автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Построение математических моделей в слабоформализованных областях исследований методом симплекс-декомпозиции области определения модели

рп оа

Д31 (-'"Л

На правах рукописи

НЕБЫВАЕВ Вячеслав Анатольевич

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В СЛАБОФОРМАЛИЗОВ АННЫХ ОБЛАСТЯХ ИССЛЕДОВАНИЙ МЕТОДОМ СИМПЛЕКС-ДЕКОМПОЗИЦИИ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОДЕЛИ

05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государ ственном университете) на кафедре "Инновационный менеджмент"

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор А.Н. Ворощук, кандидат физико-математических наук, доцент О.И. Дранко

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор А.И. Эрлих,

кандидат физико-математических наук, С.А. Кравченко

Ведущая организация: Тамбовский Государственный Университет

им. Г.Р. Державина

Защита состоится 2000 г. в [О часов на заседай!

специализированного совета К 063.91.03 при Московском физик техническом институте по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московски области, Институтский пер., д.9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ

Автореферат разослан " /0 июллЯ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук с--¥"""2—О.С. Федысо

9г . 9с

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

В различных прикладных задачах в связи с динамичным развитием научно-технического прогресса все чаще приходится решать вопросы принятия решений, определяемых прогнозами поведения сложных объектов. Для получения необходимых прогнозов важно уметь строить математические модели сложных объектов, характер поведения которых часто малоизучен. При этом такая ситуация является достаточно типичной на практике в связи с вопросами оперативного принятия адекватных решений.

Для принятия решения не требуется детального изучения объекта. Тем более, что такое изучение может оказаться дорогостоящим и трудоемким, не удовлетворяющим временным и экономическим ограничениям, накладываемым на задачу принятия решения. При этом часто возникают проблемы недостатка экспериментального материала и воспроизводимости эксперимента. И тем не менее, в указанной ситуации остается возможность построить математическую модель, точность которой может отвечать некоторым требованиям практической применимости.

Помимо этого, во многих областях знаний постоянно возникает потребность проверки тех или иных гипотез, следствия которых практически невозможно получить аналитическим путем.

В настоящее время имеющиеся подходы моделирования, как правило, оперируют математическими объектами с небольшим количеством переменных. Поэтому вопрос построения многомерных математических моделей, безусловно, является актуальным.

Данная работа посвящена вопросу построения математических моделей в исследованиях, в которых методы формального анализа не получили широкого распространения. Предложен метод, позволяющий учитывать в модели большое количество характеристик объекта. Подход, приведенный в работе, позволяет быстро установить оценку точности сформированной модели на имеющемся экспериментальном материале.

Цель научного исследования.

Целью диссертационной работы является разработка метода и алгоритма построения математической модели на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса, который позволяет быстро установить оценку точности сформированной модели на имеющемся экспериментальном материале.

Научная новизна.

- Разработан метод построения математической модели наилучшей точности (на имеющемся экспериментальном материале) на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса путем симплекс-декомпозиции области определения модели.

- Разработан вариант алгоритма симплекс-декомпозиции области определения модели.

- Разработана методика построения математической модели заданной

точности (на имеющемся экспериментальном материале) в виде оператора определенного класса.

- Построение математической модели на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса, аргументами которого являются элементы функционально го пространства определенного вида.

- Разработана модель изменения среднего курса американского доллара к немецкой марке через 2 часа от момента прогноза с точностью 30 базисных пунктов (на данных за период 2 мес.).

- Разработаны модели изменения квартальной прибыли нескольких предприятий транспортной отрасли США с точностью от 17% до 25% (в зависимости от модели и компании) на данных за период 1995-1999 г.г.

Практическая ценность и реализация результатов исследования.

В виде программы для ЭВМ реализован метод построения математической модели наилучшей точности (на имеющемся экспериментальном материале) на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса путем симплекс-декомпозиции области определения модели.

В виде программы для ЭВМ реализован вариант алгоритма симплекс-декомпозиции области определения модели.

Разработана модель изменения среднего курса американского доллара к немецкой марке через 2 часа от момента прогноза с точностью 30 базисных пунктов (на данных за период 2 мес.).

Разработаны модели изменения квартальной прибыли нескольких предприятий транспортной отрасли США с точностью от 17% до 25% (в зависимости от модели и компании) на данных за период 1995-1999 г.г.

Алгоритмы и программы работы использованы на реальных предприятиях - участниках рынка ценных бумаг: ОАО "Федерально-Инвестиционная Палата", ООО "Рид Сервис", российское представительство компании Carleton Management Inc. (США).

Основные положения, выносимые на защиту.

- Метод построения математической модели наилучшей точности (на имеющемся экспериментальном материале) на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса путем симплекс-декомпозиции области определения модели.

- Вариант алгоритма симплекс-декомпозиции области определения модели.

- Методика построения математической модели заданной точности в виде оператора определенного класса.

- Построение математической модели на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса, аргументами которого являются элементы функционального пространства определенного вида.

- Модель изменения среднего курса американского доллара к немецкой марке через 2 часа от момента прогноза с точностью 30 базисных пунктов (на данных за период 2 мес.).

- Модели изменения квартальной прибыли нескольких предприятий

транспортной отрасли США с точностью от 17% до 25% (в зависимости от модели и компании) на данных за период 1995-1999 г.г.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах:

- на международной конференции "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-2000", г. Санкт-Петербург, 2000 г.

