автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Построение и исследование дискретной математической модели безынерционных пространственных эффектов в волновых полях конечной амплитуды

004687256

На правах рукописи

Чистякова Татьяна Алексеевна

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЭФФЕКТОВ В ВОЛНОВЫХ ПОЛЯХ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 ИЮЛ 7010

Таганрог - 2010

004607256

Работа выполнена в Технологическом институте Южного федерального университета в г. Таганроге (ТТИ ЮФУ).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сухинов Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Куповых Геннадий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор Илюхин Александр Алексеевич

Ведущая организация: Южно-Российский государственный технический университет.

Защита состоится в июля 2010 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 ТТИ ЮФУ по адресу: 347928, г. Таганрог, Некрасовский пер., 44.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 5 июня 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета А.II. Целых

I. Обшая характеристика работы.

Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью применения ультразвуковых волн в следующих медицинских и технических сферах:

1) Ультразвуковая медицинская томография - метод неразрушающего послойного исследования внутренней структуры объекта посредством его многократного просвечивания в различных пересекающихся направлениях. Эта область, предполагающая развитие методов томографирования и их приложение к медицинской диагностике, с каждым годом привлекает все большее внимание. Остро стоит проблема выявления патологически измененного участка органа человека на самой ранней стадии развития болезни, когда лечение является еще сравнительно легким и эффективным. Так, желательно обнаружение злокачественной опухоли, когда ее размеры составляют около 1мм или даже доли миллиметра. Диагностика с помощью ультразвука, согласно современным медицинским стандартам, безвредна (в отличие от рентгеновской томографии), а акустические медицинские приборы намного дешевле ЯМР-томографов (которые не превзойдены в настоящее время по качеству, однако крайне дороги и потому малодоступны).

2) Ультразвуковая терапия - метод, основанный на действии на ткани высокочастотных звуковых колебаний. Ее эффективность обусловлена совокупным влиянием механических, химических и тепловых факторов. Принцип методики заключается в направленном воздействии на биологические ткани высокочастотных волн. Они вызывают ограниченное движение и изменение объема клеток, в результате которого массаж происходит на микроскопическом уровне. Это улучшает проницаемость клеточных мембран, ускоряет обменные процессы, способствует рассасыванию уплотнений. Изменения на клеточном уровне вызывают повышенный синтез ферментов и гиалуроновой кислоты, следствием которого является рассасывание рубцовых и спаечных образований. Ускоряются окислительно-восстановительные процессы, образование биологически активных веществ. Клетки начинают ускоренно делиться, и ткани быст-

рее обновляются. Ультразвук обладает тонизирующим, противовоспалител ным, обезболивающим и спазмолитическим действием. Благотворное действ1 ультразвуковой терапии применяют при лечении аллергических реакций, заб( леваний кожи и суставов.

3) Ультразвуковой неразрушающий контроль - хорошо отработанн; технология обеспечения качества продукции. Ультразвуковые волны позвол: ют измерять толщину материалов, определять степень их монолитности и ш следовать их другие физические свойства. Используя методы ультразвуковог неразрушающего контроля, можно получать быстрые и надежные результат измерений толщины или обнаруживать скрытые внутренние дефекты без разр< зания или разделения объектов контроля. Одной из самых важных областей применения ультразвукового контроля является измерение остаточной толцц ны стенок металлических труб, резервуаров или баллонов, подверженных коррозии с внутренней стороны.

Закономерности распространения волновых пучков большой амплитуды отличаются от законов линейного распространения, поэтому любые приложения интенсивных звуковых полей требуют уточнения физической и математической модели эволюции волновых возмущений конечной амплитуды.

Нелинейные процессы в ультразвуковых пучках вследствие отсутствия физической дисперсии в большинстве звукопрозрачных сред представляют собой сложные пространственно-временные явления, описываемые квазилинейными уравнениями со степенным характером нелинейных членов. В большинстве практически важных случаев решение модельных уравнений не может быть получено аналитическими методами. Единственной возможностью изучения и применения нелинейных волновых процессов является математическое моделирование.

Несмотря на большое количество математических моделей в настоящее время отсутствуют доступные специализированные модели, описывающие распространение звуковых пучков в нелинейных средах. Как правило, результаты по существующим моделям носят частный характер и встречаются в научной

литературе по нелинейной акустике. Отсутствие таких моделей и их программной реализации сдерживает практическое применение нелинейных эффектов в гидроакустике, неразрушающем контроле, медицинской диагностике.

Основной научной целью данной работы является построение прецизионной (второго порядка погрешности аппроксимации) консервативной конечно-разностной модели для квазилинейного уравнения, описывающего распространение звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде, и исследование пространственных нелинейных эффектов в полях волн конечной амплитуды.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие основные задачи:

• обзор известных непрерывных и дискретных моделей распространения звуковых пучков;

• разработка комплекса дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде повышенного порядка точности;

• выполнение программной реализации модели;

• проведение вычислительного эксперимента по исследованию пространственных нелинейных эффектов в волновых полях конечной амплитуды.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Построена конечно-разностная модель повышенного порядка точности (второго) для квазилинейного уравнения, описывающего распространение звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде.

2. Доказана консервативность, устойчивость и сходимость построенной модели.

3. Выполнены вычислительные эксперименты, на основе которых установлен эффект существования в квадратично-нелинейных средах без физической дисперсии явлений компрессии и декомпрессии звуковых импульсов.

4. С помощью построенной модели выполнен численный эксперимент и доказана возможность существования фокусировки звуковых пучков.

Практическая значимость исследования состоит в том, что построен комплекс программ для представленной модели, и на его основе могут быть

выполнены высокоточные расчеты для взаимодействия ультразвуковых пучков в нелинейно-диссипативных средах в задачах медицинской диагностики и терапии (ультразвуковая терапия, ультразвуковая томография), а также неразру-шающего контроля и других областях.

Апробация результатов исследования. Результаты работы обсуждались на VI Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии» (26-28 февраля 2008, Томск); IX Всероссийской научной конференции «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2008); Международной научно-технической конференции «Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов» (8-12 сентября, 2008, Таганрог); V Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (1-5 июня, 2009, Ростов - на Дону). По теме диссертации опубликованы 6 печатных работ, из них 1 статья - в отечественном реферируемом журнале, входящем в список изданий, рекомендованных ВАК.

Структура диссертационной работы.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложений. Диссертация изложена на 138 страницах, включает в себя 29 иллюстраций, 4 таблицы и список из 61 использованных источников.

II. Основное содержание исследования.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются основная цель и задачи диссертационного исследования, научная новизна и раскрывается практическая значимость работы.

