автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Разработка алгоритмического и методического комплекса исследований динамической устойчивости электроэнергетических систем со статическими накопителями электроэнергии

На правах рукописи

Кузнецов Олег Николаевич

Разработка алгоритмического и методического комплекса исследований динамической устойчивости электроэнергетических систем со статическими накопителями электроэнергии

Специальность 05.14.02 - Электростанции и электроэнергетические системы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва - 2003

Работа выполнена на кафедре электроэнергетических систем МОСКОВСКОГО ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА (Технического университета)

Научный руководитель:

Официальные онпоненты:

доктор технических наук,

профессор Владимир Андреевич Строев

доктор технических наук,

профессор Михаил Георгиевич Тягунов

Ведущая организация:

кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник Алексей Константинович Михайлов Всероссийский электротехнический институт им. В.И. Ленина, г. Москва

Защита диссертации состоится " ¿7 " Н&2СМ. 2003г. в ч IФР мин в аудитории Г-200 на заседании диссертационного совета Д 212.157.03 при Московском энергетическом институте (Техническом университете) по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д. 17,2 этаж, корпус "Г".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ(ТУ).

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим присылать по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан "_"_2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.157.03, кандидат технических наук, доцент Т Бердник Е.Г.

¿©о*-А

____—----ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1985*°

Актуальйость темы. В настоящее время известно несколько типов накопителей энергии (НЭ): гравитационные ПЭ, инерционные НЭ, воздухоаккумулирующие газотурбинные электростанции, тепловые НЭ и накопители электрической энергии (НЭЭ). В гравитационных НЭ энергия накапливается и выдаётся при изменении потенциальной энергии рабочего тела (например, гидроаккумулирующая электростанция). В инерционных НЭ энергия накапливается и выдаётся при изменении кинетической энергии рабочего тела (например, вращающийся маховик, присоединённый к сети переменного тока посредством двигатель-генератора). В воздухоаккумулирующих газотурбинных электростанциях энергия накапливается и выдаётся при изменении потенциальной энергии сжатого воздуха, который используется для работы газовой турбины. В тепловых НЭ эпергия накапливается и выдаётся при изменении тепловой энергии (в случае нагревания, остывания или изменения фазового состояния) рабочего тела (например, аккумулирование тепла на электростанции для подогрева питательной воды). В НЭЭ энергия накапливается, хранится и выдаётся в виде электрической энергии (например, ток в катушке индуктивности или напряжение на зажимах заряженного конденсатора).

Среди приведённых типов НЭ особо, по своим характеристикам, выделяются накопители электроэнергии (сверхпроводниковый индукционный (СПИНЭ), батарейный (БНЭ) и емкостной (ЕНЭ)). НЭЭ характеризуются высоким быстродействием и широкими диапазонами энергоёмкостей и мощностей, что позволяет использовать эти накопители для решения задач выравнивания суточных графиков нагрузки, регулирования частоты и улучшения статической и динамической устойчивости электроэнергетических систем (ЭЭС). Среди накопителей электроэнергии наиболее привлекательным по своим свойствам, диапазону мощностей и энергоёмкостей и их удельным показателям является СПИНЭ.

При накоплении, выдаче и хранении энергии в СПИНЭ не происходит преобразования вида энергии, что обусловливает высокий (более 90%) КПД этого типа накопителя. Благодаря наличию тиристорного преобразователя время реверса мощности не превышает 0,01 с, что обуславливает возможность решения задач статической и динамической устойчивости ЭЭС с помощью СПИНЭ, посредством быстрого управления потоками активной мощности в электрической сети.

В современных электроэнергетических системах, в связи с их укрупнением, остро встаёт вопрос повышения пределов передаваемой между энергообъединениями мощности по условиям динамической устойчивости. Для решен^з^а^инамичь'^ш^ устойчивости ЭЭС

БИБЛИОТЕКА 1 С.Петербург - * /Д

оэ

-^-^

могут бьггь применены СПИНЭ малой энергоёмкости, недостаточной для решения задачи регулирования графика нагрузки.

Для проведения расчётов динамической устойчивости ЭЭС, содержащей СПИНЭ, необходимы математические модели, описывающие электромеханические переходные процессы в системе. На сегодняшний день в отечественной и зарубежной литературе предлагаются модели СПИНЭ для расчётов динамических процессов в ЭЭС, различающиеся по степени детализации процессов, происходящих в СПИНЭ. В некоторых моделях используются упрощённые выражения для составляющих полной мощности накопителя и не учитывается изменение заряда в течение переходного процесса. Также не принимаются во внимание технические и физические ограничения, накладываемые на работу накопителя (ограничения по минимальному и максимальному току сверхпроводниковой катушки индуктивности (СПК) и скорости его изменения, наибольшему рабочему напряжению катушки, углу управления вентилями тиристорного преобразователя). Иными словами, модели СПИНЭ для расчета режимов ЭЭС с НЭЭ разработаны не в полном объёме и не имеют обоснованных степеней детализации, а это не даёт возможности составить комплекс моделей НЭЭ для расчётов динамических режимов ЭЭС с соответствующими рекомендациями по их использованию.

Дня решения задач динамической устойчивости с помощью СПИНЭ, который является управляемым элементом ЭЭС, необходим закон управления НЭЭ. Закон управления СПИНЭ может быть определён из чисто физических соображений, например, накошггель управляется по знаку скольжения. Для управления СПИНЭ с целью увеличения пределов динамической устойчивости ЭЭС использовались и более сложные законы управления, где в качестве параметров управления использовались частота сети и напряжение в узле присоединения НЭЭ. При управлении СПИНЭ для демпфирования межсистемных колебаний был разработан всережимный (робастный) закон управления, где ЭЭС и НЭЭ были представлены в линеаризованном виде. В подавляющем большинстве работ, где целью было определить закон управления СПИНЭ в соответствии с задаваемым критерием, полученный закон управления определялся для линеаризованных систем и не проверялся в нелинейных системах, что может привести к нежелаемому результату функционирования накопителя в реальных условиях.

Для функционирования СПИНЭ в составе ЭЭС были синтезированы законы управления, которые позволяют решить задачи повышения пределов динамической устойчивости, демпфирования межсистемных колебаний и т.д., но не были выяснены

предельные возм^наста СПИНЭ при управлении переходными процессами.