- на V научной конференции ТГТУ, Тамбов, 2000 г.

- на семинарах кафедры ВСиАНИ и инновационного менеджмента МФТИ в 1997-2000 г.г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в четырех печатных работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, выводов, списка использованной литературы и приложения. Она содержит 107 страниц машинописного текста, 22 рисунка, 29 таблиц и список литературы из 51 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность, сформулированы цели настоящей работы, отмечены ее научная новизна, практическая ценность и достоверность полученных результатов.

В первой главе произведен обзор существующих подходов к построению математических моделей. Обсуждаются проблемы формального описания экономики и возможность построения математических моделей в слабоформализованных областях знаний. В частности, подчеркивается особенность экономических законов, связанная с участием человека и общества в экономических процессах. Указывается на существование понятия времени жизни экономической закономерности и концептуальной модели экономического процесса.

Показаны проблемы, возникающие на этапах построения математических моделей. Предложены пути решения рассматриваемых проблем.

Во второй главе обсуждается проблема идентификации, связанная с моделированием сложных малоизученных систем, которые не являлись объектами исследований отдельно взятой научной дисциплины и находятся на стыке ряда научных дисциплин.

Предлагается постановка задачи идентификации, основанная на понятии "оптимистической" точности идентификации многомерной математической модели. Предложенный метод основан на работах А.Н. Ворощука, в которых приведены необходимые и достаточные условия существования концептуальной и математической модели заданной точности, а также приведены необходимые и достаточные условия идентификации указанных моделей.

Необходимые условия существования концептуальной математической

модели заданной точности, а также необходимые условия ее идентификации, заключаются в выполнении следующего утверждения:

Ух,,х2:Ц*, -х2\\<ах,Цг, -г21| < А , (1)

где <ух = (7кх . Кроме этого, должно выполняться неравенство: к

V*, ,г2 1 < ||г, - г2 ||/Д ^ - х2 ||/о-х , (2)

Достаточные условия идентификации многомерной феноменологически обосновываемой детерминированной концептуальной модели заключаются в том, что множество результатов измерений {*,} должно образовывать е-сеть выпуклого множества, ограничивающего множество изменений выбранных нами характеристик. На е накладываются определенные условия, связанные с стх и Л.

В работе А.Н. Ворощука исходя из целей практической реализуемости данной процедуры идентификации модели доказана возможность построения модели в классах однозначных операторов, определенных на некоторых подмножествах соответствующих пространств и, кроме того, процедура идентификации модели осуществима на конечном наборе экспериментального материала.

В частности, доказано, что если существует концептуальная модель явления определенной точности, то существует математическая модель той же точности в виде кусочно-постоянного оператора, определенного на выпуклой оболочке множества результатов измерений изменения характеристик.

При этом множество результатов измерений изменения характеристик должно образовывать е-сеть (с условиями на е, связанными с ах и Л) множества выпуклой оболочки множества результатов измерений изменения характеристик (области определения модели).

Указанный кусочно-постоянный оператор удобно представлять в виде совокупности операторов (из класса постоянных операторов), определенных на симплексах, таких что точки х, являются их вершинами и любые два симплекса либо не имеют общих точек, либо их пересечением служит общая грань. Объединение указанных симплексов должно образовывать выпуклую оболочку множества результатов измерений изменения характеристик (область определения модели).

Но исследования множества изменений характеристик как правило показывают, что имеющиеся у нас измерения не образуют указанную е-сеть. Это не дает нам возможность провести идентификацию предполагаемой зависимости, так как невозможно проверить достаточные условия.

Для разрешения указанных проблем с целью получения практических результатов предлагается введение понятия «оптимистической» оценки точности идентификации многомерной зависимости.

Определим множество М (область определения модели) как выпук-

лую оболочку множества X.

Пусть Хк —произвольное подмножество X и М^ —соответствующее подмножество множества М, а именно М; • где — полупространство, образуемое гиперплоскостью, проходящей через наборы точек Ц.....так, что множество X, целиком принадлежит этому полупространству с учетом гиперплоскости.

Необходимо построить оператор П , определенный на множестве М, такой, что значения оператора П в точках множества X должны удовлетворять необходимым условиям существования модели (1) и (2).

Оператор С1 будем искать в виде совокупности операторов 0.к, определенных на множествах М^, построенных по правилу П =П(Х^,{г,}) с областью определения М^) и ум, = М. При этом правило П таково, что £2к явным образом зависит от значений Хк и соответствующих им ^ }.

При этом, исходя из требования однозначности модели, должно выполняться:

1. М*.р|М;=0, за исключением границ множеств Мь М,.

2. Х^ с М* должно содержать необходимое количество элементов для построения оператора 0.к на М^.

Множество {Мк }, построенное по указанным выше правилам, будем

называть симплекс-представлением (а также симплекс-декомпозицией или симплекс-разбиением) области определения модели.

Поскольку, как было сказано выше, мы рассматриваем ситуацию, при которой конфигурация множества X не обеспечивает возможности проверить достаточные условия идентификации модели, мы выбираем класс операторов П, который отражает определенные свойства, связанные с нашей гипотезой относительно математических свойств модели (например ограниченная чувствительность, непрерывность и т.п.). Кроме этого, определение точности мы дополняем условиями, которые формулируем в дальнейшем в виде задания условий для определенного функционала (называемого в дальнейшем критерий) от искомого оператора.

