автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Повышение производительности компьютерного моделирования при проведении научных исследований в производстве строительных материалов

На правах рукописи

РУБЦОВ Константин Анатольевич

ПОВЫШЕНИЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ПРОИЗВОДСТВЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Белгород - 2000

Работа выполнена, на кафедре "Программное обеспечение, вычислительной техники и автоматизированных систем" в Белгородской государственной технологической академии строительных материалов.

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Константинов И.С.

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Жиляков Е.Г.

- кандидат технических наук, доцент Винтаев В.Н.

Ведущая организация - Воронежский региональный

центр информатизации

Защита диссертации состоится " 3 " марта 2000 года в 14 час. на заседании диссертационного совета К 064.66.04 при Белгородской государственной технологической академии строительных материалов (302012, г.Белгород, ул.Костюкова, 46, Главный корпус, ауд. 242).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородской государственной технологической академии строительных материалов.

Автореферат разослан " ^ " 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцен

т

Синюк В.Г.

НЗО0.Д -инь у0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При проведении научных исследований, в основе которых лежит изучение свойств объектов и процессов с помощью математического моделирования, обычно приходится сталкиваться с проблемой повышения точности результатов моделирования и сокращения времени исследования. Решение этой проблемы ведет, как правило, к поиску новых подходов при реализации вычислительных процедур.

В настоящей работе решались актуальные вопросы повышения производительности компьютерного моделирования при проведении научных исследований в области производства строительных материалов за счет модификации и улучшения классических численных методов решения задач математического моделирования объектов и технических систем. Актуальность темы усиливается интенсивным внедрением современной компьютерной техники в сам процесс научных исследований и активным применением математических моделей с целью проведения численного эксперимента для изучения свойств и характеристик поведения объектов.

Тема работы ориентирована на создание методики, названной ю - отображением, являющейся частным случаем гомоморфизма. Большое внимание уделено исследованию практического использования полученных результатов для моделирования технических объектов в важнейшей области народного хозяйства - промышленности строительных материалов (ПСМ).

Таким образом, предлагаемая работа является актуальной, так как направлена на улучшение известных вычислительных процедур, сокращение времени эксплуатации вычислителя и повышение точности численного моделирования при проведении научных исследований.

Цель работы: повышение производительности компьютерного моделирования при проведении научных исследований за счет учета архитектурных особенностей вычислительной техники.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- анализ методов математического моделирования и применения вычислительной техники при проведении научных исследований в производстве строительных материалов;

- создание методики эффективного преобразования математических моделей с учетом тенденции развития современной микропроцессорной техники;

- исследование скорости вычислений в основных численных методах и их отображениях (на различных микропроцессорах семейства "х86" с использование математического сопроцессора);

- исследование области применения разрабатываемой методики при моделировании систем и объектов в ПСМ, описываемых дифференциальными уравнениями;

- разработка пакета программ, реализующего предложенную методику численного решения дифференциальных уравнений и их систем.

Научная новнзна работы:

- разработана и исследована методика преобразования математических моделей на основе гомоморфизма с учетом особенностей и тенденций развития архитектуры современной микропроцессорной техники;

- определена область применения методики преобразований в научных исследованиях при численном моделировании объектов ПСМ и дана оценка погрешностей;

- получены и исследованы модифицированные соотношения для численных методов решения дифференциальных уравнений (Эйлера, Рунге-Кутта), позволяющие рационально использовать математический сопроцессор семейства х86;

- предложен подход комбинированного применения классической и разработанной методик при численном моделировании на основе дифференциальных уравнений.

Практическая ценность работы:

- реализация результатов исследования позволяет повысить производительность компьютерного моделирования при проведении научных исследований в производстве строительных материалов с учетом тенденции развития современной микропроцессорной техники;

- сокращается время, затрачиваемое современными микроЭВМ на проведение вычислительного эксперимента;

- разработан пакет прикладных программ решения систем дифференциальных уравнений комбинированным методом, состоящий из стандартного метода Рунге-Кутта 4-го порядка и его образа.

Реализация работы: диссертационная работа выполнена на кафедре ПОВТиАС БелГТАСМ по тематике Г/б НИР №42 "Интегрированные АСУ". Разработанная методика гомоморфных отображений численных методов внедрена (в виде пакета программ "Doctrine") в учебный процесс (по курсам "Информатика", "Инженерная геология" и "Строительные материалы" для студентов специальности 29.06 "Производство строительных изделий и конструкций") и рекомендована для внедрения в научно-исследовательскую практику.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Физико-химические проблемы материаловедения и новые технологии" в г. Белгороде -май 1991, на Семинаре в Институте математики в г. Страсбурге (Univ. L. Pasteur, France) - ноябрь 1993, на Международном Конгрессе математиков ICM 94 в г. Цюрихе (Switzerland) - август 1994, на Международной конференции "Ресурсо- и энергосберегающие технологии строительных материалов, изделий и конструкций" в г. Белгороде - сентябрь 1995, на Международной конференции "Новые компьютерные технологии в учебном процессе и научных исследованиях" в г. Москве - декабрь 1995, на седьмой Международной научно-методической конференции "Проблемы многоуровневого высшего образования" в г. Н. Новгород - апрель 1998; на Международной научно-практической конференции "Передовые технологии в промышленности и строительстве на пороге XXI века" в г. Белгороде - 1998.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 19 печатных работах (1 монография, 8 статей, % тезисов докладов, 2 информационных листка), из которых 8 опубликовано в соавторстве.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 189 страницах машинописного текста, включающего 10 таблиц, 13 рисунков, списка литературы из 157 наименований, 5 приложений.

На защиту выносятся;

• Методика преобразования математических методов на основе гомоморфизма и ее приложение в практике математического моделирования.

• Оценка эффективности применения численных методов, полученных с помощью указанной методики, на вычислительной технике с математическим сопроцессором семейства х86.

• Обоснование целесообразности использования полученных теоретических результатов для решения инженерных и технических задач определенных классов.

• Пакет прикладных программ, предназначенный для численного моделирования задач производства строительных материалов.

• Результаты применения методики при моделировании ряда инженерных задач в области ПСМ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы, отмечены научная новизна и практическая ценность результатов, апробация работы и достоверность результатов, а также дано краткое изложение работы по главам.

В первой главе проведен анализ:

- современного состояния в области методов математического моделирования процессов, связанных с производством строительных материалов, и показано, что в основе аналитического моделирования многих технологических процессов, технических объектов или производственных ситуаций лежит аппарат дифференциальных уравнений;

- численных методов решения дифференциальных уравнений и отмечено, что численные методы не в полной мере учитывают архитектуру современной вычислительной техники и тенденции ее развития;

- особенностей архитектуры современной вычислительной техники при решении вычислительных задач и установлено, что современные микропроцессоры эффективно выполняют различные операции (в частности, подчеркнуто, что наибольшее развитие получают "сложные" операции).

