автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оптимизация распределенных систем с обобщенным воздействием

& г 9. ¿>3, до

Академия наук Украинской ССР Ордена Ленина Институт кибернетики имени В. М. Глушкова

/О </5*

На правах рукописи

ЛЯШКО Сергей Иванович

УДК 519.71 + 517.95 + 517.977.56/58

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С ОБОБЩЕННЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (информатика, вычислительная техника и автоматизация)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев 1990

Работа выполнена в ордена Ленина Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР.

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН СССР, доктор физико-математических наук, профессор КРАСНОЩЕКОВ П. С.,

член-корреспондент АН УССР, доктор физико-математических наук, профессор ПШЕНИЧНЫЙ Б. Н„

доктор физико-математических наук, профессор БЕЛОВ Ю. А.

Ведущая организация: Институт математики и механики

Уральского отделения АН СССР.

Защита состоится «-» -- 19 г. в-

часов на заседании специализированного совета Д 016.45.01 при Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР по адресу:

252207 Киев 207, проспект Академика Глушкова, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-техническом архиве института.

Автореферат разослан «-» - 19 г.

Ученый секретарь специализированного совета

АН ДОН Ф. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Бурное развитие науки и техники, усложняющаяся и дорогостоящая производственная технология приводят к гому, что оптимизация различных систем становится одной из наи -5олее актуальных проблем прикладной математики и кибернетики.

Основополагающие результаты в теории оптимизации управления получены в работах Л.С.Понтрягина, Р.Белмана, В.П.Болтянского, Р.В.Гамкрелидзе, Дж.Варга, А.Я.Дубовицкого, А.А.Фельдбаума, -КН.Красовского, А.А.Милютина, Е.Ф.Мищенко, Б.Н.Пяеничного, В.М.Тихомирова и др. советских и зарубекных математиков. Была в основном создана теория управления системами с конечномерным фазовым пространством. Однако во многих технических приближениях суть объектов управления таковы, что они имеют пространственную протяженность и их состояние описывается некоторыми классическими или неклассическими уравнениями математической физики ( сис -темы с распределенными параметрами - с.р.п. .) .Анализ объектов подобного рода требует существенного обобщения методов и средств анализа систем с сосредоточенными параметрам ( с.с.п.). Решению этих задач посвящены работы А.Бенсусана, Б.Н.Бублика, А.Г.Бут -ковского, Ф.П.Васильева, А.И.Егорова, Ю.М.Ермольева, В.И.Иваненко, Ж.-Л.Лионса, К.А.Лурье, А.Г.Наконечного, Ю.С.Осипова.Ю.И.Само йленко, Т.К.Сиразетдинова, Р.П.Зедоренко и др.

Многие задачи физики, экономики, экологии, медицины и т.д. приводят к необходимости рассмотрения задач, содержащих в правых частях уравнения состояния с.р.п. обобщенные функции конечного порядка, в том числе и по временной переменной ( импульсное, точечное и т.д. управление) . При решении возникающих здесь задач сингулярного оптимального управления возникает ряд существенных проблем. Некоторые результаты в направлении их преодоления получены у нас в стране и за рубежом, однако единой теории пока нет.

Для систем с сосредоточенными параметрами задача оптимального импульсного управления была решена в работах Н.Н.Красовского посредством введения интеграла Стилтьеса и использования методов Ь - проблемы моментов. В игровой постановке эта задача была исследована Ф.ЛЛерноусько и А.А.Меликяном.Получению необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина посвящены работы А.А.Асланяна, Б.М.Миллера и др. В работах А.Бенсусана и М.-Л.1ионса задача синтеза оптимального управления была

сведена к решению соответствующего квазивариационного неравен -ства. В работах Ю.В.Орлова задача импульсной оптимизации решается с помощью расширения вариационной задачи с её последующим анализом в классе обобщенных функций. В работах М.Ж.Валаса, Л.В,Байта и др. задача точечного оптимального управления некоторыми с.р.п. изучалась с помощью теории полугрупп. В работах А.И.Егорова импульсное позиционное управление получено для ура -внения теплопроводности как результат решения некоторых: линейных задач. В работах А.Венсусана и Ж.-Л.Лионса задача оптимального импульсного управления изучалась в стохастической постановке. Следует отметить, что введение помех в изучаемые системы равно -сильно регуляризации, что упрощает исследование вопросов существования оптимальных управлений. Что ке касается получения необ -ходимых условий оптимальности, то ситуация обратная. Введение помех делает формулировку стохастического принципа максимума не~ единственной и очень сложной.

