автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение математических методов при исследовании системы международных отношений с использованием функциональных пространств

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ км. М.В. КЕЛДЫША

1'ГЗ и.

на правах рукописи

- 3 «ЮЛ

МИХЕЕВ Игорь Михайлович

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМЫ МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

специальность: 05.13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997 г.

Работа выполнена в Дипломатической академии МИД России

Официальные оппоненты:

доктор фнзнко-математнческнх наук, профессор С. М. Гусейн-Задс доктор физико-математических наук Г. Г. Малипецкий доктор технических наук, профессор А. И. Орлов Ведущая организация:

Вычислительный Центр Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится_1997 г. на заседании диссертационного совета Д 002.40.03 в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: Москва, Миусская площадь, д. 4. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан__1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

М. П. Галанин

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

Математизация современной науки является закономерным и естественным процессом. Если дифференциация научного знания приводит к появленшо новых ветвей науки, то интеграционные процессы в познании мира приводят к своеобразной диффузии научных идей из одной области в другую. В XVIII веке Иммануил Кант не только провозглашает лозунг "всякая наука постольку наука, поскольку она математика", но и кладет идеи аксиоматического построения геометрии Евклида в свою концепцию априоризма.' В то время как в естествознании математика быстро и прочно заняла ведущие позиции, в области социальных наук ее успехи оказались скромнее. Применение математических методов оказалось оправданным там, где понятия носят стабильный характер и становится содержательной задача установления связи между этими понятиями, а не бесконечного переопределения самих понятий. Признавая детерминизм в социальной сфере, тем самым следует признать и наличие научной основы в теории международных отношений. Поэтому система международных отношений , сколь бы не сложна и слабо формализуема она не была, может и должна быть предметом применения математических методов. В научных методах исследования международных отношений крайне заинтересованы политики, практические работники внешнеполитических ведомств, ученые-международники, социологи, психологи, географы, военные и др. Эмпиризм в международных исследованиях, т.е. течение, связанное с исследованиями статистической информации в международных отношениях, привнес в теорию много разных и разнородных методов и алгоритмов. Возникла необходимость систематизации и единого подхода к статистическим данным. Международная информация как особый вид информации нуждалась в специализированных методах обработки. В условиях динамического разви-

' си. H.A. Киселева , Математика и действительность, М..МГУ, 1967, стр.107

тля событий в стране крайним анахронизмом оказался действующий с момента окончания второй мировой войны режим секретности. Еще в 1989 г. начались подготовительные работы по созданию нового более совершенного информационного режима. Первый исследовательский этап работы охватывал период с 1988 по 1990 г. и включал в себя разработку проекта закона о государственной тайне и о защите секретной информации, а также поиск концепции предотвращения ущерба от некорректного классифицирования информации. На Министерство иностранных дел были возложены задачи поиска правовых и процедурных норм классифицирования внешнеполитической информации. В комплексе возникших проблем ведущее место заняла проблема построения математического аппарата оценки воздействия классифицирования информации на безопасность страны. Таким образом, проблема корректного описания и прогнозирования информационных потоков в системе МИД оказалась в ряду стратегических, особо важных доя государства.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ Диссертация посвящена разработке новых количественных методов обработки массивов внешнеполитической информации и построению математических моделей применительно к предметной области - системе международных отношений. В качестве целей работы рассматривались разработка математического аппарата для автоматизированной системы классифицирования внешнеполитической информации и построение новых математических моделей на единой методологической основе. При этом ставились следующие основные задачи:

1. Проведение анализа истории развития и современного состояния количественных методов в области международных отношений.

2. Введение функционала качества управления в системе международных отношений.

3. Исследование обоснованности применения методов функционального анализа в системе международных отношений.

4. Разработка конкретных методов подготовки принятия решения о классифицировании внешнеполитической информации.

5. Исследование системы компонент могущества государства и их спектральную характеристику для решения задач математического обеспечения классифицирования внешнеполитической информации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В диссертации предложен принципиально новый пространственно-функциональный подход к исследованиям по теории международных отношений. Построена математическая модель могущества государства на базе введеной структуры единичных показателей и, как следствие, математическая модель оценки ущерба от неправильного классифицирования информации. Исследована структура спектра информационного потока внешнеполитической информации как в случае гармонических, так и в случае негармонических колебаний. Принципиальным результатом диссертации является создание нового мегода исследования - дискретизации метрических задач в возникающих функциональных пространствах. Существо проблемы заключается в том, что строгое теоретическое обоснование поведения функционалов качества управления равно как и самих функций-сигналов основано на теории бесконечномерных пространств. До настоящей работы не было известно дискретной аироксимации бесконечномерных (и даже континуальных) абстракций банаховых пространств. Между тем, реальные процессы идут в реальном времени и нуждаются в дискретных моделях. Ситуация далеко не проста и сродни корректности апроксимации функции ее линейной частью ряда Маклорена - хорошо известно, что такая апроксимация далеко не всегда обоснована. Приведенные в диссертации конструкции сведения континуальных задач к дискретным и конечным тригонометриче-

схим суммам позволяют говорить о создании качественно нового метода исследования аналогично известному методу тригонометрических сумм И.М. Виноградова в теории чисел. Существенно то, что функциональные задачи на континуальных (по мощности) пространствах переформулируются в терминах конечных комбинаторных конструкций, следовательно, решаются на компьютере.

Основные результаты исследования могут быть сформулированы в следующем виде:

1. Разработан математический аппарат классифицирования внешнеполитической информации на базе применяемой в МИД системы внешнеполитических индикаторов. Данные результаты, изданные в виде ведомственных методик, были выполнены по заказу МИД СССР и нашли применение в практике работы Министерства иностранных дел.

2. Поставлены и решены задачи согласования метрик в исследованиях по теории международных отношений, использующих количественные методы оценки меры близости между политическими объектами. Результаты получены в терминах свойств спектральных функций объектов.

3. Решены задачи построения наиболее широких классов объектов, для которых соответствующие им функции на множестве политических индикаторов обладают известными свойствами квазианалитичности, т.е. наличия определенных свойств на всем пространстве индикаторов как только эти свойства проявляются на некотором (локальном) подмножестве индикаторов. Такими свойствами могут быть свойство обращения в нуль, свойство иметь определенную метрическую гладкость в виде принадлежности классу Lip а, ае(0,1] и т.д. В частности, два политических объекта, имеющие спектральные функции с определенной, исследуемой в работе степенью лакунарности, не могут быть различными, если только они совпадают на некотором множестве индикаторов положи-

тельной плотности. В качестве меры плотности может быть выбрана его мера Лебега. Известные результаты американских математиков Н. Винера и А. Зигмунда ограничиваются либо достаточно регулярными множествами (у Н. Винера это отрезки вещественной прямой), либо строгой (по Адамару) лакунарностью (А. Зигмунд). Результаты автора в этом направлении , в частности, накрывают в определенном смысле оба эти результата, по праву относящиеся к классическим.

4. Введен новый класс лакунарных последовательностей, не содержащих так называемых возвратных отрезков, что позволило в терминах свойств этого класса как дополнить классические результаты идущие от Ван-дер-Вардена о свойствах множеств, не содержащих арифметических прогрессий, так и решить ряд проблем о плотностях множества индексов Бр- систем.

5. В диссертации предложен метод исследования лакунарных систем с использованием аппарата идемпотентных тригонометрических полиномов и полиномов по системе Уолша, что позволило свести задачи исследования таких систем к свойствам тригонометрических сумм (сумм Уолша).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ

В работе разработана математическая теория классифицирования внешнеполитической информации, что позволяет говорить о решении научной проблемы, имеющей важное народнохозяйственное значение. Начало создания такой теории послужила работа автора в составе межведомственной рабочей группы по разработке правительственной программы по созданию нового информационного режима. В Министерстве иностранных дел до появления работы автора (совместно с И.Д. Фирсовой) "Методика индивидуальной оценки классифицирования внешнеполитической информации" не существовало количественной

процедуры, позволяющей автоматизировать процедуру установления режимности внешнеполитических документов МИД, в том числе архивных. Создание ряда моделей по структуризации потоков внешнеполитической информации в системе международных отношений потребовало в силу принципа системности как согласования результатов с существующими представлениями о внешнеполитической деятельности, так и решения ряда проблем из метрической теории функций. На этом пути автором решены проблемы, поставленные более 30 лет назад известными американскими и французскими исследователями (У.Рудин, Ж.-П. Кахан, А. Бонами и др.), подходы к которым не были известны. Тем самым, результаты автора в этом направлении могут быть квалифицированы как новое крупное достижение в классической теории ортогональных рядов и теории математического моделирования в специфической области- системе международных отношений. Общей для этих двух дисциплин оказалась проблема разных метрик: какая метрика -Евклидова, Минковского, Хэмминга и др.- является естественной (предпочтительной) для определения "дистанций" между государствами и в каких случаях можно говорить об эквивалентности разных метрик (например, на каких подмножествах они эквивалентны).

