автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Прикладное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение компьютерного анализа гибридных систем

На правах рукописи

Шорников Юрий Владимирович

Прикладное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение компьютерного анализа гибридных систем

05.13.11 - Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей

АВТОРЕФЕРЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

ги

П ! л "Я

Новосибирск - 2009

003471724

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Новиков Евгений Александрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Хабаров Валерий Иванович,

доктор технических наук, доцент Сениченков Юрий Борисович,

доктор технических наук, с.н.с. Родионов Алексей Сергеевич

Ведущая организация: Томский политехнический университет

Защита состоится 18 июня 2009 г. в 14® часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу: 630092, Новосибирск, пр. К. Маркса 20

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан « » апреля_2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Чубич В.М.

Общая характеристика работы

Современные программно-управляемые технические системы и комплексы характеризуются сложными динамическими процессами. Часто эти процессы являются результатом решения так называемых гибридных систем (ГС), которые характеризуются как непрерывным, так и дискретным поведением. Для детального и качественного анализа таких систем применяют метод компьютерного моделирования, который является новым научным направлением и характеризуется: созданием математического, алгоритмического и программного обеспечения, разработанного на основе современных технологий вычислительного эксперимента; выбором формализма и разработкой языков спецификации математических моделей и программных средств реализации; разработкой новых способов графической интерпретации результатов моделирования; обеспечением интерактивно управляемого вычислительного эксперимента с компьютерными моделями систем разной природы. Таким образом, современные технологии компьютерного моделирования включают инструментальные средства подготовки, отладки и эффективной обработки программных моделей с визуальной интерпретацией результатов моделирования.

Универсальные передовые отечественные (MVS, AnyLogic) и зарубежные (DYMOLA, Ptolemy II и HyVisual, HyTech, Charon, Hybrid Toolbox, Simulink/Stateflow) программные комплексы моделирования ГС широко используются для анализа сложных динамических процессов. Тем не менее, с помощью этих программных комплексов в отдельных случаях не удается получать качественные результаты при решении важных практических задач.

Актуальность темы исследовании. В известных работах Н.Н. Моисеева и Н.Н. Яненко указывается, что разработка программных средств компьютерного анализа сложных систем становится самостоятельной фундаментальной задачей исследования, которая связана с решением комплекса важных научных проблем. Особенности ГС ограничивают использование даже таких признанных мировых лидеров предметного программного обеспечения как MATLAB/Simulink с графическим языком структурных схем или современного программного комплекса Scicos с символьным языком Modélica.

Отметим особенности ГС. В некоторых случаях поверхность разрыва, определяющая смену режимов ГС, имеет острые углы, а решение проходит вблизи границы режима. Решение в этом случае может оказаться неверным, если при приближении к границе режима в алгоритме обнаружения событий не контролировать должным образом шаг интегрирования. Обычно для обнаружения событий при моделировании ГС используют метод дихотомии или применяют метод Ньютона-Рафсона для поиска корней событийной функции на границе режима. В отдельных случаях применяется метод установления для поиска корней. Однако эти методы не всегда эффективны, если их применять к так называемым односторонним событиям ГС. Данная

проблема рассматривается в работах Е.А. Lee, Н. Zhenq, J. Esposito, V. Kumar, GJ. Pappas, D. Harel и отечественных ученых Ю.Г. Карпова, Ю.Б. Сениченкова, Ю.Б. Колесова. Однако не все вопросы решаются в работах этих авторов.

Проблема обнаружения событий становится еще более актуальной для режимов ГС с повышенной жесткостью. Наиболее опасным для моделирования является ситуация, когда переходный участок решения лежит вблизи границы области неопределенности, и якобиан событийной функции резко возрастает. Это может привести к «проскакиванию» точки переключения с большей вероятностью, чем в гладких режимах. И в этом случае ситуация наиболее опасна для ГС с односторонними событиями. Предложенный в известных работах J. Esposito и реализованный в системах HyVisual и MATLAB метод линеаризации событийной функции с асимптотическим приближением решения к границе режима не учитывает ограничений шага по устойчивости. В то время как установившиеся участки решения в жестких режимах в виду малой производной решения контролируются только условиями устойчивости. В связи с этим проблема выбора шага с учетом точности, устойчивости и динамики событийной функции является актуальной задачей.

Отметим, что все перечисленные универсальные программные комплексы применяют неявные методы в случае режима с повышенной жесткостью, что не всегда оправдано с точки зрения вычислительных затрат и риска попадания в область неопределенности гибридной модели. Для многошаговых схем с числом шагов более двух необходимо знать предыдущие значения фазовых координат и их производные. Но в момент запуска модели и после точки разрыва при мгновенном переходе в новые локальные состояния эти значения невозможно вычислить или определить ни одним из известных методов при использовании многошаговых схем. В такой ситуации предпочтительнее применять одношаговые алгоритмы на основе явных формул.

Однако современные алгоритмы на основе явных методов в большинстве своем не приспособлены для решения жестких режимов ГС, поскольку на участке установления вследствие противоречивости требований точности и устойчивости шаг интегрирования выбирается значительно меньше допустимого. Этого можно избежать, если наряду с точностью контролировать устойчивость численной схемы. Применение явных одношаговых схем ограничено также малыми областями устойчивости. Поэтому актуальной является задача использования явных одношаговых схем с расширенными областями устойчивости с контролем точности и устойчивости.

Актуальными являются и вопросы формализма и спецификации ГС. Несомненно, удобным и наглядным изобразительным средством представления дискретных переходов на визуальной модели ГС являются карты состояний Харела. Узлами диаграмм Харела являются локальные состояния ГС. Направленные дуги с предикатами показывают переходы из локальных состояний. В интерфейсах карт поведения ГС программные модели содержат общепринятые декларации всех фазовых, алгебраических и булевых

переменных, что не относится по существу к компьютерной модели, а является необходимым атрибутом программирования. Поскольку для систем высокой размерности сектор описания типов переменных может занимать соизмеримый размер с математическим описанием, бездекларативный язык является более лаконичным и доступным для предметного пользователя. Вопросы выбора языка спецификации программных моделей не перестают быть актуальными и в настоящее время. Несомненными передовыми технологиями являются графические языки спецификаций предметных категорий. Для программных моделей ГС это диаграммы Харела, канонизированные в проекте UML и успешно развитые в системах HyVisual, MVS. Следует отметить, что многие современные графические оболочки используют вместе с тем и другие формализмы с соответствующим графическим языком. Например, сети Петри в системе DYMOLA, структурные схемы в системах HyVisual, Simulink, которые обладают своими функциональными преимуществами с точки зрения предметной ориентации пользователя.

Символьный язык является неотъемлемым атрибутом спецификации и сопровождает графические конструкции, либо, как, например, язык MODELICA, описывает гибридную модель в целом. Выбор соответствующего символьного языка и средств его эффективной реализации также является актуальной задачей разработки программных систем.

Способы визуальной интерпретации результатов вычислительного эксперимента в современных зарубежных и особенно передовых отечественных системах моделирования ограничены в части манипуляции графическими и числовыми данными, полученными в результате решения. В частности, ограничен режим катенации окон с графическими данными, импорт данных из внешних приложений, трассировка точечных решений, интерполяция графических данных, например, с помощью вейвлет-преобразований. В то же время все перечисленные вопросы широко востребованы в практике анализа результатов вычислительного эксперимента и поэтому актуальны.

Цель работы и задачи исследования. Цель работы состоит в разработке необходимого прикладного математического, алгоритмического и программного обеспечения эффективного машинного анализа обозначенного класса ГС.

Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие основные научные проблемы:

• Разработка содержательной спецификации гибридных моделей, доступной предметному пользователю, которая включает графический и символьный языки описания ГС и позволяет значительно снизить трудоемкость подготовки данных при переходе от математической к программной модели на предметно-ориентированном входном языке.

• Разработка эффективных средств реализации программных моделей с доступным графическим и символьным интерфейсами подготовки входных данных, однозначными эффективными методами обработки программных моделей с содержательной диагностикой синтаксиса и семантики.

• Разработка эффективных решателей с библиотекой методов и алгоритмов, учитывающих нетривиальные особенности компьютерного анализа режимов ГС разной степени жесткости в условиях односторонних событий.

• Разработка интерфейса с графической интерпретацией результатов компьютерного анализа ГС во временной и фазовой областях и возможностью интерактивной манипуляции графическими данными.

• На основе новых информационных технологий объектно-ориентированного программирования разработка и реализация программного комплекса, обеспечивающего эффективное решение системных и вычислительных актуальных проблем компьютерного анализа ГС.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались теория систем, численный анализ систем обыкновенных дифференциальных уравнений, теория формальных языков и грамматик, теория графов и теория программирования.

Научная новизна. Получены следующие новые результаты:

• В отличие от лучших мировых аналогов, впервые для эффективной организации вычислительного эксперимента для режимов ГС разной жесткости в ПК ИСМА предложено использовать явные одношаговые и адаптивные методы компьютерного исследования ГС.

• Разработаны теоретические основы управления шагом моделирования с учетом жесткости режимов ГС и устойчивости методов в условиях односторонних событий. Впервые предложен эффективный алгоритм корректного обнаружения событий, который позволяет исследовать ГС с нетривиальными свойствами и особенностями.

« В отличие от принятого в практике формализма ГС в виде гибридных автоматов, предложена структурно-символьная спецификация компьютерных моделей со своими функциональными преимуществами разработки и исследования ГС инструментально-ориентированными средствами.

• Предложена архитектура ПК ИСМА, которая обеспечивает возможность интерактивного вычислительного эксперимента, необходимого при отладке программных моделей с вариацией параметров и структуры в ходе вычислительного эксперимента. Использована объектно-ориентированная технология с АР1-библиотеками примитивов и методов, обеспечивающая решение важной проблемы унификации и оперативной расширяемости программного обеспечения.

• Предложен графический язык и средства его реализации в виде многопроходного структурного процессора, результатом работы которого является орграф исполняемой модели, однозначно определенный корректностью программной модели.

• Впервые предложен предметно-ориентированный бездекларативный символьный язык и средства его реализации в виде разработанного и реализованного методом рекурсивного спуска синтаксического распознавателя и семантического анализатора, в результате работы которого формируется матрица переходов, функционально тождественная диаграмме Харела, которая однозначно управляет режимами ГС.

• Предложены и реализованы в рамках ПК ИСМА средства графической интерпретации результатов вычислительного эксперимента с моделями ГС, которые в отличие от известных мировых аналогов позволяют интерактивно манипулировать графическими данными.

Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в семействе программных комплексов ИСМА (Свидетельство официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610126. - М: Роспатент, 2005; Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2007611024. - М.: Роспатент, 2007; Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2007611459. - М.: Роспатент, 2007). Средствами ИСМА решены следующие важные практические задачи:

• в электромеханике - импорт данных из внешнего приложения Excel в программную модель среды ИСМА для исследования методом моделирования функционирования электропривода электрокары (Импорт данных в программной среде ИСМА. - М.: ВНТИЦ, 2006. - №50200600117);

• в военной аэрокосмической области - исследование импульсной системы с запаздыванием в моделях автосопровождения баллистических и космических объектов (Аппроксимация звена чистого запаздывания рядом Паде в программной среде ИСМА. - М: ВНТИЦ, 2007. - № 50200700715);

• в электротехнике - моделирование высокоточной жесткой системы кольцевого модулятора;

• в биомедицине - исследование режима выброса желчи билиарной системы методом фазовой плоскости и определения стационарной точки равновесия биосистемы (Методология анализа нелинейных динамических систем методом фазовой плоскости в среде ИСМА. - М.: ВНТИЦ, 2006. -№50200600116).

Полученные результаты при моделировании биосистемы средствами ИСМА использованы в отчете НИР НГТУ - ЭИ - 1/02 (Отчет НИР «Исследование одномерной кусочно-дифференциальной модели при описании динамических процессов», № ГР 01.200.205393, Новосибирск, 2002). Инструментальные средства ИСМА использованы при моделировании электромеханических систем в докторской диссертации (В.Н. Аносов, НГТУ, 2008) и кандидатских диссертациях; методика расчета средствами ИСМА использована при моделировании процессов горения в НИИ Экспериментальной и теоретической физики АН Казахстана. В ИВМ СО РАН (Красноярск) программный комплекс ИСМА используется при проектировании новых численных методов с контролем устойчивости, при тестировании новых методов и моделей процессов, представленных в обозначенном классе систем ОДУ.

Кроме того, исследования были поддержаны грантами РФФИ (грант РФФИ №05-01-00579-а, РФФИ №08-01-00621) и Президентской программы «Ведущие научные школы РФ» (грант № НШ - 3431.2008.9).

Программный комплекс ИСМА получил широкое использование в учебном процессе в университетах России и странах ближнего зарубежья: в Новосибирском государственном техническом университете на факультетах

«Автоматика и вычислительная техника» и «Электромеханическом факультете»; в Алматинском Технологическом Университете (АТУ) на кафедре «Информационные технологии»; в Красноярском государственном техническом университете на кафедре МОДУС; в Уральском государственном техническом университете - УПИ и Нижнетагильском технологическом институте (филиал) УГТУ-УПИ; в Санкт-Петербургском политехническом университете. Перечисленные внедрения ПК ИСМА подтверждены актами и справками о внедрении.

Достоверность результатов подтверждается решением модельных задач, сравнением результатов моделирования классических и оригинальных ГС в системе ИСМА и известных отечественных и мировых аналогах, а также, где это возможно, сравнением аналитических и практических результатов вычислительного эксперимента.

Личный вклад. Все результаты, приведенные в диссертации без ссылок на чужие работы и вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались более чем на 20 международных, всероссийских и региональных конференциях: ежегодной международной НТК «Компьютерное моделирование», (С.Петербург, 2003, 2004, 2006, 2007); 2-й международной конференции «AUTOMATION, CONTROL, AND APPLICATIONS» (ACIT-ACA), (Новосибирск, 2005); 15-й международной конференции по компьютерной графике и её приложениям ГрафиКон'2005 (Новосибирск, 2005); XVI Международной конференции по компьютерной графике и её приложениям ГрафиКон'2006 (Новосибирск, 2006); международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ'2003», (Новосибирск, 2003); международной конференции «Basic Science for Biotechnology and Medicine» (Новосибирск, 2006); 4-й международной научно-технической конференции «Измерение, контроль, информатизация» (ИКИ-2003) (Барнаул, 2003); международном российско-корейском симпозиуме по науке и технологиям «KORUS 2003», (Ulsan, Korea, 2003), «KORUS 2005» (Новосибирск, 2005); 3-й международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург 2007); научно - технической конференции «Научное программное обеспечение в образовании и научных исследованиях» (Санкт-Петербург, 2006, 2008); всероссийских научно-практических конференциях «Имитационное моделирование. Теория и практика» (Санкт-Петербург, 2003,2005,2007).

Также промежуточные результаты работы докладывались на ежегодной отчетной научной сессии НГТУ, на семинарах ИВМ СО РАН, ИСИ СО РАН.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликованы 44 научные работы, в том числе: 14 статей в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ; 7 работ, зарегистрированных в Роспатент и ОФАП; 15 статей в материалах международных и российских конференций; 8 работ опубликованы в докладах АН ВШ, научных журналах и изданиях отечественных и зарубежных университетов.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, семи глав, заключения и приложения. Объем работы составляет 292 страницы основного текста, включая 91 рисунок и 13 таблиц. Список использованных источников содержит 209 наименований.

Краткое содержание работы

В первой главе вводятся строгие определения и ограничения класса ГС и формулируются требования к прикладному математическому и алгоритмическому обеспечению для организации эффективного вычислительного эксперимента с программными моделями ГС,

Гибридные системы характеризуются непрерывным и дискретным поведением. Ограничим непрерывное поведение ГС классом систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в форме Коши с запаздывающим аргументом в правой части

* = /[*(*),*(/-ф], ie[V*]> *('0) = *0> 0)

где хeR" - вектор состояния; x(i) = ^(f),f€[f0-r,f0)-, t - независимая переменная; <fi(t) - г-мерная вектор-функция запаздывания, г<п\

г = {т1,...,гг}Г - вектор чистых запаздываний; f: RxR" ~>R" - нелинейная вектор-функция, удовлетворяющая условию Липшица.

Введем строгие формальные определения режима ГС, событий и других важных понятий, которые будут использованы в дальнейшем.

Определение 1. Режимом ГС будем называть кортеж < j,xJ ,fJ >, :RxRnJ где режимное поведение xJ(/)еr"-' ; режимная

функция /•'удовлетворяет условиям Липшица для всех ^eRxR"-*.

Определение 2. Некоторая непрерывно дифференцируемая функция g(t,x):RxRn->Rs,s = 1,2,... называется событийной функцией и характеризуется предикатом pr :g(t,x) < 0,рг е В = {false,true).