При изучении управляемых систем одним из важнейших является вопрос их управляемости. Дяя линейных с.с.п., допускающих обоб -(ценные воздействия, проблема управляемости была изучена Н.Н.Кра-совским. Показано, что введение таких воздействий не расширяет условий полной управляемости. В случае с.р.п. дело обстоит значительно сложнее. А.Г.Бутковским показано, что управляемость с.р.п. с точечным воздействием может существенно зависеть от теоретико-числовой природы точки приложения управляющих воздействий

Некоторые задачи оптимизации систем с помощью обобщенных воздействий рассматривались в работах А.Б.Куржанского, Ю.И.Самойлен-ко, Я.З.Дыпкина и др.

Несмотря на приведенные результаты, многие актуальные задрчи обобщенного управления остаются открытыми ( импульсная управляемость, численные методы ) или исследованы неполно ( существование оптимальных управлений, необходимые и достаточные условия оптимальности ).

В данной работе с единых позиций, основанных на использовант априорных неравенств с негативными нормами конечного порядка, строится теория оптимизации с.р.п. с данными конечной гладкости 1 классе обобщенных воздействий. Неравенства с негативными нормами впервые были получены В.П.Диденко для вырождающихся уравнений и .уравнений смешанного типа в начале 70-х годов и оказались очень эффективными для изучения рассматриваемых в работе задач.

Цель работы заключается в создании теории оптимального управления линейными с.р.п. с помощью нелинейных обобщенных воздейст -вий ( в том числе импульсных ). В ней изучаются вопросы существования оптимальных управлений, получены необходимые, а в некоторых случаях и достаточные, условия управляемости в классе различных обобщенных воздействий, строятся численные методы обобщенной оп -типизации ( включая численные методы решения граничных задач, содержащих в правых частях уравнений обобщенные функции конечного порядка ).

Научная новизна состоит в том, что для широкого класса задач впервые получены и применены для изучения оптимальных свойств неравенства с негативными нормами. Получены достаточные условия управляемости и существования оптимальных управлений в классе обобщенных воздействий конечного порядка. Получены необходимые ус -ловия оптимальности импульсных воздействий, необходимые условия импульсной управляемости для широких классов линейных с.р.п. Построены численные методы приближенного решения задач импульсной оптимизации. Изучены некоторые новые задачи, содержащие в правых частях уравнений обобщенные воздействия ( управление коэф^кциен -тами, управление граничным временем, совместная оптимизация и идентификация ). Для решения граничных задач с правыми частями из различных пространств ( содержащих, в частности, импульсные и точечные воздействия ) построены аналоги метода Галёркина.

Теоретическое значение диссертационной работы состоит в соз -дании общей теории оптимизации линейных с.р.п. в классе обобщен -ных воздействий конечного порядка. Разработана методика доказательства существования решений, получения необходимых условий оптимальности, доказательства управляемости, построения численных методов приближенного рещения.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты расширяют класс сложных задач оптимизации с.р.п., которые можно эффективно исследовать с помощью разработанного в диссертации аппарата, а также позволяют конструировать численные методы для их решения.

Реализация результатов работы. Результаты работы использованы при выполнении работ по темам № 79051254, № 7601920 Институ -том кибернетики им. В.М.Глушкова АН УССР, теш "Разработка и обоснование методоз оптимального управления системой с распределенными параметрами", выполняемой с СКВ ШС Института кибернетики им.В.М.Глушкова АН УССР по постановлению Президиума АН УССР

№ 235 от 23.05.79 г. ( Р.Г.Е. 135.02 ) , при разработке догово -ров о научно-техническом сотрудничестве между СКВ ММС и Украин -ским отделением института "Гидропроект" им.С.Я.Жука ( 1985-1987, 1988-1989 гг.) .

