автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Производящие функции в играх голосования

На правах рукописи

Калугина Анастасия Михайловна

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ В ИГРАХ ГОЛОСОВАНИЯ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Петрозаводск - 2009 г.

003470645

Работа выполнена в Забайкальском государственном гуманитарно-педагогическом университете им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Мазалоп Владимир Викторович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Рогов Александр Александрович, заведующий кафедрой теории вероятностей и анализа данных Петрозаводского государственного университета

кандидат физико-математических наук Реттиева Anna Николаевна, ст.н.с. лаборатории математической кибернетики Института прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН.

Ведущая организация: Южный федеральный университет (г. Ростов-на-Дону).

Защита состоится п„.9..."..tytP.fy^...... 200,? г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 в Петрозаводском государственном университете по адресу: 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан ........ 200.1?г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 212.190.03

В.В. Поляков

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Игры голосования являются частью кооперативной теории игр. Первые работы но анализу ¡юли игроков в коалиции принадлежат Л. Ше-пли. Вектор Шеили широко используется в различных прикладных задачах, связанных с принятием решений в управлении сложными социальными и экономическими системами. Развитие современной теории кооперативных игр характеризуется разработкой методов, позволяющих более глубоко описывать процессы принятия коллективных решений. Одним из таких методов является анализ распределения влияния участников в органах, осуществляющих коллективное принятие решений, таких, как выборные органы и органы коллегиального управления. Проблема распределения влияния привлекает внимание именно потому, что без учета этого феномена принятие решений не может корректно моделироваться.

В выборных органах, например, парламентах, решения принимаются путем голосования. Решение считается принятым, если число голосов, поданных за него, превышает некоторую квоту, которая определяется конкретной процедурой голосования (например, наиболее распространенная процедура - "простое большинство голосов", в которой для принятия решения требуется более 50% голосов "за"). При наличии трех или более партий в парламенте вполне возможно, что ни одна из них не обладает числом голосов, превосходящим заданную квоту, и, следовательно, не может в одиночку обеспечить принятие решений; таким образом, для проведения решений партиям необходимо вступать в коалиции. Важную роль играют коалиции, которые могут обеспечить необходимое большинство.

Коалиция называется выигрывающей, если она может принять решение без голосов остальных партий. В противном случае коалиция называется проигрывающей. Чем больше коалиций, которые данная партия делает выигрывающими, тем больше у нее возможностей влиять на исход голосования. Можно показать, что сила влияния партий напрямую не зависит от числа её голосов. Поэтому вводятся индексы влияния,

измеряющие степень влияния партии в парламенте на основании числа коалиций, которые партия делает выигрывающими.

Важные результаты в этой области представлены в работах следующих авторов: Shapley L.S., Deegan J., Fackel E.W., Hoede С., Bakker R., Penrose L.S., Shubik M., Brains S.F., Affuso P.J.

Цель диссертационной работы заключается в построении комплекса методов и алгоритмов для вычисления индексов влияния и других теоретико-игровых характеристик в процедурах голосования с использованием производящих функций.

В работе проведено исследование следующих теоретико-игровых моделей:

1. игра голосования без влияния игроков друг на друга;

2. игра голосования с влиянием игроков друг на друга;

3. игра голосования для выбора комитета.

Научная новизна работы. Для игры голосования получено представление индексов Холлера, Дигана-Пакела, индекса Хеде-Баккера и его модификации в терминах производящих функций, при этом оператор перехода от векторов предпочтений к векторам решений представлен в линейной форме.

Для игр взвешенного голосования 3-х и 4-х лиц найдены точные выражения для n-ядра, выявлена взаимосвязь n-ядра в играх для n — 1 и п игроков.

Для игры голосования с выбором комитета предложен алгоритм для процедур минисуммы и минимакса, использующий производящие функции.

Практическую ценность работы представляет разработанный комплекс методов и алгоритмов для анализа ситуаций в выборных органах.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения:

1. Получено представление индексов Холлера, Дигаиа-Пакела, Хеде-

Баккера и обобщенного индекса Хеде-Баккера в терминах производящих функций.

2. Найден вид га-ядра во взвешеной игре голосования с 3-мя и 4-мя игроками и условия для связи га-ядра в играх для п-1 и га игроков.

3. Для игры голосования с выбором комитета разработаны алгоритмы определения выигрывающего комитета, использующие производящие функции.

4. Разработан комплекс программ для вычисления индексов Холле-ра, Дигана-Пакела и определения выигрывающего комитета в пакете символьных вычислений Mathematica.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. Межвузовская конференция "Проблемы прикладной математики", г.Чнта, ЗабГПУ, 5-7 мая 2005г.

2. Городская научная конференция к 100-летию Государственной Думы России "Российский парламентаризм: история и современность", г.Чита, 25-26 апреля 2006 г.

3. Всероссийская научно-практическая конференция "Выборы депутатов Государственной Думы Федерального собрания Российской Федерации в условиях демократизации Российского государства", г.Чита, 26-27 октября 2006 г.

4. V Московская международная конференция по исследованию операций (ORM-2007), посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Моисеева, г.Москва, 10-14 апреля 2007 г.

5. II Международная конференция по Теории игр и Менеджменту GTM2008, г.Санкт-Петербург, 26-27 июня, 2008 г.

Публикация результатов. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из них - 9 статей [1,2,3,4,5,6,7,8,9] и тезисы двух докладов [10,11].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка, содержащего 58 наименований. Общий объем диссертации составляет 106 стра-

ниц, включая 26 таблиц, 10 рисунков и 1 приложение.

Содержание работы

Во введении отражена актуальность работы, поставлена цель исследования, обоснована новизна работы, дан краткий исторический обзор проблематики, сформулированы положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

В первой главе рассматриваются индексы Банцафа, Шепли-Шубика, Холлера, Дигана-Пакела, Хеде-Баккера и обобщенный индекс Хеде-Баккера.

Раздел 1.1. посвящен исследованию игры взвешенного голосования без влияния игроков друг на друга.

В разделе 1.1.1. описаны индексы Банцафа и Шепли-Шубика в терминах производящих функций.

