автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка автоматизированных средств подготовки и анализа данных для решения задач математической физики

РГ6 од

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИКСГИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

На правах рукописи

Карташева Елена Леонидовна

РАЗРАБОТКА АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СРЕДСТВ

ПОДГОТОВКИ И АНАЛИЗА ДАННЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

(Специальность 05.13.18 - Теоретические осноеы математического моделирования, численные методы и комплексы программ)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических нау:с

Москва - 1994г.

Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН

Научные руководители: доктор физико-мгтоматических наук

Гасилов В. А.

кандидат физико-математических наук Маслянкин В. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Горбунов-Посадов М. М. кандидат физико-математических наук Аветисян А. Р.

Ведущая организация: НИЦ ТИБ ОИВТ РАН

Защита диссертации, состоится "_"__1994г. в

на заседании специализированного Совета К 003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу 125047,Москва,Миусская пл. 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАК Автореферат разослан "_"_1994^.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физико-математических наук

Свирщеаский С. Р.

\

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Среди численных методов решения прикладных задач математической физики наибольшее распространение получили конечно-разностные и конечно-элементные методы. В реализации этих методов можно выделить три основных этапа. Первый этап - это этап предварительной обработки, он включает задание описания исходной области решения и построение разбиения этой области, предполагающее формирование некоторой разностной или конечно- элементной сетки. На этом же этапе осуществляется задание начальных и граничных условий. Второй этап - этап собственно вычислений. Третий, заключительный этап, связан с обработкой и анализом полученных результатов численного моделирования.

При решении практических задач, определенных в слогных пространственных областях, для достижения сходимости и требуемой точности приходится неоднократно повторять вычисления, внося изменения в расчетную сетку, подбирая параметры аппроксимации исходных уравнений и алгоритмов решения соответствующих систем алгебраических уравнений. В этих условиях важную роль играет наличие средств автоматизации процесса подготовки и анализа данных, обеспечивавших удобный ввод описания исходных областей, оперативный контроль я коррекцию сеток, наглядный способ представления результатов численного моделирования.

В настоящее время развитые средства подготовки и анализа данных входят во многие пакеты численного решения прикладных задач математической физики. Кроме этого существуют и независимые пре- и пост-процессоры, которые могут быть использованы совместно с различными пакетами численного моделирования. Указанные системы подготовки и анализа данных ориентированы в основном на автоматизацию проектных и конструкторских работ и рассчитаны на решение определенного круга достаточно хорошо изученных задач. Примерами могут служить пакеты PATRAN, ANSYS, COSMOS и другие. Являясь удобным

з

инструментом выполнения инженерных расчетов, такие пакеты не позволяет эффективно решать проблемы, выходящих за рамки их непосредственного приложения. Данное обстоятельство затрудняет их применение в исследовательских целях, а именно, в организации и проведении вычислительного эксперимента, отличительной особенность!) которого является изучение определенной иерархии моделей и, как следствие, многовариантность расчетов в условиях значительных модификаций входных данных. В частности, как известно, не существует универсальных методов построения расчетных сеток в сложных пространственных областях. На возможность применения того или иного алгоритма дискретизации влияет форма расчетной области, тип рассматриваемой задачи и выбранный метод решения этой задачи. В то же время от качества сформированных сеток существенно зависят точность и сходимость алгоритмов численного моделирования. Поэтому на практике большое внимание уделяется адаптации методов построения сеток к конкретным условиям поставленных задач. При этом часто возникает необходимость модификации и комбинирования известных методов разбиения, а также разработки новых алгоритмов дискретизации. Этим целям не отвечают указанные системы подготовки и анализа данных. В таких системах реализуется ограниченный набор методов описания и дискретизации расчетных областей, при этом отсутствуют специальные средства, позволяющие вносить коррективы в используемые вычислительные алгоритмы и структуры данных. В связи с этим актуальной является разработка систем подготовки и анализа данных, нацеленных на автоматизации научных исследований в области вычислительной физики. Такие системы должны иметь гибкую структуру и широкий набор средств, позволяющий им адаптироваться к решению различных задач математической физики.

