автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Принятие решений в условиях неопределености при нарушении ограничений

л .....

— / На правах рукописи

ЛОГВИНОВ Сергей Юрьевич

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПРИ НАРУШЕНИИ ОГРАНИЧЕНИЙ

Специальность: 05.13.16 -Применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростоз-на-Доиу 1998

Работа выполнена на кафедре прикладной математик» и вычислительной техники Ростовского государственного строительного университета.

Научный руководитель: заведующий кафедрой прикладной математики н вычислительной техники, доктор технических наук, профессор Белявский Г.И.

Научный консультант: декан механико-математического факультета РГУ, кандидат физико-математических наук, профессор Ерусалимский Я.М.

Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки и техники РФ,академик РАЕН, заведующий кафедрой информатики, доктор технических наук, профессор Берштенн Л.С. (г. Таганрог)

Заведующий кафедрой математики н естественных наук, кандидат физико-математических наук, доцент Николаев МЛ. (г. Йошкар-Ола)

Ведущая организация: НИИ механики и прикладной математики (г. Ростов-на-Дону)

Защита состоится « 1,0» июня 1998г. в _ часов на заседании

специализированного диссертационного совета Д 063.13.02 при Таганрогском государственном радиотехническом университете по адресу: 347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д - 406.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке.

Автореферат разослан « (у » мая 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. т. п., доцент

А. К. Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность

Широкое внедрение высоких технологий в нашу жизнь открывает область задач, ранее не возникавшую в научной практике, и расширяет существующую. К нх числу относятся и учет сложности внешней среды при представлении ее модели в ЭВМ, и внедрение цифровой обработки сигналов, и автоматизация процессов поиска и принятия решения, н появление устройств, функционирующих в критической обстановке и режимах. Разработка таких систем требует более широкого внедрения оптимизационных подходов и методов решения оптимизационных задач, разработки корректных математических моделей, описывающих различные аспекты деятельности человека, и в этом смысле является одним из наиболее актуальных направлений современных исследовании. ,

В настоящей работе проблема принятия решений в условиях неопределенности, когда описание системы не соответствует в некоторые моменты времени реальной ситуации, рассматривается с трех точек зрения:

•реализация модели в условиях частичной определенности средствами теории графов и решение соответствующих оптимизационных задач;

•построение модели сигнала с учетом качества и количества нарушений или изменений свойств сигнала в некоторые, заранее неизвестные, моменты времени и решение задач, связанных с определением этих моментов времени (выделение контура на изображении и др.), и задач сглаживания (фильтрации);

«управление нелинейными динамическими системами а условиях, когда в системах могут возникать отказы и сбои.

Проанализируем подробнее каждую ыодель.

Для некоторых процессов или систем, в которых могут возникать непредвиденные ситуации ограниченное число раз, необходимо определить средства для описания их поведения и адаптировать известные алгоритмы к этой, не предусмотренной для них, ситуации. Например, нормальное функционирование машины допускает не более пяти случаев прохода по недостаточно хорошим участкам. Надо определить оптимальный путь зтого агрегата с учетом достижения минимума определенной целевой функции: например, расхода горючего. Для построения модели к задачам такого вида удобно ввести понятие смешанной достижимости вершин графа. Впервые подобные определения введены и исследованы в работах Ерусалнмского Я.М. и Басаиговой И.О.

Ряд проблем управления и принятия решений, для которых традиционные методы малоэффективны, могут быть решены с использованием методов нечетких множеств и систем. Поэтому приложения этой теории к задачам на графах со смешанной достижимостью представляются сегодня особенно актуальными. Принятию решений в условиях неопределенности посвящены работы известных авторов как в нашей стране, так и за рубежом: Берштейна Л.С. и Мелихова А.Н., Ееллмана Р. и Заде Л. .Эддоуса М. и Стэнсфклда Р., Орловского С.А. Применение новых понятий в сочетании с нечеткими весами на дугах графа демонстрируется на примере алгоритма поиска кратчайшего пути между двумя вершинами. За основу взята идея из алгоритма Дейгстры. Ввиду многокритериальное™ поставленной задачи в качестве решения получено множество Парето -множество эффективных альтернатив .

