автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимальное управление и математическое моделирование в стохастических задачах механики

На правах рукописи

Оптимальное управление и математическое моделирование в стохастических задачах механики

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискаиие ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2006 г.

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Московский государственный университет путей сообщения"(МИИТ) на кафедре "Прикладная математика-1"

Официальные оппоненты: - доктор технических наук,

профессор Афанасьев В.Н.

- доктор физико-математических наук, профессор Пальмов В.А.

- доктор физико-математических наук, Шамаев А.С.

Ведущая организация: - Институт проблем машиноведения

РАН, г. Санкт-Петербург.

Защита состоится " 28 и уО^пГ^ 2006г. в ""часов на заседании диссертационного совета Д 218.005.10 при Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) по адресу: 127994, Москва, ул. Образцова, 15, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан 2006 г.

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим направлять по адресу университета.

Ученый секретарь ,

диссертационного совета _ __ ___-

кандидат технических наук, профессор Соловьев В.П.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению поведения стохастических лилейных и нелинейных динамических систем, находящихся под действием внешних случайных нагрузок. Представленная работа состоит из трех основных частей: 1) изучение проблем стохастического оптимального управления линейными и билинейными, полностью наблюдаемыми системами с ограниченным по модулю управлением; 2) аналитический и числешшй анализ нелинейных стохастических систем, возникающих в результате применения законов управления; 3) аналитический и численный анализ стохастических виброударных систем с поведением качественно схожим с параметрически управляемыми системами.

Актуальность темы. Теория случайных колебаний изучает поведение динамических систем, находящихся под действием случайных нагрузок. Математическое моделирование таких систем проводится с помощью аппарата стохастических дифференциальных уравнений. Отыскание оптимальных стратегий управления стохастическими системами, находящимися под действием ограниченного управления, связано с преодолением больших трудностей, Это обьясняет тот факт, что многие классические задачи теории стохастического оптимального управления на сегодняшний день остаются нерешенными. К ним относится ряд модельных задач стохастического оптимального управления динамическими системами с конечным числом степеней свободы и ограниченным но абсолютной величине управлением. Ограничение па управляющее воздействие, как правило, продиктовано целым рядом физических и конструкционных соображений. Оно существенно приближает рассматриваемые математические модели к реальным физическим задачам, одновременно сильно усложняя процесс отыскания их решения. Функционал качества в таких задачах не содержит управления. Известно, что линейно -квадратичная задача стохастического управления имеет точное аналитическое решение, в то время как аналитических методов построения решения поставленной задачи на сегодняшний день не существует. Отсюда становится актуальной задача отыскания оптимальных и квазиоптимальных стратегий управления даже для системы с одной степенью свободы. Найденные оптимальные стратегии позволят построить эталон для обоснования других решений, полученных приближенными аналитическими или численными методами.

Известно, что ограниченное по модулю управляющее воздействие ведет к появлению систем с нелинейностью тина сигнум - функции, в дальнейшем именуемых сильно нелинейными системами. Существующие методы не позволяют проводить анализ таких систем, так как базируются на предноложе-

нии о малости вклада нелинейности, входящей в уравнение. Таким образом становится очевидной актуальность развития новых аналитических методов анализа сильно нелинейных стохастических систем.

Развитие численных методов и вычислительной техники позволяет па новом уровне проводить анализ сильно нелинейных систем. Такие системы требуют модификации существующих численных методов с целью более точного моделирования их характеристических особенностей, а также получения более полных оценок поведения системы. Разработка численных методов и создание вычислительных программ позволят не только подтвердить точность приближенных аналитических оценок, избежать гцюведеиия дорогостоящих экспериментов, но и получить ряд новых результатов.

Цель работы. Целыо настоящей работы является создание комплексного подхода, состоящего из аналитических и численных методов, служащих для математического моделирования и анализа задач стохастического оптимального управления, а также исследования сильно нелинейных стохастических систем. Конкретно ставились следующие цели:

1. Поиск эффективного метода для решения задач синтеза оптимального стохастического управления полностью наблюдаемыми, линейными и бшшиейными системами с внешним широкополосным случайным возмущением.

2. Создание вычислительных программ с целью установления оптимальных и квазиоптимальных стратегий управления для рассмотренных классов линейных и билинейных систем.

3. Разработка аналитических методов, позволяющих эффективно проводить анализ сильно нелинейных стохастических систем.

4. Разработка и усовершенствование численных методов, а также создание на их базе комплекса вычислительных программ, служащих для анализа сильно нелинейных стохастических систем.

Методы исследований. В диссертации использованы методы функционального анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений, теории численных методов, теории случайных процессов и теории управления.

Нау^шая новизна полученных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, получены впервые. Научная новизна результатов, представленных к защите состоит в следующем:

1. Предложен численно-аналитический метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана. С помощью этого метода построен синтез оптимального управления для класса задач стохастической оптимизации с ограничением па абсолютную величину управляющего воздействия.

2. Построен алгоритм, позволяющий применить разработанный метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана для динамических систем с конечным числом степеней свободы, а также систем с нуассо-новским внешним возбуждением.

3. Разработаны вычислительные программы, позволяющие строить оптимальные стратегии управления линейными системами с внешним управлением.

4. Получены квазионтимальиые законы управления линейными и билинейными системами, находящимися в режиме установившихся колебаний.

5. Проведено численно-аналитическое исследование задачи надежности квазиоптимально управляемых систем.

в. Результаты численного моделирования показали, что закон управления в виде сухого трения является наилучшим в классе линейно - сирани-чепных управлений.

7. Разработан числеино-аналитический метод идентификации параметров стохастических систем с одной степенью свободы и нелинейным трением.

8. Разработан аналитический метод баланса энергии для оценки средней энергии кусочно - консервативных систем.

9. Предложен ряд усовершенствований численного метода интегрирования вдоль траекторий, который лег в основу комплекса вычислительных программ, созданных для построения плотности распределения вероятности переменных состояния сильно нелинейных систем.

Обоснованность выводов диссертации. Достоверность получеппых результатов обеспечивается выбором апробированных исходных моделей, строгостью применения математического аппарата и формализмом механики; сравнением аналитических результатов с результатами численного моделирования; использованием модельных задач при численном моделировании и сравнением результатов с результатами, полученными другими авторами независимыми методами исследования подобных задач.

Практическая ценность работы. В диссертации рассмотрен целый ряд модельных задач стохастического управления. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при решении многочисленных задач управления с обратной связью колебательными процессами в системах, подверженных случайным на!рузкам, при заданном ограничении на абсолютную величину управляющего воздействия. Кроме того, представленные результаты могут служить эталоном для апробации новых методов в теории оптимального стохастического управления. В работе исследовал ряд задач, имеющих практическое значение, среди которых задача идентификации иели-

ценных характеристик стохастических систем, задача исследования надежности управляемых систем, задача о возникновении субгармонических колебаний океанских платформ. Предложен ряд законов управления, которые могут быть использованы в машинах и механизмах для гашения нежелательных вибраций. Разработанные вычислительные методы и программы могут найти применение в задачах, где проведение эксперимента может оказаться слишком дорошстоягцим. Аналитические методы могут использоваться в учебном процессе при изложении теории управления и динамики нелинейных стохастических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры "Механика и процессы управления",СПбГПУ; на кафедре "Прикладная механика и управление", МГУ; па кафедре "Кибернетика", МИЭМ; в Институте проблем машиноведения РАН (С.-Петербург); в Институте проблем механики РАН (Москва), на Инженерном департаменте Университета Майами (США), на Инженерном департаменте Института Иллинойса в Урбана Шампейн (США), на департамент Прикладной математики ГУ Тронхейма (Норвегия), па Инженерном департамент Вустсрского политехнического института (США). Представленные результаты докладывались па всесоюзных и международных конференциях: Stochastic Structural Dynamics 1998, (Нотер Дам, США), EUROMECH 386, 1998, (Берлин, Германия), ASME'99 (Блаксбург, США), ENOC'99 (Коппецгагеп, Дания), EURO-DYN99 (Ротердам, Нидерланды), EUROMECH 413, 2000, (Палермо, Италия), ICTAM 2000 (Чикаго, США), NOLCOS 2001 (С.-Петербург), СОС 2000 (С.Петербург), VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), АРМ 2001 (С.-Петербург), АРМ 2002 (С.-Петербург), ENOC'02 (Москва), XIV Симпозиум по виброударным и сильно нелинейным системам (Звенигород 2003), ЕСС'ОЗ (Камбридж, Англия), ICOSSAR'OS (Рим, Италия), ENOC'05 (Эйптховеп, Голандия), XV Симпозиум но виброударным и сильно нелинейным системам (Звенигород 200G).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 48 научных трудов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Работа содержит 278 страниц, включая 93 рисунка и список литературы, состоящий из 303 наименований.

Содержание диссертации

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цели работы, представлены новизна и практическая ценность выносимых на защиту результатов, а также в сжатом виде изложено содержание глав диссертации.

В первой главе изложены основы необходимые для аналитического и численного анализа стохастических систем. В первом и втором параграфах введено понятия случайного процесса, даны разнообразные характеристики случайных процессов, представлены необходимые сведения из теории марковских процессов. Приводятся выводы уравнений Фоккера - Планка -Колмогорова и обратного уравнения Колмогорова. Вводится понятие стохастического дифференциального уравнения в смысле Стратоновича и в смысле Ито. В параграфе 1.3 вводится понятие управления диффузионными случайными процессами. Известно, что для стохастических задач необходимо строить синтез оптималыюго управления. Показано, что решение можно строить методом динамического программирования, который сводит задачу отыскания оптималыюго управления к решению уравнения в частных производных - уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмапа (ГЯБ) для функционала Беллм&на. Приведен обзор существующих методов решения задач оптимального стохастического управления, в том числе рассмотрена линейно - квадратичная задача, решение которой удается построить точно. Аргумептируег-ся, что эффективность метода динамического программирования невелика, ввиду специфики метода и ряда проблем, возникающих особенно для задач с ограниченным по абсолютной величине управляющим воздействием. Это связало с тем, что получаемое уравнение ГЯБ является квазилинейным, многомерным, вырожденным уравнением параболического тина. Следовательно, для исследуемых в работе проблем, требуется решать задачу Коши для уравнения ГЯБ во всем фазовом пространстве при квадратичном росте начальных условий на бесконечности. Параграф 1.4 посвящен точным и приближенным аналитическим методам стохастической динамики. Приведен обширный обзор классических и новейших методов стохастического анализа. Подробно описаны методы статистической линеаризации, моментов, стохастического и квазиконсервативного усреднения. Поясняется, что представленные приближенные методы не могут использоваться для отыскания решения сильно нелинейных систем, так как в основе своей содержат предположения о малости параметров, входящих в уравнение движения. В параграфе 1.5 приводится краткий обзор численных методов, часть го которых используется в диссертации. Обсуждается возможность численпых решений стохастических дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных для плотности распределения вероятности перехода параметров состояния системы. Дано описание современных численных методов: метода клеточных отображений и метода интегрирования вдоль траекторий. Последний параграф посвящен особенностям анализа виброударных систем, которые, ввиду своих характеристик, относятся к сильно нелинейным системам. Вводитет понятие виброударных систем, коэффициента восстановления и даются примеры воз-

никновения виброударных режимов па практике. Показано, что виброударные системы с упругим уда[юм удобно аналнзщювать с помощью негладкого преобразования. Объясняется, что существующие методы анализа не способны предсказать поведение стохастических виброударных систем с иеупругим ударом.

Во второй главе рассмотрены и решены задачи оптимального стохастического управления полностью наблюдаемой динамической системой второго порядка с внешним, ограниченным по абсолютной величине, управляющим воздействием. Представлены результаты численного моделирования и проведено сравнение с результатами, полученными другими учеными альтернативными методами исследований.

В параграфе 2.1 формулируется задача оптимального управления динамической системой с одной степенью свободы, находящейся под действием внешнего гауссовского и пуассоновского шумов

{¿Хг = Хъв.в,

<1x2 = (—2ах2 — (32х\ + v)ds + а{в)йш + 7 йр (1)

хг(г) = ХЮ,Х2(^) = ^20. < л, £<в<Т

Здесь х(в) = ха(а) - перемещение, х($)'= - скорость системы, IV — и)(я)

- процесс Винера с параметром р — р(в) - процесс Пуассона с параметром 7, v = v (в) - измеримая функция, осуществляющая управление, Я

- параметр управления, о, /3 - неотрицательные постоянные, где а - коэффициент вязкого трепня, /3 - собственная частота. Основной целыо синтеза управления является минимизация математического ожидания следующего функционала Больца:

Л^ДгО = Е 11 [(3*х\{Т) + хЦТ)} [0*х1(з) + ф)] Л| . (2)

Здесь Е обозначает операцию математического ожидания, а, Ь - неотрицательные постоянные. Черта и(х 1,Х2, Ц обозначим нижнюю грань функционала (2) по всем допустимым значениям управления, удовлетворяющим ограничению (1). Функция и(х\,х2, £) должна удовлетворять следующему уравнению ГЯБ:

+ Ьи+ И + Ра,т(м) + / = 0;

сл н<д дх2) ^

и(Х1,х2,Т) = + х\), / = Ь-{рх\ + х\).

Здесь Ь - линейный дифференциальный оператор второго порядка, а Р\^{и)

- разностный оператор Пуассона:

ди ,ди, ет2д2и

Ьи = -(2ахг + р Х1)дГ2 + YЩ (4)

•РА,7(") = А[и(хьх2+ 7,«) - н(яъх2,*)], Закон оптимального управления можно найти вычислив нижнюю границу в (3):

ю=~Шзп (й) • (5) В параграфе 2.2 предложен следующий метод решения задач оптимального стохастического упранлешш. Вначале, с целью демонстрации рассматривается функционал Майера (а = 1, Ь = 0) для случая: а — 0, А = 0. Через £>+ обозначена область фазового пространства, где знак производной ди/дх2 в (3) остается постоянным на протяжении всего времени управления и при любых значениях Хг,Х2, т.е. область £>+ не содержит линий (поверхностей) переключения, на которых ди(х\,х2,1)/дх2 = 0 и при переходе через которые знак производной меняется на противоположный. Введем функцию

г(хг,х2^) = 81дп(ди/дх2), (6)

тогда в области 1?+ задача (3) примет вид

= |; и(хг,х2,0) = \{Р2х\ + ®1), (7)

где т = Т — < здесь и далее но тексту - обратное время. Рассмотрим соответствующую задачу Коши без учета второй производной по переменной х2 в операторе Ь:

дй дй „2 дй дй 1,я2 2 , /оч

Решение задачи Коши (8) может быть получено с помощью классического метода характеристик в виде:

й(хих2, г) = ^ ([12 7Г55111 + [/Зх1 + ^Г^1 ~ с08'01")] ) • (9) Утверждение 1. Функция

им(хиХ2,г) = й(х1,х2,т) + В{т)/2, В(т) = / <т2(х)сгх (10)

./0

является решением задачи Коши (3) во внешней области, границы которой определены неравенством:

Ы > Д//?|8Ш/?т|. (11)

Дополнительную к D+ область, определенную условием \х2\ < R/ß, будем называть внутренней областью и обозначим через D— Эта область ограни-чеиа но х2 и неограничепа по и п простейшем случае представляет полосу параллельную оси х\.

Утверждение 2. Задача Коши (3) для функционала Лагранжа (Ь = 0, а = 1, а = О, А = 0) имеет аналитическое решение

г

ul(xi,x2,t) = j itM(xux2,s)ds (12)

о

по внешней области

M>;^|l-cos/?r|. (13)

Удается также построить решение задачи Больца (а Ф О, Ъ ф 0, а = 0) и задачи для системы с вязким трением (а ф 0). Решение уравнения ГЯБ во внутренней области следует искать численно. Ввиду того, что решение во внешней области найдено в явном виде, оно может служить краевым условием для численного решения уравнения ГЯБ в ограниченной, интересующей нас части фазовой плоскости. Рассмотренный подход к поиску решения во всем фазовом пространстве получил название гибридного метода решения задач стохастического оптимального управления.

В параграфе 2.3 дается математическое обоснование метода гибридного ¡Н'шеиия уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмаиа. Доказаны две теоремы о поведении гибридного решения. Продемонстрируем схему доказательства сначала на примере задачи (1), (2) с функционалом Больца при отсутствии трения {а — 0).

Теорема 1. Пусть решение уравнения ГЯБ (3) для задачи Больца (А = 0) u(x\,xi, t) существует и единственно. Пусть функция

®а, t) = \{0>х\ + х%) [а + Ь(Г -1)] (14)

является квадратичной частью решения, построенного гибридным методом. Тогда справедлива следующая оценка:

lim И^ьД*,*) -Ф(Д1,зг2,«)| = 0 (15>

|Х1|+|1гН+00 IxiP + I^P ' ^

Для доказательства этой теоремы рассматривается функция w(xi,x2,t): w(xux2,t) = u(xi,x2,t) -Ф(х1 ,x2,t) (IG)

для которой справедливо следующее уравнение ГЯБ

Ж + ^ + й + Ь(Т - ^ + ё} + У + Ь(Г - - (17) ^(жьгг.Т) = 0.