Определение 1.1. Игрой голосования называется кооперативная игра < N; v >, в которой характеристическая функция принимает два значения: Oui, v(N) = 1. Коалиция S, для которой v(S) = 1, называется выигрывающей коалицией. Множество выигрывающих коалиций обозначим W.

Определение 1.2. Переключением для игрока i называется пара коалиций (SUi,S), когда коалиция (S U г) является выигрывающей, а коалиция S - нет.

Определение 1.3. Игрок i ф S, превращающий проигрывающую коалицию S в выигрывающую, называется ключевым игроком для коалиции S.

Определение 1.4. Вектором Банцафа в игре голосования < N,v > называется вектор ¡3{v) — (j3\(v), ...,/3n(v)), где индекс игрока i имеет вид:

№) = flw'i = 1""'"- (1Л)

i£N

Определение 1.5. Вектором Шепли-Шубика для игры голосования < N;v > называется вектор ф(у) = ((f>i{v), ...,ф„(у)), где индекс

г-го игрока имеет вид:

А! Л V (|3|)1(п-|5|-1)!

Определение 1.6. Игрой взвешенного голосования называется кооперативная игра < 1, ...,гип >, в которой характеристическая функция имеет вид:

1 1, если го(5) > д, = <

I 0, если ги(3) < д, где ги(5) = ^ из^ - сумма голосов игроков, входящих в коалицию Б.

Для вычисления индексов влияния удобно использовать производящие функции.

Определение 1.7. Производящей функцией последовательности

{а„,п > 0} называется функция

С(х) =

п>0

и для последовательности {«(гн, ...,Пк),щ > 0,г — 1,...,к} -С(хи...,хк) = ^ ... а(т,...)пк)х"1...х1к.

п 1>0 тг^^О

Производящие функции для индекса Банцафа были описаны в работах Брамса, Аффузо, а для индекса Шепли-Шубика - в работах Кантора.

Теорема 1 [Брамс, Аффузо]. Пусть < ...,тп > - игра взвешенного голосования. Тогда число переключений щ{1)) в индексе Банцафа можно представить как

9-1

%(«)= Е Ь'(к),г = 1,...,и, (1.3)

где Ьг(к) - число коалиций Б Б, сила которых равна = к, с

производящей функцией вида:

= + С1-4)

№

Теорема 2 [Кантор]. Пусть < <7; ...,юп > - игра взвешенного голосования. Тогда индекс Шепли-Шубика можно представить как

( Ё ) ,¿=1....... (1.5)

где Аг(к,а) - число коалиций Я, включающих ровно 5 игроков и г Я, сила которых равна гу(5) = к, для которого производящая функция имеет вид:

= + (1-6)

В разделе 1.1.2. доказаны теоремы о представлении индексов Хол-лера и Дигана-Пакела в терминах производящих функций. Определение 1.8. Минимальной выигрывающей коалицией называется коалиция, в которой каждый из игроков является ключевым. Определение 1.9. Вектором Холлера в игре взвешенного голосования < IV, V > называется вектор к(г>) = (/11(1;),.., Ьп(у)), где индекс игрока г равен

Ы(у)= . , г = 1,...,гг, (1.8)

Е "м^)

гелт

где Шг - число минимальных выигрывающих коалиций, содержащих 1-го игрока, г = 1,..., тг.

Определение 1.10. Вектором Дигана-Пакела в игре взвешенного голосования < Ы,у > называется вектор с1р(у) — (<1р\{у), ...,йрп(у)), где индекс игрока г равен

<1рг(у) = — V" г — 1, ...,п, (1.9)

то в

зем-лев

где М - множество всех минимальных выигрывающих коалиций, т -общее число минимальных выигрывающих коалигщй и s - число членов коалиции S.

Введем символ 7j - "метку" игрока j. Наличие метки как множителя перед степенью х будет означать, что игрок j присутствует в коалиции, соответствующей данному члену полинома. Метки не имеют числовых значений и не могут быть сложены (умножены) друг с другом.

Пусть #{Л : а} обозначает число объектов А, удовлетворяющих условию а.

Теорема 3. Пусть < q\Wi, ...,wn > - игра взвешенного голосования. Тогда число минимальных выигрывающих коалиций rrii(v) в индексе Холлера можно представить как

<3-1

rm(v)= Y, £ wj=k,wig>k-q + wi +1}, (1.10)

k=q—Wi jeSJjíi

где is : Wis = min w¡, и производящая функция имеет вид:

ед = П(1 + 7^)- (I.Ii)

j^i

Теорема 4. Пусть < q;wi,...,wn > - игра взвешенного голосования. Тогда число минимальных выигрывающих коалиций т равно

q+w¡s~l

ш= £ (1.12)

k=q jes

где ls : wis — minw/ и производящая функция имеет вид:

G(x)= Д(1 + 7^). (1.13)

¿6 N

В разделе 1.2. проведено исследование игры голосования, с которой одни игроки могут влиять на решение других.

Рассмотрим ситуацию, в которой п > 1 игроков должны одоб-

рить (принять) или отклонить (не принять) некоторое решение. Пусть

N = {1.....п> - набор всех игроков. Предположим, что каждый игрок

имеет предпочтение проголосовать "за" (обозначим 1) или проголосовать "против"(обозначим 0). Пусть р - вектор, состоящий из п компонент, 1 и 0, и указывающий предпочтения игроков, и пусть Р - набор всех векторов предпочтений. |Р| —2п. Первоначальное решение игрока

- это его предпочтение. Предположим, что в процессе игры одни игроки могут влиять на других, поэтому окончательное решение некоторых игроков может отличаться от их первоначального решения.

В результате, каждый вектор предпочтений р <Е Р переходит в вектор решений Ь, который также состоит из п компонент (0 и 1) и показывает, какие окончательные решения были сделаны игроками. Зададим оператор В : Р —> В(Р), то есть, Ъ = Вр. где В(Р) - набор всех векторов решений.

Введем коллективное решение, которое является функцией, определенной на векторах решений Ь. Пусть эта функция принимает значение +1, если число игроков, проголосовавших "за", не меньше, чем <7, и -1

- в противном случае, д - число голосов, достаточное для проведения решения (квота).