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ

Результаты работы в качестве методик и программных реализаций внедрены в Министерстве иностранных дел РФ, ГКНТ РФ, Госстандарте РФ. Предложенные модели классифицирования внешнеполитической информации могут быть применены в информационных системах и практической деятельности учреждений и организаций, работающих с режимной информацией ограниченного пользования. Введенная структура показателей информационных потоков может быть принята в моделях систем поддержки принятия внешнеполитического решения, а также для целей внешнеполитического планирования и прогнозирования. Раз-

работанный автором метод характеризации спектра элементов функциональных пространств может быть применен для получения дальнейших метрических характеристик банаховых пространств, весовой структуры линейных кодов, комбинаторных свойств гиперграфов и мат-роидов.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях и семинарах, в том числе, университетах Берлина, Лейпцига, Праги, Братиславы, Копенгагена, Пекина, на научных семинарах в МГУ, РАГС, ВЦ РАН, ЦЭМИ РАН, ИПУ РАН, ИМЭМО РАН, Дипломатической академии МИД РФ и других научных организациях, а также в Департаментах МИД РФ, учреждениях ФСБ и ФПС. Курс " Математическое моделирование в области внешней политики" в течение многих лет читается автором для аспирантов Дипломатической академии МИД РФ, слушателей Курсов усовершенствования руководящих дипломатических кадров (КУРДК) при Дипломатической академии МИД РФ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертационная работа состоит из Введения и трех глав , разбитых на параграфы. В конце работы приведен список используемой литературы. Во Введении дается краткий анализ существа поставленной проблемы и результатов диссертационного исследования.

Международные отношения, как известно, включают в себя всю совокупность отношений между странами, в том числе, политические, экономические, военные, научные, культурные и т.п. Моделирование представляет собой действенный инструментарий, позволяющий объяснять и прогнозировать исследуемый наблюдаемый объект. Представители точных (естественных) и гуманитарных наук в понятие модели вкладывают

неодинаковый смысл , наблюдается так называемая методологическая дихотомия, когда противопоставляется историко-описательный (или интуитивно-логический) подход представителей гуманитарных наук ана-литико-прогностическому подходу, связанному с применением методов точных наук. Существует распространенное мнение, что социальные науки не имеют своего специфического, только им присущего метода- потому они так или иначе преломляют применительно к своему объекту общенаучные методы и методы других наук. Математизация социальной науки обусловлена стремлением облечь свои положения и идеи в точные, абстрактные математические формы и модели, желанием деидеологизи-ровать свои результаты.

Модели экономических взаимоотношений между государствами и регионами представляются нам достаточно проработанной областью-наука о применении количественных методов в экономических исследованиях получила название эконометрия. Пик исследований в этой области связан, повидимому, с известной работой Д. Форрестера "Мировая динамика" , в которой описана модель глобального развития, реализованная на специальном машинном языке "DINAMO". Менее известны результаты математического моделирования политических процессов. Описание политического поведения государств на международной арене является слабо структурированной, плохо поддающейся формализации многофакторной задачей. В попытках теоретического обоснования внешней политики с начала XX века выдвигались различные идеи, начало которых имеет истоки в политической жизни античной Греции и Рима- течение в рамках историко-философского, морально-этического и правового подходов получило название "политического идеализма", синонимами которого являются также названия "морализм", "нормативизм", "легализм". Пракгический опыт предвоенного кризиса и второй мировой войны выдвинул новые идеи прагматизма, который

позволил бы увязать теорию и практику внешней политики с реальностями XX века. Эти идеи послужили основой для создания школы "политического реализма", лидером которой стал профессор Чикагского университета Г. Моргентау. В стремлении уйти от идеологии реалисты все чаще стали обращаться к исследованию эмпирических данных математическими методами . Так появилось течение "модернистов", которые зачастую абсолютизировали математические методы в политике как единственно достоверные. Наиболее взвешенным подходом отличались работы Д. Сингера, К. Дойча, которые видели в математических методах действенный инструментарий, но не исключали из системы принятия решения человека . Известный математик Дж. фон Нейман считал, что политика должна выработать свою математику; из существующих математических дисциплин наиболее применимой в политических исследованиях считал теорию игр. В многообразии формализованных методов чаще всего встречаются методы контент-анализа,2 ивент-анализа3 и метод когнитивного картирования.4

Идеи контент-анализа (анализ содержимого текста) как метода анализа наиболее часто встречающихся сочетаний в политических текстах привнесены в политику американским исследователем Г. Лассуэлом5 . Ивент-анализ (анализ событийных данных) предполагает наличие обширной базы данных с определенной их систематизацией и обработкой матриц данных. Метод когнитивного картирования разработан в начале 70-х годов специально для политических исследований. Его суть состоит

2 est. O. Holsti.An Adaptation of the "General Inqider"for Systematic Análisis of Political Documents, Behavior Science, 1964, v. 9

1 cm. C. Mc. Clelland, The Management and Analysis of International Event Date: A Computerised System for Monitoring and Projecting Event Flows. University of Southern California, Los Angeles, 1971; Ph.Burgess, Indicators of International Behavior: an Assessment of Events Dale Research, L., 1972

4 cm. M. Bonham, M. Shapiro, Cognitive Processs and Political Decision -Making, International Studies Quarterly, 1973, v. 47, p. 147-174

5 H. Lasswell, N. Leites, The Language of Politics: Studies in Quantitative Semantics, N. Y., 1949

в построении комбинаторного графа, в узлах которого стоят цели, а ребра задают характеризацию возможных связей между целями. Указанные методы все же нельзя отнести к математическим моделям, так как они направлены на представление , структуризацию данных и составляют лишь подготовительную часть количественной обработки данных. Первой математической моделью, разработанной для чисто политической науки, является известная модель динамики вооружений шотландского математика и метеоролога JI. Ричардсона , впервые опубликованная в 1939 г.6 J1. Ричардсон предположил, что изменение совокупного размера вооружений стороны, участвующей в гонке вооружений пропорционально наличным вооружениям противоположной стороны , причем сдерживающим фактором является собственная экономика, не выдерживающая бесконечного бремени вооружений. Эти простые соображения, переведенные на математический язык, дают систему линейных дифференциальных уравнений, которая может быть проинтегрирована :

dA

— = kB-lA+f(t);

dt

dB

— = mA-nB+g(t).

dt

Вычислив коэффициенты k,l,m,n , Jl. Ричардсон получил удивительно точные согласования расчетных данных с эмпирическими на примере 1-ой мировой войны, когда с одной стороны были Австро-Венгрия и Германия , а с другой Россия и Франция. Уравнения позволили объяснить динамику вооружений конфликтующих сторон .

Именно математические методы позволяют выявить динамику роста населения, оценить характеристики информационных потоков и других явлений в социальном мире. Приведем , например, оценку ди-

6 L. Richardson, Generalised Forein Politics, British Journal of Psychology: Monograf Supplement, vol. 23, Cambridge, 1939; см. также A.Rappoport, F.Levis, Richardsons Mathematical Theory of War, The Journal of Conflict Resolution, September, 1957, N.l

нашпш распространения математических методов в международных исследованиях. Пусть X(t) - доля математических методов в совокупном объеме исследований по международной тематике на момент времени t. Допуская , что прирост исследований по теории международных отношений, использующих математические методы, пропорционален их наличной доле , а также степени удаленности от насыщения А, имеем дифференциальное уравнение:

dX

— = kX(A-X), решением которого является логистическая кривая.

dt

Наибольших успехов в международных исследованиях добились методы, позволяющие статистически обрабатывать совокупность данных внешнеполитической информации. Методы факторного, кластерного и корреляционного анализа позволили объяснить , в частности, характер поведения государств при голосовании в коллективных органах (например, в конгрессе США или на Генеральной Ассамблее ООН). Фундаментальные результаты в этом направлении принадлежат американским ученым. Так, проект "Л Cross-Polity Survey" выполнялся под руководством A.Banks и R. Textor в Массачусетсом технологическом институте. Проект " Correlates of War Project: 1918-1965", который возглавлял D. Singer, посвящен статистической обработке объемной информации о 144 нациях и 93 войнах за период 1818-1965 годы. В проекте "Dimentions of Nations" , который разрабатывался в Северо-Западном университете использовались компьютерные реализации методов фактор-анализа вычислительных центров Индианского, Чикагского и Йель-ского университетов и т.п. Практические задачи по разработке аналитических методик по конкретным ситуациям неоднократно ставились госдепартаментом США перед исследовательскими центрами. Так, например, Д. Киркпатрик - постоянный представитель США в Совете Безопасности, попросила разработать методику , по которой американская

помощь развивающимся странам ставилась бы в четкую корреляционную зависимость от результатов голосования на Генеральной Ассамблее ООН этих стран в сравнении с позицией США. Госдепартаментом США также предпринимались попытки посредством анализа данных экспертного опроса оценить вероятность захвата американского посольства в Тегеране во время известных событий. Достаточно полные обзоры по применению математических методов в теории международных отношений составлены, например, М. Николсоном7, М. Уордом 8и др..

