автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение метода усреднения к построению асимптотики решений систем линейных дифференциальных и разностных уравнений

На правах рукописи

Нестеров Павел Николаевич

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ К ПОСТРОЕНИЮ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 05,13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2006

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Глызин Сергей Дмитриевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Майоров Вячеслав Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор Мухамадиев Эргашбой

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится «0<$ & 2006 г. в часов на заседании

диссертационного совета К 212.002.04 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, Д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова по адресу: г. Ярославль, ул. По-лушкнна роща, д. 1.

Автореферат разослан «Об ь лС>я$/>Я 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Глызин С.Д.

Общая характеристика работы Актуальность работы

К линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами приводят многие практические задачи, например, физики и техники. Хорошо известно, что решения таких уравнений удается получить лишь в очень редких случаях. Поэтому при исследовании такого рода задач приходится использовать либо какие-то результаты качественного характера, либо прибегать к методам приближенного интегрирования. В данном исследовании разрабатывается методика, позволяющая получать асимптотические формулы для решений линейных систем дифференциальных и разностных уравнений в окрестности точки f = +00.

Среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений особое место занимают асимптотические методы. В основе этих методов лежит идея о возможности разложения искомого решения в формальный ряд по степеням малого параметра. Несмотря на то, что такие ряды обычно являются расходящимися, решение, получаемое обрывом формальных рядов на п-ом члене, оказывается весьма удовлетворительным в практических расчетах. Основы асимптотических методов заложили Ж. Фурье, Ж. Лнувилль, Ж. Штурм. Большой вклад в развитие асимптотического представления решений дифференциальных уравнений был сделан А. Пуанкаре. Дальнейшему развитию в этой области способствовали работы В.А. Отеклова, Г. Бирк-гофа, JI. Шлезингера, В.И. Тржицинского и др. Существенные результаты получили такие исследователи, как В. Вазов и JI. Чезари. Среди дифференциальных уравнений, довольно часто встречающихся на практике, следует отметить уравнения с медленно мепяющимися коэффициентами, к которым, в частности, относятся уравнения с малым параметром при старших производных (сингулярно возмущенные уравнения). В этом направлении укажем на работы С.Ф. Фещенко и Н.И. Шкиля. Подобным уравнениям посвящены многие работы А.Н, Тихонова и A.B. Васильевой, а также их учеников.

Особую роль в развитии асимптотических приемов сыграли работы Н.М. Крылова и H.H. Боголюбова. В частности, ими были разработаны методы для приближенного интегрирования нелинейного уравнения

где 0 < £ -С 1. Приближенные формулы, получаемые с помощью методики Крылова-Боголюбова, не содержат так называемых секулярных членов, в результате чего удается провести исследование колебательного процесса на асимптотически большом отрезке времени t. Основываясь на работах Н.М. Крылова и H.H. Боголюбова, И.З. Штокало разработал метод, позволяющий исследовать устойчивость линейных дифференциальных уравнений

с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. Г.И. Бирюк распространила результаты И.З. Штокало на случай нелинейных дифференциальных уравнений.

Другое направление в развитии асимптотических методов было свизано с возможностью получения асимптотических формул для решений некоторого класса линейных систем в окрестности точки 4 = +оо. Основополагающие работы здесь принадлежат Н. Левипсону. Он показал, что при определенных предположениях относительно функций А;(£) (г = 1,..., т) (условия дихотомии), фундаментальная матрица Х(£) системы

§ = (Л(0 + Л(0)я. (1)

гдеЛ(() = А1 ((),..., Лт{()) — диагональная матрица, а € Ь^о, оо), допускает следующее асимптотическое представление при í -+ +оо :

= (7 + о( 1>) ехр{У

с

Системы типа (1), следуя И.М. Рапопорту, называют Ь-диагоналънъши. Результаты Лешшсона были сразу же использованы И.М. Рапопортом в спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов. Рапопорт ввел также некоторые подстановки, приводящие отдельные типы уравнений к виду (1). Идея метода приведения к ¿-диагональной форме в отдельных случаях применялась уже О. Перроном и Л. Чезари. М.А. Наймарк применил теоремы об асимптотике решений систем дифференциальных уравнений для исследования индекса дефекта симметрических дифференциальных операторов на полуоси. Более общие результаты этого типа были получены в работах М.В. Федоркжа и А. Девинаца.

Возможность представления фундаментальной матрицы Л'(£) системы

! = (2)

в виде

(

= + 0(1)) ехр{У Л(«)Л}, г +оо

стала основной тематикой целого ряда статей В.А. Харриса и Д.А. Латса. Задача здесь заключалась в построении матрицы Р(1) такой, что замена х — Р{1)у приводила бы систему (2) к виду (1). Существенная роль здесь отводится так называемому <Э-преобразованию

х= (/ + <3(0)у,

где Q(i) = о{1) при t —* оо и diagQ(i) = 0. Такая замепа в некоторых случаях позволяет улучшить исходную систему в том смысле, что к преобразованной системе уже может быть применена теорема Левинсона. В.А. Харрис и Д.А. Латс рассмотрели различные ситуации, в которых удается подходящим образом выбрать матрицу Q(t). Метод, развитый Харрисом и Латсом, в дальнейшем использовался многими авторами для исследовании задачи об асимптотическом интегрировании линейных систем ОДУ.

Оообенную сложность процесс приведения к ¿-диагональной форме приобретает в тех случаях, когда исходная система содержит осциллирующие величины. В этом отношении особенное значение имеет класс систем с колебательно убывающими коэффициентами. К такого рода системам приводит достаточно широкий круг прикладных задач. Некоторые возможные подходы к изучению систем с колебательно убывающими коэффициентами были предложены Ю.А. Самохиным и В.Н. Фоминым, а также Дж. С. Касселем. В работах И.З. Штокало изучался вопрос об устойчивости нулевого решения следующей линейной системы:

где 0 < б 1, Ло — постоянная квадратная матрица, все собственные значения которой вещественны; -4i(t), (i — 1.....ArJ — квадратные матрицы, элементами которых являются тригонометрические многочлены; F(t, е) -матрица, элементами которой являются функции, почти периодичные по t равномерно относительно е £ [0, ео] и непрерывные по е в интервале [0, £о] равномерно относительно f £ R. Основываясь на работах H.H. Боголюбова, И.З. Штокало построил замену, переводящую систему (3) в систему, которая в главкой части не содержит осциллирующих коэффициентов. Впервые на возможность использования замен типа тех, которые использовал И.З. Штокало для исследования систем с малым параметром, применительно к системам с колебательно убывающими коэффициентами указали В.Ш. Бурд и В.А. Каракулин. Предложенный ими подход позволил довольно простым путем получить асимптотические формулы, например, для решений уравнения

где А,а — вещественные числа к 0 < а < 1. В методике, предложенной В.Ш. Бурдом и В.А. Каракулиным, предполагается, что существует лишь одна убывающая составляющая, т.е. функция —* 0 при ( —+ +оо, играющая роль малого параметра с в методе Штокало. Дальнейшие исследования в этой области показали, что для систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами такая ситуация, в общем-то, не

(3)

является типичной. Достаточно рассмотреть, например, систему

dx

Л

где Aq — постоянная матрица размера т х го, элементами матрицы B(t) размера тхр являются тригонометрические многочлены, матрица .R(f) размера го х m принадлежит классу Lj [fo, со), а матрица V(t) размера рхш стремится к 0 при t —> +00. Напомним, что f(t) € L\ |io, oo), если

В случае же, когда Л(<) — матрица произвольных размеров, то запись б Ь\[г0, со) означает, что f{t) = ¡|Я(0Н е ¿1(^,00), где || • || — некоторая матричная норма.

