автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Игровые методы оптимизации вероятностных функционалов и их применение к решению аэрокосмических и экономических задач

Введение

1 Свойства вероятностных функционалов

1.1 Формы записи вероятностных функционалов.

1.2 Непрерывность вероятностных функционалов.

1.2.1 Непрерывность вероятностных функционалов по параметрам.

1.2.2 Непрерывность вероятностных функционалов по управлениям.

1.2.3 Гладкость функций вероятности и квантили.

1.3 Свойства выпуклости функций вероятности и квантили.

1.3.1 Квазивогнутость функции вероятности и квазивыпуклость функции квантили

1.3.2 А-вогнутость функции вероятности.

1.3.3 Выпуклость функции квантили.

1.4 Выводы к главе 1.

2 Аппроксимация вероятностных функционалов

2.1 Двухсторонние границы для вероятностных функционалов. Обзор результатов

2.2 Двухсторонние оценки квантилей распределения квазивыпуклых и вогнутых функций потерь.

2.2.1 Понятие замкнутого ск-ядра вероятностной меры. Свойства ядра.

2.2.2 Оптимизация функции потерь на замкнутом а-ядре вероятностной меры.

2.3 Глобальные двухсторонние оценки вероятностных функционалов.

2.3.1 Классический случай.

2.3.2 Обобщенный случай.

2.4 Выводы к главе 2.

3 Методы оптимизации функционала квантили

3.1 Обзор известных результатов.

3.2 Сведение задачи квантильной оптимизации к игре двух лиц с непротивоположными интересами.

3.3 Стохастический квазиградиентный алгоритм минимизации функции квантили.

3.4 Эквивалентность вероятностных задач оптимизации.

3.4.1 Классический случай.

3.4.2 Обобщенный случай.

3.5 Минимаксная аппроксимация задач квантильной оптимизации с вогнутыми по случайным параметрам функциями потерь.

3.6 Выводы к главе 3.

4 Управление с вероятностными функционалами

4.1 Краткий обзор известных результатов.

4.2 Оптимальное управление с обратной связью по квантильному критерию.

4.2.1 Дискретные системы.

4.2.2 Стохастическая задача терминального управления.

4.3 Стабилизация квазилинейной системы при неопределенных и случайных возмущениях.

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Исследование задачи оценки состояния. 4.3.3 Решение задачи стабилизации.

4.3.4 Решение задачи стабилизации при полных наблюдениях . . . 116 . 4.4 Стабилизация квазилинейной системы со случайными ошибками в канале управления.

4.4.1 Постановка задачи.

4.4.2 Синтез закона стабилизации.

4.4.3 Случай гауссовской помехи.

4.5 Выводы к главе 4.

5 Принцип равномерности

5.1 Постановка задачи.

5.2 Некоторые предварительные результаты.

5.3 Минимизация функционала вероятности.

5.4 Анализ чувствительности принципа равномерности.

5.5 Выводы к главе 5.

6 Решение прикладных задач

6.1 Коррекция орбиты геостационарного ИСЗ.

6.2 Оптимальное управление по квантильному критерию движением материальной точки.

6.2.1 Постановка задачи.

6.2.2 Сведение квантильной задачи к вероятностной.

6.2.3 Численное решение уравнения Беллмана.

6.2.4. Тестовый пример.

6.3 Оптимальное управление по квантильному критерию движением математического маятника.

6.3.1 Постановка задачи.

6.3.2 Численное решение уравнения Беллмана.

6.3.3 Тестовый пример.

6.4 Оптимизация площади ВПП.

6.4.1 Задача стохастического программирования с вероятностным ограничением.

6.4.2 Эквивалентная задача квантильной оптимизации.

6.4.3 Гарантирующее решение.

6.4.4 Результаты численных расчетов.

6.5 Формирование портфеля дисконтных ценных бумаг.

6.5.1 Модель оптимального портфеля.

6.5.2 Аппроксимация задачи оптимизации портфеля.

6.5.3 Оценка допустимого риска.

6.5.4 Результаты численных расчетов.

6.6 Формирование портфеля ценных бумаг с бесконечным временем жизни.

6.6.1 Постановка задачи и некоторые предварительные результаты.

6.6.2 Задачи квантильной оптимизации с вероятностными ограничениями.

6.6.3 Задачи квантильной оптимизации с континуальным семейством вероятностных ограничений.

6.6.4 Заключительные замечания.

6.7 Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг смешанного типа.

6.7.1 Постановка задачи.

6.7.2 Решение задачи оптимизации комбинированного портфеля.

6.7.3 Результаты тестовых рачетов.

6.8 Выводы к главе 6.

Актуальность темы. Исторически теория оптимизации вероятностных функционалов возникла как специальный раздел теории задач стохастического программирования с вероятностными ограничениями, интенсивно развиваемой примерно с конца 50-х годов благодаря исследованиям Чарнса и Купера [99], [100], Чарнса, Купера и Саймондса [101], Саймондса [150], Гарстки [106], Калла [108], Калла и Уоллеса [109], Колбина [126], Прекопы [137], [138], [139], [140], Прекопы и Шантая [141], Сенгупты [147], Шантая [151], Вайды [160], Юдина [92]. Квантильный критерий впервые введен в рассмотрение Катаокой [121], Развитие этого раздела связано с именем эстонского математика Райка [73], [74], [75], [76] и его учеников Леппа [48], [49], [127], Тамм [80], [81], [152], [153] и Юби [90], [91]. Необходимо также отметить вклад германского математика Марти [130], [131], украинского математика Ермольева [9], украинских математиков Ермольева, Норкина и американского математика Ветса [105], украинских математиков Норкина и Роенко [64] и Урясьева [82], [156], [157], [158]. Результаты указанных ученых получены главным образом для конечномерных задач, в которых случайные факторы моделируются как случайные векторы, а оптимизируемая стратегия является конечномерным вектором. Дальнейшее развитие данной области вывело теорию оптимизации вероятностных функционалов за рамки стохастического программирования благодаря работам российских ученых по исследованиям как конечномерных, так и бесконечномерных задач. Эти исследования связаны с именами Афанасьева, Колмановского и Носова [3], Бахшияна, Назирова и Эльясберга 5], Кибзуна и Ефремова [10], Зубова [И], Кибзуна [32], Кибзуна и Курбаковского 33], [123], Кибзуна, Малышева и Чернова [34], Кибзуна и Наумова [35], [36], Кибзуна и Сотского [37], [38], Кибзуна и Третьякова [39], [40], [41], Н.Н.Красовского [46], Кузьмина и Ярошевского [47], Лидова и Лукьянова [51], Малышева и Карпа [30], [56], [57], Малышева и Кибзуна [58], Черноусько и Колмановского [88], Кибзуна, Малышева и Карпа [124], Кибзуна и Урясьева [125]. В настоящее время теорию оптимизации вероятностных функционалов можно охарактеризовать как интенсивно развиваемую ветвь общей теории стохастической оптимизации, включающую в себя как задачи стохастического программирования, так и задачи стохастического оптимального управления с вероятностными функционалами.

