автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Ортогональные гибкие композиционные планы эксперимента для построения математических моделей объектов и явлений

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ И1ШШКНШШСШ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи ВОЛКОВ АЛЕКСЕЯ ЛЕОНИДОВИЧ

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ГИБКИЕ ШЙЮ8ЩИ0ШШ ПЛАНЫ ЭКСПЕРИМЕНТ А Д.ЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕШТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ И ЯВЛЕНИЙ

05.13. 01 - управление в технических системах

05.13.18 - применение вычислительной техника, математического моделирования и математических метолов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук.

Москва - 1994 г.

Работа выполнена в Московском государственном' инженерно-физическом институте (техническом университете).

Еаучный руководитель: -доктор технических наук,

профессор В. Д. Чалый. Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Л. Т. Кузин; кандидат технических наук, Ю. И. Яцеико Ведущая организация: МЫПК Атомзнерго

Защита диссертации состоится "—¿У-"__199^г.

в __час._____1!ин. ка заседании специализированного . совета

Д-053.03. 04 б Московском государственном инженерно-физическом институте по адресу : Москва, 115409, Каширское шоссе, дом 31, тел. 323-91-67. '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан: " " 169-^г.

Просим прислать отзыв, заверенный печатью организация.

Ученый секретарь ■ '

специализированного •

совета В. Э. Вольфенгаген

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Аятуалаиосгь. теи*. При описании слоаяых объектов и явлений большое распространенно получили методы планирования эксперимента, которые позволяют рационально организовать измерения, подверженные случайным воздействиям, интенсифицировать труд исследователя, повысить достоверность выводов по результатам измерений и получать отвечающие заданным требованиям математические модели, интерпретируемые в различных целях (исследование, оптимизация параметров, управление). Возникнув в 30 гг. XX века, теория планирования эксперимента прошла интенсивный путь развития, непрерывно расширяя сферу своего приложения - от сельского хозяйства до объектов ядерной физики. Большой вклад в нее внесли видные советские и зарубежные ученые - В. В. Налимов, Г. К. Круг, В.В.Федоров, Ю.П.Адлер, Е. Е. Маркова, Ю. К Грановский, Б. 3. Бродский, Р. Фижр, Д. Фишш, Е Винер, Г. Бота, Дж. Кифер и ученые его шкоды.

3 настоящее время имеется шрогаЯ спектр планов для построения математических моделей различных порядков, где возможен структурный поиск для выбора плана, удовлетворяющего экспериментатора по показателям оптимальности и экономичности. Однако, практика применения методов планирования эксперимента показывает, что для построения модели часто требуется поставить серию экспериментов (вид модели не известен априори), сопровождающуюся повышением постулируемого порядка этой модели. При этом возникает задача минимизации числа опытов ухе в последовательности планов, по которым ставится серия экспериментов. Ее решение диктует как необходимость использования в последовательностях более экономичных по числу опытов планов, так и композиционный способ организации таких последовательностей. Однако, условие композиционности, устанавливающее между планами отношения предшествования-продолжения, резко сужает возможности структурного покоса планов, удовлетворяющих экспериментатора по сформированному им набору критериев.оптимальности.

Поэтому актуальной является задача построения экономичных по числу опытов ко!,¡позиционных'планов эксперимента, обеспечивающих гибкое - при фиксированное«: структур матриц планов -

соответствие' требованиям экспериментатора к оптимальности планирования," и предназначенных для последовательного использования в сериях экспериментов по построению математических моделей сложных объектов и явлений, слабо изученных априорно.

Цель работы. Разработай и исследование экономичных по числу опытов композиционных планов эксперимента, гибко удовле-творяювдх сформированному экспериментатором .набору критериев оптимальности, последовательностей таких планов, а также соответствующего программного обеспечения для построения - в серии экспериментов - математических моде'лей сложных объектов и явлений, слабо изученных априорно.

Для достижения указанной цели решаются следующие основные задачи:

1. Анализ применяемого алгоритма организации планирования эксперимента при априорной неопределенности относительно вида модели и его совершенствование с целью повышения насыщенности и эффективности планирования при построении - в се'рш экспериментов - математических моделей слоашых объектов и явлений.