В этой диссертационной работе предложен общий вид усредняющего преобразования для упрощения систем с колебательно убывающими коэффициентами. Эффективность соответствующих преобразований продемонстрирована на примере задачи асимптотического интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Исторически сложилось так, что разностным уравнениям уделялось значительно меньше внимания, нежели дифференциальным уравнениям. В последнее время в связи с появлением целого ряда задач, в которых дискретные системы оказываются более адекватными математическими моделями, ситуация стала меняться. Как оказывается, многие результаты, полученные для дифференциальных уравнений, могут быть с небольшими изменениями перенесены и на разностный случай. Но даже тогда, когда это действительно было шзможио, разностные уравнения во многих аспектах все равно оказывались более сложным объектом для изучения. Асимптотические приемы исследования применительно К разностным уравнениями стали использоваться уже в конце XIX — начале XX века в работах А. Пуанкаре и О. Перрона. Затем довольно продолжительное время в этой области наблюдалось затишье, пока соответствующие задачи не привлекли внимания целого ряда ученых. Здесь следует отметить работы М.А. Евграфова, А.О. Гельфонда и И.М. Кубсн-скоД, Коффмана и др. Попытки сформулировать разностный аналог теоремы Левипсона восходят к работам И.М. Рапопорта. Его идеи получили свое продолжение в работах П.И. Коваля. Несмотря па то, что разностный аналог тсо}>емы Левинсоиа, в сущности, был получен уже Рапопортом, его результат ты были неизвестны не только западным ученым, но и в советских научных кругах о них мало кто знал. И, как это нередко случается в математике, похожие результаты были заново получены (правда, с использованием уже других рассуждений) лишь через три десятилетия. Бензаид и Латс, основы-

оо

ваясь на результатах, полученных В.А. Коппелем для линейных дифференциальных уравнений, сформулировали дискретный аналог теоремы Левинсона, Естественно, что для разпостиых уравнений возникает та же задача, что и для дифференциальных. С помощью каких преобразований и какие системы могут быть приведены к тому виду, который бы позволил воспользоваться дискретным вариантом теоремы Левипоона? Наиболее очевидное решение этой задачи состоит в том, чтобы попытаться распространить соответствующие результаты, полученные для дифференциальных уравнений, н на случай разностных. Как оказывается, для построения асимптотики решений довольно широкого класса линейных систем разностных уравнений целесообразно использовать идеи метода усреднения.

Цель работы

Основной целью данной диссертационной работы является развитие идей метода усреднения применительно к задаче построения асимптотики решений линейных систем дифференциальных н разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Соответствующая методика применяется для изучения конкретных моделей, представляющих практический интерес.

Методы исследования

В основе исследования лежат результаты, полученные H.H. Боголюбовым и И.З. Штокало в области методов усреднения и развитые в дальнейшем В.Ш. Бурдом и В.А. Каракулипым1 применительно к задаче асимптотического интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Кроме того, для получения асимптотики используется фундаментальный результат Н. Левинсона2! а также его последующие аналоги3 и обобщения4.

Научная новизна работы

В данной диссертационной работе предложен общий вид усредняющего преобразования для упрощения систем линейных дифференциальных и разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Эффективность соответствующих преобразований продемонстрирована на примере задачи построения асимптотики решений систем линейных дифференциальных и разностных уравнений с переменными коэффициентами.

1БурЭ В.Ш., Каракулин В.А. Асимптотическое интегрирование снегеч линейных дифференциальны* уравнений с колебзтельео убывающими коэффедиен-гаки // Матем. заметки. 1998. Т. 54. №5. С. 658-^66.

5£*vm»on N. The asymptotic nature of the solutions of linear systems of differential equations // Duke Math. J, 1MB. V. 15. P. Ill - Ив.

! Bcnzaid Z., Luiz D.A. Asymptotic representation of solutions of perturbed systems of linear difference equations // Studies in Appl. Math. 1987. V. 77. P. 195 - 331.

'Coppti W.A. Dichotomies in Stability Theory. Springer-YerUg, New York, 1978.

Положения, выносимые на защиту

1. Предложен общий вид усредняющего преобразования дня упрощения систем с колебательно убывающими коэффициентами.

2. Исследовано асимптотическое поведение решений некоторых уравнений из класса адиабатических осцилляторов.

3. Построена асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом специального вида при нулевой энергии.

4. Изучено асимптотическое поведение решений системы двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью при t —» +оэ.

5. Результаты, полученные для дифференциальных уравнений, перенесены на разностный случай. Дискретный вариант методики усреднения проиллюстрирован на примере построения асимптотики решений некоторых разностных уравнений второго порядка.

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа носит теоретический характер. Ее основные результаты могут быть использованы для анализа конкретных математических моделей, как с непрерывным так и с дискретным временем. Достоинством изложенной методики является то, что с помощью нее удается получать как результаты качественного, так и количественного характера более простым образом и производя меньший объем вычислений, нежели при использовании некоторых альтернативных асимптотических приемов.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1. XXVII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, 2005;

2. XXVIII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, 2006 (В рамках общеуниверситетской конференции молодых ученых «Ломоносов-2006».);

3. Международная конференция «Тихонов и современная математика», Москва, МГУ, 2006;

4. VIII Крымская международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения* (МФЛ-2006), Крым, Алушта, 2006.

Кроме того, результаты диссертации докладывались на ряде семинаров кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им, П.Г. Демидова, а также обсуждались иа семинаре «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 9 работ: 7 статей и 2 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 72 наименований. Диссертация содержит 2 рисунка и одно приложение, в котором излагаются элементы метода усреднения для динамических уравнений, заданных на временных шкалах. Общий объем диссертации составляет 116 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность проводимого исследования, приводятся его цели и задачи. Кроме того, в нем содержится обзор литературы, связанной с тематикой диссертации, а также приводится структура работы.

Первая глава носит вспомогательный характер. В разделе 1.1 излагается один из основных результатов в теории асимптотического интегрирования линейных дифференциальных уравнений — теорема Левинсона.

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений:

^ = (4)

где — комплекс позначный вектор размерности т, Л(() -- (1|Э^(А1((),.,,, Ащ(()) — непрерывная'диагональная матрица, а € оо). Мы потребуем также, чтобы для элементов матрицы Л{4) были выполнены следующие

1 Достаточно,впрочем, с читать, чтоаленевты Д;((), ( = 1,...,т иагряцы Л(() суммируемы в каждом конечном иятераале !((,, (1), > (0.

условия, известные как условия дихотомии: пусть для каждой нары индексов (ь ])■> ® Ф 3 имеет место либо

(

j Г1е(Л(($) - -00, г —► +оо (5)

(о 1г

J He(A|(s) — Л j(s)}ds < Ki для to < ii < (г, (6)

либо

tl

h

J Не(А,(*)-А ,(s))tf$ > Кг для io<ii< ii, (7)

ti

где Кi, - некоторые постоянные. Заметим, что условия (5)-(7) попросту означают, что для систем вида

(t) - \k(t)l)y, k=

имеет место так называемая обыкновенная дихотомия решений.

Теорема 1 (Левинсои). Пусть выполнены условия дихотомии (5)-(7). Тогда фундаментальная матрица X(t) L-диагоналъной системы (4) допускает« следующее, асимптотическое представление при t —* +оо :

t

= (/ + о(1}) ехр{У t* > ¿0. (8)

Отметим следующее условие, влекущее выполнение условий дихотомии (5)-(7), которое оказывается выполненным во многих практических задачах: для любой пары функций (A;(i), Aj(f)) можно указать такие функции ДО > 0, t > to или f(t) < 0, t > to и g(t) e Lifto, oo), что

MMt)-Mty=f(t)+9(t)- (9)

Раздел 1.2 посвящен краткому знакомству с результатами, полученными Коппелем, которые впоследствии были использованы Бензаидом и Латсом для построения разностного аналога теоремы Левинсона. Основной результат этого раздела сформулироваи в виде теоремы. Рассмотрим линейную систему с переменными коэффициентами:

J = A(t)x. (10)

Мы будем предполагать, что матрица Л(() размера mxm непрерывна на множестве R+. Пусть наряду с системой (10) рассматривается неоднородная возмущенная система

ft = (A(t) + R(t))y + m, (И)

где R(t) — непрерывная матрица, а f(t) — непрерывная вектор-функция, и, кроме того, матрица /i(t) и функция |/(t)| принадлежат классу Li(0, оо). Справедлива

Теорема 2 (Coppel). Пусть система (10) обладает обыкновенной дихотомией на R+. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между ограниченными решениями системы (10) и ограниченными решениями неоднородной системы (11). При этом разность между решениями, переходящими друг в друга при таком отображении, стремится к нулю при t —» +00.

Из теоремы 2 можно вывести следующее утверждение: если система (Ю) обладает обыкновенной дихотомией па R+, тогда возмущенная однородная система (11) (f(t) = 0) также обладает обыкновенной дихотомией на П£+. Таким образом, обыкновенная дихотомия на полуоси является грубой по отношению к возмущениям класса Lj[0,oo). В конце этого раздела показывается, что теорема Левинсона является простым следствием теоремы 2.