Первая глава посвящена обзору непрерывных и дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде. В §1.1. приводится вывод уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова, на котором основывается непрерывная математическая модель распространения звуковых пучков, а также уравнения Бюргерса и Хох-

лова-Заболотской (частные случаи уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова). Далее введением новых переменных осуществляется переход к безразмерному уравнению Хохлова-Заболотской-Кузнецова:

дв

Зу ^ д2у \ N ,

дв дв1) 4

где v = v(:,в,l■)- величина скорости частиц среды, Г - диссипативный параметр, в - время в сопровождающей системе координат, г - нормированное расстояние, N - параметр уравнения, характеризующий соотношение нелинейной и дифракционной длин волны, Д± - поперечный лапласиан.

На основе полученного уравнения Заболотской Е.А., Бахваловым Н.С. и Жилейкиным Я.М. была предложена следующая краевая задача:

/У„-=---+ ВА,у = -М—г,

0 дв2 двд: 1 дв3

Е\йг,Е-единичный оператор ^,

для решения которой предлагается метод расщепления по физическим процессам, согласно которому исходное уравнение записывается в виде:

Э2у д2у2 д\

двд: 1 2 ° дв2 12 дв3

Пусть решение задано на пространственном слое гп. Если заменить полученное уравнение на 2 уравнения, одно из которых учитывает нелинейность и дисперсию, а второе - диссипацию:

д2и д:дв

д2к д:дв

то для гладких решений справедливо равенство:

Последовательное решение двух полученных уравнений является более легкой задачей, чем непосредственное решение исходного уравнения. Предложенная модель обладает порядком погрешности аппроксимации 0[И2 + /;02), т.е.

первым порядком по переменной г, что и является ее недостатком. В §1.2. приводится прецизионная дискретная математическая модель для квазилинейного уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова, описывающего распространение звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде. Модель строится на основе метода расщепления по физическим процессам. Исходная задача представлена уравнением Хохлова-Заболотской-Кузнецова в обезразмеренном виде:

д_ дв

ду ^ду ^ 8 V

!ь~У~дё~ Ив1

N

(1)

с начальным условием:

у(0 ,в,г) = У(в,г) и граничными условиями: -условие периодичности сигнала: v(z,0,r) = v{z,2л,r),

- условие симметричности:

у'г(:,9,0) = 0,

- условие отсутствия энергии в бесконечно удаленной точке:

у(_-Дсо) = 0,

где величина скорости частиц среды, Г - диссипативный пара-

метр, в - время в сопровождающей системе координат, ; - нормированное расстояние, N - параметр уравнения, характеризующий соотношение нелиней-

ной и дифракционной длин волны, Дх - поперечный лапласиан в полярной сис-1 д ( д'

теме координат Дх =--г

г дг\ дг

Расчетная область по пространственным направлениям х,у,: представляет собой цилиндр (рис.1).

Рис. 1. Расчетная область Для построения решения разностной схемы вводится равномерная сетка:

wh = {г, = ,в1 = jh0,rt = khr: n = \..NZ, j = 07,к = (LJ': Nzhz = /,Mh0 =2ж,Phr = /?},

где

n,j,k - индексы по направлениям :,в,г соответственно; h2,hg,hr - шаги по направлениям в,г соответственно; Nz,M ,Р - количество узлов сетки по направлениям г,9,г соответственно; /, R - высота и радиус цилиндра соответственно.

После аппроксимации уравнения (1) по переменной г и введения новых переменных

и" = v", и"+1 = w" = w"1 = v"+1,v"+/' s v"+i = w, где v"+<T - значение поля v на промежуточном пространственном слое,ere (0;1),

= ци"+1 + (1 -ц)и", w= + (1 - Л)v/,ц е [0; 1],Л е [0; 1], v"*'',v"*Á - значения поля v на некотором пространственном слое, исходная задача разбивается на две подзадачи, одна из которых учитывает эффекты нелинейности и диссипации среды:

«-и-—и"---r^V = 0, (2)

h 80 дв1

и'0(:,0,г) = и'0{:,2я,г), а другая - диффузию энергии в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны:

дв

V "z

N

(3)

Ч(гД0) = 0,

ic(r,6»,oo) = 0.

Далее строится дискретная модель (4) - (5):

I ~~ Wn

2К

"0 i "М-1 .к

2 к

_ р "и ¿»(Ц ^ иМ-1.к

= 0,

О /

_ „п+я ^

и M/2,/t ~ , /—I/2.A" ~,

2А0 2h0 j

7 = 0,

V

\<j<M-2, (4)

"о.к "М-\.к

2 А,

иМ-\.к "М- 1.к 2hn

_г <Г +=0.;=Л/_,

/СО/

и+1 _ » _

-М _ уУ' *У.О

А = О,

А. 4

1 ^c/jt+i ~ci.

2 J к I 2j к

1 N\ I И-,1. <-

0<к< Р, (5)

Задача (4) получена путем аппроксимации задачи (2) при помощи интег-ро-интерполяционного метода с использованием схем с весами. При этом one-

ратор нелинейности аппроксимирован таким образом, чтобы его дискретный аналог был линеен и имел второй порядок точности, что соответствует погрешности аппроксимации, свойственной схемам с весами. Задача (5) получена при помощи интерполирования тригонометрическими полиномами

м 2

= и последующим взятием частных производных по пе-

м

ременной в. Таким образом, переход между временными слоями осуществляется согласно следующим формулам: V" = и" ->и"+] = и" с" ->-> = .

В §1.2.1. для полученных подзадач проводится построение дискретной модели, основанной на явных схемах. В этом случае трудоемкость составляет () = 20РМ\о£гМ +\&РМ арифметических операций, где Р и М - количество узлов сетки по переменным г и в соответственно. В §1.2.2. проводится построение дискретной модели, основанной на неявных схемах, что требует () = 20РМ\о%2М + 48РМ арифметических операций. В §1.2.3. проводится построение дискретной модели, основанной на схемах с весами. Трудоемкость в этом случае составляет () = 20РМ\о%гМ + 5\РМ арифметических операций. В §1.3. осуществляется построение дискретной модели вторым способом - на основе метода гармоник. Данный способ является менее предпочтительным по сравнению с методом расщепления по физическим процессам, поскольку его трудоемкость составляет 0{М2Р) арифметических операций.

