автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимальное управление температурным режимом в теплице

На правах рукописи

Лашин Дмитрий Александрович

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫМ РЕЖИМОМ В ТЕПЛИЦЕ

Специальность 05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фпзико-мшеы.пических паук

ВОРОНЕЖ 2008

003169965

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики

(МЭСИ)

Научные руководители кандидат физико-математических наук,

доцент Асташова Ирина Викторовна,

доктор физико-математических наук, доцент Филиновский Алексей Владиславович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук;

Коньков Андрей Александрович

доктор физико-математических наук, доцент Пенкпн Олег Михайлович

Ведущая организация Самарский Государственный Университет

Защита состоится 18 июня 2008 г в 15 час 40 мин на заседании диссертационного совета Д 212 038 20 при Воронежском государственном университете по адресу 394006, г Воронеж, Университетская площадь, 1, аудитория 314

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан 15 мая 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212 038 20 при ВГУ кандидат физико-математических наук, доцент

В Провоторов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В данной работе рассматривается вопрос об управлении температурой в теплице Решается задача управления температурным режимом, математическая модель которой приводит к задаче о минимизации функционала качества для одномерного уравнения теплопроводности Эта задача пришла из практики так как на сегодняшний день наблюдается недостаток алгоритмов, позволяющих с высокой точностью поддерживать температуру в теплицах

Тепличное производство - это динамично развивающаяся отрасль сеть-екого хозяйства К 2008 году на территории России построено всего 2500 га промышленных теплиц Современная теплица имеет, как правило, 5 м в высоту, 140м в длину и 70м в ширину В связи с тем, что строительство и эксплуатация теплиц связаны с большими капиталовложениями, то требования, предъявляемые к количеству и срокам получения урожая в теплицах, всегда значительно выше, нежели к урожайности культур, растущих на открытом пространстве Достичь предъявляемых требований можно только в том случае, когда растения обеспечены необходимыми условиями развития и роста Важнейшими факторами, влияющими на темпы роста и урожайность, являются сбалансированный полив и четко выдержанный микроклимат К последнему относятся такие критерии как температура влажность концентрация углекислого газа, количество поетуиаемого света На сегодняшний день технологическое оборудование в геплицах позволяет регулировать практически все параметры, обусловливающие режим микроклимата, даже позволяет частично заменить солнечный свет, необходимый для фотосинтеза Специальные лампы позволяют создать уровень света, сравнимый по интенсивности с ясным весен-ннм днем Наиболее важным среди параметров микроклимата является температура воздуха в теплице В зависимости от фазы роста и времени суток, агрономом выбирается температурный режим (график температуры) и требования таковы что на определенной высоте называемой точкой роста, температура должна соответствовать выбранному режиму Точка роста - это уровень высоты в теплице, на котором в данный момент находится макушка растения, именно в этой точке зарождаются новые плоды и листья Изменение температуры воздуха в теплице производится с помощью системы отопления, которая представляет из себя трубы, рас-потоженные равномерно на полу теплицы Регулировка же температуры

труб осуществляется с помощью специального смесительного клапана, который смешивает воду из котельной и воду, возвращающуюся из теплицы Таким образом, принцип управления температурой в теплице заключается в выборе такой температуры отопления, чтобы на уровне точки роста температура воздуха соответствовала заданному режиму

В связи с развитием вычислительной техники, микроконтроллеров, разного рода датчиков, лучшим вариантом в качестве системы автоматического контроля и з'правления температурой стало использование приборов на базе ЭВМ Добиться оптимального поддержания температуры можно только с использованием современной вычислительной техники, позволяющей быстро обрабатывать потоки информации и своевременно подавать управляющие сигналы Но вычислительная техника может предоставить только средство для управления температурой, чего недостаточно Кроме этого нужен еще и математический алгоритм, на основе которого будет производиться расчет управляющих воздействий Проведенный анализ показал, что системы автоматического регулирования температурой, включая зарубежные, основаны, как правило, на застаревших эмпирических алгоритмах Современные требования агрономов не могут быть удовлетворены с помощью таких систем Поэтому разработка систем автоматического регулирования температурой, в основз' которой положен анализ соответствующей математической модели, является актуальной задачей

Предлагаемая модель включает следующие основные параметры (переменные)

и{х,1) распределение температуры в теплице у?(4) температура системы отопления на полу теплицы "ф(Ь)' отток тепла через остекление теплицы г(Ь) заданная температура

и(с, ¿) температура в теплице на высоте с (точке роста)