В разделе 1.3 рассматриваются некоторые простейшие способы приведения линейных систем дифференциальных уравнений к Х-диагональному виду. Рассмотрим систему

^=(A0 + V(t) + R(t))x, (12)

где Аа — постоянная матрица с различными собственными значениями, матрица V(i) стремится к нулевой матрице при t оо, а матрицы V'(i) и Д(£) принадлежат классу ¿i|io, 00). Пусть A(t) — диагональная матрица, на диагонали которой находятся собственные числа Ai(t),..., A^t) матрицы Aq + V(t). Имеет место так называемая лемма о диагонализации переменной матрицы1:

Лемма 1 - При достаточно больших t существует ограниченная матрица C(t), имеющая ограниченную обратную C-1(f) и производную C(t) € ¿1 [fq, оо), такая, что замена х — 0(t)y приводит систему (12) в L-диагоналъному виду

<ft = {m+m))y, аз)

где Ri(t) = C^(t)R{t)C{t) - C'^Cit) принадлежит классу Lifto.oo). Б. Tl. Лекция по мат«мат?гческоЛ теории устойчивости, М.: Науха, 1957.

В этом разделе также коротко рассказывается о работах Харриса и Лат-са, посвященных приведению линейных систем к Ir-диагональному виду с помощью Q-tiрсобразования, т.е. замены вида

' {l + Q(t))y, (14)

где Q(t) — с>(1) при f-toon diagQ(i) = 0.

Наконец, раздел 1.4 посвящен оценке члена о(1) в асимптотических формулах, которые получаются с помощью теоремы Левинсопа. Справедлива2

Теорема 3. Пусть матрица A(t) непрерывна при t > ip, fc€{l,...,m} фиксировано, и для всех 1 < j < m существуют константы > 0, К2 > О и а > 0 такие, что или

expj J Re(Aj(i) - < /£"ie-0f(ij",l) при t0<U< t2, (15)

ШЕТХ

1а

Пс(А^(з) - > К2 при (о < «1 < 1г. (16)

Пусть матричная функция Я(1) порядка т х т непрерывна при ( > (о « существует скалярная функция

Л0й1|Л(*)11. ФЮ е й!*й,оо). (17)

Более того, если неравенство (15) выполнено хотя бы для одного j, мы потребуем, чтобы существовала константа (3 6 [0, а) такая, кто

< для всех („ < ^ < ¿2. (18)

Тогда существует решение £*(() системы (4), имеющее при I —> +оо следующую асимптотику:

+О0 • (

= [е* + 0(У Ф(т)А-)] ехр{£ ** > (19)

Сформулированный результат используется для построения асимптотики фундаментальной матрицы системы

J-0

S.r Lutz D.A, Asymptotic solutions and error estimates for linear systems of difference and differential equations // Journal of Mathematical Analysis find Applications. 2004. V, 290. P, 343 - 362.

где {vlj} — постоянные матрицы, Ait Ф 0, 0 < ац < сц < ... < crjt < 1, <р > 1.

Материал, который излагается в этом разделе, необходим для понимания формул, с которыми мы встречаемся в главах 3 и 4.

Во второй главе разрабатывается, собственно, методика усреднения для упрощения систем с колебательно убывающими коэффициентами. В разделе 2.1 коротко рассказывается о методе усреднения Крылова-Боголюбова, а также излагается метод Штокало исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. И.З. Штокало занимался вопросом об устойчивости нулевого решения следующей линейной системы:

+ (20)

где 0 < е <£ 1, Ао — постоянная квадратная матрица порядка т, все собственные значения которой вещественны, А1 (¿), (I = 1,... ,к) — квадратные матрицы порядка т, принадлежащие классу Е. Мы говорим, что матрица Л(£) 6 2, если ее элементами являются тригонометрические многочлены. Если же, кроме того, М[А(г)1 = 0, где

л

М[А(0] ^lirn^i f A(s)ds,

то мы пишем, что A(t) 6 So. Далее, F(i,e) — матрица, элементами которой являются функции, почти периодичные по t равномерно относительно £ € [0, £о] и непрерывные по £ о интервале [0,£о] равномерно относительно t € M. Основываясь на работах H.H. Боголюбова, И.З. Штокало построил замену, переводящую систему (20) в систему, которая в главной части не содержит осциллирующих коэффициентов. Именно, имеет мссто

Теорема 4. Система (20) при достаточно лолй* ¿с помощью замены

к

* = (21)

где Yi{t) S £¡0, (Î — 1,..., к), приводится к виду

к

dy

= (А) + £ éAt + £k+1G(t, (22)

с постоянными матрицами А( и матрице-ä G{t,s), обладающей теми же. свойствами, что и матрица F(t,s).

Как уже было сказано, Штокало интересовался вопросом об устойчивости решений системы (20), и в этом смысле система (22) проще исходной системы. Как оказывается, об устойчивости решений системы (20) можно судить, анализируя знаки первых ненулевых коэффициентов у разложений в ряд но степеням е детерминантов Гурвица матрицы

к

1=1

В разделе 2.2 формулируется и доказывается основной результат этой главы — теорема об усреднении линейных систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами, которые могут быть представлены в следующем виде:

<£г **

1=1 1<11<(я£т»

+ + хеС"1. (23)

1<11<...<1*<п

Здесь Ао, — квадратные матрицы размера ш х т, и1(*)>- ч

«„(() - скалярные фупкции, а также

(1) Ао — постоянная матрица с вещественными собственными значениями;

(2) г>1(() 0,^(0 —+ 0,.. .,«„(() при ¡~*оо;

(3) • • • е

(4) Произведение .. -(() € Ь\[1$,оо) для любого набора 1 < »1 < «а < . • • < < п\

(5) Матрицы принадлежат классу 2;

(6) Матрица Д(£) € А[£<ь °о)-

Теорема 5. Система (23) при достаточно больших Ь заменой

а = [/ + ¿1^(0+ £ (¿К (*) + ••• +

<=1 1<<1<12<П

+ £ ^...^ксо-.-.-мф. (24)

где 1 — единичная матрица, а матрицы принадлежат классу £с,

приводится к виду

^ « (м + А&{Ь) 4- £ ^АЧ^КЮ + -..+ 4=1 1<и<й<п

с постоянными матрицами и матрицей £ [¿о, оо).

Для определения матриц получаем линейные неоднородные диф-

ференциальные уравнения, которые имеют следующий вид:

Уыз-й + Ук11,„иАа - = -

где ■-*'*(£) £ Матрицы Л^.., определяются из условия равенства нулю среднего значения выражения, находящегося в правой части этого уравнения.

Матрицы Ai и Лц называют соответственно матрицами первого и второго приближений. Они определяются следующим образом:

,Л|«=М[А(0]. < = !,...,«■

Далее,

Лу = М[4ц(0 + Л + Л,(£)У((0], 1 <i<j<n

и

Ан = М [Лм(£) + Аг(т#)], * = 1,..., п.

Матрицы 11 свою очередь, определяются как решения матричных уравнений

с нулевым средцим значением.

В разделе 2.3 обосновывается законность использования теоремы об усреднении в случае периодичности осциллирующей составляющей, т.е. в том случае, когда матрицы Л^...^) являются периодическими с одним и тем же периодом Т > 0. В разделе 2.4 формулируются некоторые утверждения вспомогательного плана, которые оказываются полезными при практическом использовании методики усреднения.

В третьей главе изучается асимптотическое поведение решений некоторых уравнений из класса адиабатических осцилляторов. Основная задача здесь состоит в том, чтобы показать, что схожие по виду уравнения («стремящиеся» при I —* +<х> к гармоническому осциллятору) демонстрируют совершенно различное асимптотическое поведение решений при Ь —* +оо. В разделе 3,1 строится асимптотика решений следующего уравнения, которое получается в результате периодического возмущения гармонического осциллятора с исчезающей на бесконечности амплитудой:

г+(1-К(0РЮ)аг = 0. (26)

Здесь действительная функция £(£) > 0 такова, что £(£) —> 0 при £ —► +сс, £(£) £ ¿1 [¿о, оо), а£(£) и £2(£) принадлежат классу Ь\[¿о. оо). Действительная

функция Р(() является Т-периодической. В разделе 3.2 изучается следующее уравнение второго порядка:

(27>

где а - произвольная действительная постоянная и

<p(t) = t + atP, а^ 0, 0 < р <1.