Цель работы. Целью данной работы является: -разработка математических моделей описания сложных пространственных областей, сеток, начальных и граничных условий и результатов численного моделирования;

-разработка методов дискретизации сложных

пространственных областей, обеспечивающих возможность комбинирования различных способов построения сеток;

-разработка пакета програш, представляющего инструментальные средства для создания специализированных систем подготовки и анализа данных в вычислительной физике;

-разработка на основе инструментальных средств специализированных систем подготовки и анализа данных для решения прикладных задач математической физики;

Научная новизна. Разработаны новые математические модели сложных геометрических объектов, обеспечивающие возможность единого описания расчетных областей, сеток и результатов численного моделирования. В рамках указанных моделей объединены различные методы представления и дискретизации сложных геометрических объектов. '

Разработан новый метод построения сеток, позволяющий выполнять разбиение сложных пространственных областей, полученных в результате выполнения теоретико-множественных операций над базовыми объектами, представленными комплексными моделями. Предложенный метод дискретизации может также использоваться для построения гибридных сеток.

Разработаны инструментальные средства, позволяющие автоматизировать процесс создания специализированных систем подготовки и анализа данных. Указанные инструментальные средства предоставляют возможность комбинирования различных методов построения сеток и адаптации их к конкретным условиям исследуемых задач математической физики, а также обеспечивают, эффективную реализацию новых алгоритмов дискретизации сложных пространственных областей.

Практическая ценность. Разработанные специализированные системы используются в ИМИ РАН при решении прикладных задач математической физики. Созданный пакет инструментальных средств может применяться для построения новых прикладных систем подготовки и анализа данных в вычислительной физике. Кроме того, разработанные математические модели, алгоритмы и программы могут использоваться и в других приложениях, связанных с решением разнообразных геометрических и

графических задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались :

- на научных семинарах ИПМ и». М.В.Келдыша РАН (руководитель - проф. Корягин Л. А.);

- на научных семинарах ДОМ РАН С руководитель - проф. Леванов Е. И.);

- на научных семинарах кафедры системного анализа МИФИ С руководитель - к. т. н. Руыямев И.П.);

- на IV Всесоюзной конференции по проблемам машинной графики,Серпухов,1987.

-на второй международной конференции "Компьютерная графика в науке и искусстве" - Графикон-9?, Москва, 1992

Публикации. Результаты работы опубликованы в 6 печатных работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Текст изложен на машинописных страницах, диссертация содержит рисунков, таблиц. Список литературы включает наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются основные проблемы, возникающие на этапах подготовки и анализа данных при численном решении пространственных задач математической физики. Проводится сравнительный анализ известных методов описания и дискретизации сложных пространственных областей. Обосновывается целесообразность разработки специализированных систем подготовки и анализа данных, ориентированных на решение исследовательских задач в области вычислительной физики. При этом основное внимание уделяется разработке инструментальных средств, позволяющих автоматизировать процесс создания указанных специализированных систем и обеспечить наиболее полный учет специфики решаемых задач математической физики. Предлагается двухуровневая структура инструментальных средств, в которой нижний уровень - ядро инструментальных средств -составляют программы, поддерживающие базовые объекты и

в

операции, наиболее часто используемые при разработке программного обеспечения, реализующего алгоритмы описания н дискретизации расчетных областей, задания начальных н граничных условий, анализа числовых данных. Второй уровень образует модули, являющиеся реализациями различных методов решения отдельных подзадач, стоящих перед системой подготовки и анализа данных. Эти модуля создастся на основе средств, предоставляемых ядром и является по отношешш к неау прикладными программами. Модули об&днняхгтея в библиотеки в соответствии с типом решаемых задач.

В первой главе рассматриваются новыэ иатекатачгсхгэ модели описания сложных геометрических объектов, построенные на основе комплексов, изучаемых в комбинаторной топология. Разработка тагах моделей была обусловлена необходииостьа обеспечения возможности комбинирования различных способов представления и дискретизации расчетных областей, а такхэ необходимостью формализации задач, решаемых на этапах подготовки и анализа данных в вычислительнлй физике.

Показывается, что комплексы являются удобной юэдельэ описания произвольных неструктурированных сеток, дахжей формализованное представление как геометрических свойств отдельных элементов, так и отнесений ггегду зленеятагга внутрз сетки. Отметим, что под неструктурированной сеткой понимается сетка нерегулярной структуры, на которой нельзя построить фиксированные Сне зависящие от номера узла) паблены сеточных уравнений и задать фиксированное отображение нспопьзуеиоЗ в вычислительном алгоритме сеточной информации на таблицы хранимых сеточных функций. На таких сетках, например, нельзя представить вычислительный алгоритм посредством нуыерадда узлов сетки индексами в количестве, разном размерности задача, а также используя представление о сеточных линиях, как аналогах координатных линий в физическом пространства.

