автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка динамических сетевых моделей функционирования технических систем

На правах рукописи

РГБ ОД

1 з да

ТРИБУНСКИХ Олег Александрович

РАЗРАБОТКА ДИНАМИЧЕСКИХ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных

исследованиях (в отрасли технических наук).

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воропеж - 2000

Работа выполнена на кафедре информационно-технического обеспечения органов внутренних дел Воронежского института МВД РФ.

Научный руководитель : кандидат физико-математических наук,

доцент.

Завгородний М.Г.

Официальные оппоненты: доктор технических наук

Ряжских В.И. доктор технических наук Квасов И.С.

Ведущая организация: Тамбовский государственный технический

университет

Защита состоится «2$. » июня 2000г. в 42. часов на заседании диссертационного Совета Д 063.90.02 в Воронежской государственной технологической академии по адресу: 394000, г.Воронеж, проспект Революции, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежской государственной технологической академии.

Автореферат разослан «13 » мая 2000г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат технических наук доцент

, профессор , профессор

В.М.Самойлов

над-04^6,0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение динамических моделей для инженерных сетей вызывается необходимостью детального изучения процессов происходящих в них. Потребности инженерной практики требуют построения моделей этого типа для распределительных систем установок пожаротушения, кондиционирования воздуха, транспортных и распределительных систем тепло-, водо- и газоснабжения.

До недавнего времени разрабатывались в основном лишь дискретные модели для систем с сосредоточенными параметрами. Такие модели позволяют судить о параметрах системы лишь в конечном числе точек (в узлах системы). Однако в ряде случаев этого явно недостаточно. При переходных процессах, взаимодействии целевого продукта с внешней средой, появлении дополнительных сопротивлений или утечек происходит изменение свойств сети и передаваемого продукта. В этих случаях техническую систему необходимо рассматривать как систему с распределенными параметрами, а ее функционирование описывать дифференциальными уравнениями в частных производных. До недавнего времени имели место лишь отдельные попытки построения таких моделей в виде краевых задач на сетях. Для полученных моделей не найдены формулы расчета и практически отсутствуют алгоритмы нахождения распределения параметров целевого продукта. Таким образом, построение динамических сетевых моделей в виде краевых задач на сетях и разработка алгоритмов для их решения актуальна.

Данная работа выполнялась в рамках госбюджетной темы «Качественные методы анализа сложных процессов» (Гос. per. № 01.99.0003297).

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является разработка динамических моделей для расчета инженерных сетей.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- построение обобщенной динамической модели с распределенными параметрами для гидравлической системы;

- построение моделей с распределенными параметрами для тепловой водяной сети и каналов насадки водоиспарительного кондиционера в виде краевых задач на сетях;

- построение математической модели для расчета распределения давления в гидравлической системе;

- разработка алгоритма приближенного нахождения собственных частот и собственных колебаний для гидравлической системы;

- разработка алгоритмов для приближенного расчета распределения параметров инженерной сети;

- оптимизация параметров насадки водоиспарительного кондиционера с целью получения максимума холодопроизводительности.

Методы исследований. В диссертационной работе использованы методы математического моделирования, численные методы, качественная теория дифференциальных уравнений, законы гидродинамики .

Научная новизна. При выполнении диссертационного исследования получены следующие основные результаты, характеризующие его научную новизну:

- построены динамические модели для ряда гидравлических систем в виде краевых задач на сетях;

- разработана математическая модель для расчета распределения давления в гидравлической системе;

- разработаны алгоритмы для приближенного расчета параметров гидравлической системы, позволяющие в процессе расчета осуществлять декомпозицию исходной системы;

- разработан алгоритм приближенного нахождения собственных частот и собственных колебаний гидравлической системы;

- проанализировано влияние параметров насадки на холодопроизводительность кондиционера.

Практическая значимость работы состоит в разработке программного* комплекса, который позволяет проанализировать эффективность работы кондиционера при различных параметрах насадки. Программный комплекс внедрен в расчетную методику проектирования системы кондиционирования специализированного самолета Ту-54 в ВКБ - филиале ОАО «АНТК им.Туполева», что позволило сократить сроки расчета.

Для муниципального предприятия «Смоленсктеплосеть» на основе построенной модели и разработанного алгоритма написана программа расчета распределения давления и температуры в системе теплоснабжения, что подтверждено двумя актами внедрения.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях и семинарах, в том числе на научно-практических конференциях в ВВШ МВД РФ (Воронеж, ВВШ МВД РФ 1996 -1998 г.); Воронежской зимней математической школе (Воронеж, В ГУ, 1997); Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - VIII» (Воронеж, ВГУ, 1997); Всероссийской научно-практической конференции «Охрана-97» (Воронеж, ВВШ МВД РФ); научно-практической конференции «Актуальные проблемы информационного мониторинга» (Воронеж, Воронежский филиал Московской академии экономики и права, Международная академия информатизации, 1998): Международной конференции «Понтрягинские чтения - IX» (Воронеж, ВГУ, 1998); Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения -X» (Воронеж, ВГУ, 1999): III Всероссийской научно-технической конференции «Информационные технологии и системы» (Воронеж, ВГТА, 1999); Всероссийской конференции «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, ВГУ, 2000).

Публикации. Полученные результаты вошли составной частью в отчет по госбюджетной теме «Качественные методы анализа сложных процессов» (Гос. per. 01.99.0003297). По материалам диссертации опубликовано 12 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов по работе, списка литературы из 73 наименований и 4 приложений. Работа изложена на 146 страницах машинописного текста (основной текст занимает 124 страницы), содержит 8 рисунков и 3 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель, приведены задачи исследования, научная новизна диссертационной работы, выносимые на защиту научные положения и результаты, дана краткая аннотация работы по главам.

В первой главе обосновываются и уточняются цели и задачи диссертационного исследования на основе анализа различных моделей, которые используются в настоящее время для описания процессов происходящих в инженерных сетях, методы и алгоритмы для решения краевых задач.

