автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимизация противоударной защиты многомассовых упругих объектов

На правах рукописи

ПУРЦЕЗОВ Сергей Васильевич

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОТИВОУДАРНОЙ ЗАЩИТЫ МНОГОМАССОВЫХ УПРУГИХ ОБЪЕКТОВ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2005

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

Д. В. Баландин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор

доктор технических наук профессор

В. И. Ерофеев В. Н. Комаров

Ведущая организация:

Институт проблем механики Российской академии наук

Защита диссертации состоится "2СГ 0«сТ. 2005г. в //часов на заседании диссертационного совета Д. 212.166.13 при ННГУ им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23,2 корп., конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ННГУ им. Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан С^ЧТ". 2005г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.166.13

кандидат физико-математических на доцент

В .П. Савельев

15215

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Средства эффективной защиты человека и оборудования от ударов необходимы при авариях на транспорте. Примером автомобильной аварии является лобовое соударение автомобиля о препятствие на дороге. Средствами защиты водителя и пассажиров в автомобиле служат ремни безопасности, воздушная подушка безопасности, а также конструкция передней части автомобиля. Примером аварии летательного аппарата является падение и удар о землю вертолета с неработающим двигателем. Средствами защиты экипажа и пассажиров вертолета служат изолятор удара, расположенный между креслом пассажира и полом вертолета, а также конструкция шасси вертолета. Примером аварии на водном транспорте является подводный взрыв, которому подвергается военно-морской корабль. Средством защиты электронного оборудования на корабле служит противоударная стойка, расположенная на палубе корабля. Во всех перечисленных случаях необходимы максимально эффективные средства безопасности.

Один из способов уменьшения уровня ударов и вибрации, передаваемых людям и оборудованию, это крепление сидений пассажиров и других устройств не твердо к основанию, а гибко, с помощью систем, называемых изоляторами ударов. Изоляторы суть управляющие устройства, которые реагируют на внешние динамические воздействия так, чтобы уменьшить нагрузки, действующие на защищаемый объект. В настоящее время существует большое разнообразие систем изоляции, от относительно простых пассивных изоляторов, состоящих из пружины и гидравлического демпфера, до достаточно сложных систем, содержащих датчики, которые измеряют воздействие и характеристики движения, и цифровые контроллеры.

Причиной обращения к теме противоударной изоляции сейчас являются высокие требования безопасности человека, предъявляемые к современным автомобилям и другим видам транспорта. Например, требование безопасности пешехода. Когда автомобиль сбивает пешехода, пешеход не должен получить тяжелую травму при ударе головой о капот автомобиля. Поэтому производители автомобилей заинтересованы в повышении эффективности средств безопасности.

Для разработчиков устройств травмобезопасности необходимо знать предельные возможности этих устройств, а также закон управления, реализующий эти возможности. Под предельными возможностями понимаются, например, минимальные геометрические размеры устройства при заданном качестве защиты от удара. Закон управления это

осциллограмма управляющей силы, прикладываемой устройством к защищаемому телу. Об осциллограмме управляющей силы нужна такая информация как наличие или отсутствие импульсных компонент. Важна оценка эффективности изолятора удара, если закон управления отличается от оптимального.

Впервые задача о предельных возможностях изоляции была сформулирована Е. Севиным в 1950-х годах. В задаче рассмотрена двухкомпонентная модель системы изоляции, когда в состав системы изоляции входят основание, подвергающееся удару, и защищаемый объект. Изолятор, расположенный между основанием и объектом, производит силу, зависящую от времени. Требуется определить такую силу, при которой отклонение объекта относительно основания минимально, а ускорение объекта ограничено заданной величиной. В терминах теории управления, это задача определения оптимального программного управления. Методы решения такой задачи для различных ударных воздействий были предложены В. В. Турецким, Е. Севиным и У. Пилки (1960-70-е гг.)

Наряду с задачей о предельных возможностях изоляции удара известна задача параметрического синтеза изолятора удара. В этой задаче задана силовая характеристика изолятора удара. Требуется определить оптимальные параметры силовой характеристики. В терминах теории управления, это задача определения оптимального управления с обратной связью. Для широкого класса пассивных у пру го-демпфированных изоляторов и мгновенного удара оптимальные параметры были определены Н. Н. Болотником (1983г.)

В теории оптимальных систем защиты от ударов анализ проводится на основе моделей механических систем, известных в биомеханике и автомобилестроении. Среди них трехкомпонентная модель, описывающая динамическое поведение позвоночника человека и прилегающей к нему части тела при продольном ударном нагружении, трехкомпонентная модель динамического поведения груди человека при поперечном ударе, двухкомпонентная модель механического поведения головы человека при ударе о твердую поверхность. Эти модели позволяют рассчитывать значения механических характеристик, на основе которых можно судить о степени тяжести травм, получаемых человеком в результате ударов. Перечисленные модели могут быть применены для оценки эффективности и оптимизации средств противоударной защиты человека на транспорте, на производстве, в спорте и других сферах деятельности, связанных с повышенной опасностью травм в результате ударов.

В настоящее время теория изоляции ударов для двухкомпонентных систем сформирована. Для некоторых видов внешних воздействий

получены аналитические решения задачи о предельных возможностях и задачи параметрического синтеза. Разработан графо-аналитический и численные методы решения задачи о предельных возможностях. Исключение составляет задача оптимального торможения головы человека при ударе о твердую поверхность. Особенность этой задачи в сложной форме критерия тяжести травмы головы. Насколько известно автору, детальный анализ задачи с таким критерием не проводился, хотя в частных случаях оптимальные управления строились (Й. Окамото (1994г.))

В трехкомпонентной модели системы изоляции в состав системы входят основание, подвергаемое удару, корпус и защищаемый объект. Корпус и защищаемый объект соединены пружиной и демпфером, а оптимизируемый изолятор располагается между основанием и корпусом. В задаче о предельных возможностях требуется определить силу изолятора, при которой смещение корпуса относительно основания минимизируется, а ускорение защищаемого объекта и смещение объекта относительно корпуса ограничены. Баландиным (2001 г) предложен численный метод решения такой задачи. Автору представляется полезным решение задачи о предельных возможностях изоляции в трехкомпонентной системе, в которой между объектом и корпусом также располагается оптимизируемый изолятор.

Одним из современных направлений в ударозащите является оптимальная противоударная изоляция с упреждающим управлением. При таком управлении изолятор удара начинает действовать не одновременно с началом ударного воздействия, а за некоторое время до него. Д.В.Баландиным и H.H. Болотником (2001 г) была доказана высокая эффективность оптимального изолятора с упреждающим управлением. Д.В. Баландин (2003г) определил оптимальные параметры упреждающего изолятора, реализованного на основе пружины без демпфера. Автор отмечает необходимость исследования влияния демпфирования на эффективность противоударного изолятора с упреждением.

Цель работы

Целью диссертационной работы является аналитический и численный расчет оптимальных систем защиты от ударов. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие основные задачи.

1. Исследование предельных возможностей изоляции удара в многомассовой системе, состоящей из основания, корпуса и защищаемого объекта, соединенных противоударными изоляторами. Защищаемый объект представляет собой набор масс, соединенных упругими и демпфирующими элементами.

2. Исследование предельных возможностей противоударных травмозащитных средств с учетом интегрального критерия ожидаемой тяжести травмы головы на основе модели удара по нормали к поверхности при поступательном движении головы человека.

3. Исследование возможностей защиты от удара с помощью изолятора упреждающего действия на основе линейного упругого элемента и квадратичного демпфера одностороннего действия.

4. Определение оптимальных параметров противоударного изолятора в трехкомпонентной системе изоляции удара и вибраций.

5. Разработка программной системы для численного расчета предельных возможностей защиты от ударов различной формы в двух- и трехкомпонентных системах.

Основные результаты, выносимые на защиту

1 Предложен метод решения задачи о предельных возможностях изоляции удара в многомассовой системе. Метод основан на решении исходной задачи со многими степенями свободы с помощью решения дополнительной задачи с меньшим количеством степеней свободы. Дополнительная задача решается, как правило, численными методами, но для некоторых систем с двумя или тремя степенями свободы она может быть решена аналитически. Определен класс задач, решаемых этим методом. Эффективность метода подтверждена примерами.

2 Найден оптимальный закон торможения головы человека при ударе головой о поверхность с противоударным покрытием. Установлено, что оптимальный закон торможения содержит участки, на которых величина ускорения головы очень велика. Число таких участков возрастает с увеличением скорости удара головой о поверхность и с уменьшением максимально допустимого значения критерия ожидаемой тяжести травмы головы.

3 Найдены оптимальные параметры упреждающего противоударного изолятора на основе упругого и демпфирующего элементов. Установлено, что настройка такого изолятора на упреждающий режим позволяет более чем в три раза уменьшить значение критерия качества по сравнению с неупреждающим режимом. Использование такого типа изолятора позволяет в полтора раза улучшить качество защиты по сравнению с оптимальным упреждающим изолятором на основе линейной пружины без демпфирования. Исследовано влияние ошибки в определении времени удара на качество противоударной изоляции.

4. Численно определены оптимальные параметры противоударного изолятора в трехкомпонентной системе изоляции удара и вибраций.

5. Разработана программная система для численного расчета предельных возможностей защиты от ударов различной формы в двух и трехкомпонентных системах.

Методы исследования

Применяемые в диссертации методы исследования используют математический аппарат теории дифференциальных уравнений, механики, математического анализа, а также теорию численных методов, включают в себя методы создания комплексов программ.

Обоснованность научных положений

Теоретические результаты, полученные в диссертации, представлены в виде аналитических выражений. Приведены формулировки задач и их математически строгие решения. Правильная работа программной системы проверена путем сравнения результатов численного решения и известных аналитических решений для некоторых частных случаев.

Научная новизна работы

1. Сформулирована оригинальная задача о предельных возможностях изоляции удара в многокомпонентной системе. В отличие от известных задач, в которых необходимо оптимизировать один противоударный изолятор, в данной задаче требуется оптимизировать два изолятора. Предложен метод решения такой задачи.

2. Аналитически решена задача об оптимальном законе торможения головы человека при ударе головой о поверхность с противоударным покрытием. В отличие от известных ранее результатов, установлено, что для некоторых случаев оптимальный закон торможения содержит не один, а несколько участков, на которых величина ускорения головы очень велика.

3. Рассмотрены оптимальные противоударные изоляторы упреждающего действия. Установлено, что противоударный изолятор, в состав которого входит демпфирующий элемент, является более эффективным, чем изолятор без такого элемента.

