автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оценка и оптимизация квантильного критерия для функции потерь с малым параметром в условиях статистической неопределенности

я

На правах рукописи

Сысуев Александр Владимирович

ОЦЕНКА И ОПТИМИЗАЦИЯ КВАНТИЛЬНОГО КРИТЕРИЯ

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТЕРЬ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ В УСЛОВИЯХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2009

1 1 ФЕБ 2010

003491638

Работа выполнена на кафедре "Теории вероятностей" Московского авиационного института (государственного технического университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, додент Кан Юрий Сергеевич

Официальные оппоненты:доктор технических наук,

профессор Рубинович Евгений Яковлевич

доктор физико-математических наук, профессор Чуличков Алексей Иванович

Ведущая организация: Институт космических исследований РАН

Защита состоится " & " f^ 2010 г. в 10 ч. ОО мин. на заседании Диссертационного совета Д 212.125.04 Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское ш., 4, Ученый совет МАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета).

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 212.125.04,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. В диссертационной работе рассматриваются задачи анализа и оптимизации квантилыюго критерия для линейных и квазилинейных функций потерь с учетом статистической неопределенности.

Актуальность темы. В задачах анализа и оптимизации систем в присутствии случайных параметров зачастую, чтобы избавиться от "стохастики", осредняют целевую функцию по этим параметрам. В результате полученное решение может оказаться абсурдным, так как оно будет справедливо лишь "в среднем". Наглядным примером является биржевой парадокс. Некоторой альтернативой является гарантирующий подход. При этом подходе берутся наихудшие реализации неопределенных параметров, тем самым осуществляется страховка от наихудшего результата. Но в реальности наихудшие сочетания неопределенных параметров системы маловероятны и перестраховочны, особенно когда таких параметров много. Некоторым компромиссом между стохастическим и гарантирующим подходами к анализу качества систем в условиях неопределенности является квантильный подход, основанный на использовании квантильного критерия качества.

Квантильный критерий относится к группе вероятностных критериев и впервые введен в рассмотрение С. Катаокой. Создание основ теории оптимизационных задач с таким критерием связано с именем эстонского математика Э. Райка и его учеников Р. Леппа, Э. Тамм и Э. Юби. Существенный вклад в развитие этой теории внесли германский математик К. Марти, украинские математики Ю.М. Ермольев, В.И. Норкин, Н.В. Роенко и С.П. Урясьев. Дальнейшее развитие данной области вывело теорию оптимизации вероятностных критериев за рамки стохастического программирования благодаря работам российских ученых по исследованиям как конечномерных, так и бесконечномерных задач. Эти исследования связаны с именами В.Н. Афанасьева, Б.Ц. Бахшияна, В.И. Зубова, Ю.С. Кана, А.И. Кибзуна, В.Б. Колмановского, H.H. Кра-совского, В.П. Кузьмина, M.JI. Лидова, С.С. Лукьянова, В.В. Малышева, P.P. Назирова, В.Р. Носова, Ф.Л. Черноусько, П.Е. Эльясберга, В.А. Ярошевского и др. Наиболее исследованными к настоящему времени являются задачи нелинейного стохастического программирования, возникающие из экономических приложений. Такие задачи изучались В.В. Домбровским, Ю.С. Каном, Дж. Келли, А.И. Кибзуном, Г. Марковичем, А.Р. Панковым, Дж. Тобиным, С.П. Урясьевым и др.

В последние годы интенсивно разрабатывается направление, связан-

ное с задачами анализа и оптимизации стохастических систем, в которых информация о случайных параметрах или процессах является неполной. Такие системы получили название неопределенно-стохастических (или статистически-неопределенных в конечномерном случае). Например, важнейшие характеристики ошибок наблюдений за движением летательного аппарата (вероятностные законы распределения ошибок в целом и их отдельные параметры) на практике обычно известны весьма неточно (в лучшем случае с точностью до принадлежности некоторым множествам неопределенности, задаваемым априорно). Исследованию задач оценивания и оптимизации систем с априорной неопределенностью посвящены труды В.М. Александрова, Б.И. Ананьева, Б.Ц. Бахшияна, A.B. Борисова, A.A. Боровкова, В.Н. Вапника, С. Верду, М.И. Гусева, И.А. Ибрагимова, С.А. Кассама, И.Я. Каца, A.B. Куржанского, M.JI. Лидова, А.И. Матасова, А.Р. Панкова, В.Н. Соловьева, Г.А. Тимофеевой, Я.З. Цыпкина и многих других ученых.

При моделировании управляемого движения технических объектов в условиях неопределенности часто оказывается, что влияние неопределенных параметров на динамику в целом не столь существенно по сравнению с детерминированной динамикой в отсутствие неопределенности. Это позволяет интерпретировать неопределенные параметры как малые. Тем не менее, на этапе проектирования часто возникает задача сравнения вариантов технических решений с учетом всех возмущений, которая зачастую решается с использованием линеаризованных моделей. Такой подход в случае, когда неопределенные параметры трактуются как случайные, а для оценки качества системы используются вероятностные критерии, к настоящему времени не обоснован.

Задачи оценки или оптимизации функции квантили в общем случае являются весьма сложными. Их решение существенно упрощается, если модель системы линейна по неопределенным параметрам. Об этом свидетельствуют известные теоретические результаты, полученные при решении задач стохастического программирования, возникающих из экономических приложений. В первой главе диссертации развивается метод линеаризации для оценки квантильного критерия. Суть метода заключается в использовании линеаризованной по случайным параметрам функции потерь, для которой задача оценки квантильного критерия решается либо путем построения детерминированного эквивалента, либо с помощью математического аппарата, связанного с понятием ядра вероятностной меры.

В главе 2 диссертации удалось получить явные аналитические оценки

эффективностей квантилыюго подхода к анализу систем в условиях неопределенности по отношению к гарантирующему. Эти оценки говорят о том, что при выполнении некоторых условий, наложенных на систему, квантильный критерий является эффективнее гарантирующего в среднем не менее чем на 40 %.

Подводя итог вышесказанному, можно сделать вывод о том, что тема диссертации лежит в русле современных исследований в теории стохастического программирования с вероятностными критериями, затрагивает важные нерешенные вопросы и поэтому является актуальной.

Цель работы. Целью работы является обоснование метода линеаризации для оценки кваитильного критерия, а также сравнение квантилыюго и гарантирующего подходов к анализу качества статистически-неопределенных систем в линейном приближении.

Методы исследования. В диссертации использованы методы математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии, теории вероятностей и математического программирования.

Достоверность результатов. Достоверность результатов обеспечивается:

1) строгостью постановок и доказательств утверждений;

2) приведением численных расчетов, подтверждающих справедливость результатов;

3) рассмотрением конструктивных примеров, которые демонстрируют достоверность приведенных результатов.

Научная новизна. В работе получены новые результаты, касающиеся анализа и оптимизации систем, качество которых оценивается с помощью квантилыюго критерия. К этим результатам следует отнести следующие:

1) предложены достаточные условия применимости метода линеаризации для оценки квантильного критерия;

2) получены аналитические оценки преимущества квантильного критерия по сравнению с гарантирующим в задачах анализа систем в условиях статистической неопределенности;

3) предложено новое решение задачи оптимизации портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом, полученное с помощью метода линеаризации и позволяющее учесть зависимость случайных цен безрисковой ценной бумаги в будущие моменты времени.

Практическая значимость. Результаты, предложенные в диссертации, могут использоваться при анализе и оптимизации систем с кван-

тильным критерием. Полученные оценки преимуществ квантилыгого подхода к анализу систем в условиях неопределенности по отношению к гарантирующему являются теоретическим обоснованием применения вероятностных методов исследования систем с большим числом неопределенностей. Практическая значимость подтверждается также конструктивностью полученных результатов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных конференциях [3-7] и на научных семинарах в МАИ, ИПУ РАН, МИЭМ.

Диссертация выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты ЛШ 05-08-17963,09-08-00369), а также в рамках Мероприятия 1.1 ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (государственный контракт от 30.09.2009 № 02.740.11.0471).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1,2] в журнале, входящем в Перечень ВАК, а также в трудах научных конференций [3-7]. Лично автором диссертации в статье [1] проводятся все математические выкладки и расчеты при получении оценок эффективностей, а в статье [2] им доказываются все основные утверждения, касающиеся обоснования метода линеаризации при оценивании квантили.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (97 источников). Объем диссертации включает 95 машинописных страниц, включая 1 рисунок и 6 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемых проблем, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, описана структура диссертации, перечислены полученные в диссертации новые результаты.