Для описания инженерных сетей на сегодняшний день существует ряд подходов . Первый, традиционный, заключается в описании исходной системы как системы с сосредоточенными параметрами. При таком подходе связь между внутренними узлами задается алгебраическими выражениями. В итоге получают дискретную модель, которая дает информацию о состояниях системы только во внутренних узлах, но не позволяет описать переходные процессы, распределение давлений, температур и т.д.

В связи с этим возникает необходимость построения динамических моделей инженерных сетей, в которых исходная система рассматривается как система с распределенными параметрами. В этом случае на ребрах сети заданы

одно или несколько дифференциальных уравнений, во внутренних вершинах заданы условия согласования, в концевых вершинах - краевые условия и начальные условия. Именно такие модели мы будем называть динамическими сетевыми моделями. При их построении мы получаем краевую задачу на сети. Для задач этого типа на сегодняшний день остаются не изученными целый ряд проблем: практически отсутствуют алгоритмы нахождения приближенного решения, нет формул для расчета переходных процессов. На основе проведенного анализа определяются цель и задачи диссертационного исследования.

Во второй главе построена обобщенная динамическая сетевая модель для гидравлической системы. При описании элементов системы и происходящих в ней процессов будем полагать, что параметры системы и среды (плотность, скорость, температура) не меняются по сечению канала, а могут меняться только по длине. Мы будем рассматривать движение несжимаемой жидкости с дозвуковой скоростью. В процессе теплообмена не учитывается радиальная и осевая теплопроводности, течение принимается стержневым. При таких допущениях для описания процессов, происходящих в системе, на каждом ребре сети задается по три дифференциальных уравнения в частных производных. Уравнения движения, неразрывности и теплообмена будут иметь вид

дх д t 8 д

О)

= (2) дх

ЭТ ^ дТ _Р_(гГ

—+v-= а-(Т - Т), (3)

д1 дх рБ С

где Р - периметр канала , 5 - его площадь; ОС - коэффициент теплоотдачи от теплоносителя к внутренней поверхности стенки канала; С - теплоемкость

теплоносителя; Т , Тс - температуры передаваемой среды и внутренней поверхности стенки канала, которые в общем случае тоже являются функцией координаты; (р - угол, характеризующий превышение центра тяжести сечения трубы над произвольной горизонтальной плоскостью; С - скорость звука в транспортируемой среде.

Во внутренних узлах системы выполняются условия равенства давлений, температур и сохранения потоков

P¡(a)=p2(a)=..=pd(a) (4)

d(a)

I:(S¡PVt)=0 (5)

i=l

Tj(a)=T2(a)==Td(a), (6)

где Ш - число концевых вершин, d(a) - число ребер примыкающих к внутренней вершине. Ü.

В каждом концевом узле b.(i—J,m) заданы граничные условия. Нам

известно значение температуры и либо значение расхода (Gift)), либо давления (Pift')), каждое из которых в общем случае является функцией времени. Зависимость граничных условий от времени обусловлена изменениями в режиме работы источников среды и ее потребителей, изменением климатических условий и рядом других факторов. С учетом всего вышесказанного граничные условия будут иметь вид

p(bt, t)=Pi(t), i=lj, G(bj, 0Щ(0, i=ljc. (k+l= m) (7)

T(bitt)=T,(t) ,/=7Я

Начальные условия в момент времени /—О будут иметь вид

р(х, 0)-ро(х) , G(x, 0)=G0(x), Т(х, 0)=Т0(х). (8)

Выражения (1 )-(8) представляют из себя краевую задачу на сети. На основе обобщенной динамической модели для гидравлической системы были построены динамические модели для тепловой водяной сети и каналов насадки кондиционера в виде краевых задач на сети.

В третьей главе доказано ряд теорем, в которых обосновываются вопросы существования решения краевых задач на сетях. В этой главе от задачи (1)-(8) мы перешли к краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка, которое описывает распределение давления в сети.

Распределение давления р(X, () удовлетворяет на ребрах сети уравнению

дгр 2Ьдр дхг ~ с2 д /2 с2 Я ' во внутренних вершинах условиям согласования

' рхМ=р2{а,()=..=р/а,(). (Ю)

л дрШ) п ы ох в концевых вершинах граничным условиям

(12)

(9)

ох

где P;=-±(G;(ty2bG.(t))..

Si

В начальный момент времени t=0 давлениер(х, t) удовлетворяет условиям

р(х, О)=р0(х) , (13)

dp(x,0) _ »/ \ rii . «/ \ _ с2 d Gn(x)

Такой переход позволил показать, что распределение давления p(x,t) представимо в виде

p(x,t) = Po(x,t) + U(x,t), â2v

где po(x,t) решение уравнения —= 0 при граничных условиях (12). Оно

дх

представимо в виде

р0(х, t) =p,(t)z1(x) +.. +pk(t)zk(x) +p*k,i(t)zk+1(x)+.. +p *m(t)zm(x),

где Zt(x), i=l,m решение уравнения —^ = 0 при следующих граничных

dx

условиях 2,(2»—7 npui—k,Zj(b|t)—0 при

Второе слагаемое Т](х,{) найдено в виде

Щх,0= Я(С1псоз^с2^2-Ь2 {+С2^с2Мп2-Ь2 1)еы +Т*(ф„(х\

п=1

где /Лп - собственные значения, и„(х) - соответствующие собственные функции,

сы = 1р0(х)ип(х)ск. С2п = - 1 ¡Ро*(х)ип(х)с1х + ЬС^

3 . VеМп ~Ь2 з

0 0

Аналогичное выражение может быть получено для описания распределения расхода.