Получено дополнительное авторское свидетельство № 243728 к авторскому свидетельству № 226975 на изобретение по заявке № 3.127778 ( зарегистрировано в Государственном реестре изобре -тений СССР I октября 1986г. ) . Программа "Алгоритм совместной идентификации и оптимизации" сдана в Республиканский фонд алгоритмов и программ ( кнв. № 5895 ). Результаты диссертации испо -льзованы для чтения курса лекций по исследованию операций для студентов механико-математического факультета и факультета ки -бернетики Киевского госуниверситета им. Т.Г.Шевченко и механико-математического факультета Таджикского госуниверситета им.В.И.Ле нина.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на: Третьем всесоюзном семинаре "Численные методы нелинейного про -граммирования" ( г.Харьков, 1979г.) , Четвертой всесоюзной конференции "Оптимальное управление в механических средах" (г.Мо -сква, 1982г.) , Третьей республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" ( г. Канев, 1982 г.) , Всесоюзном научно-техническом семинаре "Методы и средства решения краевых задач" ( г.Казань, 1984 г.) , Международной конференции "Стохастическая оптимизация" (г, Киев, 1984 г.) , Пятой Всесоюзной конференции по управлению в механических системах" ( г.Казань, 1984 г.) , Всесоюзном семинаре "Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложение" ( г.Саратов, 1985 г.) , Седьмой всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" ( г.Иркутск, 1985 г.) , Всесоюзном симпозиуме "Методология системных исследований" ( г.Москва, 1985г.) , Всесоюзном научно-техническом совещании "Пути удешевления и ускорения строительства плотин из грунтовых материалов" ( г.Ленинград, 1985 г. ), Закавказской научно-тех -нической конференции молодых ученых и специалистов "Информатика и вычислительная техника" ( г.Ереван, 1906 г.) , на семинарах Научного совета АН УССР по проблеме "Кибернетика" (1979-1989гг на семинарах факультета кибернетики Киевского госуниверситета им. Т.Г.Шевченко, Института кибернетики им. В.М.Глушкова АН УСС1 (1979-1989 гг.) , семинаре Института математики и механики УНЦ АН СССР ( 1989 г. ).

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы, включающего 194 наименования. Объем работы ¿90 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выполненных исследований, описаны классы рассматриваемых задач, описана цель работы, дано краткое изложение содержания диссертации по разделам.

Первая глава посвящена разработке общей теории оптимального управления с.р.п. в классе обобщенных воздействий конечного порядка.

51. В ограниченной области й з {(0±t¿т)^Sl, Л^/В'1} состояние с.р.п. задано линейным уравнением

¿eu>=f + £fJ и<= (I)

Управление системой (I) осуществляется за счет управляющих воздействий , определенных на множестве допустимых управлений 11д из рефлексивного банахова пространства управлений Н . Оператор Л может быть нелинейным, вследствие чего при изучении оптимизационной задачи возникают все слокности, связанные с этим фактом, например неединственность решения. & действует из Н в негативное гильбертово пространство V/ . На решениях уравнения (I) задан полунепрерывный снизу функционал

1) а сР(и(у>)) , :соторый необходимо минимизировать на множестве . Для решения этой задачи оказался очень продуктивным подход, основанный на использовании априорных неравенств в негативных нормах.