Несмотря на бурный рост производительности компьютеров, часто вычислительные трудности становятся серьезным препятствием для получения достаточно точных результатов. Даже при использовании традиционных стохастических моделей а задаче обнаружения многократных изменений свойств или разладок случайного процесса возникают труднопреодолимые проблемы вычислительного характера при решении ее классическими методами. Статистически оптимальные подходы во многих случаях могут не дать решения задачи и сильные статистики приходится искать эвристическим методом. В этой связи становятся особенно актуальными методы обнаружения изменения свойств сигналов, использующие минимальные предварительные условия для настройки работы. Ядром метода является понятие достижимости, а именно: в каждый момент дискретного временя рассматривается множество точек, достижимых из исходного множества. Выбор размера этого множества обусловливается зашумленностью и априорными параметрами сигнала. Основные параметры метода: г - близость сглаженного сигнала к исходному сигналу, 8 - допустимые отклонения или гладкость сглаженного сигнала, К - количество разрывов или моментов изменения свойств сигнала. Учитывая их взаимосвязь, можно ставить задачу как о нахождении минимального е при фиксированных 3 и К, так и о поиске К при фиксированных 3 и е.

Решение задач управления системой, в которой возможно возникновение определенного количества сбоев или разладок, переходов системы в иное состояние, предопределяет стремление к получению модели системы, наиболее полно отражающей поведение самой системы. Это порождает нелинейность в уравнениях, моделирующих работу системы. Та же участь постигает и критерий

t

с бог или разладки в работе системы. Поэтому на передний

план выдвигается проблема обнаружения сбоя или разладки с нелинейных системах. В теории линейных систем известен метод обнаружения разладки, основанный на геометрической интерпретации, предложенный Внлскн А.С. Для его применения к нелинейным системам в работе предлагается два варианта:

1) Найти преобразование пространства состояния для получения эквивалентной линейной системы и применять к ней известный метод. Предлагается использовать технику дифференциальной геометрии.

„ Исследования по описанию нелинейных систем типа

берут начало с семидесятых годов XX века [Jakubczik В., Van der Schaft, Hunt L. R., Renjeng SUJ. Основными инструментами такого описания являются: скобки Ли от двух векторных полей, производная Ли от функции вдоль векторного поля, понятия распределения, интегральных многообразий, двойственность между дифференциальными и векторными полями, в которых роль линейных подпространств исполняют инволютивные распределения.

2) Найти аналог контрольного соотношения для определенного класса нелинейных систем, когда f(x) может быть представлена в виде линейной комбинации, которая не зависит от состояния системы, нелинейных функций.

Развитая в диссертационной работе теория позволяет получить эффективные методы решения поставленной проблемы для класса систем, удовлетворяющих рассматриваемым условиям. Это также обусловливает актуальность темы диссертационного исследования, а

Mt) = f(x) + u(t)gix(t))

реализация этих методов в виде программ позволяет говорить о практической значимости работы. Цель и задачи исследования

Целью работы является разработка алгоритмов и методов для поддержки принятия решений в частично определенных условиях с применением графов со смешанной достижимостью вершин, совершенствованием методов обнаружения изменения свойств сигнала и получением контрольного соотношения для обнаружения сбоя или разладки в нелинейных динамических системах.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:

❖ исследование новых типов достижимости на графах, в том числе с нечетко заданными весами;

♦ рассмотрение возможности модификации известных алгоритмов для этих специфических графов;

❖ исследование возможности применения алгоритма Дейкстры для таких графов, построение множества Парето;

* приложение теории графов со смешанной достижимостью для систем управления проектами, модификация алгоритма поиска критического пути;

о описание класса кусочно-однородных сигналов в терминах многозначных отображений;

о разработка и исследование математического аппарата для получения эффективного метода обнаружен»» изменения свойств сигнала;

о разработка и исследование математического аппарата для получения контрольного соотношения, обнаруживающего сбои и разладки в нелинейных динамических системах.

Методы исследовании

Методы диссертационных исследований основываются на использовании теории графов, математической статистики, теории возможностей, теории нечетких множеств, теории нелинейных динамических снстсы, теории цифровой обработки сигналов, теории алгебр Ли, теории распознавания образов.