Во второй главе проводится исследование построенной прецизионной модели. В §2.1. определяется погрешность аппроксимации используемых схем для модели распространения звуковых пучков. В §2.1.1. определяется точность явных схем, в §2.1.2 - неявных схем. В этом случае получаем второй порядок по переменным г и в и первый порядок по переменной г. В §2.1.3 определяется точность схем с весами. В этом случае получаем второй порядок по всем переменным г,в, В §2.2 исследуется устойчивость построенных математических моделей распространения звуковых пучков. В §2.2.2., §2.2.3. и §2.2.4. на основе

метода Фурье проводится исследование устойчивости моделей, основанных на явных схемах, неявных схемах и схемах с весами соответственно. Модель, основанная на явных схемах, является неустойчивой. Модели, основанные на неявных схемах и схемах с весами (<т > 1 / 2 - Ь02 / 4ГИ^, являются абсолютно устойчивыми. В §2.3. проводится сравнение предложенных схем с точки зрения устойчивости и порядка погрешности аппроксимации. Сравнение показало, что для решения задачи распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде целесообразно использовать схемы с весами. В §2.4 проверяется консервативность схем с весами для задач распространения волновых пучков. Показано, что при распространении звуковых пучков только лишь приграничные узлы являются стоками поля, что соответствует непрерывному физическому процессу. Другие источники и стоки отсутствуют. Другими словами, данная дискретная модель соответствует ее непрерывному аналогу с точки зрения баланса энергии и является консервативной.

В третьей главе проводится описание программной реализации математической модели. Программа выполняет расчет функции скорости частиц среды и коэффициентов ряда Фурье функции скорости частиц среды, и содержит следующие блоки:

- управляющий блок (в данном блоке осуществляются следующие действия: выделение памяти для используемых переменных, ввод начальных условий, задание вспомогательных массивов для быстрого преобразования Фурье; и вызываются функции: расчет скорости частиц среды с учетом диссипации и нелинейности процесса распространения волновых пучков, расчет коэффициентов ряда Фурье для функции скорости частиц среды, расчет скорости частиц среды с учетом дисперсии скорости распространения волновых пучков, расчет функции скорости частиц среды по коэффициентам ряда Фурье, функции вывода данных и удаления массивов);

- блок расчета скорости частиц среды с учетом диссипации и нелинейности процесса распространения волновых пучков;

- блок построения сеточных уравнений для расчета скорости частиц среды с учетом диссипации и нелинейности процесса распространения волновых пучков;

- блок прямого хода быстрого преобразования Фурье (в данном блоке в матрице скоростей V для каждой строки как для вектора применяется быстрое преобразование Фурье, и полученные векторы заносятся в матрицу коэффициентов Фурье С);

- блок обратного хода быстрого преобразования Фурье (в данном блоке в матрице коэффициентов Фурье С для каждой строки выполняется комплексное сопряжение и как для вектора применяется быстрое преобразование Фурье, затем полученные векторы заносятся в матрицу скоростей у);

- блок быстрого преобразования Фурье;

- блок расчета методом прогонки СЛАУ с комплексной матрицей;

- блок расчета расчет скорости частиц среды с учетом дисперсии скорости распространения волновых пучков;

- блок расчета СЛАУ методом циклической прогонки.

Схема алгоритма программы представлена на рис.2.

В четвертой главе приводятся результаты численных экспериментов, осуществляется верификация построенной математической модели. В §4.1.(рис.3, рис.4, рис.5) рассматриваются пучки с начальным гауссовским распределением: У(в,г) = е~г зт(£?). На рис.3 черным цветом изображена исходная функция скорости частиц среды, а светлой поверхности соответствует функция скорости частиц при следующих параметрах: г = 0.5, Г = 0.001, N = 0.4, Р= 100, М = 2п. На рис.4 представлены исходная функция скорости и функция скорости при г = 1.

Рис.3. Функции скорости частиц среды Рис.4. Функции скорости частиц среды при г = 0 и г = 0.5 при г = 0 и : = \

На рис.5 приведена функция двух переменных г(в,г) при фиксированных значениях г:г = 0.1,2.4. При этом вертикальная ось соответствует переменной г, а горизонтальная - переменной в. С ростом г положительный и отрицательный фронты сближаются. Из рис.3, рис.4 и рис.5 видно, что с ростом г интенсивность сигнала уменьшается и исходный гауссовский пучок расширяется вдоль координаты г.

Рис.5. Функция двух переменных при фиксированных значениях г

В §4.2. (рис.6, рис.7, рис.8 и рис.9) рассматриваются пучки с распределением, равномерным по амплитуде и квадратичным по фазе: У(в,г) = 5т[в + кгг\к = 1.6л. На рис.6 изображена исходная функция скорости частиц среды, а на рис.7 - функция скорости при следующих параметрах: г = 0.5, Г = 0.001, N =0.2, />=100, М = 216. Видно, что происходит фокусировка звукового пучка.

Рис. 6. Функция скорости частиц рис- 7- Функция скорости частиц среды среды при г = 0 ПРИ - = °-5

На рис.8 представлены графики зависимостей скорости частиц среды V от переменной в на оси симметрии (г = 0) при разных г :: = 0,0.5,1,1.5, при этом кривой 1 соответствует значение : = 0, а кривой 2 - значение г = 1.5. Крестами обозначены максимальные значения скорости частиц среды при фиксированных -- = 0,0.1,0.2,...,1.5, а кругами - минимальные значения скорости при тех же значениях г.

На рис.9 изображены графики зависимости скорости частиц среды V от переменной г на оси симметрии (г = 0), при этом верхняя часть графика соответствует функции V* (;) = тах[у(г, $,/•)}, а нижняя - V" (г) = ггнп{у(::,#,г)}.

Рис.8. Зависимости скорости частиц среды от в на оси симметрии при разных г: - = 0,0.5,1,1.5

Рис. 9. Зависимости скорости частиц среды от ; на оси симметрии

Таким образом, гауссовский пучок с ростом координаты - расширяется, его интенсивность снижается, а пучок, имеющий начальное распределение V(e,r) = s'm(6 + кг2}, фокусируется с ростом г, и его интенсивность возрастает.

В заключении описаны основные результаты и выводы по диссертационной работе.

III. Основные выводы по результатам исследования

В диссертационной работе проведено исследование процесса распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде. Обзор известных непрерывных и дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде показал,

что. несмотря на большое количество математических моделей, в настоящее время отсутствуют доступные специализированные модели, описывающие распространение звуковых пучков в нелинейных средах. Как правило, результаты по существующим моделям носят частный характер и встречаются лишь в научной литературе по нелинейной акустике. Отсутствие таких моделей и их программной реализации сдерживает практическое применение нелинейных эффектов в гидроакустике, неразрушающем контроле, медицинской диагностике. Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Для непрерывной модели, основанной на уравнении Хохлова - Заболотской - Кузнецова, построен комплекс экономичных дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде, базирующийся на схемах расщепления по физическим процессам. В работе исследована точность построенных схем. Использование явных и неявных схем приводит ко второму порядку по переменным г и в и первому порядку переменной г. Схемы с весами позволяют получить второй порядок погрешности аппроксимации по всем переменным г,в,:, что позволяет повысить точность решения задач по сравнению с известными схемами. Также рассматривается дискретная модель, основанная на методе гармоник.