Пусть рс — (р1,...,рп) обозначает дополнение р 6 Р, то есть для каждого к — {1,..., п}

Пусть дс1(В) - композиция В и дй. Следуя Хеде и Баккеру, введем следующие аксиомы:

(1.14)

Кроме того, пусть

р <р' <я> {к € N | рк = 1} С {к £ N | р'к = 1} . (1.15)

А1 :УреР Ы(Вр)с = -д¿{Вр)},

(1.16)

Л2 : Vp е Р Vp' € Р [р < р gd(Bp) < gd(Bp')}. (1.17)

При данном gd{B) индекс Хеде-Баккера игрока к е N определяется как

llBk(gd(B)) = -^r Е (1Л8)

{p--pk=i}

Вместо аксиомы (Al) Rusinovska и De Swart ввели следующие аксиомы:

A3 : gd(Bp) = +1, если рк — 1 для V i = 1, ...,п, (1-19)

А4 : gd(Bp) = -1, если рк - 0 для V i = 1,..., п. (1.20)

Тогда при выполнении (А2)-(А4) обобщенный индекс Хеде-Баккера имеет вид:

GHB(gd(B)) = ^ ( Е 9d{Bp) - £ gd(Bp)\ . (1.21)

\p:pic = 1 Р-Рк = 0 /

В работе В определяется как линейный оператор перехода от векторов предпочтения к векторам решения:

Ь=В-р, (1.22)

где Б = (/3jk)j ' матР"Да влияния,

{0, если игрок к не влияет на j,

(1.23)

1,если игрок к влияет на j.

0, если игрок j подвержен влиянию,

Pii = \ I1-24)

1,если игрок j не подвержен влиянию.

В разделе 1.2.2. предложены модификации индекса Хеде-Баккера и обобщенного индекса Хеде-Баккера.

Пусть Pi = {р е Р : рк = 1} , Р° = {р £ Р : рк = 0} .

Предложение 5. Пусть

Р1+ = {реР£-.д<1(Вр) = +1},

Р1~ = {ре Р1к : ^(Вр) = -1},

Н+\=тк. (1.25)

Тогда индекс Хеде-Баккера игрока к равен

Предложение 6. Пусть

Р°+ = {ре : дй(Вр) = +1} ,

(1-27)

= {ре Р% : = -1} ,

тогда обобщенный индекс Хеде-Баккера игрока к равен

ОНВМВ)) = (1.28)

В разделе 1.2.3. индекс Хеде-Баккера описан с помощью производящих функций.

Предположим, что множество всех игроков N = {1,...,п} можно разбить на три попарно непересекающихся подмножества: множество влияющих игроков - В; множество игроков, подверженных влиянию -Э: множество независимых игроков - I.

Вновь для упрощения используем символ ^ - 'метку' игрока ]. Запись "д. означает, что игрок к не находится ни под чьим влиянием. Запись означает, что игрок к влияет на игрока '}. Пусть 1 • 7/; = 7к,

Теорема 7. Для игры взвешенного голосования, в которой определе-

ны множества В, S, I, представление индекса Хеде-Баккера игрока к через производягцие функции имеет вид:

№ = aS? ~

П

где тк = aj> и з=ч

R[l\x)=lkx П П +

m€N\S leN\S,l¿k jes

Теорема 8. Для игры взвешенного голосования, в которой определены множества В, S, I, представление обобщенного индекса Хеде-Баккера игрока к через производящие функции имеет вид:

GHBk =

п

где ñ = Е aj> и j=g

fí[0)(x) = П (l+7lx]J^x). ieN\s,ijtk jes

Глава 2 посвящена определению n-ядра в играх голосования и определению выигрывающего комитета в игре голосования с выбором комитета.

В разделе 2.1 проведено исследование игры взвешенного голосования, для которой определяется п-ядро.

В качестве решения кооперативных игр n-ядро было предложено Шмайдлером. Важную роль в определении играют понятия лексикографического порядка и эксцесса.

Определение 2.1. Эксцессом для коалиции S называется величина е(х, S) = v{S) Ss 2n. (2.1)

ÍES

Определение 2.2. Пусть х, у Е Ят. Будем говорить, -что вектор х лексикографически меньше вектора у и обозначать это х <е у, если е(х) = е(у) или существует такое к : 1 < к < т, что е^х) = для всех г - 1, ...,к - 1 и ек(х) < ек{у).

Определение 2.3. Лексикографический минимум относительно предпочтения <е называется п-ядром кооперативной игры. Теорема 9 [Шмайдлер]. Для каждой кооперативной игры < И, V > п-ядро существует и единственно.

В работе доказаны следующие теоремы: Теорема 10. В игре взвешенного голосования с тремя игроками < д; 11)1,102,11)3 > в 0-1 редуцированной форме, где

где 77г - число коалиций, для которых игрок г ключевой.

Теорема 11. В игре взвешенного голосования с четырьмя игроками

< (?; и)1, г«2, и)з, и)4 > ° 0-1 редуцированной форме, где

1, если тщ + ю^' > д,

О, если ьц + Wj < ¿,7 = 1,2,3, г ф

п-ядро имеет вид:

(з'з'з)' если Щ — Щ — 131

N° = (!>осли = % = О,

к (1,0,0), если щ > 772, т = Щ

((1 1 1

(2.2)

г;({5}) =

1, если ^ > д, геэ

О, если ^ < д, ¿6Я

п-ядро имеет вид:

(1,1, 1, 1), если т/ =(1,1,1,1), V = (3,3,3,3), (1, 1,0,0), если г) = (3,3,1,1),у, = (4,4,0,0), (1,0,0,0), если ц = (4, 2, 2,2), т]= (5,3,1,1), Ц — (7,1,1,1),?? = (0,2,2,0), МС= если = (4,4,2,2), (2.3)

(1,1,1,0), если г, = (5,3,3,1), 17= (2,2,2,0),

7}= (4,4,4,0), (§,1,1,1), если г, = (6,2,2,2), [(§,1,1,1), если 11 = (5,3,3,1),

где щ - число коалиций, для которых игрок г ключевой.

Теорема 12. Пусть дана игра взвешенного голосования

С!п =< 1,...,и;п >, такая, что гих > ... > гип, (771,..., г/п) - число

переключений для игроков 1 ,...,п, цп = т/„_ 1 и ЛГС(п) = (жь ...,хп).