Реальная жизнь постоянно порождает ситуации, требующие принятия решений в условиях неопределенности. При этом часто оказывается, что любая стратегия поведения сопряжена с риском, обусловленным негарантированностью получения желаемого результата. При построении математических моделей таких задач выделяются два наиболее существенных фактора. Первый фактор можно назвать полезностью стратегии, второй - ее риском. Полезность стимулирует принятие оптимальных решений в смысле ее максимума, или в смысле минимума обратной характеристики (обычно полезности со знаком минус), называемой функционалом (в конечномерном случае - функцией) потерь. Например, роль полезности могут играть доход от инвестиций, число людей, не инфицированных гриппом, точность системы управления, продуктивность технологического процесса и т.п. Присутствие второго фактора объясняется разнообразными причинами. Это могут быть неполнота информации, влияние природы или людей, рыночные механизмы в экономике и др. Обычно под риском подразумевается возможность осуществления негативного события, состоящего в том, что желаемая цель не будет достигнута. Таким образом, задача принятия решения в условиях неопределенности является, по меньшей мере, двухкритериальной. Вероятностные функционалы, исследуемые в диссертации, отражают специальный нелинейный способ описания компромисса между полезностью и риском в условиях, когда неопределенность удовлетворительно описывается случайными величинами или случайными процессами. Первый из вероятностных функционалов, называемый функционалом вероятности, есть вероятность того, что функционал потерь не превысит заданного допустимого значения. Он характеризует надежность принимаемого решения, т.е. является противоположным критерием по отношению к риску. При использовании функционала вероятности в качестве критерия оптимальности стратегии потери или полезность ограничиваются, а риск минимизируется. Поэтому обычно рассматривается задача на максимум функционала вероятности. Второй -функционал квантили - является наименьшим уровнем функционала потерь таким, что реальная величина потерь не превысит этот уровень с заданной вероятностью. Т.е. по сути этот функционал представляет собой гарантированный с заданной вероятностью уровень потерь. Поскольку такой уровень желательно минимизиовать, то обычно рассматривается задача на минимум функционала квантили, называемая задачей квантильной минимизации. Если функционал квантили выступает в качестве основного критерия оптимальности, то при таком подходе потери минимизируются (полезность максимизируется) при заданном ограничении на риск.

Для пояснения основных особенностей и сложности исследуемых задач даже в конечномерном случае заметим, что в стохастическом программировании рассматриваются оптимизационные модели вида (см., например, монографию Калла [109]): т т иеи при ограничениях

М[ф,0]<0, где и - конечномерный вектор стратегии, а = А(и) случайный вектор с известным распределением, /(гг, а) и д(и,А) заданные скалярная и векторная функции.

Рассматриваемые в диссертации вероятностные функционалы в конечномерном случае формально могут быть сведены к таким моделям путем представления функционала вероятности в форме математического ожидания соответствующей индикаторной функции. Например, классическая функция вероятности

РА(и) = Р(Ф(щш) < ср,Я(и,и) < 0}, где Ф(и,ш) - функция потерь, а Q(u,u) - функция дополнительных ограничений, может быть представлена в виде

РА(и)=М[х(щ(р,и)1 где

1, т&х(Ф(и,и) - (р^(и,ш)} <0

О, в противном случае.

По этой причине для оптимизации функций вероятности и квантили, на первый взгляд, можно было бы использовать известные методы стохастического программирования, например, стохастические квазиградиентные алгоритмы Ермольева [9] или их модификации, предложенные Урясьевым [82]. Однако применение этих методов наталкивается на проблему вычисления градиентов, обусловленную разрывностью индикаторной функции. Для преодоления этой проблемы Ермольевым, Норкиным и Ветсом в [105] предложено аппроксимировать разрывную функцию равномерно сходящейся к ней последовательностью гладких функций и использовать последние для вычисления стохастического квазиградиента на каждом шаге оптимизационной процедуры. Но такой подход приводит к резкому увеличению числа настроечных параметров алгоритма ввиду неоднозначности такой аппроксимации, что затрудняет реализацию алгоритма при решении конкретных задач. Вместе с тем, как показано в ряде работ (см., например, обзорную работу Кибзуна и Урясьева [125]), функция вероятности при достаточно общих предположениях является гладкой, и ее градиент представим в виде объемного интеграла, несмотря на разрывность указанного индикатора. Это свидетельствует о том, что рассматриваемые вероятностные функционалы обладают рядом специфических особенностей, требующих специального исследования.

