автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нормальных распределений на группе SO(3) и сфере S2 методом Монте Карло

На правах рукописи

Боровков Максим Валентинович

Математическое моделирование нормальных распределений на группе 80(3) и сфере Б2 методом Монте Карло

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

профессор

Татьяна Ивановна Савелова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

профессор

Ягола Анатолий Григорьевич

кандидат физико-математических наук Дмитрий Игоревич

Николаев

Ведущая организация:

Институт Металлургии РАН имени А. А. Байкова (ИМЕТ)

Защита состоится 9-го июня 2004 г, в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.130.09 при Московском инженерно-физическом институте (государстенном университете) по адресу: 115409, г.Москва, ул. Каширское шоссе, д.31

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке МИФИ.

Автореферат разослан "24 " скитя 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета - доктор физико-математических наук

профессор Леонов А.С.

&00?-4 <чоьз

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Реферируемая диссертационная работа посвящена - исследованию вопросов, связанных с рассмотрением свойств, методов моделирования, а также некоторых применений в текстурном анализе нормальных распределений (НР) на группе вращений евклидовою пространства и сфере. Данный класс распределений играет исключительно важную роль в математической статистике и теории вероятностей, в силу наличия целого спектра характерных свойств. Теория и применения нормальных распределений в евклидовом пространстве является достаточно хорошо разработанной научной и инженерной областью, тогда как исследование указанных распределений на объектах несколько иной структуры таких,

как компактная группа вращений 80(3) и сфера 82 связано с применением математического аппарата теории представлений компактных групп и характеристических функций, а также специализированных методов математической статистики и представляется актуальной научной проблемой. Даже непосредственное вычисление НР на

группе 80(3) и сфере 82 является непростой вычислительной задачей и для ряда параметров данного класса распределений существующие методы расчета не являются достаточно эффективными. На основе определения и исследования свойств НР на группе 80(3), а также применения центральной предельной теоремы (ЦПТ) на 80(3) в данной работе разработан новый метод математического моделирования НР на основе построения выражений для статистических реализаций (метод Монте Карло), позволяющий с достаточной точностью моделировать указанные распределения в случае произвольных параметров. Проведено сравнение с уже существующими методами расчета на основе разложений Фурье (МРФ) и методом аналитических приближений (МАП).

Необходимо заметить, что в общемировой практике возрастает интерес к моделям Монте Карло в текстурном анализе. Указанные математические модели позволяют более адекватным образом описать процессы формирования и измерения текстуры, а также изучать статистические закономерности этих процессов. Основной задачей количественного текстурного анализа (КТА) является восстановление функции распределения ориентаций (ФРО), характеризующей распределение кристаллитов поликристаллического образца (ПО) в

РОС. НАЦИОНАЛЬНА БИБЛИОТЕКА

<~ Петербург

ориентационном пространстве 80(3), по набору экспериментально измеряемых полюсных фигур (ПФ), которые являются функциями на сфере

Б2. В связи с этим актуальной является задача вычисления ФРО и ПФ. Существуют различные способы решения этой задачи. Одним из широко распространенных способов решения является аппроксимация ФРО и ПФ с использованием стандартный функций. В данной работе развивается подход к решению указанной задачи на основе использования в качестве

стандартных функций нормальных распределений на 80(3) и Б2. Цроводится построение статистической модели ПФ, соответствующей процессу экспериментального измерения этой величины. С применением данной модели проводятся вычисления ПФ и исследуется вопросы погрешностей вычислений ПФ.

Целью диссертационной работы являлось:

1. Разработка специализированного метода Монте Карло моделирования НР на 80(3) на основе исследования свойства безграничной делимости и применения центральной предельной теоремы на группе 80(3), позволяющего с произвольной точностью аппроксимировать любое распределение из указанного семейства. Обобщение построенного метода на случай группы 80(ш).

2. Сравнение разработанного метода Монте Карло расчета НР на 80(3) с альтернативными методами путем проверки гипотезы о совпадении распределений, соответствующих некоторым проекциям НР.

3. Построение математической модели расчета ПФ, адекватной их экспериментальному измерению с использованием сеточно-вероятяостного метода на основе алгоритма разработанного метода Монте Карло. Расчет ПФ для ряда значений параметров с помощью данной модели. Оценка погрешностей при расчете ПФ.

Научная новизна

На основе формулировки ЦПТ на группе вращений 80(т) Партасарати разработана новая теория последовательностей вероятностных мер на группе 80(ш), сходящихся к нормальному распределению с произвольными параметрами (ЦПТ-последовательностей). Содержанием этой теории является описания вида и свойств таких последовательностей.

Данная теория включает в себя такие доказательство некоторых утверждений о скорости сходимости таких последовательностей.

Впервые разработан специализированный метод моделирования НР на 80(3) для произвольных значений параметров. Данный метод обобщен на случай группы вращений произвольной размерности 80(т). Для случая группы 80(т) при Ш > 3 альтернативных методов вычисления

НР не существует. В случае Ш — 3 для широкой области параметров разработанный метод дает значительный вычислительный выигрыш по сравнению с альтернативными методами вычисления.

Впервые построен метод статистического моделирования полюсных фигур, адекватный их экспериментальному измерению. Данный метод основан на применении вероятностно-сеточных методов с использованием равномерных и неравномерных сеток. ПФ интерпретируется при этом как функция плотности вероятности и моделируется методом Монте Карло. Затем вся совокупность реализаций проектируется на сетку разбиения верхней полусферы. В работе использованы несколько вариантов сеток разбиения, которые являются наиболее близкими к сетке экспериментального разбиения.

На защиту выносится

1. Теоретическое исследование некоторых свойств последовательностей вероятностных мер на группе 80(3) специального вида (ЦПТ-последовательностей), сходящихся к НР на 80(3) с произвольными параметрами.

2. Метод Монте Карло математического моделирования НР с произвольными параметрами на группе 80(3) на основе приближения данного класса распределений с помощью ЦПТ-последовательностей.

3. Статистическая модель ПФ, соответствующая их экспериментальному измерению.

4. Результаты математического моделирования ПФ с применением равномерных и неравномерных сеток в случае поликристаллического образца без симметрии и при наличии гексагональной симметрии составляющих кристаллитов; результаты математического моделирования погрешностей при вычислении ПФ.

Апробация и публикации

Основные результаты диссертации были доложены на научных сессиях МИФИ (Москва, 2001, 2002, 2003, 2004), конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 2001), конференции International Conference of Texture of Materials (Seoul, 2003). Результаты проведенных исследований изложены в 9 публикациях.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, 1 приложения и заключения. Работа изложена на 133 страницах. Вкшочает 31 рисунок, 6 таблиц, 88 наименований литературы.

Содержание работы

В первой главе излагаются основные понятия количественного текстурного анализа такие, как параметризация ориентации отдельного кристаллита в поликристаллическом образце, ФРО и ПФ. Приводятся необходимые сведения о группе вращений SO(3). Рассматривается формулировка основной задачи количественного текстурного анализа и приводится обзор основных методов ее решения. В заключение главы рассматриваются факторы погрешностей при экспериментальном восстановлении и математической обработке ФРО и ПФ, а также определение и классификация нормальных распределений на SO(3).

В параграфе 1.1 рассмотрены существующие различные способы параметризации ориентации отдельного кристаллита в ПО. Данная величина характеризует поворот собственной системы координат,

связанной с кристаллитом К , относительно системы координат К, связанной с ПО в целом (рис.1).

