автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка алгоритмов вычисления и методика обработки результатов в аналого-цифровом структурном базисе с разделением операндов для систем управления

На правах рукописи

Аунг Вин

Разработка алгоритмов вычисления и методика обработки результатов в аналого-цифровом структурном базисе с разделением операндов для систем управления

Специальность: 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (в приборостроении)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

00345Э74Э

МОСКВА 2008

003459749

Работа выполнена на кафедре «Вычислительная Техника» в Московском Государственном Институте Электронной Техники (Техническом Университете).

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент

Бажанов Евгений Иванович

Официальные оппоненты:

1. доктор технических наук, профессор

Гагарина Лариса Геннадьевна

2. кандидат технических наук Воробьёв Александр Александрович

Ведущее предприятие: ООО РАТЕОС.

Защита состоится « >7» ъг 200,9' года в (6 : на заседании диссертационного совета Д 212.134.02 при Московском государственном институте электронной техники (техническом университете) по адресу: 124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д.5, МИЭТ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИЭТ Автореферат разослан «2£»__2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

Гуреев А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы.

В настоящее время, в большинстве случаев, в системах автоматизированного управления (САУ) реального масштаба времени входная и выходная информация представлена как в цифровом, так и аналоговом виде. Смешанная форма входной и выходной информации обусловливает построение вычислительных устройств таких систем в комбинированном (аналого-цифровом) структурном базисе. В сфере проектирования комбинированных вычислительных структур большая работа проведена зарубежными учеными: Беким Д., Карплюсом У., Корны Г. А., Корны Т. М., Кабешем К., и российскими учеными: Смоловым В. Б., Преснухиным Л. Н., Чернявским Е. А., Формичевым В. С., Пуховым Г. К., Бархоткиным В. А., Бажановым Е. И. и многими другими.

В состав комбинированных вычислительных устройств САУ реального времени неизбежно входят блоки преобразователей информации, не несущих вычислительной нагрузки, что приводит к избыточным структурам. Вследствие аппаратной избыточности ухудшаются массогабаритные, надежностные и другие характеристики САУ, что особенно важно для бортовых САУ. Существуют комбинированные вычислительные устройства, построенные на базе преобразователей информации (Смолов В. Б., Преснухин JL Н,, Бархоткин В. А., Бажанов Е. И). Такой подход построения вычислительных устройств дает возможность минимизировать аппаратную избыточность при проектировании САУ. При этом показано, что при определенных условиях точность комбинированных структур в составе САУ не хуже, чем систем АЦП-ЦВМ-ЦАП. Однако, в большинстве случаев, комбинированные структуры характеризуются достаточно высокой погрешностью вычислений над операндами смешанной формы представления.

Эффективность работы комбинированных вычислительных устройств, также как аналоговых, и цифровых, в значительной мере определяется следующими основными параметрами: точностью, быстродействием и аппаратными затратами, Поэтому улучшение любого из этих трех параметров является актуальной научно-технической задачей. Однако обеспечение приемлемой точности, быстродействия и аппаратных затрат при проектировании комбинированных вычислительных устройств сопряжено с рядом трудностей. Поэтому разработка методов вычислений, улучшающих технические характеристики комбинированных вычислительных структур является актуальной.

Точность любых вычислительных устройств может быть увеличена за счет схемотехнических усложнений или за счет снижения быстродействия (увеличения времени выполнения операций). Схемотехнические усложнения приводят к увеличению аппаратных затрат, что неприемлемо для большинства САУ, особенно, для бортовых. В данной работе рассматриваются программно-алгоритмические методы увеличения точности вычислений, которые не требуют дополнительных аппаратных затрат.

Одним из программно-алгоритмических методов увеличения точности вычислений в цифровой технике является метод двойной разрядной сетки (Кнут Д. Э). Данный метод реализуется при выполнении двух условий:

• вычисление частичных результатов должно выполняться без погрешностей;

• восстановление полного результата также должно выполняться без погрешности.

Однако, в аналого-цифровых устройствах результаты любых арифметических операций отягчены погрешностями. Поэтому разработка методики двойной разрядной сетки для комбинированных вычислительных структур требует определенных исследований.

Настоящая работа посвящена исследованию и разработке метода вычисления с двойной разрядной сеткой для комбинированных вычислительных устройств, построенных на базе вычислительных преобразователей информации.

Цель работы. Целью настоящей работы является разработка методики вычислений на аналого-цифровых устройствах по методу разделения исходных операндов, обеспечивающей увеличение точности выполнения операций.

Основные задачи исследования. Поставленная цель исследований требует решения следующих основных задач:

1. Разработка способов разделения исходных операндов на аналого-цифровых вычислительных устройствах.

2. Анализ возможных вариантов восстановления полного результата вычислений.

3. Разработка вариантов компенсации погрешностей результатов вычислений.

4. Анализ зависимости погрешностей результатов от способа разделения исходных операндов и вариантов восстановления полного результата.

5. Анализ зависимости погрешностей от вариантов их компенсации.

6. Верификация результатов исследования посредством

моделирования.

Методы исследования. Основные результаты работы получены на основе применения теории погрешностей, теории вероятностей, теории вычислений по принципу разделения операндов, метода графического программирования и теории имитационного моделирования.

Научная новизна работы. Наиболее значимые научные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Предложен принцип формирования контрольных разрядов при симметричном и асимметричном разделениях исходных операндов.

2. Предложены варианты восстановления полного результата и разработана методика коррекции результата вычислений на основе анализа контрольных разрядов.

3. Определена зависимость точности результата от вариантов его формирования и места расположения контрольных разрядов.

4. Разработана методика вычислений по принципу симметричного и асимметричного разделения исходных операндов для аналого-цифровых устройств.

Практическая ценность. Результаты, полученные в работе, позволяют увеличить точность вычислений на комбинированных вычислительных устройствах. Например, если результат операции умножения на 12 разрядном аналого-цифровом устройстве формируется с эквивалентной точностью по 10 разряду, то благодаря вычислению по принципу симметричного разделения операндов результат можно получить выше с эквивалентной точностью по 16 или 22 разряду при разделении операндов пополам. При вычислении по принципу асимметричного разделения операндов результат можно получить выше с эквивалентной точностью по 13 или 16 разряду при разделении операндов на 3 разряда старшей части и 9 разрядов младшей части. Однако симметричное разделение позволяет увеличить точность не во всех случаях, а асимметричное разделение позволяет увеличить точность в любых случаях.

Реализуемость предложенных методов подтверждена результатами аналитического и компьютерного моделирования. Разработанные методики увеличения точности вычислений могут быть применены в различных отраслях науки, техники для решения точностных характеристик, возникающих при внедрении систем автоматизированного

управления, построенных на основе аналого-цифровых вычислительных устройств. Применение разработанных методик позволяет увеличить точность вычислений аналого-цифровых вычислительных устройств без требования дополнительных аппаратных затрат.

Апробация работы. Основные результаты работы представлены и обсуждены на ряде научно-технических конференций, в частности:

1. Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов "Микроэлектроника и Информатика", Зеленоград, Москва, 2006 г., 2007 г., 2008 г.

2. Научная сессия МИФИ "Информатика и процессы управления. Компьютерные системы и технологии", Москва, 2008 г.

Публикации. По результатам исследований, выполненных в диссертационной работе, опубликовано 11 печатных работ, в том числе 1 статья в издании, входящем в перечень ВАК, без соавторов опубликовано 4 работы.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты исследований:

• Принципы симметричного и асимметричного разделения исходных операндов.

• Варианты восстановления результата вычислений.

• Методика коррекции результата на основе анализа контрольных разрядов.

• Зависимость точности от вариантов восстановления результата и места расположения контрольных разрядов.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, и списка литературы, включающего73 наименований и изложена на 158 страницах машинописного текста, содержит 24 таблицы, 36 рисунков и графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приводится обзор публикаций по тематике диссертационной работы, сформулированы цель и основные задачи исследования, а также представлены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведен обзор принципов построения аналого-цифровых устройств и анализ погрешностей выполнения на них арифметических операций. Рассмотрены аналого-цифровые вычислительные устройства с дискретно управляемыми параметрами

(резисторные ВУ и индукционно-резисторные ВУ) и аналого-цифровые вычислительные устройства с непрерывно импульсными параметрами (время-импульсные ВУ, частотно-импульсные ВУ и число-импульсные ВУ). Аналого-цифровые вычислительные комплексы включают АВУ, ЦВУ и КВУ, а так же решающие элементы АРЭ, ЦРЭ и КРЭ. В свою очередь, в зависимости от состава вычислительной части, аналого-цифровая вычислительная техника разделена на аналоговые составляющие (АВМ с цифровым управлением и АВМ с цифровыми блоками) и цифровые составляющие части (ЦВМ с аналоговой структурной и ЦВМ с аналоговыми решающими устройствами).

Проведен анализ погрешностей комбинированных вычислительных устройств. Установлено, что для увеличения точности на основе метода вычисления с двойной разрядной сеткой и методики коррекции с помощью анализа контрольных разрядов необходимо определить значение погрешности с целью назначения места расположения контрольных разрядов. Поэтому определены примерные случайные и систематические погрешности аналого-цифрового арифметического устройства АЦАУ, построенного на базе преобразователей информации. Результаты анализа показали, что на АЦАУ операция умножения со сложением выполняется с систематической погрешностью 0,091%, что эквивалентно десяти достоверным двоичным разрядам и операция деления со сложением выполняется с систематической погрешностью 0,11%, что эквивалентно девяти достоверным двоичным разрядам.