Актуальность темы диссертационного исследования вызвана двумя обстоятельствами. Во-первых, создание российской школы оптимизации вероятностных функционалов мотивировалось изначально необходимостью решения задач управления летательными аппаратами с учетом возрастающих противоречивых требований к точности и надежности управления при наличии случайных факторов. В этой связи наиболее важным представляется класс задач стохастического оптимального управления с обратной связью с функционалами вероятности и квантили, устанавливающими компромисс между критериями точности и надежности. К настоящему времени благодаря работам Афанасьева, Колмановского и Носова [3], Малышева и Киб-зуна ¡58], Черноусько и Колмановского [88] имеется определенный теоретический задел по решению таких задач с функционалом вероятности. Задачи же такого типа с функционалом квантили не поддаются решению известными методами. В частности, обобщенный минимаксный подход к решению задач квантильной оптимизации, предложенный в 70-х годах Кибзуном и Малышевым и развитый впоследствии Карпом, показал свою эффективность при решении задач стохастического программирования с квантильной целевой функцией, в которых случайные факторы присутствуют как случайные величины и векторы, а оптимизируемая стратегия является конечномерным вектором. С помощью этого подхода установлено, что оптимизационные модели с функционалами вероятности и квантили обладают скрытыми игровыми свойствами. Применительно к бесконечномерным задачам стохастического оптимального управления применение этого подхода наталкивается на две методологические проблемы, проявляющиеся в задачах управления с обратной связью. Первая проблема состоит в том, что вероятностное ограничение, участвующее в определении функционала квантили, приводит к неприменимости метода динамического программирования для решения задач стохастического оптимального управления с квантильным критерием качества. Вторая проблема обусловлена тем, что обобщенный минимаксный подход требует рассмотрения доверительных множеств в пространстве реализаций случайных возмущений, математическое описание которых отделено от оптимизируемых стратегий управления. В то же время математический аппарат теории стохастических дифференциальных систем, развитый в работах Липцера и Ширяева [52], Пугачева и Синицына [72] и активно используемый в теории стохастического оптимального управления, направлен на определение вероятностных мер в пространстве траекторий стохастической системы. Если такие меры использовать при рассмотрении задач стохастического оптимального управления, то они оказываются зависимыми от стратегий управления.

Указанные проблемы к настоящему времени не преодолены, следствием чего является не только отсутствие достаточных условий оптимальности управления стохастическими системами по квантильному критерию, но и отсутствие даже академических примеров решенных задач такого типа. Поэтому представляется актуальной разработка иных подходов к решению задач оптимизации вероятностных функционалов, не встречающих принципиальных затруднений при распространении результатов с конечномерного случая на бесконечномерный и позволяющих активно использовать указанный выше теоретический задел и методы теории игр.

Во-вторых, известные к настоящему времени методы квантильной оптимизации, построенные с использованием обобщенного минимаксного подхода, ориентированы на решение задач с выпуклыми по случайным параметрам функциями потерь, что было обусловлено спецификой аэрокосмических приложений. Развитие инженерной и экономической практики породило в последнее десятилетие новые оптимизационные постановки с вероятностными функционалами, в которых функция потерь вогнута по случайным параметрам. Такие задачи требуют разработки специальных методов решения.

Работа выполнялась в рамках госбюджетных программ, а также при поддержке International Science Foundation (грант N2U000) и Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 99-01-01033 и 01-01-00416).

Цель работы. Главной целью диссертационного исследования является развитие нового направления в теории стохастической оптимизации с дифферентом в бесконечномерные постановки, связанного с использованием скрытых игровых свойств оптимизационных моделей с вероятностными функционалами для вывода достаточных условий оптимальности и построения численных процедур определения оптимальных решений, а также с применением теоретических результатов для решения аэрокосмических и экономических задач.

Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

• развитие качественной теории оптимизации вероятностных функционалов;

• исследование нового класса задач квантильной минимизации, в которых функция потерь вогнута по случайным параметрам;

• исследование новых классов стохастических оптимизационных задач с вероятностными функционалами, в которых исходная вероятностная мера зависит от применяемой стратегии;

• вывод достаточных условий оптимальности управления с обратной связью для задач стохастического оптимального управления с квантильным критерием качества;

• исследование некоторых неопределенно-стохастических оптимизационных задач с вероятностными функционалами, осложненных наличием неопределенностей нестохастической природы;

• решение прикладных задач.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории вероятностей, функционального анализа, теории игр, математического программирования, метод динамического программирования, метод функций Ляпунова.

Научная новизна. В работе получены результаты, дополняющие существующую теорию стохастической оптимизации некоторыми новыми понятиями, теоретическими утверждениями общего порядка и эффективными процедурами определения оптимальных стратегий. Среди таких результатов отметим следующие, выносимые на защиту.

1. Условия непрерывности и выпуклости функций вероятности и квантили.

2. Двухсторонние оценки вероятностных функционалов и функций их оптимальных значений.

3. Метод сведения задачи квантильной минимизации к игре двух лиц с непротивоположными интересами.

4. Стохастический квазиградиентный алгоритм оптимизации функции квантили.

5. Метод минимаксной аппроксимации задачи квантильной минимизации с вогнутой по случайным параметрам функцией потерь.

6. Достаточные условия оптимальности и £-оптимальности по квантильному критерию для задач стохастического оптимального управления с обратной связью непрерывными и дискретными системами.

7. Решение вероятностной задачи стабилизации квазилинейной неопределенно-стохастической системы при полных и неполных наблюдениях.

8. Обоснование принципа равномерности Бармиша-Лагоа на случай плотностей вероятности, интегрируемых по Лебегу, и новых классов целевых множеств.

9. Решение содержательных прикладных задач: задачи коррекции орбиты геостационарного ИСЗ, задачи оптимизации площади ВПП, задач оптимального управления по квантильному критерию движением материальной точки и математического маятника, задач формирования портфелей ценных бумаг с конечным и бесконечным временем обращения с учетом риска.