* 1 -

Применение теории оптимального управления даёт возможность выявить предельные возможности ЭЭС и её элементов в переходном процессе. Кроме того, управление, удовлетворяющее критериям оптимальности, обеспечивает наибольшую область устойчивости. Но полученные оптимальные процессы могут являться только эталоном оптимального переходного процесса ЭЭС, поскольку даже современные вычислительные системы на базе мощнейших компьютеров не могут обеспечить решения задачи оптимального управления в темпе переходного процесса ЭЭС. Тем не менее ни в одной из опубликованных работ по синтезу закона управления НЭЭ не производится сравнения полученных траекторий ЭЭС с эталонными, что не позволяет в полной мере оценить эффективность выбранного закона управления.

Процессы, протекающие в ЭЭС, описываются как дифференциальными, так и алгебраическими уравнениями, причём в большинстве случаев моделируемую систему не удаётся свести к системе только дифференциальных уравнений. Соответственно, принцип максимума Понтрягина в своей исходной формулировке не может быть использован для нахождения оптимальных управлений в динамических системах, описываемых дифференциальными и алгебраическими уравнениями. Возникает необходимость расширения области его применения.

Из сказанного выше вытекает необходимость дальнейшей углублённой проработки вопросов моделирования СПИНЭ, алгоритмизации расчётов электромеханических переходных процессов ЭЭС со СПИНЭ, и вопросов управления переходными режимами.

Пели работы: разработка методов и алгоритмов расчёта и управления электромеханическими переходными процессами ЭЭС со статическими накопителями электроэнергии.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие задачи:

■ разработка математических моделей накопителей электроэнергии и обоснование степени детализации модели СПИНЭ;

■ разработка алгоритма и программы расчёта электромеханических переходных процессов в ЭЭС со СПИНЭ и компенсаторами реактивной мощности;

■ рассмотрение и разработка рекомендаций по применению упрощенных моделей СПИНЭ;

■ оценка влияния расположения, максимальной мощности, энергоёмкости и степени компенсации реактивной мощности СПИНЭ на динамическую устойчивость ЭЭС;

■ разработка алгоритма и программы определения оптимального управления СПИНЭ в ЭЭС в линеаризованном представлении с проверкой работы линейного регулятора в ЭЭС, моделируемой нелинейными уравнениями;

■ адаптирование принципа максимума Понтрягина к решению задач оптимального управления динамическими системами, которые моделируются, как дифференциальными, так и алгебраическими нелинейными уравнениями;

■ разработка алгоритма и программы определения оптимального управления СПИНЭ в ЭЭС в нелинейном представлении;

■ разработка квазиоптимального регулятора СПИНЭ.

Методика проведения исследований. Методы математического моделирования электромеханических переходных процессов и исследования динамической устойчивости ЭЭС, теория оптимального управления линейными системами, методика решения уравнения Риккати, метод квазюшнеаризации для расчёта оптимального управления, методика структурно-модульного программирования на алгоритмическом языке Fortran.

Достоверность результатов проверялась путём проведения сравнительных расчётов. Процессы, полученные с помощью теории оптимального управления, сравнивались с процессами, расчитанными при управлении отличном от оптимального.

Научная новизна работы заключается в следующем:

■ разработана математическая модель СПИНЭ, включающая физические и технические ограничения;

■ рассмотрены упрощенные математические модели СПИНЭ и даны рекомендации по их применению;

■ адаптирован принцип максимума Понтрягина и метод квазилинеаризации к решению задач оптимального управления нелинейными динамическими системами, которые моделируются как дифференциальными, так и алгебраическими уравнениями;

■ получен закон оптимального управления СПИНЭ для решения задач динамической устойчивости и демпфирования электромеханических колебаний в ЭЭС станция-шины бесконечной мощности с промежуточным отбором мощности;

Практическое значение диссертации. Рассмотренные упрощенные математические модели СПИНЭ, с учётом приводимых в диссертации рекомендаций, могут быть использованы для расчёта установившихся режимов и динамической устойчивости ЭЭС с НЭЭ в учебных, проектных и эксплуатационных целях. Составленный и программно

реализованный алгоритм адаптированного принципа максимума Понтрягина может применяться для отыскания оптимального (эталонного) управления регулируемым устройством, расположенным в любом узле ЭЭС.

Апробация. Основные теоретические положения диссертации докладывались, обсуждались и были одобрены на научно-практической конференции "Автоматизация и управление энергосистемами" (г. Блед, Словения, 1999 г.), на Международной научно-практической конференции "Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России" в СПбГТУ (г. Санкт-Петербург, 2002 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырёх глав, заключения, восьми приложений, списка литературы из 77 наименований. Общий объем диссертации 197 страниц, включая 41 рисунок и 26 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе раскрывается актуальность темы исследований диссертации, приведены параметры накопителей энергии различных типов и определена возможность комплексного использования накопителей электроэнергии в составе ЭЭС, а также формируются цели и задачи диссертации.

Во второй главе разработаны математические модели накопителей электроэнергии сверхпроводникового (СПИНЭ), батарейного (БНЭ) и емкостного (ЕНЭ) для расчётов электромеханических переходных процессов в ЭЭС. В состав моделей НЭЭ входят физические и технические ограничения, накладываемые на параметры и рабочие режимы накопителей. Причём ограничения первой группы (угол зажигания вентилей преобразователя, скорость изменения тока сверхпроводниковой катушки и т.п.) являются жёсткими, а ограничения второй группы (напряжение заряда и разряда аккумуляторной батареи, токи заряда и разряда БНЭ и т.п.) могут нарушаться, причём величина и длительность превышения технических ограничений определяется исходя из конструктивных особенностей НЭЭ.

Рассматриваемые типы НЭЭ характеризуются одинаковой структурой и включают в свой состав: аккумулирующий элемент (АЭ) (СПИНЭ - СПК (рис. 1, а), БНЭ -аккумуляторная батарея (рис. 1, б), ЕНЭ - батарея конденсаторов (БК) (рис. 1, б)), устройство связи с энергосистемой (УС) и систему автоматического управления (САУ).

Благодаря одинаковой структуре НЭЭ, их математические модели также имеют подобную структуру. НЭЭ моделируются дифференциальным уравнением заряда АЭ и

¿нэ

-гу^п.

а) б)

Рис. 1. Схемы накопителей электроэнергии.

нелинейными алгебраическими уравнениями, которые описывают работу УС - тиристорного преобразователя (ТП) совместно с АЭ. Обобщённая математическая модель СПИНЭ, БНЭ и БНЭ представлена уравнениями (1)+(4).

