автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Построение параллельных вычислительных алгоритмов высокого порядка точности для уравнений газовой динамики

МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.П.Огарева

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 519.68:519.8

Жалнин Руслан Викторович

ПОСТРОЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003456057

Саранск 2008 г.

003456057

Работа выполнена на кафедре прикладной математики математического факультета Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

Защита состоится «24» декабря 2008 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева по адресу: 430000, РМ, Саранск, Большевистская, 68, МордГУ, аудитория 225 (I).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МордГУ им. Н.П.Огарева.

профессор В. Ф. Тишкин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор И. Г. Лебо

кандидат физико-математических наук,

доцент П. Г. Черников

Ведущая организация - Обнинский государственный технический университет

атомной энергетики

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

Л. А. Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Математическое моделирование реальных газодинамических течений сводится к решению многомерных уравнений газовой динамики. В данной области ведущая роль отводится прямому численному моделированию (DNS - Direct Numeric Simulation) газодинамических течений.

При решении практических задач приходится сталкиваться с очень сложными газодинамическими течениями (в частности турбулентные течения) характеризующиеся нестационарностью, нелинейностью происходящих процессов, разнохарактерным и сложным механизмом взаимодействия, для моделирования которых необходимо использовать численные методы высокого порядка точности, чтобы получить максимально приближенные к реальным численные результаты.

Это подчеркивает необходимость построения алгоритмов высокого порядка точности для выполнения прямого численного моделирования с использованием высокопроизводительных вычислительных машин, что обуславливает актуальность выбранной тематики исследований.

Целью диссертации является разработка эффективного алгоритма высокого порядка точности для прямого численного моделирования турбулентных газодинамических течений на многопроцессорных вычислительных системах и численное моделирование развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова с использованием разработанных вычислительных алгоритмов.

В диссертации решены следующие задачи:

• построены новые существенно неосциллирующие разностные схемы высокого порядка точности для решения многомерной системы уравнений газовой динамики в Эйлеровых переменных;

• проведены тестовые расчеты для построенных схем на модельных задачах;

• разработан параллельный вычислительный алгоритм для построенных схем, создан программный комплекс на их основе;

• проведено прямое численное моделирование для одной задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова и сравнение результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными с использованием других схем.

л

Научная новизна работы заключается в следующем:

• в работе предложены новые существенно неосциллирующие схемы высокого порядка точности с масштабированием весовых коэффициентов;

• построен параллельный вычислительный алгоритм для моделирования газодинамических течений;

• разработан программный комплекс для прямого численного моделирования газодинамических течений на высокопроизводительных вычислительных системах;

• проведено прямое численное моделирование развитой турбулентной стадии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова с использованием разработанного программного комплекса на кластере, составленном из персональных ЭВМ;

Достоверность научных выводов и результатов подтверждается следующим:

• построенные вычислительные алгоритмы апробированы на тестовых задачах и показывают работоспособность для различных типов задач;

• полученные численные результаты хорошо согласуются с известными экспериментальными и расчетными данными;

• используемые математические модели базируются на фундаментальных законах сохранения массы, импульса и энергии.

Автор данной работы выносит на защиту:

• построенные существенно неосциллирующие разностные схемы высокого порядка точности для решения многомерной системы уравнений газовой динамики в Эйлеровых переменных;

• параллельный вычислительный алгоритм для построенных схем;

• разработанный программный комплекс для параллельных вычислений;

• результаты прямого численного моделирования развитой турбулентной стадии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова .

Апробация работы.

Результаты исследования докладывались и обсуждались на:

• семинарах Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского;

• XXXIV, XXXV Огаревские чтения в Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева (г. Саранск, 2005, 200G гг.);

• XIV, XV, XVI научных конференциях молодых ученых в Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева (г. Саранск, 2005, 2006, 2007 гг.);

• Второй Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 2005 г.);

• VII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 200G г.);

• на семинаре отдела N'4 Института математического моделирования РАН (г. Москва, 2007 г.).

• Третьей Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 2007 г.).

• VIII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 2008 г.);

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 12 работ, из них 1 (работа [10]) в издании из списка изданий, рекомендованных ВАК к публикации материалов диссертаций.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы (63 наименования). Работа изложена на 102 страницах, содержит 49 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы работы, формулируется цель и основные задачи исследования. Производится обзор методов численного решения уравнений газовой динамики и их тенденций развития в настоящее время. Приводится краткое описание структуры диссертации.

В первой главе диссертации представлено подробное описание разностной схемы для решения трехмерной системы уравнений газовой динамики. В п. 1.1 приводится математическая модель исследуемых процессов в виде дивергентных уравнений Эйлера:

ви , (и) , дрУЦи) , аиз>(с/) п

1н+ дх + ду + дг и консервативная квазимонотонная разностная схема, соответствующая этим уравнениям:

ли Я(1) - Я(1) Я(2) - Я(2) Я(3) - Я(3) а иЦк + ".4-1/2¡к -"<-1/2¡к + 1}+1/2к ",,-Ц2к + ПЦк~ 1/2 = д ^

И-у

В п. 1.2 описываются способ вычисления дискретных потоков на гранях между ячейками по схеме Лакса-Фридрихса:

=\ [("(*+1/2)+- о{и* 1/2 - £/Г+,/2)! . (з)

где т = 1,2,3,

а = тах(тах(Л>([^_1), АДУ,)), (4)

дР

\Ли) - собственные значения якобиана -гтт .

ди

В п. 1.3.1 подробно описывается алгоритм ЕГЮ1 реконструкции величин на гранях между ячейками. В п. 1.3.2 приводится описание метода \VEN02 и предлагается его модификация, заключающаяся в масштабировании весовых коэффициентов в ячейках, подозрительных на экстремум, ¡-я ячейка считается подозрительной на экстремум, если выполнено неравенство

(г>;+1 - - 1>(_!) < 0. (5)

При выполнении этого условия весовые коэффициенты в \VENO-cxeMe масштабируются с помощью функции

9ЛШ) = 1 + Ц1-2*) 6 (0,1) (6)

'A. Harten, B. Engquist, S. Osher and S. Chakravarthy, Uniformly high order essentialy non-oscillatory schemes. Ill, Journal of computational physics, 71, p. 231 - 303 (1987)

'Jiang G.-S., Shu C.-W. Efficient implementation of weighted ENO schemes, Journal of computational physics, 126 (1996). P. 202-228

а)

6)

Рис. 1

в)

Задача Сода (метод Рунге-Кутта 2-го порядка, £ = 0.2): скорость.