Первая глава посвящена исследованию метода линеаризации для определения квантили квазилинейной функции потерь. Задачи оценки или оптимизации функции квантили в общем случае являются весьма сложными. Их решение существенно упрощается, если модель системы является линейной по неопределенным параметрам. В этом случае задачу оценки функции квантили удается свести к задаче обобщенного линейного программирования.

Пусть /(ж) - непрерывно-дифференцируемая по I ё Е" функция, называемая ниже функцией потерь. Пусть £ - п-мерный случайный

вектор с известным распределением, ß > 0 - малый скалярный параметр. В роли такого малого параметра может выступать, например, максимальное среднеквадратическое отклонение (GKO) среди СКО всех компонент случайного вектора, моделирующего неопределенность.

Обозначим через (f{ß())„ квантиль уровня а е (ОД) распределения случайной величины /(¿t£), т.е.

(1Ша ~ min W ■■ Р (/0*) < Ч>) > а}. (1)

Требуется оценить (f(p€))a при заданных /(•), а, законе распределения

Наряду с поставленной задачей рассматривается вспомогательная задача оценки квантили (fi(p4))a Для линеаризованной функции потерь

1Ы) = П 0)+Л (2)

гяе а = §М|

Важно отметить, что линейная функция потерь вида (2) актуальна в теории портфельных инвестиций. Ниже будет показано, что вспомогательная задача в ряде случаев может быть сведена к задаче обобщенного линейного программирования. Кроме того, будет получена оценка погрешности {f(ßQ)n - (Л(/4))а •

В соответствии с терминологией доверительного подхода (Кибзун, Малышев, 1987), множество ВсН" называется а-доверительным, если

Определение (Kau, 2002). Множество

Ка = р| {х : стж < (ст0о} , (3)

1(4=1

где а € (0,1), £ - n-мерный случайный вектор, (ст£)и - а-квантиль распределения линейной формы ст£, называется а-ядром вероятностной меры, порожденной в Ж" распределением вектора а-ядро называется регулярным, если любое замкнутое полупространство, содержащее это ядро, является а-доверительным множеством.

Теорема (Кап, 2002). Если функция /(х) вогнута и квазивыпукла по х £ R", а а Е (0,1) таково, что случайный вектор £ имеет регулярное а-ядро Ка, то

(/(£))„ = maxj(x). (4)

Линейная функция //(/i£), определенная выражением (2), удовлетворяет условиям этой теоремы. Поэтому, если £ имеет регулярное а-ядро Ка, то (/;(/'£))« можно определить как решение задачи обобщенного линейного программирования

(fM))a = f{0) + fimaxaTx. (5)

Рассмотрим одномерный случай. Введем следующие обозначения: ai- = mî(x : F(x) > 0), и>+ = sup(x : F(x) < 1), / - замыкание интервала где F(x) - функция распределения случайной величины Теорема. Пусть F(x) непрерывна и строго возрастает на I, }{х) строго монотонна, непрерывна на I и непрерывно-дифференцируема на интервале и а ф 0. Тогда

(№))а-(ЛШа = 0(1?). (6)

Перейдем теперь к рассмотрению многомерного случая. Пусть функция потерь имеет вид

/(0=г(«т(^ + с)), (7)

где А - некоторая матрица размерности m х п, Ç - n-мерный случайный вектор, и, с - фиксированные векторы размерности m, r(-) : R1 —> -»R1- строго возрастающая непрерывна-дифференцируемая функция, определенная на всей числовой оси.

Линейное приближение для функции f(p£) есть величина

= + (8)

где t0 = ытс, г'(М=|Ц.

Лемма. Пусть случайный вектор Ç имеет сферически симметричное распределение, а функция /(х) имеет вид (7). Тогда

(M»0)a = V\\Ar4r'(tomU + r(to), (9)

где - квантиль уровня а первой компоненты случайного вектора

С

Теорема. Если /(£) имеет структуру (7), где r(t) - строго возрастающая непрерывно-дифференцируемая функция, тогда справедливо равенство

Лемма. Пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема в некоторой окрестности U С К." компактного множества S. Кроме того, пусть градиент функции f{x) на U удовлетворяет условию Липшица с некоторой константой. Тогда

max/(цх) — max/¡(цх) — О (д2). (И)

lES x^S

Последняя лемма используется как вспомогательный результат при доказательстве следующей теоремы.

Теорема. Пусть функция }(х) вогнута и квазивыпукла по х € 6 Н", а а 6 (0,1) таково, что случайный вектор £ имеет регулярное а-ядро Ка. Кроме того, пусть существует R > О такое, что Ка С С Вд d= {х : jjij| < Я}, f(x) дважды непрерывно-дифференцируема на Br и ее градиент удовлетворяет условию Липшица на Br с некоторой константой. Тогда справедлива оценка

иШ*-иМ))* = о№). (12)

В случае, если условия последней теоремы не выполняются, можно воспользоваться доверительным методом, согласно которому

i>(B)^aир/(х) >(/(())„ (13)

I ев

для любого а-доверительного множества В, т.е. 'ф{В) - верхняя оценка квантили. В ряде случаев удается подобрать В таким образом, что эта оценка оказывается достаточно точной. Рассмотрим случай, когда компоненты случайного вектора £ независимы и одинаково распределены по стандартному нормальному закону J\f(0,1). а-ядро в этом случае имеет вид

Ка = {х : !|х|| ^ Ра), (14)

где ра - а-квантиль для Л/"(0,1). Также введем в рассмотрение а-доверительный шар

Ва = {х : ||х|| ^ га}, (15)

где г2п - а-квантиль для распределения хи-квадрат с п степенями свободы. Также для непрерывной квазивыпуклой функции потерь f(x) (Кибзун, Малышев, 1987) справедливо

Ф(Ка)<№))а^Ф{Ва). (16)

Кроме того, при выполнении ряда стандартных условий справедливы следующие оценки

V» (ва) - <ра О, (К„) - (рп0 при а —> 1. (17)

Теорема. Пусть ¡(х) дважды непрерывно-дифференцируема в некоторой окрестности II, такой что Ва С II. Пусть, кроме того, градиент функции /(х) удовлетворяет условию Липшица на II с некоторой константой. Тогда

тах/(/м:)-та^/¡(¡хх) = О (ц2). (18)

х€В<, 16 ¡За

Замечание. Максимум на шаре функции }\(цх) вычисляется аналитически:

тах/,(/дг) = /(0) + /хг„||а||. (19)

хева

Приведем несколько примеров для одномерного случая. Рассмотрим функцию потерь / (х) = тогда ее линейное приближение имеет вид /¡(а:) = 1 — х. Пусть [1 - малый параметр, а £ - непрерывная случайная величина с известным законом распределения. Подставляя в эту функцию в качестве аргумента произведение получим

Линеаризованная функция потерь /¡(х) примет вид

Ш) = 1-/|£. (21)

Предположим, что случайная величина £ имеет стандартное нормальное распределение. Тогда разность квантилей функции потерь и линеаризованной функции потерь можно представить в виде

(22)

1 - Щр1-а

Пусть случайная величина £ имеет равномерное распределение на отрезке [0,1]. Тогда

= (23)

В случае, если случайная величина £ имеет экспоненциальное распределение с параметром А = 1, получим

Во всех трех случаях разность квантилей исследуемых случайных величин имеет порядок малости /А

Таким образом, при использовании линейной аппроксимации функции потерь ошибка по величине а-квантили имеет порядок 0(р2).

В качестве примера применения метода линеаризации для оценивания функции квантили рассмотрена задача анализа линейной коррекции орбиты геостационарного искусственного спутника Земли по квантильному критерию. Результаты свидетельствуют о справедливости утверждений, связанных с обоснованием метода линеаризации.

Во второй главе проведено сравнение квантильного и гарантирующего подходов к анализу качества системы, заданной линейной функцией потерь. Неопределенность при этом моделируется распределениями из класса Бармиша. Найдены аналитические оценки для абсолютной и относительной эффективностей квантильного подхода по отношению к гарантирующему.

Пусть ^ - п-мерный случайный вектор, Р - вероятностная мера бо-релевских подмножеств пространства К™, определяющая распределение вектора £ и заданная соотношением

где А - произвольное борелевское множество, а р(х) - плотность вероятности. Относительно р(х) известно лишь, что она принадлежит классу неопределенности Бармиша.

Определение (Бармиш, Лагоа, 1997). Пусть р(х) - плотность вероятности случайного вектора Классу Бармиша принадлежат распределения, плотности вероятности которых удовлетворяют условиям:

• р(х) = рх (11) ...рп (хп), где Р1 (хг) - частная плотность вероятности г-й компоненты вектора т.е. компоненты £п вектора £ независимы;

• для любого г функция (ж;) = 0 при > 1/2, г = 1,..., п;

• для любого { функция р; (х{) является четной и квазивогнутой по

Множество вероятностных мер Р вида (25), соответствующих всевозможным плотностям из класса Бармиша, обозначим посредством Пд.