сЩ

нэ _

а

=х,

з и

ию> а. У)=»тпртп ="т -^-8тг8ш(2а+у), юсс

зи2

бнэ^нэ- ит, а,у) = «гп —!Э-[у-япусов(2а + у)],

го*

у = агссо8^-а, где параметры С, и % определены для конкретного типа НЭЭ:

для СПИНЭ:

ЗС = "

12' хс ^ )

^нэ^иэ „

С, = сова-

для БНЭ:

* = «Е

„ /ь с ■

С = -соза+—=——' 6^2 ию

(1) (2)

(3)

(4)

для ЕЮ:

Х = Иц

4#ю

ию cosa

£ = -cosa +

cV^SK

Зл/С^Г J

З^НЭл/^ЕК

где а и у - угол зажигания и коммутации вентилей ТП, /ц-п - количество ТП, 7Гнэ - заряд НЭЭ, выраженный в МВт-с для СПИНЭ и ЕНЭ и в А-ч для БНЭ, 1/цэ - напряжение в узле присоединения НЭЭ, хс - сопротивление цепи коммутации моста ТП, 1нэ - индуктивность СПК, /'б и 11т,- ток и напряжение на зажимах аккумуляторной батареи, Сне - ёмкость батареи конденсаторов.

Далее в диссертации основное внимание уделяется СПИНЭ как наиболее перспективному типу НЭЭ, который обладает широким диапазоном энергоёмкостей и мощностей среди НЭЭ, а также имеет возможность технической осуществимости в промышленных масштабах на современном этапе развития науки, техники и технологий. Область рабочих режимов СПК представлена на рис. 2.

^наиб

Рис. 2. Область рабочих режимов СПК (кривые 1+3 и 7) и вольтамперные характеристики тиристорного преобразователя (прямые 4 и 5) с ограничением 6.

На параметры СПИНЭ накладываются следующие ограничения: h*h о-

'di,

dt

МО

(5)

(6)

(8)

(9)

(10)

а+у = 180°-8тш> 8^=15°,

где Ь и VI- ток и напряжение на зажимах СПК, 1л - ток моста ТП, Ограничение (6) показано на рис. 2 в виде кривой 2.

В третьей главе составлена математическая модель ЭЭС, включающая основные элементы: синхронный генератор, электрическую сеть и СПИНЭ с СТК; разработан алгоритм расчета электромеханических переходных процессов ЭЭС со СПИНЭ и компенсаторами реактивной мощности. Модель электрической сети представлена уравнениями балансов мощностей; модель синхронного генератора представлена тремя дифференциальными уравнениями: движения ротора и переходного процесса в обмотке возбуждения; модель СПИНЭ представлена уравнениями и ограничениями (1)^(10); СТК и батареи конденсаторов для компенсации реактивной мощности моделируются внешними характеристиками Qax (зд) = Ли).

Установившиеся режимы ЭЭС со СПИНЭ и компенсаторами реактивной мощности рассчитывались путём решения уравнений балансов узловых мощностей. Для интегрирования дифференциальных уравнений движения ЭЭС совместно с алгебраическими уравнениями сети был применён метод трапеций; для решения нелинейных уравнений -метод Ньютона-Рафсона.

В качестве расчётной была выбрана ЭЭС, схема которой изображена на рис. 3. Закон управления углом зажигания вентилей СПИНЭ был выбран из физических соображений и подразумевает управление СПИНЭ по скольжению л ротора эквивалентного генератора передающей станции (11):

где 2s - ширина зоны нечувствительности регулятора.

Далее были рассмотрены упрощенные математические модели СПИНЭ, в которых моделирование процессов осуществлялось без дифференциального уравнения для заряда НЭЭ, с упрощенными выражениями для составляющих полной мощности ТП и отсутствовали ограничения. В модели №1 накопитель был представлен активной и

10°, при (s-e)>0 а = ■ s 90е, при (js| -е)<0

.18°0-б»ш-'У> ПРИ (s + e)<0

OD

ШБМ

ФКУ

Рис.3. Схема ЭЭС

реактивной мощностями, которые упрощенно выражены через параметры его режима:

(12)

Рю =272г7да4со8|а+||, 0нэ=2Т2гУнэ/,(зт[а + ^|,

(13)

где у определяется по (4).

В модели №2 накопитель представляется точным выражением по активной мощности и упрощенным по реактивной:

6л/2ит1,

сова—хс1], я

( 6л/2;

я

(14)

(15)

В результате сопоставления упрощенных моделей с принятой в диссертации было выяснено, что:

1) модель №1 может применяться для изучения качественной стороны влияния СПИНЭ на переходные и установившиеся режимы ЭЭС;

2) модель №2 может применяться для расчёта переходных и установившихся режимов ЭЭС со СПИНЭ и, по сравнению с принятой в работе моделью СПИНЭ при расчётах пределов динамической устойчивости, погрешность не превосходит 1%.

В результате расчётов динамической устойчивости (при

К(3)

в качестве расчётного

возмущения на Л1 или Л2 с последующим отключением одной цепи линии) было выяснено,

что:

1) с помощью СПИНЭ можно повысить пределы динамической устойчивости и демпфировать электромеханические колебания ЭЭС;

2) эффективность использования форсировки возбуждения генераторов для увеличения пределов динамической устойчивости больше, чем эффективность использования СПИНЭ для тех же целей, при расположении последнего на шинах промежуточной подстанции;

3) для наибольшей эффективности использования СПИНЭ "должен" как можно ближе находиться к передающей станции или подключаться к её шинам (см. рис. 4, где изменение пределов динамической устойчивости показано относительно величин пределов в ЭЭС без СПИНЭ);

¡ос ао зоо 400 ¡.¡,т

Рис. 4. Эффективность применения СПИНЭ при различных конфигурациях сети ЭЭС в послеаварийном режиме.

4) наибольший эффект достигается, когда СПИНЭ расположен между станцией и ЛЭП с отключаемой цепью (см. рис. 4);

5) наибольший эффект от применения СПИНЭ имеет место, когда НЭЭ используется в сочетании с форсировкой возбуждения на генераторах (см. рис. 5, где изменение пределов динамической устойчивости ЭЭС со СПИНЭ показано относительно величин пределов в ЭЭС с форсировкой возбуждения и без неё) или в том случае, если на шинах присоединения СПИНЭ мало изменяется напряжение во время переходного процесса;

Рис. 5. Эффективность использования СПИНЭ совместно с форсировкой возбуждения генераторов и без неё.

