автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Оценивание и управление наблюдениями в системах с шумами, зависящими от состояния и оценки

Введение

1 Задача оптимальной линейной фильтрации в системах с шумами, зависящими от состояния и оценки

1.1 Описание математической модели.

1.2 Свойства матрицы фундаментальной системы решений для дифференциальных уравнений с мерой

1.3 Постановка задачи и необходимые определения.

1.4 Решение задачи оптимальной линейной фильтрации.

2 Управление процессом по неполным данным

2.1 Описание математической модели.

2.2 Свойства модифицированной оценки.

2.3 Решение задачи управления процессом по неполным данным.

3 Задача управления наблюдениями

3.1 Описание математической модели

3.2 Управление наблюдениями как задача обобщенной оптимизации.

3.3 Существование оптимального обобщенного решения.

3.4 Подстановки, используемые при операции замены времени.

3.5 Представление обобщенных решений с помощью метода разрывной замены времени.

3.6 Модельный пример

3.6.1 Ресурс наблюдения М распределен равномерно по всему отрезку.

3.6.2 Отрезок функционирования системы разбит на К равных интервалов, ресурс наблюдения М распределен с равными весами в конечных точках каждого интервала.

3.6.3 Ресурс наблюдения М используется в начальной точке интервала.

Теория управления наблюдениями является одним из разделов теории управления. По-видимому, первой работой в данной области является работа Кушнера [70], который и ввел термин "observation control". Этими задачами занимались также Григорьев Ф.Н. [8,9], Колмановский В.Б. [53], Кузнецов Н.А. [8,65], Липцер Р.Ш. [30,31], Миллер Б.М. [41,42], Рубинович Е.Я. [47,75], Серебровский А.П. [8,71], Черноусько Ф.Л. [53], Яшин А.И. [55,56] и многие другие.

Системы, с которыми работает теория управления, описываются, как правило, соответствующим типом уравнений: стохастические уравнения Ито для непрерывных систем и разностные уравнения для дискретных систем. Однако в различных технических, экономических, биологических системах возникают скачкообразные изменения состояния, занимающие время существенно меньшее, чем общее время функционирования системы. Эти изменения принято называть скачками, а вызывающие их управляющие воздействия — импульсными. Различные примеры таких систем рассматривались в динамике полета [4,16,19,20,28,29,72,87], при назначении химио- и радиотерапии для лечения онкологических заболеваний [18,84,85], в экономических задачах [6,7,58,63], в задачах управления процессом обработки информации [8,33,53,61,70,73], системах массового обслуживания [69,74] и других областях. Множество различных постановок приведены в монографии [57], где кроме перечисленных выше рассматривались также задачи управления выработкой электроэнергии, задача управления пакетом ценных бумаг и другие финансовые задачи. Описанные системы по своей природе дискретно-непрерывные, так как в них большую часть времени своего функционирования система ведет себя как непрерывная, а в отдельные моменты времени изменяет свое состояние как дискретная. Существование таких систем привело к появлению новых математических постановок задач и развитию аппарата дифференциальных уравнений с мерами.

Обычная задача оптимального импульсного управления может рассматриваться как проблема выбора времен и амплитуд импульсов с целью минимизации (максимизации) критерия качества. Если количество импульсов задано или ограничено, то задача оптимального управления может быть сведена к некоторой эквивалентной задаче математического программирования, у которой всегда существует решение с конечным числом импульсных воздействий. Если же количество импульсов и/или их локализация заранее неизвестны, то задача становится существенно сложнее. Кроме того, проявляется ряд специфических свойств, которые можно охарактеризовать как некорректность и неполнота описания с помощью обычных дифференциальных уравнений с промежуточными условиями. Типичным проявлением этих свойств является отсутствие оптимального управления в классе естественных ограниченных управлений, невозможность построения аппроксимирующей последовательности для импульсного управления, неустойчивость решения по отношению к малым вариациям импульсного управления, возникновение "импульсных скользящих режимов" [10]. Все это приводит к необходимости введения понятия обобщенного управления, которое строится как предел некоторой сходящейся последовательности обычных управлений.

