автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение канонического нормального распределения для решения задач текстурного анализа

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНЖЕНЕРНО —

ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

ИВАНОВА Татьяна Михайловна

ПРИМЕНЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕКСТУРНОГО АНАЛИЗА.

05.13.16-применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов для научных исследований

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических

наук

Автор: ^МрП Научные руководители:

доктор физико - математических наук профессор Савелова Татьяна Ивановна кандидат физико - математических наук профессор Васильков Дмитрий Алексеевич

МОСКВА - 1998

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 5

1 ГЛАВА 1.

Основная задача текстурного анализа 11

1.1 Описание структуры поликристаллических материалов..............18

1.2 Задача обращения. Некорректность......................................24

1.3 Современные методы решения............................................25

2 ГЛАВА 2 Ч -.-.^соа« Канонические нормальные распределения; .-11«;

группе вращений трехмерного пространства 30

2.1 Обоснование возможности аппроксимации ФРО

нормальными распределениями..................... 30

2.2 Определение нормального распределения

на группе 50(3).............................. 31

2.3 Свойства КНР............................... 36

2.4 Полюсные фигуры, порождаемые

каноническим нормальным распределением............... 41

2.5 Построение аналитических приближений КНР............ 42

2.6 Нормировочная константа при малых значениях

параметров рассеяния........................... 46

3 ГЛАВА 3

Возможности новой параметризации 48

3.1 Новые параметры вращения..............................................48

3.2 Связь между ФРО и ПФ..............................53

3.3 Связь ПФ с решениями ультрагиперболических

уравнений.......................................53

3.4 Получение аналитического приближения для ПФ .......... 54

4 ГЛАВА 4

Решение задач текстурного анализа 60

4.1 Вычисление канонических нормальных распределений

на группе вращений трехмерного пространства............ 60

4.2 Вычисление полюсных фигур от канонических

нормальных распределений ....................... 63

4.3 Решение модельной обратной задачи в случае

кубической симметрии монокристалла................. 64

4.4 Симметризация ФРО в случае

кубической симметрии монокристалла................. 69

5 ГЛАВА 5

Области зависимости полюсных фигур 73

5.1 Дифференциальное уравнение для

полюсных фигур.............................. 73

5.2 Следствие теоремы Асгейрссона..........................................77

5.3 Пример областей зависимости......... ..........................79

6 Приложение 85

6.1 Исследование функции Н{1) в случае

кругового распределения..................................................85

6.2 Исследование Н{{) в случае

распределения с тремя параметрами....................................88

7 Заключение 90

7.1 Основные результаты диссертации........ ........................90

8 Список литературы 92

9 Рисунки 102

ВВ ЕДЕН И Е

Вопросы, рассматриваемые в диссертационной работе связаны с решением задач текстурного анализа. Объектом текстурного анализа являются материалы, состоящие из кристаллитов различной ориентации. С математической точки зрения макроскопическое физическое свойство поликристаллического образца, измеряемое в некотором направлении, является усреднением соответствующего свойства отдельных кристаллитов по плотности распределения их ориентаций, традиционно называемой в текстурном анализе функцией распределения ориентаций (ФРО). Для изучения анизотропии физических свойств поликристаллических материалов необходимо знание ФРО. К сожалению, сама функция распределения ориентаций вряд ли может быть установлена экспериментально. Обычно в ходе дифракционных экспериментов получают одну или несколько полюсных фигур (ПФ), являющихся определенными интегральными проекциями ФРО.