В разделе 3.3 речь идет об одной задаче, возникающей при исследовании четвертого уравнения Пенлеве. Именно, рассматривается уравнение (27), где на сей раз

vs(í) = i + alní, о,а е Е, аф 0. (28)

В частности, показано, что в плоскости параметров (а, а) множество

5а2 а2

< а < —, а Ф О 24 ~ ~ 24* ^

является зоной неустойчивости (параметрического резонанса) для уравнения (27) с функцией (p{t) вида (28). В разделе 3.4 рассматривается уравнение чуть более общего вида, нежели уравнение (27):

~ + + ж = 0, t€R, р > 0, аеИ, а^О, (29)

где фу!жция <p(t) имеет тот же вид, что и в уравнениях из §3.2 и §3.3. В этом разделе приводятся результаты качественного характера относительно поведения решений уравнений вида (29). Как оказывается, в пространстве параметров уравнения (29) существует, вообще говоря, гиперплоскость, которая разделяет пространство параметров па два полупространства, в одном из которых решения уравнения (29) устойчивы, а в другом, соответственно, неустойчивы. В точках гиперплоскости может иметь место как устойчивость, так и неустойчивость решений.

В четвертой главе с помощью методики усреднения строится асимптотика решений одного уравнения второго порядка, а также исследуется поведение решений системы двух осцилляторов с медленно убывающей связью.

В разделе 4.1 изучается одномерное уравнение Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом при нулевой энергии:

+ q(x)¡/= 0, (30)

Где

g(ac) = ®*Р(а:1+в) + с®"2.

Здесь с — произвольная действительная постоянная, а действительные параметры а и Р удовлетворяют следующим неравенствам:

i2 + w%x2 + XI — 0.

/3 — л > —1, 2а -0>О. (31)

Эта задача исследовались в работе А.Р. Итса1 в предположении, что осциллирующая составляющая потенциала, функция Р{х), является гладкой по-риодической функцией с нулевым средним значением. Метод исследования, использованный Итсом, довольно сложен и основывается на представлении асимптотической формулы с помощью решений уравнения Хилла, содержащих большой параметр, и на дальнейшем исследовании зависимости этих решений от параметра. Используемый нами метод позволяет более просто построить асимптотику решений этого уравнения и нуждается в менее ограничительных предположениях относительно функции Р(х).

В разделе 4,2 исследуется система с двумя степенями свободы, представляющая собой систему двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью:

i a sin wt

Xi + Ljfxi H--——X2 = 0,

bsuiLot <32)

&

Здесь w > 0, wi > 0, W2 > 0, а И Ь — произвольные (ненулевые) действительные параметры, ot > 0, /3 > 0. Уже первое и второе приближения позволяют обнаружить довольно богатую асимптотическую картину поведения решений этой системы при t +оо.

В пятой главе предпринимается попытка построить разностный вариант методики усреднения. В разделе 5.1 приводится разностный аналог теоремы Левицсона. Пусть f(t): N —* R (С), тогда мы пишем, что f(t) € ti, если

оо

£|/(*)|<ео.

Если же R(t) — матрица произвольных размеров и í g N, то, по аналогии с непрерывным случаем, запись R(t) 6 t\ означает, что /(¡) = ]|ü(t)|| 6 ti, где j| ■ |j — некоторая матричная норма. Рассмотрим следующую систему линейных разностных уравнений:

x(t + 1) - (ACO + R(t))x(t), (33)

где t е N, Л (i) = diag(A|(í),...,A,„(í)) и Af'íO^í) € t\ для всех i ~ l,...,m. Системы вида (33) по аналогии с непрерывным случаем бу-

1Итс А.Г Асгюттоткчоскйе доведение решений радиального ур&ннекня Щредиигера с оецнллнручь 1цнм потенциалом при нулевой энергии // Проблемы математической физики. Сб. статей. Издательство Ленинградского университета. 1979. С. 30 ~ 41.

дем называть ^-диагональными. Имеет место следующий разностный аналог теоремы Левинсона*.

Теорема 6. Пусть (1)

№

Ai(t) ф 0, 1 < i < т, t > t0,

А,"1^)^) е 1 < i < т,

(3) выполнены следующие условия (условия дихотомии): найдутся положительные константы ц > 0 и К > О такие, что для любой пары индексов ((,]), гф у имеет место или

п

t=to

MD

МО

+оо, t +oo « JJ i=i,

Ai(0

Aj(0

> At > 0, to < tj < ii (34)

иди

j^IVO

<K, ta<ti< fa.

(35)

Тогда фундаментальная матрица системы (33) допускает следующее асимптотическое представление при £ —* +оо :

t-i

Х(О = [/ + 0(1)]ПЛ(О-

I=to

(36)

Замечание 1. Если ¡Aj(t)| > S > 0 для всех t = 1,,, . ,m, то условие (2) теоремы 6 заведомо выполнено, если Д(() € £i-

Замечание 2. Отметим следующие условия, достаточные для дихотомии (34)- (35). Пусть Aj(t) -+ А* ф 0 при t -boo, 1 < г < т и

а) |А;| ф |Ajj для i Ф j. Тогда, если |А*| > |Aj|, то имеет место (34), в противном случае выполнено (35).

б) |Aj| = |Aj| для некоторой пары индексов (i,j), г ф j. Положим |Ai(t)/Aj(t)| — 1 + r,j{t), где Гу(() —► 0, t —► +оо. Тогда, как несложно показать, если Tij (£) не меняет своего знака при t > to, то условия дихотомии также оказываются выполненными.

Итак, как и в случае с дифференциальными уравнениями, для того, чтобы построить асимптотику системы разностных уравнений, можно попытаться привести ее к L-ди атональному виду и затем (если это удается) воспользоваться теоремой 6. В разделе 5.2 излагается соответствующий разностный вариант теоремы об усреднении. Пусть рассматривается следующая линейная

1Beraaii Z., Luti D.A. Asymptotic representation of solutions of perturbed systems of linear difference equations // Studies In Appl- Math. 1987. V. 77. P. 195 - 221.

система разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами:

п

x{t + 1) = (Ао + J2 Ai(t)vt{t) + £ (О +... +

+ X) + (37)

l<fl<...<ii<n

Здесь Ao, Ai,...î,(î), R(t) - квадратные матрицы, ui(i), :..tv„(i) - скалярныс функции, x(i) 6 С"1 и i € N. Пусть

1. Ао — постоянная невырождениая матрица с вещественными собственными значениями. Кроме того, мы предположим, что спектры матриц Aq и —До не пересекаются.

2. t>i(t) —* 0, vj(i) —» 0,..., Un(i) 0 при t —* оо.

3. Avi(t), Дча(0,Afn(i) € ¿î- (Дг(() v(i +1) - w(t».

4. Произведение Vi^iJ^taW... (t) € для любого набора 1 < й й ta i . -. £ 4+1 S я-

5. Матрицы j4it...i,(i) принадлежат классу 2.

6. Матрица R(t) е ¿i-

Теорема 7. Система (37) при достаточно больших t заменой

f=l l<fl<iï<II

+ D (38)

где I - единичная матрица, a матрицы принадлежат классу So,

приводится к виду

п

y(t +1)= + Л + +

i=l 1<>1<»2<П

+ X + ieN0l (39)

l<tl<-<it<n

с постоянными матрицами j4j(..,]( и матрицей -Ri(i) 6 С\.

Для определения матриц У^^ДО получаем линейные неоднородные разностные уравнения, которые имеют следующий вид:

yW.(,(t + îMo - AoYil(,...k(t) - -

где е Матрицы определяются из условия равенства нулю

среднего значения выражения, находящегося в правой части этого уравнения. Для матриц получаем точно такие же формулы, как и в случае с дифференциальными уравнениями с той лишь разницей, что теперь среднее значение определяется следующим образом:

1 f_1

А = М [Л((>] := Иш j А(к), t € N.

£-0

В разделе 5.3 эта методика демонстрируется на примере построения асимптотики решений одного разностного уравнения второго порядка с колебательно убывающими коэффициентами:

х{п + 2) - 2х(п + 1) + + s(ti) = 0, я = 1,2,... .

(40)

Здесь параметр 0 < а < 1, а действительная функция р(п) является или периодической, или представляет собой дискретный тригонометрический многочлен. Кроме того, предполагается, что функция р{п) имеет нулевое среднее значение, т.е. М[р(п)] = 0. Наконец, в разделе 5.4 изучаются два специальных уравнения из класса дискретных адиабатических осцилляторов:

яг(п + 2) -2созшх(« + 1) +- (1 + д(тг))х(тг) = 0, п ё N, (41)

где 0 < ш < тг, а функция <?(п) —* 0 при п —* +оо. Сначала рассматривается пример, когда

, ч sin2wn 1 ,

—, 2<а~

В качестве второго примера снова рассматривается уравнение (41), но теперь

в(п) = а—1--—-—0 < р < 1. (42)

Для построения асимптотики решений последнего уравнения требуется знакомство с некоторой дополнительной информацией, которая приводится в приложении А.

