автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Применение метода изображающих векторов к задачам оптимального управления линейными системами

Г 1 О УМ

- 8 МАЙ; 1995

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БУРЫКИНА Наталья Васильевна

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИЗОБРАЖАЮЩИХ ВЕКТОРОВ К ЗАДАЧАМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ

05.13.01 Управление в технических системах

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

> Работа выполнена на кафедре высшей математики Красноярского ордена Трудового -Красного Знамени института цветных металлов.

Научный руководитель:

кандидат технических наук, профессор ОСШОВ В.к'.

Официальные оппоненты:

доктор фиэ-ыат наук, профессор ПАРАЕВ Ю.И.

кандидат технических наук, доцент БОДОВОЦЭДЮ В.А.

Ведущее предприятие: Красноярский технический университет

Защита диссертации состоится • • .... г.

в .. /^77 часов на заседании I дкссе ртеця онн о го Совет» , Д 063.80.03 Томского технического университета по адресу: г.Тоиск-4,' 'пр.Ленина, 30.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского политехнического университета С 634004, г.Томск-4г уд.Белинского, 54 ).

Автореферат разослан .. .

Ученый секретарь специализированного Совета доцент, кандидат технических наук УУЧ/.аС^ / И.Л.ЧУДИНОВ

ил.»

-з-

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Развитие управляемых систем, вызванное запросами практики, и,'прежде всего, потребностями современной техники, определило круг задач, которые составили предает математической теории управляемых процессов. Существенное место в этой теории занимают проблемы оптимального управления (ОУ) линейными нестационарными системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями с интегральным критерием качества.

Несштря на го, что теории оптимального.управления линейными системами посвещено большое число работ отечественных и зарубежных авторов и именно здесь были яолучены наиболее полные и окончательные результаты, в ввду возникающих сложностей при численной реализации задачи и тяготения "проклятия размерности", вопрос о создании конструктивных приближенно-аналитических метопов для решения этой задачи остается актуальным и сегодня.

К числу таких 'приближенно-аналитических операторных методов относится и предлагаемый в данной работе' подход, позволяющий как доводить аналитические исследования для широкого круга задач,так 1 создавать весы/л эффективные численные процедуры для их решения.

Целью работы является аналитическое и практическое примене-ше указанного подхода для решения задач оптимального управления □шейными системами, с критерием качества типа норш.

, Основными задача).:;! решаемыми в настоящей работе являются: приближенное решение задачи оптимального управления линейной даамической системы с сосредоточенными параметрами с критерием ачества в ввде норм пространств при различных ;

создание алгоритмов синтеза оптимального управления для ре-ения этих задач и программная реализация алгоритма в случае р - 2\

построение и анализ областей достижимости линейных систем с граничениями на управление тша нормы. Нахождение уравнения границ бластей достижимости. Решение задачи предельного быстродействия;

распространение разработанного подхода на системы с распреде-эаными параметрами, решение задачи оптимизации тешературного реала в коночном стержне;

использование созданных методов, алгоритмов и программ для негодования конкретных технических систем.

Методы исследования. Предлагаемый в работе подход базируется I методе изображающих векторов (ШЗ) предложением В.М.'Осиповым. >и решении поставленных задач применяется математический аппарат

функцианального анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений и теории оптимального управления. А так же L - проблема моментов Крейна, сформулированная для конечномерных векторных пространств.

^агчная новизна.

1. Предложен подход, базирующийся на МИВ и позволяющий сводить задачи оптимального управления к h - проблеме моментов в конечномерном векторном пространстве. г . , _

2. В случае метрик пространств L , L, и . путем применения МИВ и решения соответствующей L - проблемы моментов, решение задачи оптимального управления получено в приближенно-аналитической форме.

3. Построены уравнения границ областей достижимости линейных систем для различных ограничений на управляющие воздействия.

4. Получено приближенное решение задачи оптимального быстродействия, причем в случае квадратичных ограничений решена задача синтеза,

5. Предложен способ получения алгебраической модели системы описываемой уравнениями в частных производных. Найдены матричные аналоги основных операторов.