6) в процессе расчётов было выяснено, что наиболее подходящим устройством для компенсации реактивной мощности СПИНЭ, по условиям динамической устойчивости и ведения режимов ЭЭС, является СТК, причём при использовании НЭЭ совместно с СТК приросты пределов динамической устойчивости достигают 11% (рис. 6 где изменение пределов динамической устойчивости показано относительно величин пределов в ЭЭС без СПИНЭ и компенсаторов реактивной мощности).

д

Рис. 6. Приросты пределов динамической устойчивости ЭЭС.

При расчётах динамичеснкой устойчивости ЭЭС со СПИНЭ необходимо задаваться определённым значением энергоёмкости накопителя. В результате анализа вариантных

расчётов динамической устойчивости было установлено, что энергоёмкость СПИНЭ для достижения наибольшей эффективности его использования следует принимать численно равной (2,6-í-4,0)PIDmil при условии, что НЭЭ до отключения возмущающего воздействия работает в режиме ожидания с током СПК равном половине его максимального значения.

В четвёртой главе рассмотрен синтез законов регулирования СПИНЭ для управления электромеханическими переходными процессами ЭЭС на основе теории оптимального управления. В качестве метода определения оптимального управления был использован принцип максимума Понтрягина в применении к линейным и нелинейным системам. Состояния линейной системы описываются следующей системой уравнений: ж = Ах + Bu, (16)

где х и и - переменные состояния и управления, соответственно, А и В - матрицы состояния и управления динамической системы, соответственно. Оптимальное управление минимизирует критерий качества

J = i j[(xTQx + u„Ru)-e2aycT'']sfr, (17)

2 о

где Q и R - матрицы весовых коэффициентов, ауст - заданная степень устойчивости, ауст >0. Оптимальное управление определяется как

u = R4BTKx, (18)

где К - прямоугольная матрица, находится из решения уравнения Риккати

KBR-'B,K + к(А + ау„Е)+ (ат + аустЕ>С - Q = 0. (19)

Испытание закона управления СПИНЭ, полученного для линеаризованной ЭЭС, в энергосистеме в нелинейном представлении показало влияние нелинейности математической модели ЭЭС, заключающееся в расхождении характеров переходных процессов. Отсюда следует, что законы управления, полученные для линеаризованой ЭЭС, должны быть обязательно проверены в энергосистеме в нелинейном представлении, и оптимальное управление нелинейной динамической системой может быть получено только при применении теории оптимального управления к системе в нелинейном представлении.

Для нелинейной модели ЭЭС принцип максимума Понтрягина был адаптирован к решению задач оптимального управления динамическими системами, которые описываются как дифференциальными, так и алгебраическими уравнениями.

Состояния нелинейной системы описываются двумя системами уравнений: i = f(x,y,u,r), (20)

0 = cp(x,y,u,í), (21)

где у - вектор переменных, и - вектор управлений, Г и ф - вектор-функции. Оптимальное управление минимизирует критерий качества

3 = ^(х, п,/)Л = |[хт<}х + итыф. (22)

о о

Условия оптимальности адаптированного принципа максимума Понтрягина записываются в виде:

Р =

0 = ф(х,у,и) 0 =

№ ' дх

, 5Г

Зи

о=—+—в

Эх ду Эи ду

0ЛЗ1

(23)

ду ду

где р - сопряжённые переменные,С =—,1 =—, т-символ транспонирования.

дх За

Далее задача оптимального управления решается итерационным методом квазилинеаризации, для чего исходная система уравнений (23) линеаризуется в каждой точке траектории процесса и преобразуется в подсистему дифференциальных уравнений, которая представляется в виде

¿М=г(г(*-1))+л(2(*-1)).2М1 (24)

где ъ = [ХI, Р - вектор-функция, 3 = — - матрица Якоби, к-номер итерации. Исключение

и»; &

подсистемы алгебраических уравнений на каждом шаге итерации производится путём преобразования исходной матрицы коэффициентов системы (23) в матрицу соответствующую подсистеме дифференциальных уравнений для х и р. Преобразование матрицы осуществляется с помощью прямого хода метода Гаусса. Система уравнений (24) интегрируется методом трапеций и вычисляются значения х и р на шаге. Затем, из решения алгебраической подсистемы уравнений определяются значения переменных у, и, С и I.

Основные сложности применения адаптированного принципа максимума Понтрягина состоят в получении системы уравнений (23) и подборе весовых коэффициентов <2 и Л из (22), который осуществляется, исходя из требований быстрого затухания переходного процесса ЭЭС и сходимости итерационного процесса решения.

Рис. 7. Оптимальное управление ЭЭС со СПИНЭ.

Применение адаптированного принципа максимума Понтрягина дало траектории оптимальных процессов, которые представлены на рис. 7. Из рис. 7 видно, что при оптимальном управлении СПИНЭ переключение угла а происходит чётко при изменении знака скольжения, а величина отклонения угла управления пропорциональна значению скольжения. Из чего следует, что управление СПИНЭ будет оптимальным в случае применения линейного регулятора вида:

а = (25)

где F - индекс установившегося послеаварийного режима.

На основе регулятора (25) был разработан квазиоптимальный регулятор СПИНЭ, который использует тот факт, что ускорение ротора генератора пропорционально разности активных мощностей, протекающих в линии в переходном и установившемся режимах, и функционирует на основе измерения и преобразования местных параметров:

а = а Р-к,1Ря, (26)

где 1ря |(.РЛ Рц - мощность в линии, притекающая к промежуточной

1=0

подстанции от передающей станции в переходном режиме.

Применение закона (26) для управления СПИНЭ даёт быстро затухающий переходный процесс, практически совпадающий с оптимальным (рис. 8), что справедливо для любой конфигурации сети (рис. 3) после снятия возмущения. За расчётное возмущение было принято К(3) на Л1 или Л2 с последующим отключением одной цепи соответствующей линии.

Рис. 8. Квазиоптимальное управление СГТИНЭ по местным параметрам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны математические модели известных видов накопителей электрической энергии для анализа установившихся режимов и электромеханических переходных процессов. Разработанные модели имеют одинаковую структуру и различаются составом физических и технических ограничений, что позволяет в расчётах переходить от модели одного вида накопителя к модели другого не изменяя алгоритма расчёта. Для СПИНЭ даны рекомендации по использованию упрощённых моделей.