' 2. Разработка методики построения ортогональных композиционных планов эксперимента, экономичных по числу опытов и близких к оптимальным по задаваемому экспериментатором набору критериев оптимальности;

3. Разработка методики построения последовательностей реализуемых в серии экспериментов ортогональных композиционных планов, ■ экономичных по числу опытов и близких к оптимальным по■ задаваемому экспериментатором набору критериев оптимальности.

4. Построение и исследование ортогональных композиционных планов, экономичных по числу опытов и близких к оптимальным.

5. Разработка соответствующего программного.обеспечения и проведение экспериментальной проверки разработанных планов, методик'и программного обеспечения при моделировании сложных

. объектов и явлений.

катода исследований. Решение поставленных в работе задач основывается на методах математической статистики, идеях комбинаторного анализа, элементах матричной алгебры и методах решения экстремальных задач.

Научная' новизна, В диссертации получены следующие осноб-

ныэ научные результаты:

- предложен и разработан алгоритм организации планирования эксперимента в условиях априорной неопределенности относительно вида модели;

- предложи и разработан новый тип ортогонального композиционного планирования эксперимента - гибкий, который характеризуется непрерывностью совместных областей определения уровней варьирования факторов;

- предложены и разработаны формализованные методики построения ортогональных гибких композиционных планов эксперимента второго и третьего порядков, близких к оптимальным по задаваемому экспериментатором набору критериев оптимальности;

■ - предложена ,и разработана формализованная методика построения последовательностей ортогональных гибких композиционных планов эксперимента, близких к оптимальным по задаваемому экспериментатором набору критериев оптимальности;

- выведены формульные зависимости для вычисления оценок коэффициентов моделей и их дисперсий - при построении математических моделей по разработанным планам эксперимента.

Практическая, ценность работы-заключается в следующем:

- впервые разработаны методики, позволяющие на непрерывных совместных областях определения уровней варьирования факторов оперативно строить экономящие ло_ числу опытов ортогональные композиционные планы второго и третьегб порядков, близкие к оптимальным по задаваемому экспериментатором набору критериев, а также строить последовательности таких планов для планирования в условиях априорной неопределенности относительно вида модели объекта исследования;

- впервые разработаны' ортогональные гибкие композиционные планы.эксперимента второго и третьего порядков, близкие к оптимальным по одному из критериев D-.A-.E- или (3-оптимальности, а такте ортогональные полностью и частично композиционные планы эксперимента третьего порядка с точечными совместными областями определения уровней варьирования факторов для построения математических моделей сложных объектов и явлений, позволяющие получать математические модели с хорошими статистическими характеристика!,« при минимальных экспериментальных затратах;

- разработано программное обеспечение, написанное на языке ФОРТРАН, позволяющее азтошгиашдаровать построение матриц ортогональных гибких композиционных■планов и обработку экспериментальных данных при построен',и математических моделей по ■ этим планам, а такзв осуществлять поиск ис построенной модели оптимальных условий, функционирования объектов исследования;

- разпаботсшные илани и программное обеспечение использованы при построении математических моделей и исследовании клистронов, при решении задачи оптимизации их выходной импульсной мощности, что позволило сократить временные и энергетические затраты при выходе на оптимальные режимы их функционирования.

Регшдздаз .результатов. Научные положения диссертации, разработанные методики, планы и программное обеспечение внедрены в Институте атомной энергии и использованы при исследованиях клистронов, для оптимизации условий их функционирования.

Апробация. работы. Основ'ныо результаты работы докладывались и обсуждались на XXXII научной конференции МИФИ ( Москва, 1987), на IX Всесоюзной конференции по планированию и автоматизации эксперимента в научных исследованиях (Москва, 1989), на научно-технических семинарах на кафедре ВИС Ш'Ж

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных' работ. Все основные результаты, составляющие содержание диссертации, получены автором самостоятельно.

Структура, и обгон работ Диссертация состоит из сведения, четырех глав, загатчеяия, списка литературы и двух прило-лозний; ■ изложена на 257 страницах машинописного текста', содержит- 46 рисунков, 43 таблицы, 85 наименований литературы, приложения на 160 вынесенных в отдельный том стран',щах.

