автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Прогнозирующее управление с нейросетевой моделью объекта для манипулятора с нежесткими звеньями

На правах рукописи

Шнпитько Илья Александрович

ПРОГНОЗИРУЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ С НЕЙРОСЕТЕВОЙ МОДЕЛЬЮ ОБЪЕКТА ДЛЯ МАНИПУЛЯТОРА С НЕЖЕСТКИМИ ЗВЕНЬЯМИ

Специальность 05.13.06 - Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами в машиностроении

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Владивосток 2004

Работа выполнена на кафедре "Автоматизированных производственных систем" Дальневосточного государственного технического университета, г. Владивосток.

Научный руководитель

кандидат технических наук,-доцент К.В. Змеу

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор В.П. Кривошеев

кандидат технических наук, доцент Ю.С. Москаленко

Ведущая организация

Институт автоматики и проблем управления ДВО РАН

Защита состоится 30 января 2004 г. в 14— часов на заседании диссертационного совета К 212.055.03 Дальневосточного государственного технического университета по адресу: 690950, г. Владивосток, ул. Пушкинская, 10, ДВГТУ, ауд. Б-107.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного технического университета.

Автореферат разослан декабря 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Ю.М. Горбенко

£ooi-k

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современный промышленный робот-манипулятор (ПРМ) является сложной технической системой. Для ПРМ с нежесткими звеньями синтез системы автоматического управления (САУ) в рамках классических подходов затруднителен. Эффективное решение данной задачи может быть найдено в области "интеллектуальных" САУ, работающих в условиях существенно неполной априорной информации об объекте управления. Динамично развивающейся основой интеллектуальных САУ являются искусственные нейронные сети (ИНС). Как мощные унифицированные аппроксиматоры любых гладких функциональных зависимостей, ИНС получают все большее распространение при синтезе САУ различными объектами (в т.ч. ПРМ) как нейроре-гуляторы, прямые и инверсные модели динамики объекта управления. Параметризация ИНС-моделей путем обучения на экспериментальных данных, снятых с объекта, как в offline-, так 'и в ои/ше-режимах, решает проблему получения адекватной модели в условиях существенной неопределенности (немодели-руемости) динамики объекта управления (ОУ). Однако само по себе наличие адекватной модели не гарантирует высокого качества САУ. В последнее время за рубежом получил распространение метод прогнозирующего управления на основе модели объекта (Model Predictive Control), охватывающий широкий диапазон алгоритмов управления, использующих принципы локально-оптимального управления с удаляющимся горизонтом оптимизации. В ряде работ показана успешная реализация прогнозирующего управления для слабо-демпфированных объектов, в т.ч. с неминимально-фазовой динамикой. Таким образом, сложность нежесткого ПРМ как объекта управления для синтеза САУ традиционными подходами, с одной стороны, и с другой - интенсивное развитие методик синтеза САУ на основе нейросетевых моделей и прогнозирующего управления, в том числе для слабодемпфированных объектов, позволяют считать актуальным развиваемое в работе направление.

Цель и задачи исследования. Цель работы - разработка и исследование методики прогнозирующего управления на основе нейросетевых регрессионных моделей динамики объекта для синтеза САУ манипуляционным роботом с нежесткими звеньями (МРНЗ), обеспечивающей эффективное гашение колебаний звеньев при движении. Для достижения общей цели решались следующие задачи.

1. Разработка аналитической модели динамики горизонтального планарного МРНЗ для численных экспериментов по идентификации и моделированию работы САУ.

2. Разработка методики синтеза дискретных регрессионных прогнозирующих моделей прямой и инверсной динамики МРНЗ методом идентификации при использовании ИНС в качестве модельной структуры, параметризованной на экспериментальных данных методом обучения.

3. Экспериментальное исследование методики синтеза прогнозирующих моделей и факторов, влияющих на их адекватность, на аналитической и лабораторной моделях нежесткого манипулятора.

4. Синтез алгоритма прогнозирующего управления, модифицированного за счет применения дискретных регрессионных ИНС-моделей прямой и инверсной динамики объекта.

5. Синтез и моделирование структуры нейросетевого прогнозирующего регулятора.

6. Экспериментальное исследование выбора параметров и работы прогнозирующего регулятора в составе САУ однозвенным нежестким манипулятором средствами численного моделирования и на лабораторной модели.

Объект исследования - САУ манипулятором с нежесткими звеньями, реализованная с использованием цифровых вычислительных средств.

Предмет исследования - алгоритмы управления манипуляторами с нежесткими звеньями, основанные на использовании искусственных нейронных сетей и методологии прогнозирующего управления.

■ Методы исследования. Теоретические исследования, проводимые в работе, основаны на использовании методов и средств классической и современной теории автоматического управления непрерывными и дискретными системами, теории систем с прогнозирующим управлением, теории искусственных нейронных сетей, с привлечением математического аппарата дифференциальиых и разностных уравнений. Экспериментальная проверка теоретических результатов выполнялась средствами численного моделирования в среде МАТЬАВ 6 и на лабораторной модели САУ реального времени планарным нежестким однозвенным манипулятором.

На защиту выносятся положения, представляющие научную новизну.

1. Прогнозирующий регулятор на основе линейной нейросетевой регрессионной модели динамики объекта управления, отличающийся способностью компенсации возмущений по управляемой координате за счет двойного применения прогнозирующей модели: для вычисления управления и для косвенного измерения возмущения.

2. Способ определения области необходимых значений величины горизонта прогноза при синтезе прогнозирующего регулятора.

3. САУ планарным манипулятором с длинным нежестким звеном, построенная на основе двух прогнозирующих регуляторов с контурами по скорости шарнира и положению конечной точки звена, обеспечивающая эффективное гашение колебаний звена при движении.

Практическая ценность работы.

1. Разработана и реализована в среде МА ТЬАВ 6 аналитическая модель динамики пленарного манипулятора с нежесткими звеньями.

2. Проведен синтез и исследование дискретных нейросетевых регрессионных прогнозирующих моделей прямой и инверсной динамики МРНЗ, ис-

следованы факторы, влияющие на точность и адекватность получаемых моделей.

3. В рамках одного подхода методологии прогнозирующего управления разработано семейство законов управления с использованием дискретных нейросетевых прогнозирующих моделей прямой и инверсной динамики объекта.

4. Разработана и реализована в среде MATLAB 6 модель САУ с прогнозирующим регулятором, в том числе для работы в режиме реального времени в составе программно-аппаратного комплекса лабораторной модели планарного манипулятора с длинным нежестким звеном.

5. Проведено исследование методики применения программного пакета инженерного моделирования MATLAB 6 и технологий "hard-in-the-Ioop" и "rapid prototyping" на этапе разработки, моделирования и исследования работы управляющего контура САУ.

Реализация результатов работы. Научные и практические результаты диссертационной работы внедрены при выполнении НИОКР, а также в учебный процесс при выполнении лабораторных работ и дипломных проектов на кафедре автоматизированных производственных систем ДВГТУ.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на IV и V Международных форумах молодых ученых стран АТР, г. Владивосток, 2001,2003 гг.; на Региональной научно-техническая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука, Техника, инновация" НГТУ, г. Новосибирск, 2001 г.; на ежегодной научно-технической конференции "Вологдинские чтения" ДВГТУ, г. Владивосток, 2001, 2002 и 2003 гг.; на Региональной научной конференции "Молодежь и научно-технический прогресс", г. Владивосток, 2002г.; на VIII и IX Международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Современные техника и технология" ТПУ, г. Томск, 2002, 2003 гг.; на V Молодежной научно-технической конференции "Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы " МГТУ им. Баумана, г. Москва, 2003 г.

Публикации. Основные результаты исследования по теме диссертации изложены в 11 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения и списка литературы, содержащего 155 наименований. Текст работы изложен на 193 страницах, содержит 63 рисунка, 11 таблиц и 4 приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цель и задачи исследований, выделены основные положения работы, имеющие новизну и практическую значимость.

В первой главе рассмотрены особенности задачи управления движением манипулятора в условиях низкой механической жесткости звеньев и выделены основные факторы, осложняющие задачу синтеза САУ МРНЗ. Манипуляцион-ной системе робота с низкой механической жесткостью звеньев присущи собственные колебания значительной амплитуды, увеличивающие длительность переходных процессов при движении и затрудняющие позиционирование. Для эффективного управления положением нежестких звеньев (НЗ) и гашения колебаний датчики положения обычно устанавливаются на концах НЗ. Образующаяся в результате между приводами в шарнирах и датчиками степень свободы в виде упругих перемещений НЗ придает динамике ¿бъекта неминимально-фазовые (НМФ) свойства. Точное описание динамики МРНЗ является очень сложной, зачастую невозможной, задачей в силу высокой нелинейности, высокого (теоретически бесконечного) порядка уравнений и нестационарности объекта. Получаемые традиционными методами (аппарат дифференциальных уравнений Ныотона-Эйлера, Лагранжа-Эйлера) приближенные модели требуют, в силу своей сложности, больших затрат вычислительных ресурсов, ограничивающих их использование в контурах управления САУ, а также необходимости априорного знания параметров объекта Таким образом, фактор существенной неопределенности динамики МРНЗ приобретает решающее значение.