Решение задачи (9)-(13) выражено через собственные частоты (собственные значения) и собственные колебания (собственные функции) гидравлической системы. Однако их явное нахождение является непростой задачей. Поэтому разработан алгоритм приближенного нахождения собственных значений и собственных функций. Исходная сеть разбивается на ряд компонент связности (сетей меньшей размерности). Собственные функции и собственные

значения определяются последовательно для каждого уровня компонент связности на которые была разделена исходная сеть. В этом алгоритме используется то, что собственные значения компонент связности текущего уровня находятся между собственными значениями компонент связности предыдущего уровня.

При нахождении собственных функций и собственных значений нам приходится решать начально-краевую задачу на сети. Для случая, когда на сети задано стационарное уравнение второго порядка эта задача будет иметь вид

у"-р(х)у +f(x), (14)

во внутренних вершинах заданы условия согласования

d{a)

y¡(a) -у2(а) = .. =yd(a), £ ju ¡y¡(a)=0 (15)

в концевой вершине Ьу заданы начальные условия

У(Ь}) ^c^y'fh]) =c'h (16)

в концевых вершинах граничные условия

y(b¡) = С,-где / = 2,т-1, (17)

где C¡ - известные постоянные. В вершине Ьт условия отсутствуют. Порядок

Сначала находим решение задачи Коши на ребре "/¡—(Ь^а^, используя начальные условия (16). Определяем значение функции во втором конце ребра

Yl- во внутренней вершине Cl\. Затем вырезаем ребро Yi вместе с вершиной dj. Исходная сеть распадается на ряд компонентов связности, что существенно упрощает процедуру решения. На всех компонентах, кроме одного, решаются краевые задачи. На последнем снова решается начально-краевая задача. Этот процесс продолжается пока не будет получена задача Коши на отрезке.

В этой главе также описан ряд алгоритмов для численного нахождения распределения параметров целевого продукта в инженерных сетях. Эти алгоритмы разработаны на основе методов, используемых для решения краевых задач на отрезках ( метода дифференциальной прогонки, метода суперпозиции и т.д.). Друг от друга они отличаются только механизмом перехода от краевой задачи на сети к одной или нескольким начально-краевым задачам. Так при использовании алгоритма, построенного на основе метода дифференциальной прогонки, на этапе "прямой" прогонки, также как и в классическом случае, решается на сети система дифференциальных уравнений первого порядка и в одной из концевых вершин сети мы определяем начальные условия, то есть переходим к начально-краевой задаче. Она решается на этапе "обратной" прогонки. Недостатком этого метода является невозможность его применения, если сеть имеет циклические маршруты. При использовании алгоритма, построенного на основе метода суперпозиции, мы сводим решение краевой задачи к решению набора начально-краевых задач. Этот алгоритм позволяет получать решение и в случае, когда сеть содержит циклические маршруты.

В четвертой главе была продемонстрирована возможность использования одного из разработанных алгоритмов для решении задачи оптимизации параметров насадки водоиспарительного кондиционера типа' РКВ (регенеративного косвенно-испарительного воздухоохладителя).

В качестве управляемых параметров выступают плотность выходной

решетки fr и длина каналов насадки L, а температура Т/п и влажность (р\п входного воздуха - в качестве неуправляемых параметров. В работе определены параметры насадки при которых установка с фиксированным вентиляторным

блоком и при заданных параметрах входного воздуха будет давать максимум холодопроизводительности.

Оптимизационная задача имеет вид

Q{fr,L) = p С G3(fr,L) ДT(fr,L)--L7]r> шах- (18)

где D - область допустимых решений, определяемая следующими ограничениями

0.3< fr<0.6,0.2<LL<0.35, Gl(fr,L)> 80

при Ti„-37°C, (ры-=47% и Ру = V-0.000052G74+122G7 • Область допустимых решений D будет иметь вид приведенный на рис.2

L, м 0.3 5

0.2

G 1 (f„ L)Z80

0.3

0 .6

f,

Рис.2. Область допустимых решений Решение задачи (18) во многом осложнялось тем, что при изменении аэродинамического сопротивления насадки меняется положение рабочей точки на нагрузочной характеристике вентилятора.

С помощью разработанной программы ИСУ были получены результаты влияния параметров насадки на холодопроизводительность кондиционера. В результате оптимизации холодопроизводительность кондиционера увеличилась на 10.8% по сравнению с опытным образцом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе проведения диссертационного исследования получены следующие основные научные и практические результаты:

1. В ряде работ гидравлические системы рассматриваются как системы с сосредоточенными параметрами. В рамках этого подхода были построены дискретные модели с помощью которых решены задачи оперативного планирования режимов функционирования систем подачи и распределения воды, оптимизации режима работы насосных станций, структурной и параметрической оптимизации магистральных газопроводов и ряд других. Однако задачи расчета переходных процессов, определения законов изменения характеристик системы и целевого продукта требуют рассмотрения этих систем как систем с распределенными параметрами и построения для них непрерывных моделей в виде краевых задач на сетях. Построение таких моделей и разработка алгоритмов решения краевых задач на сетях только начата и далека от завершения.

2. Построены динамические модели для тепловой водяной сети и каналов насадки кондиционера в виде краевых задач на сетях.

3. В работе построена математическая модель для расчета распределения давления в гидравлической системе.

4. Разработан алгоритм приближенного нахождения собственных частот и собственных колебаний для гидравлической системы .

5. Разработаны алгоритмы приближенного расчета распределения параметров инженерной сети. В них заложены механизмы, которые параллельно с нахождением распределения параметров позволяют осуществлять упрощение (декомпозицию) исходной сети. При их реализации в ряде случаев удалось добиться уменьшения объема требуемых вычислений по сравнению с известными алгоритмами.

6. Возможность применения одного из разработанных алгоритмов показана на примере решения задачи оптимизации параметров насадки кондиционера. Для ее решения был разработан программный комплекс, позволяющих сократить сроки расчета охладителей. Эффективность алгоритма и программы подтверждены соответствующими актами внедрения.