и полагается

а'г = дг(ит) ,

(8)

(7)

и'' = —5-*-1- .

г а0 + + а2

В п. 1.4 представлены ТУБ-схемы Рунге-Кутта для интегрирования по времени 2-го порядка:

£/* = £/" + дг ■ цип),

Цп+1 = 1цп + 1ц. + . цц.^

и 3-го порядка:

¡7* = ип + Д£ ■ Цип),

и» = \ип + \и' + \Ы-Ь{и*), (9)

ЦП+1 = 1ЦП + р.. + 2 Д4 . ¿(¡7**).

Л. 1.5 содержит описание метода вычисления величины показателя адиабаты в зоне перемешивания двух газов с различными показателями адиабаты. Показано, что

С + ц(1-С)

7 = '

С

71 '

, А»(1 - С) Т+ 72-1

+ 1,

(10)

Суо["12 ~ 1)

где ¡1 — ^ ^—ц - отношение молекулярных масс двух газов.

Построенные вычислительные алгоритмы были протестированы на модельных задачах. В п. 1.6 приведены результаты расчетов для одномерной задачи о распаде произвольного разрыва. Данная задача решена с начальными данными Сода и с начальными данными Лакса, интегрирование по времени проведено двумя способами - методами Рунге-Кутта 2-го и 3-го порядков (рис. 1-4).

Вторая глава посвящена описанию параллельного алгоритма, реализующего построенные схемы, и параллельного программного комплекса СБ\¥ЕМ0РА11_ЗВ для моделирования газодинамических течений на высокопроизводительной параллельной

б) Рис. 2

Задача Сода (метод Рунге-Кутта 3-го порядка, 4 = 0.2): скорость.

а)

б)

Рис. 3

Задача Лакса (метод Рунге-Кутта 2-го порядка, ( = 0.13): скорость.

«? 6) 4

Рис. 4

Задача Лакса (метод Рунге-Кутта 3-го порядка, £ = 0.13): скорость.

вычислительной технике. В п. 2.1 подробно описывается схема распараллеливания последовательного алгоритма, основанная на геометрическом распараллеливании. Подробно описывается декомпозиция расчетной области, анализируются возможное способы организации операций ввода/вывода. Дается обзор известных методов оценки эффективности распараллеливания. Делается анализ эффективности декомпозиции расчетной области.

Общий алгоритм работы программного комплекса GDWENOPAR_3D приводится в п. 2.2.1, приводится общая блок-схема работы программы (рис. 5), описывается структура программного комплекса, дается краткое описание модулей, входящих в состав пакета.

П. 2.2.2 посвящен описанию подпрограммы инициализации StartUp. Описываются действия программного комплекса направленные на выполнение подготовительных операций (инициализация начальных данных, восстановление результатов из аварийных копий при запуске после аварийного прерывания расчетов) перед началом работы основного вычислительного блока.

В п. 2.2.3 приводится описание подпрограммы, реализующей один вычислительный шаг по времени.

Описание механизмов ввода/вывода (подпрограмма SaveData) приводится в п. 2.2.4- Здесь представлено описание механизмов, обеспечивающих возобновление расчетов при аварийном прекращении или плановой приостановке работы программного комплекса. Приводится структура файла _start.fi!, предназначенного для хранения информации о состоянии вычислительного процесса. Файл _start.fil состоит из одной строки, которая имеет следующий формат:

NomStart NST NSTMAX ION IONTM TOTIME TI

Здесь

NomStart - флаг начала/продолжения вычислений (0 - новый расчет, 1 -продолжение вычислений);

NST - номер шага, на котором было выполнено последнее сохранение данных;

NSTMAX - число вычислительных шагов;

ION - число шагов, через которые необходимо выполнять сохранение результатов вычислений;

IONTM - число шагов, через которые необходимо выполнять сохранение данных для возобновления вычислений при аварийном прерывании;

Рис. 5

Блок-схема программного комплекса

А •—В—■

С D

зи

Рис. 6

Схема межпроцессорного обмена.

TOTIME - время, до которого выполнены расчеты; TI - шаг по времени.

Подпрограмма SaveData предназначена для выполнения двух задач:

1. сохранение данных для аварийного возобновления расчетов;

2. сохранение промежуточных результатов вычислений.

В п. 2.2.5 описывается схема межпроцессорных обменов. Приводится описание используемых средств параллельной оболочки MPI для организации обменов. На рис. G схематически, на примере двумерной декомпозиции, показано, как осуществляется обмен между вычислительными узлами. В разработанном программном комплексе использованы парные обмены с блокировкой. Это вызвано тем, что в предлагаемом параллельном алгоритме в обменах участвуют только попарно два процессора, а синхронизация необходима для того, чтобы к моменту обмена все вычислительные узлы достигли до одной и той же точки алгоритма.

Операции межпроцессорного обмена выполняются только во время выполнения основных вычислений и при инициализации начальных данных. Остальные предусмотренные действия программного комплекса (интерпретация и визуализация результатов вычислений, перераспределение решетки процессоров) выполняются последовательно на одном процессоре.

П. 2.2.6 посвящен описанию модуля «склеивания» и декомпозиции расчетной области. Изначально предполагается, что данный модуль будет запускаться на

процессоре, отвечающем за ввод/вывод данных. Поэтому данный модуль не скомпонован с библиотекой MPI и не поддерживает операции межпроцессорного обмена. Если модуль запущен с другого узла, то его работа осуществляется посредством служб сетевого доступа к файлам, предоставляемыми используемой операционной системой.

