автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Прогнозирование и управление твердостью выплавляемой стали на основе моделей нечеткого логического вывода

На правах рукописи

0034588

БОНДАРЧУК Аким Александрович

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ТВЕРДОСТЬЮ ВЫПЛАВЛЯЕМОЙ СТАЛИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ НЕЧЕТКОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА

Специальности: 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

05.13.06 - Автоматизация и управление

технологическими процессами и производствами (по отраслям)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 и эдз

Воронеж 2009

003458818

Работа выполнена в ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия»

Научный руководитель доктор технических наук,

профессор

Матвеев Михаил Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор

Леденёва Татьяна Михайловна;

кандидат технических наук, доцент

Свиридов Андрей Станиславович

Ведущая организация ГОУВПО «Липецкий государственный

технический университет»

Защита состоится «29» января 2009 г. в Ю00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно - технической библиотеке ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет».

Автореферат разослан «29» декабря 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Питолин В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Аюгуалыюсть темы. Одной из важных задач управления технологическим процессом выплавки стали является обеспечение заданной твердости (прокаливаемости) стали, распределенной по глубине выплавляемого изделия. Достижение заданного распределения твердости осуществляется выбором многокомпонентного химического состава стали наряду с заданием соответствующего технологического режима.

Для выбора необходимого химического состава на многих предприятиях используются математические модели в виде регрессионной зависимости твердости от процентного содержания химических элементов. Учитывая сложность построения такой зависимости во всем диапазоне изменения химического состава на множестве допустимых значений концентраций элементов, выделяются интервалы значений состава, заданной (но не любой) совокупности которых соответствует определенная, как правило, линейная, регрессионная модель зависимости. По сути, такой подход соответствует кусочно-линейной аппроксимации нелинейной, многофакторной зависимости. При этом возникает задача выбора модели наиболее адекватной заданным начальным условиям химического состава стали. Эта задача решается переборным методом на основе эмпирических соображений специалистов-экспертов, управляющих выплавкой стали. По выбранной регрессионной модели осуществляется прогноз распределения твердости стали, на основе которого методом перебора выбирается необходимый химический состав. Неизбежные ошибки, связанные с экспертным выбором адекватной модели и химического состава, приводят к снижению качества выплавляемой стали. Повысить эффективность управления и качество выплавляемой стали можно при получении прогноза на основе моделирования зависимости «состав-твердость» системой нечетких продукционных правил Токаги-Суджено-Канга (модель ТБК) и оптимизации выбора химического состава стали в условиях стохастичности параметров регрессионных моделей. Таким образом, обусловливается актуальность задачи анализа и совершенствования моделей и алгоритмов управления твердостью выплавляемой стали в условиях нечеткой и стохастической неопределенности.

Тематика диссертационной работы соответствует научному направлению кафедры прикладной математики ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах» (№г.р. 01200003664).

Цель и задачи исследования. Целью исследования являются разработка и анализ моделей прогнозирования твердости и исследование численных методов оптимального управления процессом выплавки стали с заданной твердостью, которые позволят повысить эффективность управления процессом и качество выплавляемого металла.

Достижение сформулированной цели предусматривает решение следующих задач:

- анализ особенностей моделирования и управления процессом выплавки и возможных подходов к решению задачи совершенствования моделей прогнозирования и алгоритмов управления твердостью стали;

- разработка на основе аппарата нечеткой логики и анализ модели прогнозирования твердости, наиболее адекватной классам толерантности химического состава;

- синтез модели и алгоритмов выбора химического состава по заданному распределению твердости стали и исследование этих моделей, и алгоритмов в условиях стохастичности параметров разработанной модели прогноза;

- апробация моделей и алгоритмов управления выплавкой стали с заданной твердостью с использованием данных промышленной статистики.

Методы исследования. Использовались методы регрессионного и корреляционного анализа и статистического моделирования, методы теории нечетких множеств и нечеткого логического вывода, методы теории принятия оптимальных решений в условиях неопределенности и численные методы решения оптимизационных задач.

Научная новизна. В работе получены результаты, характеризующиеся научной новизной:

- модель прогнозирования распределенной твердости стали в зависимости от её химического состава, основанная на нечетком логическом выводе и отличающаяся представлением системы нечетких продукционных правил типа Т5К в виде системы квазилинейных уравнений для соответствующей совокупности точек измерения твердости;

- методика исследования модели управления, представленной в виде решения системы квазилинейных уравнений на предмет значимости смещения полученных оценок решения, основанная на процедуре проверки соответствия областей определения и значения зависимости при решении прямой и обратной задачи;

- модель выбора химического состава стали для обеспечения заданного распределения её твердости в виде задачи квадратичного программирования, сводящаяся к известной задаче о неподвижной точке;

- алгоритм численной оценки области сходимости метода последовательного приближения при решении задачи управления твердости стали, характерной особенностью которого является сканирование координатного пространства «твердость стали - глубина измерения твердости стали».

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретические результаты работы, полученные для управления системы «химический состав стали - распределенная твердость», можно использовать для управления более общими системами типа «состав - свойства». С этих позиций теоретическое значение работы состоит в развитии методов моделирования и анализа моделей при решении задач управления системой «состав - свойство» в условиях стохастической и нечеткой неопределенности.

Практическое значение работы состоит в применении полученных теоретических результатов в моделировании и управлении зависимостью «состав-твердость» при выплавке стали с многокомпонентным химическим

составом. Модели и алгоритмы, оформленные в виде программного комплекса управления выплавкой стали дают возможность существенно повысить её качество при снижении трудозатрат на управление.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждалась на следующих конференциях: отраслевой научно-практической конференции «Системы автоматизированного управления производствами, предприятиями и организациями горнометаллургического комплекса» (Старый Оскол, 2003); Региональной научно-практической конференции «Современные проблемы технического, естественно-научного и гуманитарного знания» (Губкин, 2004); Научно-технической конференции ОАО «ОЭМК» (Старый Оскол, 2005); Региональной научной конференции «Образование, наука, производство и управление» (Старый Оскол, 2005); III конференции молодых специалистов «Металлургия XXI века» (Москва, 2007); Всероссийской конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Ярославль, 2007); Международной научной конференции «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2007); Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007), II научно -технической конференции ОАО «ОЭМК» (Старый Оскол, 2007). IV конференции молодых специалистов «Металлургия XXI века (Москва, 2008)».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ, в том числе 2 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата лично соискателю принадлежат: [1,4.6] - разработка и исследование математических моделей зависимости распределенной твердости стали от её химического состава; [2] -методика оценки значимости смещения при решении обратной задачи; [3,5,8] -алгоритм выбора химического состава при решении обратной задачи; [7] -обоснование системы допущений при моделировании зависимости «твердость -химический состав стали».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 101 наименования и приложения. Основная часть работы изложена на 117 страницах, содержит 19 рисунков, 18 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определены цель и задачи исследования, новизна и практическая значимость работы.

В первой главе проведен анализ особенностей моделирования и управления процессом выплавки стали с заданным распределением твердости y(h) по глубине изделия А. Одним из наиболее существенных факторов, определяющих распределение твердости, является химический состав стали х=(х^ ;х2;...-jr/J). При любом определенном векторе X распределение твердости y(h) представляет собой монотонно убывающую зависимость.

Исходными данными для управления является индивидуальная заказная спецификация на выплавку стали, в которой указывается заданное дискретное распределение твердости с допустимой погрешностью - { у (К) ± 8 } и

допустимые интервалы /, <х1 <х™ах) изменения химического состава.

_ * * *

Необходимо определить такой вектор х* = где V/ х. е /,, который

обеспечил бы достижение заданного распределения твердости с указанной погрешностью.