ПУБЛИКАЦИИ

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Метод суперпозиции для задачи на графе // Понтрягинские чтения -VIII: Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ,1997. - С. 201.

2. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Метод прогонки для краевой задачи на графе // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов зимней математической школы. - Воронеж, ВГУ, 1997, - С. 189.

3. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Приближенное решение задачи малых деформаций системы струн с пружинами // Сборник научных трудов ВВШ МВД РФ. Выпуск 4. - Воронеж, 1997,- С.125-127.

4. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. О методе суперпозиции для краевой задачи на графе // Сборник научных трудов ВВШ МВД РФ. Выпуск 7. -Воронеж,1997.-С. 150 - 154.

5. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Приближенные методы решения краевой задачи на графе //Депонировано в ВИНИТИ 04.06.98 №1726-В98..

6. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Задача оптимизации системы с распределенными параметрами (на примере гидравлической сети) // Научно-практическая конференция ВВШ МВД РФ: Тезисы докладов,- Воронеж, ВВШ МВД РФ, 1998 - С.90.

7. Завгородний М.Г., Столяров В.Е., Трибунских O.A. Непрерывная модель гидравлической системы // Математическое моделирование технологических

систем. Выпуск 3. Сб.научн.тр./Воронежская гос. техкол. акад. - Воронеж, 1999,- С.101.

8. Завгородний М.Г., Галкин Е.А., Трибунских O.A. Оптимизация геометрических параметров испарительной насадки кондиционера // III Всероссийская научно-техническая конференция " Информационные технологии и системы":Тезисы докладов. -Воронеж, ВГТА, 1999 - С. 174-176.

9. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Непрерывные модели инженерных сетей // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. Тезисы докладов.- Воронеж, ВГУ, 2000 - С.98.

Ю.Трибунских O.A. Метод исследования теплового режима стержневой конструкции // Актуальные проблемы информационного мониторинга : Тезисы докладов,- Воронеж, Воронежский филиал Московской академии экономики и права, Межд. акад. Информатизации, 1998,- С. 107.

11 .Трибунских O.A. Решение задачи потокораспределения в транспортной системе (сети) // Актуальные проблемы совершенствования научно-технического обеспечения деятельности ОВД: Тезисы докладов. - Воронеж. ВИ МВД России, 1999. - С.60.

12.Трибунских O.A. Оптимизация геометрических параметров водоиспарительного кондиционера // Понтрягинские чтения- Х.:Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ, 1999. - С. 299.

JTP № 020728 от 09.02.98. Подписано в печать 17.05.2000.

Усл.-печ. л. 0,93. Уч.- изд. Л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 152.

Воронежский институт МВД России 394065, Воронеж, проспект Патриотов, 53

Введение.

Глава 1. Роль и место динамических сетевых моделей в процессах функционирования технических систем

1.1 Известные модели инженерных сетей. Особенности функционирования технических систем, приводящие к динамическим моделям.

1.2 Обзор альтернативных моделей для инженерных сетей.

1.3 Обзор результатов, математических методов, алгоритмов и численных схем решения других авторов.

1.4 Выводы и задачи исследования

Глава 2. Построение динамических моделей для инженерных сетей

2.1 Принципы построения динамических моделей в виде краевых задач на сетях.

2.2 Построение обобщенной динамической модели для гидравлической системы

2.3 Построение динамической сетевой модели для тепловой водяной сети.

2.4 Построение динамической сетевой модели для каналов испарительной насадки кондиционера

2.5 Возможности использования динамических моделей инженерных сетей в деятельности органов внутренних дел

Глава 3. Решение задачи, описывающей переходные процессы в гидравлической системе. Алгоритмы расчета параметров гидравлических систем.

3.1 Основные понятия и определения.

3.2 Решение краевой задачи для уравнения второго порядка в частных производных на сети.

3.3 Решение начально-краевой задачи на динамической сети.

3.4 Алгоритм для расчета распределения параметров системы на основе метода суперпозиции

3.5 Алгоритм для расчета распределения параметров системы на основе метода дифференциальной прогонки.

3.6 Алгоритм решения системы нелинейных уравнений на сети.

3.7 Алгоритм приближенного нахождения собственных значений и собственных функций

Глава 4. Параметрический синтез насадки водоиспарительного кондиционера.

4.1 Задача оптимизации геометрических параметров насадки водоиспарительного кондиционера.

4.2 Определение местных сопротивлений насадки водоиспарительного охладителя.

4.3 Определение температуры поверхностей пластин насадки.

4.4 Алгоритм приближенного расчета параметров воздушного потока с использованием динамической модели каналов насадки.

4.5 Программа и результаты экспериментальных исследований опытного образца воздухоохладителя типа РКВ.

Технические системы, которые обеспечивают транспортировку, распределение и необходимое качество целевого продукта или энергии называют инженерными сетями (см. [18]). К ним относятся магистральные газо- и нефтепроводы, системы тепло-, водо- и газоснабжения, системы отопления, вентиляции, кондиционирования, питательные трубопроводы установок пожаротушения и ряд других. Основное назначение этих систем доставить потребителю целевой продукт в необходимом количестве и требуемого качества.

Масштабы современных инженерных сетей и тенденции их развития вынуждают квалифицировать их как сложные системы, так как количество образующих их элементов измеряется десятками и сотнями. Из-за этого приходится прибегать к декомпозиционным подходам решения практически всего спектра прикладных задач, особенно в области управления функционированием (эксплуатации). Однако сделать это корректно не всегда удается и во многих практически важных случаях приходится рассматривать всю систему целиком независимо от ее размеров. При этом следует учитывать, что в процессе эксплуатации меняются характеристики как самой сети, так и передаваемого по ней продукта. Изменение характеристик системы связано с изменением гидравлического сопротивления труб, с появлением в них утечек. Изменение свойств передаваемого продукта связано с протеканием в системе целого ряда процессов (гидромеханических, тепловых, массопереноса).