2. Для решения подзадач, полученных в результате применения схем расщепления по физическим процессам, используются методы, основанные на явных схемах, неявных схемах и схемах с весами. В работе определена вычислительная трудоемкость предложенных методов. Из сравнения трудоемкостей метода, основанного на схемах расщепления по физическим процессам (его трудоемкость составляет 0(МР\о%2М) арифметических операций), и метода

гармоник (его трудоемкость - 0(М2Р) операций) следует, что метод, основанный на схемах расщепления по физическим процессам, является менее трудоемким по сравнению с методом гармоник.

4. Проведено исследование устойчивости и сходимости к линейному приближению уравнения Хохлова - Заболотской - Кузнецова построенных дис-

кретных математических моделей. Модель, основанная на явных схемах, является неустойчивой. Модели, основанные на неявных схемах и схемах с весами (с > 1 / 2 - кд / 4Г/г2), являются абсолютно устойчивыми.

5. Сравнение предложенных схем с точки зрения устойчивости и порядка погрешности аппроксимации показало, что для решения задачи распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде целесообразно использовать схемы с весами.

6. В диссертационной работе доказана консервативность дискретной математической модели распространения нелинейных звуковых пучков конечной амплитуды, построенной на основе схем с весами.

7. Проведен ряд вычислительных экспериментов по исследованию пространственных нелинейных эффектов в волновых полях конечной амплитуды, подтвердивших эффекты диссипации и дисперсии; результаты экспериментов соответствуют реальным физическим явлениям и согласуются с результатами, полученными другими авторами.

IV. Список опубликованных работ по теме диссертации.

1. Чистякова Т. А., Савицкий О. А. Схема расщепления по физическим процессам для уравнения Хохлова - Заболотской - Кузнецова. Альманах современной науки и образования №1 (8). - Тамбов: изд-во Грамота, 2008. -С. 220-222.

2. Чистякова Т. А., Савицкий О. А. Математическое моделирование распространения волновых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде. Сборник трудов VI Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии». - Томск, 2008. - С. 173-174.

3. Чистякова Т. А. Математическая модель обратного объемного рассеяния акустической волны в среде с неоднородностями. IX Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2008. - С.274.

4. Чистякова Т.А. Математическое моделирование уравнения Хохлова - Заболоцкой - Кузнецова методом гармоник. Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов// Материалы Международной научно-технической конференции (8-12 сентября, 2008, Таганрог, Россия)// ТГПИ. - Таганрог: Изд-во НП «ЦРЛ», 2008. - С. 142-145.

5. Чистякова Т.А. Математическая модель распространения звуковых пучков и ее численная реализация на основе конечно-разностных схем. V Международная конференция по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России // Материалы Конференции (1-5 июня, 2009, Ростов - на Дону, Россия) // ЮФУ. - Ростов - на - Дону: Изд-во ЮФУ, 2009. - С. 269.

Список работ в изданиях, рекомендованных ВАК. 1. Чистякова Т.А. Дискретная конечно-разностная модель распространения волновых пучков, описываемая квазилинейным уравнением параболического типа. Известия ТТИ ЮФУ. Технические науки. - Таганрог: Изд-во Технологического Института ЮФУ, 2009. - С. 118-129.

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве.

В работе [1] автором построена схема расщепления по физическим процессам для уравнения Хохлова - Заболотской - Кузнецова; выполнен численный эксперимент для различных параметров уравнения. В работе [2] автором построена математическая модель распространения волновых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде; выполнен численный эксперимент.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Математическая модель распространения звуковых пучков.

1.1. Непрерывная и дискретная модель распространения звуковых пучков (обзор).

1.2. Прецизионная дискретная модель на основе схем расщепления по физическим процессам.

1.2.1. Дискретная модель, основанная на явных схемах.

1.2.2. Дискретная модель, основанная на неявных схемах.

1.2.3. Дискретная модель, основанная на схемах с весами.

1.3. Метод гармоник для уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова.

ГЛАВА 2. Исследование прецизионной модели распространения звуковых пучков.

2.1. Погрешность аппроксимации разностных схем.

2.1.1. Погрешность аппроксимации явной разностной схемы.

2.1.2. Погрешность аппроксимации неявной разностной схемы

2.1.3. Погрешность аппроксимации разностной схемы с весами

2.2. Устойчивость разностных схем.

2.2.1. Метод Фурье для исследования устойчивости.

2.2.2. Устойчивость явной разностной схемы.

2.2.3. Устойчивость неявной разностной схемы.

2.2.4. Устойчивость разностной схемы с весами.

2.3. Сравнение предложенных схем.

2.4. Консервативность дискретной математической модели, основанной на схемах с весами.

ГЛАВА 3. Программная реализация математической модели распространения звуковых пучков.

3.1. Общие сведения о программе.

3.2. Функциональное назначение программы.

3.3. Описание логической структуры программы.

3.4. Используемые технические средства.

3.5. Вызов и загрузка программы.

ГЛАВА 4. Результаты численных экспериментов для звуковых пучков конечной амплитуды.

4.1. Распространение гауссовского пучка.

4.2. Распространение пучка с равномерным амплитудным и параболическим фазовым распределением.

Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью применения ультразвуковых волн в следующих медицинских и технических сферах:

1) Ультразвуковая медицинская томография — метод неразрушающего послойного исследования внутренней структуры объекта посредством его многократного просвечивания в различных пересекающихся направлениях. Эта область, предполагающая развитие методов томографирования и их приложение к медицинской диагностике, с каждым годом привлекает все большее внимание. Остро стоит проблема выявления патологически измененного участка органа человека на самой ранней стадии развития болезни, когда лечение является еще сравнительно легким и эффективным. Так, желательно обнаружение злокачественной опухоли, когда ее размеры составляют около 1мм или даже доли миллиметра. Диагностика с помощью ультразвука, согласно современным медицинским стандартам, безвредна (в отличие от рентгеновской томографии), а акустические медицинские приборы намного дешевле ЯМР-томографов (которые не превзойдены в настоящее время по качеству, однако крайне дороги и потому малодоступны).