Событийная режимная функция gj[x,t)<0 на всем режимном решении ведет себя таким образом, что соответствующий предикат prj: gj(x,t)<0 режимного решения является истинным prj = true на всем полуинтервале

режимного решения j^y,/* j с ['o.^j-

Определение 3. Границей режима ГС называется некоторая граница области G сR", на которой событийная функция g(x,t) = 0.

Определение 4. Событием ГС будем называть такое состояние ГС в пространстве и времени (x,t)eR"+1, когда g(t,x):RxR" ~>Rs,s = 1,2,... достигает границы режима.

Задача определения момента времени t = t*, когда событийная функция g(x,t) = 0, является задачей обнаружения событий. Ситуации, когда существуют особые точки или когда физический смысл проблемы диктует условие такое, что фазовая траектория никогда не должна пересекать поверхность события относятся к категории односторонних событий. Именно такие события представляют наибольший практический интерес, и поэтому будут рассматриваться в дальнейшем.

Локальное поведение ГС cj еС характеризуется единственным

режимным поведением, полученным на решении задачи Коши с ограничениями

pr:g(t,y)< 0, <2)

где yeRN~ вектор состояния; f:RxR^ ~>RN- нелинейная вектор-функция, удовлетворяющая условиям Липшица; &RN - вектор начальных условий; g:RxRN -+Rs,s = l,2,....

Здесь и в дальнейшем в отличие от (1) будем рассматривать функцию / без отклонения аргумента правой части, поскольку (I) легко сводится к (2) аппроксимацией Паде с повышением порядка системы N>n.

Из введенных определений следует, что ГС является обобщением динамических систем. Этот важный вывод как следствие введенных определений согласуется с введенными понятиями ГС в разных источниках.

Режимные поведения некоторых ГС описываются алгебро-дифференциальными уравнениями (АДУ). Примеры таких систем рассмотрены в работе. Расширим класс (2) введением алгебраических уравнений, при этом ограничимся алгебраическими уравнениями, разрешенными относительно алгебраических переменных z. Тогда (2) примет вид y = f{t.z,y),

z*=<p(t,z,y),

где yeRN,zeRN*,f:RxRN*xRN->RN,<p:RxRNxRN*->RN*.

Глобальное поведение ГС характеризуется совокупностью согласованных режимных поведений, полученных на множестве решений задачи Коши с ограничениями вида

yJ = fj(t,A У('о) = Д). '«Ml. (4) prj:gj(t,yj)<0,

где у} eRNJ, fj:RхRN> -»RNj, gj:RxRNi -»RSJ, Sj = 1,2.....\<j<*m.

В настоящее время актуальными являются проблемы поиска решения событийно-непрерывных систем вида (4). Попытки применить классические подходы к анализу гибридных систем пока дают весьма ограниченные результаты. В связи с этим исследования таких систем необходимо проводить методом компьютерного анализа с использованием инструментальных средств.

Во второй главе выполняется сравнительный анализ современных инструментальных средств компьютерного анализа ГС и необходимого математического обеспечения.

Современными средствами реализации моделей из класса (4) являются инструментальные средства или программные системы Simulink/Stateflow, Hybrid Toolbox, DYMOLA, Charon, HyVisual. Из немногочисленных отечественных систем моделирования передовыми являются MVS и AnyLogic. Однако часто при использовании инструментальных средств, к предметному пользователю предъявляются повышенные требования к знанию объектно-ориентированного программирования (ООП), а спецификация простых моделей ГС может оказаться громоздкой в канонизированной форме гибридных автоматов и диаграмм Харела. Известно, что одним из важных критериев при использовании систем моделирования (равно как и программирования), является простота и доступность перехода от абстрактного (математического) описания к компьютерному представлению. Недостаточная компетентность предметного пользователя в вопросах ООП делает такой переход весьма трудным или вообще невозможным.

Из сравнительного анализа инструментария моделирования ГС следует, что спецификация программных моделей включает визуальное структурное представление (HyVisual, Simulink), карты поведений (MVS, AnyLogic, Charon) и символьное описание. Карты поведений являются простым и наглядным графическим способом представления системы дискретных переходов ГС. Символьная модель во всех случаях сопровождается декларативностью, которая может занимать такое же описание, как и сама модель. Переменные программной модели должны иметь простую идентификацию, доступную предметному пользователю. Поэтому в части символьного описания предпочтительнее язык с бездекларативной спецификацией и ориентированный на предметного пользователя.

Современные инструментальные средства моделирования ГС для учета жесткости традиционно используют автоматы решателей, настроенных на использование неявных методов интегрирования, которые оказываются громоздкими в связи с необходимостью декомпозиции матрицы Якоби для систем высокой размерности и при высокоточных расчетах. Кроме того, использование неявных схем небезопасно с точки зрения попадания в зону неопределенности гибридной модели, когда нарушаются условия, определенные событийной функцией. Это тем более важно для гибридных моделей с односторонними событиями. В этом случае оправдано использование явных одношаговых методов

от М

Уп+1 ~Уп+ЕМ- */ = ¥( („+щКУп + X (5)

м

с контролем устойчивости и расширенными областями устойчивости.

Для контроля точности выбирается оценка на основе вложенного метода т

К = Рр,~Р(р-\)0к1 ■ (6>

/=1

В результате для контроля точности вычислений применяется неравенство || 5„ е, где ||'||-некоторая норма в К1*, е - требуемая точность расчетов. Шаг по критерию точности кас = дк, где с учетом согласованности рассматриваемого метода, значение параметра д определяется из уравнения

Для контроля устойчивости применяется неравенство т

.1=1

¿о,

(7)

Ь=\

где постоянная £> - интервал устойчивости, а коэффициенты Ь^ и 1<

выбираются такими, чтобы левая часть неравенства (7) давала оценку максимального собственного числа матрицы Якоби системы (2) степенным методом.

Учитывая, что ип=0(к), шаг по критерию устойчивости Л"5' = гЬ, где г вычисляется из равенства гип - Б.

Для контроля точности и устойчивости одновременно предлагается прогнозируемый шаг вычислять по формуле

Ли+1 =тах[ип,тт(иас^, (8)

где есть последний успешный шаг интегрирования.

Для введения критерия устойчивости (7) в явные одношаговые методы необходимо определение интервала устойчивости £> метода, что и является предметом исследования третьей главы.

В третьей главе приведены теоретические основы определения интервала устойчивости.

Полином устойчивости от-стадийного метода Рунге-Кутгы к -го порядка

к т

/=1 Ыс+1

ограничен неравенством |б(г)| ^ Ь которое определяет допустимые значения С/, 1 < г < /и. Для нахождения с,-, ИИт, одновременно с ()(г) рассматривается полином Чебышева Г(г') того же порядка, для которого справедливым является неравенство |Г(г')[< 1 при вещественных значениях {г'|< 1. Если выполнить замену переменных г - \-2г/у, то при Ли(г) = 0 условие ^ 1 выполняется при Ле(г)е[у,0]. Учитывая, что при замене переменных Т(г) = Т(г,у), всегда можно подобрать такое значение у-у,пах, при котором ¡Г(г)]51. Тогда вещественный интервал [утах,0] и будет являться

интервалом устойчивости метода.

Коэффициенты с,- = 1/И, \И£ к находятся исходя из требований аппроксимации. Обозначив вещественные экстремумы в(2) через причем Ж] >х2 >...>хт_1, находим коэффициенты с,-, к+ \<Ит из условия, чтобы полином устойчивости в экстремальных точках х,, к<1<т-\, принимал заданные значения. Поэтому коэффициенты с,-, к+ \<г<т являются решением системы уравнений

|е'(д:/) = 0, к<1<т-1,

т

где б-Ы-Е*^.

/=1

Для численного решения данной задачи используется метод установления. Для стационарной задачи строится нестационарный процесс у'-/(у), у(0) = У0, решение которого с течением времени сходится к решению исходной задачи. Начальные условия У0 определяются как экстремальные точки многочлена Чебышева, рассматриваемого на отрезке

0], и вычисляются по формуле у( = /и2-1^ 1</<»г-1,

Построенный процесс является жесткой системой ОДУ, для ее решения разработан алгоритм МК22 на основе ¿-устойчивого численного метода. Для повышения эффективности расчетов в построенном алгоритме МК22 используется контроль точности вычислений и «замораживание» матрицы Якоби. В алгоритме МК22 реализуется следующая численная схема • Уп+\=Уп+Р\к\ + Р2к1>

где значения коэффициентов р1~Р = а = 1-0.5^2, = 0.5/а, а = -2а получены с учетом требований ¿-устойчивости метода и использования численно построенной матрицы Якоби. Матрица £>„ рассчитывается по

13

формуле Dn = Е-ah„An, где Е - единичная матрица, hn - шаг интегрирования, А„ - матрица Якоби.

При графической интерпретации функция комплексной переменной Q(z) представляется на плоскости в виде линий уровня, для которых jß(z)j=d. Это позволяет визуально оценить интервал устойчивости исследуемого метода. Представление полинома ß(z) как функции вещественного аргумента х, x = Re(z) при lm(z)~ 0 показывает положение всех вещественных экстремумов и корней Q(z).

Построенные и реализованные в ПК ИСМА алгоритмы определения интервала устойчивости унифицированы порядком и числом стадий явных одношаговых схем. Конструктивно на множестве тестов доказана эффективность разработанного модуля.

В четвертой главе разрабатываются эффективные вычислительные схемы для исследования режимов ГС разной степени жесткости, которые являются ядром прикладного математического обеспечения ИСМА. Для задач повышенной жесткости разработан адаптивный алгоритм D1SPF1 _RADAU. Для эффективного анализа высокоточных режимов малой и средней жесткости предлагается использовать многостадийные схемы переменного порядка и шага с контролем устойчивости.

В адаптивном алгоритме DISPF1_RADAU использован оригинальный явный метод DISPF, разработанный в ИВМ СО РАН (Е.А. Новиков) и известный ¿-устойчивый метод RADAU5. Адаптивный алгоритм при обнаружении определенной степени жесткости у передает управление L-устойчивому методу, а на участках установления переключается на явную схему. Обнаружение жесткости производится контролем неравенства h\X\/D<y, где D - интервал устойчивости метода; ¡Я| - оценка максимального собственного значения матрицы Якоби.

Для сравнительного анализа эффективности (табл. 1) метода DISPF1_RADAU, рассмотрены пять жестких режимов, приведенных в приложении.

Таблица 1 Анализ эффективности вычислений

ИСМА SIMULINK

DISPF1 RADAU Ode45 Ode23s

Количество шагов

128 34789 586

31 47642 343

989 2250865 1652

121 14870 720

291 4725 2861

Критерием эффективности является количество шагов моделирования режимов ГС в ИСМА и БшиИпк. Из результатов вычислительных экспериментов следует, что эффективность разработанного адаптивного алгоритма в системе ИСМА в 5-10 раз выше, чем в лучших мировых инструментах анализа жестких режимов ГС.

Интерес к многостадийным схемам вызван повышенной точностью и возможностью расширения интервала устойчивости.

Рассмотрим 13-стадийную схему Рунге-Кутты-Фельберга 13 /-1

Утл = Уп+1>Л. к1=¥Оп+<*АУп + Цр^}) (9)

/=1 м

с известными праметрами 1</<13,1^у <12.

При известных значениях коэффициентов />7/,р8,-, 1<<" <13 схема (9) имеет соответственно седьмой и восьмой порядок точности. Локальную ошибку дп метода седьмого порядка можно оценить с учетом (б) по формуле

8П=ЪРЫ-Рь>кг (Ю)

1=1

В результате для контроля точности вычислений применяется неравенство 11 Зп 11£ е, где 11 • 11 - некоторая норма в Л^, е - требуемая точность расчетов.

Построим неравенство для контроля устойчивости. Вычислим первые три стадии к\, к2 и схемы (9) применительно к линейной задаче у' = Ау с постоянной матрицей А. С учетом известных коэффициентов а/, Рц, 1И <13, 1 й ] й 12 при X = ИА получим

кг=[х+±хгу„, к3 = (Х+^Х2+-^Х3)у„.

После несложных преобразований имеем

\Щ-1Щ + 6кх = к2-к^^Х2у„.

Теперь оценку максимального собственного числа матрицы Якоби ип можно вычислить стеленным методом в соответствии с (7) по формуле:

и„= тах I (12к3 ~\Щ + 6кх )1\/\(к2- к} )■, |. (11)

ныы

Тогда для контроля устойчивости можно применять неравенство ип < О.

Области устойчивости методов, построенные средствами ИСМА, приведены на рис. 1, откуда видно, что интервал устойчивости метода седьмого и восьмого порядка приблизительно равен пяти. Поэтому положим в неравенстве (7) для контроля устойчивости Б — 5.

Рис. 1. Область устойчивости метода (9) седьмого порядка (слева) и восьмого порядка (справа)

На основе стадий численной схемы (9) построен метод первого порядка точности с более широкой областью устойчивости. Область устойчивости построенного метода первого порядка точности по вещественной оси примерно в 18 раз шире (£>¡=90) области устойчивости численной схемы (9) восьмого порядка. Кроме того, метод первого порядка по числу вычислений правой части задачи (2) почти в два раза дешевле. Поэтому для задач, в которых шаг ограничен в основном по устойчивости, предполагается теоретическое повышение эффективности в 36 раз.

Построен метод переменного порядка и шага ККР788ТР с контролем устойчивости. В качестве критерия переключения с метода высокого порядка на метод первого порядка используется неравенство (7). При расчетах по методу высокого порядка переход на метод первого порядка осуществляется при нарушении неравенства < 5. Обратный переход происходит в случае выполнения условия и„ < 5.

Для конструктивного доказательства эффективности КЮР788ТР рассмотрены задачи из приложения с примерами жестких режимов ГС. Результаты расчетов сведены в табл. 2, где в качестве критерия эффективности приведено суммарное число вычислений правой части.

Таблица 2

№ ККР78 ККР78БТ МО^БТР

2 564907 305709 59630

3 28859 16454 4403

4 944229 497836 18394

5 244898 131827 12696

6 191313 59281 19313

Расчеты проводились с задаваемой точностью е - 1(Г6. Из сравнения результатов следует, что контроль устойчивости (Ш<!Р788Т) приводит к повышению эффективности расчетов почти в 2 раза по сравнению с классической схемой седьмого порядка точности (ПКГ78), а введение

переменного порядка метода с контролем устойчивости (RKF78STP) позволяет увеличить эффективность в 5-10 раз.

Использование неравенства для контроля устойчивости фактически не приводит к увеличению вычислительных затрат, поскольку оценка максимального собственного числа матрицы Якоби системы (2) осуществляется через заранее вычисленные стадии и не приводит к росту числа вычислений правой части. Применение на участке установления методов низкого порядка точности с расширенными областями устойчивости позволяет значительно увеличить размер шага интегрирования без увеличения вычислительных затрат. На переходных участках, где определяющую роль играет точность вычислений, эффективными являются методы более высокого порядка точности, но с небольшой областью устойчивости.

Также в библиотеку методов ПК ИСМА включен 13-стадийный метод Дорманда-Принса с контролем устойчивости (DP78ST). Оригинальный метод Дорманда-Принса с контролем точности получил широкое распространение и включен в библиотеки известных зарубежных (MATLAB/Sfateflow, HyVisual.) и отечественных (MVS, AnyLogic) инструментальных средств моделирования

Классический метод Дорманда-Принса является явным методом типа Рунге-Кутты, основанным на 13-ти стадийной численной формуле (9) с известными константами Ру, 15/^13, 12/512. В работе приводятся

коэффициенты рц, р^, 13 схемы (9), при которых метод имеет соответственно седьмой и восьмой порядок точности. Тогда для контроля точности схемы восьмого порядка можно использовать оценку (10). Аналогично (11) получено выражение

которое определяет оценку максимального собственного числа матрицы Якоби метода Дорманда-Принса (DP78ST). Тогда для контроля устойчивости метода DP78ST можно применять неравенство (7).

Поскольку и в рассмотренном методе FEL78ST, и в методе DP78ST используется 13-стадийная численная схема (9), то области устойчивости для методов одинаковых порядков точности будут также одинаковыми с интервалом устойчивости, равным пяти. Поэтому выбор шага в методе DP78ST будет отличаться только оценкой максимального собственного числа (12).

Из сравнения результатов расчетов, приведенных в диссертации, следует, что контроль устойчивости в DP78ST приводит к повышению эффективности расчетов почти в 2 раза по сравнению с классической схемой и не уступает лучшим мировым аналогам, например методу DVERK78 системы Maple 9.5.

В пятой главе рассмотрены вопросы корректного обнаружения событий. Большинство гибридных симуляторов разделяют задачу фазу обнаружения, за

ГС.