Рис. 1. Параметризация ориентации кристаллита Связь указанных выше систем координат в М3 (в предположении совмещения начал координат обеих систем) характеризуется элементом £

группы вращений 80(3) в соответствии с соотношением

(1)

Группа 80(3) является трехмерным многообразием и допускает различные виды параметризаций своих элементов

8 = 8(<р,в,цг) = {а,/?, г) = <£\ЛгАъ\ (2)

В параграфе 1.2 приведены необходимые сведения о компактной группе ортогональных матриц с определителем равным единице 80(3) из теории представлений групп. Приведены выражения для инвариантной

меры dgи матричных элементов / = ОД,.,,оо системы

представлений на группе. Система представлений на группе 80(3) образует полный ортонормированный базис (ОНБ) пространства ¿2 (80(3)) Таким образом, любая интегрируемая по модулю в квадрате

Функция J |/(&)|2 ^8 < 00 может быть разложена в ряд Фурье:

5о(3)

<о /

/(£)=! ЮК?), (3)

/=0 т,п=-1

где ^„(ё) = ехр(/>и<р + ж^рДои (9) - матричные элементы

представлений Г'^); С^=(2/+1) коэффициенты Фурье;

503)

<_п'"га/я~т //Т+йл? п-я .»«Я Л1-"

В параграфе 1.3 рассмотрено определение ФРО для

поликристаллического образца. Данная величина является функцией плотности вероятности, характеризующей (рис. 2) объемную долю кристаллитов ПО, ориентации которых попадают в физически бесконечно малую окрестность ориентации g

1 К

0(г)

1

1шг

0(3)^8 V V 0(8)^8 //(О^))'

(4)

о(г)

где объем кристаллитов ПО, ориентации которых принадлежат

<?(&)> ^ -объемПО.

0(0)

'1

Рис. 2. Интерпретация ФЮ

В параграфе 1.4 приведен обзор основных экспериментальных методик измерения текстуры поликристаллических материалов.

Существует два основных экспериментальных подхода. Первый подход состоит в измерении микроструктуры ПО, т.е. ориентаций отдельных участков на соответствующей пространственной сетке разбиения образца. Второй экспериментальный подход состоит в измерении интегральных величин, характеризующих распределение кристаллитов в ПО по ориентациям, связанных с ФРО. Данные интегральные величины получили название полюсных фигур. ПФ являются интегральными проекциями ФРО

на сферу S вида

где Д = {fi,a\e. S2- вектор кристаллографического направления,

заданный в сферической системе координат; {ht>y} = {<2,/?,/} е SO(3)-обозначение вращения.

Наиболее распространенным экспериментальным методом измерения ПФ является текстурный дифракционный эксперимент, основанный на явлении брэгговской дифракции на кристаллографических плоскостях исследуемого ПО. В процессе эксперимента измеряется набор ПФ (5), соответствующий серии векторов кристаллографического направления

hi е S2, i = 1,2,.., J. После чего ставится задача восстановлении ФРО по данному экспериментальному набору. Данная задача является основной задачей КТА.

В параграфе 1.5 приведен обзор современных методов решения основной задачи КТА (5). Необходимо заметить, что по сути своей постановки данная задача принадлежит к классу некорректно поставленных задач, т.к. допускает бесконечное множество решений. Неединственность решения обратной задачи (5) связана с потерши информации при проектировании ФРО на сферу (теряется нечетная

с 2

составляющая ПФ на S ).

Основными методами решения основной задачи КТА на сегодняшний день являются:

® Гармонический метод, основанный на разложении ФРО в ряд по системе (3) при этом структура решения имеет вид

s ¿cL4(g)+ X icl/mn(g), (б)

/=0(2)ет,п=-/ /=1+0(2) т,п=-1

где 0(2) обозначает суммирование по четным значениям индекса 0,2,4,...,со; при этом первое слагаемое представляет собой ряд по четным / и называется четной частью ФРО, второе слагаемое представляет собой рад по нечетным / и называется нечетной частью ФРО.

Нечетная часть ФРО не может бьггь принципиально восстановлена исходя из любого набора экспериментальных ПФ и подбирается в соответствии с некоторыми предположениями о виде текстуры.

• Векторный метод восстановления ФРО состоит в первоначальной дискретизации системы уравнений (5) и последующего решения системы линейных алгебраических уравнений с использованием итерационных алгоритмов.

в WIMV метод (Williams Inhof Mathies Vinel method) аппроксимации ПФ основан на использовании функций вида

1 Mi ~ í \ птА«"* м, р h,n¡

í=l m¡

где g, gBj 6 50(3), Gh - подгруппа вращений точечной подгруппы

симметрии кристаллитов.

Данный метод является итерационным сеточным методом аппроксимации ПФ.

• Метод стандартных функций (компонент). Сутью данного метода является аппроксимация ФРО в виде суммы распределений из некоторого семейства плотностей распределений с последующим восстановлением неизвестных параметров. Обычно данный метод восстановления применяется в случае текстур образцов имеющих вид нескольких разделяющихся компонент (максимумов). Первоначально подбираются параметры положения максимумов компонент, а потом остальные параметры распределений членов суммы.

В параграфе 1.6 рассмотрены основные источники погрешностей при экспериментальном измерении ПФ и восстановлении ФРО.

В параграфе 1.7 рассмотрено определение нормальных распределений на S0(3) и их классификация [б]. Распределение вероятностей (1 на S0(3) является нормальным, если |Д. безгранично делимо, не является идемпотентной мерой и может быть представлено в виде:

где Т - произвольное представление группы 80(3);

5

з

ехр{ 2 ауА(А} + се,А,} - функция матричной экспоненты; 1./-1 м

Т ~ Е

А, = —-- инфинитезимальные операторы этого представления;

(-»О I

V, (/) - система однопараметрических подгрупп 80(3); ССу -

неотрицательно определенная симметричная матрица; а1 - действительные числа.

В дальнейшем будем обозначать НР Ц на Э0(3) в виде ¡Л ~ ). Каноническое нормальное распределение (КНР) имеет

диагональную матрицу параметр Цо^Ц и нулевой вектор <ХГ У

центрального нормального распределения (ЦНР) в дополнение к

перечисленным условия все диагональные элементы матрицы || равны.

Во второй главе рассмотрены свойства НР на 80(3), математическая модель малых случайных вращений, приводящая к рассмотрению данных распределений и теоретическое доказательство утверждений о виде последовательностей, подчиняющихся ЦПТ на 80(3) сходящихся к НР с произвольными! параметрами распределения.

В параграфе 2.1 рассмотрены основные свойства НР на 80(3). Доказан факт о существовании канонической системы координат, в базисе которой матрица параметров произвольного НР на 80(3) приводится к диагональному виду. Далее приведены выражения для коэффициентов разложения НР по системе представлений (3) группы 80(3). Рассмотрено свойство свертки двух КНР с пропорциональными параметрами. В заключение параграфа приведены формулировки нескольких свойств о характерном виде функции плотности вероятности, соответствующей КНР. Это свойства о величине и положении максимума КНР, а также о симметричных точках облаете определения данных функций, в которых значения плотности распределения для КНР совпадают. Оказывается, что КНР имеет один максимум в единице группы и численные значения для плотности распределения КНР совпадают в восьми симметричных точках.

В параграфе 22 рассматривается математическая модель малых случайных вращений (ММСВ) [1,6]. Предполагается, что на результирующее угловое распределение влияет множество факторов.

Каждому такому фактору ставится в соответствие случайная величина малого вращения, которой соответствует вероятностная мера вида

Ф„ (ё) = (ул <*>) = Л о, <Р№,

где /„(у/,в,<р) ~ равномерное распределение в области Т1(ав,Ь„), Щя„ А) = УЛ<Р): (0 ^ в < ап-О <; ] (р + у, | < &„)}, т.е. 2 4л-2

fnivAp)-

(1 - coso„) Ь„ (4# ~Ь„) (8)

О при в, <р)£Ща„,Ьп);

9е[0,/4 ф,уге[-я,х), где dg - инвариантная мера на 80(3).

Далее рассматривается последовательность композиций из

а , Ъ

распределений (8) при ап = —¡=, £>п = -т=г вида

л/и V»

SOi3) ¿'0(3)

(9)

••• ¡dgj„ (g2g? )fn (gi Ж ] dg.

SQ3)

На основе применения ЦПТ на 80(3) [6] доказывается следующий факт сходимости последовательности (9)

iim м? = N

а- о

о

аЪ О

(10)

Таким образом, построенная композиция распределений (9)

сходится к некоторому подсемейству НР на 80(3) с параметрами,

определяемыми соотношением (10).