Задача автоматического управления заключается в том, чтобы с помощью управляющей функции <р(Ь), с учетом оттока тепла через остекление поддерживать на высоте с заданную температуру в течение времени Т В математических терминах условие поддержания температуры на высоте с можно записать в виде функционала

о

Модель теплопереноса в теплпце сводится к задаче для одномерного параболического уравнения с управлением на границе Эта задача имеет

г

вид

щ = «II, о < х <1, о < / <Т, (1)

и{ 0,t) = <p(t), (2)

их(1,1) = Щ, (3)

и(х, 0) = О, (4)

где yj(i) g WH0,T), i)(t) 6 T) для любого^Г > О

Пусть Qt = (0,1) х (О,Г) Обозначим через W^IQt) пространство, состоящее из таких элементов r}(x,t) е IV^iQr), что г](х,Т) = О, г](0, t) = О Пусть V2'°(Qt) ~ банахово пространство, состоящее из элементов и(х, t) пространства W^IQt) с конечной нормой

\u\Qt = ess sup |\u{x, i)||2,(O,0 + IKIkifr, 0<«Г

имеющих непрерывно меняющиеся с i € [0,Т] следы из Ьг(0,/) на сечениях (О, I) Под решением задачи (1) - (4) понимается такое обобщенное решение и(х, t) из энергетического класса1 V?'°(Qt), что выполняется интегральное тождество

т

J (ВДх ~ ur]t) dxdt = У Tjj(t)rj(l,t)dt,

Qt 0

для любой функции r](x,t) £ (Qt). 11 u(0,f) = tp(t)

Пусть T > 0, z(t) e ¿2(0, T) Рассматриваются следующие множества управляющих функций ip(t) для любого М > 0

им = е и^(о,т), ЦрЦц/^ог) ^ м},

и

Uu = У е ^2(0,т), |МЦ(о,г) < Л/, V(0) = 0} Для произвольного с 6 (0, i] определяется функционал качества

г

J[<p] = J(u(c,t) - z(t))2dt (5)

о

Оптимальным управлением будем называть функцию ip(t) из некоторого класса, минимизирующую данный функционал (5)

1 Ладыженская О 4 Солонншов В -1 , Уралъц( ва Н Н Линейные и квазилинейные уравнения

параболического типа М Ilav ид, 1067

Заданы подобные поставленной рассматривались в работах таких авторов, как А Г Бутковский2, Ю В Егоров3, А И Егоров4, Ж - Л Лионе5 и ДР

В этих работах изучаются задачи, которые условно можно разделить на два типа К первому относятся задачи, в которых управляющая функция должна выбираться так, чтобы в заданный момент времени температура стержня была максимально возможно близка к заданной В качестве функционала качества рассматривается функционал

где щ(х) - заданное распределение температуры в момент t = Т, р -управляющая функция В этих работах в качестве р рассматривается как управление на границе так и начальное управление

Ко второму типу относятся задачи на оптимальное быстродействие, т е задачи, в которых требуется довести температуру стержня до заданной за наиболее короткое время В этом случае рассматривается функционал, аналогичный (6), при дополнительном условии минимизации времени Т В отличие от упомянутых работ, где рассматривались задачи с финальным наблюдением, в данной работе решается задача с наблюдением, распределенным по времени (требуется поддерживать оптимальный режим в заданной точке с в течение времени Т)

Цель работы и основные задачи. Целью математического исследования являлось отыскание минимизирующей данный функционал функции <p(t) из предложенных классов В идеале требовалось получить точную управляемость Под точной управляемостью будем понимать возможность получения в точке с следа и(х, t) почти всюду совпадающего на [О, Т] с заданной функцией z(t), и, соответственно, точным управлением будем называть такую функцию из заданного класса, на которой

*Бутьоыкий 4 Г Оптимальное» управление в системах с распределенными параметрами — Автоматика и телемеханика, 19Ь1, т 22, N 1 i 17-26

^Егоров Ю В Некоторые задачи теории оптимального управления — УК Выч мат и мат физ ,

19G3 т 3, No 5, с 8S7 - 904

4Егоров А И Оптимальное управченне тепловыми и диффузионными процессами M Наука 1978, 403 «

5Лиане Ж -Л Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями l частными производными M Мир 1972

(6)

0

функционал •/[!£(£)] обращается в нуль, то есть

т

АФ)] = / («(с,«)-г(4))2А = О о

Далее требовалось построить алгоритм!, позволяющий с высокой точностью поддерживать температуру в теплице Прикладной целью данной работы является апробация алгоритма на действующих тепличных предприятиях России