(12)

которой следует фаза локализации. В этих симуляторах фаза обнаружения заключается в проверке истинности выражения #(у(г))>0. Если результат

ложь, происходит численное интегрирование дифференциальных уравнений на один шаг вперед. Эта процедура повторяется, пока не произойдёт шаг, на котором будет истинно. В этой точке считается, что событие

произошло на полуинтервале Некоторые системы после этого

активизируют фазу локализации для более точного определения результата, а некоторые просто принимают, что событие произошло в момент Фаза локализации обычно основана на методе дихотомии или алгоритмах, анализ которых приведен в настоящей главе. Как только событие локализовано, интегратор останавливается и происходит переход в новое локальное состояние. Хотя этот базовый метод зарекомендовал себя хорошо для многих задач, существуют ситуации, когда он склонен к сбоям (рис. 2).

Первый вариант, когда граница режима ГС пересекается так, что событийная функция имеет несколько корней на полуинтервале е (^-1« ] -Похожая ситуация возникает когда множество значений событийной функции тонкое или имеет острые углы. В обеих ситуациях большинство стандартных методов могут дать сбой.

В своих работах L.F. Shampine и C.W. Gear продемонстрировали неэффективность, которая возникает если не использовать специальные методы управления шагом в задаче обнаружения событий. J.M. Esposito и V. Kumar предложили алгоритм управления шагом. Однако, в предложенном алгоритме при выборе шага, которым управляется процесс асимптотического приближения решения к границе режима, не учитывается критерий устойчивости методов численного интегрирования, что существенно важно в ГС с жесткими режимами.

Рассмотрим режим односторонней ГС в виде автономной задачи Коши с ограничениями

y'=f{y).y{tohyo-g{y't)<°-

Решение будем определять явными методами, которые в векторной форме записываются в виде Уп+\~Уп+К+\<Рп> «=0,1,2,..., где hn+i -очередной шаг интегрирования, q>„ - заданная гладкая N -мерная вектор-функция, зависящая от правой части задачи (2).

Теорема. Выбор шага по формуле

8п

8г„ дя„ ' ду а

(13)

где у е[0Д), обеспечивает поведение событийной динамики как устойчивой линейной системы, которая асимптотически приближается к границе режима <) = 0 • Кроме того, если то 8(уп>1п)<^ для всех и.

Рассмотрим явный двухстадийный метод Рунге-Кутты с постоянным шагом

У„+1=Уп + Р\к1 + Р2к2>

(14)

к* + Рку„+ркх).

При коэффициенты метода определяются однозначнору = р2 =0.5, а неравенство для контроля точности вычислений имеет вид 0.5¡£2 - ^ £, где ¡•|| - некоторая норма в , е - требуемая точность интегрирования. Тогда согласно (7) оценку максимального собственного числа и„ 2 = ЛЯлтах матрицы Якоби системы (14) можно вычислить по формуле

^«,2 =2 «ах -^1/^2-^1).

Область устойчивости метода второго порядка, полученная в инструментальной среде ИСМА, приведена на рис. 3.

Рис. 3. Область устойчивости метода второго порядка

Интервал устойчивости численной схемы (14) приблизительно равен двум. Поэтому для контроля устойчивости можно применять неравенство

ип2 <2. В результате прогнозируемый шаг с учетом точности и

устойчивости для метода второго порядка в соответствии с (8) вычисляется по формуле

кР+1=тах^1п,тт^Иас,кл>^. (15)

Построен алгоритм выбора шага с учетом точности, устойчивости и динамики событийной функции в соответствии с (13) - (15).

19

(16)

Для иллюстрации работы алгоритма рассмотрена типичная гибридная система двух осциллирующих масс на пружинах. Система может находиться в одном из двух локальных состояний: «Раздельно» и «Вместе». Поведение системы в каждом из состояний описывается системой алгебро-дифференциальных уравнений типа (3).

При условии (i < + m2 ) • aj)) имеем:

x'l=vl>

v'v=k\("l~x\)/ml'

ai~h{n\ ~x\)lmi>

x'2 = v2;

v'2 = k2(n2-X2 )/щ;

a2=k2{n2~x2)/m2-При условии = x2) and (vt > v2):

a, =(klnl+k2n2-xl(ki+k2))/(m1 + m2);

v!=(Vl +k2"2 -xl{kl+h))Hm\ +m2):

a2+ k2n2 -X\ (¿1 + k2+m2);

v'2 = + k2n2 ~x\(kl + h))!{m\ +m2)'

(17)

х2 ~ у2' я' = -я,

где т2 - массы грузов; к\, к2- жесткости пружин; «¡, п2- нейтральные координаты грузов; х\, х2 - координаты грузов; vl, у2 - скорости грузов; «), а2 - ускорения грузов, я - общая жесткость пружин в состоянии «Вместе».

Результаты анализа в ИСМА с разработанным алгоритмом обнаружения (рис. 4, справа) совпадают с результатами приведенной в работе эталонной модели в системе Ну\Ъиа1. Традиционный анализ системы без алгоритма обнаружения приводит к некачественным результатам (рис. 4, слева).

х

з

2.5 2 1.5

lime

4 6 8 10 12 14 16 18

2 4 6 8 10 12 14 16 18

Рис.4. Динамика ГС двух масс 20

В шестой главе исследуются вопросы системного наполнения инструментальных средств и вопросы реализации системного и математического обеспечения. Исходя из сформулированных требований для реализации программного комплекса, разработана архитектура ПК ИСМА, представленная на рис. 5.

I Интерфейс пользователя I I бибяиотека^эленентов ~| | ......................................НЗагрузчик элементов ~Ч

,..............| Процессор структурных схен~~{-^_

| Диагностика 4........................................[ Интерпретатор ЦвМА |

"—I Процессор численного анализа 1*—) Генератор надели Ц5МА |

| Загрузчик ЧМ I | л GtUN ■ | I Библиотека ЧМ I

Рис. 5. Архитектура ПК ИСМА

Библиотеки численных методов и графических примитивов реализуются в виде отдельных программных модулей и загружаются соответствующими загрузчиками во время выполнения программы. Такой подход позволяет выделить некоторый набор функций и классов, необходимых для реализации библиотек примитивов и численных методов в виде API. Благодаря этому появляется возможность унификации и расширяемости системы ИСМА новыми методами и примитивами без перекомпиляции всей системы.

Структурно-символьная спецификация использует структурный и символьный подходы при описании ГС. Визуальное структурирование ГС отвечает традиционным требованиям описания, принятого в инженерной практике, а дополнение структур символьным описанием расширяет класс описываемых систем.

Программная модель на языке LISMA рассмотренной ГС двух масс

kl=l; k2=2; // жесткости пружин nl=l; п2=2; // нейтральные координаты тел ml=l; m2=l; // массы тел xl=0;x2=3; // начальные координаты separate[s<abs(kl*nl-k2*n2-xl*(kl-k2))]is s~=10; xl'=vl;

vl'=kl*(nl-xl)/ml; al~=kl*(nl-xl)/ml; x2'=v2;

v2'=k2*(n2-x2)/m2;

a2-=k2*(n2-x2)/m2;

from;

together { (xl>=x2) and (vl>=v2) ] is s=10;

vl=(ml*vl+m2*v2)/(ml+m2); v2=vl;

vl'=(kl*nl+k2*n2-xl*(kl+k2))/(ml+m2); al~=(kl*nl+k2*n2-xl*(kl+k2))/(ml+m2); xl'=vl;

v2'=(kl*nl+k2*n2-x2*(kl+k2))/(ml+m2); a2~=(kl*nl+k2*n2-x2*(kl+k2) )/(ial+m2) ; x2'=v2;

from separate;

разработана в соответствии с (16), (17).

С учетом (4), условия пребывания ГС в локальном состоянии с

поведением с,-, /=!,«, определяются предикатами pr-, ^¡{t.x1 j<0. Переход из текущего состояния в новое с непрерывным поведением Cj, j = \,m, определяется отрицанием р^ Тогда условия перехода из

локального состояния i в состояние j будут определяться новым предикатом Prk ~ РП Л Ргр*>}

По аналогии с теорией графов пару поведений (сг.су) будем называть

смежными поведениями ГС, если для них ргк = true, 1<к<т2. Если рассматривать непустое множество поведений С как вершины, а непустое множество предикатов Р={ргк) как множество ориентированных дуг,

соединяющих смежные вершины то орграф G(C,P) называется

диаграммой Харела. Рассмотрим формирование матрицы переходов на примере ГС двух масс. Множество предикатов Р = для данной задачи

определяется с учетом (16), (17). Сгенерированная матрица переходов принимает вид как показано в табл.3.

Таблица 3

Матрица переходов _

Состояния init separate together

init false false false

separate prl false prl

together false pr2 false

Анализ визуальной модели происходит в 4 этапа. На первом этапе рекурсивным способом анализируются все вложенные схемы и проверяется

корректность связей примитивов. На втором этапе производится анализ алгебраических петель рекурсивным поиском в глубину на ориентированном графе. На третьем этапе производится сортировка операций и генерируется орграф с правой частью ОДУ. В общем виде сконструированный программой орграф ОДУ имеет вид, как показано на рис. 6.

Узлами графа (1,2,3) являются примитивные операции, исключая операции интегрирования. Стартовые узлы графа (4,5,6) являются генераторами сигналов и операциями интегрирования.

На четвертом этапе запускается процесс моделирования. Основную роль здесь играет численный решатель с приведенной в табл. 4 библиотекой методов, интегрированных в инструментальную среду ИСМА. Анализ орграфа дает искомое значение правой части ОДУ в заключительном узле (0).

В седьмой главе приводятся примеры, подтверждающие эффективность разработанного прикладного математического, алгоритмического и программного обеспечения.

Разработанное и реализованное в инструментальной среде ИСМА математическое и программное обеспечение позволило достаточно просто нетрадиционными методами решать задачи проектирования по синтезу и анализу импульсных систем автосопровождения (АС) инструментальными средствами. Сложная логика законов управления дискретно-непрерывных систем не ограничивает класс задач исследования в связи с новой идеологией спецификации множества непрерывных поведений гибридной системы. Представленная спецификация программной модели АС доступна предметному специалисту и резко снижает трудоемкость подготовки компьютерной модели и реализации задачи на ЭВМ по сравнению с традиционными подходами. Это позволяет при проектировании сосредоточиться на существе моделирования процессов при синтезе и анализе сложных технических систем управления.

Рис. 6. Общий вид орграфа

Таблица 4

Библиотека численных методов ИСМА_

Метод (р,ш) Свойства метода

Явные

Эйлера(1,1) Постоянный шаг, гладкие режимы ГС

Стеке (4,5) Контроль устойчивости, нежесткие режимы

01ЯТ(5,6) Контроль устойчивости, режимы ГС средней и малой жесткости

11КР788ТР(7,13) Контроль устойчивости, переменный порядок и шаг, режимы ГС средней жесткости и высокой точности

ОР788Т(8,13) Контроль устойчивости, переменный шаг, режимы ГС средней жесткости и высокой точности

ЯК4 (4,4) Постоянный шаг, нежесткие режимы ГС

ИК2 (2,2) Постоянный шаг, нежесткие режимы ГС

Неявные

ЯАОАи5(3,3) Жесткие режимы ГС

МК(2,2) Аппроксимация матрицы Якоби, жесткие режимы

Адамса-Мултона (6,6) Гладкие режимы, средней жесткости

Рассмотренный пример моделирования кольцевого модулятора показывает, что универсальные современные пакеты дают сбой при решении этой задачи, поскольку она является жесткой и высокоточной. Для качественного решения этой задачи требуется вычисление матрицы Якоби. Однако вычисление матрицы Якоби на каждом шаге приводит к значительным затратам и, как оказывается, становится недоступным для традиционных неявных схем, которые используются в рассмотренных современных универсальных пакетах. Идея замораживания матрицы Якоби, реализованная в методе МК22, рассмотренного в главе 3 диссертации, приводит к значительно меньшим вычислительным затратам и получению качественного конечного результата решения. Причем за счет контроля устойчивости даже при невысоком порядке точности метода МК22 получены лучшие оценки эффективности по сравнению с передовыми мировыми аналогами такими, как метод Гира в программе ВЬБООЕ. Программная модель кольцевого модулятора на языке ЫБМА проста и доступна предметному специалисту, не компетентному в области программирования и не нагружает пользователя современными парадигмами объектно-ориентированного программирования. Средства реализации программной модели в ИСМА не уступают лучшим мировым аналогам и по некоторым критериям превосходят последние, как это демонстрируется в рассмотренном примере кольцевого модулятора.

Разработана гибридная модель билиарной системы (БС), реализованная средствами графического языка в ИСМА. При моделировании БС имитационные эксперименты показали достаточную адекватность

разработанной модели и согласованность выбранных параметров модели с физиологическими данными. Аналитически обосновано, что поведение БС на фазовой плоскости является устойчивым фокусом с определенными координатами точки покоя. Полученные аналитические результаты полностью совпадают с результатами вычислительного эксперимента в системе ИСМА, что в очередной раз свидетельствует об эффективности разработанных программных средств компьютерного исследования сложных ГС разной природы.

В заключении главы приводятся данные, где средствами ИСМА успешно решены задачи компьютерного анализа ГС из разных областей: электромеханики, аграрной промышленности, экономики и других.

Заключение

Диссертационная работа является обобщением научных исследований в области прикладного математического и программно-алгоритмического обеспечения, связанного с решением важной научно-практической задачи компьютерного анализа ГС инструментальными средствами ИСМА. Решение сформулированных проблем обосновано на следующих основных результатах, которые имеют самостоятельное научно-практическое значение и отличают ПК ИСМА от лучших мировых аналогов.

1. На основе явного метода переменного порядка и шага и L-устойчивого метода с разработанным алгоритмом контроля жесткости впервые построен адаптивный алгоритм для анализа режимов ГС повышенной жесткости. Теоретически и конструктивно доказана эффективность интегрированного в библиотеку методов ИСМА адаптивного алгоритма, который выгодно отличает ПК ИСМА от лучших зарубежных (Simulink/Stateflow, HyVisual) и отечественных (MVS, AnyLogic) программных комплексов.

2. Впервые разработаны многостадийные алгоритмы переменного порядка и шага с контролем устойчивости для анализа нежестких и средней жесткости режимов ГС повышенной точности. Теоретически и конструктивно доказана эффективность разработанных и встроенных в библиотеку методов ИСМА многостадийных алгоритмов, не уступающих лучшим мировым программным комплексам, например, DLSODE программной системы MAPLE.

3. С учетом выбранной численной аппроксимации решения впервые доказана теорема и разработан алгоритм управления шагом интегрирования, обеспечивающий асимптотическое приближение к границе режима ГС. Реализованный в ПК ИСМА алгоритм обеспечивает корректное обнаружение односторонних событий с нетривиальными свойствами режимов ГС, что выгодно отличает ПК ИСМА от передовых систем HyVisual и MATLAB с современными алгоритмами корректного обнаружения событий.

4. Разработан символьный бездекларативный язык LISMA и средства его реализации в виде многопроходного языкового процессора. Язык отличается

простыми и естественными конструкциями так, что с точностью до знаков операций повторяет математическое описание, и не обременен категориями, недоступными не профессиональному в программировании пользователю. Синтаксис языка LISMA, как это видно из многочисленных приведенных примеров, с достаточной степенью точности отражает семантику режимов ГС и механизм дискретных переходов.

5. Разработан графический язык структурных схем и средства его реализации в виде многопроходного структурного процессора. Визуальное структурирование ГС отвечает традиционным требованиям описания, принятого в инженерной практике для представления и анализа непрерывных систем, что отчасти позволяет воспользоваться богатым арсеналом методов анализа локальных поведений гибридных систем и открывает широкие возможности исследования средствами ИСМА технических систем в традиционно принятой идеологии. Обоснованная и разработанная в инструментальной среде ИСМА структурно-символьная спецификация дополняет известные формализмы сетей Петри в системе DYMOLA, гибридных автоматов и диаграмм Харела в системах HyVisual и MVS и имеет свои функциональные преимущества, ориентированные на предметного пользователя.

6. Разработана новая методология описания и исследования ГС в окружении инструментально-ориентированного ПК ИСМА, которая позволяет значительно снизить трудоемкость перехода от математической к компьютерной модели. Новая методология ориентирована на предметного пользователя и включает традиционную в инженерной практике структурную композицию динамических систем с возможностью введения текстового блока для описания и анализа дискретных событий.

7. На основе новых информационных технологий объектно-ориентированного программирования в программном комплексе ИСМА реализован оригинальный подход организации библиотек методов и примитивов, позволяющий с минимальными затратами решить важную проблему унификации и расширяемости программного обеспечения.

8. Разработан эффективный режим активного вычислительного эксперимента с гибридными моделями, который позволяет интерактивно в реальном масштабе времени производить отладку программной модели доступной вариацией структуры и параметров.

9. Конструктивно доказана эффективность инструментально-ориентированного подхода при исследовании средствами ИСМА сложных ГС разной природы с нетривиальными свойствами и особенностями, которые ограничивают использование современных мировых аналогов.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Шорников Ю.В. Методика повышения точности программных сигналов на станках с ЧПУ с использованием инструментальных средств ИСМА / Ю.В. Шорников, Ю.Б. Соколовский//Научный вестник НГТУ. -2004. -№1(16). -С. 17-21.