В результате проведенного анализа сформулирована постановка задач исследования.

Во второй главе осуществлен выбор математического аппарата, позволяющего трансформировать классические методы в численные методы, сформированные на основе операций, получивших наибольшее развитие в современных микропроцессорах.

Изложено содержание методики со - отображений, построенной на базе гомоморфизма и ориентированной на применение современных микропроцессорных устройств с математическим сопроцессором.

Из определения гомоморфизма:

Ф^-^ь..., ап. /^(а])... ,ф(ай/))

Р][а\,-, ат]) => Р](ф(<31) • • • >ч{ат.)) ,

а со - отображение — это гомоморфизм при заданной функции отображения ф.

В настоящей работе исследовались и - отображения для десяти различных функций ф, позволяющих отображать "простые"

операции в функции на основе "умножения", "деления", 1пх.

Особое внимание уделено со - отображению при ф = 1п(х)/1п к, к> 1.

Проведено исследование методики со - отображений, в результате которого:

- дан анализ подходов к преобразованию математических объектов при решении задач моделирования;

- найдены образы арифметических операций и функций;

- получены со - образы производной;

- разработана методика расширения класса решенных дифференциальных уравнений, встречающихся при моделировании практических процессов.

В третьей главе дана оценка погрешности трансформированного уточняющего метода Эйлера, которая проводилась в сравнении с классическим методом на примере тестового дифференциального уравнения

у' = f = Ху (х = const). (1)

Решение этого уравнения на г+1-ом шаге yJ+i = , а разложе-

ние в ряд Тейлора

^±1- = = 1 + /Д + -—— + -——+... (2)

Л 2! 3!

Для и - образа уточняющего метода Эйлера для тестового дифференциального уравнения разложение в ряд Тейлора:

У1+1

Ух

с

= 1 + Xh +

X5-

2х/

X3- к X ■Л3 X4 * + к 2 3 ч xi xi ■h*

Х2к2 WJ

2 3! 41

5Х2 1\Х " •А5

х,-3 16л:,-4,

5!

-+...

(3)

При реализации классического уточняющего метода Эйлера отноше-

yi+l

ние —i—L равно: У1

+ и + (4)

У1 2

так как уточняющий метод Эйлера является методом второго порядка и его абсолютная погрешность на -ом шаге определяется по первому остаточному слагаемому, получаемому как разность выра-

Н3Х3

жений (2) и (4): 8 ~ ^ . Из (3), видно, что со - образ уточняющего метода Эйлера имеет абсолютную погрешность на каждом шаге

•А3

4х-2 /

-^-. (5)

3!

Особенностью преобразованного уточняющего метода Эйлера является то, что имеется бесконечное число слагаемых в ряде (3) и при х,- —» (+ оо) получаем абсолютно точное решение.

В этой главе исследовано также применение <з - отображений для численного решения дифференциальных уравнений.

Получены со - образы численных методов Эйлера, уточняющего Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка для различных функций отображения ф .

Например, классический метод Эйлера имеет вид:

Ум = +

а один из его со - образов:

х,-

В зависимости от типа процессора (микропрограммной реализации математических функций) выделены области применения стандартных и преобразованных методов Рунге-Кутта по единой схеме, названной комбинированным методом. Подробно проводились исследования оценки методической погрешности для различных типов микропроцессоров при использовании <в - отображений и показаны при этом пути повышения точности вычислений и

Л+1 = УГ

а л-М-^)

Л

сокращения машинного времени. В таблице 1 приведены результаты тестирования со - отображения метода Рунге-Кутта 4-го порядка для различных типов современных микропроцессоров семейства х86, содержащих математический сопроцессор.

Показано, что со - образ метода Рунге-Кутга 4-го порядка эффективней стандартного при значении Xj > 7,3.

Таблица 1.

Результаты тестирования ш - модификаций метода Рунге-Кутта 4-го порядка для микропроцессоров класса 486DX, Pentium и Кб с использованием встроенных математических сопроцессоров и учетом статической погрешности вычислений

Исследуемый метод Число тактов для микроп 486DX-40 | Pentium-100 юцессора К6-200

Статическая погрешность Рунге-Кутта 4-го порядка для шд Рунге-Кутта 4-го порядка для со 1 (форма 1) Рунге-Кутта 4-го порядка для и 1 (форма 2) 138 84 39 1398 898 1514 9952 6548 5654 10144 6680 5846

Примечание. Метод Рунге-Кутга 4-го порядка по форме 1:

fi= fs(?h У «I =fs{r>yi-(khsyi) , bj = fs[r,yt • ,

8i =fs{xihyi-(hsf'),

где xn =Xj+h, hs=xn/xj, r = ^Jxrxn , khs = Jh^.

По форме 2:

ум-УГН^«*2^6), где fi = F(xi,у(), ctj = f(x,-4Н, yt ■ H^1)

bi=F(xi-4H,yi-Hailiy

Е^Г^гН,угНЬ1ур(х1+И,угН^У H=XM/Xi= 1 + (A/*/),

F(x,y)=x-f(x,y)/y.

Доказана целесообразность использования о - методики по сравнению с аналогичными стандартными методами. В частности, установлено, что с развитием микропроцессорной вычислительной техники снижается эффективность стандартных численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка, а эффективность и - образов этих методов повышается (за счет совершенствования структуры математического сопроцессора). Например, согласно таблице 1 одна итерация в стандартном методе Рунге-Кутта 4-го порядка на микропроцессоре шестого поколения AMD Кб (200 Мгц, 1997 г.) занимает приблизительно столько же времени, сколько — и на представителе пятого поколения Intel Pentium (100 Мгц, 1994 г.). Для ш - метода, с учетом равенства реального времени выполнения одной итерации на микропроцессорах Кб и Pentium (без учета эффекта повышения точности ю - метода), получаем требуемую частоту для гипотетического Pentium: 200-6548/5654 ® 232 Мгц. Отмечено, что после появления в 1998 г. микропроцессора фирмы AMD "К6-2 3DNow!", имеющего в своем составе специализированный математический сопроцессор, скорость выполнения "сложных" операция возросла в 4-12 раз (при использовании команд 3DNow!).

В четвертой главе рассмотрены вопросы области применения аппарата а - отображений и произведена оценка видов практических задач, связанных с ПСМ, для которых целесообразно применять комбинированный метод.