Методы исследования В диссертационной работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории функций и функционального анализа в сочетании с методами оптимального управления

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми Основные из них — следующие

• Для задачи (1) - (4) доказаны существование и единственность решения из класса У^^т)

• Для (/?(£) Е (/а/ доказано существование решения экстремальной задачи

• Для </?(£) 6 ид/ доказаны существование и единственность решения экстремальной задачи

• Для функций г(() £ С([0,Т]) найдены условия отсутствия точнон управляемости

• Доказано, что множество функций г(£) 6 ¿г(0, Г), для которых существует точная управляемость, является множеством первой категории в Ь2(0, Г),

• Для произвольной функции г(£) 6 И^О, Т) найдено выражение для точного управления ¡р^) в виде ряда

Теоретическая и практическая ценность Работа носит как теоретический, так и практический характер Теоретические результаты работы могут быть использованы при исследовании задач управления для параболических } равнений Практическая ценность заключается в том, что полученные результаты легли в основу алгоритма дня создания автоматизированной системы управления температурой в теплице

Апробация работы. Теоретические результаты диссертации докладывались автором на следующих научных конференциях

• Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения - XVII» Воронеж, 2006

• Международная конференция по дифференциальным уравнениям н динамическим системам Суздаль, 2006

• Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения - XVIII» Воронеж, 2007

• 14-я Саратовская зимняя математическая школа «Современные проблемы теории функций и их приложения» Саратов, 2008

• Международная конференция «Функциональные пространства Дифференциальные операторы Общая топология Проблемы математического образования» Москва, РУДН, 2008

• Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008» Москва, МГУ, 2008

• Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — XIX» Воронеж, 2008

• Международная конференция «Чебышевскне чтения» «Математические идеи П Л Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» Обнинск, 2008

Тезисы всех докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций

Кроме этого автор выступал с докладами на следующих научных семинарах

• Научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под руководством проф В М Миллионщикова, проф В А Кондратьева, проф Н X Розова- 2008

• Научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры высшей математики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ) — 2006-2008

• Выездной научный семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры высшей математики Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭ-СИ), проходивший на базе тепличного предприятия ГУП "Майский" г Казань — январь 2008

• Научный семинар Воронежского Государственного Университета под руководством проф Ю В Покорного, проф Г А Куриной — 2008

Практические результаты докладывались на следующих специализированных семинарах

• Семинар для руководителей тепличных предприятий на базе АОЗТ "Матвеевское" Московской обл Ассоциация "Теплицы России" - 2006

• Семинар для специалистов защищенного грунта ВНИИОЗГ, 2006

• Семинар для руководителей тепличных предприятий на базе ОАО "Берестье" г Брест, респ Беларусь Ассоциация "Теплицы России" - 2007

• Практический семинар для технологов тепличных предприятий ООО НПФ "ФИТО" - 2006 - 2008

Также практические результаты работы успешно внедряются на действующих тепличных предприятиях Москвы, Казани, Воронежа, Вологды, Саранска Барнаула, Кемерово, Волгограда и др Имеются справки о внедрении

Программа, реализующая алгоритм управления температурным режимом размещена в Интернете www fito-agio com/ftp/soft/Momtor гаг

Публикации Результаты диссертации опубликованы в 14 работах (из них [14] - в издании рекомендованном ВАК по математике и механике, [3] - в издании, рекомендованном ВАК no ai рономии) Их список приведен в конце автореферата

Структура Диссертации. Диссертация состоит из введения двух глав, разбитых на параграфы, списка литературы и двух приложений Общий объем работы — 92 страницы, список литературы включает 27 наименований В работе имеются приложения с иллюстрациями практического применения Нумерация теорем, лемм — двойная номер главы и

собственный номер, формул — тройная номер главы, номер параграфа н собственный номер Во введении — независимая нумерация формул, а номера теорем совпадают с их номерами в основном тексте

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся исторические сведения о возникновении задачи, дается обзор результатов по главам

В первой главе осуществляется процесс моделирования задачи, переход от прикладной задачи к математической

В параграфе [1 1] описывается прикладная сторона вопроса Поясняются основные технические термины

В параграфе [1 2] рассматриваются основные параметры процесса распределения тепла Также в этом параграфе дается объяснение перехода от трехмерной модели теплицы к одномерной модели

В параграфе [1 3] рассматриваются подходы к решению задачи, даются характеристики эмпирическим алгоритмам, обосновывается вопрос математического моделирования

