автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оптимизация некоторых моделей электроэнергетических систем и биологических сообществ

:" л, ^ 7

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КАЗАХСКИЙ' ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

Байгелов Канай Жарылкасынович

ОПТИМИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соисканиэ ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата - 1992

Работа выполнена в Казахском государственном ордена Трудового Красного Знамени универс1ггете имени Адь-Фараби

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, профессор Ш.С.СМАГУЛОВ кандидат физико-математических наук, доцэнт Т.Н.БИЯРОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, доцент В.С.НЕРОНОВ кандидат физико-математических наук, доцент К.Е.САРВАСОВ

Ведущая организация: Новосибирский государственный университет

Зашита состоится ¿¿/¿/¿■X 1992г. в

часов на

заседании сшцгадизироЬанного совета К 058.01.18 при Казахском государственном университете имени Аль-Фарэби по адресу: 420012» г.Алаа-Ата, ул.Масанчи, 39/47 в ауд. _

С диссертацию можно ознакомиться в би&лиотеке КазГУ.

Отзывы на автореферат высылать по адресу: 4800121, г.Алма-Ата, ул.Тимирязева, 46, Казахский государственный университет июни Аль-Фараби. Ученому секретарю.

Ученый секретарь сгоциа.шзираваннаго совета, .,

доктор физико-математических

наук, профессор

руальность проблемы. Исследование вопросов синтеза оттги-

йсистем управления для нелинейных систем представляется весьма актуальной. В общем случае задача синтеза, т.е. вопрос о существовании синтезирушей функции и ее отыскание сложная задача и не решена в явном вида.

Для решения данной задачи мскно применить принцип максимума Л.С.Понтрятина или динамическое программирование Р.Беллмана. Но согласно принципу максимума мы получим краевую задачу, решение которой сопряжено с большими трудностями. Если использовать метод динамического' программирования, то сталкиваемся со сложным нелинейным уравнением в частных производных, решение которого так же затрудцсио.

В связи с этим становится актуальным исследование задачи синтеза с помощью первых интегралов. Исследованию данной задачи посвящены работы Крзсовского A.A., Летова A.M., Чэрноусько О.Л, Бербгак В.Г. и др.В данной работе прздлагается новый метод рззз -кия задачи оптимального управления с ограниченным ресурсом с понспью первых интегралов уравнения возмущенного двинэния. Применение данного подхода к рэзэшта задач различных систем .тгкры-зэет широкую nepcnercrisy в практическом клане. Цель работы. Исследование устойчивости и стабилизации детпзния сложных электсэнергетических систем и задачи синтеза оптимальных систем управления с огрзютзнным рэсурсом и их применение к электроэнергетическим системам и биологическим сообщества!,!. Научная новизна. - Решена общая задача синтеза сигнального

управления при налички ограниченна на улразлэния с функционалом типа Больца.

- Предложен прямой аналитический способ вьйорз оптимального управления с использованием свойства первого интеграла для интегрируемой части системы.

- с помощью предложенного подхода впэрвые решена задача оп-тшшщи функционала типа Больца для позиционноа модели злек разнергвтичэских систем, а так же задача оптимизации нексторьс биологических моделей. Получены численные расчеты.

- Получены условия устойчивости и стабилизации для элэктрозн! готических систем со многими генераторами для модели Парка -Горева.Найденные стабилизирующие управления обеспечивают асим готическую устойчивость злекторознаргетических систем.

Теоретическое и практическое значение результатов.

Работа носит как теоретическое,так и практическое значена Ее результаты могут быть использованы при решении различных з; дач механических, биологических, электроэнергетических и друп систем, где известен пврвыа интеграл нерегулируемой части си< темы.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсу}

дались на Всесоюзная конференции "Дифференциальные уравнения оптимальное управление" (Ашхабад, 1990), Республиканская конфг рэнцип по проблемам вычислительной математики и автоматизации научных исследовании (Алма-Ата, 1933), IX Республиканской ко: ференцк! по математике и механике (Алма-Ата, 19S9), на городских научных конференциях и конференциях КазГУ (Алма-Ата, 1987 1991 ), на абьеданзЕЕсш семинаре кафедры прикладного анализа и кафедры оптимизации математических модолеа и физических проце< сов (Алма-Ата, 1992), на семинаре кафедры прикладного анализа под руководством доктора физико-матекгатпчзских наук Смагуло -ва Ш.С. (Адаа-Ата, 19S7- 1992).