Далее проведен анализ точностных характеристик комбинированных вычислительных систем на основе двух архитектурных решений: системы АЦП-ЦВМ-ЦАП и системы, построенной по принципу совмещения выполнения на преобразователях информации как преобразовательных, так и арифметических операций. Результаты анализа показали, что в любых вычислительных архитектурах операции над операндами в смешанной форме представления выполняются с погрешностями. Поэтому разработка методики вычислений, позволяющей повысить точность результатов вычислений, является актуальной для аналого-цифровых устройств САУ.

Рассмотрены программно-алгоритмические методы увеличения точности вычислений, такие как, метод вычисления с двойной разрядной сеткой, метод устранения погрешности введением охранных разрядов, методика коррекции результатов на основе анализа двух отсчетов и арифметические коды, корректирующие ошибки операций. Из перечисленных методов в диссертации предложено рассмотреть два метода для увеличения точности комбинированных вычислительных устройств: метод двойной разрядной сетки и методику коррекции

результата операции.

Сформулированы основные задачи дальнейшего исследования, которые решаются в последующих главах, а именно:

• Исследование способов увеличения точности вычислений на основе симметричного и асимметричного разделения исходных операндов.

• Исследование возможных вариантов восстановления результата вычислений по принципу разделения исходных операндов.

• Разработка методики коррекции результатов операции.

• Исследование зависимости точности результатов от вариантов восстановления, способа разделения и места расположения контрольных разрядов.

• Верификация результатов исследований посредством программного моделирования.

Во второй главе исследована возможность реализации метода разделения исходных операндов на аналого-цифровых вычислительных структурах. Для реализации этого метода, на примере операции умножения, необходимо: 1) частичные произведения должны выполняться без погрешностей; 2) восстановление полного произведения (сумма частичных произведений) также должно выполняться без погрешностей. Однако, в комбинированных вычислительных устройствах результаты любых арифметических операций отягчены погрешностями. Поэтому очевидно, что непосредственное использование метода вычисления с двойной разрядной сеткой в комбинированных вычислительных устройствах невозможно. В данной работе предложен метод, основанный на формировании результата путем замены младшей части полного произведения с младшей частью суммы частичных произведений, как показано на рисунке 1.

Полное произведение 123 ... VCKK... п

Сумма частичных произведений 123 ..л^СКК ... п ... 2п

Рис 1. Формирование результата операции сочленением полного произведения с суммой частичных произведений.

Увеличение точности, при этом, ожидается за счет меньшей инструментальной погрешности суммы частичных произведений. Однако, наличие погрешности в полном произведении может вызвать изменение в старших разрядах этого результата, например, ООО 111+1=001 ООО или 010 000-1=001 111 для величин, представленных в двоичном коде. В таких

случаях простое сочленение полного произведения с младшей частью суммы частичных произведений приведет к увеличению его погрешности вместо ее уменьшения. Для компенсации погрешности старшей части предложена методика ее коррекции на основе анализа различных сочетаний одинаково сформированных частей полного произведения и суммы частичных произведений. Одинаково сформированные части условно можно назвать "контрольными разрядами".

Таблица 1. Значения квантов для коррекции полного произведения.

контрольные разряды полного результата (старшей части) контрольные разряды суммы частичных результатов (младшей части)

000 001 010 011 100 101 110 111

ООО 0 0 0 н н Н -01 -01

001 0 0 0 0 н н н -10

010 0 0 0 0 0 н н н

011 н 0 0 0 0 0 н н

100 н н 0 0 0 0 0 н

101 н н н 0 0 0 0 0

110 +10 н н н 0 0 0 0

111 +01 +01 н н н 0 0 0

Коррекция выполняется в соответствии с алгоритмом (рис. 2) и с таблицей 1, где н- не возможные сочетания контрольных частей.

Следует отметить, что в данной работе термины "разряд", "разрядная сетка" относятся к цифровых операндам. Применение этих терминов к аналоговым операндам является условным и используется с целью удобства формализации рассуждений. Правомерность такого подхода обосновывается возможностью поставить в соответствие разрядам цифровых операндов кванты напряжения аналоговых операндов, что и производится при оцифровке аналоговых операндов.

Далее во второй главе разработаны и исследованы различные способы формирования контрольных разрядов (квантов) для различных вариантов разделения исходных операндов. При симметричном {Ыст = Nт) разделении одинаково сформированные разряды начинаются со старшего разряда. При асимметричном ст ф Nш ) или (Ист < N ш) разделении и (Л^ ст = ш) одинаково сформированные разряды начинаются с (2ЛГш+1) разряда; при (Ма_ст * Ыь ст) с {Ка_сп, + Иь_ст +1) разряда, где А^, Л^.,, К_спЛ_ст~ количество разрядов старшей и младшей части соответствующих операндов а и Ь.

Количество одинаково сформированных разрядов можно определить по формуле Ь = п-2Ыст. Если р,ц,г разряды (кванты), назначенные в качестве контрольных, то их значения можно определить по следующим формулам

Р-1

Р = Рч+^а,*Ьн, (1)

/=1

<? = Л + 2^ ' V" (2)

/=1

г-1

г = />,(3)

1=1

где а„Ьр_иЬч,кЬы - значения соответствующих разрядов операндов а,Ь ; РЧ,РГ,Р3 - перенос из д,г,$разрядов, где разряд справа от г-го разряда, р > 2Ыст +1.

Номера контрольных разрядов целесообразно назначать в зависимости от максимального значения погрешности операции. Например, если величина максимальной систематической погрешности выполняемой операции соответствует погрешности т -го разряда, то контрольными должны быть (т-2),(т-1),т разряды, где т<п, п-разрядность вычислительного устройства.

В диссертации предложены и исследованы 4 варианта восстановления результата вычислений при симметричном разделении исходных операндов:

1. Коррекция старшей части полного результата и замена его младшей части с младшей частью суммы частичных произведений.

2. Замена младшей части полного результата без контрольных разрядов младшей частью суммы частичных произведений и коррекция полученного результата.

3. Замена младшей части полного произведения младшей частью суммы частичных произведений, включающей контрольные разряды и коррекция полученного результата.

4. Коррекция младшей части суммы частичных произведений, включающей контрольные разряды, и замена откорректированного результата младшей частью полного произведения.

Исходны* Симметрично« реэделение

операнды исходных опере идо»

1

Выполнение ПОЛНОГО произведения Выполнение Выполнение частичных перемножений

произведений

Рис 2. Алгоритм коррекции полного результата и формирование результата.

При симметричном разделении сумму частичных произведений можно определить по формуле

ЯР = аст •Ьст+ М(аст • Ьт + аш • Ьш + М • аш • Ъш) (4)

где ЯР- сумма частичных произведений, аст, аш, Ьст ЬЛп - старшие и младшие разряды (дискреты напряжения для аналоговых операндов) операндов а и Ь, М = - масштабный коэффициент.

Для первого варианта восстановления логика коррекции старшей части приводит к результату, приведенному в таблице 1. Для вариантов 2, 3, 4 логика коррекции результата производится по алгоритму, показанному на рис 3. Для второго, третьего и четвертого вариантов восстановления логика коррекции приводит к результатам, приведенным в таблицах 2, 3, 4.

Таблица 2. Значения квантов коррекции для второго варианта

восстановления результата.

контрольные разряды полного результата (старшей части) контрольные разряды суммы частичных результатов (младшей части)

000 001 010 011 100 101 110 111

ООО 0 0 +1 н н н -1 -1

001 0 0 0 +1 н н н -1

010 -1 0 0 0 +1 н н н

011 н -1 0 0 0 +1 н н

100 н н -1 0 0 0 +1 н

101 н н н -1 0 0 0 +1

110 +1 н н н -1 0 0 0

111 +1 +1 н н н -1 0 0

Таблица 3. Значения квантов коррекции для третьего варианта

восстановления результата.

контрольные разряды полного результата (старшей части) контрольные разряды суммы частичных результатов (младшей части)

000 001 010 011 100 101 110 111

000 0 0 -1 н н н -111 -111

001 0 0 0 -1 н н н -111

010 +1 0 0 0 -1 н н н

011 н +1 0 0 0 -1 н н

100 н н +1 0 0 0 -1 н

101 н н н +1 0 0 0 -1

110 +111 н н н +1 0 0 0

111 +111 +111 н н н +1 0 0

Таблица 4. Значения квантов коррекции для четвертого варианта _восстановления результата._

контрольные разряды полного результата (старшей части) контрольные разряды суммы частичных результатов (младшей части)

000 001 010 011 100 101 110 111

000 0 0 -1 н Н н +10 +1

001 0 0 0 -1 н н X +1

010 +1 0 0 0 -1 н н н

011 н +1 0 0 0 -1 н н

100 н н +1 0 0 0 -1 н

101 н н н +1 0 0 0 -1

110 -1 н н н +1 0 0 0

111 -1 -10 н н н +1 0 0

При асимметричном разделении сумму частичных произведений можно определить по формуле

ЗР = аш * ьш + аш • ьа„ + м • • Ьш (5)

Восстановление результата при асимметричном разделении может быть выполнено по 1, 2, 3, 4 вариантам. Кроме этих 4 вариантов восстановления результата предложена дополнительная методика восстановления и коррекции результата. Восстановление производится сочленением старшей части полного произведения (без контрольных разрядов) с суммой частичных произведений. Коррекция выполняется в соответствии с таблицей 5. Алгоритм коррекции результата производится на основе анализа позиции сформирования погрешности в результате. Отличие здесь в том, что из уравнения 5 следует, что не нужно учитывать погрешность частичного перемножения (аст • Ъш). При этом определение истинного значения контрольных разрядов (контрольных квантов) становится более простым, а результат получается более точным. Кроме этого из таблицы 5 видно, что может быть достигнута большая эффективность вычислений по методу разделения операндов, так как при асимметричном разделении можно корректировать такие сочетания: (ООО-ООО, 001-001, ..., 111-111) и (000-001, 001-000, ...ЛП-000, Ш-110), которые невозможно корректировать в таблицах 1-4.