Научная новизна

В диссертационной работе получены следующие основные научные результаты:

1.Введены новые типы достижимости на графах. Предложен новый подход к решению задачи сетевого планирования на графах с нечеткими весами.

2.Предложен интервальный метод сегментации сигнала. Показана широкая применимость данного подхода, в том числе и для многомерного случая.

3.Предложен метод, основанный на геометрической интерпретации, позволяющий применять критерий определения сбоя или разладки, для нелинейных динамических систем.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

1) Полученные научные результаты позволяют отслеживать ведение проектов с учетом неопределенности окружающей среды.

2) Использование интервальных методов обеспечивают быстрое и эффективное определение стационарных участков в сильно затупленном сигнале, в той числе выделять контуры объектов.

3) Сегментация сигнала позволяет решать одну из важнейших задач - это слежение за изменениями параметров во времени и выявление момента их значимых изменений на фоне возможных случайных флуктуации. Такие задачи возникают в информационных системах

оперативного врачебного контроля, когда важен непрерывный контроль за состоянием амбулаторных больных. 4) Использование геометрического представления и применение теории алгебр Ли а теории систем позволяет получить контрольные соотношения, которые с высокой эффективностью определяют моменты сбоя или разладки в нелннейных системах.

Реализация результатов работы

Разработанный в диссертации алгоритм получения критического пути в календарном планировании проектов внедрен в проектно-хонструкторских разработках ТОО «Линта» Ассоциации «Ростовский строительный дом» при планировании и строительстве частного жилья. Алгоритм реализован на языке Visual Basic for Application 5.0.

Предложенный алгоритм сегментации сигнала проверен на одномерных тестовых примерах н реализован в качестве основы программы по выделению контура. Программа написана на языке Visual Basic for Application 5.0.

Проведено исследование по оценке эффективности работы метода определения разладки или сбоя в нелинейных динамических системах как на полностью, так и на частично наблюдаемых системах.

Отдельные положения диссертационной работы внедрены в учебный процесс в Ростовском государственном строительном университете.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех тематических глав, заключения, списка литературы н приложения.

Объем основного текста - ИЗ стр., включая 36 рисунков. Список литературы изложен на 7 стр. и содержит 85 наименований.

В первой главе вводятся новые типы достижимости вершин на графах, проводится анализ и решаются задачи для графов с нестандартной достижимостью. Исследуется возможность применения известных классических алгоритмов для таких специфических графов. Кроме описанного в литературе метода, состоящего в модификации графа, предложен другой, основная идея которого заключается в изменении самого алгоритма. Решается задача поиска кратчайшего пути при наличии смешанной достижимости вершин в сочетании с нечеткими весами на дугах графа, заданных линейными функциями. Получено полное (ИР) и приближенное решение такой задачи. Приведены соответствующие алгоритмы. Предложен и реализован метод поиска критического пути на сетевом графе со смешанной достижимостью и нечеткими весами.

Во второй главе исследуется и моделируется интервальный подход к решению проблемы сегментации сигнала на участки стационарного поведения. Метод состоит из двух частей: прямого и обратного хода. На первом этапе находятся правые границы сегментов локализации сбоев или разладок, а на втором - левые. Понятие «интервал» понимается как область пространства, присутствие сигнала в котором означает его стационарное поведение. Если на временном отрезке происходит «схлопыванне» этого интервала до пустого множества, то в этот момент определяется одна из границ сегментов в зависимости от направления хода алгоритма. Реализован алгоритм поиска стационарных участков в одномерном случае. Настройка параметров метода происходит в самообучающемся режиме, исходя из поведения сигнала и силы воздействия внешних помех. Исследование класса кусочно-однородных сигналов производится не только в одномерном, но и в многомерном пространстве. Проводится сравнительный анализ с другими

непяраметрняескимн методами. Приведены результаты работы программы по выделению контура с использованием интервального подхода.