(25)

А

При Р £ Пя распределение случайного вектора С сосредоточено на единичном кубе

/„= jxelR": |aJi|<|,î = lI...,n|.

(26)

Пусть с - детерминированный вектор, такой что ||с|[ = 1 и

/(с, 0 = (27)

- линейная функция потерь. Тогда максимумом потерь будет являться величина

1 "

т(с) = шах/(с, а;) = - ^ (с;|, (28)

xei„JX ' 2-f,

а наихудшей квантшгью

й(с)= вир (/(с,0)а, (29)

Репв

где а 6 (0,1) - заданный уровень надежности. Абсолютная величина эффекта квантильного подхода по отношению к гарантирующему равна

На(с) = т(с)-£(с). (30)

Относительная величина вышеуказанного эффекта определяется следующим образом:

Ш = ^м. (31)

тп(с)

Если эту функцию усреднить по вектору с, т.е. ввести в рассмотрение величину

ь» = -щ1л = М, [кМ], (32)

где V ~ Я{В), В - единичная сфера, 5(В) - ее площадь, тем самым можно оценить, каков "в среднем" указанный относительный эффект, если рассмотреть все задачи анализа, встречающиеся на практике, каждая из которых характеризуется своим значением с.

Предметом исследования является оценка характеристик указанного эффекта Ь«{с), к„(с) и Ьа.

Лемма. Абсолютная эффективность /¡«(с) квантильного подхода к анализу систем по отношению тс гарантирующему в условиях

статистической неопределенности, заданной классом распределений Бармиша, может быть оценена снизу следующим образом:

/ Т1 \ 1//1

К{с) > 1а{с) = |п!(1 - а) Д \а\\ . (33)

Согласно последней лемме, функцию к„{с) можно оценить снизу:

Ш>ка(с) = Щ^. (34)

ЕЫ

¡=1

Обратим внимание, что с учетом известного неравенства

1 п / п \ '/п

-Х>>(ГЫ . (35)

при С{ > 0, г = 1,..., п, из (34) следует

1(С) <; 2(п!(1~а))1/" о, 7358 (36)

при п -* 00.

Усреднение по с, ]|с|| = 1, правой части (34) приводит к следующему результату.

Теорема. Ьа ^ Ьа, где

? _2(п!(1-а))1/"/п+1 (п-г)(п+1)\

Ьа ~ ТГ«/^ Г И В (^Г'-2п-) ' (37)

Г и В - гамма- и бета-функции соответственно.

Численные значения величины Ьа для некоторых п и а приведены в табл. 1.

Таблица 1. Нижняя граница средней относительной эффективности

а\п 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0,6 0,48 0,44 0,42 0,42 0,41 0,41 0,41 0,41 0,40 0,40

0,7 0,46 0,43 0,42 0,41 0,41 0,41 0,41 0,40 0,40 0,40

0,8 0,44 0,42 0,41 0,41 0,41 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40

0,9 0,41 0,41 0,41 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40

Аналогичные результаты получены для линейной функции потерь вида

/(«ь,с,0 = | + (38)

возникающей при анализе систем в линейном приближении, где, как и выше, /(с,£) = стС, а со - детерминированный параметр такой, что

с§ + ||с||2 = 1. (39)

Характеристика гарантирующего подхода имеет вид

иг (со, с) = у + т(с). (40)

Относительная величина эффекта определяется как

каМ = ^1. (41)

Так же, как и выше, рассмотрим усредненную характеристику

Ьп = (со, с) йБ = М„ [/с„ (т?0, т?)] , (42)

где (г]о, г])г ~ И(В), В - единичная сфера в Е1П+1, ц(В) - ее площадь. Теорема. Ьа > где

¿=1 ^ '

Результаты вычислений величины (43) представлены в табл. 2.

Таблица 2. Нижняя граница средней относительной эффективности для линейной функции потерь с детерминированной составляющей

а\п 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0,6 0,43 0,42 0,41 0,41 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

0,7 0,42 0,41 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

0,8 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

0,9 0,38 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39

Полученные результаты свидетельствуют о том, что наихудшая квантиль, характеризующая качество исследуемой системы, "в среднем" оптимистичней гарантирующей оценки в виде максимума функции потерь не менее чем на 40% (или 39% при учете детерминированной составляющей) и для больших п практически не зависит от уровня а.

Третья глава рассматривает задачу формирования портфеля бескупонных ценных бумаг с фиксированным доходом на интервале времени [0, Т]. Такие ценные бумаги ниже называются бондами. Каждый г—й бонд характеризуется номиналом L, и датой погашения Тг. Инвестор, который купил бонд по цене с в момент времени t € [0, Т], выручает в момент Ti капитал размера Ьг. Упорядочим бонды по датам погашения следующим образом: 0 < Ti < ... < Тп < Т. Бонд, который погашается в момент Т, будем называть безрисковым. Рассматривается схема реинвестиций, при которой средства, выручаемые в момент Т„ инвестируются в безрисковый бонд. Цена безрискового бонда в моменты Ti, г = 1,...,п, априори неизвестна. Предполагается, что эти цены случайны. Кроме того, если предположить, что эти цены имеют нормальный закон распределения, то оказывается, что доход портфеля не имеет математического ожидания.

В настоящей главе предлагается приближенное решение задачи формирования портфеля бондов с учетом того, что доходности безрискозого бонда в моменты Т;, i = 1,..., п, могут быть зависимыми, в то время как известные к настоящему времени решения получены в предположении о независимости этих цен. Задача решается путем применения метода линеаризации, предложенного в главе 1 диссертации. \

Пусть имеется начальный капитал, который в начальный момент времени t = 0 инвестируется з бонды с целью получения дохода к заданному терминальному моменту времени Т > 0. Пусть щ -доля начального капитала, вкладываемая в i—ю ценную бумагу. Тогда справедливо следующее равенство:

и0+ ... + «„= 1. (44)

В данной задаче операции типа "short sales" (взятие бондов в долг на время Т) принципиально не реализуемы, поэтому

0, г = 0, ...,п. (45)

В начальный момент времени i = 0 цены sq, Si, ..., sn всех бондов известны. Обозначим - случайные, цены безрискового бонда в

моменты погашения Tj,i = 1 ,...,п. Тогда доход портфеля в процентах годовых определяется соотношением

R{u, g) = aT ^"o + ' (46)

где и = (ui,...,un)T, aT = ^P, <U = f., i = 0,...,n, # = f^, i = l,...,n, 5 = (9i,—,9n)T ~ N(m,K), с известными вектором математического ожидания m и ковариационной матрицей К. Переменная щ при заданном м определяется однозначно в силу (44).

Предполагается, что диагональные элементы of матрицы таковы,

ЧТО (7j « rrii, i = 1,..., п.

Качество портфеля с учетом риска характеризуется квантильным критерием

(-Я(и, 5))« = : < Ч>) > а), (47)

где а 6 (1/2,1) - заданная доверительная вероятность. Величина — (—й(и, д))(( является нижней доверительной границей дохода портфеля. Рассмотрим задачу

(—R(u,g)) —» min, (48)

и

при ограничениях (44) и (45).

Ввиду нелинейности критерия в задаче (48), а также нелинейности функции дохода по случайным параметрам данная задача не представляется разрешимой аналитически. Способ получения решения задачи основан на использовании понятия а-ядра Ка вероятностного распределения вектора g случайных параметров.

Отметим также, что в гауссовском случае М(т, К) а-ядро регулярно и имеет вид

Ка = {х:(х- т)ТК~\х - тп) < г*}, (49)

где га - квантиль уровня а случайной величины, распределенной по закону М(0,1).

Введем следующие обозначения:

Ь = (&!,..., 6П)Т, = (50)

«о

bi — ... = b„ = -ат, а = (ai,..., а„), аг = —-аг, (51)

midi

0i = —, i = l,...,n. (52)

m,-

Тогда

-R(u, д) = G(u, rj) У -Ьащ - ЪЧ - ¿ (53)

¡=i

где T)i — ~ ЛГ(0,1). Пусть Ka - a-ядро для т]. Обозначим для удобства множество возможных стратегий U = {u : щ + lTu = 1, u¡

0, г = 1,..., п}. В работах Ю.С. Кана, A.B. Русяева и А.Н. Краснополь-ской предлагалось аппроксимировать задачу (48) задачей

maxG(u,:r) —> min. (54)

хеКа veü

Учтем, что величины в,, г = 1 ,...,п, малы, в силу условия а, « rrii, г = 1,..., п, и рассмотрим линеаризованную функцию

п

Gi(u, rj) = ~b0u0 aiUi(l - £>¿7?,). (55)

;=l

Эта функция линейна по г/, следовательно, она вогнута и выпукла по этой переменной. Поэтому

max.Gi{u, х) = (Gi(u, rf))a. (56)

хека

Теорема. Пусть О, = max 0j, r„ - а—квантиль распределения

1—1,...,п

АГ(0,1). Тогда оптимальное значение критерия задачи

max G(u, ж) —» min (57)

х€Ка viiU

отличается от оптимального значения критерия задачи

п

(Gi(u, i?))a = -boUo - bTu - min ) ащ(1 - OiXi) —> min (58)

xeKa ueU

4=1

не больше чем на величину, имеющую порядок в\ для всех <

Задача (58) решается путем применения известного метода (Кан, Тузов, 1998).

