автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Построение быстродействующих адаптивных наблюдателейв классе непрерывных моделей с дискретными измерениями

р и ;; . Кулагин Владимир Павлович

1 3 МАИ

ПОСТРОЕК® БЫСТРОДЕЙСТВУЩИХ АДАПТИВНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ В КЛАССЕ НЕПРЕРЫВНЫХ МОДЕЛЕЙ С ДИСКРЕТНЫ® ИЗШШИШ

Специальность 05.13.01. "Управление в технических

системах"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА - 1997

Работа выполнена в Московском Государственном Институте Электроники и Математики / Техническом Университете /

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Прокопов Б.йо

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Земляков С.Д. кандидат технических наук, доцент Мишулина O.A.

Ведущее предприятие: Машиностроительное конструкторское бюро "Вышел".

Защита состоится " 2 ^ " 1997 г.

в М. 00 час. на заседании диссертационного Совета Д 063.68.05 Московского Государственного Института Электроники и Математики по адресу: Москва, пер. Бол. Трех-святительский, 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ. Автореферат разослан " " (ХЛРёЛД 1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета /

к.т.н., доцент Бузников С.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В современной теории и технике управления интенсивно развивается направление, связанное с конструированием адаптивных наблюдателей, которые предназначены для совместного оценивания неизвестных параметров и состояния динамических систем. Анализ отечественной и зарубежной литературы показывает, что в связи с совершенствованием вычислительной техники появляются направления, которые позволяют решать задачи идентификации для целых классов новых динамических объектов. В частности, в технике большое распространение получают системы с цифровой обработкой измерительной информации. В этих системах непрерывные сигналы квантуются по времен» и по уровню, для того чтобы придать им форму, удобную для ввода в компьютер. Квантование существенно влияет на оценки параметров и состояния,' вычисленные адаптивным наблюдателем, поскольку эффект квантования равносилен действию помех. В связи с этим в настоящей работе рассматривается один из возможных путей повышения точности адаптивных наблюдателей, вырабатывающих оценки на основе квантованных выходных сигналов и непрерывных во времени входных воздействий объекта управления.

Цель работы. Целью диссертации является разработка и анализ новых алгоритмов адаптивных наблюдателей, специально приспособленных для работы в непрерывно-дискретных системах управления. Так как непрерывная система, имеющая дискретное выходное устройство, зачастую не может быть приближенно представлена в чисто непрерывном или в чисто дискретном виде, в работе ставится цель разработки и анализа новых алгоритмов адаптивных наблюдателей для идентификации такого рода систем. В работе решаются задачи о построении итерационных алгоритмов быстродействующих адаптивных наблюдателей для непрерывных стационарных и нестационарных объектов с дискрет-

ныыи измерениями выхода; производится анализ условий сходимости итерационного процесса; осуществляется построение модифицированного алгоритма, обеспечивающего ускоренную сходимость итерационного процесса; предлагается адаптивная система, ослабляющая влияние нежелательной обратной связи.

Методы исследования. При решении поставленных задач используется аппарат теории автоматического регулирования и численных методов линейной алгебры. Для исследования разработанных алгоритмов и систем управления создано соответствующее математическое обеспечение и применяется численное моделирование.

Научная новизна. Новизна предлагаемых в настоящей работе решений заключена в дальнейшем развитии концепции быстродействующего адаптивного наблюдателя. Разработанный алгоритм позволяет, при наличии определенных достаточных условий, существенно ослабить влияние ошибок квантования измерений. Модифицированный алгоритм, основанный на идее итерационной коррекции модели, позволяет получить уточненные оценки неизвестных параметров и начального состояния, восстановить полный вектор состояния и выход объекта в непрерывной форме.

Практическая ценность. Применение итерационных быстродействующих адаптивных наблюдателей позволяет решить важную техническую задачу компенсации нежелательных обратных связей с неизвестными переменными коэффициентами. Алгоритм хорошо приспособлен для компьютерной реализации.