Рассматриваются две задачи.

Первая задача. Построение модели наилучшей точности.

Требуется построить оператор

й : пипК(£2) = К(П), (3)

где К(*) - задаваемый критерий. Варианты критериев приведены ниже.

Алгоритмически задача сводится к нахождению множества {М*.} та-

кого, что разбиение выпуклой области многомерного линейного пространства на симплексы с вершинами из заданного конечного множества элементов указанного пространства, пересекающиеся только по граням так, что построенная на указанных симплексах совокупность операторов реализует минимум заданного функционала.

Указанная задача, очевидно, имеет решение в силу конечности множества X, но указанное решение не обязательно является единственным.

В ситуации, когда найдены неединственные решения, логично выбрать зависимость с наилучшей точностью, но, вполне возможно, что кроме и/или в дополнении к критерию точности, может понадобиться некий дополнительный критерий, в соответствии с которым зависимость будет называться "наилучшей" или "удовлетворительной для применения на практике".

Симплекс-представление множества М задается множеством /'„, — конечным множествм (набором) неупорядоченных индексов 1к = ('!,.•■,'„+]), где {хк},к е1кт задает границу множества Хд.. Соответствующие этому разбиению множества М^ будем также обозначать либо £(4>т) - симплексы, построенные на точках {д^ при усло-

вии, что эта совокупность линейно независима, либо Ек, если имеется в виду конкретное значение т.

Для решения задачи построения всевозможных зависимостей решается задача построения всевозможных симплексов, пересекающихся только по границам, объединение которых дает множество изменения независимых характеристик.

Задачу построение наилучшей зависимости решаем двумя способами.

Первый заключается в полном переборе предварительно построенных всевозможных зависимостей (операторов) и в выборе наилучшей в смысле заданного критерия.

Второй заключается в построении всевозможных зависимостей с исключением в процессе построения из дальнейшего рассмотрения тех разбиений, на которых построенные зависимости не удовлетворяют критерию. Указанный способ применим в случае, если критерий не зависит от разбиения множества определения модели, а вычисляется локально.

Вторая задача. Построение зависимости заданной точности.

При построении однозначной многомерной математической зависимости (оператора) указанного выше класса не всегда необходимо искать модель наилучшей точности в смысле заданного критерия. Как правило, требуется построить модель с точностью, задаваемой экспертами и достаточной для принятия решения. При этом достаточно указать (построить) одну из таких моделей.

Задача формулируется следующим образом. Задается максимальное значение критерия - Кти. Требуется построить кусочно-постоянный либо

кусочно-линейный оператор П , определенный на множестве X, которое является замкнутым множеством, ограниченным гиперплоскостями, проходящими через граничные точки множества X. Оператор Г2 должен удовлетворять условиям:

||г, -П(х,)!<Л и (4)

||fl(xj)-n(jr2)||i; Д, (5)

притом что За > 0: Vxj,х2 е X:|[xj - х21| < а.

При этом для критерия выполняется

K(Q) S Kmax . (б)

Определение 1. Оптимистической оценкой точности модели в смысле

критерия К(*), построенной на разбиении множества определения модели

на непересекающиеся за исключением граней симплексы будем называть

величину Az , вычисляемую по следующим правилам: Az - тах(ад.), где

к

ак = max z, - z, , при условии выполнения (3) или (6) соответственно. '•М,»" 11 Предлагаются следующие критерии.

1. Для класса кусочно-постоянных и кусочно-линейных функций, определенных на множестве М, возможен выбор следующего критерия как для алгоритма решения второй задачи, так и для второго подхода решения первой задачи.

Задается точность Л z . На этапе работы алгоритма, связанного с выбором искомого разбиения, отбрасывается разбиение Ут для которого 3 к такое, что выполняется условие:

3U е4,т:||г/ и XГ\{Е(1Кт)\G(/k m)) = 0,1к т еГт.

Критерий в явном виде выглядит следующим образом:

К(*) = max шах llz, -z. I! (7)

к 'jew' "

2. Для класса операторов - кусочно-линейных функций, определенных на множестве М, предлагается критерий, отражающий ограниченную чувствительность.

Задаются значения акх, такие, что если xf и х* : jjxf - х* || < акх, то

х* и Xj для нас "не различаются" (точность определения характеристик).

Определяется величина уг, которую будем называть "наклон" (yz = А/сгд-), либо задается значение уг как самостоятельный параметр. На этапе работы алгоритма не рассматривается дальше разбиение Г„,

для которого 3 к такое, что выполняется условие:

3/,у е/,;М:||2,. -г,||/||*( -*;|>Гг и ХП(£(4)т)\0(/,>т)) = 0,1к<т еГт.

Критерий в явном виде выглядит следующим образом:

К(*) = таХ;т^(||,,-^||/||х,-х;||) (8)

Кроме этих критериев предлагаются критерий "наименьшего количества симплексов в разбиении" и его модификация, позволяющая учитывать требование ограниченной чувствительности.

В третьей главе приводится алгоритм построения математической модели на имеющемся экспериментальном материале. Идея алгоритма заключается в следующем. Для решения задачи построения модели наилучшей точности, в силу правил построения оператора О, решение задачи будет найдено путем полного перебора вариантов представления множества М как объединения пересекающихся только по граням симплексов Мк, не содержащих внутри элементов множества X. Такие симплексы будем называть «элементарными».