Уравнение (17) является уравнением ГЯБ для задачи о минимизации функционала

= Ё |/(у + + Ъ{Т - в)] )<Ь } (18)

для динамических} процесса, который описывается теми же уравнениями (1), что и ранее. Таким образом справедлива оценка

Иш ИзьДг.О ~Ф(Д1,Д2,*)| = 0

Аналогичный подход можно применить для всего решения. Однако, аналитическое решение определено во внешней области £>+, поэтому необходимо продолжить его в виде непрерывно дифференцируемой функции па все пространство. Это можно сделать различными способами. Заменим сигнум-функцию непрерывно дифференцируемой функцией.

Теорема 2. Пусть (Х1,Х2, т) решение уравнения ГЯБ (3) для задачи Больца (А = 0), полученное гибридным методом, где сигнум-фупкция заменена непрерывно дифференцируемой функцией. Тогда справедлива следующая оценка:

0<Фг(гь х2,т)-и(хих2,т)<К(Т-т), г£[0,Т]. (20)

Здесь К(Яо) - неотрицательная функция, зависящая от Ло, причем К(В,о) —»■ 0 при Ло —* оо.

Из теоремы 2 следует', что внутри полосы |хг| < До, Ло > Я/Р, функция К(11о) есть некоторая постоянная. Следовательно, полученное аналитическое решение действительно является асимптотическим приближением функции Беллмана, причем разница между истинным и построенным решениями во внутренней области отличается лишь на величину пропорциональную времени т. Показано, что аналогичные рассуждения справедливы для систем с т1>епием и с внешним пуассоповским шумом. Таким образом доказана возможность следующего подхода к решению уравнений ГЯБ во всем пространстве. Строится аналитическое решение уравнения ГЯБ во внешней области, которое является асимптотикой функции Беллмана. С помощью полученного аналитического решения па границе внешней и внутренней областей задается

краевое условие, после чего задача решается методом сеток во всей вычислительной области. Найденное таким образом решение уравнения ГЯБ - аналитическое во внешней области и численное во внутренней области непрерывно по построению, но может иметь разрывные первые производные. В последнем случае возникает необходимость расширения внутренней области путем увеличения соответствующего значения Но. При этом 1раница областей смещается в сторону внешней области до тех пор, пока не происходит склейка соответствующих первых производных. Последнее возможно, поскольку в силу вышеизложенного найденная функция представляет асимптотику решения уравнения ГЯБ при достаточно больших Полученное численно-аналитическое решение позволяет построить полный синтез оптимального управления.

В параграфе 2.4 рассмотрена задача стохастического управления при действии гауссовского и пуассоповского внешних шумов (А ф 0). Показано, что решение задачи Коши можно строить гибридным методом. Утверждение 3. Функция

2

+

имрЫ,х2>т) = АЦх2 - Rz р ^7sin/?T■ [/?*! + - cos/Зг)]2} + Ц-т + В(т)/2.

(21)

является решением задачи Коши (3) для функционала Майера (а: = 0) во внешней области, границы которой определены как:

г. г/ ч R—Xy . , R + А7 . _ , > Di = {(aJi,x2)r) : х2 > —^—,ж2 < min[---—,-7] при Л - а7 > 0}

R + Ху

D2 = {(xi,X2,r) : х2 > 0, х2 < min[--——,—у] при R — А7 < 0}.

, (22)

Методом гибридного решения получены аналитические выражения для за-да'ш Лаграпжа (b = 0,о = 1, а = 0, А Ф 0) и задач с вязким трением (а ф 0, А ф 0) в некоторых внешних областях фазового пространства.

В параграфе 2.5 приводится численное решение рассмотренных задач оптимального управления методом сеток. С этой целью была создана вычислительная программа для решения уравнения ГЯБ в ограниченной области фазового пространства. На Рис.1 представлены численные результаты для задачи Майера и фиксированного значения безразмерного параметра ц = R/(a\/]3). На Рис.1(а) представлены линии уровня u(xi,x2< т) = 1, где сплошная линия соответствует т = 0, пунктирная - г — тг/4, точка - тире - т = 7г/2 и точки - т = 1г. На Рис.1(b) изображены линии переключения,

Рис, 1: Линии уровня (а) um(xi,x2,t) — 1 и лшшн переключения (Ь) задачи Майора при ß = \/2.

для

определяемые из условия дим/дх2 = 0 доя соответствующих па Рис.1(а) значений обратного времени. Информация о положении линии переключения в каждый момент времени определяет синтез оптимального стохастического управления. Видно, что линии уровня и линии переключения являются гладкими кривыми. Сравнение линий переключения для задачи Лаграпжа с линиями переключения, полученными другими авторами методом клеточных отображений, подтвердило справедливость полученных результатов.

Для моделирования задач с нуассоиовским шумом вводятся два новых, безразмерных параметра: в = А72/<т2 и ц> = А7\ где Т - собственный период консервативной системы Т = 2тг//3. Ввиду неоднозначности внешней области

Рис. 2: Линии переключения для Я — < 0 (а) и Я — А7 > О (Ь) для разных значений времени

(22) представляется интересным рассмотреть два случая. Результаты численного моделирования для случая Л — А'/ < 0 представлены на Рис.2(а), где изображены линии переключения при ц = 0.71, д — 0.75, <р — Зтг, В качестве значений обратного времени выбраны следующие: сплошная линия — т = 0, пунктирная линия - г = тг/4, точка - тире линия -г — тг/2 и точечная линия - г — Зтг/4. Хорошо видно, что линии переключения существенно смещены вниз по отношению к оси х2 — 0. Линии переключения в случая Д — А-/ > 0 изображены на Рис.2(Ь) для тех же значений г и ц = 0.71, д = 0.25, <р = г. В завершении этой части показано, что в задачах оптимального управления системами с вязким трением последним можно пренебречь при условии, что величина вязкого трения мала по сравнению с величиной параметра управления Я. Критерием малости может служить формула, выведенная в четвертой главе. В противоположном случае пренебрегать вязким трением в задаче оптимального управления нельзя, что показало численно путем сравнения законов управления для системы с соизмеримым вязким трением и без вязкого треиия.

Третья глава посвящена рассмотрению ряда задач стохастического оптимального управления, решение которых может быть получено гибридным методом.

В параграфе 3.1 проводится математическое моделирование системы со многими степенями свободы и решается задача синтеза оптимального управления. Уравнение движения такой системы можно записать в матричном виде: г

[МХ + КХ~и{Ь) + В{Ь)Я(1), 0 < 4 < т,

\х(0)=хо, х(0)=х0 КМ)

где X и V - п-мерные вектора перемещения и управления, М и К - пхп матрицы массы и жесткости, 2 - п-мерный вектор иекор1>елироваш10го, центрированного, гауссового белого шума единичной интенсивности, а В{р) = ||.Ву||, itj = 1,2,..., п - ковариационная матрица. Предположим, что управление удовлетворяет следующему ограничению:

и{1) 6 5л = : Ы < Я,, г = 1,...,п}, ^ > 0 (24)

В качестве минимизируемого функционала выберем вначале критерий Майора для средней энергии системы (23). Вводится в рассмотрение пхп матрица собственных векторов А, которая обладает следующими свойствами:

АТМА = I, АР К А = П2 (25)

Здесь индекс Т обозначает операцию транспонирования, I - единичную матрицу, а П2 - диагональную матрицу собственных значений. Введем новую переменную X — АУ и с учет-ом (25) перепишем уравнение (23) в виде

r + iî3r = ATv(t) + ATB(t)S(t), 0 <t<T (2G)

Рассмотрим новый вектор управления V(t), который получается ш исходного вектора путем умножения последнего па Ат слева. Согласно формуле (24) этот вектор управления должен удовлетворять ограничению:

v{t) е SP, SP = {t*(t) : Ы <fH,i = 1, •••"}> Pi = J2 M^ (27)

Окончательно уравнение движения системы с п степенями свободы можно записать в виде:

Введем функцию Беллмана как нижнюю грань минимизируемого функционала по всем допустимым значениям управления из (27), тогда задача Коши примет следующий вид:

Уравнение ГЯБ (29) состоит из п независимых уравнений подобных уравнению для системы с одной степенью свободы. Следовательно, решение поставленной задачи Коши во внешней области может быть получено гибридным методом.

Решение задачи синтеза оптимального стохастического управления найдено не в исходных переменных управления v{t), а в новых, связанных с исходной формулой преобразования. В связи с этим необходимо решить систему алгебраических уравнений (27) для отыскания закона управления в исходных координатах и посмотреть, будет ли управление, преобразованное в исходные координаты, удовлетворять исходному ограничению (24). Для этого рассмотрен пример системы с двумя степенями свободы, где:

п

Vi — Pi, Pi = -tijyi + vi + VkiÇk, <Tki = anbik(t) (28)

(29)

(30)

Матрица A примет следующий вид:

(

, а = —arctan

mik2 — тщ{к\ 4- к2)

В результате преобразований ограничение на управление в исходных переменных (24) удовлетворяется не полиостью, точнее, только одно условие может быть удовлетворено, в то время как второе условие будет нарушено. Предлагаемая стратегия управления такой системой заключается в выборе значений управления, удовлетворяющих предписанным ограничениям.

Вследствие тот, что одна из компонент управления всегда не удовлетворяет одному из поставленных ограничений, такое управление для системы с двумя степенями свободы будем называть полуоптималъпым. В заключении приведено решение задачи Лаграпжа, а также показано, что для системы (23) с вязким трением подобный подход также позволяет построить решение во внешней области, если матрица коэффициентов трения является линейной комбинацией матриц массы и жесткости.

В параграфе 3.2 представлено обобщение стратегии, предложенной в предыдущем параграфе, на случай систем с бесконечным числом степеней свободы. Известно, что с помощью стандартных методов, таких как нахождение собственных чисел соответствующего дифференциального оператора и собственных форм колебаний, задачу о колебаниях балки или пластины можно свести к системе обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений следующего вида:

Uj(t)=pj(t), Uj(0) = u]Q, pj(0) =pi0,

- pj[t) = -Пfa(t) + aZ ^ (*%(«)+ (32)

ь +0wj(t) + <Tj(№t) +7j(t)x(t), j =

Здесь t - время, 0 < t < T, £(t) - ray cam белый шум едишгшой интенсивности, a(i) - интенсивность гауссового возмущения; x(t) ~ пуассоновский белый шум единичной интенсивности, 7(i) — интенсивность иуассоновскохх) возмущения, u(t) и p(t) - смещение и скорость смещения системы от положения равновесия соответственно, Qj и - собственные числа и вектора, г\ (i) -

управляющие функции (актюаторы), сосредоточенные в точках xi системы, w(t) - распределенные управляющие функции, а и /3 — числа, принимающие значения 0 или 1. В случае а — 1 и ¡3 = 0 получим задачу управления при помощи актюаторов, при а = 0и/?=1- задачу с распределенным управлением. Накладывая ограничение на абсолютную величину управления и ставя задачу Больца для средней энергии системы, ее удается решить гибридным методом во внешней области в случае распределенного управления а — О, /3 = 1. Таким образом показано, что предложенная стратегия нахождения решения уравнения ГЯБ может быть применена к динамическим системам с бесконечным числом степеней свободы.

Параграф 3.3 посвящен решению задачи оптимального слежения. Кри-

терием качества здесь служит среднеквадратичное отклонение положения системы от заданной траектории на протяжении всего процесса управления или к фиксированному моменту времени. Математическое моделирование движения системы в случайной среде, подверженной управляющему воздействию приводит к уравнению:

{<1х\ = х^йв, <1x2 — ъйз -I- айтю .

хг(Ь) = но,х2Ц) = а:2о,Ь < « < Т

Целью задачи слежения является минимизация функционала вида:

Здесь а, Ь - неотрицательные постоянные, д(Т) - некоторая постоянная, г(в) - заданная функция времени. Построено решение соответствующей задачи Коши во внешней области при ограниченном управлении, которое совпадает с решением, полученным ранее другими авторами методом малого параметра.

В параграфе 3.4 исследована задача параметрического стохастического управления системой путем изменения ее момента инерции. Уравнение движения системы записывается в виде:

Здесь £(£) - центрированный гауссов белый шум единичной интенсивности. Для дальнейших выкладок это уравнение удобно переписать в виде:

0(0) = во, ¿(0) = во, < Д. 0 < В. < 1.

(35)

е = р/(1 + у), р =-п2в + а(,(г)

(30)

Уравнения ГЯБ для функционала Беллмана перепишем как:

«{¡?(0,Р,*) = м ■ М < Щ,

\рАу) [йЩт) + Р2(т)1 + [Ть- +Р2№])

и

(ЗГ)

Закон оптимального управления определяется следующим образом:

Построено точное аналитическое, решение задачи Коши в явном виде для функционала Лагранжа в области, определенной неравенством:

т\в\>\р\т,т) (39)

Здесь /(Я, т) - ограниченная функция своих аргументов. Решение задачи Майера получено путем прямого дифференцирования решения для функционала Лагранжа но явно входящему времени г.

В параграфе 3.5 формулируется задача оптимального управления динамической системой путем изменения ее жесткости. Математическое моделирование такой системы приводит к исследованию уравнения вида: Г х + П2х[1 + «(«)] =<*(«), 0<«<Т, \ х(0) = х0, х(0) = х0, |и(01 < Д, 0 < Я < 1,

Ставится задача Больца о минимизации средней энергии системы. Уравне1ше ГЯБ записывается следующим образом:

ди1 « _ + Я» Ш + ^

■1 1 0X2 I

дт дх\ дх2 М<я | дх2 [ 2 дх\

= —К

дхп

Получено точное аналитическое решение задачи Коши в определенной внешней области. Найдено решение для задачи Лагранжа во внешней области, качественное поведение которой схоже с описанным формулой (39).

Последний параграф посвящен проблемам оптимального стохастического управления нелинейными системами. Показано, что для ограниченного класса систем со слабой нелинейностью можно применить метод статистической линеаризации с дальнейшим использованием гибридного метода. Продемонстрировано, что получение точного аналитического решения для нелинейных систем гибридным методом невозможно. Исключением являются сильно нелинейные виброударные системы с упругим ударом, доя которых носле использования негладкого преобразования удается построить точное решение гибридным методом. В исходных переменных оптимальным законом управления во внешней области является закон V — — В.81дп{х{)81дп{х2)■ Далее приводится обзор существующих приближенных методов, служащих для анализа задач оптимального стохастического управления нелинейными система^ ми. Основываясь на существующих результатах показало, что при сделанных предположениях законом оптимального управления в первом приближении

является закон сухого трения, т.е. тот же, что и для линейных систем. Других аналитических результатов, записанных в явном виде на сегодняшний день не существует.

В четвертой главе проведено исследование стохастической системы с внешним управлением. Показано, что при режиме установившихся колебаний квазионтимальным законом управления является закон сухого трения. Изучены задачи надежности таких систем, проведено сравнение функционалов качества для систем с линейно-ограниченным и 01раниченным управлением, а также разработан численно-аналитический метод идентификации стохастических систем с нелинейным трением.

Параграф 4.1 посвящен анализу решений задач оптимального управления для функционала Лагранжа. Полученное решение для линейной системы с внешним управлением показало, что оптимальным законом управления во внешней области служит закон сухого трения v = —Rsign(x), где х -- скорость системы. Эта область определена неравенством (13), правая часть которого обратно пропорциональна времени т. Следовательно, на больших временах, т.е. при управлении системой, находящейся в режиме установившихся колебаний, внешняя область расширяется на всю фазовую плоскость за исключением множества xi = 0. Таким образом, закон сухого трения становится каазиоптимальиым во всей фазовой плоскости за исключением £2 = 0 для любых значений R и ст. Невозможно переоценить этот результат, так как он позволяет полностью избежать численного моделирования уравнения ГЯБ при решении задач оптимального стохастического управления.