На...зздагу_ вшоегася:

- модернизированный алгоритм организации планирования эксперимента в•условиях априорной неопределенности относительно вида модели;

- формализованные методики построения ортогональных гибких композиционных планов .-эксперимента второго и третьего порядков с непрерывными совместными областями определения уровней варьирования факторов, близких к оптимальным ао задаваемому Э1юперимеитатором набору критериев оптимальности, и постро-

опия последовательностей таких планов для планирования в условиях априорной неопределенности относительно вида модели;

- ортогональные гибкие композиционные планы эксперимента второго и третьего порядков, близкие к оптимальным по одному из критериев И-,А-,Е- или'О-оптимальности, а такие ортогональные полностью и частично композиционные планы эксперимента третьего порядка с точечными совместными областями определения уровней варьирования факторов;

- модели, построенные с использованием разработанных планов и программного обеспечения, для исследования клкстронных импульсных усилителей моилости и решения задачи оптимизации выходной импульсной мощюсти клистронов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

При построении математических моделей (Ю,0 сложных объектов и явлений успешно применяются методы планирования эксперимента, созгодяющке рационально - по срокам и затратам - организовать измерения, интенсифицировать труд исследователя и получать модели, отвечающие заданным требованиям. Анализ практика! применения методов планирования эксперимента показал, что объем и структура априорной информации об объекте исследования (ОИ) во многих случаях не позволяют' точно определить вид Ш, и для построения ММ ОИ требуется постановка серии экспериментов, в которых постулируемый вид ММ последовательно усложняется. В настоящее время имеется широкий спектр планов для построения Ш различных порядков. Среди этих планов, объединенных в каталоги, возможен структурный поиск с целью выбора плана, наиболее предпочтительного по характеристикам оптимальности. Однако каталогизированные планы предназначены для использования прежде всего в статическом планирований, когда вид ММ известен. Необходимость минимизации экспериментальных затрат при планировании, когда вид ММ неизвестен априори, диктует композиционный способ организации последовательностей планов, по которым ставится серия экспериментов. Это резко сутает область структурного поиска'планов, наиболее предпочтительных по характеристикам оптимальности, и ставит задачу построения последова-

тельностей робастннх композиционных планов эксперимента (в той числе высоких порядков), обеспечивавших -. при фиксированности структур- этих планов - гибкое соответствие требованиям экспериментатора к оптимальности планирования.

Проведенный анализ показал, что для сравнения качества планов наиболее часто используют критерии D-,A-,E-„Q-оптимальности, насыщенности, ортогональности и комгозиционяости; а при построении робастннх аланов наиболее употребиаи такие принципы компромиссного планирования, как принцип минимума квадрата евклидовой нормы, максимкна, абсолютной и относительной уступки.

Поэтому в работе предлагается постановка и решение'задачи разработки и исследования экономичных по опытам ортогональных гибких композиционных планов, удовлетворяющих формируемому экспериментатором компромиссному набору требований к оптимальности, я последовательностей этих планов для построения - в се- рии экспериментов - математических моделей объектов и явлений. Методика построения эгюномичлых по числу опйуой последовательностей 'ортогональных гибких композиционных планов, удовлетворяющих формируемому экспериментатором 'компромиссному набору требований к оптимальности планирования.

Математическая постановка задачи. Пусть модель представляется полиномом степени не выше d', областью планирования является n-мерный гиперкуб:

-U , i=l7n ' (1),

где п - число факторов; а натуральные физические границы отсй области' не меняются при изменении порядка полинома:

xj =const, xi "const, i=l,n - при Vdsrа(Л ' (2),

где верхняя, a xj- шкшяя натуральная граница по фактору 1.

Требуется разработать методику, формализующую построение экономичных по числу опытов последовательностей ортогональных гибких композиционных планов эксперимента, близких к оптимальным до компромиссному, задаваемому экспериментатором набору критериев оптимальности:

Ф «£ >*) = win Ф ({<г >) (3),

: ' {£>- ' ■

NJ-i <г>*)' = Kin {<£->) (4),

■ ' *г>

где Ф({<Г>) - компромиссный функционал качества, определенных при (1) и (2) последовательностей ортогональных гибких композиционных планов экспериментов {<г>, - суммарное число опытов в последовательностях таких планов.