5 |

3 I"

° ь

ё|

о Я

§ I

р. и

и

к

а я 2 &

И

у

— - ■ —

- Стандартный гри цигеОД

- Образ гри пвге 0,1

- Стандарт! ьй три ивге 0,00001

- Образ гри ише 0,00001

1 2 3 4 5

Ксшчестао срабатыватй сищум-репе

Рис. 1. Зависимости относительной погрешности определения времени срабатывания сигнум-реле методами Рунге-Кутта 4-го порядка и его ю - образа для величин шага Ю-1 и Ю-5 , при условии, что за истинное значение принимаются результаты, полученные при

_7

шаге 10 стандартным методом

В частности, в качестве примера, рассмотрено моделирование системы управления химическим реактором и показана целесообразность применения со - отображений для решения систем дифференциальных уравнений, содержащих нелинейности. Отмечено, что в данном типе задач повышается точность решения и уменьшаются временные затраты на проведение научно-исследовательских работ.

На рис. 1 изображены графики зависимости относительной погрешности определения времени срабатывания сигнум-реле методом Рунге-Кутта 4-го порядка и его со - образа.

Анализируя результаты исследования, сделаны следующие выводы:

• Стандартный метод Рунге-Кутта 4-го порядка при решении системы дифференциальных уравнений является слабо сходящимся. Для получения более точных результатов требуются значи-

9 —7

тельные временные затраты (10 итераций для шага 10 ).

• Относительная погрешность стандартного метода при вычислениях непрерывно растет за счет ошибки дискретизации временного интервала. Погрешность ю - образа метода Рунге-Кутта 4-го порядка при шаге дискретизации 0,1 в начале несколько превышает погрешность стандартного метода при том же шаге, но затем постепенно снижается (уменьшение погрешности метода), что теоретически обосновано в главе 3. При шаге Ю-5 относительная погрешность со - образа метода Рунге-Кутта 4-го порядка меньше погрешности стандартного, но ее дальнейшее убывание не наблюдается. Это вызвано тем, что при достаточно малых значениях шага точность решения со - метода приближается к стандартной (малые прямые и криволинейные отрезки идентичны).

• Применение со - метода более рационально, так как приводит к более точному результату (5-ое срабатывание реле) при меньших временных затратах. В данном примере получено 39% сокращение времени вычислений (для процессора Pentium) при одинаковой погрешности.

Изучался вопрос применения разработанной методики для моделирования объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. При расчетах электрических характеристик (потенциал и напряженность) полей электрофильтра (для различных конфигураций коронирующего электрода) отмечены трудности со - модернизации традиционного метода Либмана и высказаны рекомендации по применению разработанной методики к методам с неравномерной сеткой.

В качестве примера дополнительного применения методики со - отображений для построения модели, имеющей аналитическое решение, рассмотрена задача восстановительной обточки крупногабаритной цапфы крепления шаровой мельницы.

Найдены оптимальные режимы процесса восстановления: скорость резания = 19,0 об/мин, глубина резания xj =2,4 мм, - для

фигуры в виде двух симметричных конусов и ц = 19,5 об/мин,

Х2 = 2,5 мм - для катеноида.

Для практического применения методики со - отображений был разработан пакет прикладных программ на базе специально созданной оболочки "Doctrine", реализующий методику комбинированного метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Комбинированный метод позволяет автоматически включать стандартный метод или его со - образ в зависимости от целесообразности их использования в конкретной ситуации.

Особенностью программного продукта "Doctrine" является возможность запуска внешних программ по заранее составленному сценарию. Приведены примеры реализации отдельных фрагментов "Doctrine".

В приложениях приведены:

- численные результаты анализа теоретической абсолютной погрешности для десяти различных функций связи;

- распечатка производных и пределов, полученных аналитически при оценке погрешности ш - образа уточняющего метода Эйлера в тестовом дифференциальном уравнении;

- распечатка программы для оценки длительности вычисления одной итерации в методе Рунге-Кутта 4-го порядка для различных микропроцессоров;

- результаты численного моделирования системы управления химическим реактором;

- пакет программного продукта "DOCTRINE".

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. В результате анализа математических моделей технологических процессов ПСМ отмечено, что доминирующую роль при формировании этих моделей играет аппарат дифференциальных уравнений, решение которых связано с численными процедурами. С целью сокращения сроков научных исследований осуществляется поиск новых математических подходов к решению задач, ориентированный, как правило, на повышение точности результатов моделирования и сокращение времени моделирования на вычислительной технике.

2. Анализ развития современных средств вычислительной техники показал, что математический сопроцессор является наиболее развивающейся частью микропроцессора и способен значительно ускорить выполнение трансцендентных операций; причем, чаще всего в научных исследованиях применяются микропроцессоры семейства х86.

3. Существующие методы численного решения (в частности, решения дифференциальных уравнений) не учитывают архитектурных особенностей современных микропроцессоров.

4. Используя условия гомоморфизма, можно трансформировать операции "сложение" и "вычитание" в операции типа

"умножение", "деление", -Jx, ех, lnx и др., т.е. операции, получившие наибольшее развитие в архитектуре математического сопроцессора.

5. Предложена методика, так называемых со - отображений, являющаяся частным случаем гомоморфизма. Она позволяет улучшить решения дифференциальных уравнений и их систем на микропроцессорной технике.

6. Проведенные исследования определили области реализации указанной методики для решения задач моделирования объектов, описываемых дифференциальными уравнениями. Установлены наиболее рациональные функции преобразования методов класса Рунге-Кутта. Показана целесообразность применения со - образов этих методов в современной микропроцессорной технике. Даны оценки погрешности предлагаемых численных методов и области их эффективной работы на микропроцессорах 486DX, Pentium и Кб.

7. Используя полученную методику, решены задачи:

- анализа методов математического моделирования и применения вычислительной техники при проведении научных исследований в производстве строительных материалов;

- создания методики эффективного преобразования математических методов с учетом тенденции развития современной микропроцессорной техники;

- исследования скорости вычислений в основных численных методах и их отображениях (на различных микропроцессорах семейства "х86" с использование математического сопроцессора);

- исследования области применения разработанной методики при моделировании ряда систем и объектов в ПСМ, описываемых дифференциальными уравнениями;

- разработки пакета программ, реализующего предложенную методику численного решения дифференциальных уравнений и их систем.

8. На основе методики со - отображений разработан пакет прикладных программ, позволяющий проводить эффективное численное моделирование комбинированным методом систем и процессов, описываемых дифференциальными уравнениями.