Теоретическая и практическая ценность диссертации заключается в том, что изложенные в ней методы и установленные результаты объединяют общие теоремы и конструктивные численные процедуры. Они создают теоретическую основу для создания программно-алгоритмического обеспечения ЭВМ для решения разнообразных содержательных задач принятия решения с учетом риска. Это подтверждается решением семи прикладных задач: задачи коррекции орбиты геостационарного ИСЗ, задачи оптимизации площади ВПП, задач оптимального управления по квантильно-му критерию движением материальной точки и математического маятника, задач формирования портфелей ценных бумаг с конечным и бесконечным временем обращения с учетом риска.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на научном семинаре кафедры теории вероятностей МАИ под руководством профессора Кибзу-на, научном семинаре "Управление и устойчивость" кафедры кибернетики МГИЭМ под руководством профессоров Афанасьева В,И., Колмановского В.Б. и Носова В.Р., Международной Научной Школе "Моделирование и Анализ Безопасности, Риска и Качества в Сложных Системах" (Санкт-Петербург, 2001 г.), Чебышевских чтениях, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева, Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, 1997), Международной конференции по проблемам управления (ИПУ РАН, 1999 г.), 17-й конференции 1Р1Р по моделированию и оптимизации систем (Прага, 1995 г.), Х1-й международной Байкальской школе-семинаре (Иркутск, Байкал, 1998 г.). Мюнхенских стохастических днях (Мюнхен, 1998 г.), 28-й рабочей встрече Европейской рабочей группы по финансовому моделированию (Вильнюс, 2001), Международном симпозиуме по исследованию операций (Германия, Йена, 1997 г.). Международной научной конференции "Финансовая экономика: концепции, структуры, менеджмент" (Москва,

2000), 3-й рабочей встрече G AMM/IFIP "Stochastic Optimization: Numerical Methods and Technical Applications" (Мюнхен, 1996), 5-й и б-й Международных конференциях "Системный анализ и управление космическими комплексами. Исследование и освоение космоса в наступающем веке" (Евпатория, 2000, 2001 гг.), 15-м Международном Симпозиуме по Математическому Программированию (Анн Арбор, Мичиган, США, 1994 г.). Всероссийской научной конференции "Алгоритмическое обеспечение процессов управления в механике и машиностроении" (Ярополец, 1994), 9-й Международной конференции по стохастическому программированию (Берлин, 2001).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [110], [111], [112], [113], [114], [115], [116], [117], [118], [119], [120], [122].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы (162 наименования). Общий объем работы составляет 221 страницу. В основной текст вставлены 8 таблиц и 7 рисунков.

8 Выводы к главе 6. главе получены следующие результаты.

• Решены прикладные задачи оптимизации управления с обратной связью по квантильному критерию качества: задача коррекции орбиты геостационарного ИСЗ; задача управления стохастическим движением материальной точки; задача управления стохастическим движением математического маятника. Решение этих задач свидетельствует о высокой эффективности метода решения общей задачи квантильной минимизации, предложенного в главе 3 и основанного на сведении задачи квантильной минимизации к задаче максимизации функционала вероятности, а также конструктивности достаточных условий оптимальности и субоптимальности управления с обратной связью по квантиль-ному критерию, разработанных в главе 4 для дискретных и непрерывных стохастических систем.

• Получено асимптотически точное по вероятности аналитическое решение задачи минимизации площади ВПП. Результаты численных расчетов свидетельствуют о том, что оно не уступает по точности решениям, полученным известными численными методами.

• Рассмотрены квантильные оптимизационные модели портфельных инвестиций в ценные бумаги с теоретически бесконечным временем жизни. Для этих моделей предложены численные алгоритмы решения, сходящиеся за конечное число шагов. Получена нижняя граница допустимого риска.

• Рассмотрена задача о формировании портфеля дисконтных ценных бумаг, оптимального по квантильному критерию. Для нее предложен быстродействующий алгоритм, сходящийся за конечное число шагов к субоптимальному решению.

• Решена задача оптимизации по квантильному критерию комбинированного портфеля, содержащего как дисконтные ценные бумаги, так и ценные бумаги с теоретически бесконечным временем жизни.

Заключение

Результаты, полученные в диссертации и перечисленные во введении к работе и выводах по главам, являются новыми и существенным образом определяют современное состояние теории оптимизации вероятностных функционалов. Многочисленные модельные примеры, рассмотренные в работе, свидетельствуют о том, что эти результаты являются практически неулучшаемыми и окончательными. Предложенные методы позволяют решать новые классы задач оптимизации вероятностных функционалов, не поддающиеся решению известными ранее методами. Это касается конечномерных задач квантильной минимизации с вогнутыми по случайным параметрам функциями потерь, возникающих в экономических приложениях, задач квантильной минимизации с вероятностной мерой, зависящей от применяемой стратегии, задач оптимального управления с обратной связью по квантильному критерию качества, имеющих приложения в технике.

Некоторые из полученных результатов представляют собой вклад в другие разделы математики. Так, введенные в диссертации понятия Л-вогнутых вероятностных мер относительно выпуклых множеств и замкнутого а-ядра вероятностной меры и связанные с ними утверждения представляют собой вклад в теорию меры. Достаточные условия оптимальности и г-оптимальности управления с обратной связью по квантильному критерию качества являются вкладом в теорию стохастического оптимального управления. Выпуклые вариации плотностей, предложенные в диссертации для обоснования принципа равномерности, могут быть использованы для решения других задач стохастической оптимизации, обладающих свойством линейности по плотностям. Разработанные новые методы решения задач квантильной оптимизации (особенно это касается метода сведения задачи квантильной минимизации к задаче максимизации функционала вероятности) имеют очевидное приложение к общей задаче оптимизации функции, заданной неявно.

Высокая эффективность разработанных методов подтверждена решением прикладных задач аэрокосмической техники, управления движением и экономики.

Автор считает своим долгом почтить память академика В.С.Пугачева, который при жизни всячески поддерживал исследования в данной области, выразить искреннюю признательность профессорам В.Н.Афанасьеву, Л.И.Кибзуну, В.В.Колмановскому, Г.Е.Колосову, Б.М.Миллеру, А.В.Назину, А.В.Пантелееву и М.М.Хрусталеву за поддержку и внимание к работе, а также студентам факультета прикладной математики и физики МАИ А.А.Жукову, А.А.Мистрюкову, К.О.Митрофанову, В.М.Силантьеву и Н.В.Тузову, выполнившим часть расчетов и часть оформительской работы.

