автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оптимальное управление процессом нагрева призмы с учетом ограничений на термонапряжения и максимальную температуру

Башкирский государственный аграрный университет

На правах рукописи

БИКБУЛАТОВА

Гузялия Саяфовна

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ НАГРЕВА ПРИЗМЫ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ТЕРМОНАПРЯЖЕНИЯ И МАКСИМАЛЬНУЮ ТЕМПЕРАТУРУ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Морозкин Н.Д.

Уфа 1998

Содержание

В в е д е н и е.................................................3

Глава 1. Задача оптимального по быстродействию управления процессом нагрева призмы.............,........................7

§1. Постановка задачи оптимального быстродействия...............7

§2. Применение метода интегральных преобразований для расчета

тепловых полей.............................................10

Глава 2. Расчет термонапряжений................................16

§ 1. Термонапряженное состояние призмы..........................16

§2. Ускорение сходимости рядов при расчете термонапряжений.....26

§3. Анализ термонапряжений.....................................27

Глава 3. Конечномерная аппроксимация...........................37

§1. Постановка конечномерной задачи............................38

§2. Априорная оценка погрешности аппроксимации по состоянию в

норме пространства ..................................50

§3. Сходимость конечномерных приближений.....................53

§4. Исследование управляемости.................................64

§5. Решение задачи быстродействия с линейными ограничениями.... 75 §6. Описание комплекса программ для расчета оптимального управления нагревом призмы........................................82

§7. Вычислительные эксперименты и их анализ....................85

3 а к люч е н и е...........................................110

Л и т е р а т у р а...........................................112

ВВЕДЕНИЕ

Во многих современных технологических процессах, связанных с нагревом материалов, элементов конструкций, деталей и т.п., требуется находить оптимальные режимы нагрева с учетом различных ограничений, например, ограничений на максимальную температуру тела, на термонапряжения и др.

Несмотря на практическую значимость задачи оптимизации процессов нагрева с учетом ограничений изучены значительно меньше задач оптимизации нагрева без учета ограничений.

В работах [1,11-13,23,24] исследована задача оптимального по быстродействию одномерного нагрева с учетом ограничений на растягивающие термонапряжения и на температуру поверхности. Исходная задача аппроксимировалась конечномерной. Считалось, что к разрушению нагреваемого изделия приводят только растягивающие термонапряжения, на которые и накладывались ограничения. В предположении, что предел прочности есть постоянная величина предложены способы решения задачи наискорейшего нагрева. Описанные способы решения применимы только для задачи одномерного нагрева, причем методы поиска управлений указаны только для конечномерной задачи из двух-трех уравнений и не применимы для решения конечномерных задач большей размерности/ Не исследованы также вопросы сходимости конечномерных аппроксимаций по состоянию, по функционалу быстродействия и по управлениям.

В работах [18-20] исходная задача сводилась к задаче поиска

допустимых температурных режимов. Этот подход применим лишь в некоторых частных случаях при жестких априорных ограничениях на поведение оптимального управления.

В [52] рассматриваются задачи распределения температур и напряжений в призме прямоугольного сечения, находящейся под действием внутренних источников. Исследуется распределение термонапряжений при действии единичного импульса. Однако в [52] не рассматривается задача оптимального управления нагревом призмы с учетом ограничений на термонапряжения.

В работах [61,62] исследовалась двумерная задача оптимального по быстродействию индукционного нагрева цилиндра конечной длины с учетом ограничений на термонапряжения. Уравнения аппроксимировались методом конечных элементов и дифференциальная задача заменялась задачей нелинейного программирования. Последняя решалась в предположении, что управляющий параметр имеет не более двух точек переключения. Этот метод приводит к весьма трудоемким алгоритмам, которые не всегда сходятся.

Научная новизна работы состоит в том, что

1. Решена задача оптимального по быстродействию нагрева призмы внешними тепловыми источниками с учетом ограничений на термонапряжения, на максимальную температуру путем аппроксимации исходной задачи последовательностью конечномерных задач оптимального управления;

2. Доказана теорема о сходимости конечномерных приближений по функционалу и по управлению в двумерной задаче внешнего нагрева с ограничениями на максимальную температуру, получены конструктивные оценки погрешности аппроксимации по состоянию;

3. Исследовано термонапряженное состояние призмы. Определе-

ны точки, в которых термонапряжения при наискорейшем нагреве достигают экстремальных значений;

4. В случае одномерного нагрева призмы проведено исследование управляемости задачи нагрева с учетом ограничений на термонапряжения и на максимальную температуру;

5. Разработан комплекс программ, позволяющий провести анализ термонапряжений, возникающих при нагреве призмы, и решить задачу оптимального по быстродействию нагрева призмы с учетом ограничений на термонапряжения и на максимальную температуру. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность метода решения задачи оптимального нагрева с учетом ограничений .