6. Показаны возможности.применения данного подхода к решению задач оптимального управления системами с распределенными параметрами.

Практическая ценность и реализация результатов работы.

Разработанные в диссертации методы и алгоритмы могут быть применены при решении задач оптимального управления и автоматического регулирования в реальных технических системах. Ряд задач могут быть решены с помощью уже# созданных программ и алгоритмов, их круг можно расширить, создавая программное обеспечение на базе описанных в работе алгоритмов и процедур.

Рассмотренные в диссертации методы анализа и синтеза сложных нестационарных линейных систем были использованы при выполнении хоздоговорных тем для создания системы диагностики и управления процессами плавки оловянных концентратов в рудно-терш-ческой печи.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались: на XII Всесоюзной школе "Понтрялшские чтения" (Кемерово, 1990); на ЛУ Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Ульяновск, I9S0); на краевой

конференции "Молодежь и научно-технический прогресс" (Красноярск, 1990); на Всесоюзной научно-технической конференции "Распределенные микропроцессорное управляющие системы и локальнее вычислительное сети" (Томск, 1991); на У1 Международной школе "Понт-рягинские чтения" (Воронеж, 1993); на научнмх семинарах Киевского института моделирования в энергетике АН УССР, Томского политехнического института, Красноярского института цветнмх металлов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных "работ, перечень которых приведен в конце реферата.

Материала диссертации бчли излохенч так же в отчете по гос-5юджетной КИР (М Гос. регистрации 04?ОООЫЧ1)

Структура и объем работу. Диссертация состоит из введения, ^етмрех глав, основн^-х результатов работа, списка литература, трилокений и документов о внедрении. Работа изложена на 122 странах, библиография включает 105 наименований.

СОДЕШАНИЕ РАБОТ!

Во введении дан кроткий обзор результатов, полученных в тео-ии оптимального управления, проведен некоторой сравнительна нализ существующих приближенно« методов. Приведено обоснование ациональности предлагаемого автором диссертации подхода для рвения рассматриваем^« задач, описаны цель и структура работн.

.В перврй главе рассматривается применение МИВ и Ь - прабла-ч моментов, которая формулируется в конечномерном пространства эоСражающих векторов, к задачам оптимального управления линей-ми нестационарными системами, описываемыми обмкковекн^ми диффе-шциальнмми уравнениями

Ы) = ШЫ> - ьмиш (1)

но)-о *т-х*

X е £" И^Е*-

осматривается

Задача I. Найти управление переводящее систему

( ) из начала координат в точку X за конечное время Т , пчеы так, чтоб«, достигал минимума функционал, играющий в 1Ь нopмv для /¿/¿^

т * ч

р*[ШЫ = ( / I Ис^Ы^иь)

) о

ггиа

где ^ й ' - заданное число.

Применяя к системе ( 1 ) метод изображающих векторов, приходим к соответствующей ей системе линейных алгебраических уравнений

ей <г>

где С, = (1ТЗА1е}-Е)'1ТЭе>191)гК - с _ - тая строка

матрицы С*{СЧ] ¿«^г_

} = о, у™-*)

И * Си4р,...,и.1т.,г ... , Нгс> и^.,] и-к; «■ I £ г ,

- значение выбранного усеченного оргоноршрованного базиса в момент времени / .

3, В - известные матрицы интегрирования и умножения на независимую переменную.

Тогда норме ^ С11ц>] соответствует эквивалентная йй

нор» Р «Сй1 = /1/2/¿лу/^ Теперь ш можем переформулировать задачу I следущим образом. -о

Задача 2. Найти вектор управления , удовлетворяющий састеме ( ) причем так, чтобы

• /1 Пи^П^пй

Сформулированная таккм образом задача 2 и представляет собой // - проблему моментов в конечномерной векторной прострак-

- ч -

стве.и здесь имеет место аналог теоремы, доказанной в функциональных пространствах для задачи I Н.П.Красовскш.'