Решение поставленной задачи требует в первую очередь усовершенствования принципов планирования эксперимента при априорной неопределенности относительно вида модели. Модернизированная автором блок-схема организации процессов планирования эксперимента при априорной неопределенности относительно вида модели (рис. з.) предполагает вместо выбора планов из каталогов строить последовательности планов в соответствии с требованиями конкретного эксперимента, и, во-вторых, строить их до начала, а не в процессе постановки серии экспериментов. Тем самым открывается потенциальная возможность еще до начала построения модели согласовать характеристик.!! оптимальности разнопорядковых планов, образуют« последовательность, и минимизировать в ней суммарное число опытов, что позволит сократить временные и материальные затраты, повысить качество планирования при априорной неопределенности относительно вида модели. Для реализации этих потенциальных возможностей требуется разработать новый тип ортогонального композиционного планирования, где возможно гибкое улучшение характеристик оптимальности планов в соответствии с требованиями экспериментатора, -а также соответствующие методики построения таких планов, и повторно рассмотреть способы сокращения суммарного числа опытов в последовательности планов - включая как структурный поиск более экономичных по числу опытов планов, тазе и механизм организации композиционных переходов между планами. При этом необходимо учитывать, что при повышении порядка модели выые третьего опережающий рост числа опытов в планах над числом оцениваемых коэффициентов регрессии становится критичным и планы для построения полных полиномов выке третьего порядка на практике, как показал анализ, используются редко.

Методики построения ортогональных гибких композиционных планов эксперимента второго и третьего порядков, близких к оптимальным по компромиссному, задаваемому экспериментатором набору критериев оптимальности.

Рке. 1 Блок-схема организации ппоцессов планирования экспериментов при априорной неопределенности относительно вида модели

Математическая постановка задачи. Пусть модель представляется полиномом фиксированного порядка d--2 или d-3, а область планирования удовлетворяет условиям (1) и (2).

Требуется разработать методики, формализующие построение экономичных по числу опытов ортогональных гибких композиционных планов эксперимента второго и третьего порядков, близких к оптимальным по компромиссному, .задаваемому экспериментатором набору критериев оптимальности.

ортогональное гибкое композиционное планирование эксперимента второго порядка. Построение экономичных по числу опытов планов предполагает структурный поиск матриц планов. Однако классическая структура ортогональных: композиционных планов

п-а

второго порядка - N¿-2 +2п+1, где р - дробность реплики, является насщэнной для специального вида моделей, и поэтому при cl=Z задача сводится к разработке способа улучшения характеристик эффективности планов данной структуры.

Анализ показал, что при правилах замет.) переменных: xf --> xf , 1=1,n (5),

где неизвестный параметр замены переменных, требование ортогональности является настолько язстким, что порождает точечный характер совместной области определения уровней варьирования факторов при Vn=const, p-ccnst (рис. 2). 'Гак как все статистические характеристики моделей, строящихся но данным планам, являются функциями от значений уровней варьирования факторов, то на .такой.области.их. улучшение невозможно. Предложенная автором модернизация правил замены переменных :

4 ~> К, ' 1=1"п - Сб)'

где иг- порядковый номер ядра в матрице плана, позволяет придать совместной области определения уровней варьирования факторов непрерывный характер (рис. 2), причем прежняя точечная область является границей новой области (точка с координатами ( |ot |=1.0, Ip'hj'V))). Ортогональное композиционное планирование эксперимента с непрерывными совместным областями определения уровней варьирования факторов названо автором гибким. Проведенное на этих областях исследование доказало возможность улучшения - для ci=2 - характеристик оптимальности ортогональных гибких композиционных планов.

Методику построения ортогональных гибких композиционных планов эксперимента второго порядка, близких к оптиаяыиш по задаваемому экспериментатором набору критериев, «.шло представить гремя этапами.

Первый этап - выбор критериев оптимальности, определение их значимости, , расста-яовкз весов у// в функционале качества планирования:

1.5

1.0

0.5

0.0

А

у

!