Внедрение. Разработана адаптивная система для компенсации влияния нежелательных обратных связей с неизвестными переменными коэффициентами. Система управления внедрена на Московском предприятии. Предложенные в диссертации алгоритмы использованы в Московском государственном институте электроники и математики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научного семинара кафедры "Кибернетики" МГИЭМ, а также на двух научно-технических конференциях и на двух совещаниях.

Публикации. Основные положения диссертации изложены в 9 публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации 134 страницы машинописного текста. Библиография содержит 92 наименования, из них 34 на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности теш диссертационной работы, кратко анализируется ее научное и практическое значение. Описывается структура работы и приводятся основные положения, выносимые на защиту.

Глава I имеет обзорный характер. В ней рассматривается история развития и современное состояние теории быстродействующих адаптивных наблюдателей, предназначенных для совместной идентификации неизвестных параметров и состояния моделей, описывающих работу автоматических систем, а также рассматриваются наиболее актуальные проблемы, с решением которых будут связаны тенденции дальнейшего развития алгоритмов данного типа. В частности, в данной главе рассматривается построение быстродействующего адаптивного наблюдателя для линейного стационарного объекта с непрерывными измерениями выходного сигнала. Рассмотрим полностью наблюдаемую и полностью управляемую многомерную систему вида

x(t) = Rx(l)+ Bj(i) х(У = x0;

y(t) = Hx(t); fi.i)

где fl , В , H -(h.* ft.) , ( a x ftij » ( * " матрицы, соответственно. В уравнениях ( I.I) ~ вектор состояния;

- вектор входных воздействий; - вектор выхода. Бу-

дем считать, что постоянная матрица Д содержит не более, чем К.р неизвестных элементов, все элементы матрицы В неизвестны, а матрица измерения Н является известной и постоянной; Задача построения быстродействующего адаптивного наблюдателя для объекта ( I.I) может быть сформулирована следующим образом: требуется построить алгоритм, позволяющий по наблюдениям на интервале времени Тн = [t0, tQ + Т] вектора воздействий и вектора измерений у определить неизвестные параметры объекта и восстановить полный вектор состояния X(t] •

Допустим, что выполняется следующее условие: пространство строк матрицы И совпадает с пространством строк матрицы ( Д - С) » гДе С ~ некоторая известная матрица, соответствующей размерности. В этом случае систему (I.I) можно представить в виде

±(i) = Сх(Ь) * Щь) + Щt), x(i0] - Х0,

ЦМ = (1.2)

где К - (ких pj - матрица с неизвестными элементами. Состояние системы (1*2) может быть представлено в виде

Р ^

x(i) * Z b}(i)pi,

L"

(1.3)

следующим

где матрицы , » удовлетворяют

дифференциальным уравнениям:

Щ -- ср(Ч, СР(Ч = Е, МЦ ЧЪ) •<>,

где сК'. , £ ^ - I -й и -й столбцы матриц К и 5 ветственно. Умножая обе части равенства ( 1.3) на матрицу Н , получим алгебраическое уравнение

(1.4)

COOT-

м Ц) у --

M

в котором

X = С x%)6Ï,--,<)-rf,pTi,...,pZjT.

Зафиксировав моментов времени, мы можем образовать переоп-

ределенную алгебраическую систему

Q-ï s S

(i.6)

где

а =

Если

fwy )

1 * ; в г 1 1

, M 4 / 1 У

han-k Ql = h.(i + р +

(1.7)

то решение алгебраической системы может быть представле-

но в виде

(1.8)

где 0. - псевдообратная матрица. Условие (1.7) является необходимым и достаточным условием для однозначного вычисления вектора у . Полный вектор состояния может быть восстановлен по форлуле (1.3) .

В главе 2 разрабатывается итерационный алгоритм быстродействующего адаптивного наблюдателя, который позволяет существенно ослабить влияние ошибок квантования выходного сигнала на оценки неизвестных параметров.

