автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение технологии NURBS к созданию трехмерных компьютерных моделей для численного анализа начально-краевых задач

На правах рукописи

Минкин Александр Сергеевич

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИИ NURBS К СОЗДАНИЮ ТРЕХМЕРНЫХ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Специальность 05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ОЗ16156Q

Москва — 2007

003161560

Работа выполнена в Институте Математического Моделирования Российской Академии Наук

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук,

профессор

Гасилов В А ,

зав отделом ИММ РАН

доктор физико-математических наук,

профессор

Повещенко Ю А ,

ведущий научный сотрудник ИПМ РАН

кандидат физико-математических наук

Александров А В ,

научный сотрудник ИММ РАН

Институт автоматизации проектирования РАН

Защита состоится " 08 " ноября 2007 в_ ч _ мин на заседании

Диссертационного совета К 002 058 01 при Институте Математического Моделирования Российской Академии Наук по адресу 125047, Москва, Миусская пл , 4а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах не позднее, чем за две недели до защиты

Автореферат разослан октября 2007

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Прончева Н Г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Объект исследования и актуальность темы Методы и программы для численного решения начально-краевых задач математической физики развиваются на протяжении многих десятилетий Развитие компьютерных технологий сделало вычислительный эксперимент мощным и эффективным способом решения проблем прикладной математики Появление новых математических моделей и численных методик, рост объема и сложности современных вычислений делают необходимым создание новых средств автоматизации построения компьютерных моделей и подготовки исходных расчетных данных

Использование современной вычислительной техники для решения задач математического моделирования делает необходимым разработку и внедрение комплексного подхода к их решению Программные средства, разрабатываемые для этой цели, должны обеспечивать поддержку различных видов вычислительной работы таких, как построение геометрической модели области решения задачи, генерацию расчетной сетки, составление системы сеточных уравнений соответственно принятой математической модели, выполнение расчета и обработку полученных данных К программным средствам автоматизации научных исследований предъявляются требования робастности и устойчивости при изменении входных параметров математических моделей в широком диапазоне значений, а также при переходе от геометрически простых расчетных областей к сложным, многосвязным, разномасштабным областям

Математические модели физических процессов обычно описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, а также интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями Для решения прикладных задач в соответствующих постановках используются, в основном, численные методы, из которых наибольшее распространение получили метод конечных элементов, конечных разностей и граничных элементов В решении общей вычислительной задачи с использованием вышеуказанных численных методов можно выделить три этапа предобработку, расчет и постобработку Первый этап состоит в задании геометрии расчетной области и определении начальных и граничных условий Далее производится построение^ ^

Я

расчетной сетки для заданной геометрии Выбор типа сетки определяется характером решаемой задачи, геометрией области и требуемым объемом вычислений Следующий этап - собственно расчет, результатом которого являются некоторые распределения физических величин по элементам сетки Заключительный этап предполагает постобработку результатов расчета, нахождение физических и вспомогательных геометрических характеристик, а также их визуализацию на сетке Сетка, используемая для визуализации, довольно часто не совпадает с той, что используется для расчета

Первый и третий этапы являются вспомогательными по отношению к основной задаче решения уравнений математической физики Однако, в задачах, определенных в пространственных областях сложной формы, вопросы подготовки и анализа геометрических данных настолько усложняются, что превращаются в самостоятельные проблемы, для эффективного решения которых требуются специальные средства автоматизации Разработка таких средств является одной из проблем, исследуемых в данной работе

Возможность задания реальной геометрии изучаемых объектов -важнейшее требование к прикладному программному обеспечению Данную задачу удобно решать с помощью специализированных CAD систем Одним из распространенных методов описания пространственных тел, задаваемых с помощью параметрических кривых и поверхностей, является метод, основанный на граничном представлении Граничное представление удобно применять для подготовки данных при решении начально-краевых задач математической физики, тк сами границы в этом случае определяются функционально Выбор вида параметрического представления производится из соображений универсальности В качестве такого рода геометрических примитивов удобно использовать NURBS кривые и поверхности, позволяющие описывать объекты как с криволинейными, так и с прямолинейными границами NURBS широко применяются для задания кривых и поверхностей во многих современных CAD системах Примерами таких CAD систем являются Rhinoceros, T-Flex, Unigraphics Данные модели используются также в универсальных форматах обмена геометрическими данными, например, они реализованы в известном формате STEP Разработка средств импорта

топологической и геометрической информации из STEP является одной из проблем, решаемых в данной диссертационной работе При задании геометрии также определяются граничные условия, каждое из которых сопоставляется определенной геометрической сущности В частности, в двумерном случае условия ставятся в соответствие контурным кривым, а в трехмерном -граничным поверхностям Сами граничные условия имеют произвольную структуру, что весьма удобно при решении различного рода задач

Следующий этап подготовки данных для численного моделирования -это генерация сетки, которая производится с использованием информации о геометрии модели, заданной NURBS В зависимости от характера решаемой задачи с использованием NURBS параметризации можно строить как структурированные, так и гибридные сетки В рамках граничного представления дискретизация осуществляется иерархически в порядке возрастания топологической размерности элементов модели Для двумерной расчетной области сначала производится разбиение кривых, дающих систему контуров Соответственно, один из этапов построения 3D сетки состоит в генерации поверхностной сетки Существенную сложность представляет дискретизация составной поверхности, состоящей из NURBS сегментов, содержащих дыры и сложные границы Эта задача решается построением триангуляции Особенность 3D моделей, представляемых CAD системами, состоит в том, что параметризация поверхностей не совпадает с параметризацией лежащих на них кривых, что приводит к необходимости построения алгоритмов поиска прообразов точек моделируемой NURBS поверхности Данные алгоритмы реализованы в рамках общего алгоритма дискретизации составной поверхности Для построения триангуляции используется фронтальный алгоритм в сочетании с параметрическим отображением Построение объемной сетки осуществляется методом Делоне с ограничениями

Основным этапом решения начально-краевой задачи является расчет, осуществляемый после задания геометрии, построения сетки, определения начальных и граничных условий Алгоритм расчета основан на методе конечных элементов Для представления криволинейной геометрии и повышения точности вычислений в условиях неоднородности

среды применяются элементы высокого порядка В рамках общего КЭ подхода возможно также использование NURBS элементов NURBS технология позволяет использовать элементы высокого порядка с высокой гладкостью сопражений в сочетании с удобством геометрического описания Длительность вычислений зависит от объема сетки, типа элементов и постановки задачи

В связи с вышесказанным, разработка интегрированной программной системы для численного решения трехмерных начально-краевых задач является особенно актуальной проблемой Программный комплекс должен включать универсальные средства описания и дискретизации пространственных расчетных областей сложной формы, задания граничных условий различных типов, предоставлять возможность использования конечно-элементных аппроксимаций различных типов, гарантировать точность и надежность получаемых численных решений При создании современных программных продуктов таких, как GIMM[l-6] и MARPLE[8], используется современный объектно-ориентированный подход, позволяющий снизить затраты на поддержку и модификацию программных модулей

Тестирование и апробация - важные этапы разработки интегрированных программных комплексов Программные средства, созданные в результате выполнения данной работы, были использованы для исследования продуктивности нефтяных скважин При разработке нефтяных месторождений затраты, связанные с бурением и дальнейшим обслуживанием скважин с каждым годом растут, в связи с резким увеличением потребления нефтепродуктов и постепенным истощением запасов нефтяных месторождений, а также ростом популярности товарно-денежных отношений в нашей стране В связи с этим, постоянно возрастает актуальность вопросов, связанных с компьютерным моделированием процессов нефтеразрзботки, в частности, с созданием математических моделей притока флюида к скважине, которые позволяют оценить ее дебит в зависимости от физических характеристик нефтегазового пласта и его геометрии Сложность скважин как инженерных сооружений и необходимость учета геометрии пластовых структур определяет важность геометрического моделирования

Известно, что характерные размеры пласта на несколько порядков

больше размеров скважин Разномасштабность является важной проблемой, возникающей при моделировании притока флюида к скважине на основе численного решения уравнений фильтрации Для решения данной проблемы в диссертации предложено специальное граничное условие, соответствующее скважине Контур постановки данного условия при решении уравнений фильтрации отодвигается от границ скважины, благодаря чему снижается нагрузка на препроцессор и расчетный модуль Пространство между скважиной и контуром постановки граничного условия называется макроблоком В области макроблока делаются предположения о характере течения флюида, позволяющие заменить численный расчет в его пределах аналитическим решением Тем самым, область решения делится на две части макроблок и внешнюю часть Численный расчет производится только во внешней части, что позволяет существенно снизить количество сеточных узлов по сравнению с методикой расчета фильтрации в полной области Цели работы