Обзор и анализ работ, посвященных управлению МРНЗ в рамках "интеллектуальных" САУ с использованием ИНС и техники прогнозирующего управления (ПУ), показал, что преимущественно распространен подход с использованием нейроконтроллеров с ш//>зе-обучением (для преодоления факторов неопределенности и нестационарности) управления, реализованных на основе нелинейных модельных структур ИНС, однако отсутствует унифицированный подход к выбору целевого функционала обучения нейроконтроллеров. Проблема НМФ свойств системы "привод шарнира - нежесткое звено - датчик" обходится путем выбора для управления положением не конечной точки НЗ, а точки, располагающейся вблизи шарнира, что не всегда удобно. Менее распространенный подход предполагает использование ИНС-моделей инверсной динамики МРНЗ для синтеза САУ в рамках управления по принципу вычисляемых моментов, однако вопрос об успешном синтезе адекватных моделей инверсной динамики МРНЗ остается открытым.

Перспективы применения метода ПУ для синтеза САУ МРНЗ основаны на способности ПУ эффективно решать задачи управления слабодемпфированны-ми объектами, а также объектами с НМФ свойствами динамики, что показали в своих работах J.M. Martin Sanchez и J. Rodellar1. В основу метода ПУ положено явное использование прогнозирующих моделей (ПМ) динамики ОУ для оценки эволюции управляемой координаты на будущих интервалах времени. В связи с этим использование ИНС-моделей динамики ОУ в качестве ПМ представляет

' Juan M Martin Sanchez, Jose Rodellar Adaptive predictive control. From the concepts to plant optimization. Prentice Hall International (UK) Ltd , 1996.

большой интерес. Представленные результаты исследования по материалам электронной базы данных публикаций Ei Compendex (www.ei.orgi) и издательства CRC Press показывают, что на фоне большого числа работ, посвященных применению ПУ в других отраслях промышленности, в области управления ПРМ данная методика исследована мало. Проведенный обзор материалов базы данных IEEEXplore Cwww.ieee.org') за период с 1991 по 2003 гг. выявил наличие 11 работ, посвященных применению ПУ для синтеза и исследования САУ МРНЗ. Анализ данных работ показал, что в пяти из них в качестве ПМ применены регрессионные модели на основе ИНС-модельных структур, преимущественно нелинейных, что обуславливает применение численных методов минимизации функционала в задаче ПУ.

Таким образом, исходя из проведенного аналитического обзора, обоснована цель работы, заключающаяся в исследовании методики прогнозирующего управления на основе регрессионных ИНС моделей динамики ОУ для синтеза САУ МРНЗ, обеспечивающей эффективное гашение колебаний звеньев при движении, и поставлены задачи исследования.

Вторая глава посвящена разработке и реализации аналитической модели динамики движения горизонтального планарного нежесткого многозвенника (Рис. 1) в среде MATLAB б, используя уравнение Эйлера - Бернулли для опи-

площадыо поперечного сечения. Используя метод модальных функций для аппроксимации решения уравнения Эйлера - Бернулли системой обычных дифференциальных уравнений, % представлено произведением вектора пространственно-зависимых функций формы [п,/(д:,) ... п«(д:,)]ги вектора вре-мязависимых функций амплитуды колебаний *{/,:(/)... у(д(/)], где к - число учитываемых собственных частот (мод).колебаний. Используя аппарат уравнения Лагранжа второго рода, получена система р(/г +1) уравнений динамики движения МРНЗ, вектор обобщенных координат для которой задан как [ч М*]7 -[Ч/ Я2 — Яр ¥1 У2 — Укр]^ размера р{к + !)*!, а вектор обобщенных

->

Рис. 1 Пленарный нежесткий многозвенник

сания динамики упругих перемещений НЗ. Движение /'-того звена представлено двумя координатами: углом поворота шарнира Ц/ относительно глобальной неподвижной системы координат ХОУ и упругими деформациями Щх^) относительно подвижной ХДУ/ (/ = 1,р - число звеньев). Рассматривается случай однородного НЗ длиной /,■ с постоянной

сил- г = [гу т2... тр OO...Of, где rt, i-l,...,p - вращающий момент, развиваемый приводом в i -том шарнире. Выполнен расчет в среде МАРЬЕ 7 и получены в общем виде параметры системы уравнений для: 1) модели динамики нежесткого однозвенника с учетом трех первых собственных частот колебаний с параметрами механической части лабораторной установки; 2) модели динамики двухзвенного варианта нежесткого манипулятора с учетом первой собственной частоты колебаний. Полученные системы уравнений преобразованы к компактной векторно-матричной форме:

M[q vf + K[q v|/f + Н = г<, (I)

где ^р(к+1)хр(к+1) - матрица инерции, Кp{k+i)*p{k+l) - матрица жесткости, "р(к+})xi - вектор кориолис-овых и центробежных сил.

Результирующие положения конечных точек звеньев определены как:

?„ = ?, +ад,')/'/. 1 = Тр- (2)

Система уравнений (1,2) реализована в виде структурной SIMUL ¡NK-м о дел и в среде MATLAB 6. Выполнено сравнение результатов работы полученной аналитической модели с результатами моделирования аналогичного нежесткого однозвенника методом конечных элементов при помощи пакета FEM LAB 2.3 и с лабораторной моделью нежесткого однозвенного манипулятора, показавшее удовлетворительное совпадение результатов. Проведен анализ полученной модели нежесткого однозвенника, показавший, что при параметрах НЗ, соответствующих лабораторной модели манипулятора, наблюдается появление правого нуля в передаточной функции Wj = qcl(s)/Tl(s), свидетельствующее о НМФ свойствах динамики системы.

В третьей главе дана постановка задачи синтеза прогнозирующих моделей (ПМ) прямой и инверсной динамики МРНЗ. Приведено описание методики синтеза и. исследования ПМ в рамках процедуры идентификации при использовании нейросетевых модельных структур, параметризуемых путем обучения на экспериментальных данных, снятых с объекта.

Введено определение ПМ (или предиктора) как параметризованной дискретной регрессионной модели "вход - выход" динамики объекта, которая, на основании поданного на ее вход в дискретный момент времени i регрессионного вектора сигналов, содержащих информацию об истории изменении входной n(l,t-nu) и выходной y(t,t-ny) координат объекта в течении некоторого прошедшего интервала времени п, осуществляет оценку значения выходной у(1,г + Л) либо входной ü(t,t + /1) координаты объекта в пределах некоторого будущего интервала времени t,í + Я, являющегося горизонтом прогноза.

Рассматриваются четыре вида ПМ. Для одношаговой ПМ прямой динамики входной вектор сигналов (регрессор) имеет вид:

ф/(0 = LKO, y(f - l),~,y(t - ny),u(t\u(! - l),...,u(t -лц)], модель выполняет преобразование:

y(t + l\tA) = gnetl{<Pi(.0,9i), (3-)

гДе 8neii(440X^j) ~ преобразование, осуществляемое параметризованной (обученной) ИНС-модельной структурой (МС), t - дискретное целочисленное время, в - вектор параметров модельной структуры. Обучающая выборка для данной ПМ имеет структуру Clj, = {<p j(t),y(t + У)}, t = Jjj, N - размер выборки. Для од-ношагового предиктора инверсной динамики входной регрессор имеет вид ФгС) = [yd(t + l),y{t),y(t -1),...,y(t - nv),u(t ~ l),u(t - 2)...,u(t-«„)], где

+ - желаемое значение выхода ОУ для следующего интервала управления. Модель выполняет преобразование:

Kt\t+l) = gnel2{<v2(t\62). _ (4)

Обучающая выборка имеет структуру Q.2l = {фг(0>и(0} > i-J.N.

Аналогичным образом, краткосрочный предиктор прямой динамики "выполняет оценку выхода ОУ для t+X будущего интервала относительно текущего /:

, У(? + Ц*)=8пе,зШ'),б3) (5)

для входного регрессора <р5(0 = [ХО.Х' - 0,-,У(1 ~ ny),u(t\u(t - l)y...u(i -/?„)], полагая нулевым управление й(/ + j\t) для интервала / + /,/ +Л, где 5ие/з(Фз(0>^з) ' " преобразование, выполняемое параметризованной МС. Структура обучающей выборки Q.3, - |фз(0».У/(' + Л ю) > ' = ■ Реальное будущее значение выхода y(t + Л \ () получаем искусственной задержкой входного регрессора на Л дискрет. Краткосрочный предиктор инверсной динамики выполняет оценку управления u(t\t + X), которое, будучи приложенным к объекту на интервале tj+1, обеспечит значение выхода ОУ в момент времени /+А y(i + Л| /) равным желаемому yd(t + X\l), т.е. выполняет преобразование:

u(t\t + X) = gneli(q>j(t),e4) (6)

где ФДО = [yd(t + Л\1),у(1),у(1 -1).....y(t-ny),uQ ~№ ~ 2),...,«(* - /»„)] -

входной регрессор, * преобразование, осуществляемое парамет-

ризованной МС. Структура обучающей выборки для данного предиктора Cl4t = {<?A0Mt\0},t = TJf.

Рассмотрены особенности применения ИНС-модельных структур (МС) в задаче идентификации динамики объекта, их достоинства и недостатки, проблемы, возникающие при их использовании. Для дальнейшего исследования обоснован выбор в качестве МС следующих архитектур ИНС: 1) линейная нейросетевая МС в виде линейного нейрона:

(>

8i n!(<P('.0),0) = К'Л»)55 F\ Z»№ + wo :

KM

2) нелинейная нейросетевая MC в виде двухслойного персептрона:

"<р : ■ ^

"h

EWy/ KJ-'

Y^Wj, q>, + Wj0\ + w0 Ы ) )

(8)

Здесь иф - размерность входного perpeccopa, nh - число нейронов в скрытом слое, п0 - число выходных нейронов, в - вектор настраиваемых параметров ИНС, включающий весовые коэффициенты и смещения нейронов (wji,W,j), f(x) = th(x) - нелинейная функция активации нейронов типа "тангенциальный сигмоид",- F(x) -кх, к = const - линейная функция активации нейронов. Данные MC устойчивы, поскольку представлены простой-алгебраической зависимостью между прогнозируемой величиной и предшествующими значениями входов и выходов ОУ.