2) Ультразвуковая терапия — метод, основанный на действии на ткани высокочастотных звуковых колебаний. Ее эффективность обусловлена совокупным влиянием механических, химических и тепловых факторов. Принцип методики заключается в направленном воздействии на биологические ткани высокочастотных волн. Они вызывают ограниченное движение и изменение объема клеток, в результате которого массаж происходит на микроскопическом уровне. Эго улучшает проницаемость клеточных мембран, ускоряет обменные процессы, способствует рассасыванию уплотнений. Изменения на клеточном уровне вызывают повышенный синтез ферментов и гиалуроновой кислоты, следствием которого является рассасывание рубцовых и спаечных образований. Ускоряются окислительно-восстановительные процессы, образование биологически активных веществ. Клетки начинают ускоренно делиться, и ткани быстрее обновляются. Ультразвук: обладает тонизирующим, противовоспалительным, обезболивающим и спазмолитическим действием. Благотворное действие ультразвуковой терапии применяют при лечении аллергических реакций, заболеваний кожи и суставов [25].

3) Ультразвуковой неразрушающий контроль — хорошо отработанная технология обеспечения качества продукции. Ультразвуковые волны позволяют измерять толщину материалов, определять степень их монолитности и исследовать их другие физические свойства. Используя методы ультразвукового неразрушающего контроля, можно получать быстрые и надежные результаты измерений толщины или обнаруживать скрытые внутренние дефекты без разрезания или разделения объектов контроля. Одной из самых важных областей применения ультразвукового контроля является измерение остаточной толщины стенок металлических труб, резервуаров или баллонов, подверженных коррозии с внутренней стороны [24].

Закономерности распространения волновых пучков большой амплитуды отличаются от законов линейиого распространения, поэтому любые приложения интенсивных звуковых полей требуют уточнения физической и математической модели эволюции волновых возмущений конечной амплитуды.

Нелинейные процессы в ультразвуковых пучках вследствие отсутствия физической дисперсии в большинстве звукопрозрачных сред представляют собой сложные пространственно-временные явления, описываемые квазилинейными уравнениями со степенным характером нелинейных членов [2,14]. В большинстве практически важных случаев решение модельных уравнений не может быть получено аналитическими методами. Единственной возможностью изучения и применения нелинейных волновых процессов является математическое моделирование.

В настоящее время математическое моделирование вступает в новый, принципиально важный этап своего развития, встраиваясь в структуры так называемого информационного общества. Впечатляющий прогресс средств переработки, передачи и хранения информации отвечает мировым тенденциям к усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными ресурсами нельзя и думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако информация как таковая зачастую мало что дает для анализа и прогноза, для принятия решений и контроля за их исполнением. Нужны надежные способы переработки информационного «сырья» в ютовый «продукт», г.е. в точное знание. История методологии математического моделирования убеждает: она может и должна быть интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процесса информатизации общества [22].

Несмотря на большое количество математических моделей в настоящее время отсутствуют доступные специализированные модели, описывающие распространение звуковых пучков в нелинейных средах. Как правило, результаты по существующим моделям носят частный характер и встречаются в научной литературе по нелинейной акустике. Отсутствие таких моделей и их программной реализации сдерживает практическое применение нелинейных эффектов в гидроакустике, неразрушающем контроле, медицинской диагностике.

Построенная модель подразумевает её внедрение в инженерные методики для расчета полей параметрических антенн, мощных сфокусированных излучателей, работающих с волнами конечной амплитуды, и т.д.

Основной научной целью данной работы является построение прецизионной консервативной конечно-разностной модели для квазилинейного уравнения, описывающего распространение звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде, и исследование пространственных нелинейных эффектов в волновых полях конечной амплитуды.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие основные задачи:

• обзор известных непрерывных и дискретных моделей распространения звуковых пучков;

• разработка комплекса дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде повышенного порядка точности;

• выполнение программной реализации модели;

• проведение вычислительного эксперимента по исследованию пространственных нелинейных эффектов в волновых полях конечной амплитуды.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Построена конечно-разностная модель для квазилинейного уравнения, описывающего распространение звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде, повышенного порядка точности.

2. Доказана консервативность и устойчивость построенной модели.

3. Выполнен вычислительный эксперимент, показана возможность существования в квадратично-нелинейных средах без физической дисперсии явлений компрессии и декомпрессии звуковых импульсов.

4. С помощью построенной модели выполнен численный эксперимент и доказана возможность существования фокусировки.

Практическая значимость исследования состоит в том, что построен комплекс программ для представленной модели и на его основе могут быть выполнены высокоточные расчеты для распространения ультразвуковых пучков в нелинейно-диссипативных средах в задачах медицинской диагностики и терапии (ультразвуковая терапия, ультразвуковая томография), а также неразру-шающего контроля и других областях.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертации обсуждались на VI Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии» (26-28 февраля 2008, Томск); IX Всероссийской научной конференции «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2008); Международной научно-технической конференции «Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов» (8-12 сентября, 2008, Таганрог); V Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (1—5 июня, 2009, Ростов - на Дону). По теме диссертации опубликованы 6 печатных работ, из них 1 статья - в отечественном реферируемом журнале, входящем в список изданий, рекомендованных ВАК.

Краткое содержание и структура работы.

Диссертация изложена на 138 страницах, включает в себя 29 иллюстраций, 4 таблицы и список из 61 использованных источников; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литершуры и приложений.

Выводы по третьей главе: выполнена программная реализация математической модели распространения звуковых пучков на языке программирования С++; программа выполняет расчет функции скорости частиц среды и коэффициентов ряда Фурье функции скорости частиц среды.

Глава 4. Результаты численных экспериментов для звуковых пучков конечной амплнтуды.

В данной главе приводятся результаты численных экспериментов для двух различных начальных распределений звуковых пучков.

4.1. Распространение гауееовского пучка.

Рассмотрим распространение звукового пучка с начальным значением скорости частиц среды V(6,r) = e~r sin (в). На рис. 4.1 [34-37] черным цветом изображена исходная функция скорости частиц среды, а цветной поверхности соответствует функция скорости частиц при следующих параметрах: z = 0.5, Г = 0.001, N = 0.4,

Р —100, М - 2п. Нарис.4.2 цветной поверхности соответствует искомая функция при других значениях: z — 1, Г = 0.001, N=0.4, /^ = 100, М = 212. На представленных рисунках количество дискретных значений по оси, соответствующей переменной О, равно 512; по оси, соответствующей г- 100; по оси, соответствующей z— 50. Таким л 2 лобразом, шаг дискретизации по в равен-, по г - 0.05, по z - 0.1.