Публикации. По тема- дассэргтацшх опубликовано пять работ,

перечень которых ппаллжэн'в конпэ автореферата.

Структура и обшм работы, Диссертационная работа состой

из ВБЗдониЯк трах глаз, списка литературы из наимвновани

изложена на страницах машинописного текста.

В главе 1 изложены выводы уравнений двимения некоторых электроэнергетических систем.

В § 1-3 изложены вопросы математического моделирования электроэнергетических систем.

3 частности, осуществлен вывод уравнения движения синхронной машины, классические модели многомашинной системы и математической модели Пэркэ-Гореза. Получена математическая модель паровой турбины дая управления синхронным генератором.

В § 4 исследована устойчивость и стабилизация злэнтрознер -гетическоя системы, описываемая дифференциальными уравнениями Парка-Горева:

+ - - -+ d,sys> + W*).

+ Й„У=> + W6>' + йз=У=> + W6)* <1>

У, + d4,y.> +

где е, с , ( ui.5 )- постоянные векторы; <5 - угловая координата;

и>- угловая скорость; dt, dt ., bt- постоянные величины;

у = и ,i ,1 ,i у" = {у ,у .у ,у .у >" - вэетор тока; D > 0 -коэффициент демпфирования. Здесь ны полагаем, что Uj= const,

Мт= const, т.е. система возбуждения и регулятор типа "котал-

d5 dt

du м

— = е у + di4yjy< dt

dy. «

— = с у + ь» (d +

dt

ay.

-z= + U (d. +

dt

ЙУ, „

— = с у + ы (d + dt 3

dy ж

— = с у + Ы (d + dt

— = су + u (d, + dt = 5

турбина" на влияют на систему (1).

Нелинейные 2п - периодические непрерывные функции ft(o), £,(<£) определяются следующим образом: ^(ó) = К Esin(<5 + г) - sin Н, ' ft(á) = к [cos (6 + г) — cos у ]

и эти функции имеют следующие нули на периоде [0,2п ] <1> :1> i2> Í2) át =0, ó. = п-2г И <5( = 0, <5t = 2Я-2у.

Введем также векторы пг, у, ? и симметрические 5x5

матрицу С, 10 х 10 - матрицу Н.

теорема.i. Пусть существуют скаляры oíl ■ о, i = 0, 5, xt > о, х2;0. Tt> о, т2> о. so> о. ^> о. о . ^

г У Y Г •Г * 1 э »и, ±о

Ü у

5l' 12

d d 15 10

a+J-d+rd = 0

1* И » 11 41

и матрица Н - отрицательно - опрэдэлзнгая.

Тогда полслзннэ равновесия {б = 0,^ = 0, у = 0> системы (1)

асспмцготичзски устсглпзс.

Ра с см атризаотс я система (1) вместе с. регулятором

dz

- = Al+qu + bü, (2

dt

Вводам в рассмотрение числа ^>0, а^, е^, о, а

азз> О, 0, а > 0, а<5, являхелгся рспкшетяп сiicts^u jeesi ньк алгебраичзазс: уравнена:

' Vo + d24Ci2 + + =

а13ао + di3Bn + + ^зАз + + ^As - а.

- «а + d a + (i a +da + d a +d_a =0.

О 1* 12 1Л.12 ЭЛ 2П 4244 32 15 »

— <*„ а + d a -t- d a + d a. + d a + d a =0. /0%

Э4 О 14 1Э ^4 23 "i)*^ 43 44 S3 4= ' (3)

da + d a -ь d a +da + d a =0

13 13 2="l2 IB 2J т 42 43 . U32 D U»

r ' r r

7 'a' ii

da + d a + d a + d a + d a =0.

15 13 25 23 25 33 » 45 53 55

Звзлем также векторы а, р и симметрическую 5x5- матрицу

С, симметрическую 10 » 10 - матрицу Н.

Справедлива

TECFEMA. 2. Пусть СуЩвСТЗуКГГ СКаЛЯрЫ ао > О, а, а, а, а >0, а, а >0,

11 ' 12* 13* 22 ' 23 * 33 *

&44 > > 0-' ^5» Х1> 0» V 0'

СА> О, с2> О, ¿t> 0, с2> о, ро> О, fJt> 0 такие, что существует рззэнке линейной системы (3) и

а

а 11

— В12 а22 а13

2

а12 .- а2 3 аз,

2

а13 г

> О,

а матрица Н - отрицательно - определенная.