Синтез и исследование ПМ прямой и инверсной динамики МРНЗ осуществлялись при помощи инструментальных средств программных пакетов SIMULINK и NEURAL NETWORK TOOLBOX в среде MATLAB б. В качестве объекта идентификации выступали аналитические модели динамики одно- и двухзвенного МРНЗ, а также лабораторная модель однозвенного нежесткого манипулятора. В качестве входного тест-сигнала ОУ для генерации обучающей выборки применена линейная комбинация прямоугольных импульсов случайной амплитуды ступеней ("белый шум") и синусоиды постоянно нарастающей частоты, показавшая эффективность в плане репрезентативности получаемой выборки. Обучение проводилось до достижения минимальной среднеквадратичной ошибки (MSE) прогноза на .выборке, целевой функционал обучения имеет вид (9а) и (96) для одношагового предиктора прямой и инверсной динамики соответственно, где Z,v - множество обучающей выборки. Применялся алгоритм обучения Левенберга-Марквардта, отличающийся высокой скоростью сходимости и вычислительной робастностью.

Ет{в, ZN) = —fim -Ш- Ijf => min (9а)

EMZ'v) = -1)~ ü(t -111))2 => min (96)

Адекватность получаемых ПМ оценивалась: 1) на этапе обучения - кросс-проверкой на контрольном и валидационном множествах, резервируемых из выборки Z'v, и по достигаемой ошибке обучения {MSE)\ 2) симуляцией работы параметризованной ПМ и сравнением результатов с данными, снимаемыми с

объекта идентификации, на различных тест-сигналах, используя показатель средней абсолютной ошибки прогнозирования (МАРЕ). Для одношаговой ПМ

прямой динамики МАРЕ определена как Е'а = — vl^ii^—^iili—lA.] 00%.

Мы МО

Основным объектом синтеза и исследования являлись ПМ полной прямой и инверсной динамики в одно- и двухмерном варианте (для нежесткого двух-звенника), входом ОУ являлся вращающий момент в шарнире r(t) (для программной модели динамики МРНЗ) или напряжение, подаваемое на сервоусилитель двигателя, Uy„p(t) (для лабораторной модели), выходом - угловое положение конечной точки звена (эффектора) qc(l). Исследовались также частные случаи синтеза ПМ в координатах {т(г) <?(<)}, МО ¿¡(t)} и (r(i) qc{t)}.

Исследовано влияние величины дискреты времени, размера регрессионного вектора по входу и выходу ОУ, а также степени нелинейности МС (число нейронов в скрытом слое для (13)) на точность и адекватность получаемых нейро-сетевых ПМ. Проведен успешный синтез ПМ. прямой динамики МРНЗ, Установлено, что для получения приемлемой точности прогноза ПМ (МАРЕ менее 25%) требуется достижение ошибки обучения MSE нейросетевой МС порядка 10"' и менее. При малом значении дискреты времени (десятки миллисекунд), необходимом для эффективного прогнозирования высших гармоник колебаний МРНЗ, ПМ прямой динамики на основе линейной ИНС не менее эффективны, чем на основе нелинейной ИНС, требуют при этом меньших затрат вычислительных ресурсов при обучении и работе. При увеличении длины горизонта прогноза свыше используемого размера регрессора по входу и выходу объекта (Л > nu,nv) наблюдается резкий рост ошибки обучения ПМ прямой динамики с

потерей адекватности модели. Не достигнут синтез адекватных моделей инверсной динамики МРНЗ, как в одношаговом, так и в краткосрочном варианте, что, по нашему мнению, является следствием наличия НМФ свойств динамики МРНЗ в координатах T(t)->qc(t) и сложностью аппроксимации моделью двойного дифференцирования для динамического преобразования qc(t) —> г(/).

Таким образом, проведенное исследование доказывает возможность успешного синтеза адекватных дискретных регрессионных ПМ прямой динамики МРНЗ на основе нейросетевых МС, параметризуемых методом обучения.

Четвертая глава посвящена постановке и решению задачи синтеза алгоритма прогнозирующего управления на основе дискретной нейросетевой регрессионной модели динамики объекта для синтеза САУ МРНЗ. ■ Техника прогнозирующего управления (ПУ) принадлежит к классу методов дискретного локально-оптимального управления с удаляющимся горизонтом прогноза и охватывает достаточно широкий диапазон методик и алгоритмов управления, основанных на использовании трех базовых принципов:

1) использование модели динамики ОУ (т.е. прогнозирующей модели) для оценки значений управляемой координаты у(/+у'|г) (Рис.2,а) в пределах будущего интервала времени у=7,...,Л в зависимости от искомого будущего управления й(/+j-J\t) основываясь на известных на текущий момент времени / фактических прошлых значений управления и(1—на интервале / = фактических прошлых значений управляемой координаты /|/) на

пропюзирусмая УП

"(НО,

\1(1,1+Х) = С0ПБ1

М I 1+1 1+2 1+3

Рис. 2 Метод прогнозирующего управления: а) общий принцип; б) частное решение для НПР

2) управляющая последовательность (УП) вычисляется путем минимизации (численной либо безусловной) целевого функционала вида (10):

3=[УгСм+Я)-уОТ+Мй{уг(Ц+1)-у(/7+*)]+Д(/Т»А)гдй(Ц+1), (Ю) где у(?,/ + А) и й(/,/ + А) - векторы прогнозируемых значений входа и выхода ОУ, уг(1,/ + Л) - вектор значений образцовой траектории переходного процесса, £2 и Д - диагональные неотрицательно определенные матрицы штрафных коэффициентов. Данный критерий устанавливает, что прогнозируемый выход ОУ у(' +У10 должен стремиться к образцовой траектории уг(}+] |/), плавно переводящей ОУ из текущего состояния Х0 в желаемое состояние за

конечное число А. интервалов управления (Рис.2,а) с минимальными затратами;

3.) принцип удаляющегося горизонта, устанавливающий, что только первое значение из вычисленной УП н(/|/), й(' + Л0> ••• . й((+Л-1 Ю прикладывается к ОУ в момент времени /, на следующем интервале управления весь объем вычислений повторяется для новых фактических значений выхода ОУ уО +1) и уставки +1) с определением новой образцовой траектории и фактических прошлых значений у(},1-Пу) и и(/,г-ии).

ПМ играет центральную роль в рамках методологии ПУ, от точности прогноза, выполняемого ПМ, напрямую зависит эффективность управления. Про-

веден обзор и анализ особенностей применения традиционных для ПУ дискретных ПМ динамики ОУ: в виде усеченной импульсной характеристики, переходной характеристики, передаточной функции (ПФ) и уравнения пространства состояния. Рассмотрены достоинства и недостатки применения нейросете-вых регрессионных моделей в качестве ПМ. Рассмотрены особенности задачи синтеза закона управления с прогнозирующей моделью методом ПУ

В рамках исследования одного подхода к задаче прогнозирующего управления (J.M. Martin Sanchez, J. Rodellar) разработано семейство законов управления на основе регрессионных ПМ прямой (3, 5) и инверсной (4, 6) динамики ОУ в одномерном и многосвязном вариантах, используя нейросетевые модельные структуры (7, 8). Образцовая траектория изменения к-того выхода ОУ задана разностным уравнением:

л m

yrk(' + J\0=I.afyrk(t + j-i)+lj3lyAi + j-0, (")

Ы i-1

где aï и - коэффициенты, получаемые дискретизацией непрерывной ПФ с желаемой динамикой, yrk(t + /-/') = y(t +1 -i) - фактический выход объекта. Используя частный вид функционала (10):

Jk = yrk{i + l\()-yk{t + X\l), (12)

при условии J к =0, для ПМ (3 - 6) обобщенный вид получаемых законов управления есть преобразование:

"к('\0 = g(y,k (> + Л\0,УкО,1~ "у ). ик ('.' " "и ))■ (13)

Для предиктора инверсной динамики g(*) есть преобразование gnei(*), осуществляемое нейросетевой МС. Для предиктора прямой динамики с линейной МС закон управления есть решение линейного разностного уравнения ПМ относительно искомого компонента ûk(t \ t).

Используя одношаговую ПМ прямой динамики (3) с линейной нейросетевой МС (7) и последовательно применяя ее для оценки выхода ОУ yk(t + j|/) в пределах горизонта прогноза j = l,...,X относительно предыдущих прогнозируемых состояний, получаем краткосрочный предиктор прямой динамики ОУ:

ук0 + 1,1 + Я) = Екук (i, t - пу ) + Gkuk (t-I.t-n,,) + G0kûk Qj + X-1) + ck, (14) где Ea-, G*, Gok всг матрицы коэффициентов предиктора, получаемые раскрытием образующихся рекуррентных зависимостей, Goa есть нижняя треугольная матрица Теплица. Безусловный экстремум функционала (10) в отсутствие ограничений на управление достигается при:

д.1к/дп(!,1 +Л-]) = <). (15)

Используя (10) и (14), с учетом (15), получим общее решение для закона управления с линейной ПМ прямой динамики:

Ч ('!') = slk [ЕкУк"у) + Gk"kV-l,i-n„) + ск], (16)

где ¿дк есть первая строка результирующей матрицы + ^ СокО.