Исследование современных международных отношений количественными (математическими ) методами в Дипломатической академии МИД России проводится с 1987 г. Автором построены модели структуризации и прогнозирования результатов голосования на Генеральной Ассамблее ООН как с использованием компьютерных статистических пакетов, так и с использованием собственных алгоритмов структурной обработки данных. Принципиально новые модели структуризации потоков внешнеполитической информации были разработаны автором в рамках межведомственной правительственной программы "Секрет" при разработке проекта нового государственного информационного режима. Необходимость разработки новых алгоритмов структурной обработки данных настоятельно диктуется практическими потребностями МИД : новая высокоскоростная и высокоэффективная компьютерная техника не позволяет такой роскоши, как старые и слишком общие алгоритмы. Основная идея управления потоками внешнеполитической информации на базе синтетического критерия могущества государства восходит к ранним работам Г. Моргентау9. Индикаторы могущества государства , приведенные в одной из своих работ американским исследова-

7 M. Nicholson , Formal Theories in International Relations, Cambridge University Press, Cambridge, 1988

4 M. Ward, (ed.j , Theories, Models and Simulations in International Relations, N.Y., 1985

9 H. Morgenthau, Politics Among Nations : The Strugle for Power. 4-th. éd., N.Y., 1967

телем Д. Смитом10 , использовались рабочей группой под руководством профессора Дипломатической академии МИД России А.К. Субботина для создания модели управления информационными ресурсами . Построение математически корректных моделей управления потоками внешнеполитической информации с использованием синтетических критериев представляется сложной задачей. С одной стороны, свертка набора единичных показателей в единый универсальный показатель даже удовлетворяющий необходимым условиям инвариантности, очевидно, приводит к потере информации. С другой стороны, альтернативные методы типа Парето-оптимальных критериев не в состоянии разрешить ситуацию в случае несравнимых систем показателей (максимальных элементов в частично упорядоченном множестве). Одним из подходов, разрешающих данную ситуацию, может быть подход автора с использованием аппарата функциональных пространств. В частности, в пространстве показателей (индикаторов, компонент ) могущества государства выделяется подмножество синтетических показателей: среди которых могут быть, в частности, линейные функции основных (базовых) показателей. В случае линейной замены неременных (т.е., замены базиса) в пространстве базовых показателей эти синтетические показатели преобразуются ковариантно , в отличии от базовых, которые преобразуются контравариантно. Таким образом, предлагаемый метод в этой части соприкасается с тензорным подходом в общей теории систем, идущим от американского исследователя Г. Крона.

Система единичных показателей (индикаторов), характеризующих государство или политический процесс , является основной информационной базой для принятия внешнеполитического решения. Принятие решений по разным системам показателей приводит , вообще говоря, к несогласованным, если не сказать прямо противоположным выводам.

10 D.H. Smith , Values о/Transnational Associations, Intern. Trans. Assoc., 1980, N.5, 245258; N. 6-1, 302-309

Когда подобные выводы делаются с применением количественных процедур, то это подрывает доверие к использованию математических методов в международных исследованиях . Для исправления подобного положения должны быть разработаны методы оценки меры согласованности выборок индикаторов. При отсутствии таких алгоритмов ставится под сомнение не только возможность сколь-нибудь адекватного математического моделирования в системе международных отношений , но и само наличие научного подхода к этой проблеме . Известный американский исследователь Мортон Каплан эти сомнения выразил в работе "Предполагает ли предмет международных отношений сколько-нибудь связное исследование или же это обыкновенный мешок, из которого вынимается и выбирается то, что в данный момент нас заинтересовало и к чему невозможно применить сколько-нибудь связную теорию , обобщения или унифицировать методы ?". Устранение противоречий в выводах , полученных на основании обработки результатов наблюдений по разным подсистемам индикаторов, в диссертации предлагается осуществить следующим образом. Естественно считать все мыслимые показатели (индикаторы), описывающие систему международных отношений, неким изначально существующим множеством , которое , очевидно, бесконечно. Это множество предполагается считать актуально бесконечным как завершенную, законченную совокупность показателей, доступную нашему обозрению. Следуя С. Клини12 "эта бесконечность нами рассматривается как актуальная или завершенная, или протяженная или экзистен-циональная. Бесконечное множество рассматривается как существующее в виде завершенной совокупности, до и независимо от всякого процесса порождения или построения его человеком, как если бы оно полностью лежало перед нами для нашего обозрения". Согласно абстракции акту-

" M. Kaplan, Is International Relations a Discipline ?, The Journal of Politics, 1961, v. 23, N. 3

12 С. Клини, Введение в метаматематику, M., ИЛ, 1957, стр. 49

алыюй бесконечности в бесконечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент , но на самом деле зафиксировать и описать каждый элемент бесконечного множества принципиально невозможно. Абстракция актуальной бесконечности и представляет собой отвлечение от этой невозможности, "... опираясь на абстракцию актуальной бесконечности мы получаем возможность остановить движение , индивидуализировать каждый элемент бесконечной совокупности"13. Абстракция актуальной бесконечности в математике имеет своих сторонников и противников. Противоположная точка зрения конструктивистов- абстракция потенциальной бесконечности опирается на строгое математическое поиятие алгоритма: признается существование лишь тех объектов, которые можно построить в результате некоторой процедуры. Примером таких формализованных подходов к выбору номенклатуры показателей исследуемого объекта являются, например, методики , используемые в органах государственной стандартизации.14 Спецификой множеств индикаторов в системе международных отношений является отсутствие должным образом регламентированных процедур выбора систем индикаторов. Именно это обстоятельство при исследовании системы международных отношений побуждает к постановке и решению комплекса задач, связанных с согласованием выводов по различным системам индикаторов. Одна из таких задач- описание класса политических объектов (процессов), для которых совпадение на локальном множестве индикаторов влечет их совпадение всюду (или в каком-то смысле почти всюду). В рамках задачи разработки процедур согласования результатов, полученных по различным выборкам системы индикаторов, возникает проблема пространства, в категориях которого строится соответствующая математическая модель, или, что практически одно и

13 П. С. Новиков, Элементы математической логики, М., Физматгиз, 1950 г., стр. 80

14 см. Выбор номенклатуры показателей качества промышленной продукции, ГОСТ 22851-77; Выбор и нормирование показателей надежности, ГОСТ230003-83

то же- проблема метрики в системе индикаторов. Наиболее распространенные метрики Евклида, Минковского, Хэмминга, будучи введенными на множестве индикаторов, определяют тип абстрактного пространства , в котором строится искомая математическая модель. Именно, наличие метрики позволяет говорить о степени близости государств по отношению друг к другу и получать различные количественные характеристики . Введенные пространства фактически оказываются линейными нормированными пространствами с одноименными нормами, т.е. , банаховыми пространствами. Основным методом в теории линейных пространств является метод изучения свойств системы векторов по отношению к линейным преобразованиям самого пространства. Так, основной идеей факторного анализа данных , получившего наибольшее распространение в международных исследованиях, является поиск подходящего ортогонального преобразования, переводящего исходную совокупность векторов наблюдения в другую, интерпретация свойств которой является более простой и наглядной задачей. Легко видеть, что ортогональные преобразования в Ь2 не сохраняют метрику в пространствах Минковского Ьр для случая р*2, поэтому естественен вопрос на каких подпространствах метрики Ь2 и Ьр эквивалентны. Задача приобретает корректную формулировку в случае конкретных ортогональных преобразований. Постановка подобной задачи для специального ортогонального преобразования- дискретного преобразования Фурье - позволяет понять всю сложность и глубину проблемы. Между тем , именно преобразование Фурье находит широкое применение в теории передачи информации. Идея представления сигнала как суперпозиции отдельных гармоник простого вида получила широкое распространение в электротехнике. Следует отметить , что негармонические колебания, возникающие в электронных системах (диполь Герца, микрофон ) требуют для своего изучения других, нетригонометрических ортогональных систем , например, системы

функций Уолта13. Во многих случаях свойства функции (сигнала, системы индикаторов) могут быть поняты на основании свойств ее преобразования Фурье, или, говоря другим языком, ее спектрального разложения. Задача однородности системы индикаторов может быть сформулирована в терминах спектральной функции такой системы- какова должна быть структура спектра, чтобы функция была "однородной" на множестве выбранных показателей. При четком определении понятия "однородности" или "моногенности" возникают различные математические задачи. В частности, корректная постановка упомянутой задачи о выборе подпространства, на котором метрики Ь2 и Ьр эквивалентны, получает следующую форму: при какой степени лакунарности спектра функции Г(х)<зЬ2 эта функция принадлежит пространству 1_д> при некотором р>2. Из соображений общности не следует ограничиваться рассмотрением только дискретных преобразований Фурье, т.к. возникающие проблемы являются общими и для континуального случая. Другие случаи "однородности" системы показателей берут свое начало с одной из работ известного математика С. Мандельбройта от 1936 г. и приведены в диссертации. Классическим примером ортогонального преобразования для случая дискретного преобразования Фурье является преобразование с матрицей Адамара, поэтому преобразование Фурье для ортогональной системы Уолша иначе называют преобразованием Адамара.

Одна из целей работы- разработка эффективного математического аппарата анализа системы индикаторов в концепции "политической силы" Г. Моргентау применительно к задачам метрико-функционального анализа системы индикаторов могущества государства при классифицировании внешнеполитической информации.