СПИСОК НАУЧНЫХ ТРУДОВ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рубцов К.А. Алгоритмизация ингредиентов во множестве алгебраических операций // Кибернетика., - 1989. - № 3, С. 111-112

п ч

2. Рубцов К.А. Ингредиент Я в Я // Изв. ВУЗов. Физика., -1989. -№3, С. 128

3. Рубцов К.А. Гипотетическое рефлексивное дополнение множества действительных чисел // РЖ "Математика. Математическая кибернетика". - 1990. - М> 3, С. 52

4. Рубцов К.А. Образ производной, полученный заменой операций // РЖ "Математика". Основания математики и математическая логика". - 1990.-№6, С. 5-6

5. Рубцов К.А. Дополнение множества действительных чисел и его применение в кибернетике // Инф. листок № 306-90, Белгород, Белгородский межотраслевой территориальный ЦНТИ, 1990

6. Рубцов К.А. Новые интегро-дифференциальные объекты // Инф. листок, № 307-90, Белгород, Белгородский межотраслевой территориальный ЦНТИ, 1990

7. Потапенко А.Н., Рубцов К.А., Кайков Д.М. Расчет полей электрофильтра с учетом поверхностей коронирующего и пылеоса-дительного электродов // Тезисы всесоюзной конференции "Физико-химические проблемы материаловедения и новые технологии", ч. 3 "Машины и комплексы для новых экологически чистых производств строительных материалов". - Белгород. -1991, С. 63

8. Бондаренко Ю.А., Федоренко М.А., Рубцов К.А., Обработка цапф ротационными резцами, установленными на специальном станке // Сб. трудов БТИСМ, ВНИЭСМ, М. - 1990, С. 7-10

9. Рубцов К.А. Дифференциальные объекты новой природы //РЖ "Математика. Математическая кибернетика". - 1992. - №4, С. 18

10. Потапенко А.Н., Рубцов К.А., Математическое моделирование электростатических полей при электрическом обеспыливании газов с учетом поверхности коронирующего электрода // Математическое моделирование в технологии строительных материалов. -Белгород. - 1995. С. 74-80 (Сб. тр. БТИСМ)

11. Рубцов К.А., Константинов И.С. Изыскание и разработка рефлексивного метода моделирования автоматических систем управления. // Тезисы международной конференции "Ресурсо- и энергосберегающие технологии строительных материалов, изделий и конструкций", ч. 4 "Механизация и автоматизация технологических комплексов". - Белгород. - 1995, С. 92

12. Рубцов К.А, Рубцов А.Н. Обучающая модульная система "DOCTRINE" // Там же, С. 105

13. Rubtsov К., Integro-differential objecte of a new nature // The Proceeding ICM 94. - Zurich, Section: 8, AMS-Classification number: 26 (short communications), p. 57

14. Рубцов K.A., Рубцов A.H., Литвишков B.A. Обучающая модульная система "DOCTRINE" // Тезисы Международной конференции "Новые компьютерные технологии в учебном процессе и научных исследованиях". - М. -1995. - С. 60-61

15. Рубцов К.А. Новые математические объекты, - Белгород: БелГТАСМ, Киев: НПП ИНФОРМАВТОСИМ. - 1996,251 с.

16. Рубцов К.А. Некоторые приложения математического моделирования в со - символике // Информационные технологии в строительстве. - Белгород. 1996. - С. 24-29 (Сб. научн. тр. БелГТАСМ)

17. Рубцов К.А., Константинов И.С. Инструментальные средства создания обучающих и контролирующих программ // Тезисы седьмой Международной научно-методической конференции "Проблемы многоуровневого высшего образования", ч. 2 "Технологии и средства поддержки обучения" - Н. Новгород, НГА-СУ -1998. - С. 22

18. Рубцов К.А., Рубцов А.Н., Строкова В.В. Тестово-обучающая система "DOCTRINE" и ее внедрение в учебный процесс. // Тезисы седьмой Международной научно-методической конференции "Проблемы многоуровневого высшего образования", ч. 5 "Содержание образовательных программ (ГИС-образование и кадастр, специальные дисциплины" - Н. Новгород, НГАСУ -1998. -

19. Рубцов К.А., Константинов И.С. Учет особенностей сопроцессора при численном решении дифференциальных уравнений. / Передовые технологии в промышленности и строительстве на пороге XXI века: Сб. докл. Междунар. конф.-шк.-сем. молод, учен, и асп.: В 3 ч.-Белгород: Изд-во БелГТАСМ, 1998.-е. 1010-1013.

С. 61-62

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ПРОИЗВОДСТВЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ

1.1 Специфика математического моделирования производственных объектов на примере промышленности строительных материалов

1.2 Анализ численных методов решения дифференциальных уравнений.

1.3 Анализ особенностей современной вычислительной техники при решении вычислительных задач.

1.4 Постановка задачи исследования

ГЛАВА 2. СОЗДАНИЕ МЕТОДИКИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ, УЧИТЫВАЮЩЕЙ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ СОВРЕМЕННОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

2.1 Выбор подходов к отображению математических объектов при решении задач моделирования.

2.2 Построение и описание преобразования математических объектов на основе гомоморфизма для функций получивших наибольшее развитие в микропроцессорах (¿у-отображение)

2.3 Формирование производных при у-отображении.

2.4 Методика оценки погрешности решения задач моделирования при со- отображении.

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПРИМЕНЕНИЯ со - ОТОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1 со- образ метода Эйлера численного решения дифференциальных уравнений.

3.2 ¿у-образ уточненного метода Эйлера численного решения дифференциальных уравнений

3.2.1 Оценка погрешности с использованием ¿у-методики.

3.2.1 Оценка погрешности с использованием ряда Тейлора.

3.3 со-образ метода Рунге-Кутта 4-го порядка численного решения дифференциальных уравнений.

3.4 Оценка эффективности со-образов численного решения дифференциальных уравнений

Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДИКИ ¿у - ОТОБРАЖЕНИЙ

4.1 Разработка прикладного пакета программ решения систем дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутта 4-го порядка с применением его ¿у - образа

4.2 Сравнительный анализ применения традиционных методов численного моделирования и их «-отображений на примере моделирование системы управления химическим реактором.

4.3 Исследование способов применения методики ¿у-отображений для математического моделирования электростатических полей при электрическом обеспыливании газов в ПСМ.

4.4 Использование «-отображений для построения моделей, имеющих аналитическое решение (на примере процесса восстановительной обточки крупногабаритной цапфы крепления шаровой мельницы).

Выводы к главе 4.

При проведении научных исследований, в основе которых лежит изучение свойств объектов и процессов с помощью математического моделирования, обычно приходится сталкиваться с проблемой ;

-л повышения точности результатов моделирования и сокращения вре- * мени исследования. Решение этой проблемы ведёт, как правило, к поиску новых подходов при реализации вычислительных процедур.

Настоящая работа посвящена решению актуальных вопросов повышения производительности компьютерного моделирования при проведении научных исследований в области производства строительных материалов за счет модификации и улучшения классических численных методов решения задач математического моделирования объектов и технических систем. Актуальность темы усиливается интенсивным внедрением современной компьютерной техники в сам процесс научных исследований и активным применением математических моделей с целью проведения численного эксперимента для ; изучения свойств и характеристик поведения объектов.

Выполненные исследования направлены на создание методики, названной га-отображением, являющейся частным случаем гомоморфизма. Большое внимание уделено исследованию практического использования полученных результатов для моделирования технических объектов в важнейшей области народного хозяйства - промышленности строительных материалов (ПСМ).