Определение 2. Ут является полным разбиением множества М на непересекающиеся элементарные симплексы Ei, если

Е, П£; = 0, (9)

У к, кеГт:ЕкП1)Е^*0. (10)

Гт

(Здесь и далее в целях упрощения обозначений понятие пересечения будет использовано без учета границ множества).

Пусть имеется множество неупорядоченных пар индексов элементарных симплексов, которые попарно пересекаются:

Сгр = {Срк}"< = {(/,Д <Г.Е,ПЕ} .

Построим бинарное дерево по следующему правилу. Узлы дерева одного слоя (, где к — номер слоя, /' — номер узла в слое) будут состоять из неупорядоченных наборов индексов элементарных симплексов, для которых, начиная со второго слоя, выполняется следующее условие:

V/, \Л,те15{1,т)£{Ср„}\~\ к>1. (11)

Условие (11) эквивалентно утверждению, что на текущем слое нет узлов, в которых одновременно присутствуют пары индексов симплексов, которые пересекаются, и номера этих пар меньше номера текущего слоя.

Верхний узел Ь\ определяется следующим образом: ¿\ ={1,,..,Л'Е}.

Для следующего слоя Аг-И из каждого узла , для которого выполня-

ется условие 3(1,т) elf:(/,w) е Срк, выходят две ветви, которые образуют два узла следующего слоя по правилу: = if \ / и l£t1 = L) \ т.

Доказаны следующие утверждения.

Утверждение 1. Для последнего слоя с номером iVc+l будет выполняться условие (9), если положить Гт = .

Утверждение 2. Слой Nc+1 дерева, построенного при условии (11), включает всевозможные множества Гт, которые являются полными разбиениями для множества М. ({Гт} ).

Утверждение 3. Произвольное Гт для которого выполняется условие (9) является неполным тогда и только тогда, когда выполняется условие:

3 l:Urtn:^Cu.R,m = IiRT, (12)

/ I

^ \\М = Dm [1 ,kerm,

если положить Q < = {п „ „ и«Г=„ ,

к [0, к grm;

Таким образом, мы получим всевозможные подмножества множества М, состоящие из объединения непересекающихся элементарных симплексов, построенных на i-f , и с помощью условия (12) выделим полные разбиения, среди которых найдем разбиение, которое является наилучшим для выбранного критерия.

Подход к построению математической модели на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса, аргументами которого являются элементы функционального пространства, заключается в следующем. F = {^(у)}.^ -множество функций с областью определения L,

(у eL - замкнутое подмножество л-мерного линейного пространства) -заданные функции, обладающие свойством:

3tT,S-\f{Jf)-f{y%ü5, \/у,уеф~у\\±а. (13)

Предложена процедура выбора системы базисных функций в пространстве аппроксимирующих функций из класса кусочно-постоянных, которая удовлетворяет требованию минимального количества базисных функций. Получена оценка точности определения принадлежности произвольной функции множеству аппроксимирующих функций: ||/-/а|| < Nhö. Приведен критерий применимости указанной процедуры (Nb « N). При этом, в силу выбора базиса, аппроксимирующие функции представлены конечным набором векторов множества конечномерного линейного пространства. Построение математической модели производится методом,

изложенным выше.

Метод построения математической модели заданной точности заключается в следующем. Вводится функционал К „(/,_/) = Цг,- -7,[| или

Кя(«,у) = -г^Ц^Цх,- для критериев (7), (8) соответственно. Пусть

модель наилучшей точности в смысле заданного критерия существует с параметрами Дтт,Кт]п.

Задается Д > ЛШ1П - требуемая точность и Ктш > Ктт. Алгоритм выглядит следующим образом.

1. Вычисляются значения К^ =Кя0',у) по всем сочетаниям Задаем

К+ =КтЬ,К! = тшК^ . Определяется множество Г - индексы граничных точек множества X (принадлежащие линейной оболочке множества X). Задаем К^

2. Перебираются все пары точек из множества X и выбираются пары, для которых выполняется условие: К„(/, у) > К3.

Строится множество индексов (5), состоящее из индексов точек, указанных выше пар. То есть, £ = {/: I е{;',/}: ДКл(/,у) > К3}.

4. Определяется с1т = тахЦх,- -д-;.| для пар (/',у) е^иг, К„(/,у) < К3.

5. Определяется точность Д3 = <1т -К3.

6. Если Д3 > Д, то задается новое К3+1 = тахК^ <(К3 +ЬС)/2 . При этом К++1 = К3 и осуществляется переход к п. 2.

7. Если Д3 < Д, то если К3 = ттК^ : > (К+ +К3) / 2, то переходим к п. 8. Иначе задается новое К3+1 = гшпК^ : К^ > (К* + К3)/2 . При этом К"+1 = К3 и осуществляется переход к п. 2.

8. Для множества X = 1 е^иг производится построение модели

наилучшей точности методом симплекс-декомпозиции, изложенным выше.

Доказаны следующие утверждения.

Утверждение 4. Точность построенной модели в смысле соответствующего критерия будет не хуже заданной (А) и модель будет удовлетворять условиям (4) - (6) для Ктш.

Утверждение 5. При Д = Дт1п, Кт1п = Кт|П будет построена модель наилучшей точности.