Если в игре взвехиенного голосования =< ц — и>п; и'1,..., гу„_1 >,

(?71, ...,г]'п_1) имеют тот же порядок, что и (щ,17,1—1), то

(2.4)

г = 1,..., п — 1.

где х\ — — 1

Раздел 2.2. посвящен исследованию игры голосования с выбором комитета. Комитеты могут избираться как в выборных органах, так и в административном аппарате различных учреждений; например, выборы совета факультета, выборы аудиторской комиссии и др. Вгашк, КПцсшг и Бапуег предложили процедуры минисуммы и минимакса для выбора комитета. Эти процедуры рассмотрены в разделе 2.2.1.

Пусть дано п избирателей и к кандидатов. Каждый избиратель в своем избирательном бюллетене может проголосовать за стольких кандидатов, сколько соответствуют его предпочтениям. Такой вид голосования называется голосованием одобрения. При голосовании одобрения каждый избирательный бюллетень - это бинарный /с-вектор, {рх, ...,Рк),

где ^ равно 0 или 1. Эти бинарные векторы указывают одобрение или неодобрение каждого кандидата избирателем. Для обозначения выбранных комитетов мы будем пользоваться подобными бинарными векторами.

Определение 2.4. Расстоянием Хеммиига между двумя избирательными бюллетенями р ы д, называется й{]з,ц), равное числу компонент, которыми они отличаются.

Есть два подхода к определению веса бюллетеня:

- индексный вес равен числу избирателей, заполнивших такой бюллетень;

- вес близости избирательного бюллетеня ср равен

- —

/1=1

где тПу - число избирателей, заполнивших бюллетень (¡* = (</{,..., д3п) и £ - число различных заполненных избирательных бюллетеней. Знаменатель этой дроби - это сумма расстояний Хемминга между избирательным бюллетенем ] и всеми остальными избирательными бюллетенями (включая ]).

Процедура минисуммы состоит в определении минимума среди суммарных значений весов всевозможных бюллетеней. Процедура мини-макса состоит в определении минимума среди максимальных значений весов всевозможных бюллетеней.

Раздел 2.2.2. посвящен описанию алгоритма применения производящих функций для процедур минисуммы и мшшмакса.

Пусть задано п избирателей и к кандидатов; избиратели заполняют п избирательных бюллетеней. Пусть А = {аг})=1 ( , I < п - множество избирательных бюллетеней. Некоторые заполненные бюллетени могут

повторяться. Пусть и; = и(а,;) число повторов избирательного бюллете-г

НЯОг,

1=1

Для обозначения кандидатов используем метки 7 = 1,..., к. Метки могут быть сокращены, если одновременно находятся в числителе

и знаменателе одной дроби. Так, запись 7173 означает комитет 101 в случае с тремя кандидатами, 1 соответствует комитету ООО.

В диссертационной работе щюдложен следующий алгоритм для определения комитета-победителя:

1) Для последовательности бюллетеней составим производящую

к

функцию С — |7 (1 + 7

2) Для каждого заполненного бюллетеня найдем Сг(а:) = ——-.

3) Составим последовательности, в которых по порядку записаны все элементы полученной суммы.

4) Каждому элементу Ьг, г = 1,...,2к последовательностей, полученных в (3) поставим в соответствие число д(Ьг), равное числу меток в Ъг. Это число определяет расстояние Хемминга между избирательными бюллетенями, записанными в числителе и знаменателе дроби. Получим последовательности чисел дг = {дг1-

5) Умножим последовательности, полученные в (4) на соответствующие веса.

6) Для процедуры минисуммы составил! последовательность IV -

г к

сумму последовательностей (5) для всех а^ 6 А, IV = {^2 д^щ}]-!-

г=1

Для процедуры мшшмакса сравним поэлементно последовательности

(5), и из максимумов составим последовательность М — {тахд^щ}.

aieA

7) Определим для последовательностей процедуру МтЫо{{с\) = (сгп;т), где ст - значение минимального элемента последовательности, т - порядковый номер этого элемента.

8) После применения этой процедуры к IV и М мы, определив элементы) с номером тп из последовательности (3), получим обозначение комитета-победителя выборов.

Третья глава содержит результаты численного моделирования игр голосования.

В пункте 3.1. определены с помощью производящих функций индексы Банцафа, Шепли-Шубика, Холлера, Дигана-Пакела для данных о ГД РФ 1-У созывов. Пункт 3.2. основан на данных о составе Законодательного Собрания Забайкальского края. Для некоторых созывов

рассмотрены две ситуации: первая - депутаты, не примкнувшие ни к какой партии голосуют вместе, как одна партия; вторая - депутаты голосуют независимо друг от друга, как несколько партий, состоящих из одного человека.

Например, распределение мест в Законодательном собрании Забайкальского края после выборов выглядело следующим образом:

Таблица 1

Партия Число мест

Единая Россия 14

КПРФ 4

ЛДПР 3

Справедливая Россия 2

Аграрная партия России 2

Одномандатники 25

Тогда для случая квалифицированного большинства индексы влияния имеют следующие значения:

Таблица 2

Индекс Банцафа (0.325,0.075,0.075,0.025,0.025,0.475)

Индекс Шепли-Шубика (0.0181,0.0042,0.0042,0.0014,0.0014,0.0264)

Индекс Холлера (0.0204,0.1633,0.1633,0.1633,0.1633,0.3265)

Индекс Дигана-Пакела (0.0313,0.0990,0.0990,0.0969,0.0969,0.2146)

N0 (0.333,0.167,0.167,0,0,0.333)

Из таблицы видно, что в индексах Банцафа и Шепли-Шубика партия 'Единая Россия" вторая по значимости, после Одномандатников, а в индексах Холлера и Дигана-Пакела - имеет наименьший вес, то есть участвует в наименьшем числе минимальных выигрывающих коалиций. Однако значения п-ядра для этих партий оказались равными. Если учесть что представители одномандатных округов присоединяются к той или иной партии, а также то, что составы партий периодически меняются, то значения индексов будут другими. В частности, увеличатся значения индексов для партии 'Единая Россия", так как многие депутаты-одномандатники являются сторонниками этой партии.

