автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение компактных разностных схем для численного исследования нестационарных течений вязкого газа

МОСКОВСКИЙ (МЗИКО-ТЕХНИЧЕСКШ ИНСТИТУТ

г-г: ОЛ

я , л„_ На правах рухсписи

2 4 ОПТ УДК 519.6

МузафароБ Ильдар Фуадович

Применение компактных разностных схем для численного исследования нестационарных течений вязкого газа

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Московском (физико-техническом институте

Научнай руководитель: Научный консультант:

Официальные оппоненты:

академик РАН

Белоцерковский О.М., '

кандидат физико-математических наук, доцент Утюжников C.B.

доктор физике - математических наук, профессор Толстых А.И., кандидат физико - математических наук Васильевский С.А.

Ведущая организация; Институт Динамики Геосфер РАН

Защита состоится " " 1994г. в " " часов

на с.аседашш специализированного совета К 063.9» .03 при Московском физико - техническом институте по адресу: 141700, г.Додгопрудный Московской области, Институтский пер., д.9.

с диссертацией можно ознакомиться и библиотеке ЮТИ.

Автореферат разослан " " 1994г.

Ученый секретарь специализированного совета К 063.91.03. д.ф,-м.н.

Сашповский А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАВОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ.

* Состояние современных методов численного моделирования течений вязкого газа позволяет сделать вывод о наличии тенденции к созданию численных методов, ориентированных аа определенный класс задач: при построении метода учитываются не только свойства решаемой системы уравнений, но и особенности течений, для которых •будет проводиться численное-моделирование.

В ряде задач для получения детальной картины решения на реальных расчетных сетках, особенно при расчете на большие времена, необходимо применять методы, яспользуюпдае разностные схемы повышенного порядка аппроксимации. К таким задача;.!, например, относятся сравнительно "гладкие" течения с большими характерными временами <5ез столь ярко выраженной составляющей как мощная ударная волна. Эффективность использования таких алгоритмов тесно связана с проблемой адаптации расчетной сетки к получаемому решению. Следует отметить, что применение в подобных задачах популярных в последние года методов' тала ТУВ, ЕКО может приводить к существенному искажению картины течения.

Актуальными в этой связи являются разработка и применение высокоточных численных методов, ориентированных на определенный класс задач, и использующих адаптивные к релешю разностные сетки.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в:

- разработке высокоточного численного метода решения нестационарных уравнений Н&вье- Стокса сжимаемого газа на основе-применения компактных разностных схем А.И.Толстых и подвижных адаптивных к получаемому решению разностных сеток;

- применении данного метода к исследованию нестационарных течений вязкого газа в стратифицированной атмосфере Земли.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

Впервые компактные разностные схемы Толстых применены к исследованию нестационарных течений вязкого газа.

Для конечно-разностного метода с компактными аппроксимациями разработана методика применения подвижных, адаптивных к решению криволинейных сеток.

- г -

Разработан алгоритм построения компактных схем на границе, реализующих условия совместности со вторым шш третьим порядком аппроксимации и согласованных с компактными аппроксимациями • внутри области, который позволяет вместе с граничными условиями корректно -замкнуть разностную задачу. Предложенные приграничные аппроксимации вместе с аппроксимациями внутри области обеспечивают выполнение условия интегрального баланса во всей области течения. '

Предложен алгоритм задания граничных условий для компактных разностных аппроксимаций на основе характеристических соотношения.

Предложена модификация консервативного варианта охемы Толстых, позволяющая сохранить третий порядок аппроксимации во ьсой расчетной области, включая точки смены знака собственных значений характеристической матрицы.

Предложена модификация схема Толстых ляя расчёта течений с большими градиентами и ударными волками.

Впервые решена комплексная задача о пролете летательного аппарата через всплывающий термик в стратифицированной атмосфере.

Получены новые результаты по численному моделированию последствий крупных пожаров: исследовано влияние туроулизаши потока, изучена ьависимоеть параметров течения и его структуры от размеров очага. Численно подтвержден экспериментальный результат о понижении высоты верхней кромки облака продуктов сгорания после отключения очага пожара на поздней стадии (после зависания продуктов пожара).

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.