Глава I (Математические методы и международные отношения) носит вводный характер. В §1 дается описание предметной области -

" см. Х.Ф. Хармут , Передача информации ортогональными функциями, М., 1975

системы международных отношений и той ее части, которая относится к сфере политических отношений. Приводится обзор развития политической науки и появления математических методов в политических исследованиях. Рассмотрены основные течения в науке международных отношений- политический идеализм, политический реализм, эмпиризм, би-хейвиорализм, модернизм. Дается обзор основных отечественных и зарубежных публикаций по математическому моделированию в международных отношениях. В §2 исследуется роль новых информационных технологий в моделировании международных отношений и применение средств вычислительной техники во внешнеполитических ведомствах зарубежных стран и России. §3 диссертации посвящен критическому анализу положения дел с существующими математическими моделями в области международных отношений и обосновывается необходимость построения математических моделей нового поколения на единой методологической основе. Приводится концепция построения универсальной модели политического поведения и функционала качества политического управления и показывается в определенном смысле единственность решения поставленной задачи. В §4 проведен анализ пространств и метрик в существующих моделях международных систем с позиций стабильности и устойчивости таких систем и доминированием в них фактора "политической силы". Рассматривается параллель "правил поведения" М. Каплана и "категорического императива" И.Канта. §5 посвящен обзору основных методик и нормативных актов по применению методов политического сравнения разных наборов индикаторов, а также методам определения коэффициентов весомости в интегральных показателях могущества государства. В §6 приводятся основные методики (Н.В. Дерюгин, Н. Быстров, Р. Вексман) использования системы индикаторов для построения функционала могущества государства. Обсуждается также подход Ч. Тэйлора к построению системы индикаторов для политическо-

го , экономического и социального анализа. В параграфе 7 Главы I рассмотрены две модели- оценки меры диффузии математических методов в международных исследованиях и оценки меры неопределенности в системах политического взаимодействия. Эти модели являются вводными в класс тех задач структуризации потоков внешнеполитической информации, о которых идет речь в последующих разделах. Параграф 8 связан с построением основных функциональных конструкций и соотношений реального международного мира, где также рассматривается вопрос представимости общефункциональных зависимостей как суперпозиции стандартных (элементарных) объектов.

Глава 2 (Модели классифицирования информации в системе управления информационными ресурсами во внешнеполитической сфере) посвящена применению количественных методов в структуризации потоков внешнеполитической информации, использующихся в процессе принятия внешнеполитического решения. Применительно к задачам управления в соответствии с общей идеей могущества государства выбирается такое регулирование информационного режима, которое доставляет оптимум могуществу государства. Концептуальный подход выбора структуры показателей восходит к работам американского исследователя Д.Х. Смита, как сочетания политического, научного, экономического, технологического и гуманитарного факторов. Исследуется также отечественный и зарубежный опыт управления информационными ресурсами, в том числе, законодательные аспекты информационной сферы США, ФРГ, Франции. Приводится сопоставительный анализ существующих моделей национального, регионального и мирового развития и их роль в классифицировании информационных потоков. Основным результатом этой главы является построение моделей индивидуальной оценки последствий классифицирования внешнеполитической информации. Рассматривается также система моделей обработки экспертной информации по многокри-

териальному выбору. Конкретным примером использования разработанных моделей является расчет оценки последствий от неправильного классифицирования внешнеполитической информации на базе архивных документов двусторонних связей из архивов МИД РФ и количественное выражение степени влияния различных видов информации на отдельные составляющие могущества государства. В основе такого рода оценок лежит подход Г. Греневского и М. Кемписти о выделении двух потоков -вещественного и информационного при том, что информационная система в политике является не только системой движения и преобразования сообщений, но и регулирующей системой. В качестве объекта регулирования выступает могущество государства.

В Главе III диссертации (Спектральные характеристики в математических моделях системы международных отношений) исследуются метрические характеристики целевых функций моделей с использованием аппарата спектрального анализа. Традиционный аппарат факторного анализа, как известно, в ряде случаев позволяет уменьшить число исследуемых признаков. Профессор политических наук Массачусетского технологического института Хейворд Алкер-один из инициаторов применения методов фактор-анализа в международных исследованиях- предложил наряду с единичными показателями (индикаторами) политического поведения государств на мировой арене рассматривать совокупности новых показателей -факторов, которые являются объединением некоторых исходных индикаторов. По сути дела это означает рассмотрение новых показателей, которые приводятся в соответствие с подмножествами множества исходных показателей. Такие новые показатели, называемые X. Алкером "суперпроблемами", 16 могут и должны быть содержательным образом интерпретированы. Математическим выражением такой возможности введения дополнительных показателей, является то обстоя-

16 см. Н. Alker, В. Russen, World Politics in the General Assambly, New Haven, London, 1965, p. 276-217

тельство, что множество единичных показателей может быть дополнено системой дополнительных показателей- "суперпроблем" до группы с операцией симметрической разности АДВ=(А\В)и(В\А). Интерпретация таких групповых показателей по мнению директора Центра международных исследований Миннесотского университета Д. Боброва 17"является делом содержательного суждения и интуитивного проникновения." Политический процесс в этом случае описывается соответствующей функцией на (абелевой) группе "суперпроблем", в которую, разумеется, в качестве элементов входят и одноэлементные подмножества-исходный набор индикаторов. Это позволяет применить аппарат теории характеров абелевых групп. Как показано в работе 1S, группой характеров группы подмножеств конечного множества по операции симметрической разности является система функций Уолша; группой характеров множества вещественных чисел отрезка [0,2л] с операцией сложения по модулю 2л является тригонометрическая система ортогональных функций {х™(х)}= {eimx} , а группой характеров конечной циклической группы из п элементов является множество корней степени п из 1 : й(к)=е2^/п, j=0,l,2... п-1. Именно эта группы мы и используем для ха-рактеризации политического (объекта) процесса как функции на множестве политических индикаторов.

Изучение политического объекта как системы единичных индикаторов по свойствам его дискретного преобразования Фурье позволяет решать многие метрические проблемы. Спецификой систем моделей в теории международных отношений является использование различных систем индикаторов, или, говоря математическим языком, финитных функций. Финитность в широком смысле предполагает обращение в нуль

17 D. Bobrow, International Relations...-New Approaches, N.Y., 1972, p. 46

1S Г.Н. Агаев, H.Я. Виленкин, Г.M. Джафарли, A.И. Рубинштейн, Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах, Баку, 1981, стр. 5474

функции (исчезание) вне некоторого множества, мера которого по отношению к мере всего пространства мала. Таким множеством может быть, например, отрезок на вещественной оси или множество меры (плотности) нуль. Финитность для спектральных функций (т.е., для преобразований Фурье) иначе называют лакунарностью спектра. Так, лакунарность звукового сигнала означает, что в нем присутствуют не все гармоники (основные тона). Идея согласования исследований, использующих различные системы индикаторов , состоит в том , чтобы рассмотреть свойства совокупностей финитных (на едином пространстве политических индикаторов) функций и их метрических свойств. Существующие модели спектрального анализа, использующие весь спектральный диапазон, изначально неточны, т.к. в реальном мире спектр объекта лакунарен. Учет лакунарности позволит выявить специфические, глубинные свойства политических процессов, только им присущие особенности. Кроме того, учет лакунарности в процессе передачи внешнеполитической информации в системе передатчик.....жодер—> приемник позволит оптимизировать процесс обмена внешнеполитической информацией.

Под лакунарностью спектра политического (или иного объекта) понимается обычно наличие системы неравенств :

Пк+1

_ >А>1, к=1,2,.....

Пк

в спектральном разложении соответствующей функции Р(х)=2акГк(х); ак=0 если ке{пк}.

Такая лакунарность иначе называется сильной лакунарностью, или лакунарностью по Адамару, в честь французского исследователя Ж.Адамара, изучавшего свойства аналитического продолжения степенных рядов за границу круга сходимости. В дальнейшем это условие неоднократно ослаблялось рядом авторов, однако другие естественные уело-

вия на плотность или рост последовательности {Пк} не обеспечивали сохранения тех функциональных свойств, которые присутствовали при Адамаровой лакунарности.

Наиболее общим понятием оказалось понятие лакунарной системы порядка р , или просто Sp системы, возникшее в работах С. Сидона и С. Банаха. Строгая теория лакунарных систем, основанная на теории интеграла Лебега, является достаточно сложной для политических исследований. Тем не менее, из соображений полноты изложения и требований математической строгости во всех случаях наряду с дискретными реализациями приводятся надлежащие формулировки и для континуальных аналогов полученных результатов.

Приведем необходимые определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть на конечном отрезке [ а,Ь] задана орто-нормированная система функций {fn(x)}. Говорят, что система (fn(x)} является Sp-системой при некотором р>2 , если для всякого полинома R(x)= Sakfk(x) справедлива оценка :

Ь b

{i | R(x) | Р(1х^Р< С {i | R(x) 12dx}1/2 ,

а а

где постоянная С>0 не зависит от выбора полинома R(x).

Если же для всякого полинома R(x)= 2 akfk(x) справедлива оценка b b {J | R(x) 12dx}1/2< С {} I R(x) | dx} ,

а а

с некоторой постоянной С>0, не зависящей от выбора полинома

R(x), то такая система называется системой Банаха.