Опишем кратко основные результаты, полученные в работе.

В первой главе исследуется задача оптимального по быстродействию нагрева призмы с учетом ограничений на растягивающие и сжимающие термонапряжения и максимальную температуру. Рассматривается задача нагрева внешними тепловыми источниками при краевых условиях третьего рода. Предполагается, что нагреваемые материалы разрушаются хрупко и что теплофизические и механические коэффициенты, входящие в уравнения, постоянные. Зависимости пределов прочности от температуры аппроксимируются линейными функциями. Методом интегральных преобразований решение тепловой задачи записывается в виде ряда Фурье, коэффициенты которого находятся из решения бесконечной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

В главе 2 решение задачи термоупругости выписывается в виде рядов, коэффициенты которых определяются из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Полученные ряды медленно схо-

дятся на границе и в точках, достаточно близких к границе. Пользуясь асимптотическими свойствами решения бесконечной системы алгебраических уравнений сходимость рядов улучшается путем выделения и представления в замкнутом виде их медленно сходящихся частей. Проведены вычислительные эксперименты. В результате анализа выявлены точки, в которых термонапряжения достигают экстремальных значений.

В главе 3 исходная задача быстродействия с ограничениями на термонапряжения и на максимальную температуру сводится к конечномерной задаче оптимального быстродействия, описываемой системой линейных дифференциальных уравнений с линейными фазовыми ограничениями. Решение полученной задачи и принимается за #-ое приближение решения исходной задачи. Выписана оценка погрешности аппроксимации по состоянию в норме пространства Ь . Указаны условия, при которых конечномерные приближения в задаче внешнего нагрева с учетом ограничений на максимальную температуру сходятся по функционалу быстродействия, а соответствующие управления слабо сходятся к оптимальному управлению. Полученная конечномерная задача решается с помощью многошагового алгоритма корректировки опорной гиперплоскости, изложенного в работе [45]. Алгоритм позволяет эффективно решать задачи линейного быстродействия независимо от размерности системы. Приведены результаты экспериментов как при наличии, так и при отсутствии фазовых ограничений, которые подтвердили эффективную работу алгоритма на практике .

ГЛАВА 1

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАГРЕВА ПРИЗМЫ

В данной главе исследуется задача оптимального по быстродействию управления нагревом призмы прямоугольного сечения с учетом ограничений на сжимающие и растягивающие термонапряжения, на максимальную температуру в предположении постоянства всех теплофизических и механических коэффициентов за исключением пределов прочности на сжатие и растяжение, зависимости которых от температуры аппроксимируются линейными функциями. Методом интегральных преобразований решение тепловой задачи записывается в виде ряда Фурье, коэффициенты которого находятся из решения бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 1. Постановка задачи оптимального быстродействия

Процесс осесимметричного нагрева бесконечной призмы прямо

угольного сечения внешними тепловыми источниками описывается

следующими уравнениями

еТ(г,г,Ь) = Л д2Т(г,г,Ь) . дгТ(г,г,Ь)

ж~--а

дГ2 8Z2

+ ° 1 K1 'и/\ (1 1) 8Z2

О<r<R, 0<z<H, 0<Ы;<ю,

с начальным условием

T(r,z,0) = Tq = const, 0*rsR, OszzH (1.2)

и с краевыми условиями

л дТ(г,г,Ь)

8Г

аТ(г,г,Ь)

—а (Р (Ь)-Т(Н,г,Ь)), (1.3)

11

г =И

8Г

О, (1.4)

г = О

, дТ(г,г,Ь) х-дг-

дТ(г,г,Ь)

= а (Р2(Ь)-Т(г,Н,Ь), (1.5)

г = Н

=0, (1.6)

г = 0

аг

где а - коэффициент температуропроводности (м2/с), 2Я, 2Н- длины сторон сечения призмы (м), л- коэффициент теплопроводности (Вт/(м-гр)), а1)«2~ коэффициенты теплообмена (Вт/(м2-гр)), Р (Ь),Р (Ь) - управляющие параметры (°С).