В качестве примера были взяты 5 шестимесячных бондов с Российского рынка ГКО 1997 года. Портфели были сформированы для некоторых значений а с помощью приближенного метода, предложенного в статье Кана и Краснопольской ("К проблеме формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом", Автоматика и Телемеханика, 2006,

№4, С. 97-104), при котором задача сведена к однопараметрической, и предложенного в диссертации метода линеаризации.

В табл. 3 указаны решения, полученные двумя способами при различных значениях доверительной вероятности а. Выписаны только ненулевые компоненты вектора управления и. Видно, что решения, полученные указанными методами, практически совпали. Это свидетельствует о хорошей точности метода линеаризации.

Таблица 3. Сравнение решений

а Метод Кана-Краснопольской Метод линеаризации

0,99 и4 = 1,¥>в =-27,489 и4 = 1, <р„ = -27,430

0,9 щ = 1,(ра- -27,489 44 = 1,1—27,457

0,85 щ = 1,1ра = -27,490 «4 = 1, <ра — —27,463

0,504 «4= !,¥>„= -27,4899 щ =1,1-ра = -27,4896

Основным преимуществом метода линеаризации, в отличие от других методов формирования портфеля бондов, является то, что он учитывает возможность зависимости цен.

ОСНОВНЫЙ РЕЗУЛЬТАТЫ. ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1) Достаточные условия применимости метода линеаризации для оценки функции квантили в задачах с малыми случайными возмущениями [2,4,5,6].

2) Аналитические оценки преимущества квантилыюго подхода по отношению к гарантирующему в задачах оценивания качества систем в условиях статистической неопределенности [1.3,5,6].

3) Новое решение задачи оптимизации портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом с учетом возможной зависимости случайных доходностей финансовых инструментов [7].

Публикации в журналах из перечня ВАК

1) КанЮ.С., Сысуев A.B. Сравнение квантильного и гарантирующего подходов при анализе систем // Автоматика и Телемеханика, 2007, № 1. С. 126-143.

2) КанЮ.С., Сысуев A.B. Основы метода линеаризации для решения задач квантильного анализа с малыми случайными параметрами // Автоматика и Телемеханика, 2008, №8. С. 71-81.

Публикации в других изданиях

3) Кал Ю.С., Сысуев A.B. Сравнение вероятностного и гарантирующего подходов к анализу систем // тезисы межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2006. С. 175-176.

4) Кан Ю.С., Сысуев A.B. Основы метода линеаризации для решения задач квантильного анализа систем с малыми случайными параметрами // тезисы межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2007. С. 115-116.

5) Ка.нЮ.С., Сысуев A.B. Сравнение квантильного и гарантирующего подходов при анализе нелинейных систем с малыми стохастически неопределенными параметрами // тезисы всероссийской конференции молодых ученых и студентов "Информационные технологии в авиационной и космической технике-2008", МАИ, 2008. С. 116-117.

6) КанЮ.С., Сысуев A.B. Сравнение квантильного и гарантирующего подходов при анализе качества систем с малыми стохастически неопределенными параметрами // тезисы межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2008. С. 265-266.

7) Каи Ю.С., Сысуев A.B. О приближенном решении задачи формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом // тезисы межд. конф. "Авиация и космонавтика", МАИ, 2008. С. 87.

Подписано в печать:

21.01.2010

Заказ N2 3241 Тираж-100 экз. Печать трафаретная. Типография «11 -й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

1 Метод линеаризации для решения задач квантильного анализа с малыми случайными параметрами

1.1. Введение

1.2. Обзор методов исследования задач стохастического программирования с квантильным критерием.

1.3. Постановка задачи квантильного анализа.

1.4. Обоснование метода линеаризации

1.4.1. Решение вспомогательной задачи.

1.4.2. Одномерный случай.

1.4.3. Векторный случай.

1.5. Примеры.

1.5.1. Нормальное распределение.

1.5.2. Равномерное распределение

1.5.3. Экспоненциальное распределение.

1.6. Задача коррекции орбиты геостационарного искусственного спутника Земли.

2.2. Обзор методов исследования систем в условиях неопределенности . 43

2.3. Постановка задачи.46

2.4. Принцип равномерности.48

2.5. Оценка характеристик эффекта.50

2.5.1. Некоторые вспомогательные результаты.50

2.5.2. Использование принципа равномерности.52

2.6. Оценка абсолютной и относительной эффективностей квантилыюго подхода к анализу систем по отношению к гарантирующему . 53

2.6.1. Оценка абсолютной эффективности.53

2.6.2. Оценка относительной эффективности.60

2.6.3. Оценка относительной эффективности в случае функции потерь с детерминированной составляющей.65

2.7. Заключение.68

3 Решение задачи формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом методом линеаризации 70

3.1. Введение .70

3.2. Обзор методов решения задач оптимизации портфелей ценных бумаг 72

3.3. Постановка задачи.73

3.4. Применение метода линеаризации к задаче формирования портфеля 74

3.5. Решение линеаризованной задачи.79

3.6. Пример.83

3.7. Заключение.84

Заключение 85

Список литературы 87

Введение

В диссертационной работе исследуются задачи анализа и оптимизации систем с квантильным критерием качества в условиях стохастической неопределенности.

Задачи управления в вероятностной постановке (особенно задачи оптимизации по вероятностному критерию или с вероятностными ограничениями) до недавнего времени рассматривались крайне редко. Это объясняется в основном сложностью использования самого вероятностного критерия и отсутствием сопутствующих конструктивных методов решения подобных задач. Потому при практическом решении таких задач широкое распространение получили различные приемы, состоящие в замене вероятностных критериев более простыми [46]. Один из приемов состоит в использовании среднеквадратических критериев качества. В настоящее время наиболее общие результаты по оцениванию параметров и состояний линейных статистически и стохастически неопределенных моделей получены при использовании среднеквадратического критерия. Однако, используя среднеквадратический критерий, зачастую нельзя определить вероятностные характеристики ошибок оценивания в многомерном случае, даже если известно, что модель наблюдения является гауссовской. На практике ситуация выглядит еще более удручающей: не только истинные законы распределения случайных параметров модели неизвестны, но и их важнейшие характеристики (векторы средних значений и ковариационные матрицы) задаются лишь приближенно. Последнее еще более усложняет задачу оценивания по вероятностным критериям качества.

Для моделей с полной априорной информацией задачи стохастической оптимизации по вероятностному и квантильному критериям в последнее время исследовались весьма интенсивно [46,79]. Дальнейшие результаты, применимые к линейным стохастически неопределенным моделям, описаны в [49, 86]. Исследование вероятностных и квантильных критериев в задачах идентификации линейных статистически неопределенных моделей в настоящее время следует признать недостаточным. Широкому распространению среднеквадратического подхода способствовало то обстоятельство, что для линейных систем с гауссовыми случайными возмущениями удается получить в явном виде решение как задачи анализа, так и задачи синтеза оптимального управления. Однако в общем случае нельзя гарантировать выполнение требуемых условий с заданной вероятностью при использовании среднеквадратической стратегии управления. Именно поэтому некоюрые исследователи обратились к использованию другого подхода, получившего название гарантирующего (минимаксного). Сущность его состоит в интерпретации всех неконтролируемых факторов, включая и случайные, о которых известна некоторая статистическая информация, как неопределенных факторов, о которых известными считаются лишь диапазоны их изменения или, более точно, некоторые предельные (доверительные) множества. В конечном счете, оптимальная стратегия управления определяется как стратегия, гарантирующая достижение наилучшего результата при наихудшем сочетании неопределенных факторов. Если при этом доверительное множество неопределенных факторов выбрать априори так, что его вероятностная мера будет не ниже заданной, то минимаксная стратегия управления будет гарантировать достижение результата с такой же вероятностью. Основной недостаток гарантирующего подхода заключается в том, что соответствующая ему стратегия, как правило, оказывается слишком «осторожной», а величина оценки критерия - сильно завышенной. Это объясняется тем, что, с одной стороны, решение выбирается из расчета наихудшего сочетания неопределенных факторов (а это событие является маловероятным), а с другой, - тем, что статистическая информация о случайных факторах при данном подходе используется частично или не используется вообще.