Подобная картина наблюдается для систем с несколькими степенями свободы и гауссовым возмущением, а также для билинейных систем. Квазионтимальным законом управления для билинейной системы выступает закон пропорциональный сигнум-функции от произведения ее фазовых переменных. Он остается справедливым во всей фазовой плоскости за исключением множества, состоящего из двух осей координат пространства, т.е. в каждой четверти фазового пространства. Для системы с пуассоновским шумом даже при очень больших значениях времени внешняя область останется конечной, причем ее ширина будет определяться интенсивностью пуассоповского процесса. Далее проводится исследование влияния квазиоптимального управления на функционал Майера. Наблюдается отклонение квазиоптимального закона управления от оптимального с увеличением значений ¿гит, однако при /I < 1 абсолютная величина ошибки остается малой, следовательно, в задаче Майера при сделанных предположениях можно использовать закон сухого трения. . ,

В параграфе 4.2 решение уравнения ГЯБ для задачи Лагранжа используется при выводе оценки судией амплитуды процесса. Hjюдполагается, что

система находится в режиме установившихся колебаний, при котором знамение средней энергии через полуиериод остается постоянным. Функционал Лагранжа является интегралом от средней энергии системы, так что энергия системы Я = диь/дт — им, где им - решение задачи для функционала Майера. Рассмотрим приращение энергии, возникающее в результате перехода системы из состояния им(х1,0+, £) в состояние им(х 1,0—, I + Т„):

Аи = им(х1,0—^ + Та) — ид/(х1,0+> £) (42)

Здесь первое состояние отвечает средней энергии системы через полуиериод Т,, а второе состояние соответствует' средней энергии системы при положительной скорости вблизи нуля, т.е. Хп = 0+. Найти точное значение среднего времени полупериода Т„ можно, решив задачу о достижении заданных границ. Подробный анализ проведен в п.7.3 для виброударной системы при Я ~ 0. Показано, что в первом приближении среднее время между двумя последующими пересечениями оси х2 — 0 равно собственному нолупериоду системы, т.е. 7г/!Г2. Подставляя это значение в выражение (42) и принимая во внимание, что разность между значениями максимального и минимального перемещения равна удвоенной амплитуде процесса. А, запишем:

ДЯ= Ди = -2ЛЛ + сг2Г,/2 (43)

При режиме установившихся колебаний среднее приращение энергии системы за полуиериод равно нулю:

< АН >= 0 = -2Я <А> +Дтг/(2П) =»< А >= <т2п/(4П Я) (44)

Полученный результат (44) можно было бы считать точным, если оставить в этом выражении Т„. Однако при замене Т, па тгД2 ностояшше <т2 и Я предполагались малыми величинами. Показано, что результат (43) также получается при стохастическом анализе системы с сухим треиием:

{XI = х2

х2 = -ЯМдп(х2) - п2хг + аЩ), 0 < г < Т (45)

х1(0)=х10, ^г(О) = х2о Таю1м образом, установлена связь между решением уравпешш ГЯБ и результатом стохастического анализа. Проведено сравнение аналитических и численных результатов для средней амплитуды системы (45) как функции безразмерного параметра д.

В параграфе 4.3 представлено сравнение ограниченного и линейно -ограниченного управления, которое тесно связано с понятием насыщения актюатора. С связи с тем, что квазиоптимальпое управление является п;х> дельпым случаем линейно - ограниченного управления, щюдсташшется актуальным провести сравнение этих законов управления и изучить как замена

одного закона унравления другим влияет на функционал качества, а также сравнить поведение линий переключения. С этой целью здесь рассматриваг ется и решается линейно - квадратичная задача управления по отношению к недемпфированной системе, находящейся под действием внешнего гауссов-ского белого шума. Критерием качества выступает квадратичная функция вида:

(40)

uLQ = inf J{v) = Е |y*i [П2х\{1') + xl(t') + Su2] di'j .

Показано, что закон оптимального управления и его предельное значение при больших г можно записать в виде:

*» - -Ш»- " ^ " - -<*■> (47>

где а 1 (т), а2(т), аз(т) - функции времени г, а Т„„ - время необходимое для того, чтобы все переходные процессы в системе затухли. Следовательно, в фазовом пространстве линией переключения будет прямая, которая в начальный момент будет совпадать с прямой х2 = 0 и с течением времени будет поворачиваться вокруг начала координат по часовой стрелке, пока не достигнет своего предельного значения. Численные результаты показывают, что для любых, наперед заданных конечных значений S и О. линия переключения будет отличаться от линии х2 = 0 и стремиться к последней при стремлении S к бесконечности. Проведено сравнение линий переключения для разных значений обратного времени г. Видно, что поведение линий переключения для линейного закона управления кардинально отличается от поведения линий для системы с ограниченным управлением. Проведено сравнение функционалов качества путем вычисления относительной ошибки между линейно -квадратичным функционалом и функционалом Лагранжа для ограниченного управления но формуле:

«5 = ^-^100% (48)

ищ

Для того, чтобы такое сравнение было корректным, необходимо выбрать надлежащим образом значения параметров S и R. Сравнение приближенного значения средней энергии /уш системы с сухим трением и точного выражения для системы с вязким трением позволяет получить эту связь:

< >= 3 (|02 , < Hun >= ¿. а. = g (49)

Найденное значение S по формуле (49) при заданных значениях R и других параметров позволяет сказать, что уровень диссипации в обеих систе-

мах остается одинаковым. Численный расчет показал высокое значение относительной ошибки, особенно в области начала координат, уменьшающейся при движении от центра. Разумеется, ограниченное управление является предельным случаем линейно - ограниченного управления при стремлении коэффициента угла наклона к тг/2. Результаты численного моделирования, полученные для разных значений обратного времени показали, что значение ошибки всегда оставалось положительным, т.е. функционал качества предельного, ограниченного закона управления всегда меньше функционала с линейно - ограниченным управлением. В результате показано, что о1рани-ченное управление является наилучшим из всех возможных линейно - ограниченных законов управления.

Параграф 4.4 посвящен стохастическому анализу системы с сухим трением и исследованию надежности таких систем. Используя метод квазиконсервативного усреднения удается вывести сгохасти ческое уравнение для энергии системы (45):

Н = -2Я\/2Я/тг + а1 ¡2 + (50)

Применение марковского аппарата позволяет записать уравнения Фоккера -Планка - Колмогорова для плотности вероятности энергии системы, точное решение которого записывается в виде:

р(Н) = (72/2)е-^,7 = 8ЯУ2/(тг<72), < Я >= 6/72 = (Зтг2сг4)/[(8Я)2] (51)

Сравнение со средним значением линейной системы позволяет записать выражение для коэффициента эквивалентного вязкого трения:

ащ = (16Я2)/(Зтг2а2) (52)

Результат (52) оказывается точнее, чем результаты, полученные ранее другими авторами. Далее проводится исследование двух задач теории надежности: задача о переходе реакции системы за максимально допустимое значение и задача о характеристической долговечности системы. В первой рассмотрен механизм, в процессе работы которого существует вероятность его разрушения при переходе реакции системы за заданное пороговое значение Н*. Функ-1Ц1Я Т(Н) должна удовлетворять детермшшровашюму уравнению в частных производных:

(Г2Н<?Т-2 (1Н2 +

7Г

Ш (53)

§(Я = 0) = -|, Т(Я*) = о

Удается пост|юить точное [юшение этого уравнения с помощью интегральной показательной функции. Сравнение численных результатов с результатами,

полученными для линейной демпфированной системы, показало, что время достижения критического значения системой с сухим трением в несколько раз меньше, чем для системы с вязким трением. Это свидетельствует о меньшей надежности систем с сухим трением по сравнению с линейными системами. Второй изучена задача разрушения в процессе накопления' цовреэадеиий- Согласно гипотезе линейного суммирования усталостных повреждений ожидав емое время до разрушения системы обратно пропорционально моменту т/2 порядка энергии реакции системы, где т - показатель кривой усталости для материала. Полагая среднее значение энергии обеих систем равными, отношение судного времени до разрушения имеет вид:

То _ 6-/У/2)!

TL ~ (т + 1)!

Полученный результат свидетельствует о том, что среднее время до наступления разрушения в системе с вязким трением TL больше, чем время в системе с сухим трением Тд. Таким образом доказано, что квазионтимально управляемые системы, т.е. системы с сухим трением, менее надежны, чем системы с вязким трением.

В параграфе 4.5 рассмотрена задача идентификации параметров стохастической системы с нелинейным трением. Предполагается, что поведение системы описывается следующим стохастическим уравнением:

х + F(x) + ü2x = o£{t) (55)

Вводя медленно меняющиеся амплитуду и фазу процесса: х — A cos в, х = —АО, sin в, в — ttt + ф, применим метод стохастического усреднения, в результате которого получим следующее уравнение для амплитуды процесса:

Á = -h(A) + ^ + 2B¿(t)

1 /** <т2 (5С)

Функция h(A) связана со стационарной плотностью распределения амплитуды р(Л), которая с помощью интерполяции строится на основе экспериментальных данных. Полученное аналитическое выражение в комбинации с решением интегрального уравнения Шлемильха для второго уравнения в (56) позволяет1 получить оценку для характеристики нелинейного трения в системе.

Пятая глава посвящена анализу квазиоптимально управляемых билинейных систем. Приводятся приближенные аналитические результаты, полученные разработанным методом баланса энергии, демонстрируются результаты численного моделирования, полученные с помощью созданного комплекса

вычислительных программ, адаптированных для анализа сильно нелинейных систем.

В параграфе 5.1 вводится определение кусочно - консервативных систем и предлагается описание метода баланса энергии для анализа таких систем. Ввиду свойств сигнум - функции квазиоптимальпое управление является постоянным в промежутках между переключениями, которые происходят в дискретные моменты времени. Другими словами, рассматриваемая консервативная система обладает определенной постоянной энергией между переключениями, т.е. в течение одного цикла. В то же время значение энергии от цикла к циклу будет изменяться. Подобные системы предлагается называть кусочно-консерттивпыми. К таким системам относятся системы с эффективным параметрическим управлением и недемпфированные, виброударные системы с неупругим ударом. Стохастический анализ таких систем предоакются проводить методом баланса энергии. Суть метода состоит в рассмотрении изменения средней энергии системы между переключением и учета энергетических потерь в момент переключения. Показано, что между переключениями, т.е. в пределах одного цикла, средняя энергия кусочно - консервативных систем возрастает' линейно, пропорционально времени, проведенному системой между двумя последовательными переключениями. В моменты переключения энерптические потери в системе вычисляются в зависимости от свойств изучаемой системы. Предполагая процесс стационарным, удается получить значение средней энергии системы в начале каждого цикла, а также значение средней энергии в течении всей реализации.

В параграфе 5.2 рассмотрен стохастический анализ кусочно - консервативной системы с квазиоптимальным законом управления ее жесткостью:

Методом баланса энергии удается получить значение средней энергии в па-чале каждого цикла. Это единственный случай, когда не удается получить явное выражение для средней энергии системы за реализацию. Оно выводится методом квазикопсервативного усреднения и имеет1 вид:

Сравнение результата (58) (линия) с результатами численного моделирования (крестики) на Рис.З(а) показало высокую точность первого даже в области близких к единице значений параметра управления Л. Высокая точность приближенного аналитического результата объясняется близостью среднего значения периода стохастической системы к периоду слабо нелинейной системы, что следует1 из анализа, проведенного в параграфе 5.6.

{

XI = Х2

х2 = -г22а;1 — ж12х18гдп(х1х2) + <т£(4), 0 < я < 1

(57)

< Е >= <727Г/(4ДП)

(58)

О 02 ОА 0.» 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 О.в 0.7 00 0.9

(а) " (Ь)

Рис. 3: Средняя энергия системы с управляемой жесткостью (а) и моментом инерции (Ь).

В параграфе 5.3 проведено математическое моделирование системы с квазиоптимальным закон управления моментом инерции. Уравнение движения такой системы имеет вид:

ё = 1 + 4^)' * = -/М + 0 < Я < 1 (59)

Здесь /(0) - нечетная, нелинейная функция своего аргумента. Следуя методу баланса энергии можно получить значение средней энергии в начале каждого цикла и среднюю энергию за реализацию. В случае линейной восстанавливающей силы /(в) окончательное выражение имеет вид:

* »¿-ад

1 Г сг2 /2 Ф (Л) = \ (уТ+Ё + ^fT=R) , Г1/4± = <4 = Щ

(60)

Полученный результат (линия) достаточно точно описывает поведение системы, изображенное на Рис.З(Ь) и полученное численным моделированием (крестики). Сравнение системы с управляемой жесткостью и моментом инерции показывают одинаковый уровень диссипации энергии в системах для равных значений параметра управления. Получены результаты для других видов восстанавливающей силы, а также анализ данной системы находящейся под действием потока дельта импульсов.

В параграфе 5.4 рассмотрен стохастический анализ математического маятника с управляемой длиной (качели), принадлежащего к классу кусочно - консервативных систем. Линеаризованное стохастическое уравнение движения имеет вид:

+ - Ц + ВНМФпГ * = ~П2[1 + ™°п{фг>)]ф + (61)

Г22 = ^/¿о, 0 < Я < 1

С помощью метода баланса энергии выведено выражение для среднего значения энергии системы, а также предельное значение для случая малых Я:

а.щк), ЩК) 7(1 + д2/3)(1_Д2) (б2)

Результаты численного моделирования показали высокую точность предельного выражения даже для близких к единице значений параметра управления. Проведен анализ системы тина качелей с возмущением, приложенным к точке нод1$еса. Получено выражение для коэффициента эквивалентного вязкого трения, которое в три раза превышает коэффициент трения для системы с управляемой жесткостью.

В параграфе 5.5 дано подробное описание численного метода интегрирования вдоль траекторий. Приводится алгоритм метода, обсуждаются проблемы встречающиеся при рассмотрении кусочно - консервативных систем и предложен ряд усовершенствований. На этой базе создай комплекс вычислительных программ, служащих для нахождения плотности распределения вероятности переменных состояния сильно нелинейных системы.

В параграфе 5.6 продемонстрировано применение метода интегрирования вдоль траекторий для вычисления плотности распределения переменных состояния кусочно - консервативных систем. Для всех трех систем, рассмотренных выше, проведено сравпепие плотности распределения энергии, а также построена двумерная плотность распределения переменных состояния. На Рис.4 представлены результаты для плотности распределения перемещения и скорости системы с управляемой жесткостью для значений Я = 0.1 - '1', Я = 0.3 - '2', Я = 0.5 - '3', Л = 0.7 - '4' и Я = 0.99 - '5'. Прослеживается уменьшение ширины плотности распределения скорости системы при увеличение значения Я. Вычисление значения среднего периода показало, что при больших значениях параметра управления Я период консервативной системы в несколько раз больше периода стохастической системы. Этот результат свидетельствует об уменьшении эффективного периода системы под действием случайной нагрузки. Подобное уменьшение прослеживается для всех трех рассматриваемых систем. На Рис.5 представлены результаты для плотности распределения перемещения и скорости системы с управляемым моментом инерции для значений Я = 0.1 - Т, Я — 0.3 - '2', Я = 0.5 - '3', Я = 0.7 - '4'.

В шестой главе приводится математическое моделирование и анализ

Рис. 4: Плотность распределения перемещения (а) и скорости (Ь) системы с управляемой жесткостью.

стохастических виброударных систем. Даются выводы аналитических результатов и результатов численного моделирования.

Первый параграф посвящен обзору существующих результатов для стохастических виброударных систем с упругим ударом. Показано, что с помощью негладкого преобразования можно получить точное выражение для плотности распределения переменных состояния системы, В связи с тем, что в реальных системах значения коэффициента восстановления г находятся в пределах [0.3,0.6], перечисленные выше подходы не могут использоваться для анализа.

В параграфе 6.2 продемонстрирован метод измерительных фильтров. С помощью этого метода получено точное аналитическое выражение для спектральной плотности системы, возбуждаемой негауссовым дельта - коррелированным белым шумом, а так же получены условия устойчивости системы от-

носительио моментов переменных состояния. На примере системы Дуффинга показана возможность применения данного подхода к нелинейным системам. Полученные с помощью гауссовой схемы замыкания результаты совпадают с результатами других авторов.

В параграфе 6.3 приведено решение задачи о достижении заданпых границ на примерю виброударпой системы с пеупругим ударом. Уравнение Понтрягипа с одним общим краевым условием имеет вид:

дТ 2 дТ Ид2Т дТ п

2/2 д--тг- + -тГяТ = У27Г~ = "Ри VI = °> У2 > 0 (63)

ду\ ду2 2 ду£ ду{

Для виброударпой системы с ограничителем, расположенным в положении равновесия системы (/г = 0), второе условие имеет вид Т|и»о,»з<о — 0. Решение уравнения методом малого параметра Т = То + ЛТх + ¿>гТ2 + ..., где В — а2 - малый параметр показало, что в первом приближении То = -к/П, а Т\ — Тч = Тз = 0. Таким образом период системы достаточно точно апщхж-еимируется первым приближением. Решение подобной задачи для системы со сдвинутым ограничителем (Н ф 0) показало, что в первом приближении можно использовать значение периода соответствующей консервативной системы.

В параграфе 6.4 рассмотрено движение недемпфированной виброударпой системы с неупругим ударом. Методом баланса энергии получен аналитический результат для средней энергии системы при условии, что среднее время меж;(у ударами Т — тт/П:

<Еев

1 Гт - -ОТ 14-г2

>=1Уо £(*)*= Х = ~ (64)

Параметр х назван коэффициентом ударных энергетических потерь. Получены значение эквивалентного вязкого трения, формула для средней энергии виброударной системы с неупругим ударом и вязким трением, дана оценка средней энергии системы с нелинейной восстанавливающей силой и системы, находящейся под действием потока дельта импульсов. На Рис.б(а) представлены результаты численного анализа (точки) и аналитические результаты (64) (сплошная линия) для двух значений интенсивности шума Ю — I - '1', И = 10 - '2*. Сравнение численных и аналитических результатов для виброударпой системы с вязким трением представлены на Рис.О(Ь) для £> = 1. На обоих рисунках хорошо видна высокая точность полученных аналитических результатов. Рассмотрены виброударные системы с зазором, натягом и двумя ограничителями, расположенными симметрично относительно положения равновесия системы. Во всех случаях получены аналитические формулы для среднего значения энергии системы, которые с высокой степенью точности совпадают с результатами численного моделирования.