Будем считать, что Р(Ь)=(Р (Ь),Р (Ь))е1*[О,И] и почти при всех О

Т < Р~ *Р (Ь) * Р+, 1=1,2. (1.7)

О 1 1 1

Предполагается, что коэффициенты а, Л, а не зависят от температуры.

В процессе нагрева требуется, чтобы нагреваемое тело не получило бы необратимые деформации. Будем предполагать, что нагреваемое тело разрушается хрупко, без сколько-нибудь заметных деформаций. Тогда, согласно первой классической теории прочности [58], в течении всего процесса нагрева должны быть выполнены неравенства

-а- (Т) * о-. . (г,г,Т) * <г (Т), (1.8)

С 11 р

где о- (Т), сг (Т) - пределы прочности на растяжение и сжатие

Р с

(мПа), <г (г,г,Т) - нормальные компоненты тензора напряжений (мПа), 1=г,2.

Кроме выполнения неравенств (1.8) потребуем также выполнения ограничений на максимальную температуру в теле.

В условиях рассматриваемой задачи из физических соображений

ясно, что при нагреве внешними тепловыми источниками наиболее нагретыми оказываются точки, расположенные на поверхности, а именно точки г=Я,г=0; г=К,г=Н; г=0,г=Н. Поэтому в дальнейшем ограничения на максимальную температуру будем учитывать в виде

Т(В,0,Ь) *Тдоп,Т(В,Н,Ь) * Тдол, Т(0,Н,Ь) * Тдоп,Ь>0. (1.9)

Запишем соотношения (1.1)-(1.9) в безразмерных единицах. С этой целью введем следующие безразмерные переменные

Р=г/Д, 1=г/Н,

х=аЬ/Я2, В1 =сс Я/А, В1 =а Я/А, и =(Р (Ь)-Т )ос ,

' 11 ' 22 ' 1 4 3. ' О Т '

й,=Л/Н, е=(Т(г,г,Ь)-То)ат,

и =(Р -Т )а , и~=(Р+-Т )а , 1=1,2, <т* =а /Ъ, (1.10)

1 ЛОТ! О Т jjjj

</=чг /Ъ, <т*=<т /Ь, Г=а£/Й2,

с с р р

где

Ь= 2 Е, ,I, а - коэффициент линейного расширения (1/гр),

1-У т

V - безразмерный коэффициент Пуассона, Е - модуль Юнга (мПа).

В новых переменных соотношения (1.1)—(1.6) запишутся в виде

дв(р,1,т) = д2е(р,1,х) + д2е(р,1,х)

дх ар2 * д12

0<р<1, о<1<1, 0<х*Т,

е(р,1,0) = 0, 0*р*1, 0*1*1,

ав(р,1,х) др

дв(р,1,х) др

дв(р,1,х)

81

ае(р,1,х)

81

р= 1

р=о

1 = 1

1 =о

В11(и1(х)-е(1,1,х)),

= 0,

= В12(и2(х)~в(р,1,х)),

= 0.

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

Безразмерные управления и(х)=(и (х),и (х))еЬ [О,Т] и почти

при всех т<=[0,Т]

и' * и (т) * и+, 1=1,2. (1.17)

Множество таких управлений обозначим через и.

* *

Аппроксимируем зависимости <т (в) и а (в) линейными функци-

с р

ями

сг (е)= с е+й ,

р 1 1' *

а (в)= С в+й .

с 2 2

(1.18)

Тогда ограничения (1.8) перепишутся в виде

-с в-й ^ сг (р,1,в) * с в+й , 1=р,1. (1.19)

22 г > > 1 1 ' ^ '

Соответственно неравенства (1.9) приобретут вид е(1,0,т) *е90П,е(1,1,т) * 9доп, 6(0,1,х) * едоп. (1.20) Пусть е(р,1) - некоторая положительная функция, принадлежащая пространству (а), где

п ={(р,1): ре(0,1), Ы0,1)}. (1.21)

Задача 1. Найти управление и°(г)еЛ, те[0,т°], позволяющее за минимальное время т °<=(0,Т] довести температуру е(р,1,т) нагреваемого тела до заданной е(р,1) с фиксированной

точностью 1 1

Г Г Ге(р,1,г°)-э(р,1)]йЫр * С (1.22)

о о ^

так, чтобы при всех те[£о,т°] были бы выполнены неравенства (1.20) и в заданных точках (р3,13), 8=1,б1, неравенства (1.19), где е^О, £о>0 - некоторые фиксированные числа.