Рис. 4.1. Функции скорости частиц Рис. 4.2. Функции скорости частиц сре-среды при z — 0 и z = 0.5 ды при z = 0 и z = 1

На рис.4,3 представлены изменения профилей волны на оси симметрии (г = О) с ростом в, при этом графику красного цвета соответствует исходная функция (при z — 0), остальным фафикам соответствуют значения z=0.5,1,1-5. Из рис.4.1, рис.4.2 и рис.4.3 видно, что с ростом z интенсивность сигнала на его оси уменьшается и исходный гауссовский пучок расширяется.

Рис.4.3. Изменения профилей волны на оси симметрии (г = 0) с ростом в

На рис. 4.4 представлены изменения профилей волны с ростом параметра в для разных значений радиуса г: г = 0,0.25,0.5,1 при фиксированном значении z. Графикам красного цвета соответствует профиль при г = 0, фафикам фиолетового цвета - профиль при г —1. Видно, что с увеличением значения г амплитуда сигнала уменьшается.

Рис. 4.4. Профили волны для разных значений радиуса г\ /- = 0,0.25,0.5,1 при фиксированном значении г: a) z — 0, б) z = 0.5, в) z = 1, r) z = 2

На рис. 4.5 представлена функция двух переменных при фиксированных значениях z: z - 0,0.5,1,2,3,4. При этом вертикальная ось соответствует переменной г, а горизонтальная - переменной 0. С ростом z пучок расширяется вдоль координаты г, положительный и отрицательный фронты сближаются.

Рис.4.5. Функция двух переменных v{6,r) при фиксированных значениях z z=0,5

ООО кхя km 1

Л > о о о о о

N ч о о о 0

Ч ч ooq 4лд НС)

N о- к

О 10 20 JO 40 3d 60 70 И) 40 100

7=1

0J

02

ООО AAA ш

О 10 20 JO -М 40 60 70 № VU U*l z=4

Рис, 4.6. Зависимости амплитуд первой, второй и третьей гармоник от г при фиксированных z

На рис. 4.6 представлены зависимости амплитуд первой, второй и третьей гармоник |4|с2|,|с3| от г при различных фиксированных z:z = 0,0.5,1,2,4.

Красному цвету соответствует первая гармоника, синему — вторая, коричневому - третья. С ростом z происходит перераспределение энергии между гармопиками за счет нелинейности процесса распространения волны. Данный процесс отчетливо виден на рис. 4.7. ч о о { > ООО йДй ххх tw 1 мне 2 trace J

О о о О о о и< ч )Л

А Ь :*ХХХ> > N а X*1 X* Л XI о-^- <*ХХХ, 'ххх*, 14'44| :хххх> <XXXXl

О 5 10 IS 20 25 Ю iS 4» 45 50

Рис. 4.7. Зависимости амплитуд первой, второй и третьей гармоник от z на оси симметрии tr? д О

4 О '.О

X--L 8Ж„ x~g8

8С

Тхх®8$ ааапаастсаар

ООО tiw I ддд trace 2 ><Х> тсс J trace 4 Dbn л ' г а апа(

0 5 to 15 20 25 30 15 40 45 50

Рис. 4.8. Первая гармоника с, с ростом z при разных значениях г

На рис. 4.7. приведены зависимости амплитуд первой, второй и третьей гармоник (|с,|,|с2|,|с3|) от z на оси симметрии (г = 0). Видно, что при z — 0 присутствует только первая гармоника, затем, с увеличением z, на некотором промежутке возрастают интенсивности остальных гармоник, после чего они затухают.

На рис. 4.8 представлена первая гармоника |с,| с ростом z при разных значениях г :г = 0,0.25,0.5,1 (при этом значению г-0 соответствует график красного цвета, а значению г - 1 — график фиолетового цвета).

2 " 8

• »

А эоо (да 1 h л д truce 2 0 4 0» 0.2 ii 1 О Л >OG ttW I в, и** 2 ос- ш J jOQ true 4

X X о D 2 к в

15 2D z=0

10 15 z=0.5 ft Л Л №1

Х (№3 зею ыш*4 r; -a.,, f i л л i 0 5 0 s Z=1 в 13 30

Э*>С 1 1ЛЛ tract -. ц N MM J (rarr 4

I □ ° S. x>: икх 1 ft л л mac 2 ■ ' - 1ш* J ]QL tear 4

J к a В X

8 "'l a " f m . Q ° о □ '"ЙЯИммищ.*. л i

10 IS 20 23 2

15 20 z=4

Рис. 4.9. Зависимости с I от п при различных фиксированных значениях z

На рис. 4.9 изображены зависимости |с„| от п при различных фиксированных значениях z:z = 0,0.5,1,2,4. При этом кругами обозначен график, соответствующий г = 0, треугольниками - г = 0.25, крестами - г- 0.5 и квадратами -г = 1. z=2

Рис. 4.10. Зависимости (р от г для п = z=4

1,2,3 при фиксированных значениях z z=0,5

Рис. 4.1 1. Зависимость <р от г для z =0,0.5,1,2,4 ;п -1.

На рис. 4.10 представлены зависимости фазы волны (р от г для разных п\п- 1,2,3 при фиксированных значениях z:z =0.5,1,2,4. На рис. 4.11 изображена зависимость фазы волны ^ от г для разных z :z =0,0.5,1,2,4 и фиксированного и — 1,

4.2. Распространение пучка с равномерным амплитудным и параболическим фазовым распределением.

Рассмотрим распространение звукового пучка с другим начальным значением скорости частиц среды: K(0,r) = sin(# + кг2^,к = 1,6л-. На рис.4.12 изображена исходная функция скорости частиц среды, а на рис. 4.13 — функция скорости при следующих параметрах: z = 0.5, Г = 0.001, N = 0.2, Р = 100,

М = 216. Видно, что происходит фокусировка звукового пучка.

Рис. 4.12. Функция скорости частиц „ . . у Рис. 4.13, Функция скорости частиц среды при z- О л , г среды при z~ 0.5

На рис. 4.14 изображена функция v(0,r) при УУ = 0.2и фиксированных z:z = 0,0.5,1,1.5. Видно, что с ростом z происходит фокусировка звукового пучка. z=1 z=1.5

Рис. 4.14. Функция v(0,r) при N = 0.2 и фиксированных z

Рис. 4.15. Зависимости скорости частиц среды от 9 на оси симметрии при разных z:z = 0,0.5,1,1.5

Рис, 4.16. Зависимости скорости частиц среды от z на оси симметрии

На рис. 4.15 представлены трафики зависимостей скорости частиц среды v от переменной 9 на оси симметрии (г = 0) при разных z :z = 0,0.5,1,1.5, при этом графику красного цвета соответствует значение z = 0, а графику фиолетового цвета - значение z = 1.5. Крестами обозначены максимальные значения скорости частиц среды при фиксированных z = 0,0.1,0.2,.,1.5, а кругами - минимальные значения скорости при тех же значениях z.