Пункт 3.3. содержит результаты моделирования поведения партий в Законодательном Собрании Забайкальского Края, для каждой модели определен индекс Хеде-Баккера.

Список опубликованных работ по теме диссертации

Статьи

[1] Калугина A.M. Индекс власти как показатель политической силы партии // Молодая наука Забайкалья: Аспирантский сборник. - Чита: Изд-во ЗабГПУ, 2005. - Часть II. С. 128-132.

[2] Калугина A.M. Применение теории игр в политике: анализ состава парламентов России и Украины // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Забайкал. гос. гум.-пед. ун-т. -Вып. 6. - Чита, 2006. С. 19-26.

[3] Калугина A.M. Современный российский парламентаризм в цифрах // Российский парламентаризм: история и современность: сб. статей / Заб. гос. гум.-пед. ун-т. - Чита, 2006. С. 113-116.

[4] Калугина A.M. Индексы власти и парадоксы власти в Читинской Областной Думе // Известия Российского государственного педагогического университета им.А.И. Герцена. № 13(36): Аспирантские тетради: Научный журнал. - СПб., 2007. - С. 53-57.

[5] Калугина A.M. Индекс Хеде-Баккера // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Заб. гос. гум.-пед. ун-т. -Вып. 8. - Чита: Изд-во ЗабГГПУ, 2008. С. 29-33.

[6] Калугина A.M. Индексы власти для ГДРФ I-V созывов // Проблемы гражданского общества и правового государства: сб. статей. -Вып. 11. - Чита, 2008. С. 93-101.

[7] Калугина А. М. Анализ распределения влияния в Законодательном Собрании Забайкальского края первого созыва //Моделирование. Системный анализ. Технологии: межвузовский сборник научных трудов. - Чита: ЗабИЖТ, 2009. - С. 150-154.

[8] Калугина A.M. Производящая функция для индексов Холле-ра и Дигана-Пакела // Информационные технологии моделирования и управления. № 2(54). - Воронеж: Изд-во "Научная книга", 2009. С. 193-199.

[9] Калугина А.М. Индекс Хеде-Ваккера в терминах производящей функции / / Системы управления и информационные технологии. № 1.2(35). - Воронеж: Изд-во "Научная книга", 2009. - С. 255-259.

Тезисы докладов

[10] Калугина A.M. Планы и перспективы СПС с точки зрения теории игр // Выборы депутатов Государственной Думы Федерального собрания Российской Федерации в условиях демократизации Российского государства: материалы конференции / Забайкал. гос. гум.-пед. ун-т. -Чита, 2006. С. 83-86.

[11] Mazalov V., Kalugina A. Generating function for indexes of power // Game Theory And Management. Collected abstracts of papers presented on the Second International Conference Game Theory and Management / Editors Leon A. Petrosjan, Nikolay A. Zenkevich. - SPb.: Graduate School of Management SpbU, 2008. P. 93, (вклад диссертанта 50%).

Формат 60x84 VI6. Бумага офсетная. Гарнитура «Times». Уч.-изд. л. 1,0. Усл. печ. л. 1,0. Подписано в печать 06.05.09. Тираж 100 экз. Изд. № 31. Заказ № 790.

Карельский научный центр РАН Редакционно-издательский отдел 185003, Петрозаводск, пр. А. Невского, 50

Введение.

1. Производящие функции для индексов влияния.

1.1. Вычисление индексов влияния с помощью производящих функций.

1.1.1. Индекс Банцафа и индекс Шепли-Шубика.

1.1.2. Индекс Холлера и индекс Дигана-Пакела.

1.2. Индекс Хеде-Баккера в терминах производящих функций.

1.2.1. Индекс Хеде-Баккера.

1.2.2. Модификация индекса Хеде-Баккера.

1.2.3. Индекс Хеде-Баккера в терминах производящих функций.

2. Производящие функции для нахождения n-ядра и составления комитетов.

2.1. n-ядро для игр голосования.

2.2. Производящие функции для процедуры выбора комитета.

2.2.1. Процедуры минисуммы и минимакса.

2.2.2. Производящие функции для процедур минисуммы и минимакса.

3. Применение метода производящих функций при вычислении индексов влияния партий в выборных органах.

3.1. Определение силы влияния партий Государственной думы Российской Федерации I-V созывов.

3.1.1. Первый созыв.

3.1.2. Второй созыв.

3.1.3. Третий созыв.

3.1.4. Четвертый созыв.

3.1.5. Пятый созыв.

3.2. Определение силы влияния партий в Законодательном собрании Забайкальского края первого созыва.

3.3. Моделирование игр голосования с влиянием одних игроков на других.

Актуальность темы.

Игры голосования являются частью кооперативной теории игр. Первые работы по анализу роли игроков в коалиции принадлежат JI. Шепли [56,57]. Вектор Шепли широко используется в различных прикладных задачах, связанных с принятием решений в управлении сложными социальными и экономическими системами. Развитие современной теории кооперативных игр характеризуется разработкой методов, позволяющих более глубоко описывать процессы принятия коллективных решений. Одним из таких методов является анализ распределения влияния участников в органах, осуществляющих коллективное принятие решений, таких, как выборные органы и органы коллегиального управления. Проблема распределения влияния привлекает внимание именно потому, что без учета этого феномена принятие решений не может корректно моделироваться.

В выборных органах, например, парламентах, решения принимаются путем голосования. Решение считается принятым, если число голосов, поданных за него, превышает некоторую квоту, которая определяется конкретной процедурой голосования (например, наиболее распространенная процедура простое большинство голосов", в которой для принятия решения требуется более 50% голосов "за"). При наличии трех или более партий в парламенте вполне возможно, что ни одна из них не обладает числом голосов, превосходящим заданную квоту, и, следовательно, не может в одиночку обеспечить принятие решений; таким образом, для проведения решений партиям необходимо вступать в коалиции. Важную роль играют коалиции, которые могут обеспечить необходимое большинство.

После работы Шепли появились различные исследования в области теории кооперативных игр. Важные результаты в этой области представлены Шмайдлером, Банцафом, Холлером, Шубиком, Диганом, Пакелом в [27,34,36,37,41,44,51,54,55].