§ 2. Применение метода интегральных преобразований для расчета тепловых полей

Используя конечные интегральные преобразования Фурье по координатам р и 2, можно получить эквивалентное представление объекта управления бесконечной системой дифференциальных уравнений для коэффициентов х. разложения в(р,1,т) в кратный ряд Фурье по собственным функциям тепловой задачи. Применим конечное косинус преобразование Фурье по координате р, т.е. преобразование [34,39]

1

[е(р,1,х)]= е(а,1,т)= [в(р,1,т)сов(ар)йр. В результате будем иметь

I

а2в

СОв( <хр)йр =

О'' др

и=СОв(ар) , йи=-а81п(оср) V- дв

др

др

= сов(ар)

дв

+

а | З1п(ар)с1р=

0° др

и=£!2 п(ар), с1и=аС08(сср)

дв

йр, V— 0

= С08(ар)

др

дв

+

др

+

+ аБт(ар)в

др

<х2^вС08(ар)(1р. (2.1)

В случае внешнего нагрева с учетом граничных условий (1.13), (1.14) согласно (2.1) будем иметь

1 2

-С08(ар)йр = С03(а)В11[иг(т)-в( +

с^ др

+ а81П(а)в(1,1,х) - а2© (а,1,т).

р

(2.2)

Параметр а выберем так, чтобы он являлся корнем уравнения

аз1п(а) - В1 сов (ос) = 0. (2.3)

Тогда соотношение (2.2) перепишется в виде

д2е

др'

СОв(ар)ёр =

= В1 С08(а)и (х) - агв (а,1,т). 1 1 г

(2.4)

1

Применяя интегральное преобразование к уравнениям (1.11)—(1.16)

и учитывая соотношение (2.4), получим

дв д2е

г - В1 С08(ос)и (т) -осге + й? -1е(0,1), (2.5)

дХ 11 F

в (а,1,0) = 0, (2.6)

F

дв_ г sin(a)

al ае

si

- В12Г-^_и2(хЬе/а,1,гЛ, (2.7)

i = i L J

= 0. (2.8)

1 = о

К уравнениям (2.5)-(2.8) применим косинус преобразование Фурье по координате 1 [34,39].

1

^(а,!,^ = вр(сс,13,г)= ¡ер(а>1 ,ъ)с08( р1)й1. Аналогично (2.1) можно написать

(2.9)

1д2е дв

F

Г-— cos(pl)dl = cos(pl)

si2 di

1

+

o

1

+ $sin(&l)e - 02eF(a,/3,r) . F F

O

Учитывая граничные условия (2.7),(2.8) и выбирая в качестве параметра (3 решение уравнения

I3sin(i3) - Bi2cos(t3) = О, (2.10)

получим

Г-— cos(pl)dl =

о al2

Bi sin (ос) = —-cos(p)uJt) - 132е^(сс,13,т).

СХ 2 г

Следовательно, в результате применения интегрального преобразо вания (2.9) к уравнениям (2.5)-(2.8), будем иметь

30р 1 , , _ „ . >sin (а)

1 _____ , —,

= j;sin(ft)Bi cos(<х)и (г) + h?Bi cos(p)-и (х) -

дХ /3 ' i ' 2 u а г

(а2+ й? $2)в¥, (2.11)

г

ер(а,13,0) = О, (2.12) г

Учитывая, что а и (3 - корни уравнений (2.3) и (2.10), можно преобразовать правую часть дифференциального уравнения (2.11) и

переписать это уравнение в виде

двг , а

р- _ -

дх

[1Л

-75-и М + р 1

/3

+ ^ — . (2.13)

л

Решение уравнения (2.13) с начальным условием (2.12) записывается в виде

е*(а,р,т)= вЫ^вШе)] е \--uJt) +

о

/3

+ }£ — и2(Ь) йЬ. (2.14)

>

Формула обращения для косинус преобразования Фурье (2.9) получается из теории рядов Фурье и имеет вид [30]

со соз(/з

в(<х,1,т)=у - ч (2.15)

Р 3 = 1 НСОбСр Ли2 Г л

где 0<|з <£<... - корни уравнения (2.10),

1 1 нсойС/З 1) н2 = |СО£2(/З 1)й1 = I Г(1+СОЙ(2/З 1))й1 =

^ О"1 ^ ^О-1

= |(1+й1п(2/з.)/(2э )) = Г/з (С052(э ) + яшг(!3 )) +

J J л л 5

вш2^. [ 13. (1+сЬё213. . ]

+ 51Л/3 СОЗ/З j з

/(2/3 ) = -^---- ' 3 ~ ^ -

[/32+В12+В1 ]

^ 2 2 (2.16)

2В1

2 о

поскольку согласно (2.10) ctgp = /з /Вi .