Практическая значимость работы

Результаты работы являются вкладом в теорию оптимальных систем противоударной защиты. Результаты работы могут быть использованы в технике при проектировании средств защиты человека от травм, причиняемых ударами, и средств противоударной защиты оборудования.

Предложенный метод решения задачи о предельных возможностях изоляции удара в многомассовой системе может быть использован при

проектировании таких устройств как автомобили, вертолеты, средства креплений кресел на колесах при перевозке в транспорте. Например, в современных автомобилях изоляция водителя и пассажиров от лобовых ударов обеспечивается не только системой ограничения их перемещения внутри автомобиля (ремни безопасности и воздушные подушки), но также с помощью соответствующих деформационных свойств передней части автомобиля. В этом случае роль основания, корпуса и объекта играют передний бампер автомобиля, кабина и водитель (пассажир) соответственно. Ремень и воздушная подушка могут рассматриваться как изоляторы между объектом и корпусом, а деформируемая передняя часть автомобиля - как дополнительный изолятор между основанием и корпусом.

Решение задачи о предельных возможностях изоляции с учетом критерия ожидаемой тяжести травмы головы может быть использовано при проектировании подкладок шлемов и удароизолирующих покрытий детских и спортивных площадок.

Оптимальный противоударный изолятор с упреждением может быть использован в вертолете для защиты пилота от травмы спины в случае аварийной посадки. Противоударный изолятор располагается между корпусом вертолета и сиденьем пилота. Время включения упреждающего изолятора рассчитывается на основе данных высотомера вертолета.

Разработанная в диссертации программная система может служить эффективным инструментом для инженера-проектировщика средств противоударной защиты на первых этапах проектирования удароизолирующих устройств.

Результаты диссертации использованы в работе по проектам РФФИ № 02-01-00157, № 04-01-00222, Программы поддержки ведущих научных школ России НШ-1627.2003.1, НШ-1729.2003.2, НШ-1638.2003.8, NSF BES-0302337, NATO PST.CLG.979409.

Апробация работы

Результаты, полученные в настоящей диссертации, доложены на трех всероссийских и международных конференциях:

- 6-я Всероссийская конференция «Нелинейные колебания механических систем,» Н. Новгород, сентябрь 2002;

- International conference "Physics and Control (PhysCon2003)," Russia, S.Petersburg, August 2003;

- 2nd international conference "Physics and Control (PhysCon2005)," Russia, S.Petersburg, August 2005.

Результаты работы также доложены на шестой и седьмой научных конференциях по радиофизике (Н. Новгород, 2002 и 2003), на

Нижегородской акустической научной сессии (Н. Новгород, 2002) и на восьмой Нижегородской сессии молодых ученых (Н. Новгород, 2003).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, в том числе в 4 статьях в реферируемых журналах и в 8 статьях в сборниках трудов конференций.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Содержит 43О страниц, включая список литературы из ЗУ наименований и иллюстраций.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбора темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, показана научная новизна результатов диссертации и дано краткое описание содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена анализу предельных возможностей противоударной изоляции. Противоударный изолятор считается управляющим устройством, которое производит силу, зависящую от времени Анализ предельных возможностей подразумевает решение задачи оптимального управления и нахождение такой силы изолятора, которая обеспечивает наилучшее качество защиты объекта от удара. Такой анализ позволяет определить максимальную эффективность противоударного изолятора независимо от его конструкции.

В разделе 1 1 приводится формулировка задачи 1 о предельных возможностях изоляции удара в трехкомпонентной модели механической системы. Система состоит из трех тел, моделируемых материальными точками: основания, корпуса массой mt и защищаемого объекта массой т2. Тела могут двигаться вдоль одной прямой линии. Основание соединено с корпусом изолятором удара, производящим силу F/(tJ, зависящую от времени. Корпус соединен с объектом упругим элементом с коэффициентом упругости к и демпфирующим элементом с коэффициентом демпфирования с. Основание подвергается ударному воздействию заданной формы aft), имеющему размерность ускорения. Движение тел (компонентов системы) описывается уравнениями т,х2 = -к(х, - х,) - с(х2 - х,), /л,*, = к{х2 - х,) + с(х2 -xJ-F, (t), хп = o(t),

где Х(и xi и X] - смещения основания, корпуса и объекта относительно инерциальной системы отсчета соответственно. Начальные условия имеют вид

*о(0) = *,(0) = дс2(0) = 0, i0(0) = ¿,(0) = *2(0) = v0, где v„ - заданная начальная скорость тел. Критериями качества защиты от удара являются максимальная сила, приложенная к защищаемому объекту J¡, максимальное смещение защищаемого объекта относительно корпуса J2 и максимальное смещение корпуса относительно основания J¡.

J, = max I ш,3с, (/) |, J, = шах | хг (() - x. (?) |, J} = max | x, (?) - x0(t) |.

/»|0.«| ~ " ге[0,л] le[0.tx>)

В задаче 1 о предельных возможностях изоляции удара необходимо определить такую зависимость силы изолятора от времени, при которой функционал J¡ минимизируется, а функционалы J¡ и J2 ограничены заданными величинами D¡ и D¡: J¡-¿)¡, J2^>2- Эта задача для ударов различной формы решается численно методами, описанными в главе 3. В данном разделе приведены примеры результатов решения задачи 1.

В раздече I 2 приводится формулировка и предлагается метод решения задачи 2 о предельных возможностях противоударной изоляции в многокомпонентной системе. Для описания идеи метода задача формулируется для трехкомпонентной модели механической системы. В системе корпус соединен с объектом с помощью изолятора удара, производящего силу F2(t). В задаче 2 необходимо определить такие зависимости сил F¡(t) и F,(t) от времени, при которых функционал J2 минимизируется, а функционалы J¡ и J¡ ограничены заданными величинами D¡ и D3: J¡

Метод состоит в решении исходной задачи на основе решения вспомогательной задачи. Вспомогательная задача (задача 3) формулируется для системы двух компонентов - основания и объекта, соединенных изолятором. Уравнения движения тел и начальные условия для вспомогательной системы имеют вид

mx = -F(t), хп = u(t), *0(0) = x(0) = 0, x0(0) = x(0) = v0, где v,i и V - смещения основания и объекта относительно инерциальной системы отсчета, т- масса объекта, F(t) - сила, производимая изолятором. Критерии качества изоляции - максимальная сила, прикладываемая к объекту.// и максимальное смещение объекта относительно основания J¿.

J. = max I mx(t) |, J2 = max I *(/) - xJt) |.

i€[O.X ] 16(0.x]

В задаче 3 необходимо найти силу F(t), при которой функционал J2 минимизируется, а функционал J¡ ограничен заданной величиной D¡: Ji^Di- Вспомогательная задача требует численного решения, но в некоторых случаях может быть решена аналитически.

Формулируется и доказывается утверждение, которое позволяет найти решение исходной задачи 2 на основе решения вспомогательной задачи 3

Утверждение. Пусть F[t) и J2mm - оптимальная сила изолятора и

минимальное значение функционала J2 в задаче 3. Тогда

(а) минимальное значение критерия J2 в задаче 2

если J2m,n < Dj, если J™" > D3,

(б) оптимальные силы Ft(t) и F2(t) определяются выражениями F(t), если J2mm<D„

/=¡(0 =

+ 1

F(t) +

Л""п-д Jr

/и,о-(0,, если y2mm>D„

/г2(о = т

Эффективность метода подтверждается примером.

В работе дается обобщение метода на случай, когда защищаемый объект представлен набором точечных масс, соединенных упругими и демпфирующими элементами. Дополнительными критериями качества изоляции являются максимальные смещения компонентов объекта относительно компонента, соединенного изолятором с корпусом. Показывается, что исходная задача может быть решена на основе решения вспомогательной задачи, у которой количество степеней свободы на одну меньше, чем у исходной.

В разделе 1.3 аналитически решается задача о предельных возможностях защиты головы противоударными покрытиями при ударе человека головой о твердую поверхность. Модель системы содержит защищаемый объект - голову, рассматриваемую как материальная точка, и основание, соединенные изолятором. Уравнения движения и начальные условия те же, что и для задачи 3. Критериями качества защиты служат максимальное отклонение объекта относительно основания (критерий в задаче 3) и критерий ожидаемой тяжести травмы головы (КОТТГ), который определяется выражением

-|2 5

1 ''

—— \rndt (*2-о

J. = шах

где Д- постоянный параметр, имеющий размерность времени, /( и (г • моменты времени е[0,°о), >/,.

В задаче требуется определить такую зависимость силы ГО) от времени, при которой функционал минимизируется при условии, что

функционал .// ограничен заданной величиной £>;: Задача решается

аналитически. Установлено, что оптимальная сила, производимая изолятором, содержит участки, на которых величина ускорения головы очень велика в отдельных точках. Число таких точек возрастает с увеличением скорости удара головой о поверхность и с уменьшением максимально допустимого значения КОПТ.

Наряду с этой задачей, решается задача, в которой функционал ограничен, а функционал J| минимизируется. Оказалось, что эти задачи двойственные, то есть результаты решения одной задачи можно использовать для нахождения решения другой задачи.

Проведено сравнение эффективности оптимального изолятора и изолятора, производящего силу другой формы - постоянную силу и силу со степенной зависимостью от времени. Показано, что эффективность таких изоляторов на 30 % ниже эффективности оптимального изолятора.

Вторая глава посвящена параметрическому синтезу противоударных изоляторов. Считается, что изолятор имеет заданную конструкцию, и сила, производимая изолятором, зависит от переменных состояния системы и набора параметров. Параметрический синтез подразумевает поиск оптимальных значений параметров, при которых обеспечивается наилучшая защита объекта.

В главе рассматривается двухкомпонентная модель противоударной системы с упреждением, которая может быть использована для защиты пилота от травм при аварийной посадке вертолета, и трехкомпонентная модель противоударной системы, используемая при проектировании стоек для защиты электронного оборудования от подводных взрывов на флоте.