Один из подходов к введению обобщенных управлений состоит в следующем. Для линейных систем вида

X(t) = A(t)X(t) + B(t)u(t) (1) с интегральными ограничениями т

J \\u(t)\\dt < М < оо (2) о множество допустимых управлений не является замкнутым в смысле слабой-* топологии [24], и следовательно, множество решений также не замкнуто. То есть, предел фундаментальной последовательности управлений, удовлетворяющих условию (2), не существует в пространстве lq[0, Т]. Чтобы обеспечить существование оптимального решения, класс допустимых управлений расширяют до класса мер, удовлетворяющих ограничению

Var U(t) <М< оо (3) или, что тоже самое — до класса функций ограниченной вариации, непрерывных справа. Такие управления далее мы называем обобщенными. Соответственно система (1) принимает вид dX(t) = A(t)X(t)dt + B{t)dU(t), а соответствующее решение называется обобщенным решением.

Рассмотрим аппроксимирующую последовательность un(t) такую, что t

Un{t) = J un(s)ds -> U(t), элементы которой удовлетворяют ограничению (3), U(t) непрерывна справа. Сходимость имеет место во всех точках непрерывности функции U(t), т.е. последовательность ип(-) сходится к [/(•) в слабой-* топологии пространства функций ограниченной вариации [24]. В случае, когда В(-) — непрерывная функция, соответствующая последовательность решений системы (1) t

Xn(t) = <f>{t, 0)Х(0) + J Ф(t,s)B(s)dUn(s), о как это следует из теоремы Хелли [45], сходится при всех t е [О,Т] к функции t

X(t) = ФЦ,0)Х(0) + J Ф(t,s)B(s)dU(s).

Здесь Ф(-, •) — фундаментальная матрица [22] для системы (1), U(-) — обобщенное управление, а Х(-) — обобщенное решение.

Если теперь рассматривается задача оптимального управления на минимум функционала j[x{-)M-)] = Mx{T)) с некоторой непрерывной функцией ф0, то в силу теоремы Хелли

1пШХ(Т)) = гтпф0(Х(Т)), «(•) uv) где инфимум берется по множеству обычных управлений, удовлетворяющих (2), а минимум — по множеству обобщенных управлений, удовлетворяющих (3). Действительно, неравенство шШХ(Т)) > ттфв(Х(Т)), и(-) U(-) очевидно, а обратное неравенство следует из существования последовательности абсолютно непрерывных функций ип(-), аппроксимирующих любую функцию ограниченной вариации во всех точках непрерывности. Тогда по теореме Хелли для соответствующей последовательности Хп(Т) -» Х(Т), где Х(Т) обобщенное решение, соответствующее [/(•), а значит и

Ф0(ХП(Т)) МХ(Т)).

Этот классический подход [28] теряет смысл, если функция B(t) разрывна. В этом случае теорема Хелли неприменима, так как, вообще говоря, t t

J B(s)dUn(s) -/» J B(s)dU(s) о 0 даже если Un(t) —у U(t) во всех точках непрерывности функции U(t). Более того, предел последовательности интегралов зависит от выбора аппроксимирующей последовательности. Этот факт отражается в известном свойстве некорректности операции умножения разрывной функции на обобщенную [17,49]. Результатом этого свойства является отсутствие эквивалентности оптимизационных задач при разрывной функции В(-), проявляющейся в неравенстве минимальных значений критерия качества и невозможность описания оптимальной разрывной траектории с помощью уравнения системы (1). Применение подобного подхода для нелинейных систем также имеет определенные сложности.

Другой подход к введению понятий обобщенных управления и решения основан на использовании условий корректности. Важность корректного перехода к импульсным управлениям в вариационных задачах впервые отмечена в работе Ршнела [86]. В ней рассматривалась система, описываемая дифференциальным уравнением с мерой вида dX{t) = F{X{t),u{t),t)X{t)dt + B(u{t),t)d^(t), содержащая два вида управлений: u(t) из некоторого компактного множества и неотрицательную меру fi(t), fj,{[0,T]} < М < оо. При этом требовалось выполнение условия "константности", обеспечивающего корректный переход к импульсному управлению и согласованность варьирования и(-) и д(-). В этой же работе и был предложен метод разрывной замены времени.