Описан существующий подход применения моделей, прогнозирования твердости стали при управлении, основанный на использовании системы регрессионных зависимостей «ЗТАНЬ-Е^ЕЫ-РгШЫайег» института стали УОЕИ (Германия). В рамках этой системы определены восемь линейных регрессионных моделей в виде систем линейных уравнений

Г,(А)=а-/0 + Л-/Зс, ./=/,2.....8; (1)

каждая из которых соответствует одному из наиболее употребляемых сочетаний (классов К1) интервалов изменения химического состава.

Параметры моделей (1) определены на основе статистических выборок из соответствующих классов. Модели (1) позволяют получать прогнозные оценки дискретного распределения твердости стали на определенных глубинах И в виде вектора Я^МЯ^),у(Ь2)).

Точность выбора химического состава и достоверность прогноза ; достигаемого распределения твердости определяет эффективность управления выплавкой стали и её качества.

Преобладание эмпирических методов при принятии решений о выборе модели прогнозирования у '(к) и определении необходимого химического состава х* приводит к существенным погрешностям и снижению эффективности управления выплавкой стали и её качества. Показано, что повышение точности прогноза может быть достигнуто при использовании модели прогнозирования в виде системы нечетких продукционных правил Токаги-Суджено-Канга (Т5К).

Модель ТБК представляет собой набор нечетких продукционных правил, записанных в данном случае применительно к рассматриваемой задаче

Если хеК^ с цфх),то +А-1х с для всех./' (2)

Или в развернутом виде

Если лг. е к! с ц (дг.), х^ е к1 с ц (х,),..., х с /л (х),

11 I 2 2 I п п цп

то ЯЛ) = Яо + А'х с цк,(х), (3)

где - К,' -] - й интервал изменения / - й химического элемента; ¡л у(х,) - значение функции принадлежности х, соответствующему табличному к,

интервалу К{; С*) " значение функции принадлежности вектора х классу К!

= К{ л К{ /\.../\К'п\ = Мт цк,(*,), где мт - символ треугольной / -

нормы; у{Щ = {У\,---,Ук)~ вектор значений твердости стали при дискретных значениях глубины И. В соответствии с моделью ТЭК. расчет дискретных значений твердости стали производится по формуле

у, = - , для всех /, (4)

7 = 1

т.е. прогнозное значение твердости стали по каждой / - й строке матрицы А рассчитывается по всем имеющимся моделям с учетом степени соответствия входного вектора X классу К'. Обычно такой подход позволяет повысить точность прогнозирования.

Использование модели Т5К для прогнозирования требует решения задач фаззификации посылочной части правил, т.е. определения функций принадлежности ц у(х,). Если матрица А модели (1) является квадратной, т.е.

К1

количество химических элементов, п и точек замера твердости стали по глубине, к совпадают (п - к), наиболее простым решением задачи выбора могло бы являться следующее выражение

Г=/1-1(у*-а0). (5)

Однако при обращении матрицы стохастических коэффициентов оценки Зс* будут смещенными, причем величина смещения может оказаться существенной. Поэтому одной из задач исследования является оценка величины смещения при решении (5). Кроме того, матрица А может оказаться прямоугольной (количество элементов больше количества точек замера твердости, п > к. В этих случаях уравнения вида (1) могут иметь бесконечное множество решений, и целесообразна постановка оптимизационной задачи с ограничениями, включающими уравнения (1) со стохастическими параметрами. Такие задачи могут решаться в классе задач стохастического математического программирования, например как задача минимизации суммы дисперсий оценок у прогнозируемого распределения твердости стали с ограничениями на изменения химического состава и твердости: к к

^(x)= I ^ хТ К ¡х->тт, (6)

1=1 /=1

у",-8 < а,0 +а12х2 +... + а,„х„ < у', +8 для всех /, (7)

.Т™ ] = (8)

где К, - ковариационная матрица ;-го уравнения системы линейных регрессионных уравнений; (а,,,а,2, ...,а,„) - »-я строка матрицы А. В такой постановке задача выбора вектора х* относится к задачам квадратичного программирования и имеет единственное решение. Для использования

постановки задачи (6-8) при выборе химического состава стали необходимо исследовать возможность ее решения при замене обычной системы линейных уравнений на модель Т8К.

Вторая глава. В процессе построения модели ТБК необходимо решать традиционные задачи фаззификации нечетких объектов, в данном случае задачу фаззификации табличных интервалов К/ изменения химического состава стали. В работе предлагается использовать для построения функций принадлежности М 1 (Х1) треугольные нечеткие числа. Для треугольных функций

кI

принадлежности существует три определяющих параметра: левая и правая границы и точка высоты треугольника, которые задаются следующим образом. Максимальное значение принадлежности (высота треугольника/(л-,) = 1)

к,

X + X

находится в центре табличного интервала при значении х, = "т"п 'та* .

Границы треугольного числа, а < Ь определяются как границы всего допустимого диапазона изменения массовой доли /-го химического элемента: ц ,(а) = л ,(й) = 0-

кI к,

В этом случае фаззификация табличного интервала толерантности К/ определяется функцией принадлежности

2(х, -а)

, если а < х, < -

2(л-, -Ь) Хт„ + Х.т. ^ I ^

'- - если -— < х, <Ь,

*т,„ + *тач ~ 2Ь 2

О, если х, < а ичи х, > Ь

Выражение (9) позволяет для любого входного вектора х в правиле (3) вычислять соответствующие значения ¡л ,(х1) и далее значения /иК]{х),

I

используя в качестве I- нормы следующую операцию

Мк,(х) = тт{^к ,(х)}. (10)

1

Прогнозное значение каждого элемента вектора у(Ь) = (У\,~,Ук) определяется по формуле (4).

В работе приводятся численные примеры фаззификации нечетких интервалов и построения модели ТЙК.

Модель Т5К снимает проблему выбора наиболее адекватной модели расчета твердости стали по химическому составу из известных восьми регрессионных моделей, т.к. позволяет включать в расчет прогнозного значения твердости стали все восемь моделей с весами, определяемыми значениями соответствующих функций принадлежности.

Для проверки адекватности модели Т8К необходимо выбрать какие-либо критерии оценки правильности прогноза распределенной твердости стали.

В качестве наиболее очевидного критерия можно рассматривать требование монотонного убывания значений твердости стали в векторе у = (_у(А,),..., у(Ит)), т.е. >■(/;,)<>(^), если /;, >/;,. (И)

Проведенный анализ существующих моделей показал, что не всегда свойство монотонности выполняется, а при использовании модели ТБК. свойство монотонности сохранялось во всех рассмотренных 308 плавках.

В качестве второго критерия можно рассматривать попадания каждого расчетного значения твердости стали в допустимый диапазон (доверительный интервал, определяемый на этапе построения регрессионной модели).

Для каждой модели посчитаны допустимые диапазоны твердости стали для классов от 1 до 8. Эти допустимые диапазоны можно использовать для проверки адекватности модели ТЯК следующим образом.

Минимальное и максимальное значения твердости определяются по формуле

min _ Н _

У ' ~ 8 ~

I-1

В работе проведены представлены на рис. 1.

(12)

Zf^y." . 1_

(13)

численные расчеты, иллюстрационные результаты

Рис. 1. Доверительный диапазон и значения твердости стали, рассчитанные по модели ТБК

Для оценки качества прогноза был проведен численный эксперимент - по модели Т5К определялись прогнозные значения выходной переменной у, и сравнивались прогнозные и фактические распределения твердости в 308 точках х промышленной статистики. При этом были получены 8 х 308 х к = 2464 * к значений у/, где к - число точек измерения твердости стали на различной глубине /г; т.е. обрабатывалось около 8000 значений.