2. Шорников Ю.В. Компьютерное моделирование бюгаарной системы специализированными средствами / Ю.В. Шорников // Научный вестник НГТУ. - 2004. - №3(18). - С. 31-42.

3. Аносов В.Н. Математическая модель аккумуляторной батареи как элемента САУ транспортного средства / В.Н. Аносов, Ю.В. Шорников // Научный вестник НГТУ. - 2005. - № 3(21). - С. 131-136.

4. Аносов В.Н. Характеристики управляющих воздействий тягового электропривода автономного напольного транспортного средства / В.Н. Аносов, В.М. Кавешников, Ю.В. Шорников // Научный вестник НГТУ. -

2005.-№3(21).-С. 37-44.

5. Новиков Е.А. Контроль устойчивости метода Фельберга седьмого порядка точности / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Вычислительные Технологии. -

2006. - № 4. - Т.11. - С. 65-72.

6. Шорников Ю.В. Визуально-лингвистическое моделирование гибридных систем / Ю.В. Шорников // Научный вестник НГТУ. - 2006. - № 2(23). - С. 65-72.

7. Новиков Е.А. Алгоритм переменного порядка и шага на основе стадий метода Фельберга седьмого порядка точности / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников, О.В. Никонова // Научный вестник НГТУ. - 2006. - № 4(25). - С. 105-118.

8. Шорников Ю.В. Моделирование сложных динамических и гибридных систем в ИСМА / Ю.В. Шорников // Научный вестник НГТУ. - 2007. -№1(26).-С. 79-88.

9. Новиков Е.А, Контроль устойчивости метода Дорманда-Принса / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2007. -№4(32). - С. 95-103.

Ю.Шорников Ю.В. Инструментально-ориентированный анализ жестких динамических и гибридных систем явными методами / Ю.В. Шорников // Системы управления и информационные технологии. - 2007. - №2(28). - С. 72-75.

И.Горячкин В.В. Исследование системы автосопровождения методом моделирования гибридных систем в среде ИСМА / В.В. Горячкин, Ю.В. Шорников II Информационно-измерительные и управляющие системы. -2008. - №6. - Т.6. - С. 65-69.

12.Шорников Ю.В. Моделирование гибридных систем явными методами / Ю.В. Шорников И Системы управления и информационные технологии. - 2007. -№4(30).-С. 307-311.

13.Новиков Е.А. Численное моделирование гибридных систем явными методами / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Вычислительные технологии. -2008. - №2. - Т. 13. - С. 88-104.

М.Шорников Ю.В. Визуально - лингвистическое моделирование билиарной системы / Ю.В. Шорников, И.Н. Томилов // Научный вестник НГТУ. - 2008. -№4(33).-С. 53-61.

15.Шорников Ю.В. Теория и практика языковых процессоров: Учеб. пособие. -Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2004. - 208с.

16.Новиков Е.А. Особенности компьютерного моделирования кинематики сыпучих сред / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Вестник КрасГАУ. - 2006. -№10.-С. 77-82

17.Новиков А.Е. Аппроксимация матрицы Якоби в (2,2)-методе решения жестких систем / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Докл. АН ВШ РФ. - 2008. - №1(10). - С. 31-44.

18.Шорников Ю.В. Автоматизация построения областей устойчивости одношаговых методов / Ю.В. Шорников, Д.Н. Достовалов // Докл. АН ВШ РФ. - 2008. - №2(12). - С. 135-144.

Зарегистрированные в Роспатент и ОФАП

19.Шорников Ю.В. Программа исследования областей устойчивости численных методов «RStable» / Ю.В. Шорников, Е.А. Новиков, М.В. Солодовникова // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 50200700692. - М.: ВНТИЦ. - 2007.

20.Шорников Ю.В. Адаптивный алгоритм численного анализа жестких систем / Ю.В. Шорников, Е.А. Новиков, М.С. Денисов // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611459. - М.: Роспатент. - 2007.

21.Шорников Ю.В. Программа языкового процессора с языка LISMA (Language of ISMA) / Ю.В. Шорников, И.Н. Томилов // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611024. - М.: Роспатент. - 2007.

22.Шорников Ю.В. Аппроксимация звена чистого запаздывания рядом Паде в программной среде ИСМА / Ю.В. Шорников, М.В. Солодовникова // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ

№ 50200700715.-М.: ВНТИЦ. - 2007.

23.Шорников Ю.В. Импорт данных в программной среде ИСМА / Ю.В. Шорников, B.C. Дружинин // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 50200600117. - М.: ВНТИЦ. - 2006.

24.Шорников Ю.В. Методология анализа нелинейных динамических систем методом фазовой плоскости в среде ИСМА / Ю.В. Шорников, B.C. Дружинин // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 50200600116. - М.: ВНТИЦ. - 2006.

25.Шорников Ю.В. Инструментальные средства машинного анализа / Ю.В. Шорников, B.C. Дружинин, H.A. Макаров, К.В. Омельченко, И.Н. Томилов II Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ

№ 2005610126. - М: Роспатент. - 2005.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел./факс (383) 346-08-57 формат 60 X 84/16, объем 2.0 п.л., тираж 120 экз.. заказ № 693 подписано в печать 20.04.09 г.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КЛАСС СИСТЕМ.

1.1. Гибридные системы.

1.2. Эффект Зенона.

1.3. Формальные определения.

1.4. Мотивация.

1.5. Разрывы.

1.6. Анализ событийно-непрерывных систем.

1.7. Классификация событий ГС.

1.8. Инструментально-ориентированный анализ ГС.

1.8.1. Событийно-непрерывная ГС.

1.8.2. Событийно-управляемая ГС.

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 2. ОБЗОР ПРОГРАММНОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО

ОБЕСПЕЧЕНИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО АНАЛИЗА ГС.

2.1. Обзор программных комплексов.

2.1.1. Исторические предпосылки разработки программного обеспечения численного анализа ГС.

2.1.2. Современные средства компьютерного анализа ГС.

2.2. Обзор необходимого математического обеспечения.

2.2.1. Сходимость.

2.2.2. Устойчивость.

2.2.3. Одношаговые методы рядов Тейлора.

2.2.4. Методы Рунге-Кутты.

2.2.5. Жесткие системы.

2.2.6. Контроль точности.

2.2.7. Контроль устойчивости.

2.2.8. Метод первого порядка тя-стадийных схем.

2.2.9. Управление шагом в методах с контролем точности и устойчивости.

2.3. Многошаговые методы.

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 3. АВТОМАТИЗАЦИЯ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ

УСТОЙЧИВОСТИ.

3.1. Определение коэффициентов функции устойчивости.

3.2. Численная схема.

3.3. Алгоритм определения коэффициентов функции устойчивости.

3.4. Определение длины интервала устойчивости.

3.5. Графическая интерпретация полинома устойчивости.

3.6. Визуальное исследование областей устойчивости.

3.6.1. Метод Рунге-Кутты-Фельберга.

3.6.2. Метод Рунге-Кутты-Мерсона.

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНОГО АНАЛИЗА ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ.

4.1. Адаптивный алгоритм исследования режимов ГС повышенной жесткости.

4.1.1. Обнаружение жесткости.

4.1.2. Шестистадийный метод Фельберга с контролем устойчивости.

4.2. Реализация алгоритма DISPF1.

4.3. Метод RADAU5.

4.3.1. Алгоритм контроля жесткости в методе RADAU5.

4.3.2. Алгоритм расчета матрицы Якоби, нормы матрицы и собственных значений.

4.4. Тестирование алгоритма DISPF1RADAU.

4.5. Тринадцатистадйный метод Фельберга с контролем устойчивости. 145 4.5.1. Контроль точности.

4.5.2. Контроль устойчивости.

4.5.3. Метод первого порядка.

4.5.4. Контроль точности и устойчивости метода первого порядка.

4.5.5. Алгоритм переменного порядка и шага.

4.5.6. Результаты исследования жестких режимов.

4.6. Метод Дорманда-Принса.

4.6.1. Классический метод Дорманда-Принса.

4.6.2. Контроль точности.

4.6.3. Контроль устойчивости.

4.6.4. Алгоритм переменного шага.

4.6.5. Исследования высокоточных режимов ГС.

4.7. Анализ режимов ГС разной степени жесткости.v.

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 5. КОРРЕКТНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СОБЫТИЙ

ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ.

5.1. Области неопределенности гибридной модели.

5.2. Мотивация проблемы обнаружения дискретных событий.

5.3. Линеаризация и метод установления в локализации событий.

5.4. Обеспечение асимптотического приближения к пограничной поверхности в явных разностных схемах.

5.5. Одношаговый метод Рунге-Кутты с контролем устойчивости.

5.6. Многошаговый метод Адамса.

5.7. Сравнительный анализ алгоритмов обнаружения и локализации событий.

5.8. Численные эксперименты исследования ГС инструментально-ориентированными средствами.

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 6. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МАШИННОГО

АНАЛИЗА ГС.

6.1. Визуальная спецификация компьютерных моделей.

6.1.1. Аппроксимация Падэ.

6.1.2. Макроопределения.

6.1.3. Импорт данных.

6.2. Символьная спецификация.

6.2.1. Спецификация дискретного поведения ГС.

6.2.2. Спецификация непрерывного поведения ГС.

6.2.3. Макроопределения символьного описания.

6.2.4. Символьные программные модели ГС.

6.3. Структурно-символьная спецификация.

6.3.1. Программная модель событийно-непрерывной системы.

6.3.2. Программная модель событийно-управляемой системы.

6.4. Компьютерный анализ моделей ГС.

6.4.1. Архитектура программного комплекса ИСМА.218;

6.4.2. Анализ символьных программных моделей.

6.4.3. Анализ визуальных программных моделей.

6.4.4. Активный вычислительный эксперимент.

6.5. Графическая интерпретация результатов анализа ГС.

6.5.1. Графическая интерпретация в GRIN.

6.5.2. Манипулирование графическими данными.

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 7. ВИЗУАЛЬНО-ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГС.

7.1. Система автосопровождения.

7.1.1. Визуальный анализ системы автосопровождения.

7.1.2. Символьная программная модель.

7.2. Кольцевой модулятор.

7.2.1. Математическое описание.

7.2.2. Программная модель и машинный анализ.

7.3. Биосистемы.

7.3.1. Математическое описание билиарной системы.

7.3.2. Оценка параметров.

7.3.3. Анализ средствами ИСМА.

7.3.4. Исследования билиарной системы.

7.3.5. Инструментально-ориентированный анализ.

7.3.6. Билидинамика.

ВЫВОДЫ.

Современные программно-управляемые технические системы и комплексы, системы автосопровождения космических и баллистических объектов, биосистемы характеризуются сложными динамическими процессами. Часто эти процессы являются результатом решения так называемых гибридных систем (ГС), которые характеризуются как непрерывным, так и дискретным поведением. В теории систем и теории управления гибридными принято называть дискретно-непрерывные системы, в которых возникает разделение протекающих процессов на быстрые, реализующие управление, и медленные, присущие реакции системы на управление. Также близкими по терминологии в теории управления являются системы с переменной структурой и параметрами. Аналитическими исследованиями таких систем занимались отечественные ученые А.А Андронов, А.Ф. Филиппов, В.И. Уткин, П.В. Бромберг, Е.С. Емельянов. Фундаментальная теория, развитая этими учеными в основном для систем автоматического управления, имеет огромное научно-практическое значение. Однако эти исследования не затрагивали вопросов компьютерного анализа, который применяется для исследования ГС средствами современных программных комплексов. Взаимодействие непрерывной и дискретной динамики в таких системах порождает общую траекторию. Для детального и качественного анализа таких систем применяют метод компьютерного моделирования.

Компьютерное моделирование является новым научным направлением [91, 92, 93], которое характеризуется: созданием математического, алгоритмического и программного обеспечения с современными технологиями вычислительного эксперимента; выбором формализма и разработкой языков спецификации математических моделей и программных средств реализации; разработкой новых способов графической интерпретации результатов моделирования; обеспечением интерактивно управляемого вычислительного эксперимента с компьютерными моделями систем разной природы. Таким образом, современные технологии компьютерного моделирования включают инструментальные средства подготовки, отладки и эффективной обработки программных моделей с содержательной интерпретацией результатов исследования.

Универсальные передовые отечественные MVS, AnyLogic и зарубежные DYMOLA, Ptolemy II и HyVisual, HyTech, Charon, Hybrid Toolbox, Simulink/Stateflow программные комплексы моделирования ГС широко используются для анализа сложных динамических процессов. Тем не менее, с помощью этих программных комплексов в отдельных случаях не удается получать качественные результаты при решении важных практических задач. Обозначим актуальные проблемы компьютерного анализа ГС инструментальными средствами моделирования.

В некоторых случаях поверхность разрыва, определяющая смену режимов ГС, имеет острые углы, а решение проходит близко- к границе. Решение в этом случае может оказаться неверным, если при приближении к границе режима в алгоритме обнаружения событий не контролировать должным образом шаг интегрирования. Шаг может быть выбран больше допустимого, тогда пересекая поверхность разрыва, ГС не перейдет в новое локальное состояние и непрерывное поведение системы останется прежним, что и приводит к неверному решению.

Во всех случаях события срабатывают в моменты времени, которые соответствуют нулям алгебраической событийной функции. Практически все существующие системы склонны к сбоям, когда событие происходит в окрестности особых точек модели — областей фазового пространства, где правая часть ОДУ не определена. Ошибки в подобных случаях происходят из-за того, что существующие алгоритмы слепо пытаются интерполировать решение, пересекая границу особых областей, проверяя вероятное переключение события фактически после его свершения.

Обычно для обнаружения событий при моделировании ГС используют метод дихотомии или применяют метод Ньютона-Рафсона для поиска корней событийной функции на границе режима. В отдельных случаях применятся метод установления для поиска корней. Однако эти методы не всегда эффективны, если их применять к так называемым односторонним событиям ГС. Эта проблема рассматривается в работах Е.А. Lee, Н. Zhenq [181], J. Esposito, V. Kumar, Pappas [166, 167, 168], D. Harel [174] и отечественных ученых Ю.Г. Карпова [48], Ю.Б. Сениченкова [91, 92, 93], Ю.Б. Колесова [54, 55]. Однако не все вопросы решаются в работах этих авторов.

Эта проблема становится еще более актуальной для режимов ГС с повышенной жесткостью. Наиболее опасной для моделирования является ситуация, когда переходный участок решения лежит вблизи границы области неопределенности и якобиан событийной функции резко возрастает вблизи границы. Это может привести к «проскакиванию» точки переключения с большей вероятностью, чем в нежестких режимах. И в этом случае ситуация наиболее опасна для ГС с односторонними событиями.

Отметим, что все перечисленные универсальные программные комплексы применяют неявные методы в случае режима с повышенной жесткостью, что не всегда оправдано с точки зрения вычислительных затрат и риска попадания в область неопределенности гибридной модели. Для многошаговых схем с числом шагов более двух необходимо знать предыдущие значения фазовых координат и их производные. Но в момент запуска модели и после точки разрыва при мгновенном переходе в новые локальные состояния эти значения невозможно вычислить или определить ни одним из известных методов при использовании многошаговых схем [180, 181]. В такой ситуации предпочтительнее применять одношаговые алгоритмы на основе явных формул.

Однако современные алгоритмы на основе явных методов в большинстве своем не приспособлены для анализа жестких режимов ГС по следующей причине. Обычно алгоритм управления шагом интегрирования строится на контроле точности численной схемы. Это естественно, потому что основным критерием является точность нахождения решения. Применение алгоритмов интегрирования на основе явных формул для анализа жестких режимов приводит к потере эффективности и надежности, потому что на участке установления вследствие противоречивости требований точности и устойчивости шаг интегрирования раскачивается. В лучшем случае это приводит к большому количеству возвратов, а шаг выбирается значительно меньше допустимого. Этого можно избежать, если наряду с точностью контролировать и устойчивость численной схемы.

Применение явных одношаговых схем ограничено также малыми областями устойчивости. Поэтому актуальной является задача использования явных одношаговых схем с расширенными областями устойчивости с контролем не только точности, но и устойчивости.

Для решения проблемы с односторонними событиями актуальной является проблема выбора шага интегрирования численной схемы. Предложенный в [166, 167] и реализованный в системах Ну Visual и MATLAB метод линеаризации событийной функции с асимптотическим экспоненциальным приближением решения к границе режима, не учитывает ограничений шага по устойчивости. В то время как установившиеся участки решения в жестких режимах в виду малой производной решения контролируются только условиями устойчивости. В связи с этим проблема выбора шага с учетом точности и устойчивости и с учетом событийной функции является актуальной.