Рис 3. Блок схема алгоритма коррекции для второго, третьего и четвертого вариантов восстановления результата.

Таблица 5. Таблица коррекции для асимметричного разделения

операндов.

контрольные разряды полного результата (старшей части) контрольные разряды суммы частичных результатов (младшей части)

ООО 001 010 011 100 101 110 111

ООО +1.-1,0 -1,0 -1 н н н -1 +1,-1

001 +1,0 +1,1,0 -1,0 -1 н н н +1

010 +1 +1,0 +1,1,0 -1,0 -1 н н н

011 н +1 +1,0 +1,1,0 -1,0 -1 н н

100 н н +1 + 1,0 +1,1,0 -1,0 -1 н

101 н н н +1 +1,0 +1,1,0 -1,0 -1

110 -1 н н н +1 +1,0 +1,1,0 -1,0

111 -1.+1 +1 н н н +1 +1,0 +1,1,0

Для примера на рисунках 4,5 показаны блок-схемы алгоритмов коррекции для сочетаний контрольных разрядов (000-001, 001-010, 010011, 011-100, 100-101, 101-110, 110-111) и (001-000, 010-001,011-010, 100011, 101-100, 110-101,111-110).

Рис 4. Алгоритм коррекции для сочетаний контрольных разрядов Рис 5. Алп>ритм коррекции для сочетаний контрольных разрядов (000-001. 001-010, 010-011, 011-100. 100-101. 101-110. 110-111). (001-000, 010-001. 011-010. 100-011, 101-100. 110-101. 111-110!.

Третья глава посвящена анализу эффективности вычислений по принципу симметричного и асимметричного разделения исходных операндов в зависимости от места расположения контрольных разрядов (квантов).

В диссертации проведен анализ зависимости точности результата вычислений от вариантов его восстановления для различных сочетаний контрольных разрядов полного произведения и суммы частичных произведений при симметричном разделении исходных операндов. При этом рассмотрены четыре возможных варианта конфигурации результирующего кода суммы частичных произведений:

х1 х2 х3 ... к"1-2 к™-1 кт 0т+1... О" ... 0т+№т... 0т+Шт... х2п х' х2 х3 кт"2 к"1*1 Кт 1111+1 1" |т+Л'сга |т+Ист

X1 X2 х3'.'.'. кт-2 Кт-' кт 0га+1.'.'. х" хт^стхт+Шт ... х2п X1 х2 X3 Кт"2 к"1"1 Кт 1т+1 х" уП+Мст ^п

где верхние индексы обозначают номера разрядов; 'х' е (0, 1).

Эффективность использования различных вариантов восстановления результата определяется вероятностью того, что после его коррекции точность останется на первоначальном уровне т разрядов. Тогда эффективность вычислений можно оценить по формуле

2'1п-пк-гыст 21"-"1'-Щт $(сочетания) ~ (К ■ , ~гп ' г +

2' 2' (6)

--2,-—5-)).-=—.100%

4 2 2« 2 2

где 8(сочета„ия)- вероятность получения результата после коррекции с

от-разрядной точностью для каждого сочетания контрольных разрядов, к2-

возможные варианты изменения из-за погрешности контрольных разрядов

суммы частичных произведений, Иг невозможные варианты коррекции из

/г2, пк- количество контрольных разрядов. Очевидно, что при данном

подходе высокая вероятность по (6) соответствует низкой эффективности

варианта коррекции и восстановления результата. В таблице 6

представлена эффективность использования различных вариантов

восстановления результата. Из таблицы 6 видно, что при организации

операции по первому варианту приблизительно в 27 % случаев

увеличивают точность. При вычислении по второму, третьему и

четвертому вариантам выше т-разрядной точностью имеют,

соответственно, в 67%, 67% и 62% случаев.

На рис 6 показана эффективность вычислений для различных

истинных значений контрольных разрядов (квантов) при симметричном

разделении.

Таблица 6. Эффективность вариантов восстановления результата при _симметричном разделении исходных операндов._

Сочетание Вероятность получения результата после коррекции выше m-разрядной точности(%)

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

000-110 0,02 99,98 99,98 0

000-111 50 50 50 50

001-111 0,02 99,98 99,98 99,98

110-000 0,02 99,1 99,98 99,98

111-000 50 50 50 50

111-001 0,02 99,98 99,98 0

(000-000,.. .,111-111) 33,3 33,3 33,3 33,3

(000-001,...,110-111) 50 50 50 50

(001-000.....111-110) 50 50 50 50

(000-010,...,101-111) 0,01 99,98 - 99,98

(010-000,...,111-101) 0,02 99,98 - 99,98

Среднее значение 26,7% 66,7% 66,7% 61,7%

i 60 -о

Ь

S 50 -

-вармант_1 -вар/ант_2 -вариант_3 -вариант_4

010 011 100 101 110 истинное значение контрольных разрядов

Рис б. Эффективность вычислений при симметричном разделении. Определение эффективности вычислений по принципу асимметричного разделения исходных операндов и симметричному восстановлению результата проведено аналогично предыдущему. Отличие заключается в том, что при данном методе не необходимости учитывать погрешность ш-разряда суммы частичных произведений. Результаты анализа сведены в таблицу 7.

Таблица 7. Эффективность вариантов восстановления результата при асимметричном разделении исходных операндов.

Сочетание Вероятность увеличения точности (%)

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

000-110 100 98,4 98,4 98,4

000-111 100 100 50 50

001-111 100 98,4 98,4 100

110-000 100 98,4 98,4 100

111-000 100 100 50 50

111-001 100 98,4 98,4 98,4

(000-000,. ..,111-111) 100 100 100 100

(000-001,...,110-111) 100 97,9 100 100

(001-000,...,111-110) 100 97,9 100 100

(000-010,...,101-111) 100 97,9 100 100

(010-000,...,111-101) 100 98,4 100 100

Среднее значение 100 98,6 97,3 97,3

На рис 7 показана эффективность вычислений при асимметричном разделении операндов для различных истинных значений контрольных разрядов.

100

40-

- вариакМ -вариант_2

- вариант_3 -варианту

ООО

001 010 011 100 101 110 истинное значение контрольных разрядов

Рис 7. Эффективность вычислений при асимметричном разделении При вычислении по асимметричному разделению исходных операндов и асимметричном восстановлении результата получены значения точности, приведенные в таблице 8.

Таблица 8. Зависимость точности от сочетаний

контрольных разрядов.

Сочетание контрольных разрядов полного произведения п суммы частичных произведений Истинное значение контрольных разрядов равно Результат с разрядной точностью

000-000, 001-001, 010-010, 011-011, 100-100, 101-101, ио-ио, ш-ш сочетают ((«-г ЛГМ) или (т * ЛГгя ^ 1) ши .. .(2 п -1) или (2л))

сочетанию^ 1 сочетаннгот-1 {(»! -г 2.Угж) или (ш + 2Лгт ~ 1) или. Мп-1) или (2и))

000-111,000-001, 001-010, 010-011, 011-100, 100-101, ¡01-110, 110-Ш; 001-000, 010-001, 011-010, 100-011, 101-100, 110-101, 111-000,111-110 значению контрольных разрздов ПОЛНОГО произведения ((т-!-2Л?гя) или (т -г 2Л'ги -г 1)ипн ...(2л-1) или (2п))

значению контрольных суммы частичных произведений ((ст + Лг:ж) или {т -г Л^, 1) ИЖ1.. .(2 п -1) или (2л))

000-010, 001-011, 010-100,011-101, 100-110, 101-111; 001-111, 010-000. 011-001,100-010, 101-011, 110-100, 110-000 Ш-101. среднему значению сочетания ((ю +2Л'а.) или (т -2Лгг„ - 1)нли ...0 л - 3) или (2;?))

000-110, 1U-001 111,000 ((т-г- Лгг»,)нт1(га + Л^,- 1)или ...(2 к- 1)или (2и))

Затем в третьей главе проведен анализ эффективности выполнения

операции по методу разделения исходных операндов при различном расположении контрольных разрядов (контрольных квантов напряжения):

a) (т-2), (т-1), (т);

b) (т-3), (т-2), (т-1);

c) (т-1), (т), (т+1).

Эффективность выполнения операции по методу разделения операндов при расположении контрольных разрядов по варианту (Ь) и (с) оценена на основе ее сравнения с вариантом (а). Значения эффективности вариантов восстановления результата в таблицах коррекции (1-5) и таблицах (6-8) получены при расположении контрольных разрядов по варианту (а). Проведено сравнение эффективности выполнения операции при расположении (а) и (Ь) на примере сочетания контрольных разрядов (110-000). Ранее было условлено, что погрешность выполнения операции не превышает ±1 т- разряда. При этом истинное значение контрольных разрядов необходимо принять 111, а значение т- разряда полного результата и суммы частичных произведений может быть 1 либо 0.