Результат численного эксперимента характеризуется следующими параметрами:

среднее отклонение Д = —-= 0,93;

п

максимальное отклонение шахД = \упк -У\ = 3,74,

где п = 308 - общее число проведенных тестов.

Во всех заказных спецификациях на выплавку стали допустимый диапазон твердости для одной точки составляет минимум 6 единиц. Несмотря на то, что использовали максимальное отклонение модели ТЙК и минимально допустимый диапазон твердости стали, расчетное значение твердости (с учетом возможных погрешностей) практически всегда попадает в допустимый диапазон прокаливаемое™ стали указанный в заказной спецификации.

Как отмечалось в главе 1, для реализации возможных подходов к управлению необходимо модель Т5К, представленную системой нечетких продукционных правил, привести к матричному виду.

Для этого рассмотрим выражение (4) и подставим в него соответствующие уравнения системы (1):

У, =

_ _ /»I _

(14)

/»1

с'

Примем следующие обозначения

а,Лх) = —г

/=I

I

1=I

Модель Т5К в матричном виде будет выглядеть следующим образом: у = А™к(х)х + а,о!''к(х),

(15)

где Ат$к(х)--

а2|(*) а22(х)

а2„(х)

- матрица модели ТБК.

аи(х) ап(х) . ак„(х) элементы которой зависят от вектора X; а0 (х) - транспонированный вектор-столбец свободных членов, зависящих от вектора х.

Несмотря на то. что формально модель ТЭК записана в матричной форме, эта модель относительно вектора г является нелинейной.

В третьей главе рассматривается решение обратной задачи - отыскание вектора х по заданному вектору у. Система (15) может иметь единственное решение, не иметь решений или иметь бесчисленное множество решений. В последнем случае выбор единственного решения может быть осуществлен на основе постановки задачи оптимизации с ограничениями, включающими правую часть уравнений системы (1). Решение таких систем нелинейных уравнений или задач оптимизации обычно сводится к некоторой итерационной процедуре, основанной на известном методе последовательных приближений.

Представим систему (15) в следующем виде

= (16) !где Зс° е начальное значение вектора химического состава, заданное из каких - либо соображений внутри допустимой области изменения концентраций Зс1- вектор, вычисляемый как решение системы (15): -Х^(АТХК{х°)У\у'-а0(х0)).

То есть можно построить итерационную процедуру последовательных приближений к решению системы (15)

х'+1 -(Л7хк(х'))~'(у* -а0(х')). (17)

Операция обращения матрицы, составленной из случайных оценок параметров регрессионных зависимостей может приводить к смещению оценок

х .

Предлагается следующая методика оценки значимости смещения в решении (17). Пусть рассматривается модель (1), полученная как система регрессионных зависимостей, адекватная в некоторой области Ох изменения значений

концентраций химических элементов х . Область имеет вид

х,тт <х1 <х(тах, V/. (18)

Линейный вид модели (1) позволяет построить область Ру изменения

значений твердости стали у, соответствующую области Действительно,

границы области -у™"1 и _у™ах, V/ будут определяться по следующему простому правилу:

(?,...,?„). (19)

(х™п,еслиа >0,

х, = 1 " ' 1х,таХ,еС7ИД,; <0.

у™к = у(х......X )• (20)

-'/ ■ Г I п'

хшах, если а >0,

х =

х™п,ес.,иау <0.

Решение системы (1) имеет вид

х*=х{у*)=(А~][У*-а0). (21) Необходимое условие получения решения методом последовательного

приближения (20) формулируется следующим образом: если для любого

заданного вектора у &Г)у решение (18) для всех систем уравнений (1) будет

принадлежать О,., т.е. х еО^, то, в принципе, смещением оценок в решении (21) можно пренебречь и использовать для решения процедуру (20). Если любая

из моделей (1) не допускает игнорирования смещения, то и итерационная процедура (20) не будет сходиться к решению.

В работе по предложенной методике были проанализированы все модели системы «БТАНЬ-Е^ЕМ-РгШЫШег». В качестве иллюстрации рассмотрим одну из регрессионных моделей, соответствующую промышленным статистическим данным процесса выплавки стали марки 16МпСг5 из системы «5ТАНЬ-Е18ЕМ-РгШЫШег».

Пусть химический состав характеризуется вектором = (0,18; 0,04; 0,9; 0,02; 0,1; 1,0; 0,03; 0,3; 0,017), хеОх. Регрессионная модель дает вполне адекватный вектор распределенной твердости: у= (43,1; 41,2; 35,1; 28,3; 25,6; 24,5; 23,0; 22.8; 20.1), уеОу.

Пусть полеченную твердость стали необходимо повысить до следующих _* „

средних значений: у = (45; 43; 40; 35; 33; 31; 30; 28; 26), у изменяя

вектор химического состава. Решение этой задачи с помощью обращения матрицы А приводит к следующему результату: х' = (0,213; 0,042; 0,889; -0,003; 0,405; 0,514; 0.13; 0,69; -0.002). Как видно, полученный результат не укладывается в рамки физического смысла из — за отрицательности концентраций химических элементов. Другими словами, полученные значения химического состава не принадлежат допустимой области ; не соблюдено необходимое

условие применения процедуры (20): решение следует искать в рамках постановки (6-8).

Будем интерпретировать каждое заданное значение у как условную

выборочную среднюю у' = АЦу^х') регрессионной модели у, -у, где £, - случайные остатки. В соответствии с поставленной задачей управления по заданному значению у' необходимо с помощью модели найти такие значения

X , которые при установке на реальном объекте обеспечили бы попадание свойства У,(х ) в некоторый допустимый интервал вокруг V, с заданной вероятностью. С одной стороны допустимый интервал определяется постановкой

задачи неравенством - у', -5/ < у,(х') < у', +81. С другой стороны, следуя

*

математической статистике, для У, можно рассчитать доверительный интервал в виде неравенства у , ¿^ОЛ) ^ < у , + к5{у ,).

где !\-а к ' статистика Стьюдента; 8{у',) - стандартная ошибка прогнозируемого свойства, вычисляемая при конкретных значениях вектора х = х . Сравнение двух полученных неравенств показывает, что для успешного решения задачи необходимо выполнение неравенства < . Для того,

чтобы последнее неравенство выполнялось как можно чаще, желательно

^выбирать "такие х', при которых стандартная ошибка S(y',) была бы i минимальной. В работе предложен и обоснован критерий оптимальности вида

S2(/<) = ttS^x> (22)

А/-П

где 5,, - оценки моментов связи (при к = / - оценки дисперсии) случайных параметров модели; К} - ковариационная матрица размерности («+/)*(«+/). Очевидно, что критерии вида (22) должны быть записаны для каждого J, т.е. для каждого уравнения системы (1). Их совокупность можно представить в виде взвешенной аддитивной свертки:

ß(3c)= £v,S2O0)= Ъ,х7 К(23)

/=| j=I

где - весовой коэффициент, учитывающий требования по точности достижения каждого значения распределенного свойства.