' (а)

(Ь)

Рис. С: Среднее значение энергии виброударной системы 6«) трения (а) и с вязким треиием (Ь)

В параграфе 6.5 по результатам численного моделирования построена плотность вероятности переменных состояния виброударных систем с пеупру-гим ударом и ограничителем, находящимся в положении равновесия системы (Л = 0), с натяшм и зазором (Л ф 0), с двумя ограничителями. Показано, что характерным является увеличение пика плотности вероятности перемещения системы вблизи ограничителя при уменьшении значения коэффициента восстановления. По результатам численного анализа получены эмпирические формулы для безразмерного среднего и среднеквадратичного значений перемещения системы при |??| < 1 :

<х>

р(г)=Л( 1.1

г)

1 + —т? 7ГХ

т] =

к

у/П/Ш

Рту 4ГР;

(65)

В параграфе 6.6 проведено математическое моделирование двух виб-роудариых систем, вдабу ж/щемых узкополосным процессом. В первой части рассмотрена практическая задача о возможности возникновения субгармонических колебаний морских платформ стоящих на нерастяжимом шварто-вочпом троссе в результате воздействия морских волн. Поведение морской платформы моделируется как нелинейные колебания системы с ударом, подверженной действию узконолосиого случайного процесса которые оперируется как гармонический процесс со случайными фазовыми модуляциями г(Ь) = Хвтф^), 1р(1) = v + a^{t). Получено выражение для среднего квадрата амплитуды процесса, который уменьшается с увеличением интенсивности фазовых модуляций, т.е. когда возбуждаемый процесс далек от гармонического. Этот результат говорит о том, что возникновение субгармонических колебаний в таких системах практически невозможно. Вторая часть параграфа посвящена рассмотрению нерезопансного случая. Численные результаты

показали, что с увеличением шума средняя амплитуда процесса уменьшается при значениях частоты возмущения близких к резонансной и увеличивается при нерезонанспых значениях частоты возмущения.

В последнем параграфе приводится численный анализ виброударных систем с двумя степенями свободы. Рассмотрена практическая задача о возникновении неустойчивости движения массы в направлении, перпендикулярном направлению возбуждения. Проведен численный анализ виброударной системы с двумя степенями свободы и неунругом ударе одной из масс. Показано, что средняя энергия такой системы линейно пропорциональна коэффициенту ударных потерь Х-

В заключении сформулированы основные результаты вы несенные на защиту.

1. Предложен численно-аналитический метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Бедлмана. С помощью этого метода построен синтез оптимального управлешш для класса задач стохастической оптимизации с ограничением на абсолютную величину управляющего воздействия.

2. Построен алгоритм, позволяющий применить разработанный метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмаиа для динамических систем с конечным числом степеней свободы, а также систем с цуассо-повским внешним возбуждением.

3. Разработан комплекс вычислительных программ, позволяющие строить оптимальные стратегии управления линейными системами с внешним ограниченным управлением.

4. Доказано, что закон сухого трения является квазионтимальньш в линейных системах без трения, подверженных действию внешнего гауссов-ского возбуждения при минимизации средней энергии системы, находящейся в режиме установившихся колебаний. Для системы с несколькими степенями свободы законом квазиошчшального управления является закон сухого трения но соответствующей обобщенной координате скорости.

5. Доказано, что в билинейных системах закон пропорциональный сш'-нум - функции от произведения переменных состояния системы является квазионтимальньш при мишшизации средней энергии системы, находящейся в режиме, установившихся колебаний.

С. Численно - аналитическое исследование задачи надежности систем с внешним квазиоптимальпым управлением показало, что такие системы менее надежны, чем системы с линейным трением.

7. Численный анализ показал, что функционал качества существенно возрастает при замене ограниченного закона управления па линейно - ограг

ничейный, что характеризует первый, как наилучший из всевозможных линейно - ограниченных законов управлении.

8. Разработай численно-аналитический метод идентификации параметров стохастических систем с одной степенью свободы и нелинейным трением.

9. Предложен и разработан аналитический метод баланса энергии для оценки средней энергии кусочно - консервативных систем, к которым относятся параметрически управляемые системы и недемпфированные виброударные системы с неупругим ударом.

10. Предложен ряд усовершенствований численного метода интегрировал пия вдоль траекторий, который лег в основу комплекса вычислительных программ, созданных для построения плотности распределения во роятности переменных состояния сильно нелинейных систем.

11. Получено точное аналитическое выражение для спектральной плотности перемещения параметрически возбуждаемых систем, подверженных действию иегауссового дельта - коррелированного белого шума.

12. Решена задача о достижении заданных границ для кусочно - консервативных систем. Аналитические и численные результаты показали, что наличие аддитивного шума может вести к существенному уменьшению эффективного периода системы.

13. Получены аналитические выражения для оценки средней энергии виброударных систем с зазором, натягом и систем с двухсторонним ограничителем при неупругом ударе.

14. Основываясь на результатах численного моделщюваиия получены эмпирические формулы для среднего и среднеквадратичного перемещения виброудариых систем с зазором или натягом при пеунругом ударе.

15. Изучены свойства виброудариых систем, подверженных действию узкополосного, случайного процесса и дана оценка возможности возникновения в таких системах субгармонических режимов колебаний.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Dirnentberg M.F., Iourtclienko D.V., О. van-Ewjik. Subharmonic response of quasi-isochronous vibro-impact system to a randomly disordered periodic excitation. // Nonlinear Dynamics. - 1998. - 17, - P. 173 - 18G.

2. Dirnentberg M.F., Iourtclienko D.V. Towards incorporating impact losses into random Vibration analyses: a model prallem. // Probabilistic Engineering Mechanics. - 1999. - 14, - P. 323 - 328.

3. Bratus A.S., Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V. Optimal bounded response control for a second-order system under a white-noise excitation. // J. Vibration and Control. - 2000. - N 6. - P. 741 - 755.

4. Bratus A., Dimentberg M., Iourtchenko D. and Noori M. Hybrid solution method for Dynamic programming equations for MDOF stochastic systems, и Dynamics and Control. - 2000. - N 10. - P. 107 - 116.

5. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V., Bratus A.S. Tmnsition from planar to whirling oscillations in a certain nonlinear systems, j/ Nonlinear Dynamics.

- 2000. - N 23. - P. 165 - 174.

6. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V. Instability of planar oscillations in a certain nonlinear system under random excitation. j j J. of Sound and Vibration. - 2000. - 233. N 1. - P. 175 - 177.

7. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V., Bratus A. Optimal bounded control of steady-state random vibrations. // Probabilistic Engineering Mechanics. -2000. - 15, - P. 381 - 386.

8. Iourtchenko D.V., Duval L., Dimentberg M.F. The damping identification for certain SDOF systems. // Proceedings of 20th Southeastern Conference on Theoretical and Applied Mechanics. - Auburn. 2000. - P. 535 - 538

9. Iourtchenko D.V. Stochastic optimal bounded control for a system with the Doltz cost Junction. // J. Vibration and Control. - 2000 - N. G. - P. 1195 -1204.

10. Iourtchenko D.V., Dimentberg M.F., Bratus A.S. Optimal control of random vibrations by bounded stiffness variations. // ICTAM 2000. Tech. Report N 950 - Chicago. 2000. - P. 178 - 179

11. Iourtchenko D.V., Dimentberg M.F. Energy balance for random vibrations of piecevAse - conservative systems, j j J. of Sound and Vibration. - 2001.

- 248, N 5, - P. 913 - 923.

12. Iourtchenko D.V., Dimentberg M.F. Analysis of piecewise conservative systems by the energy balance method, j I Proceeding of XXIX summer school Advanced Problems in Mechanics. Editor D.A. Indeitsev. - Repino. 2001. -P. 322 - 331

13. Iourtchenko D.V. Method of direct energy balance for vibroimpact systems with random excitation, j j Proceeding of Int. Conf. Nonlinear Dynamics, Chaos, Catastrophes and Control. Editor M. Zakrzhevsky. - Riga. 2001. -P. 39 - 42

14. Юрчепко Д.В. Оптимальное управление маятника с вязким трением под действием нормального и одностороннего пуассоновского шумов. // Аппот. докл. VIII Всероссийского съезда по теоретической и при-кладпой механике. - Пермь. 2001. - С. 617.

15. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V., Bratus A. Bounded, control of random vibration: hybrid solution to HJD equations. // Meccaiiica. - 2002. - 37, -P. 129 - 141.

1G. Iourtchenko D.V., Segatory F., Tomei G. Response of an inertia controlled system to Gaussian and Poisson impulse pwcesses. // Proceeding of XXX summer school Advanced Problems in Mechanics. Editor D.A. Indeitsev -Repino. 2002. - P. 2S6 - 291.

17. Iourtchenko D.V., Dimeutberg M.F. Energy balance, method for analysis of a certain of non-linear systems. // Proceeding of 4th Euromech nonlinear oscillation conference. - Moscow. 2002. - P. 165

18. Iourtchenko D.V., Iwankiewicz R.M. Analysis of a vibroimpact systems under a poisson impulsive process excitation. // Proceedings of EURODYN 2002, Sep. 2-5, 2002, Eds. H. Grundmann and G.I. Schueller, Balkema 2002, Vol. 1. - Munich. 2002 - P. 785 - 788.

19. Iourtchenko D.V., Dimeutberg M.F. In-service, identification ofnon - linear damping from measured rundom mbration. // J. of Souud and Vibration. -

2002. - 255, N 3, - P. 549 - 554.

20. Iourtchenko D.V., Dimentberg M.F. Identification of nonlinear system' parameters from, measured response for determenistic and stochastic systems. II EUROMECH Colloquium 437 - Identification and Updating Methods of Mechanical Structures, - Prague. 2002. - P. 17.

21. Iourtchenko D.V. Response spectral density of linear systems with external and parametric non - Gaussian, delta - correlated excitation. // Probablistic Engineering Mechanics. - 2003. - 18, - P. 31 - 36.

22. Iourtchenko D.V., Song L.L. Method of measuring filters for detennination of response power spectral density function. // Proceeding of XXXI summer school Advanced Problems in Mechanics. Editor D.A. Indeitsev. - Repino.

2003. - P. 138 - 140.

23. Iourtchenko D.V., Bratus A.S., Dimentberg M.F. Stochastic optimal control of dynamic systems under gaussian and poisson excitation. // Proceedings of European Control Conference. MS Stochatic Systems. - Cambridge. 2003. - P. 28 - 31.

24. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V. Random vibrations with impacts: A remew, // Nonlinear Dynamics. - 2004. - 36, - P. 229 - 254.

25. Iourtchenko D.V,, Menaldi J.L. Optimal tracking of stochastic systems with bounded control force. // Proceedings of the Third European Conference on Structural Control, 3ECSC, Vienna University of Technology. - Vienna.

2004. - P. si.171 - si.174

26. Юрчеако Д.В. Параметрическое управление одной стохастической системы второго порядка. // Изв. Ак. Наук, Теория и Системы Управления - 2004. - 43, N 1. - С. 79 - 83.

27. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V. Stochastic and/or chaotic response of a vibivimpact system to imperfectly periodic sinusoidal excitation. // Int. J. of Bifurcation and Chaos. - 2005. - 15, - P. 2057 - 2061.

28. Iourtchenko D.V., Naess A., Mo E. Probability density function of a stiffness controlled by path integration method. // Proceedings of 5th Euromech Nonlinear Dynamcis Conference. - Eindhoven. 2005. - P. 429 - 433.

29. Iourtchenko D.V., Song L.L. Analytical analysis of stochastic vibroimpact systems. // Safety and reliability of engineering systems and structures. Ed ra. August! G. et.al. - Rome. 2005. - P. 1931 - 1937.

30. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V., Naess A. Coherence function of transverse random vibrutions of a rotating shaft. // J. of Sound and Vibrations.

- 2006. - 295, - P. 983 - 986.

31. Iourtchenko D.V., Song L.L. Numerical investigation of a response, probability densitij function of stochastic vibroimpact systems with inelastic, impacts. // Int. J. of Non-linear Mechanics. - 2006. - 41, - P. 447 - 455.

32. Iourtchenko D.V. Random vibrations of swings. // J. of Sound and Vibrar tion. - 2006. - 295, - P. 1011 - 1014.

33. Cour JI.JI., Юрчепко Д.В. Анализ стохастических виброударных систем с псупруггш ударом. // Изв. Ак. Наук, МТТ - 2006. - 2, - С. 180

- 190.

31. Юрченко Д.В. Стохастические колебания виброударных систем. // Аннот. докладов IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. - Нижний Новгород. 2006. - т. 1. С. 122.

35. Iourtchenko D.V., Naess A., Mo Е. Response probability density functions of strongly nonlinear systems by the path integration method. // Int. J. of Non-linear Mechanics. - 2006. - 41, N 5, - P. 693 - 705.

36. Юрченко Д.В. Некоторые новые результаты в динамике стохастических виброударных систем. // Труды XIX Симпозиума Динамика виброударных систем. - Звенигород. 2006. - С. 323 - 328.

37. Юрченко Д.В. Сравнение ограниченного и неограниченного управлений с обратной связью для стохастической линейно - квадратичной задачи. // АиТ - 2006. - 67, N 7. - С. 88 - 94.

38. Братусь А.С., Юрченко Д.В., Меиальди Ж.Л. Локальные решения уравнения Гамильтона - Лкоби - Беллмапа в стохастических задачах оптимального управления. // ДАН. - 2006. - 409, N 1, С. 30 - 33.

Подписало к печати: «?/. Н. 06.

Формат бумаги 60x90 1/16 Объем 2,0 печ. л.

Заказ - 5{3, Тираж - 100 экз.

Типография МИИТ, 127994 ГСП-4, г. Москва, ул. Образцова 15.

Введение

1 Основы теории случайных колебаний

11 Случайные процессы, их своисч на и харакiеристики

1 2 Теория марковских процесс он

1 3 Теория управления диффузионными процессами.

1 4 Аналитичес кие методы теории случайных колебаний

1 5 Численные моюды теории случайных колебаний

1 6 Ос обенности анализа виброударных систем

2 Гибридный метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана в задачах оптимального стохастического управления движением осциллятора

2 1 Посхановка задачи и ее особенное iи

2 2 Задача Больца для сисхем с гауссовым возмущением.

2 3 Махематичес кое обоснование i ибридною метода решения . . . 81 2 4 Задача оптимальною управления для сии ем с гауссовс ким и пуассоиовским шумами

2 5 Численное решение уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана

3 Применение гибридного метода для решения задач стохастической оптимизации

3 1 Управление системой со многими степенями свободы.

3 2 Управление системой с бесконечным числом степеней свободы

3 3 Задача оптимальною слежения

3 4 Управление системой пухем изменения момента инерции

3 5 Управление системой nyiем изменения жесткости.

3 6 Задача оптимальною управления нелинейными сис1емами

4 Анализ стохастических систем с сухим трением

4 1 Квазиошимальность закона сухого трения.

4.2 Стохастический анализ сис Iем с сухим трением

4 3 Срашюиие систем ( oi рапиченным и neoi раниченным управлением

4 4 Надежность си( 1ем с сухим трением

4 5 Идентификация систем с сухим iрением

5 Анализ параметрически управляемых стохастических систем

5 1 Метод баланса энергии . . . . . . . 158 5 2 Стохастический анализ систем с управляемой жес 1косхью . 160 5 3 Стохапический анализ систем с управляемым моментм инерции

5 4 Стохж гический анализ систем типа качели . . . . 173 5 5 Численный метод оценки плотности распределения переменных состояния кусочно - консерва1ивных систем

5 6 Плотное п, распределения вероятное 1и переменных состояния кусочно консервативных с и( 1ем

6 Анализ стохастических виброударных систем

6.1 Существующие результаты 1еории стохас!ических виброударных систем

6 2 Спектральная плотность переменных с ос юяния систем с ynpyi им ударом

6 3 Задача о достижении заданных границ.