В заключении подводятся основные итоги работы, а также намечаются возможные пути продолжения исследования.

В приложении А собраны основополагающие факты из теории временных шкал (time-scales), необходимые для формулировки варианта метода усреднения применительно к уравнениям, заданным на временных шкалах, близких по своему устройству при t —► -f-co к «классическим» случаям Т = R (обыкновенные дифференциальные уравнения) иТ = Z (разностные уравнения). Временной шкалою (time-scale) называют произвольное замкнутое подмножество действительно оси IR.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи г ведущих научных журналах, включенных в перечень ВАКа:

[1] Нестеров, П.Н. Построение асимптотики решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом / П.Н. Нестеров // Математические заметки. - 2006. - Т. 80, №2. - С. 240 - 250.

Другие публикации:

[2] Нестеров, П.Н. Асимптотическое поведение решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом / П.Н. Нестеров // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. - Ярославль: ЯрГУ, 2005. - Вып. 7. -С. 164 - 179.

[3] Нестеров, П.Н. Асимптотическое поведение решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом / П.Н. Нестеров; Яросл. гос. уп-т. им. П.Г. Демидова. - Ярославль, 2005. -18 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 29.04.2005, JW40-B 2005.

[4] Нестеров, П.Н. Асимптотическое поведение решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом / П.Н. Нестеров // Труды XXVII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва. - 2005. - С. 96 - 102.

[5] Бурд, В.Щ. Об асимптотике решения одного разностного уравнения второго порядка с колебательно убывающими коэффициентами /

B.Ш. Бурд, П.Н. Нестеров // Модел. и анализ информ. систем / Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. - Ярославль: ЯрГУ, 2005. - Т. 12, №2-С. 24-31.

[6] Нестеров, П.Н. Усреднение систем с колебательно убывающими коэффициентами в случае периодичности осциллирующей составляющей / П.Н. Нестеров // Современные проблемы математики и информатики: Сборннк научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. уп-т, им. П.Г. Демидова. - Ярославль: ЯрГУ, 200G. - Вып. 8. -

C. 98 - 108.

[7] Нестеров, H.H. Асимптотическое интегрирование системы двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью / П.Н. Нестеров; Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. - Ярославль, 2006. - 28 с, - Деп. в ВИНИТИ РАН 21.02.2006, №171-В 200G.

[8] Нестеров, П.Н. Метод усреднения в задаче асимптотического интегрирования линейных систем ОДУ с колебательно убывающими коэффициентами / П.Н. Нестеров // Тихонов и современная математика: Асимптотические методы: Международная конференция, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 19-25 июня 2006 г.: Тезисы докладов секции №6. -М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006. - С. 73 - 74.

[9] Нестеров, П.Н. Параметрический резонанс в одном уравнении из класса адиабатических осцилляторов / П.Н. Нестеров // VIII Крымская Международная математическая школа <Метод функций Ляпунова и его приложения»: Тез. докл.; Алушта, 10-17 сентября 2006 г. / Таврический национальный ун-т. - Симферополь: ДиАйПи, 2006. - С. 128.

Отпечатано на ризографе

Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

Используемые обозначения и терминология

Введение

1. Некоторые результаты теории асимптотического интегрирования

1.1. Теорема Левинсона

1.2. Дихотомия решений линейных систем

1.3. Приведение системы к L-диагональному виду

1.4. Оценка остаточного члена в асимптотических формулах

К линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами приводят многие практические задачи, например, физики и техники. Хорошо известно, что решения таких уравнений удается получить лишь в очень редких случаях. Поэтому при исследовании такого рода задач приходится использовать либо какие-то результаты качественного характера, либо прибегать к методам приближенного интегрирования. Среди ученых, внесших значительный вклад в изучение качественного характера поведения решений как линейных, так и нелинейных систем, в первую очередь, следует отметить заслуги A.M. Ляпунова (см. [52]). Введенное им понятие устойчивости движения явилось основополагающим для развития теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. Не следует также забывать и о теории характеристических показателей Ляпунова (см. [44]), оказавшей также весьма плодотворное влияние на дальнейшее развитие математики. Существенный вклад A.M. Ляпунов внес и в изучение линейных систем с периодическими коэффициентами. Его теория зон устойчивости легла в основу изучения поведения решений линейных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами (см., например, [47]). Вообще, после работ A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре довольно много внимания уделялось системам линейных дифференциальных уравнений с периодическим коэффициентами. В этой связи отметим лишь работу [72], в которой нашли свое отражение многие методы исследования линейных уравнений с периодическим коэффициентами.

Среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений особое место занимают асимптотические методы. В основе этих методов лежит идея о возможности разложения искомого решения в формальный ряд по степеням малого параметра. Несмотря на то, что такие ряды обычно являются расходящимися, решение, получаемое обрывом формальных рядов на п-ом члене, оказывается весьма удовлетворительным в практических расчетах. Основы асимптотических методов заложили Ж. Фурье, Ж. Лиу-вилль, Ж. Штурм. Большой вклад в развитие асимптотического представления решений дифференциальных уравнений был сделан А. Пуанкаре. Дальнейшему развитию в этой области способствовали работы В.А. Стеклова, Г. Биркгофа, Л. Шлезингера, В.И. Тржи-цинского и др. Существенные результаты получили такие исследователи, как В. Вазов [37] и Л. Чезари [67]. Среди дифференциальных уравнений, довольно часто встречающихся на практике, следует отметить уравнения с медленно меняющимися коэффициентами, к которым, в частности, относятся уравнения с малым параметром при старших производных (сингулярно возмущенные уравнения). В этом направлении укажем на работы С.Ф. Фе-щенко и Н.И. Шкиля (см. [65, 68]). Подобным уравнениям посвящены многие работы А.Н. Тихонова и А.Б. Васильевой, а также их учеников.

Особую роль в развитии асимптотических приемов сыграли работы Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова. В частности, ими были разработаны методы для приближенного интегрирования нелинейного уравнения где 0 < е <С 1. Приближенные формулы, получаемые с помощью методики Крылова-Боголюбова, не содержат так называемых секулярных членов, в результате чего удается провести исследование колебательного процесса на достаточно большом отрезке времени t. Основываясь на работах Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова, И.З. Штокало [69, 70] разработал метод, позволяющий исследовать устойчивость линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. Г.И. Бирюк [34] распространила результаты И.З. Штокало на случай нелинейных дифференциальных уравнений.

Другое направление в развитии асимптотических методов было связано с возможностью получения асимптотических формул для решений некоторого класса линейных систем в окрестности точки t — +00. Основополагающие работы здесь принадлежат Н. Jle-винсону [26, 49]. Он показал, что при определенных предположениях относительно функций Xi(t) {г = 1,., т) (условия дихотомии), фундаментальная матрица X(t) системы

0.0.1) где Л(t) = diag(Aj.(£),. ,Am(£)) — диагональная матрица, a R(t) 6 Li[t0,oo), допускает следующее асимптотическое представление при t +00 : t

X(t) = (7 + о(1)) expj JA(s)dsj. t*

Системы типа (0.0.1), следуя И.М. Рапопорту [58] \ называют L-диагональными. Результаты Левинсона были сразу же использованы И.М. Рапопортом в спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов. Рапопорт ввел также некоторые подстановки, приводящие отдельные типы уравнений к виду (0.0.1). Идея метода приведения к L-диагональной форме в отдельных случаях применялась уже О. Перроном [27] и Л. Чезари [12]. М.А. Наймарк [54] применил теоремы об асимптотике решений систем дифференциальных уравнений для исследования индекса дефекта симметрических дифференциальных операторов на полуоси. Более общие результаты этого типа были получены в работах М.В. Федорюка [63] и А. Девинаца [17, 18].