Для изучения дифференциальных уравнений априорные неравенства впервые применил К.О.йридрихс в 1953 г. В задачах оптимального управления их с успехом использовал К.-Л.Лионе. Это были оценки в позитивных нормах. Из них следует существование слабых

решений дифференциальных уравнений, принадлежащих (О) , и нужны еще специальные исследования их гладкости. Из оценок в негативных нормах сразу следует существование достаточно гладкого решения сопряженной задачи. Эти оценки являются не только достаточным, но и необходимым условием существования такого решения

- б -

и позволяют сделать вывод о его единственности. Кроме того, из них следуют оценки в позитивных нормах, но не наоборот.Проблема получения таких неравенств была поставлена А.В.Бицадзе в начале 60-х годов для уравнений смешанного типа второго порядка. Однако, несмотря на усилия в этом направлении, такие оценки появились впервые лишь через 10 лет в работах В.П.Диденко.

В данной работа для некоторых линейных операторов получены априорные оценки более сильные, чем негативные, и, тем более, позитивные. В § I (теорема 1.1.1) доказано, что выполнение подобных неравенств для оператора из (I) и ему сопряженного^*

а именно

у-¥> (2)

дает возможность для любого функционала ^ е //£ доказать существование единственного обобщенного решения задачи (I) , принадлежащего пространству И^ (й). пространство линейных ог

рапэтенных функционалов, построенное по НА и (¿3) . и //¿Г некоторые позитивные пространства:

н, => 1л(а) => и^ у/^-

В теореме 1.1.3 аналогичный результат доказан для случая, когда правая часть уравнения (I) является элементом пространства . Теоремы 1.1.2 и 1.1.4 распространяют полученные результаты на сопряженную задачу. Из неравенства (2) в случае

сюрьективного оператора А следует также решение задачи управляемости системой (I) в смысле возможности достижения любого

состояния

помощью допустимых воздействий. В §2 на основании приведенных результатов строится теория оптимального управления с.р.п., удовлетворяющими (2) , в классе обобщенных воздействий конечного порядка, т.е. когда

Л : Щ—- ИС^.- Теорема 1.2.1 утверждает, что при выполнении (2) слабо полунепрерывный снизу по решению уравнения (I)

функционал ^(с/(у)) ограниченном замкнутом выпуклом множестве СГ // достигает минимума. Оператор Л предполагается

>граниченным. В дальнейшем полученные результаты распространяются на некоторые конкретные классы с.р.п.

В §3 полученные выше результаты распространяются на системы юевдопараболического типа. Такие задачи возникают в теории не-!ЬЮтоновской жидкости, при решении задач фильтрации в трещино -зато-пористых средах и т.д.

'де I, - (¿с) , М *» ММ - равномерно эллиптические дифферен -доальные операторы второго порядка. Получены неравенства в негативных нормах, построенные по позитивной норме

'де Л■. = Л ■■ (х), Вь: ~ В ¡с ^ ~ непрерывно дифференцируемые в

</ У ^ с/ м

)амкнутой области -5с коэффициенты операторов 1-, и П .причем

/г /7- гг гг

В §4 изучена задача обобщенного управления одной системой З.Л.Соболева

\де I* - равномерно эллиптический, а А? - положительный диффе -)енциальные операторы второго порядка.

Приведенное уравнение относится к неклассическим уравнениям математической физики и не является уравнением типа Кощи-Ковалев-:кой, т.е. не разрешимо в явном виде относительно старших произ-юдных по времени. Изучение таких с.р.п. было начато С.Л.Соболе-шм в 1954 г. на примере уравнения, описывающего поведение вра -(ающейся и слабо колеблющейся системы. Исследование подобных гравнений связано со значительными трудностями ввиду отсутствия [лассического решения. Большой интерес представляет задача изу-!ения свойств дифференцируемое™ решений и существования опти -гальных управлений даже при босконечно гладких правых частях сравнений.

В §5 изучена задача обобщенного управления с.р.п. гиперболи-геского типа

В - равномерно эллиптический оператор второго порядка.

В §6 рассмотренный в §5 оператор 3 предполагается оператором гиперболического типа, а в §7 - параболического.

§8 посвящен задаче обобщенного управления с.р.п.,описываемой уравнением, обобщающим уравнение динамики вязкой стратифицированной жидкости

где Л , - равномерно эллиптические, а С - положительный операторы второго порядка. Приведенная система описывается, как и системы, изученные в §3, §4, уравнением типа С.Л.Соболева.