6 4 Метод баланса анергии для систем с неупругим ударом . . . . 210 6 5 Плотность вероятности и сиек1ральная илотость переменных сосюяния системы ( неупругим ударом

6 6 Узкополос иое возбуждение виброударных (истем

6.7 Виброударные системы с двумя степенями свободы

И}учеиие колебанчьных процессом имеет фундаментальное значение Невозможно преде твить себе современную, реальную физическую систему или механим без хорошо спланированных, грамотных инженерных расчетов Несмотря на бурное раз-ви1ие вычислительной техники и численных методов, теоретический анали будь то точный или приближенный, остается основным инс фументом исследования реальных физических явлений и синем. Теоретические исследования важны не юлько как ин-струмеш для получения iочных или приближенных результатов, изучения влияния разных параметров на поведение системы, но и как аппара: для апробирования новых моделей и меюдов, их правомерности и точности

Ис следование любой реальной физической системы, как правило, фебует нексно-рой идеализации. Одной и* тких идеализации может служить рассмотрение систем с конечным числом степеней свободы Такая идеализация удобна, так как позволяем не только ynpoci игь исходную задачу, но и сохрани ib важную информацию о характерных свойствах сисн'мы В зависимое ih oi целей посчанленной задачи ее можно упростить путем уменьшения числа с ieiieneft свободы Таким обраюм, в юй или иной степени, подавляющее большинство действующих динамических chcicm можно моделировать с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение копсфукции с конечным числом степеней свободы

Hoc Iроение и изучение детерминированных моделей 1акже являемся идеализацией более сложных явлений, оказывающих прямое или косвенное влияние па работу динамических chcicm. Так, например, при изучении движения обьекта в турбулепшой среде необходимо учитывать влияние случайных турбулентных сил. Для этою в уравнение динамической модели вводи 1ся случайный процесс с заданными статистическими характерие шками, описывающий неопределенное!и, возникающие в системе. Очевидно, что испольювапие случайных процессов при моделировании динамических chcicm продиктовано целым рядом факторов или их комбинацией Природным источником случайных нагрузок является действие Beipa (в особенности на высошые сооружения и подвесные моим), сейсмическая активность, воздейивие морских волн на суда и платформы Случайные колебания могус возникать во время движения по неоднородной поверхности доро! и, в результате процесса горения в двшагелях ракет, флук1уаций в радиотехнических приборах. Отметим, что $ачастую параметры самой системы или ширужепия moi ут быть известны не точно, чю может быть компенсировано введением в модель случайных функций Наконец, в задачах управления ошибки измерений и наблюдении приводят к неопределенностям, котрые необходимо учишвап. при расчетах. Приведенные выше примеры говорят о необходимости изучения с тхапических динамических сисн'м, i е динамических систем подверженных действию некоюрых случайных на1руиж Динамическое моделирование 1аких систем проводится с помощью стохастических дифференциальных уравнений

Одной из насущных проблем стохастической динамики является проблема оптимального стохас i ичес кою управления. Целью mhoi oinai ового процесса оптима-льпою стохастического управления являсмся выбор такой последслшельности решений, для которой некоторая функция параметров состояния сис 1емы достигает экстремального значения В отличие oi задач управления детерминированными системами, 1де оптимальная иранчия может строиться в виде программы, в задачах стохас iичссkoiо управления ыкои подход оказывается менее эффекшвпым Как правило, для решения задач оптимальною с тохастического управления использусчся друюй подход, а именно, метод динамического npoi раммирования. Последний своди1 тдачу отыскания оптимальных с тратегий управления к носi роению решения задачи Коши для некоторого вырожденного многомерною нестационарного нелинейного уравнения параболическою типа относительно функции Беллмана Это уравнение iiochi название уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмапа

Круг задач, решение коюрых можно построить точно с помощью метода динами-ческо1 о программирования, весьма oi рапичен В большинстве с воем это либо задачи не имеющие прямого практического применения, либо некие математические модели не существующих на практике систем К последним, например, относятся модели в которых ковариационная матрица возбуждения предпола1ае1ся невырожденной, чею не может произойти в реальных динамических сипемах, 1ак как случайное возмущение в тких системах, уравнение движения коюрых записано в фазовых переменных, входит все1да юлько во второе уравнение К другим, редко виречающимся на практике предположениям, относятся нормальное распределение выходною сишала сильно нелинейной системы, выпуклость минимизируемою функционала по управлению. Мпо1ие проблемы стохастическою управления, такие как задача быстродейс пшя, задача управления с вероятностным критерием, юдача оптимальной коррекции и прочие не упомянуты здесь ввиду того, чю они лежат за пределами облас ш задач, исследуемых в диссертации

Исключением является хорошо изученная липсйпо-квадра1ичная задача управления, коюрая формулируется для линейной сисюмы с выпуклым функционалом, те. квадратичным функционалом качества как по фазовым переменным, так и по управлению В качестве функции качества здесь может выступам, средняя энергия системы или среднеквадратичное снклопспие ее фазовых переменных oi заданной величины Такая постановка идачи hmcci прямой физический смысл и практическое применение, гак как своей целью сыиш минимизацию, например, средней ^нер1ии системы на конечном интервале времени К задачам ткого рода относятся задачи демпфирования колебаний транспортных среди в, перемещающихся по неровной поверхности, гашение колебаний спутниковых антенн, уменьшение вибраций руки робота манипулятора, а также другие Фундаментальное значение имеет то, что линейно-квадра1 ичпая задача стохастического управления позволяет построить точное аналитическое решение, что помогает глубже поняп. процесс формирования синтеза оптимальною управления и использовать его в качечтве модельпою примера

Несмотря на все сказанное выше, липейпо-квадратичная задача управления имеет существенный недостаюк, сосюящий в том, что на управляющее воздействие не накладывается никаких ограничений Дру1 ими словами, найденная оптимальная стратегия представляет собой управление по принципу обратной связи, но в то же время управление остается неограниченным по абсолюшой величине Такая постановка задачи не всегда является оправданной в приложении к динамическим системам Разумеется, невозможно создать неограниченную по абсолюшой величине силу или момеш. Кроме того, мно1ис детали и механизмы, с помощью которых осуществляется управление сисчсмой, имеют конструкционные связи, ограничивающие их движения. Существующие примеры, среди которых характерным является ограниченное движение элеронов и рулей управления летательного аппарата, являются лучшим подтверждением сказанною выше. Следует также вспомнить о проблеме насыщения актюаторов, с помощью которых создается управляющее воздействие Известно, чю любой актюагор имеет верхнюю и нижнюю 1раницы, в пределах которых он функционируем в рабочем режиме, а это приводи! к смраничснию полезной силы актюатора по абсолютной величине. Развитие новых млк'риалои также послужило толчком для рассмофепия задач с oi раниченнмм по абсолютной величине управлением. Дело в юм, ню такие материалы имеют, как правило, два устойчивых состояния, и способны резко переходить и? одною состя-ния в друюе, изменяя свои физические свойства под влиянием внешних воздействий Именно это: принцип был положен в основу идеи гашения колебаний в некоюрых динамических сисюмах. Становится очевидным, что расс мотрение проблем ошимального стохас 1ичоскою управления с oi рапиченным по абсолютной величине управляющим воздействием продиктовано новыми требованиями к управляемым сииемам и развитием новых юхнологий

Метод динамического программирования, как уже было сказано ранее, сводит поставленную задачу к проблеме нахождения решения задачи Коши для нелинейного вырожденною параболического уравнения, причем поиавлепная задача ведет к сильной нелинейности юна сш нум-функции Вви^ сложности нос твленной задачи и отсутствия стрсних математических меюдов решения вырожденных нелинейных уравнений в частных производных параболическою типа, точное решение подавленной задачи на сеюдняшпий день остается не найденным В качспве одного из возможных подходов было предложено использовать меюд возмущений, 1де малым параметром считалась интенсивность шума или абсолюшая величина управления Отметим, что продвинуться дальше нулевого приближения во многих случаях практически не удается из-за сложноеIи исходного уравнения в частных производных. Использование классических численных методов, таких как метод сеток, для решения соотво1с1вующего уравнения Гамилыопа-Якоби-Беллмана ткже не преде ывляется возможным, ввиду того, что асимшошческое поведение функции Беллмана неизвестно. Следовательно, неизвестными являются краевые условия, фебуемые для численного решения уравнения параболическою 1ипа в слраниченной вычислительной облас1и Известны работы, в которых эIи условия выбрались на основе некоторых, чисчо интуитивных соображений, что не даем право рассчитывать на высокую точность иолучепного резулыата и даже говорить о ею правомерность С друюй стороны, наличие такою рода задач не только в облас 1и ошимальною управления ведет к развитию новых численных методов способных справиться с описанными труднос!Ями Хочекя еще раз подчеркнуть, чю на данный момент не сущесгвуо1 точных методов решения задач сюхастическою управления с ограниченным по абсолюшой величине управляющим воздейс!вием.

Отсутствие шчного результата приводиi к тому, что невозможно проверим, юч-носп, юго или иною нового метода Более того, предложение использовать некоторый пеошимальный закон управления не позволяет оцепип, cieneiib неоптимальиости последнею Следовательно, актуальной на сегодняшний день является попытка нахождения оптимальных законов < юхапического управления для модельных задач, i о задач с конечным числом степеней свободы, включая самые прос ше - линейные стохас гиче-ские системы с одной степенью свободы. Отметим, что задача минимизации средней с)нер1ии линейной, недемпфированной системы, находящейся под действием внешнею гауссовою случайного возбуждения и oiрапиченного по модулю внешнего управления, к конечному, фиксированному моменту времени, остается нерешенной. Действительпо, сформулированная задача стохастическою управления приводит к следующей задаче Кош и. ди ди да о2 д2и дт 12 дх\ Хг Ох? 2 дх\ u(xux2,0)=l-({l2x\ + xl), те [О, Г] ди дхо

Здесь xi,x2- перемещение и скорость системы, записаппые в фазовых переменных, - собственная частота, о1 - интенсивность гауссовою белого шума, R - oiрапичепие на величину управляющею воздействия

Именно такие актуальные и прикладные проблемы on i имального стохастическою управления с ограниченным по абсолютной величине управляющим воздействием рассмотрены в предложенной рабсме В линейных системах управление является внешним, тогда как в билинейных задачах управление происходит засчет изменения параметров системы, те является параметрическим Исследованы задачи Майера (минимизация целевой функции к заданному, фиксированному момешу времени), Лагранжа (минимизация целевой функции на заданном интервале времени) и Больца (линейная комбинация вышеуказанных критерием} качества). Во всех задачах, за исключением задачи оптимального слежения, в качес ibc целевой функции выбрана средняя энергия системы, I е. функционал является выпуклым по фазовым переменным и не содержит управления. В задаче оптимального слежения роль целевой функции итрает среднеквадратичное отклонение перемещения системы от заданной траектории.

Вви^ сложности задач оптимального стохас шчсскою управления, а гакже трудностей, связанных с реализацией таких законов на практике, часто приходится применян, неоптимальные или квазиоптимальпыс стратегии управления. Предложить такой закон управления, удовлетворяющий хогя бы час i ичпо предъявленным требования, оказывается не менее сложной задачей. Разумеется, выбор квазиошимального закона управления, в первую очередь, основываем на пропою ею применения к реальным физическим сис юмам. Как будет показано в рабою, 1аким квазиош имальным законом служит закон тесно связанный с сигнум-функцией В задачах с внешним управлением таким законом выступает закон сухою трения, i е. закон пропорциональный си!пум-функции скоропи системы, а для задач с парамирическим управлением квазиоптимальным законом может служип> закон пропорциональный сиг нум-функции oi произведения перемещения и скорости сипемы.

Хотя применение квазиоптимальных с фатегий сущепвепно упрощай реализацию сишеза оптимальною управления, появление таких сильных нелинейноеjей - нели-нейпопей типа сигнум-функции делает сложным анализ получаемых динамичес ких си-с юм. Желание проанализировать поведение квазиоптимальных систем с целью предсказания их поведения является вполне спественным и приводит к необходимости рассмотрения и изучения нелинейных задач стохастической механики Анализ таких сисюм затруднен ввиду юю, что в резулыаю возникают похастические сипемы с разрывными правыми чааями, причем ква шоптимальное управление завис и i юлько oi юкущего состояния фазовых переменных сипемы Такие сипемы в рабою имену-ююя сильно нелинейными Существующие локальные методы анализа стохас шческих систем, а также меч оды усреднения, не способны дать надежных результатов, хак как базируются на предположении о малой нелинейности, входящей в уравнение движения или малых изменениях амплитуды (энергии) системы за период.

Применение квазиошимальиою управления в системах с внешним управлением приводиI к рассмотрению с юхапических систем с сухим трением, а в системах с на-рамприческим управлением - к рассмотрению еще более сложных стохастических си-с юм с мгновенно изменяющимися параметрами Заметим, что вви^|у свойств сш нум-функции, потери в парамсчричсски управляемых псвозмущенных сип омах происходя1 в дис крппые моменты времени, правда, заданные движением самой с истемы. В связи с таким характерным поведением, эти сипемы образуки класс кусочно-консервативных сисюм. Появление сильно нелинейных систем, как резулыат применения квазиоптимальных страю1ий, поднимает целый ряд вопросов касающихся надежности иших систем, возможности получения оценки средней энер1ии системы, вычисления плотности распределения фазовых переменных состояния Попытки пен iроения некоюрых из перечисленных оценок приводи I к необходимое i и развития новых методов анализа таких сии ом, как аналитических, 1ак и численных. Интересно, чю прямое численное моделирование уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова по oiношению к плошости распределения вероятности перехода для соотвсюнзующей системы не предиаиляет-ся возможным. Объясняется эю тем, что в уравнении появляйся дельта функция, как резулыа1 дифференцирования сигнум-функции. Таким образом, численное пои роение плотное 1и распределения верояшости требует модификации сущей вующих численных методов или разработки новых подходов

Заметим, чю класс кусочно-консервативных систем включаем в себя не только параметрически управляемые сииемы, но и сис юмы, сильная нелинейность которых обусловлена их физическими евойс гвами К таким относятся виброударные сис юмы с доминирующими энергетическими потерями при ударе, те иедемифированиые системы с neyiipyiHM ударом Виброударные режимы виречаются во miioi их динамических системах, специально сконс фуированных для виброударной работы. К их числу относятся пружинный молот, виброударные инструмсчпы и ручные машины ударной) действия для строительной, горнорудной и металлообрабатывающей отраслей С друюй стороны, виброударные режимы как нежелательные явления можно встретить при работе зубчаюй коробки передач, движении колеса ваюна на стыках и стрелках и прочие Сущее 1вующие методы анализа стохастических виброударных сисюм позволяю! получить приемлемые результаты только в случае малых ударных поюрь Случай немалых потерь IребусI развития новых аналитических мемодов.

Резюмируя, данная работа носвящена изучению поведения стохастических линейных и нелинейных динамических сисюм, находящихся иод действием внешних случайных naipy30K Представленная диссертация состоит из трех основных частей 1) изучение проблем стохастическою оптимальною управления линейными и билинейными, полной ыо наблюдаемыми сии омами с ограниченным по мо^лю управлением; 2) аналитический и численный анализ нелинейных стохаиических систем, возникающих в результате применения законов управления, 3) аналиюческий и численный анализ стохастических виброударных систем с поведением качеивспно схожим с параметрически управляемыми еисюмами.

Цель работы. Целью настоящей работы является создание комплексною подхода, состоящего из аналитических и численных меюдов, служащих для математического моделирования и анализа задач стохастическою оптимальною управления, а также исследования сильно нелинейных стохастических систем Конкретно с твились следующие цели

1 Поиск эффективною метода для решения задач синтеза оптимальною стохастическою управления полностью наблюдаемыми, линейными и билинейными системами с внешним широкополосным случайным возмущением.

2 Создание вычислительных npoipawM с целыо установления оптимальных и квазиоптимальных стратегий управления для рассмотренных классов линейных и билинейных систем

3 Разработка аналитических методов, позволяющих эффективно проводить анализ сильно нелинейных стохастических сис юм

4 Разработка и усовершенствование численных методов, а также с оздание на их базе комплекса вычислительных программ, служащих для анализа с ильно нелинейных с юхастических систем

Методы исследований. В диссертации использованы методы функционального анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений, теории численных меюдов, теории случайных процессов и теории управления

Научная новизна полученных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, получены впервые Научная новизна результатов, представленных к за-щи ie состоит в следующем*

1. Предложен численно-аналитический метод решения уравнения Гамильтона - Яко-би - Беллмапа С помощью эюю метода построен сип юз оптимальною управления для класса задач стохастической оптимизации с ограничением на абсолютную величину управляющего воздействия.

2 I loci роен алгоритм, позволяющий применим, разработанный метод решения уравнения Гамилыона - Якоби - Беллмана для динамичес ких систем с конечным числом степеней (нободы, а также систем с пуассоновским внешним возбуждением

3 Разработаны вычислительные программы, позволяющие строим, оптимальные стратегии управления линейными сис 1смами с внешним управлением

4. Получены квазиоптимальпые законы управления линейными и билинейными системами, находящимися в режиме установившихся колебаний

5 Проведено численно-аналитическое исследование задачи надежности квазионти-мально управляемых сис icm

6 Результаты численною моделирования показали, что закон управления в виде сухою Iрения явлжчся наилучшим в классе линейно - ограниченных управлений

7. Разработан численно-аналитический метод идентификации параметров стохастических систем с одной степенью свободы и нелинейным трением

8 Разработан аналитический метод баланса энергии для оценки средней энер1ии кусочно - консервативных сисicm.