Далее на основе построения выражений для реализаций ,

соответствующих распределению (8), и их тривиальной связи с выражением для реализаций, соответствующих распределению (9), вида

Л

проводится математическое моделирование Монте Карло проекции на отрезок распределения (9) для некоторой сетки параметров объема выборки, показателя свертки и параметра предельного распределения О при фиксированном параметре 6 = 1. Расчет проекции на отрезок предельного распределения (10) проводится также с использованием метода разложения в ряд Фурье с последующей проверкой гипотезы о совпадении вычисленных проекций на отрезок распределений (9),

2

(10) с использованием X -критерия. Из анализа результатов проведенных вычислений можно сделать вывод о том, что при показателе свертки п = 20 и объеме выборки к —10000 реализаций экспериментальные данные моделирования Монте Карло не противоречат гипотезе о совпадении выше указанных распределений при уровне значимости 95%. Моделирование проводилось для широкого диапазона значений параметров предельного распределения от практически равномерного распределения при а = 10 до острого распределения, сосредоточенного в единице группы, при а = 0.01 (при предельное распределение

сходится к дельта-функции в единице группы). На рис. 3 представлены результаты вычислений проекций на отрезок функций (9), (10) для случая острого распределения."

Необходимо заметить, что в области параметров а «1 метод Монте Карло дает значительный вычислительный выигрыш в сравнении с методом вычисления распределения (10) на основе разложения в ряд Фурье.

„ * Рис. 3. Проекции

2 3

о.о25 практически совпадают

на сферу КНР с параметрами

метода малых

вращений (линия 2) и средние

значения метода Фурье (линия 1)

В заключение параграфа рассматривается аппроксимация проекции на отрезок ФРО текстуры образца №-Т1 с использованием ЦНР на 80(3), которое рассчитывается с помощью выше описанного статистического метода.

В параграфе 23 рассматривается теория ЦГГГ-последовательностей [2,6] на группе 80(3). ЦПТ-последовательность определяется как

последовательность вероятностных мер //„(#) на 80(т) такая, что ¿"(■ё) -» Щ). В качестве основного параметра

характеризующего вероятностную меру элемента ЦГГГ-последовательности рассматривается матрица сред него по группе

Из класса ЦПТ-последовательностей вьщеляются два частных случая минимальной и максимальной последовательностей. Для

минимальной ЦПТ-последовательности /ип (£,/?) выражение (11)

для среднего по группе имеет вид

1 гп

/„> (12)

Кп)

где fn - последовательность матриц с ограниченными элементами, /? -функция-параметр.

Максимальная (общая) ЦПТ-последовательность определяется как семейство последовательностей, зависящее от параметра, позволяющее в пределе соответствующей последовательности П -кратных сверток получить НР на 80(ш) с произвольными значениями параметров, т.е.

мЛё*Р{ац*<х,)) -» # ,«,)• (13)

Основньш теоретическим фактом, который используется в данном разделе является центральная предельная теорема (ЦПТ) на группе 80(т) [6]. На основе применения указанной теоремы и доказательства цепочки вспомогательных утверждений проводится построение одного из возможных видов максимальной ЦПТ-последовательности. Формулировка теоремы о виде указанной последовательности имеет следующий вид:

Теорема. Пусть

1=1

где = ^((^^"^о^Яо^'.Ж««», И' - система матриц вида

Л1 = е,Аг =-1_Аи,А' =-А'-'А«»1 / = 3.....ю-1,Ав =-^-А5".

ае1(А''3) <ЬЦ.киН1м) сВД!2")

Обозначим через В множество параметров с элементами Г = , £о,{а«}и}, gl е 80(т);g° —> е - поспедоватепьность

л-»оо

матриц, g0 6 80(т), - действительные числа.

Пусть Цп р) е - минимальная ЦПТ-последовательность-, тогда последовательность Дявляется максимальной ЦПТ-

последовательностью.

Далее проводится непосредственное построение общей ЦПТ-последовагельиости для случая групп 80(2), 80(3) и 80(т).

В третьей главе рассматриваются методы вычисления НР на 80(3), такие как метод рядов Фурье (МРФ), метод аналитических приближений (МАП) и метод ЦПТ-последовательностей (МЦПТП) [2,4,6,8].

В параграфе 3,1 приводится описание метода вычисления НР на 80(3) на основе вычисления частичных сумм разложения в ряд Фурье по системе (3). Вычисляется приближение к исходной функции вида

= (п)

/=0 т,и=-/

где 91(1, а) ~ регуляризирующие множители, (X - параметр регуляризации.

Параметр регуляризации (X выбирается по правилу невязки. В самом простом случае в качестве приближения (17) к функции используется выражение для частичной суммы исходного ряда (3) с удержанием членов

до некоторого /тах, который рассматривается в качестве параметра

регуляризации. Основным недостатком метода вычисления НР с помощью МРФ является необходимость удержания большого количества членов ряда

при аппроксимации КНР с малыми параметрами (аИ «1, / = 1,2,3). Приводятся графические результаты расчета проекций на сферу КНР на 80(3) для некоторых значений параметров.

В параграфе Ъ2 рассматривается метод аппроксимации НР на 80(3) на основе вычисления аналитических приближений (МАП)

указанных функций [б]. При малых значениях параметров КНР (аи «1, г = 1,2,3 ) данный метод дает значительный вычислительный выигрыш в сравнении с МРФ.

В параграфе 3.3 приводится подробное описание специализированного метода Монте Карло моделирования НР на 80(т), разработанного на основе результатов теории ЦПТ-последовательностей, рассмотренной в параграфе 2,3 диссертационной работы [2,6,8]. Сутью данного метода является построение выражения для реализаций, соответствующих вероятностной мере (15) максимальной ЦПТ-последовательности на 80(3) и последующее построение выражения для реализаций, соответствующих вероятностной мере из П — кратных сверток Д*л максимальной последовательности (15), которое имеет вид

(

8п8о

т

¿=1

#4

/\-1

Ю

ы

-1

у

(18)

где {к1! - система матриц (16)^1 (0 ^ехр^) - однопараметрическая подгруппа 80(т), соответствующая первой матрице в системе касательных матриц Б0(ш), (вся система нумеруется

некоторым специальным образом), ¿¡/ - независимые реализации случайной величины равномерно распределенной на отрезке [ОД].

Вычисление функции плотности вероятности с использованием выражения для реализаций (18) является методом аппроксимации НР на 80(3), так как при соответствующем подборе параметра у вероятностная

мера П— кратных сверток максимальной последовательности

позволяет в пределе П~>оо получить НР на 80(3) с произвольными параметрами.

Далее в разделе исследуется вопрос о скорости сходимости последовательности //*" у) к НР для частного случая группы 80(3) по показателю свертки последовательности П [3]. На основе анализа асимптотического выражения для вероятностной меры /¡[*я(§; у)

устанавливается факт, что рассматриваемая скорость сходимости имеет 1

порядок —. п

В конце параграфа рассматриваются примеры вычислений проекций на отрезок КНР для и —кратных сверток распределения (15) с использованием метода Монте Карло и соответствующих НР на 80(3) с

использованием МРФ с последующей проверкой гипотезы о совпадении

2

распределении с помощью % -критерия. В качестве проекции на отрезок от функции плотности вероятности КНР Р^) на 50(3) рассматривается величина

Г п П 1 \

4 7С

К-к-п /

^т0с1в,ве[0,л]. (20)

Для оценки меры расхождения между распределениями используется величина

М4

г = (21)

А

где - экспериментальные частоты попадания в интервалы разбиения

гистограммы, Р1 — | а\а )-^ являются средними

значениями по отрезкам гистограммы точного распределения (вычисляется с помощью МРФ).

Вычисления проводятся для параметров объема выборки к — 10000 и показателя свертки п — 20 и некоторых значений параметров КНР. На рис. 4 приведены результаты вычислений функций (20) для значений параметров КНР аи =1/4; ап =1/16; а^ =0 (график для функции

плотности распределения и вероятностых частот по множествам разбиения гистограммы). Для МРФ все величины рассчитываются с относительной погрешностью 8 = 0.01.

на

Р "ИГ

ом

ИГ

о ал I 1.6 2 и з о 5 ю н » а Рис. 4. Оценка расхождения в расчете КНР с параметрами

с„ =1/4; =1/16; аъг = О альтернативнымиыетодамнМРФиМЦПТП

2=24.1

В приведенном на рис. 4 случае гипотеза о совпадении выше указанных распределений не противоречит опытным данным при уровне значимости 95%. Критическое значение меры (21) ZKIЦrr = 31.4.