Далее в параграфе [1 4] показывается, как с использованием основных физических законов теплопереноса осуществляется переход от прикладной задачи к краевой задаче для уравнения теплопроводности Также в данном параграфе ставится задача граничного управ пения для параболического уравнения

В параграфе [1 5] рассматриваются работы других авторов по этой тематике Приводятся отличия рассмотренных авторами задач от поставленной в диссертации

Во второй главе приводятся основные математические результаты В параграфе [2 1] дается математическая постановка задачи Приводится доказательство леммы

Лемма 2 1 Обобщенное решение задачи (1) - (4) из класса У^'^СЗг) существует и едгтствгнно Для класса функций

иЛ, = &е И^О.Г), |Мк.(0.г) <

в параграфе [2 2] доказывается следующая теорема

Теорема 2 1 Существует функция <ро{1) € С/д/, для которой

В параграфе [2 3] формулируется и доказывается теорема единственности решения экстремальной задачи

Рассмотрим класс управляющих функций

иЬ = И2(0,Т), |Мк'(о,Т) < М, ¥>(0) = 0}

Теорема 2.2 Существует единственная функция (ро(£) 6 Ум, для которой

Ар] = АЫ

Следующие утверждения показывают, что точная управляемость может не иметь места не только для функции г{Ь) 6 ¿2(0, Т), но и для г(4) 6 С([0, Г]) Рассмотрим вопрос о точной управляемости в случае •ф(Ь) =0 (отсутствует поток через границу х = Г)

Щ = ихх, 0 < х < I, 0 < Ь < Т, (7)

и(0,£) = у?(£), (8)

их(1,г)= 0, (9)

и(х,0) = 0 (10)

Теорема 2 3. Для любого М > 0 существует такая функция з(£) 6 С([0,Г]), что для любой функции <р(£) € для задачи (7) - (10) выполняется неравенство = /0Г (и(с, £) — г(£))2 (й > 0

Рассмотрим теперь более общий случай когда ф 0, то есть будем рассматривать задачу (1) - (4)

Теорема 2 4 Для любых М > 0 и М\ > 0 существует такая функция г(£) £ С([0,Т]), что для любой функции 6 [/^ и любой такой

т е (о,т),

что ||11^(0,г) ^ -^ь для решения задачи (1) - (4) выполняется неравенство

т

.¡У] = I (и(с,0 - г(£))2 (й > 0 о

Теорема 2 5 Для любого в Т)

множество Z всех функций г(£) 6 ¿2(0, Т), для которых существует такое М > 0, что в классе {¡м возможна точная управляемость (то есть существует (ро € ¡7д/, такая, что = 0,), явмется множеством первой категории

вЬ2(0,Т)

и

В параграфе [2 5] доказывается теорема о существовании точной управляемости для е И^ЧО.Г) Более того в рамках данной теоремы удалось выразить функцию реализующую точное управление, через заданные функции и ,г(£)

Теорема 2 6. Для любой е Т) и для любой г{Ь) е ^(0, Т), существует такое М > 0, что в классе С/д/ имеет место точная управляемость, и управление 6 С/д/ имеет вид

¥>(«) = г(4) - + £ ^^^ +

Подводя итоги данной работы, хотелось бы отметить, что полученные результаты позволили получить условия точной управляемости С практической точки зрения этот результат позволяет заранее предсказывать возможность или невозможность поддержания заданной в теплице температуры Полученное выражение точного управления представляет большой практический интерес, так как составило основ}'' алгоритма, реализующего автоматическое управление температурным режимом

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям II В Асташовой и А В Филиновскому за большое внимание к данной работе

Список основных работ автора по теме диссертации.

[1] Лашин Д А Использование логических выводов в управлении микроклиматом теплиц // Теплицы России — Москва, 2004 — N 1 — С 33-35

[2] Лашин ДА 1Т в теплицах симбиоз технологий /у Тепличные технологии — Москва, 2005 — N 2(3) — С 16

[3] Лашин Д 4 Стратегия управления микроклиматом в теплицах // Гавриш - Москва, 2005 - N 2 - С 25-26

[4] Лашин ДА О существовании оптимального управления температурным режимом // Тезисы Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам — Суздаль, 2006

- С 141

[5] Лашин ДА Об оптимальном управлении температурным режимом // Материалы Воронежской весенней математической школы — Воронеж, 2006 - С 103

[6] Лашин Д А Современные системы автоматического управления микроклиматом в теплицах НПФ "ФИТО" // Теплицы России — Москва, 2006 — N 3 — С 52-53