В первой главе диссертационной работы формулируется основная задача количественного текстурного анализа — задача обращения полюсных фигур. Отмечено, что из-за специфики эксперимента (неразличимости прямого и обратного направления) невозможно восстановить некоторую часть функции распределения ориентаций, а именно, нечетную часть ее разложения по обобщенным шаровым функциям. Таким образом, задача восстановления ФРО по экспериментально полученным полюсным фигурам является некорректно поставленной. В главе содержится обзор методов решения данной задачи. Одна из возможностей получения ФРО основана на поиске решения в определенном классе (на компакте). На этом принципе основан метод, рассматривающий сложные текстурные образования как сумму взвешанных текстурных компонент. В рамках этого метода основной задачей является разумный выбор класса возможных решений. В

данной работе предлагается считать функцию распределения ориентаций суммой канонических нормальных распределений (КНР) на группе вращений трехмерного пространства. КНР зависит от шести параметров, три из которых задают центр распределения в ориентационном пространстве, а остальные являются аналогами дисперсии.

В работе обоснована возможность аппроксимации функции распределения ориентаций суммой КНР. Среди прочих аналогов классического гауссовского распределения каноническое нормальное распределение на группе вращений выделяется благодаря своей связи с центральной предельной теоремой, приведенной во второй главе. Отмечено, что представление нормального распределения в виде ряда Фурье по обобщенным шаровым функциям связано с выбором базиса представлений группы вращений. На самом деле КНР является суммой следов определенного вида матриц, и может быть вычислено в любом подходящем базисе. На основе этого факта получены свойства КНР, являющиеся аналогами соответствующих свойств нормального распределения в евклидовом пространстве.

Необходимость получения аналитического приближения для канонического нормального распределения обусловлена тем, что вычисление последнего является сложной проблемой. Для решения задач текстурного анализа необходимы более простые в вычислительном плане функции. В главе построено распределение, аппроксимирующее КНР в широком диапазоне параметров рассеяния. Функциональная часть распределения имеет простой вид. Для получения нормировочного множителя не требуется проводить интегрирование по всему пространству вращений. Достаточно найти сумму следов трехдиагональных матриц, что соответствует вычислению КНР в точке максимума.

В третьей главе предлагается нетрадиционная параметризация группы враще-

ний, полученная при переходе из пространства вращений в трехмерное проективное пространство. Приводится связь новых параметров хх. Х2, с углами Эйлера и вычисляется якобиан перехода. Предложенная параметризация позволяет получить связь полюсной плотности (ПФ) с функцией распределения ориентаций в виде интеграла по некоторым прямым. В заключение путем асимптотического интегрирования получены аналитические приближения полюсной плотности, порождаемой каноническим нормальным распределением.

Четвертая глава посвящена решению задач количественного текстурного анализа. Прямая задача состоит в вычислении полюсной фигуры для функции распределения ориентаций, являющейся каноническим нормальным рапределением. Вычисление самого КНР и ПФ для него сводится к трехкратному суммированию рядов по гармоническим полиномам на 50(3) и б'2 соответственно. Коэффициенты этих рядов могут быть получены только численно. Из-за неустойчивости суммирования таких рядов при рассчетах вводились регуляризирующие множители. Вычисления показали, что в диапазоне параметров, необходимом для решения задач текстурного анализа, канонические нормальные распределения на 50(3) и порождаемые ими полюсные фигуры хорошо аппроксимируются предложенными аналитическими функциями.

При решении модельной обратной задачи функция распределения ориентаций считается суммой текстурных компонент с некоторыми весами. Каждая текстурная компонента является каноническим нормальным распределением с неизвестным центром и рассеянием. Исходными данными являются полюсные фигуры, порожденные такой ФРО. Таким образом, задача сводится к отысканию относительного небольшого количества параметров. При кубической симметрии монокристалла и разделяющихся максимумах для решения достаточно одной полюсной фигуры. Сначала геометрическим методом устанавливаются центры тек-

стурных компонент. Вычисление весов и параметров рассеяния осуществляется методом наименьших квадратов. При этом значения параметров находятся путем итераций. При решении возникающих в процессе итераций систем линейных уравнений контролируются числа обусловленности их матриц. Одновременно осуществляется регуляризация решений систем. Критерием окончания процесса итераций является значение параметра, характеризующего отклонение вычисленной полюсной плотности от заданной. По найденным значениям параметров вычисляется функция распределения ориентаций.