Тогда положение равновесия { ¿=0, "=0, у=0 > системы (1)

асимптотически устойчиво.

В главе 2 рассматривается общая задача синтеза оптимального управления с ограниченным ресурсом с функционалом типа Больна при наличии первых интегралов.

В § 2.1 рассматркваотся управляемый объект, двигэнне кото

poro описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями: dx

— = f(x,t) + p(x,t) + g(x,í) u(x,t) (4)

dt

при следующих начальных условиях

x(t0) = хо, t « £ to,t], (5)

где x = (x ) - n - иерныа вектор фазовых координат.

Кхд)=(11(х,г),...,1п(х,г)), р<хд)=(р1(х.г).....рп<хд)>.

в^дМб^х,«.....8п(х,г))" п - мерные вектор функции:

и<х,1:} - кусочно - непрерывная скалярная функция удовлетворяю вдя ограничению

|и(х,г>и, где и = согт ; 0. (б)

Дусть скалярная функция у (х, I) - пэрвьи интеграл ураьнэ движения неуправляемого объекта,т.е. системы уравнений: ¿х

— = Г<ХД), I ,,Т] (Т)

си

и функционал Больца определяется следующим образом

^ , £ « т(х,г> ,

<Ки)= у[х(т),т] + г у- р (хд) си +

: и = 1 а X. 1 1

, " ^ v(x,t) .

Н J.-7T"

(3)

Пусть p(x,t) & 0. Справедлива теорема, з. Пусть p(x,t)nQ и для системы (4) задана функция v(x,t), являющаяся первым интегралом для нерегулфуемоя спсте; (7). Тогда управление вида

, " а V(X,t) .

u°(x,t)= - и slgn[ 2-g^X.t)].

доставляет абсолвтный минимум функционалу Болъца (8)

(р. (x,t)=0, ) и J(u°) = min J(u) v[x(t ).t ].

|u|s м

Теперь система (4) рассматривается без предположения p(x.t)=C Тогда справедлива

теорема 4. Пусть для системы (4) задана функция v(x,t), являющаяся первым интегралом для нерегулируемой системы (7). Тогда управление вида

П a v(x,t)

u°(x,t> = - и signf }-:— g(x,t)l

i.

-оставляет абсолютный минимум функционалу Больца (8) и

-Т " в v(x,t) г Г(и°) = cm J(U) = V(X(t ) ,t 3 у - p (X.t)

iu|<« 00 : i. ii , 1 L

"o

, " a v(x.t) ,, cign[ 2-pt(x,t)j jdt.

д X

. X.

Рассматривается управляемый объект со многими управлениями: fix

- = f(x.t) ->- g(x,t)u(x,t), (9)

at

X(t0)=X0> t с [te.Tl. •дэ I(x,t)=(ri(x,t),...in(x,t)) - г. - мерная вектор функция; ;(x,t)- n x it, - матрица - функция; u(x,i) = (u^x, t),.. .um(x, t)) -сусочно непрерывная и - мерная вектор - функция, где u.<x,t; -:усочяо-непрерывная управлявшие фуЕКцни.удовлзтБоряищне условиям

|U(X,t)| < j=3, а, ¡j = const > О.

1усть скалярная функция v^x.t),... ,vr(x,t) (г < n)- независимые

гэрвые интегралы нерегулируемой системы (7) и k(yi.....уг> -

гронзвольная заданная дифференцируемая функция.

Выберем в качестве аргументов первые интегралы v(x.t) и ¡ункционала Больца:

Т " I £ в klv(x.t)] -

J <u> = kivCx(T),T} + J Vp, J-g, (x,t)|dt.(10)

. j i-1 ' I i = 1 Э x ^' I

¡прзведлива " _

■ecpema. g. Пусть для системы (9) заданы первые хзтогралы

^x.t),...,у (х,t) нерегулируемой систем (7).Тогда управлэниэ

лща

4 1 я kCv(x,t)] . _

\-к <x,t) , j=T7^,

ii-t ах J

доставляет абсолютный минимум функционалу Больна (10) и <10(и°) = и1л ^(и) = к{у[

1 J

В § 2 рассматривается позиционная модель злектрознергети -ческих систем с регуляторов.Уравнениз возмущенного движения од ной из таких модема: йх

аг

1

<ба- г.<х) - n (х) + м <х) + р.).