2. На примере ЭЭС станция-шипы бесконечной мощности с промежуточным отбором показано, что при регулировании СПИНЭ по знаку скольжения ротора эквивалентного генератора могут быть решены задачи динамической устойчивости системы и демпфирования электромеханических колебаний. При использовании СПИНЭ совместно с форсировкой возбуждения генераторов передающей станции и СТК величина прироста пределов динамической устойчивости системы составляет 11%.

3. Выявлена тенденция изменения эффективности использования СПИНЭ в зависимости от его положения относительно передающей станции и параметров аварийных и послеаварийных режимов, энергоёмкости и максимальной мощности тиристорного преобразователя накопителя. Наибольший эффект от использования СПИНЭ для повышения динамической устойчивости ЭЭС проявляется при присоединении НЭЭ к шинам генератора.

4. Разработан метод, который позволяет применить принцип максимума Понтрягина к решению задач оптимального управления при моделировании нелинейных динамических систем как дифференциальными, так и алгебраическими уравнениями. Наличие подсистемы алгебраических уравнений приводит к усложнению алгоритма решения задачи оптимального управления, значительно возрастает порядок системы уравнений и ухудшаются условия сходимости итерационного процесса решения. Тем не менее, этот метод позволяет расширить область применения принципа максимума Понтрягина на системы, содержащие управляемые устройства в любом узле ЭЭС.

5. Синтезированы законы управления СПИНЭ на основе принципа максимума Понтрягина для решения задач увеличения пределов динамической устойчивости и демпфирования колебаний ЭЭС. С помощью принципа максимума были найдены предельные возможности управления накопителем в ЭЭС станция-шины бесконечной мощности с промежуточным отбором.

6. Показано, что регулирование СПИНЭ по величине и знаку скольжения обеспечивает близкие к оптимальным переходные процессы в ЭЭС - станция-шины бесконечной мощности с промежуточной подстанцией. При таком управлении накопителем реализуются его предельные возможности в управлении переходным режимом энергосистемы.

7. Получен и испытан закон управления СПИНЭ по отклонению временного интеграла мощности линии. При управлении накопителем по этому закону траектории движения динамической системы практически совпадают с оптимальными. Этот закон управления реализуется на основе измерения и обработки параметров, доступных по месту установки НЭЭ. '

Основные положения диссертации изложены в следующих работах:

1. Кузнецов О.Н., Никитин Д.В., Строев В.А. Анализ динамической устойчивости электроэнергетической системы с учётом сверхпроводникового накопителя энергии. // Труды международной конференции «Автоматическое управление в электроэнергетических системах»: 6-9 октября 1999 г. - Блед, Словения.— 1999. С. 149154.

2. Кузнецов О.Н Исследование динамической устойчивости электроэнергетической системы при использовании сверхпроводникового индуктивного накопителя энергии совместно с компенсаторами реактивной мощности. // Вестник МЭИ. -2000. -№2. -С. 35-40.

3. Строев В.А., Никитин Д.В., Гремяков A.A., Кузнецов О.Н. Функциональные возможности применения накопителей энергии в электроэнергетических системах. // Вестник МЭИ. -2001.-Xsl.-С. 33-39.

4. Кузнецов О.Н., Строев В.А. Синтез закона управления СПИНЭ для обеспечения динамической устойчивости ЭЭС. // Седьмая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов: 27-28 февраля 2001 г. Тез. докл. в 3-х т. Т. 3. -М: МЭИ, 2001.-С. 304-305.

5. Строев В.А., Никитин ДВ., Кузнецов О.Н. Математические модели накопителей электроэнергии для расчёта режимов электроэнергетических систем. // Труды Международной научно-практической конференции «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России». 27-28 июня 2002 г. -С.-П.: СПбГТУ. -2002.-С. 181-195.

6. Кузнецов О.Н., Строев В.А. Об одном обобщении принципа максимума Понтрягина в задачах управления электромеханическими переходными процессами электроэнергетических сисгем. II Вестник МЭИ. -2003. -Xsl. -С. 33-40.

Зак^/^Тир. {Ci'TUl.f,hb подп. в печать ПЦ МЭИ (ТУ), Красноказарменная ул., д. 13.

/Ч г I I

ГЛАВА 1. Постановка задачи

ГЛАВА 2. Разработка математических моделей накопителей электрической энергии

2.1. Структура накопителей электрической энергии .:.

2.2. Модели аккумулирующих элементов накопителей

2.2.1. СПИНЭ

2.2.2. БНЭ

2.2.3. ЕНЭ

2.3. Модель тиристорного преобразователя

2.4. Модели накопителей энергии

2.4.1. Модель СПИНЭ

2.4.2. Модель БНЭ

2.4.3. Модель ЕНЭ

2.5. Модель статического тиристорного компенсатора и батареи конденсаторов

2.6. Выводы по главе

ГЛАВА 3. Динамическая устойчивость ЭЭС с накопителями электрической энергии

3.1. Математическое описание ЭЭС в расчётах электромеханических переходных процессов

3.1.1. Электрическая сеть

3.1.2. Синхронные генераторы

3.1.3. Накопители энергии

3.2. Алгоритм расчёта динамической устойчивости ЭЭС со СПИНЭ и компенсаторами реактивной мощности

3.3. Анализ моделей СПИНЭ

3.4. Расчёт динамической устойчивости ЭЭС со СПИНЭ и, компенсаторами реактивной мощности

3.4.1. Расчёты пределов динамической устойчивости ЭЭС и их повышение за счёт СПИНЭ

3.4.2. Расчёты пределов динамической устойчивости ЭЭС, содержащей СПИНЭ с СТК

3.4.3. Демпфирующие свойства СПИНЭ

3.4.4. Выбор рациональной мощности и энергоёмкости СПИНЭ по условию повышения динамической устойчивости ЭЭС

3.5. Выводы по главе

ГЛАВА 4. Синтез систем автоматического управления накопителями электрической энергии в ЭЭС j4.1. Линеаризованное представление ЭЭС

4.2. Алгоритмы определения оптимального закона управления линеаризованной системой

4.2.1. Принцип максимума Понтрягина

4.2.2. Принцип максимума для линейных систем

4.2.3. Закон оптимального управления с заданной степенью устойчивости для линейной системы

4.3. Оптимальное управление линеаризованной системой

4.3.1. Выбор весовых коэффициентов и собственные значения

4.3.2. Определение оптимального закона управления при заданном значении коэффициента затухания переходного процесса

4.3.3. Поведение нелинейной системы при управлении СПИНЭ по оптимальному закону линеаризованной системы

4.3.4. Сопоставление регулирования СПИНЭ по скольжению с оптимальным управлением для линеаризованной системы

4.4. Адаптирование принципа максимума Понтрягина к решению задач в дифференциальных и алгебраических уравнениях

4.5. Адаптирование метода квазилинеаризации

4.6. Проверка адекватности адаптированного принципа максимума Понтрягина

4.7. Оптимальное управление СПИНЭ в нелинейной ЭЭС

4.8. Управление СПИНЭ по местным параметрам

4.9. Выводы по главе

4.9. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4

Синтезированы оптимальные и квазиоптимальные законы управления для СПИНЭ в составе ЭЭС в линеаризованном и нелинейном представлении. Синтез законов управления основан на принципе максимума Понтрягина.