Рассмотрен способ уменьшения размера задачи оптимизации (10, 14, 15) предположением постоянства прогнозируемой УП в пределах горизонта 1, Л:

йкт=йк{{+!\1)=...=йк(1+т- а?)

Переходя к частному виду функционала (12) выбором в (10) штрафных коэффициентов <2^ = 0, £?я = Л Я/,... л,—0, получим частное решение закона управления, требующее меньших вычислительных затрат при реализации:

йк(<11) = ^'{Х)(угк{1 + Л\1)~Ек(Л)у(лТ^)-вк(Л)и(1-1,1-пи)-с(Я)), (18) где Ек(Л), Ск(Л) и с{Л) - ^-строки соответствующих матриц коэффициентов предиктора (25), //¿(Я) - сумма элементов ^-строки матрицы С0/с:

Ь(Я) = 8ок(Л,1)+8ок (Я, 2)+... +8ок (Я, Я - /) +8ок (Л, Л). (19)

Рассмотрен вариант частного решения задачи (10, 14, 15) при наличие ограничений, используя дискретный вариант метода динамического программирования Беллмана. Проведен сравнительный анализ полученных законов управления.

Таким образом, в данной главе разработана математическая основа САУ, использующая один подход к задаче прогнозирующего управления, модифицированный за счет применения дискретных нейросетевых ПМ прямой и инверсной динамики ОУ.

Пятая глава посвящена синтезу и экспериментальному исследованию работы прогнозирующей САУ с нейросетевой ПМ на примере однозвенного нежесткого манипулятора.

пиния задержки (ЛЗ) |г/у\| __А

Задание

щ

У(М-пу) ).>(/+А.|/)

оф. ' —

отОУ

тб

ДлОП

ад

ЛЗ

¡{'(к)

ит

ЛЗ

п

кОУ

с(к)

ЦО-Х-Ц-Х-ни) и([-1,1-Х) Б

Рис.3 Прогнозирующий регулятор (Д а г'1)

Проведен анализ применимости полученных законов управления для синтеза САУ МРНЗ, используя результаты синтеза и исследования нейросетевых ПМ прямой и инверсной динамики, приведенные в главе 3. Обоснован выбор закона управления (18) для реализации и исследования в рамках САУ МРНЗ.

На основе решения (18) разработан нейросетевой прогнозирующий регулятор (НПР) (см. Рис.3), отличающийся способностью к компенсации возмущения по управляемой координате (за счет введения части Б Рис.3) по сравнению с исходным алгоритмом управления (реализующим часть А Рис.3). Косвенное измерение возмущения (часть Б Рис.3) и вычисление управления реализуются в НПР одним предиктором прямой динамики (14), в отличие от известной в ней-роуправлении схемы с прямой и инверсной моделью динамики ОУ. В схеме НПР (Рис.3) Е(л), G(Â), Go(Â) и c(Â) есть X - строки соответствующих матриц коэффициентов предиктора (14); yr(t + X\t) - оценка желаемого значения выхода ОУ для будущего интервала t + Я (см. Рис,2,б), даваемая образцовым фильтром (ОФ), jP/(' + A|0 - оценка свободного (в отсутствии управления) изменения выхода ОУ для t + Я, т.е. разница yr(t + X\t)~у¡(1 + A\t) есть прогнозируемая ошибка слежения, используемая для вычисления управления при помощи матрицы будущей управляющей последовательности Go(^); оценка y(J\t~X) текущего выхода относительно интервала 1-Я вносит в текущую ошибку y(i{t)~y{t) информацию о влиянии возмущения по координате у(1), а также информацию о неточности прогноза, даваемого самой ПМ. Полиномы A'x(z~') и Дд(г_/) ОФ образованы коэффициентами а/ и Д' разностного уравнения (1 ] ). Разработана методика синтеза регулятора.

Проведено экспериментальное исследование работы НПР в составе САУ положением конечной точки НЗ на аналитической и на лабораторной моделях однозвенного нежесткого манипулятора. Исследовано влияние интервала дискретности, значения постоянной времени образцового фильтра (11) и длины горизонта прогноза Я на работу НПР. Предложен способ определения области допустимых значений горизонта прогноза Лдоп при настройке регулятора на основе анализа зависимости h'1 {Я) для параметризованной МС краткосрочного предиктора (14), экспериментально установлено, что для обеспечения сходимости и ограниченности УП (это необходимое условие устойчивости контура с НПР) условием выбора рабочего значения Я' является:

(20)

при этом близкие к единице значения h'1 (Я) дают быстрый апериодический переходный процесс (ПП), уменьшение h'1 {Я) увеличивает колебательность ПП и время регулирования. Выбор постоянной времени образцового фильтра (ОФ) также является компромиссом между обеспечением желаемого времени ПП и

уровня колебательности, причем ОФ с ПФ второго порядка дает более плавный и менее колебательный ПП, чем с ПФ первого порядка.

Исследование показало, что синтезированный по данной методике НПР для контура управления угловым положением конечной точки НЗ без обратной связи по состоянию шарнира обеспечивает эффективное гашение колебаний и компенсацию постоянного или импульсного возмущения в виде нагрузки, прикладываемой к концу НЗ, однако дает существенно затянутый ПП. В связи с этим проведен анализ вариантов и разработана структура САУ подчиненного регулирования на двух НПР: по угловой скорости шарнира и угловому положению конечной точки НЗ, при этом первый НПР синтезируется на основе ПМ, полученной идентификацией динамики НЗ в координатах r(í) —> g(í), второй -на основе ПМ НЗ с учетом контура скорости шарнира в координатах q(t)->qc(0- Исследование показало, что данная структура САУ реализует все достоинства НПР,'сокращая при этом время ПП по положению НЗ в 2 - 3 раза за счет гашения возникающих колебаний шарнира, не контролируемых в САУ с одним НПР по положению концевой точки НЗ. На рисунке 4 приведен типовой ПП САУ положением НЗ, порученный численным моделированием (Рис.4,а -при импульсном возмущении) и на лабораторной модели (Рис.4,б).

а) Время, с б) Время, с

Рис.4 Типовой ПП в САУ с двумя НПР: а) для аналитической модели при импульсном возмущении; б) для лабораторной модели манипулятора

Таким образом, проведенное исследование доказало возможность успешного синтеза САУ однозвенным нежестким манипулятором в условиях существенной неопределенности динамики ОУ с использованием разработанного нейро-сетевого прогнозирующего регулятора и методики его синтеза. Полученная САУ показала способность эффективно гасить колебания нежесткого звена при движении и компенсировать возмущения в виде постоянной или импульсной силовой нагрузки в конечной точке нежесткого звена.

В приложениях приведены схемы реализации в MATLAB модели динамики МРНЗ, синтеза и исследования ПМ динамики МРНЗ, САУ с НПР, а также ос-

новные материалы, отражающие основные результаты исследования. Приведено описание лабораторной установки - программно-аппаратного комплекса, содержащего модели планарного горизонтального манипулятора с длинным нежестким звеном и САУ реального времени, реализованной в среде MATLAB 6 при помощи пакета расширения Real-Ttime Windows Target Toolbox, а также описание методики исследования САУ на данной установке. Данная лабораторная модель разработана и реализована на кафедре АПС ДВГТУ при поддержке Российско-Японского Центра передовых технологий при ДВГТУ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной работы'заключаются в следующем.

1. Разработано семейство дискретных регрессионных прогнозирующих моделей (ПМ) прямой и инверсной динамики объекта управления на основе ней-росетевых модельных структур, параметризуемых методом обучения на экспериментальных данных, снимаемых с объекта, и методика их синтеза.

2. Проведено экспериментальное исследование синтеза ПМ, факторов, влияющих на адекватность получаемых ПМ, на примере идентификации динамики планарного манипулятора с нежесткими звеньями (МРНЗ), используя аналитические (программные) модели динамики МРНЗ в среде MATLAB, а также на лабораторной модели планарного однозвенного нежесткого манипулятора.

3. В рамках одного подхода к синтезу управления по методу Mode! Predictive control получено семейство законов управления, использующих разработанные ПМ прямой и инверсной динамики объекта управления.

4. Разработаны структура и модель нейросетевого прогнозирующего регулятора (НПР) на основе линейной нейросетевой регрессионной ПМ прямой динамики объекта, отличающаяся способностью к компенсации возмущения по управляемой координате, и методика его синтеза.

5. Предложен способ экспериментального определения области допустимых значений величины горизонта прогноза при настройке НПР.

6. Предложена структура САУ однозвенным нежестким манипулятором на основе двух НПР по скорости шарнира и положению конечной точки нежесткого звена, обеспечивающая эффективное гашение колебаний нежесткого звена при движении.

7. Проведено экспериментальное исследование работы НПР в составе САУ лабораторной модели однозвенного нежесткого манипулятора, подтвердившее работоспособность предлагаемой методики синтеза регулятора в условиях неопределенности динамики объекта управления.