1. Ананьев Б.И. О коррекции движения при статистически неопределенных возмущениях. // Эволюционные системы в задачах оценивания. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985, сс.3-14.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 1998.

4. Байсакалов И.Б. Стохастическая задача оптимального управления в условиях неопределенности. // Гарантированное оцениваниее и задачи упр. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986, сс.31-33.

5. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.

6. Боровков A.A. Математическая статистика (Дополнительные главы). М.: Наука, 1984.

7. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.

8. Гладышев Е.Г. О стохастической аппроксимации. // Теория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, № 2, сс.297-300.

9. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976.

10. Ефремов В.А., Кибзун А.И. Оптимальные экстремальные порядковые оценки квантили. // Автоматика и телемеханика, 1996, № 12, сс.3-15.

11. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

12. Кан Ю.С. Стабилизация квазилинейной системы со случайными ошибками в канале управления. // Автоматика и телемеханика, 1994, № 1, сс.184-187.

13. Кан Ю.С. Квазиградиентный алгоритм минимизации функции квантили. // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996, № 2, сс.81-86.

14. Кан Ю.С. Оптимизация портфеля ценных бумаг по квантильному критерию. -В кн.: Финансовая математика / Под ред. Ю.М.Осипова и др. М.: ТЕИС, 2001, сс.83-105.

15. Кан Ю.С. Об обосновании принципа равномерности в задаче оптимизации вероятностного показателя качества. // Автоматика и телемеханика, 2000, № 1, сс. 54-70.

16. Кан Ю.С. Оптимизация управления по квантильному критерию. // Автоматика и телемеханика, 2001, № 5, сс.77-88.

17. Кан Ю.С. Оптимизация инвестиций в дисконтные ценные бумаги по квантильному критерию качества. // Ргос. of Int. Scientific School "Modelling and Analysis of Safety, Risk and Quality in Complex Systems". Saint Peterburg, 2001, pp.248-256.

18. Кан Ю.С. О минимизации функции квантили. // Алгоритмическое обеспечение процессов управления в механике и машиностроении. Всероссийская научная конференция. Тезисы докладов. 24 мая 26 мая 1994 г., Ярополец. - М.: 1994, сс.54-55.

19. Кан Ю.С, Кибзун А.И. Оптимальное управление линейной системой по квантильному критерию. // Автоматика и телемеханика, 1990, № 1, сс.37-43.

20. Кан Ю.С, Кибзун А.И. Стабилизация квазилинейной системы, находящейся под действием неопределенных и случайных возмиущений. // Автоматика и телемеханика, 1990, № 11, сс.75-84.

21. Кан Ю.С., Кибзун А.И. Свойства выпуклости функций вероятности и квантили в задачах оптимизации //Автоматика и телемеханика, 1996, № 3, сс.82-102.

22. Кан Ю.С., Мистрюков A.A. Качественные исследования функций вероятности и квантили. // Изв. РАН, Теория и системы управления, 1996, № 3, сс.36-40.

23. Кан Ю.С, Мистрюков A.A. Задача квантильной оптимизации в случае управляемой меры. В кн.: Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева. Том 1. М.: МГУ, 1996, , сс. 179-182.

24. Кан Ю.С, Русяев A.B. Задача квантильной минимизации с билинейной функцией потерь. // Автоматика и телемеханика, 1998, № 7, сс.67-75.

25. Кан Ю.С, Русяев A.B. Формирование портфеля дисконтных ценных бумаг с учетом ограничения на риск. // Международная конференция по проблемам управления. Тезисы докладов. Том 2. М.: ИПУ РАН, 1999, сс.65-б7.

26. Кан Ю.С, Тузов Н.В. Минимизация квантили нормального распределения билинейной функции потерь. // Автоматика и телемеханика, 1998, № 11, сс. 82-92.

27. Карп К.А., Малышев В.В. Оптимальное квантильное управление динамической системой. // Автоматика и телемеханика, 1998, № И, сс.92-104.

28. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: изд-во Уральской государственной академии путей сообщения, 1998.

29. Кибзун А.И. О наихудшем распределении в задачах стохастической оптимизации с функцией вероятности. // Автоматика и телемеханика, 1998, № 11, сс. 104-116.

30. Кибзун А.И., Курбаковский В.Ю. Численные алгоритмы квантильной оптимизации и их применение к решению задач с вероятностными ограничениями. // Изв. РАН, техн. киберн., 1992, № 1.

31. Кибзун А.И., Малышев В.В., Чернов Д.Э. Два подхода к решению задач стохастической оптимизации. // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1988, 20, № 3, сс.20-25.

32. Кибзун А.И., Наумов A.B. Двухэтапные задачи квантильного линейного программирования. // Автоматика и телемеханика, 1995, № 1, сс.83-93.

33. Кибзун А.И., Наумов A.B. Гарантирующий алгоритм решения задачи квантиль-ной оптимизации. // Космические исследования, 1995, 2, сс. 160-165.

34. Кибзун А.И., Сотский А.Н. Задача управления линейной стохастической системой по критерию вероятности. // Автоматика и телемеханика, 1995, № 5, сс.78-85.

35. Кибзун А.И., Сотский А.Н. Алгоритм вычисления квантили для покоординатно-квазивыпуклой функции случайного вектора с независимыми компонентами. // Изв.РАН. Теория и системы управления. 1995, № 6, сс. 107-115.

36. Кибзун А.И., Третьяков Г.Л. О дифференцируемости функции вероятности. // Изв. РАН, Теория и системы управления, 1996, № 2, сс.53-б3.

37. Кибзун А.И., Третьяков Г.Л. Дифференцируемость функции вероятности. // Докл. РАН, 1997, 354, № 2, сс. 159-1б1.

38. Кибзун А.И., Третьяков Г.Л. О гладкости критериальной функции в задаче кван-тильной оптимизации. // Автоматика и телемеханика, 1997, № 9, сс.69-80.