£13. (11)

си к

ь

- = - "А - "А, ах .. '

(12)

с начальные условиям

Х(0) = хо, а<0) = з10, я(0) = р.о (13)

I = 1,п, 1; <е [1;о,Т].

Здесь й^^т )-1 ,сГ коэффициент статазма ¿-го регулятора; Р,-рзгулятср скорости турб:;ю; хь- отклонение фазовых ПЕременных от кооркизат устопчизого подоконий рЗВЕОЕОСИЯ; угловая скорость Браззиия: В^- кехаь-гческое дадпфировзнхо; (х) , ¡^(х) - мощности I - турйпны. Уравнение (11) есть уравнение объекта,а (12) уравнение регулятора скорости. 11(х,з,р) - кусочно - непрерывная функция управления, удовлотв ряит ограничениям:

|и (х^.з. .р^! < ^ г= сопз£ £ О.

Скалярная функция у(х,з,р) опродехязтея следувд:;,: образен:

х

, П Л О

1 _ , г

г(х,з,р) = - ^ДйД + £ ] + £ I Г <х>ах +

n *

i jn<x1.....r.^.x^,....:^)^, (14.)

V = 1

а

С. =o» j>i.

соторая удовлетворяет уравнению

H + I + 1 v3; < da- w - v+

J U i = t V L - 1 tri.

I V Pi" SL3^ = " I ^(S.p). (14)

l = 1 U V = 1

2

V

г i2 --

где V (з,р) = D.S. + —p. > 0, i = 1,n.

Рассматривается задача оптимального управления сложными электроэнергетическими системами с автоматическим регулятором скорости гурбин.

функционал Больна определяется в виде:

Т п T п

J(u) = v(xi,t),S(t),P(t)) +- J \ *(s,p)dt + Г £ Is.i^OOidt +

X .1 <\| "г" rК (15)

1 я 1

О

гдо ?(х,д,р) определяется соотнесенном (1-). Спрс59Д.~п23 "рема е. Для знергз-пг-гасхсз chcts.vü (11),(12) с начальным ус

лов:ьта;т (13) управляла

_

и°(х.л,р) =■- - pL), t=1,xi (16)

аоставляэт абсолютам' ткппмум функцяснслу Еольцэ<15) и

J(u°) = гпп J<u) = vCx(Q) ,s(0) ,р(0) 1 |u ]< у.

/ 2 <х> + е15П(з Уч (х. ))]аг.

В § 3. 'с по;,адью катекзткческого моделирования на основе разработанной теории проведано численное исследование позиционной кздэли электроэнергетической системы "две станции - пины" учитывающей активные сопротивления в статарных цзпях.

Численные расчеты были производонь; при различных управляющих сигналах.

Программа была состазлэна на языке ГОКШАК и решалась различными катодами. Проводится анализ проведенных расчетов.

Из имеющихся графиков, вычисленных при различных управлениях, следует, что функционал Больцэ (15) достигает кинкдука при значении управления определяемым формулой (16).

В главе 3 рзсматривавтся катвкаткческкз модели биологи -ческих сообществ.

В § 1 - 2 изложены балансовые уравнения экологии и Вольтер ровсккэ код-эли биологических сооцэств.

В § 3 рассматривается задача оптимального управления дая некоторых моделей биологических сообществ ,в частности,для ко -дали "хищник-жертва".Классическая модэль Вольторра икест вэд

- а х + а х х„,

л* 1 1 г9

(17)

Бэтрудно заметить.что система (20) допускает первые интегралы

V а^- в^п<хг>= с,, (18;

где с1,са - тстоянные интегрирования.

Рассматривается задача оптимального управления системы:

х = - а х + а „х х,+ g, и , 1 11 1 12 1 2 а11 1 '

х - а х х + а, х + g,„u,, 2 21 1 2 22 2 °22 2 *

X (О) = xio, Ха(0) = XJO, t 6 [0,Т],

з интегрируемое частью (17),

где упраалякшзга моменты и и и - ограничены:

|u I < .ж, |U2| - А,, (20)

л= const ;0, л = const :-0. 12

т - заданный момент времени, функционал Больца для данноа задачи выборэм в виде:

J(U) = 7i[X2(T)]+ V2[Xx(T)] +

"2 2

где vi(x2(T)) = а12х2(т) - aitLn<x2<T>>,

v^x^T)) ; - а21х1(т) + a22Ln(xt (T)),

Согласно формуле (18) функция v2 (xt) и '?t (X2) является первыми интегралами спстега (17) слздоватзльдо,К = vi(x.) + v2(xx) так же является парным интегралом системы (18).