Глава_2 посвящена развитию результатов главы I в случае, ко -гда обобщенные воздействия на с.р.п. носят импульсный, точечный или импульсно-точечный характер. Такие воздействия имеют очень простую практическую реализацию, однако для корректного иоследо -вания связанных с ниш задач требуется привлечение довольно сложного аппарата обобщенных функций конечного порядка.

В §1 осуществляется постановка задач импульсно-точечной оп -типизации с.р.п. Вводятся шкалы банаховых пространств, в которых изучается функционирование систем. Наличие импульсно-точечного воздействия эквивалентно наличию в правой части управления математической модели задачи функций вида

{= 118 (± с }х-хс)

Управление ^ определяется набором (¿¿/'

В §2 доказывается существование оптимального импульсного управления с.р.п. Сложность решения этой задачи усугубляется нелинейной зависимостью состояния системы от управляющих воздейст -вий, что приводит к неединственности решения оптимизационной задачи.

Доказано, что существует последовательность управлений слабо сходящаяся к оптимальному, следовательно,задача оптимизации мо -жет не являться корректно поставленной в выбранной метрике, что может вызвать значительные трудности при численной реализации приближенных методов. Это обстоятельство преодолевается путем регуляризации управления.

В §3 получен явный вид для градиента критерия качества задачи импульсной оптимизации, квадратичного по состоянию с.р.п.

л л

где трС^х) - решение сопряженной задачи

& - реиение граничной задачи, описывающей с.р.п. с управляющим воздействием

В этом параграфе доказана непрерывность приведенного градиента по управлению ( теорема 2.3.2 ) .

В §4 изучен случай, когда оптимальное импульсное управление с.р.п. существует, но гладкости решения сопряженной задачи не -достаточно для корректного определения градиента критерия качества. Такая ситуация характерна, например, для параболических и псевдопараболических систем с критерием качества

Для преодоления возникающих трудностей применяется регуляризация управления. Правая часть уравнения с.р.п. осредняется следующим образом:

£ х)-*/и)£ (т)^(-б - % /г1

где е '), .с?о, = О,

при ¿>£(*)*(Ь

И1

Рассматривается задача

Доказывается существование оптимального регуляризованного управления ( теорема 2.4.1) и слабая сходимость последова -тельности оптимальных управлений регуляризованных задач к опти -мальному управлению исходной задачи при £—-О ( теорема 2.2.2). Далее, в теореме 2.4.3, устанавливается явный вид градиента критерия качества регулярнаованной задачи

Гас1 Д а) * Щ*>6(*г*>ъ К**;

а

где г/-£ х) - решение сопряженной задачи с правой частью

. Доказано, что этот градиент удовлетворяет условию Липшица.

Аналогичные результаты получены в теореме 2.4.4 в случае более удобной для практики регуляризации управления, а именно

I = й^а^м,

если [¿¿'Х'^ Те ' ' | 0 , в противном случае.

Тогда

л / ^к у\ (/

В §5 задача минимизации функционала качества на

бесконечном пространстве заменяется, с помощью параметризации управления, на соответствующую задачу в конечномерном пространстве. Такой подход позволяет уменьшить объем вычислений при реализации градиентных методов нахождения оптимального управления изучаемой с.р.п.

Рассматривается система, определяемая как решение задачи

Хи-11 ие ЯШ,

п. оэ

где (х) = ¿1 С^сй^ , }>;„1 - ортонормированный базис

в , а . ¿ = , таковы, что Щ.

Управлением является матрица С) г где

С - матрица размерности , строками которой являются

векторы С* - (С^ „ ... } ?сп) , ¿' = . Задача оптимального

управления сводится к наховдению минимума функционала

¡[и а, д:; с)а а

о.