39. Колмановский В.Б. Об управлении по вероятности некоторыми системами. // Прикладная математика и механика, 1976, т.40, вып.5, сс.782-789.

40. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

41. Коростелев А.П. Стохастические рекуррентные процедуры. М.: Наука, 1984.

42. Кощеев A.C., Куржанский A.B. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности. // Изв. АН СССР, техн. киберн., 1983, № 2, сс.72-93.

43. Красовский H.H. Об оптимальном регулировании при случайных возмущениях. // Прикладная математика и механика, 1960, т.24, вып.1, сс.64-79.

44. Кузьмин В.П., Ярошевский В.А. Оценка предельных отклонений фазовых координат динамической системы при случайных возмущениях. М.: Наука, 1995.

45. Лепп Р. Максимизация функции вероятности при простых ограничениях. // Изв. АН эсер. Физика. Математика. 1979, 28, № 4, сс.303-309.

46. Лепп Р. Минимизация гладкой функции при вероятностных ограничениях. //

47. Изв. АН эсер. Физика. Математика. 1980, 29, № 2, сс. 140-144.

48. Лехтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1980.

49. Лидов М.Л., Лукьянов СО. Задача о времени движения точки в области при случайных ошибках управления. // Космические исследования, 1971, т.9, вып.5, сс.707-722.

50. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1978.

51. Люстерник Л. Неравенство Брунна-Минковского для измеримых по Лебегу множеств. // Докл. АН СССР, 1935, 3, № 2, сс.55-58.

52. Макаров Г.Д. Оценка для функции распределения двух случайных величин при заданных маргинальных распределениях. // Теория вероятностей и ее применение, 1981, Т.26, вьга.4, сс.815-817.

53. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

54. Малышев В.В„ Карп К.А. Численные методы вероятностного анализа. М.: МАИ, 1993.

55. Малышев В.В„ Карп К.А. Методы оптимизации вероятностных критериев. М.: МАИ, 1994.

56. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987.

57. Малюков В.П., Чикрий А.А. Дискретная игровая задача с неполной информацией. // Автоматика и телемеханика, 1985, № 10, сс.71-77.

58. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1980.

59. Михалевич B.C., Гупал A.M., Норкин В.И. Методы оптимизации невыпуклых функций. М.: Наука, 1987.

60. Назин А.В. Метод стохастической аппроксимации с усреднением. М.: МАИ, 2001.

61. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1972.

62. Норкин В.И., Роенко Н.В. а-вогнутые функции и меры и их приложения. // Кибернетика и системный анализ, 1991, 6, сс.77-88.

63. Пакшин П.В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурами. М.: Физматлит, 1994.

64. Панков А.Р. Стратегии управления в линейной стохастической системе с негаус-совскими возмущениями. // Автоматика и телемеханика, 1994, № 6, сс.74-83.

65. Первозванский A.A., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: Расчет и Риск. М.: Инфра-М, 1994.

66. Поляк Б.Т. Сходимость и скорость сходимости итеративных стохастических алгоритмов. I. Общий случай. // Автоматика и телемеханика, 1976, № 12, сс.83-94.

67. Поляк В.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

68. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Псевдоградиентные алгоритмы адаптации и обучения. // Автоматика и телемеханика, 1973, № 6.

69. Пугачев B.C., Кибзун A.M., Панков А.Р. Проблемы оценивания в неопределенно-стохастических системах. В кн.: Сборник избранных работ по грантам в области информатики, радиоэлектроники и систем управления. - Санкт-Петербург, 1994, сс.5-12.

70. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. 2-е изд. М.: Наука, 1990.

71. Райк Э. О функции квантиля в стохастическом нелинейном программировании. // Изв. АН эсер, ф из.-мат., 1971, 20, № 2, сс.229-231.

72. Райк Э. Качественные исследования в задачах стохастического нелинейного программирования. // Изв. АН эсер, ф из.-мат., 1971, 20, № 1, сс.8-14.

73. Райк Э. О задачах стохастического программирования с функционалами вероятности и квантиля. // Изв. АН ЭССР, физ.-мат., 1972, 21, № 2, сс. 142-148.

74. Райк Э. Дифференцируемость по параметру функции вероятности и стохастический псевдоградиентный метод для ее оптимизации. // Изв. АН ЭССР, физ.-мат., 1975, 24, № 1, сс.3-9.

75. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический анализ при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов. радио, 1977.

76. Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

77. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.

78. Тамм Э. О квазивыпуклости функций вероятности и квантили. // Изв. АН Эсер, ф из.-мат., 1976, 25, № 2, сс. 141-144.

79. Тамм Э. О минимизации функции вероятности. // Изв. АН ЭССР. Физика. Математика. 1979, 28, № 1, сс. 17-24.

80. Урясьев СП. Адаптивные алгоритмы стохастической оптимизации и теории игр. М.: Наука, 1990.

81. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.

82. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. -М.: Наука, 1985.

83. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

84. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977.

85. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмугцениях их параметров. М.: Наука, 1969.

86. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

87. Шварц Л. Анализ. Т.1. М.: Мир, 1972.

88. Юби Э. Статистическое исследование задач стохастического программирования и метод их решения. // Изв. АН ЭССР. Физика. Математика. 1977, 26, № 4, сс.369-375.

89. Юби Э. Минимизация функции вероятности методом статистического моделирования. // Труды Таллинского политехнического института, 1976, 411, сс.57-76.

90. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Советское радио, 1979.

91. Яковлев А.И. Определение статистически оптимальных систем по последовательно применяемым критериям точности. // Автоматика и телемеханика, 1987, № 11, сс.92-102.

92. Anderson T.W. The Integral of a Symmetric Unimodal Function over a Symmetric Convex Set and Some Probability Inequalities. // Proc. Am. Math. Soc, 1955, 6, pp. 170-176.