Теорема I. Задача 2 имеет- решение тогда я только тогда, когда для минимального вектора t такого, что

= П - тхл.р1±и £ ] (6 )

2 к хТ - *

выполняется условна у ГС -^ ' > О . Причем

I*)

Согласно этой теореме решение задачи 2 (и, следовательно, приблиненное решение Задачи I) осуществляется в 2 этапа.

I этап. Ищем числа , удовлетворяющие условию ( 3 ), т.е. доставляющие минимум норме .

1

Р" = гтип Р[ 2 ¿¿£¿3 , при 2 ¿¿¡к"'* (?}

) I ) <■*< ¿ч

_ " » —

И тогда £•>• ¿Е ¿1 C¿

II этап. Если О , то находим и - , удовлетворяю-

щее условию ( ^ ).

(с° й °) - и) , пр:1 уО "ей Ш

Приводится аналитическое решение задачи 2 для трех наиболее интересных с практической точки зрения случаев: минимизации энергии (р =2), импульса » I) и силч ) управляю-

щего воздействия. И далее, все изложенное обобщается в_внде

Теорему 2. Пусть последовательность векторов принадлежит пространству с нормой Р С С 7

^ П/ . Л*

рГС] - /2Д/ . Тогда, для того, чтобм в сопряженном

пространстве *¡сР = >1) существовал вектор ^

такой, что норма его не превосходит положительного числа

и такой, что он решает проблему моментов

"Vi

V

необходимо и достаточно, чтобы для конечных наборов чисел 2t>,, выполнялось неравенство

Такой подход может быть применен при совместном использовании ШВ и L - проблемы моментов и в случае смешанного критерия качества ' .

УШ), хм ~([i/m>i/p+ и xaaidilt

пи а но I

о

Так формулируются, например, задачи об успокоении электромеханических систем, в которых нежелательными являются не только большие энергетические затраты в цепях управления, но и большие энергетические затраты в силовмх цепях.

После применения процедур ШВ и некоторых преобразований критерий качества в терминах ИВ имеет вид

ЭЫЗ'Ий11г->Ми1/г=(Ри,й) для /> = 2 (и)

11ÜT3 « % I Г/*"г/* / =I 1*2)

УСй,1_ * тя* If'Ur^l р«-® (/3)

Здесь Ur - точечный изобрааашций вектор функции li/i) и задачи ( 2 .) - (// ), (2 ) - (), (г ) - ( УЗ ) снова представляют собой L - проблемы моментов в прострвнстве ИВ с со-ответсвушцей нормой, решение которых в работе представлено в аналитической форыэ. А в случае метрики даже в форме обратной связи

(V Щ

й°=Сг/ССт)'У

Во второй главе решается задача оптимального быстродействия, т.е. нахождения такого управления ШЬ) ,при котором объект из начального фазового состояния Х<01 » перейдет, в другое фиксированное состояние Т1 ' X, за минимальное время Т , то есть критерий оптимальности имеет вид

7 = ¡ей 0$)

о

при следующих ограничениях на управляющие функции Т

о г

^и^ЬШ Х'Гг О*)

о

тал1илНг>1*4 Ш)

Задача определения оптимального по быстродействию управления тесно связана с задачей построения областей достижимости.

В данной главе получен« уравнения границ рбластей6достижимости системч (I) при ограничениях ( Н> ), ( // ) и ( Ч ) соответственно: , л I г

di.cc <'»

I»' .4

1 , 14-1 «I

2. ъ = 2. I 2 сС;, Хс I ■ (2 0)

¿ч »'•' '

1 л* = I Д Ь I и<)

1'4 ) <

и доказана следующая теорема

Теорема 3. Граница области достижимости системч с двумя управлениями

и и^^)

№) * АН)Ы) + МШ) (¿1)

иш - Си,Н),илН)1 д [ии 7

есть огибающая семейства вллипсов, являющихся границей

системы , г^п ,

Ы) 1 АН) Ы) + 1н> - (** >

скользящей по границе дО,!Т) области достижимости системы^)

Ш + и) - [

(г*)

Если же в системе (¿2) г >2 , то можно всегда разделить ее

надав: Хм * Ам ш + Ш)ик)

и

Ы) им 1

1

и'Л) - Си,Ш, иг-,и>] и,М- скалярная функция.