В связи с проведенным исследованием возникают новые задачи, связанные с применением нейросетевых прогнозирующих алгоритмов управления для синтеза САУ МРНЗ, в частности: исследование численных методов минимизации функционала в задаче ПУ при наличии ограничений и их сравнение с безуслов-

ным методом; теоретическое обоснование устойчивости контура с НПР; исследование вопроса о статической ошибке регулирования в контуре с НПР; введение в НПР контура адаптации нейросетевой ПМ, используя ол/ше-обучение в процессе работы регулятора и др. На решение данных задач будет направлена дальнейшая работа.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Shipitko I.A., Zmeu K.V. The control of nonrigid manipulator using Predictive methodology // Materials of the Fourth International Young Scholars' Forum of the Asia-Pacific Region Countries, Vladivostok, Russia, Far-Eastern State Technical University, 2001.-Part II, p.10-11.

2. Шипитько И.А., Змеу K.B. Нейронные сети в системах с прогнозированием // Материалы ежегодной научной конференции ДВГТУ "Вологдинские чтения". - Владивосток, Изд-во ДВГТУ, 2001. - Машиностроение, Естественные науки, с. 45 - 49.

3. Шипитько И.А., Змеу К.В., Об алгоритме управления однозвенным нежестким манипулятором // Региональная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука, Техника, Инновация": Тезисы докладов в 5-ти частях. Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2001 г. Часть 3. - с.11-12.

4. Шипитько И.А., Змеу К.В. Исследование нейросетевого прогнозирующего регулятора для управления нежестким звеном манипулятора // Материалы ежегодной научной конференции ДВГТУ "Вологдннские чтения". Владивосток, Изд-во ДВГТУ, 2002. -Машиностроение, Естественные науки, с. 13 - 17.

5. Шипитько И.А., Змеу К.В., Прогнозирующий регулятор в приводе манипулятора с нежестким звеном // Материалы региональной научной конференции "Молодежь и научно-технический прогресс". Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2002 г. - 360 с. - 4.1, с.103-105.

6. Shipitko I.A., Zmeu K.V. Predictive Controller Design for Flexible Link Manipulator // Proceedings of the Sth International Scientific and Practical Conference of Students, Postgraduates and Young Scientists "Modern Technique and Technologies", MTT'2002. -Tomsk: TPU Publishing House, 2002. - p. 69 - 70.

7. Шипитько И.А., Змеу K.B. Алгоритм прогнозирующего управления с нейросетевой моделью объекта для нежесткого "манипулятора // Сборник трудов V Молодежной научно - технической конференции " Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы 2003". - Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 г. - 4.2, с. 177-180.

8. Shipitko I.A., Zmeu K.V. Predictive control with neural network model for flexible link robot // Proceedings of the 9th International Scientific and Practical Conference of Students, Post-graduates and Young Scientists "Modern Technique and Technologies", МТГ2003. -Tomsk: TPU Publishing House, 2003. - p. 73 - 75

9. Ilya A. Shipitko, Konstantin V. Zmeu Predictive Controller Design for Flexible Link robot' // Proceedings of the Fifth International Young Scholars' Forum of the Asia-Pacific Region Countries, Vladivostok, Russia, Far-Eastern State Technical University, 2003. - Part II, p. 19-24.

Ю.Шипитько И.А., Змеу K.B., Прогнозирующий регулятор с нейросетевой моделью в приводе одной координаты нежесткого манипулятора И Материалы ежегодной научной конференции ДВГТУ "Вологдинские чтения" Владивосток, Изд-во ДВГТУ, 2003. - Машиностроение, Естественные науки, с 68-72

11. Шипитько И.А., Перевозчиков А.С.. Змеу К.В., Математическое описание и нейросетевой прогнозирующее управление двухзвенным нежестким манипулятором И Труды ДВГТУ, Вып. 135. - Владивосток, Изд-во ДВГТУ. 2003. - с. 29 - 40

И.А. Шипитько

Прогнозирующее управление с нейросетевой моделью объекта для манипулятора с нежесткими звеньями

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 15.12.03. Формат 60x84/16. Усл. меч. л. 1.16. Уч-пзд. л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ 1%.

Типография нздаге.'м.ана ДНГТУ. 690950. Шшдшшсгок, Пушкинская. 10

РНБ Русский фонд

2Ш7А 17877

Введение

Глава 1. Обзор существующего состояния проблемы управления манипуляторами с нежесткими звеньями. Цели и задачи исследования

1.1 Особенности задачи управления манипулятором в условиях низкой механической жесткости звеньев

1.2 Обзор существующих методов управления манипуляторами с нежесткими звеньями с позиции "интеллектуальных" САУ

1.3 Выводы, цель и задачи исследования

Глава 2. Синтез аналитической модели динамики планарного нежесткого манипулятора

2.1 Краткий обзор классических методов представления динамики манипуляторов с нежесткими звеньями

2.2 Разработка аналитической модели динамики планарного нежесткого манипулятора

2.2.1 Одномерный случай - плоский нежесткий однозвенник

2.2.2 Многомерный случай - плоский нежесткий многозвенник

2.3 Анализ свойств модели нежесткого однозвенника

Современный промышленный робот-манипулятор (ПРМ) является сложной технической системой. Высокий порядок уравнений, нелинейность, нестационарность осложняют описание динамики многозвенной манипуляционной системы даже в предположении ее абсолютной жесткости. Все многократно усложняется, если есть ярко выраженная нежесткость: теоретический порядок модели становится равным бесконечности, вмешиваются различные, в общем случае, нелинейные, виды деформаций в шарнирах и звеньях, нелинейности внутреннего демпфирования, неминимально-фазовые свойства динамики системы "привод шарнира - нежесткое звено - датчик положения". Эти особенности у каждого ПРМ свои, априори их предсказать крайне трудно. Синтез систем автоматического управления (САУ) нежестких ПРМ в рамках классических подходов затруднителен.

Эффективное решение данной задачи может быть найдено в области "интеллектуальных" САУ, работающих в условиях существенно неполной априорной информации об объекте управления. Постановлением Президента РФ Пр-576 "Основы политики РФ в области развития науки и технологии на период до 2010 года и дальнейшую перспективу" от 30 марта 2002 г. интеллектуальные системы управления, в том числе производственными процессами и технологическим оборудованием, признаны одним из приоритетных направлений развития.

Динамично развивающейся основой интеллектуальных САУ являются искусственные нейронные сети (ИНС). Как мощные унифицированные аппрок-симаторы любых гладких функциональных зависимостей, ИНС получают все большее распространение при синтезе САУ различными объектами (в том числе ПРМ) как нейрорегуляторы, прямые и инверсные модели динамики объекта управления. Параметризация ИНС-моделей путем обучения на экспериментальных данных, снятых с объекта, как в offline-, так и в ш/ше-режимах, решает проблему получения адекватной модели в условиях неопределенности (немо-делируемости) динамики объекта управления (ОУ). Однако само по себе наличие адекватной модели не гарантирует высокого качества САУ. В последнее время за рубежом получил распространение метод прогнозирующего управления на основе модели объекта {Model Predictive Control), охватывающий широкий диапазон алгоритмов управления, использующих принципы локально-оптимального управления с удаляющимся горизонтом оптимизации. В ряде работ показана успешная реализация прогнозирующего управления для слабо-демпфированных объектов, в том числе с неминимально-фазовой динамикой. Таким образом, сложность нежесткого ПРМ как объекта управления для синтеза САУ традиционными подходами, с одной стороны, и с другой - интенсивное развитие методик синтеза САУ на основе нейросетевых моделей и прогнозирующего управления, в том числе для слабодемпфированных объектов, позволяют считать актуальным развиваемое в работе направление.

Исходя из состояния вопроса, цель настоящей работы - разработка и исследование методики прогнозирующего управления на основе нейросетевых регрессионных моделей динамики объекта для синтеза САУ манипуляционным роботом с нежесткими звеньями (МРНЗ), обеспечивающей эффективное гашение колебаний звеньев при движении.

Объектом исследования является САУ манипулятором с нежесткими звеньями, реализованная с использованием цифровых вычислительных средств, а предмет исследования - алгоритмы управления манипуляторами с нежесткими звеньями, основанные на использовании искусственных нейронных сетей и методологии прогнозирующего управления. Теоретические исследования, проводимые в работе, основаны на использовании методов и средств классической и современной теории автоматического управления непрерывными и дискретными системами, теории систем с прогнозирующим управлением, теории искусственных нейронных сетей, с привлечением математического аппарата дифференциальных и разностных уравнений. Экспериментальная проверка теоретических результатов выполнялась средствами численного моделирования в среде MATLAB 6 и на лабораторной модели САУ реального времени планар-ным нежестким однозвенным манипулятором.

В рамках общей цели в работе решены следующие задачи.

Разработана и реализована в среде инженерного моделирования MATLAB 6 аналитическая модель динамики горизонтального планарного МРНЗ в одно- и двухзвенном вариантах для численных экспериментов по идентификации и моделированию работы САУ.

Разработана методика синтеза дискретных нейросетевых регрессионных прогнозирующих моделей (ГТМ) прямой и инверсной динамики МРНЗ в рамках решения задачи идентификации при использовании ИНС в качестве модельной структуры, параметризуемой на экспериментальных данных методом обучения. Проведено экспериментальное исследование синтеза прогнозирующих моделей и факторов, влияющих на их точность и адекватность, с использованием в качестве объекта идентификации аналитической (программной) и лабораторной моделей нежесткого манипулятора.

Разработано семейство алгоритмов управления, используя один подход к задаче прогнозирующего управления (ПУ) (J.M. Martin Sanchez, J. Rodellar), модифицированный за счет применения дискретных нейросетевых прогнозирующих моделей прямой и инверсной динамики объекта. На основе частного решения задачи ПУ с линейной нейросетевой ПМ прямой динамики разработан прогнозирующий регулятор (НПР), отличающийся способностью к компенсации возмущения по управляемой координате.