[7] Лашин Д 4 0 единственности оптимального управления температурным режимом // Материалы Воронежской весенней математической школы — Воронеж, 2007 — С 105-106

[8] Лашин Д А О существовании оптимального управления температурным режимом // Современная математика и ее приложения — 2008

- 9С

[9] Лашин Д А Искусство российских технологий Комплексная автоматизация теплиц на базе оборудования НПФ "ФИТО" // Теплицы России — Москва, 2007 — N 4 — С 49-50

[10] Лашин Д А Об оптимальном управлении температурным режимом // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы — Саратов, 2008 - С 99

[11] Лашин ДА О граничном управлении температурой /' Функциональные пространства Дифференциальные операторы Общая топология Проблемы математического образования Тезисы докладов третьей международной конференции, посвященной 85-летию проф Л Д Кудрявцева - Москва, 2008 - С 286

[12] Лашин Д 4 Об одной параболической задаче с граничным управлением // Математические идеи П Ч Чебышева, их приложение к современным проблемам естествознания Тезисы докладов — Обнинск, 2008 - С 46-47

[13] Лашин ДА Об оптимальном управлении температурным режимом // Деп в ВИНИТИ 356-В2008 от 23 04 08 - Москва МЭСИ 2008 -17С

[14] Лашин ДА Об оптимальном управлении температурным режимом // Дифференциальные уравнения — 2008 — Т 44, вып 6 — С 853

1 работа (№ [14]) опубликована в издании рекомендованном перечнем ВАК

Подписано к печати 14 05 08 Формат издания 60\84/16 Печ л 0,9 Заказ 7537 Бум офсетная N1 Уч-ичдл 0,8 Печахь офсетная Тираж 100 экз

Типография издательства МЭСИ 119501, Москва Нежинская ул , 7

Введение

1 Описание предметной области

1.1 История возникновения задачи.

1.2 Формулировка задачи.

1.3 Подходы к решению задачи.

1.4 Построение математической модели.

1.5 Обзор существующих методов

2 Математическая модель на базе уравнения теплопроводности

2.1 Постановка краевой задачи.

2.2 Существование решения экстремальной задачи.

2.3 Единственность решения экстремальной задачи.

2.4 О точной управляемости

2.5 Об оптимальном управлении.

Данная работа посвящена вопросу об управлении температурой в теплице. Решается задача управления температурным режимом в теплице, матиматическая модель которой приводит к задаче о минимизации функционала качества. В работе рассматривается одномерное уравнение теплопроводности, доказываются теоремы о существовании и единственности управляющей функции, а также выводятся условия, при которых возможно точное управление. В конце работы для некоторых классов функций найдено точное выражение на управление.

Задача управления пришла из практики, так как на сегодняшний день наблюдается недостаток алгоритмов, позволяющих с высокой точностью поддерживать температуру в теплицах. Тепличное производство -это динамично развивающаяся отрасль сельского хозяйства. К 2008 году на территории России построено всего 2500 га промышленных теплиц. Современная теплица имеет, как правило, 5 м в высоту, 140м в длину и 70м в ширину. В связи с тем, что строительство и эксплуатация теплиц свя заны с большими капиталовложениями, то требования, предъявляемые к количеству и срокам получения урожая в теплицах, всегда значительно выше, нежели к урожайности культур, растущих на открытом пространстве. Достичь предъявляемых требований можно только в том случае, когда растения обеспечены необходимыми условиями развития и роста.

Важнейшими факторами, влияющими на темпы роста и урожайность, являются сбалансированный полив и четко выдержанный микроклимат. К последнему относятся такие критерии как температура, влажность, концентрация углекислого газа, количество поступаемого света. На сегодняшний день технологическое оборудование в теплицах дает возможность регулировать практически все параметры, обуславливающие режим микроклимата и даже частично заменить солнечный свет, необходимый для фотосинтеза. Специальные лампы позволяют создать уровень света, сравнимый по интенсивности с ясным весенним днем.

Наиболее важным среди параметров микроклимата является температура воздуха в теплице. В зависимости от фазы роста и времени суток, агрономом выбирается температурный режим (график температуры), и требования таковы, что на определенной высоте, называемой точкой роста, температура должна соответствовать выбранному режиму. Точка роста -это уровень высоты в теплице, на котором в данный момент находится макушка растения, именно в этой точке зарождаются новые плоды и листья. Изменение температуры воздуха в теплице производится с помощью системы отопления, которая представляет из себя трубы, равномерно расположенные на полу теплицы. Регулировка же температуры труб осуществляется с помощью специального смесительного клапана, который смешивает воду из котельной и воду, возвращающуюся из теплицы. Таким образом, принцип управления температурой в теплице заключается в выборе такой температуры отопления, чтобы на уровне точки роста температура воздуха соответствовала заданному режиму. История возникновения систем автоматического регулирования, а также способы поддержания температуры в теплице описаны в параграфе [1.1].