• Создание интегрированного программного комплекса для прикладных исследований процессов, описываемых в рамках двумерной или трехмерной начально-краевой задачи Программная система должна обеспечивать полный цикл численного решения нестационарной нелинейной задачи, те выполнять следующие функции импорт геометрической модели расчетной области в виде совокупности NURBS примитивов из файла формата STEP АР 214 в локальные структуры данных MARPLE, задание начальных, граничных условий, а также набора выходных параметров, генерацию гибридной сетки конечных элементов, формирование системы сеточных уравнений и ее решение, обработку результатов расчетов

• Разработка и реализация математической модели, решающей проблему разномасштабности размеров скважины и пласта, для расчета продуктивности нефтяных скважин при нелинейном законе фильтрации Форхгеймера Модель должна учитывать реальную геометрию нефтяного коллектора и скважины

Научная новизна

1 Разработаны новые алгоритмы и программные средства импорта геометрической и топологической информации в структуры данных MARPLE[9], используемые для численного моделирования

2 Реализована новая технология подготовки данных и расчета задач с криволинейными границами на основе использования NURBS элементов, позволяющих повысить точность геометрического описания и управлять порядком аппроксимации NURBS технология является дальнейшим развитием суперэлементного подхода Импорт NURBS элементов производится непосредственно из файлов формата STEP

3 Разработаны следующие алгоритмы генерации сеток алгоритм триангуляции поверхностей, состоящих из совокупности NURBS сегментов сложной формы[7], алгоритм генерации гибридных сеток, объединяющий методы параметрических отображений и построения триангуляции, алгоритмы и программные средства генерации трехмерных сеток, объединяющие кинематические методы, методы параметрических отображений и построение тетраэдризаций

4 Реализована математическая модель притока флюида к нефтяной скважине в трехмерной постановке, решающая проблему разномасштабности характерных размеров скважины и нефтяного пласта На основе построенной модели проведены численные исследования дебита скважины и характера течения в зависимости от физических и геометрических характеристик пласта В численном эксперименте показана эффективность данной модели

Достоверность полученных результатов обеспечена обоснованностью применяемых математических моделей, использованием современных методов решения начально-краевых задач, а также верификацией полученных моделей путем сравнения с аналитическими оценками и результатами других авторов

Практическая значимость В разработанном программном комплексе реализована современная технология подготовки данных и новый метод расчета с использованием NURBS, что позволяет облегчить процесс численного анализа начально-краевых задач Данный программный комплекс может быть применен для исследования широкого класса проблем естествознания и техники, формулировки которых приводят к смешанным начально-краевым задачам Модульная структура программной системы позволяет использовать отдельные ее блоки в составе других интегрированных систем САПР и АСНИ, а также программных комплексов G1MM и MARPLE Созданный программный комплекс использовался для исследования трехмерных нестационарных тепловых процессов в нелинейных средах, а также для анализа продуктивности нефтяных скважин Разработанные программные средства позволяют учитывать реальную геометрию нефтяных скважин и пластов, а также, в случае нелинейного закона фильтрации, выделять области наиболее существенного его влияния в практически важных случаях Апробация работы

• Международная конференция "Parallel CFD 2004", Las Palmas de Gran Canaria, Испания, 24-27 мая, 2004 г

• Всероссийская Научно-Техническая Конференция "Параллельные вычисления в задачах математической физики", 21-25 июня, 2004 г, г Ростов-на-Дону

• Международная конференция "Parallel CFD 2005" University of Maryland, College Park, Maryland, США, 24 - 27 мая, 2005 г

• International Conference on matrix methods and operator equations, Москва, l/IBM PAH, 20-25 июня, 2005 г

• Всероссийская научная конференция "Научный сервис в сети Интернет многоядерный компьютерный мир",24-29 сентября 2007 г, г Новороссийск

• Совместный семинар ИММ РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под руководством проф д ф -м н Е И Леванова, 18 октября 2007г

• VI-й научно-технической конференции "Молодежь в науке", г Саров, Нижегородская обл , РФ, 30 октября - 1 ноября 2007 г

Объем и структура диссертации Публикации

Диссертация изложена на 114 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав и выводов Работа содержит 2 таблицы, 24 рисунка Список использованной литературы содержит 93 наименования Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, список которых содержится в конце автореферата ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении показана актуальность разработки современного базового программного комплекса для прикладных исследований физических процессов Обоснована необходимость создания универсальной технологии, облегчающей импорт геометрических данных, генерацию сетки и расчет Приведено краткое описание по главам Определена цель исследований и научная новизна работы

Первая глава посвящена проблеме подготовки данных для начально-краевых задач с использованием CAD систем, стандартам обмена геометрическими данными, заданию и импорту NURBS геометрии, а также построению сеток в заданных таким образом расчетных областях

В разделе 1 1 рассматриваются способы представления форм в системах геометрического моделирования и вопросы импорта геометрии и топологии расчетной области Приведено краткое описание стандартов обмена данными между системами геометрического моделирования Подробно рассмотрен формат STEP, использованный автором для подготовки данных прикладных расчетов

В разделе 1.2 рассматриваются вопросы представления геометрии с помощью NURBS в рамках граничного представления Описана модель NURBS кривых, поверхностей и объемов Рассмотрены основные алгоритмы работы с IMURBS объектами Представлены алгоритмы поиска прообраза

точек NURBS кривых и поверхностей, необходимые для дальнейшей дискретизации заданной геометрии

В разделе 1 3 описываются геометрические модели, используемые для представления расчетных областей и сеток в системе MARPLE Рассмотрены модели, основанные на топологических комплексах с вложениями, в сочетании с геометрическим описанием на основе NURBS параметризации Описаны алгоритмы импорта данных из STEP в MARPLE

В разделе 1 4 рассматриваются вопросы генерации расчетных сеток в рамках разрабатываемого программного комплекса Излагается общая методика генерации поверхностных сеток для сложных NURBS сегментов на основе совместного использования методов параметрического отображения и триангуляций (рис 1) Предложен алгоритм генерации блочных двумерных сеток, которые в дальнейшем используются для построения сечений трехмерных расчетных областей Специальные методики объединения гранично-согласованных сеток позволяют комбинировать сетки, построенные разными способами, тем самым получая гибридные сетки (рис 2) Далее рассматривается алгоритм построения треугольных сеток для геометрий, заданных составными NURBS поверхностями, сочетающий фронтальный алгоритм триангуляции с параметрическим отображением

Изложена методика построения трехмерных сеток методом объединения сечений и кинематическими методами Предполагается, что расчетная область представляет собой множество точек, определяемых движением плоского тела или сечения Для дискретизации тела необходимо построить набор последовательных сечений и разбить сечения на изоморфные сетки, а затем построить на соответствующих друг другу элементах соседних сечений призматические элементы трехмерной сетки Тип элементов объемной сетки зависит от типа элементов сеток в сечениях В том случае, когда сечения разбиты на треугольники, объемная сетка состоит из треугольных призм, а если сечения разбиты на четырехугольные элементы, то объемная сетка будет состоять из призм с четырехугольным основанием Сечения, по которым строится сетка, представляются различными способами Они могут задаваться в качестве исходных данных об объекте, а могут получаться на основе информации о кинематическом методе построения расчетной

Рис. 1 Параметрическая область сложного NURBS сегмента (слева) и соответствующая поверхностная сетка (спраиа)

Рис. 2. Гибридная сетка

области Разработанные программные средства генерации объемных сеток позволяют разбивать объекты, полученные в результате поступательного, вращательного движения сечений, а также в результате произвольных

сложных движений, описываемых аффинными преобразованиями, которые допускают деформацию сечений в процессе движений

Во второй главе описывается конечно-элементная численная методика решения трехмерных начально-краевых задач Рассмотрена проблематика расчета продуктивности нефтяных скважин, связанная с проблемой разномасштабности скважины и пласта

В разделе 2 1 изложены основы технологии метода конечных элементов преобразование координат, численное интегрирование, сборка разреженной матрицы Рассмотрен вопрос постановки граничных условий Приведено описание методики расчета на NURBS элементах

В разделе 2 2 изложены вопросы, связанные с моделированием пластовых систем и скважин Приведена постановка задачи оценки продуктивности скважин, связанная с решением системы уравнений, имеющей вид

gradp=-^u-Ppu\u\ + F, (1)

div(pu) = 0, (2)

Р = /СР) (3)

где ц - динамическая вязкость [ML"^"1], к - коэффициент проницаемости [L2], ¡3 - коэффициент Форхгеймера [Ь-1], F - объемные силы [ML~2T~2]

Уравнение состояния (3) будем рассматривать в следующем виде

Р = <РгР, (4)