Разработана САУ планарным однозвенным нежестким манипулятором на основе двух НПР с контурами подчиненного регулирования по скорости шарнира и положению конечной точки нежесткого звена, способная эффективно гасить колебания нежесткого звена при движении. Разработана и реализована в среде MATLAB 6 модель САУ с НПР, в том числе для работы в режиме реального времени в составе программно-аппаратного комплекса лабораторной модели планарного манипулятора с длинным нежестким звеном, использующей технологии "hard-in-tlie-loop" и "rapid prototyping".

Проведено экспериментальное исследование выбора параметров и работы НПР в составе САУ однозвенным нежестким манипулятором средствами численного моделирования, а также на лабораторной модели. Предложена методика определения области необходимых значений и выбора величины горизонта прогноза при синтезе НПР.

В работе защищаются следующие основные положения, представляющие научную новизну:

1. Прогнозирующий регулятор на основе линейной дискретной нейросете-вой регрессионной модели динамики объекта управления, отличающийся способностью компенсации возмущений по управляемой координате за счет двойного применения прогнозирующей модели: для вычисления управляющего воздействия и для косвенного измерения возмущения.

2. Способ определения области необходимых значений величины горизонта прогноза при синтезе прогнозирующего регулятора.

3. САУ планарным манипулятором с длинным нежестким звеном, построенная на основе двух прогнозирующих регуляторов с контурами подчиненного регулирования по скорости шарнира и положению конечной точки звена, обеспечивающая эффективное гашение колебаний звена при движении.

Практическую ценность представляют собой разработанная и реализованная в среде MATLAB 6 аналитическая модель динамики плоского нежесткого манипулятора в одно- и двухзвенном вариантах, а также разработанная и реализованная в среде MATLAB 6 модель прогнозирующего регулятора, в том числе в составе программно-аппаратного комплекса реального времени лабораторной модели однозвенного манипулятора с длинным нежестким звеном.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения, списка сокращений и списка литературы, содержащего 155 наименований. Текст работы изложен на 200 страницах, содержит 72 рисунка, 11 таблиц и 4 приложения.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Разработано семейство дискретных регрессионных прогнозирующих моделей (ПМ) прямой и инверсной динамики объекта управления на основе нейросетевых модельных структур, параметризуемых методом обучения на экспериментальных данных, снимаемых с объекта, и методика их синтеза.

2. Проведено экспериментальное исследование синтеза ПМ, факторов, влияющих на адекватность получаемых ПМ, на примере идентификации динамики планарного манипулятора нежесткими звеньями, используя аналитическую (программную) модель динамики в среде MATLAB, а также на лабораторной модели планарного однозвенного нежесткого манипулятора. Результаты исследования показали возможность успешного синтеза нейросетевой модели прямой динамики нежесткого однозвенника, используя как линейную , так и нелинейную нейросетевую модельную структуру.

3. В рамках одного подхода к синтезу управления по методу Model Predictive control получено семейство законов управления, использующих разработанные ПМ прямой и инверсной динамики объекта управления.

4. Разработаны структура и модель нейросетевого прогнозирующего регулятора (НПР) на основе линейной нейросетевой регрессионной ПМ прямой динамики объекта, отличающаяся способностью к компенсации возмущения по управляемой координате, и методика его синтеза.

5. Предложен способ экспериментального определения области допустимых значений величины горизонта прогноза при настройке НПР.

6. Предложена структура САУ однозвенным нежестким манипулятором на основе двух НПР по скорости шарнира и положению конечной точки нежесткого звена, обеспечивающая эффективное гашение колебаний нежесткого звена при движении.

7. Проведено экспериментальное исследование работы НПР в составе САУ лабораторной модели однозвенного нежесткого манипулятора, подтвердившее работоспособность предлагаемой методики синтеза регулятора в условиях неопределенности динамики объекта управления.

В связи с проведенным исследованием возникают новые задачи, связанные с применением нейросетевых прогнозирующих алгоритмов управления для синтеза САУ манипулятором с нежесткими звеньями, в частности: исследование численных методов минимизации функционала в задаче ПУ при наличии ограничений и их сравнение с безусловным методом; теоретическое обоснование устойчивости контура с НПР; исследование вопроса о статической ошибке регулирования в контуре с НПР; введение в НПР контура адаптации нейросетевой ПМ, используя оя/ше-обучение в процессе работы регулятора и др. На решение данных задач будет направлена дальнейшая работа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЕ

1. Абашев А.Д. и др. Оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие / А.Д. Абашев, В.В. Ржавин, Ю.М. Харитонов; Научн. ред. Н. Стомен-ский.; Чуваш, гос. ун-т им. И.Н. Ульянова. - Чебоксары: Чуваш, ун-т, 1989.

2. Абдеев Р.Ф. Философия информационной цивилизации: Учеб. пособие -М., 1994.

3. Айвазян А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений.- М.: Статистика, 1974.

4. Акимов А.Н., Буков А.Н., Мищенко А.А. Алгоритм с прогнозированием в задаче управления с функциональными ограничениями // Автоматика и телемеханика, 1993, №3, с. 63 - 70.

5. Акуленко Л.Д., Болотник Н. Н. Об управляемом вращении упругого стержня // Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. Вып. 6. 587-595.

6. Бербюк В., Е., Демидюк М. В. Об управляемом движении упругого манипулятора с распределенными параметрами // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1984. №2. 59-67.

7. Буков В.Н. Алгоритм управления с прогнозирующими моделями // Тез. докладов на Всероссийской нау^шой конференции "Алгоритмическое обеспечение процессов управления в механике и машиностроении", Ярополец, М.: МАИ, 1994.

8. Булычев Ю.Г., Мании А.А. Синтез адаптивных систем оптимального управления стохастическими объектами на основе прогнозирующей модели // Автоматика и телемеханика, 1995, №9, с. 81 - 93.

9. Вибрации в технике. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение. 1999.

10. Головко В.А. Нейронные сети: обучение, организация и применение. Кн. 4: Учеб. пособие для вузов / Общая ред. А.И. Галушкина. - М.: ИПРЖР, 2001. (Нейрокомпьютеры и их применение)

11. Горбань А.Н., Россиев Д.А. Нейронные сети на персональном компьютере. -Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1996.

12. Гроп Д. Методы идентификации систем: Пер. с англ. - М.: Мир, 1979.

13. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде Matlab: учебный курс. - СПб: Питер,2000.

14. Домбровский В.в., Решетникова Г.Н., Смагин В.И. Синтез управлений по критерию обобщенной работы с прогнозирующей моделью пониженной размерности // Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1990, №3. с. 221.

15. Дьяконов В., Круглов В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2002.

16. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATALB. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001.

17. Елисеев СВ., Кузнецов Н.К., Лукьянов А.В. Управление колебаниями роботов. -Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1990.

18. Ивахненко А.Г. Самообучающиеся системы распознавания и автоматического регулирования.- Киев: Техника, 1969.

19. Кабанов А. Управление системами на прогнозирующих моделях. - СПб., Изд-во СПб. ун-та, 1997.

20. Кабанов А., Иванов В.П. Синтез управления нелинейными системами на прогнозирующих моделях // Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи", Суздаль, 1990, с. 61 -63.

21. Кабанов А., Иванов В.П., Шалыгин А.С. Построение оптимальной прогнозирующей модели в задаче синтеза управления по критерию обобщенной работы // Рукопись депонирована в ЦНИИ "Румб", Др-2772, 1986.

22. Каллан Роберт. Основные концепции нейронных сетей.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом "Вильяме", 2001.

23. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977.

24. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи.- М.: Наука, 1973.

25. Колесников А.В. Синергетическая теория управления (инварианты, оптимизация, синтез)/ Таганрогский государственный радиотехнический университет. - Таганрог: ТГРУ, М.:

26. К2м1ерБоа11Шли^ д5т"^ ШЙ4дование свойств оптимального регулятора, построенного на оптимальной прогнозирующей модели // НММ Технические средства обучения и системы автоматического управления бортовых комплексов. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1993.

27. Красовский А.А. Адаптивный оптимальный регулятор с переменным порядком наблюдателя и временем экстраполяции // Автоматика и телемеханика, 1994, №7, с. 97 - 112.

28. Красовский А.А., Буков В.Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными системами. - М.: Наука, 1977.

29. Круглов В. В., Борисов В. В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. - М.: Горячая линия - Телеком, 2001.

30. Кулаков Ф.М. Робастиое управление движениями роботов с гибкими элементами // Известия РАН. Теория и системы управления, 2000, №4, с. 176-185.

31. Лавровский Э. К., Формальский А. М. О стабилизации углового положения упругого стержня // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1989. №6. 115-123.

32. Лавровский Э. К., Формальский А. М. Управление упругим звеном манипулятора при помощи обратной связи по положению и скорости груза // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 6. 51 - 60.

33. Люнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.

34. Медведев B.C., Потемкин В.Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов / Под общ. ред. к.т.н. В.Г. Потемкина. - М: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.

35. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.2: синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

36. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. проф. Н. Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 2001.

37. Моисеев А.Г. Метод оптимально-прогнозируемого управления // Известия РАН, Техническая кибернетика, 1992, №6, с. 128 - 174.

38. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия.- М.: Финансы и статистика, 1982.

39. Наумов А.И., Яковлев Л. Алгоритм с прогнозирующей моделью с аналитическим решением на этапе посадки // НММ Технические средства обучения и системы автоматического управления бортовых комплексов. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1993.