Разработанный в работе метод с использованием подвижной адаптивной- к решению разностной сетки позволяет детально исследовать широкий класс вязких и невязких двумерных г по пространству) нестационарных течений на относительно крупных сетках. Метод легко может быть обобщен на случай трехмерных задач. Методика применения адаптивной подвижной, сетки легко может быть использована для большинства разностных методов. Численное моделирование течений вязкого газа в стратифицированной атмосфере Земли дает ряд новых качественных и количественных результатов.

АЛРОБАШЯ РАБОТЫ.

Основные результаты диссертации докладывались на -1-й Международной школе-семкнаре "Метода гидрофигяческ их исследований". в Светлогорске, 1-7 мая 19Э2Г.; на научной конференции ¡ЛГУ "Современные проблемы газодинамики я I тепломассообмена и пути повышения эффективности энергетических установок". I993t на 19-й Международной научной конференции по ударным во.тзам в Марселе, Франция, 1993г. (19 Int. Conlei'ence On Shock (Vave3, Marsel, 1993.); на семинарах под руководством академика О.М.Белоцерковского.

ПУБЛИКАЦИИ.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах (1-91.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ.

диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, содержит 154 страниц (89 - текст, Ю -литература), "< таблицу и 62 рисунка.. Список литературы содержит 1 !4 наименований.

С0ДЕР5ШШБ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ приводится обзор . разностных методов решения уравнений Навье- Стокса вязкого сжимаемого газа. Подробно обсуждены метода построения схем поименной точности и место, занимаемое в них алгоритмами с компактными разностными аппроксимация!.®. • На основании обзора делается вкьод о необходимости разделения численных методов по классам задач. В этой связи делается еывод об актуальности разработки численного метода, основанного на компактных разностных аппроксимациях высокого порядка. . Приведен- обзор работ по численному моделированию , термикоэ и пожаров ~ процессов, проходящих в стратифицированной 'атмосфере.

ПЕРВАЯ ГЛАВА. диссертации посвящена обпей постановке задачи нестационарного вязкого течения з страгифицированкой атмосфере Земли.

В $1.1 приводится, полная система уравнений Навье- Стокса сживаемого. газа при наличии пой- cam тякзетк к источнике

объемного энергоБыд&пения. Система уравнений приводится к виду, удобному для численной реализации, использующей компактные аппроксимации. Приведена алгебраическая модель турбулентности, применяемая в данной работе для моделирования турбулентности. Приведена постановка Граничных условий.

На оси симметрии ставятся условия симметрии для термодинамических функций и г - компоненты скорости, а также условие равенства нулю г -- компоненты скорости.

На Земле, которая рассматривается по модели "стенка", ставятся три граничных условия (непротекания, прилипания и "мягкое" условие для внутренней энергии).

На искусственных границах, которые считаются достаточно удаленными от основного течения, влияние диссипатнвшх процессов считается малым, так что граничные условия ставятся на основе анализа собственных чисел характеристической матрицы: граничные условия ставятся только для приходящих в область характеристик.

Б Я .2 рассматривается сохранявшее начальную форму записи преобразование системы уравнений при переходе к произвольной системе координат. При этом члены системы уравнений, записанные в старой системе координат ь консервативной форме, сохранят таковую и в новой.

3 Я.З приводятся сведения яо компактным разностным схемам А.И.Толстых и описывается метод решения уравнений Навье- Стокса, базирующийся на этих схемах.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена теоретическим аспектам численного метода с применением компактных аппроксимаций и адаптивных к решению подвижных криволинейных сеток.

В §2.1 показано, что замыкание задачи на границе разностными граничными условиями, которые не следуют из математической постановки задачи, может приводить к невыполнению условия интегрального баланса во всей расчетной области. Поэтому вместо нефизических граничных услозий предлагается продолжать на границе аппроксимацию определяющих уравнений (реализация так. называемых условий совместности) с помощью специально подобранных односторонних компактных разностных схем, согласованных с • внутренними шшрокспм алиями. Строятся такие односторонние аппроксимации. Показывается, что применение таких схем совместно • с разностными уравнениями ео внутренних узлах обеспечивает

выполнение условия интегрального баланса на разностном уровне.

В §2.2 строится вариант компактной разностной схемы А.И.Толстых, обладающий, как и базовый вариант, свойством консервативности и третьим порядком аппроксимации, и сохраняющий третий порядок аппроксимации в окрестности точек смены знаков собственных значений характеристической матрицы (в отличие от базового). Для этого варианта строятся "граничные" операторы, •обеспечивающие условие интегрального баланса и корректное задание граничных условий (аналогично §2.!)_. При численной реализации и в расчетах брались компактные операторы, описанные в этом параграфе.