Актуальными являются и вопросы формализма и спецификации ГС. Несомненно, для визуального представления дискретных переходов карты состояний Харела (statechart) являются удобным и наглядным изобразительным средством представления визуальной модели ГС. В картах состояний приводится математическое описание непрерывного поведения и предикаты переходов из одного локального состояния в другое. Однако, для компьютерной модели в интерфейсах карт поведения, состояний и других требуется общепринятые декларации всех фазовых, алгебраических и булевых переменных, что не относится по существу к компьютерной модели, а является необходимым атрибутом программирования. Причем для систем высокой размерности сектор описания типов переменных может занимать соизмеримый размер с математическим описанием. Поэтому бездекларативный символьный язык в этом смысле является более лаконичным и доступным для предметного пользователя.

Способы визуальной интерпретации результатов вычислительного эксперимента в современных зарубежных и особенно передовых отечественных системах моделирования ограничены в части манипуляции графическими и числовыми данными, полученными в результате решения. В частности, ограничен режим катенации окон с графическими данными, импорт данных из. внешних приложений, трассировка точечных решений, интерполяция графических данных, например, с помощью вейвлет-преобразований. В то же. время все перечисленные вопросы широко востребованы в практике анализа результатов вычислительного эксперимента.

Цель работы и задачи исследования. Цель работы состоит в разработке необходимого прикладного математического, алгоритмического и программного обеспечения эффективного машинного анализа определенного класса ГС. Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие основные научные проблемы:

• Разработка содержательной спецификации гибридных моделей, доступной предметному пользователю, которая включает графический и символьный языки описания ГС и позволяет значительно снизить трудоемкость подготовки данных при переходе от математической к программной модели на предметно-ориентированном входном языке.

• Разработка эффективных средств реализации программных моделей с доступным графическим и символьным интерфейсами подготовки входных данных, однозначными эффективными методами обработки программных моделей с содержательной диагностикой синтаксиса и семантики и получением совокупной программной модели.

• Разработка эффективных решателей с библиотекой методов и алгоритмов, учитывающих нетривиальные особенности компьютерного анализа режимов ГС разной степени жесткости в условиях односторонних событий.

• Разработка интерфейса графической интерпретации результатов компьютерного анализа ГС во временной и фазовой областях и возможностью интерактивной манипуляции графическими данными.

• На основе новых информационных технологий объектно-ориентированного программирования разработка и реализация программного комплекса, обеспечивающего эффективное решение системных и вычислительных актуальных проблем компьютерного анализа ГС.

На защиту выносятся:

1) Класс систем. Анализ современных средств компьютерного моделирования ГС. Формулировка требований к прикладному математическому, алгоритмическому, программному обеспечению и средствам реализации программного комплекса анализа ГС с режимами разной степени жесткости в условиях односторонних событий.

2) Автоматизация проектирования областей устойчивости и определение интервала устойчивости инструментальными средствами.

3) Адаптивный алгоритм переменного порядка и шага компьютерного анализа ГС повышенной жесткости.

4) Многостадийные алгоритмы переменного порядка и шага с контролем устойчивости для эффективного компьютерного анализа высокоточных режимов ГС.

5) Теорема управления шагом в ГС.

6) Алгоритмы корректного обнаружения событий в ГС.

7) Графический язык и средства реализации в виде многопроходного структурного процессора.

8) Символьный бездекларативный язык и средства реализации в виде многопроходного языкового процессора.

9) Системное и аналитическое обеспечение и архитектура ПК ИСМА.

10) Практический компьютерный анализ ГС разной природы инструментальными средствами.

Научная новизна

• В отличие от лучших мировых аналогов впервые для эффективной организации вычислительного эксперимента для режимов ГС разной жесткости в ПК ИСМА предложено использовать явные одношаговые и адаптивные методы компьютерного исследования ГС.

• Разработаны теоретические основы управления шагом моделирования с учетом жесткости режимов ГС и устойчивости методов в условиях односторонних событий. Впервые предложен эффективный алгоритм корректного обнаружения событий, который позволяет исследовать ГС с нетривиальными свойствами и особенностями.

• В отличие от принятого в практике формализма ГС в виде гибридных автоматов, предложена структурно-символьная спецификация компьютерных моделей со своими функциональными преимуществами разработки и исследования ГС инструментально-ориентированными средствами.

• Предложена архитектура ПК ИСМА, которая обеспечивает возможность интерактивного вычислительного эксперимента, необходимого при отладке программных моделей с вариацией параметров и структуры в ходе вычислительного эксперимента. Предложена объектно-ориентированная технология с API-библиотеками примитивов и методов, обеспечивающая решение важной проблемы унификации и оперативной расширяемости программного обеспечения.

• Предложен графический язык и средства реализации в виде многопроходного структурного процессора, результатом работы которого является орграф исполняемой модели, однозначно определенный корректностью программной модели.

• Впервые предложен предметно-ориентированный бездекларативный символьный язык и средства его реализации в виде разработанного и реализованного методом рекурсивного спуска синтаксического распознавателя и семантического анализатора, в результате работы которого формируется матрица переходов, функционально тождественная диаграмме Харела, которая однозначно управляет режимами ГС.

• Предложены и реализованы в рамках ПК ИСМА средства графической интерпретации результатов вычислительного эксперимента с моделями ГС, которые в отличие от известных мировых аналогов позволяют интерактивно манипулировать графическими данными.

Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в семействе программных комплексов ИСМА (Свидетельство официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610126. - М: Роспатент, 2005; Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2007611024. - М.: Роспатент, 2007; Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2007611459. - М.: Роспатент, 2007). Средствами ИСМА решены следующие важные практические задачи:

• импорт данных из внешнего приложения Excel в программную модель среды ИСМА для исследования методом моделирования функционирования электропривода электрокары (Импорт данных в программной среде ИСМА — М.: ВНТИЦ, 2006. - №50200600117);

• исследование режима выброса желчи билиарной системы методом фазовой плоскости и определения стационарной точки равновесия биосистемы

Методология анализа нелинейных динамических систем методом фазовой плоскости в среде ИСМА. - М.: ВНТИЦ, 2006. - №50200600116);

• исследование импульсной системы с запаздыванием в моделях автосопровождения баллистических и космических объектов (Аппроксимация звена чистого запаздывания рядом Паде в программной среде ИСМА. - М: ВНТИЦ, 2007. -№ 50200700715);

• моделирование высокоточной жесткой системы кольцевого модулятора [70].

Полученные результаты при моделировании биосистемы средствами ИСМА использованы в отчете НИР НГТУ - ЭИ - 1/02 (Отчет НИР «Исследование одномерной кусочно-дифференциальной модели при описании динамических процессов» (промежуточный), № ГР 01.200.205393, Новосибирск, 2002.); инструментальные средства ИСМА использованы при моделировании электромеханических систем в докторской диссертации (В.Н. Аносов В.Н., НГТУ, 2008 ) и кандидатских диссертациях ( УГТУ-УПИ, 2006);. методика расчета средствами ИСМА использована при моделировании процессов горения в НИИ Экспериментальной и теоретической физики АН Казахстана (Акт от 12.03.08). В ИВМ СО РАН (Красноярск) программный комплекс ИСМА используется при проектировании новых численных методов с контролем устойчивости, при тестировании новых методов и моделей процессов, представленных в обозначенном классе систем ОДУ (справка о внедрении от 21.04.2006г.).

Кроме того, исследования были поддержаны грантами РФФИ (грант РФФИ №05-01-00579-а, РФФИ №08-01-00621) и Президентской программы «Ведущие научные школы РФ» (грант № НШ - 3431.2008.9).

Широкое использование программный комплекс ИСМА получил в учебном процессе в университетах страны и странах ближнего зарубежья. В Новосибирском государственном техническом университете на факультетах «Автоматика и вычислительная техника» и «Электромеханическом факультете» (Акт об использовании результатов НИР «Визуально-лингвистический процессор ИСМА исследования жестких гибридных систем»); в Алматинском Технологическом Университете (АТУ) на кафедре «Информационные технологии» (г. Алматы, Акт от 13.03.2008); в Красноярском государственном техническом университете (Справка от 21.04.06); в Уральском государственном техническом университете — УПИ и Нижнетагильском технологическом институте (филиал) УГТУ-УПИ (Акт от 11.07.05); в Санкт-Петербургском политехническом университете (Справка от 28.06.06).

Достоверность результатов подтверждается решением модельных задач, сравнением результатов моделирования классических и оригинальных ГС в системе ИСМА в известных отечественных и мировых аналогах, а также, где это возможно, сравнением аналитических и практических результатов вычислительного эксперимента.

Личный вклад. Все результаты, приведенные в диссертации без ссылок на чужие работы и вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались более чем на 20 международных, всероссийских и региональных конференциях: ежегодной международной НТК «Компьютерное моделирование — 2003», «Компьютерное моделирование - 2004», «Компьютерное моделирование -2006», «Компьютерное моделирование - 2007» (С.-Петербург); 2-й международной конференции «AUTOMATION, CONTROL, AND APPLICATIONS» (ACIT-ACA), (Новосибирск, 2005); 15-й международной конференции по компьютерной графике и её приложениям ГрафиКон'2005 (Новосибирск, 2005); XVI Международной конференции по компьютерной графике и её приложениям ГрафиКон'2006 (Новосибирск, 2006); 2-й международной конференции «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» (Новочеркасск, 2001); международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ'2003», (Новосибирск, 2003); международной научно-практической конференции «Экономическое образование в современных условиях: проблемы и перспективы» (Семипалатинск, 2007); международной конференции «Basic Scince for Biotechnology and Medicine» (Новосибирск, 2006); 4-й международной научно-технической конференции «Измерение, контроль, информатизация» (ИКИ-2003) (Барнаул, 2003); международном российско-корейском симпозиуме по науке и технологиям «KORUS 2003», (Ulsan, Korea, 2003); международном российско-корейском симпозиуме по науке и технологиям «KORUS 2005» (Новосибирск, 2005); 3-й международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (С.-Петербург 2007); региональной конференции по научному программному обеспечению (Санкт-Петербург, 2006); первой всероссийской научно-практической конференции «ИММОД-2003», (Санкт-Петербург, 2003); 2-й всероссийской научно-практической конференции «Имитационное моделирование. Теория и практика» ИММОД-2005, (Санкт-Петербург, 2005); 4-й научной всероссийской конференции по имитационному моделированию «ИММОД-2007», (Санкт-Петербург, 2007); региональной конференции по научному программному обеспечению (Санкт-Петербург, 2007); научно-практической конференции врачей «Актуальные вопросы современной медицины», (Новосибирск, 2004).

Таюке промежуточные результаты работы докладывались на ежегодной отчетной научной сессии НГТУ, на семинарах ИВМ СО РАН, ИВТ СО РАН, ИСИСОРАН.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 44 научные работы, в том числе: 14 статей в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ; 7 работ, зарегистрированных в Роспатент и ОФАП; 15 статей в материалах международных и российских конференций; 8 работ опубликованы в докладах АН ВШ, научных изданиях отечественных и зарубежных университетов.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, семи глав, заключения и приложений. Объем работы составляет 292 страницы основного текста, включая 91 рисунок и 13 таблиц. Список использованных источников содержит 209 наименований.

В первой главе вводятся строгие определения и ограничение класса систем, которые будут рассматриваться в работе.

Непрерывное поведение ГС задается в виде неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с запаздыванием или в виде алгебро-дифференциальных уравнений (АДУ) с ограничениями в виде событийной функции. Дискретное поведение рассматривается как мгновенное событие, которое происходит в момент нарушения условий-ограничений на событийную функцию. В момент скачкообразного перехода из одного локального состояния в другое нарушаются условия Липшица. В связи с этим приводятся условия, при которых решение задачи Коши существует и однозначно. Также рассматриваются классические подходы решений негладких задач для дискретно-непрерывных систем и систем с переменной структурой. При этом рассмотрены типичные задачи такого типа, которые допускают символьные преобразования для поиска решения в критической зоне - на поверхности разрыва.

Приведена классификация дискретных переходов, связанная с изменениями начальных условий, правой части без изменения состава вектора фазовых переменных и с изменениями вектора фазовых переменных. Все случаи классификации иллюстрируются классическими примерами ГС.

При переопределении начальных условий или новых параметров правой части вместо традиционного подхода увеличения размерности вектора фазовых переменных [93], предлагается более дешёвое введение в правую часть бинарных компонент, позволяющие вместо множества систем уравнений рассматривать одну систему с бинарными компонентами в правой части, которые предопределяют поведение системы в текущий момент и будущем.

Попытки применить классические подходы к анализу гибридных систем пока дают весьма ограниченные результаты. В связи с этим анализ таких систем необходимо проводить методом компьютерного анализа с использованием инструментальных средств.

В заключении рассматриваются типичные примеры ГС, которые носят содержательный характер и которые анализируются в последующих главах настоящей работы при рассмотрении вопросов обнаружения событий и других.

Во второй главе выполняется обзор современных инструментальных средств компьютерного анализа рассмотренного класса ГС.

В обзоре инструментария, как фундаментальной задачи [62, 145] компьютерного анализа, рассмотрены вопросы разработки и семантического наполнения систем моделирования. Разработка инструментария моделирования началась в 70-е годы прошлого столетия известным проектами CSMP [47, 172], CSSL [193, 207], MIDAS [34,183], ISL-8 [154, 155], DYNAMO [16] для численного анализа ДС (в основном САУ).

Современные средства моделирования ГС отличаются от своих предшественников возможностью анализа многорежимных процессов и мощной библиотекой численных методов. В настоящее время для формального описания дискретных поведений ГС стала «карта состояний» (statechart), предложенная Д. Харелом [174] и «канонизированная» в стандарте UML [29, 157]. Гибридная карта состояний представляет собой простую и наглядную форму визуального отображения смены поведений. Поэтому большинство систем моделирования Model Vision Studium [54, 55, 91, 92, 93], AnyLogic[48, 49, 153], Hybrid Toolbox, Charon, HyTech, Проект «Птолемей» используют ее при описании моделей таких систем. Вместе с тем известные системы HyVisual, Simulink/Stateflow, MVS допускают и традиционную структурную или символьную спецификацию для описания непрерывного поведения. Из сравнительного анализа следует, что карты поведений являются простым и наглядным способом представления системы дискретных переходов, однако, для многих задач могут оказаться громоздкой спецификацией, особенно в части детализации поведений ГС. Символьная модель во всех случаях сопровождается декларативностью, что может занимать такое же описание, как и сама модель. Поэтому в части символьного описания предпочтительнее язык с бездекларативной спецификацией. Графический или визуальный язык должен отражать принятую в инженерной практике традиционную структурную спецификацию непрерывного поведения ГС, дополненную примитивом символьной спецификации в виде текстового блока для описания дискретного поведения ГС.

Среди множества численных схем выбираются одношаговые явные методы типа Рунге-Кутты, лучше приспособленные для численного интегрирования ГС в связи с меньшим риском попадания решения в зону неопределенности модели. Это особенно очевидно для ГС с односторонними событиями и режимов ГС с повышенной жесткостью. Однако йзвестно, что явные схемы имеют малую область устойчивости. Для расширения области устойчивости рассматриваются многостадийные явные методы с понижением порядка. Это является основополагающим для конструирования алгоритмов адаптивных методов интерирования, рассматриваемых в работе. Также основополагающим является материал по выбору оценки локальной ошибки вложенными методами, конструированию неравенств по контролю точности и устойчивости на основе вычисленных стадий. Характерной особенностью выбранных оценок и неравенств по контролю точности и устойчивости является экономичность вычислений, так как эти оценки находятся через заранее вычисленные стадии.

Предлагается оригинальная формула [75, 76] для выбора шага с учетом точности и устойчивости, которая позволяет стабилизировать поведение шага на участках установления решения. Именно наличие этих участков существенно ограничивает возможности применение явных методов для решения жестких задач.

Третья глава посвящена автоматизации построения областей устойчивости. Правая часть неравенства для контроля устойчивости — интервал устойчивости, который находится как пересечение линий уровня области устойчивости с вещественной осью комплексной плоскости. Коэффициенты функции устойчивости определяются методом установления [13], согласно которому для исходной стационарной задачи строится нестационарный процесс, решение которого сходится к исходной задаче. Построенный нестационарный процесс является жесткой системой ОДУ, решение которой находится двухстадийным методом второго порядка МК22, интегрированного в библиотеке методов ИСМА.

Построенные и реализованные в ПК ИСМА алгоритмы определения интервала устойчивости унифицированы порядком и числом стадий явных одношаговых схем. Конструктивно на множестве тестов доказана эффективность разработанного модуля, зарегистрированного в Роспатент и ОФАП [134].

В четвертой главе разрабатываются эффективные вычислительные схемы для исследования режимов ГС разной степени жесткости, которые являются ядром прикладного математического обеспечения ИСМА.

Для режимов ГС повышенной жесткости разработан адаптивный алгоритм DISPF1RADAU. Для эффективного анализа высокоточных режимов малой и средней жесткости предлагается использовать многостадийные схемы переменного порядка и шага с контролем устойчивости.