Критерий (23) дополняется неравенствами, описывающими допустимые —* _*

области изменения х и уj(x ). Эти неравенства для модели в виде системы (1)

имеют вид (8), а для модели TSK

у......< А(х)х + 3„ (х) <у™\ (24)

xmm<i<Jma\

Решение находится стандартным поисковым методом без использования операции обращения матрицы, что снимает проблему смещенности получаемых оценок. Для иллюстрации этого факта вернемся к рассмотренному примеру с обеспечением заданной твердости металла выбором его химического состава. Пусть треб>ется достичь распределенной твердости, той же. что и в рассмотренном примере - У* = (45; 43; 40; 35; 33; 31; 30; 28: 26) с погрешностью

<5=1. Будем решать эту задачу как задачу квадратичного программирования при тех же условиях, что и в примере. Найденное решение будет иметь вид х' = (0.22; 0.02; 1.00; 0.006; 0.04; 1.08; 0.01; 0.279; 0.015). Соответствующий решению вектор твердости, прогнозные оценки которого рассчитаны по модели (1) - у(х ) = (45.7; 44.0; 40.4; 34.8; 32.2; 30.7; 29.2; 28.1; 25.4). Найденное решение удовлетворяет требованиям к управлению и соответствует области адекватности модели, что позволяет доверять получаемым оценкам твердости стали с точки зрения их воспроизводимости в реальном процессе.

Задача (22 - 24) уже не является задачей квадратичного программирования в силу нелинейности ограничений (24). Такую задачу будем называть задачей квазиквадратичного программирования, т.к. ограничения (24) сохраняют форму записи, подобную матричной. Для решения этой задачи предлагается использовать известный метод последовательных приближений. Алгоритм решения представлен следующим описанием. Выбирается начальное (грубое) приближение к решению - , которое подставляется в (24) следующим образом,

{Ушт^А{хй)х + а0{х0)<уФтзх, (25)

1зГт,п < лГ < Г™

После такой подстановки задача квазиквадратичного программирования превращается в обычную задачу квадратичного программирования, имеющую единственное решение - хг которое рассматривается как следующее приближение к решению исходной постановки. Здесь необходимо отметить, что. полученная в условиях стохастичности параметров модели, оценка решения является несмещенной. При найденном приближении снова рассчитываются значения функций принадлежности и параметров ограничений в постановке (24), решается соответствующая задача квадратичного программирования и ее

решение - Х2. Продолжение описанных процедур порождает последовательность векторов х0,х],...,хг...; если эта последовательность сходится к некоторому конечному пределу, то этот предел и является решением исходной задачи квазиквадратичного программирования.

х'+1=Ф(х'). (26)

где Ф - оператор поиска оптимального решения задачи квадратичного программирования. Таким образом, необходимо установить сходимость последовательных приближений к решению преобразованной задачи. Известно, что от выбора начального приближения сходимость последовательности приближений не зависит. В задаче о неподвижной точке сходимость последовательных приближений к решению обеспечивается следующим достаточным >словием - оператор Ф должен быть оператором сжатия. В работе показано, что условие сходимости определяет в пространстве переменных

V/(( = 1,...,«) некоторую, априори неопределенную, область, представляющую собой п- мерный выпуклый симплекс , образованный пересечением ,

гиперплоскостей £ а( (.х)_у, = ¡3 (5"), / = 1...., т. Для всех заданных значений

У . лежащих внутри симплекса, процедура (26) сходится.

Область можно оценить экспериментально в условиях конкретной

задачи управления твердостью стали, сканируя пространство У{ и многократно решая задачу (26) с проверкой сходимости. Однако в условиях рассматриваемой задачи при размерности пространства у,- 8<п<14 численное построение границ

области сходимости с последующей проверкой попадания заданных значений У в эту область вызывает серьезные затруднения. В этой связи в работе предложено оценивать границы области сходимости в более простом, двумерном пространстве с координатами /(ось абсцисс) и у (ось ординат). В этом случае каждая точка уеО^ отображается в п точек: >',,....,>■„ как показано на рис. 2.

В исходной постановке задачи натуральным значениям индекса / (соответствуют глубины измерения твердости стали И от поверхности ! выплавляемого изделия. То есть интерполирование точечной зависимости у(1) приводит к функции распределения твердости стали по глубине изделия - >'(Л). При обработке статистических данных по заказываемому распределению твердости в индивидуальных заказных спецификациях на выплавку стали были получены границы возможного изменения заказного распределения твердости стали: у""" = 15; у™" = 65; 1Г" = I; Нт°* = 25.

Рис. 2 , Рис. 3

Рис. 2. Границы области Рис. 3. Семейство зависимостей

сходимости в двумерном пространстве у(А) его дискретной аппроксимацией в

с координатами /(ось абсцисс) и у узлах сетки с координатами ¡-у. (ось ординат).

Рис. 4. Расчетные и фактические значения твердости стали, а также границы доверительного диапазона изменения твердости для марки стали, аналог 18ХГН

В выделенной области й1ак была построена сетка с заданным шагом, перебирались последовательные наборы узлов сетки (т.е. узлы с последовательно

возрастающими номерами /, отвечающие условию невозрастания точечной зависимости у(1). Алгоритм построения всевозможных наборов зависимости >(;')

представлен в работе. Для каждой полученной зависимости у(0 решалась задача (26). Основной результат проведенных численных экспериментов состоял в том, что область сходимости полностью содержит в себе область Вт.. Отсюда следует, что предложенные модели и алгоритмы могут использоваться при управлении твердостью стали для всего диапазона возможных заказов. Иллюстрация одного из проведенных экспериментов представлена на рис. 4.

Разработанная модель на основе нечетких продукционных правил Т5К с использованием задачи оптимального управления позволяет исключить возможность допущения ошибки при выборе модели расчета, а также производить расчет твердости стали для химического состава не соответствующего в полной мере совокупности интервалов, для которых определены модели, а также значительно снизить трудозатраты при выборе оптимального химического состава.

Модели и алгоритмы прогнозирования и управления твердостью стали были реализованы в виде программного комплекса управления выплавкой стали. На рис. 5 приводится структура комплекса.

Рис.5. Модели и алгоритмы прогнозирования и управления твердостью стали ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Анализ особенностей моделирования процесса выплавки стали показал, что наиболее адекватным подходом к построению моделей зависимости твердости стали от её химического состава являются методы статистического моделирования в комбинации с методами нечеткого логического вывода, а управление процессом выплавки стали (выбор химического состава) может быть представлено либо как решение систем нелинейных уравнений, либо в виде моделей оптимального выбора.

2. Разработана модель зависимости распределенной по глубине твердости стали от её химического состава в виде системы нечетких продукционных правил (модель ТБК), позволившая определять прогнозные значения распределенной твердости стали как средневзвешенные выходы комплекса моделей линейной регрессии и устраняющая проблему выбора наиболее адекватной регрессионной модели.

3. Проведено исследование модели ТБК, показана ее адекватность в рамках требований по точности определения распределенной твердости стали, задаваемых индивидуальной заказной спецификацией на выплавляемые изделия.

J 4. Предложена форма представления модели TSK в виде системы | квазилинейных уравнений, что позволило сформулировать модели задачи 1 управления в виде решения системы квазилинейных уравнении относительно химического состава стали и задачи квазиквадратичного программирования.

5. Разработана методика исследования модели задачи управления, представленной в виде решения системы квазилинейных уравнений на предмет значимости смещения полученных оценок решения. В результате исследования по предложенной методике установлено, что смещенность оценок необходимого химического состава, полученного по известным регрессионным зависимостям, существенна и приводит к неадекватности решения.

6. Разработана модель задачи управления в рамках модели квазиквадратичного программирования, обеспечивающая автоматический поиск необходимого химического состава стали по заданному распределению её твердости.

7. Предложен итерационный алгоритм решения задачи квазиквадратичного программирования, основанный на методе последовательных приближений. Показано, что сходимость алгоритма определяется изменением заданной твердостью стачи.

8. Предложен алгоритм численной оценки области сходимости итерационных решений, с помощью которого определена область допустимых изменений заданных значений твердости стали и показано, что все возможные значения заданных распределений твердости из индивидуальных спецификаций будут находиться в области сходимости. Полученный результат позволяет использовать предложенные модели управления выплавкой стали для различных групп марок.