'1=1

где 1 - число критериев, соотносительная эффективность непрерывных планов, оптимальных по критерию X/, -относительная эффективность

ортогонального гибкого композиционного плана £ ло критерию X/.

Второй этап - определение значений уровней варьроваши факторов как

{) = arg min Ф(сГ) (8),

0.6 0.7 0.0 0.9 1.0 1.1

Рис. 2 Взаимное расположение совместных областей определения уровней варьирования факторов в ортогональном композиционном планировании второго порядка с правилами замены (5) (точка А) и ь ортогонально',! гибком композиционном планиро ьании второго порядка с правилами замены (6) ( непрерывная область Б) - при п=--5,р=0

О,

где множество ортогональныя гибких композиционных плане; второго порядка заданной структуры; - множество ненуле-

вых уровней варьирования ядер плана.

Третий этап - определение значений параметров замены переменных как решений системы условий ортогональности матриц! плана и несмещенности оценок регрессионных коэффициентов:

о

(s:

г

Пользуясь описанной выше методикой, были построены ортогональные гибкие 'композиционные планы эксперимента второго порядка структуры 2п + 1, близкие к оптимальным по одному из критериев 0-, Л-, Е- идя С- оптимальности. Достигнуто улучшение ко отдельным критериям отпссителькой эффективности планирования до 2.6 раза в сравнении с ортогональными композиционными планами с точечными совместными областями определения уровней варьирования факторов. Выведены формульные зависимости ■ для оценивания коэффициентов регрессии, их дисперсий и ковари-аций, а танке дла вычисления функционалов качества планирования по критериям D-.A-.E-, и 0-оптимальности. Построены графики зависимости относительных D-.A-.E-, и 0- эффективностей_ор-тогоналъных гибких композиционных планов (сЗ=2, п=2,7, р=0,1) от значений уровней варьирования факторов. Показано, что переход от полной модели первого к полной модели второго порядка осуществим при гибком планировании через неполную модель второго порядка, включающую наряду с парными и квадратичные взаимодействия тех факторов, которые варьируется на уровнях попарно вводима в матрицу плана "звездных точек".

Ортогональное гибкое композиционное планирование эксперимента третьего порядка. Свойство непрерывности совместных областей определения уровней варьирования факторов в ортогональном гибком композиционном-планировании второго порядка расширяет структурную базу ортогонального композиционного планирования третьего порядка - даже без модернизации правил замены переменных:

х,- —> X/ ] -

—> х/Сх;- -4") > (Ю)

х/ —> -£) .]

Выявлению новых структур ортогональных композиционных планов

третьего порядка способствует и предложенное автором операционное расширение на этапе "Построение последовательности планов. .." в алгоритме организации процессов планирования (ркс. 1) Суть его заключается в более широком толтовании понятия компо-зиционНости: наряду с операцией "вклгочеаие нового ядра в матрицу плана", предлагается использовать и операцию "исключение ядра старой матрицы плана из ноеой матрицы плана". Каждое ядро

вносит в уравнения совместной системы условий ортогональности и кошюзиционности матрицы плана значения присущих ему уровней варьирования факторов в качестве неизвестных. Особенности их вхождения в уравнения влияют на разрешимость системы в целом -могут сделать неразрешимую систему разрешимой, а разрешимую -неразрешимой; следовательно, исключение группы неизвестных параметров путем "утери" соответствующего ядра может инвертировать этот эффект - сделать из разрешимой системы неразрешимую, и наоборот. ЛЛаны, построенные с использованием лишь операции "включение'были названы автором полностью композиционными; с использованием обеих операций - частично композиционными.