9. Предложен ряд усовершенствований численного метода интсч рирования вдоль траекюрий, который леч в основу комплекса вычислительных программ, созданных для построения пломюсти распределения вероя1Ности переменных сос юяния сильно нелинейных сис icm.

Обоснованность выводов диссертации. Дос юверность полученных результа-юв обеспечивается выбором апробированных исходных моделей, cipoiостью применения математического аппарата и формализмом механики, сравнением аналитических результатов с результатами численного моделирования; использованием модельных задач при численном моделировании и сравнением резулыатов с результатами, полученными дру1 ими авторами независимыми мемодами исследования подобных задач

Практическая ценность работы В диссертации рассмотрен целый ряд модельных задач стохастическою управления Полученные в диссертации результаты могут найти применение при решении многочисленных задач управления с обратной связью колебагельными процессами в системах, подверженных случайным нагрузкам, при заданном ограничении па абсолютную величину управляющем о воздействия Кроме тою, представленные результаты могут служи1ь эталоном для апробации новых методов в теории опшмалыюю стохастическою управления В рабою исследован ряд задач, имеющих иракшческое значение, среди которых задача идентификации нелинейных характерис ihk сюхастических сис юм, задача исследования надежности управляемых систем, задача о возникновении субгармонических колебаний океанских плак[)орм. Предложен ряд законов управления, кснорые могут быть использованы в машинах и механизмах для гашения нежелательных вибраций. Разработпиые вычислительные моIоды и нро1раммы Moryi паЙ1и применение в задачах, где проведение эксперимен-ia може1 оказаться слишком дороюстоящим Аналитические методы MoiyT использо-вахься в учебном процессе при изложении теории управления и динамики нелинейных сюхас1ических систем

Апробация работы. Результат диссертации докладывались на научных семинарах кафедры "Механика и процессы у правления", СП6ГГ1У, на кафедре "Прикладная механика и управление", МГУ; на кафедре "Кибернетика", МИЭМ, в Иппихуте проблем машиноведения РАН (С -Пеюрбур1), в Инстихую проблем механики РАН (Москва), па Инженерном департамент Университета Майами (США), на Инженерном департамент Института Иллинойса в Урбана Шампейи (США), на департаменте Прикладной маюматики ГУ Тронхейма (Норвехия), на Инженерном департамент Ву-стерского полиюхпическот института (США) Представленные результаты докладывались на всесоюзных и международных конференциях. Stochastic Structural Dynamics 1998, (Нотер Дам, США), EUROMECH 386,1998, (Берлин, Германия), ASME'99 (Блакс-бург, США), ENOC99 (Коппенгаген, Дания), EURO- DYN99 (Poiордам, Нидерланды), EUROMECH 413, 2000, (Палермо, Италия), ЮТАМ 2000 (Чикаю, США), NOLCOS 2001 (С-Петербур1), СОС 2000 (С-Петербург), VIII Всероссийский сьезд по теорсчи-ческой и прикладной механике (Пермь, 2001), АРМ 2001 (С-IIomp6ypi), АРМ 2002 (С-Петербург), ENOC02 (Москва), XIV Симпозиум но виброударным и сильно нелинейным системам (Звенигород 2003), ЕСС'ОЗ (Камбридж, Ашлия), ICOSSAR'()5 (Рим, Ихалия), ENOC'05 (Эйшховен, Голандия), XV Симпозиум по виброудариым и сильно нелинейным системам (Звепиюрод 200G).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 48 научных фудов

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения Работа (одержит 278 страниц, включая 93 рисунка и списка лите-paiypu состоящею из 303 наименований.

Заключение

Диссертация посвящена маюмашчоскому моделированию и исследованию целого класса задач стохастической динамики Во всех исследованных задачах ошимальпо-го стохас гическото управления рассмотрено управление ограниченное по абсолютной величине. Показано, что применение ыких законов управления в динамических системах ведет к образованию сильно нелинейных систем с нелинейностью типа сишум-функция Системы с отраниченным по модулю параметрическим управлением можно объединить в класс кусочно - консервативных систем. К этому классу также относятся виброударные недемпфированные системы с пеупругим ударом Аналитический и численный анализ таких систем оказывается далеко не тривиальной задачей, требующей новых подходов и мемодов, которые приведены в диссертации С целыо анализа сильно нелинейных систем создан комплекс программ, позволяющий получать плотность распределения вероятности и спектральную плотность переменных сос тяния системы, а также другие данные, характеризующие поведение сильно нелинейных стохастических систем. Результаты диссертции совпадают с результатами, полученными друтими авторами альтернативными аналитическими и численными методами Более конкретно, получены следующие результаты

1. Предложен численно-аналитический метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана С помощью этого метода пос ipoen синтез оптимальною управления для класса задач с юхастической оптими зации с ограничением на абсолютную величину управляющею воздействия.

2 Построен алгори i м, позволяющий применить разработанный метод решения уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана для динамических систем с конечным числом степеней свободы, а 1акже систем с пуассоповским внешним возбуждением.

3. Разработан комплекс вычислительных пренрамм, позволяющий строить оптимальные стратегии управления линейными системами с внешним отраниченным управлением.

4. Доказано, что закон сухого трения являеюя квазиоптимальным в линейных системах без трения, подверженных действию внешнею 1ауссовского возбуждения при минимизации средней энергии сисюмы, находящейся в режиме установившихся колебаний Для системы с несколькими степенями свободы законом квазиоптимального управления являем с я закон сухою трения по соответствующей обобщенной координате скорости

5 Доказано, что в билинейных системах закон пропорциональный сигнум - функции от произведения переменных состояния системы является квазиоптимальным при минимизации средней энергии системы, находящейс я в режиме установившихся колебаний

6 Численно - аналитическое исследование задачи надежности сис iем с внешним квазиоптимальпым управлением показало, что такие системы менее надежны, чем системы с линейным i рением.

7 Численный анализ показал, что функционал качества сущес i венно возрастает при замене от раничепнем о закона управления на линейно - ограниченный, что характеризует первый, как наилучший из всевозможных линейно - ограниченных законов управления

8 Разработан численно-аналитический метод идентификации параметров с юхас ih-ческих сис 1ем с одной с ieneiibio свободы и нелинейным трением

9 Предложен и разработан аналитический меюд баланса энергии для оценки средней энергии кусочно - консервативных систем, к которым относятся параметрически управляемые системы и недемпфированные виброудариые системы с неупру-I им ударом.

10 Предложен ряд усовершенствований численного метода интегрирования вдоль траекюрий, который лег в основу комплекса вычислиюльных программ, созданных для построения плотности распределения вероятности переменных состояния сильно нелинейных систем.

11. Получено точное аналитическое выражение для спектральной плотности перемещения параметрически возбуждаемых систем, подверженных действию neiaycco-вою делыа - коррелированною белою шума

12. Решена задача о достижении заданных i раниц для кусочно - консервативных систем. Аналитические и численные результаты показали, что наличие аддитивного шума может вести к существенному уменьшению эффективного периода системы.

13. Получены аналитические выражения для оценки средней энергии виброударных систем с зазором, натягом и систем с двухсторонним ограничителем при иеупрутом ударе.

14. Основываясь па результатах численного моделирования получены эмпирические формулы для среднего и среднеквадратичного перемещения виброударных систем с зазором или натягом при неунругом ударе.

15. Изучены свойства виброударных систем, подверженных действию узкополосного, случайного процесса и дана оценка возможности возникновения в таких системах субгармонических режимов колебаний.

1. Аверина ТА , Артемьев С С Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1986. - 288, N 4, С 777 - 780

2. Андерсон Д , Таннехилл Дж , Шкччер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. 2 I. М Мир, 1990 728 с.

3. Андреев Н.И. Теория статистически оптимальных систем управления. М • Наука, 1980 - 415 с.

4. Андреева Е А., Колмановский В.Б , Шайхсч JI Е Управление системами ( последействием. М. Физматлит, 1992 336 с

5. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI Избранные главы теории автоматического управления (примерами па языке MATLAB С Пб Наука, 2000 - 475 с.

6. Андронов А А , Понтрягин JI.C., Витт А А О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ 1933 - 3, N 3 - С 165-180

7. Артемьев В М. Статистический анализ нелинейных систем с использованием теории марковских случайных процессов Минск МВИЗРУ ПВО, 1969. 144 с

8. Артемьев С.Е., Демидов Г.В. Определение плотности распределения решенеия дифференциального уравнения с помощью сплайнов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1984 15, N 4 - С. 3-10.

9. Астапов ЮМ, Медведев ВС. Статистическая теория систем автоматическою регулирования и управления. М.: Наука, 1982. - 304 с

10. Афанасьев В Н., Колмановский В Б., Носов В Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. 574 с.

11. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем: приближенные методы. М Наука, 1978. 352 с

12. Бабицкий В.И., Крупенин B.JI. Колебания в сильно нелинейных системах. М Наука, 1985. - 320 с.

13. Батков Ф.М , Александров В.М., Мишулина А.О , Староверов А.Н., Щукин Б А Методы онгимизациив < iai истических задачах управления. М.: Машиноведение, 1974 240 с

14. Беллман Р Динамичекое npoi раммирование. М. Из-во иносгр лит., 1960 -400с.

15. Боголюбов Н Н , Мшропольский Ю А Асимптотичес кие методы тоории нелинейных колебаний М . Наука, 1974 - 504 с

16. Болотин В В Случайные колебания ynpyi их систем М Наука, 1979. 335 с

17. Болотин В В Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений М Стройиздат, 1982. - 351 с

18. Болотин В В Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М : Машиностроение, 1984 - 312 с

19. Борцайкин С М ,Све1 ушков Н Н. О фундаментальном решении уравнения Фок-шра Планка - Колмогорова с особенностями в ко )ффициентах. // МАИ М. 1986 Юс (Деп в ВИНИТИ, N 2744-В86)

20. Bpaiycb А С Метод малого параметра для построения приблгшенной стратегии в классе задач дифференциальных игр. // Прикладная матема! ика и механика 1975 39. N 6 - С 1006-1016.

21. Братусь А.С. Приближенное решение одной задачи оптимального управления с веротностным критерием // Прикладная математика и механика. 1977 41. N 1. - С. 13-23

22. Братусь А С , Иванова А П. Локальные решения уравнения Гамилгтона Якоби- Беллмана и их применение к задаче оптимального управления колебаниями упругих рас пределенных систем // Изв Ак Наук Теория и системы управления- 2004 N 2 - С. 52-61

23. Братусь А.С., Юрченко Д В., Менальди /К Л. Локальные решения уравнения Гамильтона Якоби - Беллмана в стохастических задачах оптимального управления // ДАН. 2006 - 409, N 1, С. 30 - 33

24. Булычев Ю.Г., Погонышев С.А. Методы численного интегрирования многомерного уравнения Фоккера Планка на основе усеченных алгоритмов быстрого преобразования Фурье //Радиотехника и электроника - 1989 34 N 6. - С 1241-1249

25. Бунимович В.И. Флкшуационные процессы в радиоприемных устроствах. М.: Советское радио, 1951 - 360 с.

26. Вап-Кампен Н.Г Стхастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990 376 с

27. Вершинский С.В., Данилов В Н , Хусидов В Д Динамика вагона М Транис-порт, 1991 - 359 с.

28. Волконский В А. Случайная замена времени в строго марковских процессах // Теория верояшостей и ее применения. 1958 3, N 3. - С 332 - 35031| Гардипер К В. Стохастические задачи в естественных науках. М : Мир, 1986 -526 с.

29. Гельфанд И М., Фомин С М Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. -228 с.

30. Гикхман И.И Скороход А В. Введенеие в теорию случайных процессов М. Наука, 1977 - 568 С.

31. Гикхман И.И Скороход А В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982. 611 с.

32. Гнеденко Б.В Курс теории вероятности. М.: Наука, 1965. - 400 с.

33. Голдстейн Дж Полугруппы линейных операторов и их приложения. К.: Вища школа, 1989. 347 е.

34. Горяипов В Т, Журавлев А.Г., Тихонов В И Сышсхическая радиоюхпика М.: CoBoicKoe радио, 1980 544 с.

35. Градштейн И С., Рыжик И М. Таблицы инте1ралов, сумм, рядов и произведений- М . Наука, 1971. 1108 с

36. Гюнтер Н М Ишегрировапие уравнений первою порядка в час шых производных- М ОНТИ, 1934. 320 с

37. Дашевский М JL, Липпер Р.Ш Приближенный анализ нестационарных динамических (истем // АиТ 1967 - 8. - С 32-43

38. Дашевский М Л. Приближенный анализ точности нестационарных нелинейных систем методом семиинвариантов // АиТ. 1967 11 - С. 62-81.

39. Дашевский МЛ. У^швиения семиинвариантов нелинейных динамических си-(гпем И АиТ. 1968 - 10 С 63-71.

40. Дашевский М JI. Техническая реализация момитно семиинвариантного метода анализа случайных процессов // АиТ 1976 - 10. - С. 23-26.44| Демух В.И Приближенный метод анализа точности нелинейных систем. // АиТ. 1965. - 6. - С 1021-1025.

41. Ден-Гарю! Дж П. Механические колебания М Физматгиз, 1960 - 580 с

42. Диментбер1 М.Ф. Определение нелинейной диссипативной характсристики системы с одной степенью свабоды на основании испытаний при вынулс денных колебаниях // Изв АН СССР. МТТ. 1976 2 - С. 32-34.

43. Димен1бер1 М.Ф Точное решение одной задачи о колебаниях системы со случайным параметрическим во i6y.)tc дс нием. // ПММ. 1980. 44. - С. 1140-1142

44. Дименгберг М Ф. Точное решение уравнения Фоккера Планка - Колмогорова для некоторых динамических систем. // ПММ. - 1983. 47 - С. 555-558.

45. Диментберг М Ф Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. М. Наука, 1989. 176 с.

46. Дынкин Е Б. Марковские процессы М. Физмат из, 1963 - 859 с

47. Евланов ЛГ, Консташинов В.М Сисчемы со случайными параметрами М. Наука, 1976. - 568 с

48. Ермаков С М Мсчоды Монте-Карло и смежные вопросы М. Наука, 1971. 327с.

49. Журавлев В Ф Метод анализа виброуданых систем с помощью специальных функций // Изв АН СССР. МТТ 1976 11. - С. 23-27

50. Журавлев В Ф., Климов ДМ Прикладные меюды в 1сории колебаний М.-Наука, 1988 326 с.

51. Заяц О И. Решение уравнения Фоккера Планка - Колмогорова в задачах стати стической динамики систем релейного типа // ЛПИ Л 1987 Доп. в ВИНИТИ 10 07 87, N 4938-В87 С 1-36.

52. Иванов А.П. Динамика систем с механическими ударами. М.: Межд Обр., 1997.336 с.

53. Казаков И Е Статистические методы проектирования систем управления М : Машиностроение, 1969. 262 с.

54. Казаков И.Е , Гладков Д И. Методы оптимизации стохастических систем. М : Наука, 1987 304 с.

55. Като Т. Теория возмущений линейных операторов М Мир, 1972 740 с

56. Кашкарова А Г, Шин В.И. Модифицированные семиинвариантиые методы анализа стохастических систем // АиТ. 1986 - 2 - С. 69-79

57. Каудерер Г. Нелинейная механика М.: Из-во иноетр лит., 1961 778 с.

58. Кобринский А.Е , Кобринекий А А Виброударные сис 1емы. М.: Наука, 1973 591 с

59. Ковалева А.С Управление колебаюльпыми и виброударными системами М . Наука, 1990 253 с

60. Колмоюров АН, Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М • Наука, 1968. 496 с.

61. Коловский МЗ Нелинейная теория виброзащитных сисюм. М • Наука, 1966 -320 с.

62. Колосов ГЕ , Стратонович Р JI. Ассимптотический метод решения статистических задач оптимального управления ква шгармонич( скими системами J J АиТ 1967. 2 С 45-58

63. Колосов Г.Е Об одном прибли псенном методе синтеза статистических типем оптимального управления // АиТ. 1975 - 9 - С 41-51.

64. Коршяков А А., Малаиин В.В. Об одном итерационном методе решения Фок-кера Планка - Колмогорова // Проблемы механики управляемою движения Иерархические динамические системы Пермь 1978 - С. 103-108

65. Косачев И.М , Ерошенков М.Г. Аналитическое моделирование стохас юческих систем Минск. Навука i 1эхпика, 1993 - 264 с

66. Красовский А А. Статистическая юория переходных процессов в системах управления М . Наука, 1968 - 240 с.