На основе комплексов в работе построены математические модели описания расчетных областей, соответствуйте различном способам представления сложных геометрических объектов.

В общем случае модель исходной области О описывается

хриволинейным комплексом М, расположенным в трехмерном евклидовом пространстве Е? МсЕ3. Вид и размерность комплекса М зависит от размерности расчетной области и от способа задания этой области. В методе перечисления моделью области является криволинейный комплекс, размерность которого равна размерности исходной области. При этом комплекс описывается непосредственно по элементам. В процессе задания элементов допускается использование различных геометрических преобразований. Граничное описание трехмерных областей задается двумерным комплексом, который, представляет собой совокупность замкнутых ориентированных двумерных псевдомногообразий. Граничный метод может использоваться и для ¿писания двумерных пространственных областей. Для этого необходимо на плоскости задать некоторое двумерное тело, описываемое своей границей, состоящей из замкнутых одномерных псевдомногообразий, и определить взаимно однозначное непрерывное отображение заданного тела в Е3. В кинематическом методе двумерная область представляется как след движущейся в пространстве кривой, а трехмерная область - как след движущегося плоского тела или сечения. При этом для задания двумерной области необходимо определить одномерный комплекс, представляющий кривую, и функцшз, описывающую движение этой кривой. Трехмерное тело описывается в зависимости от способа задания сечения Страничный или перечисление) одномерным или двумерным комплексом и функцией, определяющей движение сечения.

В работе показано, как указанные методы представления могут использоваться совместно для задания одной расчетной области. Пусть К - криволинейный комплекс , тело которого совпадает с рассматриваемой областью. Комплекс К иожно представить в виде объединения неперекрывающихся подкомплексов, взаимное пересечение которых либо пусто, либо является комплексом меньшей размерности, чем размерность исходных подкомплексов. Такие подкомплексы названы порциями комплекса К, а их тела, соответственно,- порциями моделируемой области. Комплекс К можно описывать по порциям, используя для

каждой из порций свой метод представления. По определенно края порций образуют комплекс, это позволяет при различных методах описания порций добиться их согласованности. С учетом сказанного для описания исходной области по порциям необходимо задать в общем случае трехмерный криволинейный комплекс М в Е3. В комплексе следует выделить подмножества двумерных и одномерных элементов, образующих края порций, задаваемых граничным и кинематическим методами. Для порций, описываемых границей, дополнительно указываются отображения. Для порций, задаваемых кинематическим способом, задаются комплексы, определяющие движущиеся кривые ила сечения, и описываются функции их движения.

Для описания числовых результатов, представленных векторными и скалярными функциями, определенными на расчетной сетке, в работе также используются комплексные модели. Каждой функции / , являющейся скалярной функцией или компонентой векторной функции, ставится в соответствие комплекс V , расположенный в четырехмерном евклидовом пространстве Е. Функция / может быть определена в узлах "или в ячейках расчетной сетки в. Если функция / задана в ячейках сетки в, предусмотрено выполнение переинтерполяции, при которой значение функции в каждом узле определяется как взвешенное среднее значений в ячейках, инцидентных данному узлу. Структура комплекса полностью совпадает со структурой комплекса изменяется лишь расположение вершин в

пространстве. При этом каждому узлу д® комплекса в, имеюаену в пространстве Е1 координаты Сх1 ,у1 , будет соответствовать узел к® комплекса V, расположенный в Е* и икевдяй координаты Сх4 ,у1,21,1^), где и1=/кСх1

В диссертации разработаны методы дискретизации, позволяющие строить сетхи в областях, описываемых комплексными моделями. Рассмотрим, как осуществляется построение сетки в самом общем случае, когда для описания расчетной области используется комбинированный подход. Как уже отмечалось, модель исходной области описывается трехмерным криволинейным комплексом М, расположенным в евклидовом пространстве Е? МсЕ3.