93. Avriel M., Zang I. Mathematical Programs for Activity Analysis. Amsterdam: North-Holland, 1977.

94. Barmish B.R., Lagoa CM. The uniform distribution: a rigorous justification for its use in robustness analysis // Math. Control, Signals, Systems, 1997, V.IO, pp.203-222.

95. Borell C Convex Set Functions in d-Space. // Period. Math. Hung., 1975, 6, No. 2, pp. 11-136.

96. Brascamp H.J., Lieb E.H. On Extensions of the Brunn-Minkowski and Prekopa-Leindler Theorems, Including Inequalities for Log-Concave Functions, and with Application to the Diffusion Equation. // J. of Funct. Anal., 1976, 22, pp,366-389.

97. Charnes A., Cooper W.W. Chance-Constrained Programming. // Management Sci., 1959, 6, pp.73-79.

98. Charnes A., Cooper W.W. Determinnistic Equivalents for Optimizing and Satisficing under Chance-Constraints. // Oper. Res., 1963, 11, pp.18-39.

99. Charnes A., Cooper W.W., Symonds G.H. Cost Horizons and Certainty Equivalents: An Approach to Stochastic Programming of Heating Oil. // Management. Sci., 1958, 4, pp.235-263

100. Dupacova J., Bertocchi M. Management of Bond Portfolios via Stochastic Programming Postoptimality and Sensitivity Analysis. // 17-th IFIP TC7 Conference on System Modelling and Optimization. Abstracts. V.II. Prague, UTIA, 1995, pp.435-438.

101. Dupacova J. Portfolio optimization via stochastic programming: Methods of output analysis. // Math. Meth. Oper. Res., 1999, 50, 245-270.

102. Elton E.G., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 4-th ed. Wiley, New York, 1991.

103. Ermoliev Yu., Norkin V., Wets R.J.-B. The Minimization of Discontinuous Functions: MoUifier Subgradients. Working Paper WP-92-73, IIASA, Laxenburg, Austria, 1992.

104. Gartska S.J. The Economic Equivalence of Several Stochastic Programming Models. In: Stochastic Programming, ed. M. A.H. Dempster, Academic Press, New York, 1980, pp. 83-91.

105. GilUland D.C. On Maximization of the Integral of a Bell-Shaped Function over a Symmetric Set. // Naval Research Logistics Quarterly, 1968, 15, pp.507-517.

106. Kail P. Stochastic Linear Programming. Berlin: Springer-Verlag, 1976.

107. Kall P., Wallace S.W. Stochastic Programming. Wiley, Chichester, 1994.

108. Kan Yu.S. Aggregated stochastic approximation algorithm for quantile minimization. // 17th IFIP TC7 Conference on System Modelling and Optimization. Abstracts. Volume II. Prague: UTIA, 1995, pp.510-513.

109. Kan Yu.S. The quantile function convexity. // Труды XI международной Вайкаль-ской школы-семинара. Иркутск, Байкал, 5-12 июля 1998 г. Иркутск, Институт систем энергетики СО РАН, 1998, сс.88-89.

110. Кап Yu. The convexity of the quantile function. // Münchener Stochastic-Tage 1998. Vorträge. Universität der Bundeswehr München, 1998, s.82.

111. Kan Y. Aggregated portfolio selection via quantile optimization. // European Working Group on Financial Modelling, 28-th Workshop in Vilnius, May 3-5, 2001, Abstracts, p. 11.

112. Kan Yu. On the quantile minimization. // 15th International Symposium on Mathematical Programming. Program and Abstracts. The University of Michigan, Ann Arbor, Michigan, USA, 1994, p. 113.

113. Kan Yu.S., Kibzun A.I. Sensitivity Analysis of Worst-Case Distribution for Probability Optimization Problems. // Probabilistic Constrained Optimization: Theory and Applications (S.P.Uryasev, ed.), Kluwer Academic Publishers, 2000, pp.31-46.

114. Kan Yu.S., Mistrukov A.A. On the Equivalence in Stochastic Programming with Probability and Quantile Objectives. // Lect. Notes in Economics and Math. Systems, 458, K.Marti and P.Kall (eds.). Berlin: Springer, 1998, pp.145-153.

115. Kan Yu.S., Rusyaev A.V. On the portfolio selection with heavy-tail-distributions. // Symposium über operations research 1997 (SOR 97). Jahrestagung der DGOR und GMÖOR. Friedrich-Shiller-Universität Jena, 1997, ss.63-65.

116. Kan Yu.S., Tuzov N.V. Portfolio selection under probabilistic constraints. // Symposium über operations research 1997 (SOR 97). Jahrestagung der DGOR und GMÖOR. Friedrich-Shiller-Universität Jena, 1997, ss.65-66.

117. Kan Yu. Stochastic optimal control with the quantile performance index. // 9th Int. Conf. on Stochastic Programming. Berlin, August 25-31, 2001. Program and Abstracts. P.61.

118. Kataoka S. A Stochastic Programming Model. // Econometrica, 1963, 31, No. 1-2, pp.181-196.

119. Kibzun A.I., Kan Yu.S. Stochastic Programming Problems with Probability and Quantile Functions. Chichester: Wiley, 1996.

120. Kibzun A.I., Kurbakovskiy V.Yu. Guaranteeing Approach to Solving Quantile Optimization Problems. // Annals of Operations Research, 1991, 30, pp.81-93.

121. Kibzun A.I., Malyshev V. V., Karp K. A. (1988) A Minimax Approach for Statistical Simulation of Complex Technical Systems. // Advances in Modelling and Simulation AMSE Press, 1988, 10, No.3, pp.35-46.

122. Kibzun A., Uryasev S. Differentiability of Probability Function. // Stochastic Analysis and Applications, 1998, 16, No.6, pp.1101-1128.

123. Kolbin V.V. Stochastic Programming. D.Reidel, Dordrecht, 1977.

124. Lepp R. Stochastic Approximation Type Algorithm for the Maximization of the Probability Function. // Eesti NSV Teaduste Akadeemia Toimetised, Füüsika & Matemaatika, 1983, 32, No.2, pp.150-156.