67. Красовский A A. Piuieuue уравнения Фоккера Планка - Колмогорова методом рядов // ДАН СССР - 1972 205 N 3. - С 550-552

68. Красовский А.А. Решение уравнения Фоккера Планка - Колмогорова для динамических систем с аналитическими характеристиками. // Изв. АН СССР. ТК.1972 N 6 - С. 200-211

69. Красовский А А Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем М . Наука, 1974. - 232 с

70. Кренделл С. Случайные колебания. М.: Мир, 1967 356 с

71. Кресип Г И О применении метода Бубнова Галеркина в теории стохастических систем. // ПМ. - 1977 13. N 2 - С 132-134

72. Крылов Н.В Управляемые процессы диффузионного типа М.: Наука, 1977 -399 с.

73. Крылов Н В. Нелинейные эллинi ические и параболические уравнения второю порядка. М Физматгиз, 1985 - 376 с

74. Кузнцов Д.Ф Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений С - Пет Санкт - Пстербурюкий Гос Тех. У нив 2001. - 712 с

75. Кушнер ГДж Стохастическая устойчивость и управление. М: Мир, 1969. 200с

76. Лавровский Э.К , Формальский A.M. Оптимальное управление раскачиванием и тормола ниш качелей //ПММ 1993. 57 N3 С 311-320

77. Ладыженская О.А , Солонников В А , Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М.- Наука, 1967 - 736 с

78. Лапда П.С , Стратонович Р.Л К теории флуктуационных переходов различных систем из одного стационарного состояния в другое // Вестник МГУ. 19623. N 1

79. Левин Б.Р. Теоретические основы ( тистической радиотехники, i.l. М.: Советское радио,1974 - 552 с

80. Лукшин А.В , Смирнов С Н. Численные методы решения < гпохастических дифференциальных уравнений. // Математическое моделирование 1990. - 2. N 11 - С. 108-121

81. Магнус К Колебания М.: Мир, 1992 - 303 с

82. Макаров Б П Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов М. Машинос троение, 1983 - 264 с

83. Малании В В , Полосков И Е Случайные процессы в нелинейных динамических системах Ижевск' НИЦ "Рет^лярная и хаотическая динамика", 2001 - 160 с

84. Малахов А Н Кумулянтный анализ случайных неыуссовых процессов и их преобразований. М. Советское радио, 1978. - 376 с

85. Мелец И.О., Пыхова ТА., Усков Г В. Многомерная статистическая линеаризация функций, содержащих множители степенного, покаштельного и гпригоно-метричсског типов, а также 5 функции // АиТ. - 1967. - 12 С 65-75

86. Мерклингер К Дж Численный анализ нелинейных систем управления с помощью уравнения Фоккера Планка - Колмогорова // Труды II Международною кошресса ИФАК - М • Наука, 1966 - С 324-339.

87. Мильштейн ГН. Численное интегрирование стохас 1ических дифференциальных уравнений. Свердловск УралГУ, 1988 223 с

88. Митропольский ЮА, Коломиец В.Г Усреднение в стохастических системах // УМЖ 1971. - 23 N 1 - С 318-345

89. Митропольский Ю.А Аналитические методы исследования решений нелинейных дифференциальных уравнения Киев • Мат Инст. Укр АН УССР, 1975 - 209 с.

90. Нгуеп Д. А. Об исследовании случайных колебаний в неавтономных мсханических системах при помощи уравнения Фоккера Планка - Колмогорова. // Г1ММ. 1985 - 49 - С. 506-512.

91. Нгуеп Д.А К вопросу об интегрируемости усредненных уравнений Фоккера -Планка Колмогорова // Изв. АН СССР МТТ. - 1985 - 3 - С 45-48

92. Нес 1еров С.В Примеры нелинейных уравнений Клейна-Гордона имеющих точные решения в элементарных (функциях. // Труды МЭИ. 1978. - N. 357 - С. 68 - 70.

93. Оксендаль Б Стохастические дифференциальные уравнения Введение в теорию и приложения Пер с атнл М.: Мир, 2003. - 406 с

94. Пальмов В А Колебания упрую-пластических тел. М: Наука, 1976. 328 с

95. Пановко Я Г. Основы прикладной теории колебаний и удара Ленишрад Машиноведение, 1976 - 320 с

96. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации М Советское радио, 1976 - 184 с

97. Первомайский А.А Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М : Физматгиз, 1962 352 с.

98. Полянин АД Линейные уравнения математической физики (справочник) м. ФИЗМАТЛИТ, 2001 575 с.

99. Пошрягин Л С., Болтянский В Г., Гамкрелидзе Р.В , Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. - 384 с

100. Прохоров Ю В , Розанов Ю.А Теория вероятное iой. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. М ■ Наука, 1967. 496 с

101. Пугачев B.C. Теория случайные функций и ее применение к задачам автоматического управления. М. Гостехиздат, 1957. - 884 с.

102. Пупков К.А. Статистический расчет нелинейных систем автоматическою управления М.: Машиноведение, 1965 - 403 с.

103. Розанов Ю.А Случайные процессы. М. Наука, 1971. - 288 с.

104. Светлицкий В А. Случайные колебания механических сисюм. М.: Машиностроение, 1991. - 320 с

105. Свешников А А Прикладные методы случайных функций. М Наука, 1968. -464 с.

106. Синицын И Н. Методы статистической линеаризации Обзор // АиТ 1974. -5, С. 82-94

107. Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1986 320 с11.1 115116117118119120121122123124125

108. Солодовников В В Статистическая динамика, линейных сж том автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960. 470 с.

109. Coin J1JI, Юрченко Д В Анализ стохастических виброударных систем < ш упругим ударом. // Изв Ак Наук, МТТ 2006 2, - С 180-190.

110. С1ратонович P.J1. Условные марковские процессы. М/ МГУ, 1966 350 с

111. Стратонович PJI Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике М . Советское радио, 1961 558 с

112. Субботин А И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М . Наука, 1991. 216 с

113. Субботина Н Н. Метод характеристик Коши и обобщенные решения уравш ния Гамильтона Якоби - Беллмана // ДАН СССР. - 1991. 320 N 3. С. 501 - 506.

114. Тердычный-Даури В.Ю Стохастическая механика М. Факториал пресс, 2001.- 464 с.

115. Тихонов В И , Миронов М.А. Марковские процессы. М. Сов. радио, 1977 408с.

116. Тихонов В.И Нелинейные преобразования случайных процессов. М Радио и связь, 1986 - 296 с

117. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж Курс современного анализа, т 1. М : Физматгиз, 1962.- 342 с.

118. Флемиш У., Ришел Р Оптимальное управление детерминированными и стохас1и-ческими системами. Пер. с англ. М.: Мир, 1978 - 317 с

119. Хазен Э.М Методы оптимальных статис тических решений и задачи оптимальней о управления М.: Советское радио, 1968 256 с.

120. Хасьминский РЗ. Устойчивость дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров М.: Наука, 1969. - 368 с.

121. Хасьминский Р.З. О случайных процисих, определяемых дифференциальными уравнениями с малым параметром // Теория вероятностей и ее применения 1966. - XI. N 2. - С. 240 - 259.

122. Хасьминский Р.З Предельная теорема для решения дис/ф ренциальных уравнений со случайной правой частью // Теория вероятностей и ее применения 1966 XI, N 3, С 444 - 462

123. Хасьминский Р.З О работе консервативной tut теми при возжейс твии малого трения и малого случайного шума // ПММ 1964 28, N 5, С 931 - 935.

124. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических chcicm. М. Наука, 1977. - 560 с

125. Черкасов И ДО преобразовании диффузионного процесса в винеровский. // Теория вероятностей и ее применения. 1957 2, N 3, С 384 - 388

126. Черноусько Ф Л , Колмановский В.Б. Ошимальное управление при случайных возмущениях М.: Наука, 1978 352 с

127. Черноусько Ф Л , Акулепко Л Д , Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М Наука, 1980 - 384 с

128. Черноусько Ф Л Ограниченное управление в системах с распределенными пара-мегпрами // Прикладная математика и механика 1992 56 N 5 - С. 810 -826

129. Ширяев А Н. Вероятность. М Наука, 1980 575 с

130. Юрченко ДВ Оптимальное управление маятника с вязким тпрением под действием нормального и одностороннего пуассоновского шумов. // Аннот. докл

131. VIII Всероссийский сьезд по теоретической и прикладной механике. Пермь 2001. С. 617.

132. Юрченко Д В. Параметрическое управление одной стохастической системы второго порядка // Изв Ак Наук, Теория и Сисюмы Управления 2004. - 43, N 1. - С 79-83.

133. Юрченко Д В Стохастические колебания виброударных систем. // Аннот. докл.

134. Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Н. Новгород - 2006 - т. 1 С 122

135. Юрченко Д.В. Некоторые новые результаты в динамике стохастических виброударных систем. // Труды XV симпозиума Динамика виброударных сисмтем.- Звенигород 2006 - С 323 - 328

136. Юрченко Д В Сравнение ограниченного и неограниченного управлений с обратной е вя то для стохастической линейно квадратичной шдачи // АиТ 2006 - 67, N 7 - С. 88 - 94

137. Aliyu М D S. A transformation approach for solving the Hamilton-Jae obi-Bellman equation in H2 deterministic and stochastic optimal control of affine nonlinear systems // Automatica 2003 - 39, P 1243 - 1249

138. Andrievsky В R. Computation of the excitability index for linear oscillator. Proceedings of the 44th IEEE conference on Dicision and control, Seville 2005. P 3537-3540.

139. Anh N D., Hung L X An improved criterion of Gaussian equivalent linearization for analysis of non-linear stochastic systems // Journal of Sound and Vibration. 2003- 268, P 177- 200

140. Bancora-Imbert M С , Chow P L , Menaldi J L. On the numerical approximation of an optimal correction problem // SIAM J Sci and Stat. Comp 1988. 9, P 970-991

141. Bardi M., Capuzzo-Dolcetta I. Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellrnan equations. Boston Birkhauser, 1997 - 570 p

142. Barles G., Biton S., Ley O. Uniqueness for parabohcequations without growth condition and application to the mean curvature flow in R2. // Journal of Differential Equations2003 187, - P 456 - 472.

143. Bellizzi S., Bouc R. Analysis of multi-degree of freedom strongly non-linear mechanical systems with random input Part I: Non-linear modes and stochastic averacjinq. // Probabilistic Engineering Mechanics. 1999. - 14, - P 229 - 244.

144. Bensoussan A Perturbation methods in Optimal Control NY.: John Wiley, 1988. -573 p.

145. Bensoussan A. Stochastic Control of Partially Observable Systens. Cambridge University Press, 1992 352 p

146. Bergman L A , Spencer Jr BF First passage of a sliding rigid structure on a frictional foundation //Earthquake engineering and structural dynamics 1985 - 12. P. 281291

147. Bergman L A , Spencer Jr. В F First passage time for linear systems with stochastic coefficients. // Probabilistic Engineering Mechanics 1987. 2, N 1. P 46-53

148. Boyd S P., Barratt С H Linear Controller Design . Limits of Performance Prentice Hall Edgewood Cliffs 1991 416 p.

149. Bratus A S , Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V. Optimal bounded response control for a second-order system under a white-noise excitation // J Vibration and Control. -2000 N 6. P. 741-755.

150. Bratus A., Dimentberg M., Iourtchenko D. and Noori M. Hybrid solution method for Dynamic programming equations for MDOF stochastic systems // Dynamics and Control 2000 - N 10. - P. 107-116

151. Cai G.Q.,Lin Y.K. Response spectral densities of strongly nonlinear systems under random excitation // Probabilistic Engineering Mechanics. 1997 12, - P. 41 - 47.

152. Caughey T.K On the response of non-linear oscillator to stochastic excitation // Probabilistic Engineering Mechanics 1986. 1, N 1, - P 2-4.

153. Collette F S A combined tumd absorber and pendulum unpad damper under ransom excitation. // Journal of Sound and Vibration 1998 216, N 2, - P 199 - 213

154. Corlebb M., Lcitmann G Destabilization ma active stiffness //Dynamics and Control.1997. 7 P. 263 - 268.

155. Crandall M.G , Lions P L Viscosity solutions of Hamilton Jacobi equations. // Trans A M S - 1984. - 277, P 1 - 42

156. Crandall M G , Ishn H , Lions P L User's quide to viscosity solutions of second order partial differential equations // Bull Am. Math. Soc 1992 27, - P. 1 - 67

157. Crandall S H. Is stochastic equivalent linearization a subtly flawed procedure// Probabhstic Engineering Mechanics 2001. - 16, - P. 169 - 176.

158. Crespo L G., Sun J Q Optimal control of target tracking via simple cell mappinq. // Journal of Guidance, Control and Dynamics 2000 - 24, P 1029 - 1031.

159. Crespo L G., Sun J Q. Solution of fixed final state optimal control problems via simple cell mapping // Nonlinear Dynamics 2000. 23, P 391 - 403.

160. Crespo L.G , Sun J Q Stochastic optimal control of nonlinear systems via short-time Gaussian approximation and cell mapping. // Nonlinear Dynamics. 2002 28, - P. 323 - 342

161. Crespo L G., Sun J.Q. Fixed final time optimal control via simple cell mapping // Nonlinear Dynamics 2002. - 31, - P. 119 - 131.

162. Dimetnberg M.F. An exact solution to a certain non-linear random vibration problem // Int Journal of Non-linear Mechanics. 1982 17, N 4, P. 231 - 236

163. Dimentberg M F. Statistical dynamics of nonlinear and time varying systems. NY, John Wiley к Sons Inc , 1988 - 609 p.

164. Dimentberg M.F. On a theory of swings. // Journal of Vibration and Control 2002 - 8. - P. 311 - 319.

165. Dimentberg M., Bratus A Bounded parametric control of random vibrations // Proceedings of the Royal Society. Series A 2000. - N 456 - P. 2351-2363.

166. Dimentberg MF, Haernsch H.G. Pstudo linear vibro - impact system with a secondary structure response to a white-noise excitation // Journal of Applied Mechanics. - 1998 65, - P. 772 - 774

167. Dimentberg M F , Hon Z., Noori M. Spectral density of a nonhruar system's response to a white-noise random excitation a unique case of an exact solution. // Int. Journal of Non-linear Mechanics 1995 30, - P. 673 - 676.

168. Dimentberg M F., Iourtchenko D.V., O. van Ewjik. Subharmomc response' of quasi -isochronous vibro - impact system to a randomly disordered periodic excitation // Nonlinear Dynamics - 1998 - 17, - P. 173 - 186.

169. Dimentberg M F , Iourtchenko D V , O. van-Ewjik Subharmomc response of moored systems to ocean waves Part l'lmpactmg system. // Proceeding of 4th International Conference on Stochastic Structural Dynamics University of Notre Dame. 1999 -P. 495 - 498

170. Dimentberg M F , Hou Z , Noori M , Iourtchenko D.V , Wang Y. Dynamics of structure' subjected to imperfectly periodic excitation. // Structural Dynamics EURODYN'99, A.A. Balkema Publisher 1999, Rotterdam, Netherlands Prague. 1999 P 207-212.

171. Dimentberg M F., Iourtchenko D V., Bratus A S Transition from planar to whirling oscillations in a certain nonlinear systems. // Nonlinear Dynamics. 2000 N 23.1. P 165 174.

172. Dimentberg MF, Iourtchenko D.V Instability of planar oscillations m a certain nonlinear system under random excitation // Journal of Sound and Vibration. 2000- 233 N 1 P 175 177

173. Dimentberg M F , Iourtchenko D V., Bratus A. Optimal bounded control of steady-state random vibrations //Probabilistic Engineering Mechanics 2000 15, P. 381-386.

174. Dimentberg M.F , Iourtchenko D.V , Bratus A. Optimal control of random vibration hybrid solution to dynamic programming equation // 3rd ICONNE Nonlinear Dynamics, Chaos, Control and Their Applications in Engineering Sciences. V 4. -2000 P 60-78

175. Dimentberg M F., Iourtchenko D.V. Random vibrations with impact and related control problems. // The dynamics of vibroimpact (strongly nonlinear) systems. V.2. Zvemgorod. 2001 P. 120-121.

176. Dimentberg M.F., Iourtchenko D.V., Bratus A. Bounded control of random vibration hybrid solution to HJB equations. // Meccanica. 2002. - 37, - P. 129-141

177. Dimentberg M.F , Iourtchenko D V. Nonresonant response of a vibroimpact system to imperfectly periodic sinusoidal excitation // Vibroimpact and strongly nonlinear systems V.2. Zvenigorod 2003 P 24

178. Dimentberg MF, Iourtchenko D.V. Random vibrations with impacts A review // Nonlinear Dynamics 2004 36, - P. 229 - 254

179. Dimentberg M F., Iourtchenko D V Stochastic and/or chaotic response of a // vibroimpact system to imperfectly periodic sinusoidal excitation // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2005 - 15, - P. 2057 - 2061.