В условиях стремительного развития вычислительной техники, совершенствования микроконтроллеров и разного рода датчиков в качестве системы автоматического контроля и управления температурой лучшим вариантом является использование устройств и приборов на базе ЭВМ. Добиться оптимального поддержания температуры невозможно без применения современной вычислительной техники, позволяющей быстро обрабатывать потоки информации и своевременно подавать управляющие сигналы. Однако вычислительная техника может предоставить только средство для управления температурой, а кроме этого необходим еще и математический алгоритм, на основе которого будет производиться расчет управляющих воздействий.

Проведенный анализ показал, что системы автоматического регулирования температурой, включая зарубежные, основаны, как правило, на устаревших эмпирических алгоритмах. Современные требования агрономов не могут быть удовлетворены с помощью таких систем. Поэтому разработка систем автоматического регулирования температурой, в основу которой положен анализ соответствующей математической модели, является актуальной задачей.

Итак, рассмотрим процесс распределения тепла внутри теплицы. Понимание того, как функционирует процесс, обычно выражается в виде модели, которая описывает поведение объекта. Чтобы построить такую модель, сначала необходимо выделить важные параметры (переменные) процесса: и(х,Ь): распределение температуры в теплице, температура системы отопления на полу теплицы, отток тепла через остекление теплицы, заданная температура, и(с, £): температура в теплице на высоте с (точке роста). Описание вышеперечисленных параметров процесса распределения температуры приводится в параграфе [1.2] данной работы.

Задача автоматического управления заключается в том, чтобы с помощью управляющей функции ф{Ь), с учетом оттока тепла через остекление ?/>(£), поддерживать на высоте с заданную температуру в течение времени Т. В математических терминах условие поддержания температуры г(£) на высоте с можно сформулировать, как задачу минимизации функционала (и(с,£) -2(£))2<й. Л

Существует два подхода к реализации задачи управления. Первый - это построение алгоритма управления на базе эмпирического алгоритма, например, на базе широкоизвестных ПИД (Пропорционально-Интегрально-Дифференциальных)-регуляторах. Простота таких регуляторов, с одной стороны, позволяет достаточно быстро разрабатывать системы управления, а, с другой стороны, ограничивает диапазон объектов, которыми они могут удовлетворительно управлять. Тем не менее, удивительная многосторонность ПИД-управления обеспечивает в течение длительного времени значимость и популярность данного регулятора.

Обычно ПИД-регулятор описывается функцией, связывающей ошибку е{р) = — у{Ь) и выход регулятора следующим образом х{1) = Кре(г) + ^ / + где Кр - пропорциональный коэффициент, К{ - интегральный коэффициент и соответственно К'д - дифференциальный.

Сфера применения описанного регулятора широка, начиная от металлургической промышленности и заканчивая медицинскими приборами. Для того, чтобы запустить устройство управления на базе ПИД-закона, достаточно подобрать соответствующим образом коэффициенты

Яр, Кь К(1).

Применительно к поставленной задаче расчет управляющей функции на базе ПИД будет таковым:

Основная причина использования ПИД-регуляторов для устройств регулирования температуры - это простота в разработке и реализации. Но при сильных возмущающих воздействиях такой регулятор не справляется с поставленной задачей, а временами управляющая функция и вовсе порождает колебательный процесс в (1-1,5 градуса).

Современная технология выращивания, наоборот, требует все большую точность в поддержании температуры. Более подробно об эмпирическом моделировании описано в параграфе [1.3].

Второй подход для построения алгоритма - это математическое моделирование объекта. Подход к задаче моделирования состоит в том, чтобы использовать физические законы (тина сохранения массы, энергии и импульса) для построения модели. В этом подходе используется факт, что в любой реальной системе имеются основные феноменологические законы, которые определяют связь между всеми ее внутренними параметрами. Применяя физические законы переноса тепла (теплопроводности и конвекции), получаем, что процесс распределения температуры описывается уравнением теплопроводности. Процесс построения модели описан в параграфе [1.4]. Таким образом, получаем задачу

Щ — ихх, 0 < х < I, 0 < £ < Т, их(1,г) = и(х,0) = о, где ф{€) е ^(0,Т), ф{1) £ И^(0,Г) для любого Т > 0.