Модули интерпретации и визуализации результатов расчетов описывается в п. 2.2.7. Под интерпретацией данных понимается вычисление на основе результатов расчетов (вычисленных значениях газодинамических параметров, таких как плотность, давление, компоненты скорости, массовые концентрации) значений дополнительных величин, характеризующих исследуемое течение газа или жидкости.

Подпрограмма интерпретации результатов позволяет вычислить такие величины, как пульсации компонент скорости, напряжения Рейнольдса в заданных местах исследуемой области.

Модуль визуализации был разработан в использованием библиотеки DISLIN3. Это свободно распространяемая библиотека подпрограмм, разработанная для различных языков программирования. Она является бесплатной для некоммерческого использования и хорошо интегрируется в программы, написанные на языке FORTRAN. DISLIN поддерживает как двумерную, так и трехмерную графику. Использование библиотеки сводится к вызову определенных подпрограмм, которые осуществляют графическое отображение передаваемых им данных.

В данном модуле реализованы 3 типа подпрограмм:

1. для визуализации одномерных результатов;

2. для визуализации двумерных результатов;

3. для визуализации трехмерных результатов.

В п. 2.3 представлены результаты тестирования работы программного комплекса. Полученные результаты приведены в таблице 1.

В третьей главе представлены постановка задачи и результаты прямого численного моделирования развития неустойчивости Рихтмайера-Мещкова.

Постановка задачи описывается вн. 3.1. Для расчетов была принята следующая физическая постановка задачи4, соответствующая начальной температуре 291 К и давлению Ю-4 ГПа = 1 бар в камере низкого давления. Именно, за ударной волной

3www.dislin.de

4Poggi F., Thorembey M.-H., Rodrigues G. Velocity measurements in turbulent gaseous mixtures induced by Richtmyer-Meshkov instability // Phisics of Fluids. 1998. Vol. 10, No 11. P. 2698-2700.

Р* Р.г Рх Р ТР SP Sp/P Ti/P \ТР - Г,/Я|

1 1 1 1 72.54 1 1 72.54 0.00

1 1 2 2 36.64 1.9801 0.99 36.27 0.37

1 1 3 3 22.08 3.285 1.095 24.18 2.10

1 1 4 4 16.47 4.4047 1.1012 18.135 1.67

1 1 7 7 9.90 7.3265 1.0466 10.363 0.46

1 1 8 8 8.61 8.4227 1.0528 9.0675 0.46

1 1 10 10 10.56 -6.8718 0.6872 7.254 3.30

1 8 1 8 18.33 3.9576 0.4947 9.0675 9.26

1 1 8 8 13.92 5.2117 0.6515 9.0675 4.85

1 2 5 10 13.18 5.505 0.5505 7.254 5.92

1 2 4 8 9.68 7.4961 0.937 9.0675 0.61

2 2 2 8 10.06 7.2112 0.9014 9.0675 0.99

Таблица 1: Анализ эффективности распараллеливания

в элегазе давление 2,152 бар, плотность 1,209 - Ю-2 г/см3, скорость ударной волны 195,2 м/с, скорость течения за ударной волной 97,76 м/с, начальные плотности элегаза и воздуха в камере низкого давления 6,037 • 10~3 и 1,198-Ю-3 г/см3 соответственно. Физические свойства элегаза и воздуха следующие: оба вещества являются невязкими, нетеплопроводными и идеальными газами с показателями адиабаты 7 = l,094(5Fe) и 7 = 1,4 (воздух), отношение молекулярных масс (SFe/воздух) принято равным 5,04.

В п. 3.2 описана постановка расчетной задачи. Было принято, что положение контактного разрыва соответствует значению продольной координаты 2 = 0, воздух низкого давления занимает первоначально промежуток 0 < z < 300 мм. Координаты датчиков имеют следующие значения: 1-й датчик - z = 51 мм, 2-й датчик - 2 = 125,5 мм, 3-й датчик - 2 = 161 мм, 4-й датчик - 2 = 169 мм, 5-й датчик - 2 = 178,5 мм. Начальные условия задаются следующим образом. В области zmin < 2 < zsw < 0 задано состояние элегаза за ударной волной с числом Маха 1,45, в области zsw < 2 < 0

- состояние покоящегося элегаза при атмосферном давлении, в области 0 < z < 300 мм

- состояние покоящегося воздуха при атмосферном давлении. Во всех дальнейших расчетах принято Zsw = —5 мм.

Сравнение результатов 3D расчетов с экспериментальными данными приводится в п. 3.3. Были выполнены расчеты с помощью программного комплекса GDWENOPAR_3D по следующим расчетным схемам:

• Расчет Р1 - расчет по схеме Рунге-Кутта 2-го порядка для области содержащей

Пульсации продольной компоненты скорости в месте расположения первого датчика LDA

(расчет Р1)

первый датчик.

• Расчет Р2 - расчет по схеме Рунге-Кутта 3-го порядка для области содержащей первый датчик.

• Расчет РЗ - расчет по схеме Рунге-Кутта 2-го порядка для всей области.

В п. 3.3.1 проведен анализ и сравнение результатов расчетов Р1 и Р2. На рисунках 7-8 показаны графики пульсаций продольной компоненты скорости вместе расположения первого датчика. Видно, что графики для расчетов по схемам Рунге-Кутта второго и третьего порядков совпадают (рис. 9). То есть можно сделать вывод, что для дальнейших расчетов на всей расчетной области достаточно вести расчеты только по схеме с интегрированием по времени со вторым порядком точности с выбранным шагом по времени (At = 1 • Ю-7 с).

В п. 3.3.2 проанализированы результаты расчета РЗ. Проведено сравнение с результатами расчетов по другим схемам и с результатами экспериментов.

На рисунке 10 представлены графики пульсаций продольной компоненты скорости для расчета РЗ.

На рисунке 11 показано изменение ширины ЗТП для расчета РЗ.

Значения пульсаций в местах расположения датчиков LDA, полученные в расчете РЗ, более близки к экспериментальным результатам, чем результаты расчетов, проведенных с использованием численного кода NUT (рис. 12).

Проведенное сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными дает основания утверждать, что предлагаемые вычислительные схемы позволяют получать достоверные результаты при моделировании сложных газодинамических течений.