В разделе 2 1 аналитически решается задача параметрического синтеза противоударного изолятора с упреждением на основе таких пассивных элементов как линейная пружина и квадратичный демпфер одностороннего действия Механическая система состоит из основания, подвергаемого мгновенному удару, и защищаемого объекта, соединенного с основанием изолятором. Движение объекта относительно основания описывается уравнением

ГО, если х < 0,

тх + кх + /(х,с)х = 0, }{х,с) = \

[сд:, если х > О,

где .у - смещение объекта относительно основания, т - масса объекта, Ье-коэффициенты упругости и демпфирования соответственно. Упреждающее управление изолятора реализуется путем предварительной деформации изолятора (сжатия пружины) на величину а и его освобождения в некоторый момент времени перед ударом. Это соответствует

начальным условиям

*(-/„) = fl, л(-/0) = 0. Считается, что в момент времени t=0 основание подвергается мгновенному удару, в результате которого скорость объекта относительно основания скачком меняется на величину v„\

х(+0) = *(-0), i(+0) = x(-0) + v0.

Критериями качества изоляции удара являются максимальная сила, приложенная к объекту, J, и максимальное смещение объекта относительно основания J2

J. = шах I mx{t) I, У, = max I x(t) I.

' «ä[0.x] 2 /е[0.ао)

В задаче необходимо найти такие коэффициенты упругости и демпфирования, а также величину предварительной деформации изолятора и время упреждения, при которых функционал J2 минимизируется, а функционал J1 ограничен заданной величиной Dt: Jt

Данная задача решена аналитически. Показано, что настройка пассивного изолятора с линейной упругостью и квадратичным демпфером одностороннего действия на упреждающий режим позволяет более чем в три раза уменьшить значение критерия качества по сравнению с неупреждающим режимом. Использование такого типа изолятора позволяет в полтора раза улучшить качество защиты по сравнению с оптимальным упреждающим изолятором на основе линейной пружины без демпфирования.

Проведена оценка эффективности изолятора в случае неточного знания времени упреждения t„. Оказалось, что при ошибке в 20% в определении времени упреждения величина функционала J2 увеличивается на 6% по сравнению с оптимальным значением, а функционала Jt - на 20%.

В разделе 2.2 численно решается задача параметрического синтеза изолятора в трехкомпонентной системе. Модель механической системы содержит защищаемый объект массой т2, корпус массой mi и основание. Основание и корпус связаны изолятором, состоящим из соединенных параллельно пружины и демпфера. Изолятор характеризуется коэффициентами упругости kt и демпфирования С;. Объект и корпус связаны изолятором такой же структуры с коэффициентами упругости к2 и демпфирования с2. Основание подвергается внешнему воздействию заданной формы a(t). Рассматриваются случаи ударного и вибрационного (гармонического) внешних воздействий. Уравнения движения тел и начальные условия имеют вид

т2х2 = -к2(х2 -х,)-с2(х2 -х,),

= к2(х2 -х,) + сг(х2-х^-к^х, -х0)~с,(х, -х0), х0 = ст(/),

*о(0) = .v, (0) = *2 (0) = 0, л:0(0) = х, (0) = *2(0) = О, где хо, X/ и х2 смешение основания, корпуса и защищаемого объекта соответственно относительно инерциальной системы отсчета. Критерии качества защиты от удара такие же, что и в задаче 1 главы 1. Критерием качества защиты от вибрации служит максимальная сила, приложенная к объекту, когда объект совершает установившиеся колебания:

J, = шах | m'xJt) |,

/е[/, .х]

где 11 - момент времени, после которого защищаемый объект совершает установившиеся колебания.

В задаче параметрического синтеза необходимо определить такие коэффициенты упругости и демпфирования с/ и к¡, при которых функционал J3 минимизируется, а функционалы Jj, J2 и J4 ограничены заданными величинами Dh D2 и D/. J ¡Фи J2^>2, и Л^л Задача решается численно методом построения линий уровня функционалов Jh J2, J3 и J4 на плоскости параметров (chkt). Интегрирование уравнений движения проводится с помощью пакета MATLAB.

Третья глава посвящена методам численного решения задач о предельных возможностях противоударных изоляторов в двух и трехкомпонентых системах. Задачи, решаемые этими методами, сформулированы в разделе 1.1. Методы основаны на сведении исходных задач к задаче линейного программирования. Применяемые методы известны в литературе. Особенностью настоящей работы является то, что на основе этих методов была создана программная система с удобным пользовательским интерфейсом, которая позволяет решать указанные задачи для ударных внешних воздействий различной формы. Описание пользовательского интерфейса приведено в главе.

В разделе 3 1 приведен метод решения задачи о предельных возможностях изоляторов, состоящий из двух частей. Сначала задача для трехкомпонентной системы, в которой не наложено ограничение на силу, производимую изолятором, сводится к задаче с ограничением на управляющую переменную Затем выполняется дискретизация уравнений движения системы и переход к задаче линейного программирования.

В pajdeie 3 2 приведено описание графического интерфейса программной системы. Программная система написана с помощью пакета MATLAB. Особенностью системы является возможность задания пользователем ударного воздействия необходимой ему формы.

Результатами вычислений являются осциллограммы оптимальной силы, производимой изолятором, и осциллограммы движения компонентов системы. Результаты вычислений могут быть сохранены в файл. Программная система работает как отдельное приложение и не требует, чтобы на ПК был установлен пакет МATLAB.

В заключении сформулированы основные результаты работы, выносимые на защиту.

Приложение содержит текст исходных файлов программной системы.

Автор искренне благодарен научному руководителю Д.В Баландину и Н.Н. Болотнику за постановки задач, помощь в работе и обсуждение результатов.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Пурцезов, С. В. Оптимальная защита системы с двумя степенями свободы от ударов и вибраций / С. В. Пурцезов // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2004. - № 5. - С. 25-28.

2. Пурцезов, С. В. Оптимизация параметров противоударного изолятора с упреждающим управлением / С. В. Пурцезов // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2004. - № 6. - С. 113-117.

3. Пурцезов, С. В. Оптимальное управление травмозащитными противоударными системами с учетом интегрального критерия ожидаемой тяжести травмы головы / Д. В. Баландин, Н. Н. Болотник, С. В. Пурцезов // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2005. - № 2. - С. 80-91.

4. Purtsezov, S. V. Impact isolation limiting performance for three-component model / D. V. Balandin, N. N. Bolotnik, W. D. Pilkey, S. V. Purtsezov // Journal of dynamic systems, measurement and control. - 2005. -Vol. 127, №3.-P. 463-471.

5. Пурцезов, С. В. Оптимизация характеристик системы изоляции ударов и вибрации. / Д. В. Баландин, С. В. Пурцезов // Труды (шестой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения M.T. Греховой. 7 мая 2002 г. - Н. Новгород, 2002. - С. 249-250.

6 Пурцезов, С. В. Адаптивная система активного гашения вибраций / Р. О. Масленников, С. В. Пурцезов, А. В. Хоряев // Труды Нижегородской акустической научной сессии. - Н. Новгород, 2002. - С. 340-342.

7. Пурцезов, С. В. Оптимизация характеристик противоударных изоляторов в системе с двумя степенями свободы / Д. В. Баландин, А. В. Хоряев, С. В. Пурцезов // Тезисы докладов VI научной конференции «Нелинейные колебания механических систем.» - Н. Новгород, 2002. - С. 18-19.

8. Пурцезов, С. В. Оптимальная защита системы с двумя степенями свободы от ударов и вибрации / С. В. Пурцезов // Труды 8 Нижегородской сессии молодых ученых. - Н. Новгород, 2003.

9. Пурцезов, С. В. Упреждающее управление в системах противоударной изоляции / С. В. Пурцезов // Труды (Седьмой) Научной конференции по радиофизике, посвященной 90-летию со дня рождения B.C. Троицкого. 7 мая 2003 г. - Н. Новгород, 2003. - С. 214-215.

10. Purtsezov, S. V. Optimal protection of a two-degree-of-freedom system from shock and vibration / S. V. Purtsezov // Proc. of the international conference "Physics and control." - Saint Petersburg, Russia, 2003. - P. 12061208.

11. Purtsezov, S. V. An optimal control problem for head injury criterion /D V Balandin, N. N. Bolotnik, W. D. Pilkey, S. V. Purtsezov // Proc. of the 2nd international conference "Physics and control." - Saint Petersburg, Russia, 2005. - P. 130-133.

12. Purtsezov, S. V. Optimization of the parameters of shock isolators with preview control / W. D. Pilkey, S. V. Purtsezov // Proc. of the 2nd international conference "Physics and control." - Saint Petersburg, Russia, 2005. - P. 330334.

Подписано в печать 12.09.2005. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. I. Зак. 1223. Тир. 100.

Типография Нижегородского госуниверситета Лицензия № 18-0099 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

í

»16258

РНБ Русский фонд

2006-4 15815

г*

Введение.

Глава 1. Предельные возможности противоударного изолятора.

1.1 Предельные возможности изоляции удара в трех-компонентной системе

1.2 Оптимизация изоляторов в трех-компонентной системе.

1.2.1 Модель механической системы и уравнения движения.

1.2.2 Анализ предельных возможностей. Задача оптимального управления

1.2.3 Пример. Мгновенный удар.

1.2.4 Обобщение для модели со многими степенями свободы.

1.2.5 Пример для системы с тремя степенями свободы.

1.3 Предельные возможности противоударной защиты человека с учетом интегрального критерия ожидаемой тяжести травмы головы.

1.3.1 Интегральный критерий ожидаемой тяжести травмы головы.

1.3.2 Постановка задачи оптимального управления.

1.3.3 Построение решения.

1.3.4 Анализ и обсуждение результатов.

1.3.5 Минимизация функционала КОТТГ при ограниченном пути торможения

1.3.6 Другие законы управления.

Средства эффективной защиты человека и оборудования от ударов необходимы при авариях на транспорте. Примером автомобильной аварии является лобовое соударение автомобиля о препятствие на дороге. Средствами защиты водителя и пассажиров в автомобиле служат ремни безопасности, воздушная подушка безопасности, а также конструкция передней части автомобиля. Примером аварии летательного аппарата является падение и удар о землю вертолета с неработающим двигателем. Средствами защиты экипажа и пассажиров вертолета служат изолятор удара, расположенный между креслом пассажира и полом вертолета, а также конструкция шасси вертолета. Примером аварии на водном транспорте является подводный взрыв, которому подвергается военно-морской корабль. Средством защиты электронного оборудования на корабле служит противоударная стойка, расположенная на палубе корабля. Во всех перечисленных случаях необходимы максимально эффективные средства безопасности.

Один из способов уменьшения уровня ударов и вибрации, передаваемых людям и оборудованию, это крепление сидений пассажиров и других устройств не твердо к основанию, а гибко, с помощью систем, называемых изоляторами ударов. Изоляторы суть управляющие устройства, которые реагируют на внешние динамические воздействия так, чтобы уменьшить нагрузки, действующие на защищаемый объект. В настоящее время существует большое разнообразие систем изоляции, от относительно простых пассивных изоляторов, состоящих из пружины и гидравлического демпфера, до достаточно сложных систем, содержащих датчики, которые измеряют воздействие и характеристики движения, и цифровые контроллеры.