В третьей гдав^ на основании разложения

и(Л,1) ' 2 и.-х ¡¿¿¡Л) И)К1Г) (¿Ь)

где

а1* "11 Т) Ш*, *>кю </яс/г ць)

- орт©нормированный базис пространств

Я '/лг : о о с- г «г/7

вводится представление функции двух переменных через блочный изображающий вектор

и ~ I и се} ■■■ г ивш-4 , ... / ^ч,,./ о 1 • - ■

I * /2

Из изоморфизма пространств Lр/О.о и ь следует, что всякому линейному оператору Л из / ? соответствует матрица А

из I* м ■ ' л -

Т.е. ЛЩа., С) А U

. В данной главе получено матричное представление операторов умножения на независимую переменную и операторов интегрирования (как по х , так и по V ).

Приведено решение уравнения гиперболического типа

где/Уяг i)^ р'/л, $/",£) • - аналитические ^уннщш с начальными условиями

а (я, о) -Ut/я.,0) ~ у/я)

и однородными граничнтш условиями

и tc>,il - Uli, l) * о

которое МИВ сводится к систем© М- лянайкмх алгебраических уравнений с т. неизвестными, /п. - размерность усеченного изображающего вектора LL .

В качестве примера применения указанного подхода к задачам оптимального управления системами с распраделеинмзгя параметрами рассматривается следующая задача

Пусть дано уравнение теплопроводности

g€ + Оцег*^ (2t)

с условиями

Yfe, Ж} ~ у ix) Vvtt.o) ЭгГ/^О

. dz, *

(2 D

Задача (Н ) - (I £) возникает при изучении распределения температура в тонком конечном стержне с теплоизолированными концами , когда состояние объекта описывается функцией ¡//¿^■х] распределения температуры до длине стержня и во времени, а выделение тепла характеризуется плотностью тепловых источников я/.

Функция (¿¡¿,-Х) играет роль управления. В качестве множестве допустимых управлений можно взять совокупность кусочно-непрет рнвных функций удовлетворяющих неравенству

Г I

/ / и. *)<1Ь л*. * У (¿9}

0 0

Задача оптимизации состоит в отыскании допустимого управления минимизирующего функционал

Ури'З 3 ¡(УП]Х) - ХГ0(Х)} 1с1х (М)

о

где 1Л1%) - заданная функция, которая в терминах ИВ имеет следующий вид:

г

Л 2 ;

^жо к* о '

т-4

или

где

2 (Ъ - 1О1-*

I 'О

2. 4цЛ Ц.;* —» пи п.

¿'О * '

(Ы) (32I

аи

2 -- I * п}°

и минимум квадратичной формы достигается на управлении

1- ¿г I ■

I

¡.К *О

если

Сс/н

если

сЬ I .

У

М

У

-/з-

. Аналогичный подход возможен и для уравнений в частных про- ' изводных более сложного вида и с иными критериями качества. Пре-имущестга данного метода заключаются в том, что он сводит дифференциальные уравнения в частных производных к линейным алгебраическим системам уравнений и задача оптимального управления с интегральным критерием качества сводится в общем случае к задаче математического программирования. •

В четверкой главе рассматриваются вопросы сходимости, метода и некоторые вычислительные аспекты применения его к задачам оптимального управления, в частности при возникающей некорректности в пространствах ' и /, .А также показаны возможности применения разработанного подхода в задачах оптимизации процессов колебаний механических систем и процессов плавки оловянных концентратов в электропечи.

Приложения содержат алгоритмы и программы решения рассматриваемых'задач, расчеты конкретных примеров, акты о внедрении работы.

ОСНОВНОЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОШ

1. 11а базе метода изображающих векторов удается путем замены дифференциальных уравнений эквивалентной ей системой алгебраических уравнений и соответствующих функциональных ограничений их алгебраическим аналогам преобразовать ряд задач оптимального управления к задачам конечномерной 1* - проблемы моментов.