Рис. 8

Пульсации продольной компоненты скорости в месте расположения псрпого датчика Г.БА

(расчет Р2)

Пульсации продольной компоненты скорости в месте расположения первого датчика ЬОА (1 - расчет Р1, 2 - расчет Р2)

О 183 366 549 732 915 1098 1281 1464 1647 1830

t

Рис. 10

Пульсации продольной компоненты скорости в местах расположения датчиков LDA

(расчет РЗ)

t

Рис. 11

Изменение ширины ЗТП (--расчет РЗ, + - эксперимент)

[-^Эксперимент -»-NUT -«-Данная работа (

Рис. 12

Максимумы пульсаций в местах расположения 3,4 и 5 -го датчиков LDA, нормированные относительно значений на 3-м датчике

|-*-Экспер>«иент — NUT -^-Даннаяработа"

Рис. 13

Максимумы пульсаций в местах расположения 4 и 5 -го датчиков ЬВА, нормированные относительно значений на 4-м датчике

В п. 3.4 представлены результаты анализа течения на основе визуализации расчетных данных с использованием модуля визуализации программного комплекса СО\¥ЕМОРА11_ЗВ. Приведены графики напряжений Рейнольдса в середине зоны турбулентного перемешивания (ЗТП), пульсации скоростей в ЗТП.

Представлены картины распределения плотности (рис. 14-16) и давления (рис. 1719) - изолинии в различных сечениях.

Получены трехмерные мгновенные картины течения - распределение поля скоростей в различных сечениях (рис. 20,21).

Также представлены картины распределения модуля завихренности в различных сечениях для расчета РЗ (рис. 22 - 24).

а) б) в)

Рис. 14

Изолинии плотности (сечение х = 0.02 м, расчет РЗ): а) Ь = 0.5 мс; б) £ = 1.1 мс; в) ( = 1.8 мс.

а) б) в)

Рис. 15

Изолинии плотности (сечение у = 0.02 м, расчет РЗ): а) « = 0.5 мс; б) « = 1.1 мс; в) « = 1.8 мс.

а) б) в)

Рис. 16

Изолинии плотности (сечение в середине ЗТП, расчет РЗ): ¿ = 0.5 мс, г = 0.064 м; б) « = 1.1 мс, г = 0.143 м; в) « = 1.8 мс, г = 0.183 м.

б) в) Рис. 17

Изолинии давления (сечение х — 0.02 м, расчет РЗ): а) I = 0.5 мс; б) < = 1.1 мс; в) Ь = 1.8 мс.

Я

Рис. 18

Изолинии давления (сечение у = 0.02 м, расчет РЗ): а) í = 0.5 мс; б) 4 = 1.1 мс; в) Ь = 1.8 мс.

Рис. 19

Изолинии давления (сечение в середине ЗТП, расчет РЗ): а) Ь = 0.5 мс, г = 0.064 м; б) I = 1.1 мс, г = 0.143 м; в) * = 1.8 мс, г = 0.183 м.

б) в) Рис. 20

Направления скорости (сечение у = 0.02 м, расчет РЗ): а) I = 0.5 мс; б) 4 = 1.1 мс; в) г = 1.8 мс.

а) б) в)

Рис. 21

Направления скорости (сечение в середине ЗТП, расчет РЗ): а) t = 0.5 мс, г = 0.064 м; б) г = 1.1 мс,г = 0.143 м; в) I = 1.8 мс,г = 0.183 м.

а) б) в)

Рис. 22

Модуль завихренности (сечение х = 0.02 м, расчет РЗ): а) 4 = 0.5 мс; б) < = 1.1 мс; в) t = 1.8 мс.

а) б) в)

Рис. 23

Изолинии давления (сечение у = 0.02 м, расчет РЗ): а) í = 0.5 мс; б) I = 1.1 мс; в) t = 1.8 мс.

а)

в)

б)

Рис. 24

Модуль завихренности (сечение в середине ЗТП, расчет РЗ): а) г = 0.5 мс, г = 0.066 м; б) < = 1.1 мс, г = 0.144 м; в) ( = 1.8 мс,г = 0.183 м.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построен класс квазимонотонных (существенно неосциллирующих) консервативных разностных схем высокого порядка точности (5-го порядка) с реконструкцией значений на гранях между ячейками, представляющей из себя модификацию хорошо зарекомендовавшей себя известной WENO схемы. Модификация заключается в особом способе вычисления весовых коэффициентов при построении интерполяционного полинома на шаблоне ячеек при реконструкции значений на гранях между ячейками, что позволяет избежать понижения порядка точности вблизи экстремальных точек. Построенная схема протестирована на модельной одномерной задаче Римана о распаде разрыва с начальными данными Сода и Лакса. Результаты расчетов хорошо согласуются с известными решениями данных задач.

2. Разработан параллельный программный комплекс GDWEN0PAR_3D для прямого численного моделирования газодинамических течений с использованием построенных разностных схем. Построен параллельный вычислительный алгоритм на основе технологии MPI, для выполнения расчетов по построенным разностным схемам, оптимизированный под вычисления на кластере, составленном из объединенных сетью Ethernet персональных ЭВМ. Рассмотрены различные способы оценки эффективности параллельного алгоритма. Проведен анализ эффективности алгоритма при различных способах декомпозиции расчетной области. Выполнен анализ объемов межпроцессорных обменов при различных способах декомпозиции.

3. Выполнено прямое численное моделирование развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова с использованием программного комплекса GDWEN0PAR_3D. Выполнено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными на основе значений пульсаций продольной компоненты скорости. Показано, что предлагаемый вычислительный алгоритм дает более приближенные к экспериментальным результаты по сравнению с вычислительными экспериментами других авторов. С помощью модуля визуализации программного комплекса GDWEN0PAR_3D получены мгновенные картины течения, картины распределения модуля завихренности, изолинии плотности и давления в различных сечениях расчетной области.