На основе содержания параграфа 3.3 делается вывод об эффективности и преимуществах метода ЦПТ-последовательностей в сравнении с существующими методами МРФ и МАП. Метод ЦГГГ-последовательностей также является более эффективным, чем МРФ в случае вычисления КНР в области малых параметров (а„ «1, г = 1,2,3 ). В отличие от МАП и МРФ данный метод позволяет вычислять НР на общей группе 80(т) для произвольных параметров и проводить построение статистических моделей Монте Карло, описывающих характеристики текстурных образцов. Некоторые примеры указанных моделей рассмотрены в последующих разделах диссертационной работы.

В четвертой главе рассматриваются некоторые применения построенного специализированного метода Монте Карло вычисления НР на 80(3) к расчету ПФ текстурных образцов на основе построения соответствующих математических моделей поликристаллического образца [5,7,8,9].

В параграфе 4.1 излагается вероятностно-статистическая интерпретация ПФ [5]. Рассматривается связь случайных величин

вращения % е 80(3) и его проекциями на сферу у е Б2 при

фиксированном значении кристаллографического вектора h, на основе

анализа выражения для ПФ (5). ФРО и ПФ рассматриваются при этом как функции плотности вероятности. Связь выше указанных случайных величин выглядит при этом следующим образом

(22)

-y = g ht

В случае учета симметрий число проекций увеличивается и совпадает с числом элементов подгруппы вращений точечной группы симметрии кристаллитов рассматриваемого ПО.

В параграфе 4.2 рассматривается метод статистического моделирования ПФ, соответствующий их экспериментальному измерению. Поликристаллический образец представляется в виде совокупности кристаллитов одинакового объема, которым соответствует множество ориентаций вида

PS = {g,l^Si={ai,ß„yi},g1 eSO(3). (23)

Число кристаллитов к является для реальных образцов достаточно большой величиной, поэтому данные образцы описывают статистически с помощью ФРО. Суть построенной математической модели состоит в изначальном предположении о виде ФРО и последующем моделировании совокупности ориентаций (23) с помощью метода Монте Карло. В качестве ФРО рассматривается взвешенная сумма КНР на 80(3)

F(g) = |>Д(||аЛ,|0), j,t = 1,2,3. (25)

1=1

При этом фактически множество (23) представляет собой совокупность реализаций (18). Далее для того, чтобы вычислить ПФ множество реализаций проектируется на единичную сферу с использованием связи (22). Заключительным этапом математического моделирования ПФ является построение сеточного приближения (гистограммы) к ПФ с применением разбиения верхней полусферы Р наиболее приближенного к сетке экспериментального измерения ПФ на текстурных дифрактометрах ТЕХ-2 (Geesthacht, Германия) и НСВР (Дубна, Россия). Фактически, подсчитывается число реализаций для каждого множества сетки разбиения верхней полусферы с последующей оценкой среднего значения по этому множеству. Визуализация расчетов математической модели проводится либо в виде поверхностей уровня стереографической проекции функции, натянутой на сеточную аппроксимацию ПФ, либо непосредственно в виде двумерных гистограмм

построенных на разбиении единичного круга, которое является проекцией соответствующего разбиения (рис. 7) на Б2.

Рис. 7. Проектирование реализации у 6 Б2+ статистического метода и сетки разбиения на единичный круг методом стереографической проекции

В параграфе 4.3 рассматривается применение построенного в разделе 4.2 метода моделирования для случая вычисления ПФ без учета симметрии с применением неравномерной сетки разбиения. Предполагается, что ФРО образца имеет вид КНР (7)

= ¿' = 1,2,3. (27)

Проводится математическое моделирование Мойте Карло ПФ с применением сетки разбиения верхней полусферы

í=f м Р подобранной исходя из множества выборки, таким образом, чтобы в каждое множество разбиения попадало равное число реализаций кш. Это число связано с параметрами сетки разбиения следующим образом

к = кш(М^а-Ы_/1 + 1), (30)

где к - объем выборки статистического метода (18).

Вычисление ПФ осуществлялось для фиксированных параметров сетки разбиения N = 18, N_.fi = 36 при значении показателя свертки статистического метода (18) П = 25 и параметре числа реализаций в каждом из множестве разбиения гистограммы кНш = 400. На рис. 9 приведены результаты вычисления ПФ для одного набора параметров ФРО (27) и кристаллографического вектора Й = еу.

Рис. 9. Модельные полюсные фигуры для КНР

а{1 = 0.1, сс22 = 0.2, а33 = 0.4.

В параграфе 4.4 рассматривается оценка погрешности метода, построенного в разделе 4.2, с помощью вычисления меры расхождения между несколькими ПФ при фиксированных параметрах ФРО. ФРО образца имеющего гексагональную симметрию составляющих кристаллитов аппроксимируется в виде ЦНР (7)

где = = = 1,2,..,,12| - подгруппа вращений

точечной группы симметрии кристаллитов П611.

Мера расхождения оценивается с помощью выражения

^ \р1г -

й=л,

хеР' Р\Т +

где Рт ——среднее значение ПФ по множеству

т)уеуг

разбиения Ут, Р(, Р2 - две вычисленные ПФ для фиксированных параметров метода

тт ТТЛ пматв 1 пМСШ2 пМ№

Проводилось вычисление трех ПФ г^ , г^ с

применеием равномерной 5-ти градусной сетки разбиения верхней полусферы Ут; первые две вычислялись с помощью статистического

метода ЦГГГ-последовательностей (18), третья - с применением метода рядов Фурье (6). Исследовалась зависимость поведения трех величин вида

®7)/пШЯ пШР\ тпгпМСШг т)ШР\ спт)ГТ)МСШ2 пМС1Ш\

(33) дЯР{РГ11 ^¿ШЩ )

от объема выборки метода ЦПТ последовательностей (18) при значении показателя свертки п = 20 и фиксированном параметре МРФ (17) /шах = 50 для нескольких значений параметра а, ФРО (32) и

кристаллографического вектора Й моделируемых ПФ. Параметр объема выборки изменялся от значения к —1000 до значения к = 10000 реализаций с шагом = 1000. На рис. 10 приведены некоторые из результатов моделирования указанной зависимости для значения параметра

ФРО ОС = 0.0625 и кристаллографического вектора И = |-у,о|- = еу.

Из анализа всех полученных численных данных можно сделать общий вывод, что при увеличении параметра объема выборки разброс значений полюсных фигур убывает и при объеме выборки 10000 реализаций уровень относительной погрешности построенного статистического метода моделирования ПФ составляет не более чем 22%.

Рис. 10. Зависимость величин (33) разброса значений между ПФ от объема выборки для параметра ФРО а — 0.0625 и кристаллографического вектора

Я = ёу :

Линия МСЬТБЬМШ3 - разброс между ПФ, вычисленной с помошью метода ЦПТ-последовательностей, и ПФ, полученной с помошью МРФ;

Линия МСГЛ^-МЮ? - разброс между повторно вычисленной ПФ с помощью метода ЦПТ-последовательностей и ПФ, полученной с помощью МРФ;

Линия МСиГ1-2 - разброс значений между двумя ПФ, вычисленными с помощью метода ЦПТ-последовательностей.

В параграфе 4.5 рассматривается пример моделирования двухкомпонентной текстуры бериллия, имеющего гексогональную симметрию кристаллитов [9] с вычислением эффективного физического свойства тензора упругой податливости. Моделирование проводится применительно к описанию реального набора экспериментальных ПФ для

кристаллографических векторов А = е2 = {0002} и И = е - {1010},

изображенного на рис. 11.

Для описания текстуры исследуемого материала используется метод стандартных функций (компонент). ФРО аппроксимируется в вице взвешенной суммы двух нормальных распределений

где £1182 е 5(9(3) - некоторые фиксированные вращения, соответствующие сдвигам центров распределений,

= Д2/ - подгруппа вращений точечной

группы симметрии кристаллитов

С использованием метода, описанного в разделе 4.2, проводится математическое моделирование двух серий ПФ для соответствующих экспериментальному набору кристаллографических векторов с последующей оценкой меры расхождения дКР (33) между ними.