Для описания инженерных сетей на сегодняшний день существует ряд подходов . Первый, традиционный, заключается в описании исходной системы как системы с сосредоточенными параметрами. Он представлен в работах [38], [40], [47], [48], [49]. При таком подходе техническая система описывается в виде графа и связь между вершинами задается алгебраическими выражениями. В итоге получают дискретную модель, которая дает информацию о состояниях системы в узлах, но не позволяет описать распределение давлений, температур, определить координаты утечек, эта модель не может быть использована для описания переходных процессов. В таких моделях свойства элементов условно сосредотачиваются в отдельных точках и усредняют.

В рамках другого подхода (изложен в работах Воеводина и Шугрина [9], [10]) систему предлагается рассматривать как граф на ребрах которого заданы дифференциальные уравнения, но в этих работах авторы полагают, что им известно значение искомой функции во внутренних вершинах . Они вводят понятие "модель вершины". Это существенно облегчает решение задачи. Она легко разбивается на ряд отдельных задач для каждого элемента системы и каждая из этих задач может быть решена самостоятельно. В этом случае говорить, что задача ставится на сети можно лишь условно. Технически такая модель означает, что в каждом внутреннем узле установлен датчик, передающий требуемую информацию. Однако на практике возможность получения информации из всех внутренних узлов отсутствует и очень часто в них известны лишь общие законы поведения в виде законов непрерывности и равновесия (законов Кирхгофа).

Именно с этих позиций в работах профессора Покорного Ю.В. и его учеников была построена качественная теория краевых задач на пространственных сетях (см. [19],[20],[51]-[54]).

Такой подход был использован в работах [16], [46], [63], [64], в которых рассматривался процесс теплопроводности в системе соединенных между собой стержней при условии, что тепло может распространяться только через их торцевые поверхности. Авторы описали исходную техническую систему как граф, а процесс распространения тепла линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Во внутренних узлах значения температуры неизвестно. Для нее в этих узлах задано условие непрерывности, а для тепловых потоков условие равновесия. Решение задачи предлагается искать через общее решение дифференциального уравнения, заданного на каждом ребре графа. Для этого на каждом ребре решается по три краевых задачи и для определения значений температур во внутренних вершинах решается система алгебраических уравнений.

Позиции, с которых мы будем строить модели инженерных сетей, состоят в следующем: инженерная сеть представляет собой связную систему, образованную набором однотипных элементов (участок трубы, канал воздуховода). Мы не рассматриваем процессы происходящие в поперечном сечении элементов, а будем полагать, что свойства среды и системы могут меняться только в продольном сечении. По этому каждый элемент системы мы заменим отрезком, а их объединение в дальнейшем будем называть просто сетью;

- сеть рассматривается как система с распределенными параметрами. В качестве параметров выступают как характеристики самой сети, так и транспортируемого по ней продукта. Они описываются в виде функций, заданных на сети. Процессы, происходящие в системе, описываются дифференциальными уравнениями тоже заданными на сети;

- информацию мы можем получать только из концевых точек системы. Во внутренних точках ( в местах соединения элементов системы) нам известны общие законы поведения, которые выражаются в виде условий равновесия и непрерывности переменных.

Математическая модель, построенная на основе вышеизложенных позиций, представляет из себя краевую задачу на сети и состоит из трех компонентов: дифференциального уравнения, заданного на сети, условий согласования во внутренних вершинах, краевых условий в концевых вершинах и начальных условий. Именно такие модели мы будем называть динамическими сетевыми моделями.

Очевидно, что в рамках одной работы невозможно рассмотреть все многообразие инженерных сетей и поэтому в качестве объекта исследования была выбрана инженерная сеть гидравлической системы, в которой могут происходить процессы тепло- и массообмена. В качестве предмета исследования выступают динамические модели в виде краевых задач на сетях. Целью диссертационной работы является разработка динамических моделей для расчета инженерных сетей.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- построение обобщенной динамической модели с распределенными параметрами для гидравлической системы;

- построение моделей с распределенными параметрами для тепловой водяной сети и каналов насадки водоиспарительного кондиционера в виде краевых задач на сетях;

- построение математической модели для расчета распределения давления в гидравлической системе;

- разработка алгоритма приближенного нахождения собственных частот и собственных колебаний для гидравлической системы;

- разработка алгоритмов для приближенного расчета распределения параметров инженерной сети;

- оптимизация параметров насадки водоиспарительного кондиционера с целью получения максимума холодопроизводительности.

Исходя из сформулированных задач, были построены динамические модели для тепловой сети и насадки водоиспарительного кондиционера. Первая модель разработана в рамках научного исследования проводимого по заказу муниципального предприятия

Смоленсктеплосеть", а вторая модель разработана в содружестве с коллективом ученых ВГАУ им. Глинки, занимающихся водоиспарительными кондиционерами (научный руководитель профессор Шацкий В.П.). Полученные результаты были опубликованы в [26], [27], [28], [61], [62]. В качестве достоинства этих моделей следует подчеркнуть, что впервые удалось учесть при расчете взаимное влияние друг на друга различных параметров передаваемого продукта: скорости, температуры, плотности и т.д. До этого для описания таких систем использовались дискретные или полудискретные модели. В них процессы передачи среды и теплообмена рассматривались изолированно, без учета взаимного влияния друг на друга (см. [68], [71]).