Использование такого операционного расширения и ортогональных гибких композиционных- планов второго порядка как композиционных предшественников позволило построить ортогональные полностью и частично композиционные плат! третьего порядка девяти новых структур. Л Каждая из них обеспечивает сокращение числа опытов в сравнении с имевшимися ортогональными композиционными планами третьего порядка структуры М^Яя ' +Я«'" +

п.,о о,п-1,1 п-2,2 да п-1.£° У1 о ¿>,'1-1,1

+паЯл +Яя +ЯЛ и Я,/ +2ЯЛ +гкЯ ' -\-Яп

Г у У у

(п=2). Здесь Я^' ■> - обозначение ядра плана, где число факторов, одновременно находящихся в каждой строке ядра плана на нулевом уровне, число.факторов, одновременно при-, нимаицих в каждой строке ядра значения 1-й пары ненулевых уровней варьирования, т - число пар ненулевых уровней, а мощность.ядра определяется как "'"> 2п'

Анализ характеристик насыщенности разработанных планов (в том числе потенциальных возможностей структур) позволил еыдэ-

0,п п-1 У / /г-у , Д.п

лить структуры ^=Я,2 +2Яп +Я/г (пгЗ) и Ы3°>2Яп +

+Яп ' +п^Я,г' (п=2) как наиболее экономичные по числу опытов. Однако структура Я^Я^ +2Я,г ' +пая'^' оказалась - при

правилах замены (10) '- нереализуема для п>3. Кроме того, все предложенные структуры имеют точечные совместные области определения уровней варьирования факторов, на которых невозможно построение планов, .близких к оптимальным.

Предложенная автором модернизация правил замены (10):

X/ >

-- -г -> хДх/ -.$<) | (И)

4 —>• хДх/ -£)

оп rt,o n-i,< /,ft'J

позволила построить планы структуры N¡=8^, +]\,Я„+2ЯЛ +Яп для п>3. к придать совместным областям определения уровней варьирования факторов непрерывный характер. Эти области входят Kai« подмножества в непрерывные совместные области определения уровней варьирования факторов ортогонального гибкого композиционного п.-олпрованил второго порядка. Исследование, проведенное на этих областях, доказало возхогэтостъ улудоння характеристик ' окшяльности планов предложенной структуры.

Иетодиа построения ортогональных, гибких композиционных планов третьего порядка, близких - внутри заданного типа планирования - к оптимальным п--о определяемому экспериментатором набору критериев, состоит из трех этапов.

Первый этап - выбор критериев оптимальности, определение мх значимости, расстановка весов •.?/ в функционале качества:

/г -.......-—'

где &T¿ - внутрктиповая относительная эффективность плана, наиболее близкого к оптимальному по критерию. %¿ , e.J. (¿T) -внутритиповая относительная эффективность по тому яв критерии строяЕЗРгося робастного плана. Тип ортогонального композиционного планирования задается тройкой параметров: <ШЛ; S; ВММ >, где ШП - правила замены переменных ( определяют вид совместной области определения уровней варьирования факторов - точечный или 1!9преркв1?Уй); S - структура матрицы ортогонального komroskiwoijkcvo' плана; ЗШ - вид Mí, для построения которой используется данный план.

Второй этап - определение значений" уровней варьрования факторов как

{! у 1> - arg- nun íK<T ) (13),

d ' ' «J

где íTí - мнсжство всех ортогональных композиционных планов эксперимента третьего порядка заданной структуры. ■

Третий этап - определение значений параметров замены переменных как решений системы условий ортогональности матрицы лляпа и нескеа^иаостя оценок коэффициентов регрессии:

¿у ^ ^ «М/*«^) ^

¿«У* (а-3)2 V- -а

Проведенные исследования позволили построить ортогональные ^композиционные планы третьего порядка структуры " + +2ЯЛ ' , близкие к оптимальным по. одному из критериев 0-, А-, Е- или <3- оптимальности; и структуры М,=2я5/?+ +ЯЛ , близкие к оптимальным по критерию о- или А-оп-тимальности. Эти планы по числу опытов в 1,5-1,8 раза экономичнее имевшихся. Выведены формулы для оценивания коэффициентов регрессии, их дисперсий и ковариаций; для вычисления функционалов качества планирования по критериям D-.A-.E- и 0-оптимальности. Построены графики зависимости приведенных характеристик D-.A-.E- и О-зффективностей ортогонааышх композиционных планов третьего порядка структуры N4 = Ял' +2Ягг ' +гуЯ,г'. от значений уровней варьирования факторов.