9. Скорректирован программный комплекс моделирования и управления SEP 1664 за счет включения программ реализации модели TSK и алгоритмов задач квазиквадратичного программирования.

10. Апробация предложенных моделей и численных алгоритмов управления на фактических данных подтвердила их работоспособность, что отражено в акте промышленных испытаний на ОАО «Оскольский электрометаллургический комбинат».

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Бондарчук A.A. Модели управления твердостью металла в условиях стохастической и нечеткой неопределенности / A.A. Бондарчук. М.Г. Матвеев. Ю.А. Полянский // Системы управления и информационные технологии: науч. -техн. журнал. М., 2007. № 4.1. С. 124-128.

2. Бондарчук A.A. Анализ моделей управления твердостью стали в процессе плавки /A.A. Бондарчук, М.Г. Матвеев Н Мехатроника, автоматизация и управление. № 3. 2008. С. 37 - 40.

Статьи и материалы конференций

3. Бондарчук A.A. Модели выбора состава в системе «состав-свойство» / A.A. Бондарчук, М.Г. Матвеев // Математические методы в технике и технологиях: материалы XX Междунар. науч. конф. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та. 2007. Т.2. С. 139-140.

4. Бондарчук A.A. Использование TSK моделей для прогнозирования твердости стали / A.A. Бондарчук, М.Г. Матвеев, Ю.А. Полянский // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: материалы XX Междунар. науч. конф. Тула: Изд-во Тул. гос. техн. ун-та. 2007. С.323-324.

5. Бондарчук A.A. Решение задачи выбора в системе «состав-свойство» / A.A. Бондарчук, М.Г. Матвеев, J1.C. Черникова // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы II Междунар. науч. конф. Воронеж: ВГТА, 2007. С.40-41.

6. Бондарчук A.A. Использование TSK модели системы «состав-свойство»/ М.Г. Матвеев, Ю.А. Полянский, A.A. Бондарчук // Обеспечение общественной безопасности в Центральном федеральном округе Российской Федерации: материалы Междунар. науч.- практ. конф. Воронеж: Воронежский институт МВД России, 2007. 4.4. С. 14- 15.

7. Бондарчук A.A. Интенсификация плавления металлизированных окатышей ДСП / A.C. Филипчук. A.A. Бондарчук, Э.Э. Меркер, A.A. Кожухов // Азовсталь - 2005: материалы Междун. науч. - техн. конф. Мариуполь, 2005. С.

8. Бондарчук A.A. Решение задач выбора при квазилинейных моделях • объекта управления / A.A. Бондарчук, М.Г. Матвеев // Современные проблемы информатизации в анализе и синтезе программных и телекоммуникационных систем: сб. тр. Воронеж: Научная книга, 2008. Вып. 13. С. 283-285. ,

9. Бондарчук A.A. Разработка и исследование моделей прогнозирования твердости стали на основе нечетких продукционных правил / A.A. Бондарчук // Материалы II научно - технической конференции ОАО «ОЭМК». Старый Оскол, 2007. С. 21 -23.

10. Бондарчук A.A. Разработка и исследование моделей прогнозирования твердости стали на основе нечетких продукционных правил / A.A. Бондарчук // Металлургия XXI века: сб. тр. IV Междунар. конф. молодых специалистов. - М.: ВНИИМЕТМАШ им. академика А.И. Целикова, 2008. С. 6 - 11.

26-27.

Подписано в печать 29.12.2008 Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 90 экз. Заказ №

ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский просп., 14

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ МОДЕЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ ВЫПЛАВКОЙ СТАЛИ И ПУТЕЙ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ, i. i.

1.1. Краткая характеристика объекта управления и существующих моделей управления.

1.2. Анализ направлений выбора наиболее адекватной модели твердости стали.

1.3. Анализ возможных подходов к решению задачи управления в ( условиях стохастичности модели.

1.4. Выводы и постановка задачи исследования.41 ;;

2. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТВЕРДОСТИ СТАЛИ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ ПРОДУКЦИОННЫХ £

ПРАВИЛ.

2.1. Построение функций принадлежности нечетких интервалов изменения массовой доли химических элементов.

2.2 Алгоритм достижения адекватности модели прогнозирования твердости стали с последующей ее проверкой.

2.3. Приведение модели TSK к матричному виду.

2.4. Выводы по второй главе.

3. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ КОНЕЧНОЙ ТВЕРДОСТЬЮ СТАЛИ.

3.1. Анализ возможности управления на основе решения матричного уравнения.

3.2. Постановка задачи оптимального управления.

3.3. Разработка алгоритма решения задачи оптимального управления с моделью TSK.

3.4. Экспериментальное определение области сходимости приближений к решению задачи квазиквадратичного программирования

3.5. Анализ и сравнение существующих моделей прогнозирования твердости стали и модели на основе нечетких продукционных правил.

3.6. Апробация алгоритма управления конечной твердостью стали.

3.7. Выводы по третьей главе.

Актуальность работы. Одной из важных задач управления технологическим процессом выплавки стали является обеспечение заданной твердости (прокаливаемости) стали, распределенной по глубине выплавляемого изделия. Достижение заданного распределения твердости осуществляется выбором многокомпонентного химического состава стали, наряду с заданием соответствующего технологического режима.

Для выбора необходимого химического состава на многих предприятиях используются математические модели в виде регрессионной зависимости твердости от процентного содержания химических элементов. Учитывая сложность построения такой зависимости во всем диапазоне изменения химического состава, на множестве допустимых значений концентраций элементов выделяются интервалы значений состава, заданной (но не любой) совокупности которых соответствует определенная, как правило, линейная, регрессионная модель зависимости. По сути, такой подход соответствует кусочно-линейной аппроксимации нелинейной, многофакторной зависимости. При этом возникает задача выбора модели наиболее адекватной заданным начальным условиям химического состава стали. Эта задача решается переборным методом на основе эмпирических соображений специалистов-экспертов управляющих выплавкой стали. По выбранной регрессионной модели осуществляется прогноз распределения твердости стали, на основе которого методом перебора выбирается необходимый химический состав. Неизбежные ошибки, связанные с экспертным выбором адекватной модели и химического состава приводят к снижению качества выплавляемой стали.

Повысить эффективность управления и качество выплавляемой стали можно при получении прогноза на основе моделирования зависимости «состав-твердость» системой нечетких продукционных правил Токаги-Суджено-Канга (модель TSK) и оптимизации выбора химического состава стали в условиях стохастичности параметров регрессионных моделей. Таким образом, обуславливается актуальность задачи анализа и совершенствования моделей и алгоритмов управления твердостью выплавляемой стали в условиях нечеткой и стохастической неопределенности.

Тематика диссертационной работы соответствует научному направлению кафедры прикладной математики Воронежской государственной технологической академии «Разработка математических моделей, методов и информационных технологий в технических и экономических системах перерабатывающей промышленности» (№ г.р. 01200003664).

Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка и анализ моделей прогнозирования твердости и исследование численных методов оптимального управления процессом выплавки стали с заданной твердостью, которые позволят повысить эффективность управления процессом и качество выплавляемого металла.

Достижение сформулированной цели предусматривает решение следующих задач:

- анализ особенностей моделирования и управления процессом выплавки и возможных подходов к решению задачи совершенствования моделей прогнозирования и алгоритмов управления твердостью стали;

- разработка' на основе аппарата нечеткой логики и анализ модели прогнозирования твердости, наиболее адекватной классам толерантности химического состава;

- синтез модели и алгоритмов выбора химического состава по заданному распределению твердости стали и исследование этих моделей и алгоритмов в условиях стохастичности параметров разработанной модели прогноза;

- апробация моделей и алгоритмов управления выплавкой стали с заданной твердостью с использованием данных промышленной статистики.