Рассмотрим систему (1.1 ) • Предположим, что все компоненты вектора входа г § ^ (£) 3 Т есть известные непре-

рывные ¿функции времени} в то время как компоненты выходного вектора = , • • • т Цр 3 Т известны только в дискретные моменты времени (К = 01 2 ...>"»>)» т,е*

у

Введем вектор-функцию - [ --> ' каВДая ком-

понента (£} которой представляет собой ступенчатую функцию

и обозначим через

= !М"Ь) - М*) (2.3)

ошибку квантования.

Задачу построения быстродействующего адаптивного наблюдателя в классе непрерывных моделей с дискретным измерениями выходного сигнала молено сформировать следующим образом: необходимо пост-

роить алгоритм, позволяющий по наблюдениям на интервале Тц непрерывного вектора входных воздействий и квантованного

выходного вектора ?(£) найти численные значения неизвестных параметров матриц и В , численные значения вектора начального состояния Х(Ь0) и одновременно восстановить неизмеряемые фазовые координаты вектора состояния • Вместе с тем уста-

новить условия, при которых гарантируется сходимость оценок векто-

А

ра неизвестных параметров ^ к истинному вектору ^ ;

Для решения поставленной задачи требуется модифицировать алгоритм быстродействующего адаптивного наблюдателя, заданный уравнениями (1.1) - (1*8) . При дискретных измерениях вектор необходимо заменить на , и в связи с этим второе

уравнение системы (1.4^ должно быть заменено уравнением

л/

= О, ... 7р.

Наличие ошибки квантования д ^ в в силу ^2.3)

приводит к тому, что каждый из столбцов НР1±(у, НЯр (-к) матрицы также будет содержать составляющую, зависящую от

ошибки квантования. Остальные столбцы матрицы О, подобных составляющих иметь не будут. Это означает, что из-за ошибок квантования алгебраическая система (1.8) из совместной становится несовместной и ее можно представить в виде

( а ^ в, (2.5)

где д& и д у - приращения, вызванные влиянием ошибок квантования.

Предположим, что

Се - Ае-у

+ = п.(1 + р + м.), (2.6)

т.е. ошибки квантования таковы, что возмущенная матрица имеет полный ранг. Тогда решение уравнения (2.5) может быть записано в виде

У + А у = ( & + I) +-6. (2.7)

Сравнение (2.7) и (1.8) показывает, что быстродействующий адаптивный наблюдатель для системы с дискретными измерениями выхода дает оценку, содержащую ошибку д у , обусловленную ошибкой квантования. Для того, чтобы ослабить влияние ошибки квантования на процесс оценивания неизвестных параметров построим следующий итерационный процесс:

С4.£ + Ке-1 Н , Сс=С,

л

(2.8)

смысл которого состоит в том, чтобы на каждом шаге итерации изменять матрицу С , фигурирующую в уравнениях (1.4) , (2.4) так, чтобы С приближалась к Д ,

Предположим, что на каждом шаге алгоритма выполняется неравенство

||(<УА(У ц!1айе1и< 1. (2>9)

В диссертационной работе доказана теорема о сходимости итерационного алгоритма быстродействующего адаптивного наблюдателя: если на каждом шаге работы алгоритма выполнены условия ( 2.6) и (2.9) , то итерационный процесс.(2.8) сходится при любом начальном значении матрицы £ • При этом скорость сходимости по крайней мере не ниже скорости, с которой сходится геометрическая прогрессия со знаменателем 0 < С^ < \ . Доказательство этого утверждения основывается на принципе сжатых отображений..

После того как достигнута заданная точность оценок, вектор состояния системы (1.1) восстанавливается по форму-

ле:

Уг^

л *

в которой матрицы ф (-^ и удовлетворяют следующем

дифференциальным уравнениям:

= * ^(ЦЕ,

= 0,1= 1,..., (2Л1)

^ г

В (_2.II) в соответствии с (2.8) Я г С^ ,где £ - номер шага итерации, на котором была достигнута необходимая точность оценок параметров.