Дальнейшее изучение проблемы корректности для нелинейных динамических систем вида

X(t) = F(X(t),t)X(t) + B{X{t),t)u{t) показало, что для выполнения условия корректности необходимо выполнение специального ограничения на матричную функцию В(Х, t) — условия Фробениуса [62], обеспечивающего вполне-интегрируемость систем вида f)X = B{X,t), V(X,t).

Оно имеет вид

Это условие в различных эквивалентных постановках встречалось в работах многих авторов. Так в [34-37] исследовалась проблема устойчивости решения нелинейного дифференциального уравнения с мерой по отношению к малым вариациям меры; в [4951] рассматривалась проблема определения решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих произведения разрывных функций на обобщенные; в [14] — импульсно-траекторное расширение задач оптимального управления; в работе [46] проблема корректности перехода к импульсным управлениям связывалась с виброкорректностью [27] исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений; в [48,59, 66-68] условие корректности возникало как условие возможности интегрального представления решений.

Условия корректности были важным этапом в развитии теории импульсного управления. С их помощью удалось получить ряд важных теоретических результатов, а именно:

- описать множество траекторий, включающих в себя "импульсные скользящие режимы", доказать теоремы существования решений в задачах оптимального управления с различными ограничениями [11,18,35,36,46,50-52,64];

- получить условия оптимальности первого порядка в форме принципа максимума для задач с терминальными и фазовыми ограничениями [13,18,25,39];

- доказать достаточность принципа максимума для задач с выпуклой структурой [40-42];

- получить условия оптимальности второго порядка и провести детальное изучение типов экстремума в задачах импульсного управления [12,13,25,26].

Следует отметить, что подход, основанный на использовании условий корректности, существенно ограничивает класс рассматриваемых систем. Преодоление этого ограничения означало необходимость постулирования возможности неоднозначной реакции системы на импульсные воздействия. Это, в свою очередь, приводит к интерпретации способа аппроксимации импульсного управления как некоторой дополнительной компоненты управления, которую нужно включать в оптимизационную схему. Такое направление развития теории обусловлено не только математическими соображениями, но и фактом существования систем, в которых не выполняются условия корректности. Типичным примером таких задач являются задачи управления наблюдениями [8,41,42,53]. Для них характерно наличие уравнения Риккати для описания ковариации ошибки оценивания вида

7(t) =A(t)7(t) + 7№*(t) + C(t)C*(t)

7(t)fr(t>fi(i))[G(t)Gr(i)]-1H(t,ti(i))7(i)t;W, где A, C,H,G - известные матрично-значные функции, входящие в уравнение динамики системы и в уравнение наблюдений; u(t) задает состав измерений путем выбора каналов измерений или порядка опроса измерительных устройств, а неотрицательная скалярная функция v(t) определяет временную локализацию наблюдений (моменты и/или плотность).

В силу зависимости нелинейного члена в уравнении Риккати от управления u(t) условие Фробениуса, вообще говоря, не выполняется. Кроме того, в ряде задач точность измерения оказывалась зависящей от координат ненаблюдаемого процесса, что еще усложняло задачу и делало невозможным выполнение корректного перехода к управлениям импульсного вида. Применение к описанным задачам метода разрывной замены времени позволило успешно преодолеть указанные сложности.

Можно описать ряд ситуаций, когда необходимость управления наблюдениями возникает наиболее остро:

- при проектировании многоканальных систем автоматики, когда количество каналов передачи данных меньше числа измерительных устройств;

- при использовании управляющих ЦВМ в работе автоматических комплексов, когда требуется устанавливать порядок опроса имеющихся датчиков;

- при наличии временных, амплитудных и энергетических ограничений в канале наблюдения, когда возникает задача определения интервалов наблюдения, выбора их интенсивности;

- при использовании для определения управления информационных характеристик, точности которых существенно зависят от траектории управляемого движения наблюдателя.

В основе традиционных подходов к задачам управления наблюдениями для процессов диффузионного типа лежит теория условно-гауссовской фильтрации [31], которая дает конечномерные стохастические дифференциальные уравнения для вычисления характеристик оцениваемого процесса. Тем самым задача управления наблюдениями сводится к стохастической или детерминированной задаче оптимального управления и может быть, в принципе, решена традиционными методами [8,53].