Вычисления проводились для объема выборки статистического метода к — 30000 реализаций и показателя свертки П~ 20 при значениях весовых коэффициентов кх =0.6,к2 =0.4 и матриц, сдвигов центров распределений компонент gv — {0,-0.3367,0} и {0,0.2977,0}. Графические результаты моделирования представлены на рис. 12,13.

Из визуального сравнения полученных модельных (рис. 12, 13) и экспериментальных ПФ (рис, 11) можно сделать вывод о применимости данного метода к решению задач текстурного анализа и адекватности математической модели ПФ процедуре их экспериментального измерения. По результатам полученной меры расхождения (33) можно также сделать вывод об экспериментальной проверке сходимости статистического метода моделирования. При объеме выборки ¿ = 30000 величина 8ВР не превышает значения 4,65%. Данной точности вычислений вполне достаточно для решения основной задачи текстурного анализа.

Рис. 12. Результаты моделирования ПФ для п — ег ={0002} и параметров

КНР ап = 0.023,а22 = 0.037,а33 = 0.023, = = Д, =0.18. Мера расхождения 5КР = 4,50 %.

Рис. 13. Результаты моделирования ПФ для И — €у ={1010} и параметров КНР

ап = 0.023, а22 = 0.037,агъ = 0.023, рп = ^ = =0.18. Мера

расхождения ЖР = 4,65 %. Для тех же параметров ФРО (34) бериллия проводится вычисление аппроксимации Фойгта эффективного физического свойства, описываемого тензором упругой податливости, В данной аппроксимации эффективное свойство приравнивается среднему свойству по поликристаллу. Выражение для среднего значения

физического свойства Р по псшикристаллическому образцу имеет вид

т)

ЯО(3)

которое в случае вычисления среднего значения тензора упругой податливости , описываемого тензором 4-го ранга, приводится к виду

= ¡Е^Я^п^Шрл'лл'^'м'^гХ (35)

80(3)

где - значение тензора упругой податливости в системе координат кристаллита, - ФРО.

С математической точки зрения вычисление среднего физического свойства (35) сводится к отысканию математического ожидания этого свойства по функции плотности вероятности, которая является ФРО. В

работе вычисление свойства , представленного в виде интеграла (35), проводится методом Монте Карло с использованием построенного в разделе 3.3 алгоритма статистического моделирования НР на 80(3). Вычисления проводились при параметрах объема выборки ¿ = 10000 реализаций и показателе свертки П — 20. Результаты проведенных расчетов приведены в виде одномерных графиков зависимостей обратной величины модуля Юнга (коэффициента растяжения) от направления воздействия V

Е'1 (?) = 8тгргяг5г,, = 1,2,3,

представляющих собой срезы указательной поверхности тензора .

С целью оценки погрешности полученного результата среднего значения проводилось вычисление величины максимальной

относительной погрешности вычисления компонент тензора с

помощью метода Монте Карло, вероятность превысить которую составляет 0.003 % (использовалось правило 3-х сигм), т.е. пренебрежимо мала. В случае проведенных расчетов данная величина составляет 10.5%.

В заключении приводится информация о результатах диссертационной работы. Основными результатами работы являются:

1. Построение статистической модели малых случайных вращений, описывающей процесс формирования углового распределения в поликристаллическом образце в предположении многофакторного физического воздействия.

2. Построение новой теории ЦГГГ-последовательностей, описывающей общий вид и свойства класса последовательностей

вероятностных мер на SO(3), сходящихся к HP на 80(3} с произвольными параметрами распределения. Обобщение данной теории на случай общей группы SO(m),

3. Разработка метода Монте Карло моделирования HP на S0(3) с произвольными параметрами (6 независимых параметров). Сравнение с уще существующими методами вычисления: методом рядов Фурье и методом аналитических приближений.

4. Разработка статистической модели ПФ. Моделирование ПФ с применением специально разработанной неравномерной сетки разбиения. Моделирование зависимости погрешности вычисления ПФ от объема выборки. На основе обобщения результатов показано, что при объеме выборки 10000 реализаций относительная погрешность вычисления ПФ с использованием статистической модели не превышает 22%. Моделирование двухкомпонентной текстуры материала применительно к описанию набора 2-х экспериментальных ПФ для ленты бериллия 99,95 % чистоты с вычислением эффективного физического свойства, описываемого с помощью тензора упругой податливости. Разработка комплекса программ вычисления HP на SO(3) и ПФ от данных распределений для среды MATLAB 5.2.

Автор работы выражает глубокую признательность своему научному руководителю Т.Н. Савеловой за всестороннюю поддержку в течение подготовки научных работ по теме диссертации и рукописи диссертации, Ю.А Перловичу за полезные консультации по поводу различных аспектов рентгеновского текстурного эксперимента, а также A.B. Кряневу и Д.Й. Николаеву за ценные обсуждения в процессе работы над диссертационной темой.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Боровков М.В., Савелова Т.Н. Аппроксимация класса канонических нормальных распределений методом случайных вращений // Заводская лаборатория, 2002. Т. 68. № 2. С. 16-21.

2. Боровков М.В., Савелова Т.И. Вычисление нормальных распределений на группе вращений методом Монте-Карло // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2002. Т. 42. № 1. С. 112-128.

3. Боровков М.В., Савелова Т.Н. Оценка скорости сходимости для общей ЦПТ-последовательности на группе SO(3) // Научная сессия МИФИ-2001. Сборник научных трудов. Т.7. С.96. М: МИФИ, 2001.

Qß7 ( РНБ Русский фощ

2007-4

4. Боровков М.В., Савелова Т.Н. Некорректноеп> вынислй нормальных распределений на SO(3) и новый метод их статистического моделирования // Обратные и некорректные задачи: VII конф., поев, памяти академика А. Н. Тихонова в связи с 95-летаем со дня рождения: М, МГУ им. М В. Ломоносова Тезисы докладов. М: МАКС Пресс, 2001.

5. Боровков М.В. Моделирование полюсных фигур методом ЦПТ-последовательностей II Научная сессия МНФИ-2002. Сборник научных трудов. Т. 7. С.85-86. М МИФИ, 2002.

6. Боровков М.В., Савелова TJH. Нормальные распределения на SO(3). М: МИФИ, 2002.

7. Боровков М.В. Модельное исследование разброса значений полюсных фигур в случае гексогональной симметрии поликристаллического материала // Научная сессия МИФИ-2003. Сборник научных трудов. Т. 7. С. 82-83. М: МИФИ, 2003.

8. Borovkov MV., Savyolova T.I. Optimization of neutron texture experiment by statistical simulation of pole figures with normal distribution // Materials Science Forum, 2002. V. 408-412. P. 197-202.

9. Боровков M.B. Моделирование полюсных фигур бериллия методом Монте- Карло в случае двух разделяющихся компонент // Научная сессия МЙФЙ-2004. Сборник научных трудов. Т.7. С.142-143. М: МИФИ, 2004.

Подписано в печать 05.04.2004 г. Формат 60 х 90/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 80 экз. Заказ № 0704041

Оттиражировано в ООО «САТУРН мта» 111020, Москва, Авиамоторная ул., 11

2 3 ДПР 2004

Введение.

Глава 1. Методы исследования количественного текстурного анализа и нормальные распределения.

1.1. Параметризация ориентации отдельного кристаллита.

1.2. Некоторые сведения о группе 80(3).

1.3. Функция распределения ориентаций.

1.4. Экспериментальные подходы к измерению текстуры и полюсные фигуры.

1.5. Основная задача текстурного анализа. Методы аппроксимации функций распределения ориентации и полюсной фигуры.

1.6. Основные источники погрешностей при экспериментальном измерении полюсных фигур и восстановлении функции распределения ориентаций.

1.7. Определение нормальных распределений на 80(3) и их классификация.

Выводы.

Глава 2. Свойства нормальных распределений.

2.1. Основные свойства на 80(3).

2.2. Модель малых случайных вращений.

2.3. Центральная предельная теорема (ЦПТ) на 80(т) и теория Ц1И-последовательностей.