на множестве допустимых управлений "Л*'[О, Т] *

где (Ч^) - замкнутое выпуклое ограниченное множество в

В теореме 2.6.1 доказано существование по крайней >лере одного оптимального управления, а в теореме 2.6.2 получен явный йщ для градиента критерия качества

Ч»аА д а Г с ; « (( /ТГ^х) £ Сгр юр (ос)с(Я)?^;

л &

где решение сопряженной задачи с правой частью

В §6 изучается проблема импульсной и импульсно-точечной управляемости с.р.п. На основании теоремы вложения и неравенств с негативной нормой доказана £ -управляемость изучаемыми с.р.п.

Определение 2.6.1. Система <Г -управляема множеством допустимых управляющих воздействий , если множество плотно в ь.СО), т.е. такое, что

/[иЪх; ТсК2±Е.

о

Теоремы 2.6.1, 2.6.2 \ Далее изучается параболическая сиси л

з с воздействиями

тема о<*и — т пиш + с воздействиями *—

Р ' ¿=<

„ • Управление осуществляется с помощью коэффици-

ентов { C¿K b¡-fp> моменты воздействия импуль -

i Г, . \ _

-i, Л,

сов, € Ь^СЛ). В теореме 2.6.3 получено необходимое и

достаточное условие импульсной управляемости изучаемой системой, которое имеет вид

где (а)' У'* собственные функ-

ции равномерно эллиптического дифференциального оператора вто -poro порядка В t соответствующие собственным числа).] Л- .

а

Определение 2.6.2. Система импульсно управляема в ¿^(Л) > если множество

¿•—оо

плотно в (£2).

В теореме 2.6.4 доказано, что изучаемая система не управляема за конечное число шагов. В теореме 2.6.5 получено необходимое и достаточное условие импульсной управляемости изучаемой систе -

мой в некотором конечномерном подпростанстве Нмс ¿^(л) за М шагов.

Определение 2.6.3. Система импульсно управляема за У/ шагов в &С Ь^ (Л) ( если множество {иСЬс,х;С), С& } , плотно в £ .

В главе 3 строятся и обосновываются численные методы оптимизации распределенных систем с обобщенным воздействием.

В §1 приведены постановки задач построения численных методов обобщенной оптимизации и описаны трудности, возникающие при их обосновании.

Из соотношений для градиентов, полученных в главе 2, видно, что для их нахождения необходимо решать прямую и сопряженную краевые задачи, описывающие состояние системы, дифференцировать и интегрировать некоторые выражения. Как правило, оти процедуры приходится осуществлять приближенными методами, поэтому вместо

Л?;

допустимыми являются лишь некоторые оценки (у) , $ - О/,... ) причём Су) -*- '(у) , & —- со , равномерно на

Ц^ . В данной главе строятся и обосновываются процедуры минимизации , использующие на каждой итерации соответствую -

щис приближения . Предложенный подход

близок к идее предельных экстремальных задач, использованной в работах Ю.М.Ермольева.

В §2 приведены достаточные условия сходимости алгоритмов нелинейного и стохастического программирования, с помощью которых изучаются предложенные в последующем численные методы оптимизации. Изучен алгоритм

где (у) - соответствующее приближение градиента функционала качества ^ (у) ; (■) - оператор проектирования на

множество ограничений задачи ££ . В теореме 3.1.1 доказано, что предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности ¿у5^ , 3 ~ О, £..., принадлежит множеству управлений ф* = {Ф*<= Щ} тСтъ у-Ч*) -0}

при выборе шагового множителя , 3 = 0,{, из условий

В §3 предложен другой способ учета ограничений,в котором вместо использования операции проектирования исходная задача заменяется решением задачи минимизации линейной функции в до -пустимой области. В этом случае последовательность управлений

генерируется следующим алгоритмом:

(у5-г /

где шаровый множитель , - 0,выбирается из тех же ус -ловий, что и раньше. В теореме 3.3.1 доказано, что если функция

принимает на множестве решений , определенном выше, не более чем счетное число значений, то предел любой сходящейся подпоследовательности - принадлежит .Далее

приведена лемма 3.3.1, позволяющая доказать сходимость приведенных методов в случае выбора шага, например, из условия полнота -гозоети.