Используя основную теорему нетрудно определить спгпяальЕыэ управления ui(xi) и и_,(х2), ипытатзнруютаз функционал Больца (21) при ограничениях:(19) и (20).

. J К ¿К

г 1

л = и! <V = - s»J =

а

= - " a2i)sn]»

oo reii * Л ,

u, = u2(x2)= -5-itg18+ "Fx.gJ =

Blx

При этом минимальное значение функционала (21) Судет равно: J(U°) = Ш1Л J(U) = V(X2(C))) + V^X^C)),

где:

v (x2(0)) = a^-A.Lncx

>,

20

тг,(х (0)) = a, x - a Ln<x >.

2 1 21 lO 22 10

Можно рассматривать таюкэ частный случай,когда система (18) содержит только одно управлешэ: ^ = - + ' « + b2U.

х = - t е [0,Т]. (22)

При этом парвыг интеграл системы (17):

v(x) = a^Xj- aliLr.<xJ)= const. Ограничение на уравнение:

|u|< л, л = const >0, а минимизируемый функционал Больца : т

J(U) = У(Х(Т)) + J л

<В12Х2- В.1>Ь2 I хг

dt -«■ с in, (с

где: v(x(T)) = а12х2(т)- а,.1-п<х,т>

Тогда при оптимальном управлении вида

u°= U°(x2) = - Jk slgn( " bj],

где: bx= 0, Ьг= Ьа, линейное значение функционала будет равно: J(u°)= Bin J(u) = а^х^- 8„LnfxTO5-

Численные расчеты были произведены для- систэа <19) , (22 > при

;азличных управлениях.

3 заключении излагаются основные результаты работы:

- Решена задача устойчивости и стабилизации электроэнергетических систем со многими генераторами для модели Паркз-Горе-ва. Наадекные стабилизирующие управления обеспечивают асияп-тотическую устойчивость электроэнергетической системы.

- Решена общая задача синтеза оптимального упразднил с ограниченным ресурсом с функционален типа Больца при наличии первых интегралов. Предложен прямой аналитически способ выбора оптимального управления с использованном свойства первого интеграла для интегрируемое части системы.

- Рэшэнз задача апгютсацнп функционала типа Больцз для позиционной модели ялэктрозЕзргэтпчзскпх епптпм. Рассмотрены математические модели биологии, систем типа "гяггзк - жзргг-ва" и решена задача оптимального упрзвлзнпя.

- Получены численные расчеты для дзухгла^иннс: электроэнергетических систем и биологических сосбцзстз при различных управ-

ЛНЮШДГл хзсздэ «.СТЫХЯЛ «

Автор выражает глубокую и сердэчнун благодарность Еаучнкн

руководителям доктору фкзико - катсиатачоокид наук,прсфзссору

Скагулсву Е.С. и кандидату фпзжэ - иатечагпчэасп: наук.дтзнгу

Еняразу Т.Н. зз постановку задач и полезныэ советы,постояннее

внимание к работе.

Ccechehs результата длеезртгцггг czjdzs&scao! -в работа»:

1. Смзгулсо З.С., Е::лроз Г.Н., 5азгалоэ К.Н. С;~сз спгпгаль-ныз систем уирззл£Егл с огрггпченпн;- pserpcca-. // Есст.АН КззССР, 1831. - № 2. - с.63 - 69.

2. Б32ГЭДЗЭ К.й. Сб аппг-алъзсстп поз:зг:он2с2 иадэлн зл-охтро-.

К. 3300.- с.V.

3. Баагелов К.К., Бияров Т.Н., Вумагулов Б.Т. Устойчивость и стабилизация электроэнергетической системы Парка-Горева. // ИА Респ-.Каз., Препринт. - N. 5,- Алма-Ата. - 1992.- с.16.

4. Байгелов К.К., Бияров Т.Н., Жумагулов Б.Т. Оптимизация бис логических систем при наличии ограничений нз управления. // ИА Респ.Каз., Препринт. - II. 6.- Алма-Ата. - 1992.- с. 21.

5. Байгелов К.К. ' Численное моделирование позиционной моде, электроэнергетических систем. // Математическая кибернетик; к управление движением. - КазГУ. — Алма-Ата. - (в печати).