2.3.1. Определения и используемые обозначения.

2.3.2. Вспомогательные утверждения.

2.3.3. Теория ЦПТ-последовательностей.

2.3.4. Построение общей Ц1Г1-последовательности на 80(2).

2.3.5. Построение общей ЦПТ-последовательности на вО(3).

2.3.6. Построение общей ЦПТ-последовательности на БО(т).

Выводы.

Глава 3. Методы вычисления нормальльных распределений.

3.1. Метод рядов Фурье.

3.2. Метод аналитических приближений.

3.3. Метод ЦПТ-последовательностей (Монте Карло).

3.3.1. Моделирование HP на SO(m).

3.3.2. Оценка скорости сходимости.

3.3.3. Примеры вычисления.

Выводы.

Глава 4. Применение метода Монте Карло к расчету текстурных характеристик и моделирование погрешностей.

4.1. Вероятностностно статистическая интерпретация полюсных фигур.

4.2. Метод статистического моделирования полюсных фигур, соответствующий их экспериментальному измерению.

4.3. Моделирование полюсных фигур без учета симметрии кристаллитов.

4.4. Моделирование погрешностей при вычислении полюсных фигур для нормальных распределений.

4.5. Моделирование полюсных фигур и вычисление тензора упругой податливости поликристалла бериллия.

Выводы.

Актуальность работы

Настоящая работа посвящена исследованию вопросов, связанных с В рассмотрением свойств, методов моделирования, а также некоторых применений в текстурном анализе нормальных распределений (НР) на группе вращений I евклидового пространства и сфере. Данный класс распределений играет исключительно важную роль в математической статистике и теории вероятностей, в силу наличия целого спектра характерных свойств. Теория и применения нормальных распределений в евклидовом пространстве является

I достаточно хорошо разработанной научной и инженерной областью, тогда как исследование указанных распределений на объектах несколько иной структуры I таких, как компактная группа вращений 80(3) и сфера Б2 связано с применением математического аппарата теории представлений компактных групп и характеристических функций, а также специализированных методов математической статистики и представляется актуальной научной проблемой.

Даже непосредственное вычисление НР на груше 80(3) и сфере 82 является и непростой вычислительной задачей и для ряда параметров данного класса распределений существующие методы расчета не являются достаточно эффективными. На основе определения и исследования свойств НР на группе

80(3), а также применения центральной предельной теоремы (ЦПТ) на 80(3) в щ данной работе разработан новый метод математического моделирования НР на ® основе построения выражений для статистических реализаций (метод Монте ш Карло), позволяющий с достаточной точностью моделировать указанные распределения в случае произвольных параметров. Проведено сравнение с уже существующими методами расчета на основе разложений Фурье (МРФ) и * методом аналитических приближений (МАП). я Необходимо заметить, что в общемировой практике возрастает интерес к моделям Монте Карло в текстурном анализе. Указанные математические модели позволяют более адекватным образом описать процессы формирования и измерения текстуры, а также изучать статистические закономерности этих процессов. Основной задачей количественного текстурного анализа (КТА) является восстановление функции распределения ориентаций (ФРО), характеризующей распределение кристаллитов поликристаллического образца (ПО) в ориентационном пространстве 80(3), по набору экспериментально измеряемых полюсных фигур (ПФ), которые являются функциями на сфере Б2. В связи с этим актуальной является задача вычисления ФРО и ПФ. Существуют различные способы решения этой задачи. Одним из широко распространенных способов решения является аппроксимация ФРО и ПФ с использованием стандартный функций. В данной работе развивается подход к решению указанной задачи на основе использования в качестве стандартных функций нормальных распределений на 80(3) и 82. Проводится построение статистической модели ПФ, соответствующей процессу экспериментального измерения этой величины. С применением данной модели проводятся вычисления ПФ и исследуется вопросы погрешностей вычислений ПФ.

Целью диссертационной работы являлось:

1. Разработка специализированного метода Монте Карло моделирования НР на 80(3) на основе исследования свойства безграничной делимости и применения центральной предельной теоремы на группе 80(3), позволяющего с произвольной точностью аппроксимировать любое распределение из указанного семейства. Обобщение построенного метода на случай группы 80(Ш).

2. Сравнение разработанного метода Монте Карло расчета НР на Б0(3) с альтернативными методами путем проверки гипотезы о совпадении распределений, соответствующих некоторым проекциям НР.

3. Построение математической модели расчета ПФ, адекватной их экспериментальному измерению с использованием сеточно-верояшостного метода на основе алгоритма разработанного метода Монте Карло. Расчет ПФ для ряда значений параметров с помощью данной модели. Оценка погрешностей при расчете ПФ.

Научная новизна

На основе формулировки ЦГГГ на группе вращений 80(т) Партасарати разработана новая теория последовательностей вероятностных мер на группе 80(т), сходящихся к нормальному распределению с произвольными параметрами (ЦПТ-последовательностей). Содержанием этой теории является описания вида и свойств таких последовательностей. Данная теория включает в себя также доказательство некоторых утверждений о скорости сходимости таких последовательностей.

Впервые разработан специализированный метод моделирования НР на 80(3) для произвольных значений параметров. Данный метод обобщен на случай группы вращений произвольной размерности 80(т). Для случая группы 80(т) при т>3 альтернативных методов вычисления НР не существует. В случае т = 3 для широкой области параметров разработанный метод дает значительный вычислительный выигрыш по сравнению с альтернативными метрдами вычисления.

Впервые построен метод статистического моделирования полюсных фигур, адекватный их экспериментальному измерению. Данный метод основан на применении вероятностно-сеточных методов с использованием равномерных и неравномерных сеток. ПФ интерпретируется при этом как функция плотности вероятности и моделируется методом Монте Карло. Затем вся совокупность реализаций проектируется на сетку разбиения верхней полусферы. В работе использованы несколько вариантов сеток разбиения, которые являются наиболее близкими к сетке экспериментального разбиения.

На защиту выносится

1. Теоретическое исследование некоторых свойств последовательностей вероятностных мер на группе SO(3) специального вида (ЦГТТ-последовательностей), сходящихся к HP на SO(3) с произвольными параметрами.

2. Метод Монте Карло математического моделирования HP с произвольными параметрами на группе SO(3) на основе приближения данного класса распределений с помощью Ц1ГГ-последовательностей.

3. Статистическая модель ПФ, соответствующая их экспериментальному измерению.

4. Результаты математического моделирования ПФ с применением равномерных и неравномерных сеток в случае поликристаллического образца без симметрии и при наличии гексагональной симметрии составляющих кристаллитов; результаты математического моделирования погрешностей при вычислении ПФ.

Апробация и публикации

Основные результаты диссертации были доложены на научных сессиях МИФИ (Москва, 2001, 2002, 2003, 2004), конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 2001), конференции International Conference of Texture of Materials (Seoul, 2003). Результаты проведенных исследований изложены в 9 работах (публикации 1, 2, 3, 4, 32, 34, 68, 76, 86 в списке литературы).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, 1 приложения и заключения. Работа изложена на 133 страницах. Включает 31 рисунок, 6 таблиц, 88 наименований литературы.

Выводы

В данной главе на некоторых характерных примерах было рассмотрено применение специально разработанного метода Монте-Карло моделирования НР на 80(т) к расчету одной из основных характеристик текстурного образца ПФ, В случае отсутствия симметрии образца для расчетов использовалась специально подобранная неравномерная сетка разбиения, вид которой зависит от элементов выборки. Вид разбиения уравновешивает статистические ошибки при расчете средних значений моделируемых ПФ по сетке разбиения гистограммы, фактически, заменяя процедуру сглаживания ПФ. Для оценки погрешностей метода используется исследование нескольких ПФ, полученных с помощью повторного моделирования и альтернативного метода вычисления на основе разложения в ряд Фурье. При этом используется диапазон параметров моделируемого распределения, позволяющий свести к минимуму погрешности альтернативного метода вычисления приближенный к реальным текстурным образцам. Рассматривается случай наличия гексагональной симметрии кристаллитов. Исследуется характер зависимостей величины относительной погрешности от объема выборки статистического метода. При объеме выборки 10000 реализаций метод позволяет не превышать уровня относительной погрешности в 22%. Также рассматривается частный случай описания двухкомпоиентной текстуры в случае гексагональной симметрии. При этом ФРО аппроксимируется в виде суммы двух симметризованных слагаемых, каждое из которых представляет нормальное распределение на 80(3). Приводятся примеры экспериментальных и модельных ПФ. Уровень относительной погрешности метода статистического моделирования составил при этом не более 5% на выборке объемом в 30000 реализаций. В расчетах использовалась равномерная 5-ти градусная сетка. Проведенные расчеты позволяют сделать вывод о экспериментальной проверке сходимости статистического метода моделирования НР на 80(3) и об адекватности и применимости построенной математической модели для расчета ПФ процедуре их экспериментального измерения.