Основное содержание работы изложено в следующих публикациях:

1. Жалнин Р.В. Построение неосциллирующих алгоритмов (ENO-схем) для гиперболических уравнений, (http://svmo.mrsu.ru/lib/cmu05/zhalnin.pdf)

2. Жалнин Р. В. Построение ENO-схем для одномерного случая, Труды СВМО, 2005, т. 7, № 1, сс. 407 - 408

3. Жалнин Р. В., Численная реализация неосциллирующих вычислительных алгоритмов, Материалы научной конференции XXXIV Огаревкие чтения, Саранск: СВМО, 2005, сс. 35 - 38

4. Жалнин Р.В. Сравнение методов минимизации вариации интерполяционного полинома для WENO схем. Материалы XI научной конференции Мордовского государственного университета молодых ученых, аспирантов и студентов, Саранск: СВМО, 2006, сс. 16 - 18

5. Тишкин В. Ф., Жалнин Р. В. Одномерные неосциллирующие схемы на равномерной сетке с минимизацией вариации интерполяционного полинома в ячейках, содержащих точку локального экстремума, Труды СВМО, 2006, т. 8, № 1, сс. 115 - 121

6. Жалнин Р. В., О реализации параллельных вычислительных алгоритмов

. на персональных ЭВМ объединенных локальной сетью, Материалы научной

конференции XXXV Огаревкие чтения, Саранск: СВМО, 2006, сс. 20 - 25

7. Жалнин Р.В. О прямом численном моделировании развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова, Материалы XII научной конференции Мордовского государственного университета молодых ученых, аспирантов и студентов, Саранск: СВМО, 2007, сс. 17 - 19

8. Жалнин Р. В. О построении параллельного вычислительного алгоритма высокого порядка точности для гиперболических систем уравнений, Труды СВМО, 2007, т. 9, Л"» 1, сс. 145 - 153

9. Жалнин Р. В., К вопросу о численном моделировании развития неустойчивости Рихмайера-Мешкова, Материалы научной конференции XXXVI Огаревкие чтения, Саранск: СВМО, 2007, сс. 18-20

10. Жалнин Р.В., Змитренко Н.В., Ладонкина М.Е., Тишкин В.Ф., Численное моделирование развития неустойчивости Рихмайера-Мешкова с использованием схем высокого порядка точности // Мат. моделирование, 2007, том 19, №10, сс. 61-66

11. Жалнин Р.В., О построении кластера для численного решения многомерных задач газовой динамики, обзор существующих технологий, Материалы XIII научной конференции Мордовского государственного университета молодых ученых, аспирантов и студентов, Саранск: СВМО, 2008, сс. 15 - 16

12. Жалнин Р. В., О построении параллельного вычислительного алгоритма для прямого численного моделирования сложных газодинамических течений, Труды СВМО, 2008, т. 10, № 1, сс. 137 - 146

Подписано в печать 19.11.08. Объем 1,5 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1803. Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24

Введение

1 Алгоритм расчета газодинамических течений

1.1 Разностная схема.

1.2 Вычисление дискретных потоков.

1.3 Алгоритм реконструкции газодинамических параметров

1.3.1 ЕШ' алгоритм.

1.3.2 алгоритм.

1.4 Дискретизация по времени.

1.5 Алгоритм расчета для газов с различными показателями адиабаты

1.6 Решение тестовой одномерной задачи о распаде произвольного разрыва.

2 Программный комплекс СВЛУЕГ^ОРАНЗБ для параллельных вычислений

2.1 Параллельный вычислительный алгоритм.

2.2 Описание программного комплекса.

2.2.1 Общий алгоритм работы.

2.2.2 Подпрограмма инициализации StartUp

2.2.3 Подпрограмма реализации одного вычислительного шага.

2.2.4 Подпрограмма сохранения результатов расчетов Бауе-Data.

2.2.5 Подпрограммы реализации межпроцессорного обмена и граничных условий (ExchangeBoundCond, ВоипсЮопс!)

2.2.6 Модуль декомпозиции и «склеивания» расчетных подобластей.

2.2.7 Модули интерпретации и визуализации результатов расчетов.

2.3 Тестирование работы программного комплекса.

3 Прямое численное моделирование развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова

3.1 Постановка задачи.

3.2 Постановка расчетной задачи.

3.3 Сравнение результатов ЗБ расчетов с экспериментальными данными.

3.3.1 Расчеты Р1 и Р2.

3.3.2 Расчет РЗ.

3.4 Анализ течения на основе результатов ЗБ расчетов. Сравнение результатов.

Уравнения газовой динамики встречаются при решении задач во многих областях современной науки. Нелинейность уравнений газовой динамики выдвигает численные методы их решения с использованием ЭВМ на первый план по отношению к другим методам. И на сегодняшний день численные методы являются универсальным методом решения этих уравнений.

Математическое' моделирование реальных газодинамических течений сводится к решению многомерных уравнений газовой динамики [1, 2], что в еще большей мере усложняет теоретические исследования. Поэтому в данной области ведущая роль отводится прямому численному моделированию (DNS - Direct Numeric Simulation) газодинамических течений.

При решении практических задач приходится сталкиваться с очень сложными газодинамическими течениями (в частности турбулентные течения), характеризующимися нестационарностью, нелинейностью происходящих процессов, разнохарактерным и сложным механизмом взаимодействия, для моделирования которых необходимо использовать численные методы высокого порядка точности, чтобы получить максимально приближенные к реальным численные результаты. Однако, существующие на сегодняшний день методы численного решения уравнений газовой динамики, из-за сложности математических моделей и многомерности решаемых задач, очень требовательны к ресурсам вычислительной техники.

Все вышеизложенное подчеркивает необходимость построения алгоритмов высокого порядка точности для выполнения прямого численного моделирования с использованием высокопроизводительных вычислительных машин, что обуславливает актуальность выбранной тематики исследований.