Третья глзва посвящена исследованию нелинейных динамических систем с целью определения контрольных соотношений для выявления моментов сбоя или разладки. Исследуются системы, допускающие выделение линейного базиса в касательном пространстве к пространству состояния. Рассматриваются две возможности:

1) нахождение базиса с помощью применения теории дифференциальной геометрии н алгебр Ли;

2) выписывание частичной линейности функции /(х) в явном виде: /(х) = АР(х), где Л - матрица или линейный оператор.

Анализ проводится с использованием теории алгебр Ли для линеаризации систем н с точки зрения геометрической интерпретации соотношений избыточности. Приведены конкретные примеры, демонстрирующие эффективность метода обнаружения сбоев, несмотря на неполную наблюдаемость систем.

В приложении приводятся программы, написанные для первых двух глав, и краткие описания их функционирования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе вводятся новые типы достижимости вершин на графах, проводится анализ и решаются задачи для графов с нестандартной достижимостью.

Рассмотрим граф С{Х,и,/), у которого множество дуг I/ разбито на два подмножества:

и = иьии„, и„гли11^0, 1)ь * 0.

Определение 1.1

Смешанным путем типа Ш-к длины ш на графе С( Х,1УЬ с; (/„,/) будем называть путь длины ш, при условии: -*• гле 1 *1 — мощность

множества.

Дополнительное |г'({{/4 ^ < А; условие означает, что по дугам

множества иь запрещено проходить более к раз.

ИсслеДуется возможность применения известных классических алгоритмов для таких специфических графов. Например, нри помощи построения вспомогательного графа ¿(С).

Теорема 1.1

Вершина й смешанно Ш-к достижима из вершины э путем длины т на орграфе С7( А",{/,/") тогда и только тогда, когда на графе ¿(6) существует хотя бы один путь длины ш, ведущий из вершины 5 во множество {¿,,б'2,...,</1+|}, где вершины <¡1 являются дублями вершин <! графа

Кроме метода, состоящего в модификации графа, предложен другой, основная идея которого заключается в изменении самого алгоритма.

Решается задача поиска кратчайшего пути при наличии смешанной достижимости вершин в сочетании с нечеткими весами на дугах графа, заданных линейными функциями.

Определение 1.2

Ориентированным графом с нечетко определенными весами на дугах (нечетко взвешенным) будем называть четверку С(Л",С/,/,с), где:

X - миозкестеа вершин, \Х\= п > О;

I) - множест во дуг;

/:и~>ХхХ — отображение вгасаденгноста;

с, = сДг)—нечеткая функция для весов дуг, « е[1,|{/|].

Определение 1.3

Рассмотрим граф 0(Х,и,/,с), и пусп. шюгсесгво дуг разбито на две часта:

и„(Л) = {и|г 5 Л} и и, = и \ и„(Я).

Дуга из первого множества будем называть «плохими», а остальные -«нормальными».

Определение 1.4

Л-нечегот смешанным путем длины т на графе О будем называть такой путь длины от, для которого выполнено условие:

Согласно последнему определению, допустимыми считаются те пути, у которых не более к плохих дуг, причем заранее пе известно их положение.

Получено полное (№) и приближенное решение задачи поиска кратчайшего пути на таких графах. Приведены соответствующие алгоритмы. Предложен и реализован метод поиска критического пути на сетевом графе со смешанной достижимостью и нечеткими весами на дугах.

Во второй главе исследуется н моделируется интервальный подход, основанный на разностных уравнениях включения, к решению задачи обнаружения многократных разладок случайной последовательности. Предложен иепарэметрпческий метод обнаружения, т.е. метод, не использующий априорной информации о распределении случайной последовательности.

Алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе находятся правые границы сегментов локализации сбоев ели разладок, а на втором — левые.

Исследование класса кусочно-однородных сигналов производится в одномерном и в многомерном пространстве на основе многозначных отображений.

Определение 2.1

Последовательность ({**}) называется сглаживающей дм последовательности {у4},если

х,6Г(1и)пФ{л);Ы;,..давеФ(Л) (2.1)

(при обращении времени:

х',., еС(х\ )пФ(Л.,);ЬВ,п- еФ(Л», (2.2)

где Ф(«), Р («) — иногозаачкые отображения, 1;:Х->Х; Ф:У->Х, в - обратное отображение по отношению к Ь": С{х) = {г еХ\х е Р(х)).