На пересечении непрерывных совместных областей определения уровней варьирования факторов ортогонального композиционного планирования первого-второго-третьего порядков возможно построение экономичных по числу опытов последовательностей планов, близких к оптимальным по задаваемому экспериментатором компромиссному набору критериев оптимальности. Методика построения таких последовательностей состоит из трех этапов.

Первый этап - подбор типов ортогонального композиционного планирования под каждый этап процесса планирования эксперимента. На основании априорной информации об ОЛ составляется множество возможных видов ММ ОИ <ВММ'}. Затем подбираются структуры матриц ортогональных композиционных планов с присуща/и им .правилами замены переменных {ПЗП ¡Б >, так, чтобы множество видов Ш {ВШ"}, оцениваемых этими структурами, максимально покрывало множество {ВММ'}, и окончательно формируется множество типов ортогонального композиционного планирования «ШП;;

З^ВШ/^}, где ВШ^сШШ'" >={ВММ" }rt<BMM'}v

Второй этап - конкретизация типов ортогонального композиционного планирования эксперимента. Расстанавливаются веса , 2-,1Д критериев оптимальности планирования для всех элементов вероятности р/^что именно ВШ/^-адекватно описывает ОИ, и формируется функционал качества последоватэльнос-ги планов:__1

Р и . г

» -1/z: Т Р- )) (15),

та0 Г1 ~ 7

У(<с\ „„„ ) - T/ZI ^(E - Sx(il )f (16)-

функционал 1сачества фиксированного типа ортогонального композиционного планирования; UL. „,) относительная зффектив-

„ otioXM; л

зость по критерию ЗС' ортогонального ^композиционного плана зтруктуры S-, предназначенного, для построения Ш вида BMM^j . Значения ненулевых уровней варьирования факторов всех входящих з последовательность планов ищутся как

{| а. |> » arg min Ф({£| » (IV),

® {<ТП>>

где {<ТЕ>> - множество всех выбранных ортогональных композици-энных типов планирования. Решая совместные системы условий ортогональности я кошгазяционносги матриц планов и несмещенности зценок коэффициентов регрессии, определяют значения неизвестных параметров замены переменных.

■Последовательности ортогональных гибких композиционных • тланов, близких к оптимальным по задаваемому экспериментатором iaöopy критериев оптимальности позволяют сократить временные и яатеркальные затраты, повысить качество планирования при априорной неопределенности относительно вида модели.

Для автоматизации-построения матриц планов, обработки ио-1учаешх на их основе экспериментальных данных и для решения Фактических задач, на языке ФОРТРАН разработано соответствующее программное обеспечение объемом более 1500 операторов. .

Разработанные методики, планы эксперимента и программное збоспечение внедрены в Институте атомной энергия и использова-

тоъ при построении математических моделей для исследован:« клистронов и при оптимизации их выходной импульсной мощности.

Для ускорения выхода на оптимальный режим эксплуатацга клистронов и сокращения при этом энергетических затрат, в работе предложено проводить моделирование клистронов с использованием разработанных планов, методик., программного обеспечен!«

Математическая модель, описывающая зависимость выходпо; •импульсной мощности клистрона от анодного напряжения и начального импульсного возбуждения представляется полиномом второгс или третьего порядка. С целью оптимизации выходной функции необходимо конкретизировать вид данной зависимости.

Для ревепия задач!! был организован процесс планирован]« экспериментов, позволяющий, начав с построения модели второгс порядка - сначала неполной, а затем полной, перейти к неполно! а затем полной модели третьего порядка. Результатом экспериментальной реализации такого процесса стало построение модели I виде полного полинома третьего порядка, адекватно описываюшя* зависимость. Полученная модель использована для поиска,- с помощью разработанного программного обеспечения - оптимальны) значений выходной импульсной мощности.' Существование оптимумо! в расчитанных точках подтверждено экспериментально.

Применение разработанных методик, построенных на их основе ортогональных гибких композиционных планов, удовлетворяющие нескольким критериям оптимальности, и программного обеспечение для построения моделей и их оптимизации позволило:

1. Сократить экспериментальные затраты на построение математических, моделей в 1,5 раза. - '

2. Получить математические модели с улучшенными точностными характеристиками за счет совмещения критерия ортогональности с критериями Б- и А-оптимальности.