где <рт = (|)т, Ы = T2L-2

Далее представлен один из способов решения проблемы разномасштабности с помощью введения специальной поправки к давлению в скважине Данный метод основан на оценке эффективного радиуса скважины Контуры самих скважин не аппроксимируются разностной сеткой, а размер сеточной ячейки на несколько порядков больше характерного размера скважины Истинное давление в скважине предполагается рассчитывать по уравнению

Ръ=Рр-% (5)

27Г кк

ц1п {ге/В.о)

где Ро ~ давление на забое скважины [М1/-1Т-2], Рр - расчетное давление в ячейке, ге - эффективный радиус скважины, <3 - объемный дебит скважины, До - радиус скважины, к - размер ячейки

Таким образом, эффективный радиус скважины зависит от закона фильтрации, используемого метода аппроксимации системы уравнений фильтрации и типа сетки

Далее приведено теоретическое описание модели макроблока для расчета продуктивности наклонно-горизонтальных скважин при нелинейном законе фильтрации Форхгеймера Макроблоком называется область вблизи скважины, в которой течение флюида предполагается плоскорадиальным Модель макроблока реализована программно в виде специального граничного условия В рамках данного алгоритма производится коррекция давлений на границе макроблока с помощью введения поправок Вычисление поправок производится по аналитической формуле в рамках предположения о плоскорадиальности притока флюида к стволу скважины Тем самым, формулы для давления на границе макроблока и для поправок к давлению можно записать так

где Р - давление на расстоянии от центра макроблока, А = риВ. - расход в точке Е на границе макроблока,

ДА - разница между численным и аналитическим значениями расхода на границе

В главе 3 приведены примеры двумерных и трехмерных расчетных областей, их дискретизаций различными типами элементов, а также результаты расчетов задачи фильтрации с использованием модели макроблока

Д + Др

2ДоД Д + Д(Л

2Д0Д J

-) (7)

) А) , (8)

Рис. 3. Призматическая сетка для решения задачи фильтрации. Выделенные ячейки соответствуют макроблоку

Рис, 4. Фрагмент макроблока внутри тетраэдральной сетки для решения задачи фильтрации

10 15

Рис 5 Изолинии давления жидкости вблизи скважины, а также расчетные линии тока, отвечающие максимальному отклонению 3% от плоскорадиального течения

В разделе 3.1 изложены постановки задач, а также примеры расчетных областей и сеток Приведены результаты модельных тестовых задач для уравнения Пуассона и нестационарного уравнения теплопроводности при дискретизации расчетных областей различными типами конечных элементов Представлены расчеты уравнения теплопроводности с использованием NURBS элементов Фрагменты расчетных сеток для решения задачи фильтрации с использованием макроблока приведены на рис 3 и 4 Соответствующие расчетные области определяют различные варианты модели макроблока На рис 3 макроблок определен выделенной группой ячеек, удаляемых из сетки На рис 4 макроблок определен NURBS поверхностями, параметризация которых используется при задании граничного условия

В разделе 3 2 приведены результаты модельных расчетов оценки продуктивности наклонно-горизонтальных скважин с использованием макроблока и с полной дискретизацией области На основе результата полного двумерного расчета фильтрации сделана оценка размера макроблока с помощью вычисления отклонений течения вблизи скважины от плоскорадиального (рис 5) Расчет линий тока для прямоугольного нефтяного пласта 200x20 м со скважиной диаметром 0 2м в центре показал, что максимально допустимый размер макроблока при отклонении 3% от плоскорадиального течения составляет 0 1Н, где Н - высота пласта, что на порядок больше диаметра скважины Для надежности размер макроблока в расчетах выбирался 0 05Я Произведена оценка области влияния нелинейности Форхгеймера для различных расчетных областей показывающая, что наибольшим образом она проявляется внутри макроблока Вне мэкроблока характер течения с высокой точностью можно считать линейным, что позволяет использовать закон фильтрации Дарси при численном решении внешней задачи Результаты сравнения расчета с использованием макроблока с аналитическими оценками подтверждают, что предложенный метод позволяет вычислить дебит скважины с точностью до 5% Сравнение расчетов с применением макроблока и численных расчетов с полной дискретизацией области показало совпадение до 8%, в зависимости от размера макроблока

В заключении приведены краткие выводы по теме диссертации, представлены основные направления перспективных исследований по предложенной методике

Основные результаты и выводы

• Разработан современный комплекс программ для решения трехмерных задач математической физики, который включает программные средства анализа геометрической и топологической информации при импорте из файлов формата STEP АР 214 В программной системе реализованы алгоритмы импорта NURBS сеток из STEP в локальные структуры данных, а также алгоритмы генерации КЭ сеток, созданные на основе следующих методов параметрического отображения, объединения гранично-согласованных сеток, объединения сечений

(кинематический), а также средства получения неструктурированных треугольных и тетраэдральных сеток с возможностью локального измельчения

• Создан интегрированный программный комплекс для решения трехмерных нестационарных и нелинейных задач в геометрически сложных областях Программная система делает возможным использование гибридных сеток разнотипных элементов, позволяет реализовывать разнообразные модели расчетной области, различные типы граничных условий, а также сложные зависимости коэффициентов уравнений от пространственных координат, времени и искомых функций Универсальность и робастность разработанного программного комплекса обеспечивается возможностью применения разнообразных методов дискретизации, допускающих использование аппроксимирующих конечных элементов различных типов, в том числе NURBS элементов Применение последних объединяет геометрическое и конечноэлементное представление расчетной области Комплекс включает набор унифицированных базовых программных средств, позволяющих выполнять численные исследования для разнообразных физико-математических моделей как фундаментального, так и прикладного характера

• Построена математическая модель притока флюида к наклонно-горизонтальной скважине, позволяющая решать задачу оценки ее продуктивности для реальных нефтяных пластов, обладающих свойством разномасштабности при нелинейном законе фильтрации Форхгеймера Применение методики прискважинного макроблока снижает требования к мелкости расчетной сетки в призабойной зоне Использование модели начального приближения, основанной на расчете с использованием NURBS, позволило сократить число итераций для достижения установления при решении задачи (1)-(3) Проведено исследование характера течения флюида в условиях нелинейного закона фильтрации Получены оценки области влияния нелинейности Установлены допустимые и оптимальные размеры макроблока в

зависимости от толщины пласта и точности решения Модельные расчеты показывают эффективность разработанной методики

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях

1 Б Н Четверушкин, В А Гасилов, С В Поляков, М В Якобовский, И В Абалакин, ЕЛ Карташева, И В Попов, П С Кринов, С А Суков, В Г Бобков, А С Минкин Пакет прикладных программ GIMM для решения больших задач гидродинамики на многопроцессорных вычислительных системах - Сборник трудов Всероссийской научно-технической "Параллельные вычисления в задачах математической физики" Изд-во Ростовского Гос Университета "ЮГИНФО РГУ", 2004, с 141-158

2 В N Chetverushkin.V A Gasilov, S V Polyakov.M V lakobovski, Е L Kartasheva, I V Abalakin, I V Popov, N Yu Romanyukha, S A Sukov and A S Minkin CFD Software Project GIMM Study of Hydrodynamic Problems Via Parallel Computing - Parallel Computational Fluid Dynamics Multidisciplinary Applications/Proc Of the Parallel CFD 2004 Conference, Las Palmas de Gran Canaria, Spain (May 24-27, 2004) -Amsterdam - Elsevier В V 2005, p 339-344

3 Б H Четверушкин, В А Гасилов, С В Поляков, Е Л Карташева, М В Якобовский, И В Абалакин, В Г Бобков, А С Болдарев, С Н Болдырев, С В Дъяченко, П С Кринов, А С Минкин, И А Нестеров, О Г Ольховская, И В Попов, С А Суков Пакет прикладных программ GIMM для решения задач гидродинамики на многопроцессорных вычислительных системах - Математическое моделирование, 2005г , том 17, номер б, с 58-74

4 В N Chetverushkin, V A Gasilov, S V Polyakov, М V lakobovski, Е L Kartasheva, A S Boldarev, A S Minkin Data Structures and Mesh Processing in Parallel CFD Project GIMM - ParCo 2005, International Conference on Parallel Computing, Abstracts, p 41

5 В N Chetverushkin, V A Gasilov, S V Polyakov, M V lakobovski, E L Kartasheva, A S Boldarev, A S Minkin Data Structures and Mesh Processing in Parallel CFD Project GIMM - ParCo 2005 Current and Future Issues of High-End Computing, John von Neumann Institute for Computing, p 351

6 В Chetverushkin, V Gasilov, M Yakobovski, S Polyakov, E Kartasheva, A Boldarev, I Abalakin and A S Minkin Unstructured mesh processing in Parallel CFD project GIMM - Parallel Computational fluid dynamics Theory and applications/Proc of the Int Conf Parallel CFD 2005 Conference, College Park, MD, USA /Ed by A Deane, A Eger, J McDonald, N Satofu-ka, G Brenner, D R Emerson, J Periaux, D Tromeur-Dervout Elsevier Publ , Amstedam, Oxford, 2006, p 501-508