Трудности использования явных методов, кроме малых областей устойчивости, связаны с установившимися участками при исследовании режимов ГС повышенной жесткости. Шаг интегрирования на этих участках стремится к нулю и в связи с этим накопление ошибки округления может привести к неустойчивости решения. Таким образом, при решении задач повышенной жесткости эффективнее использовать комбинированный метод.

В адаптивном алгоритме DISPF1RADAU использован оригинальный явный метод DISPF, разработанный в ИВМ СО РАН (Е.А. Новиков) и известный L -устойчивый метод RADAU5. В алгоритм DISPF внесены изменения, связанные с реализацией адаптивного метода и добавлен алгоритм автоматического контроля жесткости. Новый алгоритм назван DISPF1. При реализации DISPF1 конструктивно доказано, что новый алгоритм DISPF1 не хуже оригинального DISPF по вычислительной эффективности.

Адаптивный алгоритм при обнаружении определенной степени жесткости передает управление L -устойчивому методу, а на участках установления переключается на явную схему. Обнаружение жесткости производится контролем полученного неравенства по устойчивости. Для сравнительного анализа эффективности метода DISPF1RADAU рассмотрены жесткие режимы ГС. Критерием эффективности является количество шагов моделирования режимов в ИСМА и Simulink. Из результатов вычислительных экспериментов следует, что эффективность разработанного адаптивного алгоритма в системе ИСМА в 5-10 раз выше, чем в лучших мировых инструментах анализа жестких режимов ГС.

Интерес к многостадийным схемам вызван повышенной точностью и возможностью расширения интервала устойчивости. Рассмотрены тринадцати стадийные классические схемы Фельберга (RKF78) и Дорманда-Принса (DP78) с контролем устойчивости.

Разработан алгоритм переменного порядка и шага с учетом точности и устойчивости RKF78STP. Конструктивно обосновано, что эффективность разработанного и реализованного в библиотеке ИСМА алгоритма RKF78STP в 5-10 раз выше классического алгоритма Фельберга с контролем точности.

Также в библиотеку методов ПК ИСМА включен 13-стадийный метод Дорманда-Принса с контролем устойчивости (DP78ST). Оригинальный метод Дорманда-Принса с контролем точности получил широкое распространение и включен в библиотеки известных зарубежных (MATLAB/Sfateflow, HyVisual.) и отечественных (MVS, AnyLogic) инструментальных средств моделирования ГС. Классический метод Дорманда-Принса также модифицируется и строится метод с контролем устойчивости DP78ST. Для получения неравенства по контролю устойчивости выполняются те же вычисления, что и для описанного метода RKF78STP. Оценка ошибки по точности находится вложенным методом без дополнительных вычислений правой части. Конструктивно на высокоточных режимах ГС разной степени жесткости доказана эффективность построенного алгоритма DP78ST по сравнению с классическим методом. По результатам вычислительного эксперимента доказано, что построенный алгоритм почти в 2 раза эффективнее известного метода DVERK78 системы Maple 9.5.

В заключении главы приведена сравнительная оценка разработанных методов переменного порядка и шага с контролем устойчивости и адаптивного алгоритма. Теоретически обосновано и конструктивно доказывается эффективность разработанного прикладного математического обеспечения при анализе режимов ГС разной жесткости.

Пятая глава посвящена основной проблеме при моделировании ГС — обнаружению событий. Для поиска корней алгебраических уравнений, определяющих особые точки событийных функций, в современных средствах моделирования ГС в основном используют методы Ньютона-Рафсона, дихотомии, метод установления. Однако эти алгоритмы могут давать сбой при определенном нелинейном виде событийной функции. Этого недостатка лишен метод линеаризации событийной функции. В работах J.M. Esposito и V. Kumar доказано, что поведение событийной функции асимптотически приближается к границе с параметром у >0. Используя ту же идею линеаризации, доказана теорема выбора оптимального шага интегрирования для обеспечения асимптотического приближения к границе режима. Теорема доказана в дискретном варианте и получены более жесткие ограничения на параметр ОД).

Рассматривается одношаговый метод Рунге-Кутты второго порядка (RK22) с контролем точности и устойчивости. Средствами ИСМА строится область устойчивости метода RK22 и находится интервал устойчивости.

Неравенство по точности выбирается как норма разности стадий метода ||&2 ~ I, что не приводит к дополнительным вычислениям правой части.

Построенные неравенства по точности и устойчивости позволяют выбрать оптимальный шаг интегрирования с учетом не только точности, как в классическом методе RK22, но и с учетом устойчивости метода. На основании доказанной теоремы строится алгоритм выбора предварительного шага с учетом событийной функции и далее выбор окончательно шага осуществляется с учетом критерия точности, устойчивости и динамики событийной функции.

Рассматривается двух шаговый метод Адамса. На основании доказанной теоремы строится интерполяционный полином с коэффициентами, зависящими от событийной функции и параметра у е [ОД). Приводится алгоритм управления шагом при использовании метода Адамса.

Конструктивно доказывается правильность построенных алгоритмов при численном анализе типичных ГС. В заключении приводится сравнительная оценка моментов переключения режимов событий в классической ГС двух резервуаров. В сравнительном анализе приведены данные современных отечественных и зарубежных средств компьютерного моделирования ГС. Из сравнительного анализа следует, что разработанные алгоритмы в системе ИСМА не уступают лучшим мировым аналогам.

В шестой главе рассматривается программное обеспечение исследования динамических и гибридных систем. Приводится структурная спецификация для описания непрерывной части моделей ГС. Введены макроструктуры графического или визуального языка непрерывных моделей ГС, которые позволяют специфицировать модель на любом уровне детализации и строить индивидуальные библиотеки предметных категорий. Показана организация нелинейной функции с режимом импорта данных внешних приложений, которая выгодно отличает возможности системы ИСМА от известных аналогов.

Дискретная составляющая ГС специфицирована символьным описанием. Символьные компьютерные модели могут специфицировать и непрерывную

часть ГС, если непрерывное поведение задано дифференциальными или алгебро-дифференциальными уравнениями. Языковые конструкции разрабатываются по математическим моделям ГС с требованием максимального сохранения естественной формы и доступности для непрофессиональных пользователей в программировании. Язык LISMA разрабатывается на бездекларативной основе. По языку строится порождающая грамматика, которая по классификации Хомского является контекстно-свободной. Кроме порождающих грамматик, механизмом порождения языковых конструкций языка являются регулярные выражения. Языковой процессор системы ИСМА является многопроходным. Один из проходов устанавливает типы переменных и является платой за отсутствие декларативности. На этапе лексического анализа регулярных выражений работает детерминированный конечный автомат. Основными конструкциями языка являются арифметические выражения для спецификации непрерывного поведения и логические выражения для описания дискретных переходов. Грамматика арифметических и логических выражений преобразуется путем свертки продукций к эквивалентной однозначной грамматике LL(1), которая эффективно анализируется методом рекурсивного спуска.

Наконец, рассматривается наиболее общая форма структурно-символьной спецификации (ССС) или визуально-лингвистическое описание ГС в системе ИСМА. Приведены логические связи и структура анализатора программной модели ССС, где библиотеки численных методов и элементов подключаются по принципу Plug-In. Реализации библиотек элементов и численных методов организована в виде API. Приведены алгоритмы четырехэтапного анализа структурных схем, в которых обнаруживаются алгебраические петли, выполняется сортировка, обработка символьных блоков. Показана возможность активного вычислительного эксперимента, когда необходимо контролировать процесс моделирования в реальном времени и изменять значения фазовых переменных или структуру модели.

В последнем разделе данной главы рассмотрены вопросы графической визуализации результатов вычислительного эксперимента и манипуляции графическими данными в графическом интерпретаторе GRIN.

Седьмая глава содержит материал практического компьютерного анализа ГС разной природы средствами программного комплекса ИСМА. Разработанная методология ССС используется для машинного анализа технических систем, биомедицинской системы желчеотделения и других систем, формализуемых гибридными моделями в обозначенном классе уравнений.

Для систем автосопровождения (АС) баллистических, космических и аэродинамических объектов при учёте запаздывания приведена структурная схема эквивалентной импульсной системы [7]. Делается вывод о неэффективности единого структурного представления непрерывной и дискретной части импульсной системы. Используя идеологию спецификации гибридных моделей, разработана программная модель на языке LISMA для гибридной системы АС. Программа на языке LISMA имеет естественную форму представления модели и легко читабельна предметными пользователями - разработчиками систем управления динамическими процессами. Семантика программы хорошо обусловлена в идеологии гибридных систем с множеством непрерывных поведений и достаточно просто и содержательно специфицирует непрерывную и дискретную части модели. Непрерывная часть модели идентифицируется формой Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Языковые средства описания задачи Коши с точностью до знаков операций повторяют математическую модель. Логика переключения представлена тривиальным логическим оператором if — then символьной программной модели.

Рассматривается модель кольцевого модулятора, которая характеризуется высокой размерностью, жесткостью и относится к категории высокоточных задач. Приведена программная модель кольцевого модулятора на языке LISMA и проведен численный анализ. Приводятся результаты моделирования в ИСМА. Выполняется сравнительная оценка затрат вычислений в ИСМА разработанным {гл. 3) численным методом МК22 и одним из известных методов - методом Гира решения высокоточных и жестких задач в программе DLSODE. Конструктивно доказано, что затраты МК22 с численным построением и замораживанием матрицы Якоби меньше чем в программе DLSODE. Также для сравнения приведены универсальные отечественные системы моделирования MVS и AnyLogic, работающие в режиме «Автомат» и зарубежные MatLab/Simulink и Ну Visual, которые не справляются с этой задачей.

Рассмотрена билиарная система (БС) живого организма, представленная системами ОДУ в разных режимах: режиме выброса желчи, приема желчи желчным пузырем и режим патологии. Следуя разработанной методологии ССС, вместо трех систем уравнений с описанием режимов получена одна система ОДУ с бинарными компонентами в правой части, которые автоматически управляют переключением режимов. Приведена оценка параметров модели БС. Полученные результаты моделирования БС в среде ИСМА с выбранными параметрами представляются физиологически валидными и достаточно адекватно отражают динамику режимов ГС процессов желчеотделения в живом организме. Проведены аналитические исследования БС методом фазовой плоскости в режиме выброса желчи. Доказано, что фазовая траектория представляет устойчивый узел с точкой равновесия, определенной выбранными параметрами системы. Вычислительный эксперимент с моделью БС при тех же параметрах и режиме полностью совпадает с полученными теоретическими выводами.

ВЫВОДЫ

Использование современных достижений в области моделирования гибридных систем позволяют достаточно просто нетрадиционными методами решать задачи проектирования по синтезу и анализу импульсных систем автосопровождения (АС) средствами вычислительной техники. Сложная логика законов управления дискретно-непрерывных систем не ограничивает класс задач исследования в связи с новой идеологией спецификации множества непрерывных поведений гибридной системы. Представленная спецификация программной модели АС доступна предметному специалисту и резко снижает трудоемкость подготовки компьютерной модели и реализации задачи на ЭВМ. Это позволяет при проектировании сосредоточиться на существе моделирования процессов при синтезе и анализе сложных систем управления. Результаты компьютерного анализа системы АС в ИСМА опубликованы в [32].

Рассмотренный пример моделирования кольцевого модулятора показывает, что универсальные современные пакеты дают сбой при решении этой задачи. Задача (7.3) является жесткой и высокоточной. Для качественного решения этой задачи требуется численное вычисление матрицы Якоби. Вычисление матрицы Якоби на каждом шаге приводит к значительным затратам и, как оказывается, становится недоступным для традиционных неявных схем, которые и используются современных универсальных пакетах. Идея замораживания матрицы Якоби, реализованная в МК22 системы ИСМА приводит к значительно меньшим вычислительным затратам и получению конечного результата. Причем за счет контроля устойчивости даже при невысоком порядке точности метода МК22 получены лучшие оценки эффективности по сравнению с передовыми мировыми методами такими, как метод Гира в программе DLSODE. Основные результаты по моделированию кольцевого модулятора в ИСМА опубликованы в [70].

При моделировании БС имитационные эксперименты показывают достаточную адекватность имитационной модели и согласованность выбранных параметров модели с физиологическими данными. Отметим также, что предложенный способ описания событийно-непрерывных процессов в виде систем дифференциальных уравнений в форме Коши с бинарными компонентами в правой части позволяет значительно снизить трудоёмкость перехода от математической модели к компьютерному описанию модели. Логика переходов от одного события к другому реализуется в известных системах введением трудоёмких описаний дополнительных логических структур (например, диаграмм последовательностей, действий и состояний в MVS [15], диаграмм Харелла или диаграмм Stateflow в MATLAB [42]). Прием введения бинарных компонент в правую часть ОДУ не претендует на универсальность. Преимуществом введения бинарных компонент является компактность описания модели. Вместо множества уравнений описания непрерывных поведений с.-, 1 < j <т, имеем одну систему ОДУ с бинарными компонентами в правой части. Разработка модели БС и оценка параметров опубликованы в [132], вопросы моделирования и другие по БС опубликованы в [64, 65, 122, 141, 146, 192, 203].

Кроме того, средствами ИСМА проведены исследования ГС и в других областях. В частности, исследованы модели электроприводов и источников питания ограниченной мощности. Разработана структурная схема химического источника тока (ХИТ) в режиме разряда [3]. В программной среде ИСМА выполнена графическая редакция структуры ХИТ, проведены машинные исследования при заданных параметрах ХИТ в ИСМА. В работе [5] проведены исследования по синтезу силовых низкочастотных фильтров. Проведены исследования [4] математической модели аккумуляторной батареи как элемента САУ транспортного средства. Средствами ИСМА выполнен сравнительный анализ САУ с выбранным критерием эффективности. В работе [137] представлена методика повышения точности программных сигналов на станках с ЧПУ с использованием системы ИСМА.

В аграрной области с помощью разработанной методологии спецификации и анализа ГС рассмотрена сложная задача кинематики сыпучих сред [19] в окружении ИСМА. В частности, разработана компьютерная модель движения массы сухих семян в вибрирующем лотке универсального высевающего устройства [74].

В работе [123] рассмотрены модели Форестера для формального описания производственно-сбытовой системы предприятия [102] и сложной социально-экономической урбанизированной территории [103]. Другим примером из класса прогнозных динамических моделей является модель Г.Скарфа [94] регулирования цен на рынке товаров, которая специфицирована и проанализирована в системе ИСМА [123].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа является обобщением научных исследований в области прикладного математического и программно-алгоритмического обеспечения, связанного с решением важной научно-практической задачи анализа ГС методом моделирования в окружении инструментально-ориентированных средств ИСМА. Решение сформулированных проблем обосновано на следующих основных результатах, которые имеют самостоятельное научно-практическое значение и отличают ПК ИСМА от лучших мировых аналогов.

1. На основе явного метода переменного порядка и шага и ^-устойчивого метода с разработанным алгоритмом контроля жесткости впервые построен адаптивный алгоритм для анализа режимов ГС повышенной жесткости. Теоретически и конструктивно доказана эффективность интегрированного в библиотеку методов ИСМА адаптивного алгоритма, который выгодно отличает ПК ИСМА от лучших зарубежных (Simulink/Stateflow, HyVisual) и отечественных (MVS) программных комплексов.

2. Впервые разработаны многостадийные алгоритмы переменного порядка и шага с контролем устойчивости для анализа нежестких и средней жесткости режимов ГС повышенной точности. Теоретически и конструктивно доказана эффективность разработанных и встроенных в библиотеку методов ИСМА многостадийных алгоритмов, которые не уступают по точности лучшим мировым программным комплексам, например, DLSODE программной системы MAPLE.

3. Впервые с учетом численной аппроксимации решения доказана теорема и разработан алгоритм управления шагом интегрирования, который обеспечивает экспоненциальное асимптотическое приближение к границе режима ГС. Реализованный в ПК ИСМА алгоритм обеспечивает корректное обнаружение односторонних событий с нетривиальными свойствами режимов ГС, что выгодно отличает ПК ИСМА от передовых систем HyVisual и MATLAB с современными алгоритмами корректного обнаружения событий.

4. Разработан символьный бездекларативный язык и средства его реализации в виде многопроходного языкового процессора с анализом порождающих грамматик и конечных автоматов. Язык отличается простотой и естественной нотацией так, что с точностью до знаков операций повторяет математическое описание и не обременен категориями, недоступными не профессиональному в программировании пользователю. Синтаксис языка LISMA, как это видно из многочисленных приведенных примеров, с достаточной степенью точности отражает семантику режимов ГС и механизм дискретных переходов.

5. Разработан графический язык структурных схем и средства реализации в виде многопроходного структурного процессора. Визуальное структурирование ГС отвечает традиционным требованиям описания, принятого в инженерной практике для представления и анализа непрерывных систем, что отчасти позволяет воспользоваться богатым арсеналом методов анализа локальных поведений гибридных систем и открывает широкие возможности исследования средствами ИСМА технических систем в традиционно принятой идеологии с богатым арсеналом методов исследования. Обоснованная и разработанная в инструментальной среде ИСМА структурно-символьная спецификация дополняет известные формализмы сетей Петри в системе DYMOLA, гибридных автоматов и диаграмм Харела в системах HyVisual и MVS, и имеет свои функциональные преимущества, ориентированные на предметного пользователя.