40. Потемкин В.Г. Инструментальные средства МАТЬАБ 5.x. - М: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000.

41. Потемкин В.Г., Рудаков П.И. Система MATLAB 5 для студентов. - 2-е изд., испр. и дополи. - М: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.

42. Пупков К.А., Фалдин Н.В., Егупов Н.Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления: Учебник / Под ред. Н.Д. Егупова. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

43. Сигеру Омату. Нейроуправление и его приложения. Кн.2. / Сигеру Ома- ту, Марзуки Халид, Рубия Юсуф: Пер. с англ. Н. В. Батина; Под ред. А. И. Галушкина, В. А Птичкина. - М.: ИПРЖР, 2000.

44. Смагин В.И., Параев Ю.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. - Томск: Изд-во ТГУ, 1996.

45. Таран В.Н., Трофименко В.Н. Синтез оптимального метода угловой стабилизации методом прогнозирующей модели // Автоматика и телемеханика, 1997,№5, с. 82-85.

46. Терехов В.А. Нейросетевые системы управления: Учеб. пособие для вузов / В.А. Терехов, Д.В. Ефимов, И.Ю. Тюкин. - М.: Высш. шк., 2002.

47. Тимошенко СП. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967, 444 с.

48. Уидроу Б., Стирнз Адаптивная обработка сигналов. М.: Мир, 1989.

49. Филаретов В.Ф. Компактное описание динамики сложных многозвенных механизмов // Дальневосточный математический сборник. Вып. 5. -Владивосток: Дальнаука, 2000. - с.59 - 68.

50. Царегородцев В.Г. Производство полуэмпирических знаний из таблиц данных с помощью обучаемых исскуственных нейронных сетей // Методы нейроинформатики. - Красноярск: Издательство КГТУ, 1998, с. 176-198.

51. Шахинпур М. Курс робототехники: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990.

52. Akaike Н. А new look at the statistical model identification // IEEE Trans. Autom. Control, 1974, Vol. AC-19, pp. 716 - 723.

53. Al-Bledoor B. O., Khulief Y.A. Finite element modeling of translating and rotating flexible link // Computer methods in applied mechanics and engineering, 1996, Vol. 131, pp. 173 - 189.

54. Anskombe F. J., Tukey J.V. The examination and analysis of residuals // Technometrics, 1963, Vol. 5, pp. 141 - 160.

55. Astrom K.J., Wittenmark B. Computer controlled systems. Theory and design. Prentice-Hall, Englewood Clffs, NJ, 1984.

56. Banavar R. N., Dominic P. An LQG/Hoo controller for a flexible manipulator. IEEE Trans, on Control Systems Technology, 1995, Vol. 3, pp. 409-416.

57. Barron A.R. Neural net approximation // Proc of the Seventh Yale Workshop on Adaptive and Learning Systems. - New Haven, CT: Yale University, 1991, pp. 69 -72 .

58. Barron A.R., Universal approximation bounds for supeфosition of sigmoidal function // IEEE Trans, on Information Theory, 1993, Vol. 39, pp. 930 - 954.

59. Benosman M., Boyer F., Le Vey G., Primault D. Flexible link manipulators - from modeling to control // Journal of Intelligent and Robotic Systems, 2002, Vol. 34, pp. 381-414.

60. Bonitz R.G. Robots and Control // The Engineering Handbook. Editor - Richard С Dorf, Boca Ration: CRC Press LLC, 2000.

61. Book W. J. Analysis of massless elastic chains with servo controlled joints // Trans. ASME, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1979, Vol. 101(3), pp. 187-192.

62. Book W. J. Modeling, design and control of flexible manipulator arm: A tutorial overview // Proceedings of the 29* Conference on Decision and control, Honolulu, Hawaii, 1990. pp. 500 - 506.

63. Book W. J. Recursive Lagrangian dynamics of flexible manipulator arms // International Journal of Robotics Research, 1984, Vol. 3(3), pp. 87 - 101.

64. Book W. J. Recursive Lagrangian dynamics of flexible manipulator arms // International Journal of Robotic Research, 1984, Vol. 3, No. 3, pp. 87 - 101.

65. Book W. J., Maiza-Neto O., Whitney D. E., Feedback control of two beam, two joints system with distributed flexibility // Trans. ASME. Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1975, Vol. 97, pp. 424 - 431.

66. Botto M.A., Costa J.S. A comparison of nonlinear predictive control techniques using neural network models //Journal of Systems Architecture, 1998, Vol. 44, pp. 597-616.

67. Bricourt J. N., Debus J. C , Micheau P. A finite element model for the dynamics of flexible manipulators // Mechanisms and Machine Theory, 1990, Vol. 25(1), pp. 119-128.

68. Buescher K., Baum C , Jones R. Adaptive model predictive control using neural networks. US Patent No. 5659667, 1997.

69. Camacho E.F., Bordons С Model Predictive Control. Springer-Verlag London Ltd., 1999.

70. Cannon Jr. R., Schmitz E. Initial experiments on the end-point control of a flexible one-link robot // International Journal of Robotics Research, 1984, Vol. 3(3), pp. 62 - 74.

71. Carrera E., Serna M. A. Inverse dynamics of flexible robots // Mathematics and Computers in Simulation, 1996, Vol. 41, pp. 485 - 508.

72. Cavangari L., Magni L., Scattolini R. Neural network implementation of nonlinear receding horizon control // Neural Computing and Applications, 1999, Vol. 8, pp. 86-92.

73. Cetinkunt S., Book W.J. Symbolic modelling and dynamic simulation of robotic manipulators with compliant links and joints // Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 1989, Vol. 5(4), pp. 301-310.

74. Cetinkunt S., W.-L. Yu, Closed loop behavior of a feedback-controlled flexible arm: A comparative study // International Journal of Robotic Research, 1991, Vol. 10, No. 3, pp. 263 - 275.

75. Chen W. Dynamic modeling of multi-link flexible robotic manipulators // Computer and Structures, 2001, Vol. 79, pp. 183-195.

76. Chung-Feng Jerry Kuo, Ching-Jenq Lee. Neural network control of rotating elastic manipulator // Computers and Mathematics with Applications, 2001, Vol. 42, pp. 1009-1023.

77. Clarke D.W., Mohtadi С Properties of generalized predictive control // Auto- matica, 1989, Vol. 25, pp. 859 - 875.

78. Clarke D.W., Mohtadi C, Tuffs P.S. Generalized predictive control - Part 1: The basic algorithm // Automatica, 1987, Vol. 23, pp. 137 - 148.

79. Clarke D.W., Mohtadi C, Tuffs P.S. Generalized predictive control - Part 2: Extensions and inteфretations // Automatica, 1987, Vol. 23, pp. 149 - 160.

80. Cutler C.R., Ramaker B.C. Dynamic Matrix Control - A computer control algorithm // In Automatic Control Conference, San Francisco, 1980.

81. Cybenko G. Approximation by supeфosition of a sigmoidal function // Math. Control Systems and Signals, 1989, №2, pp. 303 - 314.

82. Cyril X., Angeles J., Misra A. K. Dynamics of flexible multibody mechanical systems // Trans. CSME, 1991, Vol. 15(3), pp. 235 - 262.

83. De Keyser R.M.C. Basic principles of model based predictive control // In 1^^ European Control Conference, Grenoble, 1991, pp. 1753 - 1758.

84. De Keyser R.M.C, Cauwenberghe A.V. A self-turning multi step predictor application // Proc. 6^ '^ IFAC Symposium on Identification and System Parameter Estimation, Washington DC, pp. 1558 - 1563, 1979.

85. Deng Hui, Sun Fuchun, Sun Zengqi. Observer-based adaptive controller design of flexible manipulators using time-delay neuro-fuzzy networks // Journal of Intelligent and Robotic Systems, 2002, Vol. 34, pp. 453-456.

86. Draeger A., Engel S., Ranke H. Model predictive control using neural networks // IEEE Control System Magazine, 1995, Vol. 15, No. 5, pp. 61 - 66.

87. Ficola Antonio, Michele La Cava. A sliding-mode controller for a two-joint robot with an elastic link // Mathematics and Computers in simulation, 1996, Vol. 41, pp. 559-569.

88. Funahashi K. On the approximate realization of continuous mappings by neural networks // Neural Networks, 1989, Vol. 2, pp. 183 - 192.

89. Girosi F., Poggio T. Representation properties of networks: Kolmogorov's theorem is irrelevant // Neural Computation, 1989, Vol. 1, pp. 465 - 469.

90. Greco C , Menga G., Mosca E., Zappa G. Performance improvement of self turning controllers by multistep horizon: the MUSMAR approach // Auto-matica, 1984, Vol. 20, pp. 681 - 700.

91. Hastings G. G., Book W. J. A linear dynamics model for flexible robotic manipulators// IEEE Control System Magazine, February 1987, Vol. 7, pp. 61 -64.

92. Hecht-Nielsen R. Kolmogorov's mapping neural network existence theorem // IEEE Press, 1987, Vol. 3, pp. 11 - 13.

93. Hornik K., Stinchkombe M., White И. Multilayer feedforward networks are universal approximators // Neural Networks, 1989, Vol. 2, pp. 359 - 366.

94. Huang Y., Lee С S. G. Generalization of Newton-Euler formulation of dynamic equations to nonrigid manipulators // Trans. ASME, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, September 1988, Vol. 110, pp. 308-315.

95. Jen C.W., Johnson D.A., Gorez R. A reduced-order dynamic model for end- effector position control of a flexible robot arm // Mathematics and Computers in Simulation, 1996, Vol. 41, pp. 539 - 558.