Заключение

В данной работе исследовались вопросы, связанные с рассмотрением свойств, методов моделирования, а также некоторых применений в текстурном анализе нормальных распределений на группе вращений евклидрвого пространства 80(3) и сфере 82.

Основными результатами диссертационной работы являются:

1. Построение статистической модели малых случайных вращений, описывающей процесс формирования углового распределение в поликристаллическом образце в предположении многофакторного физического воздействия.

2. Построение новой теории ЦПТ-последовательцостей, описывающей общий вид и свойства класса последовательностей вероятностных мер на 80(3), сходящихся к НР на 80(3) с произвольными параметрами распределения. Обобщение данной теории на случай общей группы 80(ш).

3. Разработка метода Монте Карло моделирования НР на 80(3) с произвольными параметрами (6 независимых параметров). Сравнение с уще существующими методами вычисления: методом рядов Фурье и методом аналитических приближений.

4. Разработка статистической модели ПФ. Моделирование ПФ с применением специально разработанной неравномерной сетки разбиения. Моделирование зависимости погрешности вычисления ПФ от объема выборки. На основе обобщения результатов показано, что при объеме выборки 10000 реализаций относительная погрешность вычисления ПФ с использованием статистической модели не превышает 22%. Моделирование двухкомпонентйой текстуры материала применительно к описанию набора 2-х экспериментальных ПФ для ленты бериллия 99,95 % чистоты с вычислением эффективного физического свойства, описываемого с помощью тензора упругой податливости. Разработка комплекса программ вычисления НР на 80(3) и ПФ от данных распределений для среды МАТЪАВ 5.2.

Автор работы выражает глубокую признательность своему научному руководителю Т.И. Савеловой за всестороннюю поддержку в течение подготовки научных работ по теме диссертации и рукописи диссертации, Ю.А. Перловичу за полезные консультации по поводу различных аспектов рентгеновского текстурного эксперимента, а также A.B. Кряневу и Д.И. Николаеву за ценные обсуждения в процессе работы над диссертационной темой.

1. Боровков М.В., Савелова Т.И. Аппроксимация класса канонических нормальных распределений методом случайных вращений /У Заводская лаборатория, 2002. Т. 6В. № 2. С. 16-21.

2. Боровков М.В., Савелова Т.И. Вычисление нормальных распределений на группе вращений методом Монте-Карло // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2002. Т. 42. № 1. С. 112-128.

3. Боровков М.В., Савелова Т.И. Оценка скорости сходимости для общей ЦГГГ~ последовательности на группе SO(3) // Научная сессия МИФИ-2001. Сборник научных трудов. Т. 7. С.96. М: МИФИ, 2001.

4. Бухарова Т.И., Николаев Д.И., Савелова Т.И. Применение гауссовских распределений на SO(3) для вычисления физических свойств поликристаллов // Препринт 066-87 МИФИ.-М.: Типография МИФИ, 1987.

5. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

6. Гельфанд И.М, Минлос P.A., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.: ФМГ, 1958.

7. Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах. М: Мир, 1965.

8. Иванова Т.М., Савелова Т.И. Выражения для гауссовского распределения, удобные для вычисления на ЭВМ // Заводская лаборатория, 1992, №12. С. 36^-41.

9. Никитин А.Н. Анизотропия и текстуры материалов Н М.: МГУ, 2000.

10. Николаев Д.И., Савелова Т.И. Гауссовские распределения на SO(3) и их приложения для описания текстур // Препринт 060-86 МИФИ. М.: МИФИ, 1986.

11. Николаев Д.И., Савелова Т.Н. Известия АН СССР // Металлы. 1989. N6. С.165-169.

12. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М,: Наука, 1979.

13. Савелова Т.И, Бухарова Т.И. Представления группы SU(2) и их применение. М.: МИФИ, 1996.

14. Савелова Т.И. Функции распределения зерен по ориентациям и их гауссовские приближения // Заводская лаборатория. 1984. Т. 50. № 5, С. 48-52.

15. Савелова Т.И. Вычисление ПФ и восстановление ФРО по ПФ для гауссовских распределений канонического вида // Заводская лаборатория, 1989. Т.55. №9. С. 57-60.

16. Савелова Т.И. Метод аппроксимации функции распределения зерен по ориентациям гауссовскими распределениями на группе вращений SO(3) // Известия РАН. Физика Земли, 1993. №6. С. 50-53.

17. Савелова Т.И. Примеры решения некорректно поставленных задач. М.: МИФИ, 1999.

18. Сазонов В.В., Тутубалин В.Н. Распределения вероятностей на топологических группах // Теория вероятностей и ее применения. 1966. № 1. С. 355.

19. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

20. Bucharova T.I., Savyolova T.I. Application of normal distribution on SO(3) and

21. S2 for orientation distribution function approximation // Textures and Microstructures, 1993. Y. 21. P. 161-176.

22. Bunge H.J. Texture analysis in materials science mathematical methods. London: Butterworths, 1982.

23. Eschner. TH. Texture analysis by means of model functions // Textures and Microstructures, 1993. Y. 21. P. 139-146.

24. Lusin V., Nikolayev D. On the errors of experimental pole figures // Textures and Microstructures, 1996. V. 25. P. 121-128.

25. Nikolayev D.I., Savyolova T.I., Feldmann K. Approximaton of the orientation distribution of grains in polycrystalline samples by means of Gaussians // Textures and Microstructures, 1988. Y. 19. P. 9-27.

26. Partasarathy K.P. The central limit theorem for the rotation group // Теория вероятностей и ее применения, 1964. Т.9. № 9. С. 273-282.

27. Roberts Р.Н., Winch D.E. On random rotation // Adv. Appl. Prob., 1984. V. 16. P. 638-655.

28. Savyolova T.I. Approximation of the pole figures and the orientation of distribution of grains in polycrystalline samples by means of canonical normal distributions // Textures and Microstructures, 1993. V. 22. P. 17-27.

29. Savyolova T.I, Davidzhan E.A., Ivanova T.M. Calculation of CND on the Rotation Group SO(3) // Int. Conf. Neutron Texture and Stress Analysis. Dubna, 1997.

30. Savyolova T.I., Davidzhan E.A., Ivanova T.M. Optimal calculation of ODF with the canonical normal distribution on the rotation group // Textures and Microstructures, 1999. V. 33. P. 337-341.

31. Savyolova T.I., Ivanova T.M. Calculation of Pole Figures for Canonical Normal • Distributions on the group SO(3) // Тез. конф. Обр. и некорр. пост, задачи. М.: МГУ, 1996.

32. Боровков М.В. Моделирование полюсных фигур методом ЦГГГ-последовательностей // Научная сессия МИФИ-2002. Сборник научных трудов. Т.7. С.85-86. М: МИФИ, 2002.

33. Савелова Т.И., Нагаев И.Р. Загадочные полюсные фигуры или универсальный метод Роу-Бунге // Препринт 026-97 МИФИ. М.: МИФИ, 1997.

34. Боровков М.В., Савелова Т.И. Нормальные распределения на SO(3). М.: МИФИ, 2002.

35. Ламперти Дж. Вероятность. М.: Наука, 1973.

36. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

37. М. Serghat, M.J. Philippe, C.Esling, B.Bouzy Contribution of EBSP to the Determination of the Rotation Flow Field // Mat. Sci. Forum, 1994. Y. 157-162. P. 1861-1868.