Однако, на практике возникает ряд задач, которые не вписываются в класс условно-гауссовских моделей [31]. Это задачи, в которых шумы в наблюдениях зависят от состояния ненаблюдаемого процесса и/или его оценок, а именно:

- задача управления в системах с подвижным наблюдателем [47];

- задачи, связанные с радиолокационными и оптическими наблюдениями, в которых текущая точность измерений зависит от положения и/или скорости наблюдаемого объекта;

- задачи, описывающие функционирование корреляционно-экстремальных систем [2,3].

Таким образом, разработка методов решения задач управления наблюдениями для систем с шумами в наблюдениях, зависящими от ненаблюдаемого процесса и его оценки по имеющимся наблюдениям, является актуальной задачей.

Диссертация состоит из трех глав и имеет следующую структуру. В первой главе описана модель дискретно-непрерывной стохастической системы с шумами в наблюдениях, зависящими от ненаблюдаемого состояния системы, вводится определение оценки калмановского типа. Далее приводится решение задачи оптимальной линейной фильтрации для такой системы. Доказывается, что оптимальная линейная оценка является оценкой калмановского типа, исследуются свойства полученной оценки. Результаты, вошедшие в данную главу, опубликованы в [38,78,79,88,89].

Во второй главе рассмотрена задача управления процессом по неполным данным с квадратичным критерием качества. Доказана теорема разделения [38].

В третьей главе рассмотрена задача управления наблюдениями. Введено понятие допустимого, обобщенного допустимого и оптимального обобщенного решения для данной задачи. Доказана лемма о существовании оптимального обобщенного решения. Для получения явного представления решения использован метод разрывной замены времени. Записана вспомогательная система, доказаны леммы о связи решений исходной и вспомогательной задач управления наблюдениями. При наличии выпуклых свойств доказана теорема о представлении обобщенного решения с помощью дифференциального уравнения с мерой. Приведен модельный пример, иллюстрирующий данную технику [77,80].

3.6.5 Выводы из модельного примера.

Данный пример носит частный характер. Задача построения оптимальной пары управлений {и(-), t>(-)} не ставилась в силу ее гомоздкости даже в этом простом примере. Тем не менее, на основании рассмотренных случаев можно сделать ряд выводов:

• в рассмотренной модели есть программное значение для точки переключения каналов наблюдения, зависящее от коэффициентов системы, описываемое формулой (3.44);

• режим переключения каналов при единственном дискретном наблюдении соответствует аппроксимации импульсного управления последовательностью пар импульсов, примыкающих друг к другу и сходящихся в одной точке наблюдения (например, как на рис. 3.13);

• Можно указать также ряд случаев, когда переключение каналов нецелесообразно: коэффициенты системы таковы, что программное значение точки переключения лежит в отрицательной области. Это соответствует тому, что "грубый" u. '(t) 0 t

Рис. 3.13: пример последовательности, аппроксимирующей пару импульсов, локализованных в точке Ti канал оказывается более чувствительным, чем "точный";

- начальное значение ошибки оценивания j0 достаточно велико, а ресурс наблюдения М не позволяет достичь линии переключения; начальное значение ошибки оценивания 70 достаточно мало и находится ниже линии переключения, значения коэффициентов позволяют оставаться в рамках этой области;

• но все же, если начальное значение ошибки оценивания 70 выше этого значения и ресурс наблюдения М позволяет пересечь эту границу, то управление с переключением каналов, дает лучшее значение критерия качества по сравнению с управлением, основанным на использовании только одного из каналов наблюдения.

Заключение

Объектом исследования в настоящей диссертации являются нелинейные дискретно-непрерывные стохастические системы с коэффициентом при шуме в наблюдениях, зависящем от неизвестного состояния системы и оценки последнего. Несмотря на то, что указанные системы являются нелинейными, удалось применить к ним методы, используемые для линейных систем. Для таких систем в классе линейных фильтров и алгоритмов управления получен ответ в виде оценки "калмановского типа", который по структуре полностью совпадает с классическими результатами. Однако классическое уравнение Риккати заменяется другим, хотя и совпадающим с ним по форме. Естественно, что при отсутствии зависимости шумов в наблюдениях от состояния и оценки, результаты совпадают с классическими.