Построение таких моделей потребовало уделить внимание разработке алгоритмов их решения, вопросам разрешимости краевых задач на графах. Следует отметить, что в настоящему моменту разработано большое количество численных методов решения краевых задач на отрезках. Они подробно описаны в [5], [32], [34], [42], [45]. Однако, для случая когда краевая задача ставится на сети, кроме приближенного алгоритма изложенного в работах Фрязинова, Панкратова, Хохулина, где описывается теплопроводность в системе стержней, ничего не предлагается. По этому было разработано два алгоритма для решения линейного дифференциального уравнения на сети (на основе метода суперпозиции и на основе метода дифференциальной прогонки) и был разработан алгоритм решения нелинейного дифференциального уравнения на сети (разработан на основе метода Ньютона). При этом удалось добиться уменьшения объема вычислений необходимых для решения краевой задачи на сети по сравнению с алгоритмом, который предлагается в работах Фрязинова, Панкратова, Хохулина. Построенные алгоритмы были описаны в работах [21], [22], [23], [24], [25].

Динамическая модель каналов насадки и алгоритм решения нелинейной системы уравнений, были использованы при написании программы, которая позволяет определять влияние параметров насадки на эффективность работы охладительной установки. С использованием этой программы была решена задача оптимизации насадки кондиционера, то есть определены такие параметры насадки при которых установка обеспечивает максимум холодопроизводительности. Полученные результаты были подтверждены при проведении эксперимента на опытных образцах охладителей (см. [27]).

При выполнении диссертационного исследования получены следующие основные результаты, характеризующие его научную новизну:

- построены динамические модели для ряда гидравлических систем в виде краевых задач на сетях;

- разработана математическая модель для расчета распределения давления в гидравлической системе;

- разработаны алгоритмы для приближенного расчета параметров гидравлической системы, позволяющие в процессе расчета осуществлять декомпозицию исходной системы;

- разработан алгоритм приближенного нахождения собственных частот и собственных колебаний гидравлической системы;

- проанализировано влияние параметров насадки на холодопроизводительность кондиционера.

Теоретическая обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждена строгим использованием качественной теории дифференциальных уравнений, методами приближенного решения краевых задач, законов гидродинамики. Результаты полученные в ходе компьютерного моделирования были подтверждены при проведении натурного эксперимента в лаборатории микроклимата Воронежского государственного агроуниверситета им.Глинки.

Теоретические и практические результаты диссертационной работы реализованы в виде моделей, алгоритмов расчета и программного комплекса. Построенная в работе динамическая модель тепловой сети используется в муниципальном предприятии "Смоленсктеплосеть", оформлен соответствующий акт внедрения. Программа расчета параметров насадки кондиционера внедрена в расчетную методику проектирования системы кондиционирования специализированного самолета Ту-54 в КБ АНТК им.Туполева, что тоже подтверждено соответствующим актом внедрения.

Основные результаты выносимые на защиту:

- динамические модели для тепловой сети и насадки кондиционера;

- модель для расчета распределения давления в гидравлической системе;

- алгоритм приближенного нахождения собственных значений и собственных функций для краевой задачи на сети;

- алгоритмы приближенного расчета распределения параметров инженерной сети;

- результаты влияния параметров насадки на эффективность работы охладителя.

Результаты исследования докладывались: -на научно-практических конференциях в ВВШ МВД РФ (декабрь 1996 г., май 1997 г., декабрь 1997 г., май 1998 г.);

- на Воронежской зимней математической школе (февраль 1997);

- на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - VIH" (май 1997);

-на международной конференции "Понтрягинские чтения - IX" (май 1998); -на III Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии и системы" (сентябрь 1999).

- на Всероссийской конференции "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках" (январь 2000).

Ход исследования и результаты докладывались на семинаре кафедры ИТО Воронежского института МВД (февраль 2000г.), на семинаре кафедры математического моделирования технологических и информационных систем Воронежской государственной технологической академии (март 2000г.) и семинаре кафедры математического анализа Воронежского государственного университета (апрель 2000г.).

Работа состоит из введения, четырех глав, выводов по работе, списка литературы и приложений.

Во введении дано обоснование актуальности рассматриваемой проблемы, определены цели и показана новизна работы, перечислены основные результаты работы, выносимые на защиту, дается краткое содержание работы.

В первой главе рассмотрены модели, которые используются в настоящее время для описания инженерных сетей, методы и алгоритмы для их решения. В этом разделе приведены примеры обосновывающие необходимость построения именно непрерывных моделей для инженерных сетей.

Во второй главе приводится обобщенная динамическая модель для гидравлической системы. На основе этой модели построены динамические модели для тепловой сети и каналов насадки кондиционера.

В третьей главе доказано ряд теорем, в которых обосновываются вопросы существования решения, получено решение дифференциального уравнения второго порядка на сети с помощью метода разделения переменных с использованием собственных значений и собственных функций. Построен алгоритм приближенного нахождения собственных значений и собственных функций. В этой главе описан ряд алгоритмов для численного решения краевых задач на сетях. Они разработаны на основе известных методов решения краевых задач на отрезках (метода дифференциальной прогонки, метода суперпозиции).

В четвертой главе с использованием динамической модели насадки кондиционера проведен одновременный расчет процессов тепломассопереноса и аэродинамики в каналах насадки и решена задача оптимизации ее параметров с целью получения максимума холодопроизводительности.

В заключении сделаны выводы по работе. В приложении приведены фотографии опытных образцов кондиционеров, структурная схема алгоритма, текст программы, акты внедрения.