Коалиция называется выигрывающей, если она может принять решение без голосов остальных партий. В противном случае коалиция называется проигрывающей. Чем больше коалиций, которые данная партия делает выигрывающими, тем больше у нее возможностей влиять на исход голосования. На первый взгляд, влияние партии напрямую зависит от числа её голосов. Чтобы проиллюстрировать, что это не совсем так, рассмотрим пример. Пусть парламент, состоящий из 99 мест, представлен 3 партиями А, В, С с числом голосов каждой партии равным 33. Правило принятия решений - простое большинство, т.е. 50 голосов. В этом случае выигрывающие коалиции: А+В, А+С, В+С, А+В+С, т.е. любая партия делает выигрывающими две парные коалиции. В силу симметрии, очевидно, что все партии имеют одинаковое влияние. Теперь представим себе, что распределение мест в этом парламенте изменилось и у партий А и В стало по 48 голосов, а у партии С только 3 голоса. Однако, выигрывающие коалиции остались те же, и партия С, несмотря на резкое уменьшение числа голосов, делает выигрывающими то же число коалиций, что и остальные партии, т.е. возможности всех партий влиять на исход голосования по-прежнему одинаковы. Приведенный пример показывает, что число голосов не является точным показателем влияния партии. Поэтому вводятся индексы влияния, измеряющие степень влияния партии в парламенте на основании числа коалиций, которые партия делает выигрыва.-ющими.

Наиболее известны следующие индексы:

• Индекс Шепли-Шубика для игры голосования G — (N, W),

Sh(G) = {Sh1(G),.iShn{G)), где

Shk{G) = (fc = l,.,n), (1)

Рк - число коалиций, в которых игрок к является ключевым.

• Индекс Банцафа для игры голосования G — (N, W), Bz{G) = (Bz1(G)1.1Bzn(G)),rpie

Bzk(G) = -^-, (к = 1, .,п), (2)

2^1 Vj jeN щ - число коалиций, в которых игрок к является ключевым.

• Индекс Пенроуза-Банцафа, также называемый ненормализованным или абсолютным индексом Банцафа, для игры голосования G = (N, W),

PBz(G) = (PBZl(G),.,PBzn(G)), где

PBZk(G) = fk = ^-v (к = 1,., n), (3)

Зк - обозначает общее число коалиций, содержащих игрока к.

Индекс Дигана-Пакела. для игры голосования G = (N, W), DP(G) = (DPtiG^.^DPniG)), где i Е ? = (4)

SeM-.keS

М - набор всех минимальных выигрывающих коалиций, т - общее число выигрывающих коалиций, и s - число игроков в S.

Индекс Холлера для игры голосования G — (N, W), H(G) = (H!((?),.,tfn(G0), где

Hk(G) = (к = 1,., п), (5)

171 j jeN т,к - число минимальных выигрывающих коалиций, содержащих игрока к.

Индекс Шепли для игры голосования G = (N, W), ip(G) = (v?i(G),.,</?n(G)), где w = Е - w(e/0), (6)

SCN Пs - число игроков, входящих в рассматриваемую коалицию, п - общее число игроков, v(s) - функция выигрыша рассматриваемой коалиции, v(s/i) - функция выигрыша этой коалиции без зафиксированного игрока.

Эти индексы применяются в политической теории при анализе распределения влияния в выборных органах.

Кроме теоретического исследования, важную роль играет практическое применение индексов влияния для определения влияния партий в выборных органах. Значительное число работ посвящено исследованию разнообразных институтов власти: Государственных Дум Российской империи, Совета Министров Евросоюза, парламентов Японии, Германии, России. Кроме того, индексы находят широкое применение не только в политике, но и в экономике, экологии, менеджменте, юриспруденции и других науках [1,24,25,26,51,54,59].

Перечисленные индексы не учитывают возможного влияния одних игроков на других. Такое влияние учитывает индекс Хеде-Баккера:

HBk(gd(B)) = ^- £ gd(Bp), (7) р:рк=1} где gd(Bp) - коллективное решение.

Этот индекс был предложен в 1982 году. Некоторые его свойства были рассмотрены в [40,52,53]. Кроме того, А.Русиновской и Де Свартом был предложен обобщенный индекс Хеде-Баккера:

GHB(gd(B)) = ^ ( Е 9d(Bp) - ]Г gd(Bp) j , (8) p:pfc=1 ■ р:рк=0 / который охватывает большее число игр голосования, нежели индекс Хеде-Баккера.

Кроме голосования "за" или "против" какого-либо решения, в управляющих органах и в административном аппарате разнообразных организаций проходят выборы комитетов или представительских групп. Такая ситуация также была описана, и для ее разрешения были предложены процедуры ми-нисуммы и минимакса [31]. Кроме того в [31] предлагаются два способа измерения веса отдельного бюллетеня: индексный вес и вес близости. В зависимости от способа измерения весов бюллетеней и использования процедур минисуммы или минимакса в игре могут получаться разные результаты.

Практическое применение всех вышеперечисленных индексов и процедур весьма трудоемко, так как алгоритм их применения основан на полном переборе всевозможных комбинаций партий, игроков, кандидатов. Упростить этот процесс можно с помощью применения производящих функций.

Производящей функцией некоторой последовательности {ап} называется сумма:

G(x) = а0 -f aix + а2х2 + . + апхп + . (8)

Для индексов Шеили-Шубика и Банцафа производящая функция была определена и описана в работах [28,30,46].

Цель диссертационной работы заключается в построении комплекса методов и алгоритмов для вычисления индексов влияния и других теоретико-игровых характеристик в процедурах голосования с использованием производящих функций.

В работе проведено исследование следующих теоретико-игровых моделей:

1. игра голосования без влияния игроков друг на друга;

2. игра голосования с влиянием игроков друг на друга;

3. игра голосования для выбора комитета.

Научная новизна работы.

Для игры голосования получено представление индексов Холлера, Дигана-Пакела, индекса Хеде-Баккера и его модификации с помощью производящих функций. Для индекса. Хеде-Баккера оператор перехода от векторов предпочтений к векторам решений представлен в линейной форме.