38. P. Pailard, R-Penell, T.Baudin Grain Grouwth Simulation by Monte-Carlo Method in a HiB Fe 3% Si Alloy // Mat. Sci. Forum, 1994. V. 157-162. P. 1847-1854.

39. D. Y. Li, J. A. Szpunar Modelling of the Texture Formation in Electrodeposition process//Mat. Sci. Forum, 1994. Y. 157-162. P. 1827-1838.

40. H. G. Brokmeier Texture Analysis by Neutron Diffraction // Mat. Sci. Forum, 1994. Y. 157-162. P. 59-70.

41. A. Muclich, P.Klimanek Experimental Errors in Quantitative Texture Analysis from Diffraction Pole Figures // Mat. Sci. Forum, 1994. Y. 157-162. P. 275-286.

42. T.I. Bucharova, T.M. Ivanova, D.I. Nikolayev, T.I. Savyolova Approximation of Orientation Distribution of Grains in Polycrystalline Samples by Means of Gaussians // Mat. Sci. Forum, 1994. V. 157-162. P. 323-326.

43. D.I. Nikolayev, T.I. Savyolova Approximation of the ODF by Gaussians for Sharp Textures //Mat. Sci. Forum, 1994. V. 157-162. P. 387-392.

44. K. Pawlik The ODF Calculation from Pole Figures for Different Types of Crystal and Sample Symmetries //Mat. Sci. Forum, 1994. V. 157-162. P. 401-406.45. http://www.gkss,de/Themen/W/р 16e.htm46. http://www.nfdfiLiinr.ru/fkipy&s/nsw.htm

45. H.G.Brokmeyer, U. Zink, R. Schnieber and B. Witasek, Tex-2, Texture analysis at GKSS research center (Instrumentation and application) // Mat Sci. Forum, 1998, V.273-275, P. 277-282.

46. Лузин B.B. Экспериментальное и модельное исследование процесса измерения текстуры поликристаллов методом дифракции нейтронов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук., 1999,126 с.

47. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

48. Ермаков С.Н. Метод Монте Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.

49. Новые методы исследования текстуры поликристаллических материалов. Сб. переводов статей из журнала "Textures and Microstructures" под редакцией Папирова И.И., Савеловой Т.Н. М.: Металлургия, 1985.

50. Бухарова Т.Н. Применение гауссовских распределений для описания текстур гексагональных материалов // Известия РАН. Физика земли, 1993. № 6. С.59-67.

51. МардиаК. Статистический анализ угловых наблюдений. М,: Наука, 1978.

52. Jupp А.Е., Mardia K.V. Unified wiew of the theory of directional statistics, 1979-1988 // Int. Stat. Review, 1989. V.57. P. 261-294.

53. Соболев Г.А., Никитин A.H., Савелова Т.И., Яковлев В.Б. Теоретико-экспериментальный подход к исследованию микро и макросвойств и состояния горных пород (возможное направление развития моделей очага землятрясений) // Физика Земли, 2001, № 1, С.6-15.

54. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.Наука, 1980.

55. Круглое В.М. Дополнительные главы теории вероятностей. М.: Высшая школа, 1984.

56. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979.

57. Matthies S., Wenk H.R., Vinel G.W. Some Basic Concepts of Texture Analysis and Comparison of Three Methods to Calculate Orientation Distribution from Pole Figures // J. Appl. Cryst, 1988, Y.21. P. 285-304.

58. Варшалович Д.А., Москалев A.H., Черсонский B.K. Квантовая теория углового момента. Ленинград: Наука, 1975.

59. Edmonds A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton Univ. Press, 1957.

60. Bunge H.J. Mathematishe Methoden der Texturanalyse. Berlin: Akademieverlag, 1969.

61. Prentice M.J. Antipodally symmetric distributions for orientation statistics // J. Statist. Plan, 1982. V.6. P.205-214.

62. Perlovich Yu. Some physical errors of x-ray texture measurements // Textures and Microstructures, 1996. V. 25, P. 129-147.

63. Helming K., Schmidt D., Ullemeyer K. Preferred orientations of mica bearing rocks described by texture components // Textures and Microstructures, 1996. V. 25. P. 211-222.

64. Bunge HJ. Physical versus mathematical aspects in texture analysis // Textures and Microstructures, 1996. V. 25. P. 71-108.

65. Bukharova T.I. The influence of crystal symmentry on the determination of the orientation of isolated texture components from pole figures // Textures and Microstructures, 1996. V. 25. P. 205-210.

66. Боровков M.B. Модельное исследование разброса значений полюсных фигур в случае гексогональной симметрии поликристаллического материала // Научная сессия МЙФЙ-2003. Сборник научных трудов. Т. 7. С. 82-83. М: МИФИ, 2003.

67. Иванова Т.М. Применение канонического нормального распределения для решения задач текстурного анализа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, 1998,133 с.

68. Бухарова Т.И. Разработка математических методов описания текстуры гексагональных поликристаллов и их применение для оценки анизотропии физических свойств, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, 1990,145 с.

69. Лычагина Т. А. Нейтронографическое и модельное исследование влияния текстуры при определении упругих свойств конструкционных поликристаллических материалов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, 2002,120 с.

70. Виглин А.С. Количественная мера текстуры поликристаллических материалов. Текстурная функция // ФТТ, 1960. Т. 2. № 10. С. 2463-2476.

71. Nikolayev D.I, Ullemeyer К. The effect of smoothing on ODF reproduction // Textures and Microstructures, 1996. V. 25. P. 149-157,

72. Mardia K.V., Khatri C.G. Uniform distribution on a Stiefel manifold // J.MultAnal, 1977. V. 7. P. 468-473.

73. Khatri C.G., Mardia K.V. The von Mises-Fisher distribution in orientation statistics//J.R. Statist Soc, 1977. V. 39. P. 95-106.

74. Borovkov M.V., Savyolova T.I. Optimization of neutron texture experiment by statistical simulation of pole figures with normal distribution // Materials Science Forum, 2002. V. 408-412. P. 197-202.

75. Rollett A.D. Texture development dependence on grain boundary properties // Materials Science Forum, 2002. V. 408-412. P. 251-256.

76. Poulsen H.F., Jensen D J. From 2D to 3D microtexture investigation // Materials Science Forum, 2002. Y. 408-412. P. 49-66.

77. Kobayashi M., Takayama Y., Kato H. Prediction of texture development during grain grouwth in pure aluminium by Monte Carlo Simulation // Materials Science Forum, 2002. V. 408-412. P. 293-298.

78. Tarasiuk J., Gerber Ph., Bacroix В., Piekos K. Modelling of Recrystallization using Monte Carlo method based on EBSD data // Materials Science Forum, 2002. V. 408-412. P. 395-400.

79. Ryoo H.S., Yu S.H., Oh K.H., Hwang S.K. Monte Carlo simulation of grain growth in Zr processed by ECAP // Materials Science Forum, 2002. V, 408-412. P. 655660,

80. Adams B.L., Dingley D.J., Kunze K., Wright S.I. Orientation imaging microscopy: new possibilities for microstructural investigations using automated BKD analysis // Materials Science Forum, 1994. V. 157-162. P. 31-42.

81. Савелова Т.И. О решении одной обратной задачи дифракции // ДАН СССР, 1982, Т. 266. № з. с. 590-592.

82. Matthies S., Helming S. General consideration of the loss of information on the orientation distribution function of textured samples in pole figures measurement // Phys. Stat. Sol,. 1982. Y 113. P. 569-582.

83. Matthies S., Vinel G.W., Helming K. Standart distributions in texture analysis. Akademie-Velgrad Berlin, 1987. V. 1-3.

84. Боровков M.B. Моделирование полюсных фигур бериллия методом Монте-Карло в случае двух разделяющихся компонент // Научная сессия МИФН-2004. Сборник научных трудов. Т.7. С.142-143. М: МИФИ, 2004.

85. Choy М.М., Cook W.R., Hearmon R.S.F., Jaffe H., etc. Numerical data and functional relationships in science and technology. Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1979.

86. Boeslau J., Raabe D. Development of microtextures in cold rolled iron-oligocrystals// Materials Science Forum, 1994. V. 157-162. P. 501-506.