В пятой главе анализируется связь полюсной плотности с решением ультрагиперболического уравнения. Отмечено, что полюсные фигуры имеют области зависимости, т.е., что значения полюсной плотности в некоторых областях зависит от ее значения в других областях. Это свойство полюсных фигур можно использовать при проверке согласованности экспериментальных данных и для вычисления значений полюсной плотности для неполных ПФ. В главе приведено дифференциальное уравнение для полюсных фигур и осуществлен переход к ультрагиперболическому уравнению в декартовых координатах, через решение которого выражается ПФ. Далее сформулирована теорема Асгейрссона для решений ультрагиперболических уравнений. Из этой теоремы и следует наличие областей зависимости. В главе приведен небольшой пример существования областей зависимости для острых текстур с круговым распределением.

В заключении к работе сформулированы основные результаты исследований.

Актуальность работы

Разработка удобных численно-аналитических алгоритмов решения задачи восстановления функции распределения ориентаций определяет актуальность работы. 8

Цель работы

1. Вычисление и исследование КНР, имеющих некруговой характер рассеяния, и получение аналитических приближений для них.

2. Решение задачи восстановления ФРО по ПФ путем аппроксимации некруговыми КНР для кубической симметрии монокристалла.

3. Исследование связи ПФ с решениями ультрагиперболических уравнений и изучение областей зависимости полюсных фигур.

Научная новизна

Впервые рассмотрена функция распределения ориентаций, являющаяся суммой некруговых канонических нормальных распределений на группе вращений трехмерного пространства. В общем случае каноническое нормальное распределение представляется в виде ряда по обобщенным шаровым функциям. Поскольку вычисление некругового КНР крайне сложно, для решения задач количественного текстурного анализа необходимы аналитические приближения КНР. Для функции распределения ориентаций и полюсной плотности от КНР с некруговым рассеянием, предложены достаточно простые аналитические приближения, позволяющие решать задачу восстановления ФРО по измеренным полюсным фигурам.

На защиту выносятся

1. Метод получения аналитических приближений КНР на группе вращений трехмерного пространства

2. Применение новой параметризации группы вращений для

• получения связи между ПФ и ФРО в виде интеграла от функции полюсной плотности по некоторым прямым

• выяснения связи полюсных фигур с решениями ультрагиперболических уравнений

• получения классов функций, являющихся решениями ультрагиперболических уравнений, с целью их дальнейшего применения для аппроксимации ПФ.

3. Некоторые следствия связи ПФ с решениями ультрагиперболических уравнений.

Апробация и публикации

Основные результаты диссертации докладывались на Международном совещании по программированию и математическим методам решения физических задач (Дубна, 1993), 1С0Т0М-Ю (Clausthal, .1993), конференциях по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, 1996, 1998), конференциях Computational Modelling and Computing in Physics ( Дубна, 1996), Neutron Textures and Stress Analysis ( Дубна, 1997). Результаты проведенных исследований изложены в 11 работах (публикации б, 10-13, 25, 36, 44, 74, 75, 83 в списке литературы).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав, 2 приложений и заключения. Работа изложена на 133 страницах, из которых графический материал занимает 30 страниц. Библиография содержит 83 наименования.

1 ГЛ А В А 1.

Основная задача текстурного анализа

Для ясности дальнейшего изложения ниже приведены некоторые понятия, используемые в текстурном анализе.

Элементарные ячейки. Кристаллиты

Кристаллическая решетка разбивает пространство на подобные области — элементарные ячейки. Простая кубическая ячейка — это куб со стороной а, где а - постоянная решетки. В простейшем случае под кристаллитом подразумевается элементарная ячейка. Более крупные кристаллиты, существующие в действительности, можно рассматривать как большое число одинаково ориентированных элементарных ячеек [27,30].

Системы координат. Ориентация кристаллита

В текстурном анализе ориентация кристаллита является одной из основных величин. Для ее определения необходимо ввести две правые прямоугольные декартовы системы координат — систему Кд1 связанную с поликристаллическим образцом, и систему Кв, связанную с отдельным кристаллитом. Если К а может быть переведена в К в посредством вращения д : К в = дКл, то д и определяет ориентацию кристаллита [40].