Следовательно, за счет погрешности ±1 т- разряда невозможно получить данное сочетание (110-000). Поэтому при расположении контрольных разрядов по варианту (Ь) кроме невозможных сочетаний контрольных разрядов, обозначенных 'н' в таблицах 1-4, такие сочетания как (000-010, ..., 101-111) и (010-000, 111-101) также следует считать невозможными. При этом из таблицы 6 видно, что для всех вариантов восстановления результата среднее значение эффективности вычислений составляет 44%, т. е. вариант расположения контрольных разрядов (Ь) дает низкую эффективность выполнения операции для большинства вариантов восстановления результата.

При расположении контрольных разрядов по варианту (с), в отличие от первых двух вариантов, все сочетания контрольных разрядов, содержащиеся в таблице коррекции, возможны, так как при таком расположении один из двух контрольных разрядов (т), (т+1) полного произведения может быть отягчен погрешностью.

Однако, алгоритм коррекции при этом усложняется, следовательно, время реализации метода увеличивается. Таким образом, можно сделать вывод, что для получения эффекта увеличения точности расположение контрольных разрядов по варианту (а) наилучшее.

В четвертой главе произведена верификация результатов диссертации посредством программного моделирования разработанных методик в среде Lab VIEW и MATLAB.

Результаты моделирования выполнения операции умножения по асимметричному разделению и коррекции по первому варианту симметричного разделения показаны на рис 8, 9. Коррекция выполняется по алгоритму, показанному на рис 2. Точность результата вычислений до и после коррекции показана на рис 9.

Из таблицы 6 третьей главы следует, что восстановление результата по первому варианту для сочетания контрольных разрядов (000-110) не улучшает точность в 99,98% случаев. Это значение можно определить следующим образом:

2¿n-"k 22"~"k~2-Nm

5(ooo-iio) =((—y„ 2- 7Гп ) +

(7)

2ln-nk-2.Nc„, 22"-"k-2Ncm 22"

--5-.1 +-5-.3).—-.100%

2 .3 2 .3 2 "к

где £(ооо-по)" эффективность вычислений для сочетания контрольных

разрядов (000-110), п- разрядность представления исходного операнда, щ-количество контрольных разрядов.

~ -¿.■■•а.у .............

—\01000001и00 | ^дамойм^П ооэошоошоо

ЮМООООодо 11061410001000 }

____ __

17о/сУооо^ ооо" |

У"**?,?*?? М- о/рагй\

¡соооооооо/оаооододоооооо\ . Щ'оооодоо6о6(^Ь(юоо666оа Г

•и™.---т-г^р-^--"-Г—1 _• --------------1

¡л.**:.

:;; . *.оооооооооТооооооооооуооо

' '<*> ^ 4]■>'•> ""Т..............."""

■ Зд!ОСО$до1о100101000}обо" I

- ■ ■——■----—' ■■.'.' ■— " " ■

■ •

'. О,::? : . ____?

имуоеооооюомюоеюоо

111111 Ш

/'не Алгоритм выполнения операции умножения.

• V

г

I °4

Я

в

о

0

1

э <0 о. о

о

и <

1 4 7 Й Й 13 14 га

Операция случайными операндами

рк*уль1ат полного ярояжяенкя;

—_ простая замена младше» часта полного результата суммой частичных произведений;

_коррекция старшей части полного результата я замена его младшей части суммой

частичных произведений.

Рис 9. Погрешность до и после коррекции результатов вычислений. Пусть а = 2п,Ь = 2п-пк,с = 2п-пк ~2.Ист, тогда

гуЬ о С <уС

^000-110) =(--2.— +-+ —)—.100%

(ооопо) 2а г ъ 2а 2

— (2а -2с+1 +И + 2с).^-.100%=4-

2° 3 2 2

2

где^ = 2*-2С+1+ —+ 2е. Используя (7) для 4 вариантов

восстановления результата эффективность вычислений можно определить математической моделью:

ЬщкштД +¿5, + +1)/С4)].100%

3.2 2 2 ^

_ 46.2е +16.5, 2.53+14.54

■Ьй^шят_2 = 11 - ((-~Ь-+--''Ск)\Л00%

п» 1 ^С+1

■>4 тС+1 . ^ , ос е ос+1 , пС п .

где 52 = 2 -2 + + =2" -2С+1 +2С,54 =2* + —,

Ск =5.2"* - количество возможных сочетаний контрольных разрядов, где пк > 2 и погрешность не выше ±1 младшего контрольного разряда.

Для симметричного разделения исходных операндов количество разрядов старшей части постоянно, однако эффективность вычислений зависит от количества контрольных разрядов. Результат моделирования этот зависимость показан на рис 10.

Анализ результатов моделирования показал, что увеличение количества контрольных разрядов приводит к увеличению эффективности вычислений при всех вариантах восстановления результата.

Для асимметричного разделения и восстановления результата по 4 вариантам эффективность вычислений определяется следующими формулами:

5варитт_\ =[1-0] .100%

1 £ 9 с +149 ^

5дариши 2 =[!-(( 1 '—)/едюо%

2С+1 2Ь + 2е Ъ^^з =11 - + 2,—^)/С,)].100%

[ Пв СЛ V«« Ье*^ Тм* Й О 'В в [3

■ ■■■■ ■■■ ........=!

ээ г й Л *> г ¡з 60 й г ■К

Г'" / -_____

.

—*—пк*3 --чЭ-'-пкьй —'—

2 > 4

Рис 10. Среднее значение (%) возможности увеличения точности на каждом варианте восстановления результата.

•>>«»«•> ........ щей].

Рис 11. Зависимость эффективности вычислений от количества разрядов старшей части.

Рис 12. Зависимость эффективности вычислений от количества контрольных разрядов. Анализ результатов моделирования по (11-12) зависимости эффективности вычислений от количества разрядов старшей части и от количества контрольных разрядов показал, что для асимметричного разделения операндов при увеличении количества разрядов старшей части эффективность вычислений увеличивается. Увеличение количества контрольных разрядов также приводит к увеличению эффективности вычислений.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1. Произведена классификация аналого-цифровых вычислительных устройств. Оценена погрешность выполнения арифметических операций на аналого-цифровых вычислительных устройствах и рассмотрены программно-алгоритмические методы уменьшения погрешности.

2. Разработана методика вычисления по методу разделения операндов для аналого-цифровых вычислительных структур, позволяющая увеличить точность вычислений. Введено понятие контрольных разрядов для симметричного и асимметричного разделения исходных операндов. Разработана методика коррекции результата вычислений на основе анализа контрольных разрядов.

3. Предложены и исследованы принципы вычислений для аналого-цифровых структур по симметричному и асимметричному

разделению исходных операндов. Симметричное и асимметричное разделение позволяют повысить точность результата до 16-22 и 13-16 эквивалентных разрядов.

4. Разработаны варианты восстановления результата операции для симметричного и асимметричного разделения исходных операндов. Разработана методика и таблицы коррекции для различных вариантов восстановления результата.

5. Проведен анализ зависимости эффективности вычислений от вариантов восстановления результата по симметричному и асимметричному разделению исходных операндов. При симметричном разделении разработанные варианты дают эффективность увеличения точности в 27%, 67%, 67% и 62% случаев и при асимметричном разделении в 100%, 99%, 97% и 97% случаев, соответственно.

6. Рассмотрена эффективность вычислений при разном расположении контрольных разрядов.

7. Показано, что рациональное количество контрольных разрядов-3, так как увеличение количества контрольных разрядов приведет к увеличению сочетания контрольных разрядов, следовательно, алгоритм коррекции усложняется и время его выполнения увеличивается.

8. Назначение количества контрольных разрядов меньше 3 не позволяет определить истинное значение контрольных разрядов, следовательно, исключает возможность коррекции результата.

9. Произведена верификация разработанных методик посредством их математического и программного моделирования.

10. Рассмотрена зависимость эффективности вычислений от количества контрольных разрядов с помощью математического моделирования. При коррекции результата 4 и 5 контрольными разрядами эффективность еще можно увеличить в 16-54% случаев при симметричном разделении и в 1-2% случаев при асимметричном разделении.

Результаты, полученные в работе, позволят увеличить точность вычислений на комбинированных вычислительных устройствах. Применение разработанных принципов вычислений для комбинированных вычислительных устройств актуально, особенно для бортовых САУ, так как не требует дополнительных аппаратных затрат для реализации этих принципов.

Список публикаций по теме диссертационных исследований

1. Аунг Вин. Метод разделения операндов в аналого-цифровом вычислительном устройстве. Конференция «Мэ и Инф», МИЭТ, апр. 2006 г., с. 228.

2. Мьо Мин Тан., Аунг Вин. Сокращение аппаратных затрат при организации вычисления по принципу разделения операндов. Сб. трудов под ред. Бархоткина, МИЭТ, 2006 г., с. 172-176.

3. Аунг Вин., Мьо Мин Тан. Коррекция погрешностей вычислений по методу разделения операндов в аналого-цифровых структурах. Сб. трудов под ред. Бархоткина, МИЭТ, 2006 г., с. 177-182.

4. Аунг Вин. Организация вычислений по методу разделения операндов в аналого-цифровом вычислительном устройстве. Конференция «Мэ и Инф», МИЭТ, апр. 2007 г., с.226.

5. Аунг Вин. Реализация принципа вычисления с двойной разрядной сеткой на аналого-цифровом вычислительном базисе. Научная сессия МИФИ-2008, сборник научных трудов, Том 12, с.149-150.

6. Аунг Вин. Увеличение точности комбинированных вычислительных средств. Конференция «Мэ и Инф», МИЭТ, апр. 2008 г., с.187.

7. Е. И. Бажанов, Аунг Вин. Оценка точности вычислений с двойной разрядной сеткой на аналого-цифровых вычислительных устройствах. Сб. трудов под ред. Бархоткина, МИЭТ, 2008 г., с. 136-142.