При синтезировании законов оптимального управления в линеаризованной ЭЭС были выявлены параметры системы, по которым регулирование СПИНЭ даёт наибольший эффект в обеспечении динамической устойчивости и демпфировании электромеханических колебаний. Такими параметрами являются отклонение угла ротора эквивалентного генератора и его скольжение. Законы управления, дающие наибольшее демпфирование, были, получены при решении задачи оптимального управления с задаваемой степенью затухания переходного процесса. С увеличением задаваемой степени устойчивости возрастает эффективность демпфирования электромеханических колебаний ЭЭС.

На основе исследования линеаризованной ЭЭС был получен линейный регулятор для СПИНЭ, в котором используется сигнал скольжения ротора эквивалентного генератора. Линейный регулятор был опробован в нелинейной системе и показал хорошие результаты в решении задачи увеличения пределов динамической устойчивости и демпфирования электромеханических колебаний.

Затем синтез закона управления был проведён для ЭЭС в нелинейном представлении. Для синтеза закона управления был модифицирован принцип максимума Понтрягина, который в своей начальной постановке применим к системам, моделируемым только дифференциальными уравнениями. Принцип максимума Понтрягина был адаптирован для применения к системам, моделируемым как дифференциальными, так и алгебраическими уравнениями.

С помощью адаптированного принципа максимума Понтрягина могут быть решены задачи нахождения оптимального управления устройствами, потребляющими и выдающими активную и реактивную мощность. Причём эти устройства могут находиться в любом узле ЭЭС произвольной конфигурации.

На основе адаптированного принципа максимума Понтрягина был синтезирован закон оптимального управления. Согласно этому закону, СПИНЭ должен регулироваться по величине скольжения ротора эквивалентного генератора передающей станции: при положительном скольжении накопитель потребляет мощность, а при отрицательном выдаёт в систему. Для реализации такого закона управления необходим сигнал скольжения, который должен передаваться с электростанции, что требует наличия канала передачи текущей информации.

Реализация закона оптимального управления может быть осуществлена на основе измерения и обработки местных параметров подстанции со СПИНЭ. Таким образом, СПИНЭ может регулироваться в соответствии с квазиоптимальным законом управления по знаку и величине временного j интеграла от отклонения мощности, притекающей к подстанции со СПИНЭ от передающей станции.

Все алгоритмы, разработанные для СПИНЭ, могут быть применены к остальным типам накопителей электрической энергии после модификаций, определяемых типом накопителя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны математические модели известных видов накопителей электрической энергии для анализа установившихся режимов и электромеханических переходных процессов. Разработанные модели имеют одинаковую структуру и различаются составом физических и технических ограничений, что позволяет в расчётах переходить от модели одного вида накопителя к модели другого не изменяя алгоритма расчёта. Для СПИНЭ даны рекомендации по использованию упрощённых моделей.

2. На примере ЭЭС станция-шины бесконечной мощности с промежуточным отбором показано, что при регулировании СПИНЭ по знаку скольжения ротора эквивалентного генератора могут быть решены задачи динамической устойчивости системы и демпфирования электромеханических колебаний. При использовании СПИНЭ совместно с форсировкой возбуждения генераторов передающей станции и СТК величина прироста пределов динамической устойчивости системы составляет 11%.

3. Выявлена тенденция изменения эффективности использования СПИНЭ в зависимости от его положения относительно передающей станции и параметров аварийных и послеаварийных режимов, энергоёмкости и максимальной мощности тиристорного преобразователя накопителя. Наибольший эффект от использования СПИНЭ для повышения динамической устойчивости ЭЭС проявляется при присоединении НЭЭ к шинам генератора.

4. Разработан метод, который позволяет применить принцип максимума Понтрягина к решению задач оптимального управления при моделировании нелинейных динамических систем как дифференциальными, так и алгебраическими уравнениями. Наличие подсистемы алгебраических уравнений приводит к усложнению алгоритма решения задачи оптимального управления, значительно возрастает порядок системы уравнений и ухудшаются условия сходимости итерационного процесса решения. Тем не менее этот метод позволяет расширить область применения принципа максимума Понтрягина на системы, содержащие управляемые устройства в любом узле ЭЭС.

5. Синтезированы законы управления СПИНЭ на основе принципа максимума Понтрягина для решения задач увеличения пределов динамической устойчивости и демпфирования колебаний ЭЭС. С помощью принципа максимума были найдены предельные возможности управления накопителем в ЭЭС станция-шины бесконечной мощности с промежуточным отбором.

6. Показано, что регулирование СПИНЭ по величине и знаку скольжения обеспечивает близкие к оптимальным переходные процессы в ЭЭС — станция-шины бесконечной мощности с промежуточной подстанцией. При таком управлении накопителем реализуются его предельные возможности в управлении переходным режимом энергосистемы.

7. Получен и испытан закон управления СПИНЭ по отклонению временного интеграла мощности линии. При управлении накопителем по этому закону траектории движения динамической системы практически совпадают с оптимальными. Этот закон управления реализуется на основе измерения и обработки параметров, доступных по месту установки НЭЭ.

1. Горнштейн В.М. Методы оптимизации режимов энергосистем. — М.: Энергоатомиздат, 1981. -336 с.

2. Веников В. А. Журавлев В. Г., Филиппова Т. А. Оптимизация режимов электростанций и энергосистем. —2-е изд., перераб. и доп. — М.: Энергоатомиздат, 1990. -349 с.

3. Астахов Ю. Н., Веников В. А., Тер-Газарян А. Г. Роль накопителей энергии в энергосистемах//Труды МЭИ, 1980. Вып. 486. С. 65-71.