3. Автоматизировать построение матриц планов эксперименте и обработку полученных ка их основе экспериментальных данных.

4. Автоматизировать поиск оптимумов выходных функций моделируемых объектов.

Результаты диссертации внедрены в Институте атомной энергии имени Л К Курчатова, а также в учебный процесс в МИ1Й, чте подтверждено соответствующим! актами о внедрении.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложи и разработан алгоритм организации планирования эксперимента в условиях априорной неопределенное.1!» относительно вида .модели;

2. Предлогакы и разработаны формализованные методики построения ортогональных гибких композиционных планов эксперимента второго и третье-го порядков с непрерывными совместными областями определения уровней варьирования'факторов, близких, к оптимальным по задаваемому экспериментатором набору критериев оптимальности, а таклз формализованная методика построения последовательностей таких планов для планирования в условиях априорной неопределенности относительно вида модели;

3. Впервые построены и исследованы'ортогональные гибкие композиционные планы эксперимента второго и третьего порядков, близкие к оптимальным по одному из критериев D-.A-.E- или <2-оптимальности, позволяющие строить математические модели слабо изученных объектов и явлений с хорошими статистическими характеристиками при минимуме затрат по числу опытов и времени. Впервые построены и исследованы ортогональные полностью и частично композиционные планы эксперимента третьего порядка девяти новых структур, которые более экономичны по числу опытов в сравнении с имевшимися. Построенные планы могут применяться з различных областях производства, пауки и техники.

4. выведены формульные зависимости для вычисления оценок коэффициентов моделей и их коррекции, для вычисления параметров замен переменных, для проведения статистического анализа. Они используются при построении математических моделей по разработанным планам эксперимента ■

5. Разработано программное обеспечение, написанное на языке ФОРТРАН, которое позволяет автомативацировать построение матриц ортогональных гибких композиционных планов и обработку экспериментальных данных при построении по ним математических моделей , а также осуществлять поиск по этой модели оптимальные условий функционирования объектов исследования.

6. Построены математические модели для исследования клкс-гроишх импульсных усилителей мощности, которые использовались

для обоснования выбора режимов их эксплуатации.

7. Решена задача оптимизации выходной импульсной мощности клистронов, что позволило сократить временные и энергетические затраты"при выходе на оптимальные режимы их функционирования.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бахтин А. В., Волков А. Л , Левахин М. Г., Чалый В. Д. Интеллектуальная система построения, оптимальной последовательности планов эксперимента. - II: МИФИ, Труды XXXII научной конференции, 1987.- Деп. в ВИНИТИ, 2517-В37.

2. Бахтин А. В. , Волков А. Л , Левахин М. Г. Исследование линейных и нелинейных математических моделей для автоматизации научных исследований. - В кн.-: Методы и средства автоматизации научных исследований. - М.: Эпергоатошздат, 1983, с. 35-38.

3. Волков А. Л , Левахин М. I'. , Чалый В. Д. Ортогональное гибкое композиционное планирование эксперимента: Препринт 075-88. - М.: МИФИ, 1988. - 24 с.

4. Волков А. Л Система выбора оптимальной последовательности планов эксперимента. - В кн.: Методы и средства автоматизации научных исследований. - К : Энергоатомиздат, 1088, с. 33-41.

5. Волков А. Л., Левахин М.Г. , Чалый В. Д. Гибкое ортогональное планирование эксперимента второго порядка. - В кн.: Обработка измерительной информации и моделирование. - и: Энергоатомиздат, 1989. - с. 33-41.

6. Волков А. Л., ЛеЕахин М. Г. , Чалый К Д. Оптимальное планирование последовательностей экспериментов. - В кн.: Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по планированию и автоматизации эксперимента в научных исследованиях. Часть I.- М.: МЭИ, 1989. - с. 22-23.

7. Волков А. X Ортогональное композиционное планирование третьего порядка е многоэтапных процессах планирования экспериментов. - В кн.: Автоматизация измерений и обработка данных. - М.: Энергоатомиздат, 1992. - с. 48-54.

Подписано к печати Заказ Тираж 80

Типография ШШ, Каширское шоссе, 31 20