8. Аунг Вин., Бажанов Е. И. Реализация метода вычисления с двойной разрядной сеткой в аналого-цифровом структурном базисе. «Естественные и технические науки». № 2, 2008. с.418-421.

9. Бажанов Е. И., Мьо Мин Тан, Аунг Вин. Аналого-цифровой преобразователь. Заявка на патент № 2007139042 от 23.10.2007.

10. Бажанов Е. И., Аунг Вин. Программа для ЭВМ, регистрационный № 2008615229 от 13 ноября 2008 г. «Способ увеличения точности результата вычислений по методу разделения операндов для аналого-цифровых вычислительных устройств ».

11. Бажанов Е. И., Аунг Вин. Программа для ЭВМ, регистрационный № 2008615230 от 13 ноября 2008 г. «Программа расчета эффективности вычислений по методу разделения операндов и вариантам восстановления результата для аналого-цифровых вычислительных устройств АЦВУ ».

Подписано в печать: Заказ Тираж^экз. Уч.-изд.л.^. Формат 60x84/16 Отпечатано в типографии МИЭТ(ТУ) 124498, Москва, МИЭТ(ТУ)

Введение.

Глава 1. Обзор методов построения и анализ точностных характеристик аналого-цифровых вычислительных устройств.

1.1. Классификация аналого-цифровых вычислительных устройств.

1.2. Анализ погрешностей аналого-цифровых вычислительных устройств.

1.3. Сравнительный анализ погрешностей выполнения арифметических операций в системах ЦАП-АВМ-АЦП, АЦП-ЦВМ-ЦАП и АЦВУ.

1.4. Программно-алгоритмические методы увеличения точности вычислений.

Глава 2. Реализация вычислений по методу разделения исходных операндов на аналого-цифровых вычислительных устройствах.

2.1. Анализ возможности увеличения точности результата операции методом разделения исходных операндов на аналого-цифровых вычислительных устройствах.

2.2. Формирование контрольных разрядов полного результата и частичных результатов операции.

2.3. Методы восстановления результатов вычислений при симметричном разделении исходных операндов.

2.4. Методы восстановления результатов вычислений при асимметричном разделении исходных операндов.

Глава 3. Анализ эффективности вычислений по методу разделения исходных операндов для различных вариантов восстановления результата вычислений.

3.1. Анализ эффективности вычислений при симметричном разделении исходных операндов и восстановлении результатов.

3.2. Анализ эффективности вычислений при асимметричном разделении исходных операндов и симметричном восстановлении результата.

3.3. Анализ эффективности вычислений при асимметричном разделении исходных операндов и коррекции по определению позиции сформирования погрешности на основе контрольных разрядов.

3.4. Анализ эффективности вычислений при различном расположении контрольных разрядов.

Глава 4. Верификация результатов диссертационной работы посредством программного моделирования.

4.1. Моделирование выполнения вычислений по методу разделения исходных операндов на примере операции умножения.

4.2. Моделирование эффективности вычислений при симметричном разделении исходных операндов.

4.3. Моделирование эффективности вычислений при асимметричном разделении исходных операндов.

В настоящее время средства вычислительной техники широко применяются во всех отраслях народного хозяйства, науки и техники. Электронные вычислительные машины в зависимости от представления и переработки информации принято разделять на три основных класса: цифровые, аналоговые и комбинированные машины. Создание комбинированных (аналого-цифровых) вычислительных машин преследует цель объединить преимущества как аналоговых (быстродействие, простота, надежность), так и цифровых (точность, решение логических задач) машин.

Одной из особенностей современных систем автоматизированного управления (САУ) процессами и объектами является разнородный характер представления информации, т.е. смешение цифровой и аналоговой форм. При этом непосредственное использование в САУ аналоговых и цифровых вычислительных машин затруднено, что привело к использованию гибридных (комбинированных) средств вычислительной техники. В сфере проектирования комбинированных вычислительных структур большая работа проведена зарубежными учеными: Bekey G. А., Karplus W., Korn G. А., Korn Т. М., Кабеш К.; и российскими учеными: Смоловым В. Б., Преснухиным JI. П., Фомичевым В. С., Пуховым Г. К., Бархоткиным В. А., Бажановым Е. И, Чернявским Е. А. и многими другими. Комбинированные вычислительные машины реализуются на основе: а) сочетания аналоговых и цифровых вычислительных устройств; б) элементов с неразделимыми аналоговыми и цифровыми признаками.

Использование вычислительных машин САУ, реализованных по принципу (а), приводит к избыточным структурам с наличием преобразователей информации. Известно, что вычислительные машины, реализованные по принципу (б), построены на основе преобразователей информации (Ульянов В. И, [1]), так как преобразователи информации способны выполнять отдельные арифметические операции [2, 11]. Смолов В. Б., Бархоткин В. А., Бажанов Е. И, Воробьев Н. В и другие разработали ряд аналого-цифровых вычислительных устройств, построенных на базе преобразователей информации, что дает возможность избежать аппаратной избыточности при проектировании вычислительных структур.

Аналого-цифровое вычислительное устройство АЦВУ [1] целесообразно применять в САУ, так как АЦВУ имеет следующие преимущества:

• Исключение типовой ЭВМ из состава вычислительной системы САУ упрощает ее структуру вычислительных систем, что позволяет уменьшить аппаратные затраты САУ;

• Непосредственная обработка информации в смешанной форме уменьшает время преобразования информации и погрешность преобразования, что позволяет увеличить быстродействие вычислителя.

Эти свойства устраняют ряд проблем при автоматизации систем управления: увеличение аппаратных затрат, относительную сложность вычислительных систем, увеличение стоимости.

Для развития САУ главным вопросом является улучшение характеристического вектора, состоящего из трех взаимосвязанных параметров комбинированных вычислительных устройств: точность, быстродействие и аппаратные затраты. Поэтому улучшение любого из этих трех параметров является важной научно-технической задачей.

На рис (В-1) показан характеристический вектор, состоящий из трех взаимосвязанных параметров при проектировании вычислительных структур. При этом улучшение одной из указанных основных характеристик вычислительных устройств возможно лишь за счет ухудшения других.

Рис В-1. Характеристический вектор вычислительных структур. Исходя из этого, точность выполнения арифметических операций на аналого-цифровых вычислительных устройствах может быть увеличена либо за счет схемотехнических усложнений, что приведет к увеличению аппаратных затрат, либо за счет уменьшения быстродействия.

Известны следующие методы увеличения точности при выполнении арифметических операций на вычислительных устройствах:

- параметрические методы увеличения точности вычислений: применение более высококачественных (и, соответственно, дорогих) элементов и узлов без принципиального изменения структуры и алгоритма работы вычислительного устройства;

- структурные методы увеличения точности вычислений: улучшение технических характеристик оборудования за счет совокупности дополнительных аппаратных и программных средств. Структурные методы оказываются зачастую дешевле, чем параметрические за счет того, что не требуют применения прецизионных узлов.

- программно-алгоритмические методы увеличения точности вычислений: организация вычислительных процессов специальными принципами и введением временной избыточности. Например, к таким методам относятся вычисление с разделением исходных операндов на несколько частей [3], согласование отсчетов в двухотсчетных вычислениях [4] и коррекция результата операции на основе арифметических кодов [5].

Исследования показали, что арифметические операции на аналого-цифровых вычислительных устройствах, реализованных по принципам (а) и (б), выполняются с погрешностями как показано в таблице 1. В таблице показано соотношение погрешностей выполнения арифметических операций в двух архитектурах АЦП-ЦВМ-ЦАП и АЦВУ, где г!ЩП, т)ЦАП - погрешность АЦП и ЦАП, ЛЦАП <г]ЩП. п/п Форма представления операндов операция Погрешность операции

АЦП-ЦВМ-ЦАП АЦВУ

1 дискретные х,+ - 2ЛаАП

-н - 2пшп +Т]лцп

2 смешанные Х,+ ^ЛЦП п ЦАП г,АЦП 1]ЦАП +Т]АЦП

3 непрерывные Х,+ 2г]Аип т1ЦАП+пАЦП

-г 2Т]АЦТ1 Г!АЦП

Таблица 1. Соотношение погрешностей выполнения арифметических операций в реализованных принципах АЦП-ЦВМ-ЦАП и АЦВУ.

Из таблицы видно, что в любых структурах аналого-цифровых вычислительных устройств операции над смешанными операндами выполняются с погрешностями. При этом разработка принципов организации вычислительных процессов, которые увеличивают точность выполнения операций аналого-цифровых вычислительных устройств, является актуальной.

Целью настоящей работы является разработка методики вычислений на аналого-цифровых устройствах по методу разделения исходных операндов, обеспечивающей увеличение точности выполнения операций.

Поставленная цель исследований требует решения следующих основных задач:

1. Разработка способов разделения исходных операндов на аналого-цифровых вычислительных устройствах.

2. Анализ возможных вариантов восстановления полного результата вычислений.

3. Разработка вариантов компенсации погрешностей результатов вычислений.

4. Анализ зависимости погрешностей результатов от способов разделения исходных операндов и вариантов восстановления полного результата.

5. Анализ зависимости погрешностей от вариантов их компенсации.

6. Верификация результатов исследования посредством моделирования средствами.

Методы исследования. Основные результаты работы получены на основе применения теории погрешностей, теории вероятности, теории вычислений по принципу разделения операндов, метода графического программирования и теории имитационного моделирования.

Научная новизна работы. Наиболее значимые научные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Предложен принцип формирования контрольных разрядов при симметричном и асимметричном разделениях исходных операндов.