Для игр взвешенного голосования 3-х и 4-х лиц найдены точные выражения для n-ядра, выявлена взаимосвязь n-ядра в играх для п — 1 и п игроков.

Для игры голосования с выбором комитета предложен алгоритм для процедур минисуммы и минимакса, использующий производящие функции.

Практическую ценность работы представляет разработанный комплекс методов и алгоритмов для анализа, ситуаций в выборных органах.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения:

1. Получено представление индексов Холлера, Дигана-Пакела., Хеде-Баккера и обобщенного индекса Хеде-Баккера в терминах производящих функций.

2. Найден вид n-ядра во взвешеной игре голосования с 3-мя и 4-мя игроками и условия для связи n-ядра в играх для п-1 и п игроков.

3. Для игры голосования с выбором комитета разработаны алгоритмы определения выигрывающего комитета, использующие производящие функции. ю

4. Разработан комплекс программ для вычисления индексов Холлера, Дигана-Пакела и определения выигрывающего комитета в пакете символьных вычислений Mathematica.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались и докладывались на следующих конференциях:

1. Межвузовская конференция "Проблемы прикладной математики", г.Чита, ЗабГПУ, 5-7 мая 2005г.

2. Городская научная конференция к 100-летию Государственной Думы России "Российский парламентаризм: история и современность", г.Чита, 2526 апреля 2006 г.

3. Всероссийская научно-практическая конференция "Выборы депутатов Государственной Думы Федерального собрания Российской Федерации в условиях демократизации Российского государства", г.Чита, 26-27 октября 2006 г.

4. V Московская международная конференция по исследованию операций (ORM-2007), посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Моисеева, г.Москва, 10-14 апреля 2007 г.

5. II Международная конференция по Теории игр и Менеджменту GTM2008, г.Санкт-Петербург, 26-27 июня, 2008 г.

По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из них - 9 статей [6,7,8,9,11,12,13,14,15] и тезисы двух докладов [10,47].

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех

Заключение

В работе представлены результаты исследования игр голосования. Полученные результаты носят как теоретический, так и прикладной характер.

Получены следующие результаты:

1. Рассмотрена игра голосования без влияния игроков друг на друга. Получено представление индексов Холлера и Дигана-Пакела в терминах производящих функций. Рассмотрена игра голосования, в которой игроки могут влиять друг на друга. Оператор перехода от векторов предпочтений к векторам решений представлен в линейном виде.

Предложено разделение игроков на три непересекающихся множества: игроков, имеющих влияние; игроков, подверженных влиянию и независимых игроков. Для рассматриваемой игры найдены производящие функции для определения значений индекса Хеде-Баккера и обощенного индекса Хеде-Баккера.

2. Найдены точные значения n-ядра для игр голосования 3-х и 4-х лиц. Сформулирована теорема об условиях для связи п-ядра в играх с п — 1 и п игроками. Рассмотрена игра выбора комитета. Предложен алгоритм, использующий производящие функции, для процедур минисуммы и минимакса.

3. С помощью производящих функций найдены индексы влияния для Государственной Думы Российской Федерации I-V созывов и Законодательного собрания Забайкальского края первого созыва. Рассмотрены ситуации консолидированного и неконсолидированного голосования депутатов, не примкнувших ни к какой из партий.

Рассмотрены сценарии поведения партий в ЗС Забайкальского края с указанием влияния партий друг на друга. Для каждой модели найден индекс Хеде-Баккера.

4. Разработан комплекс программ для вычисления индексов Холлера, Дигана-Пакела и определения выигрывающего комитета в пакете символьных вычислений Mathematica.

1. Алескеров Ф.Т. Оценка влияния групп и фракций в российском парламенте( 1994-2003 гг.)/ Ф.Т. Алескеров, Н.Ю. Благовещенский, Г.А. Сатаров, А.В. Соколова, В.И. Якуба , Экономический журнал ВШЭ, том 7, №4,2003, С. 496-512.

2. Благовещенский Н.Ю. Индекс согласованности позиций групп в выборных органах. /Н.Ю. Благовещенский, Препринт WP7/2004/02 — М.: ГУ ВШЭ,2004. 16 с.

3. Воробьев Н.Н. Теория игр: лекции для экономистов-кибернетиков /Н.Н. Воробьев. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1974. - 160 с.

4. Дюбин Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин,В.Г. Суздаль. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. -336 с.

5. Жуковский В.И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения: Под ред. B.C. Молостнова / Жуковский В.И. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 336 с.

6. Калугина A.M. Индекс власти как показатель политической силы партии // Молодая наука Забайкалья: Аспирантский сборник. Чита: Изд-во ЗабГПУ,2005. Часть II. С. 128-132.

7. Калугина A.M. Индекс Хеде-Баккера // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Заб. гос. гум.-иед. ун-т. Вып. 8. - Чита: Изд-во ЗабГГПУ, 2008. С. 29-33.

8. Калугина A.M. Индексы власти для ГДРФ I-V созывов // Проблемы гражданского общества и правового государства: сб. статей. Вып. 11. - Чита, 2008. С. 93-101.

9. Калугина A.M. Индексы власти и парадоксы власти в Читинской Областной Думе // Известия Российского государственного педагогического университета им.А.И. Герцена. № 13(36): Аспирантские тетради: Научный журнал. -СПб., 2007. С. 53-57.

10. Калугина A.M. Применение теории игр в политике: анализ состава парламентов России и Украины // Математический анализ и его приложения: сборник научных трудов / Забайкал. гос. гум.-пед. ун-т. Вып. 6. - Чита, 2006. С. 1926.

11. Калугина A.M. Современный российский парламентаризм в цифрах // Российский парламентаризм: история и современность: сб. статей / Заб. гос. гум.-пед. ун-т. Чита, 2006. С. 113-116.

12. Калугина А. М. Анализ распределения влияния в Законодательном Собраггаи Забайкальского края первого созыва // Моделирование. Системный анализ. Технологии: межвузовский сборник научных трудов. Чита: ЗабИЖТ, 2009. - С. 150-154.