Причиной обращения к теме противоударной изоляции сейчас являются высокие требования безопасности человека, предъявляемые к современным автомобилям и другим видам транспорта. Например, требование безопасности пешехода. Когда автомобиль сбивает пешехода, пешеход не должен получить тяжелую травму при ударе головой о капот автомобиля. Поэтому производители автомобилей заинтересованы в повышении эффективности средств безопасности.

Для разработчиков устройств травмобезопасности необходимо знать предельные возможности этих устройств, а также закон управления, реализующий эти возможности. Под предельными возможностями понимаются, например, минимальные геометрические размеры устройства при заданном качестве защиты от удара. Закон управления это осциллограмма управляющей силы, прикладываемой устройством к защищаемому телу. Об осциллограмме управляющей силы нужна такая информация как наличие или отсутствие ^ импульсных компонент. Важна оценка эффективности изолятора удара, если закон управления отличается от оптимального.

В теории оптимальных систем защиты от ударов анализ проводится на основе моделей механических систем, известных в биомеханике и автомобилестроении. Среди них трехкомпонентная модель, описывающая динамическое поведение позвоночника человека и прилегающей к нему части тела при продольном ударном нагружении, трехкомпонентная модель динамического поведения груди человека при поперечном ударе, двухкомпонентная модель механического поведения головы человека при ударе о твердую поверхность. Эти модели позволяют рассчитывать значения механических характеристик, на основе которых можно судить о степени тяжести травм, получаемых человеком в результате ударов. Перечисленные модели могут быть применены для оценки эффективности и оптимизации средств противоударной защиты человека на транспорте, на производстве, в спорте и других сферах деятельности, связанных с повышенной опасностью травм в результате ударов.

Теория изоляции удара является одним из направлений в общей теории управления. Современная теория управления состоит из двух областей - теория автоматического регулирования и теория оптимального управления. Теория автоматического регулирования традиционно имеет дело с синтезом законов управления с обратной связью, обеспечивающих заданные качественные свойства управляемых систем. Эти свойства в основном связаны со стабильностью определенных движений системы, которые управляющее устройство пытается сохранить. Предмет изучения теории оптимального управления это конструирование законов управления (программного управления или управлеения с обратной связью), которые обеспечивают наилучший режим работы управляемой системы. Чтобы выделить наилучший режим работы, вводится критерий качества (оптимизационный критерий), который количественно оценивает качество процесса управления.

J1. С. Понтрягин [54] и Р. Беллман [42] заложили основы современной теории оптимального управления. JI. С. Понтрягин с коллегами сформулировали и доказали принцип максимума. Этот принцип обеспечивает необходимые условия оптимальности для широкого класса задач оптимального управления и дает эффективный математический инструмент для практического вычисления управлений с открытой связью. Р. Беллман сформулировал принцип оптимальности и предложил метод динамического программирования, который позволяет конструирование поля оптимальных траекторий при программном управлении и вычисление оптимального управления с обратной связью.

Несколько книг было опубликовано по теории изоляции ударов с точки зрения систем управления. В книге М. 3. Коловского [20] поведение систем изоляции исследуется с точки зрения нелинейной механики. В книге приводится классификация ударных демпферов в соответствии с их предназначением и механической структурой, а также классификация общих типов внешних воздействий. Подробное представление различных математических методов дается для анализа динамики систем с одной и многими степенями свободы для различных типов воздействий. Системы изоляции рассматриваются с точки зрения теории автоматического регулирования. Исчерпывающее представление современных подходов к защите объектов от ударных и вибрационных воздействий может быть найдено в справочнике «Вибрации в технике». (К. В. Фролов [7])

Задача о предельных возможностях изоляции.

Впервые задача о предельных возможностях изоляции была сформулирована Е. Севиным в 1950-х годах. В задаче рассмотрена двухкомпонентная модель системы изоляции, когда в состав системы изоляции входят основание, подвергающееся удару, и защищаемый объект.

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 1, которая состоит из защищаемого тела (объекта), соединенного с прямолинейно движущимся основанием с помощью изолятора. Изолятор допускает смещение тела относительно основания в направлении движения основания. Движение тела по отношению к основанию описывается скалярным дифференциальным уравнением тх = -тх0 + F(t), (0.1.1) где F(t) - сила, прикладываемая изолятором к объекту и зависящая от времени. Будем называтье ее также характеристикой изолятора.

Введем обозначение и = -F(t)/m, v = и запишем (0.1.1) в виде

3C + M = V(0- (0.1.2)

Здесь х - координата, описывающая смещение защищаемого объекта (тела) относительно основания; -и - управляющая сила (характеристика изолятора), приложеная к защищаемому объекту изолятором деленая на массу объекта; -v(/) -ускорение основания по отношению к инерциальной системе отсчета. Величина v(/) описывает внешнее воздействие.

Объект

Рис. 1. Механическая система Пусть начальные условия в момент t - 0 нулевые: х(0) = 0, *(0) = 0. (0.1.3)

В качестве критериев качества изоляции берется максимум модуля смещения тела относительно основания, = max | x(t) I, fe[0,oo)

0.1.4) и максимум модуля силы, действующей на тело,

J2(u)= max | u(t) |. е[0,оо)

0.1.5)

Первый критерий определяет габаритные размеры системы изоляции. Второй критерий характеризует нагрузку, испытываемую защищаемым телом во время удара.

Сформулируем задачу о предельных возможностях изоляции в двух-компонентной системе.

Задача 1. Для системы, описываемой (0.1.2) с начальными условиями (0.1.3), найти управляющую функцию "0(0> которая является кусочно непрерывной, непрерывной справа во внутренних точках интервала [0,оо), и такую, что где и, - заданное положительное число.

Задача 1 соответствует требованию минимизации габаритных размеров системы изоляции при ограничении на нагрузку защищаемого объекта. В терминах теории управления, это задача определения оптимального программного управления.

В. В. Турецкий [10] установил, что характеристика оптимального изолятора это кусочно-непрерывная функция, и она может быть всегда сконструирована так, чтобы принимать значения +и,, -м, или v(/). В свете этого свойства В. В. Турецким [15] и Е. Севиным и У. Пилки [68] был предложен графико-аналитический метод для конструирования оптимального управления В другой публикации Турецкого [14] дана оценка максимального числа точек переключения в зависимости от числа временных интервалов, на которых модуль величины | v(f) | внешнего воздействия превышает и,.

В работе Турецкого [10] сделаны оценки минимального и максимального смещений защищаемого тела. Для случаев, в которых внешнее воздействие имеет форму прямоугольного импульса, полуволны синуса или четверть-волны косинуса

Jy(u0) = minfJ,^) | J2(u) <u,}, и

0.1.6) получены аналитические выражения, которые позволяют определить предельные возможности защиты.

В. Г. Саранчук и В. А. Троицкий [30] решили задачу минимизации максимального смещения системы с одной степенью свободы, подвергающейся периодическому воздействию. Рассмотрено только установившееся движение с периодом равным периоду воздействия.

Много численных методов для решения различных задач оптимального управления были разработаны и проверены. Основные численные методы оптимального управления представлены, например, в книгах Ф. JI. Черноусько и Н. В. Баничука [35], Р. П. Федоренко [34] и Н. Н. Моисеева [23]. Многие из этих методов с модификациями, допускаемыми для особенностей задач оптимальной изоляции ударов, могут быть использованы для вычисления оптимальных управлений для систем изоляции.

Осложняющей особенностью многих задач оптимальной изоляции ударов является то, что критерии качества изоляции в этих задачах представлены неаддитивными функционалами вида J (и) = max Ф(х(7), и (х(7)), 0, где х - вектор

Фо.П переменных состояния системы, и - векторная функция управления, Ф - заданная функция, а /0 и Т - моменты начала и конца движения соответственно. Иногда функционалы такого типа называют функционалами типа максимум. Задачи оптимального управления с такими функционалами не могут быть решены методами традиционного оптимального управления. Поэтому были разработаны специальные подходы к таким задачам.

Есть ряд методов для численного решения задач оптимального управления с функционалами типа максимум. Один из самых простых включает разбиение временного интервала [tQ,T] на подинтервалы и представлением функции управления константой или линейно меняющейся на каждом из подинтервалов. В таком случае исходная задача оптимального управления может быть сведена к минимаксной задаче для функции конечного числа переменных, в которой максимум берется по всем точкам дискретизации, а минимум - по значениям переменных управления на подинтервалах. Вычисление пробного значения функции, для которой будет взят минимакс, может потребовать численного интегрирования уравнений движения для указанного набора значений переменной управления на интервалах дискретизации.

Теория минимакса функций конечного числа переменных и численные алгоритмы, основанные на этой теории, представлены в книге В. Ф. Демьянова и В. Н. Малоземова [19]. Один из подходов к анализу предельных возможностей систем изоляции ударов был приложен Т. К. Виноградовой [9].

Привлекательной особенностью методов, основанных на дискретизации функции управления, является их простота. Однако эти методы требуют больших вычислительных ресурсов, поскольку во многих практических случаях дискретная сетка должна быть очень подробной, чтобы обеспечить высокую точность решения, что может вести к вычислительным трудностям.

Другой подход включает соответствующую аппроксимацию функционала типа максимум аддитивным функционалом (например, интегральным или конечным функционалом), который может быть минимизирован традиционными методами оптимального управления. Такой подход использовали Ф. Риез и В. Нажи [64]. К. Т. Корнелиус [44] применил этот подход для оптимизации параметров ударного изолятора с линейной пружиной и билинейным демпфером для системы с одной степенью свободы.

Иногда, если функция Ф независима от и, функционал типа максимум заменяется конечным функционалом с неизвестным временем окончания процесса. Этот подход был использован, например, А. Г. Кузнецовым и Ф. JI. Черноусько [21] и В. А. Троицким [33]. Условие исчезновения полной производной Ф(х(£),0 по времени считается условием окончания процесса. В этот момент выполняется необходимое условие экстремума функции Ф(х(0,0- Такой подход может быть эффективным только для редких случаев, в которых первый локальный экстремум функции Ф(х(0,0 является глобальным максимум этой функции на интервале [/0,Г] для любого управления и. В других случаях, использование этого метода проблематично.