Утверждение 6. При Km¡n —> Kmin точность модели, построенной на произвольном симплекс-разбиении множества X с вершинами из соответствующего X, которое удовлетворяет критерию (7) или (8) для Kmin> стремится к наилучшей точности (Д -» Amin).

В четвертой главе рассматривается вопрос предварительного выбора характеристик для задачи идентификации математической модели исходя из заданной точности и вопрос экспресс-определения точности. Предлагаются два подхода.

Первый подход заключается в построении указанным методом всевозможных одномерных математических моделей зависимости одних характеристик от других. В случае идентификации зависимости с точностью, сравнимой с точностью определения соответствующей характеристики, она исключается из множества характеристик.

Во втором подходе предлагается исключать из множества X точки по определенному правилу и строить модель наилучшей точности на полученном наборе точек.

В пятой главе приводится пример построения математической модели зависимости Q3 от Q\ и Q2 заданной в виде Q3е>Т,Р) - Q\(t,p) + Q2(t -4,Т), где Q2(/,Т) = 1+sin(tx/T)

IV е(2кр,2к + р],

и Q\ (t,p) = i для параметров

(p,T) = (3,7), t = 7,...,36 для Д=0,5. Предполагаются известными Q3, Q\ и £2для (р,Т) е((2,7),(3,8),(3,6),(4,б),(4,8)J и / = 1,2,3,4,...,33 .

Приведена концептуальная модель и результаты работы алгоритма (см. рис. 1)

В шестой главе описывается построение многомерной модели значения среднего курса доллара по отношению к немецкой марке на протяжении одного часа, на момент времени t + 2 часа, в зависимости от набора индикаторов технического анализа (См. Таблицу 1).

Таблица 1. Используемые в качестве характеристик технические индикаторы.

Кодовое обозначение Описание

Оека1 Изменение курса за последние 2 часа (Р(Г)-?((-2))

ОеИа2 Изменение курса (Р(1-\)-Д/-3))

ОекаЗ Изменение курса (Р(1-2)-Р(1-4))

Ос1и4 Изменение курса (Р(г-3)-Д7-5))

Ое1и5 Изменение курса (Р((-4)-Р((-6))

Ш^МАб Разница между текущим курсом и простым скользящим средним за последние 6 часов (Р(Г)-5Ш((,6Л0))

0№_8МА23 Разница между текущим курсом и простым скользящим средним за последние 23 часа (Р(7)-£Ш(/,23Л0))

118123 Индекс относительной силы на периоде 23 часа К5/(Р(<),23)

ОЗШ\У5 3 Медленный стохастический осциллятор %0(Р(1),5,3)

МОМЕКТб Момент за последние б часов Ы{Р{(),6)

08Ш\¥24 3 Медленный стохастический осциллятор 9ЙЭ(Р(Г),24,3)

Результат выбора характеристик с учетом методов, изложенных в четвертой главе, приведен в таблице 2. Таблица 2. Характеристики, обеспечивающие наилучшую точность модели и позволяющие решить задачу идентификации.

Кодовое обозначение Описание Точность определения

Delta 1 Изменение курса за последние 2 часа (Р(1)-Р(1-2)) 10 минимальных изменений цены

Delta2 Изменение курса (Р(1-1 )-Р(Ч-3)) 11 =//=

Delta3 Изменение курса (Р(и2)-Р(М)) 15 =//=

Delta4 Изменение курса (Р^-ЗуР^-б)) 30 =//=

Delta5 Изменение курса (Р(1.-4)-Р(1-6)) 30 =//=

DIFSMA6 Разница между текущим курсом и простым скользящим средним за последние 6 часов (Р( 1)- БМ А(1,б, Р(1))) 40 =//=

Точность прогноза, получаемого с использованием модели, построенной на указанных характеристиках, равна 30 базисных пунктов.

С учетом того, что в течение одного часа курс колеблется в среднем в интервале 20-40 базисных пунктов, такой точности достаточно для определения направления изменения курса валюты и величины этого изменения.

В работе произведено сравнение результатов работы трех "классических" торговых систем (основанных на модели скользящего среднего, индекса относительной силы и медленного осциллятора) и результатов тор-

говой системы, построенной на прогнозе полученной модели. Прибыль на тестовом промежутке превысила в 3 раза прибыль "классических" систем. Показатель среднего выигрыша к среднему проигрышу превысил "класси-

с 09.00 05 марта 1997 12:00 по 11 марта 1997

На рис. 2 показаны значения курса и прогноз, полученный в работе, за период с 09:00 05 марта 1997 12:00 по 11 марта 1997.

В седьмой главе производится построение модели изменения квартальной прибыли нескольких предприятий транспортной отрасли США на данных за период 1995-1999 г.г. Выбор США в качестве страны нахождения предприятий обусловлен простотой получения информации, устоявшимися экономическими отношениями внутри страны, экономика которой не претерпевает скачкообразных непредвиденных изменений. Кроме этого, экономические показатели предприятий в обязательном порядке подтверждаются независимыми аудиторами. К тому же, как было отмечено, в микроэкономике слишком велико значения "человеческого фактора" (то есть многие решения, от которых напрямую зависят моделируемые величины, принимаются единолично руководителем компании). Поэтому при выборе компаний США предполагалось, что большинство руководители компаний обучались в бизнес-школах США и имеют одинаковые правила (модели) принятия решений в похожих ситуациях, и эти модели не меняются существенным образом как во времени, так и при смене руководителя компании.