2. Исследованы варианты восстановления полного результата и разработана методика коррекции результата вычислении на основе анализа контрольных разрядов.

3. Определена зависимость точности результата от вариантов его формирования и места расположения контрольных разрядов.

4. Разработана методика вычислений по принципу симметричного и асимметричного разделения исходных операндов для аналого-цифровых устройств.

Практическая ценность. Результаты, полученные в работе, позволяют увеличить точность вычислений на комбинированных вычислительных устройствах. Разработанные методики позволяют реализовать метод разделения операндов на аналого-цифровых вычислительных устройствах. В результате точность вычислений аналого-цифровых вычислительных устройств может быть доведена до 16 и 22 эквивалентных разрядов. Это расширяет область практического применения аналого-цифровых вычислительных структур.

Реализуемость предложенных методов подтверждена результатами аналитического и компьютерного моделирования.

Применение разработанных методов позволяет увеличить точность вычислений аналого-цифровых вычислительных устройств без требования дополнительных аппаратных затрат.

Апробация работы. Основные результаты работы представлены и обсуждены на ряде научно-технических конференций, в частности:

1. Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов "Микроэлектроника и Информатика", Зеленоград, Москва, 2006 г., 2007 г., 2008 г.

2. Научная сессия МИФИ "Информатика и процессы управления. Компьютерные системы и технологии", Москва, 2008 г.

Публикации. По результатам исследований, выполненных в диссертационной работе, опубликовано 11 печатных работ, в том числе 4 статьи и 1 заявка на патент.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты исследований:

• Принципы симметричного и асимметричного разделения исходных операндов;

• Варианты восстановления результата операций:

• Методика коррекции результата на основе анализа контрольных разрядов;

• Зависимость точности результата от вариантов восстановления результата и места расположения контрольных разрядов.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, и списка литературы, включающего 73 наименований и изложена на 158 страницах машинописного текста, содержит 24 таблиц, 36 рисунков и графиков.

В первой главе проведен обзор принципов построения аналого-цифровых устройств и анализ их погрешностей выполнения арифметических операций. Дана классификация аналого-цифровой вычислительной техники, которая разделена на аналого-цифровые вычислительные устройства и комплексы. Под аналого-цифровыми вычислительными устройствами подразумеваются устройства с дискретно управляемыми параметрами (резисторные ВУ и индукционно-резисторные ВУ) и аналого-цифровые вычислительные устройства с непрерывно импульсными параметрами (время-импульсные ВУ, частотно-импульсные ВУ и число-импульсные ВУ). Аналого-цифровые вычислительные комплексы включают комплексы, сочетающие АВУ, ЦВУ и КВУ и комплексы, сочетающие решающие элементы АРЭ, ЦРЭ и КРЭ. В свою очередь, в зависимости от составляющей вычислительной части аналого-цифровая вычислительная техника разделена на аналоговые составляющие части (АВМ с цифровым управлением и АВМ с цифровыми блоками) и цифровые составляющие части (ЦВМ с аналоговой структурной и ЦВМ с аналоговыми решающими устройствами).

Проведен анализ погрешностей комбинированных вычислительных устройств. Установлено, что для увеличения точности на основе метода вычисления с двойной разрядной сеткой и методики коррекции с помощью анализа контрольных разрядов необходимо определить значение погрешности с целью назначения места расположения контрольных разрядов. Поэтому для примера определены случайные и систематические погрешности аналого-цифрового арифметического устройства ЛЦАУ, построенного на базе преобразователей информации. Результаты анализа показали, что на АЦАУ операция умножения со сложением выполняется с систематической погрешностью (0,091%), что эквивалентно десяти достоверным двоичным разрядам и операция деления со сложением выполняется с систематической погрешностью (0,11%), что эквивалентно двенадцати достоверным двоичным разрядам.

Далее проведен анализ точностных характеристик комбинированных вычислительных систем на основе двух архитектурных решений: системы АЦП-ЦВМ-ЦАП и системы, построенной по принципу совмещения выполнения на преобразователях информации, как преобразовательных, так и арифметических операций. Результаты анализа показали, что на комбинированных вычислительных устройствах операции над операндами в смешанной форме представления выполняются с погрешностями.

Рассмотрены программно-алгоритмические методы увеличения точности вычислений, такие как, метод вычисления с двойной разрядной сеткой, метод устранения погрешности введением охранных разрядов, методика коррекции результатов на основе анализа двух отсчетов и арифметические коды, корректирующие ошибки операций. Из перечисленных методов в диссертации предложено рассмотреть метод двойной разрядной сетки для увеличения точности комбинированных вычислительных устройств.

Сформулированы основные задачи дальнейшего исследования, которые решаются в последующих главах, а именно:

• Исследование способов увеличения точности вычислений на основе симметричного и асимметричного разделения исходных операндов.

• Исследование возможных вариантов восстановления результата вычислений по принципу разделения исходных операндов.

• Разработка методики коррекции результатов операции.

• Исследование зависимости точности результатов от вариантов восстановления, способа разделения и места расположения контрольных разрядов. программного моделирования.

Во второй главе исследована возможность реализации метода разделения исходных операндов на аналого-цифровых вычислительных структурах. Для реализации этого метода, на примере операции умножения, необходимо: 1) частичные произведения должны выполняться без погрешностей; 2) восстановление полного произведения (сумма частичных произведений) также должно выполняться без погрешностей. Однако, в комбинированных вычислительных устройствах результаты любых арифметических операций отягчены погрешностями. Поэтому очевидно, что непосредственное использование метода вычисления с двойной разрядной сеткой в комбинированных вычислительных устройствах невозможно. В данной работе предложен метод, основанный на формировании результата путем замены младшей части полного произведения младшей частью суммы частичных произведений, как показано на рисунке В-2.

Верификация результатов исследований посредством

Сумма частичных произведений . ККК . п . 2п

Полное произведение

ККК. п

Рис В-2. Формирование результата операции сочленением полного произведения с суммой частичных произведений.

Увеличение точности, при этом, ожидается за счет меньшей инструментальной погрешности суммы частичных произведений. Однако, наличие погрешности в полном произведении может вызвать изменение старших разрядов этого результата, например, ООО 111+1=001 ООО или 010 000-1=001 111 для величин, представленных в двоичном коде. В таких случаях простая замена младшей части результата приведет к увеличению его погрешности вместо ее уменьшения. Поэтому в данном разделе предложена методика коррекции старшей части для компенсации ее погрешности на основе анализа различных сочетаний одинаково сформированных частей полного произведения и суммы частичных произведений. Одинаково сформированные разряды условно можно назвать '"контрольными разрядами".

Следует отметить, что в данной работе цифровое представление взято исключительно для удобства интерпретации и формализации результатов, а все рассуждения ориентированы на смешанную аналого-цифровую форму представления информации. Речь идет о том, что в аналого-цифровом арифметическом устройстве умножение и сложение операндов, представленных в виде напряжения и цифрового кода или операндов, представленных в виде напряжений, выполняются в умножающем ЦАП, где результат в виде напряжения формируется с погрешностью. В работе представлен эквивалент этого напряжения в виде разрядной сетки, т. к. это наглядный способ рассуждений, оперирующих понятием "квантов напряжений". Для коррекции старшей части аналогового результата необходимо сформировать квант напряжения и вычесть или добавить его к результату.

Далее во второй главе разработаны и исследованы различные способы формирования контрольных разрядов для различных вариантов разделения исходных операндов. При симметричном {Ncm = NM) разделении одинаково сформированные разряды начинаются со старшего разряда. При асимметричном (Ncm^NMJ или (Ncm<Nw) разделении и (Nacm = Nh сш) одинаково сформированные разряды начинаются с (2Ncm + \) разряда. При (Na cm * Nh cm) с (A'0cm + Nhcm + \) разряда, где Ncm,NMjn Na cm,Nb cm- количество разрядов старшей и младшей части соответствующих операндов о к Ь.

Номера контрольных разрядов целесообразно назначать в зависимости от максимального значения погрешности операции. Например, если величина максимальной систематической погрешности выполняемой операции соответствует погрешности от-го разряда, то контрольными должны быть (от-2),(от-1),ш разряды, где т<п, п~ разрядность вычислительного устройства.

В диссертации предложены и исследованы 4 варианта восстановления результата вычислений при симметричном и асимметричном разделении исходных операндов и соответственно вариантами восстановления результата получены 4 таблицы коррекции.

Восстановление результата при асимметричном разделении может быть выполнено по 4 вариантам восстановления результата. Кроме этого разработана методика восстановления и коррекции результата сочленением старшей части полного произведения (без контрольных разрядов) с суммой частичных произведений. При асимметричном разделении нет необходимости учитывать погрешность частичного перемножения (аст • Ьст). где аст,Ьш- старшие части операндов а и Ь. При этом анализ истинного значения контрольных разрядов становится более простим, а результат получается более точным.

Третья глава посвящена анализу эффективности вычислений по принципу симметричного и асимметричного разделения исходных операндов и по месту расположения контрольных разрядов.

В диссертации проведен анализ зависимости точности результата вычислений от вариантов его восстановления для различных сочетаний контрольных разрядов полного произведения и суммы частичных произведений при симметричном разделении исходных операндов.