Дискретизация расчетной области выполняется поэтапно. Сначала с помощью параметрических отображений осуществляется разбиение элементов комплекса М, образующих границы порций. После того, как края псрдий разбиты , дальнейшее разбиение порций может идти независимо: каким бы образом ни строилась сетка внутри порции, ока заведомо будет согласована с разбиением остальной части расчетной области. Разбиение элементов порции, заданной методом перечисления, строится с помощью параметрических отображений. Сетка на порции поверхности, задаваемой граничным методом, получается отображением сетки, являющейся дискретизацией соответствующего данной порции тела на плоскости 2=0. Для дискретизации плоских тел, являющихся множествами, ограниченными замкнутыми одномерными псевдомногообразиями, реализован фронтальный метод

триангуляции. Построение сегки начинается с границы и продолжается внутрь области. При этом размер формируемых треугольников выбирается в соответствии с заданной плотностью сетки и с учетом ограничений на форму элементов. Таким образом, разработанный генератор позволяет строить как равномерные, так и неравномерные треугольные сетки. Для дискретизации объемных тел, задаваемых границей, разработан генератор тетраэдральных сеток, который является расширением на случай трехмерных областей описанного выше фронтального триангулятора; При дискретизации порций поверхностей, описываешх кинематическим методом, выполняется разбиение движущейся кривой и определяются ее положения в фиксированные моменты времени, соответствующие разбиению временного интервала. Затем соседние по времени положения узлов соединяются, образуя вместе. с отрезками дискретизации различных положений движущейся кривой двумерную сетку на поверхности. Аналогично строится сетка в трехмерных областях, определенных кинематическим методом. Сначала разбиваются сечения, а затем соответствующие друг другу элементы на соседних по времени сечениях образуют призматические элементы объемной сетки.

Разработан новый способ дискретизации сложных

геометрических областей, позволяющий реализовать метод конструктивной геометрии в классе объектов, представленных комплексными моделями . Сложная область решения формируется при помощи • теоретико-множественных операций и операций геометрических преобразований из областей, описываемых с помощью комплексов. Основная идея метода заключается в том, что сетка в сложной области получается как результат выполнения теоретико-множественных операций над сетками, покрывающими исходные области. В процессе дискретизации сначала с помощью перечисленных, выше методов проводится расбиение исходных областей. При построении результирующей сетки в нее включается неперекрывающиеся элементы исходных сеток, целиком входящие в расчетную область. Оставшаяся незаполненной часть области решения выделяется и ее разбиение строится при помощи одного из известных генераторов сеток, базирующихся на граничном представлении областей.

Во второй главе описываются инструментальные средства подготовки и анализа данных для решения пространственных задач математической физики.

Инструментальные средства реализованы в виде пакета прикладных программ библиотечного типа. Пакет предназначен для эксплуатации на компьютерах типа IBM PC, рассчитан на работу в операционной среде MS DOS, входящие в состав пакета программы написаны на языке СИ.

Построена концептуальная модель определяющая систему понятий, используемых для описания алгоритмов решения задач, возникающих на этапах подготовки и анализа данных. Концептуальная модель представлена в виде многосортной алгебраической систамы: А - <M,W,F>, где М-множество объектов, W- »множество отношений, заданных на М, a F- множество операций вида F: М->М.

Множество М неоднородное и является совокупностью нескольких множеств М = М^ Му+ М3+ Мс+ Мр, Мд- множество действительных чисел, Му- множество векторов линейного пространства, MQ- множество геометрических объектов, включающее геометрические примитивы и сложные геометрические

объекты, описываемые комплексными моделями,Мс~ множество геометрических комплексов, Мр- множество графических объектов.

Множество отношений представляется в виде V = V где известные отношения сравнения действительных чисел; -отношения, заданные на множестве векторов

(отношения равенства, коллинеарности, компланарности и др.); Мд- отношения, определенные на множестве геометрических объектов, к ним относятся отношение принадлежности точки объекту, отношения включения и равенства объектов; Ус~ отношения заданные на множестве комплексов, которые включают отношения подчиненности, смежности, принадлежности границе элементов комплекса, а также отношения согласованности комплексов.