Из-за практической важности задач оптимального управления с функционалами типа максимум (в частности, в связи с оптимальной изоляцией ударов), были разработаны численные методы, которые учитывают специфические математические особенности этих задач. Е. Д. Викторов и Р. М. Ларин [8] предложили вычислительный алгоритм, который является модификацией метода градиентного спуска в пространстве управляющих функций (JI. И. Шатровский [36]) для функционалов типа максимум. Этот метод был применен для решения задачи оптимальной изоляции, поставленной В. В. Турецким [10] для системы с одной степенью свободы для двух случаев внешнего воздействия.

Ряд методов для численного решения задач оптимального управления с функционалом вида max, Ф(х(/),/) был разработан И. Р. Силиной [31] и И. Р. Тимошиной и И. Р. Шаблинской [32]. Эти методы основаны на необходимых условиях оптимальности. Рассматривается, что функция Ф(х(/),/) имеет конечное число точек локального экстремума для допустимого управления. Это свойство допускает сведение исходной задачи оптимального управления к поиску экстремума в конечномерном пространстве, что является более легким с вычислительной точки зрения. Эти методы были применены к анализу предельных возможностей систем изоляции ударов.

В книге Е. Севина и У. Пилки [68] для решения задачи о предельных возможностях изоляции применяется метод динамического программирования.

Б. П. Ванг и У. Пилки [73] предложили метод приближенного решения задачи о предельных возможностях виброизоляции для линейных многомассовых систем, подверженных периодическому воздействию. Для установившихся движений управление искалось в виде укороченного ряда Фурье в терминах гармоник, чьи частоты кратны частотам внешнего воздействия. Коэффициенты ряда Фурье определяются путем численного решения задачи нелинейного программирования так, чтобы обеспечить минимум критерия качества. Другие аспекты задачи, включая численные примеры, рассматриваются в Е. Севин и У. Пилки [68], Дж. С. Макмунн [57] и Дж. С. Макмунн и Р. Планкет [58].

Модификация метода оптимизации, использующего кусочно-непрерывную аппроксимацию в применении к нелинейным системам со многими степенями свободы была разработана У. Пилки, У. Канг и У. Шрамм [61].

В работе Р. М. Ларина [22] представлен численный алгоритм для оптимизации параметров в системе с одной степенью свободы. Минимизируемым критерием качества является максимальное смещение защищаемого тела. Метод основан на сведении исходной задачи к задачи нелинейного программирования, которая решается методом градиентного спуска в пространстве параметров. На каждой итерации, чтобы рассчитать целевую функцию, необходимо интегрировать уравнение движения и рассчитывать максимальное смещение защищаемого объекта.

М. X. Хсяо, Е. Дж. Хог и Дж. С. Арора [50] разработали численный метод для оптимизации динамических систем со многими степенями свободы для случая, где критерий минимизации имеет форму максимума функции переменных состояния системы. Подход включает эквивалентное замещение функционала типа максимум интегральной функцией и применение метода множителя Лагранжа. Проведен рассчет оптимальных параметров изоляторов с пружиной и демпфером в системах с одной и двумя степенями свободы.

Д. В. Баландин, Н. Н. Болотник и У. Пилки [39] привели численные методы для решения задачи о предельных возможностях изоляции. Обсуждается техника, основанная на аппроксимации задачи непрерывно-временного оптимального управления дискретно-временной задачей. Этот метод позволяет свести сложную задачу оптимального управления к менее сложной задаче ограниченной оптимизации в конечномерном пространстве (задаче математического программирования). Особенное внимание уделено случаям, когда задача о предельных возможностях изоляции может быть сведена к задаче линейного программирования. Графо-аналитическим методом решена задача о предельных возможностях защиты от удара в виде полуволны синуса.

В трехкомпонентной модели системы изоляции в состав системы входят основание, подвергаемое удару, корпус и защищаемый объект. Корпус и защищаемый объект соединены пружиной и демпфером, а оптимизируемый изолятор располагается между основанием и корпусом. В задаче о предельных возможностях требуется определить силу изолятора, при которой смещение корпуса относительно основания минимизируется, а ускорение защищаемого объекта и смещение объекта относительно корпуса ограничены. Д. В. Баландиным и Н. Н. Болотником (2001 г) [3] предложен численный метод решения такой задачи. Автору представляется полезным решение задачи о предельных возможностях изоляции в трехкомпонентной системе, в которой между объектом и корпусом также располагается оптимизируемый изолятор.

Задача о предельных возможностях противоударной защиты человека с учетом интегрального критерия ожидаемой тяжести травмы головы.

В задачах защиты оборудования от ударов критериями качества защиты объекта от ударов являются максимальное ускорение (перегрузка) защищаемого объекта и его максимальное смещение относительно основания, подвергающегося удару. Когда же речь идет о травмозащите человека, наряду с этими критериями используются дополнительные, соответствующие травмам различных частей тела человека, например, головы и груди. Показателем, характеризующим тяжесть травмы головы является интегральный критерий ожидаемой тяжести травмы головы (КОТТГ).

В основе КОТТГ лежат результаты биомеханических исследований влияния величины ускорения, которое испытывает мозг при ударном нагружении черепа, и его длительности на характер и тяжесть травмы мозга. Эти исследования впервые проводились в 50-е годы прошлого столетия Е. С. Гурджияном совместно с коллегами в Государственном университете им. А. Уэйна (Детройт, Мичиган, США) [47]-[49]. С. У. Гэдд (1966) [49] и Дж. Версаче (1971) [71] предложили количественные интегральные меры тяжести травмы головы, которые легли в основу современного определения КОТТГ В настоящее время этот критерий принят в ряде стран (в частности в США) как стандартный показатель безопасности транспортных средств и некоторых сооружений (например, спортивных площадок [70]) в отношении травмы головы и как основной критерий качества противоударных шлемов.

Критерий ожидаемой тяжести травмы головы определяется выражением

2.5 где a(t)- абсолютная величина ускорения (центра масс) головного мозга как функция времени, А- постоянный параметр, имеющий размерность времени. Критерий отражает влияние на тяжесть травмы как величины ускорения головы, вызванного ударным импульсом (выражение в квадратных скобках есть средняя величина ускорения на промежутке времени < / < t2), так и его продолжительности (среднее ускорение, возведенное в степень 2.5, умножается на длину интервала [tvt2]). С увеличением каждого из этих факторов ожидаемая тяжесть травмы возрастает.

Насколько известно автору, детальный анализ задач оптимального управления с критерием КОТТГ до сих пор не проводился, хотя в частных случаях оптимальные управления строились. Известно, например, решение задачи об оптимальном торможении материальной точки, движущейся вдоль прямой с заданной начальной скоростью. Минимизируется тормозной путь при условии, что значение КОТТГ не превышает заданной допустимой величины. Особенностью этой задачи является то, что параметр А, входящий в определение КОТТГ, полагается равным времени торможения. Эта модель позволяет анализировать предельные возможности противоударной изоляции головы с помощью покрытий поверхностей, о которые могут происходить удары, или шлемов. В [60] приведено (без обоснования) аналитическое решение данной задачи в связи с проблемой снижения тяжести травмы головы, причиняемой ударом о капот в случае наезда автомобиля на пешехода. В [43] построено численное решение аналогичной задачи в связи с анализом предельных возможностей противоударных шлемов.

В [51] изучаются математические особенности функционала КОТТГ в случае, когда функция a(t) ускорения центра масс головы, входящая в определение КОТТГ, определена на конечном интервале времени, равна нулю на концах этого интервала, непрерывна и кусочно-дифференцируема, а параметр Д совпадает с длиной интервала, на котором задана функция a(t). Рассмотренный в [51] класс функций a(t) охватывает все практически реализуемые случаи. Поэтому вычислительные алгоритмы, предложенные в обсуждаемой работе на основе проведенного анализа, вполне пригодны для определения верхней границы КОТТГ т.е. максимума КОТТГ по всем Д) в процессе обработки результатов измерений в крэш-тестах. Вместе с тем при теоретическом исследовании задач, связанных с КОТТГ, в частности при решении задач оптимального управления, целесообразно рассматривать более широкий класс функций a(t), а именно интегрируемых (вообще говоря, в несобственном смысле) на заданном интервале времени.

Задача параметрического синтеза противоударного изолятора.

В некоторых случаях задача поиска оптимального управления может быть сведена к задаче параметрической оптимизации. В задаче поиска оптимального управления сила, прикладываемая изолятором к защищаемому объекту, зависит только от времени. Однако в том случае, когда структурная конфигурация противоударного изолятора была определена, сила зависит от переменных состояния и набора параметров изолятора. Необходимо выбрать параметры изолятора оптимальным образом. Такой подход был описан В. В. Турецким [12] и JI. А. Шмитом и P. JI. Фоксом [66].

В. В. Турецкий [13], используя этот подход, определил характеристики оптимального изолятора для системы с одной степенью свободы, подверженной прямоугольному ударному импульсу. Оптимальные параметры были найдены для линейного изолятора с демпфированием и изолятора с сухим трением.

Н. Н. Болотник [6] из широкого класса изоляторов, состоящих из пружины и демпфера со степенными характеристиками, определил набор изоляторов, которые обеспечивают предельные возможности противоударного изолятора, и рассчитал их оптимальные параметры.

В. В. Турецкий, М. 3. Коловский и Л. С. Мазин [16] для решения задачи параметрического синтеза упруго-демпфированного изолятора предложили метод, основанный на использовании осциллограммы оптимального управления.

Е. Севин и У. Пилки [68] предложили численный метод для определения оптимальных параметров систем изоляции ударов, который не требует интегрирования уравнений движения на каждой итерации, но требует, чтобы задача о предельных возможностях была решена заранее. Основой метода служит утверждение, что характеристики хорошо спроектированной системы должны быть близки к характеристикам, обеспечивающим предельные возможности изоляции.

Поэтому в этом подходе параметры управления с обратной связью выбраны такими, что осциллограмма управляющей силы при программном управлении лежит как можно ближе к оптимальному программному управлению, соответствующему предельным возможностям. Практическое применение этого метода ограничено. Однако, он может быть использован для предварительных вычислений, например, с целью определения, позволяет ли выбранный проект системы изоляции подстройку параметров системы таким образом, чтобы обеспечить предельно возможные характеристики системы изоляции.

Задача параметрического синтеза противоударного изолятора с упреждающим управлением.