В §2.3 приводится описание аппроксимации уравнения параболического типа. Для аппроксимации диссипатигзного члена предлагается вариант компактного' оператора, сохраняют,его аппроксимацию в течках переключения знака собственных значений характеристической матрицы.

¿2.4 посвящен постановке разностных граничных условий. В начале параграфа описывается оощая схема замыкания разностной задачи граничными условиями, следуяцими из дифференциальной постановки, и условиями совместности, которые следуют из аппроксимации определяющих уравнения спещтьно подобранными операторам на границе. Подробно описана процедура постановки грашгаых условий на основных типах граним.

В §2.5 показано, что строго консервативная форма записи определяющих уравнений в произвольной криволинейной подвижной системе координат при численной реализации может приводить к существенным искажениям в решении, если не уделять специальное внимание так называемым геометрическим законам сохранения. Б строго консервативной форме записи уравнений движения метрические коэффициенты находятся под знаками дифференциальных операторов и подчиняются собственным тондествам:

а 1 г ^

---+ $ = О

эх о- а?-1 ъ

а

—т е =0, 1 1.2С.З)

В консервативной ферме записи уравнений движения эти тождества вытекают из результирующих выражений. Если же осуществляется переход к дискретной модели, то сами по себе геометрические законы могут нарушаться. Причина этого в несогласонандостп аппроксимации уравнений движения с вычислением

геометрических переменных с . £ <1.

t >Г '

Б §2.6 описан известный способ согласования расчета геометрических переменных -(а именно, якобиана) с расчетом определяющего уравнении. В зависимости от выбранного способа аппроксимации уравнений движения якобиан вычисляется но из

аналитического выражения л - ¿е* | с 11, а по формуле

з

+ ]}*(;)"■-

ша, для другого варианта аппроксимации определяющего уравнения.

а

- ¿г

а?

а

1

Делается вывод об улучшении качества получаемого решения, сдаако в ряде практически важных случаев изменения во времена расчетной сетки решение существенно искажается.

В §2.7 делается вывод о недостаточности выполнения закона сохранения объема для выполнения такого ванного свойства численного метода как сохранение постоянного решения. Предлагается подход, основанный на интерпретации геометрических переменных в методе конечных разностей как переменных метода конечных объемов. Такой подход дает возможность однозначно

определить переменные 5 , которые содержат (в отличие от

t

предыдущего подхода) всю информацию о перемещении ячейки: перенос, вращение к деформацию. Однако предлагаемый подход ориентирован на симметричные разностные формулы. При реализации с компактными аппроксимациями данный подход хорошо зарекомендовал себя с подвижными равномерными сетками. Использование подвижных адаптивных криволинейных сеток потребовало другого решения.

В §2.8 впервые предлагается процедура ' ярзоср&зоважя определяющих уравнений, автоматически учитыващая геометрические законы сохранзш!я, после зтапа временной дискретизации. Это позволяет сохранить члены в кеяевоя левой части аппроксимируемого уравнения в строго консервативной форма, что существенно необходимо при использовании компактных разпосткых формул. Анализ полученного уравнения и численные расчеты показали хорошую работоспособность предложенного подхода.

' §2.9 является итоговым для второй главы. В нем выводятся окончательные формулы числешюго метода решения полной систомы уравнений Навье- Стокса сжимаемого вязкого газа. При вывода используются результаты, полученные во второй главе.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена численному моделированию течений вязкого газа в страгифицкроазшюй атмосфере.

В §3.1 приводятся результаты тестовых расчетов, анализируются сходимость решения по евткз и точность получаемых результатов, эффективность применения адаптивных сеток.