Множество Г включает операции следующих типов:

М.,-) ^ - операции на множестве действительных чисел;

Му - операции на множестве векторов линейного пространства Соложение, вычитание, векторные произведения, нормализация);

Г0д: М0-> Мд -операции, заданные на множестве геометрических объектов Соперации геометрических построений, операции геометрических преобразований, теоретико-множественные операции);

*сс: Кс_> Мс ~опеРаи.ии' определенные на множестве комплексов Сдобавление, удаление элементов, определение границы, выделение подкомплексов, сложение согласованных комплексов, элементарные подразбиения комплексов, теоретике- множественные операции, операции геометрических преобразований);

Му-> ^ - операции определения числовых характеристик векторов ;

МсГ> ^ > Мс-> ^ ~ операции численного анализа

геометрических объектов и комплексов;

М0-> Му - операции определения векторных параметров, характеризующих геометрические объекты Свычисление нормалей, касательных, векторов кривизны поверхности и др.); Гор: Ио-> Ир 'Гср: Мо_> ^р " оп^Р31!1111 визуализации геометрических объектов и комплексов;

Мк~> Мо 1тГ> мс ~ опеРа1*ии задания геометрических

объектов и комплексов с помощью чисел;

Гуо: Му-> М0 -операции задания геометрических объектов векторами;

Рсс: Мд-> Мс-операции задания комплексов с помощью геометрических объектов;

?ра: Мр->Ма ,Грс: Нр->МС - операции задания геометрических объектов и комплексов графическим способом и операции идентификации геометрических объектов и комплексов по их графических изображениям.

На основе концептуальной модели и в соответствии с принятым способом организации инструментальных средств разработаны структуры данных для хранения описания объектов введенной алгебраической системы и реализованы процедуры, обеспечивающие выполнение операций и вычисление предикатов отношений, включенных в алгебраическую систему. Указанные процедуры вместе с процедурами обработки данных вошли в состав ядра инструментальных средств. В ядро включены также программы, обеспечивающие создание многооконных графических диалоговых интерфейсов.

Прикладной уровень инструментальных средств образуют модули, соответствующие различным методам решения задач, стоящих перед системами подготовки и анализа данных. В прикладные библиотеки входят модули, обеспечивающие описания расчетных областей с помощью метода перечисления, граничного метода, кинематического метода и метода конструктчвной геометрии. В инструментальные средства включены генераторы, реализующие следующие способы построения плоских и пространственных сеток : фронтальный метод разбиения на треугольники и тетраэдры произвольных сложных тел, генерация сеток с помощью параметрических отображений, кинематический метод, метод объединения плоских сечений и метод, основанный на принципах конструктивной геометрии. Для анализа результатов численного моделирования в прикладные библиотеки включены модули, обеспечивающие визуализацию скалярных и векторных функций, определенных на расчетных сетках, предусматривающие

построение карт изолиний, изоповерхностей, сечений и графиков.

В третьей главе описываются специализированные пакеты, созданные на основе указанных инструментальных средств.

Разработка прикладных систем подготовки и анализа данных с применением инструментальных средств предложенного типа выглядит следующим образом. В соответствии с задачами, стоящими перед формируемой прикладной системой, определяется набор функциональных модулей, которые должны войти в состав разрабатываемой системы. Функциональные модули прикладного уровня инструментальных средств, соответствующие требованиям поставленных задач, включаются во вновь создаваемые системы, а недостающие модули либо пишутся заново с использованием средств ядра, либо получаются в результате модификации готовых библиотечных модулей. При этом наличие базовых средств позволяет значительно упростить процесс внесения изменений.

На основе описанньс инструментальных средств была разработана интегрированная диалоговая система подготовки и анализа данных, предназначенная для решения динамических задач упругости в оболочечных областях. Система включает средства поэлементного описания и редактирования сеток, средства визуализации сеток и результатов численного моделирования. Описываемая система подготовки и анализа данных является не зависимой от расчетных программ. Связь с программами численного решения задач математической физики осуществляется с помощью файлов, содержащих описание сэткй и результатов численного моделирования, Система предназначен для ЭВМ типа IBM PC и рассчитана на работу в операционной среде MS DOS.

Средства описания и редактирования сеток, входящие в состав системы, позволяют в диалоговом режиме выполнять операции по добавлению, удаления узлов и элементов, а также осуществлять подразбиение элементов сетки. В редактор включены процедуры геометрических преобразований, которые могут выполняться в режимах смещения, копирования, размножения и применяться как к отдельному узлу или элементу, так к к группе указанных объектов.

Средства визуализации сеток позволяют получать каркасное

изображение сеток или изображение с удалением невидимых линий на основе методов простой сортировки и метода г-буфера. При этом предусмотрена возможность выбора масштаба, направления обзора и области видимости. Существует возможность выбора по графическому изображении сеток их отдельных узлов и элементов и получения имеющейся о них информацию.