В последнее время в промышленности строительных материалов особое внимание уделяется вопросам рационального использования природных, энергетических и материальных ресурсов. Естественно достичь наиболее эффективных результатов в этом направлении можно путём предварительного исследования, исполь- ^ зуя основные и вспомогательные технологические производства пе- ; 6 аботки сырья, химические, тепломассообменные процессы, эко-тгаеские процессы, автоматизацию и механизацию технологиче-IX процессов на математических моделях.

Таким образом, предлагаемая работа является актуальной, так с направлена на улучшение известных вычислительных процедур, сращение времени эксплуатации вычислителя и повышение точно-I численного моделирования при проведении научных исследоваи и.

Целью диссертационной работы является повышение пронзительности компьютерного моделирования при проведений на-яых исследований за счет учета архитектурных особенностей вы-слительной техники.

Для достижения поставленной цели решались следующие зачи: анализ методов математического моделирования и применения вычислительной техники при проведении научных исследований в производстве строительных материалов; создание методики эффективного преобразования математических моделей с учетом тенденции развития современной микропроцессорной техники; исследование скорости вычислений в основных численных методах и их отображений (на различных микропроцессорах семейства "х86" с использование математического сопроцессора); исследование области применения разрабатываемой методики при моделировании систем и объектов в ПСМ, описываемых дифференциальными уравнениями; разработка пакета программ, реализующего предложенную методику численного решения дифференциальных уравнений и их систем. 7

Научная новизна:

- разработана и исследована методика преобразования математических моделей на основе гомоморфизма с учетом особенностей и тенденций развития архитектуры современной микропроцессорной техники;

- определена область применения методики преобразований в научных исследованиях при численном моделировании объектов ПСМ и дана оценка погрешностей;

- получены и исследованы модифицированные соотношения для численных методов решения дифференциальных уравнений (Эйлера, Рунге-Кутта), позволяющие рационально использовать математический сопроцессор семейства х86;

- предложен подход комбинированного применения классической и разработанной методик при численном моделировании на основе дифференциальных уравнений.

Научная и практическая значимость:

- реализация результатов исследования позволяет повысить производительность компьютерного моделирования при проведении научных исследований в производстве строительных материалов с учетом тенденции развития современной микропроцессорной техники;

- сокращается время, затрачиваемое современными микроЭВМ на проведение вычислительного эксперимента;

- разработан пакет прикладных программ решения систем дифференциальных уравнений комбинированным методом, состоящим из стандартного метода Рунге-Кутта 4-го порядка и его образа.

На защиту выносятся следующие положения:

• Методика преобразования математических методов на основе гомоморфизма и ее приложение в практике математического моделирования. 8

• Оценка эффективности применения численных методов, полученных с помощью указанной методики, на вычислительной технике с математическим сопроцессором семейства х86.

• Обоснование целесообразности использования полученных теоретических результатов для решения инженерных и технических задач определенных классов.

• Пакет прикладных программ, предназначенный для численного моделирования задач производства строительных материалов.

• Результаты применения методики при моделировании ряда инженерных задач в области ПСМ.

Внедрение результатов работы: разработанная методика гомоморфных отображений численных методов внедрена (в виде пакета программ "Doctrine") в учебный процесс (по курсам "Информатика", "Инженерная геология" и "Строительные материалы" для студентов специальности 29.06 "Производство строительных изделий и конструкций") и рекомендована для внедрения в научно-исследовательскую практику.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Физико-химические проблемы материаловедения и новые технологии" в г. Белгороде -май 1991, на Семинаре в Институте математики в г. Страсбурге (Univ. L. Pasteur, France) - ноябрь 1993, на Международном Конгрессе математиков ICM 94 в г. Цюрихе (Switzerland) - август 1994, на Международной конференции "Ресурсо- и энергосберегающие технологии строительных материалов, изделий и конструкций" в г. Белгороде - сентябрь 1995, на Международной конференции "Новые компьютерные технологии в учебном процессе и научных исследованиях" в г. Москве - декабрь 1995, на седьмой Международной научно-методической конференции "Проблемы многоуров9 невого высшего образования" в Н. Новгород - апрель 1998; на Международной научно-практической конференции "Передовые технологии в промышленности и строительстве на пороге XXI века" в г. Белгороде - 1998.

Достоверность результатов работы подтверждается степенью апробации ее теоретических аспектов, наличием разработанных программ и расчетов, проведенных на современной микропроцессорной вычислительной технике (486DX, Pentium, Кб).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы и приложений. Работа изложена на 189 страницах машинописного текста, включающего 10 таблиц, 13 рисунков, списка литературы из 157 наименований, 5 приложений.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

В результате проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. В результате анализа математических моделей технологических процессов ПСМ отмечено, что доминирующую роль при формировании этих моделей играет аппарат дифференциальных уравнений, решение которых связано с численными процедурами. Поиск новых математических подходов к решению задач ориентирован, как правило, на повышение точности результатов моделирования и сокращение времени моделирования на вычислительной технике, с целью сокращения сроков научных исследований.

2. Анализ развития современных средств вычислительной техники показал, что математический сопроцессор является наиболее развивающейся частью микропроцессора и способен значительно ускорить выполнение трансцендентных операций; причем чаще всего в научных исследованиях применяются микропроцессоры семейства х86.

3. Существующие методы численного решения (в частности, решения дифференциальных уравнений) не учитывают архитектурных особенностей современных микропроцессоров.

4. Имеется возможность трансформации с помощью гомоморфизма операций "сложение" и "вычитание" в операции типа умножение", "деление", ^, ех, 1пх и др., т.е. операции, получившие наибольшее развитие в архитектуре математического сопроцессора.

5. Предложена методика, так называемых ©-отображений, являющаяся частным случаем гомоморфизма. Она позволяет улучшить решения дифференциальных уравнений и их систем на микропроцессорной технике.

139

6. Проведенные исследования определили области реализации указанной методики для решения задач моделирования объектов, описываемых дифференциальными уравнениями. Установлены наиболее рациональные функции преобразования методов класса Рунге-Кутта. Показана целесообразность применения ©-образов этих методов в современной микропроцессорной технике. Даны оценки погрешности предлагаемых численных методов и области их эффективной работы на микропроцессорах 486DX, Pentium и Кб.

7. Используя полученную методику решены задачи:

- анализа методов математического моделирования и применения вычислительной техники при проведении научных исследований в производстве строительных материалов;

- создания методики эффективного преобразования математических методов с учетом тенденции развития современной микропроцессорной техники;

- исследования скорости вычислений в основных численных методах и их отображения (на различных микропроцессорах семейства "х86" с использование математического сопроцессора);

- исследования области применения разработанной методики при моделировании ряда систем и объектов в ПСМ, описываемых дифференциальными уравнениями;

- разработки пакета программ, реализующего предложенную методику численного решения дифференциальных уравнений и их систем.