На рис. 4.16 изображены графики зависимости скорости частиц среды v от переменной z на оси симметрии (г = 0), при этом красным цветом обозначена функция v+ (z) = maxjv(z,#,r)j, а синим - v" (z) = min{v(z,#,r)}. Ha рис.4.17 представлены функция двух переменных cn(z,r) при фиксированных значениях п:п = 1,2,3 и функция интенсивности /(z,r) = j^c2 (z,r). Из

V n=l рис.4.17 видно, что фокусное расстояние z и 1.

Рис. 4.17. а) зависимость с, от z,r, б) зависимость с2 от z,r, в) зависимость с3 от z,r, г) функция интенсивности /(z,r)

Рис. 4.18. Зависимости первых трех гармоник и интенсивности от z на оси симметрии

На рис. 4.18 приведены зависимости первых трех гармоник и интенсивности от z на оси симметрии (г = 0), при этом первой гармонике соответствует график синего цвета, второй гармонике - график зеленого цвета и третьей гармонике — график фиолетового цвета. Из рисунка видно, что при z~ 1.5 интенсивности второй и третьей гармоник больше интенсивности первой гармоники.

Рис. 4.19. Функция v(d,z) на оси симметрии

На рис.4.19 изображена функция двух переменных v(0,z) на оси симметрии (г = 0). При этом горизонтальная ось соответствует переменной 0, а вертикальная ось — переменной z.

Рис. 4.20. Зависимость фазы (р от г для значений z :z = 0,0.5,1,1 -5

На рис. 4.20 представлена зависимость фазы волны ^ от г для разных значений z:z = 0,0.5,1,1.5. Видно, что при z = 1.5 (после перехода через фокус) появляются осцилляции фазы волны.

Таким образом, представлены результаты численных экспериментов для двух различных начальных распределений функции скорости частиц среды:

V(#,r) = e~r sin(#) и V(6,r) - sin(<9 + kr2^j,к - \,6л. Первое распределение представляет собой гауссовский пучок. С ростом z он расширяется и снижается интенсивность сигнала. Второй пучок имеет равномерное амплитудное распределение и параболическое фазовое распределение. Он с ростом z фокусируется. Результаты, полученные при численном моделировании обоих распределений волн, не противоречат физическим явлениям. При моделировании процесса фокусировки было задействовано в 16 раз больше узлов, чем при моделировании распределения гауссовского пучка, что было обусловлено необходимостью выполнения условия устойчивости. В процессе моделирования были замечены появления численных осцилляций только в случае невыполнения условий устойчивости (2.92).

Результаты численных экспериментов согласуются с результатами, полученными другими авторами, в частности, Савицким О.А. В работе [61] рассматривается круг задач, в которых диссипативными процессами можно пренебречь. В данном случае процесс распространения волновых пучков конечной амплитуды описывается уравнением Хохлова-Заболотской, которое после обезразмеривания принимает вид: dz дв дв

В данной работе рассматривается подход к получению асимптотических решений уравнения Хохлова-Заболотской для первоначально (при z=0) монохроматического гауссовского пучка v(z,0,R\:={) = е~'{2 sin(#). Результаты расчетов приведены на рис.4.21, на котором изображены профили волны на оси симет-рии с ростом в при различных фиксированных z.

11ол ученное асимптотическое решение отражает все качественные особенности трансформации волнового профиля в интенсивном звуковом пучке большой аппертуры (N<1). На оси дифракция не замедляет нелинейных процессов, и при z=l, гак же, как и в плоских волнах конечной амплитуды, формируется вертикальный участок волнового профиля (рис.4.2! - кривая 1). На больших расстояниях этот участок расширяется, что приводит к формированию слабой ударной волны {z> 1 на рис.4.21). Влияние дифракции на оси пучка проявляется в несимметричном искажении положительного и отрицательного полупериодов волнового профиля. Длительность положительного полупериода уменьшается с одновременным увеличением его амплитуды, длительность отрицательного полупериода увеличивается, а его амплитуда уменьшается.

Видно, что результаты численных расчетов автора диссертации при малых значениях параметра диссипации I (рис. 4.3) согласуются с аналитическими результатами работы |611 (рис. 4.21).

Рис. 4.21. Изменения профилей волны на оси симметрии (г = 0) с ростом

61].

В ы а оды по четвертой главе: приведены результаты численных экспериментов для гауссовского пучка и пучка, имеющего равномерное амплитудное и параболическое фазовое распределение; данные результаты не противоречат физическим явлениям и согласуются с аналитическими результатами, полученными другими авторами.

118

Заключение.

В диссертационной работе проведено исследование процесса распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде. Обзор известных непрерывных и дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде показал, что, несмотря на большое количество математических моделей, в настоящее время отсутствуют доступные специализированные модели, описывающие распространение звуковых пучков в нелинейных средах. Как правило, результаты по существующим моделям носят частный характер и встречаются лишь в научной литературе по нелинейной акустике. Отсутствие таких моделей и их программной реализации сдерживает практическое применение нелинейных эффектов в гидроакустике, неразрушающем контроле, медицинской диагностике. Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом.

1. Для непрерывной модели, основанной на уравнении Хохлова — Заболотской - Кузнецова, построен комплекс экономичных дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде, базирующийся на схемах расщепления по физическим процессам. В этом случае исходная задача разбивается на две подзадачи, одна из которых учитывает эффекты нелинейности и диссипации среды, а другая — диффузию энергии в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Также рассматривается дискретная модель, основанная на методе гармоник.

2. Для решения подзадач, полученных в результате применения схем расщепления по физическим процессам, используются методы, основанные на явных схемах, неявных схемах и схемах с весами. В работе определена вычислительная трудоемкость предложенных методов. Применение явных схем требует О = 20 PM log2 М + 18РМ арифметических операций, неявных схем — О = 20РМ log, М + 48РМ арифметических операций, а для схем с весами необходимо О = 20 РМ log2 М + 5 \РМ арифметических операций, где Р и М — количество узлов сетки по переменным г и в соответственно. Из сравнения тру-доемкостей метода, основанного на схемах расщепления по физическим процессам, и метода гармоник (его трудоемкость составляет 0(М2Р) арифметических операций) следует, что метод, основанный на схемах расщепления по физическим процессам, является менее трудоемким по сравнению с методом гармоник.

3. В диссертационной работе исследована точность построенных схем. Использование явных и неявных схем приводит ко второму порядку по переменным г и в и первому порядку переменной z. Схемы с весами позволяют получить второй порядок погрешности аппроксимации по всем переменным r,6,z, что позволяет повысить точность решения задач по сравнению с известными схемами.