Sp- системы и системы Банаха в дальнейшем будут называться лаку-нарными системами. В пределах рассмотрения подсистем фиксированной полной ортономированной системы {fn(x)} мы будем придерживаться обозначений {Пк}еА(р) , или {Пк}еА(2), если {пк} является множеством

индексов ¡5р- системы (соответственно, системы Банаха). В качестве исходной системы {&(х)} будет рассматриваться тригонометрическая система, или система функций Уолша-Пэли. Известна конструкция У. Ру-дина, позволяющая обобщить понятие Л(р)-множества на случай любого р>0. В 1960 г. У.Рудин показал , что для тригонометрической системы Л(р)-множество (р>2) в любом отрезке длины N содержит не более чем СЫ27? точек, где постоянная С>0 не зависит от N. т.е. имеет плотность нуль степенного порядка. Для множеств Л(1) У.Рудину удалось показать лишь, что указанные множества не содержат сколь угодно длинных арифметических прогрессий, поэтому У.Рудин поставил вопрос о том, имеют ли Л(р)-множества плотность нуль в случае любого р>019. В 1975 г. венгерский математик Е. Семереди20 дал крайне сложное доказательство того факта, что последовательности , не содержащие сколь угодно длинные арифметические прогрессии, имеют плотность нуль, однако плотность таких последовательностей оказалась не степенного порядка. Кроме того, оставались открытыми как вопрос об оценке самой плотности Л(р)-множеств на случай произвольного р>0, так и вопрос о построении конкретных плотных множеств, не содержащих прогрессий или иных в каком-то смысле регулярных множеств. В диссертации гипотеза У.Рудина нашла свое полное решение. Для доказательства нами введено понятие возвратного отрезка длины 2", являющееся обобщением понятия отрезка арифметической прогрессии- всякая арифметическая прогрессия длины 2П является возвратным отрезком, однако не всякий возвратный отрезок является отрезком арифметической прогрессии, как это следует из определения:

19 W. Rudin, Trigonometric series with gaps, Journal of Mathematics and Mechanics, vol. 9, No. 2 (1960) , p. 217

20 E. Szemeredi, On sets of integers containing no k-elements of arithmetic progression, Acta Arith., 27 (1975), 199-245

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть заданы целые числа г, mi, ni2, ..., ms; s>2 такие , что mi >0, гпк> mi +ш2+пц+...+ты .

Тогда множество всех точек вида r+ eimi + ЕгШ:,+....+ ssms, где £j =0 или 1, называется возвратным отрезком дайны 2s.

Следующий цикл теорем полностью решает проблему У .Рудина.

ТЕОРЕМА 1. Если последовательность {nk} не содержит возвратных отрезков длины 2П , то для любого отрезка In длины N справедливо неравенство

card ({nk} n In) <CNe, где ее(0,1) и С>0 не зависят от N.

ТЕОРЕМА 2. Всякое множество {nk} еЛ(р) , р>0, имеет плотность нуль, более того, для любого натурального N и для любого отрезка In длины N справедливо неравенство :

card ({nk} n In) <CNe, где ее(0,1) и С>0 не зависят от N. Кроме того все множества Л(р) , р>0 не содержат сколь угодно длинных возвратных отрезков.

Следствием данном теоремы является, в частности , и тот факт, что множество простых чисел {pj} не является множеством Л(р) ни при каком р>0 , т.к. плотность простых чисел имеет отличный от степенного порядок. Последовательность простых чисел занимает особое место в математике, и поэтому любой новый результат о ее свойствах безусловно интересен. Для сравнения отметим, что справедливость аналогичного утверждения для последовательности квадратов натуральных чисел уже неизвестна- У.Рудин показал, что {к2} йЛ(4), но неясно , как обстоит дело для других ре(0,4].

ТЕОРЕМА 3. Пусть заданы целые числа р,п>2, а также целые ki, кг,

..., kn , 0< ki< р-1, a=a(ki,k2,...kn)= 2р2п£к*(2р)ы+И Ь2.

Тогда множество всех наборов а=а(к1,к2,...кп) состоит из рп элементов, содержится в интервале [ 0, п2п+2ря+2] и не содержит возвратных отрезков длины 2П.

С помощью конструкции, используемой при доказательстве Теоремы 3 можно строить множества, не содержащие арифметических прогрессий длины 3- наиболее интересный случай последовательностей, не содержащих прогрессии. Известны результаты Ф.Беренда21 в этом направлении, однако они получены неконструктивным путем. Существует также конструкция Л. Мозера22, основанная на другой идее.

Результаты Главы 1 позволяют также исследовать вопрос о плотностях Л(р)-множеств р>0, на структурах, отличных от арифметических прогрессий и возвратных отрезков. Примером такой структуры является множество {2к+2п} , где суммирование распространяется на все индексы к, п, не превосходящие некоторого числа N.

Тригонометрическая система {е!пх} обладает свойством мультипликативности, т.е. вместе с каждой парой функций она содержит и их произведение. В общей теории мультипликативных систем наряду с тригонометрической системой особое место занимает система функций Уолша. Эта система является естественным пополнением известной системы Ра-демахера и определяется (в нумерации Пэли) следующим образом:

\уо=1, у/п(х)=П[гк+1(х)]-\, хе [0,1], в случае, когда п> 1 имеет вид

п=Иак2к, где ак принимают значения 0 или 1, а rk(x)=sign зт(2кях) - функции Радемахера. При изучении свойств системы функций Уолша удобно вводить следующую операцию сложения Ф в группе целых неотрицательных чисел : если П1=Е ак2к, 2Ьк2к, где числа ак, Ьк равны 0 или 1,

21 F.A. Berend, On sets of integers which contain no three terms in arithmetic progression, Proc. Nat. Acad. Sei., USA, 32 (1946), 331-332

22L. Moser, On non -averaging sets of integers, Canad. J. of Math., 5 (1953), 245-252

то пз=Ш® ill = 2 I ak-bk I 2k. Тогда для любых n, m справедливо соотношение wn(x)wro(x)=wn©m(x). JTenco видеть , что W2n(x)=rn+i(x), п=0,1,2..., но естественно рассматривать и другие лакунарные подсистемы системы функций Уолша.

Аналогом возвратных отрезков на случай подсистем системы функций Уолша-Пэли являются линейные многообразия в линейном пространстве над полем из двух элементов. Конструкции подобного вида изучались французской исследовательницей А.Бонами23, которая , в частности, показала, что все А(р)- множества , р>0 для системы Уолша не содержат линейных многообразий сколь угодно большой размерности. Конструкция, примененная нами при доказательстве Теоремы 1, позволяет перенести оценки А.Бонами, полученные ею лишь для случая р >2 на случай любого р> 0. Именно, справедлива

ТЕОРЕМА 4. Множества А(р), р >0 для системы Уолша-Пэли имеют плотность нуль степенного порядка, т.е. справедлива оценка card ({nk} n In) <С2"Е для любого линейного многообразия I п размерности п , где С> 0 и ее(0,1) не зависят от п.

Аналог теоремы 3 для системы Уолша-Пэли требует- использования свойства конечномерного линейного пространства над полем из двух элементов быть конечным полем (такое поле называется полем Галуа). В линейном пространстве Е:п каждый элемент кроме нулевого обратим, т.е. наряду с элементом ае Егп определен элемент а-'е Е211. Пусть заданы два изоморфных пространства Ег" и F2n. Пусть выбраны два базиса соответственно в Егп и F2n: ei,e2,...en и fi,f2,... fn. каждому элементу a=Lsj ej е Ег"

поставим в соответствие элемент ср(а)= Se, fje F2n.

23 A. Bonami, Ensemles Л(р) dans le dual de Don, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, IS, 2 (1968), 193-204; 20. 2 (1970), 335-402

Справедлива следующая

ТЕОРЕМА 5. Множество точек прямой суммы пространств Ег" и Ff вида а+ф-'(а) (а*0) имеет мощность 2п-1 , лежит в пространстве Ег" Ф F2" мощности 22п и не содержит линейных многообразий размерности 2.

Из Теоремы 5 следует, что существуют множества , не содержащие линейных многообразий размерности 2 (так называемые В2 множества) и которые в отрезке длины N (или многообразии мощности N) содержат более 1/2 N1'2 точек. Результат Теоремы 5 сильнее чем у А.Бонами (у А. Бонами построен пример последовательности, не содержащей линейных многообразий размерности 2 и мощности N"4).

Основным результатом Главы 3 являются Теоремы 6 и 7 для тригонометрической системы и системы функций Уолша-Пэли , позволяющие свести изучение А(р)-множеств , р >0 к изучению конечных тригонометрических сумм И. Виноградова (соответственно, сумм Уолша) , или, что то же самое, изучению свойств дискретных идемпотентных полиномов.

ТЕОРЕМА 6. Пусть последовательность целых чисел {Пк}бЛ(2+с),е>0 Тогда существует постоянная С=С({пк}>0 такая, что для любого натурального р и любого полинома

Р Р

R(x)= Seje'J*, где щ равны 0 или 1 и Heps j=l j=l справедливо неравенство:

I | R(2tu nk/p) 12 <С sp(s/p) е/(Е+2> . (*)

к, 0< пк<р 12

Обратно, если для последовательности {пк} существует постоянная С> 0 такая, что для любого полинома R(x)= Eeje'J*, где q равны 0 или I и

Sej=s справедлива оценка (*) , то последовательность {пк}еЛ(2+в-р) для любого р, 0< р< 2+е.