Завершая введение, хочу выразить признательность своему научному руководителю - профессору Завгороднему М.Г. - за постановку задачи и постоянную помощь в работе. Автор признателен профессору Шацкому В.П. и доценту Галкину Е.А. (ВГАУ) за консультации и поддержку при проведении натурного эксперимента.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований по моделированию процессов в инженерных сетях были получены следующие результаты:

- построена динамическая модель для гидравлической системы в виде краевой задачи на сети. Эта модель может быть использована для определения распределения температуры, давления, плотности передаваемого продукта, изучения переходных процессов, определения координат утечек и т.д.;

- на основе обобщенной модели построены динамические модели для тепловой сети и каналов насадки кондиционера. Реализованный при построении этих моделей подход позволяет в комплексе рассматривать происходящие в системе процессы с учетом их взаимного влияния друг на друга;

- в работе получено решение задачи, которая описывает переходный процесс в гидравлической системе. Это решение найдено методом разделения переменных с использованием собственных частот и собственных колебаний гидравлической системы;

- разработан алгоритм приближенного нахождения собственных значений и собственных функций;

- разработаны алгоритмы приближенного решения краевых задач на сетях. В них заложены механизмы, которые параллельно с поиском элементов решения позволяют осуществлять упрощение (декомпозицию) исходной сети. При их реализации в ряде случаев удалось добиться уменьшения объема требуемых вычислений по сравнению с известными алгоритмами. Эти алгоритмы позволяют определить распределение параметров в инженерных сетях;

- разработанная динамическая модель каналов насадки и алгоритм решения начально-краевой задачи на сети были использованы для повышения эффективности работы кондиционера. На основе этой модели и алгоритма бала написана программа, которая позволила провести одновременный расчет процессов аэродинамики и тепломассопереноса в каналах насадки;

- полученные результаты показали как параметры насадки влияют на холодопроизводительность установки.

Следует подчеркнуть, что решение о построении динамической модели в том или ином случае принимается в зависимости от особенностей функционирования инженерной сети и должно быть оправдано. В том случае, если параметры системы и передаваемого продукта сильно не меняются, то можно обойтись дискретными моделями, а если такие изменения присутствуют, то возникает необходимость построения динамических (непрерывных) моделей. Сама модель каждый раз строится с учетом индивидуальных особенностей системы и в ней должны быть отражены в первую очередь те свойства, которые оказывают наибольшее влияние на протекающие процессы или изменяются в большей степени.

Предлагаемые в работе алгоритмы могут быть использованы не только для решения задач из области гидравлики . Как показано в ряде источников, к краевым задачам на сетях приходят при моделировании деформаций механических конструкций, образованных набором струн, при моделировании процесса распространения тепла в стержневых конструкциях, при моделировании передачи электрического сигнала в длинных линиях (см. [9], [10], [16]). Это дает возможность полагать, что область возможного применения разработанных алгоритмов гораздо шире, а сами алгоритмы достаточно универсальны.

1. Авдолимов Е.М, Шальнов А.П. Водяные тепловые сети. М.: Стройиздат, 1984. - 288 с.

2. Автоматические системы пожаротушения // Системы безопасности,-1999.-№25.-С.82-85

3. Альтшуль А.Д., Животовский A.C. Гидравлика и аэродинамика.- М.: Стройиздат, 1987. 414 с.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. - 574 с.

5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М. : Физматгиз,1962. - 640 с.

6. Богословский В.Н., Кокорин О.Я., Петров JI.B. Кондиционирование воздуха и холодоснабжение. М.:Стройиздат,1985. - 367 с.

7. Боровков B.C., Майрановский Ф.Г. Аэродинамика систем вентиляции и кондиционирования воздуха. М.: Стройиздат, 1978. - 116 с.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука,1988. -512 с.

9. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы решения одномерных систем. Новосибирск: Наука, 1981. - 208 с.

10. З.Галкин Е.А. Применение водоиспарительных охладителей для улучшения температурно-влажностных параметров в кабинах мобильных сельскохозяйственных машин : Автореф. дис. канд. технич. наук. Воронеж, 1995. - 17 с.

11. Гримитлин М.И. Распределение воздуха в помещениях. М.:Стройиздат, 1982 164 с.

12. Долешал Ш. Лианеризация уравнений неустановившегося движения реального газа в трубах при политропическом процессе//Известия вузов. Нефть и газ. 1963. - №1. - С.71-75

13. Дульнев Г.Н., Парфенов В.Г., Сигалов A.B. Методы расчета теплового режима приборов.- М.: Радио и связь, 1990. 321 с.

14. Душкина Л. Новые технологии пожаротушения на защите культурных ценностей // Безопасность, достоверность, информация. 1999. - №3. -С.24 - 28

15. Евдокимов А.Г., Тевяшев А.Д., Дубровский В.В. Моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях. М.: Стройиздат, 1990.- 368 с.

16. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // ДАН. 1994. Т.335. №3. - С. 281-283

17. Завгородний М.Г., Покорный Ю.В. О спектре краевых задач второго порядка на пространственных сетях//Успехи мат.наук.- 1989.Т.44.-№ 4. -С.220-221

18. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Метод суперпозиции для задачи на графе // Понтрягинские чтения -VIII: Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ,1997. - С. 201

19. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Метод прогонки для краевой задачи на графе // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов зимней математической школы. Воронеж, ВГУ, 1997,-С. 189

20. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Приближенное решение задачи малых деформаций системы струн с пружинами // Сборник научных трудов ВВШ МВД РФ. Выпуск 4. Воронеж, 1997.- С. 125-127

21. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. О методе суперпозиции для краевой задачи на графе // Сборник научных трудов ВВШ МВД РФ. Выпуск 7. Воронеж, 1997.- С. 150 - 154.

22. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Приближенные методы решения краевой задачи на графе // Депонировано в ВИНИТИ 04.06.98 №1726-В98.

23. Завгородний М.Г., Столяров В.Е., Трибунских O.A. Непрерывная модель гидравлической системы // Математическое моделирование технологических систем. Выпуск 3. Сб.научн.тр./Воронежская гос. технол. акад. Воронеж, 1999,- С. 101

24. Завгородний М.Г., Столяров В.Е., Трибунских O.A. Моделирование процессов в водяных тепловых сетях // III Всероссийская научно-техническая конференция " Информационные технологии и системы". Тезисы докладов. -Воронеж, ВГТА, 1999 С. 176-177

25. Завгородний М.Г., Трибунских O.A. Непрерывные модели инженерных сетей // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. Тезисы докладов.- Воронеж, ВГУ, 2000 С.98

26. Зыков A.A. Основы теории графов. М.: Наука, 1987. - 384 с.

27. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.: Машиностроение, 1992. - 672 с.

28. Калиткин H.H. Численные методы.- М.: Наука, 1978 512 с.

29. Кокорин О.Я. Установки кондиционирования воздуха. М.: Машиностроение, 1971. - 344 с.

30. Коллатц П. Функциональный анализ и вычислительная математика . -М.:Мир, 1969. -444 с.

31. Кошкин В.К. и др. Нестационарный теплообмен. М.: Машиностроение, 1973, - 328 с.

32. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 365 с.

33. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1987.- 840с.

34. Лямаев Б.Ф., Небольсин Г.П., Нелюбов В.А. Стационарные и переходные процессы в сложных гидросистемах. Методы расчета на ЭВМ. Л,: Машиностроение, Ленинградское отделение, 1978. - 192 с.

35. Майсоценко B.C. Тепломассообмен в регенеративных косвенно-испарительных воздухоохладителях // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1987. - №10 - С.91-96.

36. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей.- М.: Наука, 1985.-278 с.

37. Монахов Г.В., Войтинская Ю.А. Моделирование управления режимами тепловых сетей. М.: Энергоатомиздат, 1995. - 224 с.

38. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач . М. : Мир , 1982. - 249 с.

39. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. -М.: Наука, 1969. 526 с.

40. Ope О. Теория графов . М. : Наука, 1980. - 336 с.45.0ртега Д., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. - 288 с.

41. Панкратов Б.М. Тепловое проектирование агрегатов летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1991.- 175 с.

42. Панов М.Я. Вариационно-топологические методы моделирования и структурно-параметрическая оптимизация гидравлических систем: Автореф. дисс. д-ра техн. наук.- Воронеж, 1995.- 49с.

43. Панов М.Я., Квасов И.С., Круглякова В.М. Декомпозиционно-топологический метод проектирования гидравлических сетевых систем. // Известия вузов. Строительство. 1996 №1.-С.81-85.

44. Панов М.Я., Квасов И.С., Курганов A.M. Универсальная математическая модель потокораспределения гидравлических сетей и условия ее совместимости с оптимизационными задачами. // Изв. вузов. Строительство.- 1992.-№ 11-12.- С.91-95.

45. Петухов B.C. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия , 1967. - 412 с.

46. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. О теоремах сравнения для уравнений на графе // Дифференциальные уравнения.- 1989. Т.25, № 7 .-С. 1141-1150

47. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. Теоремы Штурма для уравнений на графах // Доклады АН СССР. -1989.-Т.309, № 6.- С. 1306-1308

48. Покорный Ю.В., Прядиев B.JI., Аль-Обейд А. Об осцилляцтонности спектра краевой задачи на графе // Мат. заметки. -1996.-Т.60,выпуск 3. -С.468-470.

49. Покорный Ю.В., Прядиев B.JI. О распределении нулей собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на пространственной сети // Доклады РАН .- 1999. Т.364, №3.-С.316-318.

50. Полушкин В.И. Основы аэродинамики воздухораспределения в системах вентиляции и кондиционирования воздуха. Л.: Ленинградский гос. ун-т, 1978. - 136 с.

51. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений, -М.: Наука, 1978.-592 с.

52. Смольский Б.М., Сергеева Л.А., Сергеев В.Л. Нестационарный теплообмен. Минск: Наука и техника, 1974 - 160 с.

53. СНиП 2.04.09-84. Пожарная автоматика зданий и сооружений// Госстрой СССР . М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1985 - 24 с.

54. Системы пожаротушения из Европы и России // Системы безопасности, 1999.-№28.-С.44-45

55. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем. -Минск: Дизайн ПРО, 1997. 640 с.

56. Трибунских O.A. Решение задачи потокораспределения в транспортной системе (сети) // Актуальные проблемы совершенствования научно-технического обеспечения деятельности ОВД: Тезисы докладов. Воронеж. ВИ МВД России, 1999. - С.60

57. Трибунских O.A. Оптимизация геометрических параметров водоиспарительного кондиционера//Понтрягинские чтения- Х.:Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ, 1999. - С. 299

58. Фрязинов И.В. Алгоритмы решения разностных задач на графах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. - Т. 10, № 2. - С.474 - 477.

59. Хохулин B.C. Метод исследования теплового режима конструкций сложной конфигурации // Инженерно-физический журнал. 1975. -Т.29,№1 - С.140-145

60. Циммерман А.Б., Пекер Я.Д., Зексер М.Г., Майсоценко B.C. Новый тип бытового кондиционера // Электротехника. 1985.- №3. - С.26-27

61. Шалиткина А. Н. К вопросу о моделировании режимов работы водоиспарительных охладителей // Математика, компьютер, образование: Тезисы докл. международной конф.-М.,1997.-С.171

62. Шалиткина А.Н. Математическое моделирование процессов тепломассобмена в водоиспарительных кондиционерах: Автореф. дис. канд. техн. наук.- Воронеж, 1998.- 16 с.

63. Шацкий В.П. К вопросу о моделировании противоточных охладителей водоиспарительного типа // Понтрягинские чтения-У:Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ,1994. - С. 153

64. Шацкий В.П. Реализация математической модели противоточных водоиспарительных охладителей воздуха// Информационные технологии и системы в учебном процессе и НИР. Воронеж, ВГАУ, 1994. -С.78-93

65. Шацкий В.П. Методы выбора параметров воздухоохладителей водоиспарительного типа для нормализации температурно-влажностных режимов в кабинах мобильных сельскохозяйственных машин: Автореф. дис. доктора тех. Наук. Челябинск, 1994. - 35 с.

66. Шацкий В.П., Шалиткина А.Н. О задаче тепломассобмена в водоиспарительных охладителях // Понтрягинские чтения- VIII: Тезисы докладов. Воронеж, ВГУ,1997. - С. 162

67. Чарный H.A. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975. - 296 с.134