Автором получены следующие основные результаты:

• для рассматриваемых систем найдена оптимальная в классе линейных оценка ненаблюдаемого состояния;

• доказана теорема разделения в задаче управления по неполным данным с квадратичным критерием качества;

• в задаче управления наблюдениями при получении решения применен метод разрывной замены времени, а именно

- введено понятие обобщенного решения задачи управления наблюдениями,

- сформулирована вспомогательная задача управления наблюдениями,

- установлена связь между решениями исходной и вспомогательной задач,

- получено явное представление обобщенного решения при наличии выпуклых свойств множества, связанного с уравнением оптимальной оценки.

Применение метода разрывной замены времени продемострировано на модельном примере.

1. Абрамцович М., Стиган И. "Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами". -М., Наука (1979).

2. Баклицкий В. К., Юрьев А. Н. "Корреляционно-экстремальные методы навигации". -М., Радио и связь (1982).

3. Белоглазов И. Н., TAPACEHKO В. П. "Корреляционно-экстремальные системы". -М., Сов. радио (1974).

4. Веретенников В. Г., Синицын В. А. Разрывная вариационная задача оптимизации процессов управления. Прикл. математика и механика 36(2), 357-360 (1972).

5. Гирсанов И. В. "Лекции по математической теории экстремальных задач". -М., Изд-во МГУ (1970).

6. Горбунов В. К., Нурахунова Г. У. Процессы с управляемыми разрывами фазовых траекторий и моделирование производства с перемещением основных фондов. Изв. Акад. Наук СССР (6), 55-61 (1975).

7. Горбунов В. К. К оптимизации процессов с управляемыми разрывами. Науч. тр. Ташкент, ун-та 455, 19-25 (1975).

8. Григорьев Ф. Н., Кузнецов H. А., Серебровский А. П. "Управление наблюдениями в автоматических системах". -М., Наука (1986).

9. Григорьев Ф. Н. Об управлении обработкой информации в дискретных автоматических системах. Автоматика и телемеханика 43(9), 62-69 (1982).

10. Гурман В. И. Об оптимальных процессах с неограниченными производными. -Автоматика и телемеханика (12), 14-21 (1972).

11. Гурман В. И. "Принцип расширения в задачах управления". -М., Наука (1985).

12. ДЫХТА В. А. Условия локального минимума для особых режимов в системах с линейным управлением. Автоматика и телемеханика 42(12), 5-10 (1981).

13. ДЫХТА В. А. Вариационный принцип максимума для импульсных и особых режимов в задачах оптимизации, линейной по управлению. Изв. вузов (11), 89-91 (1991).

14. Дыхта В. А. Импульсно-траекторное расширение задач оптимального управления. // "Развитие и применение метода функций Ляпунова", pages 170-182. Наука, Новосибирск (1992).

15. Дэвис М. X. А. "Линейное оценивание и стохастическое управление". -М., Наука (1984).

16. Завалишин С. Т. Дополнение к теории Лоудена. Прикл. математика и механика 53(5), 731-738 (1989).

17. Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. "Импульсные процессы: Модели и приложения". -М., Наука (1991).

18. Иванов В. К., Миллер Б. М., Кицул П. И., Петровский А. М. Математическая модель процесса управления лечением организма, пораженного злокачественным новообразованием. Тр. Ин-та проблем управления (автоматики и телемеханики) (8), 15-22 (1976).

19. Ивашкин В. В. Энергетически оптимальные переходы с гиперболической орбиты при отсутствии ограничений на время перехода. Косм. Исслед. 4(1), 17-25 (1966).

20. Ивашкин В. В. "Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет". -М., Наука (1975).

21. КАМКЕ Э. "Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям". -М., Наука (1971).

22. КАРТАН А. "Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы." -М., Мир (1971).

23. Клепцына М. Л., Веретенников А. Ю. О сильных решениях стохастических уравнений Ито-Вольтерра. Теория вероятностей и ее применения ХХ1Х(1), 154-158 (1984).

24. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа". -М., Наука (1968).

25. КОЛОКОЛЬНИКОВА Г. А. Условие оптимальности импульсных режимов в вырожденных задачах оптимального управления. // "Численные методы в математической физике", pages 83-85. -М., Изд-во МГУ (1986).