Для решения сложных практических задач в вероятностной постановке в настоящее время универсальным и эффективным является аппарат, базирующийся на использовании метода статистического моделирования совместно с численными (поисковыми) методами оптимизации. При этом возможны два принципиально разных способа совместного использования этих методов. Первый способ состоит в последовательном применении статистического моделирования и поисковой оптимизации. Второй способ совместного использования статистического моделирования и поисковой оптимизации заключается в применении их параллельно. Подобные методы оптимизации стохастических систем называются методами стохастической аппроксимации.

Теория стохастического программирования с вероятностными критериями рассматривает конечномерные задачи, которые своей целью ставят принятие оптимальных решений с учетом риска или требований надежности в условиях неопределенности, имеющей стохастическую природу. Стохастическая природа в таких задачах моделируется некоторым случайным вектором. Вероятностными критериями оптимальности являются функции вероятности и квантили. Функция вероятности несет в себе смысл вероятности выполнения некоторого условия. Функция квантили характеризует минимальное гарантированное значение функции потерь, которое не может быть превышено с заданной вероятностью при выборе гарантирующей стратегии. В силу актуальности и важности задач стохастического программирования их исследованием занимались известные российские ученые в области теории управления [2,3,40,41]. Из зарубежных исследователей в этой области следует отметить представителей венгерской [88-92] и эстонской [43-45,54-58,62,63,68,69,80,82,93,94] научных школ.

В общем случае, задачи стохастического программирования и анализа в условиях стохастической неопределенности являются весьма сложными. Это связано с тем, что найти аналитический вид функций квантили и вероятности или их градиентов можно лишь в некоторых частных случаях. При отсутствии аналитического вида критерия бывает сложно построить эффективные численные методы решения подобных задач. Кроме того, задача может быть усложнена тем, что распределение случайных параметров системы явно не задано, а известно лишь то, что распределение принадлежит некоторому классу неопределенности. Несмотря на возникающие сложности исследования этих задач, в последнее время их актуальность увеличивается. Это объясняется тем, что данные критерии не рассматривают некоторые маловероятные совокупности неопределенных параметров, учитывая только риск их реализации. Однако главным недостатком вероятностных критериев остается то, что зачастую не представляется возможным привести их к аналитическому виду.

При детерминированном подходе исследования систем влияние неопределенных факторов не учитывается. Но с практической точки зрения в этом случае может быть потерян реализм присутствующих в задаче явлений. Например, при формировании портфеля ценных бумаг сложно не учитывать случайность эффективностей финансовых инструментов или при моделировании движения летательного аппарата определять, как постоянную, скорость ветра. Таким образом, практическая значимость учета неконтролируемых факторов в моделях систем не вызывает сомнений.

Одним из подходов к решению задач стохастического программирования является метод детерминированного эквивалента, суть которого состоит в замене исходной стохастической задачи некоторой детерминированной. В задачах анализа и оптимизации систем в присутствии случайных параметров зачастую, чтобы избавиться от "стохастики", усредняют целевую функцию по этим параметрам. В результате полученное решение может абсурдным, так как оно будет справедливо лишь "в среднем". Наглядным примером является биржевой парадокс [60]. Другим вариантом построения детерминированного эквивалента является гарантирующий (минимаксный) подход. Гарантирующий подход к анализу систем заключается в том, что берутся наихудшие из возможных реализаций случайных параметров. Так осуществляется страховка от наихудшего результата. Но в реальности наихудшие сочетания неопределенных параметров системы маловероятны и пере-страховочиы, особенно когда таких параметров много. Некоторым компромиссом между стохастическим и минимаксным подходами к моделированию систем в условиях неопределенности является квантильный подход, основанный на использовании квантильного критерия качества. При квантильном подходе маловероятные, наихудшие сочетания параметров, характерные для минимаксного подхода, исключаются из рассмотрения. Риск их появления ограничивается на некотором допустимом уровне.

При анализе и синтезе систем в присутствии случайных параметров по квантильному критерию качества возникают сложности следующего характера. Во-первых, в большинстве таких задач найти аналитическое выражение для квантильного критерия при заданном уровне доверительной вероятности, как правило, невозможно. Это связано с абстрактным (через вероятность) определением функции квантили. Кроме того, задача усложняется нелинейностью квантильного критерия. Во-вторых, для статистического оценивания квантили не всегда понятно, сколько нужно провести испытаний, чтобы с заданной точностью оценить искомую величину. В-третьих, если количество опытных данных фиксировано - как улучшить точность оценки квантили. В силу указанных причин при разработке численных методов для вычисления квантили приходится использовать различные аппроксимации. Обычно применяют аппроксимации двух типов: основывающиеся на статистических оценках и на построении детерминированных границ для квантили. Наиболее известными методами оценки квантили являются выборочная оценка [5,16], экстремальная порядковая оценка [11,13] и ядерная оценка функции квантили [75,87,97].

Для решения задач стохастического программирования с критерием в виде функции квантили, как правило, используются стохастические квазиградиентные алгоритмы [17, 20, 79]. Некоторые из этих алгоритмов [79] сходятся крайне медленно, в частности потому, что при приближении к экстремуму требуется увеличение объема выборки. Поэтому актуальна проблема сокращения числа испытаний, а, следовательно, и повышения быстродействия подобных алгоритмов. В диссертации в первой главе предлагается метод линеаризации для оценки квантильного критерия, в случае, если в системе присутствуют малые случайные параметры. При рассмотрении линеаризованной задачи указанные проблемы обычно удается преодолеть.

Приложениями теории стохастического программирования являются задачи об оптимизации инвестиционных портфелей, рассмотренные, например, в [12,23, 36,83]. Одна из таких задач рассматривается в третьей главе.

Подводя итог вышесказанному, можно сделать вывод о том, что постановки задач анализа и стохастического программирования с квантильным критерием активно исследуются в настоящее время, что подтверждает актуальность диссертационной работы.

Целью работы является обоснование метода линеаризации для оценки квантильного критерия, а также сравнение квантильного и гарантирующего подходов к анализу качества систем в условиях статистической неопределенности. Для достижения поставленной цели предлагаются:

1) аналитические оценки для абсолютной и относительной эффективностей кван-тильного подхода по отношению к гарантирующему;

2) достаточные условия применимости метода линеаризации функции потерь для оценки квантили;

3) новое решение задачи оптимизации портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом с помощью метода линеаризации.

Диссертация была поддержана грантами РФФИ Ж№ 05-08-17963, 09-08-00369. Результаты работы докладывались на следующих международных научных конференциях: "Системный анализ, управление и навигация" (Евпатория, 2006, 2007, 2008гг.), "Авиация и Космонавтика" (Москва, MAPI, 2008г.), а также на всероссийской конференции молодых ученых и студентов "Информационные технологии в авиационной и космической технике" (Москва, МАИ, 2008г.) и на научных семинарах в MAPI, ИПУ РАН и МИЭМ.

Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях [25,29] в журнале, входящем в Перечень ВАК, и тезисах научных конференций [24,26-28,30].

Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы (97 источников). Объем диссертации включает 95 машинописных страниц, включая 1 рисунок и 6 таблиц.

Краткое содержание основных результатов работы по главам состоит в следующем.

Первая глава посвящена методу линеаризации для решения задач квантильно-го анализа и оптимизации в присутствии в системе малых случайных параметров. Малыми случайными параметрами будем называть произведение где д > 0 - малый скалярный параметр, а £ - n-мерный случайный вектор с известным распределением, моделирующий статистическую неопределенность.

Задачи оценивания или оптимизации квантили в общем случае являются достаточно сложными. Сложность заключается в том, что квантильный критерий в большинстве случаев не может быть явно представлен в аналитическом виде. Но в случае, когда модель системы является линейной по неопределенным параметрам, задачу оценивания квантили можно свести к задаче обобщенного линейного программирования на выпуклом множестве.

Рассматривается функция потерь /(ж), являющаяся непрерывно-дифференцируемой по х G R". Вводится также линеаризованная функция потерь:

Ж/*О = /(0) + /хат£> (1) df(y) где а = ^f . и у=0

Задачей первой главы является обоснование того, что квантиль (/¿(/х£))а отличается от искомой квантили (/(/¿0)а на малую величину порядка /;2.