8. На основе методики ©-отображений разработан пакет прикладных программ, позволяющий проводить эффективное численное моделирование комбинированным методом систем и процессов, описываемых дифференциальными уравнениями.

140

1. Математическая энциклопедия, т. 1-5, М.: Сов. энциклопедия., 1977-1985.

2. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике, М.: Наука, 1977, с. 831.

3. Математическое моделирование в технологии строительных материалов: Сб. научн. тр. / БТИСМ. Белгород, 1992. - 147 с.

4. ШапталаВ.Г., Окунева Г.Л., Численное моделирование воздухообмена производственных помещений на основе уравнений Новье-Стокса // С. 49-54.

5. Брусенцев А.Г., Подгорный H.H., Вычисление концентрации вредности с учётом осаждения // Физико-математические методы в строительном материаловедении. М., 1986. - С. 129-131 (Сб. научн. тр. / МИСИ, БТИСМ).

6. Позин Г.М., ГримитлинA.M., Эффективность организации воздухообмена при сосредоточенной подаче воздуха // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1977. - № 7, - С. 133-139.

7. Шаптала В.Г., Направленное движение частиц мелкодисперсного аэрозоля в трубчатом электрофильтре // Физико-химия строительных материалов. М., 1983, С. 146-157 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

8. Нейков О.Д., Логачёв H.H., Аспирация и обеспыливание воздуха при производстве порошков. М.: Металлургия, 1981.

9. ШапталаВ.ГК расчету эффективности трубчатых электрофильтров // Физико-химия строительных материалов. М., 1983, с. 167-177 (Сб. научн. тр. /МИСИ, БТИСМ).

10. ФроловЕ.В., Шургалъский Э.Ф., ШитиковЕ.С., Поля скоростей газа в аппарате со встречными закрученными потоками. Промышленная и санитарная очистка газов, 1983, № 6, с. 10-11.

11. Селиванов Г.Г., Эффективность улавливания слипающейся пыли в центробежных аппаратах // Физико-математические методы исследования свойств строительных материалов и процессов их производства. М., 1984, С. 119-127 (Сб. научн. тр. / МИСИ, БТИСМ).

12. Шаптала В.Г., Лихошерстов П.H., Динамика межфазного взаимодействия при движении гравитационных потоков сыпучих материалов // Физико-математические методы в строительном материаловедении. М., 1986, - С. 132-136 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

13. Минко В.А., Обеспыливание технологических процессов производства строительных материалов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1981.

14. Минко В.А., Калягин М.Ф., Шостко В.В., Моделирование на ЭВМ движения частиц в трубопроводах систем ЦПУ // Физико-математические методы в строительном материаловедении. М., 1986, - С. 204-207 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

15. Минко В.А., Жаберов C.B., Модель процесса сепарации частиц в аппаратах циклонного типа // Физико-математические методы в строительном материаловедении. М., 1986, - С. 137-139 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).142

16. Ушаков С.Г., МуромкинЮН., Мизонов В.Е., Об ударе частиц зернистого материала о твердую поверхность / ИФЖ. 1978. -Т. 34. № 5. - С. 839-842.

17. Баженов В.Н., Сапелина Н.В., Трищенко С.А., Оптимизация места расположения блока очистки системы ЦПУ // Физико-математические методы в строительном материаловедении. М., 1986, - С. 150-154 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

18. БорзенковA.B., Автоматизация процессов проектирования систем аспирации при переработке сыпучих материалов // Физико-математические методы в строительном материаловедении. М., 1986, - С. 155-159 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

19. Рубцов А.Н., Миронцов С.Г., Калягин М.Ф., Математическое описание колебательного движения полидисперсной пыли // Физико-математические методы в строительном материаловедении. -М., 1986, С. 140-145 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

20. Медников Е.П., Акустическая коагуляция и осаждение аэрозолей. М. : Изд-во АН СССР, 1963.

21. Фукс H.A., Успехи механики аэрозолей. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

22. Ядренко М.И., Спектральная теория случайных полей. Киев: Наукова Думка, 1980.

23. Тихонов А.Н., Самарский A.A., Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

24. Сиденко В.М., Грушко И.М., Основы научных исследований. Харьков, 1977. 197 с.

25. Вознесенский В.А., Статистические методы планирования эксперимента в технико-экономических исследованиях. М.: Финансы и статистика, 1981. - 262 с.

26. Вентцелъ Е.С., Овчаров Л.А., Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983. - 416 с.

27. Воробьев Н.Д., Богданов B.C., Ельцов М.Ю., Моделирование взаимодействия мелющего тела с футеровкой трубной мельницы // Физико-математические в строительном материаловедении. -М., 1986. С. 168-173 (Сб. научн. тр. / МИСИ, БТИСМ).

28. Спиридонова JI.H., Богданов B.C., К вопросу о режиме работы дробящей среды шаровой мельницы // Физико-математические в143строительном материаловедении. М., 1986. - С. 180-184 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

29. Миронцов С.Г., Рубцов А.Н., Математическое описание движения ударного механизма молотковой дробилки // Физико-математические в строительном материаловедении. М., 1986. -С. 185-189 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

30. Темченко М.Е., Об устойчивости одного из положений динамического равновесия одной механической системы // Докл. АН СССР.- 1957. Т. 117, № 1.

31. Возлинский В.И., О бифуркации стационарных движений консервативных систем с двумя циклическими координатами // ПММ. 1967. - Вып. 5.

32. Ельцов М.Ю., Воробьев Н.Д., Моделирование взаимодействия мелющих тел в шаровых мельницах // Физико-математические в строительном материаловедении. М., 1986. - С. 174 - 179 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

33. Пелипенко H.A., Технология безрамной обработки бандажей и роликов вращающихся печей // Механизация и автоматизация технологических процессов в промышленности строительных материалов., М., 1982, С. 199-206 (Сб. научн. тр. /МИСИ, БТИСМ).

34. Способы и средства механизации ремонтных и вспомогательных работ на предприятиях стройматериалов., М., 1985 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

35. Рубцов А.Н., Погонин A.A., Пелипенко H.A., Математическое моделирование в машиностроении, М., 1987 (Уч. пособ./МИСИ, БТИСМ), 105 с.

36. Нейман Дж., Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М.: Наука, 1970.

37. Котельников А.П., СинюкВ.Г., Принцип формирования макро-системных моделей межрегионального продукта обмена // Физико-математические методы в строительном материаловедении. М., 1986. С. 208-212 (Сб. научн. тр. / МИСИ, БТИСМ).

38. Канторович JI.B., Экономический расчет наилучшего использования ресурсов, М., 1959.

39. Никайдо X., Выпуклые структуры и математическая экономика, пер. с англ., М., 1972.