Возможность представления фундаментальной матрицы X(t) системы

0.0.2) в виде f

X{t) = P(t)(l + o(lj} expj J A(s)ds}, t -»■ +00 r стала основной тематикой целого ряда статей В.А. Харриса и Д.А. Латса (см., [21, 22, 23]). Задача здесь заключалась в построении матрицы P(t) такой, что замена х = P(t)y приводила бы систему (0.0.2) к виду (0.0.1). Существенная роль здесь отводится так называемому Q-преобразованию x=(l + Q{t))y, где Q(t) = о(1) при t —} 00 и diagQ(t) = 0. Такая замена в некоторых случаях позволяет улучшить исходную систему в том смысле, что к преобразованной системе уже может быть применена теорема Левинсона. ВА. Харрис и Д.А. Латс рассмотрели различные ситуации, в которых удается подходящим образом выбрать матрицу Q(t). Метод, развитый Харрисом и Латсом, в дальнейшем использовался многими авторами для исследования задачи об асимптотическом интегрировании линейных систем ОДУ; в этой связи отметим, например, работу [5]. В статье [6] круг задач, связанных с асимптотическим интегрированием систем вида (0.0.1), где R(t) £ Lp[to,oo) и р € [1,2], рассматривается с позиций общей теории динамических систем. Задаче асимптотического интегрирования линейных систем с помощью теоремы Левинсона посвящена монография [19]. В ней собран довольно обширный материал по этой тематике. том, что именно Рапопортом предложено называть системы вида (0.0.1) — системами в L-диагоналы-гой форме, указывает Чезари [67]. i = А<*>*•

Особенную сложность процесс приведения к L-диагональной форме приобретает в тех случаях, когда исходная система содержит осциллирующие величины. В этом отношении особенное значение имеет класс систем с колебательно убывающими коэффициентами. К такого рода системам приводит достаточно широкий круг прикладных задач. Некоторые возможные подходы к изучению систем с колебательно убывающими коэффициентами были предложены Ю.А. Самохиным и В.Н. Фоминым (см. [60, 61]), а также Дж. С. Кас-селем [И]. Впервые на возможность использования замен типа тех, которые использовал И.З. Штокало для исследования систем с малым параметром, применительно к системам с колебательно убывающими коэффициентами указали В.Щ. Бурд и В.А. Каракулин [36]. Предложенный ими подход позволил довольно простым путем получить асимптотические формулы, например, для решений уравнения где А, а — вещественные числа и 0 < а < 1. В методике, предложенной В.Ш. Вурдом и В.А. Каракулиным, предполагается, что существует лишь одна убывающая составляющая, т.е. функция e(t) —>• 0 при t +оо, играющая роль малого параметра е в методе Штокало. Дальнейшие исследования в этой области показали, что для систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами такая ситуация, в общем-то не является типичной. Достаточно рассмотреть, например, систему где А0 — постоянная матрица размера т х т, элементами матрицы B{t) размера т х р являются тригонометрические многочлены, матрица R(t) размера т х т принадлежит классу Li[to, оо), а матрица V{t) размера р х т стремится к 0 при t —> +оо.

Еще один этап в развитии теории линейных систем с переменными коэффициентами связан с введением понятия дихотомии решений линейной системы. Исследованию дихотомии решений линейных систем посвящено множество работ. Достаточно подробный список литературы на русском языке по этой тематике можно найти, например, в книге [53]. Среди прочих работ в этой области, особый интерес для нас представляют исследования В.А. Коппеля (см. [15]). В частности, из них следует, что теорема Левинсона есть простое следствие того факта, что обыкновенная дихотомия решений линейной системы является грубой по отношению к возмущениям класса Li[t0,oo). Результаты, полученные Коппе-лем, позволили построить разностный аналог теоремы Левинсона [4], а также получить аналогичные утверждения для случая, когда динамические системы рассматриваются на произвольных замкнутых подмножествах множества R (см. [8]).

Исторически сложилось так, что разностным уравнениям уделялось значительно меньше внимания, нежели дифференциальным уравнениям. В последнее время в связи с появлением целого ряда задач, в которых дискретные системы оказываются более адекватными математическими моделями, ситуация стала меняться. Оказалось, что многие результаты, полученные для дифференциальных уравнений могут быть с небольшими изменениями перенесены и на разностный случай. Но даже тогда, когда это действительно было возможно, разностные уравнения во многих аспектах все равно оказывались более сложным объектом для изучения. Асимптотические приемы исследования применительно к разностным уравнениями стали использоваться уже в конце XIX — начале XX века в работах А. Пуанкаре и О. Перрона. Затем довольно продолжительное время в этой области наблюдалось затишье, пока соответствующие задачи не привлекли внимания целого ряда ученых. Здесь следует отметить работы М.А. Евграфова [45], А.О. Гельфонда и И.М. Ку-бенской [39], Коффмана [13] и др. Попытки сформулировать разностный аналог теоремы dx

It

A0 + B{t)V{t) + R{t)^x,

Левинсона восходят к работам И.М. Рапопорта. Его идеи получили свое продолжение в работах П.И. Коваля (см., например, [48]). Справедливости ради заметим, что работы Рапопорта и Коваля долгое время оставались малоизвестными за пределами Советского Союза. Дальнейшее продвижение в этой области связано с результатами, полученными Коппелем для линейных дифференциальных уравнений. Первыми, кто заметил, что соответствующие рассуждения могут быть перенесены и на разностный случай, стали Бензаид и Латс [4]. Именно ими был сформулирован и доказан дискретный аналог теоремы Левинсона. Естественно, что для разностных уравнений возникает та же задача, что и для дифференциальных. С помощью каких преобразований и какие системы могут быть приведены к тому виду, который бы позволил воспользоваться дискретным вариантом теоремы Левинсона? Наиболее очевидное решение этой задачи состоит в том, чтобы попытаться распространить соответствующие результаты, полученные для дифференциальных уравнений, и на случай разностных. В этом направлении мы вновь отметим работу [4], где развивается соответствующий разностный аналог (^-преобразования, а также работу [20]. Среди разностных уравнений также можно выделить класс систем с колебательно убывающими коэффициентами. Как оказывается, для упрощения таких систем целесообразно использовать идеи метода усреднения.

Цель диссертационной работы

Эта диссертация посвящена развитию идей метода усреднения применительно к задаче построения асимптотики решений линейных систем дифференциальных и разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами.

Актуальность работы

Хорошо известно, что для произвольной линейной системы с переменными коэффициентами крайне редко удается отыскать ее решения в явном виде. По этой причине асимптотические методы интегрирования линейных систем представляют особенный интерес. Для того, чтобы получить довольно полную информацию о характере поведения решений системы при t —> +оо, нам достаточно определить главные члены асимптотического разложения решений, составляющих фундаментальную систему. Для многих практических задач получение подобной информации и составляет основную цель исследования. Естественно, что нельзя указать универсального метода, который решал бы такую задачу. Поэтому вполне очевидно то положение дел, при котором все многообразие линейных систем разбивается на классы, и для каждого из таких классов разрабатываются свои асимптотические приемы. Одним из таких классов является класс систем, имеющих //-диагональный вид, а соответствующий асимптотический прием интегрирования утверждается теоремой Левинсона. Во многих работах авторы выделяют классы систем, которые с помощью подходящих преобразований могут быть приведены к L-диагональной форме (Рапопорт, Перрон, Чезари, Харрис и Латс). Особенную трудность существующие методы приведения к L-диагональному виду приобретают в случае, когда исходная система содержит осциллирующие величины. В этом отношение оказывается целесообразным рассмотреть класс линейных систем с колебательно убывающими коэффициентами и разработать вариант метода усреднения в том его виде, в котором он использовался в работах И.З. Штокало, для упрощения подобных систем. Напомним, что И.З. Штокало занимался вопросом об устойчивости нулевого решения следующей линейной системы: где 0 < г <С 1, Ао — постоянная квадратная матрица порядка т, все собственные значения которой вещественны; Ai(t), (I = 1,.,к) — квадратные матрицы порядка т, принадлежащие классу Е; F(t,e) — матрица, элементами которой являются функции, почти периодичные по t равномерно относительно е G [0, его] и непрерывные по е в интервале [О, £о] равномерно относительно t G R.

В последнее время в связи с развитием вычислительной техники разностные уравнения приобрели особенную популярность. Несмотря на то, что разностный аналог теоремы Левинсона, в сущности, был получен уже Рапопортом [58], его результаты были неизвестны не только западным ученым, но и в советских научных кругах о них мало кто знал. И, как это нередко случается в математике, похожие результаты были заново получены (правда, с использованием уже других рассуждений) через три десятилетия в работе [4]. Эти результаты, в свою очередь, приобрели значительную известность в связи с возможностью получения асимптотических формул для решений довольно широкого класса линейных систем разностных уравнений. В этой связи распространение результатов, полученных для дифференциальных уравнений, на дискретный случай представляется автору этой диссертационной работы весьма своевременной задачей.