Во второй главе также осуществляется построение итерационных быстродействующих адаптивных наблюдателей для нестационарных линейных объектов, если выход объекта измеряется в дискретные моменты времени; Рассмотрим нестационарную линейную систему

¿(1) == х(Ь0) = х0;

. !И*к) = НХ(ЬК), (2.12)

в которой размерности матриц и векторов соответствуют (1.1) . Допустим, что матрицы й (V) и &(£) можно представить в виде

1=1 !=' . . (2.13)

Здесь I , £> • - постоянные матрицы с неизвестными коэффициентами; , • • • ? ^уи ('Ь) - линейно независимые на интервале наблюдения известные функции времени. С учетом (2.13^

система (2.12) примет вид

Х(Ь„) = 0С0,

= нх^о, (2-»>

Предположим, что каждая из матриц Д» допускает представление

А = С. + К. Н 1 = 1,...

I и I' ' ' " 1

(2.15)

в котором С• - известные матрицы, а К^ - матрица с неизвестными коэффициентами. Подставляя (2.15) в (2.14) получаем

Л

(2.16)

Введем обозначения:

А

см - £ , (ал?)

I.® 1

сК,^ - у - й столбец матрицы , - ^ - й.

столбец матрицы £>• .С учетом этих обозначений решение

I»

уравнения (2.16) можно представить в виде

ХЩ = Фф эс(^) + 2 2 и* +

>"4 (2.18)

<А> иг-

1/-1

г

в котором матрицы » Й,.^ » 2 • удовлетворяют

следующим дифференциальным уравнениям

= СЦ)<Р(Ь), <Р(Ъ)= Е,

+ ЪМЫУ Е,

= . (г. к)

Г С (4) + ^Ъ^Е,

= 0.

Умножив обе части ( 2.18) слева на матрицу наблюдения Н получим, аналогично ( 1.6 ) , переопределенную алгебраическую систему

= (2.20)

в которой ^ обозначает расширенный вектор неизвестных начальных состояний и параметров. Поскольку измерения выходного вектора производятся в дискретные моменты времени

"Ь 0 ? "Ь1, .. . , "Ь ^ »то дифференциальные уравнения для (-Ь) в системе (2.19) следует заменить на следующие:

Вследствие ошибок квантования выходного сигнала переопределенная система (2.20) становится несовместной и принимает вид

Полагая, что

Кап.кО,= +дС1) = п.(1+^р + /1гги)7 С2-23)

т.е. матрицы

а

и ( 0. + л й) имеют полный ранг, решение алгебраической системы (2.22) запишем в виде

который аналогичен (2.7) . Итерационный процесс уточнения матрицы С (Ч) имеет вид

,А п «

где К . - оценка матрицы К* полученная на преды-

дущем шаге итерации. Если на каждом шаге итерации выполнено условие (2.23 ) и условие

+ шиа, п<17 (2.26)

то итерационный процесс сходится.

Вектор состояния X объекта (2.12^ вычисляется по формуле

£(*) =9*

«А

+ У У ^ ^ '

I/

= 1^1 ^ ^ ь (2.27/

Глава 3 посвящена разработке итерационного алгоритма быстродействующего адаптивного наблюдателя с ускоренной сходимостью. Ускоренным или акселерантным алгоритмом будем называть такую модификацию описанного во второй главе алгоритма, которая обеспечивает большую точность оценок, полученных на некотором /{/ ~ том шаге.

На основании (2.8 ) можно сделать вывод о том, что при условии выполнения требований указанной выше теоремы о сходимости итерационного процесса, критерием соответствия модели и объекта является норма )| К^ II » причем нулевое значение этого критерия достигается на точном решении (1*8) » то есть на точном значении начальных состояний и параметров. Решение систе-ми ( 2.5 ) по методу наименьших квадратов геометрически соответствует проекции вектора % на пространство столбцов мат-