4. Проведено исследование устойчивости построенных дискретных математических моделей с помощью метода Фурье. Модель, основанная на явных схемах, является неустойчивой. Модели, основанные на неявных схемах и схемах с весами, являются абсолютно устойчивыми.

5. Сравнение предложенных схем с точки зрения устойчивости и порядка погрешности аппроксимации показало, что для решения задачи распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде целесообразно использовать схемы с весами.

6. В диссертационной работе доказана консервативность дискретной математической модели распространения нелинейных звуковых пучков конечной амплитуды, построенной на основе схем с весами.

7. Проведен ряд вычислительных экспериментов по исследованию пространственных нелинейных эффектов в волновых полях конечной амплитуды, результаты которых не противоречат реальным физическим явлениям и согласуются с результатами, полученными другими авторами.

1. Кузнецов В. П. Исследования нелинейных и параметрических процессов в акустике океана. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. М., 2005.

2. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М., Наука, 1967.

3. Кузнецов В.П. К теории нелинейных волновых процессов. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Акуст. институт, М., 1971.

4. Кузнецов В.П. К теории нелинейных волновых процессов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.ф.-м.н. — Акустический институт, М., 1971.

5. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М., Наука, 1973.

6. Лайтхилл Д. Волны в жидкостях. М., Мир, 1981, гл.1.

7. Исакович М.А. Общая акустика. М., Наука, 1973.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М., Гостехиздат, 1953.

9. Исакович М.А. Общая акустика. М., Наука, 1973.

10. Кузнецов В.П. О рассеянии звука температурными неоднородностями в океане. ДАН СССР, 1986, т.290, 5, с. 1081.

11. Кузнецов В.П. О затухании низкочастотного звука в турбулентной среде. -Акуст. ж., 1982, т.28, в.4, с.521.

12. Кузнецов В.П. Уравнения нелинейной акустики. — Акуст. ж., 1970, т. 15, в.4, с.548.

13. З.Заболотская Е.А., Хохлов Р.В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков. Акуст. ж., 1969, т. 15, в.1, с.40.

14. М.Малюжинец Г.Д. Развитие представлений о явлениях дифракции. Усп. физ. наук, 1959, т.69, в.2, с.321-334.15.3арембо JT.K., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М., Наука, 1966.

15. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., Наука, 1989.

16. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., Наука, 1978.18. http ://www. femto. со m. ua/arti с 1 es/par t2/2448. htm 1

17. Наугольных K.A., Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике. М., Наука, 1990.

18. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. М., Наука, 2000.21 .Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. Пер. с англ. Касимова Ю.Ф. и Пчелинцева И.П. под ред. Амер-баева В.М. и Кренкеля Т.Э. М., Радио и связь, 1985.

19. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. - М., Физматлит, 2001.

20. Бахвалов Н.С., Жилейкпн Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М., Наука, 198224. http://www.diagnost.ru/NDT/ApplicationNDT/Introduction.htm.25.http://medkrovati.ru/spravochnik-zabolevanii/akne/lechenie-alaie-ultrazvukovaia-terapija.

21. Гурбатов С.Н., Малахов С.Н., Саичев А.И. Статистическая нелинейная акустика. М., Наука, 1990.

22. Подбельский В.В. Язык С++: учеб. пособие. 5-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2003.

23. Страуструп Б. Язык программирования Си++: пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1991.

24. Романов В.Ю. Программирование на языке С++. Практический подход.— М.: Компьютер, 1993.

25. Керниган Б., Ритчи Д., Язык программирования Си: пер. с англ.- М.: Финансы и статистика, 1992.

26. Собоцинский В.В. Практический курс Turbo С++. Основы объектно-ориентированного программирования. — М.: Свет, 1993.

27. Цимбал А.А., Майоров А.Г., Козодоев М.А. Turbo С++: Язык и его применение. М.: Джен Ай Лтд, 1993.

28. Эллис М., Страуструп Б. Справочное руководство по языку программирования С++ с комментариями. Проект стандарта ANSI: пер. с англ. — М.: Мир, 1992.

29. Дьяконов В.П. Система MathCAD. Справочник. — М.: Радио и связь, 1993.

30. Дьяконов В.П. Абраменкова И. В. MathCAD 7 в математике, в физике и в Internet. -М.: Нолидж, 1998.

31. Шушкевич Г.Ч., Шушкевич С.В. Введение в MathCAD. М.: ГРОДНО, 2001.

32. Солодов А.П., Очков В.Ф. MathCAD. Дифференциальные модели. М.: МЭИ, 2002.

33. Чистякова Т. А., Савицкий О. А. Схема расщепления по физическим процессам для уравнения Хохлова — Заболоцкой Кузнецова. Альманах современной науки и образования №1 (8). Тамбов, изд-во Грамота, 2008. С. 220-222.

34. Чистякова Т.А. Математическая модель распространения звуковых пучков и ее численная реализация на основе конечно-разностных схем. V

35. Чистякова Т.А. Дискретная конечно-разностная модель распространения волновых пучков, описываемая квазилинейным уравнением параболического типа. Известия ТТИ ЮФУ. Технические науки. Таганрог: изд-во Технологического Института ЮФУ, 2009, с. 118-129.

36. Чистякова Т.А., Савицкий О.А. Математическая модель распространения ультразвуковых пучков высокой интенсивности. Известия ТТИ ЮФУ. Технические науки. Таганрог: изд-во Технологического Института ЮФУ, 2010.

37. Чистякова Т.А. Исследование устойчивости конечно-разностных схем для уравнения Хохлова Заболотской - Кузнецова. Известия ТТИ ЮФУ. Технические науки. Таганрог: изд-во Технологического Института ЮФУ, 2010.

38. Бабенко К.И. (ред.). Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 1979.

39. Ващенко Г.В. Вычислительная математика. Основы алгебраической и тригонометрической интерполяции. Красноярск: СибГТУ, 2008.

40. Ворожцов Е.В. Сборник задач по теории разностных схем (учебное пособие). Новосибирск: НГТУ, 2000.

41. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978.

42. Ващенко Г.В. Вычислительная математика. Основы конечных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. — Красноярск: СибГТУ, 2005.

43. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

44. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. - 744 с.

45. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.:Наука, 1987.-600 с.

46. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1985. - 384 с.

47. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 512 с.

48. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

49. Краснощекое П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1984.

50. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

51. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.

52. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. -М.: Наука, 197 8.

53. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1980.

54. Савицкий О.А. Об одной асимптотике уравнения Хохлова-Заболотской нелинейных звуковых пучков. Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион, выпуск 5(153). Ростов-на-Дону: изд-во ЮФУ, 2009г., с.55-58.