ТЕОРЕМА 7. Пусть последовательность Пк}еЛ(2+е),е>0 по системе Уолша-Пэли, тогда существует постоянная С> 0 такая, что для любого

натурального р=2п и любого полинома R(x)= Zsjw/x), 0< j <р, Esj=s ,q

равны 0 или 1

справедливо неравенство

2 I R(nk/p) I 2 <с sp(s/p) E/(s+2) . (**)

k, 0< nk<p

Обратно, если для последовательности {пк} существует постоянная С> 0 такая, что для любого полинома R(x)= EsjWj(x), где ej равны 0 или 1

и 2ej=s справедлива оценка (**) , то последовательность {пк}еЛ(2+е-р)

для любого р, 0< р< 2+е.

Распределение значений тригонометрического полинома (или полинома по системе Уолша-Пэли), коэффициенты которого равны 0 или 1 (т.е. идемпотентного полинома) напрямую связано с задачами теории кодирования. Как известно , линейным (n,k)- кодом (к< п) называется любое к-мерное подпространство линейного пространства размерности п над полем из двух элементов. Весом элемента кода называется число единиц в двоичном разложении элемента по базису. Справедлива

ТЕОРЕМА 8. Пусть задан идемпотентный полином по системе Уолша -Пэли R(x)= EsjWj(x), где 8j равны 0 или 1 и Sej=s. Каждой точке х

пространства En поставим в соответствие вектор длины s из 1 и -1 вида , компоненты которого равны значению соответствующей функции Уолша, присутствующей в представлении полинома, в точке х. Это отображение является гомоморфизмом пространства Ел в линейное пространство Е'п сЕ$ , где операция сложения понимается как покоординатное

умножение. При этом справедлива формула R(x)=s-2(4iicno минус единиц в кодовом слове).

Таким образом, значение полинома Уолша определяется количеством минус единиц в соответствующем линейном коде. Если переобозначить слова в коде так, что 1 заменяется на 0, а -1 на 1 при операции сложения по модулю 2 , то мы приходим к стандартному виду двоичного кода с стандартной весовой функцией. В этом случае идемпотентному полиному Уолша соответствует двоичный код , у которого все столбцы порождающей матрицы различны. Такие коды называют проективными кодами, или кодами Дельсарта.24

Следующий результат позволяет оценить распределения значений идемпотентных полиномов Уолша с использованием энтропийных оценок.

ТЕОРЕМА 9. Пусть на Еп задан идемпотентный полином R(x)= DejWj(x), где щ равны 0 или 1 и £ej=s, 0<а< 1. Пусть ai, a2, ...ai е tin таковы, что R(aj) > s а причем все aj образуют систему независимых векторов в Et (t <n).

Тогда IR^S^d-H«), j eEi

где Ha=-(l+a)/2 log2((l+a)/2)-(l-a)/2 log2((l-oc)/2) -энтропия распределения величины, принимающей два значения с вероятностями (1+а)/2 и (1-а)/2 соответственно.

Основным моментом, который обуславливает интерес к лакунарным системам , является тот факт, что поведение лакунарного ряда на множестве положительной меры определяет поведение ряда на всем промежутке определения. В частности , не существует нетривиального лакунарного (по Адамару) тригонометрического ряда, который равен нулю

24 Ph. Delsart, Weight of linear codes and strongly regular normed spased, Disc. Math., 3(1972), 47-64

на множестве положительной меры. Этот классический результат американского исследователя А.Зигмунда25 существенно улучшен нами, именно, утверждение А.Зигмунда сохраняет силу для любой тригонометрической SP- системы (р> 2). На настоящий момент это наилучший известный результат. Этот результат следует из следующей теоремы:

ТЕОРЕМА 10. Пусть { nk} еЛ(2+е), е>0 и множество Е с [0,2л] таково, что цЕ> 0. Тогда существует такое положительное число X, что

|| ЕакеМ 2dx>^Zak2 (***)

Е

для любого конечного полинома R(x)= Zake'V.

Для системы функций Уолша-Пзли нами доказана аналогичная теорема в следующей форме:

ТЕОРЕМА 11. Пусть{ Пк} еЛ(2+е), е>0 и множество Е с [0,2тг] таково, что цЕ> 0. Пусть кроме того последовательность { Пк} обладает свойством Пк© ni ->со при к> 1> 0. Тогда для любого Х>1 и любого множества Е положительной меры существует такое натуральное число N,

что для всякого полинома R(x)= 2akWn,k(x) , где суммирование идет по

номерам k , к> N , справедливо неравенство :

JI R(xj 4x>(\iEIX)ZaJ . (****)

Е

Спецификой системы Уолша является тот факт, что условие ПкФш —»да при к> 1> 0 в Теореме 11 ослабить нельзя (в сравнении с Теоремой 10 для тригонометрической системы).

В неравенствах (***) и (****) существенно то, что оценки проводятся для любого множества положительной лебеговой меры. В случае , когда множество Е является интервалом доказательство оценок подобного ро-

25 A.Zigmund, Trigonometric series, Cambridge University Press, 1959, v.1,2

да значительно упрощается и проводится в значительно более общих предположениях. Первые результаты в этом направлении принадлежат известным американским математикам Н.Винеру и А.Зигмунду26, однако разработанный ими аппарат недостаточен доя получения подобных оценок в случае замены интервала произвольным множеством положительной лебеговой меры. Квазианалитичность лакунарных представлений , т.е. свойство, близкое к свойствам аналитических функций (как известно, если степенной ряд равен нулю на множестве, имеющем предельную точку, то все его коэффициенты равны нулю), проявляется в терминах гладкости функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Говорят, что функция f(x), определенная на некотором промежутке [а,Ь], принадлежит классу Lip а с некоторым ае(0,1], если

sup I f(x)-f(y) I ¿C 8a, где верхняя грань берется по всем числам х,у отрезка [а,Ь] , расстояние между которыми не превосходит 8>0, а постоянная С>0 не зависит от выбора х,у. Если же для функции f(x) справедлива оценка:

Ь

il f(x+y)-f(x)| 2dx ¿d y| 2a для всех у , где постоянная С>0 не зависит

а

от у, то говорят, что функция f(x) принадлежит классу Lip (2,a).

Нами установлена

ТЕОРЕМА 12. Пусть множество функций {cos nk х, sin Пкх} является Sp-системой для некоторого р >2 и функция f(x)e Lip(2, a ) при некотором a>0. Тогда если ряд Zakcosnkx+bksinnkx сходится на множестве положительной меры к функции f(x), то этот ряд сходится почти всюду к некоторой функции g(x)e Lip(2, а ) и является ее рядом Фурье.

26 см. J.-P. Kahane, Lacunary Taylor and Fourier Series, Bull. Amer. Math. Soc., 70, N. 2, (1964), 199-213

Кроме того, если в предыдущем условии ряд лакунарен по Адамару и функция f(x)e Lip а, ос>0, то ряд всюду сходится к этой функции и является ее рядом Фурье.

Последний результат дает положительный ответ на проблему, поставленную американским исследователем П.Б. Кеннеди27 в 1958 г.

Результаты диссертации опубликованы в математических журналах (Математические заметки, Математический сборник, Успехи математических наук, Сибирский математический журнал, Analysis Mathematica, Вестник МГУ (сер. матем.) и т.п.), а также в изданиях Госстандарта и Министерства иностранных дел в виде методик и сборников научных трудов, трудов научных конференций, в том числе:

1. Михеев И.М., О рядах с лакунами, Математический сборник, 1975, т. 98, N4, стр.538-563;

2. Михеев И.М., Лаку парные подсистемы системы функций Уолша, Сибирский математический журнал, 1979, N. 1, стр.109-118;

3. Михеев И.М., Trigonometric series with gaps, Analysis Mathematica, т. 9, часть 1, 1983 г. стр.43-55;

4. Михеев И.М. и др., Проблемы управления информационными ресурсами в СССР,(коллектив авторов, ред. Субботин А.К.), Дипломатическая академия МИД СССР, 1991 г.;

5. Михеев И.М., Исследование информационного обеспечения международных отношений с использованием функциональных пространств, Материалы 4-ой международной конференции "Информатизация систем безопасности ИСБ-95" Международного форума информатизации, Москва, 17 ноября 1995 г., стр. 20-22;

27 P.B. Kennedy . On the coefficient in certain Fourier series, J. London Math. Soc., 33 (1958), p. 206

6. Михеев И.М., Исследование информационного обеспечения политических систем, Материалы международной научно-практической конференции "Анализ систем на пороге XXI века: теория и практика", Москва, 27-29 февраля 1996 г., т. 1, стр. 79-80.

Общий объем диссертации, включая Приложение и библиографию (249 наименований) - 310 стр. В Приложении приводятся основные политические индикаторы, использующиеся в различных исследованиях (Прил. 1), таблицы мер близости (Прил. 2), справка о функционировании АИС обеспечения Секретариата ООН (Прил. 3). Приведены также листинги программ обработки результатов голосования в ООН (Прил. 4) и решение проблемы У. Рудина о плотности лакунарных множеств (Прил.5).

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Михеев И.М., О рядах с лакунами, Математический сборник, 1975, т. 98, N 4, стр.538-563;

2. Михеев И.М., Лакунарные подсистемы системы функций Уолша, Сибирский математический журнал, 1979, N. 1, стр.109-118;

3. Михеев И.М., О методах оптимизации структуры технологических процессов, (соавтор Мартынов Г.К.), Надежность и контроль качества, 1979, N.5;

4. Михеев И.М., Методика выбора оптимального варианта технологического процесса поточной линии методом случайного поиска с помощью ЭВМ, (соавтор Мартынов Г.К.), Издательство стандартов, 1981 г.