В качестве вспомогательной задачи рассматривается задача нахождения квантили для линеаризованной функции потерь. С помощью результата из [78] при выполнении ряда условий, задача оценивания квантили (fi(^))a сводится к задаче обобщенного линейного программирования: xfiifix), (2) где Ка - регулярное а-ядро случайного вектора а а £ (0,1). Понятие а-ядра, а также некоторые его свойства приведены в главе 1 диссертации.

Таким образом, задачу (2) можно записать в следующем виде: fi№))a = /(0) + Д max а?х. (3)

Х£1\ ct

В главе сначала рассматривается случай, когда вектор £ одномерный, а затем приводятся результаты для многомерного случая.

Введем следующие обозначения: I - замыкание интервала (ол,а>+), где = inf(a: : F(x) > 0), и+ = sup(rr : F(x) < 1 ),F(x) - функция распределения случайной величины

В одномерном случае оказывается, что если функция распределения F{x) случайной величины £ непрерывна и строго возрастает на I, функция потерь f(x) строго монотонна и непрерывна на этом же отрезке и непрерывно-дифференцируемая на интервале и, кроме того, а ^ 0, тогда

W))a - МШа = 0(»2)- (4)

Дальнейшие рассуждения ведутся для систем, которые имеют в качестве неопределенности многомерный вектор Рассматривается частный случай функции потерь [8]:

0 = г(«т(^ + с)), (5) где А - некоторая матрица размерности тхп,£ — п-мерный случайный вектор, -г/, с - фиксированные векторы размерности гп, г(-) : Н1 —> К1 - строго возрастающая непрерывно-дифференцируемая функция, определенная на всей числовой оси.

Доказано, что если функция потерь имеет вид (5) и вектор £ имеет сферически симметричное распределение, то где (£1)0 - квантиль уровня а первой компоненты случайного вектора а ¿0 = итс, г'(¿о) = ^|£=(о • Таким образом, решается задача нахождения квантили для линеаризованной функции потерь (5). Доказано также, что если система задана функцией потерь структуры (5), то справедливо равенство

Далее формулируются и доказываются еще два утверждения, касающиеся точности оценивания квантили функции потерь квантилью для линеаризованной функции. При выполнении ряда условий, сформулированных в теоремах первой главы, также выполняется соотношение (7).

В конце главы приводится три примера задач квантильного анализа в случаях нормального, равномерного и экспоненциального распределений для размерности пространства п = 1. Аналитически находятся разности квантилей функции потерь и ее линейного приближения для этих случаев. Данные примеры подтверждают справедливость оценки (4). Кроме того, рассмотрена задача коррекции искусственного геостационарного спутника Земли с квантильным критерием оптимизации. Сравниваются значения квантили для истинной и линеаризованной функций потерь.

Во второй главе рассматривается задача сравнения квантильного и гарантирующего подходов к анализу систем в условиях неопределенности. Сравнение подходов производится для функции потерь в условиях статистической неопределенности. Данная неопределенность задается распределениями из класса Бармиша. Рассматривается линейная функция потерь

6)

- {Ш))а = 0(ц2).

7) с,0=ст£,

8) где вектор с - детерминированный п-мерный вектор с нормой ||с|| = случайный вектор с плотностью вероятности р(х), которая берется из класса Бармиша, где х = (хх, .,хп)т. Определение класса Бармиша приведено в главе 2. Распределение вектора £ задается соотношением

Р (А)= I р(х)йх, (9) л где А - произвольное борелевское множество, Р(-) - вероятностная мера борелев-ских подмножеств пространства Ип. Обозначим множество вероятностных мер Р вида (9), соответствующих всевозможным плотностям из класса Бармиша, как

Пв.

Если Р € то распределение случайного вектора £ сосредоточено на единичном кубе = г = 1,.,п|. (10)

Гарантирующий подход к анализу систем заключается в том, что выбирается такая комбинация компонентов неопределенности, которая обеспечивает наибольшие потери.

Максимальные потери на единичном кубе 1п будут иметь вид

1 п т(с) = тах/(с,ж) = - (11) г=\

Рассмотрим квантильный подход к анализу систем в условиях статистической неопределенности, описанной классом Пд. Определим наихудшее значение функции квантили на выбранном классе распределений: у*а(с) = sup min {у : Р (/(с, £) ^ у) > а} , (12)

Репв где a G (0,1) - заданный уровень надежности.

Задачей сравнения этих двух подходов является оценка абсолютной ha(c) = m(c) - у*(с) (13) и относительной

Ш = Щ (14)

7П[С) эффективностей квантильного подхода по отношению к гарантирующему.

С помощью некоторых вспомогательных результатов, в частности принципа равномерности [19, 73], находятся аналитические оценки нижних граней для абсолютной (13) и осредненной по вектору с (14) относительной эффективностей. Приводятся численные результаты расчетов средней относительной эффективности для различных а и п. Оказывается, что квантильный подход в среднем является оптимистичнее гарантирующего не менее чем на 40 %.

Кроме того, во второй главе рассматривается случай линейной функции потерь с детерминированной составляющей (свободным членом). Для данной функции также находится аналитическая оценка нижней границы среднего относительного эффекта квантильного подхода к анализу систем по отношению к гарантирующему. Также приводятся результаты численных расчетов относительной эффективности для системы, которая задается функцией потерь с детерминированной составляющей. Из результатов вычисления видно, что при увеличении размерности пространства п нижняя граница относительной эффективности стремиться к значению 39% и практически не зависит от а.

Третья глава посвящена задаче формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом. Речь идет о задаче формирования портфеля бескупонных ценных бумаг с фиксированным доходом на интервале времени [0,Т]. Такие ценные бумаги будем называть бондами. Каждый г—й бонд характеризуется номиналом Ц и датой погашения Т{. Инвестор, который купил бонд по цене с в момент времени Ь £ [0, Т] выручает в момент 2] капитал размера Ь^. Доход от этой операции равен ^т1-, т.е. он фиксирован. Бонд, погашаемый в момент Т, называется безрисковым. Упорядочим бонды по датам погашения следующим образом: 0 < Т\ < . < Тп < Т. Все средства, выручаемые в момент Т; погашения г-го бонда, инвестор вкладывает в безрисковый бонд. Таким образом, к моменту Т в портфеле остаются лишь экземпляры безрискового бонда. Цена безрискового бонда в моменты Т*, г = 1,.,п, априори неизвестна. Предполагается, что эти цены случайны. Если предположить, что эти цены имеют нормальный закон распределения, то оказывается, что доход портфеля не имеет математического ожидания [78]. По этой причине сформулировать задачу в терминах Марковица [53] не удается. В связи с этим в постановке задачи используется квантильный критерий качества портфеля, известный также под названием УаЫе-а^Шэк (УаЯ).

Ранее эта задача решалась в работах [23,78] приближенно в предположении, что цены безрискового бонда являются независимыми. В диссертации предлагается приближенное решение задачи формирования портфеля бондов с учетом того, что цены безрискового бонда в моменты Т^г — 1,.,п, могут быть зависимыми. Это достигается путем применения метода линеаризации, разработанного в главе 1 диссертации для решения задач стохастического программирования с квантиль-ным критерием качества.

Пусть у инвестора имеется начальный капитал, который в начальный момент времени t = О вкладывается в бонды с целью получения дохода к заданному моменту времени Т > 0. Обозначим через щ долю начального капитала, вкладываемую в г—ю ценную бумагу. Тогда справедливо следующее равенство: uQ + . + ип = 1. (15)

В данной задаче операции типа "short sales" (взятие бондов в долг па время Т) принципиально нереализуемы, поэтому

Щ ^ 0, г = 0, .,п. (16)

Доход портфеля в процентах годовых определяется соотношением, которое получено в [23]: т-./ \ / 1 — cio 1 — d%gi \

Д(«, д) = ат | + X, -¿¿-Ъу (17) где и = (ub.,un)T, ат = <к = д{ = г = 0, .,??, д = (д1г., дп)т ~ J\f(m, К) с известными вектором математического ожидания m и ковариационной матрицей К. Отметим, что переменная щ не включена в вектор и для удобства дальнейших выкладок. При заданном и она определяется однозначно в силу (15). Предполагается, что диагональные элементы of матрицы К таковы,

ЧТО Oi « ГП{, i = l,.,n.