Определение 2.2

Последовательность {х1}({х'1}) называется 'кусочно -сглаживающей" нндехса а для последовательности }, если (2.1) [2.2 — при обращении времени] нарушается в ос точках, т.е. при значениях к = к1,кг,...,ка, Будем говорить, что между членами последовательности }({*'»)) с номерами к; - 1, к1 (к,+1, ) получен разрыв (обратный разрыв).

Определение 2.3

Определим множества досгггагнмосги:

а) при прямом ходе

5(А) = {дгеЛ1хс еФО'оХхд = еР(х/.,)оФСк/)}};

б) при обращении времени

S'(k) = {x e X\x\ еФ(л ),x'0 = x,{x eG(x\) n Ф(уу_,)} j.

Справедлива следующая

Теорема 2.1

He существует последовательности, которая удовлетворяет условиям (2.1) или (2.2) и имеет меньшее число разрывов, установленных определением 2.1

Прямой ход алгоритма:

l.i = 0,S0 =Ф(у0).

г./^и^щ.ЮФО',).

4.Если S,+) =0, тогда Sh, = Ф(у,+1)(разрыв).

5.г =«+1.

6.Если I* <* л, тогда вернуться на 3-ий шаг. Обратный ход алгоритма:

i.i=*H,Sm = <Hye).

3.S,_, = {х еА"|х eG(S,)no(yl.1)}.

4.Если S,_, = 0, тогда = Ф{)(обратный разрыв).

5. (= i -1.

6.Если i > 0, тогда вернуться на 3-ий шаг.

Проводится сравнительный анализ с другими непараметрическими методами. Написана программа на Visual Basic 5.0 по выделению контура изображения и приведены результаты ее работы с использованием интервального подхода. Для одномерного случая написана программа по сегментации случайной последовательности на языке Borland Pascal 7.0.

Третья глааа посвящена исследованию нелинейных динамических систем с целью определенна контрольных соотношений для выявления моментов сбоя или разладки.

Исследуются системы вида

!*(/) = Ля)+ *(/)£<*</))

]>(/) = *<*(/))

допускающие выделение линейного базиса в касательном пространстве к пространству состояния. Рассматриваются две возможности:

1. Переход к эквивалентной по состоянию линейной системе с помощью применения теории дифференциальной геометрии и скобок Ли.

Определение 3.1

Определим производную Ли функции сШ по векторному полю /:

Существенно используется следующая

Теорема 3.1

Нелинейная система (3.1) эквивалентна по состоянию линейной системе тогда и только тогда, когда существуют тахне константы ск, к = 0,...,2л -1, что

Анализ проводится с использованием теории алгебр Ли для линеаризации систем и с точки зрения геометрической интерпретации соотношении избыточности для линейных систем.

Определение 3.3 Для линейных систем вида

{х = Ах + Ви у=Сх

подпространство р*п-мерныхвекторов, задаваемое выражением

' с'

СА

1\1т* = 0

<САР;

называют пространством контрольных соотношений или соотношений избыточности порядка р.

2. Определение частичной линейности функции /(х) в явном виде: /(х) = Л/Г(;г), где А - матрица или линейный оператор.

Для таких систем можно получить соотношения избыточности без их линеаризации.

Проведен вычислительный эксперимент, демонстрирующий эффективность предложенного метода обнаружения сбоев, несмотря на неполную наблюдаемость систем.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работе рассмотрен комплекс теоретических и практических вопросов из теории графов, теории цифровой обработки сигналов и теории систем. В работе получены следующие основные научные и практические результаты: I) Предложен новый подход к решению задач на графах со смешанной достижимостью: модифицировать сам алгоритм (например, алгоритм Дейкстры) и применять его к исходному графу с учетом

дополнительных ограничений, например: типа достижимости при пересчете очередного веса.

2) Описаны и исследованы новые типы достижимости: смешанная, точная и нечеткая, решены задачи их сведения к стандартной доспжныостн, что расширяет область приложений моделей на графах.