рицы ( (к + л , причем проекции на столбцы, порождаемые функциями Н(£) служат для целей коррекции модели. В общем случае, в качестве этих столбцов матрицы ( (Х + лО^ » которым соответствуют компоненты оценок (^ + д ^ » являющиеся элементами К^ , могут быть взяты другие векторы, удовлетворяющие условиям (2.6) ,(2.9) с меньшим значением параметра , определяющего скорость сходимости алгоритма. Этот факт позволяет сделать эвристическое предположение о возможности ускорения сходимости итерационного процесса на конечных шагах работы алгоритма. Для этой цели к уравнениям модели системы можно добавить аппроксимирующую модель, построенную при помощи предьдущих оценок:

МУ = Х(±0),

}„Й = Нхм(*). (3.1) •

В этом случае уравнение (2.4) принимает вид:

1 = 1,..., р.

Замена ¿■¿('к) на У' м I на последних пагах итерационного процесса на практике приводит к заметному ускорению сходимости, так как восстановленный при помощи модели сигнал содержит ошибку меньшую, чем исходная ошибка квантования в измеренном сигнале. Рассмотрим общую схему итерационного быстродействующего адаптивного наблюдателя. с учетом возможности ускорения алгоритма.

Порядок действий повторяется в определенной последовательности, образуя алгоритм итеративного быстродействующего адаптивного наблюдателя с акселерацией процесса сходимости:

(3.2)

1. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений вида С 1.4) , (3.2) на временном интервале наблюдения.

2. Представление состояния х("£) в виде линейной комбинации функций, обусловленных входами и выходами объекта.

3. Применение численного алгоритма метода наименьших квадратов для получения оценок коэффициентов данной линейной комбинации.

4. Анализ линейной зависимости столбцов матрицы ( & + д О) и проверка условия идентифицируемости параметров системы.

5. Коррекция матрицы С

6. Либо повторение всех действий с информацией, полученной на прежнем временном интервале наблюдения, либо переход к идентификации параметров системы на следующем временном интервале, обновляя массив дискретных измерений выхода.

7. Начиная с некоторого шага итерационного процесса уточнения параметров для целей ускорения сходимости процесса возможно применение вспомогательной'модели, построенной с учетом предварительно полученных оценок.

8. Итерационный процесс останавливается, как только норма

л

I! К. ^ II становится меньше некоторого числа, отражающего требуемую точность оценок.

Численное моделирование на конкретном примере показало, что данная модификация итерационного наблюдателя позволяет получать большую точность на некотором конечном шаге работы алгоритма.

Глава 4 посвящена применению итерационных быстродействующих адаптивных наблюдателей, разработанных в теоретической части диссертации, для решения задачи компенсации нежелательных обратных связей с неизвестными переменными коэффициентами. В общем случае, для определения оценки неизвестных параметров обратной связи требуется построить цифровой алгоритм, основанный

на следующих предположениях: рассматриваемый объект описывается линейной моделью в пространстве состояний? расширенный вектор состояния и параметров известен частично; входное воздействие представляет собой линейную комбинацию известных функций с неизвестными коэффициентами; матрица измерений выхода является постоянной и известной, причем измерения доступны нам в некоторые дискретные моменты времени. Алгоритм должен позволить произвести' оценку неизвестных параметров оперативно, в процессе реальной работы автоматической системы, со скоростью, соизмеримой с темпом протекания переходных процессов в системе и нерегулярным изменением параметров, чтобы обеспечить эффективную компенсацию "паразитных" обратных связей. Для решения класса подобных задач предлагается применить итерационный алгоритм быстродействующего адаптивного наблюдателя. Компьютерное моделирование показало, что алгоритм способен оценивать параметры и состояние идентифицируемого объекта при нерегулярных изменениях неизвестных параметров; Расчеты показывают, что точность автоматической системы повышается за счет существенного ослабления влияния нежелательных обратных связей.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложении приводятся документы, подтверждающие внедрение результатов диссертационной работы.

Выводы . В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

I. Разработана новая модификация алгоритма быстродействующего адаптивного наблюдателя для класса непрерывных объектов с дискретными выходными сигналами. Предложен способ коррекции матрицы наблюдателя, позволяющий организовать итерационный процесс настройки параметров. Алгоритм в целом органично приспособлен для реализации на базе современной компьютерной техники.