Эффективность использования различных вариантов восстановления результата определяется вероятностью того, что после его коррекции точность останется на первоначальном уровне т разрядов. Тогда эффективность вычислений можно оценить по формуле

0).-^— .100% (1) где ¿■(м„с.„.„„„я) - вероятность получения результата после коррекции с ш-разрядной точностью для каждого сочетания контрольных разрядов, /г^- возможные варианты изменения из-за погрешности контрольных разрядов суммы частичных произведений, кг невозможные варианты коррекции из /ъ, щ- количество контрольных разрядов. Очевидно, что при данном подходе высокая вероятность по (1) соответствует низкой эффективности варианта коррекции и восстановления результата.

При организации операции симметричным разделением операндов по 4 вариантам восстановления результата эффективность вычислений получена в диапазоне от 27 до 67%, а при организации операции асимметричным разделением эффективность вычислений получена от 97 до 100%

Затем в третьей главе проведен анализ эффективности выполнения операции по методу разделения исходных операндов при различном расположении контрольных разрядов:

Эффективность выполнения операции рассматривается на основе точности получаемого результата и сложности реализуемого алгоритма. Выше приведенные результаты получены расположением контрольных разрядов по варианту (а). При расположении контрольных разрядов по варианту (Ь) дает низкую эффективность выполнения операции для многих вариантов восстановления результата, так как в данном варианте трудно определить истинное значение полученными возможными сочетаниями контрольных разрядов.

При расположении контрольных разрядов по варианту (с), в отличие от первых двух вариантов, все сочетания контрольных разрядов вполне возможны, так как при таком расположении один из двух контрольных разрядов (т), (т+1) полного произведения может быть отягчен погрешностью. В результате этого, алгоритм коррекции усложняется. Следовательно, время реализации метода увеличивается. a) (т-2), (т-1), (т); b) (т-3), (т-2), (т-1); c) (т-1), (т), (т+1).

Итак, можно сделать вывод, что для получения эффекта увеличения точности расположение контрольных разрядов по варианту (а) наилучшее.

В четвертой главе произведена верификация результатов диссертации посредством программного моделирования разработанных методик LabVIEW и MATLAB.

Верификация методика вычисления по принципу разделения операндов произведена на примере асимметричного разделения и коррекции по первому варианту симметричного разделения с помощью LabVIEW.

Далее определены эффективности вычислений для принципов вычислений по асимметричному и асимметричному разделению операндов. При симметричном разделении для 4 вариантов восстановления результата эффективность вычислений можно определить математической моделью:

SllopuuM„j + ±JS2 + |)/С,)].100%

46.2е+16.S, , 2.5*3 + 14.£4 , 1ПП0/ seevmmm2 =П -((-—ь-L + —^—±)/Ct)].100%

S}+S2) 14.5

J вариант ^Ъ í-1 VV ^ ^Л >~yb + \ з - и ■-а8'2' +л+* l4-si,:,2-y,)/c,)].ioo%

Для асимметричного разделения и восстановления результата по 4 вариантам эффективность вычислений определяется следующими формулами: вариант \ ^

1 £ 9е 4-14 9С+1

П-(( • )/С,)].100% [1 - + 100% seapuam,< =[!-((!+— )/С,)].100%.

2C+1 ~гь

Iе где а = п,Ь = п-пк,с = п-пк-2.Ыст, 5, = 2Ь-2С+1 +— + 2С, Ск = 5.2"' - количество возможных сочетаний контрольных разрядов, где я, >2 и погрешность не выше ± 1 младшего контрольного разряда. Б2 = 2Ь - 2^ +—+2е, 53 = 2Ь - 2С+1 + 2%^ = 2* + —.

В заключении сформулированы основные выводы и полученные результаты.

В приложениях представлены фрагмент программы имитационного моделирования методики вычислений по принципу разделения операндов, фрагмент программы имитационного моделирования зависимости эффективности вычислений от принципов разделения операндов, от количества контрольных разрядов и от количества разрядов старшей части, а также акты использования результатов диссертационной работы.

Выводы по главе 4.

Выполнена верификация разработанных принципов вычислений по методу разделения операндов на примере асимметричного разделения и при восстановлении результата по первому варианту в среде ЬаЬУ1Е\\^. Результаты (рис 4.2.3, 4.1.4) показали, что практическая верификация полно подтверждает результаты, полученные в разделе 3.3 по таблице 20.

Проведено математическое моделирование эффективности вычислений по симметричному разделению и 4 вариантам восстановления результата, и с помощью МАТЬАВ показано, что эффективности вычислений зависит от количества контрольных разрядов. Результаты моделирования эффективности вычислений по различным вариантам восстановления результата (рис 4.2.4) соответствует результатами (таблица 17), полученные в данной работе: 27%, 67%, 67% и 62% при коррекции результата тремя контрольными разрядами. При увеличении количество контрольных разрядов результат моделирования показал, что эффективность еще можно увеличить в 16-54%. Проведено математическое моделирование эффективности вычислений по асимметричному разделению и 4 вариантам восстановления результата, и показана, что зависимость эффективности вычислений от количества разрядов старшей части и количества контрольных разрядов. Результаты моделирования эффективности вычислений по различным вариантам восстановления результата (рис 4.3.4) полно соответствует результатами (таблица 19), полученные в данной работе: 100%, 97%, 97% и 97% при коррекции результата тремя контрольными разрядами. При увеличении количество контрольных разрядов результат моделирования показал, что эффективность еще можно увеличить в 1-2%.

Заключение

В результате исследований диссертационной работы получены следующие результаты:

1. Произведена классификация аналого-цифровых вычислительных устройств. Оценена погрешность выполнения арифметических операций на аналого-цифровых вычислительных устройствах и рассмотрены программно-алгоритмические методы уменьшения погрешности.

2. Разработана методика вычисления по методу разделения операндов для аналого-цифровых вычислительных структур, позволяющая увеличить точность вычислений. Введено понятие контрольных разрядов для симметричного и асимметричного разделения исходных операндов. Разработана методика коррекции результата вычислений на основе анализа контрольных разрядов.

3. Предложены и исследованы принципы вычислении для аналого-цифровых структур по симметричному и асимметричному разделению исходных операндов. Симметричное и асимметричное разделение позволяют повысить точность результата до 16-22 и 13-16 эквивалентных разрядов.

4. Разработаны варианты восстановления результата операции для симметричного и асимметричного разделения исходных операндов. Разработана методика и таблицы коррекции для различных вариантов восстановления результата.

5. Проведен анализ зависимости эффективности вычислений от вариантов восстановления результата по симметричному и асимметричному разделению исходных операндов. При симметричном разделении разработанные варианты дают эффективность увеличения точности в 27%. 67%, 67% и 62% случаев и при асимметричном разделении в 100%, 99%, 97% и 97% случаев, соответственно.

6. Рассмотрена эффективность вычислений при разном расположении контрольных разрядов.

7. Показано, что рациональное количество контрольных разрядов- 3, так как увеличение количества контрольных разрядов приведет к увеличению сочетания контрольных разрядов, следовательно, алгоритм коррекции усложняется и время его выполнения увеличивается.

8. Назначение количества контрольных разрядов меньше 3 не позволяет определить истинное значение контрольных разрядов, следовательно, исключает возможность коррекции результата.

9. Произведена верификация разработанных методик посредством их математического и программного моделирования.

10. Рассмотрена зависимость эффективности вычислений от количества контрольных разрядов с помощью математического моделирования. При коррекции результата 4 и 5 контрольными разрядами эффективность еще можно увеличить в 16-54% случаев при симметричном разделении и в 1-2% случаев при асимметричном разделении.

Разработанный подход к организации вычислительных процессов, а именно, симметричное и асимметричное разделение исходных операндов, методика коррекции результата операции на основе анализа контрольных разрядов, может быть использован в различных классах аналого-цифровых вычислительных устройств, у которых арифметические операции выполняются с погрешностью ± 1 разряда (кванта).

1. Бажанов Е. И. Аналого-цифровое вычислительное устройство: проблемы и перспективы// Известия вузов. Электроника. М. МИЭТ (ТУ), 1997. - N 3-4.

2. Смолов В.Б., Фомичев В. С. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые нелинейные вычислительные устройства. Л.: Энергия, 1974.

3. Кнут Д., Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2, Получисленные алгоримы. М: Издательство «Мир», 1977.

4. Зверев А. Е., Максимов П. В., Мясников В. А. Преобразователи угловых перемещений в цифровой код. Л., «Энергия», 1974.

5. Преснухин Л. Н и др. Основы конструирования микроэлектронных вычислительных машин. Учеб. пособие для втузов. М., «Высшая школа», 1976. 408 с.

6. Карел Кабеш. Аналого-цифровые вычислительные системы. Сокр. пер. с чеш. А. И. Журавлева, 149 с. ил. 21 см, М. Радио и связь 1983.

7. Смолов В. Б., Чернявский Е. А. Об универсальности комбинированных вычислительных устройств с цифровыми управляемыми параметрами. -Вычислительная техника. Минск, изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1969.

8. Смолов В. Б., Чернявский Е. А. О синтезе структуры комбинированных блоков с цифровыми управляемыми параметрами. Теория аналоговых и комбинированных машин, методы математического моделирования. М., изд-во «Наука», 1969.

9. Смолов В. Б., Чернявский Е. А. Построение аналого-цифровых вычислительных устройств электромеханического типа. Изв. ЛЭТИ. Вып. 78 л., изд-во ЛЭТИ, 1968.

10. Смолов В. Б., Чернявский Е. А. Основные направления развития комбинированных вычислительных устройств. Изв. ЛЭТИ. Вып. 65. Ч. И, Л., изд-во ЛЭТИ, 1967.

11. Смолов В. Б. Электронные декодирующие и кодирующие функциональные преобразовали. Автоматика телемеханика, 1961, т. XXII, No 2.