96. Jnifene A., Fahim A. A computed torque/time delay approach to the end- point control of a one-link flexible manipulator // Dynamics and Control, 1997, Vol. 7, pp. 171-189.

97. Juan M. Martin Sanchez, Jose Rodellar. Adaptive Predictive Control: From the concepts to plant optimization. Prentice Hall International (UK) Ltd., 1996.

98. Kanoh H., Tzafestas S., Lee H.G., Kalat J. Modelling and control of flexible robot arms // Proceedings of the 25 Conference on Decision and Control, Athens, 1996, pp. 1866 - 1870 (IEEE New York).

99. Karkoub M., Balas G., Tamma K., Donas M. Robust control of flexible manipulators via fi-synthesis // Control Engineering Practice, 2000, Vol. 8, pp. 725-734.

100. Karkoub M., Tamma K.. Modelling and ц-synthesis control of flexible manipulators // Computers and Structures, 2001, Vol. 79, pp. 543 - 551.

101. Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal control system. New-York: Wiley Inc.

102. Lemos J.M., Mosca E. A multipredictor-based LQ self-turning controller // In IFAC Symp. on Identification and System Parameter Estimation, York, UK, 1985, pp. 137-141.

103. Lewis F.L., Parisini T. Guest Editorial: Neural network feedback control with guaranteed stability // International Journal on Control, 1998, Vol. 70, № 3. -pp. 337—339.

104. Liu G.P., Ksdirkamanathan V., Billings S.A. Predictive control for nonlinear systems using neural networks // International Journal on Control, 1998, Vol.71, No.6, pp. 1119-1132.

105. Li-Xin Wang, Feng Wan. Structured neural networks for constrained model predictive control // Automatica, 2001, Vol. 37, pp. 1235 - 1243.

106. Martin Sanchez J.M. Adaptive predictive control system (CIP), European Patent, No. 0037579, 1980.

107. Martin Sanchez J.M. Adaptive predictive control system, USA Patent No. 4197576, 1976.

108. Martin Sanchez J.M. Contribution to model reference adaptive systems from hyperstability theory (in Spanish). Doctoral dissertation, Universidad Politec-nica de Catalunia, Barselona, Spain, 1974.

109. Meek J. L., Hua Liu. Nonlinear dynamics analysis of flexible beams under large overall motions and the flexible manipulator simulation // Computers and Structures, 1995, Vol. 56, No. 1, pp. 1 - 14.

110. Moallem M., Patel R. V., Kliorasani K. Nonlinear tip-position tracking control of a flexible link manipulator: theory and experiments // Automatica, 2001, Vol. 37, pp. 1825-1834.

111. Morgul 0 . Dynamic boundary control of Euler-Bemoulli beam // IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 37, 1992. pp. 639 - 642.

112. Moudgal V.G., Kwong W.A., Passino K.M., Yurkovich S. Fuzzy learning control for a flexible-link robot // Proceedings of the American Control Conference, June 1994, pp. 563 - 567.

113. Ozaki Т., Suzuki T. Trajectory control of robotic manipulators using neural networks // IEEE Trans, on industrial electronics, 1991, Vol. 38(3).

114. Peterson С Determining dependency structures and estimating nonlinear regression errors without doing regression // International Journal of Modern Physics, 1995, Vol. 611, pp. 1 8 - 3 1 .

115. Propoi A.I. Use of LP methods for synthesizing sample-data automatic systems // Automation and Remote Control, Vol. 24, 1963.

116. Richalet J., Abu el Ata-Doss S., Arber C , Kuntze H.B., Jacubash A., Schill W. Predictive functional control: Application to fast and accurate robots // In Proc. IO 'MFAC Congress, Munich, 1987.

117. Richalet J., Rault A., Testud J. L., Papon J. Algorithmic control of industrial processes // In 4^*^ IFAC Symposium on Identification and System Parameter Estimation. Tbilisi USSR, 1976.

118. Richalet J., Rault A., Testud J. L., Papon J. Model predictive heuristic control: Application to industrial processes // Automatica, 1978, Vol. 14, No. 2, pp. 413-428.

119. Rodellar J. Optimal design of the driver block in the adaptive predictive control system (in Spain), Doctoral dissertation, Universidad de Barcelona, Spain, 1982.

120. Rodellar J., Barbat A.H., Martin Sanchez J.M. Predictive control of structures // Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 1987, Vol. 113, No. 6, pp. 792 -812.

121. Rubinstein D. Dynamics of flexible beam and a system of rigid rods, with fully inverse (one-sided) boundary conditions // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1999, Vol. 175, pp. 87 - 97.

122. Sciavicco L., Sicihano B. Modeling and control of robot manipulator. University of Nalpes, Naples, Italy: Mc-Graw Hill, 1996.

123. Shyu Y.-J., Gill K. F. Dynamic modelling of planar flexible manipulators: computational and algorithmic efficiency // Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, Leeds, UK, 1997, Vol. 211, Part C, pp. 119-133.

124. Skrjank I., Mateo D. Advances in Model-based Predictive Control, Chapter Fuzzy Predictive Controller with Adaptive Gain. Oxford University Press, 1994.

125. Soderstrom Т., Stoica P. System identification. - Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1989.

126. Soeterboek R. Predictive control: A unified approach. Prentice-Hall, 1992.

127. Song B.J., Koivo A.J. Nonlinear predictive control with application to manipulator with flexible forearm // IEEE Transaction on Industrial Electronics, 1999, Vol. 46, №5, pp. 923 - 932.

128. Sorensen P.H., Norgaard M., Ravn O., Poulsen N.K. Implementation of neural network based nonlinear predictive control // Neurocomputing, 1999, Vol. 28, pp. 37-51.

129. Sunada W. H., Diibowsky S. On the dynamic analysis and behavior of industrial robotic manipulators with elastic members // Transactions ASME, Journal of Mechanisms, Transmission and Automation in Designing, March 1983, Vol. 105, pp. 42 -51 .

130. Sundaresnan М. К., Askew Neural Network-assisted variable structure control scheme for control of flexible manipulator arm // Automatica, 1997, Vol. 33, No. 9, pp. 1699-1710.

131. Sutton R.P., Halikias G. D., Pkimmer A. R., Wilson D. A. Modelling and H^ control of a single-link flexible manipulator // Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, Leeds, UK, 1999, Vol. 213, Part 1, pp. 85 - 104.

132. Szepesvari C , Lorincz A. Robust control using inverse dynamics neurocontrollers // Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, 1997, Vol.30, No. 3. pp. 1669-1676.

133. Talebi H. A., Patel R.V., Khorasani K. Control of flexible-link manipulators using neural networks. Springer-Verlag, London, 2001.

134. Timoshenko S., Young D.H., Weaver Jr. W. Vibration Problems in Engineering, 4"' edition, 1974 (John Wiley, New York).

135. Tokhi M. 0., Mohamed Z., Azad A. K. M. Finite difference and finite element approaches to dynamic modelling of a flexible manipulator // Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, 1997, Vol. 211, Part 1, pp. 145 -156 .

136. Tokhi O., Azad A. K. M. Modelling of a single link flexible manipulator system: Theoretical and practical investigations // Robotica, 1996, Vol. 14, pp. 91 -102 .

137. Truckenbrodt A. Truncation problem in the dynamics and control of flexible mechanical systems // In Proceedings of the Eighth Triennial IFAC Congress, 1982, pp. 1909-1914.

138. Tse F. S., Morse I. E., Hinkle R. Т., Mechanical Vibrations: Theory and Applications, 2""^ edition, 1978.

139. Tzafestas S., Papanikolopoulos N. Incremental fuzzy expert PID control // IEEE Transactions on Industrial Electronics, 1990, Vol. 37, pp. 365 - 371.

140. Usoro P. В., Nadira R., Mahil S. S. A finite element - Lagrange approach to modelling lightweight flexible manipulators // Transactions ASME, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1986, Vol. 108(3), pp. 198 -205.

141. Wang D., Vidyasagar M. Feedback linearizability of multilink flexible manipulators with one flexible link // Proceedings of the 28^ '^ IEEE Conference on Decision and Control, 1989, pp. 2072 - 2077.

142. Yang T.W., Xu W.L., Tso S.K. Dynamic modeling on real-time deflection measurement and compensation control for flexible multi-link manipulators. Dynamics and Control, 2001, Vol. 11, pp. 5 - 24.

143. Ydstie B.E. Extended horizon adaptive control // In Proc. 9^ '^ IFAC World Congress, Budapest, Hungary, 1984.

144. Yesildirek A., Vandergrift M. W., Lewis F. L. A neural network controller for flexible-link robots // Journal of Intelligent and Robotic Systems, 1996, Vol. 17, pp. 327-349.

145. Yim W. Modified nonlinear predictive control of elastic manipulator // Proceedings of the 1996 IEEE International conference on Robotic and Automation, Minneapolis, Minnesota, April, 1996, pp. 2097 - 2012.

146. Zhu G., Lee T. H., Ge S. S. Tip tracking control of a single-link flexible robot: A backstepping approach // Dynamics and Control, 1997, Vol. 7, pp. 341 -360.

147. Zhu K.Y., Qin X.F., Chai T.Y. A new robust nonlinear self-turning predictive control using neural networks // Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, 1997, Vol. 211, Part 1, pp. 439-446 .

148. Zhu W. D., Mote С D. Dynamic modeling and optimal control of rotating Euler-Bernoulli beams // Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 119, 1997. pp. 802 - 808.