Модели построены для двух компаний: FROZEN FOOD EXPRESS INDUSTRIES INC. (FFEI) и KENAN TRANSPORT CO (KTC).

Строится прогноз величины прибыли компании до налогообложения Income_pretax(t) для момента времени t =/+г, где т=1 квартал.

Рассматриваются две концептуальные модели.

Первая: Income _pretax(t*) = OM(t*)-CA(t*)/CATR(t*), где CA(t") -оборотные активы предприятия, CATR(t') - коэффициент оборачиваемости оборотных активов, рассчитываемый по формуле CATR(t) = CA(t)/R(t),

где R(t) - выручка за период \t-r,t\. OM(f) - маржинальная рентабельность, рассчитываемая по формуле OM(i) = Income_ pretax(t)jR(t) .

Точность полученной модели определяется точностями субмоделей CATR(t') и OM(t"), а также точностью экспертной оценки CA(t). Для построения модели строятся субмодели CATR(t) и OM(t) в зависимости от

значений как самих {(G4ZR(/,),OM(i,))}, где /, =t-iz, i = \,...,q, q - величина, определяемая на этапе идентификации, так и от других известных в момент времени t экономических показателях предприятия.

CA(t') является внемодельным предположением - его значение необходимо оценивать исходя из знания существующей дебиторской задолженности предприятия (по срокам), а также исходя из предполагаемых существенных и разовых движений денежных средств (например, состояние с кредитами и предполагаемыми размещениями ценных бумаг). Этот параметр наиболее тесно связан с принятием решений руководителем компании и ее владельцами.

Таблица 3. Модель коэффициента оборачиваемости оборотных активов

Описание CATR(t) CATR(t-v) CATR(t-2r) CATR(t-3v)

Точность определения (а) FFEI 1% 3% 3% 2%

КТС 1% 3% 3% 2%

Таблица 4. Модель маржинальной рентабельности

Описание OM(t) OM(t-x) OM(t-2x) ОМ(1-Зт)

Точность определения (о) FFEI 1% 1% 8% 7%

КТС 7% 8% 8% 7%

Характеристики, вошедшие в построенную модель, приведены в таблицах 3 и 4. Точность модели OM(t) составила: FFEI - 15%, КТС - 12%. Точность модели CATR(t) составила: FFEI - 5%, КТС - 7%. Точность модели Incomej)retax(t) составила: FFEI - 25%, КТС - 25%.

иом-97 дм-97_won-98_дж-98 иом-97 дж-97 иом-98 д**-98 июм-99

Г^сто» | |-> Р*»»ны> »»ч»ния —л— f^xrwoi j

а) б)

Рис. 3. Прогноз для Income_pretax(t) а) - FFEI, б) - КТС

На рисунке 3 представлены результаты прогнозирования в сопоставлении с реальными значениями.

Вторая модель заключается в том, что Income_pretax(t) для момента времени t'=t+тзависит от значений Unit_Cost(t*), R(t') и указанная зависимость выражается следующей формулой:

Income _pretax(t*) = Unit_Cost(t*)-R(t*), где Unit_Cost(t') - удельные

затраты предприятия, R(t) • выручка за период [/ - г,/].

Для построения модели строятся субмодели Unit_Co$t(t') и R(t') в зависимости от значений {(¿/л//_са?/(/,),/?(/,))} , где ti = t-it, i = \,...,q , q -

величина, определяемая на этапе идентификации.

R(t') является внемодельным предположением - его значение необходимо оценивать исходя из знания существующей клиентской базы предприятия, маркетинговых исследований, предполагаемой маркетинговой стратегии предприятия, а также исхода из предполагаемых выходов на новые рынки, связанные с деятельностью предприятия (диверсификация). Этот параметр тесно связан с состоянием и нуждами потребителей, количеством клиентов и их возможностью диктовать свои цены.

Таблица 5. Модель удельных затрат

Описание Unit_Cost(t) Unit_Coss(t-Tj Unit_Cost(t-2ij Unit_Cost(t-3 x)

Точность определения (а) FFEI 0.40% 0.50% 0.50% 0.35%

КТС 0.40% 0.50% 0.50% 0.35%

Характеристики, вошедшие в построенную модель, приведены в таблице 5. Точность модели составила: РШ - 0,8%, КТС -1,3%. Точность модели 1псоте_рге!ах(0 составила: ИЛЕ! - 14%, КТС -17%.

а) б)

Рис. 4 Прогноз для Income_prctax(t) а) - FFEI, б) - КТС

На рис. 4 представлены результаты прогнозирования в сопоставлении с реальными значениями.

В работе отмечается, что точность второй модели заведомо лучше точности первой. Это связанно главным образом с тем, что объем продаж (функция RftJ), как правило, определяет все бизнес-процессы предприятия (движение денежных средств, производственные процессы, потребности в кредитовании, трудовых ресурсах и т.п.). Поэтому, при знании R(t) для /, = Я , где г < г, возможно построение модели предприятия с точностью, практически не отличающейся от точности оценки R(t). При этом, прогноз построенный руководителем компании (органом, принимающим решение), будет заведомо точнее прогноза, построенного "сторонним наблюдателем", т.к. исключается "человеческий фактор", о котором шла речь выше.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Разработан метод и алгоритм построения математической модели на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса, который позволяет быстро установить оценку точности сформированной модели на имеющемся экспериментальном материале. В частности:

1. Разработан метод построения математической модели наилучшей точности (на имеющемся экспериментальном материале) на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса путем симплекс-декомпозиции области определения модели.