Качество портфеля с учетом риска характеризуется квантильным критерием (-Д(и, д))а min{<Р : Р(-Д(и, д) ^ <р) > а}, (18) где а Е 1) - заданная доверительная вероятность. Требуется решить задачу

-R(u,g))a^ min, (19) и при ограничениях (15) и (16). Пусть

Ъ = (Ьь ., 6„)т, Ьо = ^-г^аг, (20) an bx = . = bn = ~ат, а = (аь .,а,„), а» = —(21) rtiidi вг = —, 1=1,.,п. (22)

771*

Тогда п

-Щи, д) = С(и, ту) *й -Ь0и0 - Ьти - V (23) где = 9'~т' ~ Л/"(0,1). В [78] предложено аппроксимировать задачу (19) задачей тах ж) —► тт, (24) хеКа и при ограничениях (15),(16), где Ка - а-ядро для случайного вектора г], а х € Е1'г - возможные реализации вктора т]. В [23] и [78] задача (24) успешно решена в предположении о независимости компонент вектора г/.

В диссертации задача (24) решается приближенно без предположения о независимости компонентов г]. С этой целью учтем, что величины в{, г = 1, .,?г, малы и рассмотрим линеаризованную функцию п г}) = -Ь0и0 - Ьти - ^ <цщ( 1 - ОгЩ)- (25) г=1

Исходя из свойств функции (?/(м,?7) [78] можно записать следующее: тах^(и>®) = (С?1(и,77))в. (26) х€Ка

Основным результатом третьей главы является теорема о том, что задачу (24) можно аппроксимировать задачей п

Gi(u, г]))а = -b0u0 - bru - min У^ aiuAl — 0{хЛ min , (27)

4 reft". ^—' .„iiT.,i .^n 4 C хеКа u:uo+ZTu=l,ui>0 г=1 учетом погрешности решения не превосходящей величину, имеющую порядок для всех 9* < -г, где в* = max вг.

Га i=i,.,.,ii

Далее в главе приводится алгоритм решения задачи (27). Данный алгоритм обоснован в [31].

Глава завершается рассмотрением примера формирования портфеля, содержащего пять государственных краткосрочных облигаций. Задача формирования портфеля решается двумя способами: методом [23] и методом линеаризации, предложенным в диссертационной работе. Приводятся результаты решения задачи этими методами.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1) достаточные условия применимости метода линеаризации для оценивания функции квантили в задачах с малыми случайными возмущениями;

2) получены аналитические оценки эффекта квантильного подхода по отношению к гарантирующему в задачах оценки критерия качества систем в условиях статистической неопределенности;

3) новое решение задачи оптимизации портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом с учетом возможной зависимости случайных цен.

Заключение

В диссертационной работе предложен метод линеаризации для решения задач квантильного анализа в присутствии малых случайных параметров. Сформулированы условия, необходимые и достаточные для применения метода линеаризации в системах с малыми случайными параметрами для оценивания квантили. При этом в некоторых случаях задачу анализа удается свести к обобщенному линейному программированию на выпуклом множестве. Кроме того, исследована точность оценок квантили при использовании метода линеаризации.

Также в диссертации впервые предложены оценки эффекта использования квантильного критерия в задачах оценки качества систем в условиях статистической неопределенности. Рассмотрена система, заданная линейной функцией потерь. Найдены нижние оценки абсолютной и относительной эффективностей преимущества квантильного подхода. Показано, что в условиях неопределенности, заданной классом Бармиша, квантильные оценки качества системы в среднем на 40 % является более оптимистичной, чем гарантирующие. Получены аналогичные оценки эффективностей в случае, если в функции потерь системы присутствует детерминированная составляющая.

В качестве примера использования метода линеаризации получено новое решение задачи формирования портфеля бескупонных ценных бумаг. Учтено, что в системе управления портфелем присутствуют малые случайные параметры с известным распределением. Также оценена погрешность полученного решения. Оказывается, что она не превосходит порядка квадрата вышеуказанного малого параметра.

1. Ананьев Б. И. Информационные множества для многошаговых статистически неопределенных систем // Труды института математики и механики УрО РАН, 1994, № 6. С.42-46.

2. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998.

3. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.

4. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. М.: Высшая школа, 1983.

5. Боровков A.A. Математическая статистика: Оценка параметров. Проверка гипотез. М.: Наука, 1984.

6. Вазан М. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979.

7. Вапник В.Н. Стохастическая аппроксимация. М.: Мир, 1972.

8. Вишняков Б.В., Кибзун А.И. Детерминированные эквиваленты для задач стохастического программирования с вероятностными критериями // Автоматика и Телемеханика, 2006, № 6. С.126-143.

9. Вишняков Б.В., Кибзун А.И. Применение метода бутстрепа для оценивания функции квантили // Автоматика и Телемеханика, 2007, №11. С. 46-60.

10. Вишняков Б.В., Кибзун А.И. Оптимизация двухшаговой модели изменения капитала по различным статистическим критериям // Автоматика и Телемеханика, 2005, т. С. 126-143.

11. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. М.: Наука, 1984.

12. Григорьев П.В., Кан Ю.С. Оптимальное управление по квантильному критерию портфелем ценных бумаг // Автоматика и Телемеханика, 2004, №2. С. 179-197.

13. Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979.

14. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976.

15. Зорин В.А. Математический анализ. Ч.П. М.: Наука. 1984.

16. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1992.

17. Кан Ю.С. Квазиградиентный алгоритм минимизации функции квантили // Известия РАН. Теория и системы управления, 1996, №2. С. 81-86.

18. Кан Ю.С., Кибзун А.И. Свойства выпуклости функций вероятности и квантили в задачах оптимизации // Автоматика и Телемеханика, 1996, №3. С. 82-102.

19. Кан Ю.С. Об обосновании принципа равномерности в задаче оптимизации вероятностного показателя качества // Автоматика и Телемеханика, 2000, №1. С. 54-70.

20. Кан Ю.С. О сходимости одного стохастического квазиградиентного алгоритма квантильной оптимизации // Автоматика и Телемеханика, 2003, №1. С. 100117.

21. Кан Ю.С. Оптимизация портфелей ценных бумаг с учетом риска. М.: МАИ, 2008.

22. Кан Ю.С. Оптимизация управления по квантильному критерию // Автоматика и Телемеханика, 2001, №5. С. 77-88.

23. Кан Ю.С., Краснопольская А.Н. К проблеме формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом // Автоматика и Телемеханика, 2006, №4. С.97-104.

24. Кан Ю.С., Сысуев A.B. О приближенном решении задачи формирования портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом // тезисы межд. конф. "Авиация и космонавтика", МАИ, 2008. С. 87.

25. Кан Ю.С., Сысуев A.B. Основы метода линеаризации для решения задач квантильного анализа с малыми случайными параметрами // Автоматика и Телемеханика, 2008, №8. С.71-81.

26. Кан Ю.С., Сысуев A.B. Основы метода линеаризации для решения задач квантильного анализа систем с малыми случайными параметрами // тезисы межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2007. С. 115-116.

27. Kafi Ю.С., Сысуев A.B. Сравнение квантильного и гарантирующего подходов при анализе качества систем с малыми стохастически неопределенными параметрами // тезисы межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2008. С. 265-266.

28. Кан Ю.С., Сысуев A.B. Сравнение вероятностного и гарантирующего подходов к анализу систем // тезисы межд. конф. "Системный анализ, управление и навигация", Евпатория, 2006. С. 175-176.

29. Кан Ю.С., Сысуев A.B. Сравнение квантильного и гарантирующего подходов при анализе систем // Автоматика и Телемеханика, 2007, № 1. С.126-143.

30. Кап Ю.С., Тузов Н.В. Минимизация квантили нормального распределения билинейной функции потерь // Автоматика и Телемеханика, 1998, JV2 11. С. 82-92.

31. Кенуй М.Г. Быстрые статические вычисления. М.: Статистика, 1979.

32. Кибзуи А.И. О наихудшем распределении в задачах стохастической оптимизации с функцией вероятности // Автоматика и Телемеханика, 1998, № 11. С. 104-116.

33. Кибзун А.И., Кузнецов Е.А. Выпуклые свойства функции квантили в задачах стохастического программирования // Автоматика и Телемеханика, 2004, Nfi2. С. 33-42.

34. Кибзуи А.И., Кузнецов Е.А. Оптимальное управление портфелем ценных бумаг // Автоматика и Телемеханика, 2001, №9. С. 101-113.

35. Кибзун А.И., Кузнецов Е.А. Сравнение критериев VaR и CVaR // Автоматика и телемеханика, 2003, №7. С. 153-165.

36. Кибзун А.И., Курбаковский В.Ю. Численные алгоритмы квантильной оптимизации и их применение к решению задач с вероятностными ограничениями. // Известия РАН. Техническая кибернетика, 1992, №1. С. 75-81.

37. Кибзун А.И., Матвеев E.JI. Оптимизация функции квантили на основе ядерных оценок // Автоматика и Телемеханика, 2007, №1. С. 68-81.

38. Ким Ю.В., Овсеевич А.И., Решетняк Ю.Н. Сравнение стохастического и гарантированного подходов к оцениванию состояния динамических систем // Известия РАН. Техническая кибернетика, 1992, № 2. С. 87-94.