В теории управления известен принцип упреждающего управления. В соответствии с этим принципом для формирования управляющего воздействия используется не только информация о текущем и предшествующих состояниях системы, но и прогноз ее поведения в будущем. При достаточно точном прогнозе это позволяет существенно улучшить качество управления.

Принцип упреждающего управления возможно использовать и в системах противоударной изоляции. Он подразумевает заблаговременное начало управляющего воздействия на защищаемый объект до того, как основание подвергнется удару. Для реализации этого принципа требуется прогнозирование времени начала ударного воздействия и его динамических характеристик, в частности продолжительности и формы ударного импульса. Принцип упреждающего управления стал применяться в теории защиты от ударов только в конце прошлого столетия.

Д. В. Баландин, Н. Н. Болотник и У. Пилки [39] на примере системы с одной степенью свободы в случае мгновенного удара исследовали предельные возможности изоляторов упреждающего действия. Анализ предельных возможностей показал, что использование упреждающего управления позволяет значительно улучшить качество противоударной защиты по сравнению с неупреждающим управлением. Это улучшение характеризуется коэффициентом 8 по критерию максимального смещения защищаемого тела относительно основания.

Д. В. Баландин и Н. Н. Болотник [1] предложили реализацию изолятора упреждающего действия на основе пассивного упругого элемента (пружины), отделяющего защищаемый объект от основания. Упругий элемент предварительно деформируется, а затем освобождается за некоторое время до удара. Величина предварительной деформации, время освобождения изолятора и жесткость пружины выбираются оптимальным образом в зависимости от интенсивности удара и массы защищаемого объекта. Улучшение качества противоударной защиты с помощью такого изолятора по сравнению с предельными возможностями изолятора неупреждающего действия характеризуется коэффициентом 4. Автор отмечает необходимость исследования влияния демпфирования на эффективность противоударного изолятора с упреждением.

Цель работы

Целью диссертационной работы является аналитический и численный расчет оптимальных систем защиты от ударов. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие основные задачи.

1. Исследование предельных возможностей изоляции удара в многомассовой системе, состоящей из основания, корпуса и защищаемого объекта, соединенных противоударными изоляторами. Защищаемый объект представляет собой набор масс, соединенных упругими и демпфирующими элементами.

2. Исследование предельных возможностей противоударных травмозащитных средств с учетом интегрального критерия ожидаемой тяжести травмы головы на основе модели удара по нормали к поверхности при поступательном движении головы человека.

3. Исследование возможностей защиты от удара с помощью изолятора упреждающего действия на основе линейного упругого элемента и квадратичного демпфера одностороннего действия.

4. Определение оптимальных параметров противоударного изолятора в трехкомпонентной системе изоляции удара и вибраций.

5. Разработка программной системы для численного расчета предельных возможностей защиты от ударов различной формы в двух- и трехкомпонентных системах.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Предложен метод решения задачи о предельных возможностях изоляции удара в многомассовой системе. Метод основан на решении исходной задачи со многими степенями свободы с помощью решения вспомогательной задачи с меньшим количеством степеней свободы. Вспомогательная задача решается, как правило, численными методами, но для некоторых систем с двумя или тремя степенями свободы она может быть решена аналитически. Определен класс задач, решаемых этим методом. Эффективность метода подтверждена примерами.

2. Найден оптимальный закон торможения головы человека при ударе головой о поверхность с противоударным покрытием. Установлено, что оптимальный закон торможения содержит участки, на которых величина ускорения головы очень велика. Число таких участков возрастает с увеличением скорости удара головой о поверхность и с уменьшением максимально допустимого значения критерия ожидаемой тяжести травмы головы.

3. Найдены оптимальные параметры упреждающего противоударного изолятора на основе упругого и демпфирующего элементов. Установлено, что настройка такого изолятора на упреждающий режим позволяет более чем в три раза уменьшить значение критерия качества по сравнению с неупреждающим режимом. Использование такого типа изолятора позволяет в полтора раза улучшить качество защиты по сравнению с оптимальным упреждающим изолятором на основе линейной пружины без демпфирования. Исследовано влияние ошибки в определении времени удара на качество противоударной изоляции.

4. Численно определены оптимальные параметры противоударного изолятора в трехкомпонентной системе изоляции удара и вибраций.

5. Разработана программная система для численного расчета предельных возможностей защиты от ударов различной формы в двух и трехкомпонентных системах.

Методы исследования

Применяемые в диссертации методы исследования используют математический аппарат теории дифференциальных уравнений, механики, математического анализа, а также теорию численных методов, включают в себя методы создания комплексов программ.

Обоснованность научных положений

Теоретические результаты, полученные в диссертации, представлены в виде аналитических выражений. Приведены формулировки задач и их математически строгие решения. Правильная работа программной системы проверена путем сравнения результатов численного решения и известных аналитических решений для некоторых частных случаев.

Научная новизна работы

1. Сформулирована оригинальная задача о предельных возможностях изоляции удара в многокомпонентной системе. В отличие от известных задач, в которых необходимо оптимизировать один противоударный изолятор, в данной задаче требуется оптимизировать два изолятора. Предложен метод решения такой задачи.

2. Аналитически решена задача об оптимальном законе торможения головы человека при ударе головой о поверхность с противоударным покрытием. В отличие от известных ранее результатов, установлено, что для некоторых случаев оптимальный закон торможения содержит не один, а несколько участков, на которых величина ускорения головы очень велика.

3. Рассмотрены оптимальные противоударные изоляторы упреждающего действия. Установлено, что противоударный изолятор, в состав которого входит демпфирующий элемент, является более эффективным, чем изолятор без такого элемента.

Практическая значимость работы

Результаты работы являются вкладом в теорию оптимальных систем противоударной защиты. Результаты работы могут быть использованы в технике при проектировании средств защиты человека от травм, причиняемых ударами, и средств противоударной защиты оборудования.

Предложенный метод решения задачи о предельных возможностях изоляции удара в многомассовой системе может быть использован при проектировании таких устройств как автомобили, вертолеты, средства креплений кресел на колесах при перевозке в транспорте. Например, в современных автомобилях изоляция водителя и пассажиров от лобовых ударов обеспечивается не только системой ограничения их перемещения внутри автомобиля (ремни безопасности и воздушные подушки), но также с помощью соответствующих деформационных свойств передней части автомобиля. В этом случае роль основания, корпуса и объекта играют передний бампер автомобиля, кабина и водитель (пассажир) соответственно. Ремень и воздушная подушка могут рассматриваться как изоляторы между объектом и корпусом, а деформируемая передняя часть автомобиля - как дополнительный изолятор между основанием и корпусом.

Решение задачи о предельных возможностях изоляции с учетом критерия ожидаемой тяжести травмы головы может быть использовано при проектировании подкладок шлемов и удароизолирующих покрытий детских и спортивных площадок.

Оптимальный противоударный изолятор с упреждением может быть использован в вертолете для защиты пилота от травмы спины в случае аварийной посадки. Противоударный изолятор располагается между корпусом вертолета и сиденьем пилота. Время включения упреждающего изолятора рассчитывается на основе данных высотомера вертолета.

Разработанная в диссертации программная система может служить эффективным инструментом для инженера-проектировщика средств противоударной защиты на первых этапах проектирования удароизолирующих устройств.

Результаты диссертации использованы в работе по проектам РФФИ № 0201-00157, № 04-01-00222, Программы поддержки ведущих научных школ России НШ-1627.2003Л, НШ-1729.2003.2, НШ-1638.2003.8, NSF BES-0302337, NATO PST.CLG.979409.

Апробация работы

Результаты, полученные в настоящей диссертации, доложены на трех всероссийских и международных конференциях:

- 6-я Всероссийская конференция «Нелинейные колебания механических систем,» Н. Новгород, сентябрь 2002;

- International conference "Physics and Control (PhysCon2003)," Russia, S.Petersburg, August 2003;

- 2nd international conference "Physics and Control (PhysCon2005)," Russia, S.Petersburg, August 2005.

Результаты работы также доложены на шестой и седьмой научных конференциях по радиофизике (Н. Новгород, 2002 и 2003), на Нижегородской акустической научной сессии (Н. Новгород, 2002) и на восьмой Нижегородской сессии молодых ученых (Н. Новгород, 2003).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, в том числе в 4 статьях в реферируемых журналах и в 8 статьях в сборниках трудов конференций [2 - 5,25 - 29, 40,41, 62, 63].

Краткое содержание работы

Первая глава посвящена анализу предельных возможностей противоударной изоляции. Противоударный изолятор считается управляющим устройством, которое производит силу, зависящую от времени. Анализ предельных возможностей подразумевает решение задачи оптимального управления и нахождение такой силы изолятора, которая обеспечивает наилучшее качество защиты объекта от удара. Такой анализ позволяет определить максимальную эффективность противоударного изолятора независимо от его конструкции.

В разделе 1.1 приводится математическая формулировка известной задачи о предельных возможностях в трехкомпонентной модели механической системы. Численные методы решения задачи приводятся в главе 3.

В разделе 1.2 приводится формулировка и предлагается метод решения задачи о предельных возможностях противоударной изоляции в многокомпонентной системе. Сначала задача формулируется для трехкомпонентной модели механической системы для описания идеи предлагаемого метода решения. Формулируется и доказывается утверждение, обосновывающее метод. Примером подтверждается эффективность метода. Затем задача формулируется для многокомпонентной системы, и приводится обобщение метода решения на этот случай. Приводится пример решения задачи для четырехкомпонентной модели.

Особенностью рассматриваемой задачи является необходимость оптимизации двух изоляторов. В простом случае система состоит из защищаемого объекта, корпуса и основания, подвергаемого удару. Объект и корпус соединены изолятором 1, корпус и основание - изолятором 2. Требуется определить силы, производимые изоляторами 1 и 2 так, чтобы максимальное отклонение объекта относительно корпуса было минимально, а максимальное ускорение объекта и максимальное отклонение корпуса относительно основания ограничены заданными числами.

Предлагаемый метод решения задачи предусматривает решение вспомогательной задачи для модели с меньшим числом компонентов и пересчет результатов для решения исходной задачи. Модель в вспомогательной задаче содержит объект и основание, соединенными изолятором. Вспомогательная задача требует численного решения, но в некоторых случаях может быть решена аналитически.