Описываемая система включает средства визуализации результатов численного моделирования, обеспечивающая получение цветных изображений полей скалярных функций и компонент векторных функций, определенных на расчетной сетке, построение карт изолиний и построение деформированных сеток. В процессе анализа результатов также существует возможность по указанию точки на графическом изображении получить информацию о значении функции в соответствующей точке расчетной области.

Представленные в работе инструментальные средства использовались также при разработке пакета программ подготовки и анализа данных, предназначенного для исследования методов построения плоских адаптивных сеток в нестационарных задачах механики сплошных сред. Средства пакета дают пользователю возможность в диалоговом режиме считывать описания расчетных сеток и заданных на них функций, осуществлять вызов процедур, реализующих различные мегоды анализа качества и перестройки сетки, а также переинтерполяции сеточных функций. Для анализа работы выбранных методов используются средства визуализации, аналогичные описанным вине. Пользователь может осуществлять замену модулей, выполняющих перестройку сеток, что позволяет ему с помощью данного пакета проводить отладку алгоритмов адаптации сеток с учетом условий конкретной прикладной задачи.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

-На основе геометрических комплексов, изучаемых в комбинаторной топологии построены новые модели описания геометрических объектов, рассматриваемых на различных этапах подготовки и анализа данных. В рамках указанных моделей объединены различные известные методы представления и

!

дискретизации сложных геометрических объектов. Аппарат комплексных моделей использован для единого описания расчетных областей, сеток, начальных, граничных условий и результатов численного моделирования.

- Разработаны алгоритмы дискретизации пространственных областей, представленных комплексными моделями. Предложен новый эффективный подход к построению сеток, позволяющий выполнять разбиение сложных пространственных областей, описываемых как результат выполнения теоретико-множественных операций над базовыми объектами, представленными комплексными моделями. Разработанный метод позволяет осуществлять быструю корректировку сеток в случае модификации расчетных областей, а также проводить оптимизацию уже сформированных сеток.

Разработан пакет программ, представляющий инструментальные средства построения специализированный систем подготовки и анализа данных в вычислительной физике. Он содержит набор готовых модулей, реализующих различные способы описания и дискретизации сложных пространствэнных областей и различные методы анализа числовых функций, которые могут включаться в прикладные системы подготовки и анализа данных. В состав пакета входят . программные средства, позволяющие автоматизм; овать процесс разработки новых модулей подготовки и анализа данных, соответствующих требованиям конкретных задач математической физики.

- На основе разработанных инструментальных средств построены прикладные пакеты подготовки и анализа данных в вычислительной физике. К ним относится интегрированная диалоговая система подготовки и анализа данных для решения динамических задач упругости в оболочечных областях, а также пакет программ подготовки и анализа данных, предназначенный для исследования методов генерации перестраивающихся адаптивных сеток.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гасилов В. А. .Горбенко А. Я. .Деревянко С. И., Карташева Е. Л. , Маслянкин В. И. .Пасько А. А., Пилюгин В. В. Геометрическое моделирование в вычислительной физике. Тезисы докладов IV Всесоюзной конференции по проблемам машинной графики.-Серпухов, 1987, с.134.

2. Гасилов В. А. .Евсеев Г. А. .Карташева Е. Л. .Маслянкин В. И. , Осокин С.Е.,Пасько A.A. .Рубцов A.A. Вопросы описания и дискретизации геометрических объектов сложной формы в программных комплексах. -Препринт ИПМ АН СССР, 1990, N 102.

3. Карташева Е. Л., Пилюгин В.В. Дискретизация областей сложной формы на основе метода конструктивной геометрии.- Компьютерная графика, 1992, N1, с.18-23

4. Карташева Е. Л., Пилюгин В. В. Решение задачи дискретизации областей сложной формы в рамках прямого метода геометрического моделирования, Тезисы докладов ' второй международной конференции "Компьютерная графика в науке и искусстве" -Графикон-92, Москва, 1992, с. 40

5. Карташева Е. Л. Об одном подходе к разработке систем подготовки и анализа данных для решения прикладных задач математической физики.-Препринт ИММ РАН ,1993, N 38.

6. Карташева Е. Л., Рубцов А. А. Инструментальные средства подготовки и анализа данных для решения прикладных задач математической физики. -Препринт ИММ РАН, 1994, N 6.