6. Разработанная и реализованная в программном комплексе ИСМА новая методология описания и исследования ГС позволяет значительно снизить трудоемкость перехода от математической к компьютерной модели. Новая методология ориентирована на предметного пользователя и включает традиционную структурную композицию динамических систем с текстовым блоком для описания и анализа дискретных событий.

7. Разработанный и реализованный в программном комплексе ИСМА оригинальный подход с новыми информационными технологиями позволяет с минимальными трудозатратами решить проблему унификации и расширяемости прикладного математического и программного обеспечения.

8. Разработанные и реализованные в программном комплексе ИСМА встроенные интерактивные средства вариации параметров и структуры моделей ГС являются мощным инструментом в организации активного вычислительного эксперимента.

9. Разработанная и реализованная в программном комплексе ИСМА оригинальная библиотека численных методов и алгоритмов позволила эффективно исследовать сложные системы разной природы с нетривиальными свойствами и особенностями. При этом библиотека численных методов программного комплекса ИСМА не уступает по точности и устойчивости лучшим мировым аналогам и превосходит по этим показателям лучшие отечественные и известные зарубежные универсальные программные комплексы.

Разработано прикладное математическое и алгоритмическое обеспечение машинного анализа обозначенного класса ГС с режимами разной степени жесткости. Решены вопросы практической реализации прикладного математического и алгоритмического обеспечения компьютерного моделирования гибридных систем. Представленные результаты спецификации и компьютерного анализа ГС средствами программного комплекса ИСМА подтверждают эффективное решение поставленных задач.

1. Андронов А.А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. — М.: Наука, 1966.-568 с.

2. Анисимов В.А. Система параллельного программирования «Иня» // Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений / Новосибирск. 1989. С. 67-73.

3. Аносов В.Н. Характеристики управляющих воздействий тягового электропривода автономного напольного транспортного средства / В.Н. Аносов, В.М. Кавешников, Ю.В. Шорников // Научный вестник НГТУ / Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2005. № 3(21). С. 37-44.

4. Аносов В.Н. Математическая модель аккумуляторной батареи как элемента САУ транспортного средства / В.Н. Аносов, Ю.В. Шорников // Научный вестник НГТУ / Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2005. № 3(21). С. 131136.

5. Аносов В.Н. Использование программных средств ИСМА при синтезе силовых низкочастотных фильтров / В.Н. Аносов, Ю.В. Шорников // Труды 8 науч.-техн. конф. «Компьютерное моделирование-2007» / СПб.: СПбГГГУ. 2007. С. 135-142.

6. Аносов В.Н. Расчет критерия эффективности при сравнительной оценке систем управления в ИСМА / В.Н. Аносов, В.М. Кавешников, Ю.В. Шорников // Компьютерное моделирование 2006: Труды междунар. науч.-техн. конф / СПб: Изд-во Политехи, ун-та. 2006. С. 36-40.

7. Арсеньев Г.Н. Синтез и анализ систем автосопровождения с запаздыванием в радиоэлектронных средствах // Информационно-измерительные системы. 2005. № 2. Т.З. С. 25-31.

8. Арсеньев Г.Н. Радиоавтоматика. Учебник для вузов Космических войск в 2 ч. Ч. 1. Теория дискретных и оптимальных систем автоматического управления РЭС / Г.Н. Арсеньев, Г.Ф. Зайцев. М.: МВИРЭКВ, 2005. - 345 с.

9. Ахмеров P.P. Очерки по ОДУ Электронный ресурс. / P.P. Ахмеров, Б.Н. Садовский // Режим доступа:http://www.ict.nsc.m/ms/textbooks/akhmerov/odeunicode/index.html.

10. Ахо А. В. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции / А.В. Ахо , Дж. Ульман. М.: Мир, 1978. - 612 с.

11. Ахо А.В. Компиляторы: принципы, технологии, инструменты: Пер. с англ. / А.В. Ахо, С. Рави, Дж. Ульман. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2001.-768 с.

12. Ашкеназы В.О. Алгоритмы построения линий уровня функции двух переменных Электронный ресурс. / Режим доступа: http://www.aszkenazy.narod.ru/isolineh.htm.

13. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Наука, 2000. 628 с.

14. Бейкер Дж. Аппроксимации Паде: Пер. с англ. / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис. М.: Мир, 1986. - 502 с.

15. Бенькович Е.С. Практическое моделирование динамических систем / Е.С. Бенькович, Ю.Б. Колесов, Ю.Б. Сениченков. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. -464 с.

16. Беркович Р.П. и др. DYNAMO язык математического моделирования. -М.: ВЦ АН СССР, 1972. 30 с. (Формальное описание).

17. Бобков В.В. Об одном способе построения методов численного решения дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. у12. С. 2249-2252.

18. Бондарчук П.И. Одношаговые итерационные численные методы для исследования жестких задач // Числ. решения ОДЕ / М.: ИПМ АН СССР. 1978. С. 111-123.

19. Бондаренко Н.Ю. Параллельные алгоритмы решения задач динамики сыпучих сред / Н.Ю. Бондаренко, В.М. Садовский // Материалы II школысеминара «Распределенные и кластерные вычисления». Красноярск: ИВМ СО РАН. 2002. С. 166-176.

20. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. -М.: Наука, 1967. 323 с.

21. Буч Г. Язык UML. Руководство пользователя: Пер. с англ / Г. Буч, Д. Рамбо, А. Джекобсон. М.: ДМК, 2000. - 432 с.

22. Бычков Ю.А. Аналитически-численный метод расчета динамических систем / Ю.А. Бычков, С.В. Щербаков. СПб: Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отделение, 2002. - 368 с.

23. Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Г. Ваннер, Э. Хайрер. -М.: Мир, 1999.-685 с.

24. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. М.: Высш. шк, 2005. - 840 с.

25. Воробьёв В.И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В.И. Воробьёв, В.Г. Грибунин.- СПб.: Изд-во ВУС, 1999. 204 с.

26. Востриков А.С. Теория автоматического регулирования: Учеб. Пособие / А.С. Востриков, Г.А. Французова. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003.-364 с.

27. Говорухин В.Н. Введение в MAPLE. Математический пакет для всех • / В.Н. Говорухин, В.Г. Цибулин. М.: Мир, 1997.

28. Голуб Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. — М.: Мир, 1999.-548 с.

29. Гома X. UML. Проектирование систем реального времени, параллельных распределенных приложений: Пер. с англ. М.: ДМК Пресс, 2002. - 704 с.

30. Горбань А.И. Устойчивость и оценка погрешности численных методов Электронный ресурс. / Режим доступа: http://www.uran.donetsk.ua/~masters/2005/fvti/gorban/library.

31. Гордеев А.В. Системное программное обеспечение / А.В. Гордеев, А.Ю. Молчанов. СПб.: Питер, 2001. - 736 с.

32. Горячкин В.В. Исследование системы автосопровождения методом моделирования гибридных систем в инструментальной среде машинного анализа / В.В. Горячкин, Ю.В. Шорников // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2008. №6. Т.6. С. 65-69.

33. Грис Д. Конструирование компиляторов для цифровых вычислительных машин. М.: Мир, 1975. - 544 с.

34. Гусев В.В. Сравнительный анализ средств программного моделирования сложных систем / В.В. Гусев // Управляющие системы и машины. 1973. №1. С. 3-9.

35. Деккер К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жёстких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер- М.: Мир, 1988.-334 с.

36. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. М.: Наука, 1966. - 664 с.

37. Деревицкий Д.П. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления / Д.П. Деревицкий, А. Л. Фрадков. М: Наука, 1981. - 216 с.

38. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 464 с.

39. Донован Дж. Системное программирование. — М.: Мир, 1975.

40. Дрёмин И.М. Вейвлеты и их использование / И.М. Дрёмин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло // Успехи физических наук. 2001. №5. с. 465-501.

41. Дуракова В.К. Явные методы типа Рунге-Кутты первого порядка точности с заданным размером интервала устойчивости. / В.К. Дуракова, В.А. Новиков, Е.А. Новиков // ЖВМ и МФ. 1988. Т.28. С. 603-607.

42. Дьяконов В .П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5.0сновы применения. М.: COJIOH-Пресс, 2004. - 762 с.

43. Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: COJIOH-Пресс, 2004. - 400 с.

44. Емельянов Е.С. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. 335 с.

45. Ершов А.П. Пакеты программ — технология решения прикладных задач: Препринт № 121 / А.П. Ершов, В.П. Ильин. Новосибирск, 1978. — 22с.

46. Ершов А.П. Введение в теоретическое программирование. М.: Наука, 1977.-288 с.

47. Казьмин А.И. Языки непрерывного моделирования / А.И. Казьмин, В.Н. Пополитов // Автоматика и телемеханика. 1979. №2. С. 149-154.

48. Карпов Ю.Г. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с AnyLogic 5. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 400 с.

49. Карпов Ю.Г. Теория автоматов. СПб.: Питер, 2002. - 224 с.

50. Клиначев Н.В. Введение в технологию моделирования на основе направленных графов Электронный ресурс. / Режим доступа: http://model.exponenta.ru/lectures/sml02.htm.

51. Кнауб JI.B. Алгоритм интегрирования переменного порядка и шага, на основе явного двухстадийного метода Рунге-Кутты / JI.B. Кнауб, Ю.М. Лаевский, Е.А. Новиков // СибЖВМ. 2007. № 2. Т.1. С. 177-185.

52. Козлов О.С. Цифровое моделирование следящих приводов / О.С. Козлов, B.C. Медведев // Следящие приводы. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1999. Т. 1.С. 711-806.

53. Колганов А.Р. Разработка автоматизированной системы моделирования электроприводов: автореф. дисс. канд. техн. наук / А.Р. Колганов, 1981. 17 с.

54. Колесов Ю.Б. Объектно-ориентированное моделирование сложных динамических систем. — СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. 239 с.

55. Колесов Ю.Б. Моделирование систем. Объектно-ориентированный подход: Учебное пособие / Ю.Б. Колесов, Ю.Б. Сениченков. СПб.: БХВ— Петербург, 2006. - 192 с.

56. Корнелик С.Е. Вычислительная гемодинамика: Учебное пособие / С.Е. Корнелик, A.M. Бубенчиков. — Томск: Томский государственный университет, 2003. 412 с.

57. Куликов В.П. Математическое моделирование электрических машин: Учеб. Пособие 4.1 / В.П. Куликов, Ю.В. Шорников. Новосибирск: НГТУ, 1994.-44 с.

58. Куликов В.П., Шорников Ю.В. Математическое моделирование электрических машин. Асинхронные и синхронные машины: Учеб. Пособие 4.2 / В.П. Куликов, Ю.В. Шорников. Новосибирск: НГТУ, 1995. - 34 с.

59. Льюис Ф. Теоретические вопросы проектирования компиляторов / Ф. Льюис, Д. Розенкранц, Р. Стирнз. М.: Мир, 1979. - 654 с.

60. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости // Под ред. Воронова А.А., Матросова В.М. -М.: Наука, 1987. 312 с.

61. Моделирование в технических устройствах Электронный ресурс. / Режим доступа: http://www2.bmstu.ru/rcenters/mvtucomplex/test.html.

62. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. — М.: Наука, 1981.-488 с.

63. Моделирование в технических устройствах Электронный ресурс. / Свободная учебная версия ПК «МВТУ» / Режим доступа: http://mvtu.power.bmstu.ru.

64. Никонова О.В. Инструментальные средства ИСМА в проектировании и анализе гибридных моделей / О.В. Никонова, Ю.В. Шорников // Труды региональной конференции по научному программному обеспечению. СПб.: Изд-во СПбГПУ. 2006. С. 117-120.

65. Новиков Е.А. Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и динамических систем. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005.-25 с.

66. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука. Сиб. Предпр. РАН, 1997. - 195 с.

67. Новиков Е.А. Алгоритм интегрирования жёстких систем на основе (ш, к)-метода второго порядка с численным вычислением матрицы Якоби: Препринт ВЦ СО АН СССР / Е.А. Новиков, Ю.А. Шитов. Красноярск, 1988.

68. Новиков Е.А. Контроль устойчивости явных одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Е.А. Новиков, В.А. Новиков//ДАН СССР. 1984. №5. Т.277. С. 1058-1062.

69. Новиков А.Е. Аппроксимация матрицы Якоби в (2,2)-методе решения жестких систем / А.Е. Новиков, Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // ДАН ВШРФ. 2008. №1(10). С. 30-44.

70. Новиков Е.А. Одношаговые методы решения жестких систем / Е.А. Новиков, Ю.А. Шитов, Ю.И. Шокин // ДАН СССР. 1988. № 6. Т.301. С. 1310— 1314.

71. Новиков Е.А. Контроль устойчивости метода Фельберга седьмого порядка точности / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Вычислительные Технологии. 2006. № 4. T.l 1. С. 65-72.

72. Новиков Е.А. Программа моделирования сложных динамических систем с запаздыванием / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Алгоритмы и программы. -М.: ВНТИЦ. 1985. №4 (67). С. 31.

73. Новиков Е.А. Особенности компьютерного моделирования кинематики сыпучих сред / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Вестник КрасГАУ. 2006. №10. С. 77-82.

74. Новиков Е.А. Контроль устойчивости метода Дорманда-Принса / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // СибЖИМ. 2007. №4(32). С. 95-103.

75. Новиков Е.А. Численное моделирование гибридных систем явными методами / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников // Вычислительные технологии. 2008. № 2. Т. 13. С. 88-104.

76. Новиков Е.А. Алгоритм переменного порядка и шага на основе стадий метода Фельберга седьмого порядка точности / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников, О.В. Никонова // Научный вестник НГТУ. 2006. № 4(25). С. 105-118.

77. Пентус А.Е. Теория формальных языков: Учебное пособие / А.Е. Пентус, М.Р. Пентус. М.: Изд-во ЦПИ МГУ, 2004. - 80 с.

78. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

79. Ракитский Е.В. Численные методы решения жестких систем / Е.В. Ракитский, С.М. Устинов, И.Г. Черноруцкий. М.: Наука, 1979. - 350 с.

80. Рейуорд-Смит В. Дж. Теория формальных языков. Вводный курс. -М.: Радио и связь, 1988. 127 с.

81. Садовничий В.А. Теория операторов. — Изд. 2-е. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.-368 с.

82. Садовский В.М. Задачи динамики сыпучих сред // Мат. моделирование. 2001. № 5. Т.13. С. 62-74.

83. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.-437 с.

84. Самойленко A.M. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи: Учеб. пособие / A.M. Самойленко, С.А. Кривошея, С.А. Перестюк. — М.: Высш. шк., 1989.-383 с.

85. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Изд-во иностр. лит., 1953. Т.1.

86. Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на С++. Алгоритмы на графах. СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. - 496 с.

87. Семененко М. Введение в математическое моделирование. — М.: Солон-Пресс, 2002. — 112 с.

88. Сениченков Ю.Б. Основы теории и средства моделирования гибридных систем: автореф. дис. докт. техн. наук / Ю.Б. Сениченков. СПб., 2005.-31 с.

89. Сениченков Ю.Б. Основы теории и средства моделирования, гибридных систем: дис. докт. техн. наук / Ю.Б. Сениченков. СПб., 2005. -233 с.

90. Сениченков Ю.Б. Численное моделирование гибридных систем. — СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2004. 206 с.

91. Скопина И.В. Разработка компьютерного приложения для моделирования рыночных отношений / И.В. Скопина, Ю.О. Бакланова // Компьютерное моделирование 2004: Труды Междунар. науч.-техн. конф. — СПб.: «Нестор». 2004. С. 72-76.

92. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Под ред. Дж. Холл, Дж. Уатт. М.: Мир, 1979. -312 с.

93. Солодов А.В. Системы с переменным запаздыванием / А.В. Солодов, Е.А. Солодова. -М.: Наука, 1980. 384 с.

94. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука, 1981.-368 с.

95. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: Изд-во РХД, 2000. 175 с.

96. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. - 223 с.

97. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 240 с.

98. Форестер Дж. Основы кибернетики предприятий: Пер. с англ. JI.A. Болыкова и др.. Под ред. Д.М. Гвишиани. — М.: Прогресс, 1971. 340 с.

99. Форестер Дж. Мировая динамика: Пер. с англ. А.Н. Воронука и др. Под ред. Д.М. Гвишиани, К.Н. Моисеева. М.: Наука, 1978. - 165 с.

100. Форестер Дж. Динамика развития города: Пер. с англ. М.Г. Орловой; Под ред. Ю.П. Иванилова и др. М.: Прогресс, 1974. - 285 с.

101. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений:. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. — М.: Мир. — 1990. 512 с.

102. Хопгуд Ф. Методы компиляции. М.: Мир, 1972. - 432 с.