40. Scarf Н., The Computation of Economic Equailibria, L., 1973.

41. Smale S., "J. math. Economics", 1976, № 2, p. 107-120.

42. Колчунов В.И., Половнев В.И., Осовских Е.В., Расчёт жесткост-ных параметров железобетонных призматических складок // Физико-математические методы в строительном материаловедении. М., 1986. С. 51-59 (Сб. научн. тр./МИСИ, БТИСМ).

43. Карпенко Н.И., Теория деформирования железобетона с трещинами. М.: Стройиздат, 1976.

44. Колчунов В.И., Применение вариационного метода перемещений к расчету усиленных железобетонных балок // Математическое моделирование в технологии строительных материалов. Белгород, 1992. С. 105-112 (Сб. научн. тр. БТИСМ).

45. Хечумов А.Р., Филатов Ю.Б., Устойчивость трёхслойных пластин переменной толщины с лёгким заполнителем // Физико145математические методы в строительном материаловедении. М., Изд. МИСИ, БТИСМ, 1986. - С. 107-110.

46. Волъмир A.C., Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. - 984 с.

47. Бублик Б.Н. Численные решения динамических задач теории пластин и оболочек. К.: Наукова думка, 1976. - 222 с.

48. Гостев В.И., Системы управления с цифровыми регуляторами: Справочник. К.: Тэхника, 1990. - 280 с.

49. Вальков В.М., Микроэлектронные управляющие вычислительные комплексы: Системное проектирование и конструирование. Л.: Машиностроение, 1990. - 224 с.

50. Шамриков Б.М., Основы теории цифровых систем управления. -М.: Машиностроение, 1985. 296 с.

51. Бесекерский В.А., Изранцев В.В., Системы автоматического управления с микро-ЭВМ. -М.: Наука, 1987. 320 с.

52. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы. -М.: Наука, 1987.

53. Ортега Дж., Кул У., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1986.

54. Хемминг Р.В., Численные методы для научных работников и инженеров. -М.: Мир, 1977.

55. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф., Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990.-336 с.

56. Кльин В.К. Кузнецов Ю.К, Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986.146

57. Бабенко КН., Основы численного анализа. -М.: Наука, 1986.

58. Hale J.K., Functional differential equations, N.Y, 1971.

59. Крылов В.И, Бобков В.В., Монастырный П.И., Вычислительные методы. Т. 2. М.: Наука, 1977.

60. Shampine L.F., Gordon М.К., Computer solution of ordinaiy differential equations. San-Francisco: W. H. Freeman, 1975.

61. Самарский А.А., Введение в численные методы. M.: Наука, 1982.

62. ШтеттерХ., Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978.

63. Ракитский Ю.В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г., Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

64. Арушанян О. Б., Залеткин С.Ф., Об использовании Библиотеки численного анализа НИВЦ МГУ для .решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Вопросы конструирования библиотек программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

65. Бабушка И, Витасек Э., Прагер М., Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979.

66. Залеткин С. Ф., Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений многошаговыми методами // Конструирование библиотек программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.

67. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976.

68. Бронштейн КН., Семендяев К.А., Справочник по математике, М.: Наука, Лейципг "Тойбнер", 1981, 704.

69. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П., Вводные лекции по прикладной математике, М.: Наука, 1984, с. 190.

70. МарчукГ.Н., Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980, с. 390.

71. Кобельков Г.М., Численные методы.-М.: Наука, 1987.-600 с.

72. Arino О., Ben M'BarekA. , Periodic solutions of a system of differential equations of first order with discontinuous coefficients // Facta universitatis (series: mathematics and informatics), №5, Nis, 1990. -C. 57-66.

73. Мышкис А.Д., Лекции по высшей математике, M., 1967. 640 с.

74. Федоренко Б.З., Козин А.В., Численное моделирование плоских течений идеального и вязкого газа // Физико-математические ме147тоды в строительном материаловедении. М., Изд. МИСИ, БТИСМ, 1986.-с. 115-121.

75. МячевА.А., Степанов В.И., Персональные ЭВМ и микроЭВМ. Основы организации: Справочник/ Под ред. A.A. Мячева. М.: Радио и связь, 1991. - 320 с.

76. Черемных C.B., Гиглавый A.B., Поляк Ю.Е., От микропроцессоров к персональным ЭВМ. М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.

77. Казаринов Ю.М., Номоконов В.Н., Подклетнов Г.С., Филиппов Ф.В., Микропроцессорный комплект К1810: Структура, программирование, применение: Справочная книга. М.: Высш. Шк., 1990.-269 с.

78. Бродин В.Б., Шагурин ИМ., Микропроцессор i486. Архитектура, программирование, интерфейс. -М.: "ДИАЛОГ-МИФИ", 1993. -240 с.

79. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Проблемы гидродинамики и их математические модели, М.: Наука, 1973, с. 416.

80. Головина Л.И., Линейная алгебра и некоторые ее приложения. -М.: Наука, 1979.-392 с.

81. Брычков Ю.А., Прудников А.П., Интегральные преобразования обобщенных функций, М.: Наука, 1977.

82. Рубцов К.А., Новые математические объекты, Белгород: Бел-ГТАСМ, Киев: НПП ИНФОРМАВТОСИМ. - 1996, 251.

83. Рубцов К.А., Некоторые приложения математического моделирования в ¿у-символике // Информационные технологии в строительстве. Белгород. 1996. - С. 24-29 (Сб. научн. тр. Бел-ГТАСМ).

84. Рубцов К.А., Образ производной, полученный заменой операций // РЖ "Математика". Основания математики и математическая логика". 1990. - № 6, С. 5-6.

85. Рубцов К.А., Дифференциальные объекты новой природы // РЖ "Математика. Математическая кибернетика". 1992. - № 4, С. 18.

86. Рубцов К.А., Алгоритмизация ингредиентов во множестве алгебраических операций // Кибернетика., 1989. - № 3, С. 111-112.

87. Рубцов К.А. Ингредиент R0 в R3 //Изв. ВУЗов. Физика., 1989. -№3,С. 128.

88. Бондаренко Ю.А., Федоренко М.А., Рубцов К.А., Обработка цапф ротационными резцами, установленными на специальном станке // Сб. трудов БТИСМ, ВНИЭСМ, М. 1990, С. 7-10.

89. Бондаренко Ю.А., Автоматизация процесса выбора углов установки и геометрических параметров ротационного резца при обработке цапф шаровых трубных мельниц // Сб. трудов БТИСМ, ВНИЭСМ, М., 1990. С. 1-5.

90. Бондаренко Ю.А., Федоренко М.А., Исследование шероховатости поверхности резания при обработке цапф шаровых трубных мельниц // Сб. трудов БТИСМ, ВНИЭСМ, М., 1990. С. 5-7.