2. Разработан вариант алгоритма симплекс-декомпозиции области определения модели.

3. Разработана методика построения математической модели заданной точности (на имеющемся экспериментальном материале) в виде оператора определенного класса.

4. Разработан подход к построению математической модели на основе

концептуальной модели в виде оператора определенного класса, аргументами которого являются элементы функционального пространства определенного вида.

Предложенный метод позволяет достаточно быстро проверять гипотезы о существовании многомерных концептуальных моделей явлений.

Кроме этого:

- Разработана модель изменения среднего курса американского доллара к немецкой марке через 2 часа от момента прогноза с точностью 30 базисных пунктов (на данных за период 2 мес.).

- Разработаны модели изменения квартальной прибыли нескольких предприятий транспортной отрасли США с точностью от 17% до 25% (в зависимости от модели и компании) на данных за период 1995-1999 г.г.

Список условных обозначений: р" — и-мерное линейное пространство,

X = {х, - множество результатов измерений характеристик (X е Р"), {г,} -значения моделируемой характеристики, полученные экспериментально, Д - точность модели, ох - точность задания к-й характеристики, т - номер разбиения, NЕ — количество элементарных симплексов, Мс — количество пересекающихся пар элементарных симплексов, С(1к т) - граница симплекса Е(1к т) , Мь - количество базисных функций, V - номер итерации, Р(г) - средний курс.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1 Небываев В.А. Алгоритм декомпозиционного симплекс-разбиения области определения модели // Моделирование процессов управления и обработки информации - М.: МФТИ, 1999

2 Небываев В.А., Карабущенко Л.Л. Особенности построен™ математических зависимостей заданной точности от характеристик, представляющих собой элементы множества функций II Моделирование процессов управления и обработки информации. - М.: МФТИ, 1999

3 Небываев В.А., Можаров С.А. К вопросу построения имитационных моделей в макроэкономике // V научная конференция: Краткие тезисы докладов. - Тамбов: ТГТУ, 2000. - С. 150-151

4 Небываев В. А. Об одном подходе к построению многомерной математической модели заданной точности // Труды международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-2000". - Санкт-Петербург: СПГТИ, 2000. - Т.б. - С. 173-174

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. ОБСУЖДЕНИЕ ПРОБЛЕМ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В

СЛАБОФОРМАЛИЗОВАННЫХ ОБЛАСТЯХ ЗНАНИЯ.

1.1 Обзор существующих подходов к построению математических моделей.

1.2 Проблемы формального описания экономики.

1.3 К проблеме возможности построения математических моделей в слабо формализованных областях знаний.

1.4 Некоторые проблемы, возникающие на этапах построения математических моделей.

1.4.1 Проблемы идентификации математической модели.

1.5 Выводы.

2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМИСТИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ.

2.1 Вопрос необходимых и достаточных условий идентификации модели заданной точности, построенной на конечном наборе данных и характеристик.

2.2 Существование математической модели, определенной до значений конечного числа параметров. Определение симплекс-разбиения.

2.3 Математическая постановка задачи. Определение оптимистической" оценки точности.

2.4 Варианты критериев.

3 ПОСТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ МНОГОМЕРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ (ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА) ЗАДАННОЙ «ОПТИМИСТИЧЕСКОЙ» ТОЧНОСТИ.

3.1 Алгоритм декомпозиционного симплекс-разбиения области определения модели.

3.2 Особенности построения зависимостей от характеристик, представляющих собой элементы множества функций, заданные параметрическим образом.

3.3 Построение модели заданной точности.

4 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ВЫБОР ХАРАКТЕРИСТИК ИСХОДЯ ИЗ ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ.

ВОПРОС ЭКСПРЕСС-ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧНОСТИ.

4.1 Предварительное обсуждение проблемы.

4.2 Первый подход.

4.3 Второй подход.

5 ИЛЛЮСТРАЦИЯ МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ

НА МОДЕЛЬНОМ ПРИМЕРЕ.

6 МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ СРЕДНЕГО КУРСА АМЕРИКАНСКОГО ДОЛЛАРА К НЕМЕЦКОЙ МАРКЕ.

6.1 Описание характеристик, от которых предполагается зависимость и задание эмпирической точности определения характеристик.

6.2 Результаты исследования выбранного набора характеристик и выявления максимальной точности модели.

6.3 Сравнение доходности операций, которую обеспечивает модель с доходностью, которую дают классические методы технического анализа.

7 ИЛЛЮСТРАЦИЯ МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ НА ПРИМЕРЕ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ

ПРИБЫЛИ ПРЕДПРИЯТИЯ.

7.1 Краткое описание отрасли и моделируемых предприятий.

7.2 Этап концептуального моделирования и идентификация.

7.2.1 Первая модель.

7.2.2 Этап формализованного представления модели.

7.2.3 Идентификация первой модели.

7.2.4 Вторая модель.

7.2.5 Этап формализованного представления модели.

7.2.6 Идентификация второй модели.

7.3 Выводы.

Актуальность работы.