7 E Л Карташева, А С Минкин, В А Гасилов Метод триангуляции составных поверхностей, состоящих из В-сплайн сегментов сложной формы - Математическое моделирование, 2007 г, том 19, номер 10, с 44-60

8 Б Н Четверушкин, В А Гасилов, С Н Болдырев, А С Болдарев, Е Л Карташева, О Г Ольховская, С В Дьяченко, А С Минкин, С В Поляков, М В Якобовский Объектно-ориентированное программирование и организация структур данных для параллельных расчетов комплексных задач гидродинамики - Приложении к журналу "Открытое образование", с 40-41

9 В А Гасилов, С Н Болдырев, А С Болдарев, Е Л Карташева, О Г Ольховская, С В Дьяченко, А С Минкин Об использовании объектно-ориентированных программных средств для решения комплексных задач гидродинамики на параллельных системах -Сборник трудов Всероссийской научной конференции "Научный сервис в сети Интернет многоядерный компьютерный мир", М Изд-во МГУ, 2007 г, с 196-197

Подписано в печать 04 10 2007 г Исполнено 04 10 2007 г Печать трафаретная

Заказ № 816 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш , 36 (495) 975-78-56 www autoreferat ru

Список основных обозначений и сокращений

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Подготовка данных для начально-краевых задач

1.1. Применение САПР для подготовки данных начально краевых задач

1.1.1. Основные модели представления форм.

1.1.2. Обмен данными между системами геометрического моделирования

Формат IGES.

Формат DXF.

Формат STEP

1.2. Модель NURBS.

1.2.1. Свойства В-сплайн базиса.

1.2.2. В-сплайн кривые.

1.2.3. В-сплайн поверхности.

1.2.4. В-сплайн объемы.

1.2.5. Нахождение прообраза точки В-сплайн кривой.

1.2.6. Нахождение прообраза точки В-сплайн поверхности.

1.3. Геометрически комплексы и импорт данных.

1.3.1. Введение в геометрически комплексы.

1.3.2. Преобразование данных при импорте в геометрические комплексы

1.4. Алгоритмы генерации расчётных сеток.

1.4.1. Алгоритм построения двумерных гибридных сеток.

1.4.2. Алгоритм триангуляции составной В-сплайн поверхности.

1.5. Краткие выводы.

ГЛАВА 2. Разработка методики расчёта притока флюида к горизонтальной скважине

2.1. Основные положения метода конечных элементов.

2.1.1. Методы Ритца и Галеркина как основа МКЭ.

2.1.2. Классы элементов, используемые в программном комплексе

2.1.3. КЭ аппроксимация уравнения Пуассона.

2.1.4. КЭ аппроксимация уравнения диффузии.

2.1.5. Подготовка расчётной NURBS геометрии.

2.2. Моделирование пластовых систем и скважин.

2.2.1. Закон фильтрации.

2.2.2. Задача однофазной фильтрации.

2.2.3. Интерпретация граничных условий в задачах фильтрации

2.2.4. Эффективный радиус скважины и проблема разномасштабности

2.2.5. Алгоритм макроблока.

2.2.6. Аналитические решения и модель начального приближения

2.3. Краткие выводы.

ГЛАВА 3. Модельные расчёты фильтрации и примеры работы основных алгоритмов

3.1. Тестовые модельные примеры работы геометрических алгоритмов

3.1.1. Нахождение прообраза NURBS кривой.

3.1.2. Нахождение прообраза NURBS поверхности.

3.2. Модельные примеры расчета задач фильтрации.

3.2.1. Решение Лейбензона. Анализ характера течения вблизи скважины

3.2.2. Плоскорадиальное течение.

3.2.3. Трехмерная однофазная фильтрация на призматической сетке

3.2.4. Трехмерная однофазная фильтрация на тетраэдральной сетке

3.3. Пример расчёта теплопроводности на NURBS элементах.

Актуальность проблемы

Методы и программы для численного решения начально-краевых задач математической физики развиваются на протяжении многих десятилетий. Развитие компьютерных технологий сделало вычислительный эксперимент мощным и эффективным способом решения проблем прикладной математики. Появление новых математических моделей и численных методик, рост объема и сложности современных вычислений делают необходимым создание новых средств автоматизации построения компьютерных моделей, подготовки исходных расчётных данных и решения начально-краевых задач.

Алгоритмы решения начально-краевых задач интегрированы во многие систем автоматизированного проектирования (CAD системы), например, в SolidWorks (http://www.solidworks.com/), Unigraphics (http://www.ugs.com/), T-Flex (http://www.t-flex.com/), Salome1 (http://www.salome-platform.org/), ИСПА (http://www.ispa-soft.ru/). Существуют многочисленные коммерческие пакеты прикладных программ, применяемые для исследований и расчётов, такие как Fluent, CFX, StarCD, Cosmos, FlowVision и другие. Всё большее распространение получают программные разработки с открытым кодом, в частности, программные реализации КЭ методов, например, GetFEM (http://home.gna.org/getfem/), OOFEM (http://www.oofem.org/), FreeFEM++ (http://www.freefem.org/), а также КО методов, например, EULER (http://www.iee.cas.cz/staff/solin/euler/index.html). В ИПМ им. М.В. Келдыша РАН и ИММ РАН для научных и прикладных исследований были созданы специализированные программные комплексы, такие как

1 Распространяется в соответствии с GNU LGPL лицензией.

ТЕКОН [11], ACTA [12], РАЗРЯД [14], GIMM [16-21], MARPLE [23,24] и другие.

Использование современной вычислительной техники для решения задач математического моделирования делает необходимым разработку и внедрение комплексного подхода к их решению. Программные средства, разрабатываемые для этой цели, должны обеспечивать поддержку различных видов вычислительной работы таких, как построение геометрической модели области решения задачи, генерацию расчетной сетки, составление системы сеточных уравнений соответственно принятой математической модели, выполнение расчёта и обработку полученных данных. К программным средствам автоматизации научных исследований предъявляются требования робастности и устойчивости при изменении входных параметров математических моделей в широком диапазоне значений, а также при переходе от геометрически простых расчетных областей к сложным, многосвязным, разномасштабным областям.

Математические модели физических процессов обычно описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, а также интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями. Для решения прикладных задач в соответствующих постановках используются, в основном, численные методы, из которых наибольшее распространение получили метод конечных элементов[100-110], конечных разностей [11,13] и граничных элементов [111]. В решении общей вычислительной задачи с использованием вышеуказанных численных методов можно выделить три этапа: предобработку, расчёт и постобработку. Первый этап состоит в задании геометрии расчётной области и определении начальных и граничных условий. Далее производится построение расчётной сетки для заданной геометрии. Выбор типа сетки определяется характером решаемой задачи, геометрией области и требуемым объемом вычислений. Следующий этап - собственно расчёт, результатом которого являются некоторые распределения физических величин по элементам сетки. Заключительный этап предполагает постобработку результатов расчёта, нахождение физических и вспомогательных геометрических характеристик, а также их визуализацию на сетке. Сетка, используемая для визуализации, довольно часто не совпадает с той, что используется для расчёта.

Первый и третий этапы являются вспомогательными по отношению к основной задаче решения уравнений математической физики. Однако, в задачах, определенных в пространственных областях сложной формы, вопросы подготовки и анализа геометрических данных настолько усложняются, что превращаются в самостоятельные проблемы, для эффективного решения которых требуются специальные средства автоматизации. Разработка таких средств является одной из проблем, исследуемых в данной работе.

Возможность задания реальной геометрии изучаемых объектов -важнейшее требование к прикладному программному обеспечению. Данную задачу удобно решать с помощью специализированных CAD систем. Одним из распространенных методов описания пространственных тел, задаваемых с помощью параметрических кривых и поверхностей, является метод, основанный на граничном представлении. Граничное представление удобно применять для подготовки данных при решении начально-краевых задач математической физики, т.к. сами границы в этом случае определяются функционально. Выбор вида параметрического представления производится из соображений универсальности. В качестве такого рода геометрических примитивов удобно использовать NURBS кривые и поверхности, позволяющие описывать объекты как с криволинейными, так и с прямолинейными границами. .