4. Накопители энергии: Учеб. пособие для вузов/ Д.А. Бут, Б.Л. Алиевский, С.Р. Мизюрин, П.В. Васюкевич; Под ред. Д.А. Бута. — М.: Энергоатомиздат, 1991.-400 е.: ил.

5. Гулиа Н. В. Накопители энергии. М.: Наука, 1980. -151 с.

6. Гидроаккумулирующие электростанции. Строительство и эксплуатация/ Н.И. Серебряников, В.Г. Родионов, А.П. Кулешов. -М.: НЦ ЭНАС, 2000. -335 е.: ил.

7. Фернандес Р. А. Новые принципы аккумулирования энергии и их применение в энергосистемах/ В кн.: Энергетика мира. М.: Энергия, 1976.

8. Михайлов А. К. Перспективы создания сверхпроводящих накопителей электроэнергии// Энергохозяйство за рубежом. 1976, № 2, С. 1—4.

9. Жебит В. А., Зарубежные разработки технологии аккумулирования энергии в сверхпроводящих накопителях. М.: ин-т "Информэлектро", 1981. -33 е.: ил.

10. Кукол ев М.И. Основы проектирования тепловых накопителей энергии/ -Петрозавод. гос. ун-т. Петрозаводск, 2001. -238 е.: ил.

11. Thermal energy storage using a phase change material/ M.A. Hamdan, F.A. Elwerr// Solar Energy, Vol. 56, №2. Pp. 183-189.

12. Накопители энергии в электрических системах: Учеб. пособие для электроэнергет. спец. вузов/ Астахов Ю.Н., Веников В.А., Тер-Газарян А.Г. -М.: Высш. шк., 1989. 159 е.: ил.

13. Тенденции разработок сверхпроводящих индуктивных накопителей/ Murakami Yoshishige// OHM 1991 - 78, № 12, с. 3 8-43. (

14. Peterson Н.А., Mohan N., Boom R.W. Superconductive energy storage inductor-converter units for power systems. IEEE Trans, on Power Apparatus and Systems 1975; 94(4): 1337-1348.

15. Luongo C.A. Superconductiing storage systems: an overview. IEEE Trans, on Magnetics 1996,32(4) :2214-2223.

16. Возможности транспорта электрической энергии с помощью линейных накопителей энергии/ Ю. Н. Астахов, В. А. Веников, А. Г. Сумин, А. Г. Тер-Газарян/ Труды МЭИ, 1983. Вып. 619. С. 59—64.

17. Вентильные преобразователи на базе полностью управляемых тиристоров/ О.Г. Булатов, С.В. Одынь; Науч. ред. А.Я. Бернштейн /Итоги науки и техники ВИНИТИ. -М.: ВИНИТИ, т.2, 1979. -111 с., ил.

18. Новые силовые полупроводниковые приборы и технология ихизготовления: Сб. науч. тр. / Всесоюз. Электротехн. ин-т им. Ленина; ПодIобщ. Ред. А.Н. Думаневича. М.: ВЭИ, 1991. - 239с.: ил.

19. Воронин П.А. Силовые полупроводниковые ключи: семейства, характеристики, применение. М.: Изд. Дом Додэка. XXI, 2001.

20. Distributed energy storage for power systems Selected problems / K. Feser, Z.A. Styczynski Hrsg.. - Aachen: Mainz, 1988.

21. Рубинраут A.M., Бурбаева H.B. Сверхпроводниковый индуктивный накопитель энергии для повышения динамической устойчивости энергосистемы с синхронной нагрузкой/ Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1977, №4.

22. Строев В.А., Никитин Д.В., Гремяков А.А., Кузнецов О.Н. Функциональные возможности применения накопителей энергии в электроэнергетических системах. // Вестник МЭИ, 2001, №1. -с. 33-39.

23. Применение сверхпроводящей катушки индуктивности для повышения динамической устойчивости ЭЭС. Application of a superconducting coil for transient stability enhancement/ El-Amin M., Mushtag Hussain M.// Elec. Power. Syst. Res. 1989 - 17, №3, c. 219-228.

24. Tan Y.L, Wang Y. Augmentation of transient stability using a superconducting coil and adaptive non-linear control. IEEE Trans, on Power Systems 1998; 13(2): 361-366.

25. Mitani Y., Tsuji К, Murakami Y. Application of SMES to improve power system dynamic performance. IEEE Trans, on Power Systems 1988; 3(4): 1418-1425.

26. Wu C.J., Lee Y.S. Application of superconducting magnetic energy storage to improve the damping of synchronous generator. IEEE Trans, on Energy Conversion 1991; 6(4): 573-578.

27. Simo J.B., Kamwa I. Exploratory assesment of the dynamic behaviour of multimachine stabilized by a SMES unit. IEEE Trans, on Power Systems 1995; 10(3): 1566-1571.

28. Schermer R.I., Boeing H.J., Dean J. 30 MJ superconducting magnetic energy storage for BPA transmission line stabilizer. IEEE Trans, on Magnetics 1981; 17(5): 1950-1953.

29. Rogers J.D., Schermer R.I., Miller. B.L., Hauer J.F. 30 MJ superconducting magnetic energy storage system for utility transmission line stabilization. Proc. of the IEEE 1983; 71(9): 1099-1107.

30. Pal B.C. Robust Damping Control of Intera-area Oscillations in Power Systems With Superconducting Magnetic Energy Storage Devices. Ph.D. dissertation. Imperial College, University of London, 1999.

31. O.N. Kuznetsov, D.V. Nikitin, Stroev V.A. Power system transient stability analysis with the account of SMES. 11th Power System Automation Conference, Bled, Slovenia, 1999, pp. 149-154.

32. Borgard L. Grid voltage support at your fingertips.- Transmission&Distribution World. October 1999.

33. Сверхпроводниковые токоограничивающие устройства и индуктивные накопители энергии для электроэнергетических систем. И.З. Глускин, Г.А. Дмитриева, М.Ш. Мисриханов, В.Г. Наровлянский, И.В. Якимец, М.: Энергоатомиздат, 2002. - 373 с.

34. Строев В.А., Селиджанов P.M. Управление переходными режимами в электрических системах/ Под ред. Пуго В.И. М.: Изд-во МЭИ, 1992. — 91с.

35. Веников В.А., Портной, М.Г. Теория оптимального управления электрическими системами и задачи повышения устойчивости/ — Электричество, 1974, №3.

36. Петров Ю.П. Использование принципа максимума для нахождения оптимального закона регулирования синхронной машины. — Электричество, 1964, №10.