В различных прикладных задачах в связи с динамичным развитием научно-технического прогресса все чаще приходится решать вопросы принятия решений, определяемых прогнозами поведения сложных объектов. Для получения необходимых прогнозов важно уметь строить математические модели сложных объектов, характер поведения которых часто малоизучен. При этом такая ситуация является достаточно типичной на практике в связи с вопросами оперативного принятия адекватных решений.

Для принятия решения не требуется детального изучения объекта. Тем более, что такое изучение может оказаться дорогостоящим и трудоемким, не удовлетворяющим временным и экономическим ограничениям, накладываемым на задачу принятия решения. При этом часто возникают проблемы недостатка экспериментального материала и воспроизводимости эксперимента. И тем не менее, в указанной ситуации остается возможность построить математическую модель, точность которой может отвечать некоторым требованиям практической применимости.

Помимо этого, во многих областях знаний постоянно возникает потребность проверки тех или иных гипотез, следствия которых практически невозможно получить аналитическим путем.

В настоящее время имеющиеся подходы моделирования, как правило, оперируют математическими объектами с небольшим количеством переменных. Поэтому вопрос построения многомерных математических моделей, безусловно, является актуальным.

Данная работа посвящена вопросу построения математических моделей в исследованиях, в которых методы формального анализа не получили широкого распространения. Предложен метод, позволяющий учитывать в модели большое количество характеристик объекта. Подход, приведенный в работе, позволяет быстро установить оценку точности сформированной модели на имеющемся экспериментальном материале.

Цель научного исследования.

Целью диссертационной работы является разработка метода и алгоритма построения математической модели на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса, который позволяет быстро установить оценку точности сформированной модели на имеющемся экспериментальном материале.

Научная новизна.

- Разработан метод построения математической модели наилучшей точности (на имеющемся экспериментальном материале) на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса путем симплекс-декомпозиции области определения модели.

- Разработан вариант алгоритма симплекс-декомпозиции области определения модели.

- Разработана методика построения математической модели заданной точности (на имеющемся экспериментальном материале) в виде оператора определенного класса.

- Построение математической модели на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса, аргументами которого являются элементы функционального пространства определенного вида.

- Разработана модель изменения среднего курса американского доллара к немецкой марке через 2 часа от момента прогноза с точностью 30 базисных пунктов (на данных за период 2 мес.).

- Разработаны модели изменения квартальной прибыли нескольких предприятий транспортной отрасли США с точностью от 17% до 25% (в зависимости от модели и компании) на данных за период 1995-1999 г.г.

Практическая ценность и реализация результатов исследования.

В виде программы для ЭВМ реализован метод построения математической модели наилучшей точности (на имеющемся экспериментальном материале) на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса путем симплекс-декомпозиции области определения модели.

В виде программы для ЭВМ реализован вариант алгоритма симплекс-декомпозиции области определения модели.

Разработана модель изменения среднего курса американского доллара к немецкой марке через 2 часа от момента прогноза с точностью 30 базисных пунктов (на данных за период 2 мес.).

Разработаны модели изменения квартальной прибыли нескольких предприятий транспортной отрасли США с точностью от 17% до 25% (в зависимости от модели и компании) на данных за период 1995-1999 г.г.

Алгоритмы и программы работы использованы на реальных предприятиях - участниках рынка ценных бумаг:

- ОАО "Федерально-Инвестиционная Палата",

- ООО "Рид Сервис",

- компания Carleton Management Inc. (США) (российское представительство).

Основные положения, выносимые на защиту.

- Метод построения математической модели наилучшей точности (на имеющемся экспериментальном материале) на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса путем симплекс-декомпозиции области определения модели.

- Вариант алгоритма симплекс-декомпозиции области определения модели.

- Методика построения математической модели заданной точности в виде оператора определенного класса.

- Построение математической модели на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса, аргументами которого являются элементы функционального пространства определенного вида.

- Модель изменения среднего курса американского доллара к немецкой марке через 2 часа от момента прогноза с точностью 30 базисных пунктов (на данных за период 2 мес.).

- Модели изменения квартальной прибыли нескольких предприятий транспортной отрасли США с точностью от 17% до 25% (в зависимости от модели и компании) на данных за период 1995-1999 г.г.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах:

- на международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-2000", г. Санкт-Петербург, 2000 г.

- на V научной конференции ТГТУ, Тамбов, 2000 г.

- на семинарах кафедры ВСиАНИ и инновационного менеджмента МФТИ в 1997-2000 г.г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в четырех печатных работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, выводов, списка использованной литературы и приложения.

Основные результаты:

1. Разработан метод построения математической модели наилучшей точности (на имеющемся экспериментальном материале) на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса путем симплекс-декомпозиции области определения модели.

2. Разработан вариант алгоритма симплекс-декомпозиции области определения модели.

3. Разработана методика построения математической модели заданной точности (на имеющемся экспериментальном материале) в виде оператора определенного класса.

4. Построение математической модели на основе концептуальной модели в виде оператора определенного класса, аргументами которого являются элементы функционального пространства определенного вида.

5. Разработана модель изменения среднего курса американского доллара к немецкой марке через 2 часа от момента прогноза с точностью 30 базисных пунктов (на данных за период 2 мес.). 1

6. Разработаны модели изменения квартальной прибыли нескольких 1 предприятий транспортной отрасли США с точностью от 17% до 25% (в зависимости от модели и компании) на данных за период 1995-1999 г.г.