NURBS широко применяются для задания кривых и поверхностей во многих современных CAD системах. С помощью В-сплайнов можно представить достаточно сложные поверхности, что позволяет построить гибкую систему моделирования форм [1-4]. Примерами систем, поддерживающих работу с В-сплайнами, являются Rhinoceros (http://www.rhino3d.com/), T-Flex, Unigraphics и др. Модели на основе NURBS используются также в универсальных форматах обмена геометрическими данными, например, они реализованы в известном формате STEP. Разработка средств импорта топологической и геометрической информации из STEP является одной из проблем, решаемых в данной диссертационной работе. При задании геометрии также определяются граничные условия, каждое из которых сопоставляется определенной геометрической сущности. В частности, в двумерном случае условия ставятся в соответствие контурным кривым, а в трехмерном - граничным поверхностям. Сами граничные условия имеют произвольную структуру, что весьма удобно для решения различного рода задач.

Следующий этап подготовки данных для численного моделирования -это генерация сетки, которая производится с использованием информации о геометрии модели, заданной NURBS. В зависимости от характера решаемой задачи с использованием NURBS параметризации можно строить как структурированные, так и гибридные сетки. В рамках граничного представления дискретизация осуществляется иерархически в порядке возрастания топологической размерности элементов модели. Для двумерной расчётной области сначала производится разбиение кривых, дающих систему контуров. Соответственно, один из этапов построения 3D сетки состоит в генерации поверхностной сетки. Дискретизация поверхности может быть выполнена с помощью генерации сетки в пространстве параметров с последующим её отображением в физическое пространство. При этом поверхностная сетка должна удовлетворять определенным критериям качества [6]. Для удовлетворения данных критериев генерация сетки в параметрическом пространстве должна выполняться с учетом кривизны поверхности.

Существенную сложность представляет дискретизация составной поверхности, состоящей из NURBS сегментов, содержащих дыры и сложные границы. Эта задача решается построением триангуляции. Особенность 3D моделей, представляемых CAD системами, состоит в том, что параметризация поверхностей не совпадает с параметризацией лежащих на них кривых. Это приводит к необходимости построения алгоритмов поиска прообразов точек моделируемой NURBS поверхности [22]. Данные алгоритмы реализованы в рамках общего алгоритма дискретизации составной поверхности. Для построения треугольной сетки на поверхности при этом используются алгоритмы двумерной триангуляции в сочетании с параметрическим отображением. Особенность описываемого в данной работе подхода заключается в том, что предлагаемый алгоритм дискретизации позволяет строить качественные треугольные сетки на составных поверхностях, описываемых В-сплайн сегментами сложной формы, и обеспечивает адаптацию сетки к особенностях геометрии поверхности. Методики дискретизации В-сплайн поверхностей также рассмотрены в работах [37,54-59].

Существуют многочисленные программные разработки области анализа геометрии и генерации сетки, в основном осуществляющие построение нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток. Постороение нерегулярных сеток осуществляется полностью автоматически для почти произвольной геометрии, в том числе неодносвязных областей, содержащих дыры. Некоторые из этих систем осуществляют дискретизацию областей заданных ограничениями в виде множества контуров (в 2D) или замкнутым множеством поверхностей (в 3D), т.е. используют в основном собственные форматы импорта данных. Можно отметить несколько таких систем в открытом (free) доступе:

• Triangle (http://www.cs.cmu.edu/ quake/triangle.html),

• EasyMesh (http://www-dinma.univ.trieste.it/nirftc/research/easymesh/),

• QHull (www.qhull.org),

• Tetgen (http://tetgen.berlios.de/index.html).

Другие системы осуществляют также импорт геометрии из других форматов таких, как STL, IGES, STEP и имеют более сложные структуры данных, на которых осуществляется процесс дискретизации. К ним можно отнести, например, NetGen (http://www.hpfem.jku.at/netgen/) и GMSH (http://www.geuz.org/gmsh/).

В данной работе для генерации объемной тетраэдральной сетки используется метод Делоне с ограничениями, реализованный в системе Tet-Gen. В качестве входных данных для TetGen используется поверхностная сетка, построенная описанным выше алгоритмом триангуляции составной В-сплайн поверхности.

Основным этапом решения начально-краевой задачи является расчёт, осуществляемый после задания геометрии, построения сетки, определения начальных и граничных условий. Алгоритм расчёта основан на методе конечных элементов. Для представления криволинейной геометрии и повышения точности вычислений в условиях неоднородности среды применяются элементы высокого порядка. В рамках общего КЭ подхода возможно также использование NURBS элементов. NURBS технология позволяет использовать элементы высокого порядка в сочетании с удобством геометрического описания. Длительность вычислений зависит от объема сетки, типа элементов и постановки задачи. На форму, размеры и взаимное расположение элементов сетки накладываются определенные ограничения, обусловленные требованиями точности и сходимости соответствующих разностных и конечно-элементных схем [110]. Использование для расчёта NURBS геометрии, импортированной из файла формата STEP и обработанной в соответствии с требованиями КЭ анализа, не требует дополнительной дискретизации расчётной области.

В связи с вышесказанным, разработка интегрированной программной системы для численного решения трехмерных начально-краевых задач является особенно актуальной проблемой. Программный комплекс должен включать универсальные средства описания и дискретизации пространственных расчетных областей сложной формы, задания граничных условий различных типов, предоставлять возможность использования конечно-элементных аппроксимаций различных типов, гарантировать точность и надежность получаемых численных решений. При создании современных программных продуктов таких, как GIMM[16-21] и MARPLE [23, 24], используется современный объектно-ориентированный подход, позволяющий снизить затраты на поддержку и модификацию программных модулей.

В последние годы наблюдается резкое увеличение потребления нефтепродуктов и постепенное истощение запасов углеводородов. В связи с этим разрабатываются месторождения, которые ранее считались неперспективными ввиду сложности необходимых для этого технологий, к которым относится прокладка наклонных, горизонтальных и многоствольных скважин. Всё более актуальной становится проблема компьютерного моделирования пластовых течений, в частности, построение моделей притока флюида к скважине для оценки её дебита. Такие модели позволяют на начальном этапе проекта разработки углеводородной залежи учесть геометрические и физические характеристики пласта, а также оптимизировать расположение скважин с целью улучшения их эксплуатационных характеристик. Разработанные для моделирования притока флюида программные средства тестировались на задачах расчёта продуктивности нефтяных скважин в условиях, приближенных к реальным условиям добычи углеводородов.

Известно, что характерные размеры пласта на несколько порядков больше размеров скважин. Разномасштабность является важной проблемой, затрудняющей расчёт притока флюида. Для решения данной проблемы в диссертации предложено специальное граничное условие, соответствующее скважине. Контур постановки данного условия при решении уравнений фильтрации отодвигается от границ скважины, благодаря чему отпадает необходимость использования сеток, адаптированных к поверхности скважины, что позволяет понизить вычислительную сложность задачи. Пространство между скважиной и контуром постановки граничного условия называется макроблоком. В области макроблока делаются предположения о характере течения флюида, позволяющие заменить численный расчёт в его пределах аналитическим решением. Тем самым, область решения делится на две части: макроблок и внешнюю часть. Численный расчёт производится только во внешней части, что позволяет существенно снизить количество сеточных узлов по сравнению с методикой расчёта фильтрации в полной области с дискретизацией до границы скважины.

В связи с вышеизложенным, целями диссертационной работы являются

• Создание интегрированного программного комплекса для прикладных исследований процессов, описываемых в рамках двумерной или трехмерной начально-краевой задачи. Программная система должна обеспечивать полный цикл численного решения нестационарной нелинейной задачи, т.е. выполнять следующие функции: импорт геометрической модели расчетной области в виде совокупности NURBS примитивов из файла формата STEP АР 214 в локальные структуры данных, задание начальных, граничных условий, а также набора выходных параметров, генерацию гибридной сетки конечных элементов, формирование системы сеточных уравнений и её решение, обработку результатов расчетов.

• Разработка и реализация математической модели, решающей проблему разномасштабности размеров скважины и пласта для расчёта продуктивности нефтяных скважин при нелинейном законе фильтрации Форхгеймера. Модель должна учитывать реальную геометрию нефтяного коллектора и скважины.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

1. Реализовать алгоритмы импорта NURBS геометрии из файлов формата STEP;

2. Реализовать алгоритмы вычисления В-сплайн кривых, поверхностей и объемов;

3. Разработать и реализовать алгоритмы поиска прообраза В-сплайн кривых и поверхностей на основе поиска начального приближения с последующей доводкой итерационным методом;

4. Реализовать алгоритмы построения двумерных, поверхностных и гибридных расчётных сеток на базе NURBS геометрии, импортированной из STEP;

5. Реализовать построение объемных сеток на основе сгенерированных поверхностных с использованием существующих алгоритмов тетраэдризации.

6. Разработать и реализовать алгоритм объединения сечений для построения призматических сеток с использованием NURBS параметризации.

7. Исследовать возможности NURBS для построения блочно-структурированных сеток.

8. Реализовать метод конечных элементов для решения задач нестационарной теплопроводности и фильтрации.

9. Исследовать возможность применения NURBS элементов для проведения КЭ расчётов.