J J 2

Аналогично, пользуясь теорией рядов Фурье, можно записать

формулу обращения для интегрального преобразования (2.1) [30]: 00 cos(oc р)

в(р,1,х)=£ --^—е(а.,1,х), (2.17)

j = i IICOS(a 1)\ I 1

i

где 0<а <а < . . . - корни уравнения (2.3),

/ a2+Bí2+Bi

ncos(a р) н2 = cos2(a p)dp = —----—sin2(a ). (2.18)

1 oJ 1 2Bi2 1

i

Пользуясь соотношениями (2.15)—(2.18), решение системы уравнений

Cl.ll)—(1.16) можно записать в виде следующего ряда 00 00

е(р,1,х)= т У С D х cos(a p)cos(i3 1), (2.19)

. „ - , i J i J i j i j

1 = 1 J = 1

C. .= l/(\\COS(a.p)\l2ttCOS(l3 .1)\\2),

1 J

(2.20)

И = 5227(а )з1п($ ), 1 л 1 1

дх а 13

= -(а2+й?р2)х. .(х) + Ь2 ^1и (х), (2.21)

их 1 J1J Р 1 ОС 2

1 1

х (0)=0, 1,3=1,2,3,... (2.22)

Здесь \\cosia ^р)\\2, нсой^э 1)н2 определяются по формулам (2.16), (2.18).

В работе [46] показано, что функция в(р,1,х), определяемая по формуле (2.19), является обобщенным решением системы уравнений (1.1)-(1.6) в пространстве ), где Ят={(р,1,Ь):

ре(0,1), 1е(0 , 1) , 0<иТ<*}.

Для изучения термонапряженного состояния призмы целесообразно по координате 1 сделать замену переменной, а именно:

1 = £/72, й=Я/Д, 02=1/72,), и зависимость (2.19) переразложить по новой системе функций

(соз(л р), сов{р ?)}, где л , т=0,1,2,... - корни уравнения

ш п т

з1п(\)=0, р =тгп/й, п=0,1,2,3, . . . В результате будем иметь

п

со

в(р,£,т)= у а МсовСх р)соб(р £), €е[о,Ы, (2.23)

тп т п

т , п = О

где коэффициенты а (т) находятся из теории рядов Фурье, а имен-

тп

но:

00 1 а (т) = у V С д х (т) сов(<х р)соз(л х

тп тп 1 .3 5- .3 1 .3 J 1 т

1^ = 1 О

X Г сов(1з ^)соз(р (2.24)

О-1 ^

Здесь

к = 1/(ИСОвСл р) II 2 II С0Б( р ?)||2),

тп т п

величины а., 1,3=1,2, . . . в соотношении (2.24) являются корнями уравнений (2.3), (2.10),

М Гй, п=0

исоя(р ?)н2= сов2(р = Л (2.25)

Л п IЬ/2, п=1,2,3,..

2 (1, ш=0 IС08(Л р)\\ =

I1/2, т=1,2,3, ..

Учитывая, что

.1 ос з1п(а )соз(х )

\соз(ос р)соб(х р)ёр = —*-*-- , (2.26)

I 1 т 2 -. 2

сг а -А

1 т

р 13,81п(3 сов(р Ь) С0й(э ^)сов(р = —--

^Ь п Ъ(о2/Ь2

п Ы^уъ2 - р2)

J

_.3_

/з2- я2л2

(2.27)

получим (л?,л = 0,1,2, .. .) а (х) =

тп

со (—1)пЙС В X (г)а /3 з1п(а )сой(х )б1п(& )

= у Г -1:1 и ^-^-*-=-1-. (2.28)

тп 1^1 (а2-А2)(132~ л2п2)

1т j

ГЛАВА 2 РАСЧЕТ ТЕРМОНАПРЯЖЕНИЙ

В главе 2 будут выписаны формулы для расчета напряжений, возникающих в призме прямоугольного сечения неограниченной длины вследствие неравномерного распределения температуры в нагреваемом теле. Формулы для вычисления термонапряжений выписываются в виде бесконечных рядов, коэффициенты которых находятся из решения беско