Первая глава носит вспомогательный характер. В разделе 1.1 излагается один из основных результатов в теории асимптотического интегрирования линейных дифференциальных уравнений — теорема Левинсона. Следующий раздел посвящен краткому знакомству с результатами, полученными Коппелем, которые впоследствии были использованы Бен-заидом и Латсом для построения разностного аналога теоремы Левинсона. В разделе 1.3 рассматриваются некоторые простейшие способы приведения линейных систем дифференциальных уравнений к L-диагональному виду. Наконец, последний раздел этой главы посвящен оценке члена о(1) в асимптотических формулах, которые получаются с помощью теоремы Левинсона. Соответствующие результаты используются для построения асимптотики фундаментальной матрицы системы где {Aj} — постоянные матрицы, Ak ф 0, 0 < «о < «1 < . < а-к < 1, > !■ Материал, который излагается в этом разделе, необходим для понимания формул, с которыми мы встретимся в третьей и четвертой главах.

Во второй главе разрабатывается, собственно, методика усреднения для упрощения систем с колебательно убывающими коэффициентами. В первом разделе этой главы коротко рассказывается о методе усреднения Крылова-Боголюбова, а также излагается метод Штокало исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. В разделе 2.2 формулируется и доказывается основной результат этой главы — теорема об усреднении линейных систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами, которые могут быть представлены в следующем виде:

Краткое содержание диссертации п г=1 l<ii<i2<n l<ii<.<ik<n

Здесь Ао, A^^i^t), R(t) — квадратные матрицы размера тхт, V\(t),vn(t) - скалярные функции, а также

1) Ао — постоянная матрица с вещественными собственными значениями;

2) vi(t) 0,V2(t) —>• 0,. .,vn(t) 0 при t -» оо;

3) eLi[t0,oo);

4) Произведение v^tyvi^t). Vik+1(t) 6 Li[t0,oo) для любого набора 1 < ц < i2 < ■ ■ ■< ife+i < Щ

5) Матрицы принадлежат классу Е;

6) Матрица R(t) 6 Zqfo, оо).

В разделе 2.3 обосновывается законность использования теоремы об усреднении в случае периодичности осциллирующей составляющей, т.е. в том случае, когда матрицы Aii.i,(t) являются периодическими с одним и тем же периодом Т > 0. В разделе 2.4 формулируются некоторые утверждения вспомогательного плана, которые оказываются полезными при практическом использовании методики усреднения.

Третья и четвертая главы целиком посвящены асимптотическому интегрированию конкретных систем с помощью метода, изложенного в главе 2. Примеры, которые рассматриваются в этих главах, имеют в основном физический смысл. В главе 3 изучаются несколько представителей так называемого класса адиабатических осцилляторов. Основная задача здесь состоит в том, чтобы показать, что схожие по виду уравнения («стремящиеся» при t Ч- +оо к гармоническому осциллятору) демонстрируют совершенно различное асимптотическое поведение решений при t —» -f-oo. В разделе 4.1 исследуется одномерное уравнение Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом при нулевой энергии. Эта задача исследовались в работе [46] в предположении, что осциллирующая составляющая потенциала, функция Р(х), является гладкой периодической функцией с нулевым средним значением. Метод исследования в [46] довольно сложен и основывается на представлении асимптотической формулы с помощью решений уравнения Хилла, содержащих большой параметр, и на дальнейшем исследовании зависимости этих решений от параметра. Используемый нами метод позволяет более просто построить асимптотику решений этого уравнения и нуждается в менее ограничительных предположениях относительно функции Р(х). В разделе 4.2 изучается система с двумя степенями свободы, представляющая собой систему двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью. Уже первое и второе приближения позволяют обнаружить довольно богатую асимптотическую картину поведения решений этой системы при t —» +оо.

В пятой главе предпринимается попытка построить разностный вариант методики усреднения. В первом разделе пятой главы приводится разностный аналог теоремы Левинсона, а во-втором - излагается соответствующий разностный вариант теоремы об усреднении. В разделе 5.3 эта методика демонстрируется на примере построения асимптотики решений одного разностного уравнения второго порядка с колебательно убывающими коэффициентами. Наконец, в разделе 5.4 изучаются два специальных уравнения из класса дискретных адиабатических осцилляторов. Для построения асимптотики решений одного из этих уравнений требуется знакомство с некоторой дополнительной информацией, которая приводится в Приложении А.

В Приложении А собраны основополагающие факты из теории временных шкал (time-scales), необходимые для формулировки варианта метода усреднения применительно к уравнениям, заданным на временных шкалах, близких по своему устройству при t —> +оо к «классическим» случаям Т = R (обыкновенные дифференциальные уравнения) и Т = Z (разностные уравнения).

Основные результаты, полученные в работе

1. Предложен общий вид усредняющего преобразования для упрощения систем с колебательно убывающими коэффициентами.

2. Продемонстрирована эффективность соответствующих преобразований на примере задачи асимптотического интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

3. Получены результаты об асимптотическом поведении решений некоторых уравнений из класса адиабатических осцилляторов. В частности, показано, что в пространстве параметров исходного уравнения на границе области устойчивости решений может возникать зона параметрического резонанса (неустойчивости решений).

4. Построена асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом специального вида при нулевой энергии.

5. Изучено асимптотическое поведение решений системы двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью при t —> +оо.

6. Результаты, полученные для дифференциальных уравнений, перенесены на разностный случай. Дискретный вариант методики усреднения проиллюстрирован на примере построения асимптотики решений некоторых разностных уравнений второго порядка.

Благодарности

Автор выражает огромную признательность своему первому научному руководителю, профессору Бурду Владимиру Шепселевичу, благодаря которому это исследование не только успешно продвигалось вперед, но и вообще оказалось возможным. С не меньшим удовольствием автор благодарит своего второго научного руководителя, доцента Глызина Сергея Дмитриевича, за полезное обсуждение полученных результатов, а также за помощь морального и материального плана, столь необходимую в любом виде деятельности. Разумеется, автор не может обойти вниманием людей, поддержка и понимание со стороны которых сыграли немаловажную роль в осуществлении подобного исследования, а именно, своих родителей, Нестерова Николая Константиновича и Нестерову Елену Павловну.

Заключение

В данной работе предложен общий вид усредняющего преобразования, с помощью которого удается упростить исходную систему линейных дифференциальных или разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами. Преобразованная система не содержит осциллирующих коэффициентов, и в этом смысле она проще для изучения.

Эффективность подобного рода упрощений продемонстрирована на примере задачи о построении асимптотики решений систем линейных дифференциальных и разностных уравнений при t -у +оо. С помощью описанной методики построена асимптотика решений некоторых дифференциальных уравнений, имеющих физический смысл. Для уравнений из класса адиабатических осцилляторов получено несколько интересных результатов. Заметим попутно, что, как это следует из примера, рассмотренного в §3.2, усредняющие замены оказываются полезными даже в тех случаях, когда теорема 2.2.1 не может быть применена. В задаче об одномерном уравнении Шредингера использование усредняющих замен позволяет более просто получить асимптотические результаты, чем это сделано, скажем, в работе [46]. А в задаче о связанных линейных осцилляторах усредняющие преобразования дают возможность обнаружить довольно богатую асимптотическую картину поведения решений при t -У +оо.

Для изучения разностных уравнений часто удается приспособить соответствующие результаты, полученные для дифференциальных уравнений. Методика усреднения в этом плане не является исключениям, и может быть перенесена на дискретный случай с небольшими изменениями. Правда, следует заметить, что процесс построения усредненной системы в случае с разностными уравнениями оказывается более трудоемким, нежели в случае с дифференциальными уравнениями. Тем не менее усредняющие замены все равно позволяют существенно упростить процесс построения асимптотики решений.

Разумеется, в этой работе мы рассмотрели лишь некоторые специальные примеры. В этой связи возникает задача о выделении как можно более широкого класса линейных систем с осциллирующими коэффициентами, которые с помощью подходящих замен могут быть представлены в виде системы с колебательно убывающими коэффициентами. Другая задача, которая также представляет значительный интерес, заключается в следующем: в какой степени идеи метода усреднения могут быть использованы для анализа нелинейных систем с исчезающей на бесконечности правой частью, например, для систем вида = Y1 Fili2(t,x)vh{t)vh(t) + . i=1 l<ii<i2<n £

1<11<.<гд.<п

Здесь v а вектор-функции Fv4'"tl\x) предполагаются достаточно гладкими. Скалярные функции Vi(t),. ,vn(t) стремятся к нулю при t +оо. Собственно, задача заключается в том, чтобы выяснить какую информацию мы можем получить об указанной выше системе, анализируя усредненную систему, и, соответственно, какие условия должны быть дополнительно наложены на функции vx(t),.,vn(t).