1) (2)

3)

4)

0,0 = 0(0 их(1, о =

0 и(х, 0)=0 I х

Под решением задачи (1) - (4) будем понимать обобщенное решение из энергетического класса, то есть функцию и(х, ¿) € ^^(Фт), где Ят — (0,0 х (О,^1) ([1], с.15). Утверждения, доказывающие существование и единственность решения u(x,t) е V^^iQr) Для задачи (1) - (4), приводятся в параграфе [2.1] данной работы.

Пусть Т > О, z(t) е L2(0, Т). Обозначим через Um множество функций им = {Фе жКо,т), U\\W^T) < М}, где М > 0.

Для произвольного с е (0, /] определим функционал т

J[(t>]= [ (u(c:t)-z(t))2dt. (5)

Jo

Целью математического исследования является отыскание минимизирующей данный функционал функции ф(р) из предложенного класса Um-В идеале требуется получить точную управляемость. Под точной управляемостью будем понимать возможность получения в точке с следа u(x,t), почти всюду совпадающего на [0, Т] с заданной функцией z(t), и соответственно точным управлением будем называть такую функцию </>(£) G Um, при которой функционал J[0(t)] обращается в ноль: т

J[0(t)] = [ (и(с, t) — z(t))2 dt = 0.

J о

Задачи, подобные поставленной, рассматривались в работах таких авторов, как А. Г. Бутковский, Ю.В. Егоров, А.И. Егоров, Ж.-Л. Лионе и др.

Эти работы условно можно разделить на два типа. К первому относятся задачи, в которых управляющая функция должна выбираться так, чтобы в заданный момент времени температура стержня была максимально возможно близка к заданной. Ко второму типу относятся задачи на оптимальное быстродействие, т.е. задачи, в которых требуется довести температуру стержня до заданной в наиболее короткое время. Некоторые результаты этих работ приведены в параграфе [1.5].

Возвращаясь непосредственно к поставленной задаче (1) - (4), сформулируем теорему существования решения экстремальной задачи:

Теорема 2.1. Существует функция фо^) е 11м, для которой Ы

Феим

Доказательство этой теоремы приводится в параграфе [2.2]. В следующем параграфе [2.3] приводится и доказывается теорема единственности решения экстремальной задачи.

Рассмотрим класс управляющих функций и°м = {фе ^(0,Т), Т) < м, 0(0) = 0},

Теорема 2.2. Существует единственная функция фо(Ь) € для которой

Ы: т = Аф0].

Ф&м

Следующие утверждения показывают, что точная управляемость может не иметь место не только для функций г{Ь) 6 1^(0, Т), но и для С([0,Т]). Рассмотрим вопрос о точной управляемости в случае ^(¿) =0 (отсутствует поток через правый конец).

Щ = йхх, 0 < х < I, 0 < Ь < Т, (6) й(0 = (7) йх(1,г) = о, (8)

АФ) = АФо]. йО,0) = 0.

9)

Теорема 2.3. Для любого М > 0 существует такая функция € С([0 п"г1пп Лпа ^1,^0,0,0, Л\(+\ а тто ¡)ля задачи (6) - (д] выпол

Рассмотрим теперь более общий случай, когда ф 0, т.е. будем рассматривать задачу (1) - (4).

Теорема 2.4. Для любых М > 0 и Му > 0 существует такая функция Е С([0,Т]); что для любой функции ф(Ь) € и^ и любой такой ф(Ь) € ),Т)7 что \\ф^)\\цг^(о,т) < для решения задачи (1) -(4) выполняется неравенство

Теорема 2.5. Для любого Е РТ7^(0, Т1) множество Z всех функций г(Ь) Е 1,2(0, Т), для которых существует такое М > 0, что в классе 11м возможна точная управляемость (то есть существует фо Е им, такая, что J[фo} = 0), является множеством первой категории в ¿2(0, Т).

В следующем параграфе [2.5] доказывается теорема о существовании точной управляемости для Е И^2(0,Т). Более того, в рамках данной теоремы удалось выразить функцию ф(£), реализующую точное управление, через заданные функции ф(Ь) и

Теорема 2.6. Для любой ф(г) Е И^(0,Т) и для любой г(Ь) Е И^С),Т), существует такое М > 0, 'что в классе 11м имеет место точная управляемость, и управление ф(Ь) Е £/д/ илгеет вид: няется неравенство 1[ф] — (гг(с, £) — г({))2 (И > 0. оо

71=0

Подводя итоги данной работы, хотелось бы отметить, что полученные результаты позволили получить условие точной управляемости. С пракN тической точки зрения этот результат позволяет заранее предсказывать возможность или невозможность поддержания заданной в теплице температуры.