Основными методами численного решения нелинейных уравнений газовой динамики являются разностные методы [3, 4]. Большинство используемых на сегодняшний день разностных схем для решения систем уравнений газовой динамики [5] конструируются так называемым методом конечных объемов (finite volume method). Суть этого метода в том, что область интегрирования разбивается на множество ячеек и интегралы, выражающие законы сохранения в ячейках, заменяются конечными суммами. При этом предполагается, что сеточные значения в ячейках есть интегральные средние соответствующей величины по объему и потоки на границах между ячейками (дискретные потоки) определяются тем или иным способом. От интегро-интерполяционного метода [3] данный метод отличается тем, что здесь для всех величин используется одна и та же разностная сетка.

Наиболее полное описание существующих на сегодняшний день методов можно найти в работах [5, б].

Множество существующих методов вычисления дискретных потоков основываются на идеях метода С. К. Годунова, предложенного в работе [7]. Здесь описываются разностные схемы для решения нестационарных задач, и предложен способ вычисления потоков на гранях между ячейками дискретной сетки как решений задачи о распаде произвольного разрыва. Решения задачи о распаде разрыва могут находятся или из линейных приближений - при дозвуковом течении, или итерационными методами - при сверхзвуковых течениях. Многие методы вычисления дискретных потоков такие, как методы Куранта-Изаксона-Риса [9], Лакса-Фридрихса [10], Ошера [13, 13], Роу [12] и Хартена-Лакса-Ван Лира [15], по сути являются упрощенными вариантами метода С. К. Годунова. В литературе эти методы носят название методов типа Годунова.

Но метод Годунова имеет только первый порядок точности. В работе [7] доказано, что схемы порядка выше первого не являются монотонными, что приводит к появлению нефизических осцилляций вблизи разрывов (в частности на сильных ударных волнах).

Но сложность решаемых задач требует высокой точности получаемых решений. И первой [5] работой, в которой был предложен метод получения схем с порядком точности большим первого является работа [16]. Здесь и в последующих работах описываются способы перехода от разностных схем высокого порядка аппроксимации к монотонным схемам первого порядка около особенностей решения. Среди таких работ можно выделить работы Ван Лира [17] - описываются «монотонизированные» схемы, Бориса и Бука [18, 19, 20] - описывается алгоритм расчета переноса с коррекцией потоков (РСТ-метод).

В работах Хартена [21, 22] был предложен метод, получивший название ТУБ-метод или метод невозрастания полной вариации решения. Вместо монотонности этот метод обеспечивает невозрастание полной вариации и более точно передает характер поведения разрывных решений. Суть данных методов сводится к использованию разнообразных «монотонизирующих» ограничителей потоков (Нт^егз) с переключателями, зависящими от свойств решений [23, 24].

Также широкое распространение получил метод реконструкции численных решений, сводящийся к замене определенной в ячейке сеточной величины кусочно-постоянной функцией, имеющей разрывы на границах между ячейками. Тогда для повышения точности необходимо более точно проинтерполировать сеточные величины так, чтобы сохранить интегральные средние значения и получить распределение этой величины в ячейке с минимальными скачками на границах. А для обеспечения монотонности необходимо обеспечить отсутствие новых максимумов и минимумов при реконструкции и чтобы на границах скачок не менял свой знак. Наиболее популярным среди этих методов является метод кусочно-параболической реконструкции (метод PPM - pieccwise parabolic method).

В работе [25] предложен новый способ реконструкции сеточных значений с автоматическим анализом гладкости решения, получивший название ENO схемы (essentially non-oscillatory scheme). В данном методе вместо фиксированного шаблона для интерполяции значений в ячейках сетки используется несколько шаблонов и выбирается тот, на котором решение является наиболее гладким. Этот метод получил дальнейшее развитие в работах [26, 27].

Далее вместо использования при реконструкции значения, полученного на одном шаблоне, в работе [28] было предложено использовать выпуклую линейную комбинацию значений полученных на всех возможных шаблонах, где весовые коэффициенты в линейной комбинации подбираются в зависимости от гладкости решения на каждом шаблоне, используя так называемые индикаторы гладкости. Данный метод получил название WENO (weighted ENO). В работах [29, 30, 31] были предложены новые способы вычисления весовых коэффициентов, а точнее новые способы анализа гладкости решения на шаблоне.

В работе [32] показано, что вблизи гладкого экстремума в ШЕ1Ч0 схемах понижается порядок точности и предложен новый масштабированный метод ^/УЕМО. Где найденные весовые коэффициенты дополнительно масшабируются с помощью специально выбранных функций, что позволяет добиться высокого порядка точности вблизи экстремума.

Бурное развитие высокопроизводительных вычислительных систем и потребности современной науки в моделировании сложных газодинамических течений способствуют развитию параллельных алгоритмов численного решения уравнений газовой динамики [33, 34]. В настоящее время технологии параллельных вычислений посвящено достаточно много работ [35, 36, 37, 38, 39], также много и электронных ресурсов освещающих- актуальные вопросы данного направления [40, 41, 42].

Целью данной работы является разработка эффективного алгоритма высокого порядка точности для прямого численного моделирования газодинамических течений (в частности турбулентных течений) па многопроцессорных вычислительных системах, для достижения которой необходимо решить следующие задачи:

• построение существенно неосциллирующих разностных схем высокого порядка точности для решения многомерной системы уравнений газовой динамики в Эйлеровых переменных;

• тестирование построенных схем на известных одномерных и двумерных модельных задачах;

• разработка параллельного вычислительного алгоритма для построенных схем и создание программного комплекса на их основе;

• проведение прямого численного моделирования для одной задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова и сравнение результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными с использованием других схем.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• в работе предложены новые существенно неосциллирующие схемы высокого порядка точности с масштабированием весовых коэффициентов;

• построен параллельный вычислительный алгоритм для моделирования газодинамических течений;

• разработан программный комплекс для прямого численного моделирования газодинамических течений на высокопроизводительных вычислительных системах;

• проведено прямое численное моделирование развитой турбулентной стадии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова с использованием разработанного программного комплекса на кластере, составленном из персональных ЭВМ;

• результаты полученные при моделировании более близки к результатам, полученным экспериментально, чем результаты, полученные с использованием других вычислительных схем.

