дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, описывающее динамику движения буксируемого подводного аппарата. Численными методами найдены частные решения этого уравнения.

7. При помощи графоаналитических методов найдены частные решения дифференциал; ных уравнений с различными коэффициентами, что позволило уточнить параметры системы обработки информации для получения курсового угла буксируемого подводного аппарата.

Разработанные алгоритмы использования аналитических п графических моделей реализованы программно на персональном компьютере. Предложенная методика моделирования многопараметри-ческнх зависимостей была пспольоована при выполнении научно-исследовательской работы "Исследование и разработка систем курсовой И горизонтальном ориентации буксируемых подводных аппаратов" для восстановления функциональной зависимости, моделирующей частные решения дифференциальных уравнений, описывающих динамику движения буксируемого подводного аппарата.

Результаты решения граничных задач электростатики дм конических спиральных антенн с любыми линиями проводимости и способы конструирования кривых и поверхностей, гомотетичных относительно поворота, были использованы при выполнении НИР

1. Волков В.Я., Полежаев В.Д., Полежаева Л.Н. Применение графических методов при обработке результатов эксперимента // Проблемы графической технологии: Тез. докл. международ. Науч. - техн. конф. - Севастополь, 1991. - С. 12.

2. ГЪрощеня А.Б., Полежаева Л.Н. Об одном подходе к решению уравнений в конечных разностях / Омск, политехи, ин-т. - Омск, 1987. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.04.87, N 299Э-В87.

3. Горощеня A.B., Полежаева Л.Н. Электростатические поля широкополосных конических спиральных антенн // Электродинамика и распространение волн. • Томск, 1983. - С. 19 - 24.

4. Полежаев В.Д., Полежаева Л.Н. Выбор эмпирической формулы п нахождение ее параметров. - Омск: ОмГТУ, 1993. - 28 с.

ОмГТУ.

ботах.

5. Полежаев В.Д., Полежаева Л.Н. Некоторые вопросы моделирования многомерных поверхностен // Перспективы раовития машинной графики в преподавании графических дисциплин: Тео. докл. Всеукраинск. науч.-метод. конф. - Одесса, 1992. - С. 121:

С. Полежаев В.Д., Полежаева Л.Н. Поверхности, гомотетичные относительно поворота / Омск, гос. техн. ун-т. - Омск, 1994; - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.05.94, N 1327-В94.

7. Полежаева Л.Н. О параметрическом подходе к конструированию поверхностей // Пятая школа молодых математиков Сибири и Дальнего Востока: Тео. докл. - Новосибирск, 1990. - С. 98.

8. Полежаева Л.Н. Решение граничной оадачи электростатики для спирально проводящей конической поверхности / Омск, политехи. ин-т. - Омск, 1985. - б с. - Деп. в ВИНИТИ 18.03.85, N 1910 - 85.

Редактор Т. Н. Капустина ЛР й 020321 от 28.11.96 г.

Подписано к печати 21.02.97. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,25. Уч.-хзд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Закая 42 .

Издательство ОмГЧУ. 644050, г. Омск- 50, пр. Мира, II Типография 0мГ'1У