125. Loose D.P., Poor H.V., Vastóla K.S., Darragh J.C. Minimax control of linear stochastic systems with noise uncertainty. // IEEE Trans. Autom. Control, 1983, AC-28, 9, pp.882-888.

126. Markowitz H.M. Portfolio Selection. // J. Finances, 1952, 7, No.l, pp.77-91.

127. Marti K. Stochastic Optimization Methods in Structural Mechanics. // ZAMM: Applied Mathematics and Mechanics, 1990, 70, pp.742-745.

128. Marti K. Approximations and Derivatives of Probability Functions. // In: Approximation, Probability and Related Fields, eds. G.Anastassiou and S.T.Rachev, Plenumn Press, New York, 1994.

129. Moeseke P.v. Stochastic Linear Programming. // Yale Economic Essays, 1965, 5, pp.197-253.

130. Mudholkar G.S. The Integral of an Invariant Unimodal Function over an Invariant Convex Set. An InequaUty and Apphcations. // Proc. Am. Math. Soc, 1966, 17, pp. 1327-1333.

131. Mulvey J.M., Zenios S.A. Capturing the correlations of fixed-income instruments. Manag. Sci., 1994, 40, pp.1329-1342.

132. Pankov A.R., Borisov A.V. A solution of the filtering and smoothing problems for uncertain-stochastic dynamic systems. // Int. J. Control, 1994, 60, No.3, pp.413-423.

133. Pinter, J. Deterministic Approximations of Probability Inequalities. // ZOR -Methods and Models of Operations Research, Series Theory, 1989, 33, No. 4, pp.219239.

134. Prekopa A. Logarithmic Concave Measures with Application to Stochastic Programming. // Acta Sci. Math. (Szeged), 1971, 32, pp.301-316.

135. Prekopa A. On Logarithmic Concave Measures and Functions. // Acta Sci. Math. (Szeged), 1973, 34, pp.325-343.

136. Prekopa A. Logarithmic Concave Measures and Related Topics. In: Stochastic Programming, ed. M. A.H.Dempster. London: Academic Press, pp.63-82.

137. Prekopa A. Numerical Solution of Probabilistic Constrained Programming Problems. In: Numerical Techiques for Stochastic Optimization, eds. Yu.Ermoliev and R.J.B.Wets, Springer-Verlag, Berlin, 1980, pp.123-139.

138. Prekopa A., Szantai T. A New Multivariate Gamma Distribution and Its Fitting to Empirical Streamflow Data. // Water Resources Research, 1978, 14, pp. 19-24.

139. Rinott Y. (1976) On Convexity of Measures. // Annals of Probability, 1976, 6, pp. 1020-1026.

140. Robbins H., Monro S. A Stochastic Approximation Method. // Ann. Math. Statist., 1951, 22.

141. Rosenblatt-Roth М. Quantiles and Medians. // The Annals of Mathematical Statistics, 1965, 36, pp.921-925.

142. Roy A.D. Safety-first and the Holding of Assets. Econometrica, 1952, 20, pp.431-449.

143. Rubinstein R. Sensitivity Analysis of Discrete Event System by the "Push Ouf'Method. // Ann. Oper. Res., 1992, 39.

144. Sengupta J.K. Stochastic Programming Methods and Applications. North-Holland, Amsterdam, 1972.

145. Siegmund D., Robbins H. A convergence theorem for nonnegative almost supermartingales and some applications. // Optimizing Methods in Statistics, J.S.Rustaji, ed. N.Y.: Acad. Press, 1971, pp.233-257.

146. Simon J. Second Variation in Domain Optimization Problems. // In: International Series of Numerical Mathematics, ed. F.Kappel, K.Kunish and W.Schappacher, Birkhauser Verlag, 1988, 91, pp.361-378.

147. Symonds G.U. Deterministic Solution for a Class of Chance-Constrained Programming Problems. // Oper.Research, 1967, 15, No.3, pp.495-512.

148. Szantai T. A Computer Code for Solution of Probabilistic-Constrained Stochastic Programming Problems. In: Numerical Techniques for Stochastic Optimization, eds. Yu.Ermoliev and R. J-B. Wets, Springer-Verlag, Berlin, 1988, pp.229-235.

149. Tamm E. On A-concave Functions and Probability Measures. // Изв. AH ЭССР, физ.-мат., 1977, 26, № 4, cc.376-379.

150. Tamm E. On Minimization of a Function under an Equality Chance Constraint. // Math. Operationsforsch. Statist., Ser. Optimization, 1981, 12, No.2, pp.253-262.

151. Telser L.G. Safety First and Hedging. Review of Economic Studies, 1955-56, 23, pp.1-16.

152. Tobin D. Liquidity Preference as Behaviour Toward Risk. Ref. Econ. Studies, 1958, 25, No. 1, pp.65-86.

153. Uryas'ev S. Differentiability of an Integral over a Set Defined by Inclusion. // Cybernetics, 1988, v.24, 5, pp.638-642.

154. Uryas'ev S. A Differentiation Formula for Integrals over Sets Given by Inclusion. // Numerical Functional Analysis and Optimization, 1989, 10(7 к 8), pp.827-841.

155. Uryas'ev S. Derivatives of Probability Functions and Integrals over Sets Given by Inequalities. / / J . Computational and Applied Mathematics, 1995, 56.

156. Uryasev S., Rockafellar R.T. Conditional Value-at-Risk: Optimization Approach. In: Stochastic Optimization: Algorithms and Applications (S.Uryasev and P.M.Fardalos, eds.). Kluwer Academic Publishers, 2001, pp.411-435.

157. Vajda J. Probabilistic Programming. Acad. Press, New York, London, 1972.

158. Wald A. Statistical Decision Functions. Wiley, New York, 1950.

159. Walkup D.W., Wets R.J.-B. Stochastic Programs with Recourse. // SIAM J. Appl. Math., 1967, 15, pp.1299-1314.