Способ выбора К а зависит от геометрии образца или особенностей его обработки, например, в случае прокатанного образца ось Ха параллельна направлению

Рис. 1: Системы координат

прокатки, а 2а параллельна нормальному направлению. Выбор К в определяется геометрией элементарной ячейки. Если кристаллиты состоят из кубических элементарных ячеек, то оси К в параллельны векторам элементарной ячейки, которые в данном случае ортогональны [27,56].

Везде далее считаем К а и К в правыми прямоугольными декартовыми системами координат.

Текстура

Поскольку поликристаллический материал представляет собой совокупность очень большого числа кристаллитов, описать ориентации последних можно только статистически. Если всевозможные ориентации кристаллитов присутствуют примерно в равных количествах, то говорят о статистически беспорядочной ориентации

в поликристаллическом образце. Ей можно противопоставить такое расположение кристаллитов, при котором их ориентации более или менее близки. В этом случае поликристаллический материал имеет текстуру (т.е. предпочтительные ориентации). Чем более близки ориентации кристаллитов, тем острее текстура й-

Так как физические свойства кристаллитов анизотропны, то если распределение ориентаций не является беспорядочным, поликристаллический материал обладает макроскопической анизотропией. Таким образом, макроскопическая анизотропия является фундаментальным свойством всех поликристаллических материалов [27,38,76].

Группа вращений

Всевозможные вращения прямоугольной декартовой системы координат относительно некоторой неподвижной точки О (начала координат) образуют группу, изоморфную группе вращений трехмерного пространства. Далее обе группы будем обозначать S0(3). Всякое вращение g е 50(3) полностью определяется тремя независимыми параметрами [4,7,14,24].

Углы Эйлера

Обычно для определения вращения используют один из вариантов углов Эйлера. Любой элемент g € 50(3) можно представить как произведение трех поворотов, при помощи которых система кординат К а может быть переведена в Кв (по традиции в текстурном анализе повороты осуществляются вокруг подвижных осей, что ниже обозначено штрихами) [60,61,70]:

1. на угол ф вокруг оси 0zA, 0 ^ ф < 27г,

2. на угол в вокруг повернутой оси Оу', 0 ^ в ^ ж,

3. на угол <р вокруг повернутой оси Oz", 0 ^ tp < 2тг.

Рис. 2: Углы Эйлера произвольного вращения

Матрица вращения д = {ф,8,<р} в неподвижной системе координат, с которой начально совпадала К а, имеет вид Т(д) =

/ ... \

cos ф cos в cos ср - sin ф sin ip sin ф COS в COS <р + cos ф sin ip — sin в COS ip

- COS ф COS 9 sin <p - sin ф eos <p - sin Ф eos в sin <p + COS Ф COS tp sin в sin (p

eos ф sin в sin ф sin в COS в }

(1)

T(g) связывает координаты неподвижных векторов при вращениях системы координат. Пусть К а переведена в Кв вращением д. Тогда, если координаты неко-

торого вектора в КА есть (уъу2,уз), а в Кв - (Ль /12, то

Я = аду.

Т(^г) является ортогональной, унимодулярной матрицей:

Тт(д) ■ Т(д) = Е, АеЬТ(д) = 1.

Если д = {ф, 0, , то д 1 = {я- - в, ж - ■0} - есть обратное вращение.

Т(д~1) =Т-\д) = Тт(д).

В случае, когда координаты Н = {0,Ф} и у = {х?7?} фиксированы, совокупность всех вращений, переводящих К а в К в, является однопараметрическим семейством:

где {ф, в, <£>} - углы Эйлера произведения двух вращений [4], 0 ^ ф <2тт :

Вращение как псевдовектор

Параметризация вращения, описываемая ниже, наиболее часто будет использоваться в данной работе.

Каждое вращение является вращением вокруг некоторо