Леша 3.3.1. Пусть для последовательности точек Гу^З^о выполняются условия:

1. К - компактное множество;

у

2. Если ¿¿-т. из * =и>' ф- ср*, то существует €о>0, длл которого при всех £ — £0 величина ^ оо , где

3. Существует непрерывная функция 'И/ (у) , принимающая на ф* не более чем счетное число значений, для которой

4. Если | из и> *- I-—О, то

Ф*

Vмс^')- ыс^*«)

Тогда имеет предел и все предельные точки последо -

вательности принадлежат .

В §4 для находцения приближенных решений одной из рассмотренных в главе I строится аналог метода Галёркина и доказывается сходимость в случаях различного выбора правых частей уравнения f(t,x) теоремы 3.4.1 и 3.4.2 .

В главе 4 развитые в предцдущих главах подходы распростра -няются на некоторые другие задачи оптимизации распределенных систем с обобщенным воздействием, имеющие самостоятельный интерес. В §1 изучается задача оптимального управления коэффициен -тами в системах с операторными коэффициентами гиперболического типа с обобщенным воздействием

^и - Й * Vе-

Управлением является вектор у> « сд ^

у е ££ = {[а0 {ал, а{ > О,

В теоремах 4.1.1, 4.1.2 доказано существование оптимальных управлений при различных воздействиях на систему. В теореме 4.1.3 утвердцается дифференцируемость квадратичного по состоянию систем критерия качества в . Его градиент

имеет вид _ , ,

/Г& Й ъиш ЪУ{<Р) ПЬЫ&.М&ссо)

Г Ъ ^ )г

где - решение сопряженной задачи с правой частью

^ = Ц (и(у) ~ с управлением </> = ^) •

В §2 изучена задача оптимального управления граничным временем на примере системы

где В - параболический оператор', ^ 10,Т] - искомое управление. Критерий качества ^Л^ имеет вид

%(<и) - ¡[иОс) - лъ*

В теореме 4.2.1 доказано, что для любых воздействий^сИ^. существует оптимальное управление изучаемой системой.

В теореме 4.2.2 для ^ е С (О,Г)® получен явный

вид градиента

- (г, у, х) -г ,

где <= являете.: решением сопряженной задачи с правой ча-

стью Л (иС-г)-^ ).

В последующих параграфах изучена задача импульсной оптимизации систем, математические модели которых содержат вектор некз -вестных параметров, над которым имеются независимые случайные

наблюдения . В этом случае возникает необходимость

кроме оптимизационной задачи решать также задачу идентификации вектора а, . В работе развивается подход, основанный на совместном решении этих задач. На этом пути возникают новые постановки, тесно связанные с предельными экстремальными задачами Ю.М.Ермо -льева. Необходимость разработки специфических методов решения описанных задач вызвана тем, что, хотя они являются задачами стохастического программирования, имеющиеся методы решения общих задач стохастического программирования не всегда можно эффективно применять для их решения.

В приложении приведены некоторые акты внедрения результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Изучены задачи оптимального управления линейными с.р.п. с нелинейными обобщенными воздействиями.

2. Полученные результаты распространены на некоторые конкретные с.р.п. :

1) псевдопараболические системы;

2) системы С.Л.Соболева;

3) гиперболические системы;

4) системы с операторными коэффициентами гиперболического или параболического типов;

5) системы, описывающие динамику вязкостратифицированной жидкости.

3. Доказано существование решения задачи импульсной и импуль-сно-точеччой оптимизации с.р.п.

4. Построены необходимые условия оптимальности в задачах им-пульсно-точечной оптимизации.

5. В случае недифференцируемости критерия качества задачи импульсной оптимизации проведена регуляризация управления. Доказана близость реаений регуляризационной задачи к решению исход -ной. Доказана дифференцируемость регуляриэованного критерия качества.

6. Изучены задачи импульсной управляемости. Для параболических систем получены необходимые и достаточные условия управляемости в пространстве L^CQ) и его конечномерных подпространствах.