Достоверность научных выводов и результатов подтверждается следующим:

• построенные вычислительные алгоритмы апробированы на тестовых задачах и показывают работоспособность для различных типов задач;

• полученные численные результаты хорошо согласуются с известными экспериментальными и расчетными данными;

• используемые математические модели базируются на фундаментальных законах сохранения массы, импульса и энергии.

Автор данной работы выносит на защиту:

• построенную существенно неосциллирующую разностную схему высокого порядка точности для решения многомерной системы уравнений газовой динамики в переменных Эйлера;

• параллельный вычислительный алгоритм для построенных схем;

• разработанный программный комплекс для параллельных вычислений;

• результаты прямого численного моделирования развитой турбулентной стадии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова.

По главам содержание работы распределено следующим образом. В первой главе описан класс существенно неосциллирующих разностных схем высокого порядка точности для численного решения Эйлеровой системы уравнений газовой динамики. Представлены результаты численного решения с помощью построенных схем одномерной задачи о распаде разрыва с начальными данными Сода [49] и с начальными данными Лакса [50].

Вторая глава включает в себя описание параллельного вычислительного алгоритма для построенных разностных схем. Описан разработанный программный комплекс ОВ"У^Е1ЮРА11ЗВ для вычислений па многопроцессорных системах, реализующий построенные алгоритмы.

Проведен анализ эффективности распараллеливания для кластера, построенного на базе персональных ЭВМ.

Третья глава посвящена прямому численному моделированию развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова с использованием разработанного параллельного программного комплекса. Представлены результаты двух типов расчетов. Проведено сравнение полученных результатов с результатами эксперимента и результатами расчетов с использованием других схем. Приведены осредненные и мгновенные параметры течения.

Результаты исследования докладывались и обсуждались на:

• семинарах Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского;

• XXXIV, XXXV, XXXVI Огаревских чтениях в Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева (г. Саранск, 2005, 2006, 2007 гг.);

• XIV, XV, XVI научных конференциях молодых ученых в Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева (г. Саранск, 2005, 2006, 2007, 2008 гг.);

• Второй Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 2005 г.);

• VII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 2006 г.);

• на семинаре отдела №4 Института математического моделирования РАН (г. Москва, 2007 г.);

• Третьей Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 2007 г.);

• Восьмой Международной конференции «Диффернциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 2008 г.).

Основные результаты опубликованы в работах [52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63].

Заключение

В ходе выполнения работы получены следующие основные результаты:

1. Построена класс квазимонотонных (существенно неосциллирующих) консервативных разностных схем высокого порядка точности (5-го порядка) с реконструкцией значений на гранях между ячейками, представляющей из себя модификацию хорошо зарекомендовавшей себя известной WENO схемы. Модификация заключается в особом способе вычисления весовых коэффициентов при построении интерполяционного полинома на шаблоне ячеек при реконструкции значений на гранях между ячейками, что позволяет избежать понижения порядка точности вблизи экстремальных точек. Построенная схема протестирована на модельной одномерной задаче Римана о распаде разрыва с начальными данными Сода и Лакса. Результаты расчетов хорошо согласуются с известными решениями данных задач.

2. Разработан параллельный программный комплекс GDWEN0PAR3D для прямого численного моделирования газодинамических течений с использованием построенных разностных схем. Построен параллельный вычислительный алгоритм на основе технологии MPI, для выполнения расчетов по построенным разностным схемам, оптимизированный под вычисления на кластере, составленном из объединенных сетью Ethernet персональных ЭВМ. Рассмотрены различные способы оценки эффективности параллельного алгоритма. Проведен анализ эффективности алгоритма при различных способах декомпозиции расчетной области. Выполнен анализ объемов межпроцессорных обменов при различных способах декомпозиции.

3. Выполнено прямое численное моделирование развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова с использованием программного комплекса СО\¥ЕГЮРА11ЗВ. Выполнено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными на основе значений пульсаций продольной компоненты скорости. Показано, что предлагаемый вычислительный алгоритм дает более приближенные к экспериментальным результаты по сравнению с вычислительными экспериментами других авторов.

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М., Механика сплошных сред, М., Гостехиздат, 1954.

2. Седов Л. И., Механика сплошной среды, в 2 т. Т. 1-2, СПб.: Издательство «Лань», 2004

3. А.А.Самарский, Теория разностных схем, М., Наука, 1977.

4. A.A.Самарский, Ю.П.Попов, Разностные методы решения задач газовой динамики, М., Наука, 1980.

5. Бондаренко Ю.А., Башуров В.В., Янилкин Ю.В. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы. Препринт №88, Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2003, 53 с.

6. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю., Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, 608 с.

7. Годунов С. К., Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Матем. сб., 1959, 47, вып. 3, 271-306.

8. Годунов С.К., Забродин М.Я., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики, М., Наука, 1976

9. Courant R., Isaacson E., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences, Comm. Pure Appl. Math. 5, No. 3, 1952, p. 243-255

10. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation, Comm. Pure Appl. Math. 7, No. 1, 1954, p. 159-193

11. Холодов А. С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического тина, Ж. выч. матем. и матем. физики 18, № б, 1978, с. 1476 1492

12. Roe P.L. Approximate Rieman problem solvers, parameter vectors, and diference schemes, Journal of computational physics 43, No. 2, 1981, p. 357 372

13. Osher S. Numerical solution of singular perturbation problems and hyperbolic systems of conservation laws, North Holland Mathematical Studies 47, 1981, p. 179 205

14. Osher S. Rieman solvers, the entropy conditions, and differenceapproxima-tions, SIAM J. Numer. Anal. 21, No. 2, 1984, p. 217 235

15. Harten A., Lax P.D., van Leer B. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws, SIAM Review 25, No. 1, p. 35 61

16. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики, Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. 3, № 6, с. 68 77.