180. Dimentberg M F , Iourtchenko D.V., Naess A. Coherence function of transverse random vibrations of a rotating shaft. //J of Sound and Vibrations 2006 295, -P. 983 - 986

181. Dimentberg M F , Lin Y К An exact solution for the response spectral density of a sdof system under both parametric and additive random excitations // Journal of Applied Mechanics 2002. 69, - P. 399 - 400

182. Di Paola M., Falsone G Ito and Stratcmomch integrals for delta correlated processes // Probabhstic Engineering Mechanics. 1993 8, - P. 197 - 208.

183. Dreyfus S E Dynamic Programming and Calculus of Variations. New York Academic Press, 1965 248 p.

184. Elishakoff I Stochastic linearization technique: a new interpretation and a .selective review. // The Shock and Dibration Digest 2000 32, P 179 - 188.

185. Er G K. An improved closure method for analysis of nonlinear stochastic systems // Nonlinear Dynamics 1998 - 17, - P. 285 - 297.

186. Er G.K Exponential closure method for some randomly excited non-linear systems. / / Int Journal of Non-linear Mechanics. 2000. - 35, - P 69 - 78.

187. Er G K., Iu V P A consistent and effective method for non-linear random oscillations of MDOF systems // IUTAM Symposium on Recent Developments in Nonlinear Oscillations of Mechanical Systems. 2000. - P. 85 - 94

188. Fdlbono G. Cumulant and correlations for linear systems under rum-stationary delta- correlated processes // Probablistic Engineering Mechanics 1994 9, - P. 157 -165

189. Falsone G., Elibhakoff I Modified stochastic linearization technique for colored noise excitation of Duffung oscillator // Int. J. of Non-linear Mechanics 1994 - 29, N 1,1. P 65-69

190. Feller W Diffusion process in one dimension // Тгапь of the Am Math Society -1954. 77, P 1-31.

191. Fleming WH Stochastic control for small noise intensities. // SIAM .1. Control. -1971 9, N 3, P. 473- 517

192. Fleming W.H , Soner H M Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions -Springer-Verlag, New York, 1992. 428 p.

193. Gokcek C., Kabarnba P.T., Meerkov S.M. An LQR/LQG theory for systems with saturatinq actuators // IEEE Trans,. Auto. Contr 2001 46, N. 10, P 1529- 1542

194. Grigonu M. White noise processes // Journal of Engineering Mechanics. ASCE. -1987. 113, N. 5, - P. 757 - 765

195. Grigonu M Applied non-Gaussian processes Examples, Theory, Simulation, Linear vibration, and MATLAB solutions NJ, Prentice Hall, 1998 - 442 p

196. Hijawi M., Ibrahim R.A , Moshchuk N. Nonlinear random response of ocean structures using first-and-second order stochastic averaging // Nonlinear Dynamics. 1997. 12, - P. 155 - 197.

197. Hsu C. S. Cell-to-cell Mapping, A Method of Global Analysis for Nonlinear Systems Springer Verlag, New York, 1987. 352 p

198. Ни T , Lin Z. Control Systems with Actuator Saturations Analysis and Design -Boston: Burkhauser, 2001 392 p.

199. Huang Z.L., Zhu W.Q , Su/uki Y. Stochastic averaging of strongly non-linear oscillators under combined harmonic and white noise excitations. // Journal of Sound and Vibration. 2000 238, N 2, - P. 233 - 256

200. Huang Z L , Zhu W.Q Stochastic averaging of guasi-integrabale Hamiltonian systems under combined harmonic and white-noise excitations // Int Journal of Non-linear Mechanics 2004. 39, P 1421 - 1434.

201. Iourtchenko D.V. Subharnionic response of a vibroimpact system to narrow band random excitation MS Thesis Worcester. WPI, 1998 70 p.

202. Iourtchenko D V , Duval L., Dimentberg M.F. The damping identification for certain SDOF systems // Proceedings of 20th Southeastern Conference on Theoretical and Applied Mechanics Auburn. 2000 P. 535-538

203. Iourtchenko D V. Stochastic optimal bounded control for a system with the Boltz cost function // J Vibration and Control. 2000 N. G - P. 1195-1204.

204. Iourtchenko D V., Dimentberg M F., Bratus A S Optimal control of random vibrations by bounded stiffness variations // ICTAM 2000. Technical Report No 950 Chic ago 2000. P 178-179

205. Iourtchenko D V., Dimentberg M.F. Energy balance for random vibrations of piecewise-conservativt systems. // Journal of Sound and Vibration 2001 248, N 5, P. 913- 923

206. Iourtchenko D.V., Dimentberg M F. Analysis of piecewise conservative systems by the energy balance method // Proceeding of XXIX summer school Advanced Problems ш Mechanics. Editor D A. Indeitsev. Repino 2001. - P.322-331

207. Iourtchenko D V Method of dm ct enerqy balance for vibroimpact systems with random excitation // Proceeding of lilt Conf. Nonlinear Dynamics, Chaos, Catastrophes and Control Editor M. Zakrzhevsky. Riga 2001 - P. 39 - 42

208. Iourtchenko D.V Response spec tral density of linear systems with external and parametric поп Gaussian, delta - correlated excitation // Probabhstic Engineering Mechanics - 2003 - 18, P 31 - 36

209. Iourtchenko D V., Song L.L Method of measuring filters for determination of response power spectral density function. // Proceeding of XXXI summer school Advanced Problems in Mechanics Editor D.A. Indeitsev. Repino 2003. - P. 138 - 140

210. Iourtchenko D V., Bratus A S., Dimentberg M.F. Stochastic optimal control of dynamic systems under gaussian and poisson excitation. // Proceedings of European Control Conference MS Stochatic Systems. Cambridge. 2003. P. 28-31.

211. Iourtchenko D.V., Menaldi J.L. Optimal tracking of stochastic systems with bounded control force. // Proceedings of the Third European Conference on Structural Control, 3ECSC, Vienna University of Technology Vienna 2004 - P sl-171 - sl-174

212. Iourtchenko D V , Naess A , Mo E Probability density function of a stiffness controlled by path integration method. // Proceedings of 5th Euroinech Nonlinear Dynamcis Conference. Eindhoven 2005 P. 429 - 433

213. Iourtchenko D V , Song L L. Analytical analysis of stochastic vibroirnpact systems // Safety and reliability of engineering systems and structures Edrs. Augusti G. et al Rome 2005 P 1931 1937.

214. Iourtchenko D V , Song L L. Numerical investigation of a response probability density function of stochastic vibroirnpact systems with inelastic impacts // Int Journal of Non-linear Mechanics 2006 - 41, - P 447 - 455

215. Iourtchenko D V Random vibrations of swings // Journal of Sound and Vibration -2006 295, P 1011 - 1014.

216. Iourtchenko D.V., Naess A , Mo E. Response probability density functions of strongly nonlinear systems by the path integration method. // Int Journal of Non-linear Mechanics. 2006. 41, N 5, - P 693-705.

217. Iwankiewicz R , Nielsen S.R К Advanced methods in stochastic dynamics of non-linear systems Aalborg tekniske Universitetsforlag, 1999. - 274 p

218. Jing H S , Sheu К С. Exact stationary solutions of the random response of a smgle-deejree-of-freedom vibro-irnpact system // Journal of Sound and Vibration. 1990 141, N 3, - P. 363 - 373

219. Jing H S., Young M TRandom response of a single-dtejrte-of-freedom vibro-impact system with clearance // Earthquake Engineering and Structural Dynamics 1990 - 19, - P. 789 - 798

220. Karnopp D , Crosby Y , Harwood R A. Vibration control using semi-active force generators. // Journal of the Engineering for Industry. 1974 - 96, P. 619 - 626

221. Kloeden P.E , Platen E , Schurz H. On steady-state harmonic Vibrations of non-linear systems with many degrees of freedom // International Journal of Bifurcation and Chaos 1991 1, N 2, - P 277 - 286.

222. Kloeden P E , Platen E , Schurz H Numerical solution of SDE through computer experiments Springer Verlag, Berlin, 1994. 292 p

223. Krerik S , Roberts J В Local Similarity m Non-linear random vibration.// Journal of Applied Mechanics 1999 66, N 1, - P. 225 - 236

224. Kushner H J , Schweppe F С The maximum principle for stochastic control system //J Math Anal and Appl 1965 8, P. 287 - 305

225. Kushner H J On the stochastic maximum principle, fixed tune of control // J. Math. Anal and Appl 1965 11, - P. 78 - 92

226. Kushner H J. On the stochastic maximum principle with "average" constraints. // J. Math. Anal and Appl 1965. - 12, P 13 - 26.

227. Kushner H J. Probability Methods for Approximations in Stochastic Control and for Elliptic Equations Academic Press, New York, 1977 - 243 p.

228. Kushner H.J Diffusion approximations to output processes of nonlinear systems with wide-band inputs and applications // IEEE Tran-s on Information Theory. 1980 -26, N 6, P. 715-725

229. Kushner H J., Dupuis P. Numerical Methods for Stochastic Control Problems in Continuous Time Springer - Verlag, New York, 2001 - 475 P.

230. Lin S.Q , Bapat C.N. Estimation of clearance and impact forces using vibroimpact response random excitation. // Journal of Sound and Vibration 1993 - 163, N 3, -P. 407- 421.

231. Lrn Y К Probabilistic theory of structural dynamics. New York, McGraw Hill, 1967. - 368 P.254/ Lin Y.K., Cai G.Q. Probabilistic Structural Dynamics Advanced Theory and Applications New York, McGraw Hill, 1995. - 477 p.

232. Lio F D., Ley 0. Uniqueness results for second order Bellrnan-Isaacs equaton under quadratic growth assumptions and applications // SIAM J Contr. Optim. 2006 -45, N 1, P. 74 106

233. Lions P.L Generalized solution of Hamilton-Jacobi equations Paris, Pitman, 1982- 317 p

234. Leung H К Stochastic transient of a noisy van der Pole oscillator Physica A -1995 221. p 340-347

235. Main S F., Ibrahim A M Response of the impact damper to stationary random excitation // The Journal of the Acoustical Society of America 1973 - 53, N 1, P 200 - 211.

236. Maiud A , Bergman LA Solution of the four dimensional Fokker-Plant к equation still a challenge // Proceesings of ICOSSAR conference Nonlinear Dynamics 4, 2005 С 328.

237. Mehkyan A A Generalized Characteristics of First Order PDEs Applications in Optimal Control and Differential Games Boston- Burkhauser, 1998. 310 p

238. Meirivitch L , Fundamentals of vibrations. New York, McGraw Hill, 2001 806 p

239. Mo E , Naess A , Iourtchenko D.V Response PDF of a controlled swing by path integration method. // Proceedings of 5th Computational stochastic mechanics conference Edt. Spanos P D. pp. 201-207, - Rhodos 2006

240. Naess A , Johnsen J.M Response statistics of nonlinear, compliant offshore structures by the path integral solution method // Probabilistic Engineering Mechanics 1993.8, N 2, P. 91 - 106

241. Naess А., Мое, V. Generalized cell mapping versus path integration // Proceechgns of Computational stochastic mechanics. Edr. Spanos P.D. Balkema 1999. Greece, 1999- P. 385 390

242. Naess А., Мое, V Efficient path integration methods for nonlinear dynamic systems // Probabilistic Engineering Mechanics. 2000. - 15, No. 2, - P. 221-231.

243. Paget A.Z. Vibration of streamturbme buckets and damping by impact // Engineering 1937. 19, N 3

244. Park J , Min К , Kim H Probabilistic bounded non-linear control alqorithm for linear structures // Probabilistic Engineering Mechanics 2005 - 20 - P 168-178

245. Pradlwarter H J. Non linear stochastic response distributions by local statistical linearization // Int. J. Non-linear Mechanics 2001. - 36, N 7, - P 1135 - 1151

246. Proppe С Exact stationary probability density functions for non-linear systems under Poisson white noise excitation // Int. J of Non-linear Mechanics 2003 38, - P. 557 - 564

247. Risken H. The Fokker Plank equation 2nd Edition. Springer - Verlag, New York, 1989 - 472 p

248. Roberts J. В The response of linear vibratory systems to random impulses //Journal of Sound and Vibration 1965. - 2, N 4, - P 375 - 390.

249. Roberts J В , Spanos P D. Random vibration and statistical linearization NY, John Wiley к Sons Inc , 1990. - 408 p

250. Roberts J. В , Spanos P D. Stochastic averaging: an approximate method of solving random vibration problems // Int. J. of Non-linear Mechanics 1986 21, N 2, - P. Ill - 134.

251. Roy R. V. Stochastic averaging of oscillators excited by colored Gaussian processes // Int. Journal of Non-linear Mechanics 1994. - 29, N 4, - P 463 - 475

252. Schueller, G I, et al. A state of-the-art report on computational stochastic mechanic s 11 Probabilistic Engineering Mechanics. 1997. - 12, N 4, - P 197-321.

253. Sniady P. Vibration of a beam due to a random stream of moving forces with random velocity 11 Journal of Sound and Vibration. 1984 97, - P 23 - 33.

254. Socha L , Pawleta M Corrected equivalent linearization of stochastic dynamic systems 11 Machine Dynm Problems 1994 - 7, - P 149-161

255. Soong T.T., Gngonu M. Random vibration of mechanical and structural systems -NJ, Prentice Hall, 1993 402 p.

256. Spanos PD., Cacciola P, Muscollino G. Stochastic averaqmg of preisach hysteretu systems // Journal of Engineering Mechanics 2004 - P. 1257 - 1267.

257. Spencer Jr. BF, Bergman LA. On the numerical solution of the Fokker-Planck equation for nonlinear stochastic systems // Nonlinear Dynamics. 1993.- 4, P. 357372.

258. Suhardio J., Spencer B.F , Sain M. К Non-linear optimal control of a duffing system // Int Journal of Noii-hnear Mechanics 1992 27, N 2, - P. 157 - 172.

259. Sun J Q , Hsu С S The generalized cell mapping method in nonlinear random vibration based upon short-time Gaussian approximation // Journal of Applied Mechanics -1990. 57, - P. 1018 - 1025.

260. Sun J.Q Random vibration analysis of a non-linear system with dry friction damping by the short-time Gaussian cell mapping method // Journal of Sound and Vibration.1995 180, - P 785 - 795.

261. Sworder D.D. On the stochastic maximum principle //J. Math Anal, and Appl. -1968 24, P. 627 - 640.

262. Thompson J M.T., Stewart H В Nonlinear Dynamics and Chaos. Chichester, John Wiley к Sons Inc., 1986. - 377 p.

263. Toinbtiyses В , Aldemir T. Continuous cell-to-cell mapping. // Journal of Sound and Vibration. 1997. 202, - P. 395 - 415

264. Vasta M. Exact stationary solution for a class of non-linear systems driven by a non-normal delta-correlated process. // Int. Journal of Non-linear Mechanics. 1995 - 30, N 4, - P. 407- 418

265. Wang J, Li R , Peng X Survey of nonlinear vibration of gear transmission systems // Applied Mechanics Reviews 2003. - 56, N 3, P 309 - 329.

266. Wojtkiewicz S.F., Spenser В F., Bergman L.A. On the cumulant-negle с t closure method in stochastic dynamics //Int. Journal of Non-linear Mechanics. 1996. 31, N 5, P. 657 684.

267. Wong E Zakai M On the relation between ordinary and stochastic differenatial equation. // Inter. Journal of Engenireening Science. 1965 3, N 2

268. Wonham W M. On a matrix Riccah eqaution of stochastic control // SIAM Journal of Control 1968. 6, N 4, P 681 - 697

269. Wonham W M., Cashman W F. A computational approach to optimal control e>f stochastic saturating systems. // SIAM Journal of Control. 1969 10, N 1, P 77 98.

270. Wu W.F., Lin Y.K Curnulant-Neglect Closure for Nonlinear Oscillators under random parametric and external excitations // Int. Journal of Non-linear Mechanics. 1984. -19, N 4, P. 349 - 362.

271. Yang J N., Li Z , Vongchavalitkul S Stochastic hybrid control of hysteretic structures // Probabilistic Engineering Mechanics 1997. 9, - P. 125-133.

272. Young J., Zhou X.Y. Stochastic control. Hamiltonian systems and HJB equations. // Springer Verlag, New York, 1999. 440 p.

273. Zhu W Q , Deng M L Optimal bounded control for minimizing the response of quasi-mteqrable Hamiltoman systems.// Int. Journal of Non-linear Mechanics . 2004 39, - P. 1535 - 1546

274. Zhu W Q., Wu Y J. Optimal bounded control of harmonically and stochastically cxcited strongly nonlinear oscillators // Probabilistic Engineering Mechanics 2005. - 20, P. 1 - 9

275. Zhu W Q , Ying Z.G , Ni Y Q , Ко J.M. Optimal nonlinear stochastic control of hystcntu systems.// Journal of Engineering Mechanics 2000 126, N 10, - P 1027- 1032

276. Zhu W Q., Ying Z G , Ni Y Q , Ко J M Optimal feedback control of strongly non-linear systems excited by bounded noise // Journal of Sound and Vibration. 2004 274,1. P 701 724