10. Реализовать алгоритм макроблока для решения задачи оценки продуктивности нефтяной скважины при нелинейном законе фильтрации Форхгеймера в двумерных и трехмерных расчётных областях.

Научная новизна:

1. Разработаны новые алгоритмы и программные средства импорта геометрической и топологической информации в структуры данных, используемые для численного моделирования.

2. Реализована новая технология подготовки данных и расчёта задач с криволинейными границами на основе использования NURBS элементов, позволяющих повысить точность геометрического описания и управлять порядком аппроксимации. NURBS технология является дальнейшим развитием суперэлементного подхода. Импорт NURBS элементов производится непосредственно из файлов формата STEP.

3. Разработаны следующие алгоритмы генерации сеток: алгоритм триангуляции поверхностей, состоящих из совокупности NURBS сегментов сложной формы; алгоритм генерации гибридных сеток, объединяющий методы параметрических отображений и построения триангуляций; алгоритмы и программные средства генерации трехмерных сеток, объединяющие кинематические методы, методы параметрических отображений и построение тетраэдризаций.

4. Реализована математическая модель притока флюида к нефтяной скважине в трехмерной постановке, решающая проблему разномасштабности характерных размеров скважины и нефтяного пласта. На основе построенной модели проведены численные исследования дебита скважины и характера течения в зависимости от физических и геометрических характеристик пласта. В численном эксперименте показана эффективность данной модели.

Научная и практическая ценность В разработанном программном комплексе реализована современная технология подготовки данных и новый метод расчёта с использованием NURBS, что позволяет облегчить процесс численного анализа начально-краевых задач. Данный программный комплекс может быть применен для исследования широкого класса проблем естествознания и техники, формулировки которых приводят к смешанным начально-краевым задачам. Модульная структура программной системы позволяет использовать отдельные её блоки в составе других интегрированных систем САПР и АСНИ, а также программных комплексов GIMM и MARPLE. Созданный программный комплекс использовался для исследования трехмерных нестационарных тепловых процессов в нелинейных средах, а также для анализа продуктивности нефтяных скважин. Разработанные программные средства позволяют учитывать реальную геометрию нефтяных скважин и пластов, а также, в случае нелинейного закона фильтрации, выделять области наиболее существенного его влияния в практически важных случаях.

Положения, выносимые на защиту:

1. Технология подготовки данных на основе NURBS для решения начально-краевых задач.

2. Комплексы прикладных программ подготовки исходных данных и КЭ расчёта начально-краевых задач для параболических уравнений.

3. Алгоритм КЭ расчёта на NURBS элементах. Алгоритмы импорта исходной NURBS геометрии и подготовки дискретной модели расчётной области для расчёта методом конечных элементов. Применение NURBS технологии для вычислений по методу суперэлементов.

4. Модель прискважинного макроблока для моделирования течения флюида (нефти, газа) при нелинейном законе фильтрации Форхгеймера.

Достоверность результатов обеспечена обоснованностью применяемых математических моделей, использованием современных методов решения начально-краевых задач, а также верификацией полученных моделей путем сравнения с аналитическими оценками и результатами других авторов.

Апробация работы Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. Международная конференция "Parallel CFD 2004", Las Palmas de Gran Canaria, Испания, 24-27 мая, 2004 г.

2. Всероссийская Научно-Техническая Конференция "Параллельные вычисления в задачах математической физики", 21-25 июня, 2004 г., г. Ростов-на-Дону.

3. Международная конференция "Parallel CFD 2005". University of Maryland, College Park, Maryland, США, 24 - 27 мая, 2005 г.

4. International Conference on matrix methods and operator equations, Москва, ИВМ PAH, 20-25 июня, 2005 г.

5. Всероссийская научная конференция "Научный сервис в сети Интернет: многоядерный компьютерный мир",24-29 сентября 2007 г., г. Новороссийск.

6. Совместный семинар ИММ РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под руководством проф. д.ф.-м.н. Е.И. Леванова, 18 октября 2007г.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Б. Н. Четверушкин, В. А. Гасилов, С. В. Поляков, М. В. Якобовский, И. В. Абалакин, Е.Л. Карташева, И.В. Попов, П. С. Кринов, С. А. Суков, В. Г. Бобков, А. С. Минкин. Пакет прикладных программ GIMM для решения больших задач гидродинамики на многопроцессорных вычислительных системах. - Сборник трудов Всероссийской научно-технической "Параллельные вычисления в задачах математической физики". Изд-во Ростовского Гос.Университета "ЮГИНФО РГУ", 2004, с. 141-158.

2. В. N. Chetverushkin,V. A. Gasilov, S. V. Polyakov,M. V. Iakobovski, Е. L. Kartasheva, I. V. Abalakin, I. V. Popov, N. Yu. Romanyukha, S. A. Sukov and A. S. Minkin. CFD Software Project GIMM. Study of Hy-drodynamic Problems Via Parallel Computing. - Parallel Computational Fluid Dynamics. Multidisciplinary Applications/Proc. Of the Parallel CFD

2004 Conference, Las Palmas de Gran Canaria, Spain (May 24-27, 2004). -Amsterdam - Elsevier B.V. 2005, p. 339-344.

3. Б. H. Четверушкин, В. А. Гасилов, С. В. Поляков, Е. JI. Карташева, М. В. Якобовский, И.В. Абалакин, В. Г. Бобков, А. С. Болдарев, С. Н. Болдырев, С. В. Дъяченко, П. С. Кринов, А. С. Минкин, И. А. Нестеров, О. Г. Ольховская, И. В. Попов, С. А. Суков. Пакет прикладных программ GIMM для решения задач гидродинамики на многопроцессорных вычислительных системах. - Математическое моделирование, 2005г., том 17, номер 6, с. 58-74.

4. В. N. Chetverushkin, V. A. Gasilov, S. V. Polyakov, М. V. Iakobovski, Е. L. Kartasheva, A. S. Boldarev, A. S. Minkin. Data Structures and Mesh Processing in Parallel CFD Project GIMM. - ParCo 2005, International Conference on Parallel Computing, Abstracts, p.41.

5. B. N. Chetverushkin, V. A. Gasilov, S. V. Polyakov, M. V. Iakobovski, E. L. Kartasheva, A. S. Boldarev, A. S. Minkin. Data Structures and Mesh Processing in Parallel CFD Project GIMM. - ParCo 2005: Current and Future Issues of High-End Computing, John von Neumann Institute for Computing, p.351.

6. B. Chetverushkin, V. Gasilov, M. Yakobovski, S. Polyakov, E. Kartasheva, A. Boldarev, I. Abalakin and A. S. Minkin. Unstructured mesh processing in Parallel CFD project GIMM. - Parallel Computational fluid dynamics: Theory and applications/Proc. of the Int. Conf. Parallel CFD 2005 Conference, College Park, MD, USA /Ed. by A. Deane, A.Eger, J. McDonald, N. Satofuka, G.Brenner, D.R.Emerson, J.Periaux, D. Tromeur-Dervout. Elsevier Publ., Amstedam, Oxford, 2006, p. 501-508.

7. E. Л. Карташева, А. С. Минкин, В. А. Гасилов Метод триангуляции составных поверхностей, состоящих из В-сплайн сегментов сложной формы. - Математическое моделирование, 2007 г., том 19, номер 10, с. 44-60.

8. Б. Н. Четверушкин, В. А. Гасилов, С. Н. Болдырев, А. С. Болдарев, Е. JT. Карташева, О. Г. Ольховская, С. В. Дьяченко, А. С. Минкин, С. В. Поляков, М. В. Якобовский. Объектно-ориентированное программирование и организация структур данных для параллельных расчётов комплексных задач гидродинамики. - Приложении к журналу "Открытое образование", с. 40-41.

9. В. А. Гасилов, С. Н. Болдырев, А. С. Болдарев, Е. JI. Карташева, О. Г. Ольховская, С. В. Дьяченко, А. С. Минкин. Об использовании объектно-ориентированных программных средств для решения комплексных задач гидродинамики на параллельных системах. -Сборник трудов Всероссийской научной конференции "Научный сервис в сети Интернет: многоядерный компьютерный мир", М.:Изд-во МГУ, 2007 г., с. 196-197.

Благодарности Работа выполнена под руководством зав. отделом ИММ РАН д.ф.-м.н., профессора Гасилова В.А., которому автор выражает искреннюю благодарность за поддержку, постоянное внимание, бесконечное терпение и бесценную помощь на всех этапах работы над диссертацией.

Автор признателен к.ф.-м.н. Карташевой E.JI. за консультации во время работы над моделью NURBS, за помощь в разработке алгоритмов поиска прообраза NURBS кривых и поверхностей, за советы в разработке алгоритмов построения поверхностных сеток.