26. КОЛОКОЛЬНИКОВА Г. А. Необходимые условия второго порядка оптимальности особых и импульсных режимов. Автоматика и телемеханика 51(6), 48-57 (1990).

27. Красносельский М. А., Покровский А. В. "Системы с гистерезисом". -М., Наука (1983).

28. КРАСОВСКИЙ Н. Н. "Теория управления движением". -М., Наука (1968).

29. Кротов В. Ф., Букреев В. 3., Гурман В. И. "Новые методы вариационного исчисления в динамике полета". -М., Машиностроение (1969).

30. Кузнецов Н. А.,Липцер Р. Ш., Серебровский А. П. Оптимальное управление и обработка информации в непрерывном времени (линейная система, квадратичный функционал). Автоматика и телемеханика 41(10), 47-53 (1980).

31. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. "Статистика случайных процессов". -М., Наука (1974).

32. Ли Э. В., Маркус Л. "Основы теории оптимального управления". -М., Наука (1972).

33. Малышев В. В., Красильщиков М. Н., Карлов В. И. "Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов". -М.,Машиностроение (1989).

34. Миллер Б. М. Об одной задаче нелинейного импульсного управления. Автоматика и телемеханика 37(6), 63-72 (1976).

35. Миллер Б. М. Задача нелинейного импульсного управления объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями с мерой, I. Автоматика и телемеханика 39(1), 75-85 (1978).

36. Миллер Б. М., Степанян К. В. Оптимальная линейная фильтрация в системах с шумами в наблюдениях, зависящими от сигнала и оценки. Автоматика и телемеханика (11), 129-144 (1998).

37. Миллер Б. М. Условие оптимальности в задаче управления системой, описываемой дифференциальными уравениями с мерой. Автоматика и телемеханика 43(6), 60-72 (1982).

38. Миллер Б. М. Достаточное условие оптимальности в линейных задачах управления объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями с мерой. -Автоматика и телемеханика 45(9), 84-93 (1984).

39. Миллер Б. М. Оптимальное управление наблюдениями при фильтрации процессов диффузионного типа. I. Автоматика и телемеханика 46(2), 79-86 (1985).

40. Миллер Б. М. Оптимальное управление наблюдениями при фильтрации процессов диффузионного типа. II. Автоматика и телемеханика 46(6), 77-87 (1985).

41. Миллер Б. М. Оптимизация динамических систем с обобщенным управлением. -Автоматика и телемеханика 50(6), 23-34 (1989).

42. Миллер Б. М. Метод разрывной замены времени в задачах оптимального управления импульсными и дискретно-непрерывными системами. Автоматика и телемеханика 54(12), 3-32 (1993).

43. Натансон И. П. "Теория функций вещественной переменной". -М., Наука (1974).

44. Орлов Ю. В. "Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями". М., Наука (1988).

45. Рубинович Е. Я. Траекторное управление наблюдениями в дискретных стохастических задачах оптимизации. Автоматика и телемеханика 41(3), 93-102 (1980).

46. Сарычев А. В. Интегральное представление траекторий управляемой системы с обобщенной правой частью. Дифференц. уравнения 24(9), 1551-1564 (1988).

47. СЕСЕКИН А. Н. О нелинейных дифференциальных уравнениях, содержащих произведения разрывных функций на обобщенные. // "Обобщенные функции и дифференциальные уравнения", pages 48-61. УНЦ АН СССР, Свердловск (1985).

48. Сесекин А. Н. Разрывные решения интегральных уравнений и их оценки. // "Обобщенные функции и дифференциальные уравнения", pages 62-68. УНЦ АН СССР, Свердловск (1985).

49. Сесекин А. Н. Разрывные решения интегральных уравнений и их оценки. Дифферент уравнения 22(11), 2009-2011 (1986).

50. Сесекин А. Н. Об оптимальном управлении линейной системой с ограниченным ресурсом. // "Нелинейные задачи в обобщенных функциях", pages 77-84. УрО АН СССР, Свердловск (1988).

51. Черноусько Ф. jl, Колмановский В. Б. "Оптимальное управление при случайных возмущениях". -М., Наука (1978).