3) Модифицирован алгоритм Денкстры, что позволило применять его для графов с нечеткой смешанной достижимостью.

4) Решена задача о критическом пути при нечетко заданных сроках или стоимостях, которая позволяет найти не только саму нечеткую длину( стоимость), но и определять наиболее «чувствительные» участки, то есть такие участки, которые оказывают непосредственное влияние на ключевые показатели проекта. На них (участки) следует обратить наибольшее внимание менеджеру проекта с целью минимизация стоимости проекта или времени его выполнения.

5) Предложен новый непараметрический критерий определения многократного изменения свойств сигнала. Метод описан в терминах многозначных отображений, что позволяет использовать его в многомерных приложениях. Для двумерного случая построен специальный алгоритм с меньшей оценкой сложности, чем если бы применялся общин подход для многомерного случая.

6) Проведен вычислительный эксперимент для одномерного случая, получены статистики для параметров метода. Метод может использоваться как апостериорно, так и в реальном масштабе времени.

7) Метод позволяет одновременно выполнять фильтрацию сигнала и определять моменты изменения свойств сигнала при неизвестных параметрах распределения.

8) Изменение свойств сигнала обнаруживается с малым средним запаздыванием.

9) На основе применения теории алгебр Ли получены контрольные соотношения для обнаружения разладки нелинейных систем типа вход-состояние-выход, удовлетворяющих определенным условиям.

10) С использованием геометрической интерпретации получены соотношения избыточности для нелинейных систем специального вида.

И) Рассмотрена проблема чувствительности контрольного соотношения на основе проверки наблюдаемости системы. 12) Результаты выполнения численного моделирования показали высокую чувствительность критерия стабильной работы системы на основе контрольного соотношения, даже если система не полностью наблюдаема.

Основные результаты, полученные в диссертации, изложены в следующих работах:

1. Ерусалимскнй Я.М., Лсгвннов С.Ю. Некоторые задачи достижимости на графах с ограничениями// Известия высших учебных заведений. Северо-Кавхазский регион. Естественные науки. -1996. -№2. -С. 14-17.

2. Белявский Г.И., Логвинов С.Ю. Многозначные отображения в задаче о сегментации сигнала// Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Естественные науки. -1997. -№2. -С. 8-М.

3. Белявский Г.И., Логвинов С.Ю. Интервальный подход к сглаживанию временной послсдовательности//Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Туапсе, 17-24 сентября 1996г.): Тезисы докладов. -М.: ТВП, 1996. -С.23-25.

4. Белявский Г.И., Логвинов С.Ю. Экспериментальная проверка алгоритма сегментации сигнала в одномерном случае// Тезисы докладов Международной научно-практической конференции. -Ростов н/Д: РГСУ, 1997. -С. 59.

5. Белявский Г.И., Логвинов С.Ю. Построение соотношений избыточности для обнаружения разладки нелинейных систем//Четвертая Всероссийская школа-ксудажвнум по стохастическим методам (Уфа, 29 августа - 3 сентября 1997г.): Обозрение прикладной и промышленной математики. -Тезисы докладов. -К*4. -Вып.З. -М.: ТВП, 1997. -С. 327-328.

6. Белявский Г.И., Логвинов С.Ю. Построение соотношений избыточности для обнаружения разладки нелинейных систем// Известия РГСУ. -1098. -№2. -С. 148-150.

В опубликованных совместных работах личный вклад автора следующий:

[1] - предложен алгоритм поиска кратчайшего пути для графов с нечеткой смешанной достижимостью;

[2, 3] - разработка теоретической основы в одномерном случае н получение алгоритма выделения стационарных участков в двумерном;

[4] - разработка на ЭВМ схемы вычислительного эксперимента, его проведение и интерпретация;

[5, 6] - получение контрольных соотношений для нелинейных динамических систем с применением теории алгебр Ли и геометрической интерпретации.

ЛР №0201818 от 20.09.93. Подписано в печать 05.05.98. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Ризограф. Уч.-изд. п. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ te /2£"

Редакцмонио-издательский центр Ростовского государственного строительного университета 344022, Ростов-иа-Дону, ул. Социалистическая, 162