37. Веников В.А., Портной М.Г. Теория оптимального управления электрическими системами и задача повышения их устойчивости/ — Электричество, 1971, №2.

38. К вопросу оптимального управления переходными процессами в электроэнергетических системах. On optimal control of transients in not-verylarge electrical power systems. Venikov V.A., Tawfik M.A.H. "Rob. and Autom.t

39. Proc. IASTED Int. Symp., Lugano, June 22-24, 1983."

40. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамекрелидзе P.B., Мищенко Е.Ф., Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, Гл. ред. физмат. лит., изд. 3-е изд., 1976. -392 с.

41. Электрические системы: Управление переходными режимами электроэнергетических систем. Учебник/ Веников В.А., Зуев Э.Н., Портной М.Г. и др.; Под ред. В.А. Веникова. — М.: Высш. школа, 1982.- 247 е., ил.

42. Веников В.А., Строев В.А., Тауфик М.А, Штробель В.А. Об одном подходе в оценке эффективности регулирующих устройств в электроэнергетических системах/ — Электричество, 1978, №4. С. 9-13.

43. Salomeh Z.M., Casacca М.А., Lunch W.A. A mathematical model for lead-acid batteries.// IEEE transactions on Energy Conversion. March 1992. Vol. 7. №1. Pp 93-97.

44. Разработка теоретических основ моделирования и исследования режимов работы сложных электроэнергетических систем, содержащих накопители электроэнергии. Отчет о НИР. Рук. работы Строев В.А. Гос. per. №01200001476, инв. №02200106275. -М., МЭИ, 2001. 46 с.

45. Поссе А.В. Общие закономерности, характеризующие работу многофазных преобразователей/ — Электричество, №5, 1963.

46. Поссе А.В. Схемы и режимы электропередач постоянного тока. Л.: Энергия, 1973. -303 е., ил.

47. Веников В.А., Рыжов Ю.П. Дальние электропередачи переменного и постоянного тока. Учебн. Пособие для вузов. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 272 е., ил.

48. Размадзе М.М. Исследование двенадцатифазной параллельной вентильной схемы. Тр. Грузинского политех, инст., №29, Тбилиси, 1953.

49. Глинтерник С.Р. Электромагнитные процессы и режимы мощных статических преобразователей. — Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1968, — 308 с.

50. Богачков М.Л., Глинтерник С.Р., Новицкий В.Г. Математическое моделирование режимов работы мощных преобразователей в электрических системах/ Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1967, №5.

51. Емельянов А.В. Особенности работы мощных преобразователей приоднофазных КЗ в системе переменного тока. В сб.: Электроэнергетика, вып.2, Изд. АН СССР, М., 1960.

52. Емельянов А.В. Работа мощных преобразователей при несимметричном питании системы. В сб. работ по вопросам электромеханики, вып.6, Изд. АН СССР, М.-Л., 1961. с. 50-60.

53. Емельянов А.В., Кожарин Б.К. Влияние схем соединения трансформаторов на работу ионных преобразователей при несимметрии в системе переменного тока. В сб. работ по вопросам электромеханики, вып.8, Изд. АН СССР, М.-Л., 1963. с. 83-96.

54. Емельянов А.В., Синьков В.М. Выпрямленное напряжение при двухполюсном замыкании в цепи питании схемы Ларионова/ — Электричество, №2, 1952.

55. Богачков М.Л. Математическое моделирование переходных процессов в системах с мощными преобразователями. В сб.: Системы возбуждения ирегулирования синхронных машин и мощные статические преобразователи, М.-Л.: Наука, 1967.

56. Лунутин В.А Расчёт динамической устойчивости электрических систем с мощными преобразователями. Изв. Томского политех, инст., т. 94, 1958.

57. Железко Ю.С. Компенсация реактивной мощности и повышение качества электроэнергии. -М.: Энергоатомиздат, 1985. —224 с, ил.

58. Барковский Б.С. Влияние несимметрии и несинусоидальности нагрузки на работу трансформаторов и турбогенераторов. — Омск, 1964/вып. дан. 1965.

59. Ивакин В.Н., Сысоева Н.Г., Худяков В.В. Электропередачи и вставки постоянного тока и статические тиристорные компенсаторы. М.: Энергоатомиздат, 1993. -334 с.

60. Доброусин Л.А. Широкополосные фильтрокомпенсирующие устройства для тиристорных преобразователей. / Электричество, 1985, №4.

61. Глинтерник С.Р. Тиристорные преобразователи со статическими компенсирующими устройствами. — Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1988.-240 е.: ил.

62. Системы управления вентильными преобразователями Сб. статей/ Отв. ред. Гутнин Б.М.. М.: Тр. ВНИИЭМ/ ВНИИ электромеханики; Т. 67. 1982.

63. Системы управления и передачи информации в электроэнергетике Сб. статей/ Отв. ред. Амбросович В.Д.. М.-Л.: Наука, Ленингр. отд-ние, 1966.

64. Системы управления тяговым приводом с повышенными энергетическими показателями Сб. ст. — М.: 1988. -108 е.: ил. — Московский Энергетический Институт, Сб. науч. трудов №183.

65. Зуев Э.Н., Строев В.А. Математическое описание элементов электрической системы. М.: МЭИ, 1983.

66. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах: Учеб. Для электроэнергет. Спец. вузов. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. Шк., 1985. - 536 е., ил.

67. V.A. Stroev, D.V. Nikitin, S.V. Shulgenko, N.I. Voropai. Load flow calculations for power systems with energy storages. EES AT Proceedings, June 1998, Chester U.K., pp. 137-144.

68. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов. — М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. 392 с.

69. Определение границ интервалов линаризации в задачах моделирования нелинейных систем. Determination of the bounds of linearization sectors in nonlinear system modelling. /Harsanyi, L., Kultan, J. //Electrotechn. cas. -1992. -т. 43, №2.-C. 49-51.

70. Описание систем в пространстве состояний. Г.А. Пикина/ Под ред. Э.К. Аракеляна. М.: Изд-во МЭИ, 1994. -28 с.

71. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. -650 с.

72. Веников В.А., Строев В.А., Тауфик М.А. Об одном алгоритме решения задачи оптимального управления переходными процессами в электроэнергетических системах/ Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1978, №4. С. 17-26.

73. О применении метода квазилинеаризации для расчётов оптимальных систем/ Островский Г.М., Борисов В.В., Волин Ю.М., Шумуков Л.Н. — Изв. вузов Энергетика, 1968, №11.