91. Рубцов А.Н., Погонин A.A., Пелипенко H.A., Математическое моделирование в машиностроении. М.: Изд. МИСИ, БТИСМ. -1987, 127 с.

92. Кубо Р., Термодинамика., М., 1970.

93. Дьярмати И., Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы., М., 1974.

94. Базаров И.П., Термодинамика, 3 изд., М., 1983.

95. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, т. 2, М.-Л.: ОГИЗ, 1945, с. 620.

96. Гелъфанд И.М., Фомин B.C., Вариационное исчисление, М., 1961.

97. Батунер JI.M., Позин М.Е., Математические методы в химической технике, Л.: Химия, 1968.

98. Ахиезер H.H., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955.

99. Васильев Ф.П., Лекции по методам решения экстремальных задач, М., 1974.

100. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М., Методы оптимизации, М.: Наука, 1978.

101. Курант Ф., Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, пер. с англ., М., 1953. 483 с.149

102. Карташев А.П., Рождественский Б.Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. -М.: Наука, 1980. -288 с.

103. Банит Ф.Г., Малыгин А.Д., Пылеулавливание и очистка газов в промышленности строительных материалов. М.: Стройиздат, 1979.-324 с.

104. Бинс К, Лауренсон П., Анализ и расчет электрического и магнитного полей / Пер. с англ. М.: Энергия, 1970. - 256 с.

105. Рубцов А.Н., Олесов Ю.Г., Антонова М.М., Гидрирование титановых материалов, К.: Наукова Думка, 1971.

106. Рубцов К.А., Рубцов А.Н., Литвишков В.А., Обучающая модульная система "DOCTRINE" // Тезисы Международной конференции "Новые компьютерные технологии в учебном процессе и научных исследованиях". М. - 1995. - С. 60-61.

107. КачеровскийВ.М., Алехина Е.К., Проектирование и расчет экстремальных систем. Харьков: ХАИ, 1980. - 60 с.

108. J.M. Borwein and Р.В. Borwein., The arithmetic-geometric mean and fast computation of elementary functions. SIAM Review, Vol. 26, 1984, pp. 351-366.

109. American National Standards Institute/Institute of Electrical and Electronic Engineers: IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. ANSI/IEEE Std 754-1985, New York. 1985.

110. V.I. Arnold, Mathematical Methods for Classical Mechanics. -Springer-Verlag, 1978.

111. IN. Baker, P.J. Rippon, Convergence of infinite exponentials, -Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI Math. 8, 1983, pp. 179-186.150

112. I.N. Baker, P.J. Rippon, A note on complex iteration, Amer. Math. Monthly, 1985, pp. 501-504.

113. R.E. Bellman, K.L. Cooke, Differential-Difference Equations. Academic Press, 1963.

114. C.W. Borchardt, Ueber eine der Interpolation entsprechende Darstellung der Eliminations-Resultante. J. reine angewandte Math, 1860, pp.111-121.

115. N.G. de Bruijn, Asymptotic Methods in Analysis, North-Holland, 1961.

116. C. Caratheodory, Theory of Functions of a Complex Variable, -Chelsea, 1954.

117. S.D. Conte, C. de Boor, Elementary Numerical Analysis, 3rd Ed. McGraw-Hill, 1980.

118. R.M. Corless, G.H. Gönnet, D.E.G. Hare, and DJ. Jeffrey. Lambert's W function in Maple. The Maple Technical Newsletter., 1993, pp. 12-22.

119. H.T. Davis, Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations, Dover, 1962.y *

120. G. Eisenstein, Entwicklung von a . J. reine angewandte Math, 1844, pp. 49-52.

121. L. Euler, De formulis exponentiaiibus replicatis. Leonhardi Euleri Opera Omnia. Ser. 1. Opera Mathematics, 1927 original date 1777., pp. 268-297.

122. F.N. Fritsch, R.E. Shafer, and W.P. Crowley, Algorithm 443: Solution of the transcendental equation co • e® x. - Comm. ACM, 1973, pp. 123-124.

123. K.O. Geddes, S.R. Czapor and G. Labahn, Algorithms for Computer Algebra. Kluwer Academic Publishers, 1992.

124. G.H. Gönnet, Handbook of Algorithms and Data Structures. Addison-Wesley, 1984.

125. N.D. Hayes, Roots of the transcendental equation associated with a, certain difference-differential equation. J. Lond. Math. Soc., 1950, pp. 226-232.

126. T.E. Hull, W.H. Enright, B.M. Fellen, andA.E. Sedgwick, Comparing numerical methods for ordinary differential equations. SIAM J. Numer. Anal., 1972, pp. 603-637.151

127. D.J. Jeffrey, R.M. Coriess, D.E.G. Hare, Unwinding the branches of the Lambert ^function. The Mathematical Scientist, 1999.

128. E.M. Lemeray, Sur les racines de l'équation x = ax., Nouvenes Annales de Mathem-atiques (3), 1896, pp. 548-556.

129. E.M. Lemeray, Sur les racines de l'équation x = ax. Racines imaginaires. Nouvelles Annales de Mathemiatiques (3), 1897, pp. 54-61.

130. E.M. Lemeray, Racines de quelques equations transcendantes. Integration d'une equation aux differences melees. Racines imaginaires. -Nouvelles Annales de Mathématiques (3), 1897, pp. 540-546.

131. R.E. O'Malley. Jr., Singular Perturbation Methods for Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences, 1991.

132. E.L. Reiss, A new asymptotic method for jump phenomena. SIAM J. Appl. Math., 1980, pp. 440-455.

133. E.G. Titchmarsh, Theory of Functions. 2nd ed., Oxford, 1939.

134. E.M. Wright, The linear difference-differential equation with constant coefficients. Proc. Royal Soc. Edinburgh, 1949, pp. 387-393.

135. E.M. Wright, A non-linear difference-differential equation. J. fur reine und angewandte Mathematik, 1955, pp. 66-87.

136. E.M. Wright, Solution of the equation z-ez =a. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1959, pp. 193-203.

137. J.M. Ash, The limit of {n}Ax. as x tends to zero. Mathematics Magazine 69, 1996, pp. 207-209.

138. Nick Bromer, Superexponentiation. Mathematics Magazine 60, 1987, pp. 169-173.

139. Barry W. Bruns on, The partial order of iterated exponentials. -Amer. Math. Monthly 93, 1986, pp. 779-786.

140. Astrid E. Golomb, Super-arithmetic. Journal of Undergraduate Mathematics 9(1), 1977, pp. 11-16.

141. Roger Voles, An exploration of hyperpower equations {n}Ax={n}Ay. The Mathematical Gazette 83 (497), July 1999, pp. 210-215152

142. Joel Spencer, Large numbers and unprovable theorems. Amer. Math. Monthly 90 (1983), 669-675.