2. Получены достаточные условия сходимости итерационного процесса к точным значениям компонент расширенного вектора неизвестных начальных состояний и параметров. При выполнении данных условий происходит фильтрация ошибок квантования.

3. Предложенный алгоритм позволяет решать задачи адаптивного наблюдения для нестационарных линейных объектов, при условии аппроксимации неизвестных параметров при помощи конечных сумм определенного вида.

4. В работе обоснована возможность ускорения сходимости итерационного алгоритма на конечных шагах за счет использования аппроксимирующей модели, построенной с помощью предварительно полученных оценок параметров.

5. Теоретические результаты диссертации были использованы для построения адаптивной системы, ослабляющей влияние нежелательных обратных связей. Достаточная универсальность предложенной схемы компенсации позволяет решать целый класс аналогичных технических задач, обладающих своей спецификой в каждом конкретном случае. Быстродействующий адаптивный наблюдатель позволяет оперативно, буквально за две-три итерации, определить неизвестные параметры системы и коэффициенты обратной связи, чтобы внести соответствующие компенсирующие поправки в работу автоматической системы. Как показывает численное моделирование, эффективность автоматической системы существенно повышается.

6. Создан пакет программ, предназначенный для моделирования описанных в диссертации алгоритмов. Пакет прикладных программ опубликован в работе [ I ^ .

Вычислительные алгоритмы и программное обеспечение использовались в учебном процессе на кафедре "Кибернетики" МГИЗМ, а также при написании учебного пособия по компьютерным алгорит-

мам метода наименьших квадратов [ 7 ] . Алгоритмы внедрены на Московском предприятии.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТА1Щ

1. Копысов О.Ю,, Кулагин В.П., Прокопов Б.И. Быстродействующие адаптивные наблюдатели. - М.: Поиск, 1996. - 437с.

2. Кулагин В.П. Адаптивная система ослабления влияния неизвестных переменных параметров и вопросы численной устойчивости алгоритма // Тез, докл. Рос. научн.-техн. конф. "Автоматизация исследования, проектирования и испытания сложных технических систем". - Калуга, 1993. - с.19.

3. Кулагин В.П. Быстродействующий адаптивный наблюдатель для линейного нестационарного объекта, имеющего дискретный выход. - М., 1995. - 6с. - Деп. в ШНЙТИ 07.07.95, В 2038-В 95.

4. Кулагин В.П. Быстродействующий адаптивный наблюдатель для линейного стационарного объекта, имеющего дискретный выход.

- М., 1995. - По. - Деп. в ВИНИТИ 07.07.95, Р 2039-В 95.

5. Прокопов Б.И., Кулагин В.П. Адаптивная система понижения чувствительности к изменению паразитных параметров // Тез. докл. Всесоюзн. научн. конф. "Проблемы теории чувствительности, измерительных датчиков, электронных и электромеханических систем",,

- М., 1989. - с.43.

6. Прокопов Б.И., Кулагин В.П. Адаптивная система, ослабляющая влияние паразитных обратных связей // Математическое и программное обеспечение вычислительных, информационных и управляющих систем. - М.: МГИЭМ, 1990. - с. 20-25.

7. Прокопов Б.И ., Кулагин В.П. Компьютерные алгоритмы метода наименьших квадратов. - М.: МГИЭМ, 1992. - 86с.

8. Прокопов Б.Й., Кулагин В.П. Адаптивная система ослабления влияния неизвестных обратных связей // Тез. докл. совещания "Новые направления в теории систем с обратной связью". - Уфа, 1993. - с. 121-122.

9. Прокопов Б.И ., Кулагин В.П. Применение сплайнов при проектировании системы, ослабляющей влияние паразитных обратных связей // Тез. докл. совещания-семинара "Современные средства интеллектуальных САПР ". - М., 1993. - с. 36-37.