В разделе 1.3 аналитически решается задача о предельных возможностях защиты головы противоударными покрытиями при ударе человека головой о твердую поверхность. Модель системы содержит объект и основание, соединенные изолятором. Критериями качества защиты являются максимальное отклонение объекта относительно основания и критерий ожидаемой тяжести травмы головы (КОТТГ). Сначала находится решение задачи, в которой первый критерий минимизируется, а второй ограничен. Требуется найти силу, прикладываемую изолятором к объекту. Затем решается задача, в которой второй критерий минимизируется, а первый ограничен. Сравнивается эффективность найденного оптимального изолятора и изолятора, производящего силу другой формы — постоянную силу и силу со степенной зависимостью от времени.

Установлено, что оптимальная сила, производимая изолятором содержит участки, на которых величина ускорения головы велика. Число таких точек возрастает с увеличением скорости удара головой о поверхность и с уменьшением максимально допустимого значения КОТТГ.

Вторая глава посвящена параметрическому синтезу противоударных изоляторов. Считается, что изолятор имеет заданную конструкцию, и сила, производимая изолятором, зависит от переменных состояния системы и набора параметров. Параметрический синтез подразумевает поиск оптимальных значений параметров, при которых обеспечивается наилучшая защита объекта.

В главе рассматривается двухкомпонентная модель противоударной системы с упреждением, которая может быть использована для защиты пилота от травм при аварийном падении вертолета, и трехкомпонентная модель противоударной системы, используемая при проектировании стоек для защиты электронного оборудования от подводных взрывов на флоте.

В разделе 2.1 аналитически решается задача параметрического синтеза противоударного изолятора с упреждением на основе таких пассивных элементов как линейная пружина и квадратичный демпфер одностороннего действия. Сначала приводится формулировка и известный результат решения задачи о предельных возможностях изоляции с упреждением, а также известный способ реализации упреждающего изолятора на основе линейной пружины без демпфирования. Затем приводится решение задачи параметрического синтеза, и оценивается эффективность рассматриваемого изолятора по сравнению с двумя последними. В конце оценивается эффективность изолятора в случае неточного прогноза времени удара.

В отличие от традиционных изоляторов, время включения которых совпадает с началом ударного воздействия, изоляторы с упреждением приводятся в действие заранее. Упреждающее управление рассматриваемого изолятора реализуется путем предварительной деформации изолятора (сжатия пружины) и его освобождение в некоторый момент времени перед ударом.

Искомыми параметрами задачи являются коэффициенты упругости и демпфирования, величина предварительной деформации изолятора и время упреждения. Необходимо найти такие значения параметров, при которых максимальное отклонение защищаемого объекта относительно основания минимизируется, а его максимальное ускорение ограничивается заданной величиной.

В разделе 2.2 численно решается задача параметрического синтеза изолятора в трехкомпонентной системе. Модель механической системы содержит защищаемый объект, корпус и основание, подвергаемое удару. Объект и корпус соединены изолятором с заданной характеристикой. Корпус и основание соединены изолятором, сила которого зависит от переменных состояния системы и двух параметров с неизвестными значениями. Требуется определить границы области параметров изолятора, в которой критерии качества защиты ограничены заданной величиной. Критериями качества защиты являются максимальное отклонение объекта относительно корпуса, максимальное отклонение объекта корпуса относительно основания и максимальное ускорение объекта. Наряду с этими критериями, рассчитываемыми при ударном внешнем воздействии, учитывается еще один критерий, рассчитываемый при вибрационном гармоническом внешнем воздействии. Это максимальное ускорение объекта при установившихся колебаниях объекта.

Задача решается с помощью пакета MATLAB путем интегрирования системы дифференциальных уравнений для различных значений параметров изолятора. Результаты представлены наглядно с помощью линий равного уровня критериев качества защиты.

Третья глава посвящена методам численного решения задач о предельных возможностях противоударных изоляторов в двух и трехкомпонентых системах. Задачи, решаемые этими методами, сформулированы в параграфе 1.1. Методы основаны на сведении исходных задач к задаче линейного программирования. Применяемые методы известны в литературе. Достоинством настоящей работы является то, что на основе этих методов была создана программная система с удобным пользовательским интерфейсом, которая позволяет решать указанные задачи для ударных внешних воздействий различной формы. Описание пользовательского интерфейса приведено в главе.

В разделе 3.1 приведен метод решения задачи о предельных возможностях изоляторов, состоящий из двух частей. Сначала задача для трехкомпонентной системы, в которой не наложено ограничение на силу, производимую изолятором, сводится к задаче с ограничением на управляющую переменную. Затем выполняется дискретизация уравнений движения системы и переход к задаче линейного программирования.

В разделе 3.2 приведено описание графического интерфейса программной системы. Программная система написана с помощью пакета MATLAB. Особенностью системы является возможность задания пользователем ударного воздействия необходимой ему формы. Также есть возможность сохранять результаты вычислений в файл.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ряде случаев, анализ предельных возможностей систем изоляции удара со многими степенями свободы может быть сведен к анализу предельных возможностей систем с меньшим количеством степеней свободы. Это значительно облегчает решение соответствующей задачи оптимального управления. Для некоторых систем с двумя или тремя степенями свободы, задача оптимального управления для вспомогательной системы с меньшим количеством степеней свободы может быть решена аналитически. В настоящей работе определен класс задач, которые позволяют такое уменьшение. Утверждение, которое обосновывает эффективный метод для конструирования оптимального управления для исходной системы на основе решения задачи оптимального управления для уменьшенной системы, сформулировано и доказано. Эффективность метода продемонстрирована примерами.

Интегральный критерий ожидаемой тяжести травмы головы (КОТТГ) представляет собой эмпирический функционал, количественно оценивающий ожидаемую степени тяжести травмы головного мозга человека, причиняемую ударом, в зависимости от величины ускорения центра масс мозга и длительности ударного воздействия. Основная инженерная задача, которую приходится решать, добиваясь улучшения показателей транспортных средств и спортивного оборудования по КОТТГ, состоит в создании удароизолирующих покрытий или подкладок (в шлемах), по возможности минимальной толщины, способных обеспечивать требуемое качество защиты головы от ударов. В данной работе построено аналитическое решение задачи оптимального управления для системы с одной степенью свободы, моделирующей удар по нормали к поверхности при поступательном движении головы. Установлено, что оптимальный закон торможения содержит участки, на которых величина ускорения головы очень велика и стремится к бесконечности в отдельных точках. Число таких точек возрастает с увеличением скорости удара головой о поверхность и с уменьшением максимально допустимого значения КОТТГ.

В некоторых случаях в системах противоударной изоляции можно использовать принцип упреждающего управления, подразумевающий заблаговременное начало управляющего воздействия на защищаемый объект до того, как основание подвергнется удару. Принцип упреждающего управления может быть реализован в противоударных изоляторах, состоящих из пассивных элементов, таких как пружины и демпферы, путем предварительной деформации изолятора и его освобождения за некоторое время до удара. Настройка пассивного изолятора с линейной упругостью и квадратичным демпфером одностороннего действия на упреждающий режим позволяет более чем в три раза уменьшить значение критерия качества по сравнению с неупреждающим режимом. Использование такого типа изолятора позволяет в полтора раза улучшить качество защиты по сравнению с оптимальным упреждающим изолятором на основе линейной пружины без демпфирования. Вместе с тем неточный прогноз времени удара может привести к значительному ухудшению качества противоударной изоляции.

При проектировании систем защиты оборудования от ударов и вибраций важной задачей является выбор оптимальных параметров системы. В данной работе в системе защиты с двумя степенями свободы проведена оптимизация параметров внешнего изолятора. Исходя из требований на перегрузку оборудования при ударе, на уровень вибрации и на габаритные размеры системы защиты, выбрана область оптимальных значений коэффициентов демпфирования и упругости внешнего изолятора. Результаты оптимизации наглядно представлены в виде линий равного уровня показателей качества защиты.

Разработана программная система «Противоударный изолятор» для расчета предельных возможностей противоударных изоляторов в системах с одной и двумя массами для внешних воздействий различной формы. Программная система может служить эффективным инструментом инженера — разработчика противоударных изоляторов, использумым на первых этапах проектирования устройства.

1. Баландин, Д. В. Упреждающее управление в системах изоляции удара / Д.

2. B. Баландин, Н. Н. Болотник // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2003. - № 4.1. C. 95-109.

3. Баландин, Д. В. Предельные возможности противоударной изоляции системы с двумя степенями свободы / Д. В. Баландин, Н. Н. Болотник // Механика твердого тела. 2001. - № 6. - С.52-62.

4. Болотник, Н. Н. Оптимизация амортизационных систем / Н. Н. Болотник. -М.: Наука, 1983.

5. Вибрации в технике: Справочник: В 6-ти т. / Ред. совет: К. В. Фролов (пред.) М.: Машиностроение, 1995. - Т. 6: Защита от вибрации и ударов - 456 с.

6. Викторов, Е. Д. Метод последовательного улучшения управляющих функций в задаче оптимальной изоляции / Е. Д. Викторов, Р. М. Ларин // Труды ЛПИ. 1969. - № 307: Механика и процессы управления. Вычислительная математика. - С. 136-143.

7. Виноградова, Т. К. Некоторые минимаксные задачи оптимального управления: Дис.канд. наук / Т. К. Виноградова. — ЛГУ.

8. Турецкий, В. В. Об одной задаче оптимального управления / В. В. Турецкий // Изв. АН СССР. Механика. 1965. -№ 1. - С. 159 - 162.

9. Турецкий, В. В. Предельные возможности защиты оборудования от воздействия ударов / В. В. Турецкий // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 2. - С. 76-81.

10. Турецкий, В. В. Определение оптимальных параметров противоударных изоляторов / В. В. Турецкий // Труды ЛПИ. 1966. - № 266: Механика и процессы управления. - С. 17-23.

11. Турецкий, В. В. О выборе оптимальных параметров характеристик противоударных изоляторов / В. В. Турецкий // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. Инженерный журнал. — 1966. № 1. - С. 167-170.

12. Турецкий, В. В. О числе точек переключения оптимального управления в задаче минимизации максимального смещения / В. В. Турецкий // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. Инженерный журнал. 1968. - № 1. - С. 26-30.

13. Турецкий, В. В. О задаче минимизации максимального смещения / В. В. Турецкий // Труды ЛПИ. 1969. - № 307: Механика и процессы вычисления. Вычислительная математика. - С. 11-21.

14. Турецкий, В. В. О предельных возможностях изоляции удара / В. В. Турецкий, М. 3. Коловский, Л. С. Мазин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1970.-№ 6.-С. 17-22.

15. Турецкий, В. В. Об оптимизации параметров системы амортизации при стационарных случайных воздействиях / В. В. Турецкий // Машиноведение. — 1971.- № 5.