5. Михеев И.М., Методика оценивания параметров нелинейных регрессионных моделей технологических процессов, (соавтор Мартынов Г.К.), Издательство стандартов, 1981 г.;

6. Михеев И.М., Методика оптимизации параметров технологических систем при их проектировании, (соавтор Мартынов Г.К.), Издательство стандартов, 1981 г.;

7. Михеев И.М., Методика синтеза оптимальных производственно-технологических систем и их элементов с учетом требований надежности, (соавтор Мартынов Г.К.), Издательство стандартов, 1981 г.;

8. Михеев И.М., Trigonometric series with gaps, Analysis Mathematica, т. 9, часть 1, 1983 г. стр.43-55;

9. Михеев И.М., О математических методах в задачах оценки научно-технического уровня и качества продукции, Научные труды ВНИИС, вып. 49, 1983 г., стр.65-68;

10. Михеев И.М. , Методика индивидуальной оценки последствий классифицирования внешнеполитической информации, (соавтор Фир-сова И.Д.), Москва, Дипломатическая академия МИД СССР, 1989 г.;

11. Михеев И.М., О месте математического моделирования в современной политологии, Материалы научного симпозиума "Новое политическое мышление: проблемы, теории, методологии и моделирования международных отношений", Москва, 13-14 сентября 1989 г., стр. 99-102;

12. Михеев И.М., О применении количественных (математических) методов при исследовании международных отношений, (соавтор Аникин В.И.), Материалы научного симпозиума "Новое политическое мышление: проблемы теории, методологии и моделирования международных отношений", Москва, 13-14 сентября 1989 г., сгр. 102-106;

13. Михеев И.М., Модель сохранения стратегического баланса сил между СССР и США в условиях поэтапного разоружения, В сб. "Управление и информатика во внешнеполитической деятельности", ДА МИД СССР, 1990 г., (ред. Аникин В.И., Михеев И.М.), стр. 40-45;

14. Михеев И.М., Методика прогнозирования результатов голосования в ООН, В сб. " Управление и информатика во внешнеполитической дея-

тельности", ДА МИД СССР 1990 г. (ред. Аникин В.И., Михеев И.М.), стр. 45-52;

15. Михеев И.М., Методология подхода к построению универсальной модели мирового развития, Труды международного семинара "Технические, психологические и педагогические проблемы использования автоматизированных систем", (соавтор Субботин А.К.), Москва, 1990 г. ;

16. Михеев И.М., Использование моделей национального, регионального и мирового развития для классифицирования информации, Москва, Дипломатическая академия МИД СССР, 1990 г.;

17. Михеев И.М., Внутренние факторы, препятствующие развитию внешнеэкономических связей СССР, (соавторы Субботин А.К., Шеста-кова И.В., Вахидов A.B.), Москва, Дипломатическая академия МИД СССР, 1990 г.;

18. Михеев И.М. , Концепция конверсии в условиях перестройки, (соавторы Вахидов A.B., Субботин А.К., Шестакова И.В.), Москва, Дипломатическая академия МИД СССР, 1990 г. ;

19. Михеев И.М., Использование количественных методов при прогнозировании мирового развития, Москва, Дипломатическая академия МИД СССР, 1990 г.;

20. Михеев И.М., Проблемы экспорта капитала из СССР в 90-х годах, (соавторы Вахидов A.B., Субботин А.К.), Москва, Дипломатическая академия МИД СССР, 1991 г.;

21. Михеев И.М. и др., Проблемы управления информационными ресурсами в СССР,(коллектив авторов, ред. Субботин А.К.), Дипломатическая академия МИД СССР, 1991 г.;

22. Михеев И.М., Моделирование и разработка автоматизированной системы управления во внешнеполитических процессах и подготовка дипломатических кадров, Материалы научно-практической конференции

к 60-летию Дипломатической академии МИД России, Москва, 19 октября 1994 г.;

23. Михеев И.М., Методика кластерного анализа оценки и принятия внешнеполитических решений, (соавторы Аникин В.И., Ларионова Е.В.), Дипломатическая академия МИД РФ, кафедра управления и информатики, учебное пособие, 1994 г.;

24. Михеев И.М., Исследование информационного обеспечения международных отношений с использованием функциональных пространств, Материалы 4-ой международной конференции "Информатизация систем безопасности ИСБ-95" Международного форума информатизации, Москва, 17 ноября 1995 г., стр. 20-22;

25. Михеев И.М., Исследование информационного обеспечения политических систем, Материалы международной научно-практической конференции "Анализ систем на пороге XXI века: теория и практика", Москва, 27-29 февраля 1996 г., т. 1, стр. 79-80;

26. Михеев И.М. , Математика погранологии, Сборник статей Отделения погранологии Международной Академии информатизации, вып. 2, М., Отделение погранологии МАИ, 1996 г., стр. 116-119.

' ! ! '1 i я

S)

На

D

fN

c,

■VL

.с:л.и (\ tí j «pi ¿) и

МИНИСТЕРСТВО ИНОСТРАННЫХ ДЕЛ РОССИИ ДИПЛОМАТИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

МИХЕЕВ Игорь Михайлович

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМЫ МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

специальность: 05.13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных

исследованиях (по отраслям наук)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997 г.

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................. 4

ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МЕЖДУНАРОДНЫЕ ОТНОШЕНИЯ................................................... 35

§ 1. Моделирование социально-экономических процессов-

инструментарий политического анализа ..............................................35

§2. Новые информационные технологии и их роль в моделировании международной политики....................................... 60

§3. Необходимость построения математических моделей

нового поколения на единой методологической основе......... 77

§4. Функциональные пространства и проблема представления зависимостей как суперпозиции элементарных............... 82

§5. Комбинаторные модели политического поведения,..,....... 95

§6. Основные подходы использования систем индикаторов

для анализа внешнеполитических процессов........................... 99

§7. Пространство индикаторов в системе международных отношений-основные задачи метатеории ................................. 112

ГЛАВА II. МОДЕЛИ КЛАССИФИЦИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫМИ РЕСУРСАМИ ВО ВНЕШНЕПОЛИТИЧЕСКОЙ СФЕРЕ................................................................................ 120

§1. Информационное противодействие стратегической

разведке.......................................................................................... 120

§2. Классифицирование информации как элемент системы управления информационными ресурсами- отечественный

и зарубежный опыт............................................................................................................................................124

§3. Методика индивидуальной оценки последствий классифицирования внешнеполитической информации..................................138

§4. Использование моделей национального, регионального и мирового развития для классифицирования информации.. 163 §5. Кодирование как способ защиты информации от несанкционированного доступа - математические модели..........................Î 74

ГЛАВА III. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ СИСТЕМЫ

МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ................................... 185

§ 1. Групповая структура множества внешнеполитических

индикаторов................................................................................. 185

§2. Лакунарные ряды как инструментарий в проблеме характеризации политических процессов (тригонометрический случай)...............................................................................................Î 99

§3. Лакунарные ряды как инструментарий в проблеме характеризации политических процессов (случай системы

Уолша)........................................................................................... 225

§4. Решение проблемы П.Кеннеди характеризации спектра

лакунарных систем....................................................................... 233

§5. Применение техники лакунарного анализа к проблемам представимости политического процесса как измеримой

функции на множестве индикаторов......................................... 238

ЗАКЛЮЧЕНИЕ (резюме)......................................................... 247

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Основные политические индикаторы , используемые в исследованиях системы международных отношений.........

2. Таблицы мер близости, применяемых в математических моделях и при обработке эмпирических данных..................... 270

3. Об опыте функционирования автоматизированной

системы информационного обеспечения Секретариата ООН... 276

4. Листинги программ количественной обработки результатов голосования на Генеральной Ассамблее ООН................. 284

5. Решение проблемы У. Рудина характеризации плотности лакунарных множеств (политических индикаторов).............. 287

ЛИТЕРАТУРА

299

ВВЕДЕНИЕ

Математизация современной науки является закономерным и естественным процессом. Если дифференциация научного знания приводит к появлению новых ветвей науки, то интеграционные процессы в познании мира приводят к своеобразной диффузии научных идей из одной области в другую. В XVIII веке Иммануил Кант не только провозглашает лозунг "всякая наука постольку наука, поскольку она математика", но и кладет идеи аксиоматического построения геометрии Евклида в свою концепцию априоризма.1 В то время как в естествознании математика быстро и прочно заняла ведущие позиции, в области социальных наук ее успехи оказались скромнее. Применение математических методов оказалось оправданным там, где понятия носят стабильный характер и становится содержательной задача установления связи между этими понятиями, а не бесконечного переопределения самих понятий. Признавая детерминизм в социальной сфере, тем самым следует признать и наличие научной основы в теории международных отношений. Поэтому система международных отношений , сколь бы не сложна и слабо формализуема она не была, может и должна быть предметом применения математических методов. В научных методах исследования международных отношений крайне заинтересованы политики, практические работники внешнеполитических ведомств, ученые- международники, социологи, психологи, географы, военные и др. Эмпиризм в международных исследованиях, т.е. течение, связанное с исследованиями статистической информации в международных отношениях, привнес в теорию много разных и разнородных методов и алгоритмов. Возникла необходимость систематизации и единого подхода к статистическим данным. Международная инфор-

мация как особый вид информации нуждалась в специализированных методах обработки. В условиях динамического развития событий в стране крайним анахронизмом оказался действующий с момента окончания второй мировой войны режим секретности. Еще в 1989 г. начались подготовительные работы по созданию нового более совершенного информационного режима. Первый исследовательский этап работы охватывал период с 1988 по 1990 г. и включал в себя разработку проекта закона о государственной тайне и о защите секретной информации, а также поиск концепции предотвращения ущерба от некорректного классифицирования информации. На Министерство иностранных дел были возложены задачи поиска правовых и процедурных норм классифицирования внешнеполитической информации. В комплексе возникших проблем ведущее место заняла проблема построения математической модели воздействия классифицирования информации на безопасность страны. Таким образом, проблема корректного описания и прогнозирования информационных потоков в системе МИД оказалась в ряду стратегических, особо важных для государства.