12. Исследование путей развития аналого-цифровых вычислительных устройств. Отчет о НИР (Заключительный) Шифр "193-ГБ-Б-ВТ", Научн. рук. Бажанов Е.И., отв. исп. Федоров П.И., N ГР 01910007254, Инв. N 02.960.0 07254 М.: МИЭТ, 1995-345с.

13. Бажанов Е.И. Структурный базис анализа и синтеза комбинированных вычислительных устройств для систем автоматизированного управления реального времени. Новые промышленные технологии. Производственно-технический журнал. М.- ЦНИИАИ, №5, 2005. с. 57-59.

14. Бажанов Е.И., Кузнецов H.A., Федоров П.И. Аналого-цифровое вычислительное устройство элемент децентрализованной системы управления. Тез. Всерос. конф. «Электроника и информатика», М., МИЭТ, 1995.-с.217-220.

15. Бархоткин В.А., Воробьев Н.В., Бажанов Е.И. и др. Аналого-цифровое вычислительное устройство. A.c. №1061609. 1983.

16. Воробьев A.A. Априорные оценки характеристик аналого-цифрового вычислительного устроиства./УМежвузовекая научно-техническая конференция "Микроэлектроника и автоматика 96". Тезисы доклада. -М.гМИЭТ., 1996.

17. Воробьев A.A. Методика синтеза аналого-цифровых вычислительных устройств.//Межвузовская научно-техническая конференция "Микроэлектроника и автоматика 97''. Тезисы доклада. -М.-.МИЭТ., 1997.

18. Воробьев A.A. Методика синтеза аналого-цифровых вычислительных устройств.//Межвузовская научно-техническая конференция "Микроэлектроника и автоматика 98". Тезисы доклада. -М.:МИЭТ., 1998.

19. Бажанов Е.И., Кузнецов H.A., Федоров П.И. Аналого-цифровое вычислительное устройство для систем управления. Материалы второго семинара «Вопросы электронизации автомобилей», М.: НИИАЭ, 1991. с.66-68.

20. Воробьев Н. В., Бажанов Е. И., Сазонов А. А. Методика оценки избыточности аппаратных средств управляющего вычислительного устройства// Проектирование применение микропроцессорных управляющих систем: Межбуз. Сб. М.: МИЭТ, 1989. с- 35- 42.

21. Крапов Р. Г. Техника частотно-импульсного моделирования. М., «Энергия» 1972. 280 с.

22. Неслуховский К. С. Цифровые дифференциальные анализаторы. М., Физматгиз. 1963. 303 с.

23. Шилейко А. В. Цифровые модели. Б-чка по автоматике, вып. 95. М.-Л., «Энергия», 1964. 112 с.

24. Анисимов А. В., Артамнов А. Б, и др. Аналоговые и гибридные вычислительные машины. ML, «Высшая школа», 1984, 320 с.

25. Смолов В. Б., Чернявский Е. А., Гибридные вычислительные утсройства с дискретно управляемыми параметрами. J1., «МШИНОСТРОЕНИЕ», 1977, 296 с.

26. Беки Д., Карплюс У. Теория и применение гибридных вычислительных систем. М., «Мир», 1971. 143 с.

27. Соренков Э. И., Телига А. И., Шталов А. С. Точность вычислительных устройств и алгоритмов. М., «Машиностроение», 1976.

28. Kabes К. Provoz a pouziti analogovyeh poeitach. Praha, SNTL 1968.

29. Kley A. Elektronische Hybridrechner (Elektronicke hybridni poeitace). Stuttgrat, Telekosmos Verlag Franckh'sche Verlags handiung 1969.

30. Kol. Autoru: Analogovc a hybridni poeitace. Praha, SNTL. 1971.

31. Kabes, K. Jednoucelovc analogove pocitace. Parha, SNTL. 1971.38. kingdom, S. P. Ohlsen G. P. Nonlinear function generator. - Instruments and control systems 43 (1970), 8. 9 s. 121 az 123.

32. Serba, I. Dynamicke chyby pasivnich opernich proku. Analogva a hybridni technika 1972. 6. l,s. 5az 11.40. http://adonline.ru/content/view/466/32/41. http://www.otd.tstu.ru/is/lang/Numerikal methods/T06/T06.htm

33. Serba, I. a kol.: Hybridni poeitace. Praha. SNTL 1974.

34. Смолов В. Б. Чернявский Е. А. Гибридные вычислительные устройства с дискретно-управляемыми параметрами. JL, «Машиностроение» (Линингр. Отд-ние), 1977 г. 296 с.

35. Белов Б. И., Норенков И. П. Расчет электронных схем на ЭЦВМ. М., «Машиностроение», 1971. 143 с.

36. Ильин В. Н. Машинное проектирование электронных схем. М., «Энергия», 1972. 280 с.

37. Мартин Ф. Моделирование на вычислительных машинах. М., «Мир», 1970. 180 с.

38. Смолов В. Б., Чернявский Е. А., Полянская Т. И., Курдиков Б. А. Универсальные электронные преобразователи информации. JL, «Машиностроение». 1971 г. 321 с.

39. Бажанов Е.И. Синтез аналого-цифрового арифметического устройства с непосредственной обработкой информации в смешанной форме представления. Новые промышленные технологии. Производственно-технический журнал. М.-ЦНИИАИ, №6, 2005.

40. Бажанов Е.И., Воробьев A.A., Кузнецов H.A. Бархоткин В.А. Аналого-цифровое множительно-делительное устройство. Патент РФ N 2121712, 1998. Бюл. №31

41. Бархоткин В.А. Бажанов Е.И., Сазонов A.A., Кузнецов H.A. Аналого-цифровое вычислительное устройство. A.c. №1358618. 1987. ДСП.

42. Бархоткин В.А., Бажанов Е.И., Сазонов A.A. Аналого-цифровое вычислительное устройство. A.c. №1461244. 1989. Бюл. №7.

43. Бажанов Е.И., Бархоткин В.А., Кузнецов H.A. Аналого-цифровое вычислительное устройство, A.c. №1609329. 1990. Бюл. №43

44. Бажанов Е.И. Априорная оценка погрешности реализации алгоритмов управления реального времени на цифровых вычислительных структурах. Мехатроника, автоматизация, управление. М.-Новые технологии, №9, 2005. с. 6-13.

45. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дэю. Структуры данных и алгоритмы. М., Издат. дом «Вильяме», 2000.56. http://inf. 1 september.ru/article.php?ID=20060050757. http://vvwvv.pereplet.ru/nauka/en/two/0329.html

46. Аунг Вин. Метод разделения операндов в аналого-цифровом вычислительном устройстве. Конференция «Мэ и Инф», МИЭТ, аир. 2006 г., с. 228.

47. Мьо Мин Тан., Аунг Вин. Сокращение аппаратных затрат при организации вычисления по принципу разделения операндов. Сб. трудов под ред. Бархоткина, МИЭТ, 2006 г., с. 172-176.

48. Аунг Вин., Мьо Мин Тан. Коррекция погрешностей вычислений по методу разделения операндов в аналого-цифровых структурах. Сб. трудов под ред. Бархоткина, МИЭТ, 2006 г., с. 177-182.

49. Аунг Вин. Организация вычислений по методу разделения операндов в аналого-цифровом вычислительном устройстве. Конференция «Мэ и Инф», МИЭТ,: апр. 2007 г., с.226.

50. Аунг Вин. Реализация принципа вычисления с двойной разрядной сеткой на аналого-цифровом вычислительном базисе. Научная сессия МИФИ-2008, сборник научных трудов, Том 12, с. 149-150.

51. Аунг Вин. Увеличение точности комбинированных вычислительных средств. Конференция «Мэ и Инф», МИЭТ, апр. 2008 г., с. 187.

52. Е. И. Бажанов, Аунг Вин. Оценка точности вычислений с двойной разрядной сеткой на аналого-цифровых вычислительных устройствах. Сб. трудов под ред. Бархоткина, МИЭТ, 2008 г., с. 136-142.

53. Аунг Вин., Бажанов Е. И. Реализация метода вычисления с двойной разрядной сеткой в аналого-цифровом структурном базисе. «Естественные и технические науки». №2, 2008. с.418.

54. Бажанов Е.И., Федоров П.И. Метод разделения операндов в аналого-цифровом вычислительном устройстве// Межвузовский сборник науч. Тр. "Информатика и связь" под ред. д.т.н проф. Бархоткина В.А.- М. МИЭТ, 1997. с. 138-144

55. Смолов В.Б., Фомичев B.C. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые нелинейные вычислительные устройства. -JL: Энергия, 1974.

56. Пат. 2123720 РФ. Аналого-цифровое вычислительное устройство/ Бажанов Е.И., Федоров П.И., Кузнецов Н.А. Опубл. 1998, Бюл. №

57. Гитис Э. И., Собкин Б. Л., Усманов В. В. Принципы автоматизации проектирования аналого-цифровых устройств и систем четвертого поколения.-Измерения, контроль, автоматизация, 1979. No.3, с. 25-31.

58. Гитис Э. И., Пискулов Е. А. Аналого-цифровые преобразователи. М.: Энергоиздат, 1981. - 360 с.

59. Шлядин В. М. Цифровые измерительные устройства. М.: Высшая школа, 1981.-336 с.

60. Вострокнутов Н Н. Ипытания и поверка цифровых измерительных устройств. М.: Изд-во стандартов, 1977. - 140 с.

61. Гитис Э. И., Собкин Б. Л., Подколзин и др. Автоматизация проектирования аналого-цифровых устройств. М.: Энергоавтомиздат, 1987. - 184 с.