В §3.2 исследуется влкяше диссштативакх процессов на динамику течения в термшшх. Термик - облако нагретого газа, которое может образовываться в атмосфере Земли после взрывов, из-за течений океана, в результате пожаров и т.д. Под действием архимедозой сил» облако всплывает, образуя шаревсе кольцо. При. ■ варыгроваюш числа Рейнэльдса .{эффективное число Рзйнсльдса определяется турсулазацизй- потока) было получено, что при малых, значениях яв сначала движение газа сопровождается его схлоаываиием к центру (ряс.1, ке = ¡00). Такое явлениз объясняется значительным преобладанием в данный период времени дассЕПативных .(тешкизреведных) процессов над конвективными, В дальнейшем под влиянием силы Архимеда происходит сворачивание газа в вихревое кольцо .{рис.2), При более высоких числах к« (а® * 500) дассшатданш процессы значительно слабее, поэтому тепловая волна, хотя V существует, является суаествешо* более слабой. Изменение давления при зтом почти ке сказывается на поле скоростей (рис.3).

В 53.3 приводятся описание и некоторыз результаты' решения задачи о пространственном течении вязкого га;-а около затупленного тела, пролетающего со сверхзвуковой скоростью горязонтально через облако нагретого воздуха (термика)'.

В §3.4 проведено численное исследование осесимметричного термина в неоднородной сжимаемой атмосфере. Показаны преимущества использования адаптивных к решению сеток, получено хорошее совпадение с результатами эксперимента и расчета. Алгоритм и программа построения сеток были разработаны Д.Х.Ганькой. На рис.4- 5 для различных моментов времени показаны изолинии температуры и поле скоростей (рис.4а, 5а); изолинии плотности (рис.46, 56); расчетная сетка (риб.4в, 5в). Хорошо видно, что узлы расчетной сотки сгущаются в области повышенных градиентов весовой функции. - плотности (рис.4). Более равномерное распределение узлов сетки з поздний момент времени (рис.5) объясняется меньшими по абсолютным значениям величинами градиентов весовой функции.

В §3.5 численно исследуется подъем продуктов сгорания над крупными пожарами е стратифицированной атмосфере. Исследована . динамика формирования газодинамического течения .при пожаре больших размеров, исследовано влияние турбулигации потока, изучена зависимость параметров течения и его структуры от размеров очага. Численно подтвержден экспериментальный результат о понижении высоты верхней кромки облака продуктов сгорания после отключения очага пожара на поздней стадии (после зависания продуктов пожара). Получена детальная картина течения. На рис.6 показано распределение примеси для пожара с радиусом очага 5км. На рис.7- 8 показаны поля скоростей для пожара с радиусом очага 22км в различные моменты времени. Хорошо видна ячеистая структура течения.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулирована основные результаты: I. Виервые компактные разностные схемы Толстых применены к исследованию нестационарных течений вязкого газа.

1.1. Разработан алгоритм построения компактных схем на границе, реализующих условия совместности со .вторым или третьим ■ порядком аппроксимации и согласовашшх с компактными аппроксимациями внутри области, который позволяет вместе с граничными условиями корректно замкнуть разностную задачу, Прадложенше приграничные аппроксимации вместе с

• аппроксимациями внутри области обеспечивают выпо-шение условия интегральное баланса во всей области течения.

1.2. Предложен алгоритм задания граничных условий для компактных

разностных аппроксимаций на ' основе характеристических соотношения. . .

1.3. Предложена модификация консервативного ; варианта схемы Толстых, позволяадая сохранить третий порядок'аппроксимации во всей расчетной области, включая точки' смены знака собственных значений характеристической матрицы*.

1.4. Схема Толстых модифицирована для расчета течений с большими градиента;.« и ударными волнами.

1.5. Для конечно-разностного метода с компактными аппроксимациями предложена методика применения подвижных, адалтнвных к решению криволинейных соток. ' '

1.6. На основе предложенного численного метода реализована компьютерная программа решения уравнений Эйлера я Навье-Стокса.

2. Проведено численное моделирование вешштия терминов в стратифицированной атмосфере,

2.1. Проведено исследование влияния диссипзтивных процессов на динамику течения в терминах,

2.2. Решена комплексная задача о прологе летательного аппарата через вешшваиций тзрмик в стратифицированной атмосфере.