Международные отношения, как известно, включают в себя всю совокупность отношений между странами, в том числе, политические, экономические, военные, научные, культурные и т.п. Моделирование представляет собой действенный инструментарий, позволяющий объяснять и прогнозировать исследуемый наблюдаемый объект. Представители точных (естественных) и гуманитарных наук в понятие модели вкладывают неодинаковый смысл , наблюдается так называемая методологическая дихотомия, когда противопоставляется историко-описательный (или интуитивно-логический) подход представителей гуманитарных наук аналитико-прогностическому подходу, связанному с применением методов точных наук.

Как отмечает А.Н. Тихонов 2 "Математическая модель -приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира , выраженное с помощью математической символики". Под математическим моделированием понимается, обычно, изучение явления с помощью его математической модели. В цитируемой статье А.Н. Тихонов подразделяет процесс математического моделирования на 4 этапа-

1. Формирование закона, связывающие основные объекты модели, что требует знания фактов и явлений, относящихся к изучаемым явлениям- эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели;

2. Исследование математических задач , к которым приводит математическая модель. Основной вопрос этого этапа-решение прямой задачи, т.е. получение через модель выходных данных описываемого объекта- типичные математические задачи здесь рассматриваются как самостоятельный объект;

3. Третий этап связан с проверкой согласования построенной модели критерию практики. В случае, если требуется определить параметры модели для обеспечения ее согласования с практикой- такие задачи называются обратными;

4. Наконец, последний этап связан с анализом модели и ее модернизацией в связи с накоплением эмпирических данных.

Существует распространенное мнение, что социальные науки не имеют своего специфического, только им присущего метода- потому они так или иначе преломляют применительно к своему объекту общенаучные методы и методы других наук. Математизация социальной науки обусловлена стремлением облечь свои положения и идеи в

точные, абстрактные математические формы и модели, желанием деи-деологизировать свои результаты.

Модели экономических взаимоотношений между государствами и регионами представляются нам достаточно проработанной областью- наука о применении количественных методов в экономических исследованиях получила название эконометрия. Пик исследований в этой области связан, повидимому, с известной работой Д. Форрестера "Мировая динамика" , в которой описана модель глобального развития , реализованная на специальном машинном языке "DINAMO". Менее известны результаты математического моделирования политических процессов. Описание политического поведения государств на международной арене является слабо структурированной, плохо поддающейся формализации много факторной задачей. В попытках теоретического обоснования внешней политики с начала XX века выдвигались различные идеи, начало которых имеет истоки в политической жизни античной Греции и Рима- течение в рамках историко-философского, морально-этического и правового подходов получило название "политического идеализма", синонимами которого являются также названия " морализм", "нормативизм", "легализм". Практический опыт предвоенного кризиса и второй мировой войны выдвинул новые идеи прагматизма, который позволил бы увязать теорию и практику внешней политики с реальностями XX века. Эти идеи послужили основой для создания школы "политического реализма", лидером которой стал профессор Чикагского университета Г. Морген-тау. В стремлении уйти от идеологии реалисты все чаще стали обращаться к исследованию эмпирических данных математическими методами . Так появилось течение "модернистов", которые зачастую абсолютизировали математические методы в политике как единственно достоверные. Наиболее взвешенным подходом отличались работы

Д.Сингера, К. Дойча, которые видели в математических методах действенный инструментарий, но не исключали из системы принятия решения человека . Известный математик Дж. фон Нейман считал, что политика должна выработать свою математику; из существующих математических дисциплин наиболее применимой в политических исследованиях считал теорию игр. В многообразии формализованных методов чаще всего встречаются методы контент-анализа,3 ивент-анализа4 и метод когнитивного картирования.5

Идеи контент-анализа (анализ содержимого текста) как метода анализа наиболее часто встречающихся сочетаний в политических текстах привнесены в политику американским исследователем Г. Лас-суэлом6 . Ивент-анализ (анализ событийных данных) предполагает наличие обширной базы данных с определенной их систематизацией и обработкой матриц данных. Метод когнитивного картирования разработан в начале 70-х годов специально для политических исследований. Его суть состоит в построении комбинаторного графа, в узлах которого стоят цели, а ребра задают характеризацию возможных связей между целями. Указанные методы все же нельзя отнести к математическим моделям, так как они направлены на представление , структуризацию данных и составляют лишь подготовительную часть количественной обработки данных. Первой математической моделью, разработанной для чисто политической науки, является известная модель динамики вооружений шотландского математика и метеоролога Л. Ричардсона , впервые опубликованная в 1939 г.7 Л. Ричардсон предположил, что изменение совокупного размера вооружений стороны, участвующей в гонке вооружений пропорционально наличным вооружениям противоположной стороны , причем сдерживающим фактором является собственная экономика, не выдерживающая бесконечного бремени вооружений. Эти простые соображения , переведен-

ные на математический язык, дают систему линейных дифференциальных уравнений, которая может быть проинтегрирована : 6А

-=кВ-\А+Ш

с1В

— = тА-пВч^(0.

(11

Вычислив коэффициенты к,1,т,п , Л. Ричардсон получил удивительно точные согласования расчетных данных с эмпирическими на примере 1-ой мировой войны, когда с одной строны были Австро-Венгрия и Германия , а с другой Россия и Франция. Уравнения позволили объяснить динамику вооружений конфликтующих сторон .

Именно математические методы позволяют объяснить динамику роста населения, оценить характеристики информационных потоков и других явлений в социальном мире. Приведем , например, оценку динамики распространения математических методов в международных исследованиях. Пусть Х(Ч) - доля математических методов в совокупном объеме исследований по международной тематике на момент времени 1;. Допуская , что прирост исследований по теории международных отношений , использующих математические методы, пропорционален их наличной доле , а также степени удаленности от насыщения А, имеем дифференциальное уравнение:

ах

— = кХ(А-Х), решением которого является логистическая кривая.

Наибольших успехов в международных исследованиях добились методы, позволяющие статистически обрабатывать совокупность данных внешнеполитической информации. Методы факторного,

кластерного и корреляционного анализа позволили объяснить , в частности, характер поведения государств при голосовании в коллективных органах (например, в конгрессе США или на Генеральной Ассамблее ООН). Фундаментальные результаты в этом направлении принадлежат американским ученым. Так, проект "A Cross-Polity Survey" выполнялся под руководством A.Banks и R. Textor в Массачусетсом технологическом институте. Проект " Correlates of War Project: 1918-1965", который возглавлял D. Singer, посвящен статистической обработке объемной информации о 144 нациях и 93 войнах за период 1818-1965 годы. В проекте "Dimentions of Nations" , который разрабатывался в Северо-Западном университете использовались компьютерные реализации методов фактор-анализа вычислительных центров Индианского, Чикагского и Йельского университетов и т.п. Практические задачи по разработке аналитических методик по конкретным ситуациям неоднократно ставились госдепартаментом США перед исследовательскими центрами. Так, например, Д. Киркпатрик -постоянный представитель США в Совете Безопасности, попросила разработать методику , по которой американская помощь развивающимся странам ставилась бы в четкую корреляционную зависимость от результатов голосования на Генеральной Ассамблее ООН этих стран в сравнении с позицией США. Госдепартаментом США также предпринимались попытки посредством анализа данных экспертного опроса оценить вероятность захвата американского посольства в Тегеране во время известных событий. Достаточно полные обзоры по применению математических методов в теории международных отношений составлены, например, М. Николсоном 8, М. Уордом 9и др. .

Исследование современных международных отношений количественными (математическими ) методами в Дипломатической ака-

демии МИД России проводится с 1987 г. Автором построены модели структуризации и прогнозирования результатов голосования на Генеральной Ассамблее ООН как с использованием компьютерных статистических пакетов, так и с использованием собственных алгоритмов структурной обработки данных. Принципиально новые модели структуризации потоков внешнеполитической информации были разработаны автором в рамках межведомственной правительственной программы "Секрет" при разработке проекта нового государственного информационного режима. Необходимость разработки новых алгоритмов структурной обработки данных настоятельно диктуется практическими потребностями МИД : новая высокоскоростная и высокоэффективная компьютерная техника не позволяет такой роскоши, как старые и слишком общие алгоритмы. Основная идея управления потоками внешнеполитической информации на базе синтетического критерия могущества государства восходит к ранним работам Г. Моргентау10. Индикаторы мо