Выведенное выражение точного управления представляет большой практический интерес, так как составило основу алгоритма, реализующего автоматическое управление температурным режимом. Частично полученные результаты уже внедряются на базе систем и комплексов научно-производственной фирмы "ФИТО".

Фирма "ФИТО" организована в 1991 г. группой специалистов Специального Конструкторско-Технологического Бюро АПК "Москва". Основным направлением деятельности является разработка автоматических комплексов и систем для управления технологическими процессами (в том числе и температурой) в теплицах. В настоящее время фирма является лидером Российского рынка и ежегодно разрабатывает проекты и поставляет оборудование для 50-60 гектар защищенного грунта. С 2005 года осуществляются поставки разработанного оборудования в страны Европы.

Полученные в рамках данного исследования результаты опубликованы в работах [14] - [27].

Фотографии с действующих объектов приведены в приложении 1. Справка о внедрении приводится в приложении 2. Отзывы ведущих тепличных комбинатов — в приложении 3. Экранные формы программы, которая реализует алгоритм оптимального управления, приводятся в приложении 4.

1. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука 1967.

2. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 1972.

3. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1983.

4. Рисс Ф., Секефалъви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. Москва.: Мир. 1979.

5. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Москва.: Наука. 1988.

6. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. Ленинград.: ОГИЗ. 1948.

7. Гудвин Г.К., Гребе С. Ф., Салъгадо М.Э. Проектирование систем управления. Москва.: БИНОМ. 2004.

8. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления// Ж. Выч. мат. и мат. физ.,1963, т.З, №5, с. 887-904.

9. Бутковский А.Г. Оптимальное управление в системах с распределенными параметрами// Автоматика и телемеханика, 1961, 22, № 1, с. 1726.

10. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. 7-е издание, Москва.: НАУКА, 2004.

11. Рудин У. Функциональный анализ. Москва.: МИР, 1975.

12. Ильин A.A., Калашникв A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа.// Успехи матем. наук, 1962, 17, вып. 3, с. 3-146.

13. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука,. 1978, 463 с.

14. Лашин Д.А. Использование логических выводов в управлении микроклиматом теплиц // Информационный сборник "Теплицы России", 2004, № 1, с. 33-35.

15. Лашин Д.А. IT в теплицах: симбиоз технологий // Тепличные технологии, 2005, № 2(3), с. 16.

16. Лашин Д. А. Стратегия управления микроклиматом в теплицах// Гав-риш, 2005, № 2, с. 25-26.

17. Лашин Д.А. О существовании оптимального управления температурным режимом// Тезисы Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2006, с. 141.

18. Лашин Д.А. Об оптимальном управлении температурным режимом.// Материалы Воронежской весенней математической школы, Воронеж, 2006, с. 103.

19. Лашин Д.А. Современные системы автоматического управления микроклиматом в теплицах НПФ "ФИТО11// Журнал для специалистов защищенного грунта "Теплицы России", 2006, № 3, с. 52-53.

20. Лашин Д.А. О единственности оптимального управления температурным режимом// Материалы Воронежской весенней математической школы, Воронеж, 2007, с. 105-106.

21. Лашин Д.А. О существовании оптимального управления температурным режимом // принята к печати в журнале "Современная математика и ее приложения" в 2007 г., 9 с.

22. Лашин Д.А. Искусство российских технологий. Комплексная автоматизация теплиц на базе оборудования НПФ "ФИТО"// Журнал для специалистов защищенного грунта "Теплицы России", 2007, № 4, с. 4950.

23. Лашин Д. А. Об оптимальном управлении температурным режимом // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы, Саратов, 2008, с. 99.

24. Лашин Д. А. Об одной параболической задаче с граничным управлением // Математические идеи П.Л. Чебышева, их приложение к современным проблемам естествознания. Тезисы докладов, Обнинск, 2008, с. 46-47.

25. Лашин Д.А. Об оптимальном управлении температурным режимом. Москва.: МЭСИ, 2008,17 с. Библиогр. 6 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 356-В2008 от 23.04.08.

26. Лашин Д. А. Об оптимальном управлении температурным режимом // Дифференциальные уравнения, 2008, том 44, вып. 6, с. 853.