Автор также выражает благодарность сотрудникам ИММ РАН к.ф.-м.н. Ольховской О.Г. за помощь в разработке КО схемы теплопроводности, к.ф.-м.н. Головину М.В. за сотрудничество в разработке КЭ препроцессора, расчётной КЭ схемы диффузии, уравнений фильтрации, а также советы относительно расчётной схемы на NURBS элементах.

Автор выражает особую признательность Кузнецову Е.В. за помощь в разработке модели притока флюида к наклонно-горизонтальной скважине и решении уравнений фильтрации.

Автор благодарит сотрудников ИММ РАН к.ф.-м.н. Болдарева А.С. за помощь в реализации интерфейса произвольного граничного условия, к.ф.-м.н. Круковского А.Ю. за советы относительно метода установления, Бобкова В.Г. за огромную помощь в разработке алгоритмов STEP импорта и к.ф.-м.н. Дьяченко С.В. за моральную поддержку и многочисленные советы по разработке расчётных схем.

Заключение

В результате проделанной работы были получены следующие результаты:

1. Разработан комплекс программ подготовки данных для решения трехмерных задач математической физики, включающий программные средства анализа геометрической и топологической информации при импорте из файлов формата STEP, широко применяемого в CAD системах, алгоритмы импорта NURBS в локальные структуры данных, алгоритмы генерации неструктурированных треугольных, тетраэдральных и гибридных КЭ сеток с возможностью локального измельчения на основе методов параметрического отображения, объединения гранично-согласованных сеток, объединения сечений.

2. Создан интегрированный программный комплекс, в котором на основе разработанных структур данных и алгоритмов импорта геометрической информации выполняется цикл препроцессинга и решения методом конечных элементов параболических уравнений и систем в геометрически сложных трехмерных областях. Программный комплекс допускает использование гибридных сеток разнотипных элементов, в том числе, суперэлементов на основе NURBS.

3. Построена математическая модель притока флюида к наклонно-горизонтальной скважине при нелинейном законе фильтрации Форхгеймера. Данная модель реализована в виде алгоритма прискважинного макроблока, позволяющего решать проблему построения расчётной сетки в условиях большой разномасштабности диаметра скважины и характерного размера пласта. Разработан алгоритм построения начального приближения для расчёта с макроблоком, основанный на использовании NURBS элементов.

4. Проведено исследование характера течения флюида в условиях нелинейного закона фильтрации. Получены оценки области влияния нелинейности. Установлены допустимые и оптимальные размеры макроблока в зависимости от толщины пласта и точности решения. Модельные расчеты показывают эффективность разработанной методики.

1. Д. Роджерс, Дж. Адаме Математические основы машинной графики. -М.: Машиностроение, 1980.

2. А. Фокс, М. Пратт Вычислительная геометрия Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982.

3. Д. Роджерс, Дж. Адаме Математические основы компьютерной графики. М.: Мир, 2001.

4. Gerald Farin Curves and Surfaces in Computer Aided Geometric Design: a practical guide.-4th edition.

5. Ф. Препарата, M. Шаймос Вычислительная геометрия: Введение. М. "Мир" 1989.

6. Pascal Jean Prey, Paul Louis Jeorge Mesh Generation. Hermes Science Europe Ltd, 2000.

7. Paul Louis Jeorge, Hourman Borouchaki Delaunay Triangulation and Meshing. Application to Finite Elements. Hermes Science Europe Ltd, 1998.

8. А. В. Скворцов Триангуляция Делоне и её применение. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002.

9. А. В. Скворцов Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне. -Вычислительные методы и программирование, 2002, Т.З., с.14-39.

10. М. П. Галанин, И. А. Щеглов Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространственных областей: итерационные методы. Препринт ИПМ РАН № 9, Москва, 2006.

11. А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А. Повещенко, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск. ЗАО Критерий. 1996. 273с.

12. А. А. Самарский, В. А. Гасилов, С. И. Деревянко, Г. А. Евсеев, В. И. Маслянкин, С. Е. Осокин, А. А. Рубцов. Автоматизированная система термоупругого анализа для ПЭВМ. Компьютерный мост. Выпуск 1, 1990, с. 157-161.

13. А.А. Самарский. Теория разностных схем М.: Наука 1989. 616с.

14. В. А. Гасилов, А. Ю. Круковский, Т. П. Новиков, Ан. А. Оточин

15. Об алгоритмах решения двумерных уравнений магнитной гидродинамики в комплексе программ РАЗРЯД. ИММ РАН, Препринт № 36, Москва, 1993.

16. Кунву Ли Основы САПР (CAD/CAM/CAE). СПб.: Питер, 2004.

17. Б. Н. Четверушкин, В. А. Гасилов, С. В. Поляков, М. В. Якобовский, И. В. Абалакин, Е.Л. Карташева, И.В. Попов, П. С. Кринов, С. А. Суков,

18. Б. H. Четверушкин, В. А. Гасилов, С. В. Поляков, Е. Л. Карташева, М. В. Якобовский, И.В. Абалакин, В. Г. Бобков, А. С. Болдарев,

19. E. JI. Карташева, А. С. Минкин, В. А. Гасилов Метод триангуляции составных поверхностей, состоящих из В-сплайн сегментов сложной формы. Математическое моделирование, 2007 г., том 19, номер 10, с. 4460.

20. P. A. Fayolle, A. Pasko, Е. Kartasheva, N. Mirenkov Shape recovery using functionally represented constructive models. Shape Modeling Applications, Volume 00, 2004, pp. 375-378.

21. V. Adzhiev , M. Kazakov , A. Pasko and V. Savchenko Hybrid system architecture for volume modeling, Computers & Graphics, Pergamon Press, 24(1),2000, pp. 67-78.

22. V. Adzhiev, E. Kartasheva, T. Kunii, A. Pasko, B. Schmitt Hybrid cellular-functional modeling of heterogeneous objects. Journal of Computing and Information Science in Engineering, Transactions of the ASME, vol. 2, No. 4, 2002, pp. 312-322.

23. Roman Voznyuk Hybrid Representations for Enveloping Modeling in Gearing. International Journal of CAD/CAM Vol. 3, No. 1, 2003, pp. 13-17.

24. E. Л. Карташева, А. А. Рубцов Инструментальные средства подготовки и анализа данных для решения прикладных задач математической физики. Препринт МММ РАН №6, 1994.

25. Е. JI. Карташева Инструментальные средства подготовки и анализа данных для решения трехмерных задач математической физики. -Математическое моделирование Т.9, N7, 1997, с. 113-127.

26. М. G. Сох The numerical evaluation of B-Splines. National Physical Laboratory DNAC 4, August 1971.

27. E. Lee Rational Bezier Representation for Conies. Geometric Modeling, Farin, G. (ed.), SIAM, 1986, pp. 3-27.

28. Carole Blank, Christophe Schlick More accurate representation of conics by NURBS. Technical Report, LaBRI, France.

29. Les A Piegl , Wayne Tiller The NURBS book. Second edition. -Springer, 1997.

30. Les A Piegl, Wayne Tiller «Geometry-based triangulation of trimmed NURBS surfaces», Computer-Aided Design, Vol.30, No.l, pp 11-18, 1998.

31. F. H. Jones, L. Martin The AutoCAD Database Book Ventana Press, 3rd ed., 1989.

32. И. П. Норенков Основы автоматизированного проектирования. М., МГТУ им. Баумана, второе издание, 2002.

33. Е. Lee Rational Bezier Representation for Conies. Geometric Modeling, Farin, G (ed.), SIAM, pp. 3-27, 1986.

34. Carole Blank, Christophe Schlick More accurate representation of conics by NURBS, Technical Report, LaBRI, France.

35. К. I. Joy, M. A. Duchaineau Boundary determination for trivariate solids. Computer Graphics and Applications, 1999. Proceedings. Seventh Pacific Conference on Volume , Issue , 1999, pp. 82-91.

36. Jieqing Feng, Pheng-Ann Heng, Tien-Tsin Wong Accurate B-spline free-form deformation of polygonal objects. Journal of Graphics Tools, Volume 3 , Issue 3, 1998, pp. 11-27.

37. Pinghai Yang, Xiaoping Qian A B-spline-based approach to heterogeneous objects design and analysis. Computer-Aided Design 39, 2007, pp. 95-111.

38. Xianlian Zhou, Jia Lu NURBS-based Galerkin method and application to skeletal muscle modeling Proceedings of the 2005 ACM symposium on Solid and physical modeling, Cambridge, Massachusetts, pp. 71-78.

39. W. Po'schl B-Spline Finite Elements and their Efficiency in Solving Relativists Mean Field Equations. Comput.Phys.Commun. 109 (1997) pp. 1-25,arXiv:nucl-th/9808066vl.