39. Колмановский В. Б. Об управлении по вероятности некоторыми системами // Прикладная математика и механика, 1976, т.40, вып.5. С. 782-789.

40. Кузьмин В.П., Ярошевский В.А. Оценка предельных отклонений фазовых координат динамической системы при случайных возмущениях. М.: Наука, 1995.

41. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. -М.: Наука, 1977.

42. Лепп Р. Детерминистические эквиваленты задач стохастического программирования с эллиптически симметричными распределениями. // Известия АН ЭССР. Физика.Математика. 1979, т.28, №2. С. 158-160.

43. Лепп Р. Максимизация функции вероятности на простых множествах. // Известия АН ЭССР. Физика. Математика. 1979, т.28, № 4. С.303-309.

44. Лепп Р. Минимизация гладкой функции при вероятностных ограничениях. // Известия АН ЭССР. Физика. Математика. 1980, т.29, № 2. С. 140-144.

45. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987.

46. Невельсон М.Б., Хаеъминекий Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1972.

47. Панков А.Р., Семенихин К.В. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях априорной неопределенности // Автоматика и Телемеханика, 2000, №5. С. 76-92.

48. Панков А.Р., Платонов Е.Р., Семенихин К.В. Минимаксная оптимизация инвестиционного портфеля по квантильному критерию // Автоматика и Телемеханика, 2003, №7. С. 117-133.

49. Панков А.Р., Платонов Е.Р., Семенихин К.В. Минимаксная квадратическая оптимизация и ее приложения к планированию инвестиций // Автоматика и Телемеханика, 2001, №12. С. 55-73.

50. Панков А.Р., Семенихин К.В. О минимаксном оценивании в сингулярных неопределенно-стохастических моделях // Автоматика и Телемеханика, 2002, №9. С. 40-57.

51. Панков А.Р., Семенихин К.В. О минимаксном оценивании по вероятностному критерию // Автоматика и Телемеханика, 2007, №3. С. 66-82.

52. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: Расчет и Риск. М.: Инфра-М, 1994.

53. Райк Э. О функции квантили в задачах стохастического нелинейного программирования // Известия АН ЭССР. Физика. Математика. 1971, т.24, №1. С. 3-8.

54. Райк Э. Качественные исследования в задачах стохастического нелинейного программирования // Известия АН ЭССР. Физика. Математика. 1971, т.20, № 1. С. 8-14.

55. Райк Э. О функции квантиля в стохастическом нелинейном программировании // Известия АН ЭССР. Физика. Математика. 1971, т.20, № 2. С. 229-231.

56. Райк Э. О задачах стохастического программирования с функционалами вероятности и квантиля // Известия АН ЭССР. Физика. Математика. 1972, т.21, № 2. С. 142-148.

57. Райк Э. Дифференцируемость по параметру функции вероятности и стохастический псевдоградиентный метод для ее оптимизации. // Известия АН ЭССР. Физика. Математика. 1975, т.24, № 1. С. 3-9.

58. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

59. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. -М.: Мир, 1990.

60. Семенихи?1 К.В. Минимаксность линейных оценок неопределенно-стохастического вектора по обобщенным вероятностным критериям. // Автоматика и Телемеханика, 2007, №11. С. 88-104.

61. Тамм Э. О квазивыпуклости функций вероятности и квантиля // Известия АН ЭССР. Физика. Математика. 1976, т.25, №2. С. 141-143.

62. Тамм Э. О минимизации функции вероятности // Известия АН ЭССР. Физика. Математика. 1979, 28, №1. С.17-24.

63. Тимофеева Г.А. Обобщенные доверительные множества для статистически неопределенного случайного вектора // Автоматика и Телемеханика, 2002, №6. С. 44-56.

64. Тимофеева Г.А. Оптимальные доверительные множества для статистически неопределенных систем // Автоматика и Телемеханика, 2003, №11. С. 84-95.

65. Урясьев С.П. Адаптивные алгоритмы стохастической оптимизации и теории игр. М.: Наука, 1990.

66. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. М.: Финансы и статистика, 1988.

67. Юби Э. Статистическое исследование задач стохастического программирования и метод их решения // Известия АН ЭССР. Физика. Математика. 1977, т. 26, № 4. С. 369-375.

68. Юби Э. Минимизация функции вероятности методом статистического моделирования // Труды Таллинского политехнического института, 1976, т. 411. С. 57-76.

69. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации // М.: Советское радио, 1974.

70. Anderson Т. W. The Integral of a Symmetric Unimodal Function over a Symmetric Convex Set and Some Probability Inequalities // Proc. Am. Math. Soc., 1955, No.6. P. 170-176.

71. Bahadur R.R. A note on quantiles in large samples // Ann. Math. Statist., 1966, No. 37. P. 577-580.

72. Barmish B.R., Lagoa C.M. The uniform distribution: A rigorous justification for its use in robustness analysis // Math. Control Signal Syst. 1997, No. 10. P. 203-222.

73. Elton E.G., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analisis 4-th ed. New York: Wiley, 1991.

74. Falk M. Relative Deficiency of Kernel Type Estimators of Quantiles // The Annals of Statistics, 1984, 12, No. 1. P. 261-267.

75. Gilliland D.C. On Maximization of the Integral of a Bell-Shaped Function over a Symmetric Set // Naval Research Logistics Quarterly, 1968, 15. P. 507-517.

76. Kail P., Wallace S. W. Stochastic Programming. Chichester: John Wiley & Sons, 1994.

77. Kibzun A.I., Kan Yu.S. Stochastic Programming Problems with Probability and Quantile Functions. Chichester: John Wiley & Sons, 1996.

78. Lepp R. Stochastic Approximation Type Algorithm for the Maximization of the Probability Function // Eesti NSV Teaduste Akadeemia Toimetised, Füüsika & Matemaatika, 1983, 32, No.2. P. 150-156.

79. Mudholkar G.S. The Integral of an Invariant Unimodal Function over an Invariant Convex Set. An Inequality and Applications // Proc. Am. Math. Soc., 1966, 17. P.1327-1333.

80. Lepp, R. and V.Olman An Inequality for Integrals with Spherically Symmetric Functions and its Application to Optimization // Eesti NSV Teaduste Akadeemia Toimetised, Füüsika & Matemaatika, 1980, 29, No.2. P. 133-139.

81. Markowitz H.M. Portfolio Selection // J. Finance. 1952, No.7(l). P. 77-91.

82. Marti K. Stochastic Optimization Methods. 2nd ed. Berlin: Springer, 2008.

83. Mosteller F. On Some Useful Inefficient Statistics // The Annals of Statistics, 1946, 17. P. 317-408.

84. Pankov A.R., Platonov E. N., Popov A. S., Siemenikhin K. V. Linear stochastic programming with minimax quantile and probability criterions // Proc. 43rd IEEE Conf. Decision and Control. Bahamas, Nassau: 2004. P. 3179-3182.

85. Parzen E. Nonparametric Statistical Data Modeling // Journal of the American Statistical Association (JASA), 1979, 74, No. 365. P. 105-121.

86. Prekopa A. Logarithmic Concave Measures with Application to Stochastic Programming // Acta Sei. Math. (Szeged), 1971, 32. P. 301-316.

87. Prekopa A. On Logarithmic Concave Measures and Functions // Acta Sei. Math. (Szeged), 1973, 34. P. 325-343.

88. Prekopa A. Logarithmic Concave Measures and Related Topics. In: Stochastic Programming, ed. M.A.H.Dempster. London: Academic Press, 1980. P. 63-82.

89. Prekopa A. Numerical Solution of Probabilistic Constrained Programming Problems. In: Numerical Techiques for Stochastic Optimization, eds. Yu.Ermoliev and R.J.B.Wets. Berlin: Springer-Verlag, 198Ü. P. 123-139.

90. Prekopa A. Stochastic Programming. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995.

91. Tamm E. On g-concave Functions and Probability Measures // Известия AH ЭССР. Физика. Математика. 1977, 26, № 4. С. 376-379.

92. Tamm E. On Minimization of a Function under an Equality Chance Constraint // Math. Operationsforsch. Statist., Ser. Optimization, 1981, 12, No.2. P.253-262.

93. Sheath er S.J., Marron J.S. Kernel Quantile Estimators / / Journal of the American Statistical Association (JASA), 1990, 85, No.410. P.410-416.

94. Wald A. Statistical Decision Functions. New York: John Wiley, 1950.

95. Yang S.-S. A Smooth Nonparametric Estimator of a Quantile Function // Journal of the American Statistical Association (JASA), 1985, 80, No.392. P. 1004-1011.