52. Эллиотт Р. Дж. "Стохастический анализ и его приложения". -М., Мир (1986).

53. Яшин А. И. О выборе оптимального процесса наблюдений. Техническая кибернетика (2), 121-123 (1969).

54. Яшин А. И. Условно-гауссовское оценивание характеристик динамических систем по скачкообразным наблюдениям. Автоматика и телемеханика 41(5), 38-47 (1980).

55. Bensoussan A., Lions J. L. "Control Impulsionnel et Inequations Quasivariationnelles". Bordas, Paris (1982).

56. Bressan A. and Rampazzo F. Impulsive control systems without commutativity assumptions. J. Optim. Theory Appl. 81(3), 435-457 (1994).

57. Dorron J. R. and Ferreyra G. A multistage, multicontrol problem with unbounded controls. SIAM J. Control Optim. 32, 1322-1331 (1994).

58. Dykhta V. A. Impulse-trajectory extension of degenerated optimal control problems. IMACS Ann. Comput. Appl. Math. 8, 103-109 (1990).

59. Grigor'yev F. N. and Kuznetsov N. A. Control of the observation process in continuous systems. Problems of Control and Information Theory 6(3) (1977).

60. Huillet Т., monin A. and Salut G. Representations exponentielles des systemes analytiques generaux. АР II, Autom., Prod., Inf., Ind. 24, 37-56 (1990).

61. Huillet Т., Monin A., Montseny G. and Salut G. Generalized inputs to nonlinear systems. // "New Trends in Nonlinear Control Theory", pages 414-428, Nantes (1989).

62. Huillet Т., Monin A., Montseny G. and Salut G. Reversibilite des systemes non lineares a commande ponctuelle. АР II, Autom., Prod., Inf., Ind. 24, 57-82 (1990).

63. Kushner H. J. and Ramachandran К. M. Optimal and approximately optimal control policies for queues in heavy traffic. SIAM J. Control Optim. 27, 1293-1318 (1989).

64. Kushner H. J. On the optimal timing of observation for linear control systems with unknown initial states. IEEE Trans. Automat. Control AC-9, 144-145 (1964).

65. Kuznetsov N. A.,Liptser R. Sh. and Serebrovskii A. P. Optimal control and data processing in continuous time (linear system and quadratic functional. Automat. Remote Control 41(10), 1369-1374 (1980).

66. Lawden D. "Optimal Trajectories for Space navigation". Butterworth, London (1963).

67. Longman R. W. and Cooper C. A. Optimal selection of observation times in the linear-quadratic gaussian control problem. J. Optim. Theory Appl. 39(1), 47-58 (1983).

68. Martins L. F. and Kushner H. J. Routing and singular control for queueing networks in heavy traffic. SIAM J. Control Optim. 28, 1209-1233 (1990).

69. Miller В. M. and Rubinovich E. Ya. Optimal impulse control problem with a constrained number of impulses. Math. Comput. Simulation 34(1), 23-49 (1992).

70. Miller В. M. and Rubinovich E. Ya. Regularization of a generalized kalman filter. Math. Comput. Simulation 39, 87-108 (1995).

71. Miller В. M. and Stepanyan К. V. Observation control in tracking problem for moving object. // ""IFAC Symposium on Motion Control", 1995, Munich, Germany", pages 245-250 (1995).

72. Miller В. M. Optimization of dynamic systems with a generalized control. Autom. Remote Control 50(6), 733-742 (1989).

73. Miller В. M. The generalized solutions of nonlinear optimization problems with impulse control. SIAM J. Contr. Optimiz. 34(4), 1420-1440 (July 1996).

74. Miller В. M. The generalized solutions of ordinary differential equations in the impulse control problems. J.Math. Syst., Est. Control 6(4), 415-435 (1996).

75. Pierce J. G. and Schumitzky A. Optimal impulsive control of compartment models, I: qualitative aspects. J. Optim. Theory Appl. 18, 537-554 (1976).

76. Pierce J. G. and Schumitzky A. Optimal impulsive control of compartment models, II: algorithm. J. Optim. Theory Appl. 26, 581-599 (1978).

77. RlSHEL R. W. An extended pontriagin principle for control systems, whose control laws contains measures. J. SIAM 3(2), 191-205 (1965).