103. Чуа JI.O. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ. Е.С. Виленкина и др. Под ред. Ильина В.Н. / Л.О. Чуа, Лин Пен-Мин. М.: Энергия, 1980. - 640 с.

104. Чуй К. Введение в вэйвлеты. М.: Мир, 2001. - 412 с. 108.Чхартшпвили Л.П. Организация диалоговой программной системы

105. МАСС / Л.П. Чхартишвили, Г.С. Чхартишвили, Н.Г. Клюкин // Труды МЭИ. 1976. С. 12-20.

106. Чхартишвили Г.С. Анализ организации языков моделирования непрерывных систем / Г.С. Чхартишвили, И.В. Починок, А.В. Трофимов // Труды МЭИ. 1981. С. 72-80.

107. Шорников Ю.В. Разработка средств автоматизации экспериментального анализа и исследования динамических систем: дис. канд. техн. наук / Ю.В. Шорников. — Новосибирск, 1985. — 191 с.

108. Шорников Ю.В. Языковые процессоры: Учебное пособие. — Новосибирск: НГТУ, 1998. 58 с.

109. Шорников Ю.В. Теория и практика языковых процессоров: Учебное пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. - 203 с.

110. Шорников Ю.В. Компьютерное моделирование жестких гибридных систем // Труды 8 медунар. науч.—техн. конф. «Компьютерное моделирование-2007». СПб: Изд-во Политехи, ун-та. 2007. С. 19-22.

111. Шорников Ю.В. Инструментально-ориентированный анализ жестких динамических и гибридных систем явными методами // Системы управления и информационные технологии. 2007. №2(28). С. 72-75.

112. Шорников Ю.В. Компьютерное моделирование билиарной системы специализированными средствами // Научный вестник НГТУ. 2004. №3(18). С. 31-42.

113. Шорников Ю.В. Визуально-лингвистическое моделирование гибридных систем // Научный вестник НГТУ. 2006. № 2(23). С. 65-72.

114. Шорников Ю.В. Моделирование сложных динамических и гибридных систем в ИСМА // Научный вестник НГТУ. 2007. № 1(26). С. 79-88.

115. Шорников Ю.В. Моделирование гибридных систем явными методами // Системы управления и информационные технологии. 2007. № 4.2(30). С. 307-311.

116. Шорников Ю.В. Имитационное моделирование билиарной системы средствами ИСМА: Сб. докл. в 2 т. / Ю.В. Шорников, А.Ж. Абденов, О.В. Титович // Первая всероссийская научно-практическая конференция «ИММОД-2003». СПб: ФГУП ЦНИИ ТС. 2003. С. 142-147. - Т.2.

117. Шорников Ю.В. Использование инструментального средства ИСМА для моделирования экономических процессов /Ю.В. Шорников, Г.А. Абденова, Р.Н. Заркумова// Сибирская финансовая школа. 2007. №4(65). С. 46-50.

118. Шорников Ю.В. К задаче о двух баках в системе ИСМА / Ю.В. Шорников, М.Ю. Афанасьев // Труды 5 междунар. науч.-техн. конф. «Компьютерное моделирование-2004». СПб: «Нестор». 2004. С. 163-168. — 4.1.

119. Шорников Ю.В. Визуальное моделирование гибридных систем / Ю.В. Шорников, Е.Ю. Герасимова // Труды 16 Международной конференциипо компьютерной графике и её приложениям ГрафиКон'2006. — Новосибирск, Академгородок: ИВМиМГ СО РАН. 2006. С. 263-266.

120. Шорников Ю.В. Методология анализа нелинейных динамических систем методом фазовой плоскости в среде ИСМА / Ю.В. Шорников, B.C. Дружинин // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 50200600116.-М.: ВНТИЦ, 2006.

121. Шорников Ю.В. Импорт данных в программной среде ИСМА / Ю.В. Шорников, B.C. Дружинин // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 50200600117. М.: ВНТИЦ, 2006.

122. Шорников Ю.В. Инструментальные средства машинного анализа / Ю.В. Шорников, B.C. Дружинин, Н.А. Макаров, К.В. Омельченко, И.Н. Томилов // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610126. М.: Роспатент, 2005.

123. Шорников Ю.В. Реализация численных схем в моделировании динамических систем /Ю.В. Шорников, В.В. Ландовский // Информационные системы и технологии ИСТ'2003: междунар. науч.-техн. конф. Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2003. С. 121.-Т.1.

124. Шорников Ю.В. Визуальное моделирование гибридных систем / Ю.В. Шорников, О.В. Никонова // Труды 15 межд. конф. по компьютерной графике и её приложениям ГрафиКон'2005. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН. 2005. С. 263-266.

125. Шорников Ю.В. Адаптивный алгоритм численного анализа жестких систем /Ю.В. Шорников, Е.А. Новиков, М.С. Денисов // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611459. М.: Роспатент, 2007.

126. Шорников Ю.В. Программа исследования областей устойчивости численных методов «RStable» / Ю.В. Шорников, Е.А. Новиков, М.В. Солодовникова // Инновации в науке и образовании. 2007. №3(26). С. 36.

127. Шорников Ю.В. Программа исследования областей устойчивости численных методов «RStable» / Ю.В. Шорников, Е.А. Новиков, М.В. Солодовникова // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 50200700692. М.: ВНТИЦ, 2007.

128. Шорников Ю.В. Аппроксимация звена чистого запаздывания рядом Паде в программной среде ИСМА / Ю.В. Шорников, М.В. Солодовникова // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 50200700715. М.: ВНТИЦ, 2007.

129. Шорников Ю.В. Методика повышения точности программных сигналов на станках с ЧПУ с использованием инструментальных средств ИСМА / Ю.В. Шорников, Ю.Б. Соколовский // Научный вестник НГТУ. 2004. №1(16). С. 17-21.

130. Шорников Ю.В. Программа языкового процессора с языка LISMA (Language of ISMA) / Ю.В. Шорников, И.Н. Томилов // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611024. М.: Роспатент, 2007.

131. Шорников Ю.В. Спецификация и численный анализ гибридных систем в ИСМА / Ю.В. Шорников и др. // Труды науч.-техн. конф. «Научное программное обеспечение в образовании и научных исследованиях». — СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. 2008. С. 138-144.

132. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1978. 465 с.

133. Яковлев А. Н. Введение в вейвлет-преобразования: Учеб. пособие. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. 104 с.

134. Яненко Н.Н. Проблемы математической технологии / Н.Н. Яненко, В.И. Карначук, А.Н. Коновалов // Численные методы механики сплошных сред. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1977. №3. С. 129-157.-Т.8.

135. Abrial J.R. Formal Methods for Industrial Applications: Specifying and Programming the Steam Boiler Control / J.R. Abrial, E. Borger, H. Langmaack // Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag. 1996. P. 265-282.

136. Avrutin V. Remarks to simulation and investigation of hybrid systems / V. Avrutin, M. Schutz // Труды междунар. науч.-технич. конф. — СПб.: Изд-во СПбГТУ. 2001. С. 64-66.

137. Benham R.D. Interactive Simulation Language // Simulation. 1975. №3, P. 81-83.

138. Booch G. The Unified Modeling Language for Object-Oriented Development / G. Booch, IJacobson, J.Rumbaugh // Documentation Set Version 1.1, 1997.-243 p.

139. Borshchev A. Distributed Simulation of Hybrid Systems with AnyLogic and HLA / A. Borshchev, Yu. Karpov, V. Kharitonov // Future Generation Computer Systems. 2002. P. 829-839.

140. Brenan R.D. The Continuous System Modeling Program / R.D. Brenan, M.Y. Selberger // IBM System Journal. 1967. P. 140-147. Vol.4.

141. Brenan R.D. The System/365 Continuous System Modeling Program / R.D. Brenan, M.Y. Selberger// Simulation. 1968. P. 301-310.

142. Bruck D. Dymola user's manual / D. Bruck, H. Elmqvist, M. Otter. Lund Switzerland, 1996. - 340 p.

143. Booch G. Object-Oriented Analysis and Design with Applications / G. Booch, J. Conallen, R.A. Maksimchuk. 2007. - 691 p.

144. Byrne G.D. ODE solvers: a review of current and combing attractions / G.D. Byrne, A.C. Hindmarsh // Comput. Physics. 1986. P. 1-62.

145. Carver M.B. Eceint integration over discontinuities in ordinary differential equation simulations // Mathematics and Computers in Simulation. 1978. P. 190-196.

146. Cellier F. Combined discrete continuous system simulation by use of digital computers: techniques and tools // PhD thesis, ETH Zurich. Switzerland,1979.-P. 144-156.

147. Comparision of Different Methods for the Digital Simulation of Control System // IF AC Symposium of Digital Simulation of Continuous System. — Dusseldorf, 1971. P. 28-45.

148. Ceschino F. Numerical solution of initial value problems / F. Ceschino, J. Kuntzman. Prentice-Hall, Englewood Clis, New Jersey, 1966. P. 96-119.

149. Dast M. Simulation of Electron Beam Control System Using DSL 90 / M. Dast, R. Barter // Simulation, 1967. №5. P. 32-48. Vol.9.

150. Elzas M.S. Languages for Hybrid Digital Simulation / M.S. Elzas, D. Kettenis // Proc. ACIA. 1975. №4. P. 245-259. Vol.18.

151. Enright W.H. Comparing numerical methods for the solutions of systems of ODE's / W.H. Enright, Т.Е. Hull. 1975. №15. P. 10-48.

152. Esposito J. Accurate event detection for simulating hybrid systems. In: Hybrid Systems: Computation and Control (HSCC) / J. Esposito, V. Kumar, G.J. Pappas // Volume LNCS 2034. Springer-Verlag, 1998.

153. Esposito J.M. An Asynchronous Integration and Event Detection Algorithm for Simulating Multi-Agent Hybrid Systems / J.M. Esposito, V. Kumar //ACM Transactions n on Modeling and Computer Simulation. 2004. №4. P. 336-358.-Vol.14.

154. Esposito J.M. Event detection near singularities / J.M. Esposito, V. Kumar // ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation. 2007. P. 1-22. — Vol.17.

155. Fehlberg E. Classical fifth-, sixth-, seventh- and eighth order Runge-Kutta formulas with step size control // Computing. 1969. P. 93-100. Vol.4.

156. Gabrow B.S. Implementation Guide for MINPACK-1 / B.S. Gabrow, K.E. Hillstrom, J.J. More // Argonne National Laboratory Report ANL-80-86. Illinois,1980.

157. Gear C.W. Solving ordinary differential equations with discontinuities / C.W. Gear, O. Osterby // Technical report. — Dept. of Comput. Sci., University of Illinois, 1981. P. 27-31.

158. Gordon G. System Simulation. N.J.: Willey, 1978. - 314p.

159. Hall Т.Е. Comparing numerical methods for ordinary differential equations / Т.Е. Hall и др. // SIAM J. Numer. Anal. №9. P. 603-637.

160. Harel D. Statecharts: A Visual Formalism for Complex Systems // Science of Computer Programming. North-Holland, 1987. №3. P. 231-274. - Vol.8.

161. Henzinger T.A. A model checker for hybrid systems / T.A. Henzinger, Р.Н. Ho // International Journal on Software Tools for Technology Transfer. 1997. №1. P. 110-122.

162. Hilden J. Guidtlines for the Design of Interactive systems // Comput. J. 1976. №2. P. 144-150.

163. Kowalewski S. A Case Study in Toll-Aided Analysis of Discretely Controlled Continuous System: the Two Tank Problem / S. Kowalewski и др. // In Hybrid Systems V, Lecture Notes in Computer Science. — Springer Verlag, 1998. P. 78-102.

164. Landauer J.P. Program-generation System for Modern Hybrid Computers // Simulation. 1976. №6. P. 169-176. Vol. 26.

165. Lapidus L. Numerical Solution of Ordinary Differential Eqautions / L. Lapidus, J.H. Seinfeld // London: Academy Press, 1971. 299 p.

166. Lee E.A. Overview of Ptolemy project Электронный ресурс. / Режим доступа:http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/publications/papers/03/overview/overview03.pdf.

167. Lee E.A. Operational Semantics of Hybrid Systems / E.A. Lee, H. Zhenq // Proc. of Hybrid Systems: Computational and Control (HSCC) LNCS 3414. -Zurich, Switzeland, 2005.

168. Leveson N. Safety Analysis Using Petri Nets / N. Leveson, J.L. Stolzy // IEEE Transactions on Software Engineering, SE-13 3. 1987. P. 386-397.

169. Linebarger R.N. Aservay of Digital Simulations: Digital Analog Simulation Programs / R.N. Linebarger, R.D. Brennan // Simulation. 1964. №6. P. 14-20.-Vol.3.

170. Lui J. A hierarchical hybrid system model and its simulation / J. Lui и др. // Proceedings of the 38th Conference on Decision and Control. 1999. P. 24072411.

171. Lyness J.N. A Techniquevfor Comparinq Automatic Quadrature Routines / J.N. Lyness, J.J. Kaganov // The Computer Journal. 1977. №2. P. 170-172. Vol. 20.

172. Merson R.H. An operational methods for integration processes // Proc. Symp. On Data Proc. Weapons Research Establishment. Salisbury, Australia. 1957.

173. Mitchell E.E. Advanced Continuous Simulation Languages (ACSL) / E.E. Mitchell, J.S. Gauther// Simulation. 1976. №3. P. 72-78. Vol. 26.

174. Modelica A Unified Object-Oriented Language for Physical Systems Modeling // Language Specification. Version 2.0, 2002.

175. Modelica and the Modelica Association Электронный ресурс. / Режим доступа: http://www.modelica.org.

176. Mosterman P. An overview of hybrid simulation phenomena and their support by simulation packages // Hybrid Systems: Computation and Control, vol. 1569 of Lecture Notes in Computer Science. Springer Verlag. 1999. P. 165-177.

177. Najafi M. The Role of Model Formulation in DAE Integration: Experience Gained in Developing Scicos Электронный ресурс. / M. Najafi, R. Nikoukhah, S.L. Campbell / Режим доступа: http://sab.sscc/rn/imacs.

178. Nilsen R.N. Continuons System Simulation Languages: A State of the Art Survey / R.N. Nilsen, W.J. Karplus // Proc. AICA. 1974. №1. P. 17-25. Vol. 15.

179. Park T. State event location in differential-algebraic models. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation / T. Park, P.I. Barton // TOMACS. 1996. №6(2). P. 137-165.

180. Preston A.J. Algorithms for the location of discontinuities in dynamic simulation problems / A.J. Preston, M. Berzins // Computers in Chemical Engineering. 1991. №15(10). P. 701-713.

181. Prince P.J. High order embedded Runge-Kutta formulae / P.J. Prince, J.R. Dormand//J.Comp. Appl. Math. 1981. P. 67-75. Vol. 7.

182. Rajeev A. Hybrid Systems III: Verification and Control / A. Rajeev и др. // Lecture Notes in Computer Science. -NJ: Springer. 2005. Vol. 1066.

183. Richardson L.F. The dieted approach to the limit. 1 Single lattice // Philos. Trans. Roy. Soc. London. 1927. P. 299-349.

184. Shampine L.M. Implementation of Rosenbrok method // ACM, Transaction on Mathematical Software. 1982. №5. P. 93-113. Vol. 8.

185. Shampine L.F. Reliable solution of special event caution problems for ODEs / L.F. Shampine, I. Gladwell, R.W. Brankin // ACM transactions on Mathematical Software. 1991. №1(17). P.ll-25.

186. Shintani H. On a one step method of order 4 // J. Sei. Hiroshima Univ. — 1966. P. 91-107.

187. Selfridge R.G. Cording a general puipose digital computer to operate as a differential analyzer // Proc. Western J. Computer Conf. Losangeles. 1955. P. 144-161.-Vol. 1.

188. Shornikov Yu.V. Computer Simulation of Biliary System // Proc. of the1.

189. Russian Korean Intern. Symp. on Science and Technology KORUS 2005. — Novosibirsk, Russia: NSTU. 2005. P. 701-703. - Vol. 1. Компьютерное моделирование билиарной системы.

190. STATEFLOW for use with Simulink: User's guide. Version 1. Math Works, Inc, 1998. - 477 p.

191. Syn W.M. DSL 90 A Digital Simulation Program for Continuous System Modeling / W.M. Syn, R.N. Linebarger // AFIPS Proc. 1965. №5. - Vol. 28.

192. The Sci: Continuous System Simulation Language (CSSL) // Simulation. 1967. №5. P. 281-303. Vol. 9.

193. Yartsev B. Automata-Based Programming of the Reactive Multi-Agent Control Systems // 2005 Inter. Conf. KIMAS' 2005: Modeling, Exploration, and Engineering. USA, MA: IEEE. 2005. P. 449-453.

194. Yen K. Digital Simulation Algorithms Using Parallel Processing / K. Yen; J. Gook // IEEE Trans. On Industrial Electronics. 1982. P. 217-219. Vol. IE-29.293