16. Турецкий, В. В. О пределльных возможностях активной виброзащиты / В. В. Турецкий, Л. С. Мазин // Прикл. Механика. 1976. - Т. 12, № 7. - С. 109-113.

17. Демьянов, В. Ф. Введение в Минимакс / В. Ф. Демьянов, В. Н. Малоземов. М.: Наука, 1972.

18. Коловский, М. 3. Автоматическое управление системами виброзащиты / М. 3. Коловский. М.: Наука, 1976.

19. Кузнецов, А. Г. Об оптимальном управлении, минимизирующем экстремум функции переменных состояния / А. Г. Кузнецов, Ф. J1. Черноусько // Кибернетика. 1968. -№ 3. - С. 50-55.

20. Ларин, Р. М. Градиентный метод решения приближенной задачи оптимального синтеза изолятора / Р. М. Ларин // Труды ЛПИ. 1969. - № 307: Механика и процессы управления. Вычислительная математика. - С. 155-162.

21. Моисеев, Н. Н. Элементы теории оптимальных систем / Н. Н. Моисеев. -М.: Наука, 1975.

22. Пурцезов, С. В. Оптимальная защита системы с двумя степенями свободы от ударов и вибраций / С. В. Пурцезов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004. - № 5. - С. 25-28.

23. Пурцезов, С. В. Оптимизация параметров противоударного изолятора с упреждающим управлением / С. В. Пурцезов // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. - № 6. - С. 113-117.

24. Пурцезов, С. В. Адаптивная система активного гашения вибраций / С. В. Пурцезов, А. В. Хоряев, Р. О. Масленников // Труды Нижегородской акустической научной сессии. Н. Новгород, 2002. - С.340-342.

25. Пурцезов, С. В. Оптимальная защита системы с двумя степенями свободы от ударов и вибрации / С. В. Пурцезов // Труды 8 Нижегородской сессии молодых ученых. Н. Новгород, 2003.

26. Пурцезов, С. В. Упреждающее управление в системах противоударной изоляции / С. В. Пурцезов // ННГУ. Труды (Седьмой) научной конференции по радиофизике, посвященной 90-летию со дня рождения B.C. Троицкого. 7 мая 2003г. -Н. Новгород, 2003.-С.214-215.

27. Саранчук, В. Г. Устройства изоляции вибраций с минимальным ходом / В. Г. Саранчук, В. А. Троицкий // Труды ЛПИ. 1969. - № 307: Механика и процессы вычисления. Вычислительная математика. - С. 39-46.

28. Силина, И. Р. Численный метод решения минимаксной задачи теории управления / И. Р. Силина // Вестник ЛГУ. Математика, механика и астрономия. -1976. № 7, вып. 2. - С. 76-81.

29. Тимошина, И. Р. Метод решения одной негладкой задачи на основе интегрального необходимого условия экстремума / И. Р. Тимошина, И. Р. Шаблинская // Вестник ЛГУ. Математика, механика и астрономия. — 1980. № 7, вып. 2.-С. 47-51.

30. Троицкий, В. А. О синтезе оптимальных противоударных изоляторов / В. А. Троицкий // Прикладная Математика и Механика. — 1967. Т. 31, № 4. - С. 624630.

31. Федоренко, Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р. П. Федоренко. М.: Наука, 1978.

32. Черноусько, Ф. Л. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы / Ф. Л. Черноусько, Н. В. Баничук. М.: Наука, 1973.

33. Шатровский, Л. И. О численном методе решения задач оптимального управления / Л. И. Шатровский // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. - Т. 2, № 3. - С. 488-501.

34. Afimiwala, К. A. Optimum design of an impact absorber / K. A. Afimiwala, R. W. Mayne // ASME J. Eng. Indust. 1974. - Vol. 96. - P. 124-130.

35. Balandin, D. V. Optimal protection from impact and shock: theory and methods / D. V. Balandin, N. N. Bolotnik, W. D. Pilkey // Applied mechanics reviews. -2000. Vol. 53, № 9. - P. 237 - 264.

36. Balandin, D. V. Optimal protection from impact, shock, and vibration / D. V. Balandin, N. N. Bolotnik, W. D. Pilkey. Philadelphia, PA: Taylor and Francis Publishers, 2001.-436 c.

37. Balandin, D. V. Impact isolation limiting performance for three-component model / D. V. Balandin, W. D. Pilkey, N. N. Bolotnik, S. V. Purtsezov // Journal of dynamic systems, measurement and control. 2005. -Vol. 127, №3. P. 463-471.

38. Balandin, D. V. An optimal control problem for head injury criterion / D. V. Balandin, N. N. Bolotnik, W. D. Pilkey, S. V. Purtsezov // Proc. of the 2nd international conference "Physics and control." Saint Petersburg, Russia, 2005.-P. 130-133.

39. Bellman, R. Dynamic programming / R. Bellman. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1957.

40. Cheng, Z. Q. Limiting performance of helmets for the prevention of head injury / Z. Q. Cheng, W. D. Pilkey, J. R. Crandall, and others // Shock and vibration. -1999. Vol. 6, № 5-6.

41. Cornelius, К. T. A study of the performance of an optimum shock mount / K. T. Cornelius // Shock and vibration bulletin. 1968. Vol. 38. - P. 213-219.

42. Fourth report to congress effectiveness of occupant protection systems and their use / National Highway Traffic Safety Administration, U.S. Department of Transportation, Washington DC, 1999.

43. Gadd, C. W. Use of a weighted-impulse criterion for estimating injury hazard / C. W. Gadd // Society of Automotive Engineers. Proc. 10th Stapp Car Crash Conference. SAE Paper No. 660793. - 1966.

44. Gurdjian, E. S. Quantitative determination of acceleration and intercranial pressure in experimental head injury / E. S. Gurdjian, H. R. Lissner, F. R. Latimer and others // Neurology. 1953. -Vol. 3. - P. 417-423.

45. Gurdjian, E. S. Evaluation of the protective characteristics of helmets in sports / E. S. Gurdjian, V. R. Hodsom, W. G. Hardy and others // J.Trauma. 1964. - Vol. 4. -P. 273-286.

46. Gurdjian, E. S. Tolerance curve of acceleration and intercranial pressure and protective index in experimental head injury / E. S. Gurdjian, V. L. Roberts, L. M. Thomas // J. Trauma. 1966. - Vol. 6 - P. 600-604.

47. Hsiao, M. H. A state space method for optimal design of vibration isolators / M. H. Hsiao, E. J. Haug, J. S. Arora // Journal of mechanical design. 1979. - Vol. 101. -P. 309-314.

48. Hutchinson, J. The head injury criterion (HIC) functional / J. Hutchinson, M. J. Kaiser, M. H. Lankarani // Applied mathematics and computation. — 1998. Vol. 96. -P. 1-16.

49. Karnopp, D. C. Comparative study of optimization techniques for shock and vibration isolation / D. C. Karnopp, A. K. Trikha // ASME J. Eng. Indust. 1969. - Vol. 91.-P. 1128-1132.

50. Lockett, F. J. Biomechanics justification of empirical head tolerance criteria / F. J. Lockett // J. biomechanics. 1985. - Vol. 18. - P. 217-245.

51. Mathematical theory of optimal processes / L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, E. F. Mishchenko. New York: Willey-Interscience Publ., 1962.

52. MIL-S-901D (Navy). Shock Tests, H.I. (High-Impact) Shipboard Machinery, Equipment and Systems, Requirements for. Military Specification.

53. MIL-STD-167-1 (Ships). Mechanical Vibrations of Shipboard Equipment. Military Standard.

54. McMunn, J. C. Multi-Parameter optimum damping in linear dynamical systems: Ph.D. Dissertation / J. C. McMunn. University of Minnesota, 1967.

55. McMunn, J. C. Multi-parameter optimum damping in linear dynamical systems / J. C. McMunn, R. Plunkett // ASME Paper 69-VIBR-42. 1969.

56. Newman, J. A. Head injury criteria in automotive crash testing / J. A. Newman // Society of automotive engineers. Proc. 24th stapp car crash conference. SAE Paper №801317.

57. Okamoto, Y. Concept of hood design for possible reduction in pedestrian head injury / Y. Okamoto, A. Akiyama, K. Nagatomi, T. Tsuruga // Proc. 14th international technical conference on the enchanced safety of vehicles. Munich, 1994.

58. Pilkey, W. D. Limiting performance analysis of large systems using an approximate optimization scheme / W. D. Pilkey, W. Kang, U. Schramm // Finite elements in analysis and design. 1997. - Vol. 27. - P. 7-17.

59. Pilkey, W. D. Optimization of the parameters of shock isolators with preview control / W. D. Pilkey, S. V. Purtsezov // Proc. of the 2nd international conference "Physics and control." Saint Petersburg, Russia, 2005. - P.330-334.

60. Purtsezov, S. V. Optimal protection of a two-degree-of-freedom system from shock and vibration / S. V. Purtsezov // Proc. of the international conference "Physics and control." Saint Petersburg, Russia, 2003.- P. 1206-1208.

61. Riesz, F. Functional analysis / F. Riesz, B. Sz. Nagy. New York: Dover Publ., 1990.

62. Ryaboy, V. M. Shock isolation by a low-damped multi-degree-of-freedom mechanical systems / V. M. Ryaboy // J. Sound Vib. 1996. - Vol 197. - P. 381-385.

63. Schmit, L. A. Synthesis of a simple shock isolator / L. A. Schmit, R. L. Fox // NASA.-1964.-CR-55.

64. Schmit, L. A. Simple shock isolator synthesis with bilinear stiffness and variable damping / L. A. Schmit, E. F. Rybicki // NASA. 1965. - CR-64-710.

65. Sevin, E. Optimum shock and vibration isolation / E. Sevin, W. D. Pilkey. -Washington D.C.: Shock and Vibration Information Analysis Center, 1971.

66. Shi, Y. Optimal frontal vehicle crash pulses a numerical method for design / Y. Shi, J. Wu, G. Nusholtz // Proc. 18th international technical conference on the enhanced safety of vehicles. Paper 514. -Nogoya, Japan, 2003.

67. Wang, B. P. Limiting performance characteristics of steady-state systems / B. P. Wang, W. D. Pilkey// Journal of applied mechanics. 1975. - Vol. 42. - P. 721-726.

68. Wilmert, K. D. Optimum design of a linear multi-degree-of-freedom shock isolation system / K. D. Wilmert, R. L. Fox // ASME J. eng. indust. 1972. - Vol. 94. - P. 465-471.