7. Для решения задач импульсной оптимизации построены и обоснованы градиентные методы:

1) аналог метода проекции градиентов;

2) аналог метода условного градиента.

8. Построен и обоснован аналог метода Галёркина для числен -ного решения краевых задач, описывающих состояние изучаемых систем .

9. Изучены некоторые задачи с.р.п. с обобщенным воздействием, представляющие самостоятельный интерес:

1) оптимизация в коэффициентах с.р.п.;

2) оптимизация градиентного времени с.р.п.;

3) задачи совместной оптимизации и идентификации.

Основные положения диссертации изложены в еле,дующих работах:

1. Ляшко С.И. Метод линеаризации при решении экстремальных задач для функций с неизвестными параметрами // Математические методы исследования операций и теория надёжности. - Киев: ИК АН УССР. - 1978. - С. 13-20.

2. Ляшко С.И. Метод возможных направлений при решении экстремальных задач для функций с неизвестными параметрами /Дам же. - С. 20-24.

3. Ляшко С.И. Метод нахождения приближенного решения задачи Коши с операторным коэффициентом гиперболического типа // Докл. АН УССР. - 1979. - 247, № 3. - С. 546-549.

4. Ляшко С.И. Приближенное решение задач управления с one -раторным коэффициентом гиперболического типа. - Киев, 1982. -33 с. - ( Препр./ АН УССР. Ин-т кибернетики им.В.М.Глушкова; 82-34) .

5. Ляшко С. И. Импульсное оптимальное управление линейными системами с распределенными параметрами//Докл. АН СССР. — 1984.— 278, № 2. — С. 285—287.

6. Ляшко С. И. Управление граничным временем в некоторых системах с распределенными параметрами//Кибернетика. — 1984. — №6.— С. 114—116.

7. Ляшко С. И. Некоторые вопросы импульсно-точечного управления псевдопараболическими системами//Укр. мат. журн.— 1985.—37, №3.— С. 368—371.

8. Ляшко С. И. О разрешимости псевдопараболических уравнений // Изв. вузов. Математика. — 1985.—№9. — С. 71—72.

9. Ляшко С. И. Приближенное решение задач импульсного оптимального управления//Докл. АН УССР. — 1986. — № 2. — С. 60—62.

10. Ляшко С. И. Оптимальное управление коэффициентами для некоторых систем с распределенными параметрами // Дифферент, уравнения. — 1986. — 22, № 3. — С. 458—462.

11. Ляшко С. И. Импульсно-ючечное управление псевдопараболическими системами // Кибернетика. — 1986. — № 2. — С. 122—123.

12. Ляшко С. И. О регуляризации задач импульсно-точечного управ-л?ния псевдопараболическими системами // Кибернетика и вычнел. техника. — 1986. — Вып. 71. — С. 25—27.

13. Ляшко С. И. Численные методы решения задач оптимального импульсного управления//Журн. вычисл. математики и мат. физики.— 1987. — 27, Ла 3. — С. 470—475.

14. Ляшко С. И. О разрешимости смешанных краевых задач с операторными косффициентами//Успехи мат. наук. — 1987. — 42, 3 (255).— С. 191—192.

15. Ляшко С. И. Дифферендируемость регуляризованного критерия качества при импульсно-точечном управл?нии пс.вдопараболическими системами // Кибернетика. — 1988. — А° 3. — С. 64—66.

В конце работы хочу отметить глубокую благодарность моим учителям академику АН УССР Ю. М. Ермольеву и доктору физико-математических наук, профессору В. П. Днденко за большую помощь при выполнении этой работы.

Подп. в печ. 26 01.90. БФ 18702. Формат 60X84/16. Бум. офс. Офс. печ. Усл. печ. л. 1,16. Усл. кр.-отт. 1,16. Уч.-изд. л. 1,06. Зак. 162. Тираж 100 экз. Бесплатно.

Редакциоцно-издатгльскии отдел с полиграфическим участком Института кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР 252207 Киев 207, проспект Академика Глушкова, 20