2. Указанный подход дает возможность весьма эффективно применять для решения задач оптимального управления линейными сис- • темами с ограничениями типа нормы - проблему момментов, причем в конечномерных векторных пространствах, где решение проблема может быть получено аналитически и более просто нежели в функциональных пространствах.

3. Составлен эффек'Гивный алгоритм и представлена программа решения задач минимизации энергии, импульса и силы управляющего воздействия в системах, описываемых линейными нестационарными дифференциалнши уравнениями.

4. Дашшй подход может быть использован и при решении задач быстродействия и построения областей достижимости для линейных систем. При этом задача так же принимает алгебраический характер.

Показано, что область достижимости линейной системы в ме'Н ршсе Л есть эллипсоид пли огибающая сомейство эллипсоидов, б метриках ¿, а ока представляет собой гиперкуб соот-

ветствующей размерности. Получены уравнения границ областей достижимости для в тих трех случаев.

5. Приведено решение задачи быстродействия, причем в случае ограничения на анергию управляющего воздействия решение получено в форме обратвй связи. Представлен алгоритм решения задачи синтеза. (.

6. Предлагаемый подход может быть полезен и при решении задач оптимального управления распределенными системами. Здесь при представлении функций двух.и более переменных вводится понятие блочного изображающего вектора или изображающего тензора, и матричные аналоги операторов умножения на независимые переменные и операторов интегрирования Вольтерра есть прямая сумма соответствующих матриц синтезированных дая сосредоточенных систем.

При помощи указанных конструкций уравнения в частных производных так же сводятся к системам линейных алгебраических уравнений. •

7. Показано на примере решения задач оптимального распределения температуры в конечном стержне, что решение получается

в аналитической форме. В более сложных случаях задача оптимального управления может быть указанным методом сведена к задаче выпуклого программирования. '

8. Разработанные методы решения различных задач оптимального управления могут иметь широкий круг применения. Возможности предлагаемого подхода демонстрируются в применении к оптимальным процессам колебаний механических систем и при создавших системы диагносАжи и оптимизации процессов плавки оловянных концентратов в рудно-термлческой печи. '

-IS

. 0CHCBHS2 РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЗ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бурыкина Н.В., Осипов В.М.- Новый подход к задаче'оптимального управления линейными системами.-Красноярск , 1988,- Ю с. рукопись представлена Красноярским институтом'цветных металлов. Деп. в ВИНИТИ 2 6 января 1988, № ' .

2. Бурукина Н.В.- К вопросу оптимального управления линейными системами. -Красноярск., 1990,- 8 с. ^копись представлена Красноярским ин-том цветных металлов. Деп. в ВИНИТИ .25 мая 1990, $2918-90.

3. Бурыкина Н.В.4 Один метод оптимизации линейных систем с критерием качества типа нормц//В кн.: Понтрягинскио чтения. Оптимальное управление. Материал" III Всесоюзной школц,-Кемерово, 1990,- с.Ц7.

4. Бурикина Н.В., Поповский С.В.-^ Оптимальное управление линейными системами с квадратична критерием качества ¿/В кн.: Материал" краевой конференции ".Молодежь и научно-технический прогресс". -Красноярск , 1990.- с. 108.

5. Бурыкина Н.В.- Об области достижимости для линейных систем^В кн.: Труд« Кемеровского ун-Та, 1990. ~с 1t-80.

6. Бурыкина Н.В.- Векторн"в преобразования в гильбертовом прост-ранствв//В кн.: Материалу ХУ1 Всесоюзной школ»» по теории операторов в функциональных пространствах.-Никений-Новгород, 1991,- с.

7. Бурыкина Н.В., Осипов В.М.- Приближенное решение задачи оптимального управления линейными системами/^В кн.: Сборник трудов Красноярского института-цветных металлов, 1990.- с.

8. Бурикина Н.В.- 0 векторно-матричн^х конечномерна моделя* систем автоматического регулирования//В ich.: Распределение микропроцессорное управляющие систем" и локальнуэ вычислительные сети. Тезиса докладов Всесоюзной и.-т. конференции,-Томск, 1991,- с. 49.

8as.^,sajiüu