1. Abdullayev, A.S. Justification of asymptotic formulas for the fourth Painleve equation / A.S. Abdullayev // Studies in Applied Mathematics. 1997. - V. 99, №3. - P. 255 - 283.

2. Atkinson, F. V. The asymptotic solution of second-order differential equations / F.V. Atkinson // Ann. Mat. Рига Appl. 1954. - V. 37. - P. 347 - 378.

3. Aulbach, B. Linear dynamic processes with inhomogeneous time scale / B. Aulbach, S. Hilger //In Nonlinear Dynamics and Quantum Dynamical Systems (Gaussig, 1990). -1990. V. 59 of Math. Res. Akademie Verlag. Berlin. - P. 9 - 20.

4. Benzaid, Z. Asymptotic representation of solutions of perturbed systems of linear difference equations / Z. Benzaid, D.A. Lutz // Studies in Appl. Math. 1987. - V. 77. - P. 195 -221.

5. Behncke, H. Asymptotic Integration of Linear Differential Equations / H. Behncke,

6. C. Remling // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1997. - V. 210, №2. -P. 585 - 597.

7. Bodine, S. A dynamical systems result on asymptotic integration of linear differential systems / S. Bodine // Journal of Differential Equations. 2003. - V. 187, №1. - P. 1 - 22.

8. Bodine, S. Asymptotic solutions and error estimates for linear systems of difference and differential equations / S. Bodine, D.A. Lutz // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2004. - V. 290. - P. 343 - 362.

9. Bohner, M. Asymptotic behavior of dynamic equations on time scales / M. Bohner,

10. D.A. Lutz // Journal of Difference Equations and Applications. 2001. - V. 7, №1. -P. 21 - 50.

11. Bohner, M. Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications / M. Bohner, A. Peterson. Birkhauser, Boston, 2003.

12. Bourd, A. V. Asymptotic Behavior of Solutions of Some Linear Difference Equations with Oscillatory Decreasing Coefficients / A.V. Bourd // Journal of Difference Equations and Applications. 2003. - V. 9, №2. - P. 211 - 225.

13. Gassell, J.S. The asymptotic integration of some oscillatory differential equations / J.S. Cassell // Quart. J. Math. Oxford. Ser. 2. 1982. - V. 33. - P. 281 - 296.

14. Gezari, L. Un novo criterio di stabilita per le soluzioni delle equazioni differenziali lineari / L. Cezari // Annali Scuola Norm. Sup. Pisa. 1940. - V. 9. - P. 163 - 186.

15. Coffman, C.V. Asymptotic behavior of solutions of ordinary difference equations / C.V. Coffman // Trans. Amer. Math. Soc. 1964. - V. 110. - P. 22 - 51.

16. Coppel, W.A. Stability and asymptotic behavior of differential equations / W.A. Coppel. -D.C. Heath, Boston, 1965.

17. Coppel, W.A. Dichotomies in Stability Theory / W.A. Coppel. Springer-Verlag, New York, 1978.

18. Devinatz, A. The asymptotic nature of the solutions of certain linear systems of differential equations / A. Devinatz // Pacific Journal of Mathematics. 1965. - V. 15, №1. - P. 75 -83

19. Devinatz, A. The deficiency index of a certain class of ordinary self-adjoint differential operators / A. Devinatz // Adv. Math. 1972. - V. 8. - P. 434 - 473.

20. Devinatz, A. The deficiency index problem for ordinary self-adjoint differential operators / A. Devinatz // Bull. Amer. Math. Soc. 1973. - V. 79. - P. 1109 - 1127.

21. Eastham, M.S.P. The asymptotic solution of linear differential systems / M.S.P. Eastham. -London Math. Soc. Monographs, Clarendon Press, 1989.

22. Elaydi, S. Asymptotics for Linear Difference Equations I: Basic Theory / S. Elaydi // J. Differ. Eq. Appl. 1999. - V. 5, №6. - P. 563 - 589.

23. Harris, W.A. Jr. On the asymptotic integration of linear differential systems / W.A. Harris Jr., D.A. Lutz // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1974. - V. 48, т. - P. 1 - 16.

24. Harris, W.A.Jr. Asymptotic Integration of Adiabatic Oscillators / W.A. Harris Jr., D.A. Lutz // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1975. - V. 51, №1. -P. 76 - 93.

25. Harris, W.A. Jr. A Unified Theory of Asymptotic Integration / W.A. Harris Jr., D.A. Lutz // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1977. - V. 57, №3. - P. 571 - 586.

26. Hartman, P. Asymptotic integration of linear differential equations / P. Hartman, A. Wint-ner 11 Amer. J. Math. 1955. - V. 77. - P. 45 - 86, 932.

27. Hilger, S. Analysis on measure chains a unified approach to continuous and discrete calculus / S. Hilger // Results Math. - 1990. - V. 18. - P. 18 - 56.

28. Levinson, N. The asymptotic nature of the solutions of linear systems of differential equations / N. Levinson // Duke Math. J. 1948. - V. 15. - P. Ill - 126.

29. Perron, 0. Uber lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhangige Variable reell ist / 0. Perron // Journal reine und ungewandte Math. 1913. - B. 142. - P. 254 - 270; B. 143. - P. 29 - 50.

30. Samoilenko, A. Krylov-Bogolyubov averaging of asymptotically autonomous differential equations / A. Samoilenko, M. Pinto, S. Trofimchuk // Proc. Amer. Math. Soc. 2005. -V. 133, №1. - P. 145 - 154.

31. Van der Pol, B. On the stability of solutions of Mathieu's equation / B. Van der Pol, M.J.O. Strutt 11 Philosophical Magazine. 1928. - V. 5. - P. 18 - 38.

32. Wintner, A. The adiabatic linear oscillator / A. Wintner // Amer. J. Math. 1946. -V. 68. - P. 385 - 397.

33. Wintner, A. Asymptotic integration of the adiabatic oscillator / A. Wintner // Amer. J. Math. 1946. - V. 69. - P. 251 - 272.

34. Беллман, P. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Белл-ман. М.: ИЛ, 1954. - 216 с.

35. Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1969. - 367 с.

36. Бирюк, Г. И. К вопросу о существовании почти периодических решений нелинейных систем с малым параметром в случае вырождения / Г.И. Бирюк // Докл. АН СССР. -1954. Т. 97, т. - С. 577 - 579.

37. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1974. - 504 с.

38. Бурд, В.Ш. Асимптотическое интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами / В.Ш. Бурд, В.А. Караку-лин // Матем. заметки. 1998. - Т. 64, №5. - С. 658 - 666.

39. Базов, В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Вазов. М.: Мир, 1968. - 464 с.

40. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. 5-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ,2004. 560 с.

41. Гелъфонд, А.О. О теореме Перрона в теории разностных уравнений / А.О. Гельфонд, И.М. Кубенская // Известия АН СССР, серия математическая. 1953. - Т. 17. - С. 83 -86.

42. Гелъфонд, А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1959. - 400 с.

43. Громак, В.И. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве / В.И. Громак, Н.А. Лукашевич. Минск: Изд. Университетское, 1990. - 154 с.

44. Грэхем, Р. Конкретная математика. Основание информатики / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. М.: Мир, 1998. - 703 с.

45. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970. - 536 с.

46. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. -М.: Наука, 1967. 472 с.

47. Евграфов, М.А. Об асимптотическом поведении решений разностных уравнений / М.А. Евграфов // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 121, №1. - С. 26 - 29.

48. Итс, А.Р. Асимптотическое поведение решений радиального уравнения Шредингера с осциллирующим потенциалом при нулевой энергии / А.Р. Итс // Проблемы математической физики; Изд-во Ленинградского университета. 1979. - №9. - С. 30 -41.

49. KaujfiHKO, С.А. Устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами: Учебное пособие / С.А. Кащенко; Яросл. гос. ун-т. Ярославль: ЯрГУ,2005. 212 с.

50. Коваль, П.И. Об асимптотическом поведении решений линейных разностных и дифференциальных уравнений / П.И. Коваль // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 114, №5. -С. 949- 953.

51. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Код-дингтон, Н. Левинсон. М.: ИЛ, 1958. - 475 с.