Научная новизна. В работе получены результаты, характеризующиеся научной новизной:

- модель прогнозирования распределенной твердости стали в зависимости от её химического состава, основанная на нечетком логическом выводе и отличающаяся представлением системы нечетких продукционных правил типа TSK в виде системы квазилинейных уравнений для соответствующей совокупности точек измерения твердости;

- методика исследования модели управления, представленной в виде решения системы квазилинейных уравнений на предмет значимости смещения полученных оценок решения, основанная на процедуре проверки соответствия областей определения и значения зависимости при решении прямой и обратной задачи;

- модель выбора химического состава стали для обеспечения заданного распределения её твердости в виде задачи квадратичного программирования, сводящаяся к известной задаче о неподвижной точке; алгоритм численной оценки области сходимости метода последовательного приближения при решении задачи управления твердости стали, характерной особенностью которого являются сканирование координатного пространства: твердость стали - глубина измерения твердости стали.

Методы исследования. Использовались методы математической статистики и теории вероятностей, регрессионного и корреляционного анализа статистических данных, методы теории принятия оптимальных решений в условиях неопределенности, теории нечетких множеств и нечеткого логического вывода.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретические результаты работы, полученные для управления системы химический состав стали - распределенная твердость, можно использовать для управления более общими системами типа «состав - свойства». С этих позиций теоретическое значение работы состоит в развитии методов моделирования и анализа моделей при решении задач управления системой «состав-свойство» в условиях стохастической и нечеткой неопределенности. Предложено новое представление системы нечетких продукционных правил типа TSK в виде системы квазилинейных уравнений, что дает возможность решения не только прямых задач (задач прогнозирования свойства по заданному составу), но решения обратных задач - по заданному свойству определение необходимого состава. Показано, что решение обратной задачи сводится к известному методу последовательных приближений.

Практическое значение работы состоит в применении полученных теоретических результатов в моделировании и управлении зависимостью «состав-твердость» при плавке стали с многокомпонентным химическим составом. Получение адекватных моделей обеспечивающих прогнозирование распределенной твердости металла по заданному химическому составу позволяет отказаться в процессе управления плавкой от экспертного выбора наиболее адекватной модели из существующего комплекса регрессионных кусочно-линейных зависимостей. Более того, появляется возможность автоматического определения химического состава плавки по заданному распределению твердости стали. Модели и алгоритмы, оформленные в виде программного комплекса управления плавкой дают возможность существенно повысить качество выплавляемой стали при снижении трудозатрат на управление.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на отраслевой научно-практической конференции «Системы автоматизированного управления производствами, предприятиями и организациями горнометаллургического комплекса» (Старый Оскол, 2003); региональной научно-практической конференции «Современные проблемы технического, естественно-научного и гуманитарного знания» (Губкин, 2004); научно-технической конференции ОАО ОЭМК (Старый Оскол 2005); региональной научной конференции «Образование, наука, производство и управление» (Старый Оскол, 2005); третьей конференции молодых специалистов «Металлургия XXI века» (Москва, 2007); всероссийской конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Ярославль, 2007); международной научной конференции «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта 2007); международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж 2007), научно - технической конференции ОАО ОЭМК (Старый Оскол 2007), четвертой конференции молодых специалистов «Металлургия XXI века» (Москва, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах, две из которых опубликованы в изданиях рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата лично соискателю принадлежат: [1,4,6,9,10] - разработка и исследование математических моделей зависимости распределенной твердости стали от её химического состава; [2] - методика оценки значимости смещения при решении обратной задачи; [3,5,8] - алгоритм выбора химического состава при решении обратной задачи; [7] - обоснование системы допущений при моделировании зависимости твердость - химический состав стали.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Основная часть диссертации изложена на 117 страницах машинописного текста и содержит 19 рисунков, 18 таблиц. Список литературы включает 101 наименование. Приложение на 14 страницах машинописного текста, содержит 4 рисунка и 17 таблиц.

3.7. Выводы по третьей главе

1. Показано, что решение задачи управления, т.е. задачи выбора химического состава стали, обеспечивающего заказанное распределение твердости, нельзя осуществлять в виде решения системы квазилинейных уравнений, представляющих модель TSK, так как смещение получаемых в результате решения оценок достаточно велико, и приводит к результатам, не имеющим физического смысла - отрицательным концентрациям химических компонент плавки.

2. Задача управления выбором состава химических компонент плавки может решаться в классе задач оптимизации. Предложена модель задачи управления в виде задачи квазиквадратичного программирования.

3. Проведен анализ подходов к решению задачи квазиквадратичного программирования и предложен итерационный алгоритм решения, основанный на использование метода последовательных приближений.

4. Разработана методика оценки области сходимости метода последовательных приближений, применительно к решаемой задаче, что позволило использовать предложенные модели и методы управления в решении практических задач обеспечения заданной твердости стали.

5. Проведена апробация предложенных моделей и методов управления в условиях электросталеплавильного цеха ОАО «Оскольский электрометаллургический комбинат»

1. Анализ особенностей моделирования процессом выплавки стали показал, что наиболее адекватным подходом к построению моделей зависимости твердости стали от её химического состава являются методы статистического моделирования в комбинации с методами нечеткого логического вывода, а управление процессом выплавки стали (выбор химического состава) может быть представлена либо как решение систем нелинейных уравнений либо в виде моделей оптимального выбора.

2. Разработана модель зависимости распределенной по глубине твердости стали от её химического состава в виде системы нечетких продукционных правил (модель TSK), позволившая определять прогнозные значения распределенной твердости стали как средневзвешенные выходы комплекса моделей линейной регрессии и устраняющая проблему выбора наиболее адекватной регрессионной модели.

3. Проведено исследование модели TSK, показана ее адекватность в рамках требований по точности определения распределенной твердости стали, задаваемых индивидуальной заказной спецификацией на выплавляемые изделия.

4. Предложена форма представления модели TSK в виде системы квазилинейных уравнений, что позволило сформулировать модели задачи управления в виде решения системы квазилинейных уравнении относительно химического состава стали и задачи квазиквадратичного программирования.

5. Разработана методика исследования модели задачи управления, представленной в виде решения системы квазилинейных уравнений на предмет значимости смещения полученных оценок решения. В результате исследования по предложенной методике установлено, что смещенность оценок необходимого химического состава, полученного по известным регрессионным зависимостям, существенна и приводит к неадекватности решения.

6. Разработана модель задачи управления в рамках модели квазиквадратичного программирования обеспечивающая автоматический поиск необходимого химического состава стали по заданному распределению её твердости.

7. Предложен итерационный алгоритм решения задачи квазиквадратичного программирования основанный на методе последовательных приближений. Показано, что сходимости алгоритма определяется изменением заданной твердостью стали.

8. Предложен алгоритм численной оценки области сходимости итерационных решений с помощью которого определена область допустимых изменений заданных значений твердости стали и показана, что все возможные значения заданных распределений твердости из индивидуальных спецификаций будут находится в области сходимости. Полученный результат позволяет использовать предложенные модели управления выплавкой стали для различных групп марок.

9. Скорректирован программный комплекс моделирования и управления SEP 1664 за счет включения программ реализации модели TSK и алгоритмов задач квазиквадратичного программирования.

10. Апробация предложенных моделей и численных алгоритмов управления в промышленных условиях подтвердила их работоспособность, что отражено в акте промышленных испытаний на ОАО «Осколь-ском электрометаллургическом комбинате».