40. Nadir Boumechra and Djamel Eddine Kerdal The P-version Finite Element Method Using Bezier-Bernstein Functions for Frames, Shells and Solids. -Journal of Applied Sciences 6 (11): pp. 2334-2358, 2006.

41. E. Dimas, D. Briassoulis 3D geometric modelling based on NURBS: a review.- Advances in Engineering Software 30 (1999) 741-751.

42. Robert Haines «NURBS and Triangular NURBS» A TRANSFER REPORT SUBMITTED TO THE DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE, August 2001. http://www.people.man.ac.uk/ mbacprh/pages/data/XferReport.pdf

43. Philip Fong, Hans-Peter Seidel «An Implementation of Triangular B-Spline Surfaces over Arbitrary Triangulation». http: //citeseer.ist.psu.edu/fong93implementation.html

44. Gunther Greiner, Hans-Peter Seidel «Modeling with Triangular В-Splines» Proc. ACM/IEEE Solid Modeling Symposium '93 http://citeseer.ist.psu.edu/greiner93modeling.html

45. Sheng X, Hirsch BE. «Triangulation of trimmed surfaces in parametric space», Comput Aided Design, 24(8) (1992) 437-444.

46. Piegl LA, Richard MA. «Tessellating trimmed NURBS surfaces», Comput Aided Design, 27(1) (1995) 16-26.

47. Cuilliere JC. «An adaptive method for the automatic triangulation of 3D parametric surfaces», Comput Aided Design, 30(2) (1998) 139-149.

48. Hamann B, Tbai PY. «А tessellation algorithm for the representation of trimmed NURBS surfaces with arbitrary trimming», Comput Aided Design, 28(6/7) (1996) 461-72.

49. Kumar S, Manocha D. «Efficient rendering of trimmed NURBS surfaces», Comput Aided Design, 27(7) (1995) 509-521.

50. G.V.V. Ravi Kumar et al. «Geometry based triangulation of multiple trimmed NURBS surfaces», Computer-Aided Design 33 (2001) 439-454.

51. С. B. Barber, D. P. Dobkin and H. T. Huhdanpaa The Quickhull Algorithm for Convex Hulls. ACM Trans. Mathematical Software 22,1996, pp. 469-483.

52. JI. С. Понтрягин Основы комбинаторной топологии. М.:Наука, 1986.

53. П. С. Александров Комбинаторная топология ОГИЗ, Гостехиздат, 1947.

54. Г. Зейферт, В. Трельфалль Топология Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

55. И. А. Лорд , С. Б. Уилсон Введение в дифференциальную геометрию и топологию. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

56. Г. М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Том I. -СПб.:Лань, 1997.

57. Thomas W. Sederberg, Jianmin Zheng, Almaz Bakenov, Ahmad Nasri T-splines and T-NURCCs International Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques, ACM SIGGRAPH 2003 Papers, pp. 477-484.

58. Wenhao Song, Xunnian Yang Free-form deformation with weighted T-spline-The Visual Computer: International Journal of Computer Graphics, Volume 21 , Issue 3 (April 2005), pp. 139-151.

59. Валерий Рутковский Моделирование сложных форм с компактным представлением ЗО-данных- CAD/CAM/CAE Observer #5 (18), 2004.

60. S. A. Vavasis, S. A. Mitchell QMG: mesh generation and related software-http://www.cs.cornell.edu/home/vavasis/qmg-home.html.

61. N. Sukumar and A. Tabarraei Polygonal Interpolants: construction and adaptive computations on QuadTree meshes. in European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2004),

62. Elds. P. Neittaanmaki, Т. Rossi, S. Korotov, E. Onate, J. Periaux, and D. Knorzer, Jyvaskyla, Finland.

63. N. Sukumar, B. Moran, T. Black, T. Belytschko An element-free Galerkin method for three-dimensional fracture mechanics Computational Mechanics 20 (1997) pp. 170-175, ©Springer-Verlag, 1997.

64. J. Schoberl NETGEN an advancing front 2D/3D-mesh generator based on abstract rules. Computing and Visualization in Science,Vol. 1, no. 1, 1997, pp. 41-52.

65. И. А. Чарный Основы подземной гидравлики. М.: Гостехиздат, 1956.

66. Г. Б. Пыхачев, Р. Г. Исаев Подземная гидравлика. - М.: Недра, 1973.

67. К. С. Басниев, И. Н. Кочина, В. М. Максимов Подземная гидромеханика.- М.: Недра, 1993.

68. В. Н. Щелкачев, Б. Б. Лапук Подземная гидравлика. Государственное Научно-Техническое издательство нефтяной и горно-топливной промышленности, Москва, 1949.

69. П. Я. Полубаринова-Кочина. Теория движения грунтовых вод-М.: Наука, 1977.

70. Л.С.Лейбензон Собрание трудов. Том И. Подземная гидрогазодинамика.- М.: Издательство Академии наук СССР, 1953.

71. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем.- Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

72. Г. И. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик Движение жидкости и газа в природных пластах. -М.: Недра, 1984.

73. В.А. Гасилов, Е.В. Кузнецов, Б.Н. Четверушкин «Об одной модели расчёта тесения вблизи горизонтальной скважины при нелинейном законе фильтрации», Математическое моделирование 2004 г., том 16, номер 9, стр. 29-48.

74. В. Е. Лялин, К. А. Сидельников Концепции математического моделирования пластовых систем на базе метода линий тока. -Нефтегазовое дело, 2005.

75. К. А. Сидельников, В. В. Васильев Анализ применений математического моделирования пластовых систем на базе метода линий тока. -Нефтегазовое дело, 2005.

76. В. А. Черных, В. А. Гасилов, Е. В. Кузнецов Нелинейные эффекты в нефтегазодобыче. М. : Б. и., 2005.

77. В. А. Черных Моделирование фильтрации нефти методами дробного исчисления. Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности, 2/2007.

78. В. А. Черных, В. В. Черных Физические основы неклассической теории фильтрации нефти и газа. СПб.: Б. и., Санкт-Петербургский государственный горный институт, 2005.

79. D. W. Peaceman Interpretetion of well-block pressures in numerical reaservoir simulation. Soc.Pet.Eng.J.(June 1978), pp.183-194, Trans. AIME, vol.265.

80. D. W. Peaceman. Interpretation of well-block pressure in numerical reservoir simulation with non-square grid blocks and anisotropic permeability. Soc. Pet. Eng.J.,(June 1983), pp. 531-543.

81. D. W. Peaceman. Interpretation of well-block pressure in numerical reservoir simulation Part 3: Some additional well geometries. SPE Paper 16976 (Sept. 1987).

82. Г. Г. Вахитов Решение задач подземной гидродинамики методом конечных раз- ностей. Труды ВНИИнефти, вып. 10, Гостоптехиздат, 1957.

83. Г. Г. Вахитов Разностные методы решения задач разработки нефтяных место- рождений. М., Недра, 1970.

84. R. Е. Ewing, R. D. Lazarov, S. L. Lyons, D. V. Papavassiliou, J. E. Pasci-ak, and G. Qin, Numerical well model for non-Darcy flow through isotropic porous media, Compubational Geosciences, 3 (1999), 185-204.

85. Э.С. Закиров Трехмерные многофазные задачи прогнозирования, анализа и регулирования разработки месторождений нефти и газа. М.: Грааль, 2001.

86. В.А. Гасилов, С.В. Дьяченко. Квазимонотонная двумерная схема МГД для неструктурированных сеток. Математическое моделирование, 2005 год, том 17, номер 12, стр. 87-109.

87. О. Зенкевич Метод конечных элементов в технике. Пер. с англ., М.: Мир, 1975.

88. П. Сильвестер, Р. Феррари Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986.

89. В.П. Агапов Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивасти пространственных тонкосстенных подкрепленных конструкций. М. Издательство ассоциации строительных вузов, 2000.

90. В.Б. Андреев. Лекции по методу конечных элементов (учебное пособие).- Издательский отдел факультета ВМиК МГУ (лицензия JIP N040777 от 23.07.96), 1997. 178 с.

91. Г. Стренг, Дж. Фикс Теория метода конечных элементов. М. Мир, 1977.

92. JI. Сегерлинд Применение метода конечных элементов. М.:Мир, 1979.

93. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер.с англ.-М.: Мир, 1986.

94. Бате К., Вилсон Э. Численные методы и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982.

95. Kwon, Y. W. and Bang, Н. The Finite Element Method Using MATLAB CRC Press, Boca Raton, FL, 1996.

96. О. C. Zienkiewicz and R. L. Tailor, The Finite Element Method, 5th edition, Butterworth-Heinemann, Oxford. (2000)

97. Ф. Сьярле Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир 1980., 512с.

98. К. Бреббия , Ж. Теллес, Л. Вроубел. Методы граничных элементов. М.: Мир 1987.