17. Van Leer В. Flux-vector splitting for the Euler equations, Lecture notes in physics, 1982, v. 170, p. 507 512

18. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport, I. SHASTA, a fluid transport algorith that works, Journal of computational physics, 1973, v. 11, No. 1, p. 38 69

19. Boris J.P., Book D.L., Hain K. Flux-corrected transport, II. Generalizations of the method, Journal of computational physics, 1975, v. 18, No. 3, p. 248 283

20. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport, III. Minimal-error FCT algorithms, Journal of computational physics, 1976, v. 20, No. 4, p. 397 -431

21. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws, Journal of computational physics, 1983, v. 49, p. 357 393 1

22. Harten A. On a class of high resolution total-variation-stabe finite-difference schemes, SIAM J. Numer. Anal., 1984, v. 21, p. 1 23

23. Вязников К. В., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П., Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа, Математическое моделирование, 1989, т. 1, № 5, с. 95 120.

24. Тишкин В. Ф., Никишин В. В., Попов И. В., Фаворский А. П., Разностные схемы трехмерной газовой динамики для задачи о развитии неустойчивости Рихтмаера-Мешкова, Математическое моделирование, 1995, т. 7, № 5, с. 15 25.

25. A. Harten, В. Engquist, S. Osher and S. Chakravarthy, Uniformly high order essentialy non-oscillatory schemes. Ill, Journal of computational physics, 71, p. 231 303 (1987).

26. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes, Journal of computational physics, 1988, v. 77, No. 2, p. 439 471

27. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. II, Journal of computational physics, 1989, v. 83, No. 1, p. 32 78

28. Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted essentially non-oscillatory schemes, Journal of computational physics, 1994, v. 115, p. 200

29. Jiang G.-S., Shu C.-W. Efficient implementation of weighted ENO schemes, Journal of computational physics, 126 (1996). P. 202-228.

30. C.-W. Shu Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws, ICASE Report 97-65, (1997).

31. Z. J. Wang, R. F. Chen, Optimized weighted essentially non-oscillatory schemes for computational aeroacoustics, Published by AIAA Inc. with permission, (2001).

32. Henrick A. K., Aslam T. D., Powers J. M. Mapped weighted essentially non-oscillatory schemes: Archieving optimal order near critical points, Journal of Computational Physics, 207, 2005, p. 542 567.

33. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В., Параллельные вычисления, С-Пб., БХВ-Петербург, 2002

34. Антонов А. С., Параллельное программирование с использованием технологии MPI, Изд-во МГУ, Москва, 2004

35. Якобовский М.В., Распределенные системы и сети, Изд-во Станкин, 2000.

36. Гергель В. П., Теория и практика параллельных вычислений: учебное пособие, М., БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007, 423 с.40. www.parallel.ru41. www.mpi-forum.org42. www.cfd-online.com

37. Змитренко H. В., Ладонкина M. Е., Тишкин В. Ф., Численное исследование турбулентного перемешивания для одной задачи о развитии неустойчивости Рихтмаера-Мешкова, ВАНТ, сер. Мат. моделир. физ. процессов, 2004, вып. 1.

38. Poggi F., Thorembey М.-Н., Rodrigues G. Velocity measurements in turbulent gaseous mixtures induced by Richtmyer-Meslikov instability // Phisics of Fluids. 1998. Vol. 10, No 11. P. 2698-2700.

39. Левитан Ю. Л., Соболь И. M. О датчике псевдослучайных чисел для персональных компьютеров // Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 8. С. 119-126.

40. Ладонкина M. Е., Численное моделирование турбулентного перемешивания с использованием высокопроизводительных систем, Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук, ИММ РАН, Москва, 200447. www.dislin.de

41. Woodward P., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // Journal of Computational Physics. 1984. V.54, PP.115-173.

42. Sod A.G. Review. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws, J. Comput. Phys. 27, No. 1, p. 1 31

43. Lax P.D., Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation, Comm. Pure Appl. Math. 1954, No. 7, p. 159 — 193

44. Double Mach Reflection of a Strong Shock (http://www.math.ntnu.no/ andreas /fronttrack / gas / wedge / index, html)

45. Жалнин P.B. Построение неосциллирующих алгоритмов (ENO-схем) для гиперболических уравнений, (http: //svmo.mrsu.ru/lib / cmu05 / zhalnin.pdf)

46. Жалнин Р. В. Построение ENO-схем для одномерного случая, Труды СВМО, 2005, т. 7, № 1, сс. 407 408

47. Жалнин Р. В., Численная реализация неосциллирующих вычислительных алгоритмов, Материалы научной конференции XXXIV Огаревкие чтения, Саранск: СВМО, 2005, сс. 35 38

48. Жалнин Р.В. Сравнение методов минимизации вариации интерполяционного полинома для WENO схем, Материалы XI научной конференции Мордовского государственного университета молодых ученых, аспирантов и студентов, Саранск: СВМО, 2006, сс. 16 18

49. Тишкин В. Ф., Жалнин Р. В. Одномерные неосциллирующие схемы на равномерной сетке с минимизацией вариации интерполяционного полинома в ячейках, содержащих точку локального экстремума, Труды СВМО, 2006, т. 8, № 1, сс. 115 121

50. Жалнин Р. В., О реализации параллельных вычислительных алгоритмов на персональных ЭВМ объединенных локальной сетью, Материалы научной конференции XXXV Огаревкие чтения, Саранск: СВМО, 2006, сс. 20 25

51. Жалнин Р.В. О прямом численном моделировании развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова, Материалы XII научной конференции Мордовского государственного университета молодых ученых, аспирантов и студентов, Саранск: СВМО, 2007, сс. 17 19

52. Жалнин Р. В. О построении параллельного вычислительного алгоритма высокого порядка точности для гиперболических систем уравнений, Труды СВМО, 2007, т. 9, № 1, сс. 145 153

53. Жалнин Р. В., К вопросу о численном моделировании развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова, Материалы научной конференции XXXVI Огаревкие чтения, Саранск: СВМО, 2007, сс. 18 20

54. Жалнин Р.В., Змитренко Н.В., Ладонкина М.Е., Тпшкин В.Ф., Численное моделирование развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова с использованием схем высокого порядка точности // Мат. моделирование, 2007, том 19, №10, сс. 61-66

55. Жалнин Р. В. О построении параллельного вычислительного алгоритма высокого порядка точности для гиперболических систем уравнений, Труды СВМО, 2008, т. 10, № 1, 137 146