3. Проведено численное моде;глрова;ше последствий крупных пожаров. Исследована динамжа Армирования газодинамического течения при пожаре больких размеров, исследовано влияние турбулизации потека, изучена'зависимость параметров течения и его структуры от размеров очага. Численно подтвержден экспериментальный результат о кошшошш высоты верхней кромки облака продуктов сгорания лослб отключения- очага пожара на-поздней стадии (после зависания продуктов пожара).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1, И.Ф.МузаФаров, С.В. Ушдагксв. Применение компактных разностных схем к исследованию нестационарных течений сживаемого газа. // Матом, моделирование, 1993, Т.5, КЗ, с.71-83

2. I.P.Muzafarov- and S.V.Utyu2hnlkov. Nuaerlcal Investigation oi Dlsslpative Process Influence lor Termic Motion Iii . Stratm&d Atmosphere.. //Russian J. o£ Comput. Mech., 1993, ;

N.3

3. И.Ф. Музафароз» Г.А. Тярскяй, С.В, утюжников, Н.К. -Ямалеев. Численное моделирование течения вязкого газа около тела, пролетавшего, через облако нагретого газа. // Матем. моделирование, I&93, Т.4» N9

4. I.F. Muzaiarov, G.A. TlrsKil. S.V. Utyuzhtolkov, N.K. Yanaleev. Nu®er.lcal Simulation 0Г The Viscous Flow Over Body Flying Through Theraal In A Stratified Atmosphere. // Computers s> Fluids. Vol.23, No.2. pp,295-304. 1994.

5. Muzaiarov I.F., Nablsv 7.U., Utyuzhnlkov S.V., and Yamaleev U.K. Viscous Hypersonic Flow Over A Body Flying Through A Thermal In The Atmosphere. // Proceedings or the t9 Int. Conference On Shock Waves, Marsel, 1993.

6. И.Ф. Мугафаров, С.В. Утюжников. Численное исследование турбулентного движения терминов е верхних слоях атмосферы» // 4-я Мс-адунар. школа-семинар "Метода гвдрофйзичвских исследований", Светлогорск, 1-7 мая 1992г. Тезисы докладов. Москва, 1ЭЭ2, с.60

7. Д.Х.Ганька, А.В.Конюхов, М.Б.Ыешержов, И.ф.музафаров, с.В.Утюжников. Численное моделирование влияния турбулентного перемешивания на динамику движения газа в термиках. // Современные проблемы газодинамики и тепломассообмена и пути повышения эффективности энергетических установок. Тезисы докладов. М1ТУ. 1993, с.87-88

8. й.Ф.Музафаров, С.В.Утшжков. Применение компактных разностных схем к решению квазилинейной смешанной задачи для гиперболической и параболической систем уравнений. Препринт 1№ТИ №а. U. ,1994. 32с» •

9. Д.Х.Ганьжа, И.Ф.Кузафаров, С.В.Утюжников. Применение подвижных адаптивных с&тох •. в алгоритмах с компактными аплрокс&мааммн // СС. "Проблемы математики в задачах физики к семики, М.: М®ГИ1 1994."

c/jrr^ #.09.9«, ¿ах, Js. %

-li-

li о Ci

8709

WSS

ChrOS

Ы»ц

гсо*

0îsr

Vj'

и ш и

О

s -.ГЧ

fe s <V

tn 4

! -в"

I! в

œ

«

¡N

см

-4"

О I!

sees

"S

r-r-f

ÍSffi

И'«

TEPfIMK

raeMnaparaypa

! t = 690 t---20.G09aec.

ro/rol fítrt! )

94

Pcduycrff

1=266.3 laet= 1057,3 dsUc=87.9 /"fe. $a

0' • ife-lfeá— PatXí^fí 1*0.3' last=L0 dalla* 0,1 /o#c. <<

cernea

Paauyc,n

i-0.0 lB8t = 0.0 delte- 0.0

i

IM

ТЕРМИК

температура

К= 1094

га/га(at.ni )

1= ¿(0.012 зес.

; ' РиОиуС.Я 1=229,3 1о»1*5в2.

7 А»иэ-»39.3

1=0.ч

■ ' Ло2' "'ЙЗГ'^гЬ*

Радиус,1

сетка

I

2Ш "Й24 РскЧд/г.я 1=С,С 1вв*.-0.0 ЙвПа'О.О

рис . з и.

/01/С.

У<Г

он с .

пожар

It« 415

1200.980 звс.

г f 1 ге~- 22000

g ск оросят»

Si

g S..

3"

39.671 м/с

2СЙЙ Po&fjti.n

рЧС. 7-

rraxop

11= 1304

1=3602.220 sec.

r f Ire» 22000

• CKppOCnS>

Hrrr:

^ ^

55.019 m/C

Pofluyo.n

cr. t

pire. S