13. Калугина A.M. Производящая функция для индексов Холлера и Дигана-Пакела // Информационные технологии моделирования и управления. № 2(54). Воронеж: Изд-во "Научная книга", 2009. С. 193-199.

14. Калугина A.M. Индекс Хеде-Баккера в терминах производящей функции // Системы управления и информационные технологии. № 1.2(35). Воронеж: Изд-во "Научная книга", 2009. - С. 255-259.

15. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике / С. Карлин. М.: Мир, 1964. - 838 с.

16. Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения. Учебное пособие, (в печати)

17. Муллен Э. Теория игр с примерами из математической экономики /Э. Мул-лен. М.: Мир, 1985. - 200 с.

18. Нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение / Дж. Нейман,О. Морген-штерн. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 708 с.

19. Оуэн Г. Теория игр / Г. Оуэн. М.: Мир, 1971. - 230 с.

20. Официальный сайт Государственной Думы: http://www.duma.gov.ru.

21. Официальный сайт Областной Думы Читинской области:http://www.obladm.chita.ru.

22. Петросян JI.А. Теория игр: учебное пособие для студентов университетов, обучающихся по специальности „Математика" / Л.А. Петросян,Н.А. Зенкевич, Б.А. Семина. М.: Высшая школа, 1998. - 304 с.

23. Якуба В.И. Институционный баланс власти в Совете Министров расширенного Евросоюза. Экономический журнал ВШЭ, том 7, №4, 2003, С. 513-523.

24. Aleskerov F., Avci G., Yakuba V., Umit Turem Z. European Union Enlargement: Power distribution implications of the new institutional arrangements. European Journal of Political Research, v. 41, № 3, May 2002. P. 379-394.

25. Aleskerov F., Ersel H., Sabuncu Y. Power and Caolitional Stability in the Turkish Parliament (1991-1999) // Turkish Studies. 2000. Vol. 1. № 2. P. 21-38:

26. Banzhaf J., Weighted voting doesn't work: a mathematical analysis, Rutgers Law Review 19, 1965, P. 317-343.

27. Bilbao J.M., Fernandez J.R., Jimenes A., Lopez J.J., Generating functions for computing power indices efficiently. Top, 2000, 8(2): P. 191-213.

28. Brams S.F. Game theory and politics. New York, Free Press, 1975.

29. Brams S.F., Affuso P.J., Power and size: A new paradox-Theory and Decisions,7, 1976, P. 29-56.

30. Carter M. Cooperative games. In H. R. Varian, Ed., Economic and Financial Modeling with Mathematica, Springer-Verlag, Berlin, 1993, P. 167-191.

31. Deegan J., Packel E.W., A new index of power for simple n-person games, International Journal of Game Theory 7 (1978), 113-123.

32. Deegan J., Packel E.W., To the (minimal winning) victors go the (equally divided) spoils: a new index of power for simple n-person games, In Brams, S.J., Lucas, W.F. and Straffin, P.D., o.c., 1982. P. 239-255.

33. Davis M., Maschler M., The kernel of a cooperative game. Naval Res. Logist.Quart. 12, 1965, P. 223-359.

34. Dubey P., Shapley L.S., Mathematical properties of the Banzhaf power index, Mathematics of Operations Research 4, 1979, P. 99-131.

35. Felsenthal D.S., Machover M., The measurement of voting power: theory and practice, problems and paradoxes, London: Edward Elgar Publishers, 1998.

36. Felsenthal D.S., Machover M., Zwicker W., The bicameral postulates and indices of a priori voting power, Theory and Decision 44, 1998, P. 83-116.

37. Fishburn C., Brams S., Minimal winning coalitions in weighted-majority voting games. Social Choice and Welfare 13, 1996, P. 397-417.

38. Hoede C., Bakker R.(1982), A theory of decisional power, Journal of Mathematical Sociology8: P. 309-322.

39. Holler M.J., Forming coalitions and measuring voting power, Political Studies 30 (1982), P. 262-271.

40. Holler M.J., Myths and Meanings of Voting Power: A Reply Holler, Journal of

41. Theoretical Politics, 13, 2001, P. 107-110.

42. Holler M.J., Two stories, one power index. Journal of Theoretical Politics 10, 1998 P. 179-190.

43. Holler M.J., Packel E.W., Power, luck and the right Index, Journal of Economics 43, 1983, P. 21-29.

44. Kilgour D.M., A Shapley value for cooperative games with quarreling, in: A. Rapoport (ed.) Game theory as a theory of conflict resolution, Boston: Reidel, 1974, P. 193-206.

45. Lucas W.F. Measuring Power in Weighted Voting Systems.- In the book Political and Related Models, Edited by Brams S.J., Lucas W.F., Straffin, Springer, 1975, P. 183-238.

46. Straffin P.D., Power indices in politics, In Brams S.J., Lucas W.F. and Straffin P.D., o.c., 1982.

47. Tannenbaum P., Power in Weighted Voting Systems. The Mathematica Journal 7, 1997, P. 58-63.

48. Penrose L.S., The elementary statistics of majority voting, Journal of the Royal Statistical Society 109, 1946, P. 53-57.

49. Rusinowska A., Paradox of redistribution in Polish politics, Annals of the Marie Curie Fellowships, European Commission, Brussels, Vol. 2, 2001, P. 46-54.

50. Rusinowska A., De Swart H., On some properties of the Hoede-Bakker index, forthcoming in Journal of Mathematical Sociology, 2006.

51. Rusinowska A., Adrian van Deemen, The redistribution paradox and the Paradox of new members in the German parliament. Nova Science Publishers, 2004.

52. Schmeidler D., The nucleolus of a characteristic function game. SIAM. Journal on Applied Mathematics, 17, 1969, P. 1163-70.

53. Shapley L.S., A value for n-person games, Annals of Mathematics Studies 28, 1953, P. 307-317.

54. Shapley L.S., Shubik M., A method for evaluating the distribution of power in a committee system, American Political Science Review 48, 1954, P. 787-792.

55. Taylor A.D. Mathematics and Politics. Springer Verlag, New York, USA, 1995.

56. Van Roozendaal P., Cabinets in the Netherlands (1918-1990): The importance of 'dominant' and 'central' parties, European Journal of Political Research 23, 1993, P. 35-54.