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Исследование зависимостей : Справ, изд./ С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л.Д. Мешалкин; Под ред. С. А. Айвазяна. М.: Финансы и статистика, 1985. - 487 е., ил.

2. Айвазян С.А. Статистические исследования зависимостей. М.: Металлургия, 1968. 196 с.

3. Айвазян С.А., Мхиторян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

4. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М.: Наука, 1972427 с.

5. Ахнозарова СЛ., Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии. М.: Высшая школа, 1978. - 319 с.

6. Блинов И.Н. Об одном итерационном процессе Ньютона. Изв. АН СССР сер. Матем. 1969, т.38, №1, с. 3-14.

7. Блок Ф. Новые уравнения для расчета кривой торцовой закалки цементуемых хромоникельмолибденовых сталей // Черные металлы, февраль 2005. с. 47-49.

8. Блюмин С.Л., Самордин П.В. Опыт применения метода складного ножа к моделированию технологических зависимостей в черной металлургии. // Заводская лаборатория, №1, 1995. С. 59-62.

9. Блюмин С.Л., Шуйкова И.А., Сараев П.В., Черпаков И.В. Нечеткая логика: алгебраические основы и приложения: Монография Липецк: ЛЭГИ, 2002.- 111 с.

10. Бобылев М.В., Курдюков А.А., Носоченко О.В. и др. Увеличение прокаливаемости термоулучшаемой борсодержащей стали марки В (ASTM А514) путем рационального раскисления и микролегирования. // Сталь, №6, 1998. С. 58-63.

11. Бобылев М.В., Курдюков А.А., Носоченко О.В., Петровский В.А., Тихонюк J1.C. Увеличение прокаливаемости термоулучшаемой борсодержащей стали марки В (ASTM А 514) путем рационального раскисления и микролегирования. // Сталь. 1998. № 6 с. 58 -63.

12. Бобылев М.В., Ламухин A.M., Кувшинников О.А. и др. Оптимизация прокаливаемости и состава термоулучшаемой борсодержащей стали. // Сталь, № 7, 2002. С. 68-71.

13. Бондарчук А.А. Матвеев М.Г., Полянский Ю.А. Модели управления твердостью металла в условиях стохастической и нечеткой неопределенности. // Системы управления и информационные технологии. М.: № 4.1, 2007, стр.124-128.

14. Бондарчук А.А., Матвеев М.Г. Анализ моделей управления твердостью стали в процессе плавки. // «Мехатроника, автоматизацию и управление». № 3, 2008, стр. 37 40.

15. Бондарчук А.А., Матвеев М.Г. Модели выбора состава в системе «состав-свойство». // Материалы XX международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Ярославль: Изд-во Яросл. гос. тех. ун-та, т. 2, 2007 , стр. 139-140.

16. Браун М.П., Винокур Б.Б., Кондрашев А.И. Геллер A.JI. Свойства комплекснолегированных сталей для изделий крупный сечений. М., Машгиз 1963. 210 с.

17. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980

18. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс,2002.

19. Винарова С.М. Бор, кальций, ниобий и цирконий в чугуне и стали. Под ред. М., Металлургиздат, 1961. 460 с.

20. Вороновский Г.К., Махотило К.В., Петрашев С.Н., Сергеев С.А. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности //научное издание — Харьков, Основа, 1997. 106 с.

21. Вороновский Г.К., Махотило К.В., Петрашев С.Н., Сергеев С.А., Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности //научное издание Харьков, Основа, 1997. 106 с.

22. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. 12 — е изд., перераб. - М.: Высшее образование, 2006 -479 е.: ил. (Основы наук).

23. Гольберг И.И. Механическое поведение полимерных материалов (математическое описание). М.: Химия, 1970. 190 с.

24. Гуляев А.П. Металловедение. М.: Оборонгиз, 1963. 396 с.

25. Деле В. А. Легирования конструкционная сталь. М.: Металлургиздат, 1953. 424с.

26. Демидович Б.П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1970. 664 е., ил.

27. Денис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988.

28. Должанский Ю.М., Будов В.В. Малоточечные планы эксперимента на базе кратных симплекс-пропорциональных решеток дляисследования систем «состав-свойство». // Заводская лаборатория, №3, 1995. С. 53-57.

29. Кальнера В.Д. Контроль качества термической обработки стальных полуфабрикатов и деталей: Справочник М.: Машиностроение, 1984.-384 с.

30. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ М.: Наука, 1977. - 742 с.

31. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Марков Е.П. Системный анализ процессов химической технологии. Применение метода нечетких множеств. М.: Наука, 1986. - 360 с.

32. Качанов Н. Н. Прокаливаемость стали М., Металлургия, 1978.192 с.

33. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 496 с.

34. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. -831 с.

35. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. М.: Энергоатомиздат, 1987. — 497 с.

36. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь. 1982.-432 с.

37. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2001. - 543 с.

38. Кудря A.B., Соколовская Э.А. Влияние колебаний химического состава в пределах марочного на качество стали // Электрометаллургия. 1998. №3 с. 32-36.

39. Кузин J1.T. Основы кибернетики. Т.1. Математические основы кибернетики / учеб. Пособие. -М.: Энергия, 1973, 504 с.

40. Лахтин Ю.М. Металловедение и термическая обработка металлов: Учеб пособие. М.: Металлургия, 1976. 258 с.

41. Леденева Т.М., Коплиева Н.А. Алгоритм ранжирования альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения. // Системы управления и информационные технологии. 2007. № 1.2 (27). - С. 243-248.

42. Леденева Т.М., Татаркин Д.С. Исследование моделей нечеткого логического вывода // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Системный анализ и информации, техн. 2006. - №2. -С. 110-118.

43. Леденева Т.М., Татаркин Д.С. Об аппроксимации неизвестной функции нечеткими продукционными правилами // Материалы международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы», часть 1, Воронеж: ВГУ 2006. -С. 62-66.

44. Львович Я.Е. Многоальтернативная оптимизация: теория и приложения. Воронеж: Кварта, 2006. - 415 с.

45. Малинкина Е.Н., Ломакин В.Н. Прокаливаемость стали. М.: Машиностроение, 1989 179 с.

46. Матвеев М.Г., Михайлов В.В. Управление организационно-технической системой в условиях метеорологической неопределенности. /- Воронеж: ВВАИУ, 2006. 146 с.

47. Матвеев М.Г., Свиридов А.С., Алейникова Н.А. Модели и методы искусственного интеллекта. Применение в экономике: учеб. Пособие М.: Финансы и статистика; ИНФА - М, 2008. - 448 е.: ил.

48. Машунин Ю.К. Теоретические основы и методы векторной оптимизации в управлении экономическими системами. М.: Логос, 2001, -248 с.

49. Меленьтьев В.Н. Методы приближенных вычислений. М.: Физматлит 1968 с. 235.

50. Москаленко В.А., Кудря А.В., Грызунов В.И. Иващенко А.В., Соколовская Э.А. Использование баз данных производственного контролядля управления качеством продукции. // Электрометаллургия. 2000. №12 с. 29-31.

51. Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе веществ. М.: Физматгиз, 1960. 430 с.

52. Наумов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента. М.: Металлургия, 1981. 151 с.

53. Новосельцев В.И. и др. Теоретические основы системного анализа М.: Майор, 2006. - 592 с.

54. Новосельцева В.И. Теоретические основы системного анализа. Под ред.- М.: Майор, 2006. 592 с.

55. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. -М.: Изд во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

56. Носов В.Б., Юрасов С.А. Расчет прокаливаемости борсодержащих сталей // МиТОМ. 1995. № 3 с. 19 22.

57. Носов В.Б., Юрасов С.А., Старокожев Б.С. Принципы нормирования прокаливаемости конструкционных сталей. // Справочник. Инженерный журнал. 1997. № 7 с. 12 17.

58. Онищенко A.M. К повышению точности контроля состава веществ. // Заводская лаборатория, №1, 1997. С. 55-62.

59. Определение формул методом множественной регрессии для расчета прокаливаемости при испытании методом торцевой закалки на основании химического состава сталей. SEP 1664, издание 2, Stahleisen GmbH, А/я 1051 64, 40042 Дюссельдорф, 2004.

60. Оссовский С. Нейронные сети для обработки информации. М.: Финансы и статистика, 2004, с 304.

61. Петровский В.А., Борисов В.Г., Бобылев М.В. «БОРОФОРМ -прогнозирование количества эффективного бора в стали»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. № 2000610589, 07.07.2000г.

62. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983

63. Попов Э.В., Фоминых И.Б. Статистические и динамические экспертные системы: Учеб. пособие,

64. Прангишвили И.В. Системный подход и общесистемные закономерности. М.: СИНТЕГ, 2000.

65. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. Л.: Энергия, 1978. 262с.

66. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: пер. с польск. — М.: Горячая линия Телеком. 2006. - 452 с.

67. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Единотороиал УРРС, 2004

68. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. М.:. Высшая школа, 1985.75. Стандарт ASTM А 255 89.

69. Стандарт DIN EN ISO 642 2000.77. Стандарт SEP 1664 1996.78. Стандарт ГОСТ 5657 69.

70. Степашин A.M., Зырянов В.В., Павлов С.Е. и др. Совершенствование статистического контроля механических свойств листового проката из стали 17Г1С-У. // Сталь, № 3, 2005. С. 96-98.

71. Сысоев В.В., Матвеев М.Г., Бугаев Ю.В., Ряжских В.И. Математическое моделирование детерминированных технологических и технических систем // Воронеж: ВГТА, 1994. - 80 с.

72. Тархов Д.А. Нейронные сети как средство математического моделирования. Кн. 22. М.: Радиотехника, 2006.

73. Тернер С. Механические испытания пластмасс. М.: Машиностроение, 1979. — 175 с.

74. Ткаченко Ф.К., Тихонин С.Л., Ефременко В.Г. и др. Улучшение качества стальных мелющих шаров при регламентируемом увеличении прокаливаемости. // Сталь, № 1. 1999. С. 56-58.

75. Трантенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений. -М.: СИНТЕГ, 1998.

76. Филипчук А.С., Бондарчук А.А., Меркер Э.Э., Кожухов А.А. Интенсификация плавления металлизированных окатышей ДСП. // Материалы международной научно-технической конференции «Азовсталь 2005». Мариуполь, 2005, стр. 26-27.

77. Якубович В.А. Оптимизация и инвариантность линейных стационарных систем управления. // Автоматика и телемеханика 1984. -Т.8.

78. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. М.: Наука , 1972.

79. Ярушкина Н.Г. Основы нечетких вычислений. М.: Финансы и статистика, 2002.

80. Andrews D.F. A robust method for multiple linear regression. -Techno metrics, 1974, vol. 16, № 4, p. 523 -531.

81. Bobylev M.V., Borisov V.T. Petrovki V.A. et al. Proceeding of 41 st Mechanical working and steel processing, Baltimore, USA, October 24 27, 1999 P. 851 -860.

82. Bobylev M.V., Stolyrov V.I., Petrovki V.A. Proceeding of 4 th International Conference on High Strenght Low Alloys Steels. // "HSLA Steels 2000". October 30 November 2, 2000. Xian, China.

83. Chambers J. Fitting nonlinear models: numerical techniques. -Biometrika, 1973, vol. 60, 1 13.

84. Efroimson M.A. Multiple regression analysis. In: Mathematical Methods for Digital Computers, Ed. by Ralston A. and Wilf H.S., Y., 1980, p. 191 -203.

85. Iohvidov I.S., Krein M.G., Lander H. Introduction to the Spectral Theory of Operators in spaces with an indefinite metric. Berlin: Akademie -Verlag, 1982.

86. Huber P.J. Robust estimation with guadratic loss. In: Pros. Fourth Berkeley Symp. Math. Statist, and Prob, 1961, vol. 1, p. 361 - 379.

87. Petrovki V.A., Volkov A. Ye., Bobylev M.V. Proceeding 3 rd European conference on continuous, Madrid Spain, October 20 - 23. B.2. P. 993- 996.

88. Wang P. Z., Zhang D. The netlike inference process and stability analysis. - Int. J. Intell. Syst. 1992. V. 7, N 4. - P. 361 - 372.

89. Wilkinson J. H. The classical error analysis for the solution of linear systems. J. Inst. Math. Appl., 1974, vol. 10, p. 175 - 180.

90. Wold S. Spline function in data analysis. Techno metrics, 1974, vol. 16, № 1, p 1 - 11.

91. Youngs E. A., Cramer E. M. Some results relevant to choice of sum and sum of - product algorithms. - Techno metrics, 1975, vol. 17, p 458 -467.

92. Доверительные диапазоны химического состава и твердости стали, а также коэффициенты регрессионной модели SEP 1664 для группы 1

93. Химический элемент ЧЪердость, ммmil) max 1.5 3,0 5.0 7.0 9,0 11,0 13,0 15,0 20,0 25,0 30,0

94. С 0,220 0,468 57,91 58,66 64,04 81,10 94,70 100,78 95,85 88,69 78,34 72.29 "2,74

95. Si 0.020 0,360 2.29 3.76 10,86 19,27 22,01 21.25 20.54 20,82 17.57 18,62 19,12

96. Mil 0,590 0,970 3,77 2,16 0,00 4.S7 10,24 14,70 16,06 17,75 20.1S 20,73 21,42

97. Р 0,005 0.037 0,00 0,00 0,00 0.00 0.00 0,00 0.00 0,00 0,00 0.00 0,00

98. S 0.003 0,038 0,00 0,00 -41,85 -73,79 -37.76 0,00 0,00 0,00 0,00 -65.81 -81,41

99. Си 0.017 0,320 -2,65 -2,59 0,00 4.56 8,5 S 7.9" 9,00 8.S9 9.96 9,64 9.71

100. А1 0.012 0.062 0,00 0,00 0.00 0,00 38,31 52,63 54.91 47.16 0.00 0.00 0,00

101. Сг 0.800 1,240 0.00 2,86 12,29 21.02 24,82 25.39 26.46 25.33 23.85 24.0S 24,39

102. Мо 0.005 0,0.90 0,00 0.00 0,00 0,00 0.00 0,00 30,41 38,97 26,95 35,99 27,57

103. Ni 0,010 0,280 0,00 0,00 0,00 0,00 0.00 6,66 0.00 0,00 7,51 7.69 10,75

104. V 0,000 0.000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0.00 0,00 0.00 0,00 0,00 0,00

105. Ti 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0.00 0,00 0,00 0,00

106. N 0,006 0.0148 83,33 59,87 -115,60 -176,82 -144,07 0,00 0,00 0,00 0,00 0.00 0.00

107. В 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0.00

108. Константа 29,96 26,75 15,24 -7,82 -27,29 -39.34 -42,61 -42,49 -41,72 -41.94 -44.63

109. Твердость mill 53,0 52,0 50,0 47,0 41,0 37,0 34,0 33,0 29,0 20,0 23,0шах <51,0 61,0 60,0 59